Lidt om lim. (k) og hvad de kan bruges til. Sara Arklint

Transkript

1 Ldt om (k) og hvad de kan bruges tl Sara Arklnt Københavns Unverstet Kanddatprojekt (15 ECTS-pont) Aeveret 11. aprl 2007 Vejleder: Anders Frankld

2

3 Indhold 1. Prolog 1 (k) 2. Beregnng af (k) 3. Forsvndng af Flade moduler og andet nyttgt Resultater for homologske dmensoner 30 A. Appendks 33 Ltteratur 37

4

5 1. Prolog I begyndelsen af 1970'erne vste Chr. U. Jensen nogle resultater for homologske dmensoner hvor bevserne byggede på kendskab tl hvornår de aedte (k) af projektv es forsvnder. I denne tekst arbejder v os langsomt men skkert frem mod et af dsse resultater. Medmndre andet er anført, er sætnngerne og deres bevser derfor taget fra [Jen72]. V lægger ud med at denere (k) og undersøger dem ldt nden v ser hvornår de med skkerhed forsvnder. Dernæst får v dualteten mellem projektv og nduktv es spl så v kan vse nogle resultater for homologske dmensoner som leder hen tl følgende resultat: hvs en untal rng R opfylder at alle højre- og venstredealer er af type højst ℵ k, vl l. gd R r. gd R k + 1,.e. venstre og højre global dmenson af rngen vl afvge fra hnanden med højst k + 1. Teksten er skrevet tl en læser som har et grundlæggende kendskab tl homologsk algebra og som før er stødt på projektv og nduktv es. For en skkerheds skyld blver de væsentlgste begreber og konstruktoner kort ntroduceret nden de bruges. Angående notatonen er den søgt holdt så smpel som mulgt; fx er dverse prækser og sub- og supscrpts udeladt når det er skønnet acceptabelt at lade dem være underforståede. For en afbldnng f : X Y og delmængder X 0 X og Y 0 Y betegner f X0 restrktonen af f tl X 0 mens f Y 0 betegner, såfrem det gver menng, korestrktonen af f tl Y 0. Desuden er følgende notaton benyttet adskllge steder: for et element x = (x ) I I A ndfører v for en delmængde J I betegnelsen x J for (x j ) j J, og for et element I betegnelsen x = x. Notatonen synes oplagt såfremt man betragter x som en funkton x: I I A, dvs. fx er x J blot restrktonen x J : J I A. Endelg skal nævnes at v for moduler A B betegner et element kvotenten B/A som b + A. I det følgende er alle rnge untale, og med moduler over sådanne rnge menes der venstremoduler. (k) 2. Beregnng af V lægger altså ud med en kort ntrodukton tl kategoren af projektve I-systemer og funktoren projektv es samt dennes aedte, og dernæst kgger v nærmere på hvordan de aedte (k) kan beregnes. Kategoren af projektve I-systemer For en fast rng R og en fast opadltrerende partelt ordnet mængde I betragtes kategoren af projektve I-systemer af R-moduler. Dvs. objekterne vores kategor er famler (A, f j ) hvor hvert A er en R-modul, hvor v har en R-homomor f j : A j A når j, hvor f = 1 A for alle I, og hvor f j f jk = f k når j k. Og morerne 1

6 (A, f j ) (B, g j ) er famler (ϕ ) af R-homomorer hvor dagrammet A ϕ B f j g j A j B j ϕ j kommuterer for alle j. V ser hurtgt at for (ϕ ): (A, f j ) (B, g j ) er ker(ϕ ) = (ker ϕ, f j ker ϕ ker ϕ j ), m(ϕ ) = (m ϕ, g j m ϕ m ϕ j ) og coker(ϕ ) = (coker ϕ, x+m ϕ j g j (x)+m ϕ ) som er veldenerede projektve I-systemer da f j (ker ϕ j ) ker ϕ og g j (m ϕ j ) m ϕ fgl. ovenstående dagram. V ser heraf at en følge af projektve I-systemer er exakt (A ) netop når de tlsvarende følger af R-moduler er exakt A for hvert I. Kategoren af projektve I-systemer arver en del struktur fra kategoren af R-moduler, og det er en hyggelg llle opgave, jf. [We94, A.4.3], at vse at det er en abelsk kategor. Drekte sum dannes fx (A, f j ) (B, g j ) = (A B, f j g j ). V bemærker desuden at kategoren har nok njektve. Før v kan vse dette, får v brug for et llle lemma. Lemma 2.1 Gvet et projektvt I-system (A, f j ) og en famle (B ) af R-moduler som opfylder at v for hvert I kan ndlejre A B, kan v ndlejre (A ) det projektve I-system (C, h j ) gvet ved C = k B k, h j ((x k ) k j ) = (x k ) k. Bevs. At (C, h j ) udgør et projektvt I-system er klart. Lad ι : A B betegne de gvne ndlejrnger. Denér nu ϕ : A C ved ϕ (a) = (ι k f k (a)) k, og bemærk at ϕ er njektv da ι f = ι er njektv. Det eftervses let at (ϕ ) er en mor fra (A ) tl (C ), og (ϕ ) er således en ndlejrng eftersom hver ϕ er njektv. Sætnng 2.2 Ethvert projektvt I-system (A ) kan ndlejres et njektvt projektvt I- system. Bevs. Da kategoren af R-moduler har nok njektve, kan v for hvert I ndlejre A en njektv modul B. Ifølge lemma 2.1 kan (A ) ndlejres (C, h j ) deneret ved C = k B k, h j ((x k ) k j ) = (x k ) k. V skal blot eftervse at (C, h j ) er et njektvt objekt. Lad derfor en mor (ϕ ): (X ) (C ) være gvet samt en ndlejrng af (X, f j ) systemet (Y, g j ): 0 (X ) (ι ) (Y ) (ϕ ) (C ) 2

7 Lader v π betegne projektonen C B gvet ved (x k ) k x, bemærker v at v for hvert I kan udvde π ϕ tl en homomor ψ : Y B 0 X ι π ϕ ψ B eftersom B er njektv. Denér nu en homomor ψ : Y C ved ψ (y) = (ψ k g k (y)) k. Da v har for alle j og alle y Y j at ψ (g j (y)) = (ψ k g k g j (y)) k = (ψ k g kj (y)) k = h j ( ψ j (y)), er ( ψ ): (Y ) (C ) en mor, og da v gvet I og x X har at udvder ( ψ ) som ønsket (ϕ ). (k) Funktorerne Y ψ ι (x) = (ψ k g k ι (x)) k = (ψ k ι k f k (x)) k = (π k ϕ k f k (x)) k = (π k h k ϕ (x)) k = ϕ (x), Tl ethvert projektvt I-system (A, f j ) knytter v en projektv es I (A, f j ) eller blot A gvet som R-modulen I (A, f j ) = { (a ) } A j : a = f j (a j ), I samt R-homomorer α j : A A j gvet ved α j ((a )) = a j. Den projektve es har den unverselle egenskab at hvs v har en anden R-modul B og R-homomorer (ψ : B A ) I som opfylder at ψ = f j ψ j når j, da ndes netop én R-homomor ψ : B A så ψ = α ψ for alle I. Gvet en mor (ϕ ): (A ) (B ) kan v denere en R-homomor ϕ : A B ved (a ) (ϕ (a )). Da ϕ deneres koordnatvst, er det klart at projektv es er en addtv funktor fra kategoren af projektve I-systemer tl kategoren af R-moduler. Da kategoren har nok njektve og da er addtv, kan v således betragte de højreaedte funktorer (k) tl gvet ved njektve resolutoner. Og følgende lemma gver specelt at (0) er somorf med. Lemma 2.3 Funktoren er venstreexakt. 3

8 Bevs. Lad der være gvet en kortexakt følge 0 (A, f j ) (ϕ ) (B, g j ) (ψ ) (C, h j ) 0. V ser straks at der generelt gælder at ( ) ker ϕ = {(a ) A ϕ (a ) = 0} { = (a ) } ker ϕ (a ) A I = ker ϕ, så da de enkelte R-homomorer ϕ alle er njektve, er også ϕ njektv. ( ) ( ) Da er en addtv funktor, har v at m ϕ ker ψ. Da m ϕ = ker ψ ( ) for alle I, har v for et (b ) ker ψ at der ndes (a ) A så ϕ (a ) = b for alle I. Og sden ϕ (f j (a j )) = g j (ϕ j (a j )) = g j (b j ) = b = ϕ (a ) for alle j, har v da hver ϕ er njektv at f j (a j ) = ( a for ) alle j. Ergo vl (a ) A og ( ϕ )((a )) = (ϕ (a )) = (b ) så (b ) m ϕ. Bemærknng 2.4 Indexmænden I behøver kke at være opadltrerende for at v kan lave konstruktonen af projektv es og opnå den unverselle egenskab. Dette faktum vl blve benyttet senere hen hvor v for vlkårlge delmængder J I vl betragte ten J A = { (a ) J A j : a = f j (a j ) af delsystemet (A ) J. V betragter da den kanonske afbldnng I A J A gvet ved a a J ; bemærk at denne afbldnng kke behøver være surjektv. Svagt asque resolutoner I det følgende vl v se at de aedte (k) tl projektv es kan bestemmes ud fra svagt asque resolutoner stedet for njektve resolutoner, og dette benytter v tl for et gvet system (A ) at konstruere et konkret kompleks at beregne (k) A ud fra. For at kunne denere begreberne asque og svagt asque lægger v en topolog på I ved at denere en bass ({j I j }) I for de åbne delmængder. Denton 2.5 Et projektvt I-system (A ) kaldes asque såfremt den kanonske afbldnng I A J A gvet ved a a J er surjektv for alle åbne delmængder J I. Systemet (A ) kaldes svagt asque hvs afbldnngen I A J A er surjektv for alle opadltrerende åbne delmængder J I. } 4

9 V lægger ud med nogle nyttge agttagelser. Lemma 2.6 Hvs det projektve I-system (A ) er svagt asque, er afbldnngen I A A surjektv for alle opadltrerende delmængder J I. J Bevs. Gvet en opadltrerende delmængde J I vl U = { I j J : j} være åben I og opadltrerende. Da (A ) er svagt asque, vl I A U A således være surjektv. Og U A J A er oplagt surjektv da et (a j ) J A kan løftes tl (ã ) U hvor ã = f j (a j ) for et j J med j. Så dermed blver sammensætnngen A I J A også surjektv. Lemma 2.7 Hvs det projektve I-system (A ) er svagt asque, vl også delsystemet (A ) J være svagt asque for alle opadltrerende delmængder J I. Bevs. Gvet en opadltrerende delmængde K af J vl K også være opadltrerende I eftersom J er det. Th gvet I ndes, da J er opadltrerende I, et j J så j, og da K er opadlterende J, ndes så et k K så k j og altså k. Så sden (A ) er svagt asque er I A K A surjektv. Derfor må også J A A være surjektv eftersom v for a K I A har at a K = (a J ) K. Som nævnt skal v se at (k) kan beregnes ud fra svagt asque resolutoner, og v vser nu at ethvert projektvt I-system tllader en asque resoluton. Sætnng 2.8 Ethvert projektvt I-system kan ndlejres et asque projektvt I-system. Bevs. Lad (A ) være et projektvt I-system. Det følger af lemma 2.1 at v kan ndlejre (A ) det projektve I-system (B, g j ) gvet ved B = k A k, g j ((x k ) k j ) = (x k ) k. For alle åbne delmængder J I er J B = J A og afbldnngen I B J B således (a ) I (a ) J og altså surjektv. Så (B ) er asque. Korollar 2.9 Et njektvt projektvt I-system (A, f j ) er asque. Bevs. Ifølge sætnng 2.8 kan (A ) ndlejres et asque projektvt I-system (B, g j ). Da (A ) er et njektvt objekt vl (A ) være drekte summand (B ), dvs. v har et projektvt I-system (C, h j ) så (A C, f j h j ) = (B, g j ). Da (B ) er asque er således I A C J A C gvet ved (a + c ) I (a +c ) J surjektv for alle åbne delmænder J I, dvs. også (A ) og (C ) er asque. 5

10 Da v gentagne gange skal føre bevs ved (transnt) ndukton over kardnaltet af ndeksmængden I, får v brug for det følgende lemma. V vl desuden senere hen få brug for at v bevset for lemmaet angver en fremgangsmåde tl ud fra en uendelg delmængde J I at konstruere en opadltrerende delmængde J I som ndeholder J og er af samme kardnaltet som J. Lemma 2.10 Hvs I er en opadltrerende partelt ordnet mængde af uendelg kardnaltet, ndes en velordnet famle (I µ ) af opadltrerende delmængder I µ I som opfylder at I = µ I µ, at hver I µ har kardnaltet skarpt mndre end kardnalteten af I, at I ν I µ når ν µ, og at I µ = ν<µ I ν såfremt µ er en grænseordnal. Bevs. Lad Ω betegne den mndste velordnede mængde af samme kardnaltet som I mere præcst læg en velordnng på I og sæt Ω = {y I y < x} hvor x er det mndste element I som opfylder at delmængden {y I y < x} er af samme kardnaltet som I og bemærk at dette betyder at Ω kke har noget største element. Ford mængderne er af samme kardnaltet, har v en bjekton f : I Ω. For hvert µ Ω deneres E µ = { I f() < µ}. Bemærk at E µ < I pga. valget af Ω. Bemærk desuden at E ν E µ når ν µ, at I = µ Ω E µ, og at E µ = ν<µ E ν når µ er en grænseordnal dvs. når µ kke har nogen forgænger. V mangler nu blot at mngelere med vores E µ så de også blver opadltrerende. Hvs I er tællelg, har v dels at Ω = N og dels at hver E µ er endelg. Og da I er opadltrerende vl enhver endelg delmængde af I have en øvre grænse I. V kan således rekursvt denere vores I µ ved at sætte I 1 = og ved at sætte I n+1 = E n+1 I n {} hvor er valgt så det er en øvre grænse for E n+1 I n. Hvs I er overtællelg, gør v følgende. Da I er opadltrerende ndes en funkton g : I I I med egenskaberne g(, ) =, g(, j) og g(, j) j for alle, j I. Denér rekursvt E µ,1 = {g(, j), j E µ }, E µ,n = {g(, j), j E µ,n 1 } og bemærk at E µ E µ,n, at hver E µ,n lgesom E µ har kardnaltet skarpt mndre end I, at E ν,n E µ,n når ν µ, og at E µ,n = ν<µ E ν,n når µ er en grænseordnal. Sæt nu I µ = n N E µ,n. Da vl I µ være opadltrerende samt opfylde de øvrge ønskede egenskaber. 6

11 Følgende resultat vl vse sg nyttgt ere bevser senere hen, og dets bevs er første eksempel på hvordan v vl anvende lemma Sætnng 2.11 Hvs det projektve I-system (A ) er svagt asque, vl der for enhver kortexakt følge gælde at den nducerede følge er exakt. 0 (A ) (ϕ ) (B ) (ψ ) (C ) 0 ϕ 0 A ψ B C 0 Bevs. Da er venstreexakt, skal v blot vse at ψ er surjektv. Dette gøres ved fuldstændg ndukton over kardnalteten af I. Hvs I er endelg, er I oplagt exakt; th da har I et største element m, så D = D m og τ = τ m for alle objekter (D ) og alle morer (τ ). Antag at det ønskede gælder for ndeksmængder med kardnaltet skarpt mndre end I. Lad c C og lad os nde b B så ( ψ )(b) = c. Ved lemma 2.10 skrves I = µ I µ; husk at netop I 1 er tom. For at lette notatonen sættes c µ = c Iµ ; bemærk at c m u Iµ C. V vl nu sammenstykke b ved rekursvt for hvert µ 1 at nde b µ Iµ B så ( Iµ ψ )(b µ ) = c µ og så b µ Iν = b ν når ν < µ. V kan nemlg så denere b ved b = b µ når I µ. Da b µ Iν = b ν når ν µ blver b uafhænggt af valget af µ. For j vl f j (b j ) = f j (b µ j ) = b µ = b når, j I µ, så b B. Og ( ψ j (b)) = (( Iµ ψ j )(b µ )) = c µ = c når I µ så ( ψ )(b) = c. Da I 2 < I gver nduktonsantagelsen os at I2 ψ er surjektv og dermed et b 2. Antag at v for ν < µ allerede har konstrueret b ν, og lad os konstruere b µ. Hvs µ er en grænseordnal, vl I µ = ν<µ I ν. Denér b µ = b ν når I ν for et ν < µ. Da v for ν < µ har at b ν opfylder antagelserne, kan det på tlsvarende vs som ovenfor eftervses at b µ er uafhænggt af valget af ν samt at b µ lgger Iµ B og opfylder det ønskede. Hvs µ kke er en grænseordnal, kan v skrve µ = ν + 1 for et ν. Og så skal v blot løfte c µ tl et b µ med b µ Iν = b ν. Th for κ < µ vl κ ν så b µ Iκ = b ν Iκ = b κ. Betragt derfor dagrammet 0 Iν+1 A Iν+1 ϕ I ν+1 B Iν+1 ψ I ν+1 C 0 0 Iν A Iν ϕ I ν B Iν ψ Iν C 0, 0 7

12 som per konstrukton kommuterer. Ihukom at (A ) Iν og (A ) Iν+1 følge lemma 2.7 er svagt asque. Rækkerne er derfor exakte følge nduktonsantagelsen da I ν+1 < I og I ν < I, og søjlen er exakt fgl. lemma 2.6. Ved en llle dagramjagt vl v nu løfte c ν+1 tl et b ν+1 som opfylder at b ν+1 Iν = b ν : a ν+1 b ν+1 0 b ν+1 c ν+1 b c ν ν b ν a ν b ν b ν 0 Løft først c ν+1 tl et b ν+1, og sæt b ν = b ν+1 I ν. Da vl såvel b ν som b ν afbldes over c ν så v kan nde et a ν Iν A som afbldes over b ν b ν. Da (A ) Iν+1 er svagt asque, kan v løfte a ν tl a ν+1 Iν+1 A. Sæt b ν+1 = Iν+1 ϕ (a ν+1 ) og dernæst b ν+1 = b ν+1 b ν+1. Korollar 2.12 Gvet en kortexakt følge af projektve I-systemer 0 (A ) (B ) (C ) 0 hvor (A ) og (B ) er svagt asque, vl også (C ) være svagt asque. Bevs. Lad U I være en åben opadltrerende delmængde, og lad os vse at I C C er surjektv. Betragt nu følgende oplagt kommuterende dagram U 0 I A I B I C 0 0 U A U B 0 U C 0 hvor rækkerne er exakte følge sætnng 2.11 ford (A ) I og (A ) U er svagt asque og hvor søjlen er exakt ford (B ) er svagt asque. Det ønskede følger nu. Sætnng 2.13 Hvs det projektve I-system (A ) er svagt asque, er (k) A = 0 for alle k 1. Bevs. Indlejr (A ) et njektvt projektvt I-system (B ) og betragt den kortexakte følge 0 (A ) (B ) (C ) 0 8

13 hvor (C ) selvfølgelg er kokernen. Da v har deneret (k) ud fra njektve resolutoner, vl (k) B = 0 for alle k 1. Den langexakte følge gver derfor 0 A B C (1) A 0, og sammenholder v dette med sætnng 2.11 ser v at (1) A = 0. Lad k 2 og antag at (k 1) D = 0 for alle svagt asque projektve I-systemer (D ). Den langexakte følge gver også at 0 (k 1) C (k) A 0 da (k 1) B = 0 og (k) B = 0. Da (B ) fgl. korollar 2.9 er asque, gver foregående korollar os at (C ) er svagt asque, og nduktonsantagelsen gver derfor at (k) A = (k 1) C = 0. V kan nu vse at (k) kan beregnes ud fra svagt asque resolutoner. Sætnng 2.14 Gvet et projektvt I-system (A ) og en svagt asque resoluton af (A ), har v for alle n 0 at hvor (F ) betegner komplekset Bevs. Bemærk først at 0 (A ) (ϕ 1 ) (F 0 ) (ϕ0 ) (F 1 ) (ϕ1 ) (F 2 ) (ϕ2 ) (n) (A ) = H n ( F ) 0 (F 0 ) (ϕ0 ) (F 1 ) (ϕ1 ) (F 2 ) (ϕ2 ). A == ker ϕ 0 = ker ϕ 0 = H 0 ( F ). Tlfældet n 1 kræver ldt mere arbejde. V starter med at zgzagopdele vores exakte følge kortexakte følger 0 (A ) (A 1 ) (ψ 1 ) (ϕ 1 ) (A n 1 ) (ψ n 1 ) (ϕ n 1 ) ) (F 0) (ϕ 0 ) (F n 1 (F n) (ϕ n ) (F n+1 (ψ 0) (ψ n) (A 0 ) (A n ) (A n+1 ) (ψ n+1 ) (ϕ n+1 ) ) 9

14 hvor (A n ) = ker(ϕn+1 ) og (ψ n) er korestrktonen af (ϕn ). For hvert n 0 vl An / m( ψ n ) = ker( ϕ n+1 så da er venstreexakt opnår v en exakt følge )/ m( ϕ n ) = H n+1 ( F ), 0 A n 1 F n ψn A n H n+1 ( F ) 0. Da (F n ) er svagt asque gver sætnng 2.13 at (1) F n = 0, så den langexakte følge tl nduceret af den kortexakte følge gver en exakt følge 0 A n 1 0 (A n 1 ) (F n ) (ψ n ) (A n ) 0 F n ψn A n (1) A n 1 Heraf kan v slutte at H n+1 ( F ) = (1) A n 1 for alle n 0. Samtdg får v ved at betragte en bd k 1 længere henne den samme langexakte følge at 0 (k) A n (k+1) A n 1 eftersom (k) F n = 0 og (k+1) F n = 0 følge sætnng Ved succesv anvendelse af dentteten (k) A n = (k+1) A n 1 opnår v at Det følger nu at for alle n 0. (1) A n 1 = (n+1) A n 1 n = (n+1) A. H n+1 ( F ) = (n+1) A Inden v går vdere tl afsnttet om hvornår (k) forsvnder, konstruerer v et konkret kompleks at beregne (k) ud fra; det vl v få brug for afsnt 4. Lemma 2.15 Gvet et projektvt I-system (A, f j ) kan v konstruere en asque resoluton (A, f j ) (δ 1 ) (Π 0, p0 j ) (δ0 ) (δ 1 ) (Π n, pn j ) (δn ) (Π n+1, p n+1 j ) (δn+1 ) af (A ) med asque systemer gvet ved Π n = A 0, 0 n p n j(x) = x {(0,..., n) 0 n }. 10

15 og derentaler gvet ved δ 1 (a) 0 = f 0 (a) og n+1 δ n (x) (0,..., n+1 ) = f 0 1 (x (1,..., n+1 )) + ( 1) ν x (0,...,î ν,..., n+1 ). Bevs. At (Π n, pn j ) er et projektvt I-system, er let at ndse. Og for en åben delmængde J I kan et element (x j ) J Π n j løftes tl ( x ) I Π n gvet ved { x n x (0,..., n) = (0,..., n) når n J 0 ellers når 0 n. Th at ( x ) lgger Π n eftervses let, og ford J er åben har v for j J at n J når n j og deraf følger at x j = x j. Så (Π n, pn j ) er asque. At δ npn j = pn+1 j δj n når j synes oplagt, så (δ n): (Πn ) (Πn+1 ) er en mor. For j har v for a A j og 0 at (δ 1 ν=1 f j (a)) 0 = f 0 f j (a) = f 0 j(a) = δ 1 j dvs. δ 1 f j = p 0 j δ 1 j, så også (δ 1 ): (A ) (Π 0 ) er en mor. For 0 1 og a A 0 vl (a) 0 = (p 0 jδj 1 (a)) 0 (δ 0 δ 1 (a)) (0, 1 ) = f 0 1 (f 1 (a)) f 0 (a) = 0 11

16 dvs. δ 0δ 1 = 0 for alle. Og for n 1 har v for 0 n+1 og x Π n 1 at n+1 (δ n δ n 1 (x)) (0,..., n+1 ) = f 0 1 (δ n 1 (x) (1,..., n+1 )) + ( 1) ν δ n 1 (x) (0,...,î ν,..., n+1 ) ν=1 n+1 = f 0 1 f 1 2 (x (2,..., n+1 )) + ( 1) µ 1 f 0 1 (x (0, 2,...,î µ,..., n+1 ) ) µ=2 ( n+1 ) + ( 1) f 0 2 (x (2,..., n+1 )) + ( 1) µ 1 x (0, 2,...,î µ,..., n+1 ) ) n µ=2 ( ν 1 ( 1) ν f 0 1 (x (1,...,î ν,..., n+1 ) ) + ( 1) µ x (0,...,î µ,...,î ν,..., n+1 ) ν=2 n+1 µ=ν+1 ( 1) µ 1 x (0,...,î ν,...,î µ,..., n+1 ) ) µ=1 n+1 n+1 = ( 1) µ x (0, 2,...,î µ,..., n+1 ) + ( 1) ν+1 x (0, 2,...,î ν,..., n+1 ) µ=2 n+1 ( ν ν=2 = 0, n+1 µ=ν+1 ν=2 ( 1) µ+ν x (0,...,î µ,...,î ν,..., n+1 ) µ=2 ( 1) µ+ν 1 x (0,...,î ν,...,î µ,..., n+1 ) ) dvs. δ nδn 1 = 0. Så v har altså konstrueret et kompleks. For at vse exakthed betragter v for n 1 R-homomoren ε n : Πn Π n 1 gvet ved ε n (x) (0,..., n 1 ) = ( 1) n x (0,..., n 1,) samt R-homomoren ε 0 : Π0 A gvet ved ε 0 (x) = x. V ser at ε 0 (δ 1 (a)) = δ 1 (a) = f (a) = a for alle a A, samt at v for 0 n og x Π n har at ε n+1 δ n (x) (0,..., n) = ( 1) n+1 δ n (x) (0,..., n,) = ( 1) n+1 f 0 1 (x (1,..., n,)) n + ( 1) ν+n+1 x (0...,î + ν,..., n,) ( 1)2(n+1) x (0,..., n) ν=1 12

17 og at δ n 1 ε n (x) (0,..., n) = f 0 (ε n (x) (1,..., n)) + n ( 1) ν ε n (x) (0,...,î ν,..., n) ν=1 = ( 1) n f 0 1 (x (1,..., n,)) + n ( 1) ν+n x (0...,î ν,..., n,) og altså at v for n 0 har ε n+1 δ n + δ n 1 ε n = 1 Π n, samt at ε 0 δ 1 = 1 A. At (ε n ) kke nødvendgvs er en mor, har ngen betydnng da v blot bruger ε n og εn+1 tl at eftervse exakthed Π n for hvert enkelt I. Dvs. for hvert I har v at komplekset af R- moduler spltter og specelt er exakt, og dermed vl komplekset af projektve I-systemer være exakt. Dvs. v har vtterlgt konstrueret en asque resoluton af (A ). Sætnng 2.16 Gvet et projektvt I-system (A, f j ) har v for alle n 0 at hvor Π(A ) betegner komplekset (n) A = H n (Π(A )) ν=1 0 0 A 0 δ 0 (A ) δn 1 (A ) 0 n A 0 δ n (A ) 0 n+1 A 0 δ n+1 (A ) hvs derentaler δ n (A ) er deneret som n+1 δ n (A )(x) (0,..., n+1 ) = f 0 1 (x (1,..., n+1 )) + ( 1) ν x (0,...,î ν,..., n+1 ). Bevs. Lad (Π ) betegne den lemma 2.15 ntroducerede asque resoluton af (A ). Ifølge sætnng 2.14 vl (n) A = H n ( (Π )), og v ønsker derfor at vse at komplekserne Π(A ) og Π er somorfe. Denér for hvert n N ϕ n : A 0 Π n 0 n ν=1 x (x {(0,..., n) 0 n }) I. At afbldnngen ϕ n er en veldeneret, njektv R-homomor ses let. Gvet et element (x ) Π n denerer v x 0 n A 0 ved x (0,..., n) = x n (0,..., n), og da v for alle I og 0 n har (ϕ n (x) ) (0,..., n) = x (0,..., n) = x n (0,..., n) = p n n(x ) (0,..., n) = x (0,..., n) 13

18 vl ϕ n (x) = (x ), dvs. ϕ n er surjektv og således en somor. Da v har for x 0 n A 0 let kan tjekke at δn ϕ n (x) = (δ n (x {(0,..., n) 0 n })) I = (δ n (A )(x) {(0,..., n+1 ) 0 n+1 }) I = ϕ n+1 δ n (A )(x) vl δ n ϕ n = ϕ n+1 δ n (A ), dvs. de to komplekser Π og Π(A ) er somorfe, 0 Π 0 0 δ0 ϕ 0 = δ 0 A 0 (A ) 0 og det ønskede følger. Π n δn ϕ n = δ 0 n A n (A ) 0 Π n+1 ϕ n+1 = 0 n+1 A 0, (k) 3. Forsvndng af I dette afsnt ser v at hvs ndeksmængden I er af kardnaltet højst ℵ k, vl = 0 I for alle n k + 2. V starter med tlfældet k = 0, og får tl dette brug for et lemma: (n) Lemma 3.1 Et projektvt N-system (A m, f mn ) er asque netop når f m,m+1 er surjektv for alle m. Bevs. Bemærk at de åbne kke-trvelle delmængder af N netop er delmængderne af formen {n n N} for et N N. Hvs (A n ) er asque, er A n n m A n surjektv for alle m. Gvet a A m vl (f nm (a)) n m n m A n kunne løftes tl (ã n ) A n. Da f m,m+1 (ã m+1 ) = ã m = a, har v at f m,m+1 er surjektv. Omvendt har v hvs hver f m,m+1 er surjektv, at et (a n ) n N A n kan løftes tl A n ved rekursvt for m N at denere a m+1 ved at vælge a m+1 fm,m+1 1 (a m). Bemærknng 3.2 Hvs J I er en opadltrerende delmængde der er konal I, har v en naturlg somor J A = I A for alle projektve I-systemer (A ). Det følger så af dentonen af (k) (k) at A (k) = J A for alle k. I Såfremt I er tællelg og kke har noget maksmum, kan v ved at betragte en en bjekton f : N I rekursvt denere en konal delmængde {b n n N} af I ved at sætte b 1 = f(1) og vælge b n så b n f(n) og b n > b n 1. Så hvs I er tællelg og kke ndeholder en endelg konal delmængde, kan v tllade os at antage at I = N. Sætnng 3.3 Såfremt I er tællelg, vl der for alle projektve I-systemer (A ) gælde at når n 2. (n) A = 0 14

19 Bevs. Hvs I ndeholder en endelg konal delmængde, vl I være exakt og det ønskede følger. Ellers kan v pga. bemærknng 3.2 antage at I = N. Så lad et projektvt N-system (A m ) være gvet. V starter med ved sætnng 2.8 at ndlejre (A m ) et asque projektvt I-system (B m, g nm ) og betragter den kortexakte følge 0 (A m ) (B m, g mn ) (C m, h mn ) 0, hvor (C m, h mn betegner kokernen. Ifølge lemma 3.1 er hver g m,m+1 surjektv, så v har et kommuterende dagram med exakte rækker og søjler 0 B m+1 C m+1 g m,m+1 B m h m,m+1 C m 0 0 hvoraf ses at h m,m+1 er surjektv. Ergo gver lemma 3.1 at også (C m ) er asque. V har således at gøre med en asque resoluton af (A m ), så ved at anvende sætnng 2.14 på denne, får v ved at tage kohomolog af komplekset 0 B m C m at (n) A m = 0 for n 2. V kan nu vse det generelle tlfælde k 0. Bemærk at resultatet synes en kende unyttgt hvs man kke har kontnuumshypotesen blandt sne antagelser. Sætnng 3.4 Såfremt kardnalteten af I er højst ℵ k, vl der for alle projektve I-systemer (A ) gælde at (n) A = 0 når n k + 2. Bevs. Bevset forløber ved ndukton efter k. Induktonsstarten k = 0 er klaret sætnng 3.3. Så antag at det ønskede gælder for k 1 og at I ℵ k. Lad (A ) være et projektvt I-system, og lad 0 (A ) (ϕ 1 ) (F 0 ) (ϕ0 ) (F 1 ) (ϕ1 ) (F 2 ) (ϕ2 ) være en svagt asque resoluton af (A ). En sådan resoluton ndes følge sætnng 2.8. Sæt (A n ) = ker(ϕn+1 ) og lad (ψ n) betegne korestrktonen af (ϕn ) tl (An ). Da v følge sætnng 2.14 har at (n+1) A = H n+1 ( F ) = ker ϕ n+1 / m ϕ n = A n / m ψ n 15

20 skal v således vse at ψ (n) er surjektv, for alle n k + 1. Igen opdeler v I I = µ I µ ved lemma Bemærk at hver I µ er af kardnaltet n højst ℵ k 1, så nduktonsantagelsen gver os at A = 0 for alle n k + 1. Eftersom I µ (F ) I µ fgl. lemma 2.7 er en svagt asque resoluton af (A ) Iµ, har v således da (n) I µ A = H n ( Iµ F ) = Iµ A n 1 / m Iµ ψ n 1 at Iµ ψ n 1 er surjektv for alle n k + 1. Lad os nu udnytte dette tl at sammenstykke at ψ n er surjektv for n k+1. Løftet sammenstykkes rekursvt som bevset for sætnng Så lad a A n være gvet og sæt a µ = a Iµ. Lad µ være fast og antag at v for ν < µ har konstrueret f ν Iν F n så ( Iν ψ n)(f ν) = a ν og så f ν Iλ = f λ når λ ν. Hvs µ er en grænseordnal, vl I µ = ν<µ I ν. Som bevset for sætnng 2.11 kan v blot denere a µ ved at vælge a µ = a ν når I ν. Hvs µ kke er en grænseordnal, er µ = ν + 1 for et ν. Og så skal v blot løfte a µ tl et f µ Iµ F n så f µ Iν = f ν. Betragt derfor følgende kommuterende dagram: F n 1 I µ F n 1 I ν Iµ ψn 1 0 Iµ A n 1 Iν ψn 1 0 Iν A n F n I µ F n I ν 0 Iµ ψn Iν ψn I µ A n 0 I ν A n 0 De lodrette følger er exakte fgl. lemma 2.7 og lemma 2.6 da (F n n 1 ) og (F ) er svagt asque. De øvrge følger er som allerede vst exakte per nduktonsantagelsen. V nder nu det begærede f µ ved en llle dagramjagt: x µ a µ f µ 0 f µ a µ f ν x ν f ν a ν f ν f ν 0 a ν 16

21 V starter med at udnytte surjektvteten af Iµ ψ n tl at løfte a µ tl et f µ Iµ F n, og v sætter så f ν = f µ Iν. Sden f ν og f ν begge afbldes over a ν, kan v nde et a ν Iν A n 1 som afbldes over f ν f ν. Brug nu surjektvteten af Iν ψ n 1 tl som gen løftes tl et x µ Iµ F n 1. Afbld dette at løfte a ν tl et x ν Iν F n 1 x µ over a µ Iµ A n 1 og vdere over f µ Iµ F n. Sæt f µ = f µ + f µ. Da vl I µ ψ n (f µ) = a µ og f µ Iν = f ν + (f ν f ν) = f ν. Bemærknng 3.5 Det er vst [Jen72, 6.2] at der tl ethvert k 0 ndes et projektvt I-system (A ) med I = ℵ k og (k+1) A 0. Resultatet sætnng 3.4 kan således kke skærpes. 4. Flade moduler og andet nyttgt Dette afsnt omhandler en del nyttgt som v vl få brug for det næste afsnt, herblandt at enhver ad modul kan fås som nduktv es af endelgt frembragte fre moduler samt en spektralfølge der spller på dualteten mellem projektv og nduktv es. I det følgende betegner ℵ et uendelgt kardnaltal. Om moduler af vsse typer og af vsse præsentatoner En R-modul A sges at være endelgt frembragt eller af endelg type (hhv. af type højst ℵ) såfremt der ndes en surjektv afbldnng F A hvor F er en fr R-modul med endelg bass (hhv. med bass af kardnaltet ℵ). Hvs A er af endelg type (hhv. af type højst ℵ) og ydermere også kernen for afbldnngen F A er af endelg type (hhv. af type højst ℵ), sges A at være af endelg præsentaton (hhv. af præsentaton højst ℵ). Fra [Bou61] har v følgende lemma som vl vse sg nyttgt gentagne gange. Lemma 4.1 Hvs C er af endelg præsentaton (hhv. af præsentaton højst ℵ), B af endelg type (hhv. af type højst ℵ), og følgen af R-moduler 0 A α B β C 0 exakt, vl også A være af endelg type (hhv. af type højst ℵ). Bevs. Da C er af endelg præsentaton (hhv. af præsentaton højst ℵ), ndes en exakt følge F 1 ϕ 1 F 0 ϕ 0 C 0 med fre moduler F 1 og F 0 af endelg type (hhv. af type højst ℵ). V starter med at konstruere homomorer ψ 1 og ψ 0 så dagrammet ϕ 1 F 1 ϕ 0 F 0 C 0 ψ 1 ψ 0 1 C 0 A α B β C 0 17

22 kommuterer. Da modulen F 0 er fr er den specelt projektv, så surjektvtet af Hom R (F 0, β) gver os ψ 0 Hom R (F 0, B) så ϕ 0 = βψ 0. Da ϕ 0 ϕ 1 = 0 vl βψ 0 ϕ 1 = 0, dvs. ψ 0 (ϕ 1 (F 1 )) ker β så v kan betragte korestrktonen (ψ 0 ϕ 1 ) ker β : F 1 ker β. Da ker β er lg med m α og da α er njektv, kan v således entydgt denere ψ 1 : F 1 A ved ψ 0 ϕ 1 = αψ 1. Homomorerne α og β nducerer homomorer coker ψ 1 coker ψ 0 hhv. coker ψ 0 coker 1 C, og slangelemmaet gver en homomor ker 1 C coker ψ 1 således at følgen 0 = ker 1 C coker ψ 1 coker ψ 0 coker 1 C = 0 er exakt. Dvs. A/ m ψ 1 = coker ψ 1 = coker ψ0 = B/ m ψ 0. Da F 1 er af endelg type (hhv. af type højst ℵ) er også m ψ 1 = ψ 1 (F 1 ) af endelg type (hhv. af type højst ℵ) eftersom blledet af frembrngerne frembrnger blledet. Tlsvarende har v da B er af endelg type (hhv. af type højst ℵ) at også B/ m ψ 0 og dermed A/ m ψ 1 er af endelg type (hhv. af type højst ℵ). Lader v nu {a I} være en frembrngende delmængde for m ψ 1, og {a j + m ψ 1 j J} en frembrngende delmængde for A/ m ψ 1, hvor I og J er endelge (hhv. af kardnaltet højst ℵ), vl {a I J} frembrnge A, og det ønskede følger således da I J er endelg (hhv. af kardnaltet højst ℵ). Følgende lemma er fra [Jen66] og skal først bruges et senere afsnt. Af lemmaet følger at hvs alle venstredealer en rng R er af type højst ℵ, vl alle R-moduler af type højst ℵ automatsk være af præsentaton højst ℵ. Lemma 4.2 Hvs rngen R opfylder at alle venstredealer er af type højst ℵ, så vl en undermodul af en R-modul af type højst ℵ også have type højst ℵ. Bevs. V vser først at hvs B er en endelgt frembragt modul, vl enhver undermodul A af B være af type højst ℵ; og dette vser v ved fuldstændg ndukton efter antallet af frembrngere for B. Hvs B er frembragt af ét element, er B somorf med R/a for et venstredeal a, nemlg kernen a for afbldnngen r rb når B = Rb. Ifølge Noethers somorsætnng er samtlge undermoduler R/a af formen a 1 /a hvor a 1 er et venstredeal R som ndeholder a. Da et sådant venstredeal a 1 er af type højst ℵ, er også a 1 /a og dermed A af type højst ℵ. Antag nu at B = Rb Rb n for et n > 1. Da vl modulen A Rb 1 være undermodul Rb 1 og derfor være af type højst ℵ følge nduktonsantagelsen. Ifølge Noethers somorsætnng er A/(A Rb 1 ) somorf med (A + Rb 1 )/Rb 1, og da modulen B/Rb 1 er frembragt af de n 1 elementer b 2 + Rb 1,..., b n + Rb 1, vl undermodulen (A + Rb 1 )/Rb 1 være af type højst ℵ følge nduktonsantagelsen. Da således både A/(A Rb 1 ) og A Rb 1 er af type højst ℵ, er også A selv af type højst ℵ, jf. evt. bevset for lemma 4.1. Lad nu B være en vlkårlg modul af type højst ℵ, lad A være en undermodul af B, og v vl nu ndse at A er af type højst ℵ. Betragt en frembrngende mængde {b I} for B hvor kardnalteten af I er højst ℵ, og betragt for hver endelg delmængde J I undermodulen A J = A span R {b j j J}. 18

23 Da A J er en undermodul den endelgt frembragte modul span R {b j j J}, vl A J være af type højst ℵ. For hvert A J betragter v en mængde {a I J } af frembrngere for A J som opfylder at I J er af kardnaltet højst ℵ. Da B = span R {b I} må A = J I A J, og altså må { S = a } I J J I frembrnge A. Og eftersom I er af kardnaltet højst ℵ, vl mængden af endelge delmængder af I også være af kardnaltet højst ℵ; så da hver I J er af kardnaltet højst ℵ, vl S som ønsket være af kardnaltet højst ℵ. Følgende lemma er lgesom sætnng 4.5 taget fra [Laz69]. Lemma 4.3 Gvet en R-homomor α: A B fra en R-modul A af endelg præsentaton tl en ad R-modul B, ndes en endelgt frembragt fr R-modul F og R-homomorer α 1 : A F og α 2 : F B så homomoren α går gennem F : α 1 A F α α 2 B Bevs. Da A er af endelg præsentaton, ndes endelgt frembragte fre moduler F 0 og F 1 og homomorer ϕ 0 og ϕ 1 så følgen F 1 ϕ 1 F 0 ϕ 0 A 0 er exakt. Ford v altd kan nde en fr højremodul F 2 som afblder surjektvt på kernen af Hom R (ϕ 1, R), kan v nu betragte den exakte følge F 2 ψ Hom R (F 0, R) Hom R (ϕ 1,R) Hom R (F 1, R) af højremoduler. Eftersom modulen B er ad, får v ved anvendelse af funktoren R B en ny exakt følge F 2 R B ψ R B Hom R (F 0, R) R B Hom R(ϕ 1,R) R B Hom R (F 1, R) R B af abelske grupper. Da modulerne F 0 og F 1 er endelgt frembragte og fre, har v, jf. [Mac67, 4.2], naturlge somorer Hom R (F, R) R B = Hom R (F, B), = 0, 1, dvs. v står med følgende exakte følge F 2 R B ψ Hom R (F 0, B) Hom R (ϕ 1,B) Hom R (F 1, B) 19

24 hvor ψ er deneret ved at dagrammet Hom R (F 0, R) R B ψ R B = ψ F 2 R B Hom R (F 0, B) skal kommutere. V vl nu gøre en del krumsprng for at fabrkere modulen F og homomorerne α 1 og α 2. Da ϕ 0 ϕ 1 = 0 vl αϕ 0 ϕ 1 = 0, dvs. αϕ 0 lgger kernen af Hom R (ϕ 1, B) og må derfor lgge blledet af ψ. Lad derfor x F 2 R B være gvet så αϕ 0 = ψ(x). Da højremodulen F 2 er fr, kan v nde en endelgt frembragt fr undermodul F 3 F 2 så x F 3 R B. Th v kan skrve x som en endelg sum x = f k R b k, og lader v ( f ) betegne en bass for F 2 kan v skrve hvert f k som en endelg sum f k = I fk k r k, så sætter v F 3 = S f k I k k R vl F 3 være en endelgt frembragt fr undermodul som opfylder at x F 3 R B. Eftersom Hom R (, R) er addtv, kan v ved at sætte F = Hom R (F 3, R) få en endelgt frembragt fr venstremodul. Betragt nu afbldnngen ψ F3 : F 3 Hom R (F 0, R). Da modulen F 0 er endelgt frembragt og fr, har v, jf. [Mac67, 4.1], en naturlg somor Hom R (Hom R (F 0, R), R) = F 0, så ved at betragte Hom R (ψ F3, R): Hom R (Hom R (F 0, R), R) Hom R (F 3, R) kan v få en afbldnng ψ 0 : F 0 F. Da Hom R (ϕ 1, R)ψ = 0 er specelt Hom R (ϕ 1, R)ψ F3 = 0 og derfor Hom R (ψ F3, R) Hom R (Hom R (ϕ 1 ), R), R) = 0, dvs. ψ 0 ϕ 1 = 0 og dermed m ϕ 1 ker ψ 0. Da ker ϕ 0 = m ϕ 1 har v altså at ker ϕ 0 ker ψ 0, så eftersom A er somorf med F 0 / ker ϕ 0 kan v ud fra ψ 0 : F 0 F denere α 1 : A F entydgt ved α 1 ϕ 0 = ψ 0. V mangler nu at konstruere α 2 : F B. Da F er en endelgt frembragt fr venstremodul, vl Hom R (F, R) R B som abelsk gruppe være naturlgt somorf med Hom R (F, B), og da Hom R (F, R) er naturlgt somorf med F 3, har v således en naturlg somor mellem F 3 R B og Hom R (F, B). Så vores x F 3 R B svarer tl en homomor α 2 : F B. Da ψ(x) = αϕ 0 har v, jf. Hom R (F, R) R B = = Hom R (F, B) Hom R (ψ 0,R) R B F 3 R B Hom R (ψ 0,B) (ψ F3 ) R B ψ (F3 RB) = Hom R (F 0, R) R B Hom R (F 0, B), at Hom R (ψ 0, B)(α 2 ) = αϕ 0, så α 2 ψ 0 = αϕ 0, og da ϕ 0 er surjektv følger det så af 20

25 dagrammet at α = α 2 α 1. ψ 0 F 0 F ϕ 0 A α 1 α B α 2 Flade moduler som nduktv es af endelgt frembragte fre moduler V skal nu tl at lege med nduktv es, og lægger derfor ud med en kort ntrodukton tl nduktve systemer og tes af sådanne. Som altd er I en opadltrerende partelt ordnet mængde. Et nduktvt I-system er en famle (A, f j ) af R-moduler A for hvert I og R-homomorer f j : A j A for alle, j I med j, hvor v kræver at f k = f j f jk når j k samt at f = 1 A for alle I. Den nduktve es I (A, f j ) = (A, α ) af et sådant system er gvet ved R-modulen A = { (a ) }/{ A f j (a j ) = a f.v.t. (a ) } A a = 0 f.v.t. I I og for hvert I R-homomoren α : A A gvet ved α (a) = (a j ) hvor { f j (a) hvs j a j = 0 ellers. Bemærk at v her, og fremover, tager notatonen let ved stedet for at betragte elementer A betragter repræsentanter for elementerne. Det eftervses nemt at der for alle j gælder at α j f j = α, og at der tl hvert a A ndes et I så a m α. Lgesom det let eftervses at (A, α ) har den unverselle egenskab at hvs B er en R-modul med R-homomorer ψ : A B som opfylder ψ j f j = ψ når j, så ndes en R-homomor ψ : A B så ψα = ψ for alle I. Kategoren af nduktve I-systemer deneres dualt tl kategoren af projektve I-systemer dualt med hensyn tl ordnngen på I og en mor (ϕ ): (A, f j ) (B, g j ) er således R-homomorer ϕ : A B som opfylder ϕ f j = g j ϕ j når j. Det kan tjekkes at en R-homomor ϕ : A B kan deneres ved ϕ ((a )) = (ϕ (a )), og det er velkendt at dette gør tl en exakt funktor, jf. evt. [We94, ]. Følgende lemma skal først bruges næste afsnt. Lemma 4.4 Hvs ten A = A af et nduktvt I-system (A, f j ) er af præsentaton højst ℵ og hvert A er af type højst ℵ, ndes en opadltrerende delmængde I I så og hvor I er af kardnaltet højst ℵ. A = I A 21

26 Bevs. V vl altså gerne kreere en opadltrerende delmængde I I som har kardnaltet højst ℵ og hvor systemet (A ) I har samme es som (A ) I. Lader v ϕ : A A betegne de kanonske afbldnnger, kan v betragte den surjektve afbldnng ϕ = I ϕ : I A A. For hvert x I A og hvert j I lader v ϕ(x) j betegne j f j(x ), altså det jte led den ved dentonen af vores ϕ angvne repræsentant. V vl nu rekursvt kreere opadltrerende delmængder I n I som er af kardnaltet højst ℵ og som opfylder at v for alle I n og alle x ker ϕ A kan nde et j I n+1 så j og f j (x) = 0. Da v har en frembrngende delmængde S A af kardnaltet højst ℵ kan v ved at tl hvert a S vælge et I så a m ϕ konstruere en delmængde I 0 I af ndeksmængden så restrktonen ϕ 0 = I 0 ϕ : I 0 A A er surjektv og så I 0 ℵ. Da v bevset for lemma 2.10 har angvet en fremgangsmåde tl for en uendelg delmængde J I at konstruere en delmængde J I så J J, så J = J, og så J er opadltrerende, kan v antage at I 0 er opadltrerende. Antag at I n er konstrueret og v vl konstruere I n+1. Så lad ϕ n betegne restrktonen af ϕ tl I n A. Da A er af præsentaton højst ℵ og I n A af type højst ℵ, vl nemlg ker ϕ n følge lemma 4.1 være af type højst ℵ, så v kan nde en frembrngende delmængde M for ker ϕ n som har kardnaltet højst ℵ. Tl hvert m M har v da ϕ(m) = 0 således et trn j m I så ϕ(m) j = 0 når j j m. Sætter v D = { {j m1,..., j mn } n N, mν M }, vl D ℵ ford M ℵ. For hvert I kan v, ford I er opadltrerende og et element J D er en endelg delmængde af I, lave f : D I så f (J) og f (J) j for alle j J. Da D ℵ vl f (D) ℵ, så da I n ℵ vl også Ĩ n+1 = I n I n f (D) være af kardnaltet højst ℵ. Som bevset for lemma 2.10 laves I n+1 Ĩn+1 som er opadltrerende og af kardnaltet højst ℵ. Lad os lge skre os at vores nyskabte I n+1 opfylder det ønskede. Så lad I n og x ker ϕ A ker ϕ n. Da M frembrnger ker ϕ n, har v x = r 1 m 1 + r n m n for nogle m 1,..., m n M, og sætter v J = {j m1,..., j mn } vl J D. Sæt nu j = f (J) I n+1. Da vl j og da j j mν. f j (x) = ϕ(x) j = r 1 ϕ(m 1 ) j + + r n ϕ(m n ) j = 0 22

27 V har således en kæde I 0 I 1 I 2 af opadltrerende delmængder af kardnaltet højst ℵ. Sæt nu I = n I n og bemærk at I er af kardnaltet højst ℵ samt opadltrerende. Lad (A, ψ ) betegne den nduktve es af systemet (A ) I, og sæt ψ = I ψ : I A A. Lad desuden ϕ betegne restrktonen af ϕ tl I A. Da I 0 I vl ϕ være surjektv, og ψ er surjektv per konstrukton, så v skal blot vse at ker ϕ = ker ψ for at kunne slutte at A og A er somorfe. At ker ψ ker ϕ følger umddelbart af at I I. Lad nemlg x = (x ) ker ψ være gvet, og lad k 1 I så ψ(x) j = 0 for alle j I som opfylder j k 1. Da v kun har x 0 for endelgt mange, og da I er opadltrerende, kan v nde et k 2 I så x = 0 når k 2. Snup et k I så k k 1 og k k 2. For alle j I med j k har v således at ϕ (x) j = j f j (x ) = k f j (x ) = k f jk f k (x ) = f jk (ψ(x) k ) = 0, ergo ϕ (x) = 0. For at vse at ker ϕ ker ψ skal v have vores konstrukton af I spl. Lad x = (x ) ker ϕ, og lad k 1 I være gvet så ϕ (x) j = 0 for alle j I som opfylder at j k 1. Snup k 2 I så x = 0 når k 2, og snup k 3 I så k 3 k 1 og k 3 k 2. For j I med j k 3 vl ( ) ( ) ϕ f k2 (x ) = f jk2 f k2 (x ) = f j (x ) = ϕ (x) j = 0, k 2 j k 2 k 2 dvs. k 2 f k2 (x ) ker ϕ A k2. V kan således nde et k I så k k 2 og ( ) f kk2 f k2 (x ) = 0. k 2 V opnår derved for alle j I med j k at ψ(x) j = f j (x ) = ( ) f jk f kk2 f k2 (x ) = f jk f kk2 f k2 (x ) = 0, j k 2 k 2 dvs. x ker ψ som ønsket. Følgende sætnng er fra [Laz69]. Bemærk at det af bevset fremgår at enhver R-modul kan fås som nduktv es af endelgt præsenterede moduler. Sætnng 4.5 Enhver ad R-modul kan fås som nduktv es af endelgt frembragte fre R-moduler Bevs. Lad A være en ad modul, og betragt R (A N). V lader δ betegne basselementet for den fr modul R (A N) gvet ved δ (j) = δ j. V har da en kortexakt følge 0 ker ρ R (A N) ρ A 0 23

28 hvor ρ på basselementer er gvet ved ρ(δ (a,n) ) = a. Sden A er somorf med R (A N) / ker ρ, er déen at tlnærme R (A N) / ker ρ med moduler af formen R I /C. Betragt derfor mængden I af par (I, C) hvor I A N er en endelg delmængde og hvor C R I ker ρ er en endelgt frembragt undermodul. V lægger en partel ordnng på I ved at denere at (I 1, C 1 ) (I 2, C 2 ) såfremt I 1 I 2 og C 1 C 2. Ordnngen er opadltrerende da tydelgvs (I 1, C 1 ), (I 2, C 2 ) (I 1 I 2, C 1 + C 2 ). For hvert = (I, C) I sætter v A = R I /C, og for, j I med = (I 1, C 1 ) (I 2, C 2 ) = j denerer v α j : A A j ved α j (x + C 1 ) = x + C 2. Bemærk at α j α jk = α k når j k. V har således et nduktvt I -system (A, α j ) af endelgt frembragte moduler, og v starter ud med at vse at dette system har A som es; bagefter vl v vse at delsystemet af endelgt frembragte fre moduler er konalt. Lad (B, β ) betegne den nduktve es af (A, α j ). For = (I, C) I kan v da C ker ρ denere ϕ : A A ved ϕ (x + C) = ρ(x). Når = (I 1, C 1 ) (I 2, C 2 ) = j vl ϕ j α j = ϕ eftersom ϕ j α j (x + C 1 ) = ϕ j (x + C 2 ) = ρ(x) = ϕ (x + C 1 ). Den unverselle egenskab af nduktv es gver nu eksstensen af en homomor ϕ: B A så ϕβ = ϕ for alle I. V ser først at ϕ er surjektv. Th for a A vl ρ(δ (a,1) ) = a, så denerer v = ({(a, 1)}, 0) I vl a = ρ(δ (a,1) ) = ϕ (δ (a,1) + 0) = ϕ(β (δ (a,1) + 0)). Lad nu b ker ϕ og lad os ndse at b = 0. Da b B = A ndes = (I, C) I og a A så b = β (a). Da A = R I /C kan v nde y R I så a = y + C. V har nu at ρ(y) = ϕ (a) = ϕ(b) = 0, dvs. y ker ρ så v kan denere j = (I, C + Ry) I. Nu vl α j (a) = y + (C + Ry) = 0 så b = β (a) = β j (α j (a)) = 0. Da således ϕ er bjektv, vl A = A. Lad nu I f betegne de (I, C) I for hvlke R I /C er fr. Hvs v kan vse at delmængden I f er konal I, vl v have vst det ønskede. Så lad = (I, C) I være gvet, og lad os konstruere (J, D) I f så (I, C) (J, D). Da v har en exakt følge 0 C R I A 0 hvor I er endelg og C er endelgt frembragt, er A af endelg præsentaton. Da A er ad kan v derfor anvende lemma 4.3 på ϕ : A A, og får en endelgt frembragt fr modul F og homomorer ϕ 1 og ϕ 2 så dagrammet F ϕ 1 ϕ 2 ϕ A A kommuterer. Da I er endelg, kan v denere m = max{n N a A: (a, n) I}. Lad (f 1,..., f n ) være en bass for F, og sæt X = {(ϕ 2 (f ν ), m + ν) ν = 1,..., n} A N. Bemærk at X og I er dsjunkte, og sæt J = X I som da blver en endelg delmængde af A N. V kan nu denere en surjektv homomor ψ : R J F ved ψ(δ j ) = ϕ 1 (δ j + C) når j I og ψ(δ j ) = f ν når j = (ϕ 2 (f ν ), m + ν) for et ν {1,..., n}. Da F er af endelg 24

29 præsentaton og R J endelgt frembragt, gver lemma 4.1 at modulen D = ker ψ er endelgt frembragt. Og per konstrukton vl ρ = ϕ 2 ψ, th for j I vl og for ν = 1,..., n vl ρ(δ j ) = ϕ (δ j + C) = ϕ 2 ϕ 1 (δ j + C) = ϕ 2 ψ(δ j ) ρ(δ (ϕ2 (f ν),m+ν)) = ϕ 2 (f ν ) = ϕ 2 ψ(δ (ϕ2 (f ν),m+ν)), så D = ker ψ ker ρ. V har altså at (J, D) I, så da R J /D = F er fr må (J, D) I f. Per konstrukton vl I J, og da v for y R I har deneret ψ(y) = ϕ 1 (y + C) vl C ker ψ = D, så (I, C) (J, D) som ønsket. Bemærknng 4.6 Af bevset for sætnng 4.5 fremgår det at hvs en modul B opfylder at enhver homomor A B fra en modul A af endelg præsentaton vl gå gennem en endelgt frembragt fr modul F som lemma 4.3, så kan B fås som en nduktv es af endelgt frembragte fre moduler. Da en nduktv es af ade moduler selv er ad th kommuterer med Tor R 1 (C, ) for alle højremoduler C jf. [We94, ] vl modulen B således være ad. V ser altså at lemma 4.3 kan skærpes: En modul er ad hvs og kun hvs alle homomorer fra moduler af endelg præsentaton går gennem endelgt frembragte fre moduler. Spektralfølge tl beregnng af Ext n R( A, B) En kontravarant funktor sender et nduktvt system et projektvt system, og for en fast modul B vl funktoren Ext q R (, B) således sende et nduktvt system (A, f j ) over et projektvt system (Ext q R (A, B), Ext q R (f j, B)). I det følgende vl v se at v kan beregne Ext n R ( A, B) ud fra (p) Ext q R (A, B). Da v skal udnytte dualteten mellem nduktv og projektv es, får v brug for en udgave af sætnng 2.16 for nduktv es. Sætnng 4.7 Gvet et nduktvt I-system (A, f j ) vl { H k (Σ(A )) = A når k = 0 0 når k 0 hvor Σ(A ) betegner komplekset 0 1 (A ) 0 A 0 n 1 (A ) 0 n 1 A 0 n(a ) n+1 (A ) 0 n A 0 hvs derentaler n (A ) for 0 n er gvet ved n n (A )ι (0,..., n) = ι (1,..., n)f ( 1) ν ι (0,...,î ν,..., n) hvor ι (0,..., n) betegner den kanonske ndlejrng A 0 0 n A 0. ν=1 25

30 Bevs. Da bevset hovedsagelgt er dualt tl bevset for lemma 2.15 og sætnng 2.16, oprdser v her blot strategen. For god ordens skyld er et detaljeret bevs dog gvet appendks A på sde 33. V konstruerer først en exakt følge (,0 ) (,1 ) (,n 1 ) (,n ) (,n+1 ) 0 (A ) (Σ,0 ) (Σ,n 1 ) (Σ,n ) af nduktve I-systemer. Det gør v ved at denere nduktve I-systemer (Σ,n, q j,n ) af R-moduler Σ,n ved Σ,n = 0 n og for j R-homomorer q j,n : Σ j,n Σ,n ved { x q j,n (x) (0,..., n) = (0,..., n) når n j 0 ellers. A 0 Denér nu for n 1 morer (,n ): (Σ,n ) (Σ,n 1 ) ved,n ι ( 0,..., n) = ι ( 1,..., n) f n ( 1) ν ι ( 0,...,î ν,..., n) hvor ι ( 0,..., betegner den kanonske ndlejrng A n) 0 Σ,n, og udvd ved lneartet. Denér desuden moren (,0 ): (Σ,0 ) (A ) ved,0 (x) = 0 f 0 (x 0 ). At følgen er exakt, kan vses ved udregnnger helt duale tl udregnngerne bevset for lemma Da nduktv es er en exakt funktor, har v nu en exakt følge ν=1 0 A,0 Σ,0 Σ,n 1,n Σ,n, og som bevset for sætnng 2.16 kan det vses at v har en somor mellem komplekserne Σ(A ) og Σ,,1 Σ,0 Σ,1 ϕ 0 = 0 A 0 1 (A ) ϕ 1 = 0 1 A 0,n+1 Σ,n Σ,n+1 ϕ n = n+1 (A ) 0 n A 0 ϕ n+1 = 0 n+1 A 0 hvoraf det ønskede følger: for k 0 vl H k (Σ(A )) = H k ( Σ, ) = 0, og H 0 (Σ(A )) = / / A 0 m ( 1 (A )) = Σ,0 m 0 (,1 ) = A. 26

31 Som annonceret skal v nu tl kort at beskæftge os med spektralfølger. Spektralfølger er opstået nden for algebrask topolog som et meget eektvt værktøj tl beregnng af homolog. Det er dog også et meget teknsk værktøj, så det vlle hurtgt blve alt for omfattende hvs v der skulle gves en ntrodukton her. I stedet henvses der blot tl [We94], [McC01] eller evt. [Mac67] for en ntrodukton. Afsnttene [McC01, 2.4] og [We94, 5.6] omhandler de to spektralfølger v nu skal have spl, nemlg dem man klasssk assocerer tl et bkompleks for at beregne (ko)homolog af dets totalkompleks. Sætnng 4.8 Gvet et nduktvt I-system (A, f j ) og en R-modul B ndes en spektralfølge (Er p,q ) med E p,q 2 = (p) Ext q R (A, B) og som konvergerer mod Ext p+q R ( A, B). Bevs. Lad der være gvet en njektv resoluton 0 B Q 0 0 Q af B, og lad Q betegne det her tl svarende kompleks. Lad desuden Σ(A ) benævne det sætnng 4.7 omtalte kompleks. Herudfra danner v et bkompleks Hom R (Σ(A ), Q ) hvs derentaler er gvet ved Hom R A 0, q : Hom R A 0, Q q Hom R A 0, Q q+1 0 p 0 p 0 p ( 1) p+1 Hom R ( p+1 (A ), Q q ): Hom R Hom R 0 p A 0, Q q 0 p+1 A 0, Q q hvor fortegnet ( 1) p+1 skrer at derentalerne antkommuterer. V danner nu det totale kompleks T gvet ved T n = Hom R p+q=n 0 p A 0, Q q og hvs derentaler blot er gvet ud fra summen af bkompleksets derentaler, jf. fx [We94, 1.2.6]. Da bkomplekset er begrænset tl første kvadrant, ndes følge [McC01, 2.15] to spektralfølger (E p,q r ) og (E p,q r ) med E p,q 2 E p,q 2 = H p (H q (Hom R (Σ(A ), Q ))) = H q (H p (Hom R (Σ(A ), Q ))) og som konvergerer mod kohomologen H p+q (T ) af det totale kompleks T. 27

32 Da hver modul Q q er njektv, er funktoren Hom R (, Q q ) exakt og v har derfor en naturlg somor H p (Hom R (Σ(A ), Q q )) = Hom R (H p (Σ(A )), Q q ). Så da v følge sætnng 4.7 har at H 0 (Σ(A )) = A og at H p (Σ(A )) = 0 når p 0, vl { E p,q 2 = H q (Hom R (H p (Σ(A )), Q )) Ext q R = ( A, B) når p = 0 0 når p > 0 eftersom Q er en njektv resoluton af B. V har altså at spektralfølgen (E r p,q ) kollapser E p,q 2 eftersom der kke er plads tl derentaler, og v kan dermed slutte at H n (T ) = = Ext n R ( A, B). V skal nu blot vse at E p,q E 0,n 2 først at H q 2 Hom R = (p) Ext q R (A, B) for at slutte det ønskede. V bemærker A 0, Q = Ext q R (A 0, B), 0 p 0 p ford Q er en njektv resoluton af B, og ford v har en naturlg somor Hom R = 0 p A 0, B 0 p Hom R (A 0, B) gvet ved ϕ (ϕι (0,..., p)). Som tdlgere bemærket afbldes det nduktve system (A, f j ) ved Ext q R (, B) over et projektvt system (Extq R (A, B), Ext q R (f j, B)), så v skal nu have sætnng 2.16 spl. V bemærker først at førnævnte naturlge somor dentcerer Hom R ( p+1 (A ), B) med δ p (Hom R (A, B)), th for vlkårlg homomor ϕ Hom R ( 0 p A 0, B) har v at ( Hom R ( p+1 (A ), B)(ϕ)ι (0,..., p+1 )) = δ p (Hom R (A, B)) ( (ϕι ) (0,..., p)) eftersom der for alle 0 p+1 og alle x A 0 gælder Hom R ( p+1 (A ), B)(ϕ)ι (0,..., p+1 )(x) ( ) p+1 = ϕ ι (1,..., p+1 )(f 1 0 (x)) + ( 1) ν ι (0...,î ν,..., p+1 ) (x) ν=1 ( ) p+1 = Hom R (f 1 0, B)(ϕι (1,..., p+1 )) + ( 1) ν ϕι (0,...,î ν,..., p+1 ) (x). Og da v har funktoraltet B, vl generelt afbldnngen Ext q R ( p+1(a ), B) dentceres med afbldnngen δ p (Ext q R (A, B)). Dvs. Ext q R (, B) afblder komplekset Σ(A ) over et kompleks somorft med det sætnng 2.16 nævnte kompleks Π(Ext q R (A, B)). Af sætnng 2.16 følger det derfor at E p,q 2 ν=1 = H p ( Π(Ext q R (A, B)) ) = (p) Ext q R (A, B). 28

33 Bemærknng 4.9 Som bemærket gver bevset for sætnng 4.5 at enhver R-modul A kan skrves A = A hvor hver A er af endelg præsentaton. Og med små justernger vl bevset for sætnng 4.8 gve at v for alle n 0 og alle R-moduler B har en somor Pext n R(A, B) = (n) Hom R (A, B), et resultat som [Jen72] cteres for. Det er derfor passende at ofre ldt plads på at redegøre for dets bevs. Dentonerne det følgende er taget fra [JL89, appendks A]. En kortexakt følge 0 X Y Z 0 kaldes rent exakt hvs v for alle højremoduler M har at følgen 0 M R X M R Y M R Z 0 er exakt, og en exakt følge kaldes så rent exakt hvs dens zgzagdele er rent exakte. Specelt er spltexakte følger rent exakte. Så sden M R kommuterer med ser v at en nduktv es af spltexakte følger vl være rent exakt, og specelt at resolutonen 0 A Σ(A ) fra sætnng 4.7 er rent exakt jf. appendks A. En modul P kaldes rent projektv hvs Hom R (P, ) er exakt for alle rent exakte følger. Alle endelgt præsenterede moduler er rent projektve, og for enhver modul X ndes en rent exakt følge 0 K P X 0 med P rent projektv, så v kan tale om rent projektve resolutoner altså resolutoner P n P 0 X 0 hvor hver P ν er rent projektv og hvor følgen er rent exakt. Tlsvarende kaldes en modul Q for rent njektv hvs Hom R (, Q) er exakt for alle rent exakte følger, og det kan vses at der også er nok rent njektve. Man kan således denere bfunktorerne Pext R (, ) ved relatv homologsk algebra, dvs. denere Pext R (A, B) som de aedte tl Hom R(A, ) va rent njektve resolutoner af B eller som de aedte tl Hom R (, B) va rent projektve resolutoner af A. Hvs v bevset for sætnng 4.8 stedet betragter en rent njektv resoluton Q af B, ser v, da som bemærket 0 A Σ(A ) er rent exakt, at H p (Hom R (Σ(A ), Q q )) = Hom R (H p (Σ(A )), Q q ) og dermed at H n (T ) = Pext n R (A, B). Og da hver A er endelgt præsenteret og dermed rent projektv, har v for q > 0 at E p,q 2 = (p) Pext q R (A, B) = 0, og altså at spektralfølgen kollapser og den ønskede somor fremkommer. 29