Projekt 3.1 Potensbegrebet og geometriske rækker

Transkript

1 Hvd er mtemtik? ISBN Projekter: pitel. Projekt. Potesbegrebet og geometriske rækker Projekt. Potesbegrebet og geometriske rækker (Vi tger i det følgede udggspukt i kpitlfremskrivigsformle: ( r ) ) I formle for kpitlfremskrivig er situtioe de, t de kpitl, der står på sldoe, fremskrives med e fst procet r, hver gg tllet f termier vokser med. Vi beviste uder fsittet om procetregig, t det etop svrer til, t vi gger strtværdie på sldoe med de fste fremskrivigsfktor, hver gg -værdie vokser med. E såd vækst-type k derfor også krkteriseres som værede e ggevækst. I kpitel vil vi betege de som ekspoetiel vækst. Temet for dette projekt er: Hvord udvides potesbegrebet, så formle giver meig ikke blot for et helt tl termier, me for ehver brøkdel f e termi. r Vækstmodeller, der k krkteriseres som ggevækst, hr e historie, der rækker meget lægere tilbge ed retesregige. Tidligere vr de kedt uder vet geometriske rækker, der etop er krkteriseret ved e strtværdi og e fst vækstfktor. Hvis f strtværdie er og vækstfktore er, fører det til de geometriske række (som vi skriver med modere tbelottio): y (=strtværdi) (= ) (= 6 ) (= ) (= ) (= 8 ) Øvelse Udfyld de følgede tbeller for geometriske rækker, idet du først prøver t fkode, strtværdi og vækstfktor. ) y b) c) d) y 8 6 y 8 7 y Hvis vi geerelt klder strtværdie for b og vækstfktore for, fås de følgede tbel: y b (= ) (= b ) (= b ) (= b ) (= b ) 7 L&R Uddelse A/S Vogmgergde D-8 øbehv Tlf: Emil: ifo@lru.dk

2 Hvd er mtemtik? ISBN Projekter: pitel. Projekt. Potesbegrebet og geometriske rækker Vi ser derfor, t de geerelle formel for e geometrisk række også k skrives på forme med strtværdie b og vækstfktore. y b Læg mærke til hvord de liger formle for kpitlfremskrivig: med strtværdie r ( ) svrede til b, og fremskrivigsfktore ( r) svrede til vækstfktore. Udvidelse f potesbegrebet med egtive poteser Vi veder for e kort stud tilbge til tbelle for ekspoetiel vækst. Her ser vi u for simpelhedes skyld på et eksempel med strtværdi og vækstfktor : 8 6 y / Hver gg vi går et skridt til højre, gger vi med. Me herf følger jo også, t hver gg vi går et skridt til vestre, dividerer vi med. Vi k derfor fortsætte tbelle til vestre og tilbgeskrive tbelle forbi strtpuktet: y Me dee tbel k jo også læses som e udvidelse f to-tlspotesere, der åbelyst sker efter regle eller mere geerelt. Regle psser også id i de mere geerelle struktur for geometriske rækker. Hvis vi går et skridt frem i tbelle, gger vi med, går vi to skridt frem i tbelle, gger vi med, går vi skridt frem i tbelle, gger vi med. Me u ser vi, t regle både gælder for positive og egtive værdier f, idet et egtivt blot betyder t vi går bglæs, dvs. tilbge i tbelle. Dee forståelse f de egtive ekspoeter kster også lys over kpitltilbgeskrivig, dvs. hvord vi fider tilbge til strtkpitle, år vi keder slutkpitle : ( r) ( r) Prøver vi t fide strtkpitle ved hjælp f et CAS-værktøj fider vi typisk solve( ( r), ) ( r) dvs. CAS-værktøjet udfører tilbgeskrivige f slutkpitle ved t gge med ( r ), hvilket er i fuld overesstemmelse med potesregeregel r. 7 i grudboges fsit. 7 L&R Uddelse A/S Vogmgergde D-8 øbehv Tlf: Emil: ifo@lru.dk

3 Hvd er mtemtik? ISBN Projekter: pitel. Projekt. Potesbegrebet og geometriske rækker Udvidelse f potesbegrebet med hlve Vi k også bruge de smme ide til t fide ud f, hvd der skl stå i tbelle, hvis vi idskyder mellemværdier. Dette problem hr e lg historie bg sig og løsige hr været kedt side de græske mtemtik. Vi bemærker først, t der gælder følgede regel for e geometrisk række: Hvis et tl m står midt mellem tllee v (til vestre for m) og h (til højre for m) så gælder der om de tilsvrede tl i de geometriske række, t y( m) y( v) y( h ). y(m) kldes derfor det geometriske middeltl f y(v) og y(h). Se på følgede eksempel. I de geometriske række svrer tllet 6 til ummer, der er midt mellem og. og svrer til tllee og : y Og tllet 6 er etop kvdrtrode f tllet =6. Dette er jo ikke et bevis, me e illustrtio. Prøv selv t kotrollere med e række dre eksempler fr de potesrækker du hr udreget. Selv om du fider, t det gælder også i de tilfælde, kræver påstde turligvis et bevis. Øvelse Se på de geerelle tbels ggestruktur: y b Tllet står midt mellem og. Dvs. v svrer til, og svrer til h. ) Vis u, t y-værdie svrede til, dvs. er lig med y( v) y( h ). b) Vi t regle også gælder for tl med større fstd, f for tllee, og. Ld os se hvord dette k begrude edu e udvidelse f potesbegrebet. Vi veder tilbge til tbelle over to-tlspotesere. Når vi øsker t idskyde mellemværdier i tbelle, svrer det til, t vi idfører hlve skridt i tbelle og dermed hlvtllige ekspoeter: 7 9 y 8 6 k ½ D der er tle om e ggevækst, må vi forvete t vi gger med e bestemt vækstfktor k for hver gg vi går et hlvt skridt frem i tbelle, me vi ved jo, t hver gg vi tger et helt skridt, skl vi gge med, og d to hlve skridt etop svrer til et helt skridt, betyder det, t der må gælde k½k ½ dvs. k ½ og dermed k ½. Vi k derfor udfylde de oveståede tbel ved successivt t gge med : 7 9 y L&R Uddelse A/S Vogmgergde D-8 øbehv Tlf: Emil: ifo@lru.dk

4 Hvd er mtemtik? ISBN Projekter: pitel. Projekt. Potesbegrebet og geometriske rækker Grfisk præsettio f potesudvidelse - som perler på e sor. Gå id i dit regerk og opret e lodret liste over tllee,,, og. Udreg de tilhørede - tlspoteser ved t tildele strtværdie og deræst lde hvert f de følgede tl være produktet f tllet i de foregåede celle med vækstfktore. Afbild de fremkome tbel grfisk: Dette er strte på grfe for fuktioe y =. Idskyd u rækker i tbelle svrede til ekspoetere, /,, /,, /,, 7/ og. De ye - tlspoteser er udefierede i tbelle, fordi vi jo ku hr fortlt, hvd der sker, år vi går et helt skridt frem i tbelle. Vi fylder derfor hele tbelle ved t tildele celle efter strtværdie værdie f tllet i de foregåede celle gget med kvdrtrode f. derefter trækkes dee tildelig ed geem hele celle. Læg mærke til grfe! Idskyd u rækker i tbelle svrede til ekspoetere, /, /, /,, /,, / og og gå frem på smme måde idet du dee gg gger med kvdrtrode f kvdrtrode f svrede til et fjerdelsskridt osv. osv. På dee måde k du u systemtisk udfylde flere og flere pukter på grfe for fuktioe y =. Udvidelse f potesbegrebet med stmbrøkere te dele vdrtrodsregle psser også id i de mere geerelle struktur for geometriske rækker. Hvis vi går ét skridt frem i tbelle, gger vi med, går vi to skridt frem i tbelle, gger vi med, går vi skridt frem i tbelle, gger vi med. Me u ser vi, t hvis vi går et hlvt skridt frem i tbelle, gger vi med, fordi to hlve skridt etop svrer til et helt skridt. Der gælder ltså også e potesregeregel, der siger t. Tilsvrede vil tre tredjedele skridt i tbelle etop svrer til ét helt skridt, hvorfor de tilhørede fremskrivigsfktor k / må opfylde k k k k, hvorfor der må gælde k og dermed / / / / ; og mere geerelt og edu mere geerelt. / I hvde Cristoph Rudolf idført kvdrtrodsteget som et forvsket r for rod. u c. hudrede år efter lykkedes det på dee måde t få styr på potesere og deres regeregler. 7 L&R Uddelse A/S Vogmgergde D-8 øbehv Tlf: Emil: ifo@lru.dk

5 Hvd er mtemtik? ISBN Projekter: pitel. Projekt. Potesbegrebet og geometriske rækker Potesbegrebet og geemsitlig rete Dee forståelse f rødder kster også lys over reteformle, dvs. hvord vi fider tilbge til rete i é termi, år vi keder de smlede retetilskrivig i termier: ( r) r Prøver vi t fide rete ved hjælp f et CAS-værktøj fider vi typisk solve( ( r), r) r dvs. CAS-værktøjet fider rete ved t opløfte til potese / i stedet for t udføre roddudrgige f de 'te rod, ige i fuld overesstemmelse med de fude potesregeregel. 7 L&R Uddelse A/S Vogmgergde D-8 øbehv Tlf: Emil: ifo@lru.dk