Effektivitet og skalaafkast i hovedstadskommunernes børnepasning

Transkript

1 Effektivitet og skalaafkast i hovedstadskommunernes børnepasning Erik Bennike Resumé I oplægget anvendes en basal inputorienteret DEA model til at undersøge relativ efficiens i hovedstadskommunernes børnepasning. Givet en antagelse om CRS findes det, at der i sektoren er et betydeligt besparelsespotentiale på ca. 10 pct. af de samlede udgifter. Der måles i tilknytning hertil en vis forskel i efficienserne fordelt på amter, dog ikke statistisk signifikant. Endvidere ses der, ved at sammenligne en CRS og en VRS analyse, markante tegn på at CRS-antagelsen ikke er rimelig. Der findes tegn på aftagende skalaafkast, hvilket taler for små kommuner. Endelig opstilles Malmquist indekset for produktivitetsudvikling over tid, hvor det afdækkes, at der i perioden er sket en ganske markant produktivitetsforringelse i hovedstadskommunernes børnepasning. Det dækker dog over forholdsvis store forskelle i produktivitetsudviklingen for de enkelte kommuner. 30. oktober 2004 Øvelsesoplæg i Produktivitetsanalyse og benchmarking Københavns Universitet Økonomisk Institut Vejleder: Jens Leth Hougaard

2 Indhold 1 Indledning 1 2 Metodik 2 3 Resultater af statisk analyse CRS-resultater Efficienser på tværs af amter VRS-resultater Skalaafkast CRS eller VRS? Produktivitetsudvikling over tid Metodik Malmquist indeks Beregnede Malmquist indeks Konklusion 12 6 Litteratur 13 A Appendiks 14 A.1 Kort beskrivelse af DEA-metoden A.2 Matematisk beskrivelse af Malmquist indeks A.3 Diverse teststørrelser A.3.1 Test for ens middelværdier (ensidet variansanalyse) A.3.2 Ikke-parametrisk test for ens middelværdier B Bilag 19

3 1 INDLEDNING 1 Indledning Set i lyset af den kommende kommunalreform, og de ændringer i den danske kommunalstruktur som denne reform måtte føre med sig, ligger der et interessant tema i at undersøge kommunernes økonomiske effektivitet. Et andet og meget interessant spørgsmål i tilknytning hertil, er hvorvidt man kan sige noget om sammenhængen mellem kommunernes størrelse og deres effektivitet. I økonomiske termer svarer dette til at undersøge spørgsmålet vedrørende skalaafkast inden for den kommunale sektor. Konklusioner vedrørende skalaafkast i kommunerne vil være et godt redskab til at kunne give et kvalificeret bud på, hvorvidt kommunesammenlægninger er en god ide. At undersøge kommunernes effektivitet er naturligvis meget komplekst, og mange ting bør overvejes, hvis man ønsker at undersøge effektiviteten i kommunerne generelt. Der skal, for blot at nævne nogle få eksempler, tages stilling til en teknik til at måle effektivitet, til hvilke variable, der kan give os information om kommunernes produktion og omkostninger, til om der findes pålidelig statistik for disse variable og til om kommunerne overhovedet er sammenlignelige. Svaret på det sidste er, at da kommunernes arbejdsopgaver ligner hinanden meget, så kan de naturligvis sammenlignes. Kommunernes palet af opgaver er imidlertid så omfangsrig og detaljeret, at det i praksis vil være svært at beskrive kommunernes produktion via et overskueligt antal variable. Ambitionen i den forhåndenværende undersøgelse er da imidlertid også begrænset til at undersøge spørgsmålet vedrørende kommunernes effektivitet på et enkelt område, nemlig børnepasningsområdet. Selvom denne undersøgelse derfor ikke kan give en meget generel konklusion vedrørende effektiviteten i kommunerne, endsige et generelt svar på, om store kommuner er mere effektive end små kommuner, kan den dog give os et fingerpeg og et konkret bud på det inden for et begrænset område. Dette oplægs formål er således: At illustrere anvendelse af DEA til at undersøge og sammenligne hvor effektive hovedstadskommunerne relativt set er inden for børnepasningsområdet, og undersøge hvor stort et besparelsespotentiale der er på området. Endvidere undersøges det, om området er præget af konstant eller variabelt skalaafkast. Endelig gives der en kort beskrivelse af udviklingen i effektiviteten over tid. Inden man kan begynde at undersøge hvor effektiv en kommune er, så er man naturligvis nødsaget til at opstille nogle mål for, hvad der forstås ved en kommunes effektivitet. 1

4 2 METODIK Dette er netop formålet med afsnit 2 nedenfor. Derefter præsenteres resultaterne af den udførte analyse under antagelse af CRS i afsnit 3.1, og i tilknytning hertil undersøges efficienserne på tværs af amter i afsnit Derefter præsenteres resultaterne af den udførte analyse under antagelse af VRS i afsnit 3.2, hvorefter skalaafkast diskuteres i afsnit 3.3. Produktivitetsudvikling over tid er temaet i afsnit 4 inden der konkluderes i afsnit 5. 2 Metodik Til at lave analysen anvendes Data Envelopment Analysis, eller kort DEA. DEA er kort fortalt en metode, der kan måle relativ produktivitet for produktionsenheder. En enheds, eller i denne forbindelse en kommunes, produktivitet måles grundlæggende som et forhold mellem outputs og inputs. Problemet er imidlertid hvordan man skal vægte hhv. outputs og inputs, hvis der ikke foreligger priser på disse. DEA løser dette problem, idet teknikken selv beregner disse vægte. Derfor er DEA en oplagt teknik at anvende til at analysere børnepasningsområdet, da markedet for børnepasning er meget reguleret, og der derfor ingen priser findes på f.eks. en børnehaveplads eller en SFO-plads. 1 Der findes to ækvivalente tilgange til at anvende DEA. Man stiller sig selv et af følgende spørgsmål: (i) Producerer beslutningsenheden de maksimale outputs ved dens valgte inputs? (ii) Anvender beslutningsenheden de minimale inputs ved dens valgte outputs? I dette oplæg vælges det at betragte den inputorienterede tilgang (ii). 2 Det problem der reelt søges løst, er at finde en linearkombination af andre kommuner, der producerer samme outputkombination som den undersøgte kommune, men ved hjælp af færre inputs. Hvis en sådan linearkombination ikke findes, siges kommunen at være efficient. Hvis denne linearkombination derimod findes, da er kommunens efficiens givet som forholdet mellem linearkombinationens anvendte inputs og de faktisk anvendte inputs. 3 I appendiks A.1 er matematikken bag DEA analyse gennemgået i korte træk. 1 Der findes naturligvis de priser som forældrene betaler som brugerbetaling, men disse priser er stadig ikke bestemt på et marked og kan derfor ikke anvendes som outputvægte. 2 I appendiks A.1 anføres det, at de to tilgange er ækvivalente. 3 Med de af DEA beregnede vægte. 2

5 3 RESULTATER AF STATISK ANALYSE Det næste forhold man skal tage stilling til, før man går i gang med at beregne de enkelte kommuners efficienser, er hvorvidt man vil tillade variabelt skalaafkast (VRS), hvor skalaafkastet både kan være faldende (DRS), konstant (CRS) eller stigende (IRS), eller om man vil lægge begrænsninger på skalaafkast. I afsnit 3.1 startes med at se nærmere på resultaterne af beregninger udført under antagelse af CRS, hvorefter denne strenge antagelse slækkes, og der ses nærmere på resultaterne af beregninger udført under antagelse af VRS i afsnit 3.2. Den sidste overvejelse der skal foretages, er hvilke inputs og outputs der skal anvendes. Som outputs anvendes antallet af institutionspladser fordelt på de seks institutionstyper: Vuggestuer, dagpleje, børnehaver, aldersintegrerede institutioner (AII), fritidshjem og SFO er. 4 Disse tal er angivet som forholdstal, og da der i DEA analyse arbejdes med absolutte tal, normeres der med en række befolknings-tal. 5 Som input anvendes de samlede udgifter, der er anvendt på børnepasningsområdet, altså Samlede pasningsudgifter (netto). 6 I denne analyse er det valgt at se nærmere på kommunerne i tre amter: Københavns Amt, Frederiksborg Amt og Roskilde Amt. 7 I første omgang ses ikke på produktivitet over tid, og derfor anvendes blot data for én periode. De nyeste tal der er tilgængelige er fra 2004, hvorfor resultaterne i afsnit 3 nedenfor alle vedrører Resultater af statisk analyse 3.1 CRS-resultater De beregnede efficienser er vist i figur 2 i bilaget på side 19. De beregnede relative efficienser strækker sig fra 0,67 til 1, og er gennemsnitligt 0,91 med en spredning på 9,5 pct. Således kunne den enkelte kommune altså i gennemsnit spare 9 pct. af sine omkostninger til børnepasning ved at kopiere praksis i andre kommuner. På figur 2 i bilaget ses, at den kommune der i analysen opnår den laveste relative efficiens er Albertslund kommune. Denne kommune bruges som eksempel til at vise, hvor- 4 Alle disse data findes hos Indenrigs- og Sundhedsministeriet på 5 Disse tal forefindes i Danmarks Statistikbank, tabel BEF1A 6 På findes både brutto- og nettotal for Samlede pasningsudgifter. Kilden rummer imidlertid ingen oplysninger om de definitoriske forskelle mellem brutto- og nettotal. Her er det valgt at anvende nettotal. 7 I nøgletallene har Værløse kommune en manglende værdi for en observation, og derfor udelades denne kommune af analysen. 3

6 3.1 CRS-resultater 3 RESULTATER AF STATISK ANALYSE dan performance kunne forbedres. Der er grundlæggende tre måder hvorpå Albertslund kommune kunne forbedre deres performance: 1. Mindske inputs 2. Forøge outputs 3. Ændre på produktionssammensætningen I denne analyse er inputorienterede tilgang valgt, og derfor ses nærmere på mængden af inputs for givet valg af outputkombination, svarende til punkt 1. ovenfor. At Albertslund har en relativ efficiens på 0,67 vil sige, at der eksisterer en vægtet kombination af andre kommuner, der producerer mindst samme outputs som Albertslund, men til kun 67 pct. af Albertslunds omkostninger. De kommuner, der indgår i denne vægtede kombination, kaldes for peers. Enhver peer kommune må nødvendigvis have en relativ efficiens på 1, da den per definition ellers kunne domineres af en anden linearkombination af andre kommuner. De peers Albertslund har, er vist i tabellen nedenfor: Kommune Birkerød Helsinge Bramsnæs Ramsø Vægt 0,5987 0,0673 0,6622 0,7424 Denne linearkombination af disse fire kommuner anvender 112,1 mio.kr. i input, og ud fra dette kan Albertslunds relative efficiens findes som 112,1 mio.kr. 168,0 mio.kr. = 0, Input og outputs for hhv. den efficiente kombination af peers og for Albertslund, samt forskellen mellem de to, er vist i nedenstående tabel: Udgifter Dagpleje Vuggestue Børnehave AII Fritidshjem SFO Kombination af peers 112,1 388,1 70,1 348,6 1522,1 332,5 1006,5 Albertslund 168,0 244,6 49,1 348,6 1522,1 332,5 1006,5 Forskel -55,9 143,5 21,0 Det ses, at Albertslund kan spare 55,9 mio. kr. årligt på at gøre sig mere efficiente ved at kopiere praksis i de 4 peer kommuner. Som en sidegevinst kan man, samtidig med at man sparer disse 55,9 mio. kr., også producere 143,5 ekstra dagplejepladser og 21 ekstra vuggestuepladser. Tilsvarende analyser kan laves for alle kommuner, der ikke har en relativ efficiens på 1, og dermed kan det samlede besparelsespotentiale udregnes. Det samlede besparelsespotentiale i alle de kommuner, der ikke er relativt efficiente, udgør så meget som 559 mio. kr. under antagelsen om konstant skalaafkast. 8 Det svarer til et besparelsespotentiale for 8 Desuden vil en række af kommunerne i tilgift kunne producere en større mængde af nogle outputs. 4

7 3.1 CRS-resultater 3 RESULTATER AF STATISK ANALYSE hovedstadskommunerne under ét på over 10 pct. af de samlede udgifter til børnepasning på 5,4 mia. kr. Derfor må det således konkluderes, at der er et betydeligt besparelsespotentiale på børnepasningsområdet i hovedstadskommunerne Efficienser på tværs af amter Det kunne være interessant at undersøge, hvorvidt der er forskelle i efficienserne fordelt på amter. 9 I figur 3 på side 19 er efficienserne afbildet ordnet i grupper af amter. Det ses i figuren, at kommunerne i Københavns Amt gennemsnitligt opnår en lavere efficiensscore end kommunerne i Frederiksborg Amt, som igen opnår en lavere efficiensscore end kommunerne i Roskilde Amt. Gennemsnitligt opnår kommunerne i Københavns amt en efficiensscore på 0,89; kommunerne i Frederiksborg amt opnår gennemsnitligt en efficiensscore på 0,91; mens kommunerne i Roskilde amt gennemsnitligt opnår en efficiensscore på 0,96. Man kan spørge sig selv, om denne forskel i relative efficienser mellem kommunerne i de tre amter skyldes ren tilfældighed, eller om forskellen i gennemsnitlig relativ efficiens i amterne er statistisk signifikant. Dette kan undersøges ved at gennemføre en ensidet variansanalyse. 10 Teststørrelsen for ens middelværdier beregnes til 2,35, og signifikanssandsynligheden beregnes i en passende F-fordeling til 0,1076, hvilket således indikerer, at man på 5 pct. signifikansniveau ikke kan afvise en hypotese om, at den sande middelværdi for efficiensscorerne er ens i de tre amter. Det skal dog bemærkes, at denne test forudsætter normalfordelte tal samt homoskedasticitet. Begge disse antagelser viser sig at være uholdbare i denne situation. 11 Dette nødvendiggør anvendelsen af et ikke-parametrisk test. Et oplagt bud på et sådant kunne være Kruskal-Wallis testet. I dette tilfælde giver Kruskal-Wallis teststørrelsen 4,24 under en hypotese om ens middelværdier for efficienserne i de tre amter. I en χ 2 -fordeling med 2 frihedsgrader svarer dette til en signifikanssandsynlighed på 12,0 pct. Det ikke-parametriske test leder altså til samme konklusion, nemlig at vi på 5 pct. signifikansniveau ikke kan afvise, at den sande middelværdi for kommunernes efficienser på tværs af de tre amter, rent faktisk er den samme. 9 Dette afsnit tjener også som illustration af, hvorledes tilsvarende analyser kan laves for andre grupperinger af kommunerne, eksempelvis efter indkomst, andel af tosprogede børn etc. 10 Udtrykkene for de teststørrelser der henvises til i dette afsnit er anført i Appendiks A Hvad angår homoskedasticitet viser Bartlett s test, at hypotesen om homoskedasticitet må afvises på 5 pct. signifikansniveau, idet signifikanssandsynligheden beregnes til 3,5 pct. Desuden viser Anderson- Darling testet for normalitet, at normalfordelingsantagelsen ikke er plausibel, idet teststørrelsen beregnes til 2,47, svarende til en signifikanssandsynlighed mindre end 0,5 pct. 5

8 3.2 VRS-resultater 3 RESULTATER AF STATISK ANALYSE Konklusionen på dette er således, at der er en vis forskel på de målte efficienser i de tre amter. Dog er forskellen ikke stor nok til at den er statistisk signifikant; vi kan således ikke forkaste en hypotese om ens middelværdier af efficienserne i de tre amter. En måde at forstærke testet på kunne være at inkludere flere observationer, dvs. ved at inkludere flere år end blot det ene betragtede i analysen. Hvis der er en tilstrækkelig grad af autokorrelation i de enkelte kommunernes efficienser, da vil spredningen på gennemsnittet i de enkelte amter blive nedbragt tilstrækkeligt til, at hypotesen om ens middelværdier i de tre amter med større sandsynlighed må forkastes. Men på det foreliggende grundlag, kan man altså ikke sige, at et bestemt amt er bedre end de to andre; forskellen mellem dem er ikke statistisk signifikant. Det næste, der kunne være interessant at undersøge, er hvorvidt konstant skalaafkast rent faktisk er en rimelig hypotese i dette tilfælde. Et første indtryk af hvorvidt denne hypotese er korrekt, kan man få ved ganske enkelt at afbilde de samlede pasningsudgifter mod de beregnede efficienser. Dette er gjort i figur 4 på side 20 i bilaget. I figuren ses en tendens til, at den relative efficiens er aftagende i det samlede input, altså de samlede pasningsudgifter. 12 Noget kunne derfor tyde på at børnepasningsområdet er præget af aftagende skalaafkast. For at undersøge dette nærmere foretages i det følgende afsnit en DEA-analyse, hvor antagelsen om konstant skalaafkast er droppet, og hvor der tillades variabelt skalaafkast. 3.2 VRS-resultater Nu foretages en DEA-analyse under antagelse af variabelt skalaafkast. Ved at tillade, at produktionsteknologien ikke nødvendigvis er karakteriseret ved konstant skalaafkast, lægges den begrænsning på beregningen af kommunernes efficiensscore, at linearkombinationens vægte af andre kommuner skal summe til 1. Derfor vil hver enkelt beslutningsenhed nu få beregnet en relativ efficiens, der er mindst lige så høj som den relative efficiens beslutningsenheden opnåede under CRS-antagelsen. De beregnede efficienser er vist i figur 5 i bilaget på side 20. Efficienserne strækker sig fra 0,77 til 1, og er gennemsnitligt 0,96 med en spredning på 6,9 pct. Vi ser, at der er en rimelig sammenhæng mellem kommunernes efficiensscore under CRS og under VRS. Hvis en kommune opnår lav efficiens under antagelse 12 Signifikanssandsynligheden for en hypotese om at hældningen på den indtegnede linie er 0 afvises på 10 pct. signifikansniveau, men ikke på 5 pct. signifikansniveau. 6

9 3.3 Skalaafkast CRS eller VRS? 3 RESULTATER AF STATISK ANALYSE af konstant skalaafkast, så opnås som oftest også en lav efficiensscore under antagelse af variabelt skalaafkast. Der er imidlertid også nogle undtagelser fra tendensen til pæn sammenhæng mellem efficiensscoren under CRS og VRS. Dette gælder f.eks. Gladsaxe, der springer fra en efficiens på 0,76 under CRS til en efficiens på 1 under VRS. Det samlede besparelsespotentiale for hovedstadskommunerne som helhed under VRS-antagelsen er på 218 mio. kr., svarende til ca. 4 pct. af de samlede udgifter til børnepasning. 3.3 Skalaafkast CRS eller VRS? Der er tydeligvis stor forskel på besparelsespotentialet beregnet under antagelse af konstant skalaafkast og under antagelse af variabelt skalaafkast. Derfor er det vigtigt at kunne give et kvalificeret bud på hvilken af de to antagelser, der så rent faktisk er den rigtige. Dette kan gøres ved hjælp af en række statistiske tests. Ideen er at undersøge om afvigelserne fra fuldkommen relativ efficiens (efficiensscore på 1), kan tænkes at stamme fra den samme bagvedliggende fordelingsfunktion under hhv. CRS og VRS. For at kunne lave et sådant test er man nødt til at tage stilling til, hvilken form for fordelingsfunktion man ønsker at anvende. Her kan en hvilken som helst fordelingsfunktion ikke uden videre anvendes, idet de observerede tal, hvorover der skal estimeres en fordelingsfunktion, kun har et udfaldsrum på [0; 1]. Derfor kan en almindelig normalfordeling ikke anvendes. Man foretager imidlertid ofte den approksimation, at man anvender en halvnormalfordeling, altså blot den ene side af normalfordelingsklokken. En anden fordelingsfunktion, der også hyppigt finder anvendelse er eksponentialfordelingsfunktionen. Endelig findes der også en række goodness of fit tests, der bygger på den empiriske fordelingsfunktion. Det er i disse tests at tilgangen i denne tekst tager sit udgangspunkt. Et første bud på et goodness of fit test kunne være at tage forholdet mellem summen af de kvadrerede afvigelser fra fuldkommen relativ efficiens under hhv. CRS- og VRS-antagelsen. Hvis dette forhold er et stort tal indikerer det, at der er stor forskel på de relative efficienser under de to antagelser, og at en hypotese om at de beregnede efficienser stammer fra samme bagvedliggende fordelingsfunktion må forkastes. Således ser teststørrelsen ud som følger 13 : T = N (θcrs j 1) 2 N F (N, N) (1) RS (θv j 1) 2 13 Jf. eksempelvis Fukushige & Miyara eller Banker(1996) 7

10 3.3 Skalaafkast CRS eller VRS? 3 RESULTATER AF STATISK ANALYSE I dette tilfælde beregnes teststørrelsen til 2,54, svarende til en signifikanssandsynlighed på 0,09 pct. Derfor må en hypotese, om at de beregnede efficiensscores stammer fra samme bagvedliggende fordeling forkastes ifølge dette test. Der findes en lang række af tilsvarende, men langt svagere tests, eksempelvis Kolmogorov-Smirnov, Cramer-von Mises og Kuiper test. Disse tests er generelle fordelingsfri tests og har meget forskellig styrke, men de giver alle konklusionen, at vi ikke på 5 pct. signifikansniveau kan afvise, at CRS og VRS efficiensscores stammer fra samme bagvedliggende fordeling. 14 Konklusionerne vedrørende signifikansen af tendensen til aftagende skalaafkast er således lidt blandede, testet i ligning (1) leder til konklusionen, at børnepasningsteknologien ikke kan beskrives ved konstant skalaafkast, mens andre tests giver os konklusionen, at vi ikke kan afvise, at teknologien kan beskrives ved konstant skalaafkast. Derfor må vi nøjes med at konkludere, at der er tydelige tegn på, at antagelsen om konstant skalaafkast ikke er rimelig i dette tilfælde, men at ikke alle de gennemførte tests kan bekræfte disse tegn. At der således findes tegn på aftagende skalaafkast, er en ganske interessant konklusion. Hvis hypotesen om aftagende skalaafkast er rigtig, vil det sige, at store kommuner er relativt mindre efficiente end små kommuner. Set på den baggrund ser kommunesammenlægninger således ud til at være en dårlig forretning. Dette skal naturligvis tages med forbehold; der er naturligvis mange forhold denne analyse ikke tager højde for. Endvidere skal det naturligvis erindres, at der her blot analyseres et enkelt område, nemlig børnepasningsområdet, mens kommunerne selvfølgelig opererer på en lang række andre områder. Mod de tilsyneladende empiriske gode argumenter for ikke-konstant skalaafkast taler teoretiske argumenter. Et udbredt argument for konstant skalaafkast rent teoretisk er det såkaldte replikationsargument. Replikationsargumentet påpeger, i al sin enkelthed, at man altid bør kunne kopiere nøjagtigt det man gør som udgangspunkt, og dermed få præcis det dobbelte output. Illustreret på børnepasningsområdet vil dette sige, at hvis man som kommune driver en børnehave med 100 børn for 3 mio. kr. årligt, så bør man kunne bygge en tilsvarende børnehave ved siden af den eksisterende, der fungerer på præcis samme facon, altså med 100 pladser til en årlig driftsudgift på 3 mio. kr. 15 Aftagende skalaafkast er svært at retfærdiggøre rent teoretisk, men en enkelt mulig forklaring kan imidlertid være, at der er et større bureaukrati i større kommuner end i små kommuner. 14 Eksempelvis beregnes signifikanssandsynligheden i Kolmogorov-Smirnov testet til 0, Anlægsudgifter indgår ikke i Samlede pasningsudgifter (netto) 8

11 4 PRODUKTIVITETSUDVIKLING OVER TID I næste afsnit ses nærmere på produktivitetsudviklingen over tid. I dette afsnit opretholdes antagelsen om konstant skalaafkast, da vi dels ikke har kunnet endeligt afvise denne antagelse, og endvidere kan VRS-antagelsen i et dynamisk setup give visse beregningsmæssige problemer Produktivitetsudvikling over tid Næste skridt i produktivitetsanalysen er at analysere kommunernes produktivitetsudvikling over tid. Først knyttes nogle teoretiske kommentarer til det værktøj, der benyttes til at foretage denne analyse. 4.1 Metodik Malmquist indeks Referencerammen for måling af produktivitetsudviklingen over tid er naturligvis DEAanalysen. Ideen er, at man sammenligner hver enkelt beslutningsenheds in- og outputkombination med den efficiente produktionsrand i hvert af de to år i yderpunkterne, her benævnt hhv. år 1 og år 2. Når en beslutningsenheds in- og output i år 1 sammenlignes med randen i år 1, fås den sædvanlige DEA-score for beslutningsenheden i år 1. Dernæst beregner man en anden DEA-score for beslutningsenheden ved at anvende enhedens input og outputs i år 2 og randen i år 1 som reference. Ved at dividere disse to tal fås et mål for produktivitetsudviklingen. Et sådant mål er et Laspeyre indeks, da det er baseret på primoåret. Man kan i stedet beregne en DEA-score for beslutningsenheden ved at anvende enhedens input og outputs i år 1 og randen i år 2 som reference. Ved at dividere den sædvanlige DEA-score i år 2 med dette tal, fås et andet mål for produktivitetsudviklingen. Et sådant mål vil være et Paasche indeks, da det er baseret på randen i ultimoåret. I appendiks A.2 er opstillet de lineære programmeringsproblemer, der skal løses for at beregne de forskellige DEA-scores. P s t Rent matematisk kan man skrive de to produktivitetsudviklingsmål som følger, hvor angiver en DEA-score beregnet for beslutningsenhedens input og outputs i år s målt 16 De problemer, der kan forekomme, er at der kan opstå infeasibility problemer, således at et eller flere af minimeringsproblemerne ikke har nogen løsning inden for de opstillede bibetingelser. 9

12 4.2 Beregnede Malmquist indeks 4 PRODUKTIVITETSUDVIKLING OVER TID i forhold til randen i år t: 17 (Laspeyre): M 1 = P 2 1 P 1 1 (Paasche): M 2 = P 2 2 P 1 2 (2) (3) De to indeks har hver for sig et problem. Laspeyre indeks har det problem, at det har tendens til at overvurdere ændringer, mens Paasche indeks har det problem, at det har tendens til at undervurdere ændringer. 18 Dette løses ved at beregne et Fisher indeks, som er et geometrisk gennemsnit af Laspeyre indekset og Paasche indekset. Dette gennemsnit er endnu et bud på et produktivitetsindeks (Malmquist indeks): M 12 = M 1 M 2 (4) Således svarer M 12 > 1 til en relativ produktivitetsvækst, mens M 12 < 1 svarer til et fald i den relative produktivitet. Derfor anvendes M 12 1 i figur 1 på side 11 som et mål for produktivitetsvæksten. Der kan være to kilder til produktivitetsvækst i den enkelte beslutningsenhed. Den ene er, at beslutningsenheden kan have haft glæde af en generel produktivitetsvækst i sektoren. Den anden er, at den enkelte beslutningsenhed kan have hævet sin performance relativt til andre beslutningsenheder også kaldet catching-up effekten. Rent matematisk kan Malmquist indekset også dekomponeres i disse to faktorer, som vist nedenfor. M 12 = M 1 M 2 = P 2 1 P 1 1 P 2 2 P Beregnede Malmquist indeks = P 2 2 P 1 1 }{{} Catching-up effekt P 2 1 P 2 2 P 1 1 P 1 2 } {{ } Teknologi effekt Nu foretages en beregning af Malmquist scores for perioden under en antagelse om konstant skalaafkast. De beregnede Malmquist indeks er vist i figur 1. Det ses, at der er en vis forskel på produktivitetsudviklingen mellem de enkelte kommuner. Væksten i de beregnede Malmquist indeks spænder fra -28 pct. til 14 pct. på de blot fire år, analysen strækker sig over; svarende til produktivitetsvækster per år i yderpunkterne på -7,9 pct. 17 For ikke at forvirre unødigt er de to perioder i ligningerne (2) og (3) blot sat til 1 og 2, således at periode 1 er primoåret og periode 2 er ultimoåret. 18 Jf. eksempelvis Pindyck & Rubinfeld (2005), s (5) 10

13 4.2 Beregnede Malmquist indeks 4 PRODUKTIVITETSUDVIKLING OVER TID Figur 1: Malmquist indeks for perioden beregnet under CRS-antagelse og 3,4 pct. Gennemsnitligt er produktiviteten i sektoren faldet med -5,1 pct. på de fire år, svarende til -1,4 pct. p.a. Spredningen på de beregnede Malmquist indeks er 11 pct. Den gennemsnitlige catching-up effekt er på 0,9 pct. svarende til 0,2 pct. årligt og med en spredning på 8,9 pct. Således er der i gennemsnit blevet en anelse kortere afstand mellem de gode og dårlige kommuner, da gennemsnitskommunen således har en positiv catchingup effekt, og således har klaret sig relativt bedre end sine peers. Den gennemsnitlige teknologi-effekt er på -6,0 pct. svarende til -1,6 pct. årligt og med en spredning på 5,8 pct. På baggrund af dette, og med udgangspunkt i figur 1, må det konkluderes, at den store spredning der er i de beregnede Malmquist indeks over de fire år, i høj grad hidrører fra en stor spredning i catching-up effekterne, og i mindre grad fra spredningen i teknologieffekterne. Generelt må det altså konkluderes, at den generelle produktivitet i sektoren er faldet ganske drastisk i løbet af de fire år. Teknologieffekten har gjort kommunerne gennemsnitligt 6 pct. mindre effektive i 2004 sammenlignet med De kommuner, der ikke var efficiente i 2000, har haft en (dog lille) positiv catching-up effekt på 0,9 pct., så den samlede produktivitet i sektoren gennemsnitligt er faldet med 5,1 pct. 13 kommuner opnår en efficiensscore på 1 i såvel 2000 som i Disse kommuner er således (relativt) efficiente i begge perioder, og kan derfor karakteriseres som stabile bud på best-practice kommuner, som andre kommuner kan drage nytte af at anvende som benchmarks og bud på, hvordan de kan gøre sig mere efficiente. 11

14 5 KONKLUSION 5 Konklusion Således er en basal inputorienteret DEA model blevet anvendt til at undersøge relativ efficiens i hovedstadskommunernes børnepasning. Hvis der blev antaget CRS, fandtes et ikke ubetydeligt besparelsespotentiale på ca. 10 pct. af de samlede pasningsudgifter, svarende til 559 mio. kr. Det blev endvidere undersøgt, hvorvidt der var forskel på efficienserne i de tre undersøgte amter, Københavns, Frederiksborg og Roskilde amter. Roskilde amts kommuner havde i gennemsnit de højeste efficienser, mens Københavns Amts kommuner havde de laveste efficienser i gennemsnit. Dog kunne det ikke vises, at forskellen i de tre amters gennemsnitlige efficienser var statistisk signifikant. Da antagelsen om CRS erstattedes af en antagelse om VRS blev det samlede besparelsespotentiale fundet til ca. 4 pct. af de samlede pasningsudgifter, svarende til 218 mio. kr. Under sammenligning af CRS og VRS analyserne fandtes det, at der var tydelige tegn på, at VRS antagelsen var den rigtige, men ikke alle tests kunne bekræfte dette. Der var altså tegn på aftagende skalaafkast, hvilket set i lyset af den kommende kommunalreform er en interessant konklusion. Inden for et isoleret område, nemlig børnepasningsområdet, tegner kommunesammenlægninger altså til at være en dårlig forretning. Endelig opstilledes Malmquist indekset for produktivitetsudvikling over tid. Her blev det afdækket, at der i perioden 2000 til 2004 er sket en ganske markant produktivitetsforringelse i sektoren i gennemsnit. Således er den gennemsnitlige produktivitetsvækst for kommunerne -5,1 pct., hvoraf -6,0 pct. kan tilskrives teknologieffekten, mens den gennemsnitlige catching-up effekt er 0,9 pct., svarende til at de kommuner, der ikke var efficiente i 2000 i gennemsnit er blevet relativt mere efficiente. Resultaterne dækker over forholdsvis store forskelle i produktivitetsudviklingen for de enkelte kommuner over den betragtede periode fra 2000 til Hvorvidt der kan realiseres besparelser i praksis, er naturligvis et åbent spørgsmål, som denne analyse ikke kan give noget svar på. Konklusionen er blot, at der potentielt er et væsentligt besparelsespotentiale i sektoren. For 2004 er dette estimeret til et trecifret millionbeløb. En generel produktivitetsforringelse i sektoren i perioden gør også, at der lader til at være en række uhensigtsmæssigheder i den nuværende tilrettelæggelse af børnepasningen i de betragtede kommuner, der berettiger et fra politisk hold øget fokus, på kommunernes forvaltning af de betroede midler i børnepasningen. 12

15 6 LITTERATUR 6 Litteratur 1. Andersen, E. m.fl. (1998): Teoretisk Statistik for økonomer, 3. udgave, Akademisk Forlag 2. Chandra, M. m.fl. (1981): Kolmogorov Statistics for Tests of Fit for the Extreme- Value and Weibull Distributions, Journal of the American Statistical Association, 76, pp Finansministeriet (2000): Benchmarking i den offentlige sektor - nogle metoder og erfa-ringer, Finansministeriet 4. Fukushige, M. & Miyara, I.: Statistical hypothesis testing for returns to scale using data envelopment analysis, Graduate school of economics, Osaka University, Japan 5. Pindyck R. S. & Rubinfeld, D. L. (2005): Microeconomics, 6 th ed., Pearson Education 6. Ray, S. C. (2004): Data Envelopment Analysis, Theory and Techniques for Economics and Operations Research., Cambridge University Press 7. Stephens, M.A. (1974): EDF Statistics for Goodness of Fit and Some Comparisons, Journal of the American Statistical Association, 69, pp Winston, W. (1994): Operations Research - applications and algorithms, 3 rd ed., Duxbury Press Andre kilder Emrouznejad, A.: Deazone ( Indenrigs- og sundhedsministeriets Kommunale nøgletal ( Danmarks Statistiks Statistikbanken ( 13

16 A APPENDIKS A Appendiks A.1 Kort beskrivelse af DEA-metoden I dette afsnit opstilles de matematiske udtryk for de lineære programmeringsproblemer, der skal løses for at beregne efficiensscores. 19 Først opstilles formuleringen af det lineære programmeringsproblem, hvor der spørges hvorvidt beslutningsenheden (ψ) anvender den minimale mængde inputs (x) til at producere et givet output (y), svarende til punkt (ii) på side 2: s.t. min θ ψ N λ j x ij θ ψ x iψ i (1,..., I) N λ j y kj y kψ k (1,..., K) λ j 0 j (1,..., N) (6) Den første bibetingelse sikrer, at linearkombinationen af de andre beslutningsenheder anvender en svagt mindre mængde af alle inputs end den tænkte enhed, der er den undersøgte beslutningsenhed skaleret ned med dens tekniske efficiens, θ ψ. Den anden bibetingelse sikrer, at linearkombinationen af de andre beslutningsenheder producerer en svagt større mængde af alle outputs end den undersøgte beslutningsenhed. Således ønsker man altså at bestemme den minimale faktor θ ψ, hvorom det gælder, at en linearkombination af andre beslutningsenheder anvender en inputvektor λx, der er svagt mindre end θ ψ x. Samtidig producerer linearkombinationen af andre beslutningsenheder en outputvektor λy, der er mindst lige så stor i alle koordinater som beslutningsenhedens egen outputvektor y ψ. Derfor kan vi fortolke 1 θ ψ, som den andel af beslutningsenhedens inputvektor, der kunne spares, og hvor man alligevel stadig ville kunne producere en outputvektor, der er mindst lige så stor. (6) er opskrevet under forudsætning af konstant skalaafkast (CRS). Man kan omskrive 19 Jf. eksempelvis Ray (2004), s

17 A.2 Matematisk beskrivelse af Malmquist indeks A APPENDIKS problemet til at tillade variabelt skalaafkast (VRS) ved at tilføje bibetingelsen: N λ j = 1 (7) Ved tilføjelsen af en ekstra bibetingelse i minimeringsproblemet må objektværdien naturligvis blive svagt større, hvilket altså vil sige, at hvis der tillades VRS, så vil beslutningsenhederne altid opnå mindst lige så høj relativ efficiens θ ψ, som hvis man havde antaget CRS. Ethvert lineært programmeringsproblem har et dualt problem, der giver samme løsning som det primale problem. 20 Denne observation kan anvendes til at opskrive et alternativ til (6). Hvor (6) svarede til punkt (ii) på side 2, svarer (8) nedenfor til punkt (i) på side 2: max δ ψ N s.t. µ j x ij x iψ i (1,..., I) N µ j y kj δ ψ y kψ k (1,..., K) (8) µ j 0 j (1,..., N) Således ønsker vi altså at bestemme den maksimale faktor δ ψ, hvorom det gælder, at en linearkombination af andre beslutningsenheder producerer en outputvektor µx, der er mindst lige så stor som beslutningsenhedens egen, skaleret op med δ ψ. Samtidig anvender linearkombinationen en inputvektor µx, der er svagt mindre end beslutningsenhedens egen (x ψ ). Derfor kan vi fortolke δ ψ 1, som den andel af beslutningsenhedens outputvektor, der kunne produceres ekstra, og hvor man alligevel stadig kun ville anvende en inputvektor, der er svagt mindre. Dualitet giver, at θψ = δψ A.2 Matematisk beskrivelse af Malmquist indeks Her vises det hvordan man opskriver de lineære programmeringsproblemer, der skal anvendes til at beregne de DEA-scores, hvorfra man kan man beregne Malmquist indekset. 22 For at beregne DEA scores, hvor den analyserede enheds (ψ) produktion i år t sammenlignes 20 Jf. Winston (1994), s Jf. Ray (2004), s Jf. eksempelvis Ray (2004), s

18 A.2 Matematisk beskrivelse af Malmquist indeks A APPENDIKS med randen i år t beregnes blot vanlige DEA-scores ud fra: s.t. min θ ψ N λ j x t ij θ ψ x t iψ i (1,..., I) N λ j ykj t ykψ t k (1,..., K) λ j 0 j (1,..., N) (9) Løsningen til dette minimeringsproblem for beslutningsenhed ψ benævnes P t (x t ψ, yt ψ ). U- den at specificere hvilken beslutningsenhed der betragtes benævnes disse DEA-scores ved P t t, hvilket vil sige at beslutningsenhedens in- og outputs i periode t sammenlignes med randen i samme periode, altså t. For at beregne kryds-periode DEA-scores, dvs. P s t, t s, der angiver DEA-scoren hvor beslutningsenhedens in- og outputs i periode s sammenlignes med randen i periode t, løses følgende lineære programmeringsproblemer: s.t. min θ ψ N λ j x t ij θ ψ x s iψ i (1,..., I) N λ j ykj t ykψ s k (1,..., K) λ j 0 j (1,..., N) (10) Løsningen til dette minimeringsproblem for beslutningsenhed ψ benævnes altså P t (x s ψ, ys ψ ). Uden at specificere hvilken beslutningsenhed der betragtes, benævnes disse DEA-scores som nævnt ved P s t, hvilket altså vil sige at beslutningsenhedens in- og outputs i periode s sammenlignes med randen i periode t. Nøjagtigt som det var tilfældet med den statiske DEA-analyse, kan minimeringsproblemerne (9) og (10) også omskrives til at tillade VRS. Dette gøres som før ved at tilføje bibetingelsen (7). Da minimeringsproblemet (9) præcis svarer til (6) opstår der ikke beregningsmæssige problemer i løsningen af (9) uanset om bibetingelsen (7) tilføjes. Det ses ved, at (9) altid vil have en løsning. Under alle omstændigheder må den enkelte beslutningsenhed kunne få beregnet en score (på maksimalt 1); den kan jo bare anvende en 16

19 A.3 Diverse teststørrelser A APPENDIKS linearkombination alene bestående af sig selv. Det er imidlertid ikke tilfældet i løsningen af (10). Her kan man ikke være sikker på at en løsning eksisterer, idet der ikke er nogen garanti for at der findes et θ ψ, hvorom det gælder, at det opfylder alle bibetingelserne i (10) samt (7). Her kan den enkelte beslutningsenhed ikke være sikker på at en linearkombination med vægten 1 på sin egen produktion kan give en løsning for θ ψ, idet man sammenligner produktion i forskellige perioder. A.3 Diverse teststørrelser A.3.1 Test for ens middelværdier (ensidet variansanalyse) Teststørrelsen for ens middelværdier i forskellige grupper af observationer er: 23 V = 1 k n k (n j 1) 1 k k 1 n j(x j X) 2 ( 1 n j 1 nj i=1 (X ij X j ) 2 ) F (k 1, n k), (11) hvor j {1,..., k} angiver gruppens nummer, i {1,..., n j } er observationer i gruppe j, og hvor der i alt er n = k n j observationer. Teststørrelsen V kræver homoskedasticitet og normalitet i observationerne. Disse antagelser bør testes. Homoskedasticitet kan testes ved eksempelvis Bartlett s test: 24 ( ( n 1 k j )) 1 B = (n k) log (n j 1) (X ij X j ) 2 n k n j 1 i=1 ( n k j ) 1 (n j 1) log (X ij X j ) 2 χ 2 (k 1). n j 1 i=1 (12) Normalfordelingsantagelsen kan testes ved eksempelvis Anderson-Darling teststørrelsen, der er blot én blandt mange teststørrelser baseret på den empiriske fordelingsfunktion U (i) = F (X(i)): 25 n j [ (2i 1)(log(U(i) ) + log(1 U (nj +1 i))) ] (13) A 2 = n j 1 n j i=1 23 Andersen m.fl. (1998), s Andersen m.fl. (1998), s Denne, og en række andre teststørrelser for normalfordelingsantagelsen findes beskrevet i On-line dokumentation til The SAS System R, der findes på 17

20 A.3 Diverse teststørrelser A APPENDIKS A.3.2 Ikke-parametrisk test for ens middelværdier Et bud på et ikke-parametrisk test for ens middelværdier på tværs af grupper er Kruskall- Wallis teststørrelse, der således er en ikke-parametrisk analog til den ensidede variansanalyse: 26 W = 12 n(n + 1) k ( n j R j n + 1 ) 2 χ 2 (k 1) (14) 2 26 Andersen m.fl. (1998), s

21 B BILAG B Bilag Figur 2: Relative efficienser i 2004 under antagelse af CRS Figur 3: Relative efficienser i 2004 under antagelse af CRS, fordelt på amter 19

22 B BILAG Figur 4: Relative efficienser under antagelse af CRS afbildet mod samlede pasningsudgifter (2004) Figur 5: Relative efficienser for kommunerne i 2004 under hhv. CRS- og VRS-antagelse 20