3D-grafik Karsten Juul

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "3D-grafik Karsten Juul"

Transkript

1 3D-grafik 2005 Karsten Juul

2

3 Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig tilladt at lave tilføjelser med blyant, fx betegnelser og hjælpelinjer Opgave 1 Få tegnet den klods der er vist på figur 1, ved at taste en tildeling af typen (1) 0 M : = hvor matricens søjler er punkter skrevet i den rækkefølge hvor de skal forbindes Det kan ikke undgås at nogle af siderne bliver tegnet to gange Du må selv bestemme hvilket punkt du starter med Mathcad: For at skrive en matriks skal du taste Ctrl+m eller vælge matriks på matrikspaletten Figur 1 I det følgende skal du flytte og strække figuren ved at ændre tallene i M Mathcad: Indeks (dvs 0, 1 ) skal skrives ved at taste [, (dvs Ctrl+Alt+8) eller ved at vælge indeks på matriks-paletten Opgave 2 For at kunne ændre alle punkter, dvs alle søjler, på én gang, skal du skrive at variablen j skal gennemløbe alle søjlenumre Dette kan gøres ved efter eller under M at skrive: j: = 0 cols(m) 1 Mathcad: Osv-prikkerne (dvs ) skal skrives ved at taste et semikolon (dvs tegnet ; ) De tildelinger indeholdene j som du herefter skriver, vil blive udført for hver værdi af variablen j Få lagt 2 til alle punkternes y-koordinater ved at skrive 3D-grafik Side 1 11/1-05 Karsten Juul

4 (2) M : = M 2 1, j 1, j+ Hvad sker der med klodsen når der lægges 2 til alle punkternes y-koordinater? Opgave 3 Klodsen på figur 1 skal nu flyttes så den kommer til at stå som vist på figur 2 Hvad skal der gøres ved hvert punkts koordinatsæt for at opnå dette? Få klodsen flyttet ved at taste tildelinger der minder om (2) Figur 2 Opgave 4 Klodsen på figur 3 kan man få frem ved at starte med klodsen på figur 1 og herefter udføre én bestemt operation på alle punkternes koordinater Hvad er det man kan gøre ved alle punkternes koordinatsæt så figuren fremkommer? Tast en tildeling der minder om (2), som udfører dette Figur 3 3D-grafik Side 2 11/1-05 Karsten Juul

5 Opgave 5 Tast følgende for at få i alt fire eksemplarer af figuren: G : = M H : = M N : = M Foreløbig ligger disse oven i hinanden, så det ser ud som om der kun er én figur RumFig2: Der er syv trådfigurer D, E, F, G, H, M og N Man får tegnet en trådfigur ved at sætte en af disse bogstaver lig en matriks hvis søjler er de punkter som skal forbindes, sådan som det er gjort i (1) ovenfor Få figur 4 frem ved at bruge metoderne fra de foregående opgaver til at ændre G, H, M og N (Hvis du vil tegne kvadratnettet i xy-planen, så tast α := ( ) hvor bogstavet alfa kan skrives ved at taste bogstavet a efterfulgt af ctrl+g "Gulvet" kan gøres delvist gennemsigtigt ved at dobbeltklikke på figuren og vælge Advanced og Plot 14, og sætte Transparency til fx 30 % ) Figur 4 Opgave 6 Figur 5 3D-grafik Side 3 11/1-05 Karsten Juul

6 Figur 1 kan ændres til figur 5 ved at foretage samme ændring af alle punkternes koordinatsæt Hvad er det man kan gøre ved alle punkternes koordinatsæt så figuren fremkommer? Tast en tildeling der minder om (2) og som udfører dette Definition 1 Parallelforskydning En "parallelforskydning med en vektor h r " fører ethvert punkt P over i et punkt Q som er bestemt ved at PQ = h r Sætning 1 Koordinatformel for parallelforskydning Ved en parallelforskydning med en vektor h r r = s føres et punkt P ( x, y, z) over i et t punkt Q ( u, v, w) hvis koordinater kan udregnes sådan: u = x + v = y + r s w = z + t Bevis for sætning 1 At P føres over i Q ved parallelforskydning med vektoren h r, betyder at Heraf fås at x r x + r = OQ = OP + PQ = OP + h = y + s = y + s w vu r z t z + t PQ = h r Opgave 7 Figur 6 3D-grafik Side 4 11/1-05 Karsten Juul

7 a) På figur 6 er vist punkterne F( 1, 3, 2), P(0, 1, 3) og Q hvor Q er fastlagt ved at FQ = 3 FP Bestem koordinatsættet til FP, til FQ og til Q b) På figur 6 er vist punkterne F( 1, 3, 2), P(x, y, z) og Q hvor Q er fastlagt ved at FQ = 3 FP Bestem udtrykt ved x, y og z koordinatsættet til Q c) Vi holder fast i punktet F så det ikke kan flytte sig, og lader rummet vokse så alle afstande bliver tre gange så store som de oprindelig var Så gælder for hvert punkt P i rummet at P føres over i et punkt Q som er fastlagt ved ligningen i spørgsmål b Når rummet forstørres på denne måde, føres klodsen M der er vist på figur 1, over i en klods N Få tegnet M og N i samme koordinatsystem Opgave 8 Du skal nu tegne en ny klods M der har en sådan form at den egner sig til at stable Derefter skal du benytte metoden fra opgave 7 til frembringe flere klodser der alle har samme form som M, men har forskellige størrelser Brug til sidst metoden fra sætning 1 til at stable klodserne Definition 2 Multiplikation ud fra punkt En "multiplikation med et tal k ud fra et punkt F " fører ethvert punkt P over i et punkt Q som er bestemt ved at FQ = k FP Sætning 2 Koordinatformel for multiplikation ud fra punkt Ved en multiplikation med et tal k ud fra et punkt F ( a, b, c) føres et punkt P( x, y, z) over i et punkt Q ( u, v, w) hvis koordinater kan udregnes sådan: u = a + k ( x a) v = b + k ( y b) w = c + k ( z c) 3D-grafik Side 5 11/1-05 Karsten Juul

8 Bevis for sætning 2 At P føres over i Q ved multiplikation med et tal k ud fra et punkt F, betyder at FQ = k FP Heraf fås at x a a + k( x a) = OQ = OF + FQ = OF + k FP = b a + k y b = b + k( y b) w vu c z c c + k( z c) Opgave 9 Figur 7 Figuren viser punktet P( 4, 2, 5) og dets spejlbillede Q i planen α med ligningen y = 3 (Dette har ikke noget at gøre med sætning 2) a) Få tegnet figuren b) Bestem udtrykt ved x, y og z koordinatsættet til spejlbilledet af et punkt P(x, y, z) i planen α c) Brug resultatet i spørgsmål b til at få tegnet spejlbilledet af klodsen M fra figur 1 Billedet skal også vise M og α Opgave 10 a) Start på et nyt RumFig2-dokument, og sæt max : = 4 Få tegnet første basisvektor r i ved at taste 0 a : = 0 0 Venstre søjle i matricen er det punkt vektoren afsættes ud fra, og højre søjle er vektoren D-grafik Side 6 11/1-05 Karsten Juul

9 RumFig2: Der er syv vektorer a, b, c, d, p, q og r Man får tegnet en vektor ved at sætte en af disse bogstaver lig en matriks med to søjler hvor den venstre søjle er koordinatsættet til det punkt vektoren skal afsættes ud fra, og den højre søjle er vektorens koordinatsæt (ikke endepunktets koordinatsæt) b) Få på tilsvarende måde tegnet de to andre basisvektorer c) Drej koordinatsystemet så x-aksen peger vinkelret ud fra skærmen Nu ser koordinatsystemet ud som på figur 8 Punktet P på figur 8 har koordinatsættet ( 0, 3, 2) Da P har dette koordinatsæt, gælder at r r OP = 3 j + 2 k Figur 8 Figur 9 På figur 9 er vist vektorerne e r, f r og OQ som er fremkommet af vektorerne r j, k r og OP ved at dreje rummet en vinkel v om x-aksen Det ses at der må gælde r r OQ = 3 e + 2 f Ved hjælp af enhedscirklen ses at Altså er e r 0 = cos(v) sin(v) og 0 f r = cos(v ) = sin(v) sin(v+ 90 ) cos(v) 0 OQ = 3cos(v) 2sin(v) 3sin(v) + 2cos(v) Når rummet drejes vinklen v om x-aksen, føres punktet P( 0, 3, 2) altså over i punktet Q ( 0, 3cos(v) 2sin(v), 3sin(v) + 2cos(v) ) d) Få tegnet punktet P ved at taste : ( 0 3 2) matriks P = hvor højre side af tildelingen er en 3D-grafik Side 7 11/1-05 Karsten Juul

10 Rumfig 2: Når man bruger et af bogstaverne P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y og Z til at tegne et punkt, så vil der automatisk blive tegnet et stativ som tydeliggør hvor punktet befinder sig Man får tegnet et punkt med stativ ved at sætte et af disse bogstaver lig en 1 3 matriks som indeholder punktets koordinater e) Få tegnet Q ved at taste v : = 47deg Q : = ( 0 3cos(v) 2sin(v) 3sin(v) + 2cos(v) f) Prøv at erstatte højresiden af ligningen v : = 47deg med andre vinkler end 47 ) Opgave 11 Når vi siger at vi drejer rummet vinklen 47 om x-aksen, så er det underforstået at drejningen foregår i den retning som fremgår ved at sammenligne figurerne 8 og 9, dvs at drejningen ses at være mod uret når vi ser fra spidsen af x-aksen ind mod begyndelsespunktet Hvis vinklen er negativ, foregår drejningen mod uret Figur 10 På figur 10 er vist det punkt P der er omtalt i opgave 10, samt et nyt punkt R a) Hvad er koordinatsættet for R? Ved en drejning på 47 om x-aksen føres P over i det punktet Q som er vist på figur 9 Ved denne drejning føres R over i et punkt S b) Hvad er x-koordinaten for S? c) Er y-koordinaten for S større end, lig med eller mindre end y-koordinaten for Q? d) Er z-koordinaten for S større end, lig med eller mindre end z-koordinaten for Q? e) Lav et billede der viser punkterne P, Q, R og S f) Drej dette billede og se det fra forskellige sider så du får overblik over det g) Når rummet drejes vinklen v om x-aksen, føres punktet T( x, y, z ) over i et punkt U Hvad er koordinatsættet til U? 3D-grafik Side 8 11/1-05 Karsten Juul

11 Opgave 12 Du skal nu dreje klodsen fra figur 1 en vinkel v om x-aksen For hvert søjlenummer j gælder at punktet P i søjle nr j i matricen M føres over i et punkt Q hvorom der gælder: Q's y-koordinat er tallet M cos(v) M sin(v) og 1, j 2, j Q's z-koordinat er tallet M1, j sin(v) + M 2, j cos(v) hvor M 1, j og 2, j M jo er hhv y- og z-koordinat for P Udnyt disse bemærkninger til at få tegnet den drejede klods Definition 3 Drejning om koordinatakse Når rummet drejes om en af koordinatakserne, så angiver et positivt gradtal en drejning der ses at være mod uret når man ser fra aksens spids ind mod begyndelsespunktet Et negativt gradtal angiver en drejning i den modsatte retning Sætning 3 Koordinatformel for drejning om x-aksen Når rummet drejes en vinkel t om x-aksen, så føres et punkt P ( x, y, z) over i et punkt Q ( u, v, w) hvis koordinater kan udregnes sådan: u = x v w = y cos( t) z sin( t) = y sin( t) + z cos( t) Bevis for sætning 3 Figur 11 Ved en drejning om x-aksen er det klart at hvis P ( 0, y, z) føres over i Q ( 0, v, w), så vil P ( x, y, z) føres over i Q ( u, v, w) hvor u = x På figuren er vist punktet P ( 0, y, z) og det punkt Q ( 0, v, w) som P føres over i når rummet drejes vinklen t om x-aksen Ved denne drejning føres vektorerne r j og k r over i hhv 3D-grafik Side 9 11/1-05 Karsten Juul

12 0 e r 0 = cos( t) og f r = cos( t ) = sin( ) sin( t) sin( t + 90 ) cos( tt ) Da r r OP = y j + z k er r r OQ = y e + z f Derfor er = y cos( t) + z sin( t) = y cos( t) z sin( t) w v sin( t) cos( t) y sin( t) + z cos( t) Sætning 4 Koordinatformel for drejning om y-aksen Når rummet drejes en vinkel t om y-aksen, så føres et punkt P ( x, y, z) over i et punkt Q ( u, v, w) hvis koordinater kan udregnes sådan: u = v = w x cos( t) y + z sin( t) = x sin( t) + z cos( t) Sætning 5 Koordinatformel for drejning om z-aksen Når rummet drejes en vinkel t om z-aksen, så føres et punkt P ( x, y, z) over i et punkt Q ( u, v, w) hvis koordinater kan udregnes sådan: u v = x cos( t) = x sin( t) + w = z y sin( t) y cos( t) Opgave 13 Få tegnet en figur der i et koordinatsystem viser 1) Linjen m gennem O(0, 0, 0) og R(1, 1, 0) 2) Linjestykket med endepunkter A(6, 2, 0) og B(2, 6, 0) 3) Brug reglerne i teoriafsnittet på denne og foregående side til på samme figur at få tegnet det linjestykke CD som AB føres over i hvis figuren bestående af m og AB først drejes om z-aksen så m føres over i x-aksen, så drejes 30 om x-aksen, og til sidst drejes om z-aksen så m kommer tilbage hvor den startede 3D-grafik Side 10 11/1-05 Karsten Juul

13 Det er ikke nødvendigt at bruge tre drejninger for at føre AB over i CD Det er nok med én drejning Hvad er det for en drejning? Hvorfor er der fornuft i at frembringe CD på den måde som er angivet i 3)? En linje n går gennem punkterne O(0, 0, 0) og T( 0, 2,1) Rummet drejes 40 om n i den retning som er mod uret når man ser fra T mod O Herved føres en givet figur M over i en figur N Hvilke tre drejninger kunne du bruge for at få tegnet N? Opgave 14 Mathcad: Når man ganger matricer i Mathcad, så taster man * for at skrive gangeprikken ligesom når man ganger tal Ved hjælp af Mathcad fås = Lad os kalde de tre matricer A, B og C: A B = C Tallet i C's 1 række fås ved at gange A's 1 række med søjlen B: (1) = 57 Tallet i C's 2 række fås ved at gang A's 2 række med søjlen B: (2) = 29 Tallet i C's 3 række fås ved at gange A's 3 række med søjlen B Skriv en udregning som (1) og (2) der viser hvordan tallet 38 i C's 3 række udregnes ud fra tallene i A og B Opgave 15 Ved hjælp af Mathcad fås = Lad os kalde de tre matricer A, D og E: A D = E I opgave 14 er vist hvordan en matriks ganges med en søjle E's 1 søjle fås ved at gange A med D's 1 søjle E's 2 søjle fås ved at gange A med D's 2 søjle E's 3 søjle fås ved at gange A med D's 3 søjle Skriv udregninger som (1) og (2) i opgave 14 der viser hvordan tallene i E's 2 søjle udregnes ud fra tallene i A og D 3D-grafik Side 11 11/1-05 Karsten Juul

14 Skriv en tilsvarende udregning der viser hvordan man udregner tallet i E's 3 række og 3 søjle Definition 4 Gangning af matricer Man kan kun udregne A B hvis A's søjleantal er lig B's rækkeantal Hvis dette er tilfældet, er matricen C = A B den matrix hvorom der gælder at C har lige så mange rækker som A og lige så mange søjler som B Tallet i C 's i'te række og j'te søjle fås ved at gange A's i'te række med B's j'te søjle p Man ganger en række a b c med en søjle q r ved at udregne a p + b q + c r Opgave 16 I opgave 4 spejlede du en figur i xz-planen Ved denne spejling føres et punkt P(x, y, z) over i et punkt Q(u, v, w) hvis koordinater fås ved hjælp af følgende formler: u = x v = y w = z x Hvis vi ganger y med A = fra venstre, får vi z x x A y = y z z dvs vi får koordinaterne til det punkt som P(x, y, z) føres over i ved en spejling i xzplanen Den figur som i opgave 4 skulle spejles, var tastet som en matrix M hvor søjlerne var de punkter der skulle forbindes for at tegne figuren Vi kan få tegnet spejlbilledet ved at lave en matrix N hvor det for hvert søjlenummer j gælder N's søjle nr j fås ved at gange M's søjle nr j med A fra venstre Mathcad: I Mathcad kan dette gøres ved at taste j := 0 cols( M )-1 hvor < j> < j> N : = A M < j> N betyder søjle nr j Symbolet < > kan vælges på matriks-paletten I opgave 6 strakte vi en figur i retningen vinkelret på yz-planen så alle afstande i denne retning blev fordoblet Ved denne strækning føres et punkt P(x, y, z) over i et punkt Q(u, v, w) hvis koordinater fås ved hjælp af følgende formler: 3D-grafik Side 12 11/1-05 Karsten Juul

15 u = 2 x v = y w = z Ligesom ved spejlingen kan vi få Q's koordinater ved at gange matrix Angiv sådan en matriks B x y z fra venstre med en Opgave 17 Af sætning 3 fås at ved en drejning på 27 om x-aksen vil et punkt P(x, y, z) føres over i et punkt Q(u, v, w) hvis koordinater kan udregnes sådan: u = x v = y z w = y z x Opskriv den matrix som man skal gange y med fra venstre for at få Q's koordinater z Find også den matrix som svarer til en drejning på 15 om z-aksen Opgave 18 I opgave 13 foretog vi tre drejninger af rummet efter hinanden Lad A være matricen svarende til første drejning, B matricen svarende til anden drejning og C matricen svarende til 3 drejning Ved at udføre de tre drejninger efter hinanden føres et punkt P(x, y, z) over i et punkt Q(u, v, w) hvis koordinater kan udregnes sådan: x Først ganges y med A fra venstre, så ganges resultatet med B fra venstre, og z dette andet resultat ganges med C fra venstre Der gælder altså w vu = x C B A y z I Mathcad skal du nu opskrive matricerne svarende til de tre drejninger og sætte A, B og C lig disse matricer Få så Mathcad til at udregne (reducere) højresiden i ovenstående ligning ved at udnytte følgende oplysning: 3D-grafik Side 13 11/1-05 Karsten Juul

16 Mathcad: For at få et udtryk udregnet symbolsk (reduceret) kan man anbringe markøren i udtrykket og vælge på symbolsk-paletten ( - paletten) Udregn også matricen x D y z Hvad ser man? D = C B A, og udregn derefter Matricen D svarer til en drejning af rummet om en linje Hvad er det for en linje? Sætning 6 For matricer A, B og C gælder at ( A B) C = A ( B C ) hvis matricernes søjleantal og rækkeantal er sådan at gangningerne kan udføres Bevis for sætning 6: springes over Definition 5 Transformation Vi har omdannet figurer ved at forskyde, dreje, spejle og strække rummet Man kan også omforme rummet på mere indviklede måder Som fællesbetegnelse for alle omformninger bruges ordet transformation Når man taler om transformationen svarende til en matrix A, mener man den transformation der fører ethvert punkt P ( x, y, z) over i et punkt Q ( u, v, w) hvis koordinater kan udregnes sådan: x = y w vu A z Sætning 7 Når vi først udfører en transformation der svarer til en matrix A, og derefter en transformation der svarer til en matrix B, så har vi i alt udført en transformation som svarer til matricen C = B A Bevis for sætning 7 Transformationen svarende til A fører et punkt P ( x, y, z) over i et punkt med koordinatsættet 3D-grafik Side 14 11/1-05 Karsten Juul

17 x A y, z og punktet med dette koordinatsæt føres ved transformationen svarende til B over i et punkt med koordinatsættet x B A y z Ifølge sætning 6 er dette lig x x B y = C y, z z ( A) dvs i alt er udført en transformation svarende til matricen C Opgave 19 En transformation af rummet fremkommer ved først at dreje 50 om y-aksen og derefter spejle i xz-planen Benyt sætning 7 til at bestemme den tilhørende matrix Fremstil et billede der viser en eller anden figur M samt den figur N som M føres over i ved den nævnte transformation Opgave 20 For også at kunne parallelforskyde ved at gange med en matrix, vil vi i vores regninger bruge matricer x y 1 z hvor der efter punktets koordinater er tilføjet et ekstra éttal Vi plejer at fastlægge en figur med en matrix M : = hvor søjlerne er punkterne der skal forbindes Før vi transformerer vil vi tilføje éttaller: 3D-grafik Side 15 11/1-05 Karsten Juul

18 3 2 = 1 2 M : Efter at vi har transformeret, vil vi fjerne éttallerne igen Vi vil bruge en regneoperation til at tilføje og fjerne éttaller: RumFig2: Hvis en matrix M har 3 rækker, vil kommandoen M : = hk(m) tilføje en fjerde række bestående af éttaller, og hvis M har 4 rækker, vil kommandoen M : = hk(m) fjerne den fjerde række Find et af dine dokumenter som indeholder en matrix M der fastlægger en figur Skriv M : = hk(m) Skriv M = for at se at der er tilføjet éttaller Skriv M : = hk(m) Skriv M = for at se at éttallerne er blevet fjernet Opgave 21 Når en søjlematrix med fire rækker skal ganges med en matrix M fra venstre, så skal M have fire søjler, og når resultatet skal være en søjlematrix med 4 rækker, så skal M også have fire rækker I opgave 16 spejlede vi i xz-planen ved at gange fra venstre med A = Nu skal vi i stedet bruge B = hvor der til A er tilføjet Gang x y 1 z D-grafik Side 16 11/1-05 Karsten Juul

19 med B fra venstre Skriv den matrix som svarer til en drejning på 45 om z-aksen Opgave 22 En parallelforskydning med vektoren v r = fører et punkt P( x, y, z ) over i punktet Q( x 5, y+ 3, z+ 1) Sæt A lig den matrix som svarer til en parallelforskydning med v r Udregn derefter x y A 1 z Opgave 23 Brug sætning 7 til at bestemme matricen der hører til transformationen der kan frembringes ved først at dreje 31 om x-aksen og derefter parallelforskyde stykket 4 i x-aksens retning Fremstil et billede der viser en eller anden figur M samt den figur N som M føres over i ved den nævnte transformation Drejning om vilkårlig linje Lad A og B være to forskellige punkter på en linje l Vi vil nu angive hvordan man kan finde matricen der svarer til at dreje vinklen v om l sådan at positivt v svarer til en drejning mod uret når man ser fra B mod A Da vi ikke har formler for at dreje om andre linjer end koordinatakserne, vil vi flytte l over i en koordinatakse, dreje om denne, og derefter flytte l tilbage Flytningen af l må foregå i en række trin hvor hvert trin er en transformation hvor vi kender den tilhørende matrix Til sidst kan vi gange alle matricerne for at få den matrix der svarer til drejningen om l Den søgte drejning kan fx fås frem på følgende måde: (1) Parallelforskyd med en vektor r r så A føres over i koordinatsystemets begyndelsespunkt (2) Drej en vinkel s om y-aksen så B kommer til at ligge i yz-planen 3D-grafik Side 17 11/1-05 Karsten Juul

20 (3) Drej en vinkel t om x-aksen så B kommer til at ligge på z-aksens positive del (4) Drej vinklen v om z-aksen (5) Drej vinklen t om x-aksen (6) Drej vinklen s om y-aksen (7) Parallelforskyd med vektoren r Opgave 24 På figuren er vist en linje l som går gennem punkterne O (0, 0, 0) og P( 4, 3, 5) Figur 12 Bestem den vinkel rummet skal drejes om y-aksen for at linjen l føres over i yz-planen Opgave 25 Afleveringsopgave En linje m går gennem punkterne A( 3, 2, 1) og B( 1, 1, 6) Rummet drejes 53 om m sådan at drejningen foregår mod uret når man ser fra B til A Bestem matricen svarende til denne drejning Fremstil et billede der viser en eller anden figur som ikke er for simpel Fremstil et andet billede der viser samme figur efter den omtalte drejning Nedskriv mellemregninger med forklaring Lav evt en animation der viser figuren dreje 3D-grafik Side 18 11/1-05 Karsten Juul

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive! Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen Vektorer i planen English abstract This report is about the mathematical concept vectors. It explains what a vector is, and how vectors are indicated with coordinates and arrows. It explains calculating

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Vektorfunktioner vha. CAS

Vektorfunktioner vha. CAS Vektorfunktioner vha. CAS 1 Forord Vi skal i de kommende uger arbejde med emnet Vektorfunktioner ved: 1) at I selv arbejder med siderne 3 10 som en opstart. Siderne baserer sig på CAS-programmet TI-Nspire.

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE.

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. Geogebra. DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. (dvs. det er ikke alle emner i SYMBOLLINIEN, der beskrives). Navnet GEOGEBRA er en

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Ligninger med Mathcad

Ligninger med Mathcad Ligninger med Mathcad for standardforsøget for B-niveau Udgave.02 Eksemplerne viser hvordan man kan finde frem til facit. Eksemplerne viser ikke hvordan besvarelsen kan formuleres. Der forudsættes et vist

Læs mere

Matlab script - placering af kran

Matlab script - placering af kran Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

INTRODUKTION TIL VEKTORER

INTRODUKTION TIL VEKTORER INTRODUKTION TIL VEKTORER x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse HVORFOR INDFØRES VEKTORER?... 3 VEKTORER... 5 Vektoraddition... 7 Kræfternes parallelogram... 9 Multiplikation af vektor

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 4. juni 2010

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 4. juni 2010 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2010 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 4. juni 2010 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer

VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold REPETITION OG KOORDINATER... REGNING MED VEKTORER... 8 STEDVEKTOR... 1 VEKTOR

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Navn: Klasse: HTx2A Opgaver: 422, 423, 425, 428, 429 & 431 Afleveringsdato: Uge 35:

Navn: Klasse: HTx2A Opgaver: 422, 423, 425, 428, 429 & 431 Afleveringsdato: Uge 35: Matematik HTx,. årgang 04/05 Sæt 0 Vektorer 0 Navn: Klasse: HTxA Opgaver: 4, 43, 45, 48, 49 & 43 Afleveringsdato: Uge 35: 8-08-03 Rettes: Karakter: Rettes ikke: Set og godkendt: Samlet elevtid: 75 min.

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 7, 2009 Produceret af Hans J Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 Definition kritisk punkt: funktion f(x, y) er et kritisk punkt

Læs mere

Flytninger og mønstre

Flytninger og mønstre Flytninger og mønstre KTIVITET ESKRIV MØNSTRE FLYTNINGER OG MØNSTRE 9 I dette kapitel skal du arbejde med flytninger og mønstre i planen. Der findes mønstre overalt omkring os. Det er indenfor kunst og

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere