Endeligdimensionale vektorrum

Transkript

1 Endeligdimensionale vektorrum I det følgende betegner X, Y og Z endeligdimensionale vektorrum Gerne udstyret med en norm, evt et indre produkt Eksempel: En skævt beliggende plan i rummet, X = {v R 3 v, a = 0} Eksempel: Rummet M k af reelle k k matricer p1/31

2 Lineære afbildninger En afbildning L : X Y er lineær hvis 1) L(x + x ) = Lx + Lx for alle x, x X 2) L(cx) = c Lx for alle x X, c R Eksempel: Lad A være en n n matrix, og betragt afbildningen L : M n M n givet ved LX = AXA T for alle X M n p2/31

3 Rummet af lineære afbildninger Definition: Systemet af alle lineære afbildninger X Y kaldes Lin(X, Y) Bemærk at Lin(X, Y) selv er et vektorrum, dim Lin(X, Y) = dim X dim Y Gåde: Indse at formlen L A (X) = AXA T for alle X M k definerer en afbildning M k Lin(M k, M k ) når A L A Er denne afbildning lineær? p3/31

4 Det duale rum Definition: Hvis X er et endeligdimensionalt vektorrum, så kaldes Lin(X, R) for det duale rum Det duale rum betegnes gerne X, og elementerne i X kaldes funktionaler Hvis x X definerer vi L x y = x, y for y X Det er klart at L x X Faktisk er x L x en isomorfi af X over i X Alle elementer i X fremkommer ved at prikke på en fast vektor p4/31

5 Lineære afbildninger og matricer En k m matrix er et rektangulært talskema, A = a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a k1 a k2 a km En k m matrix A repræsenterer en lineær afbildning L A : R m R k, L A x 1 x 2 x m = a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a k1 a k2 a km x 1 x 2 x m p5/31

6 Lineære afbildninger matricer Ethvert element i Lin(R m, R k ) har en matrixrepræsentation Men: En matrix er et dødt talskema En lineær afbildning er levende! Matricer er nyttige til konkrete regninger Matricer er nyttige, når man diskuterer deres visuelle fremtræden: diagonalmatricer, øvre trekantsmatricer, blokmatricer, Læresætning: matricer er et regneteknisk hjælpemiddel, lineære afbildninger er det essentielle p6/31

7 Strøbemærkning: Sporproduktet På M n har vi et indre produkt, A, B = Tr(A T B) Bemærk at A, B = ij A ij B ij så vi taler i virkeligheden om det sædvanlige indre produkt på R n2 i forklædning p7/31

8 Normer af lineære afbildninger Hvis X og Y er normerede vektorrum, og hvis L : X Y er lineær, sættes L = sup{ Lx x 1} Observation: L < - når rummene er endeligdimensionale Der gælder at Lx L x for alle x X (L er Lipschitz) Lemma: er en norm på Lin(X, Y) (operatornorm) Hvis man skifter norm på X og/eller Y får man en anden operatornorm på Lin(X, Y) p8/31

9 Adjungerede afbildninger Lad X og Y have indre produkter Sætning Til enhver afbildning L Lin(X, Y) findes en entydigt bestemt adjungeret lineær afbildning L Lin(Y, X), der opfylder at Lx, y = x, L y for alle x, y Bevis For fast y er x Lx, y et element i X Derfor findes L y X, der repræsenterer denne funktional Og y L y er lineær Hvis X = R k og Y = R m har det sædvanlige indre produkt, så vil (L A ) = L A T p9/31

10 Bilineære afbildninger En afbildning B : X Y Z er bilineær hvis 1) B(x + x, y) = B(x, y) + B(x, y) for alle x, x X, y Y 2) B(x, y + y ) = B(x, y) + B(x, y ) for alle x X, y, y Y 2) B(cx, dy) = cd B(x, y) for alle x X, y Y, c, d R Gåde: Indse at formlen H A,B (X) = AXB T for alle X M k definerer en bilineær afbildning M k M k Lin(M k, M k ) når (A, B) H A,B p10/31

11 Bilineær afbildning Eksempel Evalueringsafbildningen ev : Lin(X, Y) X Y, givet ved ev(l, x) = L x for L Lin(X, Y), x X er bilineær p11/31

12 Rummet af bilineære afbildninger Definition: Systemet af alle bilineære afbildninger X Y Z kaldes Bil(X, Y; Z) Bemærk at Bil(X, Y; Z) selv er et vektorrum, dim Bil(X, Y; Z) = dim X dim Y dim Z Dette rum kan udstyres med en operatornorm: B = sup{ B(x, y) x 1, y 1} p12/31

13 Bilineære afbildninger lineære afbildninger Bemærk: X Y er et vektorrum En afbildning H : X Y Z kan i princippet være både lineær og bilineær Men hvis den er begge dele, må den være identisk 0: H(x, y) (1) = H(x, 0) + H(0, y) = H(x, 0 y) + H(0 x, y) (2) = 0 H(x, y) + 0 H(x, y) = 0 hvor (1) skyldes linearitet, og (2) bilinearitet p13/31

14 Bilineære afbildninger og matricer En k m matrix A giver anledning til en bilineær afbildning B A : R k R m R (en bilinearform) ved matrixmultiplikation, B A (x, y) = x T Ay for x R k, y R m Alle bilineære afbildninger fra R k R m ind i R kan repræsenteres på denne måde Bilineære afbildninger ind i R l kræver trevejsskemaer for en matrixrepræsentation p14/31

15 Den naturlige parring Hovedsætning De to vektorrum er isomorfe Lin(X, Lin(Y, Z)) og Bil(X, Y; Z) Isomorfien er givet ved at A Lin(X, Lin(Y, Z)) sendes over i (x, y) A(x)(y) p15/31