1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side."

Transkript

1 Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige firkanter samt formler der omhandler trekanter. Noterne forudsætter kendskab til ensvinklede trekanter samt sinusog cosinusrelationerne. 1 Trekantens linjer 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. M b er midtpunkter på henholdsvis BC og AC, er M a M b parallel med AB, dvs. at trekant ABC og trekant M b M a C er ensvinklede med forholdet 1 :. Desuden er trekanterne ABM og M a M b M ensvinklede med samme forhold. Her af ses at m a og m b deler hinanden i forholdet 1 :. Da m a og m b var vilkårlige medianer, må m a og m c også skære hinanden i forholdet 1 :, dvs. at alle tre medianer går gennem samme punkt M. 1. Midtnormaler En midtnormal til et linjestykke AB er det geometriske sted for de punkter P der har samme afstand til A og B, altså mængden af punkter P som opfylder at AP = BP. Midtnormalen er dermed en linje som går gennem midtpunktet af linjestykket AB og står vinkelret på AB, da det netop er punkterne på denne linje som opfylder betingelsen. De tre medianer i en trekant går igennem samme punkt, og dette punkt deler medianerne i forholdet 1:. Medianernes skæringspunkt betegnes normalt M. Lad ABC være en trekant, og kald medianerne for henholdsvis m a, m b og m c, og medianernes fodpunkter på siderne a, b og c for henholdsvis M a, M b og M c. I en trekant går de tre midtnormaler gennem samme punkt, og dette punkt er centrum for den omskrevne cirkel, dvs. den cirkel som går gennem trekantens tre vinkelspidser. Midtnormalernes skæringspunkt betegnes normalt O. 1.3 Opgave om midtnormaler ovenstående sætning om midtnormalerne i en trekant. Medianerne m a og m b skærer hinanden i et punkt vi kalder M. Vi vil nu vise at de skærer hinanden i forholdet 1 :. Da M a og 1.4 Vinkelhalveringslinjer En vinkelhalveringslinje til en vinkel er det geometriske sted for de punkter P der har samme afstand til vinklens ben. Vinkelhalver-

2 Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde ingslinjen er altså en linje som deler en vinkel i to lige store vinkler, da det netop er punkterne på denne linje som opfylder betingelsen. I en trekant går de tre vinkelhalveringslinjer gennem samme punkt, og dette punkt er centrum for den indskrevne cirkel, dvs. den cirkel som tangerer alle tre sider i trekanten. Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt betegnes normalt I. 1.5 Opgave om vinkelhalveringslinjer ovenstående sætning om vinkelhalveringslinjer i en trekant. 1.6 Højder En højde i en trekant er en linje der går gennem en vinkelspids og er ortogonal med modstående side. at C 1 B = AC = BA 1. Tilsvarende ses at C 1 A = AB 1 og B 1 C = CA 1. Højderne i ABC er derfor midtnormaler i A 1 B 1 C 1, og de går ifølge sætningen om midtnormaler gennem samme punkt. 1.7 Cevianer En cevian er en linje i en trekant fra en vinkelspids til den modstående side (eller dens forlængelse). Fx er højder, medianer og vinkelhalveringslinjer alle cevianer. 1.8 Cevas sætning Cevas sætning siger at cevianerne AA, BB og CC (hvor A ligger på BC eller dens forlængelse osv.), skærer hinanden i samme punkt, netop hvis AC C B BA A C CB B A = 1. Bemærk at hvis fx A ikke ligger på linjestykket BC, således at lad os sige C ligger mellem B og A, da regnes længden af CA som negativ. I en trekant går højderne gennem samme punkt. Tegn linjer gennem henholdsvis A, B og C som er parallelle med modstående sider. Firkant ACBC 1 og firkant ACA 1 B er parallelogrammer, dvs. Først viser vi at hvis de tre cevianer går gennem samme punkt, så vil AC C B BA A C CB B A = 1. Antag at cevianerne går gennem samme punkt P. Der gælder at hvis to trekanter har samme højde, da er forholdet mellem arealerne

3 Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 3 det samme som forholdet mellem grundlinjerne. Lad T ( ABC) betegne arealet af en trekant. Dermed er Samlet får vi AB B C = T ( ABB ) T ( B BC) og AB B C = T ( ABP ) T ( BP C). AB B C = T ( AP B ) T ( B P C). Her har vi benyttet brøkregnereglen der siger at hvis a b = s t og a b = u v, hvor t v, da er a b = s u t v. Tilsvarende fås BC C A = T ( BCP ) T ( CP A) Samlet giver dette og CA A B = T ( CAP ) T ( AP B). AB B C BC C A CA A B = T ( ABP ) T ( BP C) T ( BCP ) T ( CP A) T ( CAP ) T ( AP B) = 1. Bemærk at på tegningen falder cevianerne inden for trekanten, men beviset benytter ikke dette. Nu viser vi den modsatte vej. Antag at AC C B BA A C CB B A = 1. Kald skæringspunktet mellem AA og BB for P, og betragt cevianen CD fra C gennem P. Da cevianerne AA, BB og CD går gennem samme punkt, gælder ifølge det vi lige har vist, at Ifølge vores antagelse er AD DB BA A C CB B A = 1. AC C B BA A C CB B A = 1, dvs. at AD DB = AC C B. Af dette ses at D og C er samme punkt, og dermed at cevianerne AA, BB og CC skærer hinanden i samme punkt P. 1.9 Opgave Benyt Cevas sætning til at bevise at højderne skærer hinanden i samme punkt Mere om medianer Længden af medianerne kan udtrykkes ved trekantens sidelængder. I en trekant ABC er længden af medianen m a fra vinkelspids A til siden a givet ved m a = b + c a 4. Kald fodpunktet for m a for M og vinklen BMA for v. Ifølge cosinusrelationen gælder at c = m a + a 4 m aa cos v,

4 Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde Opgave Vis at medianerne i en trekant deler trekanten i seks små trekanter med samme areal. og b = m a + a 4 + m aa cos v. Her har vi udnyttet at cos(180 v) = cos(v). Ved addition af de to ligninger får man m a = b + c a Opgave I en trekant ABC betegnes medianerne henholdsvis m a, m b og m c. Find en formel for beregning af længderne af trekantens sider a, b og c udtrykt ved medianernes længde. 1.1 Opgave I trekant ABC betegnes fodpunktet for vinkelhalveringslinjen v a fra A til siden BC med V Opgave Lad I være vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt i en trekant ABC, og lad yderligere A 1, B 1 og C 1 være refleksionen af I i henholdsvis a, b og c. Cirklen gennem A 1, B 1 og C 1 går også gennem B. Bestem vinklen ABC Opgave Fra vinkelspidsen C i trekant ABC tegnes en ret linie der halverer medianen fra A. I hvilket forhold deler denne linie siden AB? (Georg Mohr 1995) 1.16 Opgave Lad I være centrum i den indskrevne cirkel til trekant ABC, og lad yderligere A 1 og A være to forskellige punkter på linjen gennem B og C således at AI = A 1 I = A I, B 1 og B være to forskellige punkter på linjen gennem A og C således at BI = B 1 I = B I, og C 1 og C være to forskellige punkter på linjen gennem A og B således at CI = C 1 I = C I. Vis at A 1 A + B 1 B + C 1 C er trekantens omkreds Opgave I en trekant ABC med areal 1 indtegnes medianerne. Midtpunktet af medianen m a kaldes for A, midtpunktet af medianen m b kaldes for B, og midtpunktet af medianen m c kaldes for C. Vis at v a deler den modstående side i samme forhold som forholdet mellem de to tilsvarende hosliggende sider, altså at CV V B = b c.

5 Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 5 Bestem arealet af trekant A B C Opgave En ydre røringscirkel til siden a i en trekant ABC er en cirkel som tangerer siden a samt forlængelserne af de to andre sider i trekanten. I trekant ABC indtegnes tre cevianer fra vinkelspidserne til røringspunkterne for de tre røringscirkler. Vis at de tre cevianer skærer hinanden i et punkt. Cirkler og vinkler.1 Centervinkel En centervinkel er en vinkel der har toppunkt i centrum og radier som vinkelben. En centervinkel måles ved den bue den spænder over. På figuren er AOB en centervinkel som spænder over buen AB, og vi skriver AOB = AB.. Periferivinkel En periferivinkel er en vinkel der har toppunkt på cirklen og korder som vinkelben. En periferivinkel er halvt så stor som den bue den spænder over. Dermed er to periferivinkler som spænder over samme bue, lige store, og en periferivinkel der spænder over en halvcirkel, er ret. Lad v være en centervinkel og w en periferivinkel der begge spænder over buen AB. Kald centrum for O og punktet hvor w rører periferien, for C.

6 Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 6 Antag først at vinkelbenene for vinkel v kun skærer vinkelbenene for w i punkterne A og B. Da deler diameteren gennem C vinklerne v og w i to vinkler som vi kalder hendholdsvis v A og v B og w A og w B. Trekant AOC er nu en ligebenet trekant med to lige store vinkler w A, og den sidste vinkel er 180 v A. Da vinkelsummen i en trekant er 180, er w A = v A. Tilsvarende fås w B = v B, dvs. w = v..4 Opgave om korde-tangent-vinkler sætningen om korde-tangent-vinkler..5 Opgave at Se figurer: v = AB + CD CD AB og w =. Antag nu at w s ene vinkelben CB skærer v s vinkelben OA. Diameteren gennem C skærer da yderligere periferien i et punkt vi kalder for D. Ifølge det vi lige har vist, er BCD = BOD og ACD = AOD, og dermed w = v som ønsket..3 Korde-tangent-vinkel En korde-tangent-vinkel er en vinkel der har toppunkt på cirklen og en korde samt en tangent som vinkelben. En korde-tangent-vinkel er halvt så stor som den bue korden spænder over..6 Et punkts potens. I en given cirkel betegnes centrum O og radius r. Et punkt P s potens mht. cirklen er tallet P O r..7 Sætning om et punkts potens. I en given cirkel betegnes centrum O og radius r. Lad P være et punkt og l og m være to linjer gennem P, hvor l skærer cirklen i A og B, og m skærer cirklen i C og D. (Hvis en af linjerne tangerer cirklen, er de to punkter sammenfaldende.) Da gælder at AP BP = CP DP. Hvis P ligger uden for cirklen er AP BP netop punktets potens mht. cirklen, og hvis P ligger indenfor cirklen, er AP BP netop minus punktets potens. i tilfældet hvor punktet ligger uden for cirklen.

7 Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 7 Lad P være et punkt uden for cirklen. Vi viser at AP BP netop er P s potens mht. cirklen, da det giver det ønskede. Tegn tangenten til cirklen gennem P som vist på figuren, og kald røringspunktet for Q. Ifølge Pythagoras sætning er P Q = P O r. Betragt nu trekanterne AQP og QBP. Korde-tangent-vinklen P QA er lige så stor som periferivinklen P BQ, ifølge sætningerne om periferivinkler og korde-tangent-vinkler. Dermed er AQP og QBP ensvinklede, og dette giver P Q = AP BP. Samlet har vi at AP BP netop er punktet P s potens mht. cirklen..8 Opgave om et punkt potens sætningen om et punkts potens i det tilfælde hvor punktet ligger inden i cirklen..9 Opgave Lad to cirkler C 1 og C skære hinanden i punkterne A og B. Tangenten til C 1 gennem B skærer C i punktet C, og tangenten til C gennem B skærer C 1 i punktet D. Desuden oplyses at BC = 3 og BD = 4. Bestem længden af AB..10 Opgave En halvcirkel med diameter AB bevæger sig langs en ret vinkel således at A bevæger sig langs det ene vinkelben, og B langs det andet. Vis at et fast punkt P på halvcirklen bevæger sig langs en ret linje.

8 Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 8 3 Indskrivelige firkanter 3.1 Indskrivelige firkanter En firkant kaldes indskrivelig hvis den har en omskreven cirkel. Antag at firkant ABCD er indskrivelig, og lad M være punktet på diagonalen BD som opfylder at DCM = ACB. 3. Sætning om indskrivelige firkanter En firkant er indskrivelig netop hvis summen af modstående vinkler er 180. Antag at en firkant er indskrivelig. To modstående vinkler spænder da tilsammen over hele cirkelperiferien, og summen er derfor 180. Antag at det for en given firkant ABCD gælder at summen af to modstående vinkler er 180. Betragt nu den omskrevne cirkel for trekant ABC, og lad punktet E være skæringen mellem cirklen og linjen gennem C og D. Hvis firkanten er indskrivelig er D lig E. Vi ved at AEC = 180 ABC = ADC. Hvis D ligger uden for cirklen, vil ADC være mindre end AEC, og hvis den ligger indenfor vil den være større. Dermed må D = E. 3.3 Opgave om indskrivelige firkanter Vis at hvis begge diagonaler i en firkant ABCD står vinkelret på en side, da er firkanten indskrivelig. 3.4 Ptolemæus sætning For en indskrivelig firkant ABCD gælder at AC BD = AB CD + BC DA. Der gælder at CDM = CAB da de spænder over samme bue. Dermed er trekant CDM og trekant CAB ensvinklede med AB DC = DM AC. Tilsvarende er trekant CAD og trekant CBM ensvinklede med AD CB = BM AC. I alt giver dette AB CD + BC DA = AC ( DM + MB ) = AC BD. 3.5 Bemærkning For alle firkanter ABCD gælder Ptolemæus ulighed AC BD AB CD + BC DA med lighedstegn netop hvis firkant ABCD er indskrivelig. 3.6 Additionsformlen for sinus Ptolemæus sætning kan benyttes til at vise additionsformlen for sinus sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y. Vi viser sætningen i tilfældet hvor A og B er spidse vinkler. Lad A, B, C og D være punkter på en cirkel med radius 1 og centrum O således at DB er diameter, ADB = x og CDB = y. Trekanterne DAB og DCB er retvinklede, og dette giver at AB = sin x, AD = cos x, BC = sin y og DC = cos y. Trekant

9 Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 9 Lad A være et punkt på cirkelbuen P Q som vist på figuren. Linjen gennem A og P skærer cirklen C i punktet B, og linjen gennem A og Q skærer cirklen C 3 i C. Vis at punkterne B, C og R ligger på linje. AOC er en ligebenet trekant hvor AO = OC = 1 og AOC = (x + y). Dermed er 1 AC = sin(x + y). Ifølge Ptolemæus sætning gælder 3.9 Opgave En ligesidet trekant ABC er indskrevet i en cirkel. Lad M være et vilkårligt punkt på cirkelbuen BC. Vis at MA = MB + MC Opgave En firkant ABCD er indskreven i en cirkel med radius 1, AB = 1, AC = og AD =. Bestem BC. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x) hvoraf additionsformlen følger. 3.7 Korollar Af additionsformlen for sinus får man direkte formlen for sinus til den dobbelte vinkel sin(x) = sin x cos x. 3.8 Opgave Tre cirkler skærer hinanden som vist på figuren.

10 Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 10 4 Trekantens formler I dette afsnit ser vi på en trekant ABC hvor s betegner den halve omkreds, r er radius i den indskrevne cirkel, R er radius i den omskrevne cirkel, og T er arealet. 4.1 Herons formel Arealet af en trekant kan beregnes ud fra trekantens sidelængder vha. Herons formel 4.4 Sætning om radius i den omskrevne cirkel Om radius i den omskrevne cirkel gælder der R = a sin A = b sin B = c sin C. Kald centrum for den omskrevne cirkel for O og midtpunktet af siden AC for M. Ifølge cosinusrelationen er T = s(s a)(s b)(s c). (bc) cos A = (b + c a ). Vi ved at 4T = bc sin A, og ved kvadrering får vi 16T = (bc) sin A. Desuden er sin A = 1 cos A. Samlet giver dette 16T = (bc) (bc) cos A = (bc) (b + c a ) = (bc + b + c a )(bc b c + a ) = ((b + c) a )(a (b c) ) = (a + b + c)(b + c a)(a + c b)(a + b c) = 16s(s a)(s b)(s c). Hermed er Herons formel bevist. 4. Sætning om areal og radius i den indskrevne cirkel Der gælder at T = rs. 4.3 Opgave om areal og radius i den indskrevne cirkel sætningen om areal og radius i den indskrevne cirkel Da O er skæringspunktet for midtnormalerne, står OM vinkelret på AC. Ifølge sætningen om center- og periferivinkler er AOC = B. I alt er trekant OMC en retvinklet trekant hvor MOC = B og OMC = 90. Dermed er sin B = Dette giver ifølge sinusrelationen R = a sin A = 1 b R = b R. b sin B = c sin C. 4.5 Sætning om areal og radius i den omskrevne cirkel Der gælder at 4RT = abc. Lad igen O være centrum for den omskrevne cirkel, og lad diameteren gennem A skære cirklen yderligere i punktet D. Da er trekant

11 Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 11 ABD ret, da ABD spænder over diameteren. Lad H være fodpunktet for højden i trekant ABC på siden b. En tangent til cirklen skærer linjestykkerne AB og AD i henholdsvis P og Q. Radius i den indskrevne cirkel til trekant AP Q kaldes r. Udtryk arealet af trekant AP Q vha. r og R. 4.7 Opgave Firkant ABCD er indskrevet i en cirkel med radius R. Diagonalerne står vinkelret på hinanden, og deres skæringspunkt kaldes E. Vis at AE + BE + CE + DE = 4R. Vi ved nu at ADB = ACB da de spænder over samme bue. Trekanterne ADB og BCH er derfor ensvinklede, og der gælder Dette giver Nu kan vi finde arealet: Dette giver R c = a HB. HB = ac R. T = 1 HB b = 1 ac R b = abc 4R. 4RT = abc. 4.6 Opgave I et kvadrat ABCD er indskrevet en cirkel med radius R. 4.8 Opgave Vis at der findes uendeligt mange trekanter hvor sidelængderne er tre på hinanden følgende hele tal, og arealet af trekanten er et helt tal. (NMC 1995) 4.9 Opgave Vis for en trekant ABC at cos A + cos B + cos C = r R + 1. Her er r radius i den indskrevne cirkel, og R er radius i den omskrevne cirkel Opgave Vis for en trekant ABC at 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 rr. Her er r som før radius i den indskrevne cirkel, og R er radius i den omskrevne cirkel Opgave I en trekant ABC danner de tre fodpunkter for højderne en ny trekant. at radius i den omskrevne cirkel til den nye trekant er halvt så stor som radius i den omskrevne cirkel til trekant ABC.

12 Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 5 Løsningsskitser Opgave om midtnormaler 1.3 Lad ABC være en trekant, tegn midtnormalerne på AB og BC, og kald deres skæringspunkt for O. Da midtnormalen på AB er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til A og B, og midtnormalen på BC er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til B og C, må afstandene fra O til henholdsvis A, B og C være lige store. Punktet O er dermed centrum for den omskrevne cirkel, og midtnormalen på AC vil på tilsvarende vis gå gennem O. Opgave om vinkelhalveringslinjer 1.5 Lad ABC være en trekant, tegn vinkelhalveringslinjerne fra A og B, og kald deres skæringspunkt for I. Da er cos A = AH b c = AH c b og dermed AH b AH c = c b. Det tilsvarende gælder for de andre sider. Derfor er AH b BH c CH a H b C H c A H a B = abc abc = 1. Ifølge Cevas sætning går højderne dermed gennem samme punkt. Opgave 1.11 Ved at kombinere formlerne for m a, m b og m c får man c = 4 9 (m a + m b m c). Tilsvarende for de andre to sider. Da vinkelhalveringslinjerne er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til vinklens ben, må afstandene fra I til alle tre sider være lige store. Punktet I er dermed centrum for den indskrevne cirkel, og vinkelhalveringslinjen fra C vil på tilsvarende vis gå gennem I. Opgave 1.9 Kald fodpunkterne for højderne i trekant ABC for H a, H b og H c. Opgave 1.1 Tegn en linje gennem B som er parallel med AC, og kald skæringspunktet mellem denne linje og v a for D. Da DB er parallel med AC, er trekant ABD ligebenet, dvs. at

13 Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 13 DB = c. Desuden er trekant ACV og trekant DBV ensvinklede, hvilket giver CV V B = b BD = b c. Opgave 1.13 Lad M betegne medianernes skæringspunkt, og M a betegne fodpunktet for medianen på siden a. Da 3 MM a = AM a, er højden fra A i trekant ABC tre gange så stor som højden fra M i trekant MBC. Dermed udgør trekant MBC en tredjedel af arealet af trekant ABC. Desuden har trekant MM a B og trekant MM a C samme areal da de har samme højde og lige store grundlinjer. Dermed deler medianerne en trekant i seks små trekanter med samme areal. Opgave 1.14 Lad A være skæringspunktet mellem IA 1 og BC. Trekant BA I er retvinklet, og BI = A I. Dermed er IBA = 30. På tilsvarende vis ses at ABI = 30. Dermed er vinkel B 60. Opgave 1.15 Kald fodpunktet for m a på a for M. Tegn en linje gennem B parallel med MA, og lad A 1 være skæringspunktet mellem denne linje og forlængelsen af AC. Trekanterne ACM og A 1 CB er ensvinklede med forholdet 1 :, dvs. at CA = AA 1. Linjen gennem C som halverer m a, halverer også A 1 B da m a og A 1 B er parallelle. Denne linje og AB er derfor begge medianer i trekant A 1 BC, og linjen deler derfor AB i forholdet 1 :. Opgave 1.16 Lad A, B og C være den indskrevne cirkels røringspunkter med henholdsvis a, b og c. Trekanterne IC C 1, IC C, IA C og IB C er ensvinklede, dvs. at C 1 C = A C + CB. På tilsvarende vis fås A 1 A = B A + AC og B 1 B = A B + BC. Dette giver det ønskede. Opgave 1.17 Først viser vi at siderne i trekant A B C er parallelle med siderne i trekant ABC. Indtegn midtpunktstransversalen m gennem siderne AB og AC. Denne midtpunktstransversal går gennem A og er parallel med BC. Punkterne B og C ligger lige langt fra linjen m og linjen gennem B og C, og dermed er siden B C parallel med BC. Tilsvarende gælder for de andre to sider i trekant A B C. Vi har nu at trekant ABC og trekant A B C er ensvinklede. Da midtpunktstransversalen m deler siden AB på midten, må linjen gennem B og C dele siden AB i forholdet 1 : 3, dvs. at AB = 4 A B. Dermed er forholdet mellem siderne i trekant A B C og siderne i trekant ABC 1 : 4, dvs. at forholdet mellem arealerne er ( 1 4 ) = Arealet af trekant A B C er derfor Opgave 1.18 Kald røringscirklernes røringspunkter med siderne a, b og c for

14 Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 14 henholdsvis A 1, B 1 og C 1. Røringscirklen til siden a rører desuden linjen gennem A og B i et punkt vi kalder A B, og den rører linjen gennem A og C i et punkt vi kalder A C. Først bemærker vi at BA B = BA 1 og CA C = CA 1. Desuden er AA B = AA C. Samlet får vi at AB + BA 1 er den halve omkreds. På samme måde får man at AB + AB 1 er den halve omkreds, og dette giver samlet at BA 1 = AB 1. På tilsvarende vis ses at AC 1 = CA 1 og BC 1 = CB 1. Om cevianerne gælder derfor at AB 1 CA 1 BC 1 B 1 C A 1 B C 1 A = 1, og Cevas sætning giver nu at de tre cevianer skærer hinanden i et punkt. Opgave om korde-tangent-vinkler.4 Vi skal vise at korde-tangentvinklen er halvt så stor som den centervinkel der spænder over korden. Da linjestykket fra centrum til tangentens røringspunkt står vinkelret på tangenten, ses dette let. Opgave.5 Betragt trekant ABP. Da vinkelsummen i en trekant er 180, er v = 180 BC + AD = AB + CD Bemærk først at P BD = 180 DBC = 180. CD. Betragt nu trekant P BD. Da vinkelsummen i en trekant er 180, er w = 180 AB ( 180 CD ) = CD AB Opgave om et punkt potens.8 Lad P være et punkt inden i cirklen. Vi viser at AP BP netop er minus P s potens mht. cirklen, da det giver det ønskede. Tegn linjen gennem P og O og kald skæringspunkterne med cirklen for M og N. Trekanterne AMP og NBP er ensvinklede ifølge sætningen om periferivinkler, dvs. at AP BP = MP NP = (r OP )(r + P O ) = r P O. Opgave.9 Ifølge sætningen om korde-tangentvinkler er trekant ABD og trekant ACB ensvinklede. Dette giver AB = BC BD = 1. Opgave.10 Kald punktet i den rette vinkels spids for O, og betragt en vilkårlig placering af diameteren AB. Da vinkel O er ret, ligger den på cirklen med AB som diameter, dvs. AOP = ABP da de spænder over samme cirkelbue. Punktet P ligger derfor på en ret linje gennem O uanset placeringen af AB. Opgave 3.3 Lad ABCD være en firkant hvor diagonalen BD står vinkelret på siden BC, og diagonalen AC står vinkelret på siden AD. Tegn den omskrevne cirkel til trekant ACD. Da DAC er ret, er AD diameter i cirklen. Desuden er vinkel DBC ret og spænder over diameteren AD, og dermed må B ligge på cirkelperiferien. Opgave 3.8 Da summen af modstående vinkler i indskrivelige firkanter er 180, er BRS = AP S = SQC og SQC + SRC = 180. Dermed.

15 Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 15 er SRC + SRB = 180 som ønsket. Opgave 3.9 Ifølge Ptolemæus sætning gælder at M A BC = M B AC + M C AB, og da trekant ABC er ligesidet, fås MA = MB + MC. Opgave 3.10 Bemærk at AD er diameter i cirklen, og dermed at trekanterne ACD og ABD er retvinklede. Pythagoras sætning giver dermed at DB = 3 og CD =. Ved at anvende Ptolemæus sætning får vi nu at BC = 3 1. Opgave 4.3 Kald centrum for den indskrevne cirkel for I. Arealet af trekant ABI er da 1 rc da r er højden, og c er grundlinjen. Tilsvarende er arealet for trekant ACI og BCI henholdsvis 1 rb og 1 ra. Da arealet af trekant ABC netop er summen af arealerne af disse tre trekanter, er T = 1 (a + b + c)r = sr. Opgave 4.6 Kald cirklens røringspunkt med AB for E, med AD for F og med tangenten for G. Der gælder da at EP = P G og GQ = QF. Dermed er trekantens omkreds AP + AQ + P Q = AE + AF = R. Arealet af en trekant er givet ved den halve omkreds gange radius i den indskrevne cirkel, dvs. arealet er Rr. Opgave 4.7 Da diagonalerne står vinkelret på hinanden, er AE + BE + CE + DE = AB + CD. Kald vinkel ADB for u og vinkel DAC for v. Da er DBC = v da de spænder over samme bue, og v + u = 90, dvs. sin v = cos u. To gange radius for den omskrevne cirkel i en trekant er lig med længden af den ene side divideret med sinus til den modstående vinkel. Benyttes dette på trekant ABD og trekant BCD giver dette AB = R sin u og CD = R sin v. Dette giver som ønsket AB + CD = (R) (sin u+sin v) = 4R (sin u+cos u) = 4R. Opgave 4.8 Lad n 3, og lad n 1, n og n+1 være sidelængderne i en trekant. Den halve omkreds er da 3n. Ifølge Herons formel er arealet T n = 3n ( 3n )( 3n )( 3n ) n + 1 n n 1 = n 3 4 (n 4). For n = 4 er T = 6, så vi har mindst en trekant der opfylder betingelserne. Vi viser nu at vi ud fra en trekant der opfylder betingelserne, kan konstruere endnu en trekant med den ønskede egenskab og større sidelængde. Dette giver nemlig at der findes uendeligt mange. Lad n være et lige tal, n 4, og antag at 3 4 (n 4) er et kvadrattal. Betragt trekanten med sidelængderne m 1, m og m + 1 hvor m = n. Da er m > n, m er lige, og Dermed er 3 4 (m 4) = 3 4 (m )(m + ) = 3 4 (n 4)n. T m = m 3 4 (m 4) et helt tal. Der findes altså uendeligt mange trekanter med de ønskede egenskaber. Opgave 4.9 Ifølge cosinusrelationen er cos A + cos B + cos C = b + c a bc + a + c b ac + a + b c ab

16 Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 16 Opgave 4.10 Bemærk først at (a + b c)(a + c b)(b + c a) + abc = abc 8(s a)(s b)(s c) = + 1 abc = 8 T s 8RT + 1 = r R ab + 1 ac + 1 bc = a + b + c. abc Kald arealet af trekanten for T. Da er a+b+c = T r Vi har nu a + b + c = T abc r4rt = 1 rr. som ønsket. og abc = 4RT. Opgave 4.11 Hvis vi skal vise at radius i den omskrevne cirkel til trekant ABC er dobbelt så stor som radius i den omskrevne cirkel til trekant H a H b H c, svarer det ifølge formlen for radius i den omskrevne cirkel til at vise at H a H c sin( H a H b H c ) = c sin C. Vi ønsker derfor at finde udtryk for H a H c og H a H b H c som kun afhænger af sider og vinkler i trekant ABC. Firkant AH c H a C er indskrivelig da begge diagonaler står vinkelret på en side i firkanten (se opgave 3.3). Dermed er C = 180 AH c H a = H a H c B. Nu har trekant ABC og H a BH c to ens vinkler, dvs at de er ensvinklede. Ifølge sinusrelationen benyttet på trekant H a BH c er H a H c sin B = BH a sin C. Hvis vi benytter formlen for cosinus i den retvinklede trekant AH a B, får vi yderligere Samlet giver dette H a H c = BH a = c cos B. c cos B sin B sin C = c sin(b) sin C. Her har vi benyttet formlen for sinus til den dobbelte vinkel sin(b) = sin B cos B. På samme måde som ovenfor kan man vise at trekanterne ABC, AH b H c og H a H b C er ensvinklede, og dette giver at H c H b H a = 180 B. Samlet er H a H c = H ah c sin H a H b H c sin(b) = c sin C.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

1 Trekantens linjer. Indhold

1 Trekantens linjer. Indhold Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

Geometri. 1 Trekantens linjer. Indhold

Geometri. 1 Trekantens linjer. Indhold Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 1 Geometri Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer.

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Sorø 2004. Opgaver, geometri

Sorø 2004. Opgaver, geometri Opgaver, geometri 1. [Balkan olympiade 1999]. For en given trekant ABC skærer den omskrevne cirkel BC s midtnormal i punkterne D og E, og F og G er spejlbillederne af D og E i BC. Vis at midtpunkterne

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

GeomeTricks Windows version

GeomeTricks Windows version GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Euklid Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Indledning "Matematikeren Euklid levede og virkede omtrent 300 aar

Læs mere

Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014

Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014 Sæt 05 Geometri 01 Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014 Rettes: Karakter: Rettes ikke: Set og godkendt: Samlet elevtid: 165 min. = 2,75 time

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Forslag til løsninger til opgaver i. Matematik En grundbog for lærerstuderende

Forslag til løsninger til opgaver i. Matematik En grundbog for lærerstuderende Forslag til løsninger til opgaver i Matematik En grundbog for lærerstuderende Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2 Opgave 1 Opgave 2 21 000 m 2 B. 125,66 m 2 C. 1200 m 2 D. 185 540 m 2 Opgave 3 Det betyder, at en centimeter på tegningen svarer til 100 cm i virkeligheden B. 22m 2 C. D. E. Hvis længdeforholdet ændres

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Ligedannede trekanter

Ligedannede trekanter Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version 7.1 22-08-11 Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt Arven fra Grækenland Arven

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Maria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver

Maria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver Matematik B Hjemmeopgaver 1) opgave 107c, side 115 Jeg skal tegne en trekant og estemme vinklerne A og C og siderne a, og c. Jeg har følgende mål: Jeg har ikke nok mål til at kunne regne nogle af vinklerne

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c)

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...

Læs mere

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber:

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: 8. 8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Ligebenet trekant Ligesidet trekant Retvinklet trekant Rombe Polygon Ellipse

Læs mere

Forslag til løsninger til opgaver i. Matematik En grundbog for lærerstuderende

Forslag til løsninger til opgaver i. Matematik En grundbog for lærerstuderende Forslag til løsninger til opgaver i Matematik En grundbog for lærerstuderende 1 Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der

Læs mere

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Seneste

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

Tab.23. Fig.63 og Fig.64

Tab.23. Fig.63 og Fig.64 Thomas Bugge "De første grunde til den rene eller abstrakte mathematik. Tredje og sidste Deel. Den oekonomiske og den militaire Landmaaling". Kiøbenhavn 1814.. Fig.63 og Fig.64 76 Naar der gives en ret

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Opgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007

Opgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Opgaver Kapitel 1 fra Bogen Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Dette kapitel indeholder opgaver af ret varierende sværhedsgrad. De letteste ligger i forlængelse af, hvad der

Læs mere

M I K E A U E R B A C H. c a

M I K E A U E R B A C H. c a M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Mine matematik noter C

Mine matematik noter C Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse EUKLIDS ELEMENTER... 3 Euklids sætninger fra 1. bog... 11 TREKANTER: Egenskaber og notation... 15 LIGEDANNEDE FIGURER...

Læs mere

Elementær Matematik. Plangeometri

Elementær Matematik. Plangeometri Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.

Læs mere

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave Teknisk Preben Madsen Matematik 4. udgave FACITLISTE Indhold TAL OG ALGEBRA... LIGNINGER OG ULIGHEDER... GEOMETRI... 4 TRIGONOMETRI... 5 CIRKLEN... 5 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER... 5 7 RUMFANG... 8 8 ANALYTISK

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210 1.1 Konstruktionen Denne side går lidt tættere på den hyperbolske geometri. Vi bruger programmet HypGeo, og forklarer nogle geometriske konstruktioner, som i virkeligheden er de samme, som man kan udføre

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

i matematikundervisningen medianer, vinkelhalveringslinier samt center- og periferivinkler i regulære polygoner IT-færdighedsniveau

i matematikundervisningen medianer, vinkelhalveringslinier samt center- og periferivinkler i regulære polygoner IT-færdighedsniveau i matematikundervisningen medianer, vinkelhalveringslinier samt center- og periferivinkler i regulære polygoner IT-færdighedsniveau Dette E-læringsmodul er udarbejdet af: Jacob Kjær Hansen Tommerup Skole

Læs mere