brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt"

Transkript

1 brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

2 brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk. Læs nærmere om dette på eller kontakt nedenstående adresse. bernitt-matematik.dk Fjordvej Holbæk

3 Forord Hæftet er et af ni, der er udarbejdet til undervisning på VUC på niveauerne F+E+D og dette indeholder kernestoffet, som det er beskrevet om geometri i undervisnings-vejledningen om trin F. Dette er en beta-udgave, der er udarbejdet med baggrund i den vejledningen om undervisning på VUC, der udkom i I forhold til de faglige krav, der viser sig at blive stillet ved de fremtidige skriftlige prøver efter trin D kan der være fag-indhold, der mangler og der kan være fag-indhold, der senere viser sig ikke er være relevant. bernitt-matematik.dk fralægger sig ethvert ansvar for eventuelle følger af at anvende hæftet. Siderne er opbygget således, at først vises med eksempler og derefter er der opgaver man skal løse. Man behøver ikke løse alle opgaverne. Hvis man har forstået eksemplerne og man kan se at man uden problemer kan løse opgaverne, kan de springes over. En del af opgaverne er bearbejde eksamensopgaver fra HF fra årene Dette er gjort for at man kan stifte bekendtskab med sprogbrugen og dermed lette overgangen til det gymnasiale niveau C. På side 28 er en facitliste. Der kan man se forslag til løsning på de opgaver, hvor der foretages beregninger eller målinger.

4 Halveringslinier Eksempel 1: Du skal halvere vinklen ved at konstruere dens vinkelhalveringslinie og du skal halvere liniestykket ved at konstruere dets midtnormal. Du må ikke bruge vinkelmåler eller lineal Forklaring: Vinkelhalveringslinien er lavet sådan: - indstil passeren til en tilfældig radius og tegn to små cirkelbuer, der har vinkelspidsen som centrum og som skærer vinkelbenene. - flyt passeren til buernes skæringspunkter med vinkelbenene og tegn én bue fra hvert sted sådan at de skærer hinanden i vinkelrummet. - vinkelhalveringslinien kan nu tegnes fra vinkelspidsen gennem krydset. Midtnormalen er lavet sådan: - indstil passeren på en tilfældig radius og tegn med centrum i hvert af liniestykkets endepunkter en cirkelbue på hver sin side af liniestykket. Derved laves to krydser. - midtnormalen kan nu tegnes gennem de to krydser Man konstruerer vinkelhalveringslinier og midtnormaler når man har brug for større præcision end den man kan opnå med vinkelmåler og lineal. Og så kan metoden også bruges i stor målestok hvor man som passer kan bruge en snor, der holdes fast i den ene ende. 4

5 1 Tegn en vinkel på 75. Konstruer vinklens vinkelhalveringslinie. 2 Tegn et liniestykke på 6 cm. Konstruer liniestykkets midtnormal. 3 Tegn et kvadrat med sidelængden 5 cm. Konstruer vinkelhalveringslinier til de fire vinkler. 4 Tegn et rektangel med sidelængderne 3 cm og 6 cm. Konstruer de fire siders midtnormaler. 5 Tegn en rombe, hvor en af vinklerne er 65 og sidelængden er 4 cm. Konstruer vinkelhalveringslinier til de fire vinkler. 6 Tegn et parallelogram med en grundlinie på 6 cm, en højde på 4 cm og en vinkel ved grundlinien på 120. Konstruer de fire siders midtnormaler. 7 Tegn en lige benet trekant, hvor benene er 4 cm og topvinklen er 40. Konstruer topvinklens vinkelhalveringslinie. 8 Tegn en ligesidet trekant, hvor sidelængden er 5 cm. Konstruer de tre midtnormaler. 5

6 Indskreven og omskreven cirkel Eksempel: Du skal lave en cirkel, der ligger inden i en trekant og rør ved dens tre sider. Du skal også lave en cirkel, der går igennem en trekants tre vinkelspidser. Forklaring: En trekants tre vinkelhalveringslinier skær hinanden i ét punkt. Dette er centrum for en cirkel, der rør ved trekantens sider. Den kaldes for den indskrevne cirkel. En trekants tre midtnormaler skær også hinanden i det samme punkt.dette er centrum for en cirkel, der går i gennem vinkelspidserne. Den kaldes for den omskrevne cirkel. 1 Tegn en trekant hvor: en af vinklerne er 50 og de to sider, der danner denne vinkel er 4 cm og 5 cm. Konstruer trekantens omskrevne cirkel. 2 Tegn en trekant hvor: en af vinklerne er 70 og de to sider, der danner denne vinkel er 6 cm og 7 cm. Konstruer trekantens indskrevne cirkel. 6

7 3 Tegn en trekant hvor: en af vinklerne er 120 og de to sider, der danner denne vinkel er 5 cm og 4 cm. Konstruer trekantens omskrevne cirkel. 4 Tegn en trekant hvor: en af vinklerne er 110 og de to sider, der danner denne vinkel er 6 cm og 7 cm. Konstruer trekantens indskrevne cirkel. 5 Tegn et kvadrat, hvor sidelængden er 5 cm. Undersøg om man kan konstruere en indskreven og en omskreven cirkel til et kvadrat (Facit på side 23). 6 Tegn et rektangel, hvor sidelængden er 4 cm og 6 cm. Undersøg om man kan konstruere en omskreven og en indskreven cirkel til et rektangel (Facit på side 23). 7 Tegn en rombe, hvor en af vinklerne er 60 og sidelængden er 6 cm (Facit på side 22). Undersøg om man kan konstruere en indskreven og en omskreven cirkel til en rombe. 8 Tegn et parallelogram, hvor sidelængderne er 6 cm og 8 cm og en af vinklerne er 60. Undersøg om man kan konstruere en indskreven og en omskreven cirkel til et parallelogram (Facit på side 23). 7

8 Regulær polygon Eksempel: Du vil tegne grundplanen for et sekskantet lysthus. De seks sider skal være lige lange. Diagonalerne mellem vinkelspidser, der ligger modsat hinanden skal være 6 m. Diagonalernes topvinkler: 360 : 6 = 60 Forklaring: En figur, hvor alle sider er lige lange kaldes for en regulær polygon. En diagonal er en linie, der forbinder to vinkelspidser. Regulære polygoner kan opdeles i et antal ens trekanter hvor grundlinierne er siderne i polygonen. Når man skal tegne en regulær polygon kan man derfor gøre sådan: - tegn en cirkel med den ønskede størrelse. - del cirklens gradmål med antallet af sider i polygonen (ved en seks-kant bliver det 60 ) - tegn linier fra centrum og ud til cirkelbuen der danner vinkler med dette gradtal. - forbind liniernes skæringspunkter med cirkelbuen med hinanden og polygonen er tegnet. 8

9 1 Du vil lave en fliseplads til et tørrestativ. Pladsen skal være formet som en regulær femkant med en afstand fra midten til hver spids på 1,5 m. Lav en tegning af tørrepladsen hvor 1 cm på tegningen svarer til 10 cm i virkeligheden. Hvad bliver femkantens sidelængde? 2 Du vil lave en roset som vist med en skitse her. Den er tegnet ud fra en regulær ottekant og en regulær firkant. Tegn en roset som den viste ud fra en cirkel med radius på 8 cm. 3 Du har en gammel bordplade med mål som vist herunder: Du vil bruge den til at lave et sekskantet bord, hvor de seks sider skal være lige lange. Du går sådan: Lav en tegning af bordpladen. Find bordpladens midte ved at tegne sidernes midtnormaler. Tegn en ligebenet trekant med bordets midte som topvinkel. Topvinklen skal være 360 : 6. Trekantens grundlinie skal ligge på bordpladens grundlinie. Tegn en cirkel med bordets midte som centrum og som går igennem de to vinkelspidser ved trekantens grundlinie. Brug cirklen til at tegne sekskanten færdig. 9

10 Linier og cirkler Eksempel 1: Du skal tegne en linie der netop rør en cirkel. Forklaring: En linie der netop rør en cirkel kaldes en tangent. Man kan konstruere den sådan: - tegn en linie fra centrum og ud igennem det punkt som tangenten skal røre cirklen i. - sæt passeren i punktet og afmærk det sted på linien der ligger lige så langt væk fra centrum. - tangenten er midtnormalen til dette liniestykke. 1 Du skal tegne en sekskant, der er omskrevet en cirkel der har radius på 5 cm. Du gør sådan: Tegn seks tangenter til cirklen. Tangenternes røringspunkter med cirklen skal ligge forskudt med 60 i forhold til hinanden. 2 Tegningen herunder er en skitse af en bordplade. Lav en tegning af bordpladen, hvor 1 cm svarer til 10 cm i virkeligheden. 10

11 Eksempel 2: Du har en tegning af en cirkel. Du skal finde centrum. Forklaring: Når man skal finde centrum i en cirkel kan man gøre sådan: - tegn en linie der skær cirkelbuen i to punkter (den kaldes en sekant). Derved får man et liniestykke, der rækker mellem to steder på cirkelbuen (det kaldes en korde). - konstruer kordens midtnormal. Dermed opstår en ny korde. Midt på denne ligger centrum. 1 Brug et glas eller et krus til at tegne en cirkel. Find cirklens centrum. 2 Du har en lille rund plads, hvor der på midten skal stå en flagstang. Du skal finde pladsens centrum og har en snor til rådighed. Hvordan vil du gøre? 11

12 Ligedannethed Eksempel 1: Du har to trekanter der har ens vinkler, men hvor siderne har forskellig længde. Du kender sidelængderne i den ene trekant men kun én sidelængde i den anden. Du vil finde de to andre sidelængder. Forholdet mellem længderne: = 3 : 4 Siden c: 3,8 : 3. 4 = 5,1 cm Siden a: 2,8 : 3. 4 = 3,7 cm Forklaring: Når to figurer har vinkler med samme størrelse kalder man dem for ligedannede (har samme facon). Der vil så være et bestemt forhold mellem deres længdemål. Forholdet kan skrives som forholdstal fx 3 : 4 (læses som: tre til fire ) og forholdstallene kan bruges til at finde mål man ikke kender. Læg i øvrigt mærke til hvordan vinkelspidserne og siderne er navngivet i eksemplet: Vinkelspidserne har store bogstaver som navn og siderne overfor det tilsvarende lille bogstav. Det er den almindelige måde at navngive vinkelspidser og sider i figurer. 1 Tegn en trekant hvor: Vinkel A = 60, siden b = 3 cm og c = 5 cm Tegn en anden trekant der er ligedannet med den første og hvor siden b = 4,5 cm. 12

13 2 Du vil lave et havebord af brædder. Bordet skal være otte-kantet og de otte sider skal være 50 cm. Du gør sådan: Tegn en regulær ottekant i en cirkel med radius 4 cm. Mål sidelængden i ottekanten (Facit på side 23). Hvor mange gange større skal dit bord være i forhold til tegningen (Facit på side 23)? Hvor stor skal radius være til dit bord (Facit på side 23)? 3 Tegningen herunder er en skitse af et træskelet, der skal bruges til at bære gavlen i et hus. Find længden på de tre lodrette trælister (Facit på side 23). 4 Du vil lave et træstativ til en klatrerose. Stativet skal have den facon du ser herunder. Lav en tegning af stativet og find længden af de 9 lister, der skal bruges (Facit på side 23). 13

14 Eksempel 2: Du skal konstruere en trekant, der er ligedannet med den sorte trekant. Forholdet mellem den sorte trekant og den nye skal være som 2 : 3. OA : 2,0 : 2. 3 = 3,0 cm OB : 1,1 : 2. 3 = 1,7 cm OC : 4,0 : 2. 3 = 6,0 cm Forklaring: Den blå trekant er konstrueret sådan: - punktet O afsættes i passende afstand fra den sorte trekant. - fra punktet O trækkes linier gennem den sorte trekants vinkelspidser. - afstanden fra punktet O til hver af vinkelspidserne måles og afstanden til de nye vinkelspidser udregnes ved hjælp af forholdstallene for størrelsesforholdet mellem den oprindelige trekant og den nye. - den nye trekants vinkelspidser afsættes på hjælpelinierne og vinkelspidserne forbindes. Metoden kaldes for multiplikation af figuren. Udtrykket: OA er en kort skriveform for ordene: Størrelsen af liniestykket fra O til A. 1 Tegn en trekant hvor: Vinkel A = 60, vinkel C = 80 og siden b = 5 cm. Afsæt et punkt O og fremstil ud fra dette en ny trekant, der er ligedannet med den første i forholdet 1 : 2. 14

15 2 Tegn en trekant hvor: Vinkel A = 80, vinkel B = 40 og siden c = 6 cm. Afsæt et punkt inde i trekanten og brug dette til at lave en ny trekant, der er ligedannet med den første i forholdet 2 : 3. Hvordan ligger den nye trekant placeret i forhold til den første (Facit på side 22)? 3 Tegn en ligesidet trekant hvor sidelinien er 4 cm. Brug de tre vinkelspidser til at lave tre nye trekanter, der er ligedannet med den første i forholdet 2 : 3. Forestil dig at du klipper den nye figur ud og folder langs den oprindelige trekants sider. Hvilken figur danner det (Facit på side 22)? 4 Se mønsteret herunder. Hvordan ville du lave det (Facit på side 22)? 5 Se perspektiv tegningen herunder. Hvordan kan den være lavet (Facit på side 22)? Lav selv en perspektiv tegning af en trekantet kasse. Brug figuren her som udgangspunkt: 15

16 Parallelforskydning og drejning Eksempel 1: Du skal flytte den sorte trekant 3 cm mod højre Forklaring: Man kan flytte en figur sådan: - tegn en linie på den modsatte side af den retning figuren skal flyttes i og i en passende afstand fra figuren. - træk hjælpelinier vinkelret gennem figurens vinkelspidser. - afsæt den nye figurs vinkelspidser i den angivne afstand på disse hjælpelinier og forbind disse. En flytning, der er lavet på denne måde kaldes en parallelforskydning fordi siderne i den nye figur ligger parallelt med siderne i den oprindelige figur. Ved parallelforskydning ændrer figuren ikke facon og størrelse. Man siger at de to figurer er kongruente (ens). 1 Tegn en trekant hvor: Vinkel A er 70, vinkel B er 40 og siden c er 6 cm. Parallelforskyd trekanten 5 cm mod højre. 2 Tegn en ligebenet trekant med ben, der er 4 cm og en topvinkel, der er 70. Tegn en linie der er parallel med et af benene. Parallelforskyd trekanten 3 cm i forhold til linien. 16

17 Eksempel 2: Du skal dreje den sorte trekant 90 mod højre omkring punktet A. Forklaring: Man kan dreje en figur omkring et punkt sådan: - tegn linier fra figurens vinkelspidser gennem punktet. - tegn nye hjælpelinier (de stiplede), der danner den angivne vinkel med de første linier. - afsæt den nye figurs vinkelspidser på de nye hjælpelinier i samme afstand som de oprindelige vinkelspidser lå i. - tegn den nye figur. Også ved en drejning ændrer figuren hverken facon eller størrelse og de to figurer er kongruente. 1 Tegn en trekant hvor: Vinkel A er 50, vinkel B er 70 og siden c er 6 cm. Afmærk et punkt i forlængelse af siden c og i en afstand på 3 cm fra B. Drej trekanten 120 mod højre omkring punktet. 2 Tegn en rombe med sidelængden 4 cm og hvor en af vinklerne er 60. Find det punkt hvor diagonalerne skærer hinanden. Drej romben 90 mod venstre omkring punktet. 17

18 Spejling Eksempel 1: Du skal spejle den sorte trekant i den blå linie. Forklaring: Man kan spejle en figur i en linie sådan: - tegn hjælpelinier fra figurens vinkelspidser vinkelret på den linie, der skal spejles i. - afsæt den nye figurs vinkelspidser på hjælpelinierne i samme afstand fra linien som de oprindelige vinkelspidser. - tegn den nye figur. Man kalder den linie der spejles i for spejlingsaksen. De to figurer er ikke kongruente men symmetriske. 1 Tegn en trekant hvor: Vinkel A er 40, vinkel B er 80 og siden c er 4 cm. Tegn en linie parallel med siden c, 5 cm væk fra den og spejl trekanten i denne linie. 2 Tegn et parallelogram hvor de parallelle sider er 4 cm og 6 cm og en af vinklerne er 70. Spejl parallelogrammet i en af de sider, der er 4 cm. 3 Tegn en retvinklet trekant, hvor de to sider, der danner den rette vinkel er 3 cm og 5 cm. Spejl trekanten i den side der er 5 cm. 18

19 Eksempel 2: Du skal spejle den sorte trekant i punktet A. Forklaring: Man kan spejler en figur i et punkt sådan: - tegn hjælpelinier fra figurens vinkelspidser og igennem punktet. - afsæt den nye figurs vinkelspidser i samme afstand fra punktet som de oprindelige ligger. - tegn den nye figur. 1 Tegn en trekant hvor: Vinkel A er 120, vinkel B er 40 og siden c er 6 cm. Afsæt et punkt der ligger 5 cm fra A og 5 cm fra B og spejl trekanten i dette punkt. 2 Tegn en retvinklet trekant hvor de to sider der danner den rette vinkel er 5 cm og 6 cm. Spejl trekanten i den vinkelspids der er ret. 3 Tegn en rombe, hvor sidelinien er 4 cm og en af vinklerne er 120. Spejl romben i en af dens spidse vinkler. 19

20 Phytagoras sætning Eksempel 1: Du skal konstruere trekanten herunder. For at kunne konstruere den er du nødt til at finde længden af den vandrette katete. Du bruger Phytagoras sætning: c 2 = a 2 + b 2 c 2 = a 2 + b = b 2 25 = 9 + b = b 2 16 = b 2 = b 4 = b Den vandrette katete skal altså være 4 cm. Forklaring: Phytagoras sætning fortæller om sammenhængen mellem de tre sider i en retvinklet trekant. Sætningen bruges i to situationer: - til at finde den sidste side i en retvinklet trekant når man kender de to andre. - til at bevise om en trekant er retvinklet. 1 Se rektanglet på skitsen herunder: Hvor lange skal de vandrette sider være? 20

21 2 Se skitsen af en rombe herunder. Sammenhængen mellem længden af diagonalerne og rombens sidelængde kan beskrives ved hjælp af Phytagoras sætning. Romber konstrueres nemmest, hvis man kender længden af de to diagonaler så man kan starte med at tegne disse. En rombe skal have sidelængden 5 cm og den lodrette diagonal skal være 8 cm. Find længden på den vandrette diagonal (Facit side 23) og tegn romben. 3 En skorsten er formet som et rør, der spidser til. Skorstenens højde skal være 150 m høj og tværmålet i bunden skal være 25 m og i toppen 6 m. Tegn en skitse af et tværsnit af skorstenen. Find længden af den skrå sidelinie (Facit side 23). 4 Du har rejst en stolpe og vil kontrollere om den står lodret ved hjælp af et målebånd: Til hvilken side skal stolpens top trækkes (Facit side 23)? 21

22 Cosinus, sinus og tangens Cosinus, sinus og tangens er tre funktioner, der er lavet for at kunne beregne sider og vinkler i trekanter. Cosinus og sinus kan vises på en trekant som den herunder. B 1 sinus(v) v A C cosinus(v) Trekanten er retvinklet, har en vinkel A, der måler v og en hypotenuse med længden 1. Cosinus(v) er længden af den katete, der ligger ved vinklen (co- betyder.sammen med.) og Sinus(v) er den modstående katete. Med en lommeregner kan man beregne de to kateters længde når v f.eks. er 30º. Lommeregneren skal have taster med betegnelsen cos og sin. Kateten AC: cos(30º) = 0,86603 Kateten CB: sin(30º) = 0,50000 Da alle retvinklede trekanter med en vinkel v er ensvinklede kan cosinus og sinus bruges på alle retvinklede trekanter også trekanter der ikke har en hypotenuse på 1. Formlerne herunder kan bruges. I den nederste formel er en funktion, der er afledt af cosinus og sinus. Den hedder tangens og findes også på lommeregnere. På side 30 er en mere grundig forklaring til funktionerne cosinus, sinus og tangens samt formlerne herover. Eksempel Beregn AC i den viste trekant. B sin A = c a cos A = A b C tan A = a c b c a b DEMO Demo a Løsning tan A = b 22 tan(25,0º) = 7,0 b b tan(25,0º) = 7,0 b 0,46631 = 7,0 b = 7,0 : 0,46631 = 15,0

23 1. I trekant ABC er vinkel C = 90 og vinkel A er 30 AB = 10,9. B 10,9 A 30 C Beregn AC og BC 2. I trekant ABC er vinkel C = 90 og vinkel B = 40 og AB = 8,2 8,2 B 40 AB Demo A C Beregn BC og AC 3. I trekant ABC er vinkel B = 90, og vinkel C = 35 og AC = 4,3 B 35 A 4,3 C Beregn BC og AB 4. I trekant ABC er vinkel C = 90 og vinkel B = 40 og AC = 10,2 B 40 A C 10,2 Beregn BC og DEMO 23

24 Beregning af vinkler Formlerne på side 8 kan også bruges til at beregne vinklerne i en retvinklet trekant, hvis man kender sidernes længde. Eksempel Beregn vinkel A i trekanten herunder. A 8,0 6,0 Løsning tan(a) = 6 0, = 0,75 8, 0 Lommeregneren har en tast med den modsatte funktion af tan. Denne kan bruges til at finde den vinkel, der har tangens 0,75 tan -1 (tan(a)) = tan -1 (0,75) A = 36,9º I opgaverne på de følgende sider skal alle de gennemgåede regnemetoder anvendes. 1. Figuren viser en firkant ABCD, hvor diagonalen BD er indtegnet. Nogle af målene er anført på figuren. Beregn vinkel D i trekant ABD. Beregn de resterende sider i firkant ABCD. DEMO Demo 2. Figuren viser en trekant ABC, hvor vinkel C er ret. Punktet D ligger på siden AC, og punktet E ligger på siden AB, således at vinkel E er ret. AD = 6,5, ED = 2,8 og BC = 8,0 Beregn vinkel A Beregn AC. Beregn hver af vinklerne w og u. 24

25 3. I trekant ABC er vinkelc = 142,0 og AC = 10,9. Det oplyses desuden, at længden af højden BH er 5,8. Bestem BC og CH. Bestem AB samt vinklerne A og B i trekant ABC. 4. Figuren viser en skitse af en parkeringsplads, hvor parkeringsbåsene er placeret, så de danner en vinkel på 60 med kørselsretningen. Hver parkeringsbås er rektangulær og har en bredde på 2,30 m og en længde på 5,00 m. Beregn DE, AB og BC. Hvor mange parkeringsbåse er der plads til på en 50 m lang parkeringsplads, når båsene placeres som vist på figuren? 5. Figuren viser en trekant ABC, hvor vinkel C er ret, AC = 10,0 og AB = 25,1. Beregn BC. Beregn vinkel A i trekant ABC. DEMO Demo Punktet P ligger på siden BC, og linjestykket AP halverer vinkel A. Punktet Q ligger på siden AB, og linjestykket PQ står vinkelret på siden AB. Beregn PA og PQ. 25

26 6. Figuren viser en trekant ABC, hvor AC = 2,5 og A = 25,2. Det oplyses desuden, at længden af højden BD er 2,7. Bestem AB og AD. Bestem de resterende sider og vinkler i trekant ABC. 7. En sejlbåd ligger for anker i positionen B på 9,0 meter dybt vand. Ankeret er i positionen A, og ankertovet AB har længden 15,0 meter. Se figur 1. Beregn AC samt den vinkel v, som ankertovet danner med havbunden. For at forhindre at ankeret flytter sig, anbefales det, at den vinkel, som ankertovet danner med havbunden, er højst 20º. Der anbringes derfor et blylod i ankertovets midtpunkt L, således at vinklen v bliver 20º. Sejlbåden flytter sig herved fra positionen B til positionen B1. Se figur 2. DEMO Demo Beregn AD Beregn LD 26

27 8. C A H B Arealet af trekant ABC er 2205, længden af siden AC er 58 og længden af højden fra C er 42. Beregn Vinkel A og AB Beregn AH og BC 9. Figuren viser et tværsnit af en diamant, som den skal slibes, for at lyset brydes og reflekteres på den rigtige måde. Forskellige mål fremgår af figuren. Beregn vinklen u og længden af ED. Beregn længden af BC og længden af AB. 10. DEMO Demo Figuren viser en trekant ABC; hvor AH er højden fra A på siden BC. Det oplyses at vinkel B = 43,3 o, AC = 4,7 og CH = 2,1 Beregn AH Beregn AB.og BH. 27

28 Facit Tegninger er udeladt. I opgaver hvor løsningen findes ved måling på en tegning vil der altid være en usikkerhed om det nøjagtige mål. Man kan derfor godt have mål, der afviger lidt fra de der står i facitlisten uden at det er forkert. Facit er afrundet, så de svarer til den afrunding oplysningerne i opgaverne har. Side 7 5. Det kan man. 6. Det kan man ikke. 7. Indskreven cirkel: Ja. Omskreven cirkel: Nej. 8. Det kan man ikke. Side cm. Side Brug først snoren som lineal til at tegne en sekant til cirklen. Brug den derefter som passer til at finde sekantens midtnormal, der er korde i cirklen. Brug til sidst snoren som passer til at finde kordens midtpunkt. Side cm 16,7 gange. 67 cm 3. 0,5 m, 1,0 m og 1,5 m cm, 60 cm og 90 cm. Side Den nye trekant ligger udenom den oprindelige. 3. En lille kasse med trekantet bund DEMO Demo 4. Man har multipliceret den lille trekant med tallene 2 og 3 ud fra et punkt liggende midt i trekanten. 5. Man har multipliceret det kvadrat den danner bagsiden ud fra et punkt, der ligger op til venstre for kvadratet. 28

29 Side ,4 og 5,2 2. 6,3 og 5,3 3. 3,7 og 2, ,2 og 15,9 Side AB = 6,9 CD = 11,8 BC = 5,5 70, ,5 16,8 56 og 8,6 Side ,4 og 7,4 19,2 17,6 20,4 4. 2,5 m 2,0 m 2,7 m ,0 66,5 12,0 og 6,6 82,8 Side ,3 og 5,7 vinkel C = 129,2 vinkel B = 25,6 CB = 3, m 30 7,0 m 2,7 m Side ,3 og 191 mm 1,31 mm 1,41 mm DEMO Demo 10. 4,2 6,1 og 4,4 13,7 29

30 Apendix Enhedscirklen Cosinus, sinus og tangens kan vises i et koordinatsystem, hvori der er tegnet en cirkel med radius 1: sin v 1 P = (cos v, sin v) 30 v cos v Gennem (0,0) tegnes en ret linie, der danner vinklen v med 1. aksen. Hvor denne linie skærer cirklen er punktet P. Koordinatsættet til punktet P defineres som (cos v, sin v) svarende til at kateterne i den skraverede retvinklede trekant, har længderne cos v og sin v. Af tegningen kan følgende ses om sammenhængen mellem vinklen v, cos v og sin v: v cos v sin v ]0 ; 90 [ går fra 1 til 0 går fra 0 til ]90 ; 180 [ går fra 0 til 1 går fra 1 til ]180 ; 270 [ går fra 1 til 0 går fra o til < v < 360 går fra 0 til 1 går fra 1 til 0 DEMO Demo I forbindelse med retvinklede trekanter er det kun intervallet ]0 ; 90 [, der har interesse.

31 Formler for retvinklede trekanter Ved sammenligning af en tilfældig retvinklet trekant tegnet i enhedscirklen og en tilfældig anden ligedannet trekant, kan man udlede formler for enhver retvinklet trekant: B v P c 1 a sin v v cos v A b C Da trekanterne er ens-vinklede har vi: cos v sin v 1 = = b a c Dette udtryk kan opdeles: cos v 1 (1) = b c sin v 1 (2) = a c sin v cos v (3) = a b (1) kan omdannes sådan: cos v 1 = b c b cos v = c (2) kan omdannes sådan: sin v 1 = a c a sin v = c DEMO Demo (3) kan omdannes sådan: sin v cos v = a b sin v a = cos v b sin v Udtrykket defineres som tangens v og dermed er cos v a tan v = b 31

32 Tangens og enhedscirklen Årsagen til at forholdet mellem sinus og cosinus kaldes tangens kan findes i tegningen af enhedscirklen: (1, tan v) v Det kan vises at: når man tegner en tangent til cirklen gennem (1,0) da vil denne skære linien, der sin v danner vinklen v i punktet (1, ) og som er defineret som (1, tan v). cos v Det røde liniestykke på tegningen har længden tan v. Det kan af tegningen ses, at tangens går fra 0 til uendelig, når vinkel v går fra 0 til 90 DEMO Demo 32

33 DEMO Demo 33

34 ISBN: Demo 34 DEMO

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 1 ISBN: 978-87-92488-17-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

areal og rumfang trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 2 ISBN: 978-87-92488-18-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Mine matematik noter C

Mine matematik noter C Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:

Læs mere

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 ISBN: 978-87-92488-28-2 1. udgave som E-bog 2006 by bernitt-matematik.dk Kopiering af

Læs mere

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, G ISBN: 978-87-9288-11-4 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, basis ISBN: 978-87-92488-07-7 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal, trin 2 ISBN: 978-87-92488-06-0 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Tal og regning. 1 a 5 b 2 c 2 d 8 e 4 f 3 g 6 h 3. 3 a 2 b 5 c 3 d 3 e 2 f 12 g 2 h 7. 4 a 8 b 2 c 12 d 16 5... 7... 10. 6 2 og 5.

Tal og regning. 1 a 5 b 2 c 2 d 8 e 4 f 3 g 6 h 3. 3 a 2 b 5 c 3 d 3 e 2 f 12 g 2 h 7. 4 a 8 b 2 c 12 d 16 5... 7... 10. 6 2 og 5. Facitliste Tal og regning Tal og regning a 5 b c d 8 e 4 f g 6 h 9 a b 5 c d e f g h 7 4 a 8 b c d 6 5... 7... 0 6 og 5 7 9 cm og cm 8 a 4 b 6 c 0 d 0 e f g 4 h 9, 0 og 0 x 8 a 84 b 0 c d 56 e 44 f 5 g

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Indhold Indledning 2 Undervisningsforløbet 3 Mål for forløbet 3 Relationsmodellen 3 Planlægningsfasen

Læs mere

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven):

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven): Kære matematiklærer Formålet med denne materialekasse er, at eleverne med konkrete materialer og it får mulighed for at gøre sig erfaringer, der kan føre til, at de erkender de sammenhænge, der gør sig

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

brikkerne til regning & matematik procent F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik procent F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik procent F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik forhold og procent F+E+D ISBN: 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, trin 2 ISBN: 978-87-92488-14-5 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

grafer og funktioner trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 2 ISBN: 978-87-92488-12-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

Interaktiv Whiteboard og geometri

Interaktiv Whiteboard og geometri Interaktiv Whiteboard og geometri Nærværende dokumentation af et undervisningsforløb til undervisning i geometri er blevet til som et resultat af initiativet Spredningsprojektet. Spredningsprojektet er

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

brikkerne til regning & matematik benævnelser basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik benævnelser basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik benævnelser basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik benævnelser basis+g ISBN: 978-87-92488-03-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

fsa 1 På tryk tryk på 2 På dvd 3 På tv 4 På film 5 I koordinatsystem Matematisk problemløsning Folkeskolens Afgangsprøve December 2011

fsa 1 På tryk tryk på 2 På dvd 3 På tv 4 På film 5 I koordinatsystem Matematisk problemløsning Folkeskolens Afgangsprøve December 2011 fsa Folkeskolens Afgangsprøve Matematisk problemløsning December 2011 Som bilag til dette opgavesæt er vedlagt et svarark 1 På tryk tryk på 2 På dvd 3 På tv 4 På film 5 I koordinatsystem 1 På tryk tryk

Læs mere

Kapitel 1: Tal. Tegn på læring. Delforløb Fælles mål Læringsmål

Kapitel 1: Tal. Tegn på læring. Delforløb Fælles mål Læringsmål 5. klasse Årsplan Kapitel 1: Tal Eleven Talsystem Regnestrategier Fase 1: Eleven kan udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger vedrørende hverdagsøkonomi

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? 2. december Hvilket matematisk tegn kan anbringes mellem 2 og 3, således at

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, trin 2 ISBN: 978-87-92488-14-5 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

areal og rumfang basis+g regning & matematik preben bernitt brikkerne til

areal og rumfang basis+g regning & matematik preben bernitt brikkerne til brikkerne til regning & matematik areal og rumfang basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang G ISBN: 978-87-92488-17-6 1. udgave som E-bog til tablets 2012 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9.

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. Den lille hjælper Krogårdskolen Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. klasse Hvordan løses matematik? Positionssystem... 4 Positive tal... 4 Negative tal... 4 Hele tal...

Læs mere

penge,rente og valuta

penge,rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge,rente og valuta trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, trin 1 ISBN: 978-87-92488-13-8 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, F+E+D ISBN: 978-87-92488-14-5 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen)

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Bog: Vi bruger grundbogssystemet Format, som er et fleksibelt matematiksystem, der tager udgangspunkt i læringsstile.

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Julehjerter med motiver

Julehjerter med motiver Julehjerter med motiver Torben Mogensen 18. december 2012 Resumé Jeg har i mange år moret mig med at lave julehjerter med motiver, og er blevet spurgt om, hvordan man gør. Så det vil jeg forsøge at forklare

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

PROBLEMLØSNING I FORSKELLIGE NIVEUAER

PROBLEMLØSNING I FORSKELLIGE NIVEUAER PROBLEMLØSNING I FORSKELLIGE NIVEUAER l niveau: I hvilket du bearbejder givne ligninger og funktioner. 1 Kørselsstrækningen y km pr. liter benzin for en lastbil er givet ved y = x 750x, hvor x er hastigheden

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07. Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2

Læs mere

brøker trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

brøker trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker, trin 1 ISBN: 978-87-92488-04-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 5 Eksperimenter med areal og rumfang Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Areal og Rumfang 2 Red burhønsene. Vejledn. 3-7 Største

Læs mere

Benyt evt. programmeringsguiden Kør frem vælg sekunder i stedet for rotationer.

Benyt evt. programmeringsguiden Kør frem vælg sekunder i stedet for rotationer. Lego Mindstorms Education NXT nat1 nat april 2014 Dette dokument ligger på adressen: http://www.frborg-gymhf.dk/eh/oev/legonxtnat1nat2014.pdf Følgende er en introduction til Lego Mindstorms NXT. Her er

Læs mere

FORMELSAMLING FOLKESKOLENS AFSLUTTENDE PRØVER I MATEMATIK

FORMELSAMLING FOLKESKOLENS AFSLUTTENDE PRØVER I MATEMATIK FORMELSAMLING FOLKESKOLENS AFSLUTTENDE PRØVER I MATEMATIK FORMELSAMLING FOLKESKOLENS AFSLUTTENDE PRØVER I MATEMATIK Redaktion og tilrettelæggelse af indhold for Skolestyrelsen: Lektor Hans Jørgen Beck,

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og præfikser Demo trin 1 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og præfikser Demo trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og præfikser trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenser og præfikser, trin 1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: PYRAMIDER

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: PYRAMIDER MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: PYRAMIDER I oldtiden regnede man med 7 underværker, hvilket var seværdigheder, som man fremhævede på grund af deres størrelse, skønhed og udseende. Kun et enkelt af disse

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Kirsten Isager, perspektivkasse 1. Forudsætninger: øjet står 2 m foran rummet og rummet bliver 1,5 m dybt, men skal se ud som om det er 3,85 m dybt:

Kirsten Isager, perspektivkasse 1. Forudsætninger: øjet står 2 m foran rummet og rummet bliver 1,5 m dybt, men skal se ud som om det er 3,85 m dybt: Kirsten Isager, perspektivkasse 1 Projektopgave nr 2: Geoetri, Perspektivkasse. uet skal være et snydeperspektiv. Først tager vi ålene i det virkelige ålestoksforhold. Forudsætninger: øjet står 2 foran

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Dynamisk geometri i skolen med GeoGebra

Dynamisk geometri i skolen med GeoGebra Dynamisk geometri i skolen med GeoGebra Der tages udgangspunkt i GeoGebra version 3,2 udgivet juni 2009 dog er nogle skærmdumps fra tidligere versioner af programmet. Projektleder: Markus Hohenwarter,

Læs mere

matematik Demo excel basis+g preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel basis+g preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel basis+g preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel G 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-21-3 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Undervisningsplan Side 1 af 11

Undervisningsplan Side 1 af 11 Undervisningsplan Side 1 af 11 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 240 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 6 lektioner pr. uge og Esben Stehr (EST) 6 lektioner

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3.

tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3. Den tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3. klasse 4. klasse 5. klasse 6. klasse 7. klasse 8. klasse 9. klasse 1.klasse

Læs mere

Formel- og tabelsamling

Formel- og tabelsamling Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie 2005 Grundskolen Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

AVU trin 2 prøver i matematik Facitforslag Dec. 2005. ISBN: 87-90652-65-7 ISSN: 1603-9432 EH-Mat 2006

AVU trin 2 prøver i matematik Facitforslag Dec. 2005. ISBN: 87-90652-65-7 ISSN: 1603-9432 EH-Mat 2006 Denne udgave på internettet er ment som en gennemsynsudgave. Ønsker du at anvende materialet, kan du købe materialet i en trykt version. Et VUC eller en anden undervisningsinstitution kan købe en digital

Læs mere