Kovarians forecasting med GARCH(1,1) -et overblik

Transkript

1 Kovarians forecasing med GARCH(1,1) -e overblik

2 Hvorfor volailies-forecase? Risikosyring Dela-normal Value-a-Risk Mone Carlo Value-a-Risk Prisfassæelse Opionsproduker Realkrediobligaioner Mone Carlo simulaion Performancemåling Sharpe raios

3 Hvorfor modeller? Løbende 30-dages renevolailie cr. hele periodens renevolailie Renevol dages løbende Hele perioden Daa-modellering nødvendig

4 Daa

5 Daa Syrken ved GARCH modellerne er, a de passer il de karakerisika finansielle daa udviser De være sig valua, akier, rener mv. Forsåelse af daa er derfor en god indgangsnøgle il forsåelse af GARCH modeller I de følgende vil der blive se på rene-daa

6 Daa Anvend idsserier af nulkuponrener og ikke effekive rener Ændringer og ikke niveauer. Typisk ses på logarimiske differencer eller "afkas" x = r ln( r 1 ) r r r 1 1 Blo en simpel ransformaion - de er sadig de samme daa!

7 Daa - afkasserie Udvikling i afkasserie for den årige nulkuponrene Afkas Tidsvarierende vol. Konsan middelværdi (på 0) Tendens il vol.klumpning

8 Daa - auokorrelaion 0,15 Auokorrelaions-srukuren i afkasene på den -årige nulkuponrene 0,10 0,05 Korrelaion 0, ,05-0,10-0,15 Orden Daa er ukorrelerede! Hvor kommer afhængigheden så fra?

9 Daa - auokorrelaion 0,35 Auokorrelaions-srukuren i de kvadrerede afkas på den -årige nulkuponrene 0,30 0,5 0,0 Korrelaion 0,15 0,10 0,05 0,00-0, ,10-0,15 Orden Daa er alså nok ukorrelerede, men ikke uafhængige Uafhængige daa er ukorrelerede, men de modsae behøver ikke være ilfælde

10 Daa Konsekvenser: Vi kan ikke forudsige reningen på morgendagens afkas (skal de op eller ned?) MEN, vi kan forudsige sørrelsen på afkase (skal de mege op eller ned?) Dvs. vi kan forudsige morgendagens volailie vha. de foregående dages afkas Den senese informaion synes a være den vigigse

11 Daa E lille "guldkorn": I will flucuae my son, i will flucuae Kræferne skal mao. lægges i risikosyringen!

12 Daa - fordeling 0,04 Hisogram over afkasene på den -årige nulkuponrene 0,03 0,03 0,0 0,0 Kurosis: 15 >> 3 Skewnes: 0,06 0,01 0,01 0,00-7,1-5,3-3,5-1,7 0,,0 3,8 5,6 7,4 Ikke normal, men symmerisk Fede haler og spids op ("excess kurosis")

13 Daa - opsummering Tidsvarierende vol. Konsan middelværdi (på 0) Volailiesklumpning Ukorrelerede men ikke uafhængige daa Ikke normalfordele afkas Fede haler og spids op Ovensående er en verbal beskrivelse af en GARCH model!

14 GARCH(1,1) Middelværdi: x = ε ~ N(0, ) ε σ Volailie: σ = ω+ α 1 ε 1 + β 1 σ 1

15 GARCH(1,1) - Karakerisika Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy Beinge cr. ubeinge volailie P(Sor udsving i dag Sor udsving i går) > P(Sor udsving i dag) Dvs. den ubeingede vol. <> beingede vol. som følge af den idligere fundne afhængighed Hisorisk har den ubeingede vol. være mege anvend. Fejledde anages beinge normalfordel.

16 GARCH(1,1) - Karakerisika Anager a den ubeingede vol. er konsan og a den beingede er idsvarierende. Skif i renevol. er e resula af afhængigheden i daa og dermed ikke e resula af srukurelle ændringer i den ubeingede renevol. Den idsvarierende vol. skal alså opfaes som midleridige afvigelser fra en konsan ubeinge vol. Vol.forecas over længere horisoner vil konvergere mod de ubeingede vol.niveau (IGARCH dog speciel) Konvergensen sker ypisk hurig - derfor mes anvendelig på de kore sig

17 GARCH(1,1) - Karakerisika Har pr. konsrukion kurosis over 3 Kan dog ypisk ikke fjerne al "excess kurosis". Dvs. de sandardiserede fejlled er ypisk ikke-normalfordel : Nøgleal for sandardiserede afkas Kurosis: 7,3 Skewness: 0,1 Beinge T-fordeling kunne overvejes ved esimaion (Se ev. Bollerslev(87))

18 GARCH(1,1) - Karakerisika Auokorrelaions-srukuren i de sandardiserede kvadrerede afkas på den -årige nulkuponrene 0,08 0,06 0,04 0,0 Korrelaion 0,00-0, ,04-0,06-0,08 Orden Har mao. kunne beskrive mege af afhængigheden i daa

19 GARCH(1,1) cr. simplere meoder Implicie volailieer fra opionsmarkede Der er ikke e likvid marked i Danmark Simpel Hisorisk meode Samme væg il alle observaioner og dermed for lav væg il nye observaioner For langsom reakion på ændrede markedsudsving Spøgelseseffeker Eksponeniel væge glidende gennemsni Ingen oplag esimaionsmeode som følge af mangel på sandsynlighedseoreisk ramme Ingen mulighed for muliperiode forecas. Hver ny horison kræve ny model Blo e special-ilfælde af en GARCH(1,1)

20 Esimaion vha. SAS Esimaion: PROC AUTOREG DATA=NK_AFK; MODEL AFK = / NOINT GARCH=(q=1, p=1); OUTPUT OUT=Daa CEV=sigma; RUN; x σ = ε ε ~ N(0, σ ) = ω + α 1 ε 1 + β 1 σ 1 Tes: PROC AUTOREG DATA=NK_AFK; MODEL AFK= / NOINT ARCHTEST; RUN;

21 Hvad med korrelaioner? Volailiesforecas er ikke nok! VaR på f.eks. obligaioner kræver forecas på hele kovariansmaricen X X X X X X X X X X

22 Hvad med korrelaioner? Kan de anages konsane? 1, 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4 Corr(,8) Corr(4,10) Corr(;4)

23 Hvad med korrelaioner? E oplag valg vil være a udvide GARCH(1,1) il e mulivariabel seup: Middelværdier x x i, j, = ε = ε i, j, Varianser og kovarianser σ σ σ i, j, ij, = ω = ω = ω α + α + α ε ε ε i, 1 j, 1 i, 1 + β + β ε 11 1 j, 1 σ σ i, 1 + β j, 1 31 σ ij, 1

24 Hvad med korrelaioner? Skal "blo" udvides il nulkuponrener Svær/umulig a esimere - blo 10 løbeider kræver 165 paramere!! Behov for redukion af kompleksie Her er fakoranalyse glimrende Gennemgåe på sidse "quan møde"

25 Hvad er fakoranalyse? 5,6 Nulkuponrenesrukur 5,4 5, 5,0 4,8 4,6 4, Ikke 10 unikke variable Derfor heller ikke ale om 10 risikofakorer

26 Hvad er fakoranalyse? Korrelaionsmarice for nulkuponrenesrukuren , ,94 0, ,89 0,96 0, ,84 0,93 0,97 0, ,79 0,88 0,94 0,97 0, ,74 0,85 0,91 0,95 0,98 1, ,71 0,81 0,88 0,93 0,97 0,99 1, ,68 0,79 0,86 0,91 0,96 0,98 0,99 1, ,65 0,76 0,84 0,90 0,94 0,97 0,99 0,990 0,990 1 De sørre afsand mellem løbeider de svagere er korrelaionen (og omvend)

27 Hvad er fakoranalyse? Mege æ (og sabil) korrelaion mellem løbeider æ på hinanden => færre end 10 fakorer De kore og lange rener påvirkes ikke af samme forhold => der er minds fakorer Anal fakorer viser sig som ofes af være blo eller 3 Analle af fakorer afdækkes vha. fakoranalyse Typisk finder man a blo 3 fakorer kan forklare hel op il 98% af variaionen

28 -4,00 Hvad er fakoranalyse? 8,00 6,00 4,00 Afkas på 1 årige nulkuponrene,00 0, ,00 6,00 Fakor 1-4,00-6,00 5,00 4,00 3,00,00 1,00 0, ,00 -,00-3,00 6,00 5,00 4,00 3,00,00 1,00 0, ,00 Afkas på årige nulkuponrene -,00 Fakor -3,00-4,00-5,00 6,00 4,00,00 0, ,00-4,00 Blandings-forhold (loadings) -6,00-8,00 6,00 Fakor 3 4,00,00 0, ,00-4,00 6,00 5,00 4,00 Afkas på n årige nulkuponrene -6,00 3,00,00 1,00 0, ,00 -,00

29 Hvad er fakoranalyse? Ved 3 fakorer: n n n n n n F l F l F l r r F l F l F l r r F l F l F l r r, 3 1 1,,, 3 1 1,, , 1, 3 1 ) ln( 3 1 ) ln( 3 1 ) ln( ε ε ε = = = Afkase anages a være en lineær kombinaion af en række ukorrelerede og uobserverbare fakorer

30 Hvad er fakoranalyse? Harvi dynamikkeni disse3 fakorerharvi alså dynamikken i hele renesrukuren Dvs. kan vi forecase kovariansmaricen for fakorerne har vi indireke forecase kovariansmaricen for nulkuponrenerne Σˆ L ˆ L' x F ε n n = n m Σm m m n + Σn n ˆ σˆ σˆ, = l1 σˆ ˆ ˆ ˆ F1, + l σ F, + l3 σ F3, ˆ + σ *4, = l1 σ F1, l41 + l σ F, l4 + l3 σ F3, l43 ˆ ε ˆ

31 Fakor GARCH(1,1) Hvordan så forecase fakorernes kovariansmarice (nu bliver de virkelig smuk!) Vha. univariabel GARCH(1,1) da fakorerne jo pr. konsrukion er ukorrelerede! Dvs. mulivariable meoder er unødvendige! Fakor 1 Fakor Fakor 3 σ Fakor 1 F1 0 0 Fakor 0 σ F 0 Fakor F3 σ GARCH(1,1)

32 Fakor GARCH(1,1) Fakor GARCH(1,1) - en "kogebog": 1. Foreag fakoranalyse på renesrukuren. Esimer samidig idsserier for de 3 bagvedliggende fakorer 3. Esimer en GARCH(1,1) model for hver af de 3 fakorer 4. Beregn vha. disse 3 GARCH(1,1) modeller e volailies forecas for hver af fakorerne 5. Opsil på baggrund af ovensående de endelige forecas på renesrukurens kovariansmarice vha. relaionen: Σˆ ˆ x F ε n n = Ln m Σm m L' m n + Σn n ˆ

33 Fakor GARCH(1,1) Fakor GARCH(1,1) cr. GARCH(1,1) forecas 1,7 1,5 y = 1,054x - 0,0409 R = 0,969 1,3 1,1 0,9 0,7 0,5 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7

34 Esimaion vha. SAS PROC FACTOR DATA=NK_AFKAST NFACT=3 METHOD=PRIN OUT=SCORES VAR AFK01-AFK10; RUN; Herefer foreages GARCH(1,1) esimaion på fakorscorene som idligere vis

35 Raffinemener GARCH modeller af alernaiv orden og ype Mulivariabel GARCH for fakorerne (de er kun ubeinge ukorrelerede) Alernaive beingede fordelingsanagelser Alernaiv specifikaion af middelværdi God fornøjelse!