MODPARTSRISIKO FOR CREDIT DEFAULT SWAPS

Transkript

1 MODPARTSRISIKO FOR CREDIT DEFAULT SWAPS Prisfastsættelse af bilateral modpartsrisiko i en model med sikkerhedsstillelse og korrelerede fallitbegivenheder COUNTERPARTY RISK FOR CREDIT DEFAULT SWAPS PRICING BILATERAL COUNTERPARTY RISK IN A MODEL WITH COLLATERALIZATION AND CORRELATED DEFAULTS Kandidat afhandling Copenhagen Business School 2015 cand.merc.(mat) Kresten Borre Crammond Vejleder: Mads Stenbo Nielsen, Institut for Finansiering Antal tegn (sider): (79) Afleveringsdato: 2. juni 2015

2 Abstract In the aftermath of the credit crisis , credit derivatives and counterparty risk have been pointed out as being major drivers of the crisis. Before the crisis many monoline insurance companies and large investment banks, had been considered as being risk-free institutions. When the crisis hit, many of these institutions turned out to be not-so-risk-free, and decreasing credit quality along with rating downgrades, led to huge CVA losses for their counterparties. In this master thesis, I present a model for calculating bilateral counterparty risk for credit default swaps under collateralization and correlated default events. The thesis consists of two main parts. In part I, I set up an intensity based model for the valuation of credit default swaps, and calibrate this model to observed market spreads. In part II, I set up a formula for pricing bilateral counterparty risk for a credit default swap under collateralization. Using the CDS model from part I, I present a numerical method for calculating the counterparty risk under correlated default events through simulations. The numerical calculations turn out to be very cumbersome, and to ensure stable pricing of counterparty risk one need a lot of computational power This is one of the main drawbacks of the model. However, through a number of simplifications, one is able to analyze the effects of collateralization and correlation. Using a specific example, I show how both CVA and DVA is heavily affected by correlation. It is also found that collateral has a risk reducing effect for low correlations, but when correlation increases, this effect vanishes. Therefore, under high correlations one is not only faced with high counterparty risk, but is also lacking the possibility of reducing this risk through a collateral agreement.

3 Indhold 1 Indledning Problemformulering Afgrænsning Metode Indledende notation og tekniske definitioner I Credit default swaps 9 2 Kredit derivater og credit default swaps Markedet for kreditderivater Credit default swaps Afregning ved fallit, recoveryrate og loss given default Kreditbegivenheder Standardisering af præmiebetaling og udløb Modpartsrisiko Credit default swap model Værdi af køberens og sælgerens ben Fallitmodel Hazardrate Coxproces og intensitetsmodel for fallit Tekniske resultater Værdi af CDS kontrakt CIR processen Kalibrering af CDS model CDS data Analyseperioder Diskonteringskurve Beregning af modelpræmie Kalibrering Stabilitet i kalibreringen Resultater

4 4.8 Afrundning af Del I II Modparts risiko 36 5 Introduktion til modpartsrisiko 37 6 Bilateral modpartsrisiko med kollateralstillelse Indledende definitioner og setup Generelt udtryk for BCCVA BCCVA for credit default swaps Beregning af on-default og pre-default sandsynligheder Numerisk beregning af BCCVA Fallitmodel Simulering af første fallittidspunkt Simultan overlevelsessandsynlighed Fourier transformationer og karakteriske funktioner Generel teori Fordelingsfunktion for den integrerede CIR proces Predefault sandsynlighed Ondefault sandsynlighed Beregning af fordelingsfunktion for referenceenheden Værdi af kollateral samt CDS på fallittidspunktet Opsummering Resultater 73 9 Konklusion 78 Litteratur 79 Tabeller 82 Figurer 83 III Appendiks 84 A Kalibrering af CDS model til periode 1 samt 3 85 A.1 Parametre A.2 Periode A.3 Fallitsandsynligheder B Eksempel på simuleret datasæt for fallittidspunkter 90 3

5 C Kode og programmer 91 C.1 Kode brugt i del I til CDS model C.1.1 Funktion der bestemmer præmie for CDS C.1.2 Funktioner til kalibrering af CDS model C.2 Kode brugt i del II til modpartsrisiko C.2.1 Simulering af første fallittidspunkt C.2.2 Beregning af predefault sandsynligheder C.2.3 Beregning af ondefault sandsynligheder C.2.4 Cubic spline til beregning af fordelingsfunktion C.2.5 Værdi af CDS på et givent tidspunkt

6 Kapitel 1 Indledning Siden kreditderivater blev introduceret i midten af 90 erne, har de undergået en rivende udvikling. Blandt de populæreste af kreditderivater, er en credit default swap (CDS), der kan ses som en forsikring mod, at en given virksomhed går fallit. Med et sådan produkt kan investorer og banker afdække risikoen for et fremtidigt tab, som følge af en modpart eller låntager går fallit. I efterdønningerne af den finansielle krise i 2007 og 2008, er credit default swaps og manglende fokus på modpartsrisikoen på credit default swaps, dog af mange blevet udpeget til at have stor skyld i krisens løbende udvikling. Inden krisen blev mange større finansielle institutioner, forsikringsselskaber og investeringsbanker betragtet som værende risikofri. Disse var så store og sikre, at modpartsrisikoen mod dem generelt blev set som ikke-eksisterende. Der var derfor mange banker og virksomheder der fik opbygget store eksponeringer mod disse, blandt andet i form af CDS kontrakter. Dette foregik oftest med en accept af at der ikke blev stillet kollateral, så længe deres flotte ratings og sikre status blev bibeholdt 1. Mange af de store risikofri financielle institutioner, fik på den måde opbygget store korte positioner i credit default swaps. Da krisen fik fat, og andelen af konkursramte virksomheder steg, blev betalingen i disse credit default swaps aktiveret, og forsikringsselskaberne led store tab. De store tab førte med tiden til en række nedgraderinger af forsikringsselskabernes ratings. Dette gav store tab for deres kunder der måtte nedjustere værdien af deres købte forsikringer i form af store CVA justeringer. 2 Krisen tog for alvor fat i 2008, hvor flere store banker og forsikringsselskaber kom i store problemer. Dette kom endegyldigt til udtryk da Lehman Brothers, den 4. største investeringsbank i USA, gik konkurs 15. september Udover at konkursen direkte ramte deres kreditorer, gav det også et voldsomt chok til forsikringsselskaberne. Det blev estimeret, at der var udeståender for omkring 400 milliarder dollars i form af credit default swaps, skrevet på Lehman Brothers. Et af de forsikringsselskaber, der for alvor kom i problemer, var American International Group, der i 2006 var rangeret som verdens 4. største selskab af Forbes 3. De led igennem 2008 så store tab, at deres rating begyndte at blive nedgraderet. Dette bragte dem akut i likviditetsproblemer, da nedgraderingerne medførte krav til kollateralstillelse, de ikke kunne leve op til. Den amerikanske regering fandt det nødvendigt at udstede lånepakker til AIG for over 100 milliarder dollars, og hjalp dem herved igennem krisen. 4 Det blev vurderet, at der var så mange banker og virksomheder med massive eksponeringer mod AIG, at de var too big to fail. Konsekvenserne af en eventuel konkurs var for vidtrækkende til, at man ville lade det ske. 1 Gregory (2012):4-5 2 Gregory (2012): Gregory (2012):4-5,

7 Ovenstående er kun et kort udpluk af begivenheder under krisen, men set i lyset af disse, står det dog klart, hvor vigtig en faktor modpartsrisiko er. I BIS (2011) estimeres det at omkring to tredjedele af alle tab under krisen der kan tilskrives modpartsrisiko skyldes CVA justeringer, hvor kun en tredjedel skyldes faktiske fallitbegivenheder. Dette belyser om noget, nødvendigheden af at have fokus på modpartsrisiko, og være i stand til løbende at beregne værdien af denne. Med udgangspunkt i Brigo, Capponi, and Pallavicini (2014) ønsker jeg i denne afhandling, at opstille en model til at beregne bilateral modpartsrisiko på credit default swaps. Med bilateral modpartsrisiko menes at der simultant tages højde for at både køber og sælger af CDS kontrakten kan gå fallit. I modellen indgår mulighed for en aftale om kollateralstillelse, og fallitsandsynlighederne mellem køber, sælger samt referenceenhed kan korreleres. Det primære fokus i afhandlingen vil ligge på den tekniske opstilling og udledning af modellen, samt redegørelse for hvorledes denne kan implementeres numerisk. 1.1 Problemformulering Det primære formål med denne afhanding, er at undersøge hvorledes det er muligt at opstille en metode til prisfastsættelse af bilateral modpartsrisiko for en credit default swap, i en model hvor der indgår kollateralstillelse og fallitsandsynlighederne for de tre parter i kontrakten kan være korreleret. For at afdække denne problemstilling, vil det være nødvendigt at undersøge og belyse en række underspørgsmål. Dette har dannet grundlag for at opdele afhandlingen i to hoveddele. Første del beskæftiger sig med credit default swaps og modellering af disse, mens anden del omhandler modpartsrisiko for credit default swaps. I del I af afhandlingen vil jeg belyse nedenstående underspørgsmål: Hvad er en credit default swap, og hvilke karakteristika kendetegner denne? Hvordan kan en intensitetsmodel til at beskrive fallitsandsynligheden for en given virksomhed opstilles? Hvordan benyttes denne fallitmodel til at beskrive prisen for en credit default swap? Hvordan kalibreres modellen til markedsdata, og hvor godt fanger den markedets tendenser? I del II af afhandlingen er det fundet nødvendigt at belyse følgende underspørgsmål: Hvad kendetegner modpartsrisiko og wrong way risk? Hvordan kan et udtryk for bilateral modpartsrisiko for credit default swaps opstilles når der indgår kollateralstillelse? Hvordan kan fallitmodellen fra del I benyttes til at prisfastsætte den bilaterale modpartsrisiko når fallitsandsynlighederne er korreleret? 6

8 Hvordan kan en numerisk metode opstilles til at beregne udtrykket for bilateral modpartsrisiko, og hvilke udfordringer vil man møde i implementeringen af denne? Hvad er effekten af kollateralstillelse og korrelerede fallitsandsynligheder for modpartsrisiko? 1.2 Afgrænsning For at holde fokus på afhandlingens primære mål, har det været nødvendigt at indføre en række afgrænsninger. Igennem hele afhandlingen arbejdes på det risikoneutrale sandsynligheds mål Q. Det antages at den arbitrage fri pris for et produkt, er givet som den Q forventede tilbagediskonteret værdi af produktets cashflows. Dette er en generelt tilgang til prisning af produkter indenfor matematisk finansiering, og teorien bag denne antages kendt, og vil ikke blive gennemgået. Der vil ligeledes heller ikke blive fokuseret på den virkelige verdens sandsynlighedsmål P, eller skiftet mellem P og Q målet. Der antages i afhandlingen en deterministisk rentestruktur, med risikofri diskonteringsfaktorer bestemt udfra en swapkurve. Rentestrukturen vil således være ukorreleret med beregnede fallitsandsynligheder. Recoveryraten antages at være konstant 40% i det generelle tilfælde, og på 60% for stillet kollateral. Prisning af modpartsrisiko, er i literaturen et forholdsvis bredt felt med mange forskellige tilgange. Jeg vil dog i afhandlingen holde fokus på opstiling og implementering af en enkeltstående model, og der vil således ikke blive lagt vægt på andre tilgange til modpartsrisiko, eller fordele og ulemper ved disse. Credit default swaps er med tiden blevet mere og mere standardiseret. Som følge af dette handler mange credit default swaps til en fast præmie på enten 100 eller 500 basispoint, afhængigt af kreditværdigheden af referenceenheden. For at sikre at kontrakten har en værdi på 0 på indgåelsestidspunktet foretages der en upfront betaling på disse. Jeg vil i afhandlingen ikke tage højde for denne standardisering, men antage en fair præmie, der sikrer at kontrakten har en værdi på 0 på indgåelsestidspunktet. 1.3 Metode Metoden der benyttes i afhandlingen bygger generelt på en positivistik tilgang. Positivisten forsøger gennem indsamling af empiri og kvantitativt data, at finde sammehænge og konstruere teorier på bagrund af dette. Jeg tager i afhandlingen primært afsæt i beskrevet teori inden for to felter. I første del opsættes en model til at beskrive fallittidspunktet for en virksomhed, samt værdien af en CDS skrevet på denne virksomhed. Dette gøres i en intensitetsmodel som beskrevet i fx Lando (2004) og Brigo and Alfonsi (2003). For at teste hvor godt modellen beskriver virkeligheden, indsamles observerede CDS præmier for fire forskellige virksomheder, samt en swapkurve til diskontering. Data til dette er hentet fra Bloom- 7

9 berg, der anses for værende en troværdig og profesionel leverandør af finansiel data, bredt benyttet i industrien. I anden del af afhandlingen beskrives modpartsrisiko for credit default swaps, med udgangspunkt i Brigo et al. (2014). Der opstilles en numerisk metode til at beregne denne modpartsrisiko gennem simuleringer, ved brug af fallitmodellen opstillet i del I. Der er to primære ulemper ved beregning gennem simuleringer og numeriske metoder. Dels kan numerisk ustabilitet påvirke resultaterne, og dels kræves oftest et meget højt antal simuleringer for at mindske variansen på resultaterne. Jeg vil i løbet af opgaven løbende forholde mig kritisk til hvor stor effekt disse to problemstillinger har på de beregnede resultater. Til at kalibrere CDS modellen samt beregne modpartsrisiko, har jeg skrevet en række funktioner i programmet R. For udvalgte af disse, kan koden jeg har skrevet, findes i bilag C.1 og C.2. Jeg vil igennem afhandlingen løbende referere til disse bilag, når funktionerne benyttes. Alt kode der er skrevet, samt data der downloadet fra Bloomberg kan findes på den vedlagte CD-rom. 1.4 Indledende notation og tekniske definitioner Når jeg i afhandlingen bestemmer værdien for en CDS kontrakt samt modpartsrisikoen på denne, kommer jeg til at arbejde med 3 forskellige parter. De to parter der handler selve CDS kontrakten vil benævnes som henholdsvis investor (I) samt modpart (M). Parten der har udstedt den obligation som CDS kontrakten er skrevet på benævnes som referenceenhed (R). Igennem afhandlingen vil jeg løbende benytte τ i til at angive fallittidspunktet for en given enhed, således at τ I, τ M samt τ R refererer til fallittidspunktet for henholdsvis investor, modpart og referenceenhed. Igennem hele afhandlingen arbejder jeg på det risikoneutrale sandsynlighedsrum (Ω, G, Q) med en filtrering (G t ) t [0,T ] således at τ I, τ M, τ R er G stoppe tider. Dette rum består af en højrekontinuert komplet filtrering F t der repræsenterer samtlige observerbare markedsinformationer undtagen eventuelle fallitbegivenheder. Vi lader H t = Ht I Ht M Ht R være den højrekontinuerte filtrering genereret af fallitbegivenheder, med Ht i = σ({τ i u} : u t), og har således G t := F t H t. Jeg lader igennem hele afhandlingen E[ ] betegne forventningen under Q, E t [ ] = E Q [ G t ] betegne den betingede forventning under Q givet filtreringen G t, samt E τi betegne den betingede forventning under Q givet den stoppede filtrering G τi 8

10 Del I Credit default swaps 9

11 Kapitel 2 Kredit derivater og credit default swaps 2.1 Markedet for kreditderivater Et kreditderivat er en bilateral kontrakt, hvis værdi afhænger af kreditværdigheden af en eller flere underliggende enheder. I midten af 90 erne introducerede JP Morgan markedets første kreditderivat, der havde til formål at kunne videresælge kreditrisiko. Interessen for at kunne købe og sælge kreditrisiko viste sig efterfølgende at være enorm, og markedsstørrelsen er siden steget voldsomt. I starten af 00 erne steg markedet for kreditderivater voldsomt, og trods markedets unge alder, overgik det hurtigt markedet for equity derivater. På sit højeste var der udestående for mere end milliarder dollars. Markedet var mere end seks gange større end for equity derivater 1. Da krisen tog til, faldt markedet igen, men havde ultimo 2013 stadig en størrelse på milliarder dollars, hvilket på tidspunktet var ca tre gange større end markedet for equity derivater 2. I takt med væksten på markedet for kreditderivater er der kommet en bred vifte af forskellige produkter. Baseret på markedsandele var det op til år 2006 single name credit default swaps, der var det populæreste produkt, men der har efterfølgende været tendens til, at populariteten bevæger sig mod indeksbaserede kreditderivater 3. Med disse kan man med enkelt produkt købe og sælge krediteksponering mod en bred vifte af virksomheder. 2.2 Credit default swaps En single name credit default swap (fremadrettet blot credit default swap eller CDS) er basalt set en forsikring mod, at udstederen af en obligation går fallit. Hvis man som investor har købt en obligation i en given virksomhed, og derved lånt virksomheden penge, kan man frygte, at virksomheden går fallit og derved ikke har mulighed for at betale obligationens ydelser. Denne risiko kan man afdække med en CDS skrevet på obligationen. Mod en løbende præmiebetaling modtager man da kompensation fra sælgeren af CDS en, såfremt den underliggende virksomhed (referenceenheden) ikke har mulighed for at opfylde sine betalingsforpligtelser. I kontrakten er der indarbejdet aftale om nedenstående tre typer af betalinger, som illusteret i figur 2.1: 1. Beskyttelseskøberen betaler en præmie hvert kvartal til beskyttelsessælgeren. Denne betaling foregår enten så længe CDS en løber, eller indtil reference enheden går fallit, hvad end der kommer først. 1 ISDA survey 2010: 2 BIS (2014) 3 O Kane (2008):6 10

12 2. Såfremt referencenheden går fallit betaler beskyttelsessælgeren kompensation til beskyttelseskøberen for det beløb, han har mistet på obligationen. 3. Såfremt referenceenheden går fallit mellem to af de faste betalinger nævnt i punkt 1, betales en sidste præmie af beskyttelseskøberen på fallittidspunktet for at dække tidsrummet mellem seneste præmiebetaling og fallittidspunktet. Figur 2.1: Betalingerne der forekommer i en CDS kontrakt Afregning ved fallit, recoveryrate og loss given default Recoveryraten er den andel af hovedstolen ejeren af en obligation modtager retur, såfremt udstederen går fallit. Det tab ejeren af en obligation har, hvis udstederen går fallit, kan derved beskrives som LGD R = 1 REC R ganget med hovedstolens værdi, hvor LGD R og REC R angiver henholdsvis loss given default og recoveryraten for referenceenheden. Recoveryraten er derved direkte afgørende for værdien af kompensationen beskyttelseskøberen i en CDS modtager af sælgeren, såfremt udstederen af referenceobligationen går fallit. CDS kontrakter kan handles med enten physical settlement eller cash settlement. Ved kontrakter med physical settlement antages det, at køberen af CDS kontrakten rent fysisk har den obligation kontrakten refererer til. Såfremt udstederen af denne går fallit, leverer han obligationen til sælgeren af CDS kontrakten, og modtager istedet par-værdien af denne. Ved cash settlement behøver beskyttelseskøben ikke at ligge inde med obligationen, men sælgeren af CDS en betaler forskellen på par-værdien af referenceobligationen og dens recovery værdi direkte til beskyttelseskøberen. Historisk set har CDS kontrakter primært været med fysisk afregning, men med deres voksende popularitet, er flere og flere begyndt at handle dem naked, altså uden at have referenceobligationen. Mange CDS kontrakter er derfor overgået til at blibe afregnet kontant. I begge tilfælde kan vi angive værdien af kompensationen som LGD R = 1 REC R pr 1 enhed nominel hovedstol. Forvetningen til hvor stor recoveryraten er ved et eventuelt fallittilfælde har en stor betydning for prisen på en CDS, da recoveryraten som nævnt direkte afgør størrelsen på kompensationen i tilfælde af fallit. Recoveryraten kan dog variere meget, og kan deraf være svær at estimere. Da Lehman Brothers gik konkurs i 2008 blev der opgjort en recoveryrate på 9.3%, mens en række islandske banker, der også 11

13 gik konkurs i 2008, lå med recovery mellem 3% og 4% 4. Recoveryraten ligger generelt ikke så lavt og i resultater fra Altman and Kishore (1996) 5 findes en gennemsnitlig recoveryrate på 41% på tværs af forskellige industrier og prioriteter af gælden. Når vi senere i afhandlingen skal opsætte en CDS model og kalibrere denne til markedsdata, antages recoveryraten at være konstant på 40%. Dette er dels ud fra analyserne i Altman and Kishore (1996), samt i tråd med almindelige markedskonventioner Kreditbegivenheder Jeg har tidligere skrevet. at en CDS kan ses som en forsikring mod at udstederen af en obligation går fallit. Termen går fallit er dog ikke særlig præcis, og en mere korrekt term ville være beskyttelse mod at en kreditbegivenhed indtræffer. Udover at en virksomhed går konkurs, og ikke har mulighed for at betale sine forpligtigelser, er der flere typer af kreditbegivenheder, der kan lede til et tab for køberen af en obligation. Brancheforeningen ISDA (International Swaps and Derivatives Association) har i deres Master Agreement defineret en række kreditbegivenheder der netop udløser betalingen af sælgerens ben i en CDS. Udover konkurs indkluderer disse blandt andet forsømmelse af aftalte betalinger, samt restrukturering af gælden der leder til tab for obligationsholdere 7. Fremadrettet i afhandlingen vil en sådan kreditbegivenhed blive refereret til som fallit eller konkurs af referenceenheden. Figur 2.2: Fallitrater opdelt på forskellige ratings Antallet af virksomheder, der går fallit i et givent år, og sandsynligheden for at en bestemt virksomhed går fallit indenfor en årrække, kan variere meget. Rating bureauet Moodys har siden 1920 holdt statistik over, hvor mange fallithændelser der er sket hvert år for forskellige typer af virksomheder og forskellige ratings. Med udgangspunkt i dette data 8, har jeg på figur 2.2 vist andelen af virksomheder der gået fallit i perioden , opdelt på forskellige ratings. Som forventet fremgår det, at dårligere rating leder til en højere fallitrate. Det ses samtidig at fallit er en hændelse, der forekommer meget sjældent for de bedre ratede virksomheder. Der er i løbet af den 20-årige periode ikke forekommet fallit blandt virksomheder med AAA rating, men under krisen er få Aa samt A ratede virksomheder gået fallit. 4 Moody s (2009) 5 Gregory (2012):210 6 Se fx Markit (2008) eller Iwashita (2013) 7 Gregory (2012):213 8 Moody s (2011) 12

14 2.2.3 Standardisering af præmiebetaling og udløb I takt med CDS kontrakters voksende popularitet er kontrakterne med tiden blevet mere standardiseret. Mange af de CDS kontrakter der handles har derved alle udløb på en såkaldt IMM dag 9, der er fastsat til 20. marts, 20. juni, 20. september samt 20. december hvert år. Ligeledes falder de løbende præmiebetalinger også på disse dage. Handles en T årig kontrakt på en given dag, vil denne således have udløb på førstkommende IMM dag T år fremme i tiden. Præmien S, der aftales ved handlen, er en årlig præmie pr. 1 enhed hovedstol, og er angivet i basis point (1BP = 10 4 ). De løbende præmiebetalinger, der forekommer på IMM dagene mellem indgåelse og udløb, er en skalering af denne, hvor dagskonventionen ACT 360 benyttes. For at illustrere betalingerne der forekommer i en CDS, har jeg opstillet nedenstående eksempel: Skoda Auto indgår 23. april 2015 en 1 årig CDS kontrakt med Danske Bank som modpart. CDS kontrakten er skrevet på en obligation udstedt af DONG ENERGY, har en årlig præmie på S = 23BP og en hovedstol på 100 mio. DKK. Med et setup som beskrevet ovenstående, ved vi følgende om kontrakten: På indgåelsesdagen 23. april 2015 forekommer der ingen betalinger. Kontrakten har udløb 20. juni 2016, da dette er førstkommende IMM dag 1 år fremme i tiden. Så længe DONG ENERGY ikke er gået fallit, betaler Skoda Auto en forsikringspræmie til Danske Bank på alle IMM dage frem til udløb. Disse betalinger kan vi opskrive som: 20JUN AP R jun. 2015: MIO DKK 23BP = DKK 20SEP JUN sep. 2015: MIO DKK 23BP = DKK 20DEC SEP dec. 2015: MIO DKK 23BP = DKK 20. mar. 2016: 20MAR DEC MIO DKK 23BP = DKK 20. jun. 2016: 20JUN MAR MIO DKK 23BP = DKK Såfremt DONG ENERGY går fallit i kontraktens løbetid betaler Danske Bank et beløb på (1 0.4) 100 MIO DKK = 60 MIO DKK til Skoda Auto 10 Ved fallit af DONG ENERGY ophører den faste præmiebetaling, og Skoda Auto betaler her en restpræmie for perioden, der er gået siden sidste IMM dag. I næste kapitel vil jeg belyse, hvordan man kan opstille værdien af henholdsvis køberens og sælgerens ben, og benytte dette til at opgøre værdien af en CDS kontrakt. Ved at kalibrere denne til markedsdata, kan vi herved bestemme overlevelses- og fallitsandsynligheder for referenceenhederne Modpartsrisiko Kreditderivater, herunder credit default swaps, handles generelt som over the counter (OTC) produkter. Dette vil sige, at produktet ikke kan købes og sælges på en børs, men istedet er en bilateral aftale 9 Udtrykket IMM står for International Monetary Market og henviser oprindeligt til 3. onsdag i marts,juni,september og august hvor de fleste futures kontrakter og optioner har fast udløbsdato. Udtrykket bliver dog også brugt om udløbsdagene for CDS kontrakter til trods for dette ikke er præcis de samme dage 10 Her antaget recoveryrate på 40% 13

15 mellem to parter. For OTC handlede produkter er modpartsrisiko en utrolig vigtig risiko at være opmærksom på, hvilket i høj grad også er gældende for CDS kontrakter. Modpartsrisiko dækker over risikoen for, at modparten i en indgået kontrakt går fallit, og derved ikke har mulighed for at leve op til sine eventuelle fremtidige forpligtigelser. Såfremt modparten går fallit, mens kontrakten har en positiv værdi for en selv, risikerer man at miste (en andel af) denne værdi. I eksemplet fra sidste afsnit købte Skoda Auto en 1 årig CDS kontrakt af Danske Bank, skrevet på DONG ENERGY. I tilfælde af at DONG ENERGY går fallit i kontraktens løbetid, så vi i eksemplet, at Danske Bank skal levere 60 mio. kr. til Skoda Auto. Dette forudsætter dog at Danske Bank har mulighed for dette. Såfremt Danske Bank går fallit, og derved ikke har mulighed for at levere denne betaling, vil CDS kontrakten risikere at være værdiløs for Skoda. Sandsynligheden for at modparten i en handel rent faktisk kan levere de lovede betalinger, har altså stor betydning for, hvor stor værdi kontrakten reelt har. Jeg kommer i del II af afhandlingen til at tage et indgående kig på modpartsrisiko, og hvordan denne kan kvantificeres for en CDS kontrakt. Dette vil derfor ikke blive behandlet yderligere i denne del. Når vi i næste kapitel opsætter en model for værdien af en CDS, sker dette derfor uden at medregne modpartsrisiko. 14

16 Kapitel 3 Credit default swap model Jeg vil i dette kapitel opstille en model for, hvordan vi kan beskrive værdien af en CDS kontrakt på et givent tidspunkt t. I forrige kapitel kiggede vi på hvilke betalinger, der forekommer i kontrakten, og med udgangspunkt heri opstilles et udtryk for værdien af disse og herved selve CDS kontrakten. For at kunne beskrive værdien af betalingerne nærmere, er vi nødt til at have en model, der beskriver fallitsandsynligheder for referenceenheden. En sådan beskrives i afsnit 3.2, hvor der opstilles en intensitetsmodel for fallit. Afsnittene i dette kapitel er primært skrevet med udgangspunkt i notation og opsætning som i henholdsvis Brigo and Alfonsi (2003), Lando (2004) samt Duffie (2005). 3.1 Værdi af køberens og sælgerens ben Vi betragter en credit default swap der indgåes på tid t = 0 og har udløb på tidspunkt T. Køberen af denne betaler en præmie på en række faste tidspunkter givet i mængden T = {T 1, T 2,..., T n = T }. Vi lader S angive den faste årlige præmie samt α i = T i T i 1 angive tidsrummet mellem betalingerne målt i år. Størrelsen på præmiebetalingen, der forekommer på tid T i, kan vi da skrive som α i S. Såfremt referenceenheden går fallit, betales en restpræmie for at dække over tiden mellem sidste betaling og fallittidspunkt. Ved at lade β(t) angive det første betalingstidpunkt af T 1,..., T n efter tidspunkt t, kan denne sidste betaling skrives som (τ R T β(τr ) 1)S. Jeg lader D(t, s) betegne diskonteringsfaktoren mellem tidspunt t og s, og den Q forventede tilbagediskonterede værdi af betalingerne i køberens ben på tidspunkt t kan da opskrives som: π K t = 1 {τr >t}e t D(t, τ R )(τ R T β(τr ) 1)S1 {τr <T } + n i=β(t) D(t, T i )α i S1 {τr >T i } Kigger vi på sælgerens ben, vil vi kun have en betaling, såfremt den underliggende virksomhed går fallit inden udløb af kontrakten. Hvis dette sker betaler sælgeren (1 REC R ) til køberen på tidspunktet for fallit. Såfremt den underliggende virksomhed ikke går fallit inden udløb af kontrakten, indeholder sælger benet ingen cashflows. Den Q forventede tilbagediskonteret værdi af betalingen fra sælgerbenet på tidspunkt t, kan derved skrives som: πt S [ ] = 1 {τr >t}e t D(t, τr )(1 REC R )1 {τr T } Den samlede værdi af CDS kontrakten på tidspunkt t kan vi nu opskrive som værdien af de to ben. Vi udtrykker dette i nedenstående resultat: 15

17 En credit default swap med udløb på tid T, en fast årlig præmie på S samt præmiebetalinger i mængden T = {T 1, T 2,..., T n = T } vil på tid t have en værdi, set fra beskyttelseskøberens side, givet ved [ ] CDS(t, T, T, S) = 1 {τr >t}e t D(t, τr )(τ R T β(τr ) 1)S1 {τr <T } n 1 {τr >t}e t D(t, T i )α i S1 {τr >T i } i=β(t) [ ] + 1 {τr >t}e t D(t, τr )(1 REC R )1 {τr T } (3.1) Værdien i hver af disse led afhænger direkte af forventningen til, hvornår referenceenheden går fallit. For at kunne beregne denne skal vi have en model til at beskrive fallittidspunktet. I de kommende afsnit vil jeg derfor kigge på, hvordanen sådan kan opstilles. 3.2 Fallitmodel Hazardrate For en given virksomhed i, betragter vi fallittidspunktet τ i som værende en ikke negativ stokastisk variabel med en kontinuert tæthed f og fordeling F, således at vi kan opskrive: Q(τ i t) = F (t) = 1 S(t) = t 0 f(s)ds hvor S(t) er overlevelsesfunktionen, der angiver sandsynligheden for at den givne virksomhed overlever frem til tidspunkt t. Ud fra dette definerer vi hazardraten h som en deterministisk funktion, der kun afhænger af tiden som: h(t) = f(t) 1 F (t) = f(t) S(t) = d ln S(t) dt Fra denne kan vi udtrykke overlevelsesfunktionen S(t) som: t Da vi må have at S(0)=1, kan vi da opskrive 0 h(t) = d ln S(t) dt h(s)ds = d dt t 0 ln S(s)ds S(t) = e t 0 h(s)ds (3.2) For at få en mere intuitiv fortolkning af hazardraten, kigger vi på sandsynligheden for at virksomheden går fallit i tidsrummet [t, t + t], givet at virksomheden har overlevet op til tidspunkt t: 16

18 Q (τ i t + t τ i > t) = Q (τ i t + t τ i > t) F (t + t) F (t) S(t) S(t + t) = = Q (τ i > t) 1 F (t) S(t) Med definitionen af overlevelsesfunktionen i (3.2) kan vi skrive dette som: Q (τ i t + t τ i > t) = 1 ( Definerer vi g( t) = exp lim t 0 t+ t t ( exp exp ) t+ t 0 h(s)ds ( ) = 1 exp t 0 h(s)ds ) h(s)ds, kan vi da opskrive: ( t+ t 1 t Q (τ g(0) g( t) i t + t τ i > t) = lim = g (0) = h(t) t 0 t t ) h(s)ds Vi ser heraf, at hazardraten kan fotolkes som en instantan fallitsandsynlighed. Givet at virksomheden har overlevet frem til tid t, beskriver h(t) t approksimativt sandsynligheden for fallit inden t + t. Da hazardraten er deterministisk og afhænger kun af t, kan sandsynligheden Q (τ t + t τ > t) på tid 0 beregne for alle værdier af t. Dette er ikke en særlig virkelighedsnær modellering. Man kan nemt forestille sig en lang række eksonene faktorer, der påvirker fallitsandsynligheden for en given virksomhed, der ændrer sig med tiden. For at fange denne effekt kan man lade hazardraten afhænge af en række tilstandsvariable, således at beregningen af fallit- og overlevelsessandsynligheder afhænger af de informationer, der er tilgængelige på beregningstidspunktet. Netop her kommer intensitetsmodeller i spil, som jeg vil tage et kig på i de kommende afsnit. Som vi kommer til at se, vil fallit- og overlevelsessandsynligheden her afhænge af en intensitetsproces, der kan ses som en stokastisk hazardrate Coxproces og intensitetsmodel for fallit I intensitetsmodeller modelleres fallittidspunktet τ i for en given virksomhed i, som første gang en Cox proces springer. En Cox proces er en Poisson proces med stokastisk intensitet, og kendes derved også som en dobbelt stokastisk Poisson proces. Lader vi (N i t ) t 0 betegne Cox processen, har vi at N i t angiver antallet af spring, der er forekommet på tidspunkt t. Denne proces har intensiteten λ i (X t ), hvor X t er en vektor med tilstands-variable, såfremt λ i (X t ) er en ikke-negativ G t målelig proces, der opfylder at t 0 λ i(x s )ds <, samt at den kompenserede Cox proces M t, er en lokal martingal. Altså at processen: opfylder: M t = N i t t 0 λ i (X s )ds (3.3) E [M t M s G s ] = 0, t > s (3.4) Med dette setup kan vi definere fallittidspunktet for en given virksomhed i som: 17

19 { τ i = inf t : t 0 λ i (X s )ds E i } Hvor E i er en normeret eksponentialfordelt stokastisk variabel uafhængig af G t. (3.5) Fodtegnet i på både intensitetsprocessen λ i (X t ) samt den eksponentialfordelte variabel E i understreger at hver virksomhed der betragtes, har hver sin intensitetsproces og hver sin eksponentialfordelte variabel. I de kommende afsnit vil jeg, for at lette notationen, dog undlade dette i. Definitionen af fallit i (3.5) kan vi benytte til at beregne værdien af de enkelte led i CDS prisen i (3.1). Inden vi går dertil, er der dog lidt tekniske resultater, jeg vil gennemgå i nedenstående afsnit. Jeg vil her dels udregne den betingede sandsynlighed for at referenceenheden overlever frem til et givent tidspunkt T, givet information tilgængelig på tid t: Q(τ > T G t ), dels finde tætheden for τ, samt til sidst bevise martingalegenskaben angivet i (3.3) og (3.4) Tekniske resultater Jeg vil starte med et resultat fra Bielecki and Rutkowski (2004) 1. Tilpasset notationen, der benyttes i denne afhandling, har vi for en G t målelig variabel Y samt F t G t at: E [ ] Y 1 {τ>t} F t 1 {τ>t} E[Y G t ] = 1 {τ>t} E [ ] (3.6) 1 {τ>t} F t Fra de indledende tekniske definitioner husker vi, at filtreringen F t indeholder information om alle markedsvariable undtagen fallitbegivenheder. H t = Ht I Ht M Ht R, Ht i = σ({τ i u} : u t) indeholder information om, hvorvidt en fallitbegivenhed er indtruffet på tidspunkt t, og G t := F t H t. Ovenstående giver således mulighed for at skifte mellem forskellige filtreringer i beregning af middelværdier. Udover dette resultat kommer jeg i nedenstående også til at benytte Law of Iterated Expectations, hvorfra det vides, at E [E[X F s G t ] G t ] = E[X G t ], s > t Overlevelsessandsynlighed Sandsynligheden for at referenceenheden overlever op til et givent tidspunkt T, betinget med informationen tilgængelig på tidspunkt t, kan vi opskrive som Q(τ > T G t ) = 1 {τ>t} E [ ] 1 {τ>t } G t Ved at benytte resultatet i (3.6), hvor vi sætter Y = 1 {τ>t } kan vi opskrive dette som: Q(τ > T G t ) = 1 {τ>t} E [ 1 {τ>t } 1 {τ>t} F t ] E [ 1 {τ>t} F t ] [ ] E 1{τ>T } F t = 1 {τ>t} E [ ] (3.7) 1 {τ>t} F t 1 Lemma

20 Vi kigger nu på tælleren i denne, og med Law of Iterated Expectations kan vi skrive denne som: E [ E [ 1 {τ>t } F T ] Ft ] = E [Q (τ > T FT ) F t ] (3.8) Da vi i sandsynligheden Q (τ > T F T ) betinger på F T, kender vi hele stien for λ(s), 0 s T. Med definitionen af fallittidspunktet i (3.5), kan vi altså skrive Q (τ > T F T ) som sandsynligheden for, at størrelsen T 0 λ(s)ds er mindre end en normeret eksponentialfordelt variabel. Vi har da (3.8) som: [ ( T ) ] E [Q (τ > T F T ) F t ] = E exp λ(x s )ds F t 0 Forventningen er her betinget på filtreringen F t, og vi kender derved stien for λ(x s ) for 0 s t. Vi kan herved sætte denne del uden for forventningen, hvormed vi har et udtryk for tælleren i (3.7) som: [ ( T ) ] ( E exp λ(x s )ds F t = exp 0 t 0 ) [ ( T ) ] λ(x s )ds E exp λ(x s )ds F t t (3.9) Nævneren i (3.7) kan vi omskrive med tilsvarende beregninger, og har her: E [ ( ] 1 {τ>t} F t = E [exp t 0 ) ] ( λ(x s )ds F t = exp t 0 ) λ(x s )ds (3.10) Indsætter vi udtrykket for tælleren og nævneren i (3.9) samt (3.10) i (3.7) får vi: ( exp t Q(τ > T G t ) = 1 {τ>t} ) 0 λ(x s)ds exp [ ( E exp T t ( ) t 0 λ(x s)ds ) ] λ(x s )ds Ft og kan heraf opskrive nedenstående resultat: Sandsynligheden for at en virksomhed overlever op til tidspunkt T, betinget med information tilgængelig på tidspunkt t, er givet ved: [ ( T ) ] Q(τ > T G t ) = 1 {τ>t} E exp λ(x s )ds F t t (3.11) Vi ser netop her analogen mellem intensiteten og hazardraten som beskrevet i forrige afsnit. Tæthed for fallittidspunkt Når vi i næste afsnit skal specificere prisen for en CDS, skal vi bruge et udtryk for tætheden for begivenheden τ i < u, betinget på G t F s for t u s. Jeg vil fremadrettet betegne denne med dq (τ < u G t F s ). I filtreringen G t ligger information om, hvorvidt enhed i har overlevet op til tids- 19

21 punkt t, og i F t ligger information om stien for λ(x u ) for u s. Sandsynligheden for at overleve op til tid u, betinget med G t F s, kan vi med resultatet fra (3.11) skrive som: ( Q (τ > u G t F s ) = 1 {τ>t} exp u t ) λ(x z )dz Sandsynligheden for at gå fallit inden tid u, betinget med G t F s, må da tilsvarende være givet ved: ( Q (τ < u G t F s ) = 1 1 {τ>t} exp u t ) λ(x z )dz Tætheden for begivenheden τ < u får vi da finde ved at differentiere ovenstående udtryk og har: dq (τ < u G t F s ) = ( ( 1 1 u {τ>t} exp dq (τ < u G t F s ) = 1 {τ>t} u ( dq (τ < u G t F s ) = 1 {τ>t} λ(x u ) exp Hvorved vi altså kan opskrive nedenstående resultat: u t ( u t ) λ i (X z )dz u t )) λ i (X z )dz ) λ(x z )dz e u t λ i(x z)dz Tætheden for begivenheden τ < u for et hvert tidspunkt t u s, betinget på G t F s er givet ved ( dq (τ < u G t F s ) = 1 {τ>t} λ(x u ) exp u t ) λ(x z )dz (3.12) Martingal egenskaben Til sidst i dette afsnit vil jeg bevise, at den kompenserede Cox proces er en martingal. Vi skal altså her vise at processen: opfylder: M t = 1 {τ t} t 0 λ(x u )1 {τ>u} du E [M t M s G s ] = 0, t > s For overskuelighedens skyld, har jeg delt processen op i to dele, M A t = 1 {τ t} samt M B t = t 0 λ(x u)1 {τ>u} du, og skal altså da vise: E [ M A t M A s G s ] E [ M B t M B s G s ] = 0, t > s 20

22 I første del har vi: E [ M A t M A s G s ] = E [ 1{τ<t} 1 {τ<s} G s ] = Q (τ < t G s ) Q (τ < s G s ) = 1 Q (τ > t G s ) (1 Q (τ > s G s )) = Q (τ > s G s ) Q (τ > t G s ) Da vi betinger på G s, har vi information om, hvorvidt τ > s, og vi kan derfor skrive denne som en indikatorfunktion. Sandsynligheden for τ > t kan vi udtrykke med (3.11), og får da: E [ M A t [ ( Ms A ] G s = 1{τ>s} 1 {τ>s} E exp t s )] [ [ ( λ(x u )du = 1 {τ>s} 1 E exp t s )]] λ(x u )du Kigger vi på anden del af processen, M B t, har vi her: E [ M B t [ Ms B ] t G s = E λ(x u )1 {τ>u} du 0 s 0 ] [ t ] λ(x u )1 {τ>u} du G s = E λ(x u )1 {τ>u} du G s s Da vi i det indre af forventningen har 1 {τ>u} for s u t, og forventningen er betinget på G s, kan vi gange 1 {τ>s} udenpå forventningen, uden at dette ændrer værdien af udtrykket: E [ M B t [ Ms B ] t G s = 1{τ>s} E s ] λ(x u )1 {τ>u} du G s Vi kan nu benytte (3.6) til at evaluere dette udtryk ved at sætte Y = t s λ(x u)1 {τ>u} du og har da: [ ] E [ t Mt B Ms B ] E 1 {τ>s} s λ(x u)1 {τ>u} du F s G s = 1{τ>s} E [ ] (3.13) 1 {τ>t} F s For overskuelighedens skyld evaluerer vi tæller og nævner hver for sig. Først kigges på tælleren: t ] E [1 {τ>s} λ(x u )1 {τ>u} du F s = s t s E [ λ(x u )1 {τ>u} F s ] du Vi benytter argumentet med Iterated Expectations som tidligere, og rokerer lidt rundt: t ] E [1 {τ>s} λ(x u )1 {τ>u} du F s = s = = t s t s t s E [ E [ λ(x u )1 {τ>u} F T ] Fs ] du E [λ(x u )Q (τ > u F T ) F s ] du [ ( u ) Fs ] E λ(x u ) exp λ(x v )dv 0 21

23 [ t ( = E λ(x u ) exp s u 0 ) ] λ(x v )dv du F s (3.14) Vi genkender her at: ( ( exp u u 0 )) λ(x v )dv = ( u u 0 ) ( λ(x v )dv exp u 0 ) ( λ(x v )dv = λ(x u ) exp u 0 ) λ(x v )dv Hvilket vi benytter til at kunne skrive (3.14) som: [ t ( ( E exp s u u 0 )) ] λ(x v )dv du F s Hvoraf vi får: [ ( E exp t 0 ) ( ( λ(x v )dv exp s 0 )) Fs ] λ(x v )dv Da forventningen er betinget på F s, kendes stien for λ(x u ), 0 u s. Udtrykket kan da skrives som: ( exp s 0 ) ( λ(x v )dv exp s 0 ) [ ( λ(x v )dv E exp t s ) Fs ] λ(x v )dv (3.15) hvorved vi har et udtryk for tælleren i brøken i (3.13). Kigger vi på nævneren i denne har vi E [ ( ] 1 {τ>s} F s = Q (τ < s Fs ) = exp s 0 ) λ(x v )dv (3.16) Vi kan nu sætte udtrykket for henholdsvis tæller og nævner i (3.15) samt (3.16) ind i udtrykket i (3.13) og får da: E [ M B t Ms B ] exp ( s 0 λ(x v)dv ) exp ( s 0 λ(x v)dv ) [ ( E exp ) ] t s λ(x Fs v)dv G s = 1{τ>s} exp ( s 0 λ(x v)dv ) E [ M B t M B s G s ] = 1{τ>s} (1 E [ ( exp t s ) Fs ]) λ(x v )dv Det er altså nu vist at: E [ [ ( Mt A Ms A ] G s = 1{τ>s} (1 E exp t s ) Fs ]) λ(x v )dv samt: E [ [ ( Mt B Ms B ] G s = 1{τ>s} (1 E exp t s ) Fs ]) λ(x v )dv 22

24 hvorfor: E [M t M s G s ] = E [ M A t M A s G s ] E [ M B t M B s G s ] = 0, t > s og herved at processen M t er en martingal. Netop da M t er en martingal, har vi at: ( t+ t E t [1 {τ t+ t} 1 {τ t} λ(x u )1 {τ>u} du 0 t 0 ) ] λ(x u )1 {τ>u} du G t = 0 Hvilket kan skrives som: [ [ ] t+ t ] E t 1{τ t+ t} 1 {τ t} G t = E λ(x u )1 {τ>u} du G t Q(t < τ < t + t G t ) = E For et lille t har vi da: t [ t+ t t ] λ(x u )1 {τ>u} du G t Q(t < τ < t + t G t ) λ(x t ) t1 {τ>t} Som med hazardraten, kan intensitetsprocessen altså ses som en instantan fallitsandsynlighed. Heraf har vi netop fortolkingen af hazardraten som en deterministisk intensitet Værdi af CDS kontrakt Fra udtrykket for værdien af en CDS kontrakt i (3.1) fremgår det, at vi skal kunne finde forventningen til to typer af betalinger: I En betaling X 1, der falder på et fremtidigt tidspunkt T i, såfremt referenceenheden ikke er gået fallit: X 1 [ ] E t 1{τR >T i } II En betaling X 2 (t), der kan være afhængig af t, der falder på fallittidspunktet for referenceenheden: [ E t X 2 ] (τ R )1 {τr <T } For betalingen på et fremtidigt tidspunkt T i, hvor referencehenheden ikke er gået fallit, benytter vi først vores iterated expectations argument, og kan da opskrive: [ X 1 [ ] E t 1{τR >T i } = X 1 E t E [ ] ] ] 1 {τr >T i } F Ti G t = X 1 E t [Q (τ R > T i F Ti G t ) Sandsynligheden Q (τ R > T i F Ti G t ) kan vi finde med udgangspunkt i (3.11), og kan herved opskrive: [ ( X 1 [ ] Ti ) ] [ ( Ti ) ] E t 1{τR >T i } = X 1 E t 1 {τr >t} exp λ(x s )ds = 1 {τr>t}x 1 E t exp λ(x s )ds t t 23

25 For betalingen af X 2 (t) på tidspunktet, hvor referenceenheden går fallit, benytter vi igen Law of Iterated Expectations og har: [ [ E t X 2 ] (τ R )1 {τr <T } = Et E [ X 2 ] ] (τ R )1 {τr <T } F T G t Da den indre forventning er betinget på F T G t kan denne evalueres med tætheden for τ i (3.12): [ [ E t X 2 ] T ( (τ R )1 {τr <T } = Et X 2 (s)1 {τr >t}λ(x s ) exp t s t ) ] λ(u)du ds Vi kan nu vende tilbage til værdien for en CDS fra (3.1), hvor vi ved at benytte ovenstående to resultater, kan udtrykke værdien som: CDS(t, T, T, S) = 1 {τr >t} [ SE t [ T S n t i=β(t) ( D(t, s)(s T β(s) 1 )λ(x s ) exp α i E t [D(t, T i ) exp t s ( Ti ) ] λ(x s )ds t [ T ( + (1 REC R )E t D(t, s)λ(x s ) exp s t t ) ] λ(x u )du ds ) ] ] λ(x u )du ds (3.17) Når vi i kapitel 4 skal kalibrere modellen til markedspriser, er det nyttigt at have værdien udtrykt direkte ved overlevelsessandsynlighederne. Denne kan vi opskrive som: 2 CDS(t, T, T, S) = 1 {τr >t} [ S T t S D(t, s)(s T β(s) 1 )dq (τ R > s G t ) n i=β(t) (1 REC R ) α i D(t, T i )Q (τ R > T i G t ) (3.18) T t D(t, s)dq (τ R > s G t ) Der skal herfra gøres nogle tanker om, hvordan intensitetsprocessen λ(x t ) skal modelleres. Da sandsynligheden for at en virksomhed ( overlever frem til et givent tidspunkt T, givet overlevelse til tid t: Q(τ > T τ > t) = E t [exp )] T t λ(x s )ds har samme funktionelle form som tid t prisen på en ( )] T nulkuponobligation i et setup med stokastisk rente: P (t, T ) = E t [ exp t r(x s )ds er processer, der benyttes til rentestrukturmodeller, ofte populære valg for at modellere intensiteter. ] 2 Sammenlignes (3.17) med (3.18), sker der et skift i fortegnet for linje 1 og 3 i ligningerne. Dette skyldes at vi foretager omskrivningen dq(τ R < u) = dq(τ R > u) 24

26 I denne afhandling har jeg valgt at opstille intensitetsprocessen direkte som en Cox-Ingersoll-Ross proces (CIR), der historisk er meget anvendt i literaturen. Dette er en proces, der udviser meanreversion, og afhængigt af valget af parametre kan det sikres, at det enten er en ikke-negativ eller strengt positiv proces. Jeg vil i næste afsnit redegøre kort for denne proces CIR processen Ved modellering af intensitsprocessen som en CIR proces, kan vi opskrive dynamikken for denne som: dλ(t) = κ(θ λ(t))dt + σ λ(t)dw (t), λ(0) = λ 0 Hvor W t er en standard Q- brownsk Bevægelse og κ, θ, σ, λ 0 er positive konstanter. CIR processen udviser mean reversion, som vi ser i driftledet. Her sikrer κ(θ λ(t)), at processen trækkes mod et langsigtet niveau på θ, hvor κ angiver styrken hvormed dette sker. Såfremt λ(t) på et givent tidspunkt ligger over (under) det langsigtede niveau, ser vi at driftledet vil være negativt (positivt) hvilket, alt andet lige, vil trække processen ned (op) mod θ. I volatilitetsledet medfører σ λ(t), at processen alt andet lige vil have højere udsving for store værdier af λ(t) end for lave. Samtidig sikrer λ(t), at processen altid vil være ikke-negativ. Vi kan sikre, at processen altid er strengt positiv ved brug af The Feller Condition. Vi har her restriktionen 2κθ > σ 2 på parametrene. Dette sikrer, at trækket mod det langsigtede niveau er tilpas kraftigt i forhold til udsvingende fra den Brownske bevægelse, til at processen aldrig rammer 0. En intensitet på 0 kan intuitivt fortolkes som at sandsynligheden for at gå fallit inden for et lille tidsrum, er lig 0. Dette er ikke særlig virkelighedsnært, og vi benytter derfor denne restriktion i kalibreringen i næste kapitel. Da overlevelsesfunktionen som nævnt har samme funktionelle form som prisen på en nulkuponobligation i et setup med stokastisk rente og disse begge har randbetingelsen Q (τ > T τ > T ) = 1, henholdsvis P (T, T ) = 1, kender vi funktionsudtrykket for overlevelsesfunktionen fra literaturen om rentestrukturteori. For bevis herfor henvises til Bolder (2001). Vi har da A(t,T ) B(t,T )λ(t) Q (τ > T τ > t) = e hvor A(t, T ) = ln ( 2γe 1 (κ+γ)(t t) 2 2γ + (κ + γ)(e (T t)γ 1) ) 2κθ σ 2, B(t, T ) = 2 ( e (T t)γ 1 ) 2γ + (κ + γ)(e (T t)γ 1), γ = κ 2 + 2σ 2 Med denne har vi nu et lukket udtryk for overlevelsessandsynligheden, der kan benyttes i funktionsudtrykket for CDS værdien. Jeg vil i næste kapitel kigge på hvorledes parametrene til modellen κ, θ, σ samt λ 0, kan kalibreres ud fra en række markedsobserverede præmier. 25

27 Kapitel 4 Kalibrering af CDS model Jeg vil i dette afsnit kalibrere CDS modellen som vi opstillede i sidste kapitel til observerede CDS præmier. For at gøre dette, skal der tages stilling til hvilke data, der skal benyttes til dette. Altså - hvilke CDS kontrakter skal anvendes, og i hvilke perioder? Jeg starter med at redegøre for dette i de første tre afsnit. Herefter kigges der på, hvordan, vi udfra værdien af en CDS kontrakt opstillet i ligning (3.18) kan beregne præmien for denne. 4.1 CDS data I udvælgelsen af hvilke virksomheder, der benyttes som referenceenheder, og herved hvilke CDS kontrakter, der benyttes, har jeg opstillet nedenstående 3 kriterier: Kontrakterne skal være så likvide som muligt. Herved mindskes bid-ask spreadet, og der undgåes længere perioder, hvor en given kontrakt ikke er handlet, og derved ikke har en kvoteret præmie. Referenceenhederne på de udvalgte kontrakter skal have forskellige kreditværdigheder. Når jeg i del II skal modellere modpartsrisiko for CDS kontrakter, tages der udgangspunkt i de parametre og fallitsandsynligheder, der findes under kalibreringen i dette kapitel. Referenceenheder med forskellige kreditværdigheder giver mulighed for en række forskellige analyser, i modsætning til hvis alle referenceenheder har samme risikoprofil. Set i forhold til modelleringen af modpartsrisikoen i del II, vil det være ideelt med referenceenheder, der kan tænkes at have interesse i at købe eller sælge CDS kontrakter skrevet på hinandens gæld. For at tage højde for de to første kriterierer, er det dog delvist nødvendigt til at slække på dette krav. For at sikre så høj likviditet som muligt tages udgangspunkt i to forskellige CDS indekser, henholdsvis Markit itraxx Europe, samt Markit itraxx Europe Crossover. Markit itraxx Europe er et indeks af 125 ligevægtede likvide europæiske 5-årige CDS kontrakter skrevet på obligationer med invesment-grade rating. Markit itraxx Europe Crossover består pt. af de 75 mest likvide europæiske 5-årige CDS kontrakter skrevet på referenceenheder med sub investment-grade rating. Begge indekser startede i 2004, og er siden blevet opdateret halvårligt med en ny serie. Ved at benytte CDS kontrakter fra disse to indekser sikres dermed høj likviditet samt forskellige typer af kreditværdighed. Jeg vil gerne kunne analysere, hvordan udviklingen i CDS præmier under forskellige markedsforhold påvirker modellens overlevelses- og fallitsandsynligheder. Det vil derfor være ideelt at udvælge CDS kontrakter, der har været i et af ovenstående to indekser over en længere periode. For CDS kontrakter skrevet på obligationer med investment-grade rating har jeg udvalgt tre referenceenheder, der både 26

28 indgik indeksets serie 3, 7 samt 21 der blev oprettet i marts i henholdsvis 2005, 2007 samt For CDS kontrakter fra crossover indekset har det ikke været muligt at finde kontrakter, der har været i indekset i en så lang periode. Dette kan dels skyldes, at indekset i 2004 kun bestod af 30 kontrakter, samt at kontrakterne er skrevet på obligationer med forholdsvis lav kreditværdighed, hvilket leder til større fallitrate, og oftere udskiftning i indekset. Der er her udvalgt en enkelt referenceenhed, der både indgik i crossover indeksets serie 7 samt 21. Dette leder til nedenstående fire virksomheder, jeg har valgt at arbejde videre med og kalibrere CDS modellen til: Selskab Beskrivelse Rating 1 Bayerische Motoren Werke AG Bil og motorcykel fabrikant A2 Deutsche Bank AG Tysk bank A3 Repsol S.A Spansk engergiselskab Baa2 Portugal Telecom SGPS SA Portugisisk teleselskab Ba2 For hver af disse er downloadet daglige præmier i perioden 1. januar 2005 til 1. januar 2015 for CDS kontrakter med henholdsvis 1, 3, 5, 7 og 10 års løbetid. Årsagen til at vælge fem forskellige løbetider ligger i, at modellen har fire parametre, der skal kalibreres, og derfor har brug for et højt antal kontrakter for at sikre stabilitet i kalibreringen. Det ville også være muligt at medtage kontrakter med flere forskellige løbetider, men da disse er mindre likvide og har lange perioder hvor de ikke bliver handlet, har jeg valgt at undlade dette. 4.2 Analyseperioder For at få et overblik over udviklingen i CDS præmierne, har jeg på figur 4.1 plottet præmien for den 5 årige kontrakt, for de fire virksomheder. Figur 4.1: Præmien for 5-årige CDS kontrakter Moody s rating på referenceobligationen for den 5 årige CDS kontrakt i maj Fundet på Bloomberg 1. maj 27

29 Alle fire virksomheder ligger i 2005 med forholdsvis lave og stabile præmier. I årerne der følger kommer krisen i , og i efterdønningerne af denne rammes en række (syd)europæiske lande af en gældskrise. Det ses på figuren hvordan CDS præmierne for de fire virksomheder påvirkes forskelligt af disse forhold. Med udgangspunkt i udviklingen af præmierne, har jeg valgt at benytte nedenstående tre perioder til kalibreringen af CDS modellen. Disse er valgt for at give mulighed for at analysere, hvorledes modellens parametre og overlevelses sandsynlighed for de fire virksomheder påvirkes af forskellige forhold. Nedenstående perioder fanger derved både tider med drastiske stigninger og fald samt perioder med mere stabile forhold. Periode I: 20. juni 2008 til 19. juni 2009 Periode II: 1. juli 2011 til 30. juni 2012 Periode III: 1. maj 2013 til 30. april 2014 Ved udvælgelsen af perioderne er der også taget højde for, at undgå længere perioder hvor en given kontrakt ikke er handlet. I løbet af de tre analyseperioder er den længste periode, hvor en given kontrakt mangler kvoteret præmie, på fem handelsdage. Dette forekommer to gange i datasættet. Herudover er der nitten tilfælde, hvor der går to handelsdage mellem, at en given kontrakt har en kvoteret præmie. Givet at perioderne ikke er længere, og at der er så få af dem, har jeg på dage, hvor der mangler en kvoteret præmie, valgt at benytte lineær interpolation mellem foregående præmie og næstkommende præmie. 4.3 Diskonteringskurve Til at tilbagediskontere de forventede cashflows i prisudtrykket for en CDS skal vi i teorien benytte en risikofri rente. En risikofri rente findes dog ikke i virkeligheden, og vi er derfor nødt til afgøre, hvad vi kan benytte som approksimation for denne. I literaturen skelnes oftest mellem at benytte en stats rentekurve eller en swapkurve. En swap rente er den rente det faste ben betaler årligt i en renteswap, mod halvårligt at modtage en variabel rente, typisk sat ud fra en xibor rente. I Feldhütter and Lando (2008) findes, at swaprenter generelt er en mere præcis proxy for den risikofri rente end statsrenter 2, og ifølge Sender (2009) er det efterhånden blevet markedsnormen for de fleste pensions- og forsikringsselskaber at benytte en swapkurve til risikofri diskontering. Jeg har på baggrund af dette valgt at benytte en swapkurve som proxy for den risikofri rente. Mere konkret har jeg downloadet 3, 6 og 9 måneders EURIBOR renter, samt de 1 til 10 årige euro swap renter for de tre analyseperioder angivet i forrige afsnit. EURIBOR renterne er benyttet til at danne 3, 6, og 9 måneders diskonteringsfaktorer med almindelig pengemarkedskonvention, mens jeg har fundet 1-10 årige diskonteringsfaktorer fra euro swap renterne ved brug af bootstrapping. Når vi beregner 2 Feldhütter and Nielsen (2012) 28

30 præmien på en given CDS kontrakt, vil vi skulle tilbagediskontere cashflows, der forekommer mellem disse faste løbetider, hvortil der benyttes lineær interpolation. 4.4 Beregning af modelpræmie Værdien af en CDS kontrakt kender vi fra (3.18). Antaget at denne indgåes på tid t = 0 og referenceenheden naturligt ikke er gået fallit på dette tidspunkt, har vi her: T CDS(0, T, T, S) =S D(0, s)(s T β(s) 1 )dq (τ R > s) 0 n S α i D(0, T i )Q (τ R > T i ) i=β(0) (1 REC R ) T 0 D(0, s)dq (τ R > s) Ledene der angiver betalinger der forekommer på et eventuelt fallittidspunkt, indeholder begge et integrale. For at kunne beregne disse to størrelser, er vi nødt til at approksimere integralerne. Dette kan gøres på flere forskellige måder, men da funktionen for prisudtrykket skal kaldes en del gange i forbindelse med målsøgningen under kalibreringen, vil det være en fordel med en mindre beregningstung approksimation. Jeg har derfor valgt en simpel approksimation ved brug af summer, hvor hvert integrale deles op i N led, der summes over. Dette giver os følgende udtryk: Hvor dt = T N. CDS(0, T, T, S) =S N i=1 S ( ) D(0, i dt)(i dt T β(i dt) 1 ) Q (τ R > i dt) Q (τ R > (i 1) dt) n i=β(0) (1 REC R ) α i D(0, T i )Q (τ R > T i ) N i=1 ( ) D(0, i dt) Q (τ R > i dt) Q (τ R > (i 1) dt) Som tidligere nævnt har en CDS værdien 0 på indgåelsestidspunktet. Ved at sætte ovenstående udtryk lig 0, kan vi derved udtrykke præmien på indgåelsestidspunktet som: S = (1 REC R ) ) N i=1 (Q D(0, i dt) (τ R > i dt) Q (τ R > (i 1) dt) n i=β(0) α isd(0, T i )Q (τ R > T i ) ( ) N i=1 D(0, i dt)(i dt T β(i dt) 1) Q (τ R > i dt) Q (τ R > (i 1) dt) 29

31 I beregningen af præmien skal vi tage stilling til værdien af N og derved hvor mange opdelinger, der skal benyttes i approksimationen af de to integraler. Vi har naturligt her, at et højere N vil lede til en bedre approksimation, men dette vil til gengæld også gøre prisfunktionen mere beregningstung. For at sikre at længden af hvert tidsinterval dt, ikke afhænger af løbetiden på kontrakten sættes N som N = at således at dt = N T er ens for alle løbetider. For at få en ide om, hvor stor indflydelse størrelsen af N har på præcisionen af beregningen, har jeg for et givent sæt af parametre beregnet præmien for en CDS med løbetid på henholdsvis 1, 5 og 10 år med N = Ved at foretage en tilsvarende beregning, men med mindre værdier af N, kan vi måle hvor stor betydning størrelsen af N har på præcisionen. Jeg har på figur 4.2 angivet hvor stor forskel der på præmien, når denne beregnes med henholdsvis N = 10 6 og et mindre N Figur 4.2: Betydningen af størrelsen på a, for N = at De markedsobserverede præmier, jeg benytter til kalibreringen, er angivet i basispoint med to decimalers nøjagtighed. Det vil altså give bedst mening at vælge et a, således at præmierne i modellen bliver beregnet med to decimalers nøjagtighed, hvilket er markeret med den stiplede linje på figur 4.2. På baggrund af dette vælger jeg a = 200. Flere inddelinger end dette vil højest have effekt på præcisionen fra 3. decimal, og vil altså kræve tungere beregninger uden reelt at forbedre kalibreringen. 4.5 Kalibrering Datasættet som jeg benytter til kalibreringen indeholder daglige præmier for CDS kontrakter med henholds 1, 3, 5, 7 og 10 års løbetid for de fire referenceenheder i de tre udvalgte perioder, der hver har en længde på 1 år. Herudover indgår antallet af dage til førstkommende IMM dag, således at tid til udløb for hver observation, der benyttes i kalibreringen bliver regnet som angivet løbetid + antal dage til næste IMM dag 360. Fra dette datasæt udvælges data fra hver onsdag, der benyttes til to typer af kalibreringer. I hver af de tre perioder består datasættet, der benyttes til kalibrering, således af 52 observerede præmier for hver af de 5 løbetider for hver virksomhed. Første kalibrering I. foregår på dagligt niveau. Der findes her 52 sæt af parametre pr. virksomhed for hver af perioderne, der minimerer forskellen mellem modellens præmie S model og den observerede markedspræmie S marked for hver onsdag i datasættet. Herved kan vi se hvordan parametrene, og heraf 30

32 fallitsandsynlighederne, udvikler sig uge for uge. I anden kalibrering II, findes ét sæt af parametre pr. virksomhed for hver periode, der minimerer den samlede forskel mellem model og markedspræmier. Herved får vi et sæt af parametre der fitter hele perioden, og kan sammenligne disse med parametrene fra kalibrering 1, der blev fundet på baggrund af en enkelt dags observationer. I begge kalibreringer benyttes optimeringsalgoritmen NLOPTR i R, der giver mulighed for at kalibrere under Feller betingelsen. Forskellen mellem model- og markedspræmien måles som deres kvadrerede relative forskel. I bilag C.1.1 samt C.1.2 findes R funktionerne jeg har skrevet til henholdsvis at bestemme præmien for en CDS, samt til at måle afvigelsen mellem denne og markedspræmien for de to typer af kalibreringer. 4.6 Stabilitet i kalibreringen Når optimeringsalgoritmen NLOPTR køres i R for at minimere forskellen mellem model- og markedspræmie skal denne bruge et sæt af inputparametre. Altså startværdier for henholdsvis κ, θ, σ samt λ 0. Algoritmen søger herefter for et optimalt sæt parameterværdier. Det optimale sæt af parametre algoritmen finder, har for begge typer kalibreringer dog vist sig at være stærkt afhængig af inputparametrene, der gives. Dette kan tyde på, at der ikke er tilstrækkelig information i de CDS priser, der kalibreres til, til at kunne bestemme et entydigt sæt af parametre. Man derfor skal være en smule forsigtig med at fortolke direkte på parametrenes værdier. En af effekterne af dette har været tilfælde, hvor både κ samt σ antager meget høje værdier, hvilket vil give en proces med voldsomme udsving. Det har derfor været nødvendigt at betinge kalibreringen med. at alle fire parametre skal antage værdier i intervallet ]0, 1]. Dette afhjælper nævnte effekt, og har også bidraget med en smule mere stabilitet i kalibreringen. Det optimale sæt af parametre der findes til kalibrering I, er dog i en vis grad stadig afhængig af startværdierne i optimeringsalgoritmen. Der er foretaget en række kontroller i de tilfælde hvor forskellige startværdier kan lede til forskellige optimale parametre. Gennem disse har det vist sig, at de forskellige sæt af optimale parametre alle giver værdier af objektfunktionen, der ligger meget tæt på hinanden, samt meget ens værdier for de 0 til 10 årige overlevelsessandsynligheder. Det vurderes derfor, at overlevelses sandsynlighederne kan antages at være korrekte på trods af den manglende stabilitet i kalibreringen. For bedst muligt at kunne sammenligne de fundne parametre på tværs af de fire selskaber, er disse alle fundet med det samme sæt af startværdier i optimeringsalgoritmen. Man bør dog stadig passe på ikke at overfortolke disse. 4.7 Resultater For at kontrollere hvor godt modellen fitter markedets data, har jeg i tabel 4.1 vist den gennemsnitlige relative forskel mellem modellens CDS præmie beregnet med de kalibrerede parametre, og 31

33 markedspræmien. I henviser her til kalibreringen af et nyt sæt parametre hver dag, mens II henviser til kalibreringen af et sæt af parametre til at dække hele perioden Periode 1 Periode 2 Periode 3 I II I II I II BMW Deutsche Bank Repsol SA Portugal Telecom Tabel 4.1: Gennemsnitlige relative afvigelser mellem markedspræmie og beregnet modelpræmie for de to kalibreringer. Alle afvigelser er angivet i procent Vi ser her at begge typer af kalibreringer generelt fitter markedetsdata rigtig godt i periode 1 samt periode 2. Kalibrering af et nyt sæt af parametre til hver dag, giver her en gennemsnitlig afvigelse på højest 0.47%. For parametrene der er kalibreret til hele perioder, er afvigelserne lidt større, men ligger dog stadig i et niveau omkring 1%-3% Som vi så på udviklingen af CDS præmierne i figur 4.1 stiger præmierne for CDS kontrakter skrevet på BMW samt Repsol voldsomt i periode 1, mens det i periode 2 er præmien for kontrakter på Portugal Telecom der har voldsomme udsving. Dette formår modellen dog at fange ganske godt, og der ses for disse virksomheder ikke store afvigelser i de respektive perioder. Interessant er det dog at der forekommer store afvigelser for BMW, Deutsche Bank og Repsol SA i periode 3. I denne periode ligger alle 3 virksomheder med forholdsvis lave stabile præmier. Årsagen til de store procentvise afvigelser, ligger her i at præmierne er så lave i perioden, at selv små absolute udsving, giver store relative afvigelser. Den største gennemsnitlige afvigelse ser vi finder sted for BMW i perioder 3 under kalibrering I. I størstedelen af denne periode ligger den 1-årige kontrakt for BMW med en markedspræmie på omkring 5-10 basispoint. Hvis modelpræmien blot afviger med 1-2 basispoint fra markedspræmien, bliver den relative forskel på op til 40%. Kigger vi afvigelsen for de enkelte løbetider i denne kallibrering er der en gennemsnitlig afvigelse på den 1 og 3 årige kontrakt på henholdsvis 40% samt 27%, hvilket netop er de kontrakter der handler med meget lave præmier. Disse trækker den gennemsnitlige afvigelse voldsomt op. For de 5, 7 og 10 årige kontrakter, ligger afvigelserne her omkring 1-2% I alle tilfælde i tabel 4.1 har kalibrering I mindre afvigelser end kalibrering II. Det interessante ligger da i hvor meget parametrene varierer fra dag til dag i kalibrering I, for at kunne fitte markedet bedre end det generelle sæt af parametre fra kalibrering II. For periode 2 er parametrene fra kalibrering I angivet i tabel 4.2 som henholdsvis mindste, største og gennemsnitlig værdi af hver parameter. Det faste sæt af parametre fra kalibrering II af periode 2 er angivet i 4.3, hvor λ(t) er angivet som et gennemsnit over perioden. Vi ser her at en del af parametrene fra kalibrering I varierer forholdsvis meget henover perioden. Givet at kalibrering II med faste parametre har forholdsvis små afvigelser, kan det derfor findes hensigtsmæssigt at benytte denne, og undgå de store daglige udsving. Når jeg i del II beregner modpartsrisikoen 32

34 κ i θ i σ i λ i(t) min max middel min max middel min max middel min max middel BMW Deutsche Bank Repol SA Portugal Telecom Tabel 4.2: Mindste, største samt gennemsnitlig værdi af parametre fra kalibrering I af periode 2 κ θ σ λ(t) BMW Deutsche Bank Repol SA Portugal Telecom Tabel 4.3: Parametre fra kalibrering II af periode 2 på CDS kontrakter, vil det derfor være parametrene fra kalibrering II jeg tager udgangspunkt i. Som nævnt i forrige afsnit, er kalibreringen af parametrene forholdsvis afhængig af initialværdierne, og man skal derfor være forsigtig med at fortolke for direkte på disse. Med afsæt i parametrene angivet i tabel 4.3 ser vi dog at både θ samt σ ligger i et højere niveau for for Repsol SA og Portugal Teleco end for BMW og Deutsche Bank. Dette giver god mening da vi netop har at Repsol SA og Portugal Telecom i perioden handler til højere, samt mere volatile CDS præmier end BMW og Deutsche Bank. For parametrene kalibreret til periode 1 samt 3 ses samme tendenser som beskrevet ovenfor. Disse kan findes i bilag A.1 For at se hvorvidt løbetiden har betydning for hvor godt modellen fitter en given kontrakt, har jeg i tabel 4.4 vist gennemsnitlige afvigelser i procent for periode 2, delt op på løbetider. Det ses her at der generelt er en tendens til at modellen prisfastsætter de 1- og 10-årige kontrakter for højt i forhold til markedet, mens de 3, 5 og 7 årige kontraker bliver prisfastsat for lavt. Ydermere ses at de små afvigelser fra tabel 4.1, hvor der er taget et gennemsnit over alle løbetiderne, skyldes at der både er kontrakter med positiv og negative afvigelser. Disse udligner til dels hinanden i et gennemsnit. I tabel 4.4 ses at afvigelserne for de enkelte løbetider generelt spænder mellem 1% og 10%. Kalibrering I Kalibrering II 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y BMW Deutsche Bank Repsol SA Portugal Telecom Tabel 4.4: Gennemsnitlige relative afvigelser mellem markedspræmie og beregnet modelpræmie for de to kalibreringer for periode 2, opdelt på løbetider. Alle afvigelser er angivet i procent 33

35 Figur 4.3: 0 til 10 årige fallitsandsynligheder for BMW i de tre perioder Med udgangspunkt i parametrene fra kalibrering II har jeg på figur 4.3 vist fallitsandsynlighederne for BMW i de tre perioder. Vi ser at disse fanger udviklingen i CDS præmierne godt. Den stigende CDS præmie midt i periode 1 afspejles af forøget fallitsandsynlighed, mens de lave, stabile præmier gennem 2014, giver lave fallitsandsynligheder stort set uden udsving. Fallitsandsynlighederne er pr. definition voksende i T. Jo større tidshorisont der kigges over, jo større vil sandsynligheden være for at virksomheden går fallit inden dette tidspunkt. I store dele af periode 1 ses det på grafen at den anden afledte med hensyn T er negativ, mens denne primært er positiv i periode 2 og 3. 34

36 Sandsynligheden for at gå fallit på et fremtidigt tidspunkt t, givet overlevelse op til dette tidspunkt, kender vi som Q(τ<t) t. Med en negativ anden afledt, vil denne sandsynlighed være aftagende i T. Dette ses typisk i tilfældende hvor CDS præmierne er forholdsvis høje, og afspejler at markedet forventer at det er mere sandsynligt at se en fremtidig stigning i virksomhedens kreditværdighed, end et fald. Dette kan være tilfældet hvor en virksomhed er i store problemer, og markedet forventer at der er høj sandsynlighed for at denne går fallit inden for en kort årrække. Såfremt virksomheden overlever denne hårde periode, er det værste overstået og sandsynligheden for at gå fallit efterfølgende er faldende. Tilfældet hvor den anden afledte i T er positiv, er Q(τ<T ) T er voksende i T. Dette ses i perioder hvor en given virksomhed har forholdsvis lave og stabile præmier. Dette afspejler typisk at virksomheden har så høj kreditværdighed at markedet forventer at der er størst sandsynlighed for at denne aftager i fremtiden, hvilket giver voksende marginale fallitsandsynligheder 3. Figurer med fallitsandsynligheder for henholdsvis Deutsch Bank, Repsol SA samt Portugal Telecom kan findes i bilag A Afrundning af Del I Jeg har i løbet af første del af afhandlingen nu gået i dybden med credit default swaps: Hvilke karakteristika disse har, hvordan vi kan opstille en model for værdien på en CDS, samt hvilke fallit sandsynligheder vi får ved at kalibrere denne til markedets observerede CDS præmier. Såfremt man som investor har en given eksponering mod en virksomhed, kan man altså givet markedets CDS præmier, få en ide om, hvor meget kreditrisiko denne eksponering indeholder. Altså hvor stor sandsynligheden er, for at den givne virksomhed ikke kan leve op til dennes forpligtigelser. Såfremt man vælger at afdække denne kreditrisiko med CDS kontrakter, kommer der et nyt aspekt ind i billedet: modpartsrisiko. En credit default swap er et OTC handlet produkt, og kan derfor potentielt indeholde en stor mængde modpartsrisiko. Værdien af en kontrakt kan derfor pludselig falde drastisk, såfremt kreditværdigheden af modparten forværres. I næste del af afhandlingen vil jeg netop belyse dette felt. Jeg starter med kort at introducere modpartsrisiko og aspekterne ved denne. Herefter opstiller et udtryk for værdien af modpartsrisiko, og dette specificeres til at gælde for en credit default swap. Gennem en række numeriske beregninger, kan vi herved se hvor stor effekt modpartsrisiko har på den reelle værdi af en credit default swap for henholdsvis køber og sælger. 3 Feldhütter and Nielsen (2012) 35

37 Del II Modparts risiko 36

38 Kapitel 5 Introduktion til modpartsrisiko Ved modpartsrisiko betragtes den risiko, en investor har, for at modparten i en kontrakt går fallit. Såfremt dette sker mens kontrakten har en positiv værdi for investoren, risikerer investoren at miste (en andel af) denne værdi. Modpartsrisiko kan deles op i to typer af risiko; markedsrisiko og kreditrisiko. Markedsrisikoen definerer eksponeringen mod modparten, og derved den værdi man risikerer at tabe, hvis denne går fallit. Kreditrisikoen definerer modpartens kreditværdighed, og herved hvor sandsynligt det er, at modparten går fallit 1. En stor eksponering mod en modpart med lille fallitsandsynlighed kan altså indebære lige så stor modpartsrisiko, som en mindre eksponering mod en modpart med høj fallitsandsynlighed. Ved modpartsrisiko tales oftest om wrong way risk og right way risk. Disse begreber dækker over hvilken korrelation, der er i mellem henholdsvis markedsrisikoen og kreditrisikoen. Wrong way risk er tilfældet, hvor værdien af en given kontrakt (set fra investorens side) er positivt korreleret med sandsynligheden for, at modparten går fallit. Som et klassisk eksempel på en sådan situation, kan vi betragte en investor, der er eksponeret mod kreditværdigheden af en given bank, fx Nordea. For at afdække denne risiko indgår han en credit default swap kontrakt med Nordea som referenceenhed. Denne kontrakt kan fx indgåes med Danske Bank som modpart. Såfremt der i fremtiden er en række faktorer, der påvirker at Nordeas kreditværdighed falder, vil CDS kontrakten stige i værdi. Dog må man formode, at faktorer, der påvirker Nordeas kreditværdighed negativt, også vil påvirke Danske Banks kreditværdighed negativt. Derved ender investoren i et tilfælde med såkaldt dobbelteksponering: Eksponeringen mod Danske Bank stiger, alt i mens deres kreditværdighed falder. Begge effekter får altså modpartsrisikoen til at stige. Ved right way risk har vi det modsatte tilfælde. Dette begreb dækker over situationen, hvor værdien af en given kontrakt er negativt korreleret med sandsynligheden for, at modparten går fallit. Dette er naturligvis den idelle situation. En stigning i kontraktens værdi, der isoleret set leder til større modpartsrisiko, vil (delvist) blive udlignet af et fald i kreditrisiko. Mængden af modpartsrisiko i en given kontrakt har stor betydning for værdien af denne. En kontrakt handlet med en modpart, der har høj sandsynlighed for at gå fallit i kontraktens løbetid, vil givetvis være mindre værd, end en tilsvarende kontrakt handlet med en risikofri modpart. For at medregne modpartsrisikoen ved værdiansættelse af kontrakter beregnes, hvad der kaldes en credit valuation adjustment (CVA). Dette er en justering af værdien af kontrakten, for at tage højde for at modparten kan gå fallit. Der skelnes generelt mellem, om der foretages en unilateral eller bilateral justering. 1 Gregory (2012):19 37

39 Unilateral CVA er tilfældet, hvor man laver en justering af kontraktens værdi, der kun tager højde for, at den ene part kan gå fallit. Historisk set er flere større banker og forsikringsselskaber blevet betragtet som værende risikofri, hvorfor modpartsrisiko mod disse blev betragtet som værende tæt på ikke-eksisterende. Det har dog vist sig, i lyset af krisen, at ingen, store som små, kan betrages som værende en risikofri part. En bilateral justering, dækker over tilfældet, hvor justeringen af kontraktens værdi tager højde for, at begge parter i handlen kan gå fallit. Man kan typisk dele justeringen op i en henholdsvis CVA del samt en DVA del (debit value adjustment). CVA delen er en justering af kontraktens værdi for at tage højde for at modparten kan gå fallit, mens DVA er en justering af værdien, for at tage højde for at man selv kan gå fallit. Såfremt en investor har indgået en kontrakt, der på et givent tidspunkt har negativ værdi for investoren, har denne en tilsvarende positiv værdi for modparten. Hvis investorens fallitsandsynlighed stiger, falder værdien af kontrakten set fra modparten, hvilket svarer til at værdien af kontrakten stiger for investoren. Det kan virke modstridende, at en stigning i fallitsandsynligheden for en investor, kan påvirke værdien af en kontrakt positivt set fra hans side. Denne tvetydighed, der blandt andet er kendt som The DVA Controversy, er diskuteret, og af nogle kritiseret, bredt i literaturen. Jeg vil ikke gå dybere ind i problemstillingen her, men henviser til fx Gregory (2012) eller Carver (2011) for en diskussion af denne. Der er generelt flere forskellige måder, hvorpå man kan mindske eller begrænse mængden af modpartsrisiko. Såfremt man som investor har indgået flere kontrakter med samme modpart, kan der indgåes en aftale om netting, hvilket er markedsnormen for mange kontrakter. Ved fallit vil man da opgøre et eventuelt skyldigt beløb udfra summen af alle indgåede kontrakters værdi. I tilfælde af at nogle af kontrakterne har en positiv værdi for investoren, mens andre har en negativ værdi, vil disse kunne udligne hinanden og derved mindske et eventuelt tab. Udover netting er der i mange kontrakter også indarbejdet en aftale om sikkerhedsstillelse. Såfremt kontrakten på et givent tidspunkt har en positiv værdi for investoren, kan det kræves, at modparten stiller en sikkerhed for dette beløb. Dette vil typisk være i form af posteringer på en marginkonto. Såfremt modparten går fallit vil investoren kunne benytte dette indestående til at begrænse sit tab. I det omvendte tilfælde, hvor kontrakten har en negativ værdi for investoren, vil modparten ligeledes kræve sikkerhedsstillelse fra investoren. I næste kapitel kigger jeg på, hvordan man kan opstille et generelt udtryk for bilateral modpartsrisiko, der tager højde for, at der i kontrakten kan være en aftale om sikkerhedsstillelse. Efterfølgende specificeres dette udtryk, til når den handlede kontrakt er en credit default swap. Der opstilles herefter en numerisk metode til beregning af dette udtryk når fallitsandsynlighederne for henholdsvis investor, referenceenhed og modpart kan være korreleret. 38

40 Kapitel 6 Bilateral modpartsrisiko med kollateralstillelse Jeg vil i dette kapitel opstille et udtryk for bilateral modpartsrisiko, hvor justeringen af værdien for en given kontrakt simultant tager højde for, at begge parter i handlen kan gå fallit. Der er mulighed for at indkludere en aftale om sikkerhedsstillelse, der medfører at det forventede tab, ved at modparten går fallit, kan begrænses. De kommende afsnit herom baserer sig primært på fremgangsmåde og metode som i Brigo et al. (2014). Der huskes på, at τ I, τ M, τ R betegner fallittidspunktet for henholdsvis investor, modpart og referenceenheden, og i resten af afhandlingen benyttes τ := τ I τ M til at angive tidspunktet for første fallit af henholdsvis investor og modpart. Med mindre andet er angivet, vil værdier i de følgende afsnit blive udtrykt fra investorens synspunkt, og termen risiko benyttes i relation til modpartsrisiko. Med en risikofri investor menes hermed en investor, der ikke kan gå fallit. 6.1 Indledende definitioner og setup Jeg lader Π(u, s) betegne den Q-forventede værdi af cashflows, der falder mellem tidspunkt u og s, tilbagediskonteret til tid u for en kontrakt handlet mellem to risikofri parter. Den Q forventede tilbagediskonterede værdi af tilsvarende cashflows for en kontrakt handlet mellem to risikofyldte parter betegnes med Π D (u, s, C), hvor C angiver muligheden for at indkludere en aftale om sikkerhedsstillelse i kontrakten. Forskellen i værdi mellem disse to kan da betragtes som den justering af værdien af den risikofri kontrakt, der skal foretages, for at tage højde for at både investor og modpart kan gå fallit. Fremadrettet vil jeg referere til denne som BCCVA - Bilateral Collateralized Credit Value Adjustment: BCCV A(t, T, C) := Π D (t, T, C) Π(t, T ) Såfremt både investor og modpart overlever frem til udløbstidspunktet for kontrakten, vil den risikofri og risikofyldte kontrakt have samme række af cashflows. Hvis en af parterne går fallit, vil den anden risikere at lide et tab. For at beregne størrelsen på BCCVA kigges derfor på hvilke tab den overlevende part kan forvente ved fallit. Ved fallit skal værdien af henholdsvis kontrakten samt den stillede kollateral opgøres, for at der kan gøres krav på et eventuelt skyldigt beløb. Ifølge ISDA Master Agreement repræsenteres værdien af kontrakten af et close-out amount, der er defineret som den omkostning den overlevende part vil have ved at indgå en ny ækvivalent kontrakt. For at beregne denne størrelse skal der altså både tages højde for kreditværdigheden af den overlevende part, samt omkostninger forbundet med indgåelse af ny kontrakt, herunder transaktions- og fundingomkostninger. Vi lader ε t betegne denne værdi på tidspunkt t, og antager at dette er en G t målelig proces. Da vi ser denne fra investorens synspunkt svarer ε t > 0 henholdsvis ε t < 0 til, at kontrakten på tidspunkt t har en positiv henholdsvis negativ værdi for 39

41 investoren. I opgørelsen af close-out beløbet vil jeg i denne afhandling simplificere setuppet en smule, og antage at close-out beløbet kan opgøres som den risikofri værdi af de resterende cashflows, altså ε τ = Π(τ, T ). Sikkerhedsstillelsen betragtes som værende posteringer af penge på en marginkonto, hvis saldo på tidspunkt t betegnes med C t. Værdien af denne ses også fra investorens synspunkt, og derved betegner C t > 0 tilfældet, hvor investoren har modtaget kollateral og har denne til rådighed. Såfremt modparten går fallit, vil investoren altså kunne benytte denne kolateral til at mindske et eventuelt tab. I det modsatte tilfælde, hvor C t < 0 har investoren stillet kollateral til rådighed for modparten, og såfremt investoren går fallit, kan modparten benytte kollateralen til at mindske tabet. Hvis ingen af parterne går fallit inden udløb af kontrakten, returneres eventuelt stillet kollateral på dette tidspunkt. Det antages, at kollateralkontoen er en risikofri konto, der åbnes ved indgåelse af kontrakten, og lukkes igen ved enten fallit af den ene part, eller udløb af kontrakten. Ved indgåelse af kontrakten på t = 0 har vi herved C t = 0 for t 0 samt t τ T. Vi kan herved definere: C t := 1 {t<τ} M t hvor M t er en G t målelig proces med M 0 = M T = 0. Hvis den ene part går fallit, og værdien af kollateralkontoen skal opgøres, benyttes værdien på tidspunktet lige før fallittidspunktet til dette, da kontoen lukkes på tidspunktet for fallit. Denne betegnes med C τ Posteringer på kollateralkontoen sker på en række faste ækvidistante tidspunkter (t 0,..., t N ). På hvert tidspunkt t i opgøres den risikofri værdi af de tilbageværende cashflows i kontrakten, og investor samt modpart foretager transaktioner således at indestående på kontoen matcher denne værdi. Jeg lader C τi angive indestående på kontoen lige før opdatering i, og C τi opdatering. angive indestående lige efter denne Ved at lade γ(u) = sup{t i : t i u, i = 0,..., N} angive det seneste rebalanceringstidspunkt før et givent tidspunkt u, kan processen M t da specificeres som: M t0 := 0, M tn := 0, M u := M γ(u) D(γ(u), u), M ti := E ti [Π(t i, T )] (6.1) hvor t i u t i+1 Ved stillelse af kollateral skelnes mellem, om det er tilladt for modtageren af denne at geninvestere kollateralen eller ej. Såfremt dette er tilladt, og kollateralmodtageren går fallit, vil den overlevende part kunne lide et tab på den stillede kollateral. Jeg vil i det kommende lade REC I og REC M betegne recovery andelen, som henholdsvis investoren og modparten har mulighed for at betale af kontraktens værdi i tilfælde af fallit. REC I og REC M betegner den recovery andel, som henholdsvis investor 40

42 og modpart har mulighed for at tilbagebetale af eventuelt modtaget kollateral. Tilsvarende defineres LGD i = 1 REC i samt LGD i = 1 REC i, som tabet den overlevende part har på henholdsvis kontraktens værdi, samt stillet kollateral hvis part i går fallit. Når det ikke er tilladt at geninvestere kollateral, antages at denne til fulde vil blive returneret til kollateralstilleren, såfremt modtageren går fallit, og vi har da REC i = 1. Hvis det er tilladt at geninvestere kollateral og modtageren af denne går fallit, vil den stillede kollateral tit have højere tilbagebetalingsprioritet end andre udeståender, hvilket leder til 0 < REC i < REC i < 1. Ved implementeringen af BCCVA i næste kapitel benyttes REC i = 40% som tidligere defineret, samt REC i = 60% i tilfælde af at stillet kollateral må geninvesteres. 6.2 Generelt udtryk for BCCVA For at kunne opstille et udtryk for BCCVA, kigges på hvilket tab den overlevende part vil have på værdien af henholdsvis kontrakten samt eventuelt stillet kollateral ved et fallittidspunkt. Jeg opdeler dette i otte forskellige tilfælde, hvor der skelnes mellem, om det er investoren eller modparten der går fallit, om kontrakten har positiv eller negativ værdi for investor på fallittidspunktet, samt om investoren har modtaget eller stillet kollateral på fallittidspunktet. I det nedenstående har jeg opstillet de 4 tilfælde i situationen, hvor modparten går fallit inden udløb af kontrakten, altså τ = τ M, hvor notationen X + = max(x, 0) og X = min(x, 0) er benyttet. De fire tilfælde hvor investoren går fallit først, er helt analoge hertil og opstilles ikke. 1: ε τm > 0, C τm > 0 I dette tilfælde har kontrakten positiv værdi for investoren, når modparten går fallit, og modparten har stillet kollateral til rådighed. Såfremt værdien af kollateralen er mindre værd end kontrakten, har investoren penge til gode hos modparten. Da modparten er gået fallit, lider investoren et tab på andelen LGD M af dette. Dette tab kan vi skrive som LGD M (ε τ C τ ) +. Hvis værdien af kollateralen er større eller lig værdien af kontrakten, returneres overskydende kollateral og investoren lider intet tab. Samlet tab for investoren i tilfælde 1 kan altså skrives som: 1 {τ=τm <T }1 {ετ >0}1 {Cτ >0}LGD M (ε τ C τ ) + 2: ε τm > 0, C τm < 0 På fallittidspunktet har den handlede kontrakt positiv værdi for investoren, men denne har selv stillet kollateral til modparten. Investoren har da både en eksponering overfor kontraktens værdi samt kollateralen. Han taber her andelen LGD M på kontraktens værdi samt LGD M på kollateralen. Dette kan vi skrive som: [ ] 1 {τ=τm <T }1 {ετ >0}1 {Cτ <0} LGDM ε τ LGD M C τ 41

43 3: ε τm < 0, C τm > 0 I dette tilfælde har kontrakten en negativ værdi for investoren, men denne ligger selv inde med kollateral stillet af modparten. Modsat tilfælde 2, hvor det var investoren, der bar den fulde eksponering overfor værdien af både kontrakten og kollateralen, er det nu modparten, der bærer denne. Investoren har altså her ingen eksponering, og derved intet tab. 4: ε τm < 0, C τm < 0 I det sidste tilfælde har kontrakten negativ værdi for investoren, når modparten går fallit, og investoren har stillet kollateral til rådighed for modparten. Såfremt der er stillet nok kollateral til at dække hele værdien af kontrakten, har investoren en eksponering overfor den resterende kollateral, og taber andelen LGD M af denne. Hvis kollateralen ikke dækker hele kontraktens værdi, betaler investoren resten af denne. Dette er ikke et decideret tab for investoren, men blot afregning af kontraktens værdi. Tabet for investoren kan da skrives som: 1 {τ=τm <T }1 {ετ <0}1 {Cτ <0}LGD M (ε τ C τ ) + Det ses, at vi i alle fire tilfælde kan opskrive investorens tab, som: 1 {τ=τm <T } ( ( LGD M ε + τ C τ ) + + ( + LGDM ε τ Cτ ) ) + Hvis de tilsvarende fire tilfælde opstilles hvor investoren går fallit først, vil disse kunne opskrives som 1 {τ=τi <T } ( ( LGD I ε τ Cτ ) ( + LGDI ε + τ C τ + ) ) Samlet set kan vi nu kunne opskrive BCCVA udtrykket, som den Q-forventede tilbagediskonterede værdi af disse tab, hvorved vi har: ( ( BCCV A(t, T, C) = E t [1 {τ=τm <T }D(t, τ) LGD M ε + τ C τ ) + + ( + LGDM ε τ Cτ ) + )] ( ( E t [1 {τ=τi <T }D(t, τ) LGD I ε τ Cτ ) ( + LGDI ε + τ C τ + ) )] (6.2) Første led i dette udtryk er justeringen, der tager højde for, at modparten kan gå fallit. Jeg vil fremadrettet referere til denne som CVA delen. Denne justering påvirker den risikofyldte kontrakts værdi negativt. Jo større sandsynlighed der er for at modparten går fallit, og jo større tab investoren har ved dette, des mindre er kontrakten værd for investoren. Andet led i BCCVA udtrykket er justeringen der tager højde for, at investoren selv kan gå fallit. Denne vil jeg fremadrettet referere til som DVA delen. Denne påvirker værdien af den risikofyldte kontrakt 42

44 positivt 1 for investoren. Vi har her den tidligere omtalte DVA controversy, hvor kontrakten kan stige i værdi set fra investorens side, hvis dennes kreditværdighed falder. Jeg vil fremadrettet i afhandlingen arbejde videre med tre forskellige udgaver af BCCVA udtrykket. Jeg skelner her mellem følgende tre tilfælde: Når der ikke er aftale om kollateralstillelse. Når der er aftale om kollateralstillelse, og denne ikke må geninvesteres af modtageren. Når der er aftale om kollateralstillelse, og det er tilladt for modtageren at geninvestere denne. Uden kollateralstillelse forsvinder risikoen for, at miste den kollateral som man selv har stillet til rådighed. Omvendt kan man ikke længere benytte eventuel modtaget kollateral til at dække et eventuelt tab. Vi har her: [ BCV A(t, T ) = BCCV A(t, T, 0) = E t 1{τ=τM <T }D(t, τ)lgd M ε + ] τ [ E t 1{τ=τI <T }D(t, τ)lgd I ε ] (6.3) τ Når der er aftale om kollateralstillelse, og denne ikke må geninvesteres, er stilleren af kollateralen sikker på ikke at miste noget af denne, såfremt modtageren går fallit. Kollateralmodtageren har dog stadig fordelen af at kunne afdække et eventuelt tab med kollateralen, såfremt stilleren går fallit. Vi har her LGD i = 0, og BCCVA udtrykket reduceres til: ( BCCV A(t, T, C) = E t [1 {τ=τm <T }D(t, τ)lgd M ε + τ C τ + ) ] + ( E t [1 {τ=τi <T }D(t, τ)lgd I ε τ Cτ ) ] (6.4) Det ses her, at kollateralen kun indgår i udtryk, hvor den er med til at reducere det forventede tab mod modparten. Såfremt det er tilladt at geninvestere modtaget kollateral, har vi det fulde BCCVA udtryk som angivet i (6.2): ( ( BCCV A(t, T, C) = E t [1 {τ=τm <T }D(t, τ) LGD M ε + τ C τ ) + + ( + LGDM ε τ Cτ ) )] + ( ( E t [1 {τ=τi <T }D(t, τ) LGD I ε τ Cτ ) ( + LGDI ε + τ C τ + ) )] (6.5) I udtrykkene (6.3), (6.4) samt (6.5) haves en forholdsvis general opsætning af BCCVA med og uden kollateralstillelse. Det er dog endnu ikke specificeret hvilket produkt modparts risikoen beregnes på. Disse ligninger vil derved kunne benyttes til at beregne BCCVA på en lang række forskellige typer af produkter. I kommende afsnit specificeres ligningerne til at angive BCCVA for CDS kontrakter, og jeg ser på hvordan denne størrelse kan beregnes. 1 Grundet (ε τ C τ ) delene ved vi at udtrykket i forventningstegnet i sig selv er negativt, hvorfor minustegnet foran forventningen gør hele udtrykket positivt. 43

45 6.3 BCCVA for credit default swaps Værdien af en CDS på tid t med udløb tid T uden modpartsrisiko ved vi fra (3.18) kan udtrykkes som: CDS(t, T, T, S) = 1 {τr >t} S [ T t D(t, s)(s T β(s) 1 )dq (τ R > s G t ) n α i SD(t, T i )Q (τ R > T i G t ) i=β(t) (1 REC R ) T t ] D(t, s)dq (τ R > s G t ) For at lette notationen vil jeg i det følgende blot referere til denne som CDS t. Med udgangspunkt i denne kan udtrykkene for værdien af kollateralkonten som angivet i ligning (6.1) specificeres som: M t0 := 0, M tn := 0, M u := CDS γ(u) D(γ(u), u), M ti := CDS ti Vi kan nu benytte udtrykkene for værdien af henholdsvis CDS kontrakten samt kollateralkontoen til at specificere de generelle BCCVA udtryk (6.3),(6.4) og (6.5) som nedenstående tre: I tilfældet uden kollateralstillelse: [ BCV A(t, T ) = E t 1{τ=τM <T }D(t, τ)lgd M CDS τ + ] [ E t 1{τ=τI <T }D(t, τ)lgd I CDSτ ] I tilfældet, hvor der stilles sikkerhed, men denne ikke må geninvesteres: [ ( ) ) + + ] BCCV A(t, T, C) = E t 1 {τ=τm <T }D(t, τ)lgd M (CDS τ + CDSγ(τ ) D(γ(τ), τ) [ ( ) ) ] E t 1 {τ=τi <T }D(t, τ)lgd I (CDSτ CDSγ(τ ) D(γ(τ), τ) Samt i tilfældet, hvor der stilles sikkerhed, og det er tilladt at geninvestere denne: 44

46 BCCV A(t, T, C) = ( E t 1 {τ=τm <T }D(t, τ) LGD M (CDS τ + CDSγ(τ ) D(γ(τ), τ) ) + ) + + LGD M ( CDS τ ( CDSγ(τ ) D(γ(τ), τ) ) ) + ( ) ) ( E t 1 {τ=τi <T }D(t, τ) LGD I (CDSτ CDSγ(τ ) + LGD I CDS τ + D(γ(τ ), τ) ( CDSγ(τ ) D(γ(τ), τ) ) ) + For at kunne beregne disse størrelser, ses, at vi primært skal kunne bestemme værdien af en CDS på to forskellige tidspunkter. Vi skal kunne beregne: 1. Værdien af CDS en på tidspunktet, hvor enten investor eller modpart går fallit, altså CDS τi samt CDS τm. 2. Værdien af CDS en på tidspunktet, hvor seneste rebalancering af kollateralkontoen fandt sted, lige inden fallit af enten modpart eller investor, altså CDS γ(τi ) samt CDS γ(τm ). For kunne finde værdien af CDS en på tidspunkt τ, skal vi kunne beregne sandsynligheden for at referenceenheden går fallit på et fremtidigt tidspunkt t > τ, betinget med informationen tilgængelig på tidspunkt τ. Dette giver os nedenstående to sandsynligheder: 1 {τ=τm T }1 {τr >τ M }Q(τ R > t G τm ) (6.6) 1 {τ=τi T }1 {τr >τ I }Q(τ R > t G τi ) (6.7) For at kunne beregne værdien af CDS en på tidspunkt γ(τ ), skal vi kunne beregne sandsynligheden for, at referenceenheden går fallit på et fremtidigt tidspunkt t, betinget med informationen tilgængeligt på et givent tidspunkt u < τ. Dette giver nedenstående to sandsynligheder, som vi skal beregne for u < τ < t: 1 {τ=τm <T }1 {τr >u}q(τ R > t G u ) (6.8) 1 {τ=τi <T }1 {τr >u}q(τ R > t G u ) (6.9) Fremadrettet vil jeg referere til sandsynlighederne i (6.6) og (6.7) som ondefault sandsynligheder, med reference til at det er sandsynligheder der skal benyttes på tidspunktet for fallit af enten investor eller modpart. Ligeledes vil sandsynlighederne i (6.8) samt (6.9) blive benævnt som predefault sandsynlighe- 45

47 der, da disse skal benyttes på et givent tidspunkt før fallit. Jeg vil i næste afsnit redegøre for, hvordan disse to typer af betingede sandsynligheder kan beregnes Beregning af on-default og pre-default sandsynligheder Jeg starter dette afsnit med at opstille udtryk for predefault, samt ondefault sandsynlighederne. Efterfølgende redegøres for beviset for disse resultater. Til at udtrykke både pre- og ondefault sandsynlighederne definerer jeg funktionen ϕ u, som den simultane fordeling af fallittidspunkterne for henholdsvis investor, referenceenhed og modpart: ϕ u (w, x, v) = Q(τ I > w τ R > x τ M > v F u ) Med denne kan predefault sandsynlighederne opskrives ved: Lad u < τ < t, således at hverken investor eller modpart er gået fallit på tidspunkt u. Sandsynligheden for at referenceenheden overlever frem til et fremtidigt tidspunkt t, betinget med information til rådighed på tid u, kan vi da skrive som: ϕ u (u, t, u) 1 {τr >u}q(τ R > t G u ) = 1 {τr >u} ϕ u (u, u, u) (6.10) For ondefault sandsynlighederne har vi: Antag at ϕ u (u, x, y) samt ϕ u (y, x, u) er differentiable med hensyn til y. I tilfælde af at modparten går fallit først, og heraf τ = τ M, er sandsynligheden for at referenceenheden overlever op til et givent tidspunkt t > τ M givet ved 1 {τ=τm T }1 {τr >τ M }Q(τ R > t G τm ) = lim u τm 1 {u T } 1 {τr >u} y ϕ u(u, t, y) y=τm (6.11) y ϕ u(u, u, y) y=τm I tilfælde af at investoren går fallit først, og heraf τ = τ I, er sandsynligheden for at referenceenheden overlever op til et givent tidspunkt t > τ I givet ved 1 {τ=τi T }1 {τr >τ I }Q(τ R > t G τi ) = lim u τi 1 {u T } 1 {τr >u} y ϕ u(y, t, u) y=τm (6.12) y ϕ u(y, u, u) y=τm 46

48 En af hjørnestenene i beviset for både predefault, samt ondefault sandsynlighederne er Lemma fra Bielecki and Rutkowski (2004), som også blev benyttet til at udlede en række tekniske resultater for intensitetsmodellen i afsnit Denne gang skal vi bruge det på en mere generel form. For en G-målelig variabel Y har vi for F t G t : E [ ] 1 {τ>t} Y G t = Q (τ > t Gt ) E [ ] 1 {τ>t} Y F t (6.13) Q (τ > t F t ) Bevis for pre-default sandsynlighed For pre-default sandsynligheden har vi: 1 {τr >u}q (τ R > t G u ) = 1 {τr >u}e [ ] [ ] 1 {τr >t} G u = E 1{τR >u}1 {τr >t} G u Ved at benytte (6.13) med Y = 1 {τr >t} får vi dette til = Q (τ R > u G u ) E [ ] 1 {τr >u}1 {τr >t} F u Q (τ R > u F u ) Sandsynligheden, der er ganget på brøken, kan vi udtrykke som en indikatorfunktion, da informationen om τ R > u ligger i G u. Derudover har vi 1 {τr >u}1 {τr >t} = 1 {τr >t}, da t > u, hvilket giver os E [ ] 1 {τr >t} F u = 1 {τr >u} E [ ] 1 {τr >u} F u Da vi i tilfældet med predefault sandsynligheden netop har u < τ < t, ved vi at τ M > u samt τ I > u. Vi kan herved skrive ovenstående udtryk som: E [ ] 1 {τr >t}1 {τi >u}1 {τm >u} F u = 1 {τr >u} E [ ] 1 {τr >u}1 {τi >u}1 {τm >u} F u E [ ] 1 {τr >t τ = 1 I >u τ M >u} F u {τr >u} E [ ] 1 {τr >u τ I >u τ M >u} F u Q (τ R > t τ I > u τ M > u F u ) = 1 {τr >u} Q (τ R > u τ I > u τ M > u F u ) Hvorved vi nu kan opskrive: ϕ u (u, t, u) 1 {τr >u}q(τ R > t G u ) = 1 {τr >u} ϕ u (u, u, u) og altså er nået til resultatet i (7.14). 47

49 Bevis for ondefault sandsynlighed I nedenstående vil beviset for (6.11) blive gennemgået, hvor det er modparten, der går fallit først. Tilfældet i (6.12) hvor det er investoren, der går fallit først er helt analogt hertil, og vil derfor ikke blive gennemgået. Der startes med et teknisk resultat fra Brigo et al. (2014), hvor vi i Lemma 3.1 har : E ζ [X] = lim u ζ E u [X] hvor ζ er en endelig G-stoppetid og X er en integrabel stoakastisk variabel. Med dette kan vi opskrive udtrykket i (6.6) som: hvor 1 {τ=τm T }1 {τr >τ M }Q(τ R > t G τm ) = lim u τm 1 {τ=u T } f(u) f(u) = 1 {τr >u}q(τ R > t G u ) = 1 {τr >u}e [ 1 {τr >t} G u ] = E [ 1{τR >t}1 {τr >u} G u ] Da u > τ 2, har vi G u G τm σ(τ M ), og herved G u F u H I u σ(τ M ). Vi kan da benytte (6.13), hvor vi sætter Y = 1 {τ>t} til at opskrive: f(u) = Q(τ R > u G u ) EQ [ 1 {τr >t}1 {τr >u} F u H I u σ(τ M ) ] E Q [ 1 {τr >u} F u H I u σ(τ M ) ] Da informationen om hvorvidt τ R > u ligger i G u, har vi Q(τ R > u G u ) = 1 {τr >u}. Da t > u vil 1 {τr >t}1 {τr >u} = 1 {τr >t}. Vi kan hermed opskrive: E Q [ 1 {τr >t} F u Hu I σ(τ M ) ] f(u) = 1 {τr >u} E [ Q 1 {τr >u} F u Hu I σ(τ M ) ] (6.14) Vi kigger herfra på henholdsvis tæller og nævner hver for sig. I tælleren har vi: E Q [ 1 {τr >t} F u H I u σ(τ M ) ] Da vi arbejder med on-default sandsynligheden, hvor τ = τ M, og det altså er modparten der går fallit først, har vi τ I > τ M. Vi må derfor også have τ I > u for grænsetilfældet u τ M. Herved kan vi skrive ovenstående som: 1 {τi >u}e Q [ 1 {τr >t} F u Hu I σ(τ M ) ] = E Q [ 1 {τi >u}1 {τr >t} F u Hu I σ(τ M ) ] 48

50 Da F u Hu I σ(τ M ) F u kan vi igen benytte (6.13) til at omskrive dette udtryk. Vi sætter her Y = 1 {τr >t} og får: E Q [ 1 {τi >u}1 {τr >t} F u Hu I σ(τ M ) ] = Q ( τ I > u F u Hu I σ(τ M ) ) E [ ] 1 {τr >t}1 {τi >u} F u Q (τ I > u F u ) Grundet informationen i H I u har vi Q ( τ I > u F u H I u σ(τ M ) ) = 1 {τi >u} og kan skrive ovenstående udtryk som E [ ] 1 {τr >t}1 {τi >u} F u 1 {τi >u} E [ ] 1 {τi >u} F u Vi ved at 1 {τr >0} = 1. Ydermere har vi for ethvert y < τ M at 1 {τm >y} = 1. For y < τ M kan vi altså skrive: E [ ] 1 {τi >u}1 {τr >t}1 {τm >y} F u 1 {τi >u} E [ ] 1 {τi >u}1 {τr >0}1 {τm >y} F u Da 1 {τm >τ M } = 0, har vi at E [ 1 {τi >u}1 {τr >t}1 {τm >τ M } F u ] = 0. Vi kan derfor trække dette udtryk fra både tæller og nævner uden at dette ændrer på brøkens værdi. Ganger vi efterfølgende med ( 1) i både tæller og nævner har vi: E [ ] [ ] 1 {τi >u}1 {τr >t}1 {τm >τ 1 M } F u E 1{τI >u}1 {τr >t}1 {τm >y} F u {τi >u} E [ ] [ ] 1 {τi >u}1 {τr >t}1 {τm >τ M } F u E 1{τI >u}1 {τr >0}1 {τm >y} F u Dividerer vi nu både tæller og nævner med τ M y, udgør begge en differenskvotient. Ved at tage grænseværdien til disse for y τ M får vi derved to differentialkvotienter evalueret i punktet y = τ M : lim y τ M E [ ] [ ] 1 {τi >u}1 {τr >t}1 {τm >τ M } F u E 1{τI >u}1 {τr >t}1 {τm >y} F u 1 τ M y {τ I >u} E [ ] [ ] 1 {τi >u}1 {τr >t}1 {τm >τ M } F u E 1{τI >u}1 {τr >0}1 {τm >y} F u τ M y = 1 {τi >u} y E [ ] 1 {τi >u}1 {τr >t}1 {τm >y} F u y E [ ] 1 {τi >u}1 {τr >0}1 {τm >y} F u y=τm y=τm Vi kan omskrive forventningerne i denne brøk til sandsynligheder, hvorved vi får: 49

51 1 {τi >u} y Q (τ I > u τ R > t τ M > y F u ) y Q (τ I > u τ R > 0 τ M > y F u ) y=τm y=τm y ϕ u(u, t, y) = 1 {τi>u} y ϕ u(u, 0, y) y=τm y=τm Vi har nu udtrykt tælleren i (6.14) som: E Q [ 1 {τr >t} F u Hu I σ(τ M ) ] y ϕ u(u, t, y) = 1 {τi >u} y ϕ u(u, 0, y) y=τm y=τm Foretages en række tilsvarende beregninger for nævneren i (6.14), kan man udtrykke denne som: Sættes udtrykkene ind i (6.14), får vi: E Q [ 1 {τr >u} F u Hu I σ(τ 2 ) ] y ϕ u(u, u, y) = 1 {τi >u} y ϕ u(u, 0, y) y=τm y=τm E Q [ 1 {τr >t} F u Hu I σ(τ M ) ] f(u) = 1 {τr >u} E [ Q 1 {τr >u} F u Hu I σ(τ M ) ] = 1 {τi >u} 1 {τi >u} y ϕ u(u, t, y) y ϕ u(u, 0, y) y ϕ u(u, u, y) y ϕ u(u, 0, y) y=τm y=τm y=τm y=τm = y ϕ u(u, t, y) y ϕ u(u, u, y) y=τm y=τm Vi kan da skrive ondefault sandsynligheden i tilfældet hvor modparten går fallit først som: 1 {τ=τm T }1 {τr >τ M }Q(τ R > t G τm ) = lim u τm 1 {τ=u T } Hvormed vi har fundet resultatet som angivet i (6.11). y ϕ u(u, t, y) y ϕ u(u, u, y) y=τm y=τm 50

52 Kapitel 7 Numerisk beregning af BCCVA Jeg vil i dette kapitel præsentere en numerisk fremgangsmåde til at beregne værdien af BCCVA for en credit default swap, som opstillet i forrige kapitel. Metoden bygger på, at vi kan approksimere den forventede værdi af en stokastisk variabel X, E [X], ved at simulere en række udfald for X og herefter bestemme forventningen til X som gennemsnittet af disse udfald. Værdien af BCCVA bestemmes gennem en række forskellige simuleringer. Først simuleres tidspunktet for første fallit af henholdsvis investor, referenceenhed og modpart. Såfremt det er referenceenheden, der går fallit først, eller ingen af de tre enheder går fallit inden udløb af CDS kontrakten, afregnes kontrakten som normalt. Hverken investor eller modpart lider et tab som følge af, at den anden er gået fallit. Såfremt det enten er investor eller modpart, der går fallit først, og dette sker inden udløb af kontrakten, skal tabet for den overlevende part opgøres. Tabet for den overlevende part opgøres ved at bestemme værdien af de tilbageværende betalinger i CDS kontrakten samt værdien af kollateralen på fallittidspunktet. Til dette skal vi benytte de pre- og ondefault sandsynligheder, der i sidste kapitel blev udtrykt ved brug af ϕ u funktionen. Som jeg vil gennemgå senere i dette kapitel, bestemmes værdien af denne funktion gennem en række nye simulationer. Ved at køre en enkelt simulation af første fallit som beskrevet ovenfor og bestemme værdien af CDS samt kollateral i dette tilfælde, kan vi altså opgøre værdien af tabet den overlevende part har i dette ene fallittilfælde. Ved at køre en lang række af disse simulationer vil vi da kunne approksimere værdien af BCCVA som den gennemsnitlige tilbagediskonterede værdi af disse tab. De kommende afsnit i dette kapitel er bygget op som følgende: Først genopfriskes fallitmodellen, som gennemgået i del I af afhandlingen. Denne benytter jeg til at modellere fallittidspunktet for de tre enheder. Herefter redegør jeg i afsnit 7.2 for, hvordan simulation af første fallittidspunkt foretages. I 7.3 opstilles et udtryk for ϕ u funktionen, og det gennemgåes, hvordan denne kan approksimeres gennem en række simulationer. Det viser sig, at dette kræver beregning af fordelingsfunktionen for den integrerede intensitetsproces gennem en invers Fourier transformation, hvilket bliver gennemgået i afsnit 7.4. Når vi er i stand til at beregne den simultane fordeling af fallittidspunkterne ϕ, kan vi benytte denne til at beregne pre- og ondefault sandsynlighederne som opstillet i sidste kapitel. Dette gøres i afsnit 7.5, 7.6 og 7.7. I afsnit 7.8 opridses hvordan vi kan benytte de beregnede sandsynligheder til at bestemme værdien af CDS kontrakten samt kollateralkontoen på fallittidspunktet. I afsnit 7.9 opsummeres. 51

53 7.1 Fallitmodel For at modellere fallittidspunkterne for henholdsvis investor, referenceenhed samt modpart, benytter jeg fallitmodellen opstillet i afsnit 3.2. Herfra husker vi, at fallittidspunktet τ i for en given virksomhed i, er givet som første gang en Cox proces springer. Dette kan vi skrive som: τ i = inf { t : t 0 λ i (X s )ds E i } hvor intensitetsprocessen λ i (t) modelleres som en CIR proces med dynamik ved: (7.1) dλ i (t) = κ i (θ i λ i (t))dt + σ i λi dw i (t), λ i (0) = λ i,0 (7.2) Som nævnt tidligere indeholder en Cox proces to typer af stokatisk, som vi netop kan se af ovenstående to udtryk. Vi har dels den eksponentialfordelte variabel E i fra (7.1), samt den brownske bevægelse i intensitetsprocessen i (7.2). Dette giver to muligheder for at bringe korrelation ind i setuppet. Jeg har i denne afhandling valgt at lade de eksponentialfordelte variable være korreleret. De brownske bevægelser dw i (t) i CIR processerne lader jeg være ukorrelerede. 7.2 Simulering af første fallittidspunkt For at simulere tidspunktet for første fallit skal vi dels simulere stien for de tre intensitetsprocesser, hørende til henholdsvis investor, referenceenhed samt modpart, λ I (t), λ R (t), λ M (t), og dels simulere tre korrelerede eksponentialfordelte variable E I, E R, E M. Tidspunktet for første fallit har vi da som første gang en af intensitetsproceserne opfylder at t 0 λ i(s)ds E i. For at lette notationen vil jeg i det følgende benytte Λ i (s, t) = t s λ i(z)dz for værdien af intensitetsprocessen, integreret mellem tidspunkt s og t. Stien for de tre intensitetsprocesser simuleres med udgangspunkt i dynamikken i (7.2). Givet at vi kender værdien af processen på tidspunkt t, kan vi opskrive værdien på tid t + t som: λ i (t + t) = λ i (t) + t+ t t t+ t κ i (θ i λ i (s)) ds + σ i λi (s)dw i (s) t Diskretiseres dette udtryk, kan værdien af λ(t + t) approksimeres som λ i (t + t) = λ i (t) + κ i (θ i λ i (t)) t + σ i λ(t) (Wi (t + t) W i (t)) Fra teorien om brownske bevægelser ved vi at W i (t + t) W i (t) = tz i, hvor Z i er en standardnormalfordelt stokastisk variabel. Vi har da: λ i (t + t) = λ i (t) + κ i (θ i λ i (s)) t + σ i λi (s)z 52

54 Givet parameterværdier κ i, θ i, σ i samt initialværdien for processen λ i (0), kan vi simulere værdien af λ( t). Denne kan vi benytte til at simulere værdien for λ(2 t), og således fortsætte iterativt til et ønsket t er opnået. I hver af iterationerne benyttes en ny standardnormalfordelt variabel Z i til simuleringen af den brownske bevægelse, således at tilvæksterne i denne, W i (t + t) W i (t), W i (t + 2 t) W i (t + t),... er indbyrdes uafhængige. Udover stien for de tre intensitetsprocesser skal også benyttes tre eksponentialfordelte variable til at bestemme første fallittidspunkt. For at bringe korrelation ind mellem disse benyttes en copulafunktion. For en uniformt fordelt variabel U i og en eksponentialfordelt variabel E i gælder sammenhængen E i = ln (1 U i ). For at korrelere E I, E R og E M lader jeg deres respektive uniformt fordelte variable, U M, U R, U M, være forbundet gennem en trivariat Gaussisk copulafunktion: C ρ (u I, u R, u M ) = Q(U I < u I, U R < u R, U M < u M ) hvor ρ angiver korrelationsmatricen for den trivariate gaussiske fordeling, indeholdende korrelationerne ρ IR, ρ IM, ρ RM mellem henholdsvis investor og referenceenhed, investor og modpart samt referenceenhed og modpart. Man kan da generere et sæt af korrelerede eksponentialfordelte variable ved at følge nedenstående tre skridt: 1. Fra den multivariate standardnormalfordeling med given korrelationsmatrice ρ, trækkes et sæt af tre korrelerede variable Z I, Z R, Z M. 2. Gennem fordelingsfunktionen for den univariate standardnormalfordeling transformeres disse til et sæt af korrelerede uniformt fordelte variable, U i = Φ(Z i ). 3. Gennem E i = ln (1 U i ) transformeres de uniformt fordelte variable til et sæt af eksponentialfordelte variable. Til at simulere en række tidspunkter for første fallit har jeg programmeret en funktion, der henholdsvis danner tre korrelerede eksponentialfordelte variable, samt simulerer stien for de tre intensitetsproceser. Denne simulering sker frem til enten tidspunktet for første fallit, Λ i (0, t) E i, eller til et fastsat T, der angiver udløb af den CDS kontrakt, der regnes for. Koden til denne funktion findes i bilag C.2.1 Som parameterværdier for de tre intensitetsprocesser benyttes de estimerede parametre fra kalibreringen af CDS modellen i kapitel 4. Jeg benytter her de sæt af parametre, der blev estimeret til at fitte hele periode 2 for henholdsvis Deutsche Bank, Repsol SA og Portugal Telecom. Disse selskaber har tre forskellige risikoprofiler, som jeg fremadrettet vil referere til som lav, mellem, og høj. Vi har her nedenstående parametre 1 : 1 Værdien af λ(0) er den værdi der blev estimeret for processen på første dag i perioden. 53

55 κ θ σ λ(0) Lav Mellem Høj Som nævnt i kapitel 3 sikrer Feller betingelsen, 2κ i θ i > σi 2, i teorien, at λ i(t) er en strengt positiv proces. Dette gælder dog kun i kontinuert tid. Når processen simuleres diskret, kan der forekomme tilfælde i simulationen, hvor processens værdi er så tæt på 0, at en tilpas negativ værdi af Z gør processen negativ. Dette giver en fejl i næste iteration, da vi i volatilitetsledet da har λ(t) for λ(t) < 0. Jo mindre tidsskridt, t, der benyttes i simuleringen, jo mindre sandsynligt er det, at et sådan tilfælde vil forekomme. Det er dog umuligt at gardere sig fuldstændig imod dette. Samtidig vil simuleringen blive mere beregningstung, jo mindre t er. I funktionen jeg har programmeret til at simulere første fallittilfælde, startes simuleringen af et givent fallittidspunkt forfra, såfremt en af de tre processer antager en negativ værdi. På figur 7.1 har jeg vist et eksempel på simuleringen af tidspunktet for første fallit med ρ IR = ρ IM = ρ RM = 0.4. På venstre figur ses en simuleret sti for tre intensitetsprocesser med forskellige risikoprofiler. På højre figur er vist udviklingen af de integrerede processer, hvor jeg har markeret værdien af tre eksponentialfordelte variable med stiplede linjer. På trods af at den integrerede intensitetsproces for enheden med høj risikoprofil ligger langt højere end de to andre, er det i dette tilfælde enheden med mellem risikoprofil, der går fallit først, da denne har trukket en lav eksponentialfordelt variabel. Figur 7.1: Simulering af første fallittidspunkt 7.3 Simultan overlevelsessandsynlighed I forrige kapitel blev ϕ u (v, s, w) defineret som den simultane sandsynlighed for at investor, referenceenhed samt modpart overlever op til henholdsvis tidpunkt v, s, w, givet filtreringen F u.: 54

56 ϕ u (v, s, w) = Q((τ I > v) (τ R > s) (τ M > w) F u ) Med fallitmodellen beskrevet tidligere, kan vi udtrykke denne, som sandsynligheden for, at hver af de tre integrerede intensitetsprocesser på henholdsvis tidspunkt v, s og w er mindre end en eksponentialfordelt variabel: [ ] ϕ u (v, s, w) = E Q (Λ I (0, v) < E I ) Q (Λ R (0, s) < E R ) Q (Λ M (0, w) < E M ) F u Som tidligere defineret, er de brownske bevægelser i intensitets processerne dw I (t), dw R (t), dw M (t) ukorreleret, hvorfor intensitetsprocesserne er indbyrdes uafhængige. Vi kan derfor opskrive den simultane sandsynlighed ovenfor, som produktet af dens marginale sandsynligheder: ϕ u (v, s, w) = E [Q (Λ I (0, v) < E I F u ) Q (Λ I (0, s) < E R F u ) Q (Λ I (0, w) < E M F u )] Da disse er betinget med filtreringen F u, kender vi både værdien af de tre intensitetsprocesser λ i (z) samt de integrerede versioner af disse Λ i (0, z), for 0 z u. Ovenstående kan derfor udtrykkes som: ϕ u (v, s, w) = E [Q (Λ I (u, v) < E I Λ I (0, u) F u ) Q (Λ R (u, s) < E R Λ R (0, u) F u ) Q (Λ M (u, w) < E M Λ M (0, u) F u )] Lader vi F Λi (t 1,t 2 )(x) = Q (Λ i (t 1, t t ) < x F t1 ) betegne fordelingsfunktionen for intensitetsprocesen integreret mellem tid t 1 og t 2, betinget på filtreringen F t1, har vi: ϕ u (v, s, w) = E [ F ΛI (u,v)(e I Λ I (0, u)) F ΛR (u,s)(e R Λ R (0, u)) F ΛM (u,w)(e M Λ M (0, u)) ] Vi har nu fået udtrykt den simultane overlevelsessandsynlighed som produktet af tre fordelingsfunktioner. Såfremt vi kan beregne disse tre, kan værdien af ϕ u (v, s, w) approksimeres ved at generere n sæt af tre korrelerede eksponentialfordelte variable, E j I, Ej R, Ej M, j = 1,..., n. For hver af disse sæt beregnes produktet i det indre af forventningen, og et gennemsnit af disse vil give approksimationen af ϕ u (v, s, w). Vi har da: ϕ u (v, s, w) 1 n F n ΛI (u,v)(e j I Λ I(0, u)) F ΛR (u,s)(e j R Λ R(0, u)) F ΛM (u,w)(e j M Λ M(0, u)) (7.3) j=1 Fordelingsfunktionen for den integrerede CIR proces, F Λi (t 1,t 2 ) kendes ikke på lukket form. Dette gør dens karakteristiske funktion til gengæld. Vi kan derved benytte denne til numerisk at beregne fordelingsfunktionen ved brug af en invers Fourier transformation. Jeg vil i kommende afsnit tage et kig på, hvordan dette foregår. 55

57 7.4 Fourier transformationer og karakteriske funktioner For at beskrive en given stokastisk variabel X R, benyttes oftest variablens tæthedsfunktion f X (x) og dens tilhørende fordelingsfunktion F X (x). For bestemte fordelinger, for eksempel normalfordelingen, kender vi et lukket udtryk for tætheden. Der findes dog også en lang række fordelinger, hvor dette ikke er tilfældet. Vi er her nødt til beregne tætheden numerisk, hvilket netop er hvor Fourier transformationer og den stokastiske variabels karakteristiske funktion kommer i spil. Der eksisterer et 1:1 forhold mellem en stokastisk variabels tæthed og karakteristiske funktion, og såfremt man kender variablens karakteriske funktion, kan man altså entydigt bestemme dens tæthed og omvendt 2. I nedenstående vil jeg med udgangspunkt i Schmelzle (2010) kort redegøre for, hvordan man beregner tætheds- og fordelingsfunktioner ud fra en karakteristisk funktion. Herefter kigges konkret på beregning af fordelingsfunktionen for den integrerede CIR proces, der skal benyttes til at beregne den simultane overlevelsesfunktion. Afsnittet for dette bygger på Teng, Ehrhardt, and Gunther (2012) Generel teori Den karakteriskte funktion φ X (u) for en stokastik variabel X R er defineret som forventningen til den komplekse transformation e iux, hvor i = 1 er den komplekse del og u R: φ X (u) = E [ e iux] Som normalt kan vi beregne denne middelværdi ved at integrere over tætheden for den stokastiske variabel, f X (x) og har da: φ X (u) = E [ e iux] = e iux f X (x)dx hvilket netop er en Fourier transformation af den stokastiske variabels tæthed. Givet denne kan vi med The Inversion Theorem opskrive et udtryk for henholdsvis tætheden f X (x) og fordelingsfunktionen F X (x) for den stokastiske variabel X ved brug af den karakteristiske funktion som: samt f X (x) = 1 e iux φ X (u)du (7.4) 2π F X (x) = π e iux φ X (u) du (7.5) iu Begge disse kan vi omskrive til lidt simplere udtryk. Til dette skal vi benytte følgende to regneregler: 2 Schmelzle (2010):7 56

58 Først skal vi have et udtryk for den komplekse konjugerede karakteristiske funktion. For et komplekst tal z = a + ib er den komplekse konjugering z, givet ved z = a ib. For at finde den komplekse konjugering af den karakteristiske funktion, omskriver vi udtrykket for denne ved brug af Eulers regel, og har φ X (u) = E [ e iux] = E [cos(ux) + i sin(ux)] Med dette kan vi nu opskrive den komplekse konjugering φ X (u) som: φ X (u) = E [cos(ux) i sin(ux)] Idet cosinus og sinus er en henholdsvis lige og ulige funktion, ved vi, at cos( x) = cos(x) samt sin( x) = sin(x). Dette benyttes til at kunne skrive: φ X (u) = E [cos( ux) + i sin( ux)] = E [ e iux] hvoraf vi har: φ X (u) = φ X ( u) Udover den komplekse konjugering af den karakteristiske funktion som fundet ovenfor, skal vi også benytte, at vi kan opskrive henholdsvis den reele samt imaginære del af den karakteriske funktion ved: I første udtryk ser vi dette da Re(φ X (u)) = φ X(u) + φ X ( u) 2, Im(φ X (u)) = φ X(u) φ X ( u) 2i φ X (u) + φ X ( u) 2 = E [ e iux] + E [ e iux] E [cos(ux) + i sin(ux) + cos(ux) i sin(ux)] = 2 2 2E [cos(ux)] = = Re(φ X (u)) 2 og tilsvarende i udtrykket for den imaginære del har vi: φ X (u) φ X ( u) 2i = E [cos(ux) + i sin(ux) (cos(ux) i sin(ux))] 2i = E [2i sin(ux)] 2i = Im(φ X (u)) Med disse regneregler på plads kan vi simplificere udtrykket for tætheden for X givet i (7.4). Vi har her: 57

59 f X (x) = 1 e iux φ X (u)du 2π = 1 [ 0 e iux φ X (u)du + 2π = 1 [ e iux φ X ( u)du + 2π = 1 2π = 1 2π 0 ] e iux φ X (u)du ] e iux φ X (u)du 0 [ 0 ] e iux φ X (u)du + e iux φ X (u)du [ 0 ( 0 )] 2 Re e iux φ X (u)du 0 Hvilket altså giver os: f X (x) = 1 π 0 Re [ e iux φ X (u) ] du Fordelingsfunktionen i (7.5) kan vi med en række tilsvarende beregninger reducere til et udtryk bestående af den reelle del af integralet: F X (x) = π 0 [ e iux ] φ X (u) Re iu De primære fordele ved disse simplificerede udtryk er, at vi dels kun skal integrere over den reelle del af udtrykket, samt at integralet er begrænset til kun at løbe over den positive akse. Selve integralet er vi nødt til at beregne numerisk. Da man i praksis ikke kan gøre dette til en øvre grænse på uendeligt, er man nødt til at sætte en definerbar øvre grænse u max. Jo højere værdi denne sættes til, des mere præcis bliver den numeriske beregning, men denne vil tilgengæld kræve større regnekraft. Ved kun at integrere over den postive akse, i modsætning til hele aksen, slipper vi dels for at sætte en nedre grænse, da denne er givet ved 0, og dels halveres regnekraften, der skal benyttes Fordelingsfunktion for den integrerede CIR proces Fra Teng et al. (2012) kendes udtrykket for den karakteristiske funktion for den integrerede CIR proces. Tilpasset notationen i denne afhandling kan vi opskrive denne som: φ Λ(s,t) (u) = e A(t s,u)+b(t s,u)λ(s) 58

60 hvor A(t, u) = 2κθ σ 2 ( ) b(u) κ b(u) ln(2) + ln exp κ+b(u)t 2 (7.6) a(u) exp (b(u)t) 1 B(t, u) = 2ui ( exp(b(u)t) 1 ) κ b(u) a(u) exp(b(u)t) 1 samt a(u) = κ + b(u) κ b(u), b(u) = + κ 2 2σ 2 ui Med denne vil vi kunne udregne fordelingsfunktionen for den integrerede CIR proces som F Λ((s,t)) (x) = π 0 g(u)du hvor [ ] e iux e A(t s,u)+b(t s,u)λ(s) g(u) = Re iu Vi vil dog løbe ind i det problem, at funktionen g(u) kan vise sig at indeholde diskontinuerte spring for bestemte værdier af u. Dette vil påvirke stabiliteten af det nummeriske integrale og give fejl i fordelingen for Λ(s, t). På figur 7.2 har jeg afbilledet to forskellige eksempler på g(u) for henholdsvis t s = 2 samt t s = 20 hvor vi ser diskontinuiteten. Figur 7.2: Funktionen g(u) for parametrene κ = 0.5, θ = 0.05, σ = 0.5, λ(s) = 0.03, x = 1. På venstre kurve er brugt t s = 2, på højre kurve er brugt t s = 20. På figur 7.3 har jeg plottet de to fordelingsfunktioner for Λ(s, t) beregnet med g(u) funktionerne som 59

61 vist på figur 7.2. Begge funktioner er beregnet med numerisk integration i R ved brug af funktionen integrate med et u max = Vi ser her, at diskontinuiteten for g(u) påvirker beregningen af integralet. Selv uden at vide præcis hvordan den korrekte fordeling ser ud, er den manglende voksende monotonicitet for begge fordelinger et tydeligt tegn på, at der er noget galt. Figur 7.3: Fordelingsfunktionen for Λ(t) for parametrene κ = 0.5, θ = 0.05, σ = 0.5, λ(s) = 0.03, x = 1. På venstre kurve er brugt t s = 2, på højre kurve er brugt t s = 20. Der foretages i Teng et al. (2012) en transformation af g(u) funktionen, der sikrer kontinuiteten af denne. Når jeg skal beregne fordelingsfunktionen til brug i pre- og ondefault sandsynlighederne, benytter jeg denne transformation for at sikre så stabile og korrekte resultater som muligt. Jeg opstiller i nedenstående transformationen, uden dog at argumentere for de konkrete beregninger, der ligger bag. For disse henvises til Teng et al. (2012). Vi starter med at omskrive funktionen A(t, u) fra (7.6) til hvor A(t, u) = α ln(2) + α ln (C(t, u)) (7.7) α = 2κθ σ 2 c(u) = b(u) κ b(u) ( ) c(u) exp (κ+b(u))t 2 C(t, u) = a(u) exp (b(u)t) 1 Kontinuiteten i g(u) sikres nu ved at foretage en såkaldt rotation count correction ved udregningen af ln (C(t, u)) i (7.7). Opstilles udtrykket for henholdsvis a(u) samt c(u) på polar form, samt udtrykket for b(t) på rektangulær form som: 3 Det er kontrolleret at, et højere u max samt skærpede krav til præcisionen i det numeriske integrale ikke leder til pænere resultater 60

62 a(u) = r a e iθa, b(u) = p b + iq b, c(u) = r c e iθc kan vi udtrykke tælleren i C(t, u) som: c(u)e t 2 (κ+b(u)) = r c e iθc e t 2 (κ+p b+iq b ) = r c e i(θc+ t 2 q b)+ t 2 (κ+p b) Da der for et hvert komlekst tal z gælder at z = r z e iθz = r z e i(θz±2kπ), k N, kan vi opskrive tælleren i C(t, u) som: c(u)e t 2 (κ+b(u)) = r e i(θ +2nπ) (7.8) hvor n = θ = arg θc + 2 t q b + π r = mod 2π (c(u)e t 2 (κ+b(u))) (c(u)e t 2 (κ+b(u))) Nævneren i C(t, u) kan tilsvarende opskrives som: Hvorved vi kan kan udtrykke denne ved: a(u)e b(u)t = r a e iθa e t(p b+iq b ) = r a e i(θc+q bt)+p b t a(u)e b(u)t = r e θ +2mπ (7.9) med θc + q b tπ m = 2π θ = arg r = mod (a(u)e b(u)t) (a(u)e b(u)t) Sætter vi udtrykkene fra (7.8) samt (7.9) ind i C(t, u) udtrykket får vi: ( ) c(u) exp (κ+b(u))t 2 C(t, u) = a(u) exp (b(u)t) 1 = r e i(θ +2nπ) r e θ +2mπ = r e i(θ θ +2π(n m)) r Hvorved vi kan udtrykke logaritmen til C(t, u) som: 61

63 ( ) r ln (C(t, u)) = ln + i (θ θ + 2π(n m)) r For at opsummere, kan g(u) funktionen efter denne transformation opskrives som: [ ] e iux e A(t s,u)+b(t s,u)λ(s) g(u) = Re iu (7.10) Hvor n = a(u) = κ + b(u) κ b(u) θc + 2 t q b + π 2π θa + q b t + π m = 2π A(t, u) = α ln(2) + α ln (C(t, u)) (7.11) B(t, u) = 2ui ( ) exp(b(u)t) 1 (7.12) κ b(u) a(u) exp(b(u)t) 1 ( ) r ln (C(t, u)) = ln + i (θ θ + 2π(n m)) r, b(u) = + κ 2 2σ 2 ui, c(u) = b(u) κ b(u), α = 2κθ σ 2 (, θ = arg c(u)e t (κ+b(u))) 2, r = mod (c(u)e t (κ+b(u))) 2 (, θ = arg a(u)e b(u)t), r = mod (a(u)e b(u)t) For at teste effekten af transformationen har jeg på figur 7.4 plottet funktionen g(u) før og efter transformationen. Den røde kurve angiver tilfældet før transformationen, som vi så på figur 7.2, mens den sorte stiplede kurve angiver tilfældet efter transformationen. Vi ser her at vi har opnået den ønskede effekt, og sikret at g(u) efter transformationen er kontinuert. Med den transformerede funktion bør integralet over g(u) blive mere stabilt. Dette bør give en pænere, og mere korrekt, fordelingsfunktionen for Λ(t). På figur 7.5 har jeg plottet denne, beregnet med g(u) før (rød) og efter (sort stiplet) transformationen. Vi ser her tydeligt effekten af transformationen. Ved brug af udtrykkene opstillet i (7.10), (7.11) og (7.12) kan vi altså nu beregne fordelingsfunktionen for den integrerede CIR proces. Dette gør os i stand til at beregne den simultane overlevelsesfunktion, som beskrevet i afsnit 7.3. I de kommende afsnit, kigger jeg på hvordan vi med denne kan beregne preog ondefault sandsynlighederne. 62

64 Figur 7.4: Funktionen g(u) før (rød) og efter(sort stiplet) transformationen Parametre er sat til κ = 0.5, θ = 0.05, σ = 0.5, Λ(t) = 1. På venstre kurve er brugt t s = 2, på højre kurve er brugt t s = 20. Figur 7.5: Fordelingsfunktionen for Λ(s, t) før (rød) og efter (sort stiplet) transformationen af g(u). Parametrene er sat til κ = 0.5, θ = 0.05, σ = 0.5, Λ(t) = 1. På venstre kurve er brugt t s = 2, på højre kurve er brugt t s = Predefault sandsynlighed I kapitel 6 så vi at predefault sandsynligheden, på et givent tidspunkt u, hvor referenceehnheden ikke er gået fallit, kan udtrykkes som: Q(τR > t Gu ) = ϕu (u, t, u) ϕu (u, u, u) (7.13) Udtrykker vi ϕu funktionen med approksimationen fra (7.3), har vi tælleren i (7.13) som n ϕu (u, t, u) = 1X j j FΛI (u,u) (EIj ΛI (0, u)) FΛR (u,t) (ER ΛR (0, u)) FΛM (u,u) (EM ΛM (0, u)) n j=1 63

65 ) For investor samt modpart har vi F Λi (u,u)(e j i Λ i(0, u)) = Q (Λ i (u, u) < E j i Λ i(0, u) F u. Da vi har at Λ i (u, u) = u u λ i(z)ds = 0 vil denne sandsynlighed kunne skrives som en indikatorfunktion med betingelse på, hvorvidt E i Λ i (0, u) er større eller mindre end nul. Vi kan derved opskrive ovenstående udtryk som: ϕ u (u, t, u) = 1 n n j=1 1 {E j I Λ I(0,u)>0} F Λ R (u,t) ( ) E j R Λ R(0, u) 1 {E j M Λ M (0,u)>0} For alle sæt af eksponentialfordelte variable, hvor en af enhederne opfylder at E j i Λ i(0, u) < 0, ser vi at ϕ u (u, t, u) = 0. Vi kan benytte dette til at simplificere ovenstående udtryk og herved gøre beregningen mindre tung. Vi lader ˆn angive antallet af sæt af de eksponentialfordelte variable, hvor E j i Λ i(0, u) > 0 er opfyldt for alle tre enheder. Sorterer vi sættene af de eksponentialfordelte ( variable ) så disse ˆn tilfælde ligger først, vil vi for j = 1,..., ˆn have ϕ u (u, t, u) = 1 F ΛR (u,t) E j R Λ R(0, u) 1. For de resterende j = ˆn + 1,..., n vil vi have ϕ u (u, t, u) = 0. Vi kan da opskrive: ϕ u (u, t, u) = 1 n ˆn F ΛR (u,t) j=1 ( ) E j R Λ R(0, u) Foretager vi tilsvarende omskrivning af nævneren i predefault sandsynligheden, kan vi udtrykke denne rent med indikatorfunktioner, og har her: ϕ u (u, u, u) = 1 n n j=1 1 {E j I Λ I(0,u)>0} 1 {E j R Λ R(0,u)>0} 1 {E j M Λ M (0,u)>0} = ˆn n Vi kan nu opskrive predefault sandsynligheden som: Q(τ R > t G u ) = ( ) 1 ˆn n j=1 F Λ R (u,t) E j R Λ R(0, u) ˆn n = 1ˆn ˆn F ΛR (u,t) j=1 ( ) E j R Λ R(0, u) (7.14) Denne kræver altså kun beregning af fordelingsfunktionen for referenceenheden i ˆn tilfælde. Funktionen jeg har programmeret til at beregne predefault sandsynligheden, findes i bilag C.2.2. Denne benytter følgende input: Tidspunktet u, der angiver seneste tidspunkt for rebalancering af marginkontoen, udløbstidspunktet T for den CDS der regnes BCCVA for, værdien af de tre integrerede intensitetsprocesser på tidspunkt u, samt værdien af intensitetsprocessen for referenceenheden på tidspunkt u. Funktionen opstiller herefter tidspunkterne for de resterende betalinger i CDS kontrakten, der falder mellem tidspunkt u og T, og beregner predefault sandsynligheden for hver af disse. Alle inputparametrene, der benyttes i denne funktion, bliver dannet i funktionen, der beregner første fallittidspunkt. 64

66 7.6 Ondefault sandsynlighed Beregningen af ondefault sandsynligheden kan simplificeres en smule, med samme tilgang som blev benyttet ved predefault sandsynligheden. Da denne er givet som forholdet mellem to differentialkvotienter, kræver den dog lidt yderligere beregninger. Jeg vil i nedenstående gennemgå, hvordan jeg har beregnet denne, med udgangspunkt i tilfældet hvor det er modparten, der er gået fallit. Tilfældet, hvor det er investoren, der går fallit, er helt analogt hertil, og vil derfor ikke blive gennemgået. Antaget at det er modparten der går fallit, at dette sker inden udløb af kontrakten, samt at referenceenheden på dette tidspunkt ikke er gået fallit, ved vi fra kapitel 6, at ondefault sandsynligheden kan udtrykkes som: Q(τ R > t G τm ) = lim u τm y ϕ u(u, t, y) y=τm (7.15) y ϕ u(u, u, y) y=τm De to differentialkvotienter approksimerer jeg med differenskvotienter, og kan da opskrive: Q(τ R > t G τm ) = lim u τ M ϕ u (u, t, τ M δ) ϕ u (u, t, τ M 2δ) δ ϕ u (u, u, τ M δ) ϕ u (u, u, τ M 2δ) δ = lim u τ M ϕ u (u, t, τ M δ) ϕ u (u, t, τ M 2δ) ϕ u (u, u, τ M δ) ϕ u (u, u, τ M 2δ) (7.16) Vi benytter igen approksimationen for ϕ funktionen, som vist i (7.3), og kan opskrive de to led i tælleren som henholdsvis: ϕ u (u, t, τ M δ) = 1 n samt ϕ u (u, t, τ M 2δ) = 1 n n F ΛI (u,u)(e j I Λ I(0, u)) F ΛR (u,t)(e j R Λ R(0, u)) F ΛM (τ M δ,τ M δ)(e j M Λ M (0, τ M δ)) j=1 n F ΛI (u,u)(e j I Λ I(0, u)) F ΛR (u,t)(e j R Λ R(0, u)) F ΛM (τ M 2δ,τ M 2δ)(E j M Λ M (0, τ M 2δ)) j=1 Da disse sandsynligheder er betinget på filtreringen F u, kendes værdien af de tre integrerede intensitetsprocesser Λ i (0, z) for alle tidspunkter 0 z u. Som ved tilfældet i predefault sandsynligheden er det herved kun fordelingen for referenceenheden, vi decideret skal beregne De resterende sandsynligheder kan udtrykkes som indikatorfunktioner. Dette giver: ϕ u (u, t, τ M δ) = 1 n n j=1 1 {E j I Λ I(0,u)>0} F Λ R (u,t)(e j R Λ R(0, u)) 1 {E j M Λ M (0,τ M 2δ)>0} (7.17) 65

67 samt ϕ u (u, t, τ M 2δ) = 1 n n j=1 1 {E j I Λ I(0,u)>0} F Λ R (u,t)(e j R Λ R(0, u)) 1 {E j M Λ M (0,τ M 2δ)} (7.18) For at kunne udtrykke disse simplere, defineres to forskellige betingelser for de eksponentialfordelte variable. Betingelse 1 defineres som: (E j I Λ I(0, u) > 0) (E j R Λ R(0, u) > 0) (E j M Λ M(0, τ M δ) > 0) og jeg lader ˆn 1 angive antallet af de n sæt af eksponentialfordelte variable, der opfylder denne. Betingelse 2 defineres som: E j I Λ I(0, u) > 0 E j R Λ R(0, u) > 0 E j M Λ M(0, τ M 2δ) > 0 og jeg lader ligeledes ˆn 2 angive antallet af de n sæt af eksponentialfordelte variable, der opfylder denne. Da den integrerede intensitetsproces er en monotont voksende proces, vil vi altid have at Λ M (0, τ M 2δ) < Λ M (0, τ M δ). Alle sæt af variable, der opfylder betingelse 1, vil altså også opfylde betingelse 2, hvorfor ˆn 2 ˆn 1. For alle sæt af eksponentialfordelte variable, der ikke opfylder betingelse 1, vil udtrykket i (7.17) give 0. Ligeledes har vi, at udtrykket i (7.18) giver 0 for alle sæt af eksponentialfordelte variable, der ikke opfylder betingelse 2. Sorterer vi de n sæt af eksponentialfordelte variable, således at de første j = 1,..., ˆn 1 sæt både opfylder betingelse 1 og 2, de efterfølgende j = ˆn 1 + 1,..., ˆn 2 kun betingelse 2, og de resterende j = ˆn 2 + 1,..., n hverken opfylder betingelse 1 eller 2, vil vi kunne udtrykke de to led i tælleren i ondefault sandsynligheden som: samt ϕ u (u, t, τ M δ) = 1 n ˆn 1 j=1 F ΛR (u,t)(e j R Λ R(0, u)) (7.19) ϕ u (u, t, τ M 2δ) = 1 n ˆn 2 j=1 F ΛR (u,t)(e j R Λ R(0, u)) (7.20) Kigger vi på de to led i nævneren i ondefault udtrykket i (7.16), vil vi med en række tilsvarende omskrivninger, kunne udtrykke disse rent ved brug af indikatorfunktioner og har her: ϕ u (u, u, τ M δ) = 1 n n j=1 1 {E j I Λ I(0,u)>0} 1 {E j R Λ R(0,u)>0} 1 {E j M Λ M (0,τ M δ)>0} = ˆn 1 n (7.21) 66

68 samt ϕ u (u, u, τ M 2δ) = 1 n n j=1 1 {E j I Λ I(0,u)>0} 1 {E j R Λ R(0,u)>0} 1 {E j M Λ M (0,τ M 2δ)>0} = ˆn 2 n (7.22) Sætter vi udtrykkene i (7.19) og (7.20) samt (7.21) og (7.22) ind i ondefault sandsynligheden fra (7.16) får vi: Q(τ R > t G τm ) = lim u τm Q(τ R > t G τm ) = lim u τm 1 n ˆn 1 j=1 ˆn 1 j=1 F ΛR (u,t)(e j R Λ R(0, u)) 1 n ˆn 1 n ˆn 2 n ˆn 2 j=1 F ΛR (u,t)(e j R Λ R(0, u)) F ΛR (u,t)(e j R Λ ˆn 2 R(0, u)) F ΛR (u,t)(e j R Λ R(0, u)) j=1 ˆn 1 ˆn 2 (7.23) Beregning af ondefaultsandsynligheden kræver altså kun beregning af fordelingsfunktionen for den integrerede intensitetsproces for referenceenheden, for ˆn 2 sæt af de n eksponentialfordelte variable. I selve beregningen skal der tages stilling til, hvor høj værdi for δ der skal benyttes. Jo tættere på 0 denne sættes, jo bedre en approksimation vil differenskvotienten i (7.16) være på differentialkvotienten i (7.15). Dog vil et meget lille δ skabe numeriske udfordringer i beregningen. Dette skyldes, at værdien af den integrerede intensitetsproces for modparten på tidspunkterne τ M δ samt τ M 2δ da næsten vil være ens. Der er herved sandsynlighed for, at antallet af sæt af eksponentialfordelte variable, der opfylder betingelse 1, vil være det samme som antallet af sæt, der opfylder betingelse 2. Hermed fåes ˆn 1 = ˆn 2, hvilket medfører at der i (7.23) divideres med 0. Med et højt sat n, og herved et højt antal sæt af eksponentialfordelte variable, der generes, vil sandsynligheden for at et sådan tilfælde forekommer mindskes. Dette vil dog samtidig gøre beregningen langt tungere. Gennem en række tests har jeg fundet det hensigtsmæssigt at benytte δ = Med denne værdi er det ved brug af n = sæt af eksponentialfordelte variable i gennemsnit 1%-2% af fallittilfældende hvor ˆn 1 = ˆn 2. Udover værdien af δ skal der også tages stilling værdien af u. Denne opstiller jeg som τ M + t, hvor t angiver længden af hvert tidsskridt i simuleringen af de tre intensitetsprocesser, der benyttes til at genere tidspunktet for første fallit af de tre enheder. Funktionen jeg har programmeret til at beregne ondefault sandsynligheden, findes i bilag C.2.3. Denne benytter følgende input: 67

69 Tidspunktet for første fallit, information om hvilken enhed der er gået fallit, samt udløbstidspunktet T for den CDS der regnes BCCVA for. Værdien af den integrerede intensitetsproces for den overlevende part på tidspunkt u. Værdien af intensitetsprocessen, samt den integrerede intensitetsproces for referencehenden på tidspunkt u. Værdien af den integrerede intensitetsproces for parten der går fallit på tidspunkt τ δ samt τ 2δ. Disse inputparametre dannes alle i funktionen, der simulerer første fallittidspunkt. 7.7 Beregning af fordelingsfunktion for referenceenheden Som vi har set i de sidste to afsnit, er det kun nødvendigt at beregne fordelingsfunktionen for den integrerede intensitetsproces for referenceenheden for at kunne beregne pre- og ondefault sandsynlighederne. Fra ved vi, at denne kan beregnes som: med g(u) som defineret i (7.10). F Λ((s,t)) (x) = π 0 g(u)du Dette integrale beregnes numerisk i R. Som nævnt tidligere er det i praksis ikke muligt at integrere til en øvre grænse på uendeligt, og vi er derfor nødt til at sætte en øvre definerbar grænse u max. Kigges på funktionen g(u), udviser denne svingninger, der aftager i størrelse, når u vokser. Værdien af u max bør derfor sættes tilpas højt til, at disse svingninger er så små, at de ikke får betydning for værdien af fordelingsfunktionen. Størrelsen på udsvingende for et givent u afhænger dog af parametrene, der benyttes, samt t s, der beregnes for. Det kan derfor være svært at sætte en entydig optimal værdi af u max. Gennem en række tests har jeg fundet det hensigtsmæssigt at benytte et u max = Med denne, vil udsvingende der forekommer i g(u) funktionen for u > u max, i langt de fleste tilfælde være så små, at de ikke har en reel betydning for beregningen. Ved beregning af fordelingsfunktionen, støder vi primært på to typer af udfordringer: 1. For at få forholdsvis stabile resultater for pre- og ondefault sandsynlighederne, kræves et højt antal sæt af eksponentialfordelte variable. Selv ved brug af n = sæt kan ondefault sandsynlighederne svinge med 2-3 procentpoint mellem hver simulation. Jo højere n sættes, jo flere gange skal fordelingsfunktionen beregnes. Det vil derfor være nyttigt at kunne simplificere beregningen af denne. 2. Trods transformationen, der blev foretaget i afsnit for at sikre stabilitet i integralet over g(u), kan der stadig forekomme tilfælde, hvor beregningen er ustabil. Dette sker primært i to tilfælde, som illustreret på figur 7.6: 68

70 (a) Når x enten er tilpas lav eller høj, så F Λ((s,t)) (x) er meget tæt på enten 0 eller 1, begynder der at forekomme svingninger i værdien for F Λ((s,t)) (x). For værdier af x, der giver F Λ((s,t)) (x) < 10 5, begynder F Λ((s,t)) (x) typisk at svinge mellem 10 5 og For værdier af x, der giver F Λ((s,t)) (x) > , begynder F Λ((s,t)) (x) typisk at svinge mellem og (b) Når både t s samt x antager høje værdier, kan der forekomme enkelte værdier af x, hvor F Λ(s,t) (x) foretager et stort spring. Dette har dog vist sig at forekomme yderst sjældent. Figur 7.6: To typer af stabilitetsproblemer, der kan forekomme ved numerisk beregning af fordelingsfunktionen for den integrerede intensitetsproces. For at tage højde for disse to stabilitetsproblemer, samt sikre så lidt beregningstyngde som muligt, har jeg programmeret en funktion, der afhjælper dette. I funktionerne, der beregner pre- og ondefault sandsynlighedene, som beskrevet tidligere, benyttes denne hjælpe funktion til at beregne fordelingsfunktionen for den integrerede intensitetsproces for referenceenheden. For en given værdi af (t s), samt λ R (s) som fordelingsfunktionen skal beregnes for, bestemmes først et x min, der sættes så højt som muligt, men stadig opfylder F Λ(s,t) (x) < Desuden bestemmet et x max, der sættes så lavt som muligt, men stadig opfylder F Λ(s,t) (x) > Når disse er bestemt, beregnes værdien af fordelingsfunktionen for en række ækvidistante værdier af x i intervallet (x min, x max ). For hver af disse benyttes min(max(f Λ(s,t) (x), 0), 1) for at sikre, at fordelingsfunktionen ikke tager værdier udenfor intervallet [0, 1]. Når værdien af fordelingsfunktionen er beregnet, kontrolleres hvorvidt nogle af disse x værdier har givet anledning til et spring i værdien for fordelingsfunktionen - som illusteret til højre på figur 7.6. Såfremt dette er tilfældet, fjernes dette punkt. Værdierne for fordelingsfunktionen F Λ(s,t) (x min ),..., F Λ(s,t) (x max ) interpoleres nu med en cubic spline med funktionen splinefun i R. Når fordelingsfunktionen skal beregnes for et højt antal værdier af x i funktionerne til pre- og ondefault sandsynligheder, benyttes denne cubic spline til dette for alle værdier af x i intervallet [x min, x max ]. For værder af x der ligger udenfor dette inveterval sættes henholdsvis F Λ(s,t) (x) = 0 for x < x min og F Λ(s,t) (x) = 1 for x > x max. Hermed kan fordelingsfunktionen approksimeres for et forholdsvis højt antal værdier af x, uden at dette kræver voldsomt ekstra beregningstid. Funktionen jeg har programmeret til at beregne splinefunktionen, kan findes i bilag C

71 7.8 Værdi af kollateral samt CDS på fallittidspunktet Ved at beregne pre- og ondefault sandsynlighederne som vist i de forrige afsnit, er det nu muligt at beregne værdien af CDS kontrakten samt kollateralen på fallittidspunktet. I beregningen af CDS kontraktens værdi antages det at denne er indgået på tidspunkt 0, og de faste præmiebetalinger er givet i mængden T = { 1 4, 2 4, , T 1 4, T }. Såfremt referenceenheden går fallit mellem to af disse præmiebetalinger, antages det, at afregningen af kontrakten sker på tidspunktet for førstkommende præmiebetaling. Dette er en lidt grov simplificering, men er nødvendig for at setuppet ikke bliver for beregningstungt. Den risikofri værdi af en CDS kontrakt på tidspunkt τ, antaget at referenceenheden ikke er gået fallit på dette tidspunkt, kan vi set fra beskyttelseskøberens side da opskrive som: CDS(τ, T, T, S) = n i=β(τ) Sα i D(τ, T i )Q (τ R > T i G τ ) (1 REC R ) D(τ, T β(τ) ) ( Q ( ) ) τ R > T β(τ) G τ 1 + n i=β(τ)+1 ( ) D(τ, T i ) Q (τ R > T i G τ ) Q (τ R > T i 1 G τ ) Det antages at opdateringen af kollateralkontoen sker kvartårligt, på de samme tidspunkter hvor præmiebetalingen i CDS kontrakten forekommer. På disse tidspunkter opdateres værdien af kollateralkontoen til at matche værdien af den risikofri CDS kontrakt. For et givent rebalanceringstidspunkt t, hvor ingen af de tre parter er gået fallit, og vi antager at investoren har købt CDS kontrakten, kan vi opskrive værdien af kollateralkontoen som: C t = CDS(t, T, T, S) = n i=β(t) (1 REC R ) Sα i D(t, T i )Q (τ R > T i G t ) n i=β(t)1+ ( ) D(t, T i ) Q (τ R > T i G t ) Q (τ R > T i 1 G t ) For at kunne beregne disse to størrelser, skal vi som nævnt benytte ondefault og predefault sandsynlighederne. Funktionerne jeg har programmeret til at beregne disse, returnerer hver en vektor med sandsynlighederne Q (τ R > T i G τ ) henholdsvis Q (τ R > T i G t ) for de resterende betalingstidspunkter i CDS kontrakten. Til beregning af CDS værdien på et givent tidspunkt, har jeg programmeret en funktion til dette, der som input benytter en vektor med sandsynligheder, et givent spread samt beregningstidspunkt t og udløb T. Koden til denne funktion, kan findes i bilag C Opsummering I kapitel 6 opstillede jeg et udtryk for bilateral modpartsrisiko for en credit default swap når der indgår kollateralstillelse i aftalen. I dette kapitel, er der nu redegjort for hvordan for værdien af den- 70

72 ne modpartsrisiko numerisk kan beregnes gennem en række simulationer. For at kunne foretage disse beregninger, har jeg programmeret en række funktioner. Jeg vil i nedenstående kort opsummere processen der benyttes i disse funktioner, der danner grundlag for resultaterne jeg præsenterer i næste kapitel. Der generes først n tidspunkter for første fallit af henholdsvis investor, referenceenhed samt modpart. For hver simulering dannes en vektor med output indeholdende information om hvilken enhed der er gået fallit, hvilket tidspunkt dette er sket på, samt relevante værdier af intensitetsprocesserne og disses integrerede, for fallittidspunktet samt seneste tidspunkt for marginstillelse. Jeg har i bilag B, vist et eksempel på dette datasæt, for tilfældet hvor alle tre parter er ukorreleret. De simulerede fallittidspunkter opdeles i nedenstående tre tilfælde: 1. Når det er investoren der går fallit først, og dette sker inden udløb af kontrakten, τ = τ I < T. Antallet af disse tilfælde betegner jeg med n I. Disse benyttes til at beregne DVA delen af BCCVA. 2. Når det enten er referenceenheden der går fallit først, eller ingen af parterne går fallit inden udløb af kontrakten. Hverken investor eller modpart lider her et tab, som følge af at den ene går fallit. 3. Når det er modparten der går fallit først, og dette sker inden udløb af kontrakten, τ = τ M < T. Antallet af disse tilfælde betegner jeg med n M. Disse benyttes til at beregne CVA delen af BCCVA. For hvert af tilfældende j = 1,..., n M, hvor det er modparten der går fallit først, opgøres tidspunkterne for de resterende betalinger i CDS kontrakten, samt tidspunktet for seneste rebalancering af kollateralkontoen γ(τ). For disse beregnes en vektor med predefault sandsynligheder, samt en vektor med ondefault sandsynligheder. Disse benyttes til at beregne værdien af CDS kontrakten ved seneste margintidspunkt CDS γ(τ), og værdien af CDS kontrakten på fallittidspunktet CDS τ. Med disse værdier, kan vi for hvert fallittilfælde j bestemme den tilbagediskonterede værdi af tabet som investoren har, med udgangspunkt i formlerne for BCCVA fra kapitel 6. Jeg lader CV A 1 betegne tilfældet uden kollateral, CV A 2 betegne tilfældet med kollateral der ikke må geninveteres og CV A 3 betegne tilfældet med kollateral der må geninvesteres. Vi har da: CV A j 1 = D(t, τ)lgd MCDS τ + ( CV A j 2 = D(t, τ)lgd M CV A j 3 = D(t, τ) [ CDS + τ ( ) ) + + CDSγ(τ) D(γ(τ), τ) ( LGD M (CDS τ + CDSγ(τ) D(γ(τ), τ) ) + ) + + LGD M ( CDS τ ( CDSγ(τ) D(γ(τ), τ) ) ) + ] Når vi har beregnet CV A j 1, CV Aj 2 samt CV Aj 3, for hvert af de j = 1,..., n M tilfælde hvor at modparten går fallit først, kan forventningen til investorens tab approksimeres som: 71

73 n M E[CV A i ] = j=1 CV A j i n Der divideres her med n, der angiver det samlet antal af tidspunkter for første fallit. I tilfældende hvor det ikke er modparten der går fallit først, har investoren intet kredittab, og vi har derfor CV A j i = 0 i disse tilfælde. DVA justeringen beregnes med samme fremgangsmåde, men med udgangspunkt i de n I simuleringer hvor det er investoren der går fallit først. Jeg lader her DV A j 1, DV Aj 2, DV Aj 3 angive tabet modparten har, i hvert af de j = 1,..., n I tilfælde, afhængigt af om der stilles kollateral, og om denne må geninvesteres. Hver af disse beregnes ligeledes med udgangspunkt i BCCVA udtrykket som opstillet i kapitel 6, og det forventede tab for modparten, kan da opstilles som E[DV A i ] = n I j=1 DV A j i n Med disse, kan vi da beregne BCCVA størrelsen som BCCV A i (t, T ) = E[CV A i ] E[DV A i ] Når vi beregner udtryk gennem simuleringer, skal der tages stilling til hvor mange af disse der skal benyttes. Jo flere simuleringer, jo mere præcist og stabilt bliver resultatet, men jo tungere bliver beregningen. Til at danne resultaterne i næste kapitel, har jeg til beregning af hver BCCVA værdi benyttet simuleringer af første fallittidspunkt. Beregning af pre- og ondefault sandsynlighederne er i hvert af disse fallittilfælde foretaget med eksponentialfordelte variable. Som omtalt i afsnit 7.6 kan der opstå fejl ved beregning af ondefault sandsynligheden, hvis der benyttes for få eksponentialfordelte variable, hvorfor det har været nødvendigt at benytte af disse. Dette er samtidig med til at sikre forholdsvis stabile resultater i beregningen af CDS kontraktens værdi. Da fordelingsfunktionen for den integrerede CIR proces beregnes gennem en cubic spline, foregår dette forholdsvis hurtigt, på trods af det høje antal variable. Beslutningen om at benytte 1000 simuleringer af tidspunktet for første fallit er primært taget af hensyn til beregningstiden. For at sikre forholdsvis stabile resultater, er det her nødvendigt med simulering af tidspunkter for første fallit. Dette forlænger dog beregningstiden voldsomt, hvorfor den højere varians ved kun at benytte simuleringer må accepteres. Det er sikret at de kvalitative effekter af kollateralstillelse og korrelation der ses på i næste kapitel, er de samme uanset om der benyttes eller fx simulationer. Det er kun den specifikke værdi af BCCVA der påvirkes af simulationerne. 72

74 Kapitel 8 Resultater Jeg vil i dette kapitel præsentere et eksempel på resultaterne af beregning af BCCVA med metoden som gennemgået i sidste kapitel. Jeg vil her analysere tilfældet hvor både investor, referenceenhed og modpart har en mellem risikoprofil. På den måde vil størrelsen på CVA og DVA kunne sammenlignes direkte. Jeg lader investoren være beskyttelses køber på en 5-årig CDS kontrakt, hvilket gør modparten til beskyttelsessælger. BCCVA værdien beregnes på indgåelsestidspunktet t = 0, med udgangspunkt i at præmien er sat således at den risikofri version af CDS kontrakten på indgåelsestidspunktet har en værdi på 0. Jeg lader den indbyrdes korrelation mellem de 3 enheder være ens så ρ IR = ρ IM = ρ RM, og analyserer effekterne af størrelsen af denne korrelation. At disse er ens, sætter en nedre begrænsning på hvor meget korrelationen kan variere, da simuleringen af eksponentialfordelte variable kræver at kovariansmatricen er positiv definit. Jeg lader derfor korrelationen variere mellem -50% og 90%. Disse antagelser er sat for at kunne opstille et konkret eksempel på BCCVA. Beregning under en række andre antagelser er dog helt lige til med fremgangsmåden beskrevet i sidste kapitel. Således kan der varieres frit på både præmie, beregningstidspunkt og løbetid for CDS kontrakten, risikoprofilen for de 3 enheder samt disses indbyrdes korrelation, så setuppet kan specificeres til et ønsket situation. Alle disse parametre gives blot som inputværdier til funktionerne der kaldes for at beregne BCCVA. Jeg har på figur 8.1 afbilledet størrelsen på CVA justeringen for den 5 årige kontrakt, for forskellige korrelationer. På denne ser vi tre forskellige tendenser, jeg i det nedenstående vil kigge nærmere på. Først og fremmest ses at CVA værdien afhænger stærkt af korrelationen. Dette er uanset om der stilles kollateral eller ej. Hernæst ses at kollateralstillelse har en reducerende effekt på CVA ved lav korrelation, men at denne effekt mindskes når korrelationen øges. Den sidste tendens der ses på figur 8.1, er at det for lave korrelationer stort set ikke har nogen betydning om stillet kollateral må geninvesteres eller ej. Når korrelationen øges, giver tilfældet hvor kollateral må geninvesteres, en smule højere CVA end tilfældet hvor det ikke er tilladt. At øget korrelation får værdien af CVA til at stige er en forventet effekt, og afspejler wrong way risk. Når fallitsandsynligheden stiger for referenceenheden, bliver kontrakten mere værd for investoren. Ved positiv korrelation mellem referenceenhed og modpart, vil fallitsandsynligheden også stige for modparten, hvorved vi har den tidligere omtalte dobbelteksponering. Det modsatte tilfælde, right way risk, har vi ved negativ korrelation. Vi ser her at CVA værdien i alle 3 tilfælde går mod 0. Vi ser at CVA påvirkes meget kraftigt af korrelation, og denne vokser med eksponential hastighed, når der korrelationen øges. Den anden tendens vi ser på figur 8.1, er at effekten af sikkerhedsstillelse, falder betydeligt når korrelationen øges. Uden korrelation er sikkerhedsstillelse med til at reducere modpartsrisikoen med omkring en tredjedel. Når korrelationen øges, mindskes denne effekt dog kraftigt. Alene ved korrelation på 20% vil sikkerhedsstillelse kun reducere risikoen med omkring 10%. Ved korrelation på over 80% er effekten 73

75 Figur 8.1: CVA for beskyttelseskøber af en 5 årig CDS under forskellige korrelationer. omkring 1-2 basispoint. Årsagen til dette ligger i forskellen på pre- og ondefault sandsynlighederne. Når predefault sandsynligheden beregnes, gøres dette med udgangspunkt i informationen tilgængelig på et givent tidspunkt, hvor ingen af de tre parter er gået fallit. Når ondefault sandsynligheden beregnes, gøres dette med information om at enten modpart eller investor er gået fallit. Med positiv korrelation, vil informationen om at modparten er gået fallit give et nedadrettet stød til referenceenhedens overlevelsessandsynlighed. Effekten af dette er at værdien af CDS kontrakten, set fra beskyttelseskøberens side, foretager et hop op på fallittidspunktet. Forskellen i værdi mellem kollateralkonto og CDS bliver da alt andet lige større på fallittidspunktet, og kollateralens reducerende effekt på modpartsrisikoen mindskes derfor. For at illustrere korrelationens effekt på on- og predefault sandsynlighederne, har jeg beregnet disse med udgangspunkt i et tilfælde hvor modparten går fallit på tidspunkt 2 + t, altså lige efter seneste rebalancering af kollateralkontoen. På figur 8.2 ser vi on- og predefault sandsynlighederne i dette tilfælde, beregnet med en korrelation på henholdsvis 50%, 0% og 50%. 74

76 Figur 8.2: Ondefault og predefault sandsynligheder beregnet på tidspunkt 2 Korrelation på henholdsvis -50% (venstre), 0% (midt) og 50%(højre) I tilfældet uden korrelation i midten, ligger on- og predefault sandsynlighederne tæt op af hinanden. Når der indføres korrelation ser vi tydeligt hvordan informationen om fallittidspunktet skubber ondefault sandsynlighederne henholdsvis op ved negativ korrelation og ned ved positiv korrelation. Netop denne effekt medfører at værdien af CDS kontrakten foretager et spring på fallittidspunktet, hvilket er årsagen til at kollateralstillelsens reducerende effekt mindskes ved positiv korrelation. Den tredje effekt fra figur 8.1 er, at det for lav korrelation stort set ikke gør nogen forskel om stillet kollateral må geninvesteres eller ej. Når korrelationen øges, ser vi at dette får en betydning for CVA størrelsen, omend denne er meget lille. Årsagen hertil skal igen findes i predefault og ondefault sandsynlighederne, og det stød de giver til CDS værdien på fallittidspunktet. Det er kun i situationerne hvor kontrakten havde en negativ værdi for investoren på seneste rebalanceringstidspunkt, at denne har stillet kollateral til rådighed for modparten, og herved kun i disse situationer at investoren kan risikere et tab på kollateralen. Når modparten går fallit, er det den andel af kollateralen der overstiger kontraktens værdi som investoren risikerer et tab på. Jo højere korrelationen er, jo mere stiger kontrakten i værdi på fallittidspunktet set fra investorens side, og jo mere falder denne værdi altså set fra modpartens side. Dette øger differencen mellem kollateral og kontrakt, og herved det beløb investoren kan tabe. DVA, der er justeringen for at tage højde for at investoren selv kan gå fallit, har jeg afbilledet på figur 8.1. Vi ser at størrelsen på denne, afhænger negativt af korrelationen mellem fallitbegivenhederne. Dette skyldes at der, set fra modpartens side, opstår wrong way risk ved negativ korrelation. Hvis fallitsandsynligheden stiger for investoren, og denne er negativt korreleret med referenceenheden, vil referencenhedens fallitsandsynlighed falde. Dette øger værdien af kontrakten set fra modpartens side der er beskyttelsessælger. Denne er nu i en situation hvor investorens kreditværdighed er faldet, og kontraktens værdi er steget. For positiv korrelation opstår der tilsvarende right way risk for modparten, hvorfor at størrelsen på DVA er faldende her. Kigger vi på effekten af kollateral ses to tendenser. Når den stillede kollateral må geninvesteres, forøger denne risikoen i langt de fleste tilfælde. Stillet kollateral så vi havde en reducerende effekt på CVA, 75

77 Figur 8.3: DVA for beskyttelseskøber af en 5 årig CDS under forskellige korrelationer. uanset om denne måtte geninvesteres eller ej, men dette er altså ikke tilfældet for DVA, når geninvestering af denne er tilladt. Når kollateralen ikke må geninvesteres, er denne med til at reducere DVA, omend dette kun har en effekt på omkring 1 basispoint. For at undersøge hvad disse effekter skyldes, har jeg kigget nærmere på værdien af henholdsvis kollateral og CDS i de enkelte fallittilfælde. Det er her fundet at CDS kontrakten i de fleste tilfælde har en positiv værdi for investoren op fallittidspunktet. Kigges for eksempel på de 1000 simuleringer af første fallittilfælde foretaget med en korrelation på -30%, er det investoren der går fallit først i 131 af tilfældende. Af disse har CDS kontrakten en positiv værdi for investoren i 90 af tilfældende, med en gennemsnitsværdi på 227 basispoint. I de de resterende 41 tilfælde har kontrakten positiv værdi for modparten, med en gennemsnitlig værdi på 54 basispoint. Dette giver altså 90 tilfælde hvor modparten har stillet forholdsvis meget kollateral til rådighed for investoren, samt 41 tilfælde hvor modparten selv har modtaget en mindre mængde kollateral. Når investoren går fallit, vil negativ korrelation medføre at overlevelsessandsynligheden for referenceenheden springer op. Dette vil alt andet lige bevirke at CDS kontrakten stiger i værdi for modparten. I 65 af de føromtalte 90 tilfælde hvor modparten har stillet kollateral til investoren, er dette spring tilpas stort til at CDS kontrakten går fra at have positiv værdi for investoren, til positiv værdi for modparten. I disse får modparten et tab på hele den stillede kollateral. Jo større negativ korrelation der er, jo større bliver springet i CDS værdien på fallittidspunktet, hvilket netop forklarer hvorfor DVA, i tilfældet hvor kollateral må geninvesteres, vokser kraftigt når korrelationen falder. 76

78 Sammenlignes størrelserne på CVA og DVA, ses at CVA ligger i et niveau der er omkring 4-5 gange højere end DVA. Dette kan igen tilskrives at der er flere tilfælde hvor CDS kontrakten har en positiv værdi for investoren, end for modparten, samt at værdien i disse tilfælde er større. På trods af at både investor samt modpart har en mellem risikoprofil, og altså har lige høj kreditværdighed, er markedseksponeringen altså højere for investoren hvilket giver denne en højere modpartsrisiko. Jeg har på figur 8.4 vist den samlede BCCVA justering, givet som summen af henholdsvis CVA og DVA. For små korrelationer, ser vi at CVA og DVA delvis udligner hinanden, Når korrelationen vokser, er det dog primært wrong way risk scenariet for henholdsvis CVA ved positiv korrelation og DVA ved negativ korrelation, der er den drivende faktor for BCCVA. Figur 8.4: BCCVA justering for beskyttelseskøber af en 5 årig CDS under forskellige korrelationer. 77

79 Kapitel 9 Konklusion Der er i afhandlingen præsenteret en metode for beregning af bilateral modpartsrisiko for credit default swaps, hvor der indgår aftale om kollateral stillelse i kontrakten, og fallitsandsynlighederne for henholdsvis investor, referenceenhed og modpart kan være korreleret. Dette er gjort ved først i del I at opstille en model for credit default swaps, og kalibrere denne til markedsdata. Med parametrene fra denne kalibrering, kan fallitsandsynligheder for de givne virksomheder herved beregnes. Værdien af modpartsrisiko for en kontrakt hvori der indgår aftale om kollateralstillelse, blev herefter opstillet i del II. Med udgangspunkt i fallitmodellen fra del I, blev der præsenteret en numerisk fremgangsmåde for hvordan modpartsrisikoen for credit default swaps kan beregnes under korrelerede fallitsandsynligheder. I del I kiggede vi først på hvilke betalinger der forekommer i en CDS kontrakt. Med et intensitetsbaseret setup som beskrevet i for eksempel Lando (2004), opsatte jeg en model til at beskrive værdien af disse betalinger. Modellen kallibrerede jeg til en række markedsobserverede præmier, og redegjorde for metoden herfor. Jeg sammenlignede her to typer af kalibreringer. I kalibrering I blev der estimeret et nyt sæt af parametre til hver dag i datasættet, og i kalibrering II blev der estimeret et samlet sæt af parametre til hver periode. Målt på gennemsnitlige afvigelser mellem modelpræmie og markedspræmie, blev det fundet at begge typer af kallibreringer beskrev markedspræmierne forholdsvis godt. Dette både i perioder med stabile præmier, men også i periode med høj volatilitet. Kallibrering I havde de mindste afvigelser til markedspræmier, men prisen for dette bedre fit, var store udsving i parametrene. Med udgangspunkt i de kallibrerede parametre blev der beregnet daglige fallitsandsynligheder, og vi så at disse afspejlede tendenserne observeret i CDS præmierne. Under kalibreringen blev det fundet at værdierne af de estimerede parametre, var meget afhængige af startværdierne der blev givet til målsøgningen. Dette er umiddelbart et udtryk for at der ikke er nok information i markedspriserne, til at bestemme et sæt entydige parametre. I tilfældende hvor forskellige sæt af startværdier, gav forskellige estimerede parameterværdier, blev det fundet at alle sæt af estimerede parametre gav næsten ens værdier af både objektfunktion samt overlevelsessandsynligheder. Jeg konkluderede derfor at dette primært er et problem med manglende entydighed af parametre, men at overlevelses- og fallitsandsynligheder kan antages at være korrekte. I del II af afhandlingen kiggede jeg på modpartsrisiko. Jeg opstilte her et udtryk for BCCVA for credit default swaps, med udgangspunkt i hvilke tab den overlevende part kan forvente, hvis modparten går fallit. Vi så at dette udtryk indebærer beregning af en række fallitsandsynligheder, betinget med information tilgengængelig på henholdsvis et fremtidigt fallittidspunkt, og et givent tidspunkt inden fallit. Jeg viste her, hvordan et udtryk for disse sandsynligheder kan opstilles ved brug af den simultane fordelingsfunktion for fallittidspunkterne af henholdsvis investor, referenceenhed og modpart. 78

80 Med udgangspunkt fallitmodellen fra del I præsenterede jeg en numerisk metode til beregning af udtrykket for bilateral modpartsrisiko. Der blev her fundet en række numeriske udfordringer. Den primære af disse er at metoden er utrolig beregningstung. Dette skyldes at den dels indebærer en lang række simuleringer, og dels indebærer numerisk beregning af en fordelingsfunktion gennem en invers Fourier transformation. Herudover var udfordringerne at sikre stabilitet i de numeriske beregninger. I flere tilfælde krævede dette et forøget antal beregninger hvilket igen kræver større regnekraft. For at holde beregningstiden på et nogenlunde niveau, blev det fundet nødvendigt dels at indføre en række simplifikationer, og dels at sænke antallet af simulerede fallittilfælde. Antallet af simulationer har stor effekt på præcisionen af BCCVA. Der kræves her et langt højere antal simulationer end brugt i opgaven, for at kunne frembringe stabile resultater. Dette er en stor ulempe ved modellen, og såfremt denne skal benyttes til at værdiansætte modpartsrisiko, er det vigtigt at have for øje hvor stor beregningskraft og tid det kræves for at frembringe stabile resultater. De kvalitative effekter af hvordan kollateralstillelse og korrelation påvirker BCCVA, er i mindre grad afhængige af antallet af simulationer. Det er derfor muligt at analysere disse, i en mindre beregningstung opsætning som gjort i afhandlingen. Jeg opstillede til sidst i afhandlingen et konkret eksempel på beregning af BCCVA, og redegjorde for effekterne af henholdsvis kollateralstillelse og korrelation af fallitbegivenheder. Effekterne der findes og beskrives her, er gældende for det specifikke eksempel der er opstillet, men det er let at tilpasse beregningerne til et ønsket setup. Således vil modellen både kunne benyttes til at beregne og analysere BCCVA for andre typer af risikoprofiler og korrelationer, samt på andre tidspunkter end kontraktens indgåelsestidspunktet. For både køber og sælger af en credit default swap vil det være relevant løbende at analysere effekten af ændrede markedsforhold, og kreditværdigheder. Et relevant aspekt der ikke er blevet berørt i afhandlingen er estimering af korrelationen mellem henholdsvis investor, referenceenhed og modpart. Som det findes i kapitel 8, har denne en enorm betydning for størrelsen på modpartsrisiko og effekten af kollateralstillelse. For at kunne implementere modellen og beregne modpartsrisiko for en specifik handlet kontrakt, er estimationen af denne korrelation nødvendig. Det vil derfor være relevant at afsøge hvilke muligheder der for at estimere korrelationen, og hvor stor usikkerhed denne estimation bidrager med i beregningen af modpartsrisiko. Et andet aspekt der ikke er sat fokus på i afhandlingen, men kun kort nævnt i kapitel 5, er at mange banker og investorer ofte har indgået mange forskellige kontrakter med samme modpart. Når eksponeringen mod en given modpart opgøres, skal dette gøres med udgangspunkt i hele porteføljen, og ikke kun for en enkeltstående kontrakt. Korrelationen mellem de enkelte kontrakters værdi i porteføljen vil herved have betydning for den samlede modpartsrisiko. I et videre arbejde, kunne det være interessant at kigge på hvorledes en model for modpartsrisiko kan opstilles for en hel portefølje af forskellige produkter, og ikke blot en enkeltstående kontrakt. 79

81 Litteratur Edward Altman and Vellore M Kishore. Almost Everything You Wanted to Know about Recoveries on Defaulted Bonds. Financial Analysts Journal, 52(6):57 64, Thomasz Bielecki and Marek Rutkowski. Credit Risk Modeling, Valutation and Hedging. Springer Finance, BIS. Basel Committee finalises capita l treatment for bilateral counterparty credit risk. Basel Committee on Banking Supervision, BIS. Statistical release : OTC derivatives statistics at end june URL org/publ/otc\_hy1305.pdf. David Jamieson Bolder. Affine Term-Structure Models: Theory and Implementation. Working paper, Bank of Canada, Damiano Brigo and Aurélien Alfonsi. Credit default swaps calibration and option pricing with the SS- RD stochastic intensity and interest-rate model. Proceedings of th 6th Columbian JAFEE Conference, Tokyo 2003, URL Damiano Brigo, Agostino Capponi, and Andrea Pallavicini. Arbitrage-free bilateral counterparty risk valuation under collateralization and application to credit default swaps. Mathematical Finance, 24 (1): , Laurie Carver. Cutting Edge introduction: the DVA debate. Technical report, Risk, URL http: // Darrell Duffie. Credit risk modeling with affine processes. Journal of Banking and Finance, 29: , Peter Feldhütter and David Lando. Decomposing swap spreads. Journal of Financial Economics, 88 (2): , Peter Feldhütter and Mads Stenbo Nielsen. Systematic and idiosyncratic default risk in synthetic credit markets. Journal of Financial Econometrics, 10(2): , Jon Gregory. Counterparty Credit Risk and Credit Value Adjusment. Wiley, Yukinori Iwashita. Conventions for Single-Name Credit Default Swaps. OpenGamma Quantitative Research, David Lando. Credit Risk Modeling, Theory and Applications. Princeton University Press, Markit. Markit Credit Indices, A Primer. (May):1 63, Moody s. Corporate Default and recovery rates, Moody s Investors Service, (February): 1 55,

82 Moody s. Corporate default and recovery rates, Moody s Investors Service, pages 1 66, Dominic O Kane. Modelling Single-name and Multi-name Credit Derivatives. John Wiley & Sons Ltd, Martin Schmelzle. Option pricing formulae using Fourier transform: Theory and application Samuel Sender. Are there really any risk-free rates? Technical report, EDHEC Risk and Asset Management Research Centre, Long Teng, Matthias Ehrhardt, and Michael Gunther. Numerical Evaluation of Complex Logarithms in the Cox-Ingersoll-Ross Model. (August),

83 Oversigt over figurer 2.1 Betalingerne der forekommer i en CDS kontrakt Fallitrater opdelt på forskellige ratings Præmien for 5-årige CDS kontrakter Betydningen af størrelsen på a, for N = at til 10 årige fallitsandsynligheder for BMW i de tre perioder Simulering af første fallittidspunkt Funktionen g(u) før transformation Fordelingsfunktionen for Λ(t) før transformation Funktionen g(u) efter transformationen Fordelingsfunktionen for Λ(s, t) efter transformationen To typer af stabilitetsproblemer, der kan forekomme ved numerisk beregning af fordelingsfunktionen for den integrerede intensitetsproces CVA for beskyttelseskøber af en 5 årig CDS under forskellige korrelationer Ondefault og predefault sandsynligheder under korrelation på -50%, 0% samt 50% DVA for beskyttelseskøber af en 5 årig CDS under forskellige korrelationer BCCVA justering for beskyttelseskøber af en 5 årig CDS under forskellige korrelationer. 77 A.1 0 til 10 årige fallitsandsynligheder for Deutsche Bank i de tre perioder A.2 0 til 10 årige fallitsandsynligheder for Repsol SA i de tre perioder A.3 0 til 10 årige fallitsandsynligheder for Portugal Telecom i de tre perioder

84 Tabeller 4.1 Gennemsnitlige afvigelser mellem markedspræmie og beregnet modelpræmie Mindste, største samt gennemsnitlig værdi af parametre fra kalibrering I af periode Parametre fra kalibrering II af periode Gennemsnitlige relative afvigelser mellem marekdspræmie og beregnet modelpræmie for periode 2, opdelt på løbetider A.1 Mindste, største samt gennemsnitlig værdi af parametre fra kalibrering I af periode A.2 Parametre fra kalibrering II af periode A.3 Mindste, største samt gennemsnitlig værdi af parametre fra kalibrering I af periode A.4 Parametre fra kalibrering II af periode

85 Del III Appendiks 84

86 Appendiks A Kalibrering af CDS model til periode 1 samt 3 A.1 Parametre Periode 1 Parametre fra kalibrering I: κ i θ i σ i λ i(t) min max middel min max middel min max middel min max middel BMW Deutsche Bank Repol SA Portugal Telecom Tabel A.1: Mindste, største samt gennemsnitlig værdi af parametre fra kalibrering I af periode 1 Parametre fra kalibrering II: κ θ σ λ(t) BMW Deutsche Bank Repol SA Portugal Telecom Tabel A.2: Parametre fra kalibrering II af periode 1 A.2 Periode 3 κ i θ i σ i λ i(t) min max middel min max middel min max middel min max middel BMW e-114 4e e-22 Deutsche Bank e Repol SA e Portugal Telecom Tabel A.3: Mindste, største samt gennemsnitlig værdi af parametre fra kalibrering I af periode 3 85

87 Parametre fra kalibrering II: κ θ σ λ(t) BMW Deutsche Bank Repol SA Portugal Telecom Tabel A.4: Parametre fra kalibrering II af periode 1 86

88 A.3 Fallitsandsynligheder Figur A.1: 0 til 10 årige fallitsandsynligheder for Deutsche Bank i de tre perioder 87

89 Figur A.2: 0 til 10 årige fallitsandsynligheder for Repsol SA i de tre perioder 88

90 Figur A.3: 0 til 10 årige fallitsandsynligheder for Portugal Telecom i de tre perioder 89