brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt"

Transkript

1 brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

2 brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk. Læs nærmere om dette på eller kontakt nedenstående adresse. bernitt-matematik.dk Fjordvej Holbæk

3 Forord Hæftet er et af ni, der er udarbejdet til undervisning på VUC på niveauerne F+E+D og dette indeholder kernestoffet, som det er beskrevet om geometri i undervisnings-vejledningen om trin F. Dette er en beta-udgave, der er udarbejdet med baggrund i den vejledningen om undervisning på VUC, der udkom i I forhold til de faglige krav, der viser sig at blive stillet ved de fremtidige skriftlige prøver efter trin D kan der være fag-indhold, der mangler og der kan være fag-indhold, der senere viser sig ikke er være relevant. bernitt-matematik.dk fralægger sig ethvert ansvar for eventuelle følger af at anvende hæftet. Siderne er opbygget således, at først vises med eksempler og derefter er der opgaver man skal løse. Man behøver ikke løse alle opgaverne. Hvis man har forstået eksemplerne og man kan se at man uden problemer kan løse opgaverne, kan de springes over. En del af opgaverne er bearbejde eksamensopgaver fra HF fra årene Dette er gjort for at man kan stifte bekendtskab med sprogbrugen og dermed lette overgangen til det gymnasiale niveau C. På side 28 er en facitliste. Der kan man se forslag til løsning på de opgaver, hvor der foretages beregninger eller målinger.

4 Halveringslinier Eksempel 1: Du skal halvere vinklen ved at konstruere dens vinkelhalveringslinie og du skal halvere liniestykket ved at konstruere dets midtnormal. Du må ikke bruge vinkelmåler eller lineal Forklaring: Vinkelhalveringslinien er lavet sådan: - indstil passeren til en tilfældig radius og tegn to små cirkelbuer, der har vinkelspidsen som centrum og som skærer vinkelbenene. - flyt passeren til buernes skæringspunkter med vinkelbenene og tegn én bue fra hvert sted sådan at de skærer hinanden i vinkelrummet. - vinkelhalveringslinien kan nu tegnes fra vinkelspidsen gennem krydset. Midtnormalen er lavet sådan: - indstil passeren på en tilfældig radius og tegn med centrum i hvert af liniestykkets endepunkter en cirkelbue på hver sin side af liniestykket. Derved laves to krydser. - midtnormalen kan nu tegnes gennem de to krydser Man konstruerer vinkelhalveringslinier og midtnormaler når man har brug for større præcision end den man kan opnå med vinkelmåler og lineal. Og så kan metoden også bruges i stor målestok hvor man som passer kan bruge en snor, der holdes fast i den ene ende. 4

5 1 Tegn en vinkel på 75. Konstruer vinklens vinkelhalveringslinie. 2 Tegn et liniestykke på 6 cm. Konstruer liniestykkets midtnormal. 3 Tegn et kvadrat med sidelængden 5 cm. Konstruer vinkelhalveringslinier til de fire vinkler. 4 Tegn et rektangel med sidelængderne 3 cm og 6 cm. Konstruer de fire siders midtnormaler. 5 Tegn en rombe, hvor en af vinklerne er 65 og sidelængden er 4 cm. Konstruer vinkelhalveringslinier til de fire vinkler. 6 Tegn et parallelogram med en grundlinie på 6 cm, en højde på 4 cm og en vinkel ved grundlinien på 120. Konstruer de fire siders midtnormaler. 7 Tegn en lige benet trekant, hvor benene er 4 cm og topvinklen er 40. Konstruer topvinklens vinkelhalveringslinie. 8 Tegn en ligesidet trekant, hvor sidelængden er 5 cm. Konstruer de tre midtnormaler. 5

6 Indskreven og omskreven cirkel Eksempel: Du skal lave en cirkel, der ligger inden i en trekant og rør ved dens tre sider. Du skal også lave en cirkel, der går igennem en trekants tre vinkelspidser. Forklaring: En trekants tre vinkelhalveringslinier skær hinanden i ét punkt. Dette er centrum for en cirkel, der rør ved trekantens sider. Den kaldes for den indskrevne cirkel. En trekants tre midtnormaler skær også hinanden i det samme punkt.dette er centrum for en cirkel, der går i gennem vinkelspidserne. Den kaldes for den omskrevne cirkel. 1 Tegn en trekant hvor: en af vinklerne er 50 og de to sider, der danner denne vinkel er 4 cm og 5 cm. Konstruer trekantens omskrevne cirkel. 2 Tegn en trekant hvor: en af vinklerne er 70 og de to sider, der danner denne vinkel er 6 cm og 7 cm. Konstruer trekantens indskrevne cirkel. 6

7 3 Tegn en trekant hvor: en af vinklerne er 120 og de to sider, der danner denne vinkel er 5 cm og 4 cm. Konstruer trekantens omskrevne cirkel. 4 Tegn en trekant hvor: en af vinklerne er 110 og de to sider, der danner denne vinkel er 6 cm og 7 cm. Konstruer trekantens indskrevne cirkel. 5 Tegn et kvadrat, hvor sidelængden er 5 cm. Undersøg om man kan konstruere en indskreven og en omskreven cirkel til et kvadrat (Facit på side 23). 6 Tegn et rektangel, hvor sidelængden er 4 cm og 6 cm. Undersøg om man kan konstruere en omskreven og en indskreven cirkel til et rektangel (Facit på side 23). 7 Tegn en rombe, hvor en af vinklerne er 60 og sidelængden er 6 cm (Facit på side 22). Undersøg om man kan konstruere en indskreven og en omskreven cirkel til en rombe. 8 Tegn et parallelogram, hvor sidelængderne er 6 cm og 8 cm og en af vinklerne er 60. Undersøg om man kan konstruere en indskreven og en omskreven cirkel til et parallelogram (Facit på side 23). 7

8 Regulær polygon Eksempel: Du vil tegne grundplanen for et sekskantet lysthus. De seks sider skal være lige lange. Diagonalerne mellem vinkelspidser, der ligger modsat hinanden skal være 6 m. Diagonalernes topvinkler: 360 : 6 = 60 Forklaring: En figur, hvor alle sider er lige lange kaldes for en regulær polygon. En diagonal er en linie, der forbinder to vinkelspidser. Regulære polygoner kan opdeles i et antal ens trekanter hvor grundlinierne er siderne i polygonen. Når man skal tegne en regulær polygon kan man derfor gøre sådan: - tegn en cirkel med den ønskede størrelse. - del cirklens gradmål med antallet af sider i polygonen (ved en seks-kant bliver det 60 ) - tegn linier fra centrum og ud til cirkelbuen der danner vinkler med dette gradtal. - forbind liniernes skæringspunkter med cirkelbuen med hinanden og polygonen er tegnet. 8

9 1 Du vil lave en fliseplads til et tørrestativ. Pladsen skal være formet som en regulær femkant med en afstand fra midten til hver spids på 1,5 m. Lav en tegning af tørrepladsen hvor 1 cm på tegningen svarer til 10 cm i virkeligheden. Hvad bliver femkantens sidelængde? 2 Du vil lave en roset som vist med en skitse her. Den er tegnet ud fra en regulær ottekant og en regulær firkant. Tegn en roset som den viste ud fra en cirkel med radius på 8 cm. 3 Du har en gammel bordplade med mål som vist herunder: Du vil bruge den til at lave et sekskantet bord, hvor de seks sider skal være lige lange. Du går sådan: Lav en tegning af bordpladen. Find bordpladens midte ved at tegne sidernes midtnormaler. Tegn en ligebenet trekant med bordets midte som topvinkel. Topvinklen skal være 360 : 6. Trekantens grundlinie skal ligge på bordpladens grundlinie. Tegn en cirkel med bordets midte som centrum og som går igennem de to vinkelspidser ved trekantens grundlinie. Brug cirklen til at tegne sekskanten færdig. 9

10 Linier og cirkler Eksempel 1: Du skal tegne en linie der netop rør en cirkel. Forklaring: En linie der netop rør en cirkel kaldes en tangent. Man kan konstruere den sådan: - tegn en linie fra centrum og ud igennem det punkt som tangenten skal røre cirklen i. - sæt passeren i punktet og afmærk det sted på linien der ligger lige så langt væk fra centrum. - tangenten er midtnormalen til dette liniestykke. 1 Du skal tegne en sekskant, der er omskrevet en cirkel der har radius på 5 cm. Du gør sådan: Tegn seks tangenter til cirklen. Tangenternes røringspunkter med cirklen skal ligge forskudt med 60 i forhold til hinanden. 2 Tegningen herunder er en skitse af en bordplade. Lav en tegning af bordpladen, hvor 1 cm svarer til 10 cm i virkeligheden. 10

11 Eksempel 2: Du har en tegning af en cirkel. Du skal finde centrum. Forklaring: Når man skal finde centrum i en cirkel kan man gøre sådan: - tegn en linie der skær cirkelbuen i to punkter (den kaldes en sekant). Derved får man et liniestykke, der rækker mellem to steder på cirkelbuen (det kaldes en korde). - konstruer kordens midtnormal. Dermed opstår en ny korde. Midt på denne ligger centrum. 1 Brug et glas eller et krus til at tegne en cirkel. Find cirklens centrum. 2 Du har en lille rund plads, hvor der på midten skal stå en flagstang. Du skal finde pladsens centrum og har en snor til rådighed. Hvordan vil du gøre? 11

12 Ligedannethed Eksempel 1: Du har to trekanter der har ens vinkler, men hvor siderne har forskellig længde. Du kender sidelængderne i den ene trekant men kun én sidelængde i den anden. Du vil finde de to andre sidelængder. Forholdet mellem længderne: = 3 : 4 Siden c: 3,8 : 3. 4 = 5,1 cm Siden a: 2,8 : 3. 4 = 3,7 cm Forklaring: Når to figurer har vinkler med samme størrelse kalder man dem for ligedannede (har samme facon). Der vil så være et bestemt forhold mellem deres længdemål. Forholdet kan skrives som forholdstal fx 3 : 4 (læses som: tre til fire ) og forholdstallene kan bruges til at finde mål man ikke kender. Læg i øvrigt mærke til hvordan vinkelspidserne og siderne er navngivet i eksemplet: Vinkelspidserne har store bogstaver som navn og siderne overfor det tilsvarende lille bogstav. Det er den almindelige måde at navngive vinkelspidser og sider i figurer. 1 Tegn en trekant hvor: Vinkel A = 60, siden b = 3 cm og c = 5 cm Tegn en anden trekant der er ligedannet med den første og hvor siden b = 4,5 cm. 12

13 2 Du vil lave et havebord af brædder. Bordet skal være otte-kantet og de otte sider skal være 50 cm. Du gør sådan: Tegn en regulær ottekant i en cirkel med radius 4 cm. Mål sidelængden i ottekanten (Facit på side 23). Hvor mange gange større skal dit bord være i forhold til tegningen (Facit på side 23)? Hvor stor skal radius være til dit bord (Facit på side 23)? 3 Tegningen herunder er en skitse af et træskelet, der skal bruges til at bære gavlen i et hus. Find længden på de tre lodrette trælister (Facit på side 23). 4 Du vil lave et træstativ til en klatrerose. Stativet skal have den facon du ser herunder. Lav en tegning af stativet og find længden af de 9 lister, der skal bruges (Facit på side 23). 13

14 Eksempel 2: Du skal konstruere en trekant, der er ligedannet med den sorte trekant. Forholdet mellem den sorte trekant og den nye skal være som 2 : 3. OA : 2,0 : 2. 3 = 3,0 cm OB : 1,1 : 2. 3 = 1,7 cm OC : 4,0 : 2. 3 = 6,0 cm Forklaring: Den blå trekant er konstrueret sådan: - punktet O afsættes i passende afstand fra den sorte trekant. - fra punktet O trækkes linier gennem den sorte trekants vinkelspidser. - afstanden fra punktet O til hver af vinkelspidserne måles og afstanden til de nye vinkelspidser udregnes ved hjælp af forholdstallene for størrelsesforholdet mellem den oprindelige trekant og den nye. - den nye trekants vinkelspidser afsættes på hjælpelinierne og vinkelspidserne forbindes. Metoden kaldes for multiplikation af figuren. Udtrykket: OA er en kort skriveform for ordene: Størrelsen af liniestykket fra O til A. 1 Tegn en trekant hvor: Vinkel A = 60, vinkel C = 80 og siden b = 5 cm. Afsæt et punkt O og fremstil ud fra dette en ny trekant, der er ligedannet med den første i forholdet 1 : 2. 14

15 2 Tegn en trekant hvor: Vinkel A = 80, vinkel B = 40 og siden c = 6 cm. Afsæt et punkt inde i trekanten og brug dette til at lave en ny trekant, der er ligedannet med den første i forholdet 2 : 3. Hvordan ligger den nye trekant placeret i forhold til den første (Facit på side 22)? 3 Tegn en ligesidet trekant hvor sidelinien er 4 cm. Brug de tre vinkelspidser til at lave tre nye trekanter, der er ligedannet med den første i forholdet 2 : 3. Forestil dig at du klipper den nye figur ud og folder langs den oprindelige trekants sider. Hvilken figur danner det (Facit på side 22)? 4 Se mønsteret herunder. Hvordan ville du lave det (Facit på side 22)? 5 Se perspektiv tegningen herunder. Hvordan kan den være lavet (Facit på side 22)? Lav selv en perspektiv tegning af en trekantet kasse. Brug figuren her som udgangspunkt: 15

16 Parallelforskydning og drejning Eksempel 1: Du skal flytte den sorte trekant 3 cm mod højre Forklaring: Man kan flytte en figur sådan: - tegn en linie på den modsatte side af den retning figuren skal flyttes i og i en passende afstand fra figuren. - træk hjælpelinier vinkelret gennem figurens vinkelspidser. - afsæt den nye figurs vinkelspidser i den angivne afstand på disse hjælpelinier og forbind disse. En flytning, der er lavet på denne måde kaldes en parallelforskydning fordi siderne i den nye figur ligger parallelt med siderne i den oprindelige figur. Ved parallelforskydning ændrer figuren ikke facon og størrelse. Man siger at de to figurer er kongruente (ens). 1 Tegn en trekant hvor: Vinkel A er 70, vinkel B er 40 og siden c er 6 cm. Parallelforskyd trekanten 5 cm mod højre. 2 Tegn en ligebenet trekant med ben, der er 4 cm og en topvinkel, der er 70. Tegn en linie der er parallel med et af benene. Parallelforskyd trekanten 3 cm i forhold til linien. 16

17 Eksempel 2: Du skal dreje den sorte trekant 90 mod højre omkring punktet A. Forklaring: Man kan dreje en figur omkring et punkt sådan: - tegn linier fra figurens vinkelspidser gennem punktet. - tegn nye hjælpelinier (de stiplede), der danner den angivne vinkel med de første linier. - afsæt den nye figurs vinkelspidser på de nye hjælpelinier i samme afstand som de oprindelige vinkelspidser lå i. - tegn den nye figur. Også ved en drejning ændrer figuren hverken facon eller størrelse og de to figurer er kongruente. 1 Tegn en trekant hvor: Vinkel A er 50, vinkel B er 70 og siden c er 6 cm. Afmærk et punkt i forlængelse af siden c og i en afstand på 3 cm fra B. Drej trekanten 120 mod højre omkring punktet. 2 Tegn en rombe med sidelængden 4 cm og hvor en af vinklerne er 60. Find det punkt hvor diagonalerne skærer hinanden. Drej romben 90 mod venstre omkring punktet. 17

18 Spejling Eksempel 1: Du skal spejle den sorte trekant i den blå linie. Forklaring: Man kan spejle en figur i en linie sådan: - tegn hjælpelinier fra figurens vinkelspidser vinkelret på den linie, der skal spejles i. - afsæt den nye figurs vinkelspidser på hjælpelinierne i samme afstand fra linien som de oprindelige vinkelspidser. - tegn den nye figur. Man kalder den linie der spejles i for spejlingsaksen. De to figurer er ikke kongruente men symmetriske. 1 Tegn en trekant hvor: Vinkel A er 40, vinkel B er 80 og siden c er 4 cm. Tegn en linie parallel med siden c, 5 cm væk fra den og spejl trekanten i denne linie. 2 Tegn et parallelogram hvor de parallelle sider er 4 cm og 6 cm og en af vinklerne er 70. Spejl parallelogrammet i en af de sider, der er 4 cm. 3 Tegn en retvinklet trekant, hvor de to sider, der danner den rette vinkel er 3 cm og 5 cm. Spejl trekanten i den side der er 5 cm. 18

19 Eksempel 2: Du skal spejle den sorte trekant i punktet A. Forklaring: Man kan spejler en figur i et punkt sådan: - tegn hjælpelinier fra figurens vinkelspidser og igennem punktet. - afsæt den nye figurs vinkelspidser i samme afstand fra punktet som de oprindelige ligger. - tegn den nye figur. 1 Tegn en trekant hvor: Vinkel A er 120, vinkel B er 40 og siden c er 6 cm. Afsæt et punkt der ligger 5 cm fra A og 5 cm fra B og spejl trekanten i dette punkt. 2 Tegn en retvinklet trekant hvor de to sider der danner den rette vinkel er 5 cm og 6 cm. Spejl trekanten i den vinkelspids der er ret. 3 Tegn en rombe, hvor sidelinien er 4 cm og en af vinklerne er 120. Spejl romben i en af dens spidse vinkler. 19

20 Phytagoras sætning Eksempel 1: Du skal konstruere trekanten herunder. For at kunne konstruere den er du nødt til at finde længden af den vandrette katete. Du bruger Phytagoras sætning: c 2 = a 2 + b 2 c 2 = a 2 + b = b 2 25 = 9 + b = b 2 16 = b 2 = b 4 = b Den vandrette katete skal altså være 4 cm. Forklaring: Phytagoras sætning fortæller om sammenhængen mellem de tre sider i en retvinklet trekant. Sætningen bruges i to situationer: - til at finde den sidste side i en retvinklet trekant når man kender de to andre. - til at bevise om en trekant er retvinklet. 1 Se rektanglet på skitsen herunder: Hvor lange skal de vandrette sider være? 20

21 2 Se skitsen af en rombe herunder. Sammenhængen mellem længden af diagonalerne og rombens sidelængde kan beskrives ved hjælp af Phytagoras sætning. Romber konstrueres nemmest, hvis man kender længden af de to diagonaler så man kan starte med at tegne disse. En rombe skal have sidelængden 5 cm og den lodrette diagonal skal være 8 cm. Find længden på den vandrette diagonal (Facit side 23) og tegn romben. 3 En skorsten er formet som et rør, der spidser til. Skorstenens højde skal være 150 m høj og tværmålet i bunden skal være 25 m og i toppen 6 m. Tegn en skitse af et tværsnit af skorstenen. Find længden af den skrå sidelinie (Facit side 23). 4 Du har rejst en stolpe og vil kontrollere om den står lodret ved hjælp af et målebånd: Til hvilken side skal stolpens top trækkes (Facit side 23)? 21

22 Cosinus, sinus og tangens Cosinus, sinus og tangens er tre funktioner, der er lavet for at kunne beregne sider og vinkler i trekanter. Cosinus og sinus kan vises på en trekant som den herunder. B 1 sinus(v) v A C cosinus(v) Trekanten er retvinklet, har en vinkel A, der måler v og en hypotenuse med længden 1. Cosinus(v) er længden af den katete, der ligger ved vinklen (co- betyder.sammen med.) og Sinus(v) er den modstående katete. Med en lommeregner kan man beregne de to kateters længde når v f.eks. er 30º. Lommeregneren skal have taster med betegnelsen cos og sin. Kateten AC: cos(30º) = 0,86603 Kateten CB: sin(30º) = 0,50000 Da alle retvinklede trekanter med en vinkel v er ensvinklede kan cosinus og sinus bruges på alle retvinklede trekanter også trekanter der ikke har en hypotenuse på 1. Formlerne herunder kan bruges. I den nederste formel er en funktion, der er afledt af cosinus og sinus. Den hedder tangens og findes også på lommeregnere. På side 30 er en mere grundig forklaring til funktionerne cosinus, sinus og tangens samt formlerne herover. Eksempel Beregn AC i den viste trekant. B sin A = c a cos A = A b C tan A = a c b c a b DEMO Demo a Løsning tan A = b 22 tan(25,0º) = 7,0 b b tan(25,0º) = 7,0 b 0,46631 = 7,0 b = 7,0 : 0,46631 = 15,0

23 1. I trekant ABC er vinkel C = 90 og vinkel A er 30 AB = 10,9. B 10,9 A 30 C Beregn AC og BC 2. I trekant ABC er vinkel C = 90 og vinkel B = 40 og AB = 8,2 8,2 B 40 AB Demo A C Beregn BC og AC 3. I trekant ABC er vinkel B = 90, og vinkel C = 35 og AC = 4,3 B 35 A 4,3 C Beregn BC og AB 4. I trekant ABC er vinkel C = 90 og vinkel B = 40 og AC = 10,2 B 40 A C 10,2 Beregn BC og DEMO 23

24 Beregning af vinkler Formlerne på side 8 kan også bruges til at beregne vinklerne i en retvinklet trekant, hvis man kender sidernes længde. Eksempel Beregn vinkel A i trekanten herunder. A 8,0 6,0 Løsning tan(a) = 6 0, = 0,75 8, 0 Lommeregneren har en tast med den modsatte funktion af tan. Denne kan bruges til at finde den vinkel, der har tangens 0,75 tan -1 (tan(a)) = tan -1 (0,75) A = 36,9º I opgaverne på de følgende sider skal alle de gennemgåede regnemetoder anvendes. 1. Figuren viser en firkant ABCD, hvor diagonalen BD er indtegnet. Nogle af målene er anført på figuren. Beregn vinkel D i trekant ABD. Beregn de resterende sider i firkant ABCD. DEMO Demo 2. Figuren viser en trekant ABC, hvor vinkel C er ret. Punktet D ligger på siden AC, og punktet E ligger på siden AB, således at vinkel E er ret. AD = 6,5, ED = 2,8 og BC = 8,0 Beregn vinkel A Beregn AC. Beregn hver af vinklerne w og u. 24

25 3. I trekant ABC er vinkelc = 142,0 og AC = 10,9. Det oplyses desuden, at længden af højden BH er 5,8. Bestem BC og CH. Bestem AB samt vinklerne A og B i trekant ABC. 4. Figuren viser en skitse af en parkeringsplads, hvor parkeringsbåsene er placeret, så de danner en vinkel på 60 med kørselsretningen. Hver parkeringsbås er rektangulær og har en bredde på 2,30 m og en længde på 5,00 m. Beregn DE, AB og BC. Hvor mange parkeringsbåse er der plads til på en 50 m lang parkeringsplads, når båsene placeres som vist på figuren? 5. Figuren viser en trekant ABC, hvor vinkel C er ret, AC = 10,0 og AB = 25,1. Beregn BC. Beregn vinkel A i trekant ABC. DEMO Demo Punktet P ligger på siden BC, og linjestykket AP halverer vinkel A. Punktet Q ligger på siden AB, og linjestykket PQ står vinkelret på siden AB. Beregn PA og PQ. 25

26 6. Figuren viser en trekant ABC, hvor AC = 2,5 og A = 25,2. Det oplyses desuden, at længden af højden BD er 2,7. Bestem AB og AD. Bestem de resterende sider og vinkler i trekant ABC. 7. En sejlbåd ligger for anker i positionen B på 9,0 meter dybt vand. Ankeret er i positionen A, og ankertovet AB har længden 15,0 meter. Se figur 1. Beregn AC samt den vinkel v, som ankertovet danner med havbunden. For at forhindre at ankeret flytter sig, anbefales det, at den vinkel, som ankertovet danner med havbunden, er højst 20º. Der anbringes derfor et blylod i ankertovets midtpunkt L, således at vinklen v bliver 20º. Sejlbåden flytter sig herved fra positionen B til positionen B1. Se figur 2. DEMO Demo Beregn AD Beregn LD 26

27 8. C A H B Arealet af trekant ABC er 2205, længden af siden AC er 58 og længden af højden fra C er 42. Beregn Vinkel A og AB Beregn AH og BC 9. Figuren viser et tværsnit af en diamant, som den skal slibes, for at lyset brydes og reflekteres på den rigtige måde. Forskellige mål fremgår af figuren. Beregn vinklen u og længden af ED. Beregn længden af BC og længden af AB. 10. DEMO Demo Figuren viser en trekant ABC; hvor AH er højden fra A på siden BC. Det oplyses at vinkel B = 43,3 o, AC = 4,7 og CH = 2,1 Beregn AH Beregn AB.og BH. 27

28 Facit Tegninger er udeladt. I opgaver hvor løsningen findes ved måling på en tegning vil der altid være en usikkerhed om det nøjagtige mål. Man kan derfor godt have mål, der afviger lidt fra de der står i facitlisten uden at det er forkert. Facit er afrundet, så de svarer til den afrunding oplysningerne i opgaverne har. Side 7 5. Det kan man. 6. Det kan man ikke. 7. Indskreven cirkel: Ja. Omskreven cirkel: Nej. 8. Det kan man ikke. Side cm. Side Brug først snoren som lineal til at tegne en sekant til cirklen. Brug den derefter som passer til at finde sekantens midtnormal, der er korde i cirklen. Brug til sidst snoren som passer til at finde kordens midtpunkt. Side cm 16,7 gange. 67 cm 3. 0,5 m, 1,0 m og 1,5 m cm, 60 cm og 90 cm. Side Den nye trekant ligger udenom den oprindelige. 3. En lille kasse med trekantet bund DEMO Demo 4. Man har multipliceret den lille trekant med tallene 2 og 3 ud fra et punkt liggende midt i trekanten. 5. Man har multipliceret det kvadrat den danner bagsiden ud fra et punkt, der ligger op til venstre for kvadratet. 28

29 Side ,4 og 5,2 2. 6,3 og 5,3 3. 3,7 og 2, ,2 og 15,9 Side AB = 6,9 CD = 11,8 BC = 5,5 70, ,5 16,8 56 og 8,6 Side ,4 og 7,4 19,2 17,6 20,4 4. 2,5 m 2,0 m 2,7 m ,0 66,5 12,0 og 6,6 82,8 Side ,3 og 5,7 vinkel C = 129,2 vinkel B = 25,6 CB = 3, m 30 7,0 m 2,7 m Side ,3 og 191 mm 1,31 mm 1,41 mm DEMO Demo 10. 4,2 6,1 og 4,4 13,7 29

30 Apendix Enhedscirklen Cosinus, sinus og tangens kan vises i et koordinatsystem, hvori der er tegnet en cirkel med radius 1: sin v 1 P = (cos v, sin v) 30 v cos v Gennem (0,0) tegnes en ret linie, der danner vinklen v med 1. aksen. Hvor denne linie skærer cirklen er punktet P. Koordinatsættet til punktet P defineres som (cos v, sin v) svarende til at kateterne i den skraverede retvinklede trekant, har længderne cos v og sin v. Af tegningen kan følgende ses om sammenhængen mellem vinklen v, cos v og sin v: v cos v sin v ]0 ; 90 [ går fra 1 til 0 går fra 0 til ]90 ; 180 [ går fra 0 til 1 går fra 1 til ]180 ; 270 [ går fra 1 til 0 går fra o til < v < 360 går fra 0 til 1 går fra 1 til 0 DEMO Demo I forbindelse med retvinklede trekanter er det kun intervallet ]0 ; 90 [, der har interesse.

31 Formler for retvinklede trekanter Ved sammenligning af en tilfældig retvinklet trekant tegnet i enhedscirklen og en tilfældig anden ligedannet trekant, kan man udlede formler for enhver retvinklet trekant: B v P c 1 a sin v v cos v A b C Da trekanterne er ens-vinklede har vi: cos v sin v 1 = = b a c Dette udtryk kan opdeles: cos v 1 (1) = b c sin v 1 (2) = a c sin v cos v (3) = a b (1) kan omdannes sådan: cos v 1 = b c b cos v = c (2) kan omdannes sådan: sin v 1 = a c a sin v = c DEMO Demo (3) kan omdannes sådan: sin v cos v = a b sin v a = cos v b sin v Udtrykket defineres som tangens v og dermed er cos v a tan v = b 31

32 Tangens og enhedscirklen Årsagen til at forholdet mellem sinus og cosinus kaldes tangens kan findes i tegningen af enhedscirklen: (1, tan v) v Det kan vises at: når man tegner en tangent til cirklen gennem (1,0) da vil denne skære linien, der sin v danner vinklen v i punktet (1, ) og som er defineret som (1, tan v). cos v Det røde liniestykke på tegningen har længden tan v. Det kan af tegningen ses, at tangens går fra 0 til uendelig, når vinkel v går fra 0 til 90 DEMO Demo 32

33 DEMO Demo 33

34 ISBN: Demo 34 DEMO

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, basis+g ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

geometri basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri G ISBN: 978-87-92488-15 2 1. udgave som E-bog til tablets 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

matematik grundbog basis preben bernitt

matematik grundbog basis preben bernitt 33 matematik grundbog basis preben bernitt 1 matematik grundbog basis ISBN: 978-87-92488-27-5 2. udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 1 ISBN: 978-87-92488-17-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

brikkerne til regning & matematik areal og rumfang F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik areal og rumfang F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang,f ISBN: 978-87-92488-18-3 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

areal og rumfang trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 2 ISBN: 978-87-92488-18-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 Demo-udgave 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er

Læs mere

koordinatsystemer og skemaer

koordinatsystemer og skemaer brikkerne til regning & matematik koordinatsystemer og skemaer basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik Koordinatsystemer og skemaer, basis 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

GeomeTricks Windows version

GeomeTricks Windows version GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, F+E+D ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, basis ISBN: 978-87-92488-07-7 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

potenstal og rodtal F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

potenstal og rodtal F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 1. udgave som E-bog til tablets 2012 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber:

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: 8. 8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Ligebenet trekant Ligesidet trekant Retvinklet trekant Rombe Polygon Ellipse

Læs mere

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 ISBN: 978-87-92488-28-2 1. udgave som E-bog 2006 by bernitt-matematik.dk Kopiering af

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Mine matematik noter C

Mine matematik noter C Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:

Læs mere

sprog og arbejdsmetode

sprog og arbejdsmetode brikkerne til regning & matematik sprog og arbejdsmetode F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik sprog og arbejdsmetodde F+E+ D ISBN: 978-87-92488-36-7 1. udgave som E-bog til tablets 2012

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne median 50% halvdel geometri i tredje 3 rumfang normal 90 grader underlig indskrevet kilogram (kg) bage forkortelse tusinde (1000) rumfang beholder fylde liter passer ben sds bredde deci centi lineal tiendedel

Læs mere

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210 1.1 Konstruktionen Denne side går lidt tættere på den hyperbolske geometri. Vi bruger programmet HypGeo, og forklarer nogle geometriske konstruktioner, som i virkeligheden er de samme, som man kan udføre

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c)

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, G ISBN: 978-87-9288-11-4 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Hop videre med. Udforskning af opgaverne for 6. og 7. klassetrin i Danmark. 1 a) Tegn alle de mulige symmetriakser på vejskiltene.

Hop videre med. Udforskning af opgaverne for 6. og 7. klassetrin i Danmark. 1 a) Tegn alle de mulige symmetriakser på vejskiltene. Hop videre med Udforskning af opgaverne ne bygger videre på opgaver fra Kænguruen og lægger op til, at klassen sammen kan diskutere og udforske problemstillingerne. Opgavenumrene henviser til de opgaver,

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel system lov retning højre nedad finde t system rod orden nøjagtig præcis

Læs mere

brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Flytninger og mønstre

Flytninger og mønstre Flytninger og mønstre KTIVITET ESKRIV MØNSTRE FLYTNINGER OG MØNSTRE 9 I dette kapitel skal du arbejde med flytninger og mønstre i planen. Der findes mønstre overalt omkring os. Det er indenfor kunst og

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

KonteXt +5, Kernebog

KonteXt +5, Kernebog 1 KonteXt +5, Lærervejledning/Web Facit til KonteXt +5, Kernebog Kapitel 3: Vinkler og figurer Version september 2015 Facitlisten er en del af KonteXt +5; Lærervejledning/Web KonteXt +5, Kernebog Forfattere:

Læs mere

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 - 2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

GEOMETRI I PLAN OG RUM

GEOMETRI I PLAN OG RUM LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Navne på figurer På siden arbejder eleverne med navnene på forskellige

Læs mere

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal, trin 2 ISBN: 978-87-92488-06-0 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger G ISBN: 978-87-92488-07-7 10. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere