Kandidatafhandling. Horisontberegninger

Transkript

1 Kandidatafhandling Horisontberegninger - Et rådgivningsværktøj når låntager skal vælge mellem et 30-årigt fastforrentet konverterbart lån og et 1-årigt rentetilpasningslån Forfatter: Forfatter: Martin Lindegaard Therkelsen Forfatter: Morten Nielsen Martin Lindegaard Therkelsen Studienummer: Studienummer: Hold: HA-13 Vejleder: Frank Pedersen Studienummer: Opgaven må offentliggøres Afleveringsdato

2 Indholdsfortegnelse 1. Indledning Problemstilling Problemformulering Afgrænsning og antagelser Afhandlingens struktur Det danske realkreditmarked Realkreditprodukter årigt fastforrentet konverterbart lån årigt rentetilpasningslån Realkreditrådgivning De traditionelle realkreditnøgletal Budgetgennemgangen Årlige omkostninger i procent Opsummering Horisontberegninger Definition af horisontberegninger Opsummering Rentedannelse De korte obligationsrenter De lange obligationsrenter Devalueringsforventninger Renten på fastforrentede konverterbare obligationer Opsummering... 23

3 5. Prisfastsættelsesmodel Rentestrukturmodel Arrow-Debreau aktiver Rentekurve Volatilitetsstruktur Konverteringsmodel Konverteringsmodel med homogen låntager Konverteringsmodel med heterogen låntager Gevinstkravsmodel Forklarende variable Opsummering Datagrundlag Kriterier for valg af data Forklarende variable Opsummering Estimation af konverteringsmodel Lineær regressionsmodel Hypotesetest Goodness-of-fit Fortolkning af parameterestimater Test af forudsætninger Validitet BLUE Type I og type II fejl Prisfastsættelsesmodel med estimeret konverteringsmodel Delkonklusion Oversigtkurser og indfrielseskurser Oversigtskurser Indfrielseskurser Delkonklusion... 66

4 9. Horisontberegninger årigt fastforrentet konverterbart lån med en kupon på 3 pct årigt rentetilpasningslån Sammenligning af lån Delkonklusion Sensibilitetsanalyse Sensibilitetsanalyse 1: Prisfastsættelse med konverteringsmodel Sensibilitetsanalyse 2: Ændret refinansieringsspread: 40, 80 og 100 bp Sensibilitetsanalyse 3: Ændret volatilitetsstruktur Delkonklusion Modeloptimering Rentestrukturmodel Konverteringsmodel Konklusion Perspektivering Litteraturliste Appendiks

5 Abstract The counseling provided by the real estate institutes in Denmark is mainly based on financial ratios and methods, which do not take into account all relevant risk factors. For instance the financial ratios and methods do not take changes in the interest rates into account. The purpose of the current thesis therefore is to calculate the costs on two different types of bonds for a holding period of 5 years for three different interest rate scenarios. The two types of bonds consist in a 1-year adjustable rate mortgage bond and a 30- years callable mortgage backed bond with a coupon of 3 pct. The three different interest rate scenarios consist in an unchanged term structure, a parallel shift of the term structure downwards by 1 percentage points and a parallel shift of the term structure upwards by 2 percentage points. Moreover the thesis discusses how the counseling can be improved if the consequences of changes in the interest rates are implemented as a mandatory part of the counseling regarding the real estate in Denmark. The costs on the two bonds for the 5-year holding period are among others carried out by means of a pricing model. The pricing model is based on an arbitrage-free term structure model in which the current swap yield curve combined with an estimate of future interest rate volatility determine the possible stochastic evolution of future interest rates. To take into account the behavior of the borrowers, a prepayment model is added to the pricing model. The thesis concludes that the pricing model is capable of pricing the 30-years callable mortgage backed bond with only small deviations to the equivalent market prices, stated 25 th of February Regarding the bonds with a coupon of 4 pct. the precision of the pricing model can be improved even further if a spread of 80 bp. added to the interest rates is reduced. To capture the fact that the bonds with a coupon of 3 pct. were still open the 25 th of February 2014, an extra spread was added to the interest rates for the remaining opening period. With regards to the redemption date at the end of the 5-year holding period, the 25 th of February 2019, the pricing model produced acceptable redemption prices for the three interest rate scenarios as well. Only in the case of an upward shift of the term structure by 2 percentage points, the pricing model did not capture the whole drop in value of the callable bond compared to calculations by Jakobsen (2013). The resulting calculations of the costs of the two bond for the 5-year holding period showed that there does not exists a clear best choice of the two type of loans, if the borrower wishes to find the cheapest loan, when the bonds are issued. The costs fully depend on how the interest rates evolve in the future 5- year holding period. When the term structure stays unchanged and shift downwards by 1 percentage points the 1-year adjustable rate mortgage bond turns out to be the best choice. In the case of an upward shift of the term structure by 2 percentage points the 30-years callable mortgage backed bond turns out to be the best choice. Side 1 af 93

6 By implementing the above mentioned applications as a mandatory part of the counseling borrowers are given the opportunity of seeing how their economy will be affected by changes in the interest rates. 1. Indledning Det danske realkreditsystem har eksisteret i mere end 200 år og har vist sin robusthed og anvendelighed ved at have overlevet flere økonomiske op- og nedture. Systemet bygger på en en-til-en sammenhæng mellem et lån og en bestemt obligation. Sammenhængen bevirker, at låntagers omkostninger ved en given lånetype er gennemsigtige, samt at kurserne på de bagvedliggende obligationer er markedsbestemte. De markedsbestemte kurser medvirker ligeledes til at give låntager fordelagtige indfrielsesmuligheder. Udlånspolitikken i realkreditinstitutterne samt lovgivningsmæssige rammer i forhold til en maksimal lånegrænse på 80 pct. af husets værdi bevirker samtidig, at lånene er meget sikre. Den høje sikkerhed på lånene gør, at investors krav til renten er lav, hvilket kommer låntager til gode gennem en-til-en sammenhængen (Realkreditrådet, 2014). De danske realkreditinstitutter er underlagt bekendtgørelsen om god skik for finansielle virksomheder. Bekendtgørelsen indeholder en oversigt over de forhold, som låntager skal rådgives om i forbindelse med et boliglån. I 14, stk. 1 fremgår det eksempelvis, at realkreditinstitutterne skal informere om relevante produkttyper på markedet og fordele og ulemper ved disse (Mogensen, 2013). I forbindelse med rådgivningsmøder samt i det lånemateriale, som låntager får udleveret, oplyses låntager om forhold såsom budgetgennemgangen, startydelsen på lånet samt årlige omkostninger i procent (ÅOP). Tidligere, da markedet primært bestod af fastforrentede konverterbare lån, var budgetgennemgangen, ydelsen på lånet og ÅOP tilstrækkelige som nøgletal og rådgivningsværktøjer. Men med introduktionen af nye låneprodukter, herunder rentetilpasningslån og afdragsfrie lån, kan disse rådgivningsværktøjer og nøgletal ikke længere belyse risikoen ved lånene i tilstrækkelig grad over for låntager (Jakobsen, 1999). I budgetgennemgangen indlægger rådgiveren ydelsen på realkreditlånet sammen med låntagers øvrige boligomkostninger. Ved at anvende denne metode vil den almindelige låntager hurtigt få den opfattelse, at lånets ydelser er sammenlignelige med omkostningerne til eksempelvis el og vand. Med det nuværende renteniveau vil rentetilpasningslån med denne budgettilgang fremstå relativt billig, da omkostningerne på rentetilpasningslån er betydeligt lavere end omkostningerne ved det fastforrentede konverterbare lån, givet at konsekvenserne af rentestigninger ikke inddrages (Finanstilsynet, 2010). Det er et krav ifølge Kreditaftaleloven (Mogensen, 2013), at ÅOP skal oplyses til låntager forud for indgåelsen af en kreditaftale. Nøgletallet indregner både udgifter ved etablering af lånet samt udgifterne til lånet i lånets Side 2 af 93

7 fulde løbetid. Dette vil sige, at alle renter, afdrag, gebyrer med videre indgår i beregningen. Nøgletallet ÅOP kendes også som den sande rentesats, altså den samlede pris for at låne pengene for det enkelte lån. ÅOP giver eksempelvis låntager mulighed for at gennemskue, om et lån med en lav rente og høje etableringsomkostninger er billigere end et lån med en højere rente og lavere etableringsomkostninger. Fordelen ved ÅOP er, at låntager nemt og hurtigt kan sammenligne forskellige lånetyper i et stort og meget alsidigt lånemarked. Ulempen ved ÅOP ligger i, at nøgletallet kan give anledning til misvisende eller helt meningsløse resultater i forskellige situationer (Jakobsen, 1997). Et eksempel herpå er, når et fastforrentet konverterbart lån sammenlignes med andre lånetyper. ÅOP på det fastforrentede konverterbare lån tager ikke højde for værdien af den indbyggede konverteringsoption, men inddrager kun den bagvedliggende inkonverterbare obligation som basis for beregningerne. Dette bevirker, at ÅOP kommer til at fremstå unaturligt høj, hvilket medfører, at lån baseret på konverterbare obligationer vil fremstå dyrere, end de reelt set er. For rentetilpasningslån gælder det, at renten ikke er fast i hele lånets forløb, hvilket indebærer, at de fremtidige betalingsrækker er ukendte. Reglerne for beregning af ÅOP for rentetilpasningslån fremgår i Kreditaftalelovens paragraf 16. stk. 6: I forbindelse med kreditaftaler, der indeholder vilkår, som tillader variationer i debitorrenten beregnes de årlige omkostninger i procent ud fra den antagelse, at debitorrenten og andre omkostninger er konstante i forhold til udgangspunktet og finder anvendelse, indtil kreditaftalen udløber (Mogensen, 2013). Beregningen sker altså ud fra den antagelse, at låntager beholder lånet helt til udløb, og at den korte rente forbliver den samme under hele perioden. Historisk set holder denne antagelse ikke, da renterne løbende ændrer sig 1. ÅOP tager ikke højde for, at låntager risikerer, at de historisk lave renter kan stige. En sådan stigning vil betyde, at låntagers økonomiske situation kan ændres betragteligt. Trods det at ÅOP blev udviklet af blandt andet forbrugerstyrelsen for at sikre, at låntager bliver tilstrækkeligt oplyst om et låns omkostninger, må antagelsen om en konstant rente siges at være stærk kritisabelt. Idet konsekvenserne af renteændringer ikke er indregnet i nøgletallet ÅOP for rentetilpasningslån, kan nøgletallet ikke anvendes til at sammenligne på tværs af andre lånetyper. Den nuværende situation er altså, at der eksisterer flere nye lånetyper på det danske boligmarked end nogensinde før. Det alsidige lånemarked kan gøre det svært for låntager at forstå de enkelte lån samt at differentiere mellem dem. Hertil kommer, at de eksisterende nøgletal og rådgivningsværktøjer er utilstrækkelige. Budgetgennemgangen skelner ikke mellem renter og afdrag. Ved det nuværende renteniveau vil budgetgennemgangen derfor favorisere rentetilpasningslån. Ydermere ignorerer ÅOP konsekvenserne af eventuelle rentestigninger, hvorfor nøgletallet er ikke kan bruges til at sammenligne forskellige lånetyper. De ovennævnte faktorer bevirker, at der i høj grad eksisterer et behov for supplerende 1 Se bilag 1 med udviklingen af den korte og lange rente. Side 3 af 93

8 rådgivningsværktøjer i forbindelse rådgivningen. Qua dette tilføjes der i denne afhandling horisontberegninger som et supplement til de eksisterende rådgivningsværktøjer. Ved at tilføje horisontberegninger til de eksisterende rådgivningsprocedurer sikres det, at låntager oplyses tilstrækkeligt om låntypernes karakteristika. Horisontberegninger gør det derudover muligt for låntager at sammenligne forskellige lånetyper. Ydermere kan horisontberegninger medvirke til at illustrere for låntager, hvilke økonomiske konsekvenser der kan være ved en førtidig indfrielse, samt hvilken risiko udsving i renten udgør. 1.1 Problemstilling Som det blev klargjort i indledningen, tager horisontberegninger højde for risikoen for renteændringer, hvilket de traditionelle nøgletal, budgetgennemgangen og ÅOP, ikke gør. Det faktum, at risikoen for renteændringer medtages i horisontberegninger gør, at låntager får mulighed for at sammenligne forskellige låneprodukter. Samtidig får låntager muligheden for at vurdere, hvordan hans økonomi påvirkes af ændringer i renten. På baggrund af ovenstående er det overordnede formål med indeværende afhandling at foretage horisontberegninger for et 1-årigt rentetilpasningslån samt et 30-årigt fastforrentet konverterbart lån med en kupon på 3 pct. for tre forskellige rentescenarier. Udfordringerne i forhold til at lave horisontberegninger består i at finde et skøn på den fremtidige indfrielseskurs på den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. for tre forskellige rentescenarier. For at finde et skøn på den fremtidige indfrielseskurs er det nødvendigt at inddrage en prisfastsættelsesmodel for fastforrentede konverterbare obligationer. Prisfastsættelsesmodellen bygger dels på en rentestrukturmodel dels en konverteringsmodel, hvorfor prisfastsættelsesmodellen er bygget op omkring meget komplekse beregninger. Problemstillingen består derfor i at konstruere en prisfastsættelsesmodel, der kan anvendes til at lave horisontberegninger. Anvendeligheden af prisfastsættelsesmodellen afhænger af, hvorvidt prisfastsættelsesmodellen giver realistiske oversigts- og indfrielseskurser. I sidste ende skal horisontberegningerne medvirke til, at låntager får lettere ved at skelne mellem fordelene og ulemperne på de to lånetyper. 1.2 Problemformulering Med udgangspunkt i ovenstående problemstilling lyder afhandlingens problemformulering, som følger; Hvorledes kan horisontberegninger anvendes i en rådgivningssituation til at danne et bedre beslutningsgrundlag for låntager, når valget står mellem et 1-årigt rentetilpasningslån og et 30-årigt fastforrentet konverterbart lån med en kupon på 3 pct.? Hvilke faktorer har betydning for, at prisfastsættelsesmodellen giver realistiske skøn på oversigts- og indfrielseskurserne på det fastforrentede konverterbare lån? Side 4 af 93

9 1.3 Afgrænsning og antagelser Afhandlingen foretager horisontberegninger for et 1-årigt rentetilpasningslån samt et 30-årigt fastforrentet konverterbar lån med en kupon på 3 pct. Valget af lån begrundes med, at det 30-årige fastforrentede konverterbare lån og rentetilpasningslånet er de to mest populære lånetyper på markedet i dag 2. Hvis låntager vil finansiere sit huskøb i dag på baggrund af et fastforrentet lån, vil det ske på baggrund af en fastforrentet konverterbar obligation med en kupon på 3 pct. For at gøre afhandlingen nutidig, foretages horisontberegningerne ligeledes for et fastforrentet konverterbart lån med en kupon på 3 pct. Afhandlingen afgrænser sig derfor fra fastforrentede konverterbare lån med en kortere løbetid samt rentetilpasningslån med en længere refinansieringsperiode. Parametrene i konverteringsfunktionen estimeres ud fra historiske data for fire danske fastforrentede konverterbare obligationer med en kupon på 4 pct. Parametrene bliver anvendt til at beregne konverteringsrater for den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. Den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. er valgt således, at fordelingen mellem private og erhvervsmæssige låntagere er den samme som for de fire fastforrentede konverterbare obligationer med en kupon på 4 pct. Det antages derfor, at parametrene kan overføres til den fastforrentede konverterbare obligations med en kupon på 3 pct. Aktivsiden (ejendommens værdi) spiller ligeledes en væsentlig rolle i forbindelse med horisontberegninger. Indeværende afhandling afgrænser sig fra at vurdere effekten af aktivsiden. Ordet låntager/låntagere anvendes synonymt i afhandlingen. Betegnelserne dækker over alle individer, der skal optage et lån i forbindelse med et huskøb. Oversigtskurserne udgør kurserne på de fastforrentede konverterbare obligationer på oversigtsdatoen den Oversigtsdatoen er lig refinansieringsdatoen for rentetilpasningslånene. I forbindelse med refinansieringen af det 1-årige rentetilpasningslån, antages der derfor, at kursen er 100. Indfrielseskurserne udgør kurserne på den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. for de tre rentescenarier på horisontdatoen den Afhandlingens struktur For at højne afhandlingens læsevenlighed og overskuelighed er afhandlingens struktur og indhold skitseret i nedenstående figur kvartal, 2013 Side 5 af 93

10 Del I: Teoretisk fundament Indledning (kap. 1) Det danske realkreditmarked (kap. 2) Horisontberegninger (kap. 3) Rentedannelse (kap. 4) Prisfastsættelsesmodel (kap. 5) Del II Datagrundlag (kap. 6) Del III: Analyseafsnit Estimation af konverteringsmodel (kap. 7) Oversigt- og indfrielseskurser (kap. 8) Horisontberegninger (kap. 9) Del IV: Diskussion Sensibilitetsanalyse (kap. 10) Modeloptimering (kap. 11) Del V Konklusion (kap. 12) Perspektivering (kap. 13) Figur 1: Struktur for afhandlingen Del I: Kapitel 1 til 5 udgør afhandlingens teoretiske fundament. I kapitel 2 bliver der redegjort for det danske realkreditmarked i forhold til rentetilpasningslån og fastforrentede konverterbare lån. Derudover bliver der i kapitel 2 redegjort for, hvad der menes at være et utilstrækkeligt rådgivningsgrundlag i forhold til de to låneprodukter. Kapitel 2 lægger derfor op til kapitel 3, hvor horisontberegninger præsenteres. Horisontberegninger foretages for forskellige rentescenarier. Rentescenarierne bygger på en antagelse om parallelforskydninger af rentekurven. I kapitel 4 redegøres der derfor for de bagvedliggende faktorer, der kan føre til ændringer i de korte og lange obligationsrenter. Endelig præsenteres prisfastsættelsesmodellen til den fastforrentede konverterbare obligation i kapitel 5. Prisfastsættelsesmodellen anvendes til at finde et skøn på indfrielseskurserne på den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. for de tre rentescenarier. Del II+III: Kapitel 6 indeholder afhandlingens datagrundlag. På baggrund af det indhentede datagrundlag estimeres konverteringsmodellen i kapitel 7. Den estimerede konverteringsmodel indbygges herefter i prisfastsættelsesmodellen (kap. 7.7). I kapitel 8 analyseres der på faktorerne, der har betydning for, at prisfastsættelsesmodellen giver realistiske skøn på oversigtskurserne og indfrielseskurserne. I Kapitel 9 konkluderes der på, om horisontberegninger kan anvendes til danne et bedre beslutningsgrundlag for låntager i en rådgivningssituation, når valget står mellem et 1-årigt rentetilpasningslån og et 30-årigt fastforrentet konverterbart lån med en kupon på 3 pct. Side 6 af 93

11 Del IV: I Kapitel 10 foretages der tre sensibilitetsanalyser. I kapitlet diskuteres det, hvor sensitive de beregnede oversigts- og indfrielseskurser i afhandlingen er overfor ændringer i de gjorte antagelser. I Kapitel 11 diskuteres den anvendte prisfastsættelsesmodel. Del V: Kapitel 12 indeholder afhandlingens konklusion. I Kapitel 13 perspektiveres afhandlingen. 2. Det danske realkreditmarked I dette kapitel beskrives det danske realkreditmarked. Indledningsvis beskrives den danske realkreditmodel og den historiske udvikling for låneprodukterne, som er blevet udbudt af realkreditinstitutterne. Herefter følger en beskrivelse af lånetyperne; fastforrentet konverterbare lån (kap ) og et 1-årigt rentepasningslån (kap ). For begge lånetyper redegøres der for fordelene og ulemperne ved at optage et af lånene. I kapitel 2.2 beskrives det, hvorledes realkreditinstitutterne rådgiver låntager på de tre såkaldte rådgivningsniveauer. I kapitel 2.3 (De traditionelle nøgletal) redegøres der for fejl og mangler ved de eksisterende nøgletal og rådgivningsværktøjer, herunder budgetgennemgangen og ÅOP. Den danske realkreditmodel bygger på realkreditlån, som optages igennem realkreditinstitutterne med pant i fast ejendom (Realkreditrådet [1]). Realkreditmodellen bygger på det såkaldte balanceprincip, hvor der er en-til-en sammenhæng mellem det optagede lån og de udstedte obligationer. Denne sammenhæng fremgår i figur 2. Figur 2: Realkreditsystemet, en-til-en sammenhængen. Kilde: Realkreditrådet, 2014 Realkreditinstituttet fungerer som formidler mellem låntager, der ønsker at købe fast ejendom og investor, der ønsker at finansiere lånet ved at købe de bagvedliggende obligationer. Med udgangspunkt i lovgivningen (Mogensen, 2013) vurderer realkreditinstituttet indledningsvis ejendommens værdi for at fastsætte låntagers lånegrænse 3. Derefter vurderes låntagers kreditværdighed ved at gennemgå kredithistorie, formue, indkomst samt budgetter. For realkreditinstitutterne er denne del særligt vigtig, da de som formidler 3 For private ejerboliger gælder det, at ejendommen maksimalt kan belånes med 80 pct. af husets værdi Side 7 af 93

12 påtager sig risiko i forbindelse med vurderingen. Institutterne risikerer at tabe penge, hvis låntager ikke er i stand til at betale sine afdrag og renter. Såfremt låntager godkendes til et realkreditlån, er næste skridt i processen, at låntager skal vælge lånetype 4. Ud fra låntagers risikoprofil vælges et lån, som stemmer overens med låntagers risikopræferencer, men hvor der samtidig opstilles et reelt alternativ til denne lånetype i det samlede lånetilbud (Mogensen, 2013). Med et reelt alternativ skal det forstås, at lånet skal kunne opfylde låntagers lånebehov, de økonomiske forhold, risikoprofil og tidshorisonten for lånet. Derfor vil alternativet i lånetilbuddet for låntager, der ønsker et fastforrentet konverterbart lån ofte være et lån med renteloft (Finanstilsynet, 2010). Alternativet skal bruges til at give låntager et billede af de økonomiske valg, som låntager står over. De to lånetyper i indeværende afhandling udgør derfor ikke et normalt lånetilbud, men viser derimod spændvidden mellem to vidt forskellige lånetyper. Når valget er truffet for hvilken lånetype, der ønskes, finansierer realkreditinstituttet herefter lånet ved at udstede obligationer, som passer til det ønskede lån. Fælles for lånetyperne er, at der er en-til-en sammenhæng. Med det skal det forstås, at hvis låntager får et 30-årigt fastforrentet konverterbart lån med en rente på 3 pct., udsteder realkreditinstituttet ligeledes obligationer med en rente på 3 pct. og en løbetid på 30 år. Låntagers løbende afdrag, renter og eventuelle førtidige indfrielser i lånets løbetid kanaliseres direkte videre til obligationsholderen. Det fremgår ligeledes af figur 2, at låntager betaler en bidragssats til realkreditinstituttet. Bidragssatsen udgør en procentdel af lånets restgæld, og betales til realkreditinstituttet hver termin. De primære markedsaktører på det danske realkreditmarked er Realkredit Danmark, Totalkredit, Nykredit Realkredit, Nordea Kredit og BRFkredit (Realkreditrådet [2]). De udbyder tilsammen over 100 forskellige varianter af forskellige realkreditlån (Bolius [1], 2014). I indeværende afhandling er der valgt at fokusere på to lånetyper, som vil blive gennemgået i det følgende. 2.1 Realkreditprodukter Det fastforrentede konverterbare lån er den produkttype, som har været længst tid på markedet og har ligeledes været den mest populære lånetype historisk set. Der skete dog strukturelle ændringer i produkttypemassen i årerne 1996 og 1997, hvor lovændringer åbnede op for muligheden for 4 De lånetyper som er relevant for denne opgave vil blive gennemgået i afsnittet Realkreditprodukter. Side 8 af 93

13 introduktionen af rentetilpasningslån. Rentetilpasningslån blev her et populært alternativ til det fastforrentede konverterbare lån, grundet faldende korte renter 5. Udviklingen i valget af realkreditlån siden fjerde kvartal 2012 har bestået i et mindre skift fra det 1-årige rentetilpasningslån til lån med længere rentebinding (Realkreditrådet [3]). I nedenstående tabel 1 ses udviklingen i fordelingen mellem realkreditlån siden fjerde kvartal Mia. kroner K4 K1 K2 K3 K F1 29,8% 28,0% 27,8% 27,5% 27,3% F2-F5 23,9% 25,9% 26,4% 26,7% 27,1% F6-F10 1,2% 1,2% 1,2% 1,2% 1,1% Fast rente 32,0% 32,1% 32,0% 32,3% 32,3% Garantilån 13,1% 12,8% 12,6% 12,4% 12,2% Tabel 1: Udestående lån til ejerboliger og fritidshuse fordelt på lånetype. Kilde: Realkreditrådet, 2004 Årsagerne til skiftet skal ses i lyset af, at låntager har muligheden for at binde sig til en historisk lav rente, og at realkreditinstitutterne har hævet kursskæringen på rentetilpasningslånene (Bolius [2], 2013) årigt fastforrentet konverterbart lån. Fastforrentede konverterbare lån har, som navnet antyder, en indbygget konverteringsoption. Konverteringsoptionen dækker over, at låntager har en mulighed for at opsige sit lån til kurs 100 til næstkommende termin 6. Denne mulighed sikrer, at restgælden aldrig kan overstige kurs 100 i lånets løbetid. Konverteringsoption er derfor ikke relevant for låntager i de tilfælde, hvor lånet holdes til udløb, eller hvor kursen er under 100, da låntager har mulighed for at opkøbe obligationerne til markedskursen. Som det fremgår af formel 2.1 kan en konverterbar obligation opfattes som en portefølje bestående af en inkonverterbar obligation og en solgt amerikansk call option 7 (Christensen, 2009). K konv = K inkonv P call [2.1] Af formlen fremgår det, at kursen på den konverterbare obligation skal være den samme som kursen på den tilsvarende inkonverterbare obligation fratrukket den amerikanske call options værdi. Denne sammenhæng gør, at kursen på den konverterbare obligation kun kan være mindre end eller lig med prisen på den inkonverterbare obligation, da optionsværdien ikke kan være negativ. 5 Der henvises til bilag 1 hvor udviklingen i den korte og lange rente er vist i et diagram. 6 Sidste hverdag to måneder før terminsdatoen, 31/1, 30/4, 31/7 og 31/10. 7 Betragtes kun delvist som en amerikansk call option. Opsigelsen kan ske løbende men kun på fastlagte tidspunkter. Side 9 af 93

14 Ud over muligheden for at konvertere lånet er fordelen ved at vælge et fastforrentet konverterbart lån, at ydelsen ligger fast i hele lånets løbetid. Ændringer i renten over hele lånets løbetid vil derfor ikke have nogen effekt på låntagers samlede ydelser (BRFkredit [1]). Det vil kun være eventuelle ændringer i bidragssatsen til realkreditinstituttet, der kan føre til ændringer i den samlede ydelse. Ulemperne ved det fastforrentede konverterbare lån er, at ydelsen med den nuværende rentekurve er højere end for lån med variable rente. Låntager har ikke nogen umiddelbar fordel af et rentefald her og nu, med mindre der foretages en nedkonvertering, hvilket ikke er omkostningsfrit. For det fastforrentede konverterbare lån gælder det, at stort set alle er obligationslån (BVC, 2011), hvilket betyder, at provenuet, som udbetales, først kendes på udbetalingsdatoen medmindre, der foretages en kurssikring årigt rentetilpasningslån Rentetilpasningslån dækker over produktnavne som eksempelvis FlexLån, Tilpasningslån og BoligXlån. Rentetilpasningslån er set fra låntagers side et inkonverterbart kontantlån med en løbetid på op til 30 år alt efter udbetalingstidspunktet (Jakobsen, 1997). De bagvedliggende inkonverterbare obligationer, der finansierer lånet, kan have forskellige løbetider som typisk strækker sig over 1 til 10 år. Lånets løbetid overstiger imidlertid løbetiden på de inkonverterbare obligationer. Dette medfører, at de bagvedliggende obligationer skal erstattes af nye obligationer ved refinansieringsperiodens udløb. Det 1-årige rentetilpasningslån, som er alternativet til det 30-årige fastforrentede konverterbare lån i denne afhandling, refinansieres derfor hvert år. Refinansieringen sker ved, at realkreditinstitutterne afholder auktioner over de bagvedliggende inkonverterbare obligationer. Låntagers fremtidige rente afhænger derfor af, hvad de bagvedliggende inkonverterbare obligationer sælges til 8. Ved det nuværende renteniveau er renteudgifterne lavere på rentetilpasningslån end på det fastforrentede konverterbare lån. Dette gør rentetilpasningslån fordelagtige for låntager, hvilket låntager også har benyttet sig af (Bolius [2], 2013). Rentetilpasningslånets fordele kan også blive dens ulemper, hvis det nuværende renteniveau pludseligt stiger. Modsat det fastforrentede konverterbare lån udbetales rentetilpasningslån som et kontantlån, hvorfor provenuet ligger fast ved tilbudstidspunktet. 2.2 Realkreditrådgivning I det følgende gennemgås den rådgivning, som sker i forbindelse med låntagning. Gennemgangen af realkreditinstitutternes rådgivning er delt op på tre rådgivningsniveauer; på hjemmesider, på mødet og i 8 Eksempelvis afholdte Realkredit Danmark auktionerne i perioden 24. februar frem til 28. februar 2014, hvor den nye rente er gældende pr. 1. april Den nye rente på rentetilpasningslån som boligejerne opnår vil være et gennemsnit af renten for hele auktionsperioden. Side 10 af 93

15 udleveret materiale. Gennemgangen skal ikke ses som den proces, som alle låntagere gennemgår, men som de rådgivningsniveauer, som institutterne giver mulighed for. Låntagere har forskellige behov for rådgivning. Derfor vil brugen af rådgivningsniveauer variere fra låntager til låntager. Der vil i gennemgangen blive redegjort for nogle af de problemstillinger og rådgivningselementer, som horisontberegningsskemaet kan være med til at løse og støtte. Hjemmesider Alle realkreditinstitutter tilbyder igennem deres hjemmesider rådgivning og oplysninger omkring de produkter, som de tilbyder. Låntager kan inden eller efter mødet igennem hjemmesiderne opnå en stor mængde information omkring de forhold, som skal overvejes i forbindelse med et boliglån. Der er i markedet en generel tendens til, at låntager anvender digitale medier til at få gode råd og håndtere deres økonomi inden rådgivningsmøderne og i lånets løbetid (Nykredit, 2014). Alle institutterne tilbyder låntager at foretage beregninger på, hvad lånet vil koste at optage 9. Beregningerne giver låntager en overskuelig gennemgang af ydelse, hovedstol, ÅOP og omkostninger i forbindelse med at optage lånet i det enkelte realkreditinstitut. Samtidig har låntager mulighed for at sammenligne på tværs af lånetyperne på baggrund af tabeller og grafer allerede inden et rådgivningsmøde eller inden, at låntager får udleveret en lånetilbudspakke. Ingen af institutterne sammenligner via deres hjemmeside lånene på tværs af markedsdeltagerne. Dette kan gøres via eksterne hjemmesider såsom mybanker.dk, hvor især muligheden for at sammenligne omkostningerne er en fordel. Realkredit Danmark tilbyder endvidere flere beregningsmuligheder, eksempelvis beregning af friværdi. Realkredit Danmark og BRFkredit tilbyder låntager at fortage horisontberegninger på, hvad et udsving i renten vil betyde for lånet. I Realkredit Danmarks rentesimulator (Realkredit Danmark [2]) er der kun fokus på, hvad ændringer i renten har af betydning for rentetilpasningslån. Der sammenlignes derfor ikke med det fastforrentede konverterbare lån. Derfor belyses rentesikkerheden, som følger dette produkt ikke, hvilket i høj grad er relevant. Beregningerne må derfor anses som værende meget ensidige. Under overskriften Beregn billigste lån - baseret på dine renteforventninger kan låntager på BRFkredit s hjemmeside (BRFkredit [2]) foretage horisontberegninger, der har mange fællestræk med Jakobsen (2007). BRFkredit giver låntager mulighed for at vælge en horisontperiode på 1 til 10 år med en renteændring på plus/minus 3 procentpoint. I horisontberegningsskemaet sammenlignes et fastforrentet konverterbart lån med et 1- og 3-årigt rentetilpasningslån, men kun for et enkelt rentescenarie. Det vil sige, at der ikke er foretages en sammenligning af, hvad en rentestigning på plus 3 procentpoint betyder i forhold til et rentefald på 3 9 Realkredit Danmark, Totalkredit, Nykredit Realkredit, Nordea Kredit og BRFkredit Side 11 af 93

16 procentpoint i det samme horisontberegningsskema. Informationerne omkring beregningerne er begrænset, men for begge institutter gælder det, at skemaet kun skal ses som vejledende. Horisontberegningsskemaet kan derfor ikke stå alene uden rådgivning. Udover dette giver realkreditinstitutterne mulighed for at følge kurserne på de bagvedliggende obligationer på lånene, finde dokumenter, læse ofte stillede spørgsmål, chatte med en rådgiver og teste hvilken lånetype, låntager er. Rådgivningsmødet Muligheden for selvbetjeningen på hjemmesiderne samt nyhedsmedier har tilsammen den effekt, at låntager, i mange tilfælde, allerede inden mødet ved, hvilken rådgivning han har brug for. I forbindelse med de skærpede lovkrav til kreditaftaler i 2007 blev det lovpligtigt for institutterne, at låntager skal underskrive et rådgivningsskema, som er et kort resume af mødet. Rådgivningsskemaet fremgår i figur 3, der er et udsnit af bilag 2. Rådgivningsskemaet indeholder forskellige forhold om, at låntager er oplyst om opsigelsesvilkår, risikovillighed og ÅOP med videre. Dokumentet skal ses som dokumentation på, at realkreditinstituttet har ydet tilstrækkelig rådgivning. Fra låntagers side kan det dog samtidig opfattes som en slags ansvarsfraskrivelse for realkreditinstituttet. Figur 3: Et udsnit fra bekendtgørelsens rådgivningsskema. Kilde: Jakobsen (2007) Realkreditinstitutterne anvender dokumentationsskemaet sammen med IT-baserede rådgivningsværktøjer som en grundlæggende del af deres rådgivning i forbindelse med et boliglån. Ofte giver it-programmerne en række standardanbefalinger, men ofte tilpasses de også til den enkelte låntagers behov, da låntagere kan være meget forskellig. Et punkt, som kan være problematisk for låntager, er en dybdegående forståelse af de omkostninger, som er i forbundet med lånet. Omkostningerne har fået stigende betydning de seneste år, hvor realkreditinstitutterne over hele linjen har øget bidragssatserne, kursskæringen samt sænket Side 12 af 93

17 godtgørelsesrenten (Finanstilsynet, 2010). Ved Finanstilsynets gennemgang af realkreditrådgivningen (2010) var deres indtryk at rådgiverne ikke har meget fokus på omkostninger, når de rådgiver kunderne om valg af boliglån. Især bidragssatsen har de seneste år været til diskussion. I forhold til bidragssatsen fandt Finanstilsynet, at rådgiverne ikke i tilstrækkelig grad forklarede, hvilken betydning bidragssatsen har samt, at bidragssatsen løbende kan ændres i løbet af lånets løbetid. Udleveret materiale I forbindelse med lånet udleveres eller tilsendes låntager en lånetilbudspakke, som indeholder forskellige relevante dokumenter. Følgende tager udgangspunkt i lånetilbudspakken fra BRFkredit (2014). LånGuiden er en del af lånetilbudspakken, hvor alle de forhold, som har interesse for låntager, forklares i et let og forståeligt sprog. LånGuiden giver informationer om blandt kurssikring, lånetype karakteristika og skat. Informationsmængden kan dog være overvældende og derfor måske virke uoverskueligt for låntager. Det kan derfor anbefales, at der laves en vis grad af individuel tilpasning. I bilagene i LånGuiden indgår række dokumenter, som er relevante i forhold til det enkelte lån. Der indgår eksempelvis en provenuberegning for det udbetalte beløb samt en betalingsplan, der udgør en oversigt over betalingerne over lånets løbetid. Fra LånGuiden fremgår det, at rentetilpasningslån og KortGarantilån tager udgangspunkt i, at renteniveauet forbliver uændret gennem hele lånets løbetid. De vedlagte beregninger er derfor under den kritiske forudsætning, at det nuværende renteniveau er gældende i hele lånets løbetid. Låntager er derfor ikke oplyst om risikoen for renteændringer. 2.3 De traditionelle realkreditnøgletal I det følgende gennemgås de traditionelle realkreditnøgletal, ydelsen i budgetgennemgangen og Årlige Omkostninger i Procent (ÅOP), som anvendes på de tre rådgivningsniveauer. Ved at belyse problemstillingerne ved de traditionelle nøgletal, kan behovet for supplerende rådgivningsværktøjer vurderes, herunder horisontberegninger Budgetgennemgangen Såfremt låntager er fundet egnet til lånet, starter rådgiveren med at gennemgå budgettet for låntagers økonomi (Finanstilsynet, 2010). Grundlaget for budgetgennemgangen er, at låntagers fremtidige ydelse indlægges i det månedlige budget. Herved skabes der et samlet overblik over låntagers økonomi. Side 13 af 93

18 Figur 4: Budgetgennemgangen - Nykredit A/S. Kilde:Nykredit.dk I figur 4 fremgår der et eksempel på budgetgennemgangen, hvor den månedlige ydelse før skat på lånet er indlagt i budgettet. Ydelsen kommer dermed til at indgå på linje med husets øvrige omkostninger. Der tages derfor ikke hensyn til, at afdraget ikke skal ses som en udgift, men som en opsparing i huset. Michael Carlsen (BVC, 2011), der er afdelingsdirektør i Nykredit med ansvar for rådgivningspolitik og anbefalinger, siger følgende til tendensen af brugen af ydelsen i rådgivningen Både låntagere og rådgivere har i dag stort fokus på lånets ydelse her og nu. Når en låntager har valgt et lån med en lav ydelse, for eksempel F1, er det svært at få ham/hende til lægge om til et fastforrentet lån med lidt højere ydelse på trods af større sikkerhed og bedre formueegenskaber I rådgivningen er der altså stor fokus på ydelsen. I en budgetsammenligning mellem de to lånetyper, kan låntager derfor få den opfattelse, at omkostningerne altid vil være væsentlige lavere samt at rådighedsbeløbet vil være større for et rentetilpasningslån i forhold til det fastforrentede lån. At omkostningerne er væsentlige lavere er naturligvis kun gældende for det nuværende renteniveau. Budgetgennemgangen afdækker ikke tilstrækkeligt fordele og ulemper ved den enkelte lånetype, da budgetgennemgangen ikke inddrager risikoen ved en eventuel rentestigning, hvilket bekendtgørelsen om god skik for finansielle virksomheder kræver, jævnfør 14, stk Årlige omkostninger i procent Ved indgåelse af en kreditaftale, i dette tilfælde et realkreditlån, skal låntager, forinden lånet optages, oplyses om de årlige omkostninger i procent (ÅOP). Formålet med nøgletallet er at oplyse låntager om de samlede omkostninger for lånet i et enkelt nøgletal. Årsagen til, at nøgletallet blev indført som en del af Kreditaftaleloven, var at højne gennemsigtigheden på et stort lånemarked, hvor skjulte omkostninger kan gøre valget af det bedste finansieringstilbud kompliceret. Side 14 af 93

19 Som tidligere nævnt indeholder ÅOP en række faldgrupper, der medfører, at nøgletallet ikke er tilstrækkelig som rådgivningsværktøj alene. Nøgletallet vil i mange tilfælde give et misvisende resultat, hvorfor den ikke kan anvendes til at sammenligne på tværs af lånetyper. I forhold til det fastforrentede konverterbare lån vil anvendelsen af ÅOP betyde, at lånetypen kommer til at fremstå dyrere end den reelt set er. Dette skyldes, at nøgletallet ikke inddrager værdien af optionselementet. I forhold til rentetilpasningslån, vil rentetilpasningslån modsat komme til at fremstå billigere, da ÅOP antager, at renten forbliver den samme i lånets fulde løbetid. Med det nuværende renteniveau vil dette naturligvis begunstige rentetilpasningslån. Lånet, som ender med at blive det billigste for låntager, kan ikke udpeges ved låneoptagelsen, da ingen kender den fremtidige renteudvikling. Det er disse forhold, der gør horisontberegninger interessante som et supplerende rådgivningsværktøj til de eksisterende. 2.4 Opsummering I indeværende kapitel blev der redegjort for processen i forbindelse med optagelsen af et realkreditlån. Indledningsvis blev det danske realkreditmarked præsenteret. Efterfølgende blev der redegjort for fordelene og ulemperne ved de to lånetyper, herunder det fastforrentede konverterbare lån samt rentetilpasningslånet. Den nuværende rådgivning blev beskrevet i forhold til de tre rådgivningsniveauer, hvori følgende faldgrupper kunne påpeges; kritiske antagelser, uoverskuelige mængder udleveret materiale og ensidige beregninger. Afslutningsvis blev de traditionelle realkreditnøgletal beskrevet, herunder budgetgennemgangen og ÅOP. Da realkreditnøgletallene ikke inkorporerer al risikoen ved de forskellige lånetyper, er der et stærkt behov for et supplerende rådgivningsværktøj i form af horisontberegninger. 3. Horisontberegninger I kapitel 2 blev faldgrupperne ved de traditionelle realkreditnøgletal præsenteret. I dette kapitel præsenteres skemaet for horisontberegninger 10. Ifølge Penge- og Pensionspanelet (2013) har låntager generelt svært ved at gennemskue boliglån og finansielle ydelser. Sammen med de nævnte problemstillinger for de traditionelle realkreditnøgletal, bidrager disse forhold til et behov for at introducere andre rådgivningsværktøjer. At lånemarkedet er blevet svært at gennemskue skyldes især udviklingen af mange nye realkreditprodukter, såsom rentetilpasningslån, hvis risikoprofil og vilkår er markant anderledes i forhold til det traditionelle fastforrentede konverterbare lån. De tilknyttede rådgivningsværktøjer har ikke oplevet en tilsvarende udvikling over perioden. Bolig Økonomisk Videncenter (2011) argumenter derfor for en ny rådgivning 10 I afhandlingen er horisontberegningerne valgt som fagterm. Beregningerne kendes også i litteraturen som indfrielsesberegninger eller konsekvensberegninger. Side 15 af 93

20 En ny rådgivning skal medføre, at låntagerne vælger de lån, der passer bedst til deres økonomiske situation, deres forventede lånehorisont samt deres evne og vilje til at påtage sig en finansiel risiko Svend Jakobsen (Jakobsen, 1997, 1998, 2004, 2007) har igennem flere år forslået, at horisontberegninger anvendes som en del af realkreditrådgivningen for at forbedre rådgivningen på de ovenfor nævnte punkter 11. Der er enkelte realkreditinstitutter 12, som anvender horisontberegninger i forbindelse med rådgivningen, men deres horisontberegninger er ikke underlagt Kreditaftaleloven eller en fælles branchestandard med hensyn til renteændringer, horisontdatoer med videre. Indeværende kapitel tager derfor afsæt i Svend Jakobsens artikler på området. 3.1 Definition af horisontberegninger Horisontberegninger skal ses som et supplerende sæt af nøgletal, der kan være med til understøtte rådgivningen af låntager, således at oplysningskravene fra Kreditaftaleloven (Mogensen, 2013) opfyldes. Horisontberegninger giver låntager et overblik over indfrielsesomkostninger samt påvirkningen af ændringer i renten på det enkelte realkreditlån. Horisontberegninger laves i indeværende afhandling på baggrund af en parallelforskydning af rentekurven nedad på 1 procentpoint, en uændret beliggenhed af rentekurven samt en parallelforskydning af rentekurven opad på 2 procentpoint. Et eksempel på en horisontberegning fra Jakobsen (2007) fremgår i figur 5. Figur 5: Eksempel på horisontberegning. Kilde: Jakobsen, Endvidere har Svend Jakobsen via Scanrates låneberegner på boligregner.dk siden 2004 givet låntager mulighed for at foretage horisontberegninger og sammenligninger på tværs af forskellige lånetyper. 12 Det er dog langt fra alle realkreditinstitutter, som anvender horisontberegninger (Penge- og Pensionspanelet, 2013) Side 16 af 93

21 Antagelserne i forhold til valg af horisontperiode, hovedstol og omkostninger med videre for indeværende afhandling bliver gennemgået i kapitel 9. I det følgende beskrives de nøgletal, som skemaet for horisontberegninger indeholder. Ydelsen: Ydelsen er beregnet før skat og efter skat ved lånets optagelse samt efter skat på horisontdatoen. Ydelsen er beregnet på baggrund af et annuitetslån. For et annuitetslån er det gældende, at de samlede udgifter til lånet er konstant, men at fordelingen mellem renter og afdrag ændres. Indledningsvis i låneperioden udgør renter den største del af ydelsen i forhold til afdrag. Men efterhånden som restgælden falder, vil renteudgifterne komme til at udgøre en mindre del af ydelsen. Ydelsen på rentetilpasningslånet skal reguleres ved hver refinansieringsperiode, og vil derfor ændre sig med renten. Ifølge skattereglerne kan låntager opnå fradrag for de renteudgifter, som afholdes i forbindelse med et realkreditlån (Realkreditrådet, 2014). Realkreditlån og lån generelt har forskellige ydelsesprofiler, hvilket har betydning for størrelsen for rentefradraget i lånets løbetid. I forhold til det fastforrentede konverterbare lån vil rentefradraget derfor falde i takt med, at renteudgifternes andel af den samlede ydelse falder. I horisontberegningerne beregnes skattefradraget for at vise fordelene herved for låntager. Afdrag samt udgifter til renter og bidrag er adskilt i horisontberegningerne. Herved oplyses låntager om, hvad der er egentlige omkostninger og hvad der er opsparing i huset. Restgælden på horisontdatoen: Restgælden opgøres på horisontdatoen for at vise låntager, hvor meget det oprindelig lån er blevet reduceret til. Indfrielsesomkostninger: I forbindelse med indfrielse, findes der forskellige metoder, hvorpå lånet kan indfries, dagkursindfrielse, pari-opsigelse og pari-straks indfrielse. Metoden er relevant, da indfrielsesomkostningerne afhænger af indfrielsesmetoden. Dagskursindfrielse indebærer, at låntager selv eller realkreditinstituttet opkøber de bagvedliggende obligationer til markedskurs. De totale indfrielsesomkostninger ved en dagskursindfrielse, I omk, er givet d ved følgende formel (BVC, 2011) I omk d = I gebyr + min(3000, K RG K sats ) + (RG K s ) [3.1] Hvor I gebyr udgør et indfrielsesgebyr, K udgør kursen på indfrielsestidspunktet, RG udgør restgælden på indfrielsestidspunktet, K sats udgør en given størrelse fastsat af realkreditinstituttet og K s udgør kursskæringen. Dagskursindfrielsen vil normalt anvendes i de tilfælde, hvor kursen på obligationen er under 100 (BVC, 2011). Formel 3.1 benyttes derfor til at finde indfrielsesomkostningerne på den fastforrentede Side 17 af 93

22 konverterbare lån i scenariet med stigende renter. Rentetilpasningslån kan ligeledes indfries ved, at de bagvedliggende inkonverterbare obligationer opkøbes til dagskursen. I afhandlingen antages det derfor, at Formel 3.1 kan anvendes til at finde indfrielsesomkostninger på rentetilpasningslån. Mellem refinansieringstidspunkterne vil kursen på de inkonverterbare obligationer naturligvis kunne afvige fra 100, men antages at være 100 på oversigtsdatoen. I de tilfælde hvor kursen på den konverterbare obligation ligger over kurs 100, kan låntager enten foretage en pari-opsigelse 13 eller en pari-straks indfrielse (Realkredit Danmark). Da indfrielsen af den inkonverterbare obligation sker på horisontdatoen, der ligger midt i mellem to terminer, anvendes pari-straks indfrielse. Ved pari-straks indfrielse indfries lånet med det samme til kurs 100. Fra den sidste termin betales obligationsrenten frem til indfrielsesdatoen, mens der fra indfrielsesdatoen frem til næste termin betales en differencerente. Differencerenten er forskellen mellem kuponrenten og en godtgørelsesrente, som realkreditinstituttet giver låntager for at betale rentebetalingen forud i forbindelse med indfrielsen (Realkredit Danmark, 2014 [1]). Godtgørelsesrenten hos Nordea ligger på nuværende tidspunkt 0,0 pct. (Nordea Kredit) mens Realkredit Danmark har haft en negativ godtgørelsesrente på -0,15 pct. En negativ godtgørelsesrente bevirker derfor, at låntager betaler for at stille pengene til rådighed frem til, at obligationerne bliver trukket ud ved næstkommende termin. For pari-straks indfrielsen gælder det desuden, at låntager sparer bidragssatsen fra indfrielsesdatoen og frem til næste termin (Andelskassen København). De totale indfrielsesomkostninger ved en pari-straks indfrielse, I omkp, er givet ved følgende formel (BVC, 2011) I omkp = I Gebyr + DIF rente DIF rente = RG D (Kuponremte G rt ) [3.2] Hvor I gebyr udgør et indfrielsesgebyr, DIF rente udgør differencerenten, der kan beregnes på baggrund af restgælden, RG, D udgør antallet af dage fra opsigelsesdatoen til opsigelsesterminen som en brøkdel af antal kalenderdage om året og G rt udgør godtgørelsesrenten. Skønnede indfrielseskurs: Den skønnede indfrielseskurs afhænger af den fremtidige renteudvikling. Modellen til at finde indfrielseskurserne på den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. for de tre rentescenarier bliver beskrevet i kapitel 5 og fremefter. 13 For pari-opsigelse er det gældende at for det fast forrentede lån med fire årlige terminer skal opsiges med senest to måneders varsel til en termin. Der betales terminsydelse helt frem til sidste dag i terminsperioden for denne opsigelsesmetode. Side 18 af 93

23 Periodeomkostninger: Periodeomkostningen defineres som den rene låneomkostning altså hvad låntager skal betale for at have provenuet stående til rådighed i horisontperioden. Periodeomkostningen viser derfor, hvad det koster at låne pengene, frem for hvis der blev betalt kontant. Periodeomkostningen for horisontperioden er givet ved formel 3.3. PO = (samlet ydelse i perioden efter skat + skønnet indfrielsesbeløb) Faktisk provenu [3.3] 3.2 Opsummering I indeværende kapitel blev der redegjort for nøgletallene, der indgår i horisontberegninger. Ydelsen ligger fast på det fastforrentede konverterbare lån, mens ydelsen varierer på rentetilpasningslånet i forhold til ændringer i renten. I kapitlet blev det ligeledes antaget, at indfrielsesomkostningerne på rentetilpasningslån kan beregnes på baggrund af dagskursindfrielse. Indfrielsesomkostningerne på den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. beregnes ved stigende renter ved hjælp af dagkursindfrielsesmetoden. Ved faldende og en uændret renter beregnes indfrielsesomkostningerne på den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. ved hjælp af pari-straks indfrielsesmetoden. 4. Rentedannelse Som nævnt i kapitel 1 og 3 foretages horisontberegningerne på baggrund af tre rentescenarier, en parallelforskydning af rentekurven nedad på 1 procentpoint, en uændret rentekurve samt en parallelforskydning af rentekurven opad på 2 procentpoint. Forskydninger af rentekurven vil føre til en ændring i de skønnede indfrielseskurser på den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. samt ydelserne på rentetilpasningslånet. Det er derfor relevant med en forståelse af de faktorer, der kan føre til en parallelforskydning af rentekurven. I kapitel 4.1, 4.2 og 4.3 diskuteres faktorerne, der kan føre til ændringer i de korte og lange obligationsrenter. I kapitel 4.4 diskuteres de specifikke risici, der knytter sig til den fastforrentede konverterbare obligation. De korte obligationsrenter defineres i indeværende afhandling til at dække over obligationer med løbetider på op til 2 år. De lange obligationsrenter defineres i indeværende afhandling til at dække over obligationer med løbetider på over 10 år. 4.1 De korte obligationsrenter De pengepolitiske renter har stor betydning for pengemarkedsrenterne såvel som for obligationer med løbetider på op til to år. Ændringer i de korte obligationsrenter er derfor i høj grad styret af ændringer i de pengepolitiske renter (Nationalbanken, 2009). De pengepolitiske renter i Danmark ændres, når ECB ændrer de pengepolitiske renter i euroområdet. ECB forvalter euroen og er ansvarlig for at fastlægge og gennemføre den økonomiske og monetære politik. Igennem et samarbejde med alle europæiske centralbanker er Side 19 af 93

24 målsætningen for den fælles pengepolitik i euroområdet at holde inflationen lav og stabil på lige under 2 pct. Ved ændringer i inflationen i euroområdet reagerer ECB med ændringer i de pengepolitiske renter. Ved svagere konjunktur og reduceret inflationspres vil ECB reagere med at sænke de pengepolitiske renter og vice versa (Finansministeriet, 2003). Ændringer i de pengepolitiske renter i Danmark er derfor styret af den generelle inflation i euroområdet. Da Danmark har en fastkurspolitik overfor euroområdet, vil Nationalbanken i Danmark i nogle situationer være nødsaget til at ændre de pengepolitiske renter i Danmark uafhængigt af de pengepolitiske renter i euroområdet, for at holde kronen konstant overfor euroen. Dette vil kunne finde sted i en situation med opad- eller nedadgående pres på kronen efter vedvarende ind- eller udstrømning af valuta. I første omgang vil Nationalbanken forsøge at støtte kronen ved at intervenere på valutamarkederne. Bringer interventionen ikke kronen tættere på centralkursen, vil Nationalbanken ændre på de pengepolitiske renter. Hvis kronen eksempelvis er blevet svækket, vil Nationalbanken hæve de pengepolitiske renter. Med højere pengepolitiske renter vil efterspørgslen efter kroner stige. Hvis kronen omvendt er blevet styrket, vil Nationalbanken sænke de pengepolitiske renter for at få investorerne til at mindske interessen for danske kroner (Nationalbanken, 2009). 4.2 De lange obligationsrenter Der er ikke en entydig sammenhæng mellem de pengepolitiske renter og de lange obligationsrenter. De lange renter er derimod en afspejling af langsigtede inflationsforventninger og realrenten. Det er derfor umuligt at vide i hvilken retning de lange renter vil ændre sig, når der sker ændringer i de pengepolitiske renter (Nationalbanken, 2009). Generelt er der en tendens til, at de lange danske obligationsrenter påvirkes af udviklingen i de lange renter i euroområdet. Set ud fra et mere globalt perspektiv er der trods store valutakursbevægelser en tendens til, at de lange renter i industrilandene overordnet følger hinanden, grundet kapitalfrihed og en ensartet udvikling i inflationsforventningerne (Nationalbanken, 2009). 4.3 Devalueringsforventninger Både de korte og lange renter vil kunne påvirkes ved valutakursuro. Hvis de finansielle markeder pludseligt ikke har tillid til en fast valutakurs, kan der eksempelvis opstå devalueringsforventninger, der vil presse obligationsrenterne i en opadgående retning. I Danmark var dette eksempelvis tilfældet under krisen i det europæiske valutasamarbejde i (Nationalbanken, 2009). For de enkelte obligationstyper er der en række specifikke risici. For den fastforrentede konverterbare obligation dækker disse risici over en kredit-, likviditets- samt en konverteringsrisiko. Ændringer i investors Side 20 af 93

25 Rente vurdering af disse risici vil derfor føre til ændringer i obligationsrenterne. I det følgende beskrives rentekurven og de specifikke risikopræmier for den fastforrentede konverterbare obligation. 4.4 Renten på fastforrentede konverterbare obligationer Kursdannelsen på den fastforrentede konverterbare obligation afhænger af en række risici, der kan opdeles i en renterisiko, likviditetsrisiko, kreditrisiko samt en konverteringsrisikoen (Nationalbanken, 2009 [2]). Der skal derfor tillægges et likviditets-, kredit samt konverteringsspread til rentekurven for en statsobligation, for at den fastforrentede konverterbare obligation bliver korrekt prisfastsat. Dette ses afspejlet i nedenstående figur (Nationalbanken, 2011). Konverteringsrisiko Kreditrisiko Likviditetsrisiko Risiko på inkonverterbar obligation Effektive rente Figur 6: Likviditets-, kredit- samt konverteringsrisiko til rentekurven for en statsobligation. Kilde: Nationalbanken, 2009 Renterisiko Normalt er korte renter lavere end lange renter. Rentekurven siges i dette tilfælde at være stigende. Grunden til at de lange renter er højere end de korte renter, skyldes at investor kræver en præmie for at binde sine penge i længere tid (Nationalbanken, 2009). Likviditetsrisiko Likviditetsrisiko er risikoen for, at obligationerne ikke kan sælges uden væsentlige omkostninger og tab. Jo mere illikvid en obligation er, desto større en likviditetspræmie vil investor kræve. Med andre ord; hvis en investor investerer i nogle obligationer, der ikke kan sælges uden væsentlige omkostninger og tab, vil han kræve en højere likviditetspræmie, end hvis han havde investeret i obligationer, der kan sælges uden nævneværdige omkostninger og tab. For at gøre realkreditobligationer likvide udstedes de i store serier over en længere periode (Nationalbanken, 2009). Side 21 af 93

26 Kurs, konverterbar Kreditrisiko Kreditrisikoen er risikoen for, at debitor går konkurs. Generelt vil statsobligationer have en lavere kreditrisiko end realkreditobligationer, da der er en mindre sandsynlighed for at den en stat går konkurs end en privat låntager. Da et realkreditlån i Danmark er udstedt med sikkerhed i fast ejendom indenfor lovbestemte grænser, er kreditrisikoen knyttet til disse meget beskeden, såfremt der er foretaget realistiske vurderinger af de belånte ejendomme (Nationalbanken, 2011). Konverteringsrisiko At en obligation er konverterbar indebærer, at låntager har en ret til at indfri sit lån til kurs 100 på fastlagte terminsdatoer under hele amortisationsforløbet. I en periode med vedvarende rentefald vil låntager blive tilskyndet til at konvertere sit lån til et lavere forrentet lån. Når renterne falder, vil obligationskurserne stige, og typisk handles obligationerne til kurser over pari, når låntager finder det fordelagtigt at konvertere. En eventuel konvertering vil derfor betyde ekstraordinære udtrækninger, der vil påføre investor risiko. Risikoen kan både deles op i en kursrisiko samt en genplaceringsrisiko. Den ekstraordinære udtrækning til pari giver anledning til et kurstab, hvis obligationen er erhvervet til en kurs over pari. Hertil kommer, at investor skal ud og genplacere provenuet fra udtrækningen til et lavere renteniveau. Der er således også en genplaceringsomkostning. Risikoen, der følger konverterbare obligationer medfører derfor, at investor kræver en konverteringspræmie. Da konverteringspræmien vokser med kursen på den konverterbare obligation er der således en grænse for, hvor høj kursen på den konverterbare obligation kan stige over kurs pari. Nedenstående figur viser sammenhængen mellem kursniveauet for en konverterbar obligation sammenlignet med en tilsvarende inkonverterbar obligation (Christensen, 2009). 45 graders linje Konverteringspræmie Kurs, inkonverterbar Figur 7: Kurssammenhæng konverterbare obligation og den inkonverterbare obligation. Kilde: Christensen, Når kursen på den fastforrentede konverterbare obligation overstiger pari, stagnerer kursen mere eller mindre. Der er derimod ikke den samme grænse for den inkonverterbare obligation. Grunden til at den Side 22 af 93

27 konverterbare obligation kan overstige kurs pari er, at det optimale konverteringstidspunkt typisk ikke kendes samt at der skal tages hensyn til transaktionsomkostninger, skat og opsigelsesvarsel (Christensen, 2009). 4.5 Opsummering I indeværende kapitel blev der redegjort for de faktorer, der kan føre til parallelforskydninger af rentekurven. Dette blev gjort med udgangspunkt i de korte og lange obligationsrenter samt de specifikke risici, der knytter sig til den fastforrentede konverterbare obligation. Ændringer i de korte obligationsrenter er i høj grad knyttet til ændringer i de pengepolitiske renter. Da kursen på den danske krone holdes konstant i forhold til euroen, vil der ske ændringer i de pengepolitiske renter i Danmark, når de pengepolitiske renter ændres i euroområdet. Ændringer i de pengepolitiske renter i Danmark kan dog godt finde sted uafhængigt af ændringer i de pengepolitiske renter i euroområdet, eksempelvis i en situation med pres opad eller nedad på kronen efter vedvarende ind- eller udstrømning af valuta. Ændringer i de lange obligationsrenter er derimod styret af ændringer i inflationsforventninger. Samtidig vil de- og revalueringsforventninger ligeledes kunne føre til ændringer i både de korte og lange obligationsrenter (kap. 4.3). I forhold til den fastforrentede konverterbare obligation knytter der sig ligeledes en række specifikke risici, der drejer sig om en likviditets-, kredit- samt en konverteringsrisiko. 5. Prisfastsættelsesmodel I dette kapitel præsenteres prisfastsættelsesmodellen, der anvendes til at beregne et skøn på indfrielseskurserne på den fastforrentede konverterbare obligation for de tre forskellige rentescenarier. Komponenterne i prisfastsættelsesmodellen er skitseret i figur 8, der ligeledes danner grundlag for strukturen i de følgende underkapitler i kapitel 5 samt kapitel 7 til 9. Af figur 8 fremgår det, at der overordnet set indgår to komponenter i en model til prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare obligationer, en rentestrukturmodel (kap. 5.1) samt en konverteringsmodel (kap. 5.4). Indeværende afhandling benytter en binomialmodel som rentestrukturmodel. Binomialmodellen har den fordel, at den tager udgangspunkt i en rentekurve (kap. 5.2) samt en antagelse omkring en volatilitetsstruktur (kap. 5.3). Dette sikrer en konsistent prisfastsættelse ud fra aktuelle obligationsmarkedsdata. Som rentekurve benyttes swaprentekurven, jævnfør kapitel 4. Rentestrukturmodellen kan enten implementeres via Black-Derman-Toy (BDT) modellen (kap. 5.1) eller Ho&Lee modellen. Indeværende afhandling benytter BDT modellen. For at lette beregningsarbejdet i BDT modellen gøres der brug af en forward algoritme, der baserer sig på Arrow-Debreau priser (kap ). Side 23 af 93

28 Rentekurve (kap. 5.2) Rentestrukturmodel (kap. 5.1) -Korte renter Volatilitetsstrutur (kap. 5.3) -Binomialmodel HO & Lee BDT (kap. 5.1) -Arrow Debreau (kap ) Konverteringsmodel (kap. 5.4) -Gevinstfunktion -Gevinstkravsmodel (kap ) Korrigeret betalingsrække Estimation af konverteringsmodel (kap. 7) Horisontberegninger (kap. 9) Figur 8: Oversigt over prisfastsættelsesmodel. Kilde: Nationalbanken, 2011 med egen tilvirkning. Konverteringsmodellen (kap. 5.4) består af en gevinstfunktion samt en gevinstkravsmodel (kap ). Gevinstfunktion beregner gevinsten ved at konvertere. For at beregne genvinsten ved at konvertere skal nutidsværdien af lånet først findes. Som diskonteringsfaktor benyttes de fremtidige en-periode-renter fra BDT modellen. Herefter kan konverteringsgevinsten findes som låntagers ydelsesnedsættelse ved konvertering, målt i procent af det gamle låns nutidsværdi. Konverteringsgevinsten bruges til at estimere en udtrækningsprocent. Dette gøres ved hjælp af gevinstkravsmodellen, der siger hvor stor gevinsten skal være, før låntager vælger at konvertere sit lån. Efter at have bestemt låntagers konverteringsadfærd kan de konverteringskorrigerede ydelsesrækker findes. Disse ydelsesrækker tilbagediskonteres med de fremtidige en-periode-renter. På baggrund af værdien af de tilbagediskonterede ydelsesrækker fås prisen på den fastforrentede konverterbare obligationen (kap. 7), hvor der samtidig tages højde for konverteringsoptionen. På baggrund af de tilbagediskonterede ydelsesrækker findes de skønnede indfrielseskurser, der benyttes til horisontberegninger (kap. 9). 5.1 Rentestrukturmodel Binomialmodellen har som sagt den fordel, at den tager udgangspunkt i en rentekurve samt en volatilitetsantagelse. Herved sikres en konsistent prisfastsættelse ud fra aktuelle obligationsmarkedsdata. På baggrund af disse inputdata danner binomialmodellen et gitter, der angiver mulige scenarier for udviklingen i de fremtidige korte en-periode-renter. Dette ses afspejlet i nedenstående figur 9. Side 24 af 93

29 (t 2,s 1 ) (t 1,s 1 ) (t 2,s 1 ) (t 0,s 0 ) (t 1,s 0 ) (t 2,s 0 ) Figur 9: Gitter for binomialmodellen. Kilde: Egen tilvirkning. Hvert knudepunkt i gitteret kan beskrives ud fra to variable, tid og tilstand, angivet ved (t,s). Udgangspunktet er (t 0, s 0 ). Den korte en-periode-rente kan herefter enten gå op eller ned, illustreret ved henholdsvis (t 1, s 1 ) og (t 1, s 0 ). For den næste periode vil den korte rente ligeledes kunne gå op eller ned. Udgangspunktet består nu af (t 1, s 1 ) og (t 1, s 0 ). Så for hvert enkelt knudepunkt i gitteret vil renten enten kunne gå op eller ned over den efterfølgende periode. Med andre ord er der for hvert knudepunkt i gitteret to mulige udfald, heraf navnet binomialmodel. En større/lavere volatilitet vil gøre gitteret bredere/smallere, hvorfor en større volatilitet giver mulighed for mere ekstreme renteforløb (Nationalbanken, 2011). BDT modellen kontra Ho&Lee modellen BDT modellen og Ho&Lee modellen udgør to rentebinomialmodeller. Fordelen ved Ho&Lee modellen består i, at den beregningsmæssigt er relativ enkel. Ulempen består derimod i, at Ho&Lee modellen kun kan kalibreres til den eksisterende rentekurve. Derfor antager modellen også en konstant volatilitet mellem de fremtidige korte en-periode-renter. Fordelen ved BDT modellen ligger derfor i, at den både kan kalibreres til den eksisterende rentekurve samt en volatilitetsstruktur. BDT modellen har dog den ulempe i forhold til Ho&Lee modellen, at den er relativt mere kompliceret beregningsmæssigt. Ved at implementere en forwardalgoritme, der baserer sig på Arrow-Debreau aktiver, kan beregningsarbejdet lettes (Bechmann, 2006). BDT modellen BDT modellen bygger på følgende betingelse r(t; t 1, s) = v(t)r(t; t 1, s 1) [5.1] Hvor r(t;t-1,s) angiver en kort en-periode-rente fra periode t-1 til t i stadie s. r(t;t-1,s-1) angiver en kort enperiode-rente fra periode t-1 til t i stadie s-1. v(t) er et udtryk for volatiliteten mellem renterne på et fremtidigt tidspunkt t. v(t) fås som output af kalibreringen. Side 25 af 93

30 For at kunne bestemme de korte renter i gitteret samt den fremtidige volatilitetsstruktur, kræves yderligere input i form af den nuværende volatilitetsstruktur, c(t), målt som forholdet mellem renterne på tidspunkt 1 r(t; 1,1) = c(t)r(t; 1,0) [5.2] r(t;1,1) angiver renten fra tidspunkt 1 til tidspunkt t i stadie 1. r(t;1,0) angiver renten fra tidspunkt 1 til tidspunkt t i stadie 0. Ud fra en antagelse om arbitragefri prisfastsættelse, benyttes nedenstående fundamentale beregningsformel til at finde de korte en-periode-renter D(t; 0) = (1 + r(1; 0)) 1 [q(1 + r(t; 1,1)) 1 + (1 q)r(1 + r(t; 1,0)) 1 ] [5.3] D(t;0) angiver prisen på en nulkuponobligation i tidspunkt 0 med udløb på tidspunkt t, r(1;0) angiver den korte en-periode-rente i tidspunkt 0, D(t;1,1)=(1 + r(t; 1,1)) 1 angiver prisen på en nulkuponobligation i knudepunkt (1,1) med udløb på tidspunkt t og D(t;1,0)= r(1 + r(t; 1,0)) 1 angiver prisen på en nulkuponobligation i knudepunkt (1,0) med udløb på tidspunkt t. Ved udnyttelse af ligning (5.2) kan ligning (5.3) omskrives til D(t; 0) = (1 + r(1; 0)) 1 [q(1 + c(t)r(t; 1,0)) 1 + (1 q)r(1 + r(t; 1,0)) 1 ] [5.4] Den eneste ubekendte i ligning (5.4) er r(t;1,0), hvorfor ligningen kan løses ved at isolere for r(t;1,0). Ud fra ligning (5.2) kan r(t;1,1) findes og dermed de tilhørende obligationspriser D(t;1,0) og D(t;1,1) henholdsvist. De egentlige renter i gitteret fås nu ved at arbejde sig frem fra tidspunkt t=3. For hvert skridt skal de to ubekendte r(t;t-1,0)og v(t) bestemmes, således at de herudfra beregnede værdier af D(t;1,0) og D(t;1,1) bliver lig med værdier bestemt ud fra formel 5.4. Med andre ord skal der løses to ligninger med to ubekendte (Bechmann, 2006) Arrow-Debreau aktiver En måde hvorpå beregningsarbejdet i BDT modellen kan lettes er ved at implementere en forward algoritme baseret på Arrow-Debreau aktiver. Forklaringen på et Arrow-Debreau aktiv tager udgangspunkt i nedenstående figur. Side 26 af 93

31 Figur 10: Gitter for Arrow-Debreau aktiver. Kilde: Bechmann, 2006 Prisen på tidspunkt 0 for et Arrow-Debreau aktiv, der udbetaler 1 i knudepunktet (T,s) og nul i alle andre situationer, angives ved AD(T,s;0). På samme måde angiver AD(T,s;t,v) prisen på Arrow-Debreau aktivet ved knudepunktet (t,v). Enhver sti, der går gennem knudepunktet (t,s)=(9,5) må nødvendigvis have passeret gennem knudepunktet (t,s)=(8,4) eller knudepunktet (t,s)=(8,5). Ligeledes vil enhver sti, der går gennem knudepunktet (t,s)=(2,1) fortsætte til knudepunktet (t,s)=(3,1) eller knudepunktet (t,s)=(3,2). Denne observation kan beskrives mere generelt; hvis en sti skal ende i knudepunktet (T,s), må stien nødvendigvis have passeret enten (T-1,s) eller (T-1,s-1). På kanterne i gitteret holder dette ikke. Eksempelvis er kun en måde hvorpå en sti kan ende i knudepunktet (T,T), nemlig ved at have passeret knudepunktet (T-1,T-1). Ligeledes er der kun en måde, hvorpå en sti kan ende i knudepunktet (T,0), nemlig gennem knudepunktet (T-1,0). Et Arrow-Debreau aktiv der udbetaler 1 ved knudepunktet (T,s) kan konstrueres som en portefølje af Arrow- Debreau aktiver på tidspunkt 0. Prisen på Arrow-Debreau aktivet, der udbetaler 1 i knudepunktet (T,s), vil skulle passere knudepunkterne (T-1,s) og (T-1,s-1). Prisen på Arrow-Debreau aktivet er her AD(T,s;T-1,s) og AD(T,s;T-1,s) henholdsvis. Porteføljen konstrueres ved at Købe AD(T,s;T-1,s) enheder af et Arrow-Debreau aktiv, der udbetaler i knudepunktet (T-1,s), og som har en enhedspris på AD(T-1,s;0) i tidspunkt 0. Købe AD(T,s;T-1,s-1) enheder af et Arrow-Debreau aktiv, der udbetaler i knudepunktet (T-1,s-1), og som har en enhedspris på AD(T-1,s-1;0) i tidspunkt 0. Ovenstående portefølje vil have det samme payoff, som et Arrow-Debreau aktiv, der udbetaler 1 i knudepunktet (T,s) og som har en pris på AD(T,s;0) i tidspunkt 0. Hvis knudepunktet passeres, vil porteføljen Side 27 af 93

32 give et afkast på AD(T,s;T-1,s), der reinvesteres i én enhed i af det pågældende Arrow-Debreau aktiv over den sidste periode. Hvis knudepunktet (T-1,s-1) tilsvarende passeres fås et afkast på AD(T,s;T-1,s-1), der ligeledes reinvesteres i én enhed af det pågældende Arrow-Debreau aktiv over den sidste periode. Prisen på porteføljen svarer til prisen på et Arrow-Debreau aktiv, der udbetaler én enhed i knudepunktet (T,s), hvorfor følgende prissammenhæng må gælde AD(T, s; 0) = AD(T, s; T 1, s)ad(t 1, s; 0) + AD(T, s; T 1, s 1)AD(T 1, s 1; 0) [5.5] Prissammenhængen i formel 5.5 er ligeledes opfyldt på gitterets kanter. Højresiden vil her være reduceret til kun at indeholde et relevant led frem for to. Forward algoritmen kan inddeles i 3 step, step 0, step 1 og step 2. Step 0 (Initialisering) De initiale Arrow-Debreau aktiver AD(1,0;0) og AD(1,1;0) kendes. De er produktet af den risikoneutrale sandsynlighed q og diskonteringsfaktoren D(1;0) AD(1,0; 0) = (1 q)d(1; 0) [5.6] AD(1,1; 0) = qd(1; 0) [5.7] Herefter løses ligning (5.4) for D(T;1,0) og D(T;1;1) for T=2,3,,120, således at D(T; 0) = D(1; 0)[(1 q)d(t; 1,0) + qd(t; 1,1)] [5.8] På baggrund af ligning (5.2), der forbinder D(T;1,1) og D(T;1,0), kan ligning (5.8) løses for kun en enkelt ubekendt, D(T;1,0). For T=2 fås D(2;1,0) og D(2;1,1), hvilket giver anledning til fire nye Arrow-Debreau aktiver AD(2,0; 1,0) = (1 q)d(2; 1,0) [5.9] AD(2,1; 1,0) = qd(2; 1,0) [5.10] AD(2,1; 1,1) = (1 q)d(2; 1,1) [5.11] Side 28 af 93

33 AD(2,2; 1,1) = qd(2; 1,1) [5.12] t = 3 [5.13] Step 1 I step 1 skal nedenstående to ligninger med 2 ubekendte, henholdsvis D(t;t-1,s) og v(t), løses simultant. t 2 D(t; 1,0) = AD(t 1, s; 1,0)D(t; t 1, s) s=0 t 1 D(t; 1,1) = AD(t 1, s; 1,1)D(t; t 1, s) s=1 [5.14] [5.15] For volatiliteten mellem de korte renter gælder det, at Step 2 r(t; t 1, s) = v(t) s r(t; t 1; 0) [5.16] Sidste step i forward algoritmen består i step 2. Her prisfastsættes Arrow-Debreau aktiverne på baggrund af de generede en-periode-renter. Her gælder følgende sammenhæng AD(t, s; t 1, s 1) = qd(t; t 1, s 1) for 1 s t [5.17] AD(t, s; t 1, s) = (1 q)d(t; t 1, s) for 0 s t 1 [5.18] AD(t, s; 1,0) = AD(t, s; t 1, s 1)AD(t 1, s 1; 1,0) [5.19] AD(t, s; 1,1) = AD(t, s; t 1, s)ad(t 1, s; 1,1) + AD(t, s; t 1, s 1)AD(t 1, s 1; 1,1) [5.20] t = t + 1 [5.21] Der fortsættes herefter med step 1, det vil sige for t=4 (Jensen, 2005). Beregningsmæssigt løses step 0 og 1 nemmest ved hjælp af Newton-Raphsons numeriske metode. Indeværende afhandling har derfor gjort brug af denne beregningsteknik. Side 29 af 93

34 Newton-Raphsons numeriske metode Newton-Raphsons metode er en effektiv numerisk metode, der kan bruges til at løse ikke lineære ligninger på baggrund af lineær approksimation. Metoden er illustreret i nedenstående figur. Figur 11: Illustration af Newton-Raphsons numeriske metode. Kilde: Sydsætter & Hammond, 2008 Løsningen, f(x)=0, til den ikke lineære funktion y=f(x) findes i punktet x=a. Løsningen x=a er ukendt til at starte med. For at finde frem til løsningen gives der initialt et gæt, x 0, på værdien af a. For at forbedre estimatet på løsningen a, konstrueres tangentlinjen til den ikke lineære funktion i punktet (x 0, f(x 0 )). Herefter findes tangentlinjens skæring med x-aksen, x 1. Som regel vil x 1 være et bedre estimat på a end x 0. Efter at have fundet x 1, konstrueres en tangentlinje til den ikke lineære funktion i punktet (x 1, f(x 1 )). Herefter findes den nye tangentlinjens skæring med x-aksen, x 2. Hvis denne proces gentages vil der opnås en sekvens af punkter på x-aksen, der hurtigt vil konvergere mod a. Det er nemt at finde en formel for x 1, x 2, x n. Hældningen på tangentlinjen i punktet x 0 er givet ved f (x 0 ). Ligningen for en tangentlinje gennem punktet (x 0, f(x 0 )) med hældningen f (x 0 ) er givet ved y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) [5.22] I punktet hvor den ikke lineære funktion skærer x-aksen er y=f(x)=0 og x = x 1. Af ovenstående formel får vi derfor f(x 0 ) = f (x 0 )(x 1 x 0 ). Ved isolering af x 1 fås x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ) [5.23] Givet x 1, kan det forberede estimat, x 2, på a findes ud fra formel 5.23 Side 30 af 93

35 x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 ) [5.24] Den generelle formel for den iterative proces, forudsat at f`(x n ) 0, er givet ved x n+1 = x n f(x n) f (x n ), n = 0,1, [5.25] (Sydsætter & Hammond, 2008). Newton-Raphsons numeriske metode i relation til step 0 I step 0 (initialisering) løses ligning (5.8) for en ubekendt; D(T;1,0). Ved hjælp af Newtons numeriske metode for ikke lineære ligninger, er det derfor f(r(t; 1,0))=0, der skal løses. f(r(t; 1,0))=0 fås ved at fratrække ligning (5.8) D(T;0) på begge sider og sætte udtrykket lig nul. f(d(t; 1,0)) = D(1; 0)[(1 q)d(t; 1,0) + qd(t; 1,1)] D(T; 0) [5.26] Ligning (5.26) omskrives til f(r(t; 1,0)) = r(1; 0) 1 [(1 q)(1 + r(t; 1,0)) (T 1) + q(1 + c(t)r(t; 1,0)) (T 1) ] (1 + r(t; 0)) T [5.27] Ligning (5.27) differentieres derefter m.h.t. r(t;1,0), herved fås f (r(t; 1,0)) = r(1; 0) 1 ( t + 1) [(1 q)(1 + r(t; 1,0)) T + qc(t)(1 + c(t)r(t; 1,0)) T ] [5.28] På baggrund af et gæt på r(; 1,0) n benyttes den iterative proces (formel 5.25) til at finde et nyt og forbedret estimat, r(t; 1,0) n+1, på en løsning for f(r(t; 1,0))=0. Den iterative proces fortsættes indtil f(r(; 1,0))=0 er fundet med en nøjagtighed på over 10 decimaler. Newton-Raphsons numeriske metode i relation til step 1 Newton-Raphsons numeriske metode i relation til step 1 er en anelse mere kompliceret, idet der nu skal gættes på to værdier, den korte en-periode-rente r(t;t-1,0) samt volatiliteten v(t) for både ligning 5.14 og ligning Regneteknisk findes den korte en-periode-rente samt volatiliteten ud fra den samme iterative proces, som for en variabel. Forskellen består i, at x erne er vektorer, den afledte funktion er en Jacobian matrice samt at den reciprokke værdi af den afledte funktion er den inverse Jacobian matrice. f som vi ønsker at finde en løsning for, kan derfor formuleres som Side 31 af 93

36 f(r(t; t 1,0), v(t)) = [ f 1(r(t; t 1,0), v(t)) f 2 (r(t; t 1,0), v(t)) ] = [0 0 ] [5.29] De to funktioner f 1 og f 2 løses simultant og udgør henholdsvis ligning 5.14 og 5.15 fratrukket D(t;1,0) t 2 AD(t 1, s; 1,0)[1 + v(t) s r(t; t 1,0) D(t; 1,0)] s=0 [5.30] t 1 AD(t 1, s; 1,1)[1 + v(t) s r(t; t 1,0) D(t; 1,1)] s=1 [5.31] Den afledte funktion af f, der nu udgør en Jacobian matrice specificeres som δf 1 (r(t; t 1,0), v(t)) δr(t; t 1,0) J f (r(t; t 1,0), v(t)) = δf 2 (r(t; t 1,0), v(t)) [ δr(t; t 1,0) δf 1 (r(t; t 1,0), v(t)) δv(t) δf 2 (r(t; t 1,0), v(t)) δv(t) ] [5.32] Række 1 indeholder f 1 partielt differentieret i forhold til den korte en-periode-rente samt volatiliteten. Række 2 indeholder f 2 ligeledes partielt differentieret i forhold til den korte enperiode-rente samt volatiliteten. Den reciprokke værdi af den afledte funktion f, der nu udgør den inverse Jacobian specificeres som δf 2 (r(t; t 1,0), v(t)) δf 1(r(t; t 1,0), v(t)) δv(t) δv(t) δf 2(r(t; t 1,0), v(t)) δf 1 (r(t; t 1,0), v(t)) J 1 [ δr(t; t 1,0) δr(t; t 1,0) ] f (r(t; t 1,0), v(t)) = ( δf 1(r(t; t 1,0), v(t)) ) ( δf 2(r(t; t 1,0), v(t)) ) ( δf 1(r(t; t 1,0), v(t)) ) ( δf 2(r(t; t 1,0), v(t)) ) δr(t; t 1,0) δv(t) δv(t) δr(t; t 1,0) [5.33] Den iterative proces kan derfor formuleres som Andrew (2005) [ r(t; t 1,0) n+1 ] = [ r(t; t 1,0) n 1 ] J v(t) n+1 v(t) f (r(t; t 1,0) n, v(t) n )f(r(t; t 1,0) n, v(t) n ) [5.34] n Problemer med Newtons metode På trods af at Newtons metode er en meget effektiv til at finde løsninger for ikke lineære ligningssystemer, kan der opstå situationer, hvor metoden har sine begrænsninger. For det første kan der opstå begrænsninger i forhold til at finde en løsning, hvis en funktion har flere rødder. For det andet kan der ligeledes opstå Side 32 af 93

37 problemer, hvis en funktion kun har en enkelt rod. Problemerne vil her relatere sig formen på funktion. Hvis funktionen har et meget atypisk form, kan der opstå en situation, hvor konvergeringen mod en løsning sker meget langsomt eller hvor Newtons metode slet og ret ikke finder en løsning. Det er derfor af stor betydning, at det indledende gæt på løsningen vælges med stor omhu. (Chapra & Canale, 2010). 5.2 Rentekurve Som tidligere nævnt skal BDT modellen kalibreres til en rentekurve, indeholdende de risici, som er gældende for det fastforrentede konverterbare obligationer. I kapitel 4.4 blev der redegjort for, hvorledes kredit-, likviditets- samt konverteringsrisiko på konverterbare obligationer medfører, at investorerne kræver en ekstra rente ud over renten på statsobligationer før de vil investere i obligationerne (Nationalbanken, 2011). Derfor kræves det, at den anvendte rentekurve tager højde for disse risici, for at prisfastsættelsen bliver så korrekt som muligt. Som rentekurve benyttes swaprenter. Et renteswap er en kontrakt mellem to parter på at bytte rentebetalinger fra variabel til fast rente eller omvendt (Finansrådet, 2010). Renteswappen anvendes eksempelvis af mange virksomheder til at afdække deres risiko overfor ændringer i den variable rente. Baggrunden for at anvende swaprenterne som rentekurve begrundes på baggrund af kredit- og likviditetsrisikoen. Kreditrisikoen for de danske konverterbare obligationer er lav. Dette skyldes, som nævnt i kapitel 2, at realkreditlånene er udstedt med sikkerhed i fastejendom. Det bemærkes ligeledes, at låntagers evne til at betale deres realkreditlån til tiden er god. Eksempelvis er restanceprocenten i første kvartal af 2014 er faldet til 0,25 pct. (Realkreditrådet [4]). Dette bevirker, at hovedparten af de danske realkreditobligationer har en tripple-a rating hos kreditvurderingsselskaberne, mens kreditrisikoen for swaps på det danske swapmarked kategoriseres med en rating mellem AA og AAA (Finanstilsynet, 2010). Denne rating indikerer, at investorerne i høj grad er sikret mod at få deres penge igen, samt at kreditrisikoen for realkreditobligationerne og swaprenterne er sammenlignelige. Likviditeten er ligeledes afgørende for kursen på en realkreditobligation. Dette opleves eksempelvis ved et årgangsskifte på obligationerne, som vi netop står overfor i år. De nye obligationer vil her blive handlet til en lavere kurs end den nuværende obligationsserie, da investorerne vil kræve en højere likviditetspræmie på grund af den manglende likviditet i serien (Realkredit Danmark). Som nævnt tidligere udsteder realkreditinstitutterne obligationerne i store serier for at undgå, at serierne bliver illikvide. I det danske swapmarked handles der swaps med løbetider op til 30 år, hvilket gør, at løbetiden er tilstrækkelig i forhold til prisfastsættelsen. Den højeste likviditet findes i swap med løbetider på to til syv år, mens likviditeten for Side 33 af 93

38 swaps over ti år er relativ begrænset (Finanstilsynet, 2010). For at være sikker på at swaprenterne afspejler al risikoen, der er forbundet med fastforrentede konverterbar obligationer, tillægges swaprenterne et refinansieringsspread på 80 bp. Swaprenterne er hentet fra Bloomberg den Volatilitetsstruktur Værdien af optionselementet afhænger af rentens udvikling og volatiliteten. Værdien af optionenselementet stiger ved stigende rentevolatilitet. Ved stigende rentevolatilitet bliver det mere sandsynligt, at der vil opstå et tidspunkt, hvor det vil være fordelagtigt for låntager at exercise optionen, hvorfor værdien af optionselementet stiger (Christensen, 2009). BDT modellen kalibreres derfor til en antagelse om en volatilitetsstruktur. Volatilitetsstrukturen specificeres ud fra formel Parameterværdierne a,b og c i formel 5.35 estimeres ved at minimere summen af de kvadrede afvigelser mellem de teoretiske priser på en række swaptioner og de tilsvarende markedspriser (Svendstrup, 2005). σ BDT (t) = a + b exp( ct) [5.35] Rationalet bag formel 5.35 består i, at volatiliteten på renterne aftager ved stigende t. Dette afspejler empiri, hvor de korte renter udviser større volatilitet relativt til de lange renter (Formuepleje, 2014). De estimerede parametre ses illustreret i nedenstående tabel 2. a b c 9,00% 21,56% 2,34% Tabel 2: Volatilitetsparametre a, b og c. Kilde: Excelark implicit volatilitet. På baggrund af de tre estimerede værdier af a, b og c beregnes volatiliteten på swaprenterne på terminsniveau. I figur 12 fremgår den beregnede volatilitet på renterne på terminsniveau. Figur 12: Beregnet volatilitet. Kilde: Excelark implicit volatilitet. Side 34 af 93

39 Volatiliteten på de helt korte renter har en volatilitet på 30,51 pct. mens volatiliteten på de lange renter er omkring 19 pct. Kalibrering af BDT modellen til volatilitetsstrukturen Kalibreringen af BDT modellen til volatilitetsstrukturen har i litteraturen mødt problemer i form af at de korte en-periode-renter (n,n+1) enten bliver negative eller eksploderer, hvilket naturligvis gør dem ubrugbare. For at sikre, at de korte en-periode-renter forbliver positive samt ikke overstiger en maksimum rente, indlægger Phelim P. et. all. (2001) en række betingelser i modellen. Indeværende afhandling indlægger en betingelse om positive renter samt en maksimumrente på 10 pct. Figur 13 viser to eksempler på rentescenarier i forbindelse med kalibreringen af BDT modellen for termin 20 til 22. Til venstre i figuren vises de korte en-periode-renter i tilfældet, hvor de to betingelser ikke er indlagt i modellen. Til højre i figur 13 vises tilfældet, hvor de to betingelser er indlagt i modellen. Hvor de to betingelser ikke er indlagt, fremgår det tydeligt, at de korte en-periode-renter eksploderer og at nogle af dem ligeledes bliver negative. Hvis rentegitteret udvides med en periode yderligere (n+1), det vil sige termin 23, vil det resultere i, at der ikke eksisterer nogen løsning. Phelim P. et. all. (2001) argumenterer for, at det er Newton-Raphson numeriske metode for ikke lineære ligningssystemer, der er den direkte årsag til fænomenet. Samtidig kan det initiale gæt på den korte en-periode-rente samt volatiliteten, der starter iterationsprocessen medvirke til, at der ikke findes en løsning, jævnfør kapitel 5.1. Figur 13: Korte en-periode-renter med og uden betingelser. Kilde: Excelark implicit volatilitet. En maksimal kort en-periode-rente på 10 pct. antages, da den korte rente siden 1997 nåede sit hidtil højeste niveau på 6,41 pct. i år 2000 (Jævnfør bilag 1). Før Efter ,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,01% 0,01% 0,01% 0,00% 0,00% 0,00% 0,02% 0,01% 0,01% 0,01% 0,00% 0,00% 0,03% 0,03% 0,02% 0,02% 0,01% 0,00% 0,07% 0,06% 0,04% 0,05% 0,02% -0,01% 0,14% 0,12% 0,09% 0,12% 0,06% -0,03% 0,30% 0,24% 0,18% 0,32% 0,16% -0,10% 0,62% 0,48% 0,36% 0,81% 0,42% -0,28% 1,29% 0,98% 0,71% 2,10% 1,09% -0,81% 2,66% 2,01% 1,43% 5,40% 2,87% -2,33% 5,52% 4,10% 2,88% 13,91% 7,53% -6,66% 10,00% 8,37% 5,77% 35,83% 19,77% -19,09% 10,00% 10,00% 10,00% 92,29% 51,93% -54,68% 10,00% 10,00% 10,00% 237,67% 136,41% -156,64% 10,00% 10,00% 10,00% 612,07% 358,29% -448,68% 10,00% 10,00% 10,00% 1576,29% 941,07% -1285,21% 10,00% 10,00% 10,00% 4059,48% 2471,80% -3681,37% 10,00% 10,00% 10,00% 10454,52% 6492,37% ,98% 10,00% 10,00% 10,00% 26923,86% 17052,71% ,25% 10,00% 10,00% 10,00% 44790,27% ,50% 10,00% 10,00% ,99% 10,00% Side 35 af 93

40 5.4 Konverteringsmodel I de følgende præsenteres to konverteringsmodeller. Den første konverteringsmodel (kap ) bygger på en antagelse om, at låntager er homogen. Låntager vil derfor konvertere, når det er mest optimalt. Den anden konverteringsmodel (kap ) antager, at låntager er heterogen med hensyn til konverteringsadfærden. Konverteringsadfærden skal her forklares ud fra et gevinstkrav (kap ) Konverteringsmodel med homogen låntager En konverterbar realkreditobligation kan opfattes som en inkonverterbar obligation, hvor låntager har købt en call-option, som giver ret til at indfri den inkonverterbare obligation til kurs 100 på en af de fremtidige terminer (Jakobsen, 1999 [2]). Det virker umiddelbart nærliggende, at forklare konverteringsadfærd ud fra en model, der bygger på standard optionsteori. I så fald vil den individuelle låntager følge en optimal værdiminimerende strategi, hvilket vil sige, at låntager vil exercise sit lån så snart værdien af den inkonverterbare obligation fratrukket optionsværdien er større end call værdien. Ifølge den amerikanske optionsmodel vil låntager forud for hver termin skulle bestemme sig for, hvorvidt han skal konvertere eller holde på sit lån. I det tilfælde låntager bestemmer sig for at konvertere sit lån, skal han betale restgælden på afregningsdatoen samt renter og afdrag fra opsigelsestidspunktet og frem til næste termin. Værdien af restgælden på terminsdatoen lagt sammen med renter og afdrag fra opsigelsesdatoen frem til næste terminsdato angives som W(t,s), hvor t og s angiver knudepunktet, hvori konverteringen sker. I forbindelse med konvertering vil låntager ligeledes skulle betale diverse transaktionsomkostninger. Transaktionsomkostninger antages at udgøre en fast andel γ af W(t,s). Den totale konverteringsværdi af den fastforrentede konverterbare obligationen m, til tiden t og tilstanden s, kan derfor beskrives som W m (t, s, γ) = (1 + γ)w(t, s). I det tilfælde låntager bestemmer sig for at holde på den fastforrentede konverterbare obligation, angives værdien som V m + (t, s, γ). Ud fra den værdiminimerende strategi kan værdien af den fastforrentede konverter obligation m for ethvert knudepunkt derfor beskrives som V m (t, s, γ) min{w m (t, s, γ), V m + (t, s, γ)} [5.36] Hvor V m + (t, s, γ) = f(t, s) + c(t, s) p(t, s){v m(t + 1, s + 1, γ) + V m (t + 1, s, γ)} [5.37] Hvor f(t, s) og c(t, s) udgør henholdsvis afdrag og renter for indeværende periode. Under antagelsen om værdiminimerende adfærd hos låntager kan konverteringsfunktionen specificeres som Side 36 af 93

41 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% Kurs λ(t, s, γ) = { 1 Hvis W m(t, s, γ) < V + m (t, s, γ) } 0 ellers [5.38] Konverteringsfunktionen siger, at såfremt låntager er rationel, vil låntager konvertere så snart konverteringsværdien er mindre end værdien af at beholde den fastforrentede konverterbare obligationen. Prisen på den fastforrentede konverterbare obligation i tidspunkt (s,t)=(0,0) findes ved at tilbagediskontere værdien af den fastforrentede konverterbare obligation fra udløb for alle tilstande s. For hvert termin startende fra udløb beregnes W m og V + + m. Hvis W m < V m vil der ske konvertering ved det enkelte knudepunkt, og omvendt, hvis W m > V + m, beholder låntager obligationen til næste termin. Værdien af den konverterbare obligation til ethvert knudepunkt kan derfor formuleres som V m (t, s, γ) = λ(t, s, γ)w m (t, s, γ) + (1 λ(t, s, γ))v + m (t, s, γ) [5.39] Formlen 5.39 siger, at hvis låntager konverterer, λ(t, s, γ) = 1, er værdien af den fastforrentede konverterbare obligation lig konverteringsværdien, V m (t, s, γ) = W m (t, s, γ). Omvendt hvis låntager vælger at beholde sit lån, λ(t, s, γ) = 0, er værdien af den fastforrentede konverterbare obligation lig værdien af at beholde den fastforrentede konverterbare obligation, V m (t, s, γ) = V + m (t, s, γ). Denne 2-steps procedurer fortsættes tilbage til tidspunkt (t,s)=(0,0). Den basale konverteringsadfærd er illustreret i nedenstående figur W V+ Inkonverterbar obligation (B) Effektiv rente Figur 14: Optimal konverteringsadfærd. Kilde: Jakobsen, Af figur 14 kan det aflæses, at det er optimalt at exercise optionen ved effektive renter mindre end 10 pct. Ved effektive renter mindre end 10 pct. er værdien af den inkonverterbare obligation fratrukket optionsværdien større end call værdien. Dette svarer til, at konverteringsværdien er mindre end værdien af at beholde den konverterbare obligation, W m (t, s, γ) < V + m (t, s, γ). Side 37 af 93

42 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% Optionsværdi Grafisk repræsenterer den stiplede linje V + m (t, s, γ), og den vandrette fuldt optrukne linje, W m (t, s, γ). Den prikkede linje angiver værdien af den underliggende inkonverterbare obligation, der angives som B m. B m beregnes ved at tilbagediskontere alle fremtidige ydelser efter skat. V + m (t, s, γ) beregnes ved at tilbagediskontere alle fremtidige ydelser før skat, og hvor det samtidig antages, at låntager følger en optimal konverteringsstrategi. Da låntager antages at være rationel, vil låntager følge en optimal konverteringsstrategi, der siger, at han konverterer sit lån, λ(t, s, γ) = 1, når den effektive rente er mindre en 10 pct. For værdier af den effektive rente over 10 pct., er λ(t, s, γ) = 0, da W m (t, s, γ) > V + m (t, s, γ). Rent forståelsesmæssigt kan det være en fordel, at udtrykke værdien af den konverterbare obligation, V m (t, s, γ), ud fra værdien af den underliggende inkonverterbare obligation, B m, samt værdien af konverteringsoptionen, C m. Heraf fås C m = B m V m. For et hvert knudepunkt kan værdien af konverteringsoptionen derfor udtrykkes som C m max{0, B m W m }. Tilsvarende kan optionsværdien af at holde på lånet udtrykkes som C + m max{0, B m V + m }. Fra et optionsmæssigt perspektiv skal låntager derfor konvertere, når værdien af konverteringsoptionen er større end optionsværdien af at holde på lånet, C + m C m. De to optionsværdier er illustreret i nedenstående figur 15. Både værdien af at exercise optionen samt værdien af at holde på optionen er en stigende funktion af B m og derfor en faldende funktion af den effektive rente C*=(B-W) C+=(B-V+) 10 0 Effektiv rente + Figur 15: Værdien af C m og C m i forhold til den effektive rente. Kilde: Jakobsen, Kritik af den amerikanske optionsmodel Den amerikanske optionsmodel bidrager med værdifuld indsigt i optimal konverteringsadfærd for den individuelle låntager. Modellen kan ligeledes udvides i forskellige retninger. Et problem ved den amerikanske optionsmodel er uregelmæssigheder i kurserne på den fastforrentede konverterbare obligation. Uregelmæssighederne kan tilskrives den binære konverteringsfunktion. Ved hver termin vil låntager Side 38 af 93

43 konvertere, λ(t, s, γ) = 1, hvis W m (t, s, γ) < V + m (t, s, γ) og omvendt holde på lånet, λ(t, s, γ) = 0, såfremt W m (t, s, γ) > V + m (t, s, γ). Den resulterende værdi af den konverterbare obligation er derfor V m (t, s, γ) = λ(t, s, γ)w m (t, s, γ) + (1 λ(t, s, γ))v + m (t, s, γ). V m (t, s, γ) er en kontinuerlig funktion af W m og V + m, da skiftet i λ sker, hvor de to værdier er lig hinanden, W m (t, s, γ) = V + m (t, s, γ). Set fra investors perspektiv vil der være tale om en diskontinuert funktion, da V + m (t, s, γ) typisk vil være højere end W m (t, s, γ) ved den kritiske effektive rente, hvor låntager vælger at konvertere sit lån (Jakobsen, 1992) Konverteringsmodel med heterogen låntager Da der er stor usikkerhed forbundet med at beregne V + m, antages det, låntager vil vurdere værdien af den fremtidige konverteringsoption forskelligt (C + m max{0, B m V + m }). Låntager vil derfor ikke konvertere ved den optimale effektive rente. Med andre ord vil låntager udvise heterogenitet med hensyn til konverteringsadfærden. Den binære konverteringsfunktion fra den amerikanske optionsmodel, hvor konverteringsraten kun kan være 0 eller 1, holder derfor ikke. Indeværende kapitel redegør derfor for en konverteringsmodel, der bygger på en konverteringsfunktion, der kan give værdier mellem 0 og 1 såvel (Jakobsen, 1992). Observeret CPR Conditional prepaymet rate (CPR), angiver andelen af de tilbageværende låntagere, som på en given termin vælger at indfri deres lån til kurs 100. Hvis CPR kendes samt obligationens ordinære udtræk i procent, ORD, kan den samlede udtrækningsprocent (UDT) beregnes som UDT = 100 CPR + ORD(1 CPR) [5.40] Den samlede udtrækningsprocent består af udtrækkene fra de låntagere, som konvertere (100 CPR), samt de ordinære udtræk fra de låntagere, som ikke konvertere (ORD(1 CPR)). Udtrækningsprocenten giver derfor det samlede afdrag fra serien. Den ekstraordinære udtrækningsprocent (EXT) udtrykker forskellen mellem den samlede udtrækningsprocent (UDT) og den ordinære udtrækningsprocent (ORD). Den samlede udtrækningsprocent kan derfor også formuleres som UDT = ORD + EXT [5.41] Hvis ligning 5.40 og 5.41 sættes lig hinanden, kan CPR findes ved isolation ORD + EXT = 100 CPR + ORD (1 CPR) [5.42] Side 39 af 93

44 CPR = EXT (100 ORD) For at kunne give et bedre estimat på den forventede konverteringsrate beregnes den faktiske konverteringsrate på debitorniveau for både private- og erhvervslåntagere. Opdelingen skyldes, at konverteringsadfærden i de to grupper er forskellig, da erhvervslåntagere har en tendens til at konvertere hurtigere end private (BVC, 2011). Årsagen til dette kan begrundes med, at de relative konverteringsomkostninger er mindre for erhvervslåntagere, da lånestørrelsen ofte er større for erhverv end for private. Endvidere kan den hurtigere konvertering for erhverv skyldes, at gældsplejen styres på et mere professionelt niveau. Udtræksprocenten på debitorniveau beregnes i afhandlingen som UDT t,j = 1 ( RG t,j RG t 1,j ) [5.43] Hvor t angiver terminen og j angiver debitorgruppen, privat eller erhverv. Den ekstra ordinære udtrækningsprocent på debitorniveau kan derefter findes ved at fratrække den ordinære udtrækningsprocent på serieniveau fra den samlede udtrækningsprocent på debitorniveau. EXT t,j = UDT t, j ORD t [5.44] Det ordinære udtræk på serieniveau kan bruges, da den beregnes relativt til restgælden. Endelig kan CPR på debitor findes, da både EXT t,j og ORD t kendes. Jakobsen (1999) CPR t,j = EXT t,j (100 ORD t ) [5.45] Forventet CPR En model for den forventede konverteringsrate, CPR, beskrives typisk i form af en konverteringsfunktion, λ(x, b), som afhænger af inputvariable x og parametre b, dvs. CPR = λ(x, b) [5.46] Inputvariablerne afhænger af terminsdatoen og obligationsserien. Konverteringsfunktionen, λ, kan antage mange former. Typisk vælges funktionstyper, som er naturligt begrænset til at ligge mellem 0 og 1. Intuitivt giver det ikke nogen mening, at over 100 % eller under 0 % af de tilbageværende låntagere konverterer. Et simpelt eksempel på en konverteringsmodel ses i formel Side 40 af 93

45 CPR = N(β 0 + β 1 x 1 ) [5.47] Hvor N angiver fordelingsfunktionen for en normalfordeling, β 0 og β 1 er to parametre, der skal estimeres og x 1 udgør en inputvariabel (Jakobsen, 1999 [1]) Gevinstkravsmodel Til at estimere den forventede CPR benytter indeværende afhandling en gevinstkravsmodel. Gevinstkravsmodellen bygger på, at hver enkelt låntager, i, har et individuelt gevinstkrav på terminsdatoen t for den fastforrentede konverterbare obligation m, der medfører konvertering, g imt. Hvis g imt g mt vil låntagers gevinstkrav være opfyldt, hvorfor låntager vil vælge at konvertere. Omvendt hvis g imt > g mt er gevinstkravet ikke opfyldt, hvorfor låntager vil vente med at konvertere til der sker et fald i renterne. Gevinsten ved at konvertere, g mt, defineres som ratioen mellem exercise værdien af konverteringsoptionen og værdien af den underliggende inkonverterbare obligation. g mt = B mt W mt B mt [5.48] Hvis det antages, at låntagers gevinstkrav, g imt, er normalfordelt på tværs af hele populationen med en middelværdi på g mt samt en standardafvigelse på σ mt, kan andelen af låntagere, der vælger at konvertere deres lån for en given gevinst, g mt, beskrives som CPR = P(g imt < g mt ) = N(g mt ; g mt, σ mt ) [5.49] Heterogenitet med hensyn til gevinstkravet leder derfor til partiel konvertering ved hver termin, modsat en binær konverteringsfunktion som den amerikanske optionsmodel foreslår. Formel 5.49 kan ligeledes udtrykkes som CPR = Prob[g mti < g mt ] = Φ ( g mt g mt ) σ mt [5.50] Hvor Φ( ) angiver en standardnormalfordeling. Hvis det antages, at σ mt er konstant over tid samt at g mt kan beskrives på baggrund af en konstant lig 1 (CONST=1) samt en række variable fås henholdsvist σ mt = σ [5.51] g mt = a 1 CONST + a k+1 x mtk+1 K k=1 [5.52] K afgrænses i indeværende afhandling til 3, da datagrundlaget kun giver mulighed for at beregne 3 variable (se kapitel 5.5). Hvis ovenstående udtryk indsættes på g mt `s plads i formel 5.50 fås Side 41 af 93

46 CPR = Φ ( g mt (a 1 CONST + a 2 x 2 + a 3 x 2 ) ) σ [5.53] Ved omskrivning af 5.53 samt udnyttelse af CONST=1 og g mt = x 1 fås CPR = Φ ( 1 σ g mt a 1 σ CONST a 2 σ x 2 a 3 σ x 3) = Φ(β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 ) [5.54] Hvor β 0 = a 1 σ CONST, β 1 = 1 σ, β 2 = a 2 σ og β 3 = a 3 σ. Prisen på den konverterbare obligation m for hver terminsdato t kan herefter findes på den samme måde som den amerikanske optionsmodel. V m = CPR W m + (1 CPR)V m + [5.55] (Jakobsen, 1992). 5.5 Forklarende variable De variable, som forklarer de ekstraordinære udtrækninger til en given terminsdato er typisk observeret i opsigelsesperioden, som ligger 2 måneder før terminsdatoen. I det følgende redegøres der for tre variable, som datagrundlaget i kapitel 6 giver mulighed for at beregne. De tre variable udgøres af gevinsten ved konvertering, restløbetiden samt en variabel, der måler hvor udbrændt serien er, benævnt som poolfaktor. Da der er forskel på hvordan de tre variable beregnes til historiske (åbningsdato til oversigtsdato) og fremtidige terminer (oversigtsdato til lukkedato), er beregningerne af de tre variable i det følgende delt op i forhold til historiske og fremtidige terminer. Historiske terminer Gevinsten ved konvertering Når låntager benytter retten til at indfri sit lån til kurs 100, antages det, at låntager konverterer til et kontantlån. Konverteringen sker derfor uden et kurstab. Hovedstolen på kontantlånet bliver derfor lig restgælden på obligationen. Denne antagelse benyttes, når gevinsten ved konvertering skal beregnes for alle historiske terminer samt fremtidige terminer. Som rentekurven til alle historiske terminer benyttes historiske swaprentekurver. Beregningen af den historiske gevinst ved konvertering til de historiske datoer består af en række step. Step 1 Første step består i at finde restgælden RG t på den fastforrentede konverterbare obligation til at alle de historiske opsigelsesdatoer fra lukkedatoen ( ) og frem til oversigtsdatoen ( ). Den Side 42 af 93

47 fastforrentede konverterbare obligation amortiseres fra lukkedatoen på baggrund af en hovedstol på 100, 120 terminer samt en kupon på 4 pct. Step 2 Da det antages, at restgælden RG Obl. på den konverterbare obligation er lig kontantslånshovedstolen samt at kontantlånshovedstolen kan findes ved at tilbagediskontere alle fremtidige ydelser på kontantlånet fås RG Obl. = K H = Y K H(1 + r t ) t T t=1 [5.56] Hvor K H angiver kontantlånshovedstolen, Y K H angiver alle fremtidige ydelser på kontantlånet og r t angiver den gældende rentekurve til opsigelsestidspunktet t og frem til udløbsdato T ( ). Den eneste ubekendte størrelse i formel 5.56 er ydelsen på kontantlånet, Y K H. Ydelsen på kontantlånet kan derfor findes ved at isolere for Y K H Y K H = T t=1 K H (1 + r t ) t [5.57] Ydelsen på kontantlånet fås derfor ved at dividere kontantlånshovedstolen med summen af diskonteringsfaktorne, r t, der defineres på baggrund af swaprentekurverne. Step 3 Kontantlånsrenten, R K H, udgør den effektive rente på kontantlånet. R K H er derfor den rente, der resulterer i, at nutidsværdien af de fremtidige ydelser på kontantlånet er lig kontantlånshovedstolen, K H. K H = (Formel 5.58 løses ved hjælp af solver) Step 4 T t=1 Y K H (1 + R K H) t [5.58] Step 4 består i at finde kontantlånsrenten efter skat, R K H,E.S.. På baggrund af restgælden på kontantlånet, RG K H, kan ydelserne efter skat på kontantlånet, Y K H,E.S., findes på følgende vis K R H t = R K K H RG H t 1 [5.59] Z t = Y R t K H [5.60] K RG H K t = RG H t 1 Z t [5.61] Side 43 af 93

48 R t K H,E.S. = R t K H (1 Skat) [5.62] Y t K H,E.S. = R t K H,E.S. + Z t [5.63] R K H,E.S. kan herefter findes som den rente, der resulterer i at summen af de tilbagediskonterede ydelser efter skat er lig med kontantlånshovedstolen, K H. T K K H = Y H,E.S. t t=1 (Formel 5.64 løses ved hjælp af solver) (1 + R K H,E.S. ) t [5.64] Step 5 Step 5 består i at tilbagediskontere ydelserne på obligationslånet, Y Obl., med kontantlånsrenten efter skat, R K H,E.S.. Herved findes værdien af den inkonverterbare obligation, B mt. B mt = T t=1 Y Obl. (1 + R K H,E.S. ) t [5.65] Step 6 Endelig kan den historiske gevinst ved konvertering findes ved hjælp af (Svend, 1992) g mt = B mt K H (1 + omk) B mt [5.66] Poolfaktor Burnout beskriver det fænomen, at konverteringsraten er relativ lav for serier, som tidligere har haft mange konverteringer. En nærliggende forklaring herpå at, at låntager ikke er lige hurtig til at konvertere. Da der ved hver konverteringsmulighed forsvinder flest af de hurtige låntagere, vil de tilbageværende låntagere i gennemsnit blive langsommere til at konvertere. En måde hvorpå der kan tages højde for burnout, er at inddrage en variabel, som opsummerer den hidtidige konvertering i serien. Et mål er den tilbage værende restgæld i forhold til den forventede restgæld uden konvertering. Et tilnærmet mål er den såkaldte poolfaktor (Jakobsen, 1999), som måler den tilbageværende restgæld i forhold til den maksimale restgæld. Poolfaktor = Tilbageværende restgæld Maksimale restgæld [5.67] Side 44 af 93

49 Restløbetid Når nutidsværdigevinsten anvendes som variabel skal der tages højde for, at korte lån indfries ved et lavere gevinstniveau relativt til lange lån. Der kan tage højde for dette ved at inddrage restløbetid som en variabel. Grunden til at gevinstkravet stiger ved længere løbetider kan forklares med, at sandsynligheden for at der vil opstå et tidspunkt, hvor det vil være mere fordelagtigt at konvertere, stiger jo længere tid der er til udløb. Restløbetiden beregnes i afhandlingen som Restløbetid = Udløbsdato opsigelsesdato Udløbsdato Lukningsdato [5.68] Da restløbetiden beregnes som den resterende løbetid af lånet sat i forhold til hele amortiseringsperioden, giver formel 5.68 værdier gående fra lidt under 1 til 0. Fremtidige terminer Gevinsten ved konvertering Gevinsten ved konvertering til alle fremtidige terminer beregnes ligeledes på baggrund af formel Til at finde værdien af den inkonverterbare obligation B mt benyttes i stedet de korte en-periode-renter i BDT gitteret. Gevinsten ved konvertering beregnes ligeledes efter skat. Derfor er det alle fremtidige ydelser efter skat frem til udløb af den fastforrentede konverterbare obligation, der tilbagediskonteres med de fremtidige en-periode-renter. Poolfaktor For alle fremtidige terminer er poolfaktoren stiafhængig. Poolfaktoren til de enkelte knudepunkter i binomialgitteret skal derfor beregnes ved en forward algoritme. Ved stiafhængighed skal det derfor forstås, at poolfaktoren er afhængig af udviklingen i de historiske korte en-periode-renter og derfor indirekte afhængig af konverteringsrater fra de forudgående knudepunkter i binomialgitteret. Beregningen af poolfaktoren for fremtidige terminer, angivet ved P, kan derfor formuleres som P(t, s) = { P(t 1, s) (1 CPR (t 1, s)) s = 0 (1 q) P(t 1, s) (1 CPR (t 1, s)) + q P(t 1, s 1) (1 CPR (t 1, s 1)) 0 < s < t P(t 1, s 1) (1 CPR (t 1, s 1)) s = t } [5.69] S=0 angiver den nederste rand. Ud fra binomialgitteret, kan man kun kunne komme til (t,s)=(t,0) fra (t,s)=(t- 1,0). P(t,0) skal derfor beregnes som P(t 1, s) (1 CPR (t 1, s)). Der ligeledes kun en måde hvorpå, man kan bevæge sig langs den øvre rand s=t. P(t,t) skal derfor beregnes som P(t 1, s 1) Side 45 af 93

50 (1 CPR (t 1, s 1)). For tilstande mellem 0 og t, vil man kunne komme til et hvilket som helst punkt i gitteret på to måder. For 0 < s < t skal poolfaktoren P(t, s) derfor beregnes ved (1 q) P(t 1, s) (1 CPR (t 1, s)) + q P(t 1, s 1) (1 CPR (t 1, s 1)). Til at initiere algoritmen er det nødvendigt med poolfaktoren samt CPR på oversigtsdatoen (t,s)=(0,0). P(0,0) er beregnet på baggrund af formel 5.67 og CPR på oversigtsdatoen er hentet på baggrund af den faktiske konverteringsrate for den sidste opsigelsesdato inden oversigtsdatoen. Restløbetid Beregningen af den fremtidige restløbetid er identiske med beregningen af den historiske restløbetid. 5.6 Opsummering I kapitlet blev der foretaget en præsentation af prisfastsættelsesmodellen, der benyttes til at finde de skønnede indfrielseskurser på den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. for de tre rentescenarier. Prisfastsættelsesmodellen bygger overordnet på en rentestrukturmodel (kap. 5.1) samt en konverteringsmodel (kap. 5.4). For at sikre at modellen er konsistent, kalibreres rentestrukturmodellen til en rentekurve (kap. 5.2) samt en antagelse om en volatilitetsstruktur (kap. 5.3). Konverteringsmodellen bygger på gevinstkravsmodellen, hvor låntagers individuelle gevinstkrav forklares på baggrund af tre variable, gevinsten ved konvertering, restløbetiden samt en poolfaktor (kap. 5.5). 6. Datagrundlag Konverteringsmodellen, der deles op på debitorniveau, estimeres på baggrund af historiske data om udtrækninger fra fire fastforrentede konverterbare obligationer. De fire fastforrentede konverterbare obligationer har alle en kupon på 4 pct. og lukkede for flere udstedelser i Til at estimere konverteringsmodellen i kapitel 7 benyttes værdierne af de tre forklarende variable til de historiske terminer fra åbningsdatoen frem til oversigtsdatoen på de fire fastforrente konverterbar obligationer. De estimerede parametre benyttes i konverteringsmodellen for den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. Den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. udvælges således, at fordelingen mellem private- og erhvervslåntagere er den samme som fordelingen på de fire fastforrentede konverterbare obligationer med en kupon på 4 pct. Det antages derfor, at de estimerede parametre, dannet på baggrund af data for de fire fastforrentede konverterbare obligationer med en kupon på 4 pct., kan overføres til den Side 46 af 93

51 fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. Oplysningerne på de fastforrentede konverterbare obligationer fremgår i tabel 3. ISIN Realkreditinstitut Kupon Åbningsdato Lukkedato Udløbsdato Andel privat DK Realkredit Danmark 4,0% 05/11/ /08/ /10/ ,3% DK BRF Kredit 4,0% 15/02/ /08/ /10/ ,7% DK Nykredit 4,0% 28/08/ /08/ /10/ ,9% DK Nordea 4,0% 28/08/ /08/ /10/ ,5% DK Nykredit 3,0% 30/05/ /08/ /10/ ,4% 6.1 Kriterier for valg af data Tabel 3: Oversigt over de anvendte obligationer. Kilde: Nykredit. For at opnå pålidelige estimater til konverteringsmodellen, skal obligationsserierne opfylde en række krav. For det første skal det være gældende, at der har været konverteringsaktivitet i serien, hvilket vil være afspejlet i den faktiske konverteringsrate, CPR. Konverteringsaktivitet er nødvendigt i forhold til at estimere konverteringsmodellen. Realkreditinstitutternes tommelfingreregler for konverteringer kræver normalt, at kuponrenten på det nye lån skal være 2 procentpoint lavere end på det eksisterende lån, før det er fordelagtig at foretage en konvertering (BVC, 2011). Kuponrenten på det 30-årige fastforrentede konverterbare lån med afdrag som låntager optager lån i er på nuværende tidspunkt på 3 pct. Mange af konverteringerne sker fra 4 pct. obligationer. Ifølge Nordea (2013) er der derfor et hul i tommelfingerreglen hvorfor andre faktorer også må have en betydning for konverteringen. I nedenstående figur 16 er CPR for de fire fastforrentede konverterbare obligationer. Af figuren fremgår det, at langt de fleste låntagere har valgt at indfri deres lån indenfor perioden til Kriteriet om, at serierne skal indeholde konverteringsaktivitet, er derfor opfyldt. 16,00% 14,00% 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00% CPR RD BRF NYK NDA Figur 16: CPR. Kilde: Beregnet på baggrund af formel Kilde: Egen tilvirkning Side 47 af 93

52 For det andet skal obligationerne udvælges således, at de er tilstrækkelige likvide. Herved vil indlåsningseffekter ikke kunne påvirke markedskursen. Indlåsningseffekter opstår i tilfælde af, at den cirkulerende pengemæssige mængde er for lille eller at for få investorer ejer alle obligationerne. Hvis for få investorer ejer alle obligationerne i en serie, vil investorerne være i stand til at påvirke kursen til egen fordel på bekostning af låntager i forbindelse med indfrielser. Ifølge Realkredit Danmark (2013) skal der være mere end 1 milliard kroner i en obligationsserie, for at der er skabt tilstrækkelig likviditet. De fire fastforrentede konverterbare obligationer med en kupon på 4 pct. opfylder alle dette. 6.2 Forklarende variable Jævnfør kapitel 5.5, kan CPR forklares på baggrund af 3 variable. Tabel 4 og 5 viser de beregnede værdier af de forklarende variable; nutidsværdigevinsten ved konvertering, restløbetiden samt poolfaktor til de historiske terminer for privat og erhverv henholdsvist. De forklarende variable til de historiske terminer er beregnet formel Privat Papirnavn Kupon Opsigelsesdag Termin CPR NV gevinst Restløbetid Poolfaktor 4% RD SDRO 2041 A 4,0% 31/10/ /01/2012 0,00% -2,56% 1,00 1,00 4% RD SDRO 2041 A 4,0% 31/01/ /04/2012 2,42% 2,36% 0,99 0,97 4% RD SDRO 2041 A 4,0% 30/04/ /07/2012 1,82% 6,13% 0,98 0,95 4% RD SDRO 2041 A 4,0% 31/07/ /10/2012 3,47% 5,69% 0,97 0,91 4% RD SDRO 2041 A 4,0% 31/10/ /01/2013 4,40% 9,06% 0,96 0,87 4% RD SDRO 2041 A 4,0% 31/01/ /04/2013 5,49% 7,88% 0,96 0,82 4% RD SDRO 2041 A 4,0% 30/04/ /07/2013 3,20% 7,33% 0,95 0,79 4% RD SDRO 2041 A 4,0% 31/07/ /10/2013 9,92% 9,93% 0,94 0,70 4% RD SDRO 2041 A 4,0% 31/10/ /01/2014 3,43% 6,16% 0,93 0,68 4% RD SDRO 2041 A 4,0% 31/01/ /04/2014 2,38% 5,16% 0,92 0,66 Tabel 4: Oversigt over forklarende variable for privat. Kilde: Nykredit. Af tabel 4 kan det aflæses, at der har været konverteringsaktivitet i perioden til er sammenfaldende med store gevinster ved konvertering. Det antages derfor, at der er en positiv sammenhæng mellem CPR og gevinsten ved konvertering. Ud fra gevinstkravsmodellen har gevinsten ved konvertering været tilstrækkelig stor til, at gevinstkravet hos en stor andel af låntagerne har været opfyldt, hvorfor de valgte at konvertere i perioden. Ud fra den amerikanske optionsmodel, implicerer konverteringsaktiviteten, at mange af låntagerne har vurderet, at værdien af at exercise konverteringsoptionen har været større end optionsværdien af at holde på lånet, C m > C m +. Poolfaktoren reduceres over den observerede periode fra 1 til 0,66. Dette er et udtryk for, at de mest konverteringsivrige låntagere er forsvundet ud af serien. De mest konverteringsivrige låntagere skal ud fra gevinstkravsmodellen opfattes som gruppen af låntagere med det mindste gevinstkrav. De tilbageværende Side 48 af 93

53 låntagere i serien vil derfor i gennemsnit blive langsommere til at konvertere. De langsommere låntagere skal omvendt ud fra gevinstkravsmodellen opfattes som gruppen af låntagere med et højere gevinstkrav. Givet at gevinstkravet hos de langsomme låntagere ikke opfyldes, må der ikke forventes nævneværdig konverteringsaktivitet i fremtiden i serien. Ud fra den amerikanske optionsmodel kan de mest + konverteringsivrige låntagere karakteriseres som dem, der har vurderet værdien af C m til at være lille og vice versa. Når gevinsten ved konvertering anvendes som forklarende variabel, kan restløbetiden bruges til at tage højde for, at korte lån konverterer ved et lavere gevinstniveau relativt til lange lån. Der ses ikke nogen direkte sammenhæng mellem CPR og restløbetid i tabel 4. Hvis restløbetiden skulle indgå som den eneste forklarende variable i konverteringsmodellen, ville det betyde mindre konverteringsaktivitet for den observerede periode. Tidsmæssigt befinder vi os kun lidt over tre år efter lukkedatoen i 4 pct. obligationsserien. Da der er lang tid til udløb, vil låntagers gevinstkrav være høj, da der er stor sandsynlighed for, at der vil opstå mere fordelagtige konverteringstidspunkter. Ud fra den amerikanske optionsmodel kan dette forklares med, at C m < C + m. Hvis restløbetiden alene ikke kan forklare den observerede konverteringsaktivitet, ligger der en mulighed i at gøre gevinsten ved at konvertere afhængig af restløbetiden. Dette kan gøres ved at multiplicere gevinsten ved konvertering med restløbetiden i konverteringsmodellen. Erhverv Papirnavn Kupon Opsigelsesdag Termin CPR NV gevinst Restløbetid Poolfaktor 4% RD SDRO 2041 A 4,0% 31/10/ /01/2012 0,0% -2,6% 1,00 1,00 4% RD SDRO 2041 A 4,0% 31/01/ /04/2012 0,5% 2,4% 0,99 0,99 4% RD SDRO 2041 A 4,0% 30/04/ /07/2012 2,2% 6,1% 0,98 0,96 4% RD SDRO 2041 A 4,0% 31/07/ /10/2012 1,8% 5,7% 0,97 0,94 4% RD SDRO 2041 A 4,0% 31/10/ /01/ ,0% 9,1% 0,96 0,83 4% RD SDRO 2041 A 4,0% 31/01/ /04/ ,1% 7,9% 0,96 0,72 4% RD SDRO 2041 A 4,0% 30/04/ /07/ ,6% 7,3% 0,95 0,60 4% RD SDRO 2041 A 4,0% 31/07/ /10/ ,8% 9,9% 0,94 0,52 4% RD SDRO 2041 A 4,0% 31/10/ /01/2014 9,2% 6,2% 0,93 0,47 4% RD SDRO 2041 A 4,0% 31/01/ /04/2014 2,2% 5,2% 0,92 0,46 Tabel 5: Oversigt over forklarende variable for erhverv. Kilde: Nykredit. Debitorgruppen erhverv 14, illustreret i ovenstående tabel 5, viser de samme tendenser som debitorgruppen privat. Modsat debitorgruppen privat udviser debitorgruppen erhverv en endnu større 14 Gruppen Erhverv (other) i datamaterialet dækker over en række ejendomstyper. Den indeholder eksempelvis udlejningsejendomme, senior- og ungdomsboliger, kommunale ejendomme, landbrug, samt virksomhedsejendomme. Der vil i afhandlingen blive henvist til debitorgruppen Erhverv for hele denne gruppe af ejendomstyper. Side 49 af 93

54 konverteringsaktivitet. Dette er ligeledes afspejlet i poolfaktoren, der er reduceret til 46 pct. Den relativt større konverteringsaktivitet for erhverv i forhold til privat, kan som tidligere nævnt, begrundes med, at gældsplejen styres på et mere professionelt niveau (BVC, 2011). 6.3 Opsummering I kapitlet blev datagrundlaget præsenteret. Datagrundlaget blev valgt således, at det opfylder to kriterier i forhold til konverteringsaktivitet og likviditet. På baggrund af det indhentede datagrundlag blev gevinsten ved konvertering, restløbetiden samt poolfaktoren beregnet. De tre størrelser benyttes til at estimere konverteringsmodellen i kapitel Estimation af konverteringsmodel I dette kapitel estimeres konverteringsmodellen, der indgår som en del af prisfastsættelsesmodellen. Den endelige konverteringsmodel til prisfastsættelsesmodellen udvælges blandt tre modeller på baggrund af en række statiske test. De tre modeller, som testene foretages på, er inspireret af Jakobsen (1992). 7.1 Lineær regressionsmodel Datagrundlaget på debitorniveau indeholder i alt 36 observationer, 9 observationer for hver af de 4 obligationsserier. Til de historiske opsigelsesdatoer er derfor beregnet 36 værdier af CPR (CPR i ), nutidsværdigevinsten ved konvertering (gevinst i ), restløbetiden (restløbetid i ) samt poolfaktoren (poolfaktor i ). For at finde den mest optimale konverteringsmodel på baggrund af de tre forklarende variable defineres følgende tre modeller, hvor CPR i er en funktion af de tre forklarende variable samt et fejlled ε i. For de tre modeller antages det, at CPR i er lineær i parametrene. CPR i = β 0 + β 1 gevinst i poolfaktor i + β 2 restløbetid i + ε i [Model 1] CPR i = β 0 + β 1 gevinst i restløbetid i + β 2 poolfaktor i + ε i [Model 2] CPR i = β 0 + β 1 gevinst i + β 2 restløbetid i + β 3 poolfaktor i + ε i [Model 3] Under antagelsen af at E{ε i x i } = 0, er den bedste lineære approksimation af CPR i er derfor givet ved E{CPR i x i } = β 0 + β 1 gevinst i poolfaktor i + β 2 restløbetid i [Model 1] E{CPR i x i } = β 0 + β 1 gevinst i restløbetid i + β 2 poolfaktor i [Model 2] Side 50 af 93

55 E{CPR i x i } = β 0 + β 1 gevinst i + β 2 restløbetid i + β 3 poolfaktor i [Model 3] Uden forudsætningen E{ε i x i } = 0 er de tre statistiske modeller principielt overflødige. For enhver værdi af β kan der defineres et sæt af ε i`s, således at de tre modeller holder præcist for hver enkelt observation. Derfor antages det, at den forventede værdi af fejlleddet givet alle de forklarende variable er nul. Dette kan ligeledes formuleres som, at effekten af andre forklarende variable ud over dem i modellen er nul i gennemsnit. De ukendte populationsparametre β 0, β 1, β 2 og β 3 estimeres på baggrund af OLS regression. Metoden bestemmer β, der minimerer følgende funktion 36 S(β ) = (CPR i x í β ) 2 i=1 Hvor x í angiver en transponeret vektor, der indeholder de forklarende variable og β angiver en vektor, der indeholder de ukendte parametre, der skal estimeres. Udtrykket svarer til, at vi minimerer summen af de kvadrerede approksimative fejlled, heraf navnet Ordinary Least Square. Den resulterende lineære kombination af de forklarende variable er derfor givet ved CPR i = β 0 + β 1 gevinst i poolfaktor i + β 2 restløbetid i [Model 1] [7.1] CPR i = β 0 + β 1 gevinst i restløbetid i + β 2 poolfaktor i [Model 2] CPR i = β 0 + β 1 gevinst i + β 2 restløbetid i + β 3 poolfaktor i [Model 3] I forbindelse med OLS regressionen antages det, at der ikke gælder en eksakt lineær sammenhæng mellem de forklarende variable. Fænomenet beskrives også som antagelsen om ingen perfekt multikollinearitet. Multikollinearitet kan give beregnings- og fortolkningsmæssige problemer på parameterestimaterne, da de forklarende variables effekter på den afhængige variabel ikke kan adskilles. Jævnfør tabel 4 og 5 findes antagelsen om ingen perfekt multikollinearitet opfyldt (Verbeck, 2012). Standardnormalfordeling Da konverteringsfunktionen skal give CPR værdier mellem 0 og 1 (jævnfør formel 5.47), redefineres de tre modeller CPR i = Φ(β 0 + β 1 gevinst i poolfaktor i + β 2 restløbetid i + ε i ) [Model 1] Side 51 af 93

56 CPR i = Φ(β 0 + β 1 gevinst i restløbetid i + β 2 poolfaktor i + ε i ) [Model 2] CPR i = Φ(β 0 + β 1 gevinst i + β 2 restløbetid i + β 3 poolfaktor i + ε i ) [Model 3] For at kunne benytte OLS regression på de tre modeller, skal fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen, Φ, opløftes, der kan gøres ved blot at benytte den inverse standardnormalfordeling. Herved fås z i = Φ 1 (CPR i ) = β 0 + β 1 gevinst i poolfaktor i + β 2 restløbetid i + ε i [Model 1] z i = Φ 1 (CPR i ) = β 0 + β 1 gevinst i restløbetid i + β 2 poolfaktor i + ε i [Model 2] z i = Φ 1 (CPR i ) = β 0 + β 1 gevinst i + β 2 restløbetid i + β 3 poolfaktor i + ε i [Model 3] Ved at benytte den inverse standardnormalfordeling til de observerede CPR-værdier returneres de tilsvarende z-værdier, således at standardnormalfordeling(z) = CPR. Der er ingen af CPR-værdierne der ligger over 50 pct., hvorfor den inverse standardnormalfordeling til CPR vil resultere i z-værdier, der alle er negative. Forklaringen ses illustreret i nedenstående figur. Figur 17: Illustration af standardnormalfordelingen til de observerede CPR-værdier. Kilde: egen tilvirkning. Den bedste lineære approksimation af CPR i, hvor der tages højde for standardnormalfordelingen er derfor givet ved z i = Φ 1 (CPR) = β 0 + β 1 gevinst i poolfaktor i + β 2 restløbetid i [Model 1] Side 52 af 93

57 z i = Φ 1 (CPR) = β 0 + β 1 gevinst i restløbetid i + β 2 poolfaktor i [Model 2] z i = Φ 1 (CPR) = β 0 + β 1 gevinst i + β 2 restløbetid i + β 3 poolfaktor i [Model 3] 7.2 Hypotesetest Outputtet fra regressionerne på debitorniveau er vist i tabel 6 og 7. Alle hypotesetestene foretages på et 5 pct. signifikansniveau. De tre modeller testes først for, om de er statistisk signifikante. Den resulterende teststatistik for F-testen er vist nederst i tabellerne. Kolonnen koeff. angiver de estimerede parametre β 0, β 1, β 2 og β 3 fra OLS regressionerne. Kolonnen std. err. og t-ratio angiver de beregnede standardafvigelser på de tilsvarende estimater og en simpel t-test (t k = β k β k se(β k) ) henholdsvis. Hypotesetestene bygger på en antagelse om at ε i NID(0, σ 2 ) (A(5)) samt uafhængighed mellem ε i og de forklarende variable (A(2)). I kapitel 7.5 testes forudsætningerne med henblik på at vurdere, om de er opfyldte. Model 1 Model 2 Model 3 Privat Std. Err. Std. Err. Std. Err. Koeff. T-ratio Koeff. T-ratio Koeff. T-ratio 1,0 1,4-1,8 0,3-18,2 4,4 0,7-6,8-4,2 F-test R 2 R 2 (Justeret) 6,2 1,9 6,0 1,4 6,7 1,2 3,3 4,2 5,5-3,2 1,4-0,5 0,3 20,5 5,5-2,3-1,9 3,8 8,5 33,9 29,9-4,4 1,1-4,1 Tabel 6: Regressionsoutput for model 1,2 og 3 for privat. Kilde: Egen tilvirkning. Af ovenstående tabel 6 for private låntagere fremgår det på baggrund af F-testen, at de tre modeller alle er signifikante. På baggrund af signifikansniveauet af de enkelte parameterestimater, kan det konkluderes, at model 3 udgør den bedste model forhold til model 1 og 2. Alle de estimerede parametre er signifikante i model 3, hvorimod model 1 og 2 hver især indeholder et parameterestimat, der er insignifikant på et 5 pct. signifikansniveau. Nedenstående tabel viser det tilsvarende output for debitorgruppen erhverv. 14,5 46,2 43,0 18,4 63,3 59,7 Side 53 af 93

58 Tabel 7: Regressionsoutput for model 1,2 og 3 for erhverv. Kilde: Egen tilvirkning. Af tabel 7 for erhvervslåntagere, kan det aflæses, at model 1 og 2 udgør de bedste konverteringsmodeller i forhold til model 3. To af parameterestimaterne i model 3 er insignifikante, hvorimod parameterestimaterne i model 1 og 2 alle er signifikante på et 5 pct. signifikansniveau. Parameterestimaterne i model 2 er dog mere signifikante end parameterestimaterne i model 1. Det konkluderes derfor, at model 2 udgør den bedste konverteringsmodel for debitorgruppen erhverv. På baggrund af signifikante og insignifikante parameterestimater konkluderes det derfor, at model 2 og 3 udgør de bedste konverteringsmodeller for debitorgrupperne erhverv og privat henholdsvist. Da model 3 indeholder 2 insignifikante parameterestimater for debitorgruppen erhverv, vælges model 2 som den endelige konverteringsmodel. I det følgende forklares betydningen af de estimerede parametre i model 2. Dette gøres kun for debitorgruppen privat. 7.3 Goodness-of-fit R 2 udtrykker hvor stor en andel af variationen i z, der kan forklares på baggrund af de uafhængige variable. Indeværende afhandling gør brug af den justerede R 2. Fordelen ved at benytte den justerede R 2 er at den tager højde for stikprøvens størrelse samt antallet af uafhængige variable. Den justerede R 2 beregnes på baggrund af formel 7.2. Model 1 Model 2 Model 3 Erhverv Std. Err. Std. Err. Std. Err. Koeff. T-ratio Koeff. T-ratio Koeff. T-ratio 21,5 4,0-2,0 0,3-10,0 7,1 5,2-5,9-1,4 F-test R 2 18,4 5,5 21,0 3,3 21,3 3,4 3,4 6,3 6,2-24,5 4,3-1,4 0,3 8,8 7,9 4,3-4,9 1,1 17,3 51,1 R 2 (Justeret) 48,2 Justeret R 2 SSE/(n k 1) = 1 n (y i y ) 2 /(n 1) i=1-2,0 0,7 Af formlen kan det aflæses, at hvis stikprøvestørrelsen n er betydeligt større end antallet af forklarende variabel k, vil den ujusterede R 2 og den justerede R 2 næsten være lig hinanden. Men hvis SSE er lidt forskellig fra nul samt k er stor relativt til n, vil den ujusterede R 2 og den justerede R 2 være meget forskellig fra hinanden. I denne situation kan der opstå problemer i forhold til fortolkningen af koefficienterne. Af tabel 6 46,3 73,8 72,2 30,7 74,2 71,7-2,8 [7.2] Side 54 af 93

59 og 7 kan det aflæses, at forskellen mellem den ujusterede R 2 og den justerede R 2 er lille, hvorfor n antages at være tilstrækkelig stor i forhold til k (Keller, 2009). Den justerede R 2 ændrer ikke på konklusionen fra kapitel 7.2. På debitorgruppen erhverv er den justerede R 2 størst for model 3, R 2 = 59,7, og på debitorgruppen privat er den justerede R 2 størst for model 2, R 2 = 72,2. Model 2 fastholdes derfor som konverteringsmodel. 7.4 Fortolkning af parameterestimater β 0 = 1,8 angiver den gennemsnitlige z-værdi, når alle de uafhængige variabel er nul. Φ(z = 1,8) implicerer en CPR-værdi tæt på nul jævnfør figur 17. Intuitivt giver dette rigtig god mening, da CPR ikke skal kunne forklares alene på baggrund af en konstant. β 1 angiver sammenhængen mellem z og interaktionsleddet x 1 x 2 = Gevinst Restløbetid. Interaktionsleddet indikerer, at effekten af gevinsten ved konvertering på z, og dermed CPR (Φ(z) = CPR) varierer med restløbetiden på lånet. Fortegnet angiver modellens bud på om effekten af gevinsten ved konvertering på z stiger (+) eller falder (-), når restløbetiden stiger. Dette skal forstås numerisk; fortegnet viser om effekten falder eller stiger numerisk set og dermed ikke nødvendigvis om effekten bliver større eller mindre i absolutter termer (Sønderskov, 2010). I indeværende tilfælde viser fortegnet derfor, at effekten af gevinsten ved konvertering på z stiger (bliver mere positiv) når restløbetiden stiger. I forhold til gevinstkravsmodellen skal de fleste konverteringer derfor finde sted i starten af låneperioden, da effekten af gevinsten ved konvertering på CPR er her størst. For en given renteændring vil gevinsten ved konvertering være størst tidligt i låneperioden kontra et senere tidspunkt i låneperioden. Ved store gevinster ved konvertering er det sandsynligt, at låntagers gevinstkrav vil være opfyldt, hvorfor låntager vil vælge at konvertere. Omvendt kan der også argumenteres for, at gevinstkravet vil være relativt større i starten af låneperioden i forhold til et senere tidspunkt i låneperioden hos låntager, da der er en stor sandsynligt for at gevinsten ved konvertering vil kunne stige. Et relativt større gevinstkrav hos låntager vil implicere en lavere CPR, da det bliver mindre sandsynligt at gevinstkravet hos låntager opfyldes. Næste skridt er at vurdere koefficienten for interaktionsleddet. Koefficienten viser modellens bud på hvor meget koefficienten for x 1 (β 1x 1 ) ændrer sig, når x 1 ændres med +1. I nærværende tilfælde stiger effekten af gevinsten ved konvertering på z med 6,0, når restløbetiden stiger med 1. Da restløbetiden er skaleret fra 0 til 1, udtrykker koefficienten ændringen i effekten af gevinsten ved konvertering, når restløbetiden ændres fra minimumsværdien til maksimumsværdien. Side 55 af 93

60 Koefficienten for x 2, β 2, udtrykker den estimerede ændring i z, når x 2 stiger med +1 og når interaktionsleddet holdes konstant. Model 2 siger derfor, at z skal falde med 0,5, når poolfaktoren stiger med +1 og x 1 x 2 = Gevinst Restløbetid holdes konstant. Intuitivt giver dette ikke mening, da z skal stige med stigende poolfaktor. En høj poolfaktor implicerer, at restgælden i forhold til den maksimale restgæld er stor. Ved en høj poolfaktor er der derfor ikke sket mange konverteringer i serien, hvorfor serien vil indeholde både de konverteringsivrige og konverteringslangsomme låntagere. Ud fra gevinstkravsmodellen kan de konverteringsivrige låntagere karakteriseres som låntagerne med det mindste gevinstkrav. Jo flere konverteringsivrige låntagere serien indeholder, desto mere sandsynligt er det, er gevinstkravet vil være opfyldt for nogle af låntagerne, og en efterfølgende konvertering vil finde sted. 7.5 Test af forudsætninger Hvorvidt parameterestimaterne β 0, β 1, β 2 og β 3 udgør gode approksimationer af de ukendte populationsparametre β 0, β 1, β 2 og β 4 afhænger kraftigt af de antagelser, der gjort omkring fordelingen af ε i samt sammenhængen mellem ε i og x i. OLS estimaterne β 0, β 1, β 2 og β 3 antages at udgøre gode approksimationer af β 0, β 1, β 2 og β 4, hvis de opfylder følgende Gauss-Markov forhold E{ε i } = 0, i = 1,.., N [A(1)] {ε 1,.., ε N } og {x 1,, x N } er uafhængige [A(2)] V{ε i } = σ 2, i = 1,., N [A(3)] cov{ε i, ε j } = 0, i, j = 1,, N, i j [A(4)] ε i NID(0, σ 2 ) [A(5)=(A(1)+A(2)+A(4))] A(1) siger, at den forventede værdi af fejlleddet er nul, hvilket implicerer, at vi i gennemsnit får det rigtige svar. A(2) siger, at de forklarende variable skal være ukorrelerede med fejlleddene. I dette tilfælde benævnes de uafhængige variable som exogene variable. Hvis de forklarende variable derimod korrelerer med fejlleddene, benævnes de som endogene variable. A(3) siger, at alle fejlleddene skal have den samme varians, der benævnes homoskedasticitet. Endelig siger A(4), at der ikke skal være nogen korrelation mellem fejlleddene. I det følgende testes der på forudsætningerne for debitorgruppen privat (se bilag 3 for de tilsvarende test for debitorgruppen erhverv). Alle testene udføres i statistikprogrammet Eviews. Side 56 af 93

61 E{ε i } = 0, i = 1,.., N [A(1)] E{ε i } = 0 siger, at den forventede værdi af fejlleddet er nul. E{ε i } = 0 betyder derfor, at regressionslinjen er korrekt på baggrund af en gennemsnitsbetragtning. Hvis E{ε i } = 5 vil det betyde, at vi kan forudsige en del af fejlleddet, hvilket vi ikke skal være i stand til. {ε 1,.., ε N } og {x 1,, x N } er uafhængige [A(2)] For at teste for endogenitet kræves et instrument variabel, hvorom det skal gælde, at der ikke er nogen korrelation mellem instrumentvariablen og fejlleddet, men korrelation mellem instrumentvariablen og den endogene variabel. Det er ikke muligt at inkorporere en instrumentvariabel på baggrund af datagrundlaget. Der er dog heller ikke mistanke om en eventuel udeladt relevant variabel i modellen. Det antages derfor, at forudsætning A(2) er opfyldt. V{ε i } = σ 2, i = 1,., N [A(3)] Hvis fejlleddene ikke har den samme varians, heteroskedasticitet, bliver standardafvigelserne utilregnelige. Forkerte standardafvigelser vil resultere i fejlagtige t-ratios og derfor fejlagtige konklusioner. Der findes forskellige test, der kan teste for heteroskedasticitet. Uanset hvilken testmetode, der benyttes, kan hypoteserne formuleres som H 0 : V{ε i } = σ 2 (Homoskedasticitet) H 1 : V{ε i } σ 2 (Heteroskedasticitet) Til at teste for ovenstående hypotese benytter indeværende afhandling Breush-Pagan testen og White testen. Outputtet fra de to tests ses i figur 18 og 19 henholdsvis. Figur 18: Breusch-Pagan-Godfrey test. Kilde: Eviews. Figur 3: White test. Kilde: Eviews. Side 57 af 93

62 Begge test benytter de kvadredede residualer som den afhængige variabel og forklarer denne på baggrund af de uafhængige variable. For at afgøre hvorvidt H 0 hypotesen kan forkastes eller ej benyttes den resulterende F-statistik. F-testen tester om effekten af alle de forklarende variable er nul. Både Breusch- Pagan testen og White testen giver p-værdier langt over 5 pct. H 0 hypotesen kan derfor ikke forkastes. Med andre ord er heteroskedasticitet ikke et problem i model 2. Forudsætning A(3) antages derfor at være opfyldt. cov{ε i, ε j } = 0, i, j = 1,, N, i j [A(4)] Autokorrelation opstår hvis fejlleddene korrelerer med hinanden. Typisk vil autokorrelation opstå, hvis der arbejdes med seriedata, hvilket er tilfældet i indeværende afhandling. Tilfældig udvælgelse sikrer, at autokorrelation ikke opstår ved tværsnitsdata. Forudsætning A(4) er derfor meget relevant i forhold til datagrundlaget. Der findes flere måder hvorpå autokorrelation kan testes, eksempelvis førsteordens autokorrelation, andenordens autokorrelation med videre. Indeværende afhandling tester for førsteordens autokorrelation, der ligeledes er den mest almindelige. Førsteordens autokorrelation mellem fejlledene kan formuleres som ε t = ρε t 1 + v t [7.3] Hvor v t udgør et fejlled med en forventet værdi på nul og en konstant varians. Hypoteserne for autokorrelation kan formuleres som H 0 : ingen autokorrelation (ρ = 0) H 1 : autokorrelation (ρ 0) Da ρ er ukendt, skal der findes et estimat for ρ, ρ. Dette gøres ved først at køre OLS regressionen for model 2. Herefter regresseres residualerne, e t, mod de laggede residualer, e t 1. Den resulterende t-test er approksimativt lig med t Tρ [7.4] Hvor T udgør antallet af observationer i datagrundlaget. Resultatet fra testen fremgår i nedenstående figur 20. Side 58 af 93

63 Figur 20: Test på autokorrelation. Kilde: EViews Af figuren kan det aflæses, at sandsynligheden for at ρ = 0 er 54 pct., hvorfor H 0 hypotesen ikke kan forkastes. På trods af at datagrundlaget består af seriedata, kan det konkluderes, at autokorrelation ikke er et problem. ε i NID(0, σ 2 ) [A(5)] Antagelserne A(1)-A(4) siger, at ε i har en middelværdi på nul (A(1)), en konstant varians (A(3)), er afhængig af de forklarende variable (A(2)) samt at ε i er ukorrelerede med hinanden (A(4)). Antagelserne A(1)-A(4) siger dog ikke noget om formen på fordelingen af ε i. Det er nødvendigt med en antagelse om fordeling af ε i for at kunne lave de statiske tests på datagrundlaget (t-tests og F-tests). Regressionerne er derfor gjort på en antagelse om, at ε i følger en normalfordeling. A(4) svarer i den forbindelse til uafhængighed mellem ε i. A(5) kan derfor erstatte A(1), A(3) og A(4) og udtrykkes som ε i NID(0, σ 2 ) [7.5] Formel 7.5 siger, at ε i er uafhængige udtræk fra en normalfordeling (N.I.D) med en middelværdi på nul og en varians på σ 2. Antagelsen om normalfordelte fejlled kan testes på baggrund af en Jargue-Bera test, hvor hypoteserne formuleres som H 0 : ε i Normalfordeling H 1 : ε i Normalfordeling Side 59 af 93

64 Figur 41: Test på normalfordeling. Kilde: EViews Jargue-Bere testen genererer en teststatistik på 2,54 hvilket svarer til en p-værdi på 28 pct. Vi kan derfor ikke forkaste H 0 hypotesen, hvorfor det ikke kan afvises, at ε i følger en normalfordeling (Verbeck, 2012) Validitet Som tidligere beskrevet bygger hypotesetestene på en antagelse om, at ε i NID(0, σ 2 ), A(5), samt uafhængighed mellem ε i og de forklarende variable, A(2). I foregående afsnit kunne det konkluderes, at alle fem forudsætninger er opfyldt. Da der ikke nogen forudsætningsbrud, findes de tidligere fortolkninger omkring t-testene samt parameterestimaterne valide BLUE Da forudsætning A(1) og A(2) er opfyldt, er β 0, β 1, β 2og β 3 unbiased estimater af de ukendte populationsparametre β 0, β 1, β 2, og β 3. Ved unbiased skal det forstås, at parameterestimaterne gennemsnitligt konvergere mod de sande værdier, hvis der gentagne gange udtages en stikprøve fra populationen. En unbiased estimator kan formuleres som E{β } = β. Da A(3) og A(4) ligeledes er opfyldte er OLS estimaterne β 0, β 1, β 2og β 3 BLUE (Best Linear Unbiased Estimates). Det vil sige, at β 0, β 1, β 2og β 3 udgør de bedste lineære unbiased estimater af de ukendte populationsparametre β 0, β 1, β 2, og β Type I og type II fejl I forbindelse med afprøvning af hypoteser kan der opstå to typer af fejl. Den første type af fejl, kaldes en type I fejl. Ved en type I fejl vil man fejlagtigt afvise H 0 hypotesen, hvor den i virkeligheden er sand. Ved en type II fejl, vil man fejlagtigt fastholde H 0 hypotesen, men hvor den i virkeligheden burde afvises. Sandsynligheden for at begå en type I fejl kan kontrolleres ved valget af signifikansniveauet, α. Når en test gennemføres ved et 5 pct. signifikansniveau, er sandsynligheden for at begå en type I fejl 5 pct. Sandsynligheden for at begå en type II fejl afhænger derimod af de sande parameterværdier. Jo størrelse Side 60 af 93

65 afvigelse mellem H 0 hypotesen og de sande parameterværdier, desto mindre er sandsynligheden for at begå en type II fejl og vice versa. Den omvendte sandsynlighed af type II, benævnes som testens power. En tests power angiver derfor sandsynligheden for at afvise H 0 hypotesen, når den i virkeligheden er usand. Generelt hvis signifikansniveauet, α, reduceres (sandsynligheden for type I fejl falder), falder testens power (sandsynligheden for type II fejl stiger). Der er derfor et trade-off mellem type I og II fejl. Et eksempel herpå kunne være, at teste hypotesen β = 0, hvor den sande parameterværdi er 0,1. Sandsynligheden for at H 0 hypotesen forkastes afhænger af standardafvigelsen på OLS estimatet β og derfor også på antallet af observation i datasættet. Jo flere observationer der tilføjes til et datasæt, desto mindre vil standardafvigelserne blive. Jo mindre standardafvigelser, desto ofte vil en H 0 hypotese forkastes. Dette betyder, at sandsynligheden for at begå en type II fejl falder, jo flere observationer, der inkluderes i datasættet. Testen power stiger derfor. Det er derfor nærliggende at inkludere flere observationer i datasættet end de 72 observationer fordelt ligeligt på debitorgrupperne privat og erhverv. Desværre har processen med at erhverve data været meget vanskelig. Da sandsynligheden for at begå en type II fejl falder ved stigende antal observationer, vil man normalt reducere signifikansniveauet fra 5 pct. ned til 1 pct. Da afhandlingens regressioner er udført på baggrund af 36 observationer, er det ikke nødvendigt med et signifikansniveau på 1 pct. (Verbeck, 2012). 7.7 Prisfastsættelsesmodel med estimeret konverteringsmodel På baggrund af en række t-test samt den justerede R 2, blev det tidligere i kapitel 7 konkluderet, at model 2 udgør den bedste konverteringsmodel. Alle parameterestimaterne er signifikante på et 5 pct. signifikansniveau for debitorgruppen erhverv. Samtidig kan de forklarende variable forklare 72,2 pct. af variationen i z. For debitorgruppen privat er β 0 og β 1 signifikante på et 5 pct. signifikansniveau og β 2 signifikant på et 10 pct. signifikansniveau. De forklarende variable kan forklare 43 pct. af variationen i z. Den bedste lineære approksimation af CPR i, hvor der tages højde for standardnormalfordelingen er derfor givet ved CPR = Φ(β 0 + β 1 gevinst i restløbetid i + β 2 poolfaktor i ) [Model 2] For at kunne beregne prisen på den fastforrentede konverterbare obligation, skal gevinsten ved konvertering (gevinst i ), restløbetiden (restløbetid i ) og poolfaktoren (poolfaktor i ) beregnes for alle de fremtidige termin til alle knudepunkter i binomialgitteret fra tiden (t,s)=(0,0) og frem til udløb. Til dette benyttes formlerne 5.66 (gevinsten ved konvertering), 5.68 (restløbetid) og 5.69 (poolfaktor). Side 61 af 93

66 På baggrund af formel 5.39, kan prisen på den fastforrentede konverterbare obligation til alle knudepunkterne i binomialgitteret fra tiden (t,s)=(0,0) og frem til udløb formuleres som V m (t, s) = CPR (t, s) W m (t) + (1 CPR (t, s)) V + m (t, s) [7.6] Hvor W m (t) udgør den eneste variabel, der ikke er tilstandsafhængig. Da låntager er delt op i to debitorgrupper findes den endelig pris på den fastforrentede konverterbare obligation som summen af priserne på debitorniveau vægtet med debitorgruppens restgældsandel (debitor restgæld/seriens restgæld). Den endelig pris på den fastforrentede konverterebare obligation til de enkelte knudepunkter i gitteret kan derfor udtrykkes som k V(t, s) = w i V mi (t, s) i=1 Hvor k angiver antallet af debitorgrupper og w i angiver debitorgruppens restgældsandel, der antages at være konstant fra oversigtsdatoen og frem til udløb. [7.7] Vedhængende Rente For at få en mere reel værdi af den fastforrentede konverterbare obligation på oversigtsdatoen, tages der højde for den vedhængende rente. Den vedhængende er den rente, som den fastforrentede konverterbare obligation på oversigtsdatoen har optjent siden sidste termin. I forbindelse med en obligationshandel beregnes en vedhængende rente, som investor betaler låntager mod at få renten i hele perioden mellem to terminer, når den udbetales (Nykredit Leksikon). Værdien af den konverterbare obligation på oversigtsdatoen er derfor givet som (Jakobsen, 1992) k V(0,0) = ( w i V mi (0,0)) vedhængende rente i=1 [7.8] 7.8 Delkonklusion Indledningsvis i kapitel 7 blev tre konverteringsmodeller til prisfastsættelsesmodellen præsenteret. Inspirationen til de tre konverteringsmodeller er hentet fra Jakobsen (1992). På baggrund af en F-test blev det i kapitel 7.2 konkluderet, at de tre modeller alle er statistisk signifikant på et 5 pct. signifikansniveau. Til at teste effekten af de enkelte forklarende variable på konverteringsraten, blev der gjort brug af t-test. På debitorgruppen privat blev det konkluderet, at model 3 udgør den bedste konverteringsmodel. På debitorgruppen erhverv er det derimod model 2, der udgør den bedste konverteringsmodel. Da to af parameterestimaterne i model 3 er statistisk insignifikant på et 5 pct. signifikansniveau på debitorgruppen Side 62 af 93

67 erhverv vælges model 2 som den endelige konverteringsmodel for begge debitorgrupper. Hypotesetestene blev gjort under følgende antagelser omkring fejlledene; ε i NID(0, σ 2 ) (A(5)) samt uafhængighed mellem ε i og de forklarende variable (A(2)). På baggrund af en række test af fejlledene, blev det i kapitel 7.5 konkluderet, at alle forudsætninger er opfyldt. t-testene samt parameterestimaterne er derfor valide (kap ). Samtidig er β 0, β 1, β 2og β 3 unbiased estimater af de ukendte populationsparametre β 0, β 1, β 2, og β 3 (7.5.2). Da regressionerne baserer sig på en relativ lille stikprøve, anvendes et signifikansniveau på 5 pct. (kap. 7.6). 8. Oversigtkurser og indfrielseskurser I indeværende kapitel foretages prisfastsættelsen af de fire fastforrentede konverterbare obligationer med en kupon på 4 pct. samt den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. (kap. 8.1). Da konverteringsmodellen er estimeret på baggrund af 4 pct. obligationerne, er prisfastsættelsen af de fire fastforrentede konverterbare obligationer med en kupon på 4 pct. et udtryk for, hvor præcis modellen er. De beregnede kurser er foretaget på oversigtsdatoen den I kapitel 8.2 præsenteres de beregnede værdier på de skønnede indfrielseskurser på den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. på horisontdatoen den for de tre rentescenarier. For at vurdere præcisionen af de skønnede indfrielseskurser sammenlignes der med tilsvarende beregnede indfrielseskurser foretaget af Jakobsen (2013). 8.1 Oversigtskurser Som tidligere nævnt sker prisfastsættelsen på baggrund af BDT gitteret, præsenteret i kapitel 5.1 samt den estimerede konverteringsmodel i kapitel 7. I nedenstående tabel 8 fremgår de teoretisk bestemte oversigtskurser på de fire fastforrentede konverterbare obligationer med en kupon på 4 pct. Papirnavn Teoretisk bestemt Markedsbestemt oversigtskurs oversigtkurs Afvigelse 4% RD SDRO 2041 A 102, ,380-2,81% 4% BRF SDO 2041 A 101, ,850-2,79% 4% NYK SDO 2041 A 103, ,575-2,05% 4% NDA SDRO 2041 A 103, ,150-1,83% Tabel 8: Prisfastsættelse af de fire fastforrentede konverterbare obligationer med en kupon på 4 pct. Kilde: Egen tilvirkning. Af tabel 8 fremgår det, at prisfastsættelsesmodellen har en tendens til at underestimere de teoretisk bestemte oversigtskurser i forhold til de tilsvarende markedsbestemte oversigtskurser. Den mindste afvigelse optræder hos den fastforrentede konverterbare obligationen fra Nordea Kredit A/S. Den teoretisk bestemte oversigtskurs på denne obligation afviger 1,83 pct. fra den tilsvarende markedsbestemte Side 63 af 93

68 oversigtskurs. Den største afvigelse, der udgør 2,81 pct., optræder på den fastforrentede konverter obligationen fra Realkredit Danmark. At prisfastsættelsesmodellen konsekvent giver anledning til teoretisk bestemte oversigtskurser, der er mindre end de tilsvarende markedsbestemte oversigtskurser, kan tyde på, at det tillagte refinansieringsspread på 80 bp. er for stort (kap. 5.2). I kapitel 10 indeholdende sensibilitetsanalyser ændres der på størrelsen af refinansieringsspreadet med det formål at vurdere dets betydning for prisfastsættelsen. Med en afvigelse på 2,81 pct., som den største afvigelse, konkluderes det, at prisfastsættelsesmodellen er ret præcis. Tabel 9 viser den markedsbestemte oversigtskurs på den fastforrentede konverterbare obligationen med en kupon på 3 pct. Som tidligere nævnt sker prisfastsættelsen af denne obligation på baggrund af den estimerede konverteringsfunktion i kapitel 7. Prisfastsættelsen af den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. korrigeres en smule, da den skal tage højde for, at obligationsserien stadig er åben. Prisfastsættelsen af de fire fastforrentede konverterbare obligationer med en kupon på 4 pct. skete som tidligere nævnt på baggrund af en lukket serie. Der tillægges derfor et ekstra spread (Open Spread) for perioden, hvor serien stadig er åben. Af Jakobsen (2013) fremgår det, at kurser på obligationer er relativt lave ved udstedelse, for dernæst at konvergere mod 100, når obligationerne nærmer sig lukkedatoen. Den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. havde på sin første noteringsdag den en kurs på 96,20 (Nasdaq). Efterfølgende er kursen på obligationen steget og ramte den kurs 100, hvorfor institutterne stoppede for lånetilbud i serien. Realkreditinstitutterne åbner ofte nye obligationer med en lavere kuponrente, når en toneangivende obligation er kommet over kurs 100. Dette er ikke tilfældet i denne omgang. De nye serier udstedes ligeledes med en kupon på 3 pct. Dette skyldes, at en serie til 2,5 pct. vil få svært ved at få en tilstrækkelig stor volumen til at holde en attraktiv kurs (Nordea (2014 [2])). De nye obligationer med en længere løbetid, men samme kupon, bliver på nuværende tidspunkt handlet til kurs 98, Dette betyder, at hvis der optages lån i de nye serier frem for 3 44, vil låntager opleve et større kurstab. Årsagen til at obligationer åbner i kurser under 100, skyldes løbetidsforlængelsen samt risikoen for, at serierne bliver illikvide (Nordea, 2014 [2]). Dette er hvad det ekstra spread, benævnt openspread, tager højde for. Openspreadet på 536 bp. i tabel 9, indebærer spreadet, der skal tillægges rentegitteret, for at den teoretisk bestemte oversigtskurs bliver lig den markedsbestemte kurs Side 64 af 93

69 Teoretisk bestemt Markedsbestemt Papirnavn Open Spread oversigtskurs oversigtkurs 3NYKE DA44 97,85 97, Tabel 9: Prisfastsættelse af obligation med kupon på 3 pct. Kilde: Egen tilvirkning. I følgende kapitel 8.2 præsenteres beregningerne på de skønnede indfrielseskurser på den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. for de tre rentescenarier. 8.2 Indfrielseskurser I det følgende præsenteres de skønnede indfrielseskurser på horisontdatoen. De skønnede indfrielseskurser på den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. beregnes som gennemsnittet af alle fremtidige kursværdier på obligationen for de enkelte knudepunkter på horisontdatoen. Dette gøres for de tre rentescenarier; en uændret beliggenhed af rentekurven, en parallelforskydning nedad på 1 procentpoint af rentekurven samt en parallelforskydning opad med 2 procentpoint. Nedenstående tabel 10 viser et udsnit af værdierne på den skønnede indfrielseskurs på den fastforrentede konverterbar obligation med en kupon på 3 pct. for tilfældet, hvor rentekurven forskydes nedad med 1 procentpoint Tabel 10: Indfrielseskurser ved en parallelforskydning af rentekurven nedad med 1 procentpoint. Kilde: Egen tilvirkning. Volatilitetsstrukturen, som BDT gitteret kalibreres til, beregnes på baggrund af de estimerede volatilitetsparametre i tabel 2 og formel Jævnfør Jakobsen (2013) ændres volatiliteten 16 i forbindelse med et skift i rentekurven. Der tages højde for dette i indeværende afhandling ved at ændre på de estimerede volatilitetsparametre. Ved en parallelforskydning af rentekurven nedad med 1 procentpoint, ændres volatilitetsparametrene således, at volatilitetsstrukturen stiger. Ved en parallelforskydning af rentekurven opad med 2 procentpoint, ændres de estimerede parametre ligeledes sådan, at volatilitetsstrukturen stiger. 104,30 105,62 106,66 100,31 102,37 104,10 94,91 97,69 100,18 88,30 91,66 94,85 81,02 84,67 88,32 0,00 77,30 81,10 0,00 0,00 73,85 102,30 Ved beregningerne af de skønnede indfrielseskurser, kunne det konkluderes, at de skønnede indfrielseskurser er meget følsomme i forhold til ændringer i volatilitetsstrukturen. Ændringer i 16 For scenariet med en faldende rente er det gældende at parametrene i tabel 2, ikke giver et gyldigt resultat. Side 65 af 93

70 volatilitetsstrukturen vil derfor indgå som en del af sensibilitetsanalysen i kapitel 10. Nedenstående tabel 11 viser de skønnede indfrielseskurser for de tre rentescenarier. Tabel 11: Indfrielseskurser. Kilde: Egen tilvirkning. Til at vurdere om prisfastsættelsesmodellen er i stand til at give realistiske skøn på indfrielseskurserne, anvendes Jakobsen (2013) som sammenligningsgrundlag. Jakobsen (2013) foretager beregningerne på de skønnede indfrielseskurser ved hjælp af Scanrates prisfastsættelsesmodel for danske realkreditobligationer. De skønnede indfrielseskurserne fra Scanrate fremgår yderst til højre i tabel 11. Ved en parallelforskydning af rentekurven nedad med 1 procentpoint og en uændret beliggenhed af rentekurven er der en god overensstemmelse mellem afhandlingens skønnede indfrielseskurser og de tilsvarende skønnede indfrielseskurser af Jakobsen (2013). Ved en parallelforskydning af rentekurven opad med 2 procentpoint opstår der en afvigelse på 7 kurspoint mellem afhandlingens skønnede indfrielseskurs og den tilsvarende skønnede indfrielseskurs foretaget af Jakobsen (2013). Afvigelsen kan i høj grad tilskrives volatilitetetsbegrænsninger på rentestrukturmodellen. Volatilitetsbegrænsningerne uddybes i kapitlet vedrørende modeloptimering (kap. 11). Prisfastsættelsesmodellen fanger stadig tendensen til et kursfald ved en parallelforskydning af rentekurven opad med 2 procentpoint. Det konkluderes derfor, at prisfastsættelsesmodellen kan anvendes til horisontberegninger, da de skønnede indfrielseskurser er realistiske. Skønnede indfrielseskurser Scanrate indfrielseskurser Faldende rente (- 1 procentpoint) 102,30 105,33 Uændret rente 101,84 100,29 Stigende rente (+ 2 procentpoint) 92,19 85, Delkonklusion I kapitlet blev det konkluderet, at den anvendte prisfastsættelsesmodel er i stand til at beregne et realistisk skøn på oversigtkurserne på de fastforrentede konverterbare obligationer med en kupon på 3 og 4 pct. Konklusionen blev gjort på baggrund af, at de teoretisk bestemte oversigtskurser på de fastforrentede konverterbare obligationer med en kupon på 3 og 4 pct. kun afviger fra de markedsbestemte oversigtskurser i mindre grad. Da de teoretisk bestemte oversigtskurser alle ligger under de tilsvarende markedskurser, kan det tyde på, at refinansieringsspreadet på 80 bp., er for stort. Størrelsen af refinansieringsspreadet undersøges i kapitel 10. Ved at tillægge et ekstra spread på 536 bp. til den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct., bliver den teoretisk bestemte oversigtskurs lig den markedsbestemte oversigtskurs. Det ekstra spread tillægges rentegitteret for den resterende åbningsperiode på obligationsserien. Ved at tillægge spreadet tages der højde for forholdet, at obligationskurser er relativt lave Side 66 af 93

71 ved udstedelse, for dernæst at konvergere med kurs 100, når obligationsserien nærmer sig lukkedatoen for flere udstedelser. I kapitlet blev det ligeledes konkluderet, at den anvendte prisfastsættelsesmodel også er i stand til at beregne et realistisk skøn på indfrielseskurserne på den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. for de tre rentescenarier. Til at vurdere om de skønnede indfrielseskurser er realistiske, blev indfrielseskurserne sammenholdt med tilsvarende værdier foretaget af Jakobsen (2013). Den største afvigelse mellem de beregnede skønnede indfrielseskurser i afhandlingen og de tilsvarende værdier foretaget af Jakobsen (2013) opstod ved en parallelforskydning af rentekurven opad med 2 procentpoint. Afvigelsen tilskrives volatilitetsbegrænsninger på rentestrukturmodellen, der diskuteres i kapitel 11. En del af afhandlingens problemstilling bestod i at konstruere en prisfastsættelsesmodel, der kan anvendes til at lave horisontberegninger. Anvendeligheden af prisfastsættelsesmodellen afhænger af, hvorvidt prisfastsættelsesmodellen kan beregne realistiske oversigts- og indfrielseskurser. Da det i kapitlet blev konkluderet, at prisfastsættelsesmodellen et i stand til at give et realistisk skøn på oversigts- og indfrielseskurserne, kan horisontberegningerne laves. 9. Horisontberegninger I dette kapitel foretages horisontberegningerne for de tre rentescenarier. Indledningsvist i kapitlet præsenteres antagelserne samt omkostningerne, der knytter sig til horisontberegningerne. I kapitel 9.1 foretages horisontberegninger på den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct., opgjort på horisontdatoen den Kapitel 9.2 indeholder de tilsvarende horisontberegninger for rentetilpasningslånet. I kapitel 9.3 sammenlignes horisontberegningerne på de to lån. Periodelængde: Ifølge Penge- og Pensionspanelet (2013) indfries et realkreditlån typisk efter 5-8 år i forbindelse med enten låneomlægning eller salg. Der gøres derfor brug af en 5-årig horisontperiode i afhandlingen. Datoen for optagelsen af lånet er som nævnt i indledning oversigtsdatoen den , hvorfor horisontdatoen bliver den Renten: Obligationerne, som horisontberegningerne baserer sig på, er udstedt af Nykredit A/S. Renten på det 30-årige fastforrentede konverterbare lån er som tidligere nævnt 3 pct. Renten på det 1-årige rentetilpasningslån er 0,47 pct., hvilket er renten fra den seneste renteauktion i februar måned Hovedstol: Det er i afhandlingen antaget, at obligations- samt kontantlånshovedstolen på de to lånetyper udgør 1 million kroner. Side 67 af 93

72 Optagelseskurs: Optagelseskursen på 97,85 på den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. udgøres af lukkekursen på oversigtsdatoen. Optagelseskursen for rentetilpasningslånet er 100,63. Kurserne er hentet fra Nasdaq Omx Nordic s obligationsdatabase. Skønnede indfrielseskurser: De skønnede indfrielseskurser på det fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. blev i kapitel 8.2 beregnet til 92,19 ved en parallelforskydning af rentekurven nedad på 1 procentpoint, 101,84 ved en uændret beliggenhed af rentekurven samt 102,30 ved en parallelforskydning af rentekurven opad med 2 procentpoint. Et rentetilpasningslån kan indfries til kurs 100, hver gang en ny tilpasnings i renten finder sted (Realkreditrådet). For rentetilpasningslånet antages det derfor, at de fremtidige refinansieringer sker til kurs 100. Omkostninger: Til et realkreditlån knytter der sig en række forskellige omkostninger. Omkostningerne opstår på tre tidspunkter; i forbindelse med etableringen af lånet, i løbet af lånets løbetid og sidst i forbindelse med indfrielsen af lånet. I det følgende gennemgås omkostningerne på det fastforrentede konverterbare lån og rentetilpasningslånet for de tre tidspunkter. Valget af omkostningerne i afhandlingen bygger primært på Realkredit Danmark A/S`s prisblad (2014). Etableringsomkostninger I forbindelse med etableringen af lånet skal der ifølge Tinglysningsretten (2014) betales en række statslige afgifter, som er identiske for alle realkreditinstitutter. Der betales en fast tinglysningsafgift på 1660 kr., uafhængigt af lånets størrelse samt en procentuel tinglysningsafgift, der udgør 1,5 pct. af obligationshovedstolen. Realkreditinstitut tager et ekspeditionsgebyr i forbindelse med optagelsen af lånet. Denne sats varierer meget, men ligger i niveauet kr. I afhandlingen antages ekspeditionsgebyret at udgøre 3000 kr. I forbindelse med handlen af obligationerne kræver realkreditinstituttet ligeledes kurtage, der antages at udgøre 0,15 pct. af hovedstolens værdi. For låntager med rentetilpasningslån har kursskæringen en stor betydning. Realkreditinstitutterne har introduceret kursskæring som er et gebyr, der opkræves i forbindelse af refinansieringen af rentetilpasningslån. Gebyret gør det mindre attraktivt at have lån, der skal refinansieres ofte. Løbende omkostninger Side 68 af 93

73 Som tidligere nævnt udgør bidragssatsen en procentdel af lånets restgæld. Bidragssatsen betales direkte til realkreditinstituttet. Bidragssatsen har de seneste år oplevet en kraftig stigning og vil i fremtiden stige yderligere (Boliglaan.com, 2014). Realkreditinstitutterne har forskellige bidragssatser. Samtidig er bidragssatsen bestemt af lånetype, låneinterval samt specifikke kundeforhold. I indeværende afhandling anvendes den vægtede bidragssats fra Realkredit Danmark A/S, givet i følgende tabel Indfrielsesomkostninger Tabel 12: Prisblad. Kilde: Realkredit Danmark A/S februar De totale indfrielsesomkostninger ved en dagskursindfrielse, I omk, gennemgået i kapitel 3, er givet ved d følgende formel (BVC, 2011) Belåningsinterval Fastforrentet lån Rentetilpasningslån 0-40% 0,2748% 0,3248% 40-60% 0,8248% 0,8748% 60-80% 1,3400% 1,4000% Vægtet bidragssats 0,6812% 0,7312% I omk d = I gebyr + min(3000, K RG K sats ) + (RG K s ) Hvor indfrielsesgebyret, I gebyr, udgør 950 kr. og dækker over et indfrielsestilbud samt et gebyr for fuldkommen indfrielse af lånet. Kursen, K, udgør kursen på indfrielsestidspunktet. Restgælden, RG, udgør restgælden på indfrielsestidspunktet. K sats udgør en given størrelse jævnfør BVC (2011) på 0,15. Kursskæringen, K s, antages at udgøre 0,15 og opkræves i forbindelse med tilbagekøbet af obligationerne i markedet. De totale indfrielsesomkostninger ved en pari-straks indfrielse, I omkp, er givet ved følgende formel (BVC, 2011) I omkp = I gebyr + DIF rente DIF Rente = RG D (Kupon G RT ) Hvor indfrielsesgebyret, I gebyr, udgør 950 kr. og dækker over et indfrielsestilbud samt et gebyr for fuldkommen indfrielse af lånet. Restgælden, RG, udgør restgælden på indfrielsestidspunktet. D angiver antallet af dage fra opsigelsesdatoen til opsigelsesterminen som en brøkdel af antallet kalenderdage om året ( D = godtgørelsesrenten er på 0 pct.. = = 0,175). Kupon udgør kuponrenten på 3 pct., og endelig udgør G rt Side 69 af 93

74 Skat og fradrag: Renteomkostningerne og bidragssatsen er fradragsberettiget (Skat, 2013). Skattesatsen antages i afhandlingen at udgøre 33,6 pct. 17. Forskydninger af rentekurven: Horisontberegninger for horisontperioden på 5 år kan fortages for vilkårlige renteskift. I afhandlingen foretages der som tidligere nævnt horisontberegninger for tre rentescenarier; en parallelforskydning af rentekurven nedad på 1 procentpoint, en uændret beliggenhed af rentekurven samt en parallelforskydning af rentekurven opad på 2 procentpoint. Grundet de nuværende lave renter, vil en parallelforskydning af rentekurven nedad på 1 procentpoint implicere i negative renter. Renten sættes i disse tilfælde til 0 pct. I kapitel 4 vedrørende rentedannelse blev der redegjort for faktorerne, der kan føre til ændringer i de korte og lange obligationsrenter. Da horisontberegningerne sker på baggrund af en parallelforskydning af rentekurven, antages det derfor, at ændringerne i de korte og lange obligationsrenter ændres med den samme størrelse og i samme retning. Parallelforskydning af rentekurven nedad med 1 procentpoint. En parallelforskydning af rentekurven nedad med 1 procentpoint implicerer, at både de korte og lange obligationsrenter falder med den samme størrelse. Faldet i de korte renter forklares med, at de pengepolitiske renter i euroområdet nedsættes. De pengepolitiske renter i Danmark vil som følge heraf ændres, hvorved de korte obligationsrenter ligeledes vil påvirkes. Seneste eksempel på ændringer i de pengepolitiske renter i euroområdet var den , hvor ECB sænkede renten til 0,15 pct. fra 0,25 pct. Hensigten var her at stimulere økonomien og højne inflationen. En forventning om en lavere inflation vil også påvirke de lange obligationsrenter i en nedadgående retning. Likviditeten samt kreditværdigheden vil jævnfør kapitel 4 ligeledes påvirke de korte og lange obligationsrenter. En øget likviditet samt øget kreditværdighed vil samtidig betyde, at investor kræver en mindre præmie, hvorfor rentekurven falder. Parallelforskydning af rentekurven opad med 2 procentpoint. En stigning i de korte og lange obligationsrenter kan tilskrives de modsatte scenarier af de ovenfor nævnte faktorer. Ligeledes vil devalueringsforventninger, jævnfør kapitel 4, i høj grad give anledning til stigende renter. I nedenstående figur 22 fremgår de tre rentescenarier. 17 I afhandlingen ses der bort, at fradraget de kommende år frem mod 2019, reduceres. Side 70 af 93

75 Figur 22: De tre rentescenarier. Kilde: Egen tilvirkning Typisk opleves det, at volatiliteten på de korte renter er større end på de lange renter. Dette underbygger derfor ikke et parallelskift af rentekurven (Campbell, 1983). Det parallelle skift i rentekurven er i afhandlingen valgt for at styrke horisontberegninger som rådgivningsværktøj, da et parallelskift er lettere at forklare og kommunikere over for låntager. I Jakobsen (2007) er der valgt et symmetrisk renteskift i både opad- og nedadgående retning på 2 procentpoint i forhold til den initiale rentekurve, hvilket fremgår af figur 5. Ved det nuværende lave renteniveau antages det, at sandsynligheden for et rentefald på 2 procentpoint mindre end sandsynligheden for en rentestigning på 2 procentpoint. Dette begrunder det asymmetriske rentestød, som afhandlingen bygger på. Tidligere horisontberegninger i litteraturen bygger på, at renteskiftet sker gradvist i løbet af horisontperioden. I indeværende afhandling er det antaget, at renteskiftet sker umiddelbart efter lånet optages. Antagelsen sker igen for at lette kommunikationen i rådgivningen samt for at skabe et klart og illustrativt billede af, hvad pludselige renteskift kan betyde for låntagers privatøkonomi. Tidspunktet for hvornår renteskiftet sker, har en minimal indflydelse på den endelige indfrielseskurs (Jakobsen, 2013), hvilket understøtter brugen af det øjeblikkelige renteskift årigt fastforrentet konverterbart lån med en kupon på 3 pct. I tabel 13 fremgår en oversigt over det fastforrentede konverterbare lån med en kupon på 3 pct. ved etableringen på oversigtsdatoen. Den årlige bidragssats udgør 0,68 pct. af restgælden, mens kursskæringen i forbindelse med handlen af de bagvedliggende obligationer udgør 0,15 pct. af hovedstolen. Side 71 af 93

76 Tabel 13: 30-årigt fastforrentet konverterbart lån. Kilde: Egen tilvirkning. Provenuet fås ved at fratrække etableringsomkostningerne fra kursværdien på de udstedte obligationer. For låntager er det mest optimalt at handle obligationerne så tæt på kurs 100, som muligt, da kurstabet herved minimeres. Der er midlertidig også nogle lovgivningsmæssigt øvre og anbefalede nedre grænser i forbindelse med udbetalingen af et boliglån som obligationslån. Fra Realkreditloven gælder det, at låntager ikke kan optage boliglån i obligationer, hvis kursen er over 100. Årsagen til dette er, at låntager kan hente store skattefrie gevinster på bekostning af investor, hvis låntager optager et lån til over kurs 100 og efterfølgende indfrier det til næstkommende termin (Business, 2010). Realkreditinstitutterne anbefaler normalt, at låntager ikke skal optage et fastforrentet lån, hvis kursen ligger under 95. Hvis låntager optager et lån til under kurs 95, risikerer han et stort tab, hvis han pludseligt er nødt til at indfri lånet før tid i en situation hvor renterne er faldet, siden han optog lånet 18. De samlede etableringsomkostninger udgør kr., hvilket resulterer i et provenu på kr. 30-årigt fastforrentet konverterbart lån Løbetid (år) 30 Næste termin med afdrag 01/04/2014 Årlig Rente 3,00% Årlig bidragssats 0,6812% Løbetid i månder 360 Skat 33,60% Kursskæring 0,15% Optagelseskurs 97,05% Hovedstol Obligationshovedstol Kursværdi, obligationer Etableringsomkostninger Ekspeditionsgebyr Kurtage (0,15% af hovedstolen) Fast Tinglysningsafgift %-tinglysningsafgift (1,5% oblig.hovedstol) Samlet etableringsomkostninger Faktisk provenu Skemaet for horisontberegningerne er vist i tabel 14. Af skemaet fremgår det, at ydelserne er beregnet på månedsbasis. I en rådgivningssituation af låntager bevirker dette, at ydelsen lettere kan holdes op mod låntagers månedlige indkomst. Da det konverterbare lån er fastforrentet, vil det gælde, at ydelsen før skat og efter skat på både startdato og horisontdato forbliver konstant. En ændring i beliggenheden af rentekurven får derfor ingen betydning for ydelsen. 18 Kurs 95 reglen er dog ikke noget endegyldigt mål, da der i en konkret lånesituation skal overvejes hvilke indfrielsesvilkår og ydelsesforløb, der er gældende for det enkelte lån Side 72 af 93

77 Rentefald (1%) Uændret rente Rentestigning (2%) Ydelse pr. måned før skat, startdato: Ydelse pr. måned efter skat, startdato: Ydelse pr. måned efter skat, horisontdato: Samlet ydelse i perioden efter skat: Heraf rente og bidrag: Heraf afdrag: Resultat efter 5 år Kontantlånsrestgæld: Indfrielsesomkostninger efter skat: Skønnet indfrielsesbeløb inkl. omk.: Skøn på indfrielseskurs inkl. omk.: 100,46 100,46 92,58 Periodeomkostninger: Tabel 14: Horisontberegningsskema for 30-årigt fastforrentet konverterbart lån. Kilde: Egen tilvirkning. De samlede udgifter til renter og bidrag over den 5-årige periode udgør i alt kr., hvoraf bidragsudgifterne udgør kr., og renteudgifterne udgør kr. De løbende bidragsudgifter udgør derfor en betragtelig del af de samlede omkostninger. Som tidligere nævnt i kapitel 3 bliver de bagvedliggende obligationer opkøbt til markedsprisen ved dagskursindfrielse. Ved en parallelforskydning af rentekurven opad med 2 procentpoint beregnes indfrielsesomkostningerne som I omkd = Min (3000; 92, ,15%) + ( ,15%) = kr. 100 De skønnede indfrielseskurser ved uændret beliggenhed af rentekurven samt en parallelforskydning af rentekurven nedad med 1 procentpoint er henholdsvis 101,84 og 102,30, hvilket åbner muligheden for, at låntager indfrier lånet ved pari-straks indfrielses. Differencerenterne ved pari-straks indfrielsen kan i midlertidig gøre det dyrt at anvende denne metode. I nogle tilfælde kan det derfor være fordelagtigt at indfri til dagskursen ved kurser tæt på eller over 100. Der er derfor foretaget en sammenligning af omkostningerne på de to indfrielsesmetoder. I tabel 15 fremgår det, at indfrielsesomkostningerne ved dagskursindfrielse er 407 kr. billigere end pari-straks indfrielse ved en uændret beliggenhed af rentekurven. Dog bliver de samlede periodeomkostninger 2170 kr. dyrere ved dagskursindfrielse, hvilket gør pari-straks indfrielse til det billigste alternativ i indeværende eksempel. Dagskursindfrielse Indfrielsesomkostninger Periodeomkostninger Pari-straks indfrielse Indfrielsesomkostninger Periodeomkostninger Side 73 af 93

78 Tabel 15: Indfrielsesomkostninger efter skat. Kilde: Egen tilvirkning. Det beregnede skøn på de fremtidige indfrielseskurser på baggrund af prisfastsættelsesmodellen har en stor betydning for det skønnede indfrielsesbeløb inklusiv omkostninger og derfor også periodeomkostningerne. De skønnede indfrielsesbeløb inklusiv omkostninger for de tre rentescenarier fremgår i figur 23. Figur 23: Skønnede indfrielsesbeløb for fastforrentet konverterbar lån. Kilde: Egen tilvirkning. Af figur 23 fremgår det, at det skønnede indfrielsesbeløb inklusiv omkostninger er markant mindre ved en parallelforskydning af rentekurven opad med 2 procentpoint. Derimod bevirker et fald i rentekurven på 1 procentpoint ikke nogen ændring i den skønnede indfrielseskurs inklusiv omkostninger i forhold til en uændret beliggenhed i rentekurven, da det fastforrentede lån i begge tilfælde indfries til kurs 100. I det følgende foretages de tilsvarende horisontberegninger for rentetilpasningslånet årigt rentetilpasningslån Tabel 16 viser oplysningerne på det 1-årige rentetilpasningslån ved etableringen af lånet på oversigtsdatoen den Den korte 1-årige rente udgør 0,47 pct. Af tabellen fremgår det, at bidragssatsen udgør 0,73 pct. og kursskæringen 0,30 pct. Side 74 af 93

79 1-årigt rentetilpasningslån Løbetid (år) 30 Terminer 120 Næste termin med afdrag 01/04/2014 Årlig Rente 0,47% Årlig bidragssats 0,7312% Løbetid i månder 360 Skat 33,60% Kursskæring 0,30% Optagelseskurs 100,63 Kontantlånshovedstol Antal obligationer udstedt Obligationshovedstol Etableringsomkostninger Ekspeditionsgebyr Kurtage (0,15% af hovedstolen) Fast Tinglysningsafgift %-tinglysningsafgift (1,5% oblig.hovedstol) Samlet etableringsomkostninger Faktisk provenu Tabel 16: 1-årigt rentetilpasningslån. Kilde: Egen tilvirkning. Rentetilpasningslånet er et kontantlån, hvilket indebærer, at låntager på forhånd kender provenuet på lånet. Antallet af de bagvedliggende inkonverterbare obligationer, som udstedes i forbindelse med lånet, afhænger af rentens udvikling, da antallet af obligationer først udstedes i forbindelse med tinglysningen (Laustrup, 2011). For at få udbetalt et provenu på 1 million, implicerer kursen på 100,63, at der skal udstedes stk. inkonverterbare obligationer. Etableringsomkostninger på det 1-årige rentetilpasningslån udgør kr. Etableringsomkostningerne er derfor lavere på rentetilpasningslånet end på det fastforrentede konverterbare lån. De lavere etableringsomkostninger på rentetilpasningslånet skyldes, at den procentuelle tinglysningsafgift afhænger af obligationshovedstolen. Horisontberegningsskemaet for rentetilpasningslånet fremgår i tabel 17. Den samlede ydelse i perioden efter skat ved en parallelforskydning af rentekurven opad på 2 procentpoint er cirka kr. større end den samlede ydelse ved en uændret beliggenhed af rentekurven. Ved en parallelforskydning af rentekurven nedad på 1 procentpoint, falder den samlede ydelse med kr. i forhold til den samlede ydelse ved en uændret beliggenhed af rentekurven. Rentefald (1%) Uændret rente Rentestigning (2%) Ydelse pr. måned før skat, startdato: Ydelse pr. måned efter skat, startdato: Ydelse pr. måned efter skat, horisontdato: Samlet ydelse i perioden efter skat: Heraf rente og bidrag: Heraf afdrag: Resultat efter 5 år Kontantlånsrestgæld: Indfrielsesomkostninger efter skat: Skønnet indfrielsesbeløb inkl. omk.: Skøn på indfrielseskurs inkl. omk.: 100,56 100,56 100,56 Periodeomkostninger: Tabel 17: Horisontberegningsskema for 1-årigt rentetilpasningslån. Kilde: Egen tilvirkning. Side 75 af 93

80 Som nævnt i kapitel 2 har budgetgennemgangen den ulempe, at den inddrager den samlede ydelse i budgettet uden at skelne mellem låneomkostninger og afdrag. I horisontberegningsskemaet tages der højde for dette forhold, ved at opdele ydelsen i rente, bidrag og afdrag. Af tabel 17 fremgår det tydeligt, at der opstår store forskelle i fordelingen mellem afdrag, udgifter til renter og bidraget for de tre rentescenarier. Ved en uændret beliggenhed af rentekurven udgør rente og bidrag 18,9 pct. af den samlede ydelse i perioden efter skat. Ved en parallelforskydning af rentekurven opad med 2 procentpoint udgør andelen af rente og bidrag i forhold til den samlede ydelse i perioden efter skat nu 39,9 pct. En rentestigning på et rentetilpasningslån implicerer derfor både, at de samlede ydelser i perioden stiger samt at andelen af afdrag i forhold til den samlede ydelse falder. I indeværende afhandling konkluderes det, at ydelsens sammensætning samt ændringer heri er en vigtig del af rentetilpasningslånet at få fremhævet overfor låntager. Låntager skal ikke se afdrag som udgifter, men som opsparing i huset. Sammensætningen i ydelsen kan med fordel anvendes i en rådgivningssituation til låntager, da sammensætningen er nem at kommunikere ved hjælp af grafer. Et eksempel herpå fremgår i figur 24. Figur 24: Ydelsessammensætning over horisontperioden. Kilde: Egen tilvirkning. I det følgende sammenholdes de to lånetyper. 9.3 Sammenligning af lån I forbindelse med rådgivningen præsenteres låntager for de finansieringsalternativer, som er relevante for låntager 19. I afhandlingen består finansieringsalternativer den som sagt i et 30-årigt fastforrentet konverterbart lån med en rente på 3 pct. og et 1-årigt rentetilpasningslån. Etableringsomkostningerne samt ydelsen før og efter skat på de to finansieringsalternativer fremgår i tabel I forhold til økonomiske forhold, risikopræferencer, lånehorisont med videre Side 76 af 93

81 Etableringsomkostninger Ydelse før skat Ydelse efter skat 30-årigt fastforrentet konverterbart lån årigt rentetilpasningslån Tabel 18: Omkostninger på de to finansieringsalternativer. Kilde: Egen tilvirkning. Af tabellen fremgår det, at der stort set ikke er forskel i etableringsomkostningerne. Derimod er den månedlige ydelse efter skat 529 kr. større på det fastforrentede konverterbare lån. På baggrund af en ren ydelsesbetragtning fremstår rentetilpasningslånet derfor som det billigste lånealternativ, givet at der ikke tages højde for renterisikoen, som låntager med rentetilpasningslån er eksponeret overfor. I tabel 19 sammenholdes ÅOP på de to finansieringsalternativer. Formålet med ÅOP er at give låntager et overblik over de faktiske omkostninger i forbindelse med et lån. De faktiske omkostninger kan være svære at overskue for låntager, da lånemarkedet er stort og differentieret. På trods af at bidragssatsen er højest på rentetilpasningslånet 20, fremgår rentetilpasningslånet alligevel suverænt billigst. ÅOP efter skat på det fastforrentede konverterbare lån udgør 2,89 pct., mens ÅOP på rentetilpasningslånet kun udgør 0,93 pct. Tabel 19: Sammenligning af ÅOP. Kilde: Egen tilvirkning. Som nævnt i kapitel 2 er ÅOP et yderst usikkert nøgletal, da nøgletallet for rentetilpasningslånet antager en uændret rente frem til udløb på lånet. ÅOP er derfor ubrugelig til at sammenligne forskellige realkreditlån (Jakobsen, 2013). ÅOP før skat ÅOP efter skat 30-årigt fastforrentet konverterbart lån 4,20% 2,89% 1-årigt Rentetilpasningslån 1,34% 0,93% For at give låntager et indblik i horisontperiodens låneomkostninger, det vil sige, hvad det koster at låne pengene frem for at betale pengene kontant, anvendes periodeomkostningerne. Tabel 20 sammenholder periodeomkostningerne for de to lånetyper for horisontperioden. 1% rentefald Uændret rente 2% rentestigning 30-årigt 3% fast rente obligationslån årigt rentetilpasningslån, F Tabel 20: Periodeomkostninger for de to lånetyper. Kilde: Egen tilvirkning. Periodeomkostningerne beregnes som periodens ydelse efter skat plus indfrielsesbeløbet minus det oprindelige provenu, jævnfør formel 3.3. Af tabel 20 kan det aflæses, at det koster låntager kr. at låne pengene ved en parallelforskydning af rentekurven nedad med 1 procentpoint mod kr. ved en 20 I form af kursskæring og bidragssats. Side 77 af 93

82 2 procentpoint parallelforskydning af rentekurven opad. Periodeomkostningerne på rentetilpasningslånet udgør kr. ved en parallelforskydning af rentekurven nedad med 1 procentpoint mod kr. ved parallelforskydning af rentekurven opad med 2 procentpoint. Rentetilpasningslånet er derfor klart det billigste finansieringsalternativ ved uændret og faldende renter, men bliver pludseligt det dyreste finansieringsalternativ ved stigende renter. Periodeomkostningerne er derfor et yderst relevant element horisontberegningerne, da nøgletallet illustrerer, hvad det vil koste låntager, hvis de nuværende renter stiger eller falder. For at lette kommunikationen og overblikket for låntager, kan der laves grafiske illustrationer, der sammenligninger periodeomkostningerne. Et eksempel herpå er figur 25. Figur 25: Periodeomkostninger på de to lånetyper for de tre rentescenarier. Kilde: Egen tilvirkning. Det er kun enkelte relevante finansieringsalternativer, der gøres brug af i en rådgivningssituation, hos de realkreditinstitutter, der i dag gør brug af horisontberegninger. Som nævnt i kapitel 2 udvælges finansieringsalternativerne på baggrund af låntagers risikoprofil. Det mest nærliggende alternativ til låntager, som foretrækker et fastforrentet konverterbart lån, er derfor et lån med renteloft. I afhandlingen er der udvalgt to vidt forskellige finansieringsalternativer, hvorfor alternativerne henvender til låntagere med vidt forskellige risikoprofiler. Låntager, der vælger det fastforrentede konverterbare lån kontra rentetilpasningslånet, kan derfor karakteriseres som risikoavers. Låntager er villige til at betale en højere ydelse ved uændret og faldende renter mod en beskyttelse ved stigende renter i forhold til rentetilpasningslånet. I praksis bør horisontberegninger indgå som en fast del af rådgivningsmødet, eksempelvis som en supplering til rådgivningsskemaet (bilag 2) fra loven om god skik for finansielle virksomheder. Samtidig skal Side 78 af 93

83 horisontberegningsskemaet udleveres til låntager som en del af lånetilbudspakken, hvortil der knyttes en række vejledende kommentarer. Det må dog forventes, at der i mere eller mindre omfang skal formuleres en læsevejledning til horisontberegningerne, således at låntager er tilstrækkeligt oplyst om forudsætningerne. 9.4 Delkonklusion Afhandlingens problemformulering bestod delvist i at undersøge, om horisontberegninger kan anvendes i en rådgivningssituation til at danne et bedre beslutningsgrundlag for låntager, når valget står mellem et 1-årigt rentetilpasningslån og et 30-årigt fastforrentet konverterbart lån med en kupon på 3 pct. I kapitlet blev det konkluderet, at brugen af horisontberegninger forbedrer beslutningsgrundlaget for låntager på flere punkter. For det første viser horisontberegninger, at låntager ikke på forhånd kan udpege, hvilken af de to lånetyper, der vil være billigst over den 5-årige horisontperiode. I de tilfælde hvor rentekurvens beliggenhed er uændret, og rentekurven parallelforskydes ned med 1 procentpoint, har rentetilpasningslånet de laveste periodeomkostninger over horisontperioden. Ved en parallelforskydning af rentekurven opad med 2 procentpoint har det fastforrentede konverterbare lån derimod de laveste periodeomkostninger. En del af periodeomkostningerne udgøres af indfrielsesomkostninger. Da indfrielsesomkostninger udgør en post i horisontberegningsskemaet, bliver låntager ligeledes gjort opmærksom på de omkostninger, der opstår ved indfrielse af et lån. For det andet forbedrer horisontberegninger beslutningsgrundlaget for låntager, når låntager skal vurdere sin fremtidige økonomi. Med horisontberegninger som supplerende rådgivningsværktøj vil låntager kunne vurdere, hvilken effekt eventuelle renteændringer vil have på hans fremtidige økonomi. Låntager kan herved vurdere, om hans fremtidige økonomi kan bære en renteændring. For det tredje giver horisontberegninger låntager mulighed for at sammenligne på tværs af lånetyper. Horisontberegningerne løser dermed problemerne, der er med ÅOP, der under den nuværende rentekurve får rentetilpasningslån til at fremstå billigere end de fastforrentede konverterbare lån. Årsagen til at ÅOP får rentetilpasningslån til at fremstå billigere ved de nuværende renter er, at ÅOP bygger på en antagelse om en uændret rente frem til udløb af lånet. For det fjerde løser horisontberegner også problemerne ved budgetgennemgangen. I budgetgennemgangen indlægger rådgiveren ydelsen på realkreditlånet sammen med låntagers øvrige boligomkostninger. Ved at anvende denne metode vil den almindelige låntager hurtigt få den opfattelse, at lånets ydelser er sammenlignelige med omkostningerne til eksempelvis el og vand. Budgetgennemgangen belyser derfor ikke i tilstrækkelig grad, hvad der er egentlige renteomkostninger, og hvad der er opsparing i huset. Da Side 79 af 93

84 horisontberegninger adskiller ydelsen i forhold til afdrag og renteudgifter på baggrund af letforståelige grafer og tabeller, gøres der også op med problemet med budgetgennemgangen. Da horisontberegninger adskiller renteudgifter og afdrag, kan låntager også se, hvordan renteudgifternes og afdragenes andel af ydelsen ændres ved ændringer i rentekurven, hvilket i høj grad er relevant i forhold til rentetilpasningslånet. Samlet konkluderes det derfor i kapitel 9, at horisontberegninger medfører, at bekendtgørelsen om god skik for finansielle virksomheder fra Kreditaftaleloven i højere grad understøttes, da låntager informeres bedre om relevante produkttyper på markedet samt om fordele og ulemper ved disse. Brugen af horisontberegninger i en rådgivningssituation bidrager derfor til et bedre beslutningsgrundlag for låntager. 10. Sensibilitetsanalyse I dette kapitel foretages der tre sensibilitetsundersøgelser. Ved at foretage sensibilitetsundersøgelser, kan det vurderes, hvor følsomme oversigt- og indfrielseskurserne på den fastforrentede konverterbare obligation er i forhold til ændringer i afhandlingens antagelser samt ændringer i inputdata. Den første sensibilitetsanalyse består i at prisfastsætte de fastforrentede konverterbare obligationer ved hjælp af konverteringsmodel 3 i stedet for konverteringsmodel 2 fra kapitel 7.1. Konverteringsmodel 3 udgjorde den bedste konverteringsmodel for debitorgruppen privat. Ved den anden sensibilitetsanalyse undersøges det, hvilken betydning ændringer i det tillagte refinansieringsspread på 80 bp har for de teoretisk bestemte oversigtskurser. Ved den tredje sensibilitetsanalyse foretages der en analyse af, hvad ændringer i volatilitetsstrukturen betyder for de skønnede indfrielseskurser Sensibilitetsanalyse 1: Prisfastsættelse med konverteringsmodel 3 Formålet med indeværende sensibilitetsanalyse er at undersøge, om konverteringsmodel 3 giver anledning til en mere korrekt prisfastsættelse. Konverteringsmodel 3 er valgt, da det i kapitel 7 blev konkluderet, at konverteringsmodel 3 udgør den bedste model til at forklare konverteringsaktiviteten for debitorgruppen privat. Resultatet på sensibilitetsanalysen fremgår i tabel 21 og 22. Af tabel 21 fremgår det, at de teoretisk bestemte oversigtskurser kommer til at afvige mere fra de tilsvarende markedskurser på tre af de fastforrentede konverterbare obligationer med en kupon på 4 pct., hvis konverteringsmodel 3 anvendes til prisfastsættelsesmodellen. Den eneste af de fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 4 pct., hvor den teoretisk bestemte oversigtskurs kommer tættere på markedskursen, er obligationen fra Nordea. Side 80 af 93

85 Papirnavn Markedsbestemt Model 2 - Teoretisk Model 3 - Teoretisk Afvigelse oversigtkurs bestemt oversigtskurs bestemt oversigtskurs Afvigelse 4% RD SDRO 2041 A 105,38 102,406-2,82% 101,53-3,65% 4% BRF SDO 2041 A 104,85 101,908-2,81% 99,43-5,17% 4% NYK SDO 2041 A 105,58 103,399-2,06% 110,12 4,31% 4% NDA SDRO 2041 A 105,15 103,223-1,83% 104,09-1,01% Tabel 21: Oversigtskurser på de fire fastforrentede konverterbare obligationer med en kupon på 4 pct. Kilde: Egen tilvirkning. Tabel 22 viser prisfastsættelsen af den fastforrentede konverterbare obligationen med en kupon på 3 pct. Af tabellen fremgår det, at anvendelsen af model 3 som konverteringsmodel implicerer en teoretisk bestemt oversigtskurs på 108,94. I forhold til den tilsvarende markedskurs svarer det til en afvigelse på 11,34 pct. Markedsbestemt Model 3 - Teoretisk Papirnavn Afvigelse Open Spread (Bp) oversigtkurs bestemt oversigtskurs 3NYKE DA44 97,85 108,94 11,34% 536 Tabel 22: Oversigtskurs på den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. Kilde: Egen tilvirkning. De beregnede oversigtskurser er derfor meget følsomme i forhold til den anvendte konverteringsmodel. På baggrund af ovenstående konkluderes det derfor, at konverteringsmodel 3 ikke giver anledning til en mere korrekt prisfastsættelse en konverteringsmodel Sensibilitetsanalyse 2: Ændret refinansieringsspread: 40, 80 og 100 bp. I kapitel 8 blev det konkluderet, at de teoretisk bestemte oversigtskurser alle er mindre end de tilsvarende markedsbestemte kurser. Dette gav anledning til en formodning om, at det anvendte refinansieringsspread på 80 bp. er for stort. Formålet indeværende sensibilitetsanalyse er derfor at undersøge betydningen af refinansieringsspreadets størrelse på de teoretisk bestemte oversigtskurser. Tabel 23 viser de teoretisk bestemte oversigtskurser på de fire fastforrentede konverterbare obligationer med en kupon på 4 pct. for et refinansieringsspread på 40, 80 og 100 bp. samt de tilsvarende markedskurser. Hvis refinansieringsspreadet reduceres fra 80 bp til 40 bp, reduceres afvigelserne mellem de teoretisk bestemte kurser og markedskurser. Et refinansieringsspread på 100 bp. resulterer derimod i en større afvigelse mellem de teoretisk bestemte oversigtskurser og de tilsvarende markedskurser. Side 81 af 93

86 Papirnavn Markedsbestemt Teoretisk bestemt oversigtskurs oversigtkurs Spread: 40 Spread: 80 Spread: 100 4% RD SDRO 2041 A 105,38 103,23 102,41 102,09 4% BRF SDO 2041 A 104,85 102,49 101,91 101,68 4% NYK SDO 2041 A 105,58 104,58 103,40 102,95 4% NDA SDRO 2041 A 105,15 104,29 103,22 102,81 Tabel 23: Oversigtskurser på de fire fastforrentede konverterbare obligationer med en kupon på 4 pct. Kilde: Egen tilvirkning. Det konkluderes derfor, at afhandlingens indledende antagelse om et refinansieringsspread på 80 bp har været for stort, når de fire fastforrentede konverterbare obligationer med en kupon på 4 pct. skal prisfastsættes. I forhold til den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct., vil en reduktion i det anvendte refinansieringsspread resultere i en større afvigelse mellem den teoretisk bestemte oversigtskurs og markedskursen, hvilket fremgår af nedenstående tabel Tabel 24: Oversigtskurs på den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct. Kilde: Egen tilvirkning. På baggrund af ovenstående resultater kan det derfor diskuteres, om det tillagte openspread i kapitel 8.1 i virkeligheden dækker over, at refinansieringsspreadet skal være større for den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon 3 pct. I et videre arbejde med modellen forslås det derfor, at det tillagte refinansieringsspread skal være større for en åben serie Sensibilitetsanalyse 3: Ændret volatilitetsstruktur I kapitel 8.2 blev det konkluderet, at de skønnede indfrielseskurser er meget sensitive i forhold til ændringer i volatilitetsstrukturen. Formålet med indeværende sensibilitetsanalyse er derfor at undersøge, hvor meget en parallelforskydning af volatilitetsstrukturen med +10 og -10 procentpoint betyder for den skønnede indfrielseskurs for hvert af de tre rentescenarier. Resultatet af sensibilitetsanalysen fremgår i nedenstående tabel 25. Markedsbestemt Teoretisk bestemt oversigtskurs Papirnavn oversigtkurs Spread: 40 Spread: 80 Spread: 100 3NYKE DA44 97,85 99,76 97,85 97,26 21 Ved forsat brug af et open spread på 536bp Side 82 af 93

87 Tabel 25: Indfrielseskurser ved ændret volatilitetsstruktur. Kilde: Egen tilvirkning. Af tabellen kan det aflæses, at de skønnede indfrielseskurser er meget sensitive i forhold til den anvendte volatilitetsstruktur. Ved en uændret beliggenhed af rentekurven vil en parallelforskydning af volatilitetsstrukturen nedad med 10 procentpoint resultere i en skønnet indfrielseskurs på 103,55 mod en skønnet indfrielseskurs på 100,09 ved en parallelforskydningen af volatilitetsstrukturen opad med 10 procentpoint. Ved en uændret beliggenhed af rentekurven samt en parallelforskydning af rentekurven nedad med 1 procentpoint, vil horisontberegningerne dog ikke blive ændret ved en parallelforskydninger af volatilitetsstrukturen. Dette skyldes, at låntager forsat anvender pari-straks indfrielse, hvorfor han indfrier til kurs 100. Rentefald Rentestigning Uændret rente (-1 %point) (+2 %point) Forskydning af volatilitetsstruktur (%point) -10% +10% -10% +10% -10% +10% Skønnede indfrielseskurser 103,85 100,67 103,55 100,09 94,40 - Ved en parallelforskydning af rentekurven nedad med 2 procentpoint samt en parallelforskydning af volatilitetsstrukturen nedad med 10 procentpoint stiger den skønnede indfrielseskurs til 94,40. Ved en skønnet indfrielseskurs på 94,4 ændres der på konklusionerne i kapitel 9.3, hvor det fastforrentede konverterbare lån blev sammenlignet med rentetilpasningslånet over den 5-årige horisontperiode. En indfrielseskurs på 94,40 på horisontdatoen betyder, at rentetilpasningslånet bliver det billigste lån. Rentetilpasningslånet bliver derfor det billigste lån i alle tre rentescenarier. Af tabel 25 fremgår det, at ved en parallelforskydning af rentekurven nedad med 2 procentpoint samt en parallelforskydning af volatilitetsstrukturen nedad med 10 procentpoint, kan den skønnede indfrielseskurs ikke beregnes. Begrænsningen hertil undersøges i kapitel 11 indeholdende modeloptimering. De teoretisk bestemte indfrielseskurser er derfor i høj grad påvirkelig af den anvendte volatilitetsstruktur. I et videre arbejde med modellen kunne der eventuelt implementeres modeller, som dynamisk justerer volatilitetsstrukturen i forhold til et rentechock Delkonklusion Formålet med den første sensibilitetsanalyse var at undersøge, om konverteringsmodel 3 giver anledning til en mere korrekt prisfastsættelse. I forhold til sensibilitetsanalysen blev det konkluderet, at model 2 fortsat udgør den bedste konverteringsmodel til prisfastsættelsen. Formålet med den anden sensibilitetsanalyse var at undersøge betydningen af refinansieringsspreadets størrelse på oversigtskurserne. I forhold til de fastforrentede konverterbare obligationer med en kupon på 4 pct. blev det i kapitlet konkluderet, at afhandlingens indledende antagelse om et refinansieringsspread på 80 bp er for stort. I forhold til den Side 83 af 93

88 fastforrentede konverterbare obligation med en kupon på 3 pct., vil en reduktion i det anvendte refinansieringsspread resultere i en større afvigelse mellem den teoretisk bestemte kurs og markedskursen. Det kan derfor diskuteres, om det tillagte openspread i kapitel 8.1 i virkeligheden dækker over, at refinansieringsspreadet skal være større for den fastforrentede konverterbare obligation med en kupon 3 pct. Endelig var formålet med den tredje sensibilitetsanalyse at undersøge, hvor meget en parallelforskydning af volatilitetsstrukturen med +10 og -10 procentpoint betyder for den skønnede indfrielseskurs for hvert af de tre rentescenarier. Ved en parallelforskydning af rentekurven nedad med 2 procentpoint samt en parallelforskydning af volatilitetsstrukturen nedad med 10 procentpoint stiger den skønnede indfrielseskurs til 94,40. Ved en skønnet indfrielseskurs på 94,4 ændres der på konklusionerne i kapitel 9.3, hvor det fastforrentede konverterbare lån blev sammenlignet med rentetilpasningslånet over den 5-årige horisontperiode. En kurs på 94,40 på horisontdatoen betyder, at rentetilpasningslånet bliver det billigste lån. Rentetilpasningslånet bliver derved det billigste lån i alle tre rentescenarier. 11. Modeloptimering I dette kapitel diskuteres den anvendte prisfastsættelsesmodel. I kapitel 11.1 diskuteres den anvendte rentestrukturmodel og i kapitel 11.2 diskuteres den anvendte konverteringsmodel. Formålet med diskussionerne er at vurdere, hvorledes den anvendte prisfastsættelsesmodel eventuelt kan optimeres Rentestrukturmodel Fordelene ved den anvendte BDT model består i, at modellen kalibreres til den eksisterende rentekurve samt den eksisterende volatilitetsstruktur. En svaghed er imidlertid, at kalibreringen af modellen i visse situationer forudsætter, at volatilitetsstrukturen ligger inden for nogle bestemte grænser. Hvis volatilitetsstrukturen ikke ligger indenfor disse grænser, risikere de korte en-periode-renter at blive negative eller eksplodere. I disse tilfælde, er det ikke muligt at kalibrere BDT modellen (Phelim P. et. all., 2001). Grænserne i forhold til et eksempel er illustreret i nedenstående figur. Figur 26: Volatilitetsbegræsninger. Kilde: Egen tilvirkning. Side 84 af 93