Søbnng af plade Køreplan 0005 Maemak - FORÅR 2004 Ld hsorsk baggrund De førse menneske beboede Jorden for over 00.000 år sden. Arkæologske suder vser, a de allerede havde opdage fænomene ld og lær a bruge de l glæde for sg selv. Urolg nok og de menneske yderlgere 95 usnde år, før de fand ud af a bruge lden l a udvnde meal fra jord-skorpen og bruge de. l a begynde med, blev mealle brug som prydelse, f.eks. kamme, halskæder og armbånd. De var fremslle guld eller sølv, som er de nemmese meal a udvnde fra malmen. Så blev de mere almndelge og nyge kobber funde, og man fand frem l a syrke de ved a blande de med andre mealler l a fremslle bronze. l allersds kom jerne - de mes almndelge meal, men også de mes besværlge a arbejde med. I modsænng l andre mealler, hvs relav lave smelepunk gjorde, a man kunne søbe de forme, skulle jern smedes, dvs. opvarmes, for a gøre de blød og så slå de l den nødvendge form. Der kom l a gå adskllge hundrede år, før man fand en meode l a opnå emperaurer, der var høje nok l a holde jerne smele længe nok l, a de kunne blve søb forme. I 709 udvklede Abraham Darby koks Coalbrookdale, som mege ofe blver berage som den ndusrelle revoluons fødesed. De var koksen, som blev brug l a smele jerne, og som derved gav de sore opfndere maerale, hvoraf de kunne fremslle deres maskner. Den mes revoluonerende var dampmasknen, som blev udvkle af James Wa 760 erne. Sål, der var bleve fremslle relav små mængder sden 733, da Benjamn Hunsman udvklede sn smeledgel proces, blev pludselg mere fr lgængelg, da Sr Henry Bessemer opfand sn berøme omformer 855, som gjorde de mulg a masseproducere. Dee beød, a revoluonerende opfndelser som elekrske moorer, bler, deselmaskner, undergrundsoge, foograferng og den rådløse elegraf så dagens lys. Alumnum, som blev ndfør mealndusren 909, lvejebrage de særke levægsmeal, som skulle gøre de mulg a lfredsslle menneskes sore, unverselle ønske om a flyve. I dag bdrager søberndusren l alle vgge områder af de moderne samfund herbland ransporndusren, nformaonseknologen, produkon af fødevarer, elekommunkaonen og energsekoren herunder bl.a. aomkraf. I de 20. århundrede har en række danske opfndelser sa s særke præg på søberndusren, og dermed en lang række af de ndusrer, som søbererne leverer l. Ma 03/04 sde
Hvordan søber man e rør? Form, overdel overdel Samle form Kerne Form, underdel underdel Hulrum l smele Søbegods der skal renses Søbegods og ev. bearbejdes der skal renses og ev. bearbejdes Færdg rør Fgur : Skemask fremsllng af søbeprocessen Den førse sore danske opfndelse ndenfor søberndusren blev gjor omkrng 960 af professor Vagn Aage Jeppesen her på DU. Han opfand e ny prncp l a fremslle søbeforme sand. Den nye meode gjorde de mulg a fremslle præcse forme med en hdl uhør hasghed. Paene blev køb af Dansk Indusr Syndka (Dsa A/S). Dsa vdereudvklede den prooype l en formemaskne, som Jeppesen havde lave på DU, l den Dsamac formemaskne, der løbe af 970erne var med l a øge søberernes produkve en sådan grad, a analle af søberer blev reducere med ca. 80 procen. I dag blver 50 % af al jernsøbegods søb på danskfremsllede Dsamac maskner. Ser man på jernsøbegods bler (manfolde, bremsedele, moorblokke, hydraulkkomponener ec.) så blver 80 % af de søbe jerndele på verdensplan fremslle på maskner producere af Dsa Herlev. De næse sore skrd blev udvklngen af numerske beregnngsmodeller l a analysere søbeprocesser. En del af de førse brugbare modeller l praksk, ndusrel anvendelg procesopmerng blev løbe af 970erne og 80erne udvkle e samarbejde mellem de eknske unverse Aachen og DU af daværende docen Preben N. Hansen. De har før l udvklngen af de mes benyede kommercelle sofwaresysem l modellerng af søbeprocesser verden: MAGMAsof. 2 Hvad er en søbeproces? Søbnng er eoren en smpel proces: Man former e såkald negav af de man ønsker fremslle e passende formmaerale (sål, sand, keramk el. lgn.) og så fylder man de med smele meal, se fgur. På rods af denne umddelbare smplce er de en af de vanskelgse ndusrelle fremsllngs- Ma 03/04 sde 2
processer a syre, da analle af procesvarable er uoverskuelg sor. Derudover er den maemak, som beskrver en søbeproces, emmelg kompleks, hvs de hele skal med. En generel løsnng vl beså en besemmelse af prmve feler som emperaurer, forskydnnger, spændnger, hasgheder, ryk osv. Al dee kræver løsnng af de syrende dfferenallgnnger. Som nden for andre cenrale dele af mekankken er dsse lgnnger mege ofe en eller flere koblede, parelle dfferenallgnnger med en eller flere afhængge varable (f.eks. emperauren ) og fre uafhængge varable (re sedsparamere x y z og den ). Dsse lgnnger udrykker alle en specel balance eller e bevarelsesprncp, der opslles under anvendelse af nærmere beseme fysske sørrelser som afhængge varable. Dsse vl f.eks. være spændngerne projekonslgevægslgnngerne. I denne spørgsmål vl v dog begrænse os l a berage varmelednng -dmenson, beskreve v.h.a. den såkalde varmelednngslgnng. Alle mealler (undagen Wolfram) er på e eller ande dspunk bleve søb. De gælder både for dele, der er valse eller rukke fra e råmaerale eller færdg søbe dele. Alle dsse mealler lever med srukurer og deraf følgende egenskaber, der er bleve grundlag under søbeprocessen. Man ved, a e maerales egenskaber besemmes, mens de sørkner. Kølehasgheden besemmer mealles ndre krysalsrukur og dermed des mekanske og korrosonsmæssge egenskaber. Derfor er de essenel a kende og a kunne syre afkølngen en søbeform. l de formål fndes der en mængde relav smple maemaske uryk. Dsse, der er enen emprsk eller analysk baserede, anvendes daglg af ngenører og konsrukører. Lgeledes benyer man som førnævn også prakss flg moderne numerske meoder l analyse af søbeprocesser og l a opmere desgn af søbe komponener. 3 Opsllng af varmelednngslgnngen 3. De saonære lfælde Den domnerende varmeranspormekansme.f.m. sørknngsforløbe en søbeproces er varmelednng, som beskrves v.h.a. af den såkalde varmelednngslgnng. Denne udrykker en generel 3-dmensonal dfferenel varmebalance ehver punk af de beragede område. For vores formål er de mdlerd nok a berage varmelednng -dmenson. Berag nu fgur 2. Varmefluxen (måles Wa, [W]) nd elemene er x 0 og ud af elemene x 0 x. Derudover er der en varmegenererng elemene, e såkald kldeled gen [W]. Ideen udlednngen af varmelednngslgnngen er nu a opslle en energbalance for de ovenfor vse elemen og herefer lade x gå mod nul. Førs berages de saonære lfælde. De beyder, a der kke er nogen dsvaraon. E resula af dee er, a energndholde elemene kke ændres, ford så vlle emperauren jo også begynde a ændre sg, og derved kke være konsan den. Energbevarelse for elemene gver herefer: x 0 x 0 x gen 0 (). Udryk x 0 x v.h.a. en aylorrække udvkle omkrng punke x 0 og anvend dee energbalancen gve lgnng (). Reducer herefer den fremkomne lgnng. Ma 03/04 sde 3
gen (x 0 ) (x 0 + x) A x 0 x Fgur 2: Volumenelemen for -D varmelednng 2. Udryk varmefluxen,, lgnngen, der blev opslle opgave, v.h.a. Fourers lov ka x hvor k er varmelednngsevnen [W/mK], og opskrv herved en dfferenallgnng for emperauren som funkon af x (jf lgnng (3) nedenfor). Hvad beyder de, a der er ale om en saonær, -dmensonal model for dfferenalkvoenen (2)? Den spørgsmål 2 fremkomne lgnng kaldes den saonære varmelednngslgnng -D med kldeled, og skrves hvor d dx (2) k d dx gen 0 (3) gen er kldeledde pr. volumenenhed, [W/m3 ]. I de lfælde hvor k kke afhænger af emperauren, vl løsnngen af denne sædvanlge dfferenallgnng af anden orden være uhyre smpel. Maples x 3. Løs x (3) (brug ) for de 0 en-dmensonale L domæne, der er begrænse af 0 og L med randbengelserne og 2. Kldeledde anages a kunne udrykkes parabolsk som funkon af x, dvs.: gen ax 2 c (4) bx E kldeled som de, der ndgår spørgsmål 3 kan bruges l a smulere den sørknngsvarme, der frgves, når e emne sørkner. (Frgvelse af laen varme ved faseransformaon kendes fra vand, der fryser l s. Her skal der også fjernes varme fra syseme for, a processen kan foregå.) Den smple løsnng l (3), som er funde spørgsmål 3, skal bruges senere ved valderngen af den numerske løsnng. De re aposroffer markerer således, a der er ale om en sørrelse pr. volumenenhed - der er kke ale om en dfferenalkvoen. Ma 03/04 sde 4
3.2 De nsaonære lfælde Varmelednngen søbnng er som førnævn kke en saonær proces. Lgnngen (3) er således kke lsrækkelg l a beskrve, hvad der foregår. Berages fgur gen, medages nu, a energndholde de beragede elemen kan ændre sg. Energbalancen, (), udvdes således l Q! x 0" #! x 0$ x"$ gen% (5) hvor Q er energndholdsændrngen pr. d [W] af elemene. For de beragede forhold vl denne være gve ved Q Vρc p % (6) hvor V er volumne og ρc p er varmefylden af de gvne maerale. 4. Kombner resulaerne fra spørgsmål og 2 med lgnng (5) og (6). Læg her mærke l, a nu afhænger emperauren både af x og den, dvs.! x% ". Den herved fremkomne lgnng kaldes den nsaonære varmelednngslgnng -D med kldeled. ρc p & k x x' $ ((( gen) (7) Hvs man begrænser sg l kun a berage konsane maeraledaa, samles k og ρc p emperaurlednngsalle, α k* ρc p, og lgnngen (7) omskrves l α 2 $ ((( gen x 2 ρc p % (8) som er den lgnng, der vl danne bass for udvklngen af den numerske model for de nsaonære lfælde. 4 Opsllng af numerske modeller 4. De saonære lfælde Førs konsrueres en numersk løsnng for de saonære lfælde, de vl sge lgnng (3). Der anages øvrg konsane maeraledaa. l dee formål nddeler man nervalle+ 0% L, N# lge sore sykker, således a man får defnere e beregnngsne med nepunker med ndex % )-)-)% N en ndbyrdes afsand x. emperauren varmelednngslgnngen anages da gve ved værderne dsse nepunker, og man skrver for emperauren nepunk nummer, med )-)-) N. Nee på fgur 3 ndeholder 5 nepunker. Dee vl normal være en al for grov dskreserng af den -dmensonale geomer. ypsk behøves beydelg flere nepunker for a få en brugbar opløsnng af probleme og dermed en rmelg nøjagghed. Ma 03/04 sde 5
- + Fgur 3: Beregnngsne -D For a arbejde med varmelednngslgnngen ud fra emperaurerne har man brug for e udryk - en approksmaon - af den anden ordens afledede af emperauren nepunkerne. I Lneær Algebra bogens eksempel.0, sde 34, er der angve den såkalde cenrale 3-punks fne dfference approksmaon af den anden ordens afledede, som v benyer her:. d 2 dx 2/ 0 2 3 2 4 5 x 2 6 (9) hvor den afledede e ndre nepunk nummer beregnes ud fra nformaon om emperauren nepunkerne 3, og 4. I de næse spørgsmål søges den numerske løsnng for lfælde spørgsmål (3), de (9) bruges ved dskreserngen af de afledede (3) for de ndre punker og andre funkoner repræseneres ved deres funkonsværder nepunkerne. Husk her, a k anages konsan. For a få e veldefnere problem, kræves også en angvelse af randbengelser. Generel skal dsse også dskreseres, men lfælde med en kend emperaur på randen som spørgsmål 3 er dee kke nødvendg, da løsnngen selv er gve på randen. 5. Der berages nu e område med længden L 0. m nddel e ækvdsan ne med al 2 punker (dvs. med 9 ndre punker). Opskrv 2 de generelle lneære lgnngssysem, (som blver r-dagonal og symmersk), der fremkommer ved a anvende (9) på de ndre punker sam randbengelser gve som kende emperaurer: kend7 A og N kend7 B. Vs, a løsnngen l lgnngen er enydg (fnd fx egenværderne, eller beny Lneær Algebra bogens eksempel 3.5, sde 05). 6. Løs 8 lgnngssyseme, der er opslle ovenfor spørgsmål 5 for lfældene a b c 0 og kend7 A 206 kend7 B 8 00 a b 06 c e5 og kend7 A 206 kend7 B 8 00 a 06 b e66 c e5 og kend7 A 206 kend7 B 8 00 a 5e76 b e66 c e5 og kend7 A 206 kend7 B 00 Præsener emperaurfelerne som kurver e9 x6 : -koordnasysem 3. Der kan regnes med følgende daa, som svarer l de formsand som bruges sandsøbeprocesser: Varmelednngsevne k W/(mK) Varmefylde ρc p 2e6 J/(kgK) 2 I Maple defneres marcen fx ved hjælp af en kommando som;=<?>a@cbabd@cefhg-i@cbjglkmonhprqsmonruqjv, hvorefer marcens elemener, der kke er nul, gves værder ved hjælp afwyxcb -ZYX -løkker; se Maple s[ka\]i. 3 I Maple kan man llusrere en sykkevs lneær kurve gennem 0 punker ^=_a`cbsmde=_a`cb ved IJ\RXLeSFJ f^g_h`cbsmdeg_h`cbabjk`c>lnahn-mrbjv. Ma 03/04 sde 6
Kommener resulaerne. I denne forbndelse skal de numerske resulaer sammenlgnes med resulaerne fra den analyske løsnng fra spørgsmål 3. De numerske resulaers nøjagghed bør kommeneres. Under hvlke forudsænnger er den cenrale 3-punks fne dfference approksmaon for den 2.ordens afledede eksak for de beragede lfælde? 4.2 De nsaonære lfælde Som førnævn er søbeprocesser kke saonære, derfor må lgnng (3) ersaes af lgnng (7). Der er nu således behov for a dskresere den 2.ordens afledede sede x og den.ordens afledede den. l den 2.ordens afledede sede bruges (9) og l den.ordens afledede den bruges følgende 2-punks dfferenslnærmelse: n Dee ndsæes (8) o p s u s v r α 2 x 2 s (0) v www gen () ρc p Højresden af () kan foreskrves på flere måder hvad angår dsnveaue. l de formål ndføres parameeren θ, som kan anage værder fra nul l en, således: r s r v r 2 gen s yx s θz { α u s 2 v r v www gen } v θ{ u α ρc p x 2 x 2 ρc p (2) V vl her beskæfge os med den forwards og backwards Euler-meode eller den eksplce og mplce meode, som de også kaldes: r v www } θ 0 θ Forwards Euler (eksplc) Backwards Euler (mplc) Førs berages den mplce formulerng, dvs. θ. (2) reduceres da l s α ~ x 2 u s 2 v Der ndføres nu følgende konsaner (Fo kaldes Fourer-alle) Fo Lgnngen (3) kan herefer skrves som r s Fo~ u r v www gen ρc p (3) α x 2 (4) www gen ρc p (5) s 2 v r v r (6) Ma 03/04 sde 7
- () () + () + - (+ ) (+ ) + (+ ) Fgur 4: me-marchng ved mplc formulerng -D I denne lgnng ndgår re ubekende lgesom de saonære lfælde. Dsse re ubekende emperaurer afhænger af hnanden, cenralemperauren på gammel nveau, som er kend, sam kldeledde på ny nveau, som også er kend. Dee er llusrere fgur 4. Lgnngssyseme blver således også her r-dagonal og symmersk 4. Forskellen forhold l de saonære lfælde er nu, a der skal løses e r-dagonal lgnngsssysem hver dssep. 7. Opskrv formen af de generelle lgnngssysem, som skal løses hver dssep, der fremkommer ved a anvende (6) på de ndre punker af e nerval 0 L, sam randbengelser gve som kende emperaurer: ƒ kend A og : Nƒ kend B. Overvej, om der ald er en løsnng l denne lgnng, og undersøg om den er enydg. Overvej desuden, hvad der kræves for a løse lgnngerne, hvs for eksempel gen afhænger af emperauren. 8. Som Nƒ spm. 5 og 6 berages nu e område med længden 0. nddel e ækvdsan ne med 2 punker, og med e kldeled gve som (4). Løs (6) for de samme fre lfælde som spm.6. Der kan regnes med e dssep, på 50s, og der kan anvendes samme maeraledaa som spm.6. Inalemperauren sæes førs l x ƒ 0 ƒ 20ˆ 800x, og der regnes fra 00 l 500 dsskrd frem. Prøv også a varere både dsskrdes sørrelse og analle af dsskrd. Brug Maple l a llusrere den dslge udvklng (lav ev. en anmaon 5 ). Derefer sæes nalemperauren l 20 o C; der sker alså e sprng emperauren højre endepunk ved den ƒ 0. Sammenlgn resulaerne fra spm. 8 med resulaerne fra spm. 6 og overvej under hvlke bengelser den nsaonære varmelednngslng og den saonære varmelednngslgnng har den samme løsnng. 5 Anvendelse af model Nu anvender v de numerske værkøjer udvkle ovenfor l a smulere søbnng af en sålplade en sandform. Dee udvkles nogle skrd, de sørknngsmodellen førs udvkles. Derefer ses 4 Overvej evenuel koeffcenmarcens form, hvs Foureralle Fo afhænger af sede (dvs. af nepunke ). 5 I Maple kan man lave en anmaon af 20 plos gša cœ?žc J R L S en kurve for hver af 20 dsskrd ved kommandoen J R - J R L S š L Rœ ž gša cœÿš cžl R d A RŒ Ÿ O ] RœC L ªL RŽR A«C J. For nærmere dealjer, se Maple s Y ]. Ma 03/04 sde 8
der på beregnnger, hvor meal og sand gver varerende maeraleparamere, og sluelg kobles dee sammen den samlede smulerng af søbeprocessen sandformen. 5. Sørknng af meal For a modellere frgvelsen af sørknngsvarmen benyer v a dee kan ækvvaleres med a varmefylden øges under sørknngen (se udlednngen nedenfor). De beyder, a den energ, der skal fjernes for a e kg kan køles en grad, øges ganske voldsom. Herved foregår afkølngen mege langsommere end før og man får e plaeau på afkølngskurven, der vser emperauren som funkon af den. Der anages her, a sållegerngen sørkner æ på eueksk, dvs. a sørknngen foregår over e mege snæver emperaurnerval, her valg l een grad. Øvre grænse nervalle beegnes ludusemperauren, ludus. Over den grænse er maerale smele. Nederse grænse kaldes soldusemperauren, soldus. Under denne emperaur er maerale sørkne (fasformg). Nedensående fgur vser andelen f S af sørkne maerale som funkon af emperauren ( f S lgger mellem 0 og ). Mange modeller for sørknngen afhængg af maerale, er gve lerauren. Den lneære sammenhæng er vs for smpelheds skyld. Den forekommer sjælden prakss. f s S L Fgur 5: f S (fracon sold) som funkon af emperauren, her lneær sørknngsnervalle. Ved en gven andel sørkne, f S, er der frgve en mængde varme [J/m 3 ], svarende l f S gange med den samlede sørknngsvarme H f [J/kg] gange massefylden ρ [kg/m 3 ], dvs. Q frgve f S ρ H f (7) Der er her gjor den anagelse, a sørknngsvarmen er ens for de faser, der dannes under sørknngen. 9. Vs, a frgvelsen af sørknngsvarmen kan modelleres ved, a modfcere varmefylden sørknngsnervalle på følgende måde: c sørknng p c p f S H f (8) når kldelede varmelednngslgnngen er gve som den dslge afledede af Q frgve (jf. (7). (Vnk: Anvend, a f S f S ). Læg mærke l, a udrykke (8) udrykker, a varmefylden øges under sørknngen (hvorfor?). Ma 03/04 sde 9
I de følgende benyes (8) l a modfcere varmefylden hver dsskrd (6) (hvor 0), de varmefylden e dskrd regnes konsan og gve ved emperauren fra de forrge dsskrd. For a skre sg, a al sørknngsvarmen faksk frgves under den numerske smulerng, benyer man følgende algorme l a modfcere emperauren efer, a lgnngssyseme er løs for e dsskrd (men nden dsskrde er slu): ± ² ³ ² hvs ludus og ludus så sæes ludus ε (9) hvor ε er e llle al (f.eks. af sørrelsesorden e-6 l e-8). Herved vl man aldrg komme l a køre for lang nd sørknngsnervalle nden varmefylden blver sa op, eller dreke komme l a køre hen over de, hvs dsskrde er så sor, a man får en emperaurændrng, der er sørre end sørknngsnervalle. Fejlen, der begås, ved a anvende den vse algorme er forsvndende sammenlgne med den fejl som begås ved kke a anvende den. For, a kunne modellere de ransene forløb rgg, er de nødvendg l hver dsskrd a have nformaon om emperauren både l den og l den µ (begge empearurer ndgår (9)). Dsse kan f.eks. kaldes gl og ny. Når e dsskrd er færdgregne, vl de nye emperaurer være de gamle emperaurer for de næse dsskrd. Derfor skal de nye emperaurer lægges over de gamle således, a beregnngen er klar l næse dsskrd. I de følgende regnes med følgende daa Søbeemne (sål) Varmelednngsevne k 30 W/(mK) Varmefylde ρc p 6e6 J/(kgK) Modfcere varmefylde ρc p 6e9 J/(kgK) for ludus soldus Soldus-emperaur soldus = 00 o C Ludus-emperaur ludus = 0 o C Inalemperaur mealle x 0¹ = 20 o C 0. Modfcer programme så de kan modellere sørknngen af de pladeformede sålemne (med N 2 og L 0º ). Randbengelserne sæes l N gven 000 o C, hvor gven repræsenerer den emperaur, der er rmelg skllefladen mellem sandform og emne lge efer sørknngen er færdg (nedenfor ager man højde for hvad der sker sande). Programmér denne forbndelse en llle algorme, som besemmer sørknngsden, dvs. de dspunk hvor emperauren overal emne lge neop er komme under soldus. I den forbndelse er de en god de a ænke over hvlke nepunk emne, der når sørknngsemperauren sds, og basere algormen på de. Fnd sørknngsden v.h.a. den numerske model for den ovenfor angvne sålplade. Sørknngsden af e pladeforme emne, som sørkner ved -D varmelednng kan esmeres v.h.a. den såkalde Chvornovs modullov, der sger, a sørknngsden er proporonal med pladeykkelsen anden: f C d 2 (20) Konsaen C afhænger af flere forskellge forhold, som v kke vl komme nd på her.. Den samlede ykkelse af form og emne halveres nu således, a L = 0.05 m. Al ande bbeholdes. Besem gen med den numerske model sørknngsden af den nye plade for følgende o lfælde: 2 s, og 0.5 s. Ma 03/04 sde 0
2. Vurder, ved sammenlgnng af resulae for sørknngsden spm. 0 med resulaerne fra spm., overenssemmelsen mellem den numerske model og kvadrasammenhængen Chvornovs modullov. (Konsanen C påvrkes kke af de angvne ændrnger spm.). Kommener yderlgere dsskrdes ndflydelse på beregnngerne. 3. Man kan passende beregnnger af denne ar udnye symmeregenskaber ved den fysske model. Her vl de fx. være nyg a berage den halve plade, de der åbenlys er symmer om mden af pladen. Herved kan de 2 nepunker benyes l a beregne på den halve plade, og man får bedre nøjagghed for samme regnearbejde. Symmerbengelsen hånderes ved a randbengelsen x» 0 sæes l a være adabask, dvs. svarende l en solerede rand, hvor emperaur gradenen er nul. Dee eableres modellen ved, a sæe emperauren knude lg med emperauren knude 2. Gennemfør med denne udnyelse af symmeren de samme beregnnger som spm. 0 og. 5.2 emperaurudvklngen en sandform V berager nu en sandform, hvor v med 2 nepunker har dskresere længden L» 0¼. V vl udnye symmeren probleme, jf. fgur 6. De 2 nepunker arrangeres derfor således, a de førse 6 modellerer søbeemne (meal) og de sdse 5 modellerer formen (sand). Dee gver ykkelser af form og emne, som er realsske.f.. prakss. ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ Symmerakse ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 0 L Fgur 6: Symmeren probleme Maeraleparamerene for mealle er gve ovenfor og for sande haves: Søbeform (sand) Varmelednngsevne k» W/(mK) Varmefylde ρc p» 2e6 J/(kgK) Inalemperaur sande er 25 o C Randbengelserne på modellen kan under en søbeproces (dvs. den nelle soldfcerng - kke den endelge afkølng) med rmelghed anages, a være adabaske (dvs. solerede rande hver ende). Dee eableres modellen ved, a sæe emperauren knude lg med emperauren knude 2, og emperauren knude 2 lg med emperauren knude 20. 4. Overvej, hvordan fne dfference approksmaonen (9) kan modfceres for a age hensyn l ændrngen maeraleparamerene fra nepunk 6 l nepunk 7. Foreag lsvarende overvejelser for (6). Løs herefer spørgsmål 8 for dee lfælde. Ma 03/04 sde
5.3 Sørknng en sandform 5. Modfcér modellen ovenfor for en sandform med søbemene, således a der ages hensyn l sørknnsgvarmen (dvs. kombnér resulaerne fra opgaverne 0 og 4)). 6 Varaoner 6. Vend lbage l spm.8. Undersøg hvad sker der med den nsaonære løsnng, når der er gåe lsrækkelg lang d. Sammenlgn med løsnngerne fra spm.6. Kommener denne sammenlgnng og underbyg evenuelle konklusoner eoresk. 7. Ekspermenér med løsnng af spørgsmål 8 ved hjælp af den eksplce (Euler) meode, dvs. sæ θ¾ 0 formel (2). Her kan beregnngerne anskuelggøres ved følgende fgur: - () () + ( ) + - (+ ) (+ ) + (+ ) Fgur 7: Eksplc dsnegraon. Forøg med forskellge dsep og forskellge anal nepunker. Overvej ved overvejelser om egenværderne af de lhørende lgnnger en meode l a besemme e god dsskrd. Sammenlgn med den mplce meode. Dskuér fordele og ulemper ved de o meoder. Ma 03/04 sde 2