Svingninger & analogier

Transkript

1 Fysik B, 2.år, TGK, forår 2006 Svingninger & analogier Dette forsøg løber som tre sammenhængende forløb, der afvikles som teoretisk modellering og praktiske forsøg i fysiklaboratorium: Lokale 43. Der er fokus på analogier (lignende forhold) mellem de tre forskellige modeller for (næsten) samme teori: Matematisk modellering; med udgangspunkt i jævn cirkelbevægelse og bølgeligningen Mekanisk model; Hooke's lov & den simple harmoniske oscillator Elektrodynamisk model; LC-oscillationer og resonans Alle modellerne beskriver cykliske funktioner, men i forskellige sammehænge, hvor den mekaniske og elektrodynamiske er udsat for den virkelige verden og derfor ikke opfører sig rent teoretisk. Der skal udfærdiges en lille rapport, til redegørelse for Jeres udbytte af forsøgsrækken. Rapporten skal ikke have karakter af en sædvanlig fysikrapport (oftest til at eftervise en anerkendt teori), men derimod give et billede af Jeres forståelse for de fysiske fænomener i forbindelse med forløbet. Derfor vil der være indlagt nogle spørgsmål i forsøgsvejledningen, som der skal besvares så omhyggeligt som muligt, med fokus på den fysiske begrebsverden. Det vil sige at vejledningen består af både beskrivelse af hvordan forsøgene kan udføres med det eksisterende udstyr på TGK og hvilke spørgsmål forsøgene skal forsøge at give svar på. Forsøgene afvikles i grupper på 3-5 elever, ligesom rapporten skrives i gruppe og afleveres til jagu senest d. 23. maj kl. 11:40 (husk navne på rapporten). Rapporten vil blive grundigt rettet, men vil ikke indgå i den almindelige standpunktsvurdering. Efterfølgende vil forløbet blive evalueret. Sidst i dette skrift vil der være en (kort) gennemgang af relevant teori, der ligger til grund for de forskellige svingningsfænomener. Denne teori er ikke direkte nødvendig for gennemførelsen af forsøgene, men kan (er) en hjælp til forståelsen for de fysiske fænomener og hvordan/hvorfor de har en sammenhæng. Disse teorier vil også være en repetition af kendt teori og en hjælp til besvarelse af opgaverne, hvorfor det bør opfattes som obligatorisk litteratur. forsoegsprojekt_elevb.odt Side 1 /

2 ver. b Forsøgsbeskrivelse & opgaveformulering Matematisk model Som matematisk model for en svingning baseret på jævn cirkelbevægelse, benyttes de matematiske redskaber. Udstyr: Papir, blyant og lommeregner og/eller CAS (Computer Algebra System) eksempelvis Derive eller MathCad. Udførelse/opgaver: Gennemgå beregningen fra stedfunktionen til henholdsvis hastighedsfunktionen og accelerationsfunktionen i jævn cirkelbevægelse, med særlig henblik på bevægelsen langs 2.aksen. Forklar den matematiske sammenhæng Lav et grafisk billede af alle tre vektorer, som funktion af vinklen mellem 1.aksen og stedvektor v. Benyt denne viden til at opstille en bølgeligning for en svingning langs 2.aksen med amplituden lig A = 2 og vinkelfrekvensen ω = 2 π. Lav et grafisk billede af bølgen i tidsdomænet y(t) over cirka 3 svingninger. Yderligere opgaver: Nedenstående må meget gerne besvares med mere end blot en (eller flere) ligninger, for derved at vise Jeres forståelse: Kan vinkelfrekvensen ω ændres ved hjælp af matematisk funktion? Kan amplituden ændres ved hjælp af matematisk funktion? Giv eksempel på et forhold i den virkelige verden hvor en jævn cirkelbevægelse resulterer i en svingning langs en enkelt af akserne. forsoegsprojekt_elevb.odt Side 2 /

3 Mekanisk model Til dette formål gennemføres den simple harmoniske oscillator baseret på et lod ophængt i en fjeder som sættes i svingninger op-ned. Udstyr: Stativ på fod udstyret med længdemål. Fjeder(e) på holder (Prytz' svingningsapparat) Lod i form af stangmagnet Luftspole 800 vdn. (10mH / 9,5 Ω) Prøveledninger, 2 stk. PicoScope 2202 med prøveprobe Udførelse/opgaver: Vej stangmagneten og notér massen. Ophæng lod (stangmagnet) af kendt masse i fjederen, hvor stangmagneten hænger frit i luftspolens gab, cirka ¼ af magnetens længde. Notér hvor meget fjederen strækker sig i forhold til positionen uden loddet masse. Notér fjederens masse. Installer PicoScope's software på PC'en fra medfølgende CD-ROM. Læs vedlagte Quickmanual nøje, for at sikre OK resultat. Forbind PC-scopet til luftspolen med prøveproben i indgangen mærket ch. A. Start programmet Pico Technologi \ PicoScope (se igen Quick-manualen). For dybere forståelse af et oscilloskops funktioner, henvises til denne vejlednings sidste afsnit om generel brug af standard-oscilloskop. Sæt tiden (X) til 500 ms/div - amplituden beholdes på Auto. Sæt loddet i lodrette svingninger ved at (forsigtigt, cirka mm) trække det ud af ligevægt og iagttag resultatet på skærmen. Er der for mange perioder på skærmen sættes tiden (X) op, er der kun en del af en periode sættes tiden ned. Når der er et tydeligt billede af loddets bevægelser på skærmen, tages et screendump ved hjælp af <Prt Sc>-tasten. Dette sættes ind i eksempelvis billed- eller tekstbehandlingsprogram (det kan være en fordel at maximere programvinduet på skærmen inden der tages screedump). Efterfølgende skal fjederkonstanten beregnes ud fra svingningstiden, som aflæses direkte på skærmen, som tiden mellem to bølgetoppe. Bemærk hvordan amplituden ændrer sig i forhold til tiden. Yderligere opgaver: Opstil en funktion for loddets bevægelser langs 2.aksen som funktion af tiden. Hvordan udvikler amplituden sig med tiden? Kom eventuelt med et bud på en matematisk funktion. Hvordan hænger beskrivelsen af loddets bevægelser sammen med den matematiske model? forsoegsprojekt_elevb.odt Side 3 /

4 Elektrodynamisk model Ved at aflade en kapacitor (kondensator) gennem en induktans (luftspole) er det muligt at skabe en resonans en elektrisk svingning på formen U(t), hvor U er spændingen over kapacitoren. Spændingssignalet skal registreres på PC'en via PicoScope. Udstyr: Kondensator, cirka 1 nf keramisk Luftspole, cirka 400 vindinger 9V batteri 3 stk. prøveledninger med henholdsvis krokodillenæb og bananstik PC-oscilloskop med prøveprobe her bruges dataloggeren; PicoLog Recorder Udførelse/opgaver: Opstillingen skitseret herunder opbygges ved hjælp af prøveledninger og oscilloskopets probe. En prøveledning benyttes som omskifter på kondensatoren, der tilsluttes batteriets positive pol ved opladning og flyttes over på spole og oscilloskop for afladning. Forsøgsopstilling til LC-kreds her ved afladning af kapacitoren Kondensatoren oplades et kort øjeblik på batteriet og ledningen flyttes over på spolen som er forbundet til oscilloskopet. Herved sættes en svingning i gang, og svingningen kan registreres med dataloggeren. Opsætning og indstilling af PicoLog Recorder: Vær opmærksom på at PicoScope er slukket, da hardwaren kun kan levere data til et program ad gangen. Åbn PicoLog Recorder, gå i rullegardinet File -> New Settings som automastik medfører åbning af menuen Recording, hvorunder Recording Method vælges Fast Block (Single converter only). Klik på <OK>. Næste menu er Converter Details, hvor systemet (forhåbentligt) selv finder PS2202 på HAT49/46. Klik på <OK>. Næste menu er PicoScope 2000 Block-Mode, hvor det er passende at vælge Timebase til cirka 25us (microsekunder) som giver os rigeligt med målepunkter til også at få en fornuftig måling på det relativt korte tidsrum selve svingingen foregår. Number of Samples sættes til (softwaren kan registrere max målinger) og input sættes på Ch. A til +/- 10V (da vi bruger et 9V batteri skal amplituden vi aflæser være forsoegsprojekt_elevb.odt Side 4 /

5 minimum dette), navngiv et navn som giver mening og sæt måleformen til AC. Systemet fortæller dig nu den totale tid du kan nå at optage data, cirka 800 ms (hvilket ikke er meget). Klik på <OK>. Data skal gemmes på forhånd; gå i File -> New Data og gem DLW-filen et sted hvor du kan finde den igen. Nu er du klar til at optage data. PicoLog Recorder klar til optagelse At optage gøres ved at klikke på knappen med den røde pil. Vær klar til at optage i samme øjeblik (lige før) ledningen tilsluttes spolen, da svingningen kun optræder et meget kort øjeblik (selve svingningen optræder faktisk kun i μ s, hvorfor resten af tiden er afsat til dine motoriske bevægelser med at flytte ledningen fra batteriet til kredsløbet). Det tager kun kort tid at oplade kondensatoren, og det er hensigtsmæssigt at have fjernet ledningen fra batteriet inden optagelsen begynder når du er klar til at forbinde til kredsløbet startes PicoLog Recorder og umiddelbart efter tilsluttes kredsløbet! Du har under 1 sek. til at tilslutte og lade svingningen fuldføre! For at se om målingen er forløbet tilfredsstillende, kan der efterfølgende klikkes på knappen View Graph til højre i Recordervinduet, hvorved der kommer et billede af hele forløbet i koordinatsystem. Dette billede er umiddelbart ret uinteressant, men ved at zoom'e ind og flytte centrum til det sted hvor der tilsyneladende er en lodret linie, kan de relevante μ s ud af cirka gange så mange data findes og vurderes: Der skal meget gerne være en stribe af (næsten) fine bølger, med ensartet svingningstid. Det kan være at forsøget skal gentages flere gange før et ordentligt resultat opnås. På billedet for grafen kan der aflæses både svingningstid og amplitude for hele forløbet. Billedet af grafen kan gemmes på harddisk ved at klikke på <Write to Disk> til højre i grafvinduet. Der kan gemmes i enkelte udbredte grafikformater, eksempelvis *.jpg. Skitsér svingningerne på papir eller CAS som de er aflæst. Opstil en ligning for svingningen U(t) med fast amplitude Forsøg at opstille en ligning for amplituden som funktion af tiden Yderligere opgaver: Hvordan hænger U(t)-målingen sammen med den mekaniske model (simple harmoniske oscillator)? Er der sammentræf i de grundlæggende elementer i teoriene i de tre forskellige modeller? Hvad kan man bruge denne viden til? Kom med Jeres bedste bud. forsoegsprojekt_elevb.odt Side 5 /

6 Teori I dette afsnit vil de grundlæggende teorier for forståelsen af forsøgene blive skitseret. En del vil være gammelkendt viden og en (lille) ny. Det vil være muligt at gennemføre forsøgene og udlede de ønskede konklusioner på baggrund af denne teori, samt almen matematisk viden herunder blandt andet differetiering af Sinus & Cosinus og af sammensatte funktioner. I forbindelse med sidste elektrodynamiske forsøg vil der blive introduceret begrebet svingningskredse, som er en disciplin inden for elektrodynamikken, der er på et relativt højt niveau i forhold til Fysik B. Der vil ikke blive gået i dybden med fænomenerne i de enkelte komponenter og disses samspil, blot en konstatering af at det er sådan. Matematiske model Jævn cirkelbevægelse Cirkel med centrum i Origo og radius r En cirkel med centrum i Origo (koordinatsystemets x,y = 0,0) og en vilkårlig radius kan skrives på parametrisk form; r t = r cos v r sin v Ved at sætte radius i rotation i positiv omløbsretning, startes en tidsafhængig positionering af radius som stedvektor, hvor bevægelseshastigheden måles i vinkel pr. tid; r t = r cos t r sin t Ved at fokusere udelukkende på 2.aksens ændringer pr. tid vil et simplere udtryk y(t) kunne vises, som 2.koordinaten af den parametriske fremstilling. Dette fører frem til bølgeligningen y(t), hvor størrelser som faseforskydning og forskydning langs y-aksen er irrellevante i denne sammenhæng. Derimod er størrelsen ω for vinkelfrekvensen særdeles relevant, som udtryk for den hastighed radius/stedvektoren bevæger sig rundt i cirklen. forsoegsprojekt_elevb.odt Side 6 /

7 y t = A sin t k...hvor amplituden A svarer til den tidligere længde for radius r, og er absolut. Ved at plotte denne i et koordinatsystem, vil en pæn sinusbølge fremkomme, der kan (punktvis) forklares ud fra bevægelse langs perimetren i cirklen i positiv omløbsretning, når denne projiceres ind på 2.aksen. Ved at differentiere den parametriske funktion i forhold til tiden, kan viden om stedvektoren (radius) bruges til beregning af hastighedsvektor og videre accelerationsvektor. Dette er et ekstra element i forståelsen af bevægelsen i den efterfølgende mekaniske model. v t = d v t a t = dt d r t dt = d r 2 t dt 2 = r sin t r cos t = 2 r cos t 2 r sin t Herved har vi udtryk for både stedvektoren, hastigheden og accelerationen i en jævn cirkelbevægelse. Simplificeres denne til kun at omfatte bevægelse i lodret plan (langs 2.aksen), fås; r y t = r sin t v y t = d r t y = r cos t dt a y t = d v y t = dr 2 y t = 2 r sin t dt dt 2 Mekanisk model Den simple harmoniske oscillator Principskitse over den simple harmoniske oscillator Den harmoniske oscillator er et perfekt eksempel på cyklisk bevægelse i y(t)-domænet. Her er vinkelfrekvensen udtrykt ved hjælp af svingningstiden, som igen er proportional med fjederkonstant og loddets masse; forsoegsprojekt_elevb.odt Side 7 /

8 y t = A sin t = 2, T = 2 T m k k = fjederkonstanten Sammenhængen mellem svingningstid T, masse m og fjederkonstant k kan let påvises udfra 2. afledede af stedfunktionen (accelerationen), som derefter kan indgå i Hooke s lov for en fjeder: a y t = d 2 r y t dt 2 = 2 A sin t To ligninger for kraft er henholdvis Newtons 2. lov og Hookes lov for en fjeder; F = m a, F = k y I Hookes lov for en fjeder optræder deformationen y Δ i 2.aksens retning og er derfor et udtryk for den tidsafhængige funktion y(t). Newtons 2. lov kan ved substitution med udtrykket for acceleration i jævn cirkelbevægelse udtrykkes som; F = m a = m 2 A sin t = m 2 y t Sammenholdt med udtrykket i Hooke's lov for en fjeder, der begge er et udtryk for kraft fås; Principskitse over deformation af fjeder m 2 y t = k y t 2 = k m Da sammenhængen mellem vinkelfrekvens og svingningstid kendes, kan sammenhængen mellem svingningstid, loddets masse og fjederkonstanten udtrykkes ved; forsoegsprojekt_elevb.odt Side 8 /

9 = 2 T og 2 = k m k m = 2 2 T Herved kan eksempelvis fjederkonstant beregnes ud fra masse og svingningstid. Indsættes denne viden i bølgeligningen, vil der kunne skitseres en bølge analog med bølgen fra den matematiske del; y t = A sin m k t Amplituden (udsvingets størrelse) er dog ikke en konstant faktor i den virkelige verden, da systemet altid vil indeholde nogle former for friktion, da svingningen ellers ville forsætte evigt. Det vil sige, at amplituden er en aftagende funktion af tiden; A t = A 0 e 2 t...hvor A 0 er amplituden ved målingens begyndelse. Dette medfører en bølgeligning som et produkt af to tidsafhængige funktioner; y t = A t sin t Elektrodynamisk model LC-oscillationer og resonans Svingningskredse er i princippet uden for pensum i Fysik B, hvorfor udfordringen ikke er at lære hvordan den enkelte komponenter virker, men derimod hvordan de kan bruges som model for den simple harmoniske oscillator. Når en opladt kapacitor (i form af en kondensator) C aflades gennem en induktans (i form af en luftspole) L vil ladninger strømme fra kondensatorens ene plade mod den anden, gennem spolen i forsøg på at udligne ladningsforskellen mellem pladerne. Spolen vil dog forsinke ladningstransporten, ligesom den vil forsøge at overføre yderligere ladninger efter at en ligevægt er opnået, hvorved en overophobning af ladninger på den anden plade vil forekomme. Herved vil en ladningstransport påbegyndes den anden vej, og så fremdeles. Afladning af kapacitor gennem induktans forsoegsprojekt_elevb.odt Side 9 /

10 Herved opstår der en fri oscillerende svingning (resonans), som vil have en vinkelfrekvens i forhold til størrelserne af kondensator [F, Farad] og spole [H, Henry]; = 1 LC T =2 LC f = 1 T f = 1 2 LC En bølgeligning for LC-kredsen kan nu opstilles, hvor amplituden er størrelsen af ladningsforskellen mellem kondensatorens plader, som reelt måles som spændingsforskel, U(t); U t = U 0 sin LC t...hvor U o er den spænding som kondensatoren var opladt med ved afladningens begyndelse. Ligesom i den harmoniske oscillators tilfælde vil spændingen ikke være konstant, da både komponenter og tilledninger har indre modstande, samt at måludstyret vil aftage en (minimal) del af strømsignalet. Derfor er det mere korrekt at opfatte kredsløbet som en LCR-kreds, hvor R står for kredsløbets samlede modstand [ Ω, Ohm] i tilledninger og komponenternes indre resistans. Afladning af kapacitor gennem induktans og resistans Den tilføjede resistans ændrer ikke ved systemets resonans, men gør modellen mere autentisk og giver mulighed for at regne på dæmpningen af signalet. Dæmpningen kan udtrykkes som en tidsligt afhængig eksponentialfunktion, hvorved amplituden som funktion af tiden bliver; A t = A 0 e t t...hvor A0 er spændingen ved afladningens begyndelse, og γ (gamma) er dæmpningsfaktoren, som er afhængig af spolen og den indbyggede resistans. Det er næsten samme forhold som vil gøre sig gældende for dæmpningen i den simple harmoniske oscillator i den mekaniske model. forsoegsprojekt_elevb.odt Side 10 /

11 Oscilloskopet en lille introduktion For at betragte elektriske svingninger må man have en "oversætter", således at de menneskelige sanser kan opfatte disse størrelser. Ofte er svingningerne så hurtige, at vi ikke kan nå at følge med, hvis vi kunne se de elektriske spændingsvariationer (øjets følsomhed er på op til 25Hz). Derfor vil det være praktisk, hvis man kunne omforme tidsdomænet til et fast domæne, det vil sige til sted. Dette gøres ved hjælp af hastighed; t = s v I praksis gøres dette ved at lade y(t)-signalet flytte sig med konstant hastighed langs 1.aksen, således at den tidslige variation i spændingssignalet vil kunne ses. For at begrænse længden af 1.aksen kan man slette billedet og starte forfra med passende mellemrum, der netop går op i svingningsperioden på signalet. Et Amplituden-som-funktion-af-tid koordinat system Der er ofte et væld af knapper og stik på et oscilloskop, hvor de mest nødvendige vil blive behandlet her. Derudover er der flere specialknapper og -stik, som det i mange (og dette) tilfælde ikke er nødvendigt at have kendskab til. Oscilloskopet består af flere sektioner af kontroller, som hver dækker helt specifikke områder, udover tænd/sluk-knappen, som vil blive beskrevet efter nedenstående skitse. Skærmen er påtrykt et gitter for nemmere aflæsning af kurven som fremvises. Afstanden mellem to streger i dette gitter kaldes en division og er skærmenheden, som målesignalets tids- og amplitudeværdier skal tilpasses for at få den bedste aflæsning. Ved skærmen er der tre drejeknapper som regulerer elektronstrålens styrke (intensity & illumination) og kontrast (focus). Disse tre kan gøre kurvestregen så klar og synlig som muligt efter lysforhold i rummet og behag. Desuden er der en omskifter til regulering af enhederne på tidsaksen (time/div.) samt en lille drejeknap til justering af hvor på tidsaksen skærmbilledet skal ligge (t=0). På omskifteren for tidsakseenhederne er der noteret nogle værdier i microog millisekunder pr. streg på skærmgitteret. Det vil sige at hvis man vil have afbildet een periode på skærmen, skal denne tidsenhed stilles, således at antallet af gitterstreger gange tidsenheder pr. streg svarer nogenlunde til målesignalets periode. forsoegsprojekt_elevb.odt Side 11 /

12 For eksempel har et 50Hz signal perioden 1/50 sekund (T=20ms), så hvis skærmen har 10 gitterstreger i bredden vil en periode kunne fylde skærmen ved at stille tidsenheden på 2ms/div. Hvis man ønsker at se flere perioder, eller kun en del af svingningen ændres blot tidsenheden. Standard-oscilloskop og de mest nødvendige knapper Under indstillingerne er indgange med amplituderegulering. Der er som regel to indgange, som kan fremvises samtidig (ch 1 & ch 2). Imellem disse er en omskifter, som regulere hvad man ser; enten den ene kanal, den anden, begge, begge summeret (ch1 + ch2) eller differencen mellem dem begge (ch 1 - ch 2). For hver indgang er der en amplitudeenhedsregulering alá tidsenhedens (Volts/div.): Her kan man stille amplitudeaksens enheder så de passer til målesignalets spændingsamplitude, og er påtrykt enheder for volt pr. gitterstreg. Derudover er der en lille knap til at regulere hvor på amplitudeaksen kurven skal ligge (U=0), samt et BNC-stik som indgang. Har man f.ex. et signal på ±10V, kan man få et rimeligt billede ved at vælge amplitudeakseenheden til 2 Volts/div., hvorved kurven vil fylde 10 2V = 20V = ±10V. Både tids- og amplitudeakseenhederne vælges lettest ved at prøve sig frem, indtil kurveformen afbildes som ønskes: Er den afbildede kurve med for mange perioder ændres time/div. til en mindre værdi og omvendt hvis man ikke kan se en hel periode ændres den til en større værdi. Ligeså med amplituden, som ændres til en mindre værdi hvis kurvens udsving ikke er særligt store på skærmen, og omvendt hvis spidserne er udenfor skærmen så man ikke kan se dem. Når kurven står klart og tydeligt og fylder skærmen ud på passende vis, kan både periode/frekvens og amplitude aflæses ved at tælle antallet af gitterstreger (div.) og gange med værdierne på enhedsregulatorne. Eksempelvis kan kurven på oscilloskopet på skitsen herover betragtes som en sinusfunktion med perioden på knapt 9 gitterstreger med enheden på omskifteren 50μs/div., dvs T 9 50μs 450μ s, hvilket svarer til en frekvens på ca. 2,2 khz. Ligeså kan amplituden findes til lidt over 8 gitterstreger med enheden på forsoegsprojekt_elevb.odt Side 12 /

13 omskifteren på 50mV/div., dvs A p-p 8 50mV 400mV p-p (A p-p betyder peak to peak dvs amplituden fra bølgetop til bølgedal). Udover at kunne bestemme periode og amplitude på en svingning, kan man ved at betragte kurveformen, i mange tilfælge udlede et væld af informationer om signalet. forsoegsprojekt_elevb.odt Side 13 /