Keples lve Skeve af Jacb Lasen.å HTX Slagelse Udgive i samabejde med Main Gyde Pulsen.å HTX Slagelse 1
De Lve På baggund af den danske asnm Tych Bahes bsevaine. De va isæ paallaksemålinge af Mas placeing på naehimlen, de spede Keple i ening af sin beøme føse lv m planeenes ellipsebane. Men de km i al mege vigige lve i peiden 1609-1619: 1. Planeene bevæge sig i ellipsefmede bane m Slen, med Slen i de ene bændpunk.. De af adiusvek (mellem Slen g en plane) vesøgne aeal e ens i lige se idsum.. Beegne en planes middelafsand fa Slen, g T dens mløbsid, så gælde kns T =. Keples 1. lv x Fa maemaikken definees en ellipse sm: y + = 1 - hv a e saksen g b e a b lilleaksen Fskellen på en cikel g en ellipse e a ellipsen e excenisk. De e e mål f afsanden mellem bændpunkene dividee med den dbbele sakse. e FF = 1 - Bemæk a dee gælde: 0 e 1 a < < - j æee på 0 j mee cikelfme. Hv F 1 g F e de bændpunke, hvaf Slen e placee i de ene. Men hvis asnme i fiden ha e a planeene bevægede sig i cikelbane så e de lvlig undskyld. De fhlde sig nemlig således f de mes kende planees excenicie: Saksen a Omløbsid T Excenicie e (A.E) (å) Meku 0,87 0,41 0,01 Venus 0,7 0,615 0,007 Jden 1,000 1,000 0,017 Mas 1,54 1,88 0,09 Jupie 5,0 11,86 0,048 Saun 9,555 9,4 0,056 Uanus 19,18 8,75 0,046 Nepun 0,110 16,7 0,009 Plu 9,545 48,0 0,49
Keples. lv Figu 1 Tegningen skal illusee en planes ellipsebane med Slen i de ene bændpunk. Radiusvek e den fbindelseslinie, man imaginæ kan ække mellem Slen g planeen. Hvis Keples anden lv skal passe kan man da knkludee: 1 = - så f idsum A = A - A så f aeal 1 A A = = kns 1 1 Hvis man se lgisk på de, så må fklaingen på dee væe a planeen ha en øge hasighed, nå den e æ på Slen i fhld il nå den e længee væk. Således kan den nå længee på samme id. Men de e gså en ilsvaende mekanisk måde a anskue denne påsand på. Planeens baneimpulsmmen e knsan. Man kan da psille fmlen: L = v m m g L e knsane. Hvis adiusveks længde så blive minde ide planeen kmme æee på slen, så må hasighedsveken j blive søe, hvis udykke sadig skal blive L.
Bevis f Keples. lv Ide man anse siuainen på figu 1 sm e sysem i ligevæg, hvilke vil sige a kafmmene f planeens bevægelse e nul, blive planeens impulsmmen knsan. dl M 0 d = = - L = kns Se man nu på en islee del af syseme sm beså a é af de aeale, de vesyges af adiusvek i e mege lille idsum. E impulsmmene give ved: L = p L = v m Hasighedsveken e en angen il ellipsebevægelsen. Dee bevike a adiusvek g hasighedsvek e vinkele på hinanden, hvved følgende gælde: L = v m Hasigheden e ilnæmelsesvis knsan ved v s/, fdi man se på e lille idsum Hvi s e den buelængde planeen ilbagelægge: s L = m s L= m 1 () Nu vende man f en k bemækning ilbage il aeale. I é mege lille idsum e aeale give ved A (1/) s hvilke kan mskives il: ( ) A = s Nu samles (1) g () il: A L = m L A m = Ide både L g m e knsane kan man udlede følgende: A = kns Ide fhlde mellem e vis aeal g e vis idsum alid e knsan, anses Keples anden lv f a væe bevis. 4
Bevis f Keples. lv Selvm Newn føs lanceede masseilækningslven i 1687, på baggund af Keples lve. Så e de nemmes a bevise Kelpes. lv ved hjælp af denne. Denne lv lyde: m1 m Nm Fg = G G = 6,67 10 11 kg Hv m 1 g m e legeme g F g e ilækningskafen mellem disse legeme. F a e legeme kan lave en cikulæ bevægelse, skal de væe en cenipealkaf F cp. Denne e give ved Newn anden lv: Fcp = m acp Hv cenipealacceleainen e give ved: acp ω = hvmed de fås a: Fcp = m ω Mellem en vilkålig plane g Slen, hvimellem de e afsanden e F g = F cp. Så vil m 1 væe give ved Slmassen M g m vil væe give den vilkålige planes masse m. Heudfa fås: G M m m ω = - hv vinkelhasigheden ω pfylde T π m G M = m T 4π = G M T 4π = G M T G M = T 4π π. Ide a G e en knsan g a M e en knsan, finde man a: T = kns /T Meku 1,00 Venus 1,001 Jden 1,000 Mas 0,999 Jupie 0,999 Saun 0,99 Uanus 0,988 Nepun 0,98 Plu 0,995 5
Slu De nauvidenskabelige Jacb Lasen g Main Gyde Pulsen Ev. fejl g mangle kan sendes il gyde@udekuve.dk 6