ELEKTRISKE KREDSLØB OG DYNAMISKE SYSTEMER
|
|
- Christian Mørk
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 EE Basis, foråret 2009 ELEKTRISKE KREDSLØB OG DYNAMISKE SYSTEMER Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 1
2 Emner for idag Komplekse tal sådan helt fra bunden DefiniHoner og regneregler Lidt flere definihoner og lidt flere regneregler RepræsentaHon af komplekse tal rektangulær / polær Komponentligning kompleks beskrivelse af sammenhæng mellem spænding og strøm for en given komponent Formelsamling Lidt Hl opgaverne Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 2
3 Hvorfor komplekse tal? På et Hdligt Hdspunkt løb matemahkere ind i et problem De fandt nemlig en masse ligninger der ikke havde løsninger, når de kun så på de reelle tal For at kunne håndtere disse ligninger, opfandt man de komplekse tal Brugen af komplekse tal daterer helt Hlbage Hl 1500 tallet Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 3
4 DefiniHonen på et komplekst tal Et komplekst tal defineres som et ordnet par (x, y), bestående af reelle tal, x og y, og det skrives som Vi definerer x Hl at være den reelle del af z, og y Hl at være den imaginære del. DeWe skriver vi som Som eksempel kan vi tage tallet z=(4, 3), hvor vi vil få Re(z)=4 og Im(z)= 3 Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 4
5 Regneregler Et tal er ikke meget værd, hvis ikke vi kan udføre beregninger på og med det Så for at kridte banen af, så definerer vi to komplekse tal, z 1 =(x 1, y 1 ) og z 2 =(x 2, y 2 ), Hl at være ens, hvis og kun hvis, deres individuelle reelle dele er ens og hvis deres imaginære dele samhdig også er ens z 1 = ( 4, 3) z 2 = ( 3,4 ) z 3 = ( 4, 3) z 4 = ( 4,3) z 1 = z 3 Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 5
6 Regneregler addihon I forbindelse med addihon of to, eller flere, komplekse tal gælder følgende Når to komplekse tal adderes skal vi altså addere tallenes reelle dele og Hlsvarende skal vi addere tallenes imaginære dele Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 6
7 Regneregler mulhplikahon I forbindelse med mulhplikahon of to, eller flere, komplekse tal gælder følgende Når to komplekse tal bliver mulhpliceret, så bliver den reelle og den imaginære del for det resulterende komplekse tal altså en skøn blanding Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 7
8 RepræsentaHoner Komplekse tal hvor den imaginære del er lig nul, tager formen (x, 0) Baseret på vore regnereglerne får vi følgende ( ) z 2 = ( x 2,0) z 1 = x 1,0 z 3 = z 1 + z 2 = ( x 1, y 1 ) + ( x 2, y 2 ) = ( x 1 + x 2,0) z 3 = z 1 z 2 = ( x 1, y 1 ) ( x 2, y 2 ) = ( x 1 x 2,0) Altså nøjaghg det samme resultat som vi ville få ved at addere eller mulhplicere to reelle tal Komplekse tal er altså blot en udvidelse af det reelle talsystem Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 8
9 RepræsentaHoner Det komplekse tal (0, 1) betegnes med et i eller et j. Ingeniører benywer j da i jo betegner strøm Begge betegnelser benywes dog hist og pist Begge er reserverede tal i MATLAB! ( ) Tallet j betegnes som den imaginære enhed Prøver vi at regne lidt på tallet j, så finder vi en karakterishske egenskab Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 9
10 RepræsentaHoner For et vilkårligt reelt tal, y, vil følgende gælde Tilsvarende kan et vilkårligt reelt tal skrives som Bruger vi vores regneregler igen får vi Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 10
11 Tavleopgave 1 Omskriv Hl/fra j notahon eller udregn følgende?????? Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 11
12 RepræsentaHoner det komplekse plan Med de definihoner vi nu har fået indført, så er det nærliggende at prøve med en grafisk fortolkning af disse komplekse tal Grundidéen er ganske simpel men den har store anvendelsesmæssige aspekter Vi indfører en reel akse og en imaginær akse DeWe kaldes for et Cartesisk koordinatsystem Et vilkårligt komplekst tal kan repræsenteres ved et punkt i dewe koordinatsystem Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 12
13 RepræsentaHoner det komplekse plan Med denne grafiske repræsentahon fremgår det næsten direkte, at et komplekst tal beskriver en vektor i det komplekse plan, og at denne vektor har en bestemt længde og retning Rektangulær rep. Polær rep. Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 13
14 RepræsentaHoner rekt./pol. Omregning mellem rektangulær og polær repræsentahon er baseret på følgende subshtuhon Med den i lommen finder vi følgende Euler Absolut værdi (modulus) Argument Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 14
15 Regneregler igen AddiHon SubtrakHon Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 15
16 Regneregler igen MulHplikaHon (følger alm. regneregler nu) z 1 z 2 = ( x 1 + jy 1 )( x 2 + jy 2 ) = ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) + j( x 1 y 2 + y 1 x 2 ) ( 5 + j) ( 1+ j3) = 5 + j15 + j + j 2 3 = 2 + j16 Division er (sjovt nok) defineret som den omvendte mulhplikahonsfunkhon. z = z 1 z = z z = x + jy 1 2 z 2 = x x 2 y y 2 ( )( x 2 + jy 2 ) ( ) + j( x y 2 + y x 2 ) x 1 = x x 2 y y 2 y 1 = x y 2 + y x 2 2 ligninger med 2 ubekendte Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 16
17 Regneregler igen Under antagelse af at x 2 og y 2 ikke begge er lig nul (z 2 0) finder vi en entydig løsning Hl ligningssæwet som Med andre ord kan vi udregne en division som BØVL! Der er en nemmere måde hvorpå en division kan beregnes, nemlig vha. den kompleks konjugerede Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 17
18 Kompleks kunjugerede Hvis vi har et vilkårligt komplekst tal, z=x+jy, så er den kompleks konjugerede værdi for dewe tal givet som Som eksempel z = x + jy z * = z = x jy z = 5 + j2 z = 5 j2 Der er således tale om en spejling omkring den reelle akse Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 18
19 Kompleks konjugerede Den kompleks konjugerede er ganske vighg i mange sammenhænge, bla. fordi z z = ( x + jy) ( x jy) = x 2 + y 2 Altid reel værdi Vender vi Hlbage Hl vores division kan vi benywe dewe Hl at få følgende z = z 1 = x 1 + jy 1 = x 1 + jy 1 z 2 x 2 + jy 2 x 2 + jy 2 ( )( x 2 jy 2 ) ( )( x 2 jy 2 ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 + j y 1 x 2 x 1 y 2 x y 2 x y 2 z = z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 z 2 Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 19
20 Hvad kan vi så bruge det Hl? Ja I husker måske vores formeltur fra KRT5? For et så simpelt kredsløb er forskellen ikke så stor, men for større kredsløb vinder vi en hel masse ved at regne på komplekse størrelser Vi bestemmer en komponentligning som det første Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 20
21 Komponentligning modstand Ohms lov gælder også for komplekse strømme og spændinger v(t) = R i(t) i(t) = I M cos(ωt + θ) v(t) = R I M cos(ωt + θ) = Re{ I M e jωt e jθ } I = I M e jθ = Re{ R I M e jθ e jωt } V = V M e jθ V = R I Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 21
22 Komponentligning modstand Grafiskt Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 22
23 Komponentligning kondensator v(t) = 1 C i(t)dt + v 0 v 0 = 0 i(t) = I M cos(ωt + θ) = Re{ I M e jωt e jθ } I = I M e jθ v(t) = 1 ωc I cos(ωt + θ π M 2 ) 1 = Re ωc I e jωt M e jθ e jπ / 2 1 = Re jωc I e jθ M e jωt = Re 1 jωc I e jωt Svarer Hl Ohms lov Fase: spænding π/2 erer strøm jωt = Re{ Ve } Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 23
24 Komponentligning kondensator Grafiskt Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 24
25 Tavleopgave 2 1. OpsHl et udtryk for den komplekse spænding 2. OpsHl et udtryk for den komplekse strøm 3. Beregn amplitude og fase af strømmen (talværdier) når følgende er givet: v(t) = V M cos(ωt+θ), C = 100 µf, frekvens = 50 Hz, θ = π/4, V M = 10 V Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 25
26 Komponentligning spole i(t) = I M cos(ωt + θ) = Re{ I M e jωt e jθ } I = I M e jθ v(t) = ωl I M cos(ωt + θ + π 2 ) { } { } { } = Re{ Ve jωt } = Re ωl I M e jωt e jθ e jπ / 2 = Re jωl I M e jθ e jωt = Re jωl I e jωt Svarer Hl Ohms lov Fase: Spænding π/2 foran strøm Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 26
27 Komponentligning spole Grafiskt Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 27
28 Beregningseksempel Indgangssignal: v(t) = V M cos(ωt) ~ V = V M e j 0 Komponentligninger: KVL: MatemaHk: I = I M e jθ 1 I M = R 2 + (ωl) V 2 M θ = arctan ωl R i(t) = Re Ie jωt { } = I M cos ωt + θ ( ) Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 28
29 Formelsamling z 1 + z 2 = ( x 1 + x 2 ) + j( y 1 + y 2 ) z 1 z 2 = ( x 1 x 2 ) + j( y 1 y 2 ) z 1 z 2 = ( x 1 + jy 1 )( x 2 + jy 2 ) = ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) + j( x 1 y 2 + y 1 x 2 ) z = z 1 = x 1 + jy 1 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + j y 1 x 2 x 1 y 2 z 2 x 2 + jy 2 x y 2 x y 2 z = x + jy = r e jφ z = r = x 2 + y 2 φ = arg z ( ) = argtan y x z 1 z 2 = r 1 e jφ 1 r e jφ 2 = r r e jφ 1 e jφ 2 = r r e j ( φ 1 +φ 2 ) z 1 z 2 = r 1 e jφ1 r 2 e jφ 2 = r 1 e jφ 1 e j ( φ ) 2 = r 1 e j ( φ 1 φ 2 ) r 2 r 2 Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 29
30 Lidt Hl opgaverne Syv opgaver der, naturligt nok, alle omhandler komplekse tal og deres brug Opgave 1 4, ren matemahk Opgave 5 7, kredsløbsteorehske Meget har været introduceret Hdligere (matemahk og basal elektronik) Lad være med at bruge lommeregnere og andet (Maple f.eks.) det er simple beregninger og i får en bedre forståelse ved at regne Hngene igennem selv Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 30
Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereDesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Læs mereKREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB
EE Basis, foråret 2010 KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 1 Emner for idag Kondensatorer Spoler TidsaGængige kredsløb Universalformlen
Læs mereKomplekse tal. x 2 = 1 (2) eller
Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse
Læs mereC R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen
Kredsløbsfunktioner Lad os i det følgende betragte kredsløb, der er i hvile til t = 0. Det vil sige, at alle selvinduktionsstrømme og alle kondensatorspændinger er nul til t = 0. I de Laplace-transformerede
Læs mereImpedans. I = C du dt (1) og en spole med selvinduktionen L
Impedans I et kredsløb, der består af andre netværkselementer end blot lække (modstande) og kilder vil der ikke i almindelighed være en simpel proportional, tidslig sammenhæng mellem strøm og spænding,
Læs mereIMPEDANSBEGREBET - KONDENSATOREN. Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S. Diagrammer
AC IMPEDANSBEGREBET - KONDENSATOREN Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S Diagrammer Kondensatorens faseforskydning: En kondensator består alene af ideel reaktiv del (X C ),
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik 1 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006 side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 4 og 5 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer af selvstudium med
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereKREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB
EE Basis, foråret 2009 KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT2 1 Emner for idag Thevenin og Norton ækvivalenter Virkelige kilder SuperposiLon
Læs mereNøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning
Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion
Læs mereKREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB
EE Basis, foråret 2010 KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT1 1 Emner for idag IntrodukEon El kurset Kredsløbsteori Formål og indhold
Læs mereIMPEDANSBEGREBET - SPOLEN. Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S. Diagrammer
AC IMPEDANSBEGREBET - SPOLEN Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S Diagrammer Spolens faseforskydning: En spole består egentlig af en resistiv del (R) og en ideel reaktiv del
Læs mereInden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen
Læs mereKomplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009
Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne
De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,
Læs mereKomplekse tal i elektronik
Januar 5 Komplekse tal i elektronik KOMPLEKSE tal er ideelle til beregning på elektriske og elektroniske kredsløb hvori der indgår komponenter, der ved vekselspændinger fase-forskyder strømme og spændinger,
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereKomplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015
Komplekse tal Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Indhold 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner 2 1.1 Radianer................................................ 2 1.2 Cosinus og sinus som
Læs mereSCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan findes her. PDF. Henrik S. Hansen, version 3.
SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Opgaver til noterne kan findes her. PDF Facit til opgaverne kan findes her. PDF Henrik S. Hansen, version 3.1 0 Indhold Tallenes udvikling... 1 Tallenes udvikling...
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereVEKSELSPÆNDINGENS VÆRDIER. Frekvens Middelværdi & peak værdi (max) Effektiv værdi (RMS) Mere om effektiv værdi!
AC VEKSELSPÆNDINGENS VÆRDIER Frekvens Middelværdi & peak værdi (max) Effektiv værdi (RMS) Mere om effektiv værdi! Frekvens: Frekvensen (f) af et system er antallet af svingninger eller rotationer pr. sekund:
Læs mereKomplekse tal i elektronik
3/-8 Komplekse tal i elektronik KOMPLEKSE tal er ideelle til beregning på elektriske og elektroniske kredsløb hvori der indgår komponenter, der ved vekselspændinger fase -forskyder strømme og spændinger,
Læs mereKREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB
EE Basis, foråret 2010 KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT3 1 Emner for idag Hvad er en OPAMP? AJængige kilder OperaMonsforstærkeren
Læs mereSCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5
SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mere3 Overføringsfunktion
1 3 Overføringsfunktion 3.1 Overføringsfunktion For et system som vist på figur 3.1 er overføringsfunktionen givet ved: Y (s) =H(s) X(s) [;] (3.1) Y (s) X(s) = H(s) [;] (3.2) Y (s) er den Laplacetransformerede
Læs mereBesvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012
Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:
Læs mereKomplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning
enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,
Læs mereFasedrejning og komplekse tal i elektronik Version
9/-8 KOMPLEKSE tal er ideelle til beregning på elektriske og elektroniske kredsløb hvori der indgår komponenter, der ved vekselspændinger fase -forskyder strømme og spændinger, og hvis ohmske værdier afhænger
Læs mereKomplekse tal. enote Indledning
enote 1 1 enote 1 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R, forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 6
Opgave 4: Udtryk funktionen f(θ) = sin θ ved hjælp af Legendre-polynomierne på formen P l (cos θ). Dvs. find koefficienterne a l i ekspansionen f(θ) = a l P l (cos θ) l= Svar: Bemærk, at funktionen er
Læs mereKomplekse Tal. Frank Villa. 15. februar 2013
Komplekse Tal Frank Villa 15. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereKomplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011
Komplekse Tal Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereKomplekse Tal. Frank Villa. 22. februar 2013
Komplekse Tal Frank Villa 22. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereNoter til Komplekse tal i elektronik. Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant
Noter til Komplekse tal i elektronik. Eksempler på steder, hvor der bruges kondensatorer og spoler i elektronik: Equalizer Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant Selektive forstærkere. Når der er
Læs mereStudieretningsprojekt 2013/14 Elevens navn: Helena Clara Eiken Klasse: 3x 08
Frederiksborg Gymnasium og HF Studieretningsprojekt 2013/14 Elevens navn: Helena Clara Eiken Klasse: 3x 08 Fag: Vejleder: Studieretningsfag på A-niveau MA GS Gert Schomacker Fag på mindst B-niveau FY GS
Læs mere1 v out. v in. out 2 = R 2
EE Basis 200 KRT3 - Løsningsforslag 2/9/0/JHM Opgave : Figur : Inverterende forstærker. Figur 2: Ikke-inverterende. Starter vi med den inverterende kobling så identificeres der et knudepunkt ved OPAMP
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereSvar på opgave 336 (Januar 2017)
Svar på opgave 6 (Januar 07) Opgave: De komplekse tal a, b og c opfylder ligningssystemet Vis, at a, b og c er reelle. (a + b)(a + c) = b (b + c)(b + a) = c (c + a)(c + b) = a. Besvarelse:. metode Lad
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 1
Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale
Læs mereKenneth Wosylus Opgaver og Vejledende løsninger
9.3 To transformere A og B, begge for 10/0,4 kv er parallelt forbundne. Den fælles belastning på sekundærsiden er symmetrisk og udgør i alt 900 kva ved en induktiv effektfaktor på 0,80. På primærsiden
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2017-forår 2018 Institution Videndjurs, Grenaa Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs10-matn/a-108010 Torsdag den 1. august 010 kl. 09.00-14.00 Forberedelsesmateriale Prøvesæt
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereKomplekse tal og Kaos
Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik
Læs mereKomplekse Tal. Frank Villa. 20. februar 2013
Komplekse Tal Frank Villa 20. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 217 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 1
Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Jan.-jun. 2010 Institution Grenaa Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Michael
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereReeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Læs merei(t) = 1 L v( τ)dτ + i(0)
EE Basis - 2010 2/22/10/JHM PE-Kursus: Kredsløbseori (KRT): ECTS: 5 TID: Mandag d. 22/2 LØSNINGSFORSLAG: Opgave 1: Vi ser sraks, a der er ale om en enkel spole, hvor vi direke pårykker en kend spænding.
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2015-forår 2016 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereDesignMat Uge 11. Vektorrum
DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en
Læs mereKompleks Funktionsteori
Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv
Læs mereGrundlæggende matematik
Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste
Læs mereBoolsk algebra For IT studerende
Boolsk algebra For IT studerende Henrik Kressner Indholdsfortegnelse 1 Indledning...2 2 Logiske kredsløb...3 Eksempel:...3 Operatorer...4 NOT operatoren...4 AND operatoren...5 OR operatoren...6 XOR operatoren...7
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereFagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne
Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne Umulige figurer Periode Mål Eleverne skal: At opdage muligheden for og blive fascineret af gengivelse af det umulige. At få øvelse
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereKursusnoter til BasisMat
Kursusnoter til BasisMat Peter Beelen Søren Thomsen Peter Nørtoft Morten Brøns Im z=re iα z =r arg(z)=α Re e iπ + 1 = 0 INSTITUT FOR MATEMATIK OG COMPUTER SCIENCE DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET 2016 Indhold
Læs mereFraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereOPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning
OPGAVER 1 Opgaver til Uge 4 Store Dag Opgave 1 Approksimerende polynomier. Håndregning a) Find for hver af de følgende funktioner deres approksimerende polynomiumer af første og anden grad med udviklingspunkt
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereMål Kompetencer Matematiske arbejdsmåder. Problembehandling. Ræsonnement
Forslag til årsplan for 9. klasse, matematik Udarbejdet af Susanne Nielson og Pernille Peiter revideret august 2011 af pædagogisk konsulent Rikke Teglskov 33-38 Rumgeometri Kende og anvende forskellige
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereComputer- og El-teknik A 6. semester BAR Version 03.17
Sallen-Key Filter som impedanser Et sallen-key filter består af både modstande og kondensatorer, placeret alt efter hvilken konfiguration man ønsker (højpas, lavpas eller båndpas, men som grundlag kan
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mereAlgebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering
Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................
Læs mere