MM50 forelæsningsslides uge 39, 200 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter
Integrtion ved substitution Afsnit5.6 Ubestemte integrler s. 37-39 Reglen om differentition f en smmenst funktion d dx f(g(x)) = f (g(x)) g (x) kn formuleres som en regel om bestemmelse f en stmfunktion f (g(x)) g (x)dx = f(g(x)) + C Formlen er lettere t huske ved følgende omskrivning. Sæt u = g(x). Så er Indsættes i formlen bliver den til f (g(x)) g (x)dx = du dx = g (x), som også kn skrives du = g (x)dx. g(x) = u og g (x)dx = du f (u)du = f(u) + C = f(g(x)) + C Vnskeligheden ved t nvende denne regel er, t den funktion, mn skl finde stmfunktion til, som regel ikke umiddelbrt fremtræder som et produkt f f (g(x) og g (x). Der foreligger bre et funktionsudtryk, og mn skl selv finde ud f, hvd funktionerne f og g skl være for t mn kn nvende formlen. Bestemte integrler ved substitution Thm. 6 Hvis funktionen g er differentibel på intervllet [, b] og f er kontinuert på værdimængden s.39 for g, så gælder b f(g(x)) g (x)dx = B A f(u)du, hvora = g(), B = g(b). 2
Invers substitution Afsnit 6.3 Integrler som indeholder udtryk f formen 2 x 2, hvor konstnten > 0 kn somme tider simplificeres ved t sætte x = sin θ, hvor θ er en ny vribel. Som det er forklret nederst side 346, kn mn vælge θ [ π/2, π/2], og mn hr d formlerne ( x ) θ = sin 2 x, cos(θ) = 2 x, tn(θ) = 2 x, dx = cos(θ)dθ 2 Blå boks s. 346 Integrler som indeholder udtryk f formen 2 + x 2 eller, hvor > 0 2 +x 2 kn somme tider simplificeres ved t sætte x = tn(θ), hvor θ er en ny vribel, som ligger i intervllet ( π/2, π/2). Mn hr d formlerne ( x ) θ = tn, cos(θ) = 2 + x, sin(θ) = x 2 2 + x, dx = 2 cos 2 (θ) dθ Blå boks s. 347 Andre trigonometriske eller hyperbolske substitutioner s. 348-52 er også nyttige, men springes over her! 3
Prtiel integrtion Afsnit 6. Reglen om differentition f et produkt d dv (U(x) V (x)) = U(x) dx dx + V (x) du dx leder til en reltion mellem stmfunktioner, der som regel skrives U dv = U V V du eller mere præcist skrevet U(x) dv dx = U(x) V (x) dx V (x) du dx dx Uegentlige integrler (engelsk Improper integrls ) Integrlet b f(x)dx hedder uegentlig f type I, hvis intervllet fr til b er uendelig lngt, dvs. = eller b = (eller begge dele). Afsnit 6.5 uegentlig f type II, hvis f er udefineret i eller i b (eller begge steder). Men f ntges under lle omstændigheder defineret på det åbne intervl (, b). Uegentlige integrler hr ikke umiddelbrt en værdi. Hvis et uegentlig integrl kn tillægges en værdi, kldes det konvergent, og værdien findes som en grænseværdi f ordinære integrler. Hvis den relevnte grænseværdi ikke eksisterer (eller den er eller ) kldes det uegentlige integrl divergent. 4
Eksempel I. For ethvert reelt tl n hr vi et uegentlig integrl f type I J n = x n dx Forsøget på t tillægge J n en værdi lyder således: T J n = lim x n dx T For n = hr vi x dx = ln(x), så forsøget bliver til J = lim T ln(t ) = Konklusion: Det uegentlige integrl J er divergent med værdi. For n < hr vi x n dx = x n. Her er potenseksponenten n > 0, så forsøget n bliver til ( T n J n = lim T n ) = n Konklusion: For n < er det uegentlige integrl J n divergent med værdi. For n > hr vi stdig x n dx = x n. Men nu er potenseksponenten n < 0, så n forsøget bliver til ( T n J n = lim T n ) = n n Konklusion: For n > er det uegentlige integrl J n er konverfent med værdi n 5
Eksempel II. For ethvert reelt tl p > 0 hr vi et uegentlig integrl f type II K p = 0 x p dx Bemærk: Vi ntger p > 0 så x p er udefineret for x = 0, dvs integrlet er uegentlig f type II. Forsøget på t tillægge K p en værdi lyder således: K p = lim t 0 + t x p dx For p = hr vi x dx = ln(x), så forsøget bliver til K = lim ( ln(t)) = t 0 + Konklusion: Det uegentlige integrl K er divergent med værdi. For p < hr vi x p dx = x p. Her er potenseksponenten p > 0, så forsøget p bliver til ( ) K p = lim t 0 + p t p = p p Konklusion: For p < er det uegentlige integrl K p konvergent med værdi p. For p > hr vi stdig x p dx = x p. Men nu er potenseksponenten p < 0, så p forsøget bliver til ( ) K p = lim t 0 + p t p = p Konklusion: For p > er det uegentlige integrl K p divergent med værdi I de 3 figurer på næste side er der tegnet reler under grfen f y = x p for 3 positive p-værdier. Her svrer de røde reler til de uegentlige interler K p og de grønne til J p. Arelerne skl tænkes t forløbe helt til uendelig i hhv lodret og vndret retning. 6
Først for p =, hvor begge reler bliver uendeligt store. Dernæst for et p <, hvor det grønne rel bliver uendeligt, mens det røde bliver p. Og endelig for et p >, hvor det grønne rel bliver, mens det røde bliver uendeligt. p 7
Rtionle funktioner og deres stmfunktioner En rtionl funktion er en funktion, der kn skrives som en brøk med et polynomium i tælleren og et (ndet) polynomium i nævneren. Fx Afsnit 6.2 f(x) = Vi betrgter x 2 x 2 3x + 2, g(x) = x3 3x 2 + 3x 2, h(x) = x23 x 7 + 3 x 3 x + x 6 3x 4 + 3. R(x) = P (x) Q(x) og klder grden f polynomierne P (x), Q(x) for henholdsvis p og q. Første skridt Hvis p > q kn mn ved hjælp f polynomiumsdivision omskrive til formen R(x) = S(x) + P (x) Q (x) hvor S(X) er et polynomium f grd p q og grderne for P (x) og Q (x) hr p < q. D det er let t finde en stmfunktion til polynomiet S(x), er hele problemtikken reduceret til de tilfelde, hvor tællerpolynomiets grd p er < nævnerpolynomiets grd q. Dette ndet skridt vil jeg kun behndle i de simpleste tilælde. Andet skridt for q = er let. Mn hr tre konstnter, b, c så R(x) = Substitutionen u = bx + c hr du = bdx, så dx = du, og mn får b bx + c dx = u b du = b u du = b ln( u ) = ln( bx + c ) b bx+c med b 0. Andet skridt for q 2 er lidt sværere For q 2 hr polynomiet Q(x) ilt q rødder, når mn medregner de eventuelle komplekse rødder, og hver rod tælles med multiplicitet Jeg omtler kun speciltilfældet, hvor lle rødderne er reelle og de er prvis forskellige. Hvis rødderne kldes r, r 2,, r q er det principielle resultt d, t R(x) kn omskrives til en sum f formen hvor A, A 2,... A q er konstnter. R(x) = A x r + A 2 x r 2 + + A q x r q, Multipliciteten f en rod vil jeg ikke komme nærmere ind på her. 8
De enkelte led i summen kldes prtilbrøker, og mn siger, t R(x) er splittet op i to prtilbrøker. Hvis nogle f rødderne er smmenfldende og/eller der er komplekse rødder kn mn stdig opsplitte R(x) i noget mn klder prtilbrøker, men de bliver mere komplicerede. Det generelle tilfælde er beskrevet f Adms på side 344-5. 9