Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Start-mat. for stx og hf Karsten Juul"

Transkript

1 Start-mat for stx og hf 0,6 5, Karsten Juul

2 Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/ (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren sender en til som oplyser at dette hæfte benyttes og oplyser hold, niveau, lærer og skole. Side Koordinater 1.01 Koordinatsystem Koordinater... 1 Funktion 2.01 Eksempel på to størrelser Variabel Funktion Forskrift f (x)-skrivemåde Opgave-besvarelser C-, B- og A-niveau... 4 Graf 3.01 Hvad er en graf? Oplæg Definition af graf Aflæse f (4) på graf for f Løse f (x) = 6 på graf for f Aflæse antal til tiden 1, Aflæse hvornår antal er Aflæse hvornår de to kontorer har samme antal Elektronisk aflæsning Tegne graf på papir Tegne graf i Nspire Ligger punkt på graf? Bestem k så P ligger på graf Model 4.01 Hvad er en model? Model og målte tal Afvigelse Når x-værdi kun kan være helt tal Regression 5.01 Oplæg Opgavens formulering Brugsanvisning til regression i Nspire Krav til besvarelse Besvarelsen Alle tal skal bruges Når der står Brug model Årstal Residualer og største afvigelse Residualplot Brugsanvisning til residualplot i Nspire... 15

3 Skæring 6.01 Skæring mellem graf og y-akse Skæring mellem graf og x-akse Skæring mellem to graf Opstil forskrift 7.01 Opstil forskrift. Eksempel Samle led Opstil forskrift. Eksempel Gange ind i parentes Sætte uden for parentes Opstil forskrift. Eksempel Hæve parentes Lineær funktion intro 8.01 Oplæg til definition af lineær funktion Definition af lineær funktion Graf for lineær funktion Lineær funktion løse ligning 9.01 Oplæg Regler for ligevægt Eksempel på fejl Modsat regning Eksempel på detaljeret løsning Små-eksempler med regler for ligevægt Forkorte Små-eksempler med regler for ligevægt Lineær funktion betydning af a og b Oplæg til betydning af a og b Sætning om betydning af a og b Aflæse a og b på graf Bruge a og b til at afsætte grafpunkter Graf og fortegn for a Opgave: Hvad fortæller a og b? Opgave: Hvad fortæller a og b? Opgave: Opstil model Opgave: Opstil model Eksempel på argumentation Eksempel på argumentation Bevis for a-tallets betydning Bevis for b-tallets betydning... 28

4 Lineær funktion udregn a og b Bestem b ud fra a og et punkt Bestem a ud fra b og et punkt Bestem a og b ud fra to punkter uden brug af formel Løs ligningssystem med Nspire Løs ligningssystem uden hjælpemidler Kontrol af facit Formler for a og b Brug af formlerne for a og b Proportionale størrelser Oplæg til definition af proportional Definition af proportional Opgave om proportional Der er stikordsregister bag i dette hæfte Øvelser der henvises til i dette hæfte Kan downloades fra start_mat_koordinater.tns start_mat_funktion.tns start_mat_graf.tns start_mat_skaering.tns start_mat_opstil_1del.tns start_mat_opstil_2del.tns start_mat_opstil_3del.tns start_mat_lineaer_intro.tns start_mat_lineaer_loese.tns start_mat_linaer_tolk_a_b.tns start_mat_linaer_tolk_a_b_2.tns start_mat_linaer_tolk_a_b_3.tns start_mat_lineaer_udregn_a_b_1del.tns start_mat_lineaer_udregn_a_b_2del.tns start_mat_proportional.tns start_mat_skyder.tns

5 1.01 Koordinatsystem Figuren viser et koordinatsystem. 1. Koordinater y 1 1 x Koordinatsystemet består af to tallinjer: Den vandrette tallinje kaldes x-aksen eller førsteaksen. Den lodrette tallinje kaldes y-aksen eller andenaksen. På hver af tallinjerne er der en pil: tallene bliver større i pilens retning. Det er altså en fejl at sætte pil i den anden ende af tallinjen Koordinater Hvert punkt i koordinatsystemet har et koordinatsæt. Det røde punkt på figurerne nedenfor har koordinatsættet ( 7, 4). Afsnit 1.2 kan gennemgås ved at løse opgaverne i start_mat_koordinater.tns Det første af tallene i koordinatsættet kaldes x-koordinaten eller førstekoordinaten. Det andet af tallene i koordinatsættet kaldes y-koordinaten eller andenkoordinaten. y x-koordnat En lodret linje gennem punktet skærer x-aksen ved 7. Derfor er x-koordinaten lig x y y-koordnat En vandret linje gennem punktet skærer y-aksen ved 4. Derfor er y-koordinaten lig x Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

6 2. Funktion 2.01 Eksempel Billedet til højre viser et rektangel på en med to størrelser computerskærm. Afsnit kan gennemgås ved at løse opgaverne i start_mat_funktion.tns Når man trækker i det røde punkt, så ændres bredde og højde som det er vist på de to billeder nedenfor Variabel En talstørrelse der ændres kaldes en variabel. Bredden er er en variabel. Højden er en variabel. Man bruger ofte et bogstav som navn for en variabel: b = bredde h = højde På et af billederne ovenfor ser vi: Når b = 5,5 så er h = 7, Funktion Der gælder højden er en funktion af bredden fordi der gælder til hver værdi af bredden er der én værdi af højden. (Der gælder også: bredden er en funktion af højden) Forskrift På hvert af de tre billeder ovenfor ser vi at man får højden ved at lægge 2 til bredden. Det viser sig at dette altid gælder for denne figur: h = b + 2. Udtrykket på ligningens højre side kaldes eller en forskrift for funktionen en regneforskrift for funktionen. Ofte er en forskrift mere indviklet, f.eks.: y = 3 x 2 x + 5. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

7 2.05 f (x)-skrivemåde I stedet for h = b + 2 skriver man ofte h(b) = b + 2. Så gælder h(5) er højden når bredden er 5. Symbolet h(5) læses h af 5. Når man indsætter et tal for b i h(b) = b + 2 så skal man huske at indsætte det på begge sider af lighedstegnet: h(5) = h(5) = 7 højden svarende til bredden 5 er lig 7. Skrivemåden h( ) kaldes funktions-skrivemåde. Her er endnu et eksempel på denne skrivemåde: f (x) = 3 x 2 x + 5 f (2) = f (2) = 15 Vi siger: Funktionsværdien af 2 er Opgavebesvarelser Opgave I en model kan antallet af dyr beskrives ved f ( x) 121 1, 07 x hvor y er antal dyr og x er tiden målt i uger efter oversvømmelsen. a) Bestem antal dyr 5 uger efter oversvømmelsen, b) Bestem hvornår antallet af dyr er 500. Besvarelse HUSK at skrive de oplysninger fra opgaveteksten som du bruger. Hvis f(5)= skrives i samme matematikfelt som , så kommer det ikke til at stå korrekt. Over solve skrives hvad solve udfører, da solve ikke er normalt matematiksprog. HUSK at skrive konklusion til hvert spørgsmål, og markér facit i konklusionen. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

8 2.07 C-, B- og A- niveau Eksempel på C-niveau På en skærm er der et rektangel som kan ændres. f (x) = 1,4 x + 0,8 hvor x er bredden og f (x) er højden. Vi bestemmer rektanglets areal når bredden er 4,5 : Når bredde = 4,5 er højde = f (4,5) = 1,4 4,5 + 0,8 = 7,1. Rektanglets areal er bredde højde = 4,5 7,1 = 31,95 Eksempel på B-niveau På en skærm er der et rektangel som kan ændres. f (x) = 1,4 x + 0,8 hvor x er bredden og f (x) er højden. Vi bestemmer en forskrift for rektanglets areal g(x) som funktion af bredden x. Når bredde = x er højde = f (x) = 1,4 x + 0,8. Rektanglets areal er bredde højde = x (1,4 x + 0,8) = 1,4 x 0, 8 x g( x) 2 1,4 x 0, 8 x 2 Eksempel på A-niveau På en skærm er der et rektangel som kan ændres. f (x) = a x + b hvor x er bredden og f (x) er højden. Vi bestemmer en forskrift for rektanglets areal g(x) som funktion af bredden x. Når bredde = x er højde = f (x) = a x + b. Rektanglets areal g(x) er bredde højde = x (a x + b) = g( x) 2 a x b x a x 2 b x Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

9 3. Graf 3.01 Hvad er en graf? Billedet til højre viser et rektangel på en skærm. Oplæg. Man kan ændre rektanglet ved at trække i det røde punkt. Ved at gøre dette kan man se at Afsnit kan højden er en funktion af bredden gennemgås ved at løse opgaverne i fordi der gælder start_mat_graf.tns til hver værdi af bredden er der én værdi af højden. På billedet ser vi at når bredden er 3, så er højden 2,5. Denne oplysning afsætter vi som et punkt i koordinatsystemet. En person der ser koordinatsystemet, kan se: x-koordinat = 3 og y-koordinat = 2,5. Dette fortæller: når bredde er 3, er højde 2,5, dvs. funktionsværdien af 3 er 2,5. Hvis funktionen kaldes f, kan dette skrives f (3) = 2,5. Vi trækker i det røde punkt så bredde bliver 6. Vi ser at højde er 4. Denne oplysning afsætter vi i koordinatsystemet. Hvis der for hver bredde er et punkt i koordinatsystemet, så har vi funktionens graf : 3.02 Definition af graf En definition er en forklaring på hvad et ord betyder. Grafen for en funktion f består at de punkter (x,y) hvor y er funktionsværdien af x, dvs. y = f (x). Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

10 3.03 Aflæse f (4) Vi vil aflæse tallet f (4) på grafen. på graf for f Tallet i parentesen er x-værdien. Vi skal altså finde det punkt på grafen som har x-koordinat 4. f Vi ser at punktets y-koordinat er 3. f (4) = y-koordinat til grafpunkt med x-koordinat 4 f ( 4) 3 Se markering på figur. f Når vi aflæser et tal på en figur, skal vi skrive tallet på figuren der hvor vi har aflæst det. Hvis der ikke er plads, kan vi lave en pil fra tallet til det sted hvor det er aflæst Løse f (x)=6 Vi vil aflæse løsningerne til ligningen på graf for f f ( x) 6 på grafen. f Da f (x) er y-værdien, står der at y-værdien er 6. Derfor skal vi finde de punkter på grafen hvor y-koordinaten er 6. Der står x i parentesen, så facit er x-koordinaterne til de punkter vi har fundet. Løsningerne til f ( x) 6 er x-koordinaterne til de grafpunkter hvis y-koordinat er 6. f Løsningerne til f ( x) 6 er x 3 eller x 7. Se markering på figuren. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

11 3.05 Aflæse antal til tiden 1,3 28 1,3 Grafen viser antal ansatte som funktion af tiden (år efter kontorets opretteslse). Vi vil bestemme antal til tiden 1,3 år. For at gøre dette, finder vi det punkt på grafen hvor x (tiden) er 1,3. Vi ser at dette punkts y er 28, og y er antal. Til tiden 1,3 år er antal lig Aflæse hvornår antal er Vi vil bestemme hvornår antal er 15. Vi finder det punkt på grafen hvor y (antal) er 15. Vi ser at dette punkts x er 2,9, og x er tid. Antal er 15 til tiden 2,9 år Aflæse hvornår de to kontorer har samme antal 2,9 0,6 5, 9 I koordinatsystemet er tilføjet grafen for et andet kontor. Vi vil bestemme hvornår de to kontorer har samme antal. Vi finder de x-værdier (tider) hvor de to grafer har samme y (antal). Vi ser at det er x-værdierne 0,6 og 5,9. De to kontorer har samme antal til tiderne 0,6 år og 5,9 år. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

12 3.08 Elektronisk Hvis graferne er tegnet i Nspire, aflæsning så kan aflæsningerne i 3.2 og 3.1 foretages elektronisk. Ved elektronisk aflæsning udfører Nspire en udregning der finder resultatet med stor nøjagtighed. Sådan aflæses en graf elektronisk: Skift til vindue med graf. Vælg i værktøjsmenu Geometri / Punkter og linjer / Punkt på. Klik på graf (ikke i skæring). Klik igen. Så fremkommer et punkt på grafen. Tryk på esc (så du kan foretage dig andet). På nogle grafer fremkommer punktets koordinatsæt automatisk. Hvis ikke, så højreklik på punktet og vælg Koordinater og ligninger. Dobbeltklik på den af koordinaterne som er kendt, og ret den til den kendte værdi. Så ændres den ukendte koordinat automatisk til den søgte værdi Tegne graf På papir vil vi tegne grafen for funktionen på papir 12 f ( x), 1 x 4. x For grafpunktet med x-koordinat 2 er y-koordinaten 12 f ( 2) 6. 2 På tilsvarende måde er de andre y-koordinater i tabellen udregnet: x: y: Vi afsætter disse punkter i et koordinatsystem og tegner en kurve gennem dem. Dette betyder at x kan være 1 eller 4 eller et tal mellem 1 og 4. Tal mellem 1 og 4 er også et tal som f.eks. 1,37. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

13 3.10 Tegne graf I Nspire vil vi tegne grafen for f (x) = 0,63x+11,2 i Nspire og aflæse f (16). Fra grafvinduet vælger vi i værktøjsmenuen Grafindtastning/Rediger og Funktion, og taster forskriften. Vi ser at x-aksen går til 10. Se A. A Da vi skal bruge x-værdi 16, lader vi x-akse gå til et tal noget større end 16, f.eks. 20. Standardmetoden til dette er: Vælg i Værktøjsmenuen Vindue/Zoom og Indstillinger for vindue, og sæt XMax til 20. Se B. B En væsentlig del af grafen ligger over vinduet. Vi må vælge et meget større tal for YMax. Vi kan prøve med 100. Se C. C Det var for meget med 100. Grafen skal fylde en større del af koordinatsystemet. D Vi prøver at sætte YMax til 30. Se D. Den negative del af y-aksen er ikke relevant, så vi sætter YMin til et tal tættere på 0, f.eks. 4. Se E. E Rammen fortsætter på næste side! Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

14 For at pynte på figuren vælger vi i Værktøjsmenuen Vis og Skjul aksernes slutværdier. Se F. F Nu kan vi aflæse grafen elektronisk. Se 3.5. Hvis koordinatsættet står oven på noget andet, så flytter vi det lidt. Se G. G 3.11 Ligger punkt på graf? Vi vil undersøge om punktet P(2, 15) ligger på grafen for f (x) = 3 x + 8. Punktet ligger på grafen netop hvis funktionsværdien af x-koordinaten 2 er lig y-koordinaten 15. ifølge 3.2 Vi udregner funktionsværdien af 2 : f (2) = = = 14. Funktionsværdien af 2 er altså 14. Da den ikke er 15, gælder: Punktet P ligger ikke på grafen for f Bestem k så P ligger på graf En funktion g har forskriften g(x) = k x hvor k er et tal. Billedet viser grafen for g når k = 2. Vi vil bestemme k så P ligger på grafen. P ligger på grafen netop hvis g(10) = 14 ifølge 3.2 dvs. k 10 = 14 Vi løser denne ligning mht. k og får k = 1,4 P ligger på grafen netop hvis k = 1,4. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

15 4. Model 4.01 Hvad er en model? En model er noget matematik der ligner noget fra virkeligheden. Følgende funktion er en model: f (x) = 95 1,0055 x f (x) er antal celler x er antal minutter. Den blå kurve er graf for f. De røde prikker er målte tal. På billedet ser vi f.eks.: På tidspunktet 20 minutter: målt antal er lidt mindre end models antal. På tidspunktet 100 minutter: målt antal er lidt større end models antal Model og målte tal Vigtig egenskab ved en matematisk model: Et målt tal er normalt ikke præcis lig modellens tal Afvigelse Vi udregner antal dyr med en model. Det viser sig at forskel på udregnet og målt tal er 200. Passer model godt med målt tal? For at svare på dette er det i dette eksempel nødvendigt at sammenligne afvigelsen med størrelsen af det udregnede antal. Hvis det udregnede antal er : 200 Relativ afvigelse: 0,01 1% Model passer godt med udregnet antal. Hvis det udregnede antal er 300: 200 Relativ afvigelse: 0,67 67 % 300 Model passer ikke godt med udregnet antal Når x-værdi kun kan være helt tal I mange opgaver er der en model der ligner følgende: f (t) = antallet (af et eller andet) t år efter I mange tilfælde er der kun ét antal hvert år (f.eks. antal mio. i et årsregnskab). Så kan t kun være hele tal. Hvis spørgsmålet er hvornår er antallet 23, og man får t =4,3, så er svaret Hvis spørgsmålet er hvornår overstiger antallet 23, og man får t =4,3, så er svaret Fordoblingstid og halveringstid kan godt angives som f.eks. 4,3 da disse er en angivelse af hvor langsomt antallet ændres. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

16 5. Regression 5.01 Oplæg Billedet viser Nspire-skærmen. Den blå linje er graf for funktionen med den viste forskrift. Med musen kan man flytte og dreje linjen. Så ændres forskriften automatisk. De sorte punkter viser målte værdier. Hvis vi trækker i linjen så den passer godt med punkterne, så vil den viste forskrift være en model af den pågædende sammenhæng. Vi kan få Nspire til at udføre lineær regression på punkterne. Så får vi forskriften for den linje der passer bedst med punkterne Opgavens formulering Vi har målt længde og bredde for nogle plader: længde i cm 11,5 12,5 13,5 14,5 15,5 bredde i cm 5,1 5,3 5,9 6,1 6,6 For plader af denne type gælder med god tilnærmelse y = ax+b hvor y er bredde i cm, og x er længde målt i cm. Find tallene a og b Brugsanvisning til regression i Nspire Del siden op i to. Vælg Noter i venstre vindue. Vælg Lister og Regneark i højre vindue. Tast først tabellen. Når du har tastet tabellen, så flyt markør til tomt felt. Vælg i værktøjsmenu: Statistik / Statistiske beregninger / Lineær regression (mx+b)... Det fremkomne vindue udfylder du sådan: I et matematikfelt i notevinduet taster vi f(x) (hvis vi har tastet f her ). Tryk på enter for at få resultatet. Skal vælges. IKKE tastes Krav til besvarelse Besvarelsen skriver du i note-vinduet. Besvarelsen skal indeholde følgende oplysninger: Hvilke tal du har tastet. Hvilke af tallene du har tastet i x-søjlen. Hvilke af tallene du har tastet i y-søjlen. At du får Nspire til at udføre regression. Hvilken type regression. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

17 5.05 Besvarelsen I Nspire kan besvarelsen se sådan ud: 5.06 Alle tal skal Tabel: bruges x: y: De fire punkter i tabellen er vist som røde prikker. Hvis vi bruger alle punkter til at bestemme lineær graf, så får vi den fuldt optrukne linje. Hvis vi kun bruger de to første punkter, så får vi den punkterede linje som passer dårligere med tabellen. Man skal altså bruge alle tal i tabellen Når der står For en type vare er y omsætning x dage efter annoncering. Brug model Målte tal: x: Model: y = 8x +12 y: Brug model til at bestemme stigning i omsætning fra 6 til 10 dage efter annoncering. Forkert: Af tabel: når x = 6 er y = 65 Af y = 8x +12 : når x = 10 er y = = 92 Stigning = 27 Rigtigt: Af y = 8x +12 : når x = 6 er y = = 60 Af y = 8x +12 : når x = 10 er y = = 92 Stigning = 32 Fejl at bruge målt tal når vi skal bruge model. Fejl at bruge tal fra tabel da vi skal besvare spørgsmål ved hjælp af model. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

18 5.08 Årstal Tabellen viser antallet af boliger i et bestemt område. Årstal Antal boliger Antallet af boliger kan med god tilnærmelse beskrives ved en ligning af typen y ax b hvor y er antallet af boliger, og x er antal år efter Find tallene a og b. Vi taster IKKE årstal da x ikke er årstallet! Den tastede tabel hører med til besvarelsen. På Nspire kan besvarelsen se sådan ud: Se brugsanvisning i Residualer og I de to øverste rækker i tabellen står tallene fra 5.02, største afvigelse dvs. anden række viser de målte y-værdier. Vi fandt modellen y = 0,38 x + 0,67. I denne model gælder: Når x = 11,5, så er y = 0,38 11,5 + 0,67 = 5,04. I tredje række står modellens y-værdier. I fjerde række har vi trukket models y fra målt y. Tallene i denne række kaldes residualer. Længde i cm x 11,5 12,5 13,5 14,5 15,5 Bredde i cm y målt 5,1 5,3 5,9 6,1 6,6 Bredde i cm y model 5,04 5,42 5,8 6,18 6,56 Residual i cm y målt y model 0,06 0,12 0,1 0,08 0,04 Vi ser at den største afvigelse mellem målt værdi og modelværdi for bredden er 0,12 cm, og det er når længden er 12,5 cm. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

19 5.10 Residualplot I koordinatsystemet nedenfor til venstre er vist residualerne fra Dette kaldes et residualplot. Afvigelserne virker tilfældige. Dette tyder på at det er rimeligt at bruge en model af typen y = a x + b. Hvis afvigelserne ligger på kæde som vist til højre, så tyder det på at det er bedre at bruge en anden type model Brugsanvisning til Residualplot i Nspire På Nspire kan vi nemt få vist residualplottet: Start på ny opgave. Vælg et vindue af typen Lister og regneark. Navngiv en søjle og tast x-værdier i den. Navngiv en søjle og tast y-værdier i den. Tilføj et vindue af typen Diagrammer og statistik. Klik under x-aksen og vælg søjlen med x-værdier. Klik til venstre for y-aksen og vælg søjlen med y-værdier. Vælg i værktøjsmenuen Undersøg data / Regression / lineær. Vælg i værktøjsmenuen Undersøg data / Residualer / Residualplot. På residualplottet finder vi punktet med størst afstand til x-aksen. Når markøren føres hen til punktet, fremkommer koordinatsættet. Vi ser at den største afvigelse mellem målt værdi og modelværdi for bredden er 0,12 cm, og det er når længden er 12,5 cm. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

20 6. Skæring 6.01 Skæring mellem graf og y-akse Afsnit 6 kan gennemgås ved at løse opgaverne i start_mat_skaering.tns P(x1, y1) er skæringspunkt mellem f-graf og y-akse. Billedet viser grafen for funktionen f (x) = 4 2 x P ligger på y-aksen, så x1 = 0. P ligger på f-grafen, så y1 = ifølge 3.02 og x 1 = 0. y1 = 3 P = (0, 3) Kan udregnes i Nspire. (I dette specielle tilfølde kan det også udregnes uden Nspire da et tal opløftet til 0 altid er lig 1, f.eks. 2 0 = 1 ) Skæring mellem graf og x-akse Q(x2, y2) er skæringspunkt mellem f-graf og x-akse. Q ligger på x-aksen, så y2 = 0 Q ligger på f-grafen, så Q = (2, 0) x2 = 2 x ifølge 3.02 og y 2 = 0. Nspire kan finde løsningen. (I dette specielle tilfølde kan vi kontrollere løsningen uden Nspire) Skæring mellem to grafer T(x3, y3) er skæringspunkt mellem f-graf og g-graf. På billedet er tilføjet grafen for funktionen g(x) = 2 x T ligger på f-grafen, så x y3 = ifølge 3.02 T ligger på g-grafen, så 4 x y3 = 2 x3 ifølge og 2 x3 er altså begge lig y3, så 4 2 x 3 = 2 x3 x3 = 1 Nspire kan finde løsningen. (I dette specielle tilfølde kan vi kontrollere løsningen uden Nspire da et tal opløftet til 1 altid er lig tallet, f.eks. 2 1 = 2). T ligger på g-grafen, så y3 = 2 1 ifølge 3.02 og x 3 = 1. T = (1, 2) Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

21 7. Opstil forskrift 7.01 Opstil forskrift I en park er en sti der går fra A til B. Eksempel 1 På billedet ses stien ovenfra. Enheden for tallene er km. Afsnit kan gennemgås ved at løse opgaverne i start_mat_opstil_1.tns I begyndelsen af stien skal fjernes et stykke, og i slutningen skal tilføjes et stykke. A 16 B B 7 2 x Af tekniske grunde skal bestyrelsen vælge et tal x, så det der fjernes, er 5 x, og det der tilføjes er 2 x. A 5 x 16 7 For den nye sti gælder længde er en funktion af x fordi der gælder til hver værdi af x er der én værdi af længden. Vi kalder funktionen f. Ud fra billedet ser vi at f har følgende forskrift: f (x) = 16 5 x x Samle led For at skrive forskriften simplere (reducére den), skal vi: 1) Først gøre os klart hvilke led der er. Plus og minus skiller led, så der er følgende fire led: 16 5 x x 2) Dernæst skal vi gøre os klart hvilke af leddene der af samme type: Led nr. 2 og 4 er af typen tal gange x, så de er samme type. Led nr. 1 og 3 er af typen tal uden bogstav, så de er af samme type. 3) Til sidst skal led af samme type slås sammen: = 23 5 x + 2 x = 3x Dvs. f (x) = 23 3 x. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

22 7.03 Opstil forskrift Billedet vser en indhegning set Eksempel 2 ovenfra. Tallenes enhed er meter. En del af hegnet udgøres af en eksisterende rød mur. Afsnit kan gennemgås ved at løse opgaverne i start_mat_opstil_2.tns Indhegningen skal være x meter længere end den eksisterende mur på 3 meter. 4 3 x For indhegningen gælder areal er en funktion af x fordi der gælder til hver værdi af x er der én værdi af arealet. Vi kalder funktionen f. Vi vil finde en forskrift for f : Metode 1: bredde = 4 længde = 3 + x areal = bredde længde areal = 4 (3 + x) f (x) = 4 (3 + x) 4 3 x x er forkert. I x står IKKE at 4 skal ganges med 3+x. Der står kun at 4 skal ganges med 3. Metode 2: venstre areal = 4 3 højre areal = 4 x areal = x f (x) = x 4 3 x 7.04 Gange ind i parentes 7.05 Sætte uden for parentes 4 (3 + x) og x er forskrift for samme funktion, så de er lig hinanden: 4 (3 + x) = x Regel: Man ganger et tal ind i en parente ved at gange hvert led i parentesen med tallet. At de to forskrifter er lig hinanden, kan også skrives sådan: x = 4 (3 + x) Regel: En faktor der er i hvert led, kan sættes uden for en parentes. Faktorer er noget der er ganget med hinanden. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

23 7.06 Opstil forskrift Eksempel 3 Afsnit kan gennemgås ved at løse opgaverne i start_mat_opstil_3.tns Der er p mønter. Først fjernes q mønter. Så fjernes r mønter. Antal mønter der er tilbage, kan udregnes på to måder. Metode 1 Læg q og r sammen. Træk resultatet fra p. Dette kan skrives som følgende regneudtryk: p (q + r) Metode 2 Træk q fra p. Træk r fra resultatet. Dette kan skrives som følgende regneudtryk: p q r 7.07 Hæve parentes Da p (q + r) og p q r er samme antal, må gælde p (q + r) = p q r. Regel: Når man hæver en minusparentes, (dvs. fjerner parentes og minus foran) skal man ændre fortegn for hvert led i parentesen. Eksempel: 7 ( 5 2 x) = 7 (+5 2 x) = x Regel: Når man hæver en plusparentes, (dvs. fjerner parentes og plus foran) skal man IKKE ændre fortegn i parentesen. Eksempel: 2 x + ( 6 x) = 2 x + (+6 x) = 2 x + 6 x Eksempel: 1 4 ( 2 + a) = 1 ( a) Først ganger vi ind i parentesen uden at hæve den. = a Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

24 8. Lineær funktion - intro 8.01 Oplæg til definition af lineær funktion Afsnit 8 kan gennemgås ved at løse opgaverne i start_mat_lineaer_intro.tns I dag er antal 12. Hver dag stiger antal med 4. Vi kan tænke os til følgende: Om 1 dag: antal = Om 2 dage: antal = 4 + (4 + 12) = = Om 3 dage: antal = 4 + ( ) = = Om x dage: antal = 4 x Forskriften er på formen a x + b. Antal Dage 8.02 Definition af lineær funktion Hvis man om to variable x og y siger y er en lineær funktion af x så betyder det at funktionen har en forskrift af typen y = a x + b hvor konstanterne a og b kan være alle tal. Konstanten a kaldes hældnings koefficienten. Konstanten b kaldes konstantleddet. På x's plads kan indsættes alle tal (dvs. definitionsmængden er alle tal). At a og b er konstanter, betyder at deres talværdier ikke ændres når x ændres. Eksempel: y = 5,2 x 12,6 er en lineær funktion. hældningskoefficient = 5,2. konstantled = 12,6 Begrundelse: y = a x + b vi sætter a = 5,2 og b = 12,6 y = 5,2 x + ( 12,6) y = 5,2 x 12,6 dette er den givne forskrift Eksempel: y = 2 x er en lineær funktion. hældningskoefficient = 1. Det er tallet foran x der er a. konstantled = 2 Begrundelse: y = a x + b vi sætter a = 1 og b = 2 y = ( 1) x + 2 y = x + 2 y = 2 x dette er den givne forskrift 8.03 Graf for lineær funktion At er det samme som at f er en lineær funktion, grafen er en ret linje. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

25 9. Lineær funktion - løse ligning 9.01 Oplæg For den lineære funktion y 3x 5 vil vi bestemme x når y er 17 : Afsnit 9 kan gennemgås ved at løse opgaverne i start_mat_lineaer_loese.tns 17 3x x 12 3x x Vi har trukket 5 fra begge sider. Vi har divideret begge sider med 3. Vi har udregnet venstre side. Vi har forkortet højre side. Vi løste ligningen ved at bruge regler for ligevægt. I forbindelse med lineære funktioner bruger man nedenstående fire regler for ligevægt Regler for ligevægt 9.03 Eksempel på fejl Regler for ligevægt Vi må lægge samme tal til begge sider af lighedstegnet. Vi må trække samme tal fra begge sider af lighedstegnet. Vi må gange begge sider af lighedstegnet med samme tal hvis dette tal ikke er nul. Vi må dividere begge sider af lighedstegnet med samme tal hvis dette tal ikke er nul. Følgende omskrivning er forkert: 2x + 2 = 6 2x + 2 = Fejlen er at det kun er en del af venstre side der er divideret med 2. Det er meningen at du skal tænke på ligningen som en vægt: Grøn klods vejer x kg. Gul klods vejer 1 kg. Øverste billede er 2x + 2 = 6. På næste billede har vi halveret det på højre vægtskål. Det er kun en del af det på venstre vægtskål der er halveret. Derfor er der ikke mere ligevægt. FORKERT Modsat regning Da vi løste 17 3x 5 startede vi med at trække 5 fra begge sider. Begrundelsen for dette er: Den modsatte regning til læg 5 til er træk 5 fra. Andre eksempler: Den modsatte regning til træk 6x fra er læg 6x til. Den modsatte regning til gang med 4 er divider med 4. Den modsatte regning til divider med 2 er gang med 2. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

26 9.05 Eksempel på detaljeret løsning Opgave: Gør rede for hvordan man kan løse ligningen 11x 2 = 4x + 19 ved at bruge regler for ligevægt og modsat regning. Redegørelse: lineær ligning 9.06 Små-eksempler med regler for ligevægt x + 8 = 12 x = 12 8 x = 4 x + 5 = 14 x = 14 5 x = 19 x 6 = 9 x = x = 15 Der er lagt 8 til x. Det modsatte er at trække 8 fra. Derfor trækker vi 8 fra begge sider. Der er lagt 5 til x. Det modsatte er at trække 5 fra. Derfor trækker vi 5 fra begge sider. Der er trukket 6 fra x. Det modsatte er at lægge 6 til. Derfor lægger vi 6 til begge sider. 4 x = 3 Der står plus foran 4 (da der ikke står noget). 4 x 4 = 3 4 Derfor trækker vi 4 fra begge sider. x = 1 Nederst står hvordan vi fjerner minus så x står alene. 7 + x = 2 Der er trukket 7 fra x. Det modsatte er at lægge 7 til. 7 + x + 7 = Derfor lægger vi 7 til begge sider. x = 9 24 = 3 x Der er trukket 3 fra x. Det modsatte er at lægge 3 til = 3 x + 3 Derfor lægger vi 3 til begge sider. 27 = x Nederst står hvordan vi fjerner minus så x står alene. x = 9 x ( 1) = 9 ( 1) Vi ganger begge sider med 1. x = 9 Fordi minus gange minus er plus. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

27 9.07 Forkorte 9.08 Små-eksempler med regler for ligevægt 4x 4 x ( 5) 5 x 5 5 kan forkortes til x fordi der står gange mellem 4 og x. kan forkortes til x fordi der står gange. 3 x og kan ikke forkortes til x fordi der ikke står gange. 3 3x = 12 x er ganget med 3. Det modsatte er at dividere med 3. Derfor dividerer vi begge sider med 3. x = 4 På venstre side kan 3 forkortes væk fordi der står gange mellem 3 og x. 2 = x 5 x er ganget med 5. Det modsatte er at dividere med 5. Derfor dividerer vi begge sider med 5. 0,4 = x På højre side kan 5 forkortes væk fordi der står gange mellem x og 5. 8x = 1 x er ganget med 8. Det modsatte er at dividere med 8. Derfor dividerer vi begge sider med 8. x = 0,125 8 forkortes væk fordi der står gange mellem 8 og x. 10. Lineær funktion betydning af a og b Oplæg til betydning af a og b Afsnit kan gennemgås ved at løse opgaverne i start_mat_lineaer_tolk _a_b.tns For funktionen y = 0,4 x + 1,2 får vi Når x = 1 er y = 0,4 ( 1) + 1,2 = 0,8 Dette resultat står først i tabellen nedenfor. De andre y-værdier i tabellen er udregnet på næsten samme måde. x: y: 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 I tabellen ser vi: Hver gang vi lægger 1 til x-værdien, så bliver der lagt 0,4 til y-værdien. Når x = 0, er y = 1, x: y: 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 +0,4 +0,4 +0,4 +0, Sætning om betydning af a og b En sætning er en vigtig matematisk regel. For en lineær funktion y = a x + b gælder: Hver gang vi lægger 1 til x-værdien, så bliver der lagt a til y-værdien. Når x = 0, er y = b. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

28 10.03 Aflæse a og b på graf Billederne viser grafen for en funktion f. Grafen er en ret linje, så Forskrift er af typen f (x) = a x + b. På graf aflæser vi at når x = 0, så er y = 3, så b = 3. På graf ser vi at når vi lægger 1 til x, så lægges 2 til y, så a = 2. Forskrift for f : f (x) = 2 x Bruge a og b til at afsætte grafpunkter En funktion f har forskriften f (x) = 0,5 x + 4. Forskriften er af typen f (x) = a x + b. b = 4, så grafen skærer y-aksen ved 4. Dette bruger vi til at tegne et punkt på grafen (se figur). a = 0,5, så når et punkt skubbes langs grafen så x bliver en større, så vil y blive 0,5 mindre. Dette bruger vi til at tegne nogle flere punkter på grafen (se figur). Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

29 10.05 Graf og fortegn for a Afsnit kan repeteres ved at løse opgaverne i start_mat_lineaer_tolk _a_b_2.tns og start_mat_lineaer_tolk _a_b_3.tns Opgave: Hvad fortæller a og b? På en lineær graf går vi en enhed mod højre. Så bliver der lagt a til y-koordinaten. Heraf følger: Når a er positiv, går graf opad mod højre. Når a er nul, er graf vandret. Når a er negativ, går graf nedad mod højre. Opgave Svar: For en dåse er y = 12 x + 35 hvor y = pris i kr. og x = vægt i gram af dåsens indhold. Hvad fortæller tallene 12 og 35 om varen? Forskriften er af typen y = a x + b med a = 12 så når man lægger 1 til x så lægges a til y dvs. når man lægger 1 til vægt så lægges 12 til pris så tallet 12 fortæller: Når vægten stiger med 1 gram, så stiger prisen med 12 kr. Forskriften er af typen y = a x + b med b = 35 så når x = 0 er y = b dvs. når vægt = 0 er pris = 35 så tallet 35 fortæller: Når dåsen er tom, er prisen 35 kr Opgave: Hvad fortæller a og b? Opgave Svar: I en by er y = 40 x hvor y = antal beboere og x = tid i år efter Hvad fortæller tallene 40 og 520 om byen? Forskriften er af typen y = a x + b med a = 40 så når man lægger 1 til x så lægges a til y dvs. når man lægger 1 til tid så lægges 40 til antal så tallet 40 fortæller: Når der går et år, så falder antal beboere med 40. Forskriften er af typen y = a x + b med b = 520 så når x = 0 er y = b dvs. når tid = 0 er antal = 520 så tallet 520 fortæller: I 2007 var antal beboere 520. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

30 10.08 Opgave: Opstil model Opgave Svar: Ved køb var plantens højde 27 cm, og højden bliver 2,5 cm større på en uge. Opstil en model der beskriver udviklingen i plantens højde. Vi indfører følgende variable: y = højde (cm) og x = tid (uger efter køb) Oplyst: y stiger samme antal enheder hver gang x stiger 1 enhed så funktionen er lineær: y = a x + b. Oplyst: Hver uge bliver højde 2,5 cm støre dvs. når man lægger 1 til x (tid) så lægges 2,5 til y (højde) så a = 2,5 Oplyst: På tidspunkt for køb er højde 27 cm dvs. når x = 0 så er y = 27 så b = 27 Vi kan nu opstille følgende model: y = 2,5 x + 27, y = højde (cm), x = tid (uger efter køb) Opgave: Opstil model Opgave Svar: Afstanden bliver 0,2 mm mindre for hver grad temperaturen stiger, og ved 0 C er afstanden 8,4 mm. Angiv en sammenhæng mellem afstanden og temperaturen. Vi indfører følgende variable: y = afstand (mm) og x = temperatur ( C) Oplyst: y falder samme antal enheder hver gang x stiger 1 enhed så funktionen er lineær: y = a x + b. Oplyst: For hver grad bliver afstand 0,2 mm mindre dvs. når man lægger 1 til x (temperatur) så lægges 0,2 til y (afstand) så a = 0,2 Oplyst: Når temperaturen er 0 C er afstand 8,4 mm dvs. når x = 0 så er y = 8,4 så b = 8,4 Vi kan nu opstille følgende sammenhæng: y = 0,2 x + 8,4, y = afstand (mm), x = temperatur ( C) Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

31 10.10 Eksempel på argumentation For funktionen y = 2 x +5 vil vi bevise hvad der sker med y når x bliver 3 enheder større. Vi starter med en vilkårlig x-værdi. Vi kalder denne x-værdi for t. Da t kan være ethvert tal, gælder vores argumentation for alle x-værdier. Hvis vi skrev 8 i stedet for t, så ville vores argumentation kun gælde når første x-værdi er 8. Næste x-værdi skal være 3 enheder større end t, så den næste x-værdi er t+3 : x : t t+3 y = 2 x +5 : Ved hjælp af forskriften finder vi de y-værdier der svarer til de to x-værdier t og t+3 : Når x er t, så er 2 x +5 = 2 t + 5 Når x er t+1, så er 2 x +5 = 2 (t+3) + 5 x : t t+3 y = 2 x +5 : 2 t +5 2 (t+3) + 5 Vi omskriver den anden y-værdi: 2 (t+3) + 5 = 2 t Vi har ganget 2 ind i parentesen. = 2 t Vi har reduceret. = 2 t Vi har byttet om på to af leddene. +3 x : t t+3 y = 2 x +5 : 2 t +5 2 t Vi ser at man skal lægge 6 til den første y-værdi for at få den anden. Vi har bevist følgende: For funktionen y = 2 x +5 gælder: Når x bliver 3 enheder større, vil y blive 6 enheder større Eksempel på argumentation For funktionen y = 2 x +5 vil vi bevise følgende: Grafen skærer y-aksen i punktet med y-koordinat 5. Skæringspunktet ligger på y-aksen, så dets x-koordinat er 0. Skæringspunktet ligger på grafen så dets y-koordinat fås ved at sætte dets x-koordinat ind i forskriften: y = = 5. Det var dette vi skulle bevise. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

32 10.12 Bevis for a-tallets betydning For funktionen y = a x + b vil vi bevise hvad der sker med y når x bliver 1 enhed større. Vi starter med en vilkårlig x-værdi. Vi kalder denne x-værdi for t. Næste x-værdi skal være 1 enhed større end t, så næste x-værdi er t+1 : a x + b : x : t t+1 Ved hjælp af forskriften finder vi de y-værdier der svarer til de to x-værdier t og t+1 : Når x er t, så er a x + b = a t + b Når x er t+1, så er a x + b = a (t+1) + b x : t t+1 y = a x + b : a t + b a (t+1) + b Vi omskriver den anden y-værdi: a (t+1) + b = a t + a 1 + b Vi har ganget 2 ind i parentesen. = a t + a + b Vi har reduceret. = a t + b + a Vi har byttet om på to af leddene. +1 x : t t+1 y = a x + b : a t + b a t + b + a +a Vi ser at man skal lægge a til den første y-værdi for at få den anden y-værdi. Vi har bevist følgende: For funktionen y = a x +b gælder: Når x bliver 1 enheder større, vil y blive a enheder større Bevis for b-tallets betydning For funktionen y = a x +b vil vi bevise følgende: b er y-værdien når x-værdien er 0. Man kan finde y-værdien ved at sætte x-værdien ind i forskriften, og her er x-værdien 0 : y = a 0 +b = 0 +b = b. Det var dette vi skulle bevise. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

33 11. Lineær funktion udregn a og b Bestem b ud fra a og ét punkt Afsnit og kan gennemgås ved at løse opgaverne i start_mat_lineaer_udregn _a_b.tns Opgave: Punktet ( 4, 35) ligger på grafen for funktionen y = 8 x +b. Find tallet b. Svar: Punktet ( 4, 35) ligger på grafen for funktionen y = 8 x + b så 35 = b 35 = 32 + b 3 = b Konklusion: b 3. for når vi indsætter punktets x- koordinat i forskriften og regner ud, så får vi punktets y-koordinat Bestem a ud fra b og ét punkt Opgave: Punktet ( 5, 8) ligger på grafen for funktionen y = a x +18. Find tallet a. Svar: Punktet ( 5, 8) ligger på grafen for funktionen y = a x +18 så 8 = a = a 5 2 = a Konklusion: a 2. for når vi indsætter punktets x- koordinat i forskriften og regner ud, så får vi punktets y-koordinat Bestem a og b ud fra to punkter uden brug af formel Opgave: Svar: Punkterne ( 7, 1) og (8, 4) ligger på grafen for funktionen y = a x + b. Find tallene a og b. Da punkterne ( 7, 1) og (8, 4) ligger på grafen for funktionen gælder og y = a x + b 1 = a ( 7) + b 4 = a 8 + b Vi løser ligningssystemet 1 a ( 7) b og 4 a 8 b mht. a og b, og får a 0, 2 og b 2, 4. for når vi indsætter punktets x- koordinat i forskriften og regner ud, så får vi punktets y-koordinat. Du skal vise hvordan du løser ligningssystemet. I er vist hvordan man løser ligningssystemet i Nspire. I er vist hvordan man løser ligningssystemet uden hjælpemidler. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

34 11.04 Løs ligningssystem med Nspire Afsnit og kan gennemgås ved at løse opgaverne i start_mat_lineaer_udregn _a_b_2.tns Opgave: Svar: Løs ligningssystemet 1 a ( 7) b og 4 a 8 b mht. a og b. I næste linje løser Nspire ligningssystemet 1 a ( 7) b og 4 a 8 b mht. a og b og får a = 0,2 og b = 2,4 : Konklusion: a 0, 2 og b 2, Løs ligningssystem uden hjælpemidler Opgave: Svar: Løs ligningssystemet 1 a ( 7) b og 4 a 8 b mht. a og b. Vi løser følgende ligningssystem: (1) 1 a ( 7) b (2) 4 a 8 b Af (1) får vi (3) 1 7a b Vi indsætter dette i (2) og får hvoraf 4 8a (1 7a) 4 15a a 3 15a ,2 a Dette indsætter vi i (3) og får hvoraf 1 7 0, 2 b 1 1, 4 b 2,4 b Konklusion: a 0, 2 og b 2, 4. Her hedder de ukendte a og b. Ofte hedder de x og y. Vi starter med at isolere a eller b i en af ligningerne. Her har vi valgt at isolere b i ligning (1). Facit ville blive det samme hvis vi havde valgt en af de tre andre muligheder: isolere a i ligning (1). isolere b i ligning (2). isolere a i ligning (2). Vi indsætter i ligning (2) fordi vi isolerede i ligning (1). Hvis vi isolerer i ligning (2), så skal vi indsætte i ligning (1) Den metode vi har brugt, hedder: Løsning af ligningssystem ved substitution. Ordet substitution betyder udskifte. I besvarelsen udskifter vi b i (2) med 1+7a Kontrol af facit Vi kan kontrollere facit ved at vi i (1) 1 a ( 7) b (2) 4 a 8 b indsætter 0,2 og 2,4 for a og b : (1) 1 0,2 ( 7) 2, 4 (2) 4 0,2 8 2, 4 Vi ser at begge ligninger passer. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

35 11.07 Formler for a og b Sætning Når (x1, y1) og (x2, y2) er forskellige punkter på grafen for funktionen så er f (x) = a x + b a y x 2 2 y1 x 1 b = y1 a x1 Bevis Da punkterne (x1, y1) og (x2, y2) ligger på grafen for funktionen y = a x + b gælder og y1 = a x1 + b y2 = a x2 + b for når vi indsætter punktets x- koordinat i forskriften og regner ud, så får vi punktets y-koordinat. Vi løser følgende ligningssystem mht. a og b : (1) y1 = a x1 + b (2) y2 = a x2 + b Af (1) får vi (3) y1 a x1 = b Dette er den ene af de formler vi ville bevise. Vi indsætter dette i (2) og får hvoraf y2 = a x2 + y1 a x1 y2 y1 = a x2 a x1 y2 y1 = a (x2 x1) y x 2 2 y1 x 1 a Den fælles faktor a sætter vi uden for parentes. Vi dividerer begge sider med tallet x 2 x 1 som ikke er 0 da de to punkter er forskellige. Dette er den anden af de formler vi ville bevise. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

36 11.08 Brug af formlerne for a og b Afsnit og kan gennemgås ved at løse opgaverne i start_mat_lineaer_udregn _a_b_2.tns Opgave: Punkterne ( 7, 1) og ( 8, 4) ligger på grafen for sammenhængen y a x b. Find tallene a og b. Oplysningen om de to punkter er nogle gange skrevet sådan: f ( 7) = 1 og f (8) = 4. Svar: Vi indsætter i formler for a og b : Af x, y ) ( 7, 1) og x, y ) (8, 4) får vi ( 1 1 a y x 2 2 y x 1 1 b y1 a x ( 7) ( ,2 ( 7) 2,4 0,2 12. Proportionale størrelser Oplæg til definition af proportional Afsnit 12 kan gennemgås ved at løse opgaverne i start_mat_proportional.tns Et værksted bruger stænger af forskellig længde. Man har målt længde og vægt af nogle af dem: Længde (cm): Vægt (gram): For hver af stængerne dividerer vi vægt-tallet med længde-tallet. I alle tilfælde får vi 2,6. Der gælder altså m = 2,6 l hvor m er vægten (gram) og l er længden (cm). Man siger at vægten er proportional med længden og at proportionalitetskonstanten er 2,6 gram pr. cm. Stængerne vejer altså 2,6 gram pr. cm. Proportionalitetskonstanten er vægten pr. cm Definition af proportional Hvis man om to variable x og y siger at y er proportional med x så mener man at y = k x hvor k er en konstant der ikke er 0. Tallet k kaldes proportionalitetskonstanten. At k er en konstant, betyder at k er samme tal for alle værdier af x. Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

37 12.03 Opgave om proportional Opgave De to variable x og y er proportionale. Tabellen viser nogle sammenhørende værdier af x og y. a) Hvad er y når x er 10? b) Hvad er x når y er 15? x y Svar Udregne k : Da x og y er proportionale, er der et tal k så (1) y = k x. I opgaven står ikke at vi skal udregne k. Vi skal selv vide at vi skal udregne k først. I tabellen ser vi at når x = 24 er y = 18. Dette indsætter vi i (1): 18 = k 24 Denne ligning løser vi mht. k og får 0,75 = k Hvis vi i stedet bruger 36 og 27 eller 92 og 69, så får vi den samme værdi af k. Vi kan løse ligningen ved at dividere begge sider med 24 eller ved at bruge solve. Dette tal indsætter vi i (1) og får ligningen for sammenhængen mellem x og y: (2) y = 0,75 x a) Udregne y : For at finde y når x er 10, sætter vi x til 10 i (2): y = 0,75 10 Heraf får vi y = 7,5 så y er 7,5 når x er 10 b) Udregne x : For at finde x når y er 15, sætter vi y til 15 i (2): 15 = 0,75 x Vi løser denne ligning mht. x og får 20 = x så x er 20 når y er 15 Vi kan løse ligningen ved at dividere begge sider med 0,75 eller ved at bruge solve. Man kan få ekstra øvelse ved at løse opgaverne i start_mat_skyder.tns Start-mat for stx og hf Side Karsten Juul

38 A-niveau 2.07 side 4 aflæse a og b på graf side 24 aflæse graf elektronisk 3.08 side 8 aflæse x-værdi på graf 3.04 side side 7 aflæse y-værdi på graf 3.03 side side 7 aflæse x på grafer så y er ens 3.07 side 7 afvigelse 4.03 side side 14 andenakse 1.01 side 1 andenkoordinat 1.02 side 1 a og b, formler for side 31 argumentere side 27 B-niveau 2.07 side 4 bestem a og b 11. side bestem a og b ud fra to punkter side side 32 besvarelse 2.06 side side side side side side side side 33 betydning af a og b side side bevis side side 31 C-niveau 2.07 side 4 A-niveau 2.07 side 4 elektronisk aflæsning 3.08 side 8 f (x)-skrivemåde 2.05 side 3 fordoblingstid 4.04 side 11 forkorte 9.07 side 23 formler for a og b side 31 forskrift 2.04 side 2 forskrift, opstil 7.01 side side side 19 fortolkning af a og b side side fortæller side side 25 funktion 2.03 side 2 funktionsskrivemåde 2.05 side 3 funktionsværdi 2.05 side 3 førsteakse 1.01 side 1 førstekoordinat 1.02 side 1 gange ind i parentes 7.04 side 18

39 graf 3.01 side side side side side 24 graf for lineær funktion 8.03 side 20 graf i Nspire 3.10 side 9-10 graf på papir 3.09 side 8 halveringstid 4.04 side 11 helt tal 4.04 side 11 koordinatsystem 1.01 side 1 koordinatsæt 1.02 side 1 ligevægt 9.02 side side 22 lineær funktion 8.02 side 20 lineær funktion, betydning af a og b side side løse ligning 9. side løse to ligninger med to ubekendte ubekendte side side 30 model 4.01 side side 13 modsat regning 9.04 side side 22 målt tal 4.02 side 11 nøjagtighed 3.08 side 8 omskrive 7.02 side side side side 19 opstil model side side 26 parentes 7.04 side side side 19 proportional, definition side 32 proportional, besvarelse side 33 punkt på graf 3.01 side side side side side 24 reducere 7.02 side side side side side 23 regler for ligevægt 9.02 side 21 regneforskrift 2.04 side 2 regression side regression, brugsanvisning 5.03 side 12

40 regression, besvarelse side side 14 relativ afvigelse 4.03 side 13 residual 5.09 side 14 residualplot 5.10 side 15 residualplot, brugsanvisning 5.11 side 15 samle led 7.02 side 17 skyder i Nspire start_mat_skyder.tns skæring, graf og x-akse 6.02 side 16 skæring, graf og y-akse 6.01 side 16 skæring, to grafer 6.03 side 16 solve 2.06 side side 30 sætte uden for parentes 7.05 side 18 tegne graf i Nspire 3.10 side 9-10 tegne graf på papir 3.09 side 8 to ligninger med to ubekendte side side 30 udregne a og b 11. side variabel 2.02 side 2 x-akse 1.01 side 1 x-koordinat 1.02 side 1 y-akse 1.01 side 1 y-koordinat 1.02 side 1 årstal 4.04 side side 14

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Regneark Excel fortsat

Regneark Excel fortsat Regneark Excel fortsat Indhold SÅDAN TEGNES GRAFER I REGNEARK EXCEL... 1 i Excel 97-2003... 1 I Excel 2007... 1 ØVELSE... 2 I Excel 97-2003:... 2 I Excel 2007... 3 OM E-OPGAVER 12A... 4 Sådan tegnes grafer

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005) Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Vejledning til WordMat på Mac

Vejledning til WordMat på Mac Installation: WordMat på MAC Vejledning til WordMat på Mac Hent WordMat for MAC på www.eduap.com Installationen er først slut når du har gjort følgende 1. Åben Word 2. I menuen vælges: Word > Indstillinger

Læs mere

FRANSK BEGYNDERSPROG HØJT NIVEAU FORTSÆTTERSPROG TILVALGSFAG HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009

FRANSK BEGYNDERSPROG HØJT NIVEAU FORTSÆTTERSPROG TILVALGSFAG HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 STUDENTEREKSAMEN MAJ 2005 2005-11-2 SPROGLIG OG MATEMATISK LINJE HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN MAJ 2005 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 FRANSK BEGYNDERSPROG

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

Matematik B. Højere forberedelseseksamen

Matematik B. Højere forberedelseseksamen Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe102-mat/b-31082010 Tirsdag den 31. august 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13 En funktion beskriver, hvordan en afhængig variabel afhænger af en uafhængig variabel. Læringsmål Forstå koordinatsystemet Vide hvad 1. og 2. aksen er Vide at x er 1. akse og y er 2. akse Forståelsen for

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Lineære funktioner. Erik Vestergaard

Lineære funktioner. Erik Vestergaard Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 1stx131-MAT/A-24052013 Fredag den 24. maj 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul for C-niveau i stx 75 50 25 2017 Karsten Juul Indholdsfortegnelse Indledning 1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 Ugrupperede data 3 Hvordan udregner vi middeltal

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Hint: Man kan alternativt benytte genvejstasterne ctrl+6/cmd+6 for at sprede applikationerne og ctrl+4/cmd+4 for at samle applikationer.

Hint: Man kan alternativt benytte genvejstasterne ctrl+6/cmd+6 for at sprede applikationerne og ctrl+4/cmd+4 for at samle applikationer. [OPGAVER I NSPIRE] 1 Opgave 1) Opgaver og sider - dokumentstyring Start et nyt Nspire dokument. Følg herefter nedenstående trin. a) Opret to opgaver i dokumentet, hvor første opgave består to sider, og

Læs mere