χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge samtdg med, at sadsylghedsregge helt forsvadt fra matematkudervsge efter reforme 5 At ma aveder regresso og χ - test samfudsfag og bolog, meer jeg kke er oge relevat begrudelse for at dføre det matematk I dsse fag avedes der masser af formler ude forklarg, me jeg syes (stadg, at ma matematk skal kue forklare det, der står bøgere for elevere, hvlket tdlgere jo også havde de forudsætg, at lærere selv forstod det I de forbdelse har jeg hørt mage lærerfrustratoer, år χ test skal forklares I fysk behadlede ma tdlgere måleresultatere grafsk med mllmeterpapr og logartmske paprer, hvor elevere selv skulle afsætte puktere og selv aflæse de relevate oplysger af grafere og hvor elevere selv skulle kue vurdere måleresultatere forhold tl pukteres belggehed omkrg e le Dette stedet for, at skulle hevse tl de kryptske korrelatoskoeffcet Me u er de aturvdeskabelge pædagogske foruft jo for lægst edkæmpet tl fordel for de IT-fkserede flptur udervsgspoltsk korrekthed, som har hærget udervsge matematk og fysk geem de sdste år Sadsylghedstæthede for χ Me tlbage tl regresso og Ch--ade test Begge begreber refererer tl ormalfordelge med mddelværd μ og spredg P ( x µ ( x e π Har ma ormalfordelte målger x, x, x 3, x, hvor spredge,, 3, er kedte og beteger de teoretske mddelværder, så er sadsylghede for at få et resultat tervallet dx dxdx3 dx lg med x P( x, x, x,, x dx dx dx dx Idfører ma de ormerede varable q, ved 3 3 q x x e π og ( x x dx Q dx ( q, q, q3,, q dqdqdq3 dq P( x, x, x3,, x dxdxdx3 får ma Q( q Q( q, q, q3,, q exp q π Q afhæger ku af varablee q geem summe: χ q
χ test matematkudervsge χ avedes som bekedt tl at vurdere hvorvdt resultatet af målger lgger de for de statstske uskkerhed Herefter blver udtrykket for Q ( q, q, q3,, q exp χ π χ har e tabuleret sadsylghedsfordelg, som skrves F ( χ dχ q Udledge af udtrykket for F ( χ er ret komplceret de fleste fremstllger, me det ka udle- des relatvt smpelt, hvs ma betragter χ, som afstade ud tl et pukt et - dmesoalt rum Volume af e kugleskal med radus r et -dmesoalt rum er ødvedgvs proportoal med r - I plae er rumfagselemetet polære koordater dv rdrdφ I rummet er rumfagselemetet dv 3 r sθ dr dθ dφ Udreger ma Jacob determate for omregg fra kartesske koordater tl polære koordater, vl alle koordater x have e faktor r gage e fukto af de - vkler Ved de partelle dfferetato af x ere, vl r forsvde etop e søjle, og hvert led determate, vl derfor have faktore r - Rumfagselemetet et -dmesoalt rum, må derfor være proportoalt med dee faktor V vl u først bestemme (på ær e kostat bdraget tl χ + dχ, hvor altså χ er kostat χ dχ χ χdχ kugleskal χ, dχ Q( q, q q dq dq dq F ( χ dχ fra e kugleskal mellem χ og π exp χ dq dq dq kugleskal χ, dχ Det sdste tegral, (år ma tegrerer over de - vkler er følge det foregåede proportoalt med radus kugle - potes, som er χ - Samler v tegralet over vklere og de øvrge kostater e faktor C, fder ma derfor: χ dχ χ χdχ (C χ exp χ dχ Cχ Kostate C, ka derefter bestemmes ved ormalsergsbetgelse: Gammafuktoe Г er deferet ved tegralet: Γ x t ( x t e dt Der gælder som bekedt for heltallge og postv, at, Г(+! F exp χ χdχ ( χ dχ Oveståede ormalsergstegral, ka derfor udtrykkes ved Gamma fuktoe ved substtutoe: t χ χ t og dt χdχ Herved får ma:
χ test matematkudervsge F ( χ dχ C χ exp χ dχ C (t exp( t dt C t exp( t dt t Det sdste tegral er C Γ( så ormalsergsbetgelse gver: Herefter følger udtrykket for fordelgsfuktoe for χ χ dχ χ dχ e ( χ Γ( ( C Γ 3 Avedelse af χ tl statstsk behadlg af måledata Frhedsgrader Oveståede er sadsylghedstæthede for χ er kedt som χ fordelgsfuktoe Sadsylghede for at få e værd af χ, som overstger χ er gvet ved: > χ χ χ dχ er dee formel det samme som atallet af uafhægge varable beteges mdlertd som atallet af frhedsgrader Mere geerelt er atallet af frhedsgrader lg med atallet af uafhægge varable mus atallet af leære relato, der fdes mellem dsse varable ( x µ ( x µ ( x µ Hvs ma feks formele for χ + + + erstatter de teoretske mddelværd µ med det beregede geemst x ( x + x + x3 + + x, så er der etop e leær relato mellem de uafhægge varable, og atallet af frhedsgrader er Formle χ dχ χ χ e ( χ d er mdlertd de samme, år blot erstattes af Γ( - Bevset for dette er mdlertd ret utlgægelgt Fordelgsfuktoe for F ( χ dχ skrves tradtoelt: > χ χ χ dχ Dee fukto er tabuleret og ka øvrgt fdes på e CAS Hvs χ er lg med, ford alle observatoer er lg med mddelværde, så er sadsylghede P Jo større > χ er jo bedre er observatoere statstsk set Skal ma foretage e test med et sgfkasveau på 5%, skal sadsylghede for et resultat, som er større ed det udregede, altså være mdre ed,5 (Da dette ku er ldt sadsylgt, hvs afvgelse er statstsk Acceptbetgelse altså, at
χ test matematkudervsge > χ >,95 Og hypotese forkastes, hvs > χ <, 5 Især det sdste, har jeg erfaret gver vaskelgheder, år det skal forklares tl elevere afsluttede med Såda er det bare, me sådae forklarger syes jeg ma bør overlade tl adre fag ed matematk Hvs de teoretske mddelværder og spredger kke er kedte, ka ma avede de to estmater: x x og s ( x x Begrudelse for dsse formler er aturlgvs, at E (x µ og E s ( Ma ka mdlertd kke avede dsse udtryk, hvs ma ku har é observato I lærebøgere matematk for gymaset, og gvetvs bøger fra samfudsfag og bolog, fdes der, mdlertd e formel, som hyppgt beteges χ test, me som faktsk overhovedet kke lger de udtryk for χ, som udledt ud fra ormalfordelge De kaldes for Pearsos formel 4 Pearsos χ test Hvs v lader O betege de observerede værder, og E de forvetede værder (expectato value, så deferede Karl Pearso e test value, som fk de samme betegelse χ ( O E χ E Ser ma på χ, som det er deferet ud fra ormalfordelge, så er det vaskelg, at geemskue, hvorledes de to udtryk, står for de samme statstske deskrptor Forklarge er kke helt trvel Bemærk sær, at modsætg tl de tradtoelle χ test, så ka formle avedes, selv om ma ku har e observato Forklarge følger ote: Ch--ade test og Pearsos formel Jeg skal kke bebrejde oge, at de teoretske forklarg på χ test og Pearsos formel kke står e lærebog for gymaset, da det jo lgger lagt over de elemetære sadsylghedsregg som ma øvrgt kke lærer lægere gymaset efter 5, me jeg syes ufortrødet, at det som der står e matematklærebog hvert fald på A-veau bør kue forklares for elevere 5 Græsere for uskkerhed e stkprøve E ade formel, som står refereret matematkbøgere er græsere for de uskkerhed, der er på e stkprøve, hvor er størrelse af stkprøve og p er sadsylghede for udfaldet Formle er:
χ test matematkudervsge f,96 p( p Kvadratrodsfaktore er jo spredge på frekvese fra bomalfordelge, me hvorfor,96? Svaret er det smple, at -,96 er,5% fraktle for ormalfordelge, altså, at x µ µ α µ Φ( Φ( Φ( α,5 α,96 Hvs observatossættet er ormalfordelt vl,5% af observatoere statstsk set lgge uder μ -,96 Da ormalfordelge er symmetrsk omkrg mddelværde, lgger,5% af observatoere over μ +,96 og 95% af observatoere vl derfor lgge tervallet [μ -,96, μ -,96] Tager ma spredge fra bomalfordelge, ka ma ved gage de med,96, med et sgfkasveau på 95% vde, at de rgtge værd lgger dette terval Dette er dholdet af formle ovefor Efter reforme, står der e del lærebøgere fysk som matematk, som kke lægere blver forklaret for elevere, bladt adet på grud af maglede forudsætger Og det ka ma jo have e meg om At de blver udervst formler, som lærere heller kke forstår, ka ma vst ku have é meg om Mathematcal methods of physcs Jo Mathews, Robert L Walker Ole Wtt-Hase