matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering
Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal.......................... 7 3.2 Regning........................ 9 3.3 Potenser....................... 10 4 Regnearterneshiraki 10 4.1 Bogstavregning.................... 11 4.2 Parenteser...................... 12 5 Logik 15 5.1 Argumenter...................... 15 5.2 Hvad er et bevis?................... 16 6 Kvadratsætningerne 16 7 Brøkregning 19 8 Potensregneregler 22 9 Ligninger 24 9.1 Ligningsløsning.................... 24 9.2 To ligninger med to ubekendte............ 29 9.3 Andengradsligninger................. 31 10 Komplekse tal 35 10.1 Regning med komplekse tal.............. 37 10.2 Geometrisk repræsentation af komplekse tal..... 40 2
Svar til opgaverne 41 Litteratur 44 3
1 Forord Faglige mål og kernestof - Regningsarternes hierarki, det udvidede potensbegreb, rationale og irrationale tal, ligningsløsning med analytiske metoder. - Gennemføre simple matematiske ræsonnementer og beviser Supplerende stof - Kompleksetal med vægt på ræsonnement og bevisførelse. 4
2 Indledning Algebra er regning med symboler og bogstaver. Grundet til at regne med bogstaver, er for at komme frem til nogle generelle regler, som er rigtige for alle tal. På denne måde kan en masse udregninger undgås. Det vigtigste man bruger algebra til er beregninger på en computer. Da ønskes at det skal gå så hurtigt som muligt, derfor er det vigtigt at reducere udtryk så de bliver nemmere for computeren at udregne. F.eks. skal computerne udregne kan dette reduceres til 3 (a + b) 2 6 a b 3 b 2 3 a 2 Hvis der indsættes tal i stedet for a og b f.eks. 5 ind i stedet for a og 2 ind i stedet for b bliver det første udtryk til 3 (5 + 2) 2 6 5 2 3 2 2 = 3 7 2 60 3 4 og det andet udtryk bliver til = 3 49 60 12 = 147 60 12 = 75 3 5 2 = 3 25 = 75 Det er hurtigere for computerne og bruge det andet udtryk, og det er derfor det er vigtigt at reducerer så antallet af beregninger nedsættes. Computeren laver rigtigt mange udregninger hele tiden, derfor vil alt gå langsommere på computerne hvis regneudtrykkene ikke var reduceret. Der er en hel række af regler og love som skal overholdes, hvis ikke bliver reduceringen forkert. Her er et eksempel på en forkert reducering. 3 (a + b) = 3 a + b 5
og computerne skal udregne dette med a lig 5 og b lig 2, bliver det første til 3 (5 + 2) = 3 7 = 21 og det andet bliver 3 5 + 2 = 15 + 2 = 17 og det er bestem ikke sådan at 21 og 17 er det samme tal. Metode med at sætte tal ind kan også bruges når for at undersøge om reduceringen er rigtigt. Metoden er ikke helt sikker for det er ikke sikkert at hvis det er rigtigt med nogle tal så er der rigtigt for alle tal, men ofte vil det være tilfældet især hvis der bruges forskellige tal og gerne primtal dvs. (2,3,5,7,11) 6
3 De grundlæggende regler Der er 10 grundlæggende regler for regning med symboler. Definition 3.1 Regler for addition, subtraktion, multiplikation, division og paraenteser.[3, s. 9-10] 1. v + w = w + v Den kommutative lov for addition 2. (v + w) + x = v + (w + x) Den associative lov for addition 3. v + 0 = v Den additive identitet 4. v + ( v) = 0 Den additive inverse 5. r(v + w) = rv + rw Den distributive lov 6. (r + s)v = rv + sv Den distributive lov 7. v w = w v Den kommutative lov for multiplikation 8. r(sv) = (rs)v Den associative lov for multiplikation 9. 1 v = v Den multiplikative identitet 10. v v 1 = 1 Den multiplikative inverse Ved at tage udgangspunkt i disse grundlæggende regler kan udledes en hel masse generelle regler, som gælder for alle tal. 3.1 Tal Hvad er et tal? Der findes mange tal f.eks. 4, 5, 9378, I, III, IV, DC, 10110, 100110. Fældes for alle disse tal er, at de repræsenterer en 7
værdi. Symbolet "4"repræsentere værdien 4, men det gør symbolet "IV"og "100"også. Dvs. Et tal er et symbol, som repræsenterer en værdi. Ofte vil symbolet være efterfulgt af en betegnelse for den værdi som det repræsenterer f.eks. 4 kr eller 4 kg. I matematik undlade denne betegnelse ofte. Tal inddeles i typer. En type af tal er tallene 0,1,2,3,4,..., disse tal kaldes for de naturlige tal og symbolet for disse tal er N. Ud fra de naturlige tal kan f.eks. 11 og 5 konstrueres ved at sætte (minus) foran tallet. På denne måde fås tallene..., 2, 1,0,1,2,... Disse tal kaldes for de hele tal og symbolet for disse tal er Z. Ud fra de hele tal kan f.eks. 3 6 og 7 konstrueres. Tal af denne type hedder brøker 11 og disse tal kaldes for de rationelle tal og symbolet for disse tal er Q. Ud fra de rationelle tal kan de reelle tal konstrueres. Det er de tal som f.eks. 2 og π. Symbolet for de reelle tal er R. Ud fra de reelle tal kan de kompleks tal konstrueres. Det er tal som 2 + 1i. Symbolet for de kompleks tal er C. 3 N 5 Z 3 5 Q 2 R 2i 3 C 8
3.2 Regning Det er muligt at lave forskellige operationer med tallene. Én operation er at lægge to tal samme, denne operation kaldes addition. Symbolet for en addition er + (plus). F.eks. 4 + 2 De to tal som adderes kaldes led, symbolet kaldes en operator. F.eks. plus operator {}}{ }{{} 4 led + 2 }{{} led Ved en addition fås et resultat der kaldes en sum, for at vise at der er tale om et resultat skrives = (ligmed) foran. F.eks. plus operator {}}{ }{{} 4 led + 2 }{{} led = 6 }{{} sum En anden operation er multiplikation eller at gange som det også kaldes. Ved en multiplikation af to tal eller bogstaver skrives mellem de to tal eller bogstaver, som multipliceres. F.eks. 4 3 betyder 4 gange 3 og 4 og 3 kaldes for faktorer. Resultatet af en multiplikation kaldes et produkt. F.eks. gange operator {}}{ }{{} 4 faktor 3 }{{} faktor = produkt {}}{ 12 Addition og multiplikation kan også kombineres. a }{{} led plus operator {}}{ + led { }} { 4 }{{} faktor gange operator {}}{ b }{{} faktor = sum { }} { a + 4b Der er 3 faktorer og 2 led i dette udtryk 3 e y + 6 9
De tre faktorer er 3, e og y og de to led er 3 e y og 6. Ofte undlades hvis det er tydeligt at der skal være. F.eks. Vil der istedet for at skrive 3 e y bare skrive 3ey, mens hvis der stod 3 4 kan der ikke skrives 34 fordi det ville betyde fireogtredive og ikke tre gange fire. 3.3 Potenser Udregninger skal skrives på den mest simple måde og derfor indføres en måde som beskriver det samme tal ganget med sig selv f.eks. 3 3 3 3 = 3 4 og det udtales tre i fjerde eller tre opløftet i fjerde. 5 3 = 5 5 5 Mens ( 5) 3 = 5 5 5 4 Regnearterneshiraki Når man skal udregne et udtryk med flere en to tal er det vigtigt at være opmærksom på i hvilken rækkefølge udregningen skal foretages. Eksempel 4.1 I udtrykket 2 + 3 5 skal 3 5 udregnes først fordi (gange eller multiplikation) skal udregnes inden + (plus eller addition). Udregningen kommer til at se således ud: 2 + 3 5 = 2 + 15 = 17 10
Definition 4.2 Regnearterneshiraki er 1. Parenteser 2. Eksponenter 3. Potenser 4. Multiplikationer og divisioner 5. Additioner og subtraktioner Eksempel 4.3 I udtrykket 2 3+2 4 skal eksponenten 2+3 = 5 udregnes først og derefter skal potensen 2 5 = 32 og til sidst skal multiplikationen 32 4 = 128 udregnes. Udregningen kommer til at se således ud: 2 3+2 4 = 2 5 4 = 32 4 = 128 Opgave 4.4 Regn følgende udtryk ud. (3 + 3) 1. 2 + 3 4 5. 3 2. (2 5) 2 6. 4 2+1 (2 3) 2 (2 5)3 1 3. 4 2 2 7. + 4 3 4. 3 2 3 2 8. (2 + 3) 2+1 1 5 4.1 Bogstavregning Der kan også regnes med bogstaver, her er nogle enkle eksempler som alle følger af matematikkens grundlæggende love. a + a = 2a a a = 0 a a = a 2 a a = 1 Her er nogle flere, de er lidt mere komplicerede a + b + a = 2a + b a b + 2b = a + b a b a = a 2 b 11
Her kombineres plus og gange a+(b c) = a+bc a (b+c) = ab+ac b (a+b+c) = ab+b 2 +bc Her kombineres alle regnearterne a (b + c) a = b + c ac + bc b = ac b + c ac + bc c = a + b Opgave 4.5 Regn følgende udtryk ud. 1. a + a + a 5. a a 2 2. ab a b + a ab ac + ad 6. + c a 3. a2 7. a (a + a) a 4. a (b + c) ab 8. (a + b) c (c + b) a 4.2 Parenteser Meget ofte er det praktisk at regne med parenteser, der er to ting operationer, det ene er at gange ind i parenteser det andet er at sætte udenfor parentes. Et typisk eksempel er, hvis der er 15% rabat på en vare, da kan prisen udregnes på følgende måde: og det udregnes som f.eks før prisen 15% af før prisen = prisen 60 kr. 15% 60 kr. = 51 kr. fordi 15% = 0,15 og 0,15 60 = 9. Dette kan også udregnes som 60 85% fordi 60 0,15 60 = 60 (1 0,15) = 60 0,85 12
Hvis et tal eller bogstav skal ganges ind i en parentes, skal tallet eller bogstavet ganges med hvert led i parentesen f.eks. 5 (3 + c a) = 5 3 + 5 c 5 a dette kan reduceres til 15 + 5c 5a Er der to parenteser, som skal ganges ind i hinanden (parenteserne ganges ud) skal hvert led i den ene ganges med hvert led i den anden f.eks. (x + y + z) (a + b + c) = (x + y + z) a + (x + y + z) b + (x + y + z) c = xa + ya + za + xb + yb + zb + xc + yc + zc Der kommer 9 led ud af at gange parenteserne ud, der er fordi der er 3 led i hver af parenteserne og 3 3 = 9. Hvor mange led kommer der ud af at gange disse to parenteser ud (a + b)(x + y)? Her er en liste over de mest typiske udregninger. Regel Eksempel a + ba = (b + 1)a a + 4a = (1 + 4)a ca + ba = (b + c)a 2a 4a = (2 4)a a b b = a 4 7 7 = 4 a(b + c) = ab + ac 3(b + c) = 3b + 3c Eksempel 4.6 Gang følgende parenteser ud (dvs. gang dem ind i hinanden) (2x + 4) (3y + z). (2x+4) (3y+z) = (2x+4) 3y+(2x+4) z = 2x 3y+4 3y+2x z+4 z 13
Eksempel 4.7 Gang følgende parenteser ud (dvs. gang dem ind i hinanden) (2x + y) 2 (5 + z). Først omskrives (2x + y) 2 til (4x 2 + y 2 + 4xy), nu ses at der er to parenteser og ingen potenser nu kan det ganges ud. (4x 2 + y 2 + 4xy) (5 + z) (4x 2 + y 2 + 4xy) (5 + z) = (4x 2 + y 2 + 4xy) 5 + (4x 2 + y 2 + 4xy) z = 4x 2 5 + y 2 5 + 4xy 5 + 4x 2 z + y 2 z + 4xy z = 20x 2 + 5y 2 + 20xy + 4x 2 z + y 2 z + 4xyz Opgave 4.8 Gang følgende parenteser ud. 1. (x + y) (x + y) 5. (x y) (x + y) 2. (x + y) (2x + y) 6. (x 3y) (x + y) 3. (x + 2) (2 + y) 7. (x y) (x + y) (z + 5) 4. (5x + 4y) (2x + 3y) 8. (3x + 5y + 3) (2x + 4) At skal sætte udenfor parentes, betyder at det som to eller flere led har tilfældes kan placeres udenfor en parentes. Eksempel 4.9 Sæt udenfor parentes i følgende udtryk. 2x + 5xy begge led indeholder x derfor kan det sættes udenfor parentes 2x + 5xy = x (2 + 5y) bemærk at x er fjernet fra begge led. 14
Opgave 4.10 Sæt så meget som muligt udenfor parantes. 1. 3x + 4xy 5. 3a + 6ba 2 2. 2x + 6xy 6. 2x + 6xy 3. 3x 2 + 6xy 7. 3xy 2 9xy 4. 4a + 6b + 8c 8. 14x 4 y 3 21x 3 y 4 5 Logik Logik er en metode til at bestemme om et udsagn er rigtigt / sandt / logisk. 5.1 Argumenter Et argument er sammensat af to ting: Et eller flere udsagn og en konklusion. Et udsagn kan f.eks. være "alle mennesker er fejlbarlige"eller "du er et menneske"eller "månen lavet af ost". Ved at sammensætte udsagnene er det muligt at drage / udlede en konklusion. F.eks. Fordi alle mennesker er fejlbarlige og fordi du er et menneske så er du fejlbarlig. Her er udsagnene fremhævet. Foran udsagnene står fordi, dette kaldes en udsagnsmarkør dvs. et ord som markerer at nu kommer der et udsagn. Der findes mange udsagnsmarkører f.eks."eftersom, fordi, for, idet, følger af, hvis, som vist ved, som antydet, grunden er, med den begrundelse, som kan sluttes fra, afledes fra, deduceres fra, i lyset af den kendsgerning"[2, s. 19-20]. De markører som oftest bruges i en videnskabelig sammenhæng er i kursiv. 15
5.2 Hvad er et bevis? Et bevis er en serie af argumenter, som tilsammen giver anledning til den ønskede konklusion - det der skulle bevises. F.eks. hvis man vil bevise at (a + b) (a + b) = a 2 + b 2 + 2ab bruges følgende argumenter: 1. Der følger af den distributive lov, at (a + b) (a + b) = (a + b) a + (a + b) b 2. Ved at bruge den distributive lov på ovenstående resultat følger der, at (a + b) a + (a + b) b = a 2 + ab + ab + b 2 3. Ved at reducer på ovenstående fås, at a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 4. Nu fås den ønskede konklusion ved at sammenholde alle argumenterende: (a + b) (a + b) = a 2 + 2ab + b 2 Det er meget vigtigt at forstå hvad der sker i hver eneste argument, derfor skal man være meget omhyggelig og læse et argument af gangen og være helt sikker på at man forstå det. Et sådan resultat formuleres i en sætning - der er en matematikers betegnelse for en betydningsfuld konklusion, meget ofte vil der være tale om en formel med visse betingelser. 6 Kvadratsætningerne Der findes tre varianter af kvadratsætningerne, alle tre varianter vil senere vise sig at være nyttige, fordi de forekommer så ofte i andre udregninger. 16
Sætning 6.1 Hvis a og b R så vil (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + b 2 + 2ab Sætning 6.2 Hvis a og b R så vil (a b) 2 = (a b) (a b) = a 2 + b 2 2ab Sætning 6.3 Hvis a og b R så vil (a + b) (a b) = a 2 b 2 Disse tre sætninger kaldes for de tre kvadratsætninger. Opgave 6.4 Bevis at 1. Hvis a og b R så vil (a + b) (a + b) = a 2 + b 2 + 2ab 3. Hvis a og b R så vil (a + b) (a b) = a 2 b 2 2. Hvis a og b R så vil (a b) (a b) = a 2 +b 2 2ab 4. Hvis a og b R så vil (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 Eksempel 6.5 Udregn følgende: (2 + 3) (2 + 3), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står + i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (5 + 3) (5 + 3) = 5 2 + 3 2 + 2 5 3 = 25 + 9 + 30 = 64 Meget ofte vil regnens ikke med tal, men med bogstaver. Derfor kommer der her et eksempel med bogstaver. Eksempel 6.6 Udregn følgende: (x + y) (x + y), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står 17
+ i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (x + y) (x + y) = x 2 + y 2 + 2 x y Nu er opgaven løst fordi det ikke er mulige at reducerer yderligere. Eksempel 6.7 Udregn følgende: (2x + y) (2x + y), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står + i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (2x + y) (2x + y) = (2x) 2 + y 2 + 2 (2x) y = 4x 2 + y 2 + 4 x y Nu er opgaven løst fordi det ikke er mulige at reducerer yderligere. Opgave 6.8 Regn følgende opgaver ved brug af kvadratsætningerne 1. (3 5) (3 5) 5. (x r) (x r) 2. (3 5) (3 + 5) 6. (2x r) (2x r) 3. (t + r) (t + r) 7. (3x + 4y) (3x + 4y) 4. (t r) (t + r) 8. (2x 3y) (2x + 3y) Opgave 6.9 Regn følgende opgaver ved brug af kvadratsætningerne 1. (3x 5y) (3x 5y) 5. (3x 3r) (3x 3r) 2. (3x 5y) (3x + 5y) 6. (2x r 2 ) (2x r 2 ) 3. (3t + r) (3t + r) 7. (3x 2 + 4y) (3x 2 + 4y) 4. (t 4r) (t + 4r) 8. (2x 3 3y 2 ) (2x 3 + 3y 2 ) Nu har vi set på hvad et bevis er og hvad man kan bruge en sætning til, nu skal vi arbejde videre med nogle flere grundlæggende sætninger og deres anvendelser. 18
7 Brøkregning En brøk består af to dele en tæller og en nævner, meget ofte skrives det således tæller nævner Der skrives altså tælleren i toppen og nævneren nederst. F.eks. 12a 3ab Her er 12a tælleren og 3ab er nævneren. En brøk kan forkortes, hvilket betyder at tæller og nævner divideres med samme tal eller bogstav. F.eks. kan følgende brøk forkortes med a 12a 3ab = 12 3b En brøk kan forlænges med et tal eller et bogstav, dette betyder at både tæller og nævner ganges med tallet eller bogstavet. F.eks. her forlænges med 4: 12a 3ab = 4 12a 4 3ab Definition 7.1 Regneregler for brøker. a b c = a b a c b c d = a c b d a b c = b a c b : c d = a d b c a b c = a c a b b : c = a b c c : a b = c b a a b + c b = a + c b a b + c d = a d + b c b d 19
Opgave 7.2 Regn følgende opgaver ved brug af regneregler for brøker 1. 2 3 2 4 2. 2 x 2 y 3. a 3 a 4 4. 3 2 3 4 5. x 2 3 y 6. b c + x c 7. b c : x a 8. b c + x a Eksempel 7.3 Opgaven er at skrive følgende udtryk om til et udtryk med 2 parenteser (faktorisering) 9x 2 + y 2 + 6xy Det første man ser efter er det dobbelte produkt dvs. 2vw, hvis der står plus foran så er det 1. kvadratsætning, hvis der står minus så er det 2. kvadratsætning og hvis der ikke er noget dobbelte produkt så er det 3. kvadratsætning. I dette tilfælde står der plus (+6xy), der er altså 1. kvadratsætning der skal bruges. (v + w)(v + w) = v 2 + w 2 + 2vw Eftersom der står 9 foran x 2 må det betyde at v = 3x efter som v 2 = (3x) 2 = 9x 2, da der ikke står noget foran y må det betyde at w = y efter som w 2 = (y) 2 = y 2. Nu kan udtrykket 9x 2 + y 2 + 6xy faktoriseres 9x 2 + y 2 + 6xy = (3x + y)(3x + y) 20
Opgave 7.4 Faktoriser følgende udtryk. 1. x 2 + 8xy + 16y 2 5. 9x 2 12xy + 4y 2 2. 4x 2 + 4xy + y 2 6. x 4 4x 2 y + 4y 2 3. 4x 2 12xy + 9y 2 7. 4x 2 9y 2 4. 9x 2 + 24xy + 16y 2 8. 1 4 x2 9y 2 Opgave 7.5 Forkort følgende brøker. 1. x2 + 8xy + 16y 2 x + 4y 2. 4x2 12xy + 9y 2 2x 3y 3. 4x4 + 12x 2 y + 9y 2 2x 2 + 3y 4. 16x2 9y 2 4x 3y 5. x 2 5y x 4 25y 2 6. 3x3 2ax 2 9x 6a 7. 3x4 y xy 3 12x 3 4y 2 8. 9x2 + y 2 + 6xy 9x + 3y Opgave 7.6 Reducer følgende to udtryk. x 2 x y y2 x y x y y x 21 1 (x + y)(x y)
8 Potensregneregler Definition 8.1 Regneregler for potenser. Hvor x og y er forskellige fra 0. x s x t = x s+t x s = x s t (x s ) t = x s t (x y) s = x s y s s x = xs y y s x 0 = 1 x s = 1 x s s x = x 1 s, hvor x > 0 s x t = x t s, hvor x > 0 Eksempel 8.2 Følgende udtryk x 3 x 6, kan reduceres ved at anvende reglen x s x t = x s+t, så fås at x 3 x 6 = x 3+6 = x 9. Eksempel 8.3 Følgende udtryk ( x 3) 6, kan reduceres ved at anvende reglen (x s ) t = x s t, så fås at ( x 3) 6 = x 3 6 = x 18. Eksempel 8.4 Følgende udtryk x3 x6, kan reduceres ved at anvende reglen xs x t = x s t, så fås at x3 x 6 = x3 6 = x 3. Som ifølge reglen x s = 1 x er lig x 3 = 1 x 3. Ofte forventes det at mere komplicerede udtryk kan overskues. Eksempel 8.5 Følgende udtryk x 6 y 4 x 3 y kan reduceres ved at anvende reglen xs x t = xs t to gange, først på x og derefter på y. Når regelen anvendes på x fås at x6 x 3 = x6 3 = x 3 22 x t
og når den anvendes på y fås at y4 y = y4 1 = y 3 - Bemærk at y = y 1. Og disse to resultater kan så sættes sammen. x 6 y 4 x 3 y = x3 y 3 Dette kan reduceres yderligere ved brug af reglen (x y) s = x s y s. Eksempel 8.6 Følgende udtryk x 3 y 3 = (x y) 3 x 5 8 x2 x 3 kan reduceres ved at anvende reglen s xt = x t s 8 x2 = x 2 8 det betyder at x 5 8 x2 x 3 = x 5 x 2 8 x 3 på 8 x2, så fås at reglen x s x t = x s+t anvendes på alle tre faktorer så x 5 x 2 8 x 3 = x 5+ 2 8 +( 3) Og da 5 + 2 8 + ( 3) = 2 + 2 8 = 16 8 + 2 8 = 18 8 = 9, så fås at 4 x 5+ 2 8 +( 3) = x 9 4 Opgave 8.7 Reducer følgende udtryk. Antag at x, y og a ikke er 0. 1. x4 x 2 5. x 3 5 x 10, hvor x > 0 2. x2 x 4 6. a 2 3 x6 a 5, hvor x > 0 3. x2 y 4 x 2 y 2 7. 0 2x 3 4 x2 5a 3 10a 2 x 4 4 x 6, hvor x > 4. x2 x y 2 x 3 y 3 8. 14x4 y 3 21x 3 y 4 7x 3 y 3 23
9 Ligninger I dette kapitel omhandler ligninger. En ligning er et udtryk som indeholder et =. Tidligere er = anvendt i forbindelse med udregninger f.eks. 4(x + 2y) 2x + 4 = 4x + 8y 2x + 4 = 2x + 8y + 4 Men dette lighedstegn er i selve udtrykke det ser f.eks. således ud 2x = 8y + 4 Her er = i udtrykke fra starten af. En sådan ligning siges at have løsninger, det betyder at der findes x er og y er som gør at 2x faktisk er lig 8y + 4. Det kunne f.eks. være hvis x = 12 og y = 2. Meget ofte vil man kende f.eks. y, og ønske at finde x. Som med algebra ønsker man at reducerer udtrykket, så meget som muligt, for at det bliver letter at foretage udregningerne. Men når man arbejder med ligninger vil man ikke bare reducerer, man vil finde en bestemt ubekendt som f.eks. x, dette kalder man at isolerer. Isoleres x i ligningen 2x = 8y+4 betyder det at x kommer til at stå alene, i dette tilfælde divideres med 2 på begge sider af lighedstegnet. 2x = 8y + 4 x = 4y + 2 Tegnet betyder at de to ligninger på hver side har de samme løsninger. 9.1 Ligningsløsning Med ligningsløsning menes at ved hjælp af en eller flere udregninger findes den ubekendte. F.eks. at finde x i ligningen 5x = 15 24
betyder at finde den værdi af x som gør udtrykke sandt. Først divideres begge sider med 5. og ved udregning ses at 5x 5 = 15 5 x = 3 Eksempel 9.1 Løs ligningen 2x + 4 = 8. 2x + 4 = 8 Først trækkes 4 fra på begge sider. 2x + 4 4 = 8 4 Det kan reduceres til. 2x = 4 Så divideres med 2 på begge sider. 2x 2 = 4 2 Dette kan reduceres. x = 2 Løsningen er L = {2} Løsningen kan kontrolleres ved at sætte den ind i ligningen, som man skulle løse. Her sættes x = 2 og så fås 2 2 + 4 = 8 Og det betyder at løsningen er rigtigt. Eksempel 9.2 Løs ligningen 2 3 x + 4 = 3. 25
2 x + 4 = 3 Først trækkes 4 fra på 3 begge sider. 2 x + 4 4 = 3 4 Derefter ganges med 3 3 på begge sider. 3 2 x = 1 3 Dette kan reduceres. 3 2x = 3 Så divideres med 2 på begge sider. x = 3 2 Løsningen er L = { 3 2 } Opgave 9.3 Løs ligningerne. 1. 6x = 3 5. 9x + 4 = 5x 2. 3x + 4 = 5 6. x 2 = 2x + 5 3. 3 x + 4 = 5 7. 5x 4 = 2x + 5 2 4. 1 x + 4 = 5x 8. 7x + 3 = x 5 2 Ofte vil der være mere end en ubekendt i en ligning, hvis der er det kan ligningen ikke løses. Istedet kan en af de ubekendte isoleres, f.eks. kan x isoleres i ligningen 3y = 5x + 7 dvs. få x til at stå alene på den ene side at lighedstegnet. 3y 7 = 5x + 7 7 Først trækkes 7 fra på begge sider. 3y 7 = 5x 3y 7 5 3y 7 5 = 5x 5 Derefter dividerer med 5. Dette reduceres. = x Nu er x isoleret. 26
Opgave 9.4 Isoler x i ligningerne. 1. 3x = 6y 5. 3 ax = 4x 2. b = 2 x 6. ax = 4x c 3. 2q = 3x + 7 7. a = 2c x d 4. 8x = 4x 7 8. y = 3x + 5 Opgave 9.5 Løs ligningerne. 1. 2x 3 = x + 5 5. 13 2 x = 15 2 2. 7x + 3 = 4(x + 2) 2 6. 7 8 x = 1 4 3. 3(14 + x) = 9 7. 1 (1 + x) = 7 2 4. 5 7 x = 15 8. (x 1)(x + 2) = 0 2 En anden type af ligninger er dem som er bygget op af faktorer og som er lig 0 f.eks. (x + 3)(x 5) = 0 her er løsningen nem at finde ved at bruge nulreglen. Sætning 9.6 Et produkt er 0 hvis og kun hvis mindst en af faktorerne er 0. x y = 0 x = 0 y = 0 Eksempel 9.7 Ligningen (x + 3)(x 5) = 0 kan løses ved brug af nulreglen. (x + 3)(x 5) = 0 x + 3 = 0 x 5 = 0 x = 3 x = 5 Eksempel 9.8 Ligningen 3 (x 2)(8 + x) = 0 kan løses ved brug 27
af nulreglen. 3 (x 2)(8 + x) = 0 x 2 = 0 8 + x = 0 x = 2 x = 8 Eksempel 9.9 Ligningen (x 2 + 3)(x 4) = 0 kan løses ved brug af nulreglen. (x 2 + 3)(x 4) = 0 x 2 + 3 = 0 x 4 = 0 x 2 = 3 x = 4 x = 4 Da x 2 aldrig kan være negativ så har ligningen kun denne ene løsning. Eksempel 9.10 Ligningen x (x 2 7)(x+4) = 0 kan løses ved brug af nulreglen. x (x 2 7)(x + 4) = 0 x = 0 x 2 7 = 0 x + 4 = 0 x = 0 x 2 = 7 x = 4 x = 0 x = 7 x = 7 x = 4 Da både 7 og 7 løser ligningen x 2 = 7, har ligningen fire løsninger. Opgave 9.11 Løs ligningerne. 1. (x 2)(x + 1) = 0 5. (x 2 9)(x + 2) = 0 2. (x + 5)(x 9) = 0 6. (x + 5)(x 7)(x + 1) = 0 3. 5(x 3)(x + 1) = 0 7. (x 2 + 2)(x 2 + 3) = 0 4. x(x + 2)(x 5) = 0 8. x(x+2)(x 2 +2)(x 3 1) = 0 28
9.2 To ligninger med to ubekendte En anden type ligningsløsning er to ligninger og to ubekendte, hvor både x og y skal findes i disse to ligninger: x + 1 y = 3 2x 3y = 2 2 Sådanne to (eller flere) ligninger kaldes for et ligningssystem. Der er flere måde at løse sådanne et problem, her bruges den metode hvor man udnytter de samme metoder som man brugte ved ligningsløsning. Metoden til at løse sådanne problemer er på 4 trin. 1. x eller y isoleres i den ene af de to ligninger. 2. Den isolerede variabel indsættes i den anden ligning og værdien af den ubekendte udregnes. Eksempel 9.12 Løs følgende ligningssystem x + 1 y = 3 2x + 3y = 2 2 3. Den fundene værdi indsættes i den første ligning og den anden ubekendte beregnes. 4. Resultatet opskrives på formen (x,y) =(x-værdien,yværdien) Trin 1 x isoleres i den første ligning. x + 1 2 y = 3 x = 3 1 2 y Trin 2 29
x substitueres i den anden ligning og y-værdien udregnes. 2 3 1 2 y + 3y = 2 6 y + 3y = 2 2y = 8 y = 4 Trin 3 Den fundne y værdi indsættes i den første ligning x = 3 1 2 ( 4) = 3 + 2 = 5 Trin 4 Løsning på ligningssystemet er (x,y) = (5, 4). Opgave 9.13 Løs ligningssystemerne. 1. y = 3x 3 y = 2x 1 5. y 13 = 2x y + x = 4 2. y = x + 1 y = 2x 2 6. y + 2x + 5 = 0 y = 3x 3. y = 4x 6 y = 4x + 2 7. y 2x = 8 y = 2x 3 4. y = 2x + 13 y = x + 4 8. y = 4x y = 5x 30
9.3 Andengradsligninger Andengradsligningen er en ligning på formen ax 2 + bx + c = 0, hvor a,b og c er reelle tal og hvor a 0. Et eksempel kunne være 2x 2 2x 4 = 0, her er a = 2 og b = 2 og c = 4. Det er interessant at kunne løse sådanne ligninger fordi mange problemer kan reduceres til sådanne ligninger f.eks. at finde mængden af et bestemt stof i en opløsning, eller at bygge en bro eller at bestemme hvor en bombe vil lande osv. Da der er så mange forskellige problemstillinger så vil vi løse problemet en gang for alle, og det gør vi ved at bevis at løsningen hvis der er en kan findes ved formlen x = b ± b 2 4ac 2a Dette er formuleret i denne sætning. Sætning 9.14 Hvis a,b,c,x R og a 0 så vil andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0 med diskriminanten d = b 2 4ac have løsningerne x = b ± d 2a hvis d 0 og ligningen vil ikke have nogen løsninger hvis d < 0. Bevis. Beviset tager udgangspunkt i andengradsligningen, og ønsker så at isolere x. ax 2 + bx + c = 0 Først ganges med 4a på alle led. ax 2 4a + bx 4a + c 4a = 0 4a Derefter lægges b 2 4ac til på begge sider, bemærk at b 2 4ac er 31
diskriminanten d. Så reduceres 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac + b 2 4ac = 0 + b 2 4ac 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = d Venstre side omskrives ved brug af kvadratsætningen (p + q) 2 = p 2 + q 2 + 2pq. I dette tilfælde er b = q og 2ax = p. (2ax + b) 2 = d Antag at d < 0. Da vil ligningen (2ax + b) 2 = d ikke have nogle løsninger, fordi der er ikke noget reelt tal som i anden bliver negativt. Antag derfor at d 0. Kvadratroden kan derfor tages af begge sider. (2ax + b)2 = d Da gælder at p 2 = ±p 2ax + b = ± d Nu kan x isoleres. Først trækkes b fra. Derefter divideres med 2a. 2ax = b ± d x = b ± d 2a Eksempel 9.15 Løs ligningen 2x 2 2x 4 = 0. Først identificeres hvad a,b og c er: Så udregnes d: d = b 2 4ac a = 2 b = 2 c = 4 = ( 2) 2 (4 2 4) = 4 ( 32) = 36 32 Q.E.D.
Da d > 0 er der to løsninger: b + d = ( 2) + 36 x = 2a 2 2 b d = ( 2) 36 2a 2 2 Så løsningen er L = { 1,2}. = 2 + 6 4 = 2 6 4 = 2 = 1 Eksempel 9.16 Løs ligningen 3x 2 + 12x + 12 = 0. Først identificeres hvad a,b og c er: Så udregnes d: d = b 2 4ac Da d = 0 er der en løsning: a = 3 b = 12 c = 12 = (12) 2 (4 3 12) = 144 (144) = 0 x = b 2a = 12 2 3 = 2 Så løsningen er L = { 2}. Eksempel 9.17 Løs ligningen x 2 3x = 0. Først identificeres hvad a,b og c er: Så udregnes d: a = 1 b = 3 c = 0 d = b 2 4ac Da d > 0 er der to løsninger: b + d x = 2a b d 2a Så løsningen er L = {0,3}. = ( 3) 2 (4 1 0) = 9 (0) = 9 = ( 3) + 9 2 1 = ( 3) 9 2 1 33 = 3 + 3 2 = 3 3 2 = 3 = 0
Eksempel 9.18 Løs ligningen x 2 3x + 4 = 0. Først identificeres hvad a,b og c er: Så udregnes d: d = b 2 4ac a = 1 b = 3 c = 4 = ( 3) 2 (4 1 4) = 9 (36) = 27 Da d < 0 er der ingen løsninger. Så løsningen er L =. Opgave 9.19 Løs ligningerne. 1. x 2 + x 6 = 0 5. x 2 + 6x + 8 = 0 2. x 2 4 = 0 6. x 2 2x 15 = 0 3. x 2 5x + 6 = 0 7. x 2 + 4x + 4 = 0 4. x 2 6x + 8 = 0 8. x 2 + x + 7 = 0 Opgave 9.20 Løs følgende ligninger. 1. 2x + 8 = 3x 8 5. y = 3x + 4 y = 2x 2 2. 1 x + 5 = 3x 10 2 6. 2y = 3x + 4 y = 2x + 3 3. 3x 2 + 4x 15 = 0 7. 3x 2 5x 2 = 0 4. x 2 + 2x 15 = 0 8. 2y 5x = 4 1 2 y = x 7 34
10 Komplekse tal Da man fik formaliseret løsningerne til anden- og trejdegradsligningerne i miden af 1500-tallet, var en del af løsningerne på formen a + b 1, hvor a og b var reelle tal.[1, s. 1] Det drejer sig f.eks. om løsningen på andengradsligningen Diskriminanten beregnes x 2 + 2x + 5 = 0 D = b 2 4ac D = 2 2 4 1 5 = 4 20 = 16 Normalt ville udregningen stoppe her fordi hvis diskriminanten er negativ, så er der ingen løsningen til ligningen. Dette er i midlertidig ikke helt rigtigt, den korrekte formulering er at der ikke er nogle reel løsning til ligningen. Hvis beregningen forsættes... x = b + D 2a x = 2 + 16 2 1 2 + 4 = 2 = 1 + 2 1 x = b D 2a x = 2 16 2 1 2 4 = 2 = 1 2 1 Men hvad er 1? Kvadratroden af et negativt tal er ikke noget hvor der findes en løsning. Men prøv at sammenligne det med løsningen til denne ligning x 2 + 2x 7 = 0 35
Diskriminanten beregnes D = b 2 4ac D = 2 2 4 1 ( 7) = 4 + 28 = 32 Derefter beregnes x. x = b + D 2a x = 2 + 32 2 = 2 + 2 16 2 2 2 + 4 = 2 = 1 + 2 2 x = b D 2a x = 2 32 2 = 2 2 16 2 2 2 4 = 2 = 1 2 2 Da hverken 1 eller 2 kan omskrives til et rationelt tal, er der ikke den store forskel på de to typer af løsning. Det er først hvis man ønsker at omregne 2 eller 1, at der opstår problemer. Det var først med Descartes og Euler i miden af 1800-tallet at man lavede opdelingen af tal i reelle og imaginære.[1, s. 1] De imaginære tal var nogle tal som kun eksisterede i tankerne mens de reelle tal var i virkeligheden. Dette er naturligvis noget vrøvl, tal er kun noget der er i tankerne. Ingen tal eksistere på samme måde som f.eks. fugle. Da Euler delte de komplekse tal op i en real del og en imaginær del gav han samtidig 1 symbolet i. Så 1 2 1 blev til 1 2i. Det var Gauss der fik det matematiske samfund til igen at acceptere de komplekse tal ved at give dem en geometrisk repræsentation. Dette gjorde han ved at associere det komplekse tal a+bi med punktet (a,b) 36
hvor han kalde y-aksen for imaginær aksen og x-aksen for real aksen. 10.1 Regning med komplekse tal Det vil være bedst om der gælder de samme regler for regning med komplekse tal som med reelle tal. Reglerne for de reelle tal er følgende. Definition 10.1 Hvis v, w, r, s R så gælder følgende regler. 1. v + w = w + v Den kommutative lov for addition 2. (v + w) + s = v + (w + s) Den associative lov for addition 3. v + 0 = v Den additive identitet 4. v + ( v) = 0 Den additive inverse 5. r(v + w) = rv + rw Den distributive lov 6. (r + s)v = rv + sv Den distributive lov 7. v w = w v Den kommutative lov for multiplikation 8. r(sv) = (rs)v Den associative lov for multiplikation 9. 1 v = v Den multiplikative identitet 10. v v 1 = 1 Den multiplikative inverse Hvis der skal gælde de samme regler så betyder det f.eks. at (2 + 3i) + ( 1 + 5i) = ( 1 + 5i) + (2 + 3i) Eller sagt på en anden måde skal addition og multiplikation med kompleksetal defineres så regel 1 til 10 er opfyldt. 37
Definition 10.2 Hvis a,b,c,d R så er addition og multiplikation defineret ved følgende ligninger. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (1) (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i (2) Eksempel 10.3 (2 + 3i) + ( 1 + 5i) = (2 1) + (3 + 5)i = 1 + 8i Eksempel 10.4 (2 + 3i) ( 1 + 5i) = (2 ( 1) 3 5) + (2 5 + 3 ( 1))i = 17 + 7i Opgave 10.5 Udregn følgende komplekse tal. 1. (1 + 4i) + (8 3i) 5. (2 + 1i) + ( 2 + 1i) 2. (8 3i) + (1 + 4i) 6. (5 + 2i) (3 + 2i) 3. (7 3i) + (4 1i) 7. (2 + 1i) (3 4i) 4. (4 1i) + (7 3i) 8. (3 + i) (1 + 3i) Nu vises at regel 1 gælder for komplekse tal. Sætning 10.6 Hvis a,b,c,d R er addition kommutativ for de komplekse tal v = (a + bi) og w = (c + di). Det vil sige, at Bevis. Først udregnes venstreside (a + bi) + (c + di) = (c + di) + (a + bi) (3) Dernæst udregnes højreside (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (c + di) + (a + bi) = (c + a) + (d + b)i 38