Fra små sjove opgaver tl åbne opgaver med stor dybde Vladmr Georgev 1 Introdukton Den største overraskelse for gruppen af opgavestllere ved "Galle" holdkonkurrenen 009 var en problemstllng, der tl at begynde med så meget uskyldg ud: Elever og lærere tog udgangspunkt en praktsk problemstllng og endte op med et kompleret matematsk problem som sden har været drøftet ntenst blandt kolleger på unverstetet ved Psa: Hvs der er gvet et kvadrat planen og man ser på kurver γ, der har den egenskab, at en ε omegn af kurven overdækker kvadratet, kan man så fnde en sådan kurve med mnmal længde. Den overraskende var, at dette problem tlsyneladende var uløst og kun det tlfælde hvor parameteren ε var meget llle, havde været behandlet de forsknngsartkler som kollegaerne ved unverstetet Psa kendte tl. Det eksempel v her skal se på er af stor betydnng for problemudvklng og modellerng nden for andre grene af naturvdenskaben og det vrkelge lv. Et standard matematkpensum for f.eks. gymnasenveau er tradtonelt meget stramt organseret og rgholdgt på problemstllnger og eksempler med faste svar. Matematsk modellerng problemudvklngslaboratorer er dermod en ldt rskabel proes ford: der er vgtge fysske fænomener som kræver meget komplerede modeller og avanerede matematske værktøjer der er modeller som kke har en matematsk løsnng tradtonel forstand Områder der berøres dette afsnt.1 Matematsk ndhold Geometr ( plan og rum). Naturvdenskabelgt ndhold Astronom og navgaton Klasssk mekank. edskaber der kan ndgå problemløsnngsproessen Varatonsregnng Ordnære dfferentallgnnger Problemstllngen og forsøg på at løse den Lad os se på det "uskyldge" problem stllet af holdet fra gymnaset "Dn" Psa..1 Problem "Måne satelt" Sateltten THETA fra selskabet GoogleMoon er udstyret med et dgtal kamera, der tager blleder med en synsvnkel på 0. For at få gode blleder må sateltten kredse omkrng Månen konstant højde svarende tl Månens radus =178 og kameraet skal hele tden vende med retnng drekte mod Månens enter. Problemet er at fnde den korteste satelltbane, der mulggør at hele Månens overflade er dækket nd med blleder fra kameraet.
. Fg.1 Bllede af Månen fra NASA []. Fg. NASA satellt [] Man ser at dette problem lgner det som forskerne ved Psa Unverstet kendte tl. Deres uløste problem handlede om et kvadrat planen medens "Dn" holdets problemstllng vedrører en kugleflade. Et praktsk problem fører tl et svært matematsk problem. Hvordan skulle holdene kunne løse et sådant problem når de kke rådede over avanerede matematske værktøjer og når selv spealsterne med omfattende matematsk trænng kke kunne løse det? Holdet fra Bresa gjorde brug af appelsner et nteressant løsnngsforslag.. Problem Måne satellt løsnngsforslag fra Hold Bresa, Italen V skulle fnde den korteste bane for satelltten! V gættede på at det kunne være en spralbane, men v kunne kke regne os frem tl den. V prøvede at plle en masse appelsner. Først fjernede v en kalot på rka 0, så fortsatte v med at danne en spral med rka same bredde. V målte længden af appelsnskrællen og v beregnede forholdet mellem appelsnens radus og radus for den kugleflade hvorpå satelltten bevæger sg men det er gvetvs kke den rgtge måde at gøre det på.
. Problem Måne satellt løsnngsforslag fra Hold Dn, Psa, Italy Hold "Dn" kom med en de der er tættere på den som forskerne ved Matematsk Insttut ved Psa Unverstet tror, er den rgtge Se skærngen mellem månekuglen og planen gennem satelltten og betragt lnjerne der afgrænser synsvnkelkeglen. (Se fguren nedenfor). Kuglekalotten som dækkes af kameraet danner tværsnttet buen AB. V vl det følgende fnde sammenhænge mellem de angvne data med henblk på at beregne længden af buen AB og se på arealet der overstryges når satelltten bevæger sg ad sn bane. Data for problemstllngen: 178 adus for Månen 0 H Satellttens højde over måneoverfladen Idet betegner halvdelen af korde AB og β betegner halvdelen af entervnklen for bue AB gver trgonometrske betragtnnger: sn 1 sn tan hvor af man får sn 0.179 Derfor er, det a betegner den halve bue AB: a 1.1 Arealet af den kuglekalot som kameraet dækker et bllede er derfor: A 1 1.07 10 5
V kan nu opstlle en lgnng tl at beregne en teoretsk mndsteværd satellttens banekurve: og dermed A L a mt 4, 4 Lmt 4.6 6.01 10. Lmt for projektonen på Månen af V kan kke være skre på at denne værd kan opnås ved en kontnuert bane for satelltten. En mulg strateg er at dække månefladen med parallelle bånd der løber langs merdanerne begyndende ved den ene pol. Hvs v beregner radus for hvert band får v: () 1 61.8 1.147 10 1.54 10 4 1.7 10 5 1.69 10 6 1.44 10 7 1.00910 8 445.4 Af dette fnder v at banelængden er: 8 L1 7.8 65.64 10 1 hvor der er medregnet en tur rundt på den rkel der skal tl for at dække den sdste åbnng som kke er dækket af den 8. rkel. Effektvteten af denne strateg kan udtrykkes ved: L mt e1 0.916 L 1 En mulg forøgelse af effektvteten fås ved følgende strateg: overgangen tl næste nveau sker va rkler der tangerer den v begyndte med nveauet før O 1 Værderne for denne bane er gvet ved: () d () 0 61.8 1.7 10 1.585 10 6.58 10 1.95 10 9.01 10 1.11 10 4 1.01 10 4 1.184 10 5 1.001 10 4 1.188 10 6 8.445 10 1.7 10 7 5.717 10 1.41 10 8.175 10 17. 1 0 C O A B d 1
Af tabellen fås 8 L 0 d 7.5 65.17 10 1 som gver en llle forbedrng af effektvteten I forhold tl før: e 0.9. L Derfor foreslår v følgende mnmale bane for satelltten: L 75.0 10. 10. L mt Det vlle være naturlgt at arranger et fælles møde mellem Hold "Dn" og forskerne ved Psa Unverstet med det formal at fnde en fuldstændg løsnng af problemet. 4 Konklusoner V må med Sokrates aeptere at det eneste v med skkerhed ved er at "v ved kke noget". Vden om begrænsnnger ved vore teorer, metoder og færdgheder at forstå verden omkrng os må v betragte som en stærkt motverende faktor for fortsatte forsøg på at overskrde dsse grænser. eferenes: [1] http://www.dm.unp.t/~eroe/ndex.php, ste of the Galle ompetton [] http://www.dm.unp.t/~eroe/problem.php, problems proposed by Math Labs