Formelsamling til Mekanik 1 kurset på Københavns Universitet

Transkript

1 Formelsamling til Mekanik 1 kurset på Københavns Universitet af Michael Flemming Hansen Version 1.2b 26. januar 2012 Indhold 2 Bevægelse langs en ret linie Gennemsnitlig hastighed og fart Øjeblikkelig hastighed Gennemsnitlig og øjeblikkelig acceleration Bevægelse med konstant acceleration Objekter i frit fald Hastighed og position vha. integration Bevægelse i to og tre dimensioner Position og hastigheds vektorer Accelerations vektoren Projektilets bevægelse Cirkulære bevægelser Relativ hastighed Newtons love Kraften og interaktioner Newtons første lov Newtons anden lov Masse og vægt Newtons tredje lov Anvendelse af Newtons love Friktions kræfter Den cirkulære bevægelses dynamik

2 6 Arbejde og Kinetisk energi Arbejde Kinetisk energi og arbejds-energi sætningen Arbejde og energi med varierende kræfter Effekt Potentiel energi og Energi-bevarelse Gravitationel potentiel energi Elastisk potentiel energi Konservative og ikke-konservative kræfter Kraft og potentiel energi Impuls, Kraftens impuls og kollisioner Impuls og kraftens impuls Impulsens bevarelse Impulsbevarelse og kollisioner Elastiske kollisioner Masse-centrum Raket(videnskab)-brændstof Den specielle relativitetsteori Gallilei-transformationen Lorentz-transformationen Rækkeudviklet γ funktion Kvadrerede former Relativistisk kinematik Længdeforkortning Tidsforlængelse Transformation af hastigheder Transformation af γ funktionen Relativistisk optik Klassisk Dopplereffekt Relativistisk Dopplereffekt Rumtiden og fire-vektorer Fire-vektorer Fire-vektorers geometri Egentiden Fire-hastigheden Relativistisk mekanik Fire-impulsen og den relativistiske impuls Fire-impuls-bevarelse

3 9.6.3 Relativistisk energi Sammenhæng imellem energi og impuls Masseløse partikler Tyngepunktet og den invariante masse Tærskelenergi - eksempel fra Eksamen Almindelige konstanter og enheder 32 Resumé Her er en lille formelsamling som kan benyttes til Mekanik 1 kurset på Københavns Universitet. Samlingen er bygget op omkring bogen University Physics af Young & Freedman som benyttes på Mekanik kurserne. Samlingen indeholder de vigtigste formler og principper og jeg har derfor ikke lavet længere udledninger eller andet go. Det er op til læseren selv at udlede det relevante, skulle det være nødvendigt. Den er naturligvis ikke uømmende og ej heller en erstatning for den store mursten af UP. Den skal ses udelukkende som et lækkert supplement, der kan give et hurtigt opslag, hvis man er i tvivl. Michael Flemming Hansen København 2011 jqh965@alumni.ku.dk 3

4 2 Bevægelse langs en ret linie 2.1 Gennemsnitlig hastighed og fart Gennemsnitlig fart findes ved at kigge på størrelsen af bevægelse og tiden det tager. Man får da. s av x = x t 2 t 1 hvor x er længden bevægelsen har varet og t er tidspunkterne. Gennemsnitlig hastighed findes ved at kigge på hvor langt et objekt har bevæget sig over en tidsramme. Man får dermed urykket v av x = x 2 x 1 t 2 t 1 = x t hvor x 1 og x 2 er hhv. start og slutpunktet og t 1 og t 2 hhv. er start og sluttiden. Forskellen på fart og hastighed er, at hastigheden er bevægelsesafhængig. Det vil sige at hastigheden afhænger af at du rent faktisk har bevæget dig fra et punkt til et andet. Går du fra et bord over til et andet bord og tilbage igen, har du haft en gennemsnitlig fart. Men da du havnede tilbage i dit udgangspunkt, vil den gennemsnitlige hastighed være Øjeblikkelig hastighed Øjeblikkelig hastighed findes ved at tage grænseværdien lim t 0 for urykket for den gennemsnitlige hastighed x v x = lim t 0 t = dx hvor x er ændringen af bevægelse og t er ændringen af tid. 2.3 Gennemsnitlig og øjeblikkelig acceleration Gennemsnitlig acceleration findes blot ved at tage differencen imellem start og slut hastigheden og dividere denne med differencen imellem start og sluttiden og man får da a av x = v 2x v 1x t 2 t 2 4

5 Øjeblikkelig acceleration findes ved at differentiere den gennemsnitlig hastighed v x a x = lim t 0 t = dv x 2.4 Bevægelse med konstant acceleration Ved bevægelse med konstant acceleration har vi fire generelle uryk til at beskrive bevægelsen. De er som følger: v x = v 0x + a x t x = x 0 + v 0x t a xt 2 vx 2 = v0x 2 + 2a x (x x 0 ) ( ) v0x + v x x x 0 = t Objekter i frit fald Dette er sammenkoblet med det forrige. Et frit fald kan også beskrivelse som en bevægelse med konstant acceleration. Her vil accelerationen være g = 9.80 m s 2. Tager vi eksempelvis en mønt i frit fald vil vi kunne beregne således y = y 0 + v 0y t a yt 2 = y 0 + v 0y t gt2 v y = v 0y + a y t = v 0y + gt 2.6 Hastighed og position vha. integration Hvis vi ønsker at finde samlede hastighed og position over et tidsrum kan vi integrere vores uryk således v x = v 0x + x = x 0 + t 0 t 0 a x v x 5

6 3 Bevægelse i to og tre dimensioner 3.1 Position og hastigheds vektorer Positions vektoren definerer hvorhenne en partikel befinder sig ud fra vektorer. Den er givet ved r = xî + yĵ + zˆk fortæller en partikels be- Vektoren for den gennemsnitlige hastighed vægelse ud fra vektornotation v av = r 2 r 1 t 2 t 1 = r t Vektoren for den øjeblikkelige hastighed er givet ved r v = lim t 0 t = d r Komposanterne til den øjeblikkelige hastighed v x = dx v y = dy v z = dz Hastigheden urykt ved positionen er givet ved urykket v = d r = dx î + dy ĵ + dz ˆk Størrelsen af hastighedsvektoren findes ved hjælp af v = v = vx 2 + vy 2 + vz 2 Vinklen imellem to hastighedsvektorer findes ved dette uryk tan α = v y v x 6

7 3.2 Accelerations vektoren fortæller os den gennemsnitlige ac- Gennemsnitlig accelerations vektor celeration vha. vektorer og vi finder ligeledes den a av = v 2 v 1 t 2 t 1 = v t Øjeblikkelige accelerations vektor ved v a = lim t 0 t = d v Den øjeblikkelige acceleration på komposantform. Vi kan også beskrive den øjeblikkelige acceleration ud fra dens vektor opløst i komposanter Accelerations vektoren 3.3 Projektilets bevægelse a x = dv x a y = dv y a z = dv z kan også skrives således a = d2 x 2 î + d2 y 2 ĵ + d2 z 2 ˆk Projektilets bevægelse beskrives grundlæggende ud fra fire ligninger, som giver hhv. positionen i x og y retning og hastigheden i x og y retningen. Tilsammen kan de beskrive ethvert form for ballastisk skud, hvor der ingen friktion er. De ser således ud x = (v 0 cos α 0 )t y = (v 0 sin α 0 )t 1 2 gt2 v x = v 0 cos α 0 v y = v 0 sin α 0 gt Et par eksempler er vist her 7

8 Tiden ved et ballastisk projektil. Ofte kan det være svært lige at hitte ud af hvordan man finder tiden eller også har man ofte brug for det hurtigt og vil ikke bruge tiden på at udlede. Ud fra ovenstående formler kan tiden findes således. Tiden fra projektilet sendes afsted og til det når halvvejs er givet ved t 1 = v 0y 2 g Ligeledes fra halvvejs og til slutmålet findes tiden ved at løse andengradsligningen y = 0 = v 0y t gt2 = t 2 ( v0y 1 2 gt2) og man får to løsninger, hvor den ene er 0 og den anden er t 1 = 2v 0y g tænker man sig om giver dette også god mening at det tager dobbelt så lang tid at komme fra start til slut, som det tager at komme fra start til halvvejs, når vi snakker en bevægelse langs en perfekt parabolsk kurve. Tiden ved et fald med forskellig initial og sluthøjde. Igen når man skal finde løsningerne til disse problemer og man ikke får oplyst tiden, er det som regel den der volder problemer. Tiden i dette tilfælde findes ved 3.4 Cirkulære bevægelser t = v 0 sin α 0 ± v 2 0 sin 2 α 0 2gy g Uniform cirkulær bevægelse er en bevægelse som har ensartet fart igennem hele cirkelbevægelsen. Den kan beskrives ud fra følgende uryk a rad = v2 R a rad = 4π2 R T 2 v = 2πR T T = 2πa radr a T = 2πR v a rad kaldes også for centripetal accelerationen, T er omløbstiden og R er radius af cirkelbevægelsen. 8

9 Ikke-uniform cirkulær bevægelse er en bevægelse hvor farten ændrer sig undervejs. Der er dog heldigvis li der ændrer sig. Vi har blot at hvor d v beskriver farten for en uniform cirkelbevægelse, så beskriver dette uryk d v farten for en ikke-uniform cirkelbevægelse. 3.5 Relativ hastighed Når man tænker på relativ hastighed skyldes det at hastigheden ikke synes at være den samme i alle situationer. Et go eksempel er når man observerer en person der går inde i et tog. For personen inde i toget vil hastigheden synes at være den almindelige gang-hastighed. Men for en udefrakommende observatør vil personens hastighed synes at være togets hastighed plus personens hastighed. Disse urykker vi kort således Relativ hastighed langs en linie og for v P/A x = v P/B x + v B/A x Relativ bevægelse i rummet ser det således ud v P/A = v P/B + v B/A 4 Newtons love 4.1 Kraften og interaktioner Vi beskriver kort og go summen af alle kræfter ud fra dette uryk Summen af alle kræfter R = F 1 + F 2 + F 3 + = F Disse kan naturligvis behandles ud fra almindelig vektorregning. 9

10 4.2 Newtons første lov Newtons første lov siger at et legeme der ikke bliver påvirket af nogen netto kraft, vil have konstants hastighed og ingen acceleration. Hastigheden kan også være 0. Den kaldes også for Inertiens lov. Den er urykt ved F = Newtons anden lov Newtons anden lov siger at et legeme der påvirkes af en udefrakommende kraft vil accelerere og retningen af accelerationen vil være den samme som kraftens retning. Med matematiske symboler skriver vi F = m a Newtons anden lov opløst i x,y og z retninger. Fx = ma x Fy = ma y Fz = ma z 4.4 Masse og vægt Masse og vægt er to enheder der oftest blandes sammen. Populært siger man at ens vægt er x kg. Men i fysikken betegnes urykket kg, g, mg, µg etc. som et objekts masse. Vægten opgøres i Newton. Dette kan ses ud fra Newtons anden lov, hvor urykket for vægt kan opskrives således 4.5 Newtons tredje lov w = mg Newtons tredje lov siger at Hvis et legeme A påvirker B med en kraft, så vil legemet B også påvirke A med en lige så stor og modsat rettet kraft. Disse to krafter vil have den samme størrelse, men have modsat retning. Denne lov kaldes også for Aktion-reaktions loven. Den er urykt matematisk som F AB = F BA 10

11 5 Anvendelse af Newtons love 5.1 Friktions kræfter Den kinetiske friktions størrelse er givet ved f k = µ k n Den statiske friktions størrelse er givet ved f s µ s n 5.2 Den cirkulære bevægelses dynamik Det koniske pendul kan man finde omløbstiden ud fra urykket L cos β T = 2π g hvor L er længden af snoren, β er vinklen imellen snoren og lodret og T er omløbstiden. 6 Arbejde og Kinetisk energi 6.1 Arbejde Arbejde siges kort at være beskrevet som kraft gange vej og vi urykker det almindeligvis således W = F s Arbejdet udført med en vinkel. Det foregående uryk gælder kun såfremt at kraftens retning er parallel med arbejdets retning. Finder vi en vinkel imellem disse to størrelser, vil arbejdet være givet ved Arbejdet på vektorform W = F s cos φ W = F s 11

12 6.2 Kinetisk energi og arbejds-energi sætningen Kinetisk energi er givet ved urykket K = 1 2 mv2 hvor m er massen og v er hastigheden. Arbejds-energi sætningen fortæller os sammenhængen imellem det totale arbejde og de individuelle kræfter og er urykt således W tot = K 2 K 1 = K 6.3 Arbejde og energi med varierende kræfter Arbejdet med en varierende kraft Hooke s lov for en fjeder W = x2 x 1 F x = kx F x dx hvor k er fjederkonstanten og x er den afstand fjederen strækkes Arbejds-Energi sætningen for bevægelse langs en kurve. Vi finder dette uryk ud fra sætningen dw = F cos φdl = F dl = F d l og kommer ved integration frem til 6.4 Effekt W = P2 P 1 F d l Gennemsnitlig effekt er givet ud fra urykket arbejde pr. tid og matematisk stilles det således op Øjeblikkelig effekt P av = W t (gennemsnitlig effekt) er fundet ved at differentiere de foregående uryk W P = lim t 0 t = dw 12 (øjeblikkelig effekt)

13 Øjeblikkelig effekt ud fra kraft og hastighed P = F v 7 Potentiel energi og Energi-bevarelse 7.1 Gravitationel potentiel energi Det graviationelle arbejde opstilles således W grav = F s = w(y 1 y 2 ) = mgy 1 mgy 2 Graviationel potentiel energi kan udledes ud fra det foregående uryk til at være U grav = mgy hvor m er massen og y er højden. Det graviationelle arbejde ved bevægelse W grav = U grav,1 U grav,2 = (U grav,2 U grav,1 ) = U grav Den mekaniske energis bevarelse gælder i dette tilfælde kun således at kun tyngdekraften udfører et arbejde og er K 1 + U grav,1 = K 2 + U grav,2 eller 1 2 mv2 1 + mgy 1 = 1 2 mv2 2 + mgy 2 Hvis andre kræfter udfører arbejde kan vi beregne ud fra disse uryk W andre + W grav = K 2 K 1 K 1 + U grav,1 + W other = K 2 + U grav,2 eller 1 2 mv2 1 + mgy 1 + W andre = 1 2 mv2 2 + mgy 2 Gravitationel potentiel energi langt en kurve W grav = mg(y 2 y 1 ) = mgy 1 mgy 2 = U grav,1 U grav,2 13

14 7.2 Elastisk potentiel energi Elastisk potentiel energi er givet ved urykket U el = 1 2 kx2 Arbejde udført af en fjeder på en blok W el = 1 2 kx kx2 2 = U el,1 U el,2 = U el Arbejds-energi sætningen kun med elastisk arbejde K 1 + U el,1 = K 2 + U el,2 eller 1 2 mv kx2 1 = 1 2 mv kx2 2 Situationer med både gravitationel og elastisk potentiel energi, det generelle uryk K 1 + U grav,1 + U el,1 + W andre = K 2 + U grav,2 + U el,2 eller K 1 + U 1 + W andre = K 2 + U Konservative og ikke-konservative kræfter En konservativ kraft er en kraft som tilbyder uhindret konvertering imellem kinetisk og potentiel energi. Eksempelvis når man kaster en bold op i luften. Alle krafter der ikke kan leve op til dette princip siges at være Disse kræfter kan være friktionskræfter og modstand- Ikke-konservative. skræfter. Energibevarelses loven K + U + U intern = Kraft og potentiel energi Den potentielle energi s kraft i en dimension F x (x) = du(x) dx 14

15 findes ved at partielt diffe- Den potentielle energi i flere dimensioner rentiere urykket for potentiel energi og giver F x = U x F y = U y F z = U z denne kan vi også opskrive på gradientform, så den ser således ud ( U F = x î + U y ĵ + U ) z ˆk = U 8 Impuls, Kraftens impuls og kollisioner 8.1 Impuls og kraftens impuls Impulsen for et legeme defineres ved F = m d v = d (m v) og ud fra dette kan man udlede at impulsen er p = m v Denne kan også opskrives i x,y og z komponenter og man får p x = mv x p y = mv y p z = mv z Newtons anden lov ud fra impuls F = d p 15

16 Impulsen for et legeme defineres ved F = m d v = d (m v) og ud fra dette kan man udlede at impulsen er p = m v Denne kan også opskrives i x,y og z komponenter og man får p x = mv x p y = mv y p z = mv z Newtons anden lov ud fra impuls F = d p Sætningen om kraftens impuls siger at eftersom både impulsen og den kinetiske energi afhænger af massen og hastigheden for et legeme, kan man opskrive denne sætningen J = F (t2 t 1 ) = F t når man går ud fra en konstant netto-kraft. Derfor får man det generelle uryk J = p 2 p 1 Impulsens generelle definition kan ud fra t2 t 1 F = t2 t 1 d p p2 = d p = p 2 p 1 p 1 og man kan derfor udlede den generelle definition til at være J = t2 t 1 F 16

17 Denne kan ligeledes inddeles i komponenter og man får da J x = J y = J z = t1 t 1 t1 t 1 t1 t 1 Fx = (F av ) x (t 2 t 1 ) = p 2x p 1x = mv 2x mv 1x Fy = (F av ) y (t 2 t 1 ) = p 2y p 1y = mv 2y mv 1y Fz = (F av ) z (t 2 t 1 ) = p 2z p 1z = mv 2z mv 1z Sammenligning af impuls og kinetisk energi 8.2 Impulsens bevarelse p 2 = p 2 + J = J Hvis den totale sum af eksterne kræfter på et system er 0, vil den totale impuls for systemet være konstant. Dette urykket med urykket for Systemets totale impuls P = p A + p B + = m A v A + m B v B Impulsbevarelse og kollisioner Der opereres med tre uryk for kollisioner. En elastisk kollision genkendes ved at kræfterne imellem legemerne er bevaret. Altså er den totale kinetiske energi den samme efter kollisionen, som den var før. En uelastisk kollision genkendes ved at den totale kinetiske energi efter kollisionen ikke er den samme som den var før. Et eksempel hvor en tomat rammer et gulv og bliver liggende, kaldes for en fuldstændig uelastisk kollission. I en sådan kollision vil legemerne have den samme sluthastighed. Fuldstændig uelastisk kollision Den fuldstændige uelastiske kollision urykkes ved at to legemer der kolliderer vil have den samme endelige hastighed og det urykkes ved Impulsens bevarelse giver os v A2 = v B2 = v 2 m A v A1 + m B v B1 = (m A + m B ) v 2 17

18 og ud fra denne kan man blan andet udlede m A v 2x = v A1x m A + m B Den kinetiske energi kan vises at være lavere end før, ud fra urykkene K 1 = 1 2 m Av 2 A1x K 2 = 1 2 (m a + m B )v 2 2x = 1 2 (m A + m B ) K 2 K 1 = m A m A + m B ( ma m A + m B ) 2 v 2 A1x Eksempel En bil støder sammen med en lastbil, i en vinkel. Man starter med at finde impulsen i x og y retningen. P x = p Cx + p T x = m Cx v Cx + m T x v T x p y = p Cy + p T y = m Cy v Cy + m T y v T y Størrelsen af impulsen kan nu findes ved P = (P x ) 2 + (P y ) 2 = (m Cx v Cx + m T x v T x ) 2 + (m Cy v Cy + m T y v T y ) 2 og vinklen imellem de to kollisioner tan θ = P y P x = m Cyv Cy + m T y v T y m Cx v Cx + m T x v T x Det ballastiske pendul kan lettest løses ud fra det generelle uryk for den fuldstændige uelastiske kollision, men man står oftest tilbage med problemet i at finde højden som pendulet har bevæget sig. Når man gerne vil finde kuglens hastighed benytter man derfor urykket m B v 1 = (m B + m W )v 2 v 1 = m B + m W m B v 2 hvor m B er kuglens masse og m W er træklodsens masse. Man står nu tilbage med at finde klodsens hastighed. Den kan findes ved 1 2 (m B + m W )v 2 2 = (mb + mw )gy v 2 = 2gy 18

19 Nu står man tilbage med at skulle finde y, som er det stykke klodsens løfter sig fra udgangspunktet i y retningen. Denne højde kender man sjældent, men man kan ofte få oplyst at der eksisterer en vinkel imellem klodens ophæng ved det maksimale udsving og lodret. Denne kan findes ved urykket y = L(1 cos θ), hvor L er snorens længde. Det endelige uryk bliver da 8.4 Elastiske kollisioner v 1 = m B + m W m B 2gL(1 cos θ) To ligninger benyttes for at beskrive de elastiske kollisioner. Ligningen for bevarelsen af den kinetiske energi 1 2 m Av 2 A1x m Bv 2 B1x = 1 2 m Av 2 A2x m Bv 2 B2x og sætningen for impulsbevarelsen m A v A1x + m B v B1x = m A v A2x + m B v B2x Kender man masserne m 1 og m 2, samt hastighederne v A1x og v B1x, kan man løse disse ligninger til at finde sluthastighederne og v A2x = m A m B m A + m B v A1x v B2x = 2m A m A + m B v A1x Hvis der er en vinkel imellem de to sammenstød, kan man løse systemet ud fra følgende betragtninger. To puck s støder sammen i en elastisk kollision og farer begge væk fra sammenstøddet med en hastighed og en retning. Vi kender massen af begge pucks og den første pucks hastighed. Den anden puck ligger i hvile. Benytter først og fremmest 1 2 m Av 2 A1 = 1 2 m Av 2 A m Bv 2 B2 v 2 B2 = m Av 2 A1 m Av 2 A2 m B 19

20 Ved at benytte bevarelsen af x og y komponenternes impuls, kan man udlede følgende uryk for at finde vinklerne m A v A1x = m A v A2x cos α + m B v B2x cos β 0 = m A v A2y sin α + m B v B2y sin β Disse kan løses som to uryk for vinklerne α og β. Dette gøres lettest ved at løse den første for cos β og den anden for sin β, kvadrere begge uryk og eliminere et af urykkene ved sin 2 β + cos 2 β = 1. Dette efterlader en ligning med sin α som kan løses for α. 8.5 Masse-centrum En legemes massecentrum defineres som det punkt hvor den samlede masse har sit samlede tyngdepunkt. Det betyder at legemets opførsel kan beskrives ud fra dette punkt. Dette er årsagent til at vi kan beskrive mange objekter i fysikken som punkter. Den er på komponentform givet ved Masse-centrum ved komponentform x cm = m 1x 1 + m 2 x 2 + m 3 x = i m ix i m 1 + m 2 + m i m i y cm = m 1y 1 + m 2 y 2 + m 3 y = i m iy i m 1 + m 2 + m Ligeledes kan dette urykket på vektorform i m i Masse-centrum på vektorform r cm = m 1 r 1 + m 2 r 2 + m 3 r m 1 + m 2 + m = i m i r i i m i Masse-centrums bevægelse Masse-centrums bevægelse kan ligeledes urykkes både på komponentform og vektorform. MC bevægelse på komponentform v cm x = m 1v 1x + m 2 v 2x + m 3 v 3x +... m 1 + m 2 + m v cm y = m 1v 1y + m 2 v 2y + m 3 v 3y +... m 1 + m 2 + m

21 MC bevægelse på vektorform v cm = m 1 v 1 + m 2 v 2 + m 3 v m 1 + m 2 + m og hvis vi kalder den samlede masse m 1 + m 2 + m 3 + = M får vi M v cm = m 1 v 1 + m 2 v 2 + m 3 v 3 + = P Hvis masse-centrum af et legeme påvirkes af eksterne kræfter får man urykket Eksterne kræfter på MC F = Fext + Fint = M a cm og dette giver urykket Fext = M a cm hvilket betyder at hvis et legeme eller en samling af partikler påvirkes af en ekstern kraft, så vil masse-centeret flytte sig som om hele massen var samlet i dette punkt og det blev påvirket af en netto kraft lig med summen af alle eksterne kræfter på systemet. 8.6 Raket(videnskab)-brændstof Når man skal sende en raket ud i rummet skal man tage højde for at i takt med at raketten stiger til vejrs og opnår højere fart, så vil dens samlede masse blive mindre, da det hele tiden forbruger brændstof. Dette kan ses ud fra disse ligninger. m dv = v dm ex dm dv = v ex m v v 0 dv = m dm v ex m 0 m dm = v ex m 0 v v 0 = v ex ln m m 0 = v ex ln m 0 m 21

22 9 Den specielle relativitetsteori 9.1 Gallilei-transformationen Den specielle relativitetsteori bygger videre på Gallilei-transformationen, som er defineret ved x = x vt y = y z = z t = t Dette betyder kort at hastigheder transformeres lineært og tiden altid er konstant. Transformationer i y og z retningen antager vi for at være ikketilstedeværende Ud fra disse kan udledes følgende transformationer. Hastigheden Accelerationen 1 u x = u x v u y = u y u z = u z a x = a x a y = a y a z = a z Man kan ligeledes benytte vektornotation til denne beskrivelse og man får da r = r vt u = u v a = a 1 Det ses at accelerationen er invariant. 22

23 9.2 Lorentz-transformationen Lorentz-transformationen, som er det matematiske grundlag for relativitetsteorien, er givet ved hvor γ er givet ved x = γ(x vt) y = y z = z t = γ γ = γ(v) = ( t vx ) 1 1 v2 Disse kan yderligere repræsenteres på differensform og på differentialform x = γ( x v t) y = y z = z ( t = γ t v x ) dx = γ(dx v ) dy = y Rækkeudviklet γ funktion dz = z ( = γ v dx ) Har man umiddelbart brug for at udregne eksempler hvor v c kan man rækkeudvikle γ funktionen og da får man γ = 1 1 v v2 23

24 9.2.2 Kvadrerede former De kvadrerede former af Lorentz-transformationen kan kort beskrives ved urykket t 2 x 2 y 2 z 2 = t 2 x 2 y 2 z 2 Disse kan ligeledes repræsenteres ved differens og differentialform t 2 x 2 y 2 z 2 = t 2 x 2 y 2 z 2 2 dx 2 dy 2 dz 2 = 2 dx 2 dy 2 dz 2 Ligeles kan afstanden i det Euklidiske rum dr 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 tage formen 2 dr 2 = 2 dr 2 hvilken betyder at forskydningen imellem to aktuelle begivenheder kan beskrives ved urykket s 2 = t 2 x 2 y 2 z Relativistisk kinematik Længdeforkortning Længdeforkortning kan findes ved urykket L = L 0 γ = L 0 1 v2 Herunder findes også volumenændring, som kan udregnes ved V = V 0 1 v Tidsforlængelse Tidsforlængelsen kan findes ved urykket T = γt 0 = T 0 1 v2 For accelerede ure vil den totale tid for bevægelse være givet ved τ2 t2 τ = dτ = 1 v2 τ 1 t 1 24

25 9.3.3 Transformation af hastigheder Transformationen af hastigheder er givet ved og u x = u x v 1 uxv c u 2 y u y = γ ( 1 uxv u u z z = γ ( ) 1 uxv ) u x = u x + v 1 u xv u y = u z = γ γ u y ( ) 1 + u xv u z ( ) 1 + u x v For parallelle hastigheder gælder der at u = u v 1 uv u = u + v 1 + u v Transformation af γ funktionen Transformationen er givet ved og γ(u) = γ(v)γ(u ) ( ) 1 + u xv ( γ(u ) = γ(v)γ(u) 1 u ) xv 25

26 Retningen af en bevægelse og findes til at være 9.4 Relativistisk optik Klassisk Dopplereffekt kan ud fra cot θ = u x u y cot θ = u x u y ( cot θ = γ cot θ 1 v ) u cos θ Den klassiske Dopplereffekt kan beskrives med et uryk for det tilfælde hvor iagtageren er hvile ( T = T w ) c hvor iagtageren bevæger sig og kilden er i hvile T = T 0 1 v c og slutteligt det tilfælde hvor både iagtager og kilde bevæger sig Frekvensen er da givet ved og bølgelængden kan findes ved T = T w c 1 v c ν kl ν 0 = 1 v c 1 + w c λ kl λ 0 = 1 + w c 1 v c Relativistisk Dopplereffekt Den relativistiske Dopplereffekt er givet ved eller skrevet påå en anden måde λ 0 λ rel = ν rel ν 0 = λ rel λ 0 = 1 u c 1 + u c 1 + u c 1 u c 26

27 Ikke-parallelle hastigheder Ved ikke parallelle hastigheder gælder følgende uryk λ 0 = ν 1 u2 rel c = ) 2 = λ rel ν 0 cos α 1 + ( u c 1 γ[1 + ( u c ) cos α] og ud fra denne kan blan andet udledes den transversale Dopplereffekt, som er givet ved ν trans = 1 u2 ν 0 c = 1 2 γ og man kan ligeledes finde λ 0 ved λ 0 = c λ rel γ[c + u cos α] og vinkel α kan findes ved ( ) c (γ 1) α = π arccos γ u 9.5 Rumtiden og fire-vektorer Fire-vektorer Med en prototype på en fire-vektor A = (A 0, A 1, A 2, A 3 ), forskydningsvektoren X = (c t, x, y, x) kan formuleringen A 0 = γ(a 0 βa 1 ) A 1 = γ(a 1 βa 0 ) A 2 = A 2 A 3 = A 3 Kvadratet på en 4 vektor er givet ved A 2 = A 2 0 A 2 1 A 2 2 A 2 3 Der gælder almindelige regneregler for vektorer her. Blandet andet kan skalarproduktet findes Fire-vektorers geometri En fire-vektor A kaldes tidsagtig hvis A 2 > 0, lysagtig hvis A 2 = 0 og rumagtig hvis A 2 < 0. 27

28 9.5.3 Egentiden Egentiden er givet ved dτ = 1 1 u2 og efterviser urykket for tidsforlængelsen Fire-hastigheden Ved differentiation kan man udlede at = γ(u) U = (γc, γu x, γu y, γu z ) hvor γ γ(u) og denne kan da skrives på formen 9.6 Relativistisk mekanik U = γ(u)(c, u) Fire-impulsen og den relativistiske impuls Fire-impulsen er givet ved urykket P = mu hvor U er 4-hastigheden. Idet U 2 = kan man få P 2 = m 2 og ved at benytte udregninger via komponentform kan man udlede impulsen Fire-impuls-bevarelse p = γ(u)m u Fire-impulsens bevarelse er givet ved følgende uryk P i = P i i=1,n før j=1,n efter p i = p i i=1,n før j=1,n efter γ(u i )m i = γ(u j )m j i=1,n før j=1,n efter 28

29 9.6.3 Relativistisk energi Hvileenergien er givet ved urykket Systemets totalenergi er givet ved E 0 = m E = γm Den kinetiske energi, defineret ved forskellen imellem partiklens totale energi og hvileenergi, er givet ved K = E E 0 og den kinetiske energi kan da urykkes ved K = (γ 1)m Ud fra dette uryk kan 4-impulsen også skrives som ( ) E P = c, p og man kan nu definere den benyttede sammenhæng imellem hastighed, energi og impuls p = E u Sammenhæng imellem energi og impuls Sammenhængen imellem energi og impuls er givet ved P 2 = P P = E2 I et hvilesystem hvor p = 0 og E = m får vi P 2 = m 2 p2 Og da disse to uryk er ækvivalente, kan man få og da E er en positiv størrelse fås E 2 = p 2 + m 2 c 4 E = K + m = p 2 + m 2 c 4 For meget små hastigheder pc m gælder der E m + p2 2m og for meget store hastigheder pc m gælder der at E pc 29

30 9.6.5 Masseløse partikler For masseløse partikler (såsom fotoner) gælder at impulsen er E 2 = p 2 p = E c og den masseløse partikel vil da have 4-impulsen P = E (1, n) c Energien for en foton kan beskrives ved E = hν Energien får en foton efter et sammenstød med en elektron (Compton spredning) kan findes ved urykket E E = E (1 cos θ) + 1 m Hvor man da også kan være interesseret i vinkel, som kan findes ved cos θ = E E E m + Em E E Tyngepunktet og den invariante masse Tyngdepunktssystemets 4-impuls er givet ved P CM = (Mc, 0) og systemets invariante masse er givet ved Mc = P 2 = E 2 p Tærskelenergi - eksempel fra Eksamen 2011 Den process hvor en pion π + henfalder til en muon µ + og en neutrino ν µ betragtes. Vi skal nu udlede et uryk for neutrinoens energi laboratoriesystemet. Vi starter med at definere 4-impulsbevarelse P π P ν = P µ 30

31 og ved at kvadrere får man P 2 π + P 2 ν 2P π P ν = P 2 µ Her vil P π = [ E π c, p π, 0, 0 ] og P ν = [ E ν c, Eν, 0, 0] hvorfor man efter anvendelse c af P 2 = m 2 får ( m 2 π Eπ E ν 2 p ) πe ν = m 2 c µ hvilket kan omskrives til c 4 E ν = 1 2 E π p π c (m2 π m 2 µ) og ved at forlænge med (E π + p π ) får man E ν = 1 (E π + p π c)c 4 (m 2 2 Eπ 2 p 2 π π m 2 µ) Ved nu at anvende sammenhængen E 2 π p 2 π = m 2 πc 4 kommer man frem til E ν = 1 (E π + p π c)c 4 (m 2 2 m 2 πc 4 π m 2 µ) hvilket ved omarrangering og forkortning giver E ν = (E π + p π c)c 4 (m 2 π m 2 µ) 2m [ 2 πc 4 = E ( ) ] 2 π + p π c mµ 1 2 m π 31

32 10 Almindelige konstanter og enheder Her er en række af de mest almindeligt anvene konstanter og enheder. De er taget direkte fra bogens 2 omslag. navn enhed værdi Lysets hastighed i vakuum m/s Elektronens ladning e C Gravitations konstanten G N m 2 /kg 2 Plancks konstants h J s Boltzmanns konstant k J/K Avogadro s tal N a molekyler/mol Gas konstanten R J/mol K Elektronens masse m e kg Protonens masse m p kg Neutronens masse m n kg Permeabiliteten af det frie rum µ 0 4π 10 7 W b/a m Permittiviteten af det frie rum ɛ 0 = 1/µ C 2 /N m 2 1/4πɛ N m 2 /C 2 Andre brugbare konstanter navn enhed værdi Mekaniske varme ækvivalent J/cal Standard atm. tryk 1 atm P a Absolutte nulpunkt 0 K C Elektonvolten 1 ev J Atomets massenehed 1 u kg Elektronens hvileenergi m e MeV Den ideale gas volumen liter/mol Tyngdeaccelerationen g m/s 2 2 University Physics 32