MM501 forelæsningsslides

Transkript

1 MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1

2 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0,±1,±2,±3, } omtales som de hele tal. Q = { t n t Z,n N} omtales som de rationale tal eller brøkerne. R = mængden af samtlige reelle tal. Intervaller s. 5 Når a < b er to reelle tal har vi forskellige typer intervaller (a,b) = {r R a < r < b} åbent. (a,b] = {r R a < r b} halvåbent. [a,b) = {r R a r < b} halvåbent. [a,b] = {r R a r b} lukket. a = og/eller b = tillades også i en række tilfælde, fx [0, ) = {r R r < } er hele den positive del af aksen, inkl. 0. (, ) er hele den reelle akse. Funktionsbegrebet s. 24 En funktion f består af tre ting, nemlig to mængder, D og S samt en regel eller forskrift. Man skriver f : D S eller D f S. Forskriften udpeger for hvert element x D ét velbestemt element fra S, som betegnes f(x) og kaldes billedet af x under funktionen f. D kaldes funktionens definitionsmængde, og man skriver tit D(f). Funktionens værdimængde er V(f) = {f(x) S x D(f)}. I Calculus I er definitionsmængden som regel et interval, I, og S = R. Hvis forskriften er givet ved en formel for f(x) og man ikke direkte siger, hvad definitionsmængen er, betyder det at D er den største mængde af reelle tal for hvilke formlen giver mening. s. 25 2

3 Differens- og differentialkvotient for f : I R, I et interval s Lad a I og lad h 0 være et tal med a+h I Differenskvotienten for funktionen f svarende til punktet a og tilvæksten h er tallet f(a+h) f(a). h Det er hældningskoefficienten(engelsk: the slope) for den rette linie, der forbinder de to punkter på grafen (a,f(a)) og(a+h,f(a+h)). Denne linie hedder sekanten til grafenbestemt af a og a+h. Differentialkvotienten (engelsk: the derivative) for funktionen f i a betegnes f (a). Den er givet som en grænseværdi (forudsat den eksisterer) f f(a+h) f(a) (a) = lim. h 0 h Når f (a) eksisterer, har grafen for f en tangent i punktet (a,f(a)), nemlig den rette linie gennem punktet med hældningskoefficient f (a). Tangentens ligning er altså y = f(a)+f (a) (x a). Differentiationsregler s s Lad f,g være differentiable funktioner, og lad c være en konstant. (f +g) (x) = f (x)+g (x); (c f) (x) = c f (x); (f g) (x) = f (x) g(x)+f(x) g (x). ( ) 1 (x) = g (x) g g(x) 2; ( ) f (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g g(x) 2 (forudsat g(x) 0). (f g) (x) = f (g(x)) g (x) (kædereglen). 3

4 Monotoniforhold for f : I R, I et interval Lad J være et delinterval af definitionsintervallet for f. Funktionen f hedder voksende på intervallet J, hvis der gælder: f(x 2 ) > f(x 1 ) for alle x 1,x 2 J med x 2 > x 1. s Def. 6, Thm. 12 Funktionen f hedder aftagende på intervallet J, hvis der gælder: f(x 2 ) < f(x 1 ) for alle x 1,x 2 J med x 2 > x 1. Funktionen f hedder ikke-voksende på intervallet J, hvis der gælder: f(x 2 ) f(x 1 ) for alle x 1,x 2 J med x 2 > x 1. Funktionen f hedder ikke-aftagende på intervallet J, hvis der gælder: f(x 2 ) f(x 1 ) for alle x 1,x 2 J med x 2 > x 1. Hvis f (x) > 0 for alle x J, så er f voksende på intervallet J. Hvis f (x) < 0 for alle x J, så er f aftagende på intervallet J. Hvis f (x) = 0 for alle x J, så er f konstant på intervallet J. (Lokale/absolutte) maksimums- og minimumspunkter for f : I R Lad c I. Man siger at s f har lokalt maksimum for x = c, hvis f(c) f(x) for alle x i et lille interval omkring c. f har lokalt minimum for x = c, hvis f(c) f(x) for alle x i et lille interval omkring c. f har absolut maksimum for x = c, hvis f(c) f(x) for alle x i hele definitionsintervallet I. f har absolut minimum for x = c, hvis f(c) f(x) for alle x i hele definitionsintervallet I. Hvis f er kontinuert og definitionsintervallet er lukket og begrænset, da findes der mindst 1 værdi c og mindst 1 værdi C, så f har absolut maksimum for x = C og absolut minimum for x = c. s. 82 Antag nu, at f er differentiabel overalt. Hvis f har lokalt maksimum eller lokalt minimum for x = c, så er f (c) = 0. Hvis f (c) = 0, mens f (x) 0 umiddelbart til venstre for c og f (x) 0 umiddelbart til højre for c, så har f lokalt maksimum for x = c. Hvis f (c) = 0, mens f (x) 0 umiddelbart til venstre for c og f (x) 0 umiddelbart til højre for c, så har f lokalt minimum for x = c. gymnasieviden 4

5 Linearisering s Lineariseringen af f omkring x = a, er den lineære funktion, der har tangenten som graf. Kalder man den L er f orskriften L(x) = f(a)+f (a) (x a), x R. Værdierne L(x) betragtes som tilnærmelser (= approksimationer) til værdierne f(x), når x ligger tæt ved a. Man skriver f(x) f(a)+f (a) (x a), for x a. Hvis funktionen f optræder i et problem og x værdier i nærheden af en fast værdi a er af særlig interesse, kan man af og til få en omtrentlig løsning til problemet ved at erstatte f med L. Det giver en simplere udgave af problemet, som man måske kan løse. Man siger, at man har lineariseret problemet. 5

6 Linearisering til omtrentlig beregning af en funktionsværdi Bestem en omtrentlig værdi for 4.4 ved linearisering ud fra 4. Sæt k(x) = x. Så er k (x) = 1 2 x, k(4) = 2, k (4) = 1 4. Lineariseringen er L(x) = (x 4). Den omtrentlige værdi er L(4.4) = = Linearisering af det matematiske pendul Et pendullod med masse m sidder på en vægtløs stang med længde L, som kan dreje omkring et gnidningsfrit leje. Udsvinget fra den lodret nedadhængende ligevægtssituation er til tiden t beskrevet ved en vinkel, v(t), som måles i radianer. Tyngdeaccelerationen betegnes som vanligt med g. I denne situation 1 siger Newtons anden lov (masse acceleration = kraft), at udsvingsvinklen v(t) opfylder differentialligningen gymnasieviden? fra fysik?? m L v (t) = m g sin(v(t)). Det er en svær sag, men kigger man kun på små udsving, kan man linearisere sinusfunktionen omkring a = 0. Lineariseringen er l(x) = x, så det lineariserede problem styres af differentialligningen (hvor vi også har divideret med m L på begge sider) Den generelle løsning hertil er gymnasiestof: g v(t) = A cos( L v (t) = g L v(t). g t)+b sin( L t). Her kan konstanterne A, B bestemmes, hvis man kender den maksimale v-værdi og et tidspunkt, hvor den indtræder. Det giver nemlig to begyndelsesværdier v(t 0 ) = v max, v (t 0 ) = 0. Svingningstiden, T, bestemmes af ligningen g L T = 2π, dvs L T = 2π g. Bemærk, at vi i teorien ovenfor kaldte lineariseringen L. Men i eksemplet betyder L pendulets længde, så jeg var nødt til at kalde lineariseringen noget andet, og det blev l. Den slags navnekonflikt optræder tit. Derfor er det vigtigere at forstå begrebet linearisering end at huske, at jeg kaldte den L i definitionen. 1 Vi ser også bort fra luftmodstand. 6