" i,'^... >» í r^'.. ^%^' y-:l ' 'P-':^.:% ' ^. ', "^i'^-- '^:>:\.:';- ^'^'í^s^-'i^- ^ ^^,,^ r-s ftj^íi. / ^ :MC: fev^^ tí^»^v' A./''.
LiCREBOG I DIFFERENTIAL- OG INTEGRALREGNING AF P. C. V. HANSEN. GYLDENDALSKE BOGHANDEL NORDISK FORLAG MDCCCCIX
K0BENHAVN FORLAGSTRYKKFR ift
INDLEDNING. Om Funktioner. Funktion. Konstante og variable Sterrelser. Dersom to Storrelser x og y ere saaledes afhcengige af hinanden, at y faar én eller flere bestemte Vcerdier, hver Gang man tildeler x en bestemt Vcerdi, saa siges y at vcere en Funktion af X. Dersom saaledes y ^ ax 4 q, eller y = y ] R- y x-, saa er y i begge Tilfaelde en Funktion af x. Dersom y og x ere retvinklede Koordinater, fremstille de to Ligninger en ret Linie og en ligesidet Hyperbel. Disse Figurer give en grafisk Fremstilling af Forbindelsen mellem x og y. De to Storrelser x og y, som forandre sig fra Punkt til Punkt paa Linien eller Hyperblen, kaldes variable Storrelser; a, q, R kaldes konstante Storrelser, fordi de ikke forandre Vaerdier, saalaenge Linien eller Hyperblen ligge faste. Den variable Storrelse x, som man tildeler vilkaarlige Vaerdier, kaldes uafhcengig Variabel, medens y kaldes afhcengig Variabel. Skal man i Almindelighed angive, at y er en Funktion af x, uden nsermere at angive Funktionens Art, kan man saette y = f(x). Har man i en Regning Brug for flere saadanne Funktioner, kan man saette Z =z cp(x), u = (jj(x), o. S. V. De Vaerdier, som y, z, u antage for x = a, betegnes ved LiErebog i Differential- og Integralregning. f(a), 9 (a), (P(a).
2. Funktioner af flere Variable. Har man f. Ex. X- 4 y- a eller u = sin {xyy)y tg {2x + 3y), saa siger man, at : og u ere Funktioner af to uafhcengige Variable x og y, fordi z og u faa bestemte Vcerdier, hver Gang man tildeler x og y vilkaarligt valgte Vcerdier. Skal man almindeligt angive, at z og a ere Funktioner af to uafhaengige Variable x og y, uden naermere at angive disse Funktioners Art, saa kan man saette 2: = f{x, y), u = %> (x, y). De Vaerdier, som disse Funktioner antage for x ^ a, y = b, kunne betegnes ved f{a,b), (f{a,b). Paa lignende Maade kan en Storrelse vaere Funktion af tre eller flere uafhaengige Variable og da betegnes f. Ex. ved u =^ f{x,y,z), V == F{x,y,z). Den Funktion, som r er af x og y, naar z =^ /(x, y), kan grafisk fremstilles ved den Flade, som Ligningen bestemmer, naar x, y, z ere retvinklede Koordinater. Det bemaerkes, at hvor intet andet udtrykkeligt siges, forudsaettes det altid i det Folgende, at de Variable have reelle Vaerdier. 3. Explicite og implicite givne Funktioner. Algebraiske og transcendente Funktioner. Naar man ved en Ligning har fremstillet Forbindelsen mellem den afhsengige Variable og den eller de uafhaengige Variable, og Ligningen er oplost med Hensyn til den afhasngige Variable, saa siges Funktionen at vaere explicite given ved Ligningen. Er Ligningen ikke oplost, saa er Funktionen implicite given. Ligningen y^ 2xy 4 2x- a- = O
3 bestemmer y implicite som Funktion af A, oploses Ligningen, saa at man faar \' X 4 [/(!- X-, saa bliver y explicite udtrykt ved x. I dette og andre lignende Tilfaelde vil der til én Vaerdi af x kunne svare flere Vaerdier af y, til en Raekke af Vaerdier af x flere Raekker af Vaerdier af y. Man vil i saadanne Tilfaelde kunne betragte hver enkelt Raekke af Vaerdier af y som en Funktion for sig, der kun bar en Vaerdi for hver Vaerdi af x. Det ovenstaaende Exempel giver saaledes Anledning til to Funktioner, som betragtes hver for sig, nemlig y ^^ x4 \/a- x- og y = X \/a- x- Denne Betragtningsmaade ville vi fastholde overalt i det Folgende. Hver Gang y er en Funktion af x, som for hver Vaerdi af x har m Vaerdier, saa at én Vaerdiraekke for x giver Anledning til m Vaerdiraekker for y, saa ville vi betragte hver af disse Vaerdiraekker som en Funktion for sig. Funktionen y med m Vaerdier for hver Vaerdi af x bliver da en Samling af m Funktioner, som hver for sig kun har én Vaerdi for hver Vaerdi af x. En explicite given Funktion af x kaldes algebraisk, saafremt Funktionens Udtryk kan skrives ved Hjaelp at x og konstante Storrelser saaledes, at der paa x og Udtryk, som indeholde x, et endeligt Antal Gange aleñe er anvendt folgende Regninger: Addition, Subtraktion, Multiplikation, División, Potensoploftning med hel Exponent og Roduddragning med hel Exponent. En saadan Funktion kaldes rational, hvis dens Udtryk kan skrives uden Anvendelse af Rodtegn. En rational Funktion kaldes hel, hvis den har Formen y = ^ x" + ^,x"-'4...^ _,x4^. Andre rationale Funktioner kaldes brudne. En mere omfattende Definition af en algebraisk (men ikke explicite given) Funktion er denne: y er en algebraisk Funktion af x, hvis y er Rod i en Ligning af Formen x,fyxyyx.,y"-'y...x _,y^x = o,. X _u X ere hele, rationale Funk hvor Xg, X^, X.,,. tioner af X.
Funktioner, som ikke ere algebraiske, kaldes transcendente. a\ logx, sinx, cosx, tgx, cotx ere transcendente Funktioner af X. a^ kaldes en exponentiel Funktion af x; a maa forudsaettes positiv, dersom a^ for enhver reel Vaerdi af x skal have en reel Vaerdi. I Tilfaelde, hvor a"' har flere end én Vaerdi for en opgiven Vaerdi af x, taenkes der her aleñe paa Funktionens reelle, positive Vaerdi. 4. Kontinuitet og Diskontinuitet. Naar man grafisk fremstiller Funktionen y = f(x) ved en i et retvinklet Koordinatsystem tegnet Kurve, og denne forlober i et uafbrudt Lob mellem de Punkter, som bestemmes ved x ^= a og x =^ b, saa siges Funktionen at vaere kontinuert i Intervallet fra x = a til x = b. I modsat Fald kaldes Funktionen diskontinuert. Intervallet fra x = a til X ^ & betegnes kort ved (a, b). Naar Kurven forlober som AB i Fig. 1, saa er Funktionen kontinuert for alie Vaerdier af x fra x ^ OA^ til x = OB.^. Y Forlober Kurven som i Fig. 2 fra A til C og fra D til B, saa at der ingen Forbindelse er fra C til D, saa er Funktionen diskontinuert for x = 0C.^\ {C^CD taenkes vinkelret paa OX). Naar man, som antydet i Figur 1, tegner to Ordinater C^C og DjD i Afstanden h fra hinanden, saa kan man bringe Forskellen mellem D^D og C^C til at vaere i numerisk Vsrdi mindre end enhver nok saa Hile positiv Storrelse 5, blot ved at naerme h tilstraekkelig meget til Nul. Noget saadant gaelder
ikke i Figur 2 om to Ordinater, som tegnes hver paa sin Side af C^D. Den Egenskab ved en Funktion, at den er kontinuert, skal nu udtrykkes i Ord og Formler uden Hjaelp af nogen Figur. Man betegner her og i det Folgende den numeriske Vaerdi af en Storrelse ved at saette det Bogstav, som betegner Storrelsen, mellem to lodrette Streger. Den numeriske Vaerdi af a betegnes ved i a. Funktionen f{x) siges at vare kontinuert i Intervallet {a. b). saafremt man for ethvert x indenfor Intervallet kan finde en positiv Storrelse h^, som har den Egenskab, at Uligheden f{xyh)~f{x)\<o, i hvilken o er en positiv Storrelse, som kan vcelges saa Hile, som man vil. kan tilfredsstilles af alie Vcerdier af h, som ere numerisk mindre end eller lig med h^. En Funktion f{x) kaldes i et Interval (a, h) ligeligt kontinuert, saafremt man efterat have valgt 5 i den ovenstaaende Ulighed kan faa Uligheden tilfredsstillet ved ét og samme hg i hele Intervallet. I den foranstaaende Ulighed tager man, hvis a<.b, for X = a kun Hensyn til positive Vaerdier af /i, for x = fc kun Hensyn til negative Vaerdier af h. Exempel 1. Funktionen y = x-, hvor m er positiv og hel, er kontinuert i ethvert endeligt Interval (a, b). Exempelvis antages O<a<b. Man vaelger Storrelsen 3 og skal tilfredsstille Uligheden (x4/ir x <o, eller h I. i (X + ft)"^' 4 (^ + /i)"^" ^ 4 x"-' I < o. Denne Ulighed er tilfredsstillet, hvis man kan tilfredsstille den strengere Ulighed eher i/i.(z7"-'4 '""'4----fc"~')<5 \h'< ',
Man kan derfor saette ''' ^ 5 mb '' Hermed er det vist, at Funktionen er kontinuert i Intervallet {a, b). Da det samme h^ gjaelder i hele Intervallet, er Funktionen tillige ligehgt kontinuert i hele Intervallet. Exempel 2. Funktionen y = sinx er kontinuert i ethvert endeligt Interval. Det bemaerkes her én Gang for alie, at Storrelser under trigonometriske Funktionstegn her og i det Folgende altid regnes i rektificeret Bue for Radius = 1. For at vise, at sin x er en kontinuert Funktion, vaelger man 3 og skal derefter tilfredsstille Uligheden eller sm{xyh) sinx < 5, 2 sm ^ eos ( X 4 2 j < ^ Da imidlertid. /I \h (, hy<, sm < 2 ' eos (^x 4 2 j I ^ 1, saa er den foran staaende Ulighed tilfredsstillet, naar man saetter \h\<o =hg. Hermed er det vist, at Funktionen er kontinuert. Det ses, at den tillige er ligeligt kontinuert. 5. Kontinuitet af Funktioner af flere Variable. Ved et Omraade" for to variable Storrelser x og y ville vi forstaa Indbegrebet af alie de Vaerdier af x og y, som i et retvinklet Koordinatsystem bestemme Punkter indenfor en vis begraenset Del af xy-planet. Med Hensyn til Kontinuitet af en Funktion af to Variable oplyses derefter Folgende. En Funktion /(x, y), som afhcenger af to uafhcengige Variable x og y, siges for et bestemt Omraadefor disse Variable at vcere kontinuert, saafremt man for alie til Om-
raadet horende Vrrdicr af x og y kan finde to positive Storrelser h^ og k^,, som have den Egenskab, at Uligheden t\x h/í,v 1-^)- /(.v,y) o, i hvilken o er en positiv Storrelse, som kan va'lges saa Hile, som man vil. kan iilfredsstillcs for alie Vcerdier af h og k, som ere numerisk mindre end eller lig med h og fc. En Funktion f(x, y) kaldes indenfor et Omraade for x og y ligeligt kontinuert. saafremt man, efterat have valgt o i den foranstaaende Ulighed, kan faa Uligheden tilfredsslillet ved ét og samme /! og ét og samme /c for alie Vcerdier af X og y indenfor Omraadet. Tillaeg. De her angivne Definitioner paa Kontinuitet af en Funktion af én eller to uafhaengige Variable kunne med Lethed udvides til Funktioner af flere uafhaengige Variable. 6. Den omvendte Funktion af en given Funktion. Ved y = /(x) betegnes en Funktion, som er kontinuert i Intervallet {a,b); a forudsaettes mindre end b. Det antages, at man har fia) == A, m =. B. f{x) antages med voxende x stadig at voxe i Vaerdi fra A til B. Funktionen fremstilles grafisk paa Figur 3 ved Buen MN. OM, = M,M = a, ON, A^.yV = b, M,M OM, A, N,N = ON., = B. Y Af Figuren kan det skonnes, at der til ethvert y N mellem ^ og 5 svarer ét og kun ét X. Saalaenge y varierer mellem A og B, er X altsaa en bestemt Funktion af y; vi betegne den ved X = cp(y); M den kaldes den omvendte -X Funktion af/(x). Det skonnes ogsaa af Figuren, at x Fig. O M, N, 3.
voxer med voxende y. Da endelig Kurvebuen, som fremstiller y = /(x) i det betragtede Interval, er den samme, som ogsaa fremstiller x = :p (y), saa skonner man, at naar f(x) er kontinuert i Intervallet, saa vil 9 (y) vaere det samme. Dersom man i Stedet for at antage, at y voxer med voxende X, antager, at y aftager fra A til B, naar x voxer fra a til b, saa vil man faa, at -.^ (y) aftager fra b til a, naar y voxer fra B til A. Hvad her er forklaret paa Grundlag af en Figurbetragtning, lader sig bevise ved exakte Raesonnementer; disse medtages dog ikke her. Som Exempler paa omvendte Funktioner skal her ganske kort tales om de omvendte Funktioner af de trigonometriske Funktioner. a) Har man givet X = sin y, saa er x en kontinuert Funktion af y. Naar y voxer fra 2 ^'' ~'~ 2' ^^' ^ "^^^^ ^ 1 til 4 1. For de naevnte Intervaller for x og y existerer der altsaa en omvendt Funktion, som vi betegne ved y = are sin x. Naar x gaar fra 1 til 4 1, vil are sin x voxe fra Ti 7C ^ til 4 o- Foruden den ene Rod y = are sinx i Ligningen X = sin y findes der for enhver Vaerdi af x mellem 1 og 4 1 endnu uendelig mange andre, som bestemmes ved Formlerne are sin x 4 2p7t, Ti are sin x 4 2pn, hvor p kan have alie hele Vaerdier. b) Har man givet X = eos y, saa er x en kontinuert Fnnktion af y. Naar y voxer fra O til TÍ, vil X aftage fra 1 til 1. For de naevnte Intervaller for x ogy existerer der altsaa en omvendt Funktion, som vi betegne ved y ^ are cosx.
9 Naar x aftager fra 1 til ~ 1, vil are eos x voxe fra O til 7t. Foruden den ene Rod )' ^ are eos x i Ligningen X -^^ eos y findes der endnu for ethvert x mellem 1 og 4 1 uendelig mange andre, som bestemmes ved Formlen V = + are eos x 4 2p7t, hvor p kan have alie hele Vaerdier. c) Har man givet -^' -- tgy, saa vil X vaere en kontinuert Funktion af y, naar y ligger mellem 4^ og ^ (disse Graenser undtagne). Naar y voxer fra '" til 4 ^. vil X voxe fra cxj til 4 ^- Der existerer da en omvendt Funktion y = are tgx. Naar x voxer fra 3c til 4 ^^. vil are tgx voxe fra il _' Foruden den ene Rod y = are tgx i Ligningen X = tgy existerer der endnu uendelig mange andre, som fremstilles ved Formlen y = are tgx y pri, hvor p er vilkaarligt helt Tal. d) Har man givet X = coty, saa vil X vaere en kontinuert Funktion af y, naar y ligger mellem O og TI (disse Graenser undtagne). Naar y>oxer fra O til 7c, vil X aftage fra 4 "^ til oo. Der existerer da en omvendt Funktion y = are cotx. Naar x aftager fra 4 '^^ tü ^^i vil are cotx voxe fra O til TT. Foruden den ene Rod y = are cotx i Ligningen X = coty
10 existerer der endnu uendelig mange andre, som fremstilles ved Formlen y = are cotx -\- p-, hvor p er et vilkaarligt helt Tal. De her definerede Funktioner are sinx, are eos x, are tgx, are cot X kaldes med et falles Navn for cirkulcere Funktioner. Om Graensebestemmelser. 7. Grsensevserdier. (Den Fremstilling, som Laerebogerne i Algebra give af Laeren om irrationale Tal, bestemte som Graenser for Raekker af rationale Tilnasrmelsesvajrdier, forudsaettes her bekjendt). Hvis en variabel Storrelse x varierer saaledes, at den naermer sig mere og mere til a (konvergerer mod a), saaledes at den numeriske Vaerdi af x a kan blive og under den fortsatte Variation blive ved at vaere mindre end enhver nok saa Hile given positiv Storrelse s, saa siger man, at x har a til Grcense. Ved /(x) betegnes nu en Funktion af x; det antages, at naar x naermer sig til a, vil /(x) naerme sig til b (konvergere mod b), saaledes at den numeriske Vaerdi af /(x) b kan blive og ved den fortsatte Variation af x blive ved at vaere mindre end enhver nok saa Hile forud opgiven positiv Storrelse o; da siger man, at Grcensen for f{x) er b, naar x naermer sig til a. Dette udtrykkes ogsaa saaledes: Skal Grcensen for f{x) vcere b, naar x ncermer sig til a, saa skal man, naar man vcelger en positiv Storrelse o saa Hile, som man vil, kunne finde en positiv Storrelse e saaledes, at Uligheden.f{x)^b\<o kan tilfredsstilles af alie de Vcerdier af x, for hvilke man har jx a I <. Graensen (limes eller limite) for /(x), naar x naermer sig til a, betegnes ved lim /(x). Betegnelsen x = a kan udelades, hvor det ikke kan misforstaas. Som Graensen her er defineret, er det ligemeget, om
11 X naermer sig til a gjennem Vaerdier, som ere storre end a, eller gjennem Vi^rdier, som ere mindre end a. Der kan imidlertid forekomme Tilfaelde, hvor Iim/(x) faar forskjellige Vaerdier, eftersom x konvergerer mod a fra den ene eller den anden Side. (Se Figur 2 i 4 eller nedenfor Exempel 2). Exempel 1. Naar en Storrelse kan naermes til Nul, saa meget det skal vaere, siges den at vaere uendelig Hile. Den har da Nul til Grcense. To uendelig smaa Storrelser ere ikke uden videre ligestore; x og 2x kunne begge naermes til Nul, saa meget det skal vaere, men deres Forhold er ikke 1. Exempel 2. Naar en Storrelses numeriske Vaerdi voxer ud over alie Graenser, siges den at blive uendelig stor (ex.). To uendelig store Storrelser behove ikke at vaere ligestore. Som Exempel herpaa bemaerkes Folgende: Naar et Tal, som er over 1. oploftes til Potens med ubegrcenset voxende Exponent, vil Potensens Vcerdi voxe ud over alie Grcenser. Lad a vaere et positivt Tal, m et positivt Tal, helt eller be- Hggende mellem to efter hinanden folgende hele Tal, m' < m cm' y \. Da er (I 4 a)" > (1 4 a)"'' > 1 -I- m'a. Dersom m ikke er hel, tages her kun Hensyn til Potensens positive Vaerdi. Formlen viser, at (14<^)"' maa voxe ubegraenset, naar m voxer ubegraenset. Af den beviste Saetning udledes med Lethed: Naar en cegte Brok oploftes til Potens med ubegrcenset voxende Exponent, vil Potensens Vcerdi ncerme sig til Grcensen Nul. Naar 1 y = 1 -x' og X konvergerer mod 1 gjennem Vaerdier, som ere mindre end 1, saa voxer y udover alie Graenser gjennem positive Vaerdier; y siges da at blive 4 o. Naar x konvergerer mod 1 gjennem Vaerdier, som ere storre end 1, saa vil y gjennemlobe negative Vaerdier, sóm i numerisk Henseende voxe over alie Graenser. y siges da at blive oc. Exempel 3. Af Kontinuitetens Definition folger, at dersom /(x) er kontinuert i et vist Interval for x, saa maa man for alie Vaerdier af x i dette Interval have
eller 12 \\m[f{xyh)~f{x)] =0 /! O lim/(x yh)= f{x). Exempel 4. Naar en Funktion /(x) for en endelig Vaerdi a af X bliver uendelig stor, saa er Kontinuitetsbetingelsen ikke opfyldt for x = a; thi /(x4ft)-/(x) naermer sig ikke til Nul, naar x naermer sig til a. Hvor Hile man ogsaa vaelger den numeriske Vaerdi af h, vil ovennaevnte Differens altid konvergere mod Uendelig, naar x konvergerer mod a. Funktionen siges for x = a at vaere diskontinuert. Exempel 5. Naar Vaerdien af en Funktion f. Ex. for voxende x stadig voxer (eller aftager), men dog stadig bliver under en vis Storrelse b (eller over deime Storrelse), saa vil Vaerdien af Funktionen naerme sig til en Graense, som, hvis den ikke er b, er mindre end b (eller storre end b). Rigtigheden af denne Paastand anses her for at vaere umiddelbart indlysende. Exempel 6. Summen 2 2' 2' 2" voxer stadig, naar n voxer. 5 naermer sig under denne Vaext til Graensen 1, Thi 1-5= ' 2" kan blive mindre end enhver nok saa Hile Storrelse, blot ved at gjore n stor nok. Exempel 7. Vaerdien af Funktionen sin X y = X kan for X = O ikke findes ved Indsaettelsen af x = O i Funktionens Udtryk; thi Indsaettelsen forer kun til Ubestemtheden Q- D^rimod kan man finde den Graense, hvortil sin X X naermer sig, naar x naermer sig til Nul. Man har for smaa positive Vaerdier af x
Heraf folger Differensen x(l- smx<x 13 tgx, xcosx <,, sin X.^ X, 1-2sin-^ X) <-sinx X- sm X ~> '' X sin.v X 0-z- 1- - X <2 sm X X kan altsaa naermes tü Nul, saa meget det skal vaere, blot ved at gjore x Hile nok. Altsaa er,. sinx Hm = 1. X Exempel 8. Vaerdien af X- a- V = - X a kan for x = d ikke findes ved umiddelbar Indsaettelse af X = a i Udtrykket for y. Derimod kan man finde den Graense, hvortil y naermer sig, naar x naermer sig til a. Saalaenge X blot naermer sig til a uden at vaere a, har man X- a- X a = X -h a Da nu X- a- og X y a X a " folges ad i Vaerdi, medens x naermer sig til a, saa vil X- a- X a naerme sig 2a ligesom x4a; altsaa lim ^'j^4: ^ 2a. x = a X a Dette Exempel giver Anledning til folgende Bemaerkning, hvis Rigtighed er indlysende: Naar to Funktioner af x hele Tiden ere ligestore, medens x mere og mere ncermer sig til en bestemt Vcerdi, og den ene Funktion ncermer sig til en
14 bestemt Grcense, saa maa den anden Funktion ncerme sig til den samme Grcense. Graensen for P^ ^ ( \ y Uendelig. Denne Graense findes saaledes. Naar m er et positivt helt Tal, har man j. naar m voxer mod P - 1 j_"^ ' m_(m 1) 1 " ~ ^ 1 'm^ 1.2 'm^^ m{m l)(m 2) (m nyi) 1 + 1.2.3:7:«m"^^ Leddene i denne Raekke kaldes u^, u^, u., u «,. Da er 1-1 I, m «= 1, «1 == 1, «2 = j 2"""" Endvidere er i-a)(,_2v..y,_4"i " m / V m,/ V m 1.2 rz _ rn u "" + ' - "" 7z 44 "^ rítt' 1 _ " 1 _ "LÍ^^ _ m m 1 1 ^"+^-«" n-q_-4-- + 2 <""-ntt'"42<^""v«44 Derved bliver, 1 m n.ny 1 «n 4 "n + 1 4 «n -f 2 4 Wm indesluttet mellem Graenser paa folgende Maade: zí < w 4 ü + 1 4... u < «( 1 ^ L y 1 /i4 1 ' («41)' 4 -^- («4 1)"-
" i - ' «41 Altsaa kan man stefte " -0-1-:)-,,,i,- -M U I-1 ^ "n 4 «n -M 4 «n, ==«,,(^14^ hvor o<e<i. Lader man nu m voxe mod Uendelig, og antager man, at man derved faar Hm e = O', 0< H' < 1, saa er HmP,.= l4!4,^4rk4---4 ' 1 ' 1.2 ' 1.2.3 ' ' 1.2.3...n y-^ ''. 1.2.3...n n Graensen for P^ er altsaa en endelig Storrelse. Naar man tilnaermelsesvis saetter hm Pn, = 1 4 j- 4 ^72 + r2t3 ^ 1. 2.3....ñ' saa bliver den derved begaaede Fejl mindre end 1 1 1.2.3...n n Fejlen kan ved at gjore n tilstraekkelig stor blive mindre end enhver nok saa Hile Storrelse. Vi vedtage at saette lim Pm = e. Hvis m vel er positiv, men ikke hel, som det her er forudsat, saa maa dog m ligge mellem to hele Tal p ogjd4 1- Da har man
16 Lader man nu p og m voxe ud over alie Graenser, saa faar man lim(l4j=^^ Lader man nu m gaa mod Uendelig gjennem negative Vaerdier, kan man saette m = [x. Derved faar man 1 \- / J^'-iV- ( v- V ( +:r-('4-/-(.-. Naar \i. voxer mod Uendelig, faar man ogsaa her Graensen e. Man har altsaa i alie Tilfaelde 7 1X" lim 14 J -e. 9. Tallet e er et irrationalt Tal. Thi antager man e=p-, Q hvor p og q ere hele Tal, kan man s^tte P^iy'-y ' y ' y...-±- y-^-- L ^ ^1^1.2^1.2.3^ 1.2.3...<?^1.2.3...g q hvor 0<e"< 1. MultipHcerer man her paa begge Sider af Lighedstegnet med \.2.3...q, faar man helt Tal = helt Tal 4 -, Q hvilket er umuligt, saa at e ikke kan vaere rationalt. 10. Tilnsermet Beregning af e. e onskes beregnet saaledes, at Fejlen er mindre end T-=-- I det i 8 angivne Tilnaermelsesudtryk for e prover man at saette «= 5. Da faar man ^ "^ 1 + 1.2+ 1. 2. 3 + 1.2.3. 4 + 1 :2. 3.4. 5
17 Den i dette Udtryk indeholdte Fejl er mindre end 1 1 1.1 1.2.3.4.54 600 ^ 500 Nagr man forvandler Leddene i ovenstaaende Tilnaermelsesudtryk til Decimalbrok med tre Decimaler (for de tre sidste Leds Vedkommende uden Forhojelse af sidste Decimal), saa faar man e = 1414 0,500 4 0,166 4 0,041 4 0,008 = 2,715. I hver isaer af de sidste Decimalbroker er der en Fejl mindre end en Tusindedel; alie tre Broker ere for smaa; den samlede Fejl paa e er da mindre end 3 1 _ 5 J 1000 + 500 -~ 1000^ 10'' e er da storre end 2,715 og mindre end 2,720. Medtager man flere Led i Udtrykkeí for e, faar man storre Nojagtighed; med 9 rigtige Decimaler har man e = 2,718281828. 11. Naturlige Logarithmer. Tallet e benyttes som Grundtal for de saakaldte naturlige [Neperske] Logarithmer. BetegneJsen for den naturlige Logarithme af x er 1.x. Man har da \.x X = e. Tager man her paa begge Sider af Lighedstegnet den Briggiske Logarithme (log), saa faar man 1.x = 1^^loge Saetter man x = 10, faar man logg.l. 10 = 1, saa at den foregaaende Ligning ogsaa kan skrives, 1.x 10gX = jyq- Disse Formler vise Overgang^en fra Briggiske Logarithmer til naturlige eller omvendt. Man har \oge = 0,43429,. = 1. 10 = 2,30259. ^ logí Lserebog i Differential- og Integralregning. 2
12. Forskjellige Grsensebestemmelser. Graensebestemmelse forer let til andre. 1 Den i 8 foretagne 1) iiml-(^+'^-^= liml.(14s)' = liml.(l4^ = l.e = 1. 2),. a 1 hm ^^- 9=0 ^ findes ved at saette. 9, ~ n MI 4 3). 9 1 ; hm - = Hm.,,,.,^-1. a = 1.a. B = o ^ 5^oMl4o) For a = e faar man 9. lim --- = 1. Ifolge 1) og 2) faar man nu ' i '^ ".0 I^UI+S) í,. (l4s)''-l hm ^ - -í = [X. 13. Lseressetning om Forholdet mellem to uendelig smaa Storrelser. Grcensen for Forholdet mellem to uendelig smaa Storrelser forandres ikke, naar man erstatter Storrelserne ved andre, hvis Grcenseforhold til de forste ere I. Fire Storrelser a, a', 3, ' {Funktioner af en Variabel x) antages, naar x konvergerer mod en vis Storrelse a, at blive uendelig smaa. Det skal vaere givet, at Variationen medforer, at Da kan man bevise, at lim -, == 1, Hm ' =: 1. lim r, = Hm 4
Man har Heraf folger 19 oc a a' [i' i ~ a'' P' ' [i ' lim lim,-lim í^, Hm ';' -- lim %,> fs a p 'fi p' hvilket skulde bevises. Exempel. Man soger sin3x Hm.. A- = o sm 5x Man har ifolge 7 Ex. 7,. sinx,,. sin3x,,. sin 5x Hm = 1, hm., -= 1, hm = == 1. X 3x 5x Ifolge den nys beviste Saetning kan man da saette,. sin3x,. 3x 3 hm -^^- = Hm ^ = _ sm 5x 5x 5 14. Laeresaetning om en Sum af uendelig mange, uendelig smaa Sterrelser. Man har givet to Rcekker af positive Storrelser ^11 ^2' ^. j... ^n I Pl, P.., P,,... 3n- Alie Storrelserne afhcenge af n og blive uendelig smaa, naar n voxer mod Uendelig. Endvidere ved man, at lim (a, ya., 4a3 4...a ) er lig en endelig Storrelse S, samt at Hm'^"- = 1, r = \,2,...n. Pr Da kan man bevise, at Grcensesummen iim{^,yp.,yp,y...p ) n-=cd Ogsaa er lig S. Det storste og det mindste af Forholdene «j «2 «3 «n kaldes Ps ^ K
Da har man som bekjendt 20 OÍS a,., y a.., y a..^ <y. ^ x^ Gaar man nu til Graensen, idet n voxer mod Uendelig, saa er ifolge de i Saetningen givne Betingelser Hm ^ ---= Hm =1. I^s Pm Deraf folger da lim(aj 4 a, 4a3 4...a ) = lim (,4 4 fá^ 4 ^3 4... pn), hvilket skulde bevises. Inden man er gaaet til Graensen, ere de to Summer ikke ligestore. Forskjellen mellem dem betegnes ved e. Da er (a, y a, -f- «3 4... «4 = (^, 4 p,_ 4,334... 4 B4 4 s. Da nu lim («1 4 a, 4^3 4... a ) = lim(p,4p2 4 13, 4?"), saa maa z blive Nui i Graensen. Som Exempel paa Anvendelse af den beviste Saetning soges her Graensen for Summen ' 4 '- 4 ' +...- " (1) rt- 4 l ^ tt- 4 2 ^ «2 4 3 n-yn ^ ' naar n voxer mod Uendelig. Den forelagte Sum sammenlignes med Summen ' + ^ 4 ^ 4 " (2) n' + n'^n'^----n' ^ ' Graensen for Forholdet mellem to ensstaaende Led i de to Raekker er 1; Graensen for Summen (2) er endelig, nemlig lig med 1 + 1,. n(ny\),. ^n 1 Hm -^^, = Hm -^- = ^ Af den beviste Saetning folger da, at Graensen for Summen af Raekken (1) ogsaa maa vaere _ 15. Uendelig smaa Sterrelser af forskellige Ordner. Hvis p og a ere to af x afhaengige Storrelser, som, naar x naermer sig til en vis Vaerdi a, begge blive saaledes uendelig smaa, at
21 lim '^ ^--- b, a'" hvor b er endelig og forskjellig fra Nul, medens m er et positivt Tal, saa siges [i at vcere uendelig Hile af Ordnen m i Forhold til a betragiet som vo'rende af forste Orden. Inden man er gaaet til Graensen, maa man have a"' ' hvor E bliver Nul i Graensen. Formlen p = a [b y e) angiver da den almindelige Form for en Storrelse, som bliver uendelig Hile af m*^ Orden, naar a er uendelig Hile af forste Orden, og b er endelig og forskjellig fra Nul. Er y en Storrelse, som bliver uendelig Hile af hojere Orden end m, I Ex. af Ordnen m4 1, maa y have Formen T = a" + '(^i4 i)- hvor b.^ er endelig og forskjellig fra Nul, medens z, er Nul i Graensen. Man har da lim T- = lim a ^-f4"---- = 0. p b y Grcensen for Forholdet mellem to uendelig smaa Storrelser forandres ikke, naar man til hver af dem adderer en uendelig Hile Storrelse af hojere Orden. Rigtigheden af denne Saetning indses ved Betragtning af folgende Formler. y. 4 a,. a hm 7-14" a "y+f.. a = hm,^ P naar a er af hojere Orden end a, í' af hojere Orden end [i. Exempel 1. Naar x er uendelig Hile af forste Orden, ere sinx og tgx ogsaa uendelig smaa af forste Orden, fordi,. sinx,,. tgx Hm =1, Hm - = 1. A- = o ^ X I cosx bliver derimod uendelig Hile af anden Orden, fordi 2sin%x,,. 1 cosx,. " I hm ;, = Hm.r = 0 X- X-
22 Derfor bliver ogsaa,. sin X-k 1 eos X,. sinx lim ~.. = hm,:.. tgx 4^^'.v = o tgx Exempel 2 I ah- a + a-- 1, - a,,:. I 1 4 «^ 1 ^ üm ' = ' hm ' ala ' = rj. Hm = o a a=o ''i4a4i 2
DIFFERENTIALREGNING. Differentiation af explicite givne Funktioner af én Variabel, 16. Den añedede Funktion. Har man givet y = Ax), og giver man x Tilvaexten h, saa faar y samtidig Tilvaexten k=f{xyh)-f{x). Vi forudsaette Funktionen /(x) kontinuert. Graensen for Forholdet mellem k og h, naar de begge samtidig konvergere mod Nul, det vil sige lim-^ = lim^j^^l=/(-), h = o h k = o h bliver i Almindelighed én af x afhaengig Funktion, som selvfolgelig bliver en ny, hver Gang /(x) forandres til en ny Funktion. Denne Funktion eller dette Graenseforhold betegnes ved y' eller /'(x) og kaldes for den afledede Funktion af f{x). Den afledede Funktion af en given Funktion er altsaa Grcensen for Forholdet mellem de samiidige, samtidig forsvindende Tilvcexter til Funktionen og dens uafhcengige Variable. I Almindelighed er det ligegyldigt, om h gaar til Graensen gjennem positive eller negative Vaerdier, d. v. s., i Almindelighed har man
24. f.,. y f{xyh)--f{x).. f(x-~h)^-f{x) y'.= f (x) ==- hm -^ ^ -'- ' '^ ' = Hm-^ _f, Forsaavidt dette er Tilfaeldet, kaldes den afledede Funktion bestemt. Hvor ikke det Modsatte siges, forudsaettes det altid i det Folgende, at enhver forekommende afledet Funktion er bestemt". De Funktioner, vi faa med at gjore i det Folgende, ere alie af den Beskaffenhed, at Graensebestemmelsen,,,,. f{xyh) f{x) y =/(^) = lim h forer til en afledet Funktion /'(x), som, naar enkelte Vaerdier af X undtages, har en endelig og bestemt Vaerdi. Dette vil sige, vi.betragte kun Funktioner, som have en afledet Funktion. Det er lykkedes i den nyere Tid at fremstille Funktioner, som ingen afledet Funktion have. Saadanne Funktioner lades her ude af Betragtningen. 17. Geometrisk Betydning af den afledede Funktion. Fremstilles y = /(x) grafisk ved en Kurve i et retvinklet Koordinatsystem, da er f{xyh)~f{x) h Tangens af den Vinkel, som Korden gjennem Punkterne [X, /(x)] og [x 4 h, f{x y h)] danner med Abscisseaxen. Naar h konvergerer mod Nul, bliver Korden Tangent i Punktet [x,/(x)]. Altsaa har man: Vaerdien af y' eller f'{x) er lig Tangens af den Vinkel, som Tangenten til Kurven y = f{x) i Punktet (x, y) danner med Abscisseaxen. Da Tangenten i Almindelighed bliver den samme, enten det Nabopunkt [x 4 h, f{x y h)], gjennem hvilket man drager Korden, vaelges tilhojre eller tilvenstre for (x,y), saa bliver ogsaa den afledede Funktion i Almindelighed den samme, enten man gaar til Graínsen gjennem positive eller negative V^rdier af h. Har Kurven imidlertid i det paagjaeldende Punkt et skarpt Hjorne, saaledes som Tilfaeldet er med Kurven
25 y ~- 1 1-2^ i Begyndelsespunktet, saa faar man forskjellige Resultater, eftersom man fuldbyrder Graenseovergangen paa den ene eller den anden Maade. Tangens af den Vinkel, som denne Kurves Tangent i Begyndelsespunktet danner med x-axen, er y 1 lim = lim '^'" ^^^%4 2^ Eftersom man her gaar til Graensen gjennem positive eller gjennem negative Vaerdier af x, faar man henholdsvis Resultaterne O eller 1, saa at Kurven i Begyndelsespunktet har to Tangenter. 18. Differential og DiflFerentialkvotient. Da man har X hni^=y, saa har man, inden man gaar til Graensen, k h = y+'' hvor e konvergerer mod Nul samtidig med h. Vi forudsaette y' endelig og skrive k = y' hy th. Tilvaexten k til Funktionen bestaar af to Dele y'h og eh, Den forste Del y' h kaldes Differentialet af y og betegnes ved dy = y' h. Differentialet af y er altsaa lig med den afledede Funktion af y, multipliceret med Tilvcexten til x. Dersom Funktionen er selve Storrelsen x, saa er dennes afledede Funktion,. X 4 ^ X. Hm ^^-^ = I, og Differentialet af x er dx ^ h er Differentialet af x. Da nu 1. /i;
26 dy, dx^ ^' saa er den afledede Funktion af en given Funktion [y = f{x)] lig med Kvotienten af Differentialerne af den afhcengige og den uafhcengige Variable. Den afledede Funktion kaldes derfor ogsaa Dijferentialkvotienten af y med ^ Hensyn til x. At beregne en Differentialkvotient eller et Differential y^ kaldes at differentiere. f Differentialet dy kan grafisk fremñ stilles paa folgende Maade. Man tegner Kurven -"^ y=fix), p g 4 og man tegner Tangenten til Kurven gjennem Punktet (x, y) eller M. Et Nabopunkt paa Kurven til M kaldes M,. Abscissen til TWj kaldes x 4 ft. Ordinaten til M, skaerer Tangenten ti\ M i M^. En Linie gjennem M parallel med x-axen skaerer M^'s Ordinat i M'. Da er Tilvaexten k til Ordinaten ved Overgang fra M til M, bestemt ved k = M'M,. Endvidere er M'M., =y'h = dy. Altsaa er k~y'h = e/i = M^M, Da nu lim -^ = 0, h saa maa zh for et uendelig Hile h vaere uendelig Hile af hojere Orden end h (se 15). Forholdet mellem k og dy, nemlig - dy = 14- ^y" vil, naar y' ikke netop er Nul, i Graensen blive 1. Deraf sluttes ifolge 13: Dersom k indgaar som Tceller eller Ncevner i et Forhold mellem to uendelig smaa Storrelser, saa kan k erstattes ved dy, saafremt blot ikke y' = 0. Det, som her sker, idet man erstatter k ved dy, kan, idet h betragtes som uendelig Hile af forste Orden, ogsaa siges saaledes: Man setter Funktionens Tilvcext k lig med dy, idet man ser bort
fra en Storrelse zh, som er uendelig Hile af hojere end forste Orden, k og dy ere for endelige Vaerdier af h ikke ligestore, undtagen naar V ax \-b; thi da er I Kvotienten,. a(xyh)yb ax b V = Hm -, =^ a, h dy --= ah, k =^ ah. dy dx ' y' h h gaar h ud ved Forkortning; det er her ligegyldigt, om h er endelig eller uendelig Hile. Det samme gjaelder i alie Ligninger, som ere homogene med Hensyn til dy og dx. Differentialerne ere her naermest betragtede som endelige Storrelser. I nogle Anvendelser kan det imidlertid ske, at man nodes til at lade h konvergere mod Nul, hvorved dy da bliver uendelig lihe. 19. Differentialkvotienterne af de simpleste Funktioner. 1) For Funktionen faar man dy dx k h y = X -x" lim(^ + '^^"- h = x"' Ifolge 12 ') faar man nu dy "-' y = mx dx Dette Resultat gjaelder ifolge Afledningsmaaden for alie reelle Vaerdier af m. 2) For Funktionen y = a'' faar man dy,. k,. a' + ^^a'',,. a"^ 1 -y ^ hm^ = Hm r = a Hm, dx h h h h X
Ifolge 12 -) faar man nu 28 dy, dx-""^-^- Heraf folger for a = e, at naar y = e\ saa er -^ = >^ dx 3) For Funktionen y = Z.x taar man ^y = y,m^ ^M^l-i^ + h)~l.x 1. ^{^+1) dx "^h ''"" fi =^l Ifolge 12 1) faar man nu dy _ r- r, rfx ~" X ' ror Funktionen y = logx faar man ^-^ = limf = Hn,' g(^±^)-i08^ 1, H^ + í/x h~'"" h ~h h ^'-- - = ^= - lim ^--.--. ^ '^ X /h Da nu ifolge 11 \x saa faar man log(l + -) /^^ =logez.(l-f,..., /., h = ^ -^-^lim':^^l^^_iog. 4) For Funktionen p y = sinx faar man g == Hn, í ^ ],-^ ^n (x^ h 2sin cos(x4 ) sinj I ==Hn, ^Hm^"í-± )^in- ^ ~ = 1 77^ eos (x4
29 Heraf faar man ifolge 7 Exempel 7 5) For Funktionen faar man dv -= cosx. dx y =^ cosx WAI!- ^,/.,- i u\ 2sin--sm x+^ ">' r '^ 1- cos(x4'i) cosx,. 2 \ ' 2 /. ^lim.^hm - ^,' ==lim, d.\ h h h Paa samme Maade som i 4) faar man nu dv,-- = sin X. dx 6) For Funktionen y = tgx faar man sin (x'4 h) sin x ^^ = Hm í ^ lim tg(4+'f)-tg_^ = H^ co^(xtft)^-cosx ttv h h h Heraf folger 7) For Funktionen faar man y = Hm y = lim ax ft Heraf folger = 8) Skal man differentiere,. sm h 1 h eos (x 4 ") eos X dy 1 dx cos x y = cotx eos (x 4 h) cot{xyh) cotx sin(x4ft) h fi,. sin h I h sm(x4")smx dy 1 dx sin^ X y =: are sinx, saa bemaerkes forst, at af den givne Ligning folger sin y = X. cosx sin X
30 Giver man nu x Tilvaexten h, hvorved y faar sin tilsvarende Tilvaext k, saa faar man sin (y 4 /c) = X y h, sin (y 4 ^) sin y = h, 2 sin 2 eos (y y-^) = h, h ~.' k' / '] k sm^ eos (^y 4 2 Da Funktionen are sin x ifolge 6 er kontinuert, maa k konvergere mod Nul samtidig med h, og man faar da dy,. k I I y = Hm T- ==; = _ dx h eos y 4 x- Da Buen y ifolge Definitionen (se 6) ligger i forste positive eller negative Kvadrant, er eos y positiv og positiv. 9) Af Ligningen folger,'l X- y = are eos x eos y = X. Nu giver man x Tilvaexten h, hvorved y faar sin tilsvarende Tilvaext k. Derved faar man cos(y 4fc) = x4 /i, eos (y 4/c) eos y = h, 2sin 2 sin (^y 4 2) = h, k ^_V2 I h ~. k'\ / ''k sm2 sin (^y 4 2 Da are eos x er en kontinuert Funktion, maa k konvergere mod Nul samtidig med h. Man faar da: dy k 1 1 y = hm ^ =. = "X n sm y i 1 ^2
31 Da Buen y ifolge Definitionen (se 6) ligger mellem O og -, saa er sin y positiv folger 10) Af Ligningen Heraf folger videre = -1-11 -^-"- )' = are tg X tgy - X. tg(.v4fc) =-- xyh, tg(y4fc) tgy =^ h, k k k - = -.,,,,,., -=., eos (y-i-/c) eos y, h tg(y4a:)- tgy sm k v.^ i / j, dy,. k, 1 - ^ hm, -^ cos-y =,, dx h -^ 1 _[_ X- 11) Af y = are cotx folger coty = X, cot (y y k) =^ X y h, cot(y4fc) coty = h, l = -sin/c''"(>' + ^)^'">'' dy,. k.., 1 3- = Hm 7- = sm-y =,,, dx h -^ 1 4 X- De fundne Resultater samles i Tabellen Side 32. 20. DifFerentialkvotienter af nogle sammensatte Funktioner. I det Folgende, hvor der paa flere Steder samtidig skal fores flere Funktioner i Regning, er det bekvemt at indfore folgende Betegnelser. Ved y,u,v,t, betegnes en Raekke Funktioner af x. En Tilvaext til x skal herefter kaldes Ax; de Tilvaexter, som y, u,v,t derved samtidig faa, ville vi kalde áy, \u, Iv, At,
32 Differeniiationstavle I. y dy dx x" mx""'-' a" a" La e' l.x logx sinx e" 1 X loge X cosx cosx tgx cotx are sin x are eos x are tg x are cotx sinx 1 cos^x 1 sin^x 1 ]/\-~x^ 1 j/1 x^ 1 T^~ x' 1 1 4 X-
Differentialkvotienterne af y, u, V. t, med Hensyn til x forudsaettes at have endelige og bestemte Vaerdier. Disse Differentialkvotienter blive da nu at betegne ved dv ly du,. \u dv,. Ai' dt,. Ai -= Hm - = Hm =r. hm.,, -.-- im, d-\ A.\ d\ Ax dx Ax dx Ax 1) Er y en Konstant, kan den slet ikke variere, fordi x faar Tilvaexten Ax; da er M' = O, ^' - O, í' -= 0. Ax dx DifferentialkvoHenten af en Konstant er lig Nul. 2) Er y = au, hvor a er konstant, medens u er en Funktion af x, saa faar man, naar.v faar Tilvaexten AX, y 4 Ay = a{uy AU), \y = a \u, AV -^ = a ; AX AX naar man nu lader AX og dermed ogsaa Ay og AU naerme sig til Nul, saa faar man dy du dx dx Differentialkvatienten af en Konstant multipliceret med en Funktion er lig Konstanten multipliceret med Funktionens Differentialkvotient. 3) Er y = u 4^^' hvor u og V ere Funktioner af x, saa faar man, naar x faar Tilvaexten AX, y 4 Ay = uy Auyv y AV, Ay =z AU 4 AV, Ay AU AV AX AX AX Ved at gaa til Gr^nsen, idet AX, Ay, AU, AV alie blive uendelig smaa, faar man heraf Lasrebog i Differential- og Integralregning. 3 AU
34 dy du dv dx dx dx Den heri indeholdte Saetning udvides let til at gjaelde for enhver flerleddet Storrelse med et endehgt Antal af Led. Dijferentialkvotienten af en flerleddet Storrelse erholdes, naar de enkelte Led erstattes af deres Differentialkvotienter. 4) Er y = uv, hvor u og V ere Funktioner af x, faar man ved at lade x faa Tilvsxten./x, y y jy = [u y ju) (v y Jv) = uv y vju y ujv y JUJV, jy =z VJU y ujv y jujv, jy./u, jv, jujv == V - 4 u -1 Jx..IX JX Jx JX JX I Graensen, naar Jx, jy, ju, jv alie konvergere mod Nul, har man dy '^^, (^'^ dx " dx ' dx Differentialkvatienten af et Produkt paa to Faktorer er lig Produktet af den ene Faktor og den anden Faktors Differentialkvotient plus Produktet af den anden Faktor og den forstes Differentialkvotient. Er y et Produkt af tre Faktorer, som alie ere Funktioner af X, f Ex. saa kan man skrive y = uvw, y = u{vw), dy du, dívw) dx dx dx dy du, dw, dv dx^^'^dx + ^^dx+^^dx- Den i denne Formel indeholdte Saetning udvides let til at gjaelde for et Produkt, som indeholder et vilkaarligt endeligt Antal af Faktorer. 5) Er u y -= 77'
35 hvor u og V ere Funkhoner af x, saa faar man ved at give X Tilvaexten /x u y. lu V y JV Gaar man mod Nul, faar. /y --./y _ IX uy.!'4- Ju V.IX v(v til Graensen, man lu IV u V viu U. IV ~ v(v 4-/4' Jv u IX 'y IV)' idet alie Tilvaexterne konvergere du dv dy dx dx dx V- Differentialkvotienten af en Brok faas, naar man multiplicerer Ncevneren med Differentialkvotienten af Tcelleren, derfra subtraherer Tcelleren multipliceret med Differentialkvotienten af Ncevneren og endelig dividerer den fundne Differens med Ncevnerens Kvadrat. 6) Naar y er en Funktion af u, y = T(«), og u er en Funktion af x, «=/(x), altsaa y = -Hfix)), saa kan Differentialkvotienten af y med Hensyn til x findes saaledes. Man giver x Tilvaexten jx; derved faar u Tilvaexten Ju, og endelig faar y sin derved bestemte Tilvaext jy. Man har da jy _ Jy Ju JX Ju JX Gaar man nu til Graensen, idet alie Tilvaexterne konvergere mod Nul, saa faar man eller dy dx ' = dy du du dx','{u).f'ix).
36 -^ betegner her Differentialkvotienten af y med Hensyn til du ^ u, som om denne Storrelse var uafhaengig Variabel. Differentialkvotienten af en Funktion af en anden Funktion er Produktet af den forste Funktions Differentialkvotient med Hensyn til den anden og den anden Funktions Differentialkvotient med Hensyn til den uafhcengige Variable. Man differentierer y med Hensyn til x igjennem «". I Formlen dy dy du dx du dx er ^^ = cp' (ií), dy = cp' (lí) du. Storrelsen af du i Kvotienten dy du er ganske ligegyldig (se Slutningen af 18). Paa samme Maade er ^ =/'(x), du =f{x)dx. Storrelsen af dx i Kvotienten du dx er ganske ligegyldig. De to Storrelser du i Formlen for dy dx behove ikke at vaere ligestore; det samme gjaelder de to Storrelser dx og de to Storrelser dy. Som forste Exempel paa Anvendelse af den beviste Saetning maerkes y = u-, hvor m er konstant. Ifolge Differentiationstavlen har man altsaa L=.mu-\ du dx dx Som andet Exempel maerkes det Tilfaelde, hvor man har y = v\ hvor ü og j^ ere Funktioner af x. Differentialkvotienten af y
37 kan findes, efter at man forst har taget Logarithmen paa begge Sider af Lighedstegnet. / V = ;;/.! Vi differentiere nu og anvende deis den nys beviste Saetning, deis 4), deis 19 3). Da faar man 1 dv u dv,, da y dx )' dx ' dx dv ^,dv,, du dx dx ' dx Som tredie Exempel maerkes folgende Tilfaelde. Naar Ligningen y - f(x) differentieres med Hensyn til x som uafhaengig Variabel, faar man dx - f (-^")- Da X imidlertid omvendt paa visse Betingelser (se 6) kan betragtes som Funktion af y, kan man ogsaa differentiere paa begge Sider af Ligningen med Hensyn til y som uafhaengig Variabel. Da faar man Af de to sidste Formler udledes dx 1 dy /dy^ \dx' 7) Dersom y =f{u), u = -\v), V = 'i(x), saa at y = flf{^{x))], saa kan denne Funktion differentieres saaledes. Man giver X Tilvaexten Jx; derved faa v, u, y Tilvaexterne Jv, Ju, Jy. Da er: Jy _ Jy Ju JV JX ^ Yu JV JX Gaar man til Graensen, idet alie Storrelserne Jy, Ju, Jv, JX konvergere mod Nul, saa faar man dy dy du dv dx du dv dx
38 f^=f'{u).r^'iv).'y{x). Den i denne Formel fremstillede Saetning kan let udvides til mere sammensatte Tilfaelde. I den folgende Tabel (Side 39) samles en Raekke af de i denne Paragraf beviste Formler. Dog bemaerkes, at Formlerne i Tavlens naestsidste og tredie sidste Linie forst blive beviste senere. Funkiion. r-^ 4x» 6X-4 1 (5x41)4x^ 4)8 2x 3 2x y 3 1 a^ X- X- 4 ax 4 1=^ X- ax 4 fc- (, a ybx y cx- X 1 a-'yx-' (x8 3x'^4 6x 6) e^ (eos X 4 sin x) eos X sin X e'-^e'' e^4e'-^ y'x í; 4 /x a 1 X b ]'x a l.tgx 1. eos [{a y bx)-] 21. 0velsesexempler. DifferentíaIkvotien t. 4x8 12x2 12x (5x41 Y' (X- 4)- (50x^46x^-80) 12 (2x4"3)2 2x (a^ X-)- 2a(x2 &2) (x" ax4fc^)- &42cx 2 \'a44444x- a- ( /a2"4 xy e'x' e' (2 -f eos 2x) 1 sin 2x 4 {e^ye-y- I \'{x~a){x b) 2 sin2x 2b (a ybx) tg [(a ybx)-'] (Fortssettes paa Side 40)
39 Différentiationstavle II. ' \ dy dx dy c 0 0 au du dx adu uyv du dx dv dx duy dv uv dv dx du dx udv y vdu u V du dx V- dv dx vdu udv y2?(«) íí v" r^{u),u = ']^{v),, du '^ (") dx mu-'-^p dx u-idv, n, du ""^ Tx + '' ' ''dx 4(«)'f(^) cp' (u) du mu"'~' du uv^'^dvyv^l.vdu f' (u) <y (v) dv f{u, v) f{u,v,z) dy du dy dv ~dñdx^ dv dx dydu dydv dydz dudx^ dvdx dzdx dx 1 y-duy-ydv du dv ^duy%vypdz du dv dz \dx)
Funktion i.(xyy\yx^) tg-^ X -3 tgx4x 1 are sin > x > 1 X 1 are sin - >.r < 1 X (a^'4x^')arctg^ 2x arctg^., ^1 X- 40 DijferentialliVoU ( /;/ 1 1 -'1 4x= -1 X l'x^ 1 1 X 1 X---f a y tg^x X 2 X are tg a 2 r4x- 22. Lseresaetninger om Forbindelsen mellem en Funktion og dens Differentialkvotient, Laeressetning I. Dersom en Funktion f(x) for alie Vcerdier af X mellem x = a og x = b har en endelig Differentialkvotient, saa er f{x) kontinuert i det ncevnte Interval. Thi naar limí(^^+it/w=/'(x) er endelig, saa maa nodvendigvis f(xyh)-f{x) konvergere mod Nul med h, og dette vil sige, at Funktionen er kontinuert. Lseresaetning II. En Funktion f{x) antages kontinuert for alie Vcerdier af x mellem x = a og x = fc. Det antages, at f{x) er Nul for x = a og for x ^=^ b, samt at f{x) har en bestemt Differentialkvotient for alie Vcerdier af X indenfor Intervallet. Der maa da mellem x =^ a og x = b vcere mindst én Vcerdi af x, som bevirker, at Differentialkvotienten bliver Nul. (Rolles Theorem). Dersom Funktionen er Nul for alie Vaerdier af x mellem a og fc, gjaelder Saetningen for alie disse Vaerdier. Er Funktionen ikke Nul til Stadighed, saa maa den begynde med at
41 voxe med voxende.v eller begynde med at aftage med voxende x; men denne Voxen eller denne Aftagen kan ikke blive ved i hele Intervallet, da Funktionen skal blive Nul igjen ved x := b. Der maa da vaere ét Sted i det mindste (X -=- :), hvor Funktionens Vaext gaar over til en Añagen eller omvendt, saa at /(c) er storre end eller mindre end Nabovaerdierne paa begge Sider, f. Ex. /(;^--/i) </(;),/(; 4 íi)</(?), hvor h er en Hile positiv Storrelse. Da er /(;-ft)-f(;) f(íyh) --/( ) ^. -^ i ^ ' h ^ Den forste positive Brok og den sidste negative Brok skulle i Graensen, hvor h bliver Nul, modes i den samme Vaerdi /' (:), da /(x) har en bestemt Differentialkvotient. Derfor maa man have f(c)=0, hvüket skulde bevises. Exempler. 1 Funktionen y = (X a)(x p) er Nul for x ^ a og for x =,3. Differeníialkvotienten dy dx = 2x-(.4P) bliver Nul for som ligger mellem a 2. Funktionen bliver Nul for x =: a er for er er uendelig stor for X = 0. 3" Funktionen Nul for X = 2- X = og,3. ^(^4,3), y = 1 "a- X- og for X == a. dy X dx ]/a^ x'^ X ^= -- a og for Differentialkvotienten X = 4 <^> rn^n Nul y -- = sinx Nul for X = 0 og for x =; -Ti. DifferentialkvoHenten dy ^ cosx dx
42 4", Saetningen kan ikke anvendes paa Funktionen 1 y =, ^ X som er Nul for X = 3o og for X = y ^\ thi Funktionen er diskontinuert for x = 0. 5". Sstningen kan ikke anvendes paa Funktionen 1 2,J! y = (a. X3)2, som er Nul for x = a og for x = a; thi Differentialkvotienten dy _ (as x'-'i-i naermer sig til oc, naar x konvergerer mod Nul gjennem positive Vaerdier, men derimod til -f oc, naar x konvergerer mod Nul gjennem negative Vaerdier. Lseresaetning III. /(x) antages at vcere en Funktion, som er kontinuert for alie Vcerdier af x mellem to givne Grcenser, og som for alie disse Vcerdier af x har en bestemt Differentialkvotient. x^ og X antages at vcere to Vcerdier af X mellem Grcenserne. Da maa Vcerdien af Kvotienten f_ix±-^{y) " "X-x kunne skrives som fix,), hvor Xj er en Vcerdi af x mellem Xg og X. Ifolge Forudsaetningen har f{x)-f{x,) X^x^ en endelig Vaerdi; kaldes denne A, har man f{x)^ax^{f{x,)^ax,) =0. Betegner man nu ved %{x) en Funktion, som defineres ved Ligningen ^í(x) =/(x)-/lx-(/(xj-/lx4, saa er 'í(x4=.o, ^yx) = o. Funktionen cp(x) forsvinder altsaa for x = x^ og for x = X; <p(x) er ifolge sin Definition kontinuert, og desuden har den en bestemt Differentialkvotient for alie Vaerdier af x mellem x = X(, og x = X; thi 'í'(x)=/'(x)-/l.
43 v4x) tilfredsstiller altsaa alie de i II stillede Bedngelser, og altsaa maa y'(x) blive Nul for en vis Vaerdi x, af x mellem x og -V. Man har da r(-vi)-^, eller f(x) -f{xj_ ^_;:^^^- - - / ( A, ), hvilket skulde bevises. Saetter man A' -^ x y h, saa kan Storrelsen x^, som ligger mellem x^, og x -f ft betegnes ved x 4f)/z, hvor f) er en positiv aegte Brok. Den fundne Formel kan da skrives fix,yh)~f(x,) = hf'{x,ytíh). Den geometriske Betydning af denne Saetning er, at naar man tegner Kurven y=f{x), saa vil der mellem de to Punkter A og B, {x^,f{xy) og (Xj 4 h,f{xg y /;)), vaere et Punkt C med Abscisse Xg y Qh, hvor Tangenten er parallel med Korden AB. Lseresaetning IV. Naar en Funktion f{x) for alie Vcerdier af X indenfor et vist Interval har en bestemt Differentialkvotient, som for alie de ncévnte Vcerdier er Nul, saa er Funktionen i det ncevnte Interval konstant. Den her givne Funktion tüfredsstiller Betingelserne i Saetning III. Dersom derfor x^ og x ~f h ere vilkaarlige Vaerdier af x indenfor Intervallet, saa har man /(x,4/i)-/(x ) = /i/'(x 4e/i). Den hojre Side af denne Ligning er efter Antagelsen Nul. Derfor er f[x,yk) = f{x,), o: f{x) har i Intervallet en konstant Vaerdi. Lseressetning V. Dersom to Funktioner u og v af x for alie Vcerdier af x indenfor et bestemt Interval have bestemte ligestore Differentialkvotienter (eller ligestore Differentialer), saa er Forskjellen mellem u og v konstant for alie Vcerdier af X indenfor Intervallet. Er du dv dx dx saa er
altsaa er ifolge IV u^v 44 d{u~-v). dx '^ ' --= en konstant Vaerdi. Lseressetning VI. Dersom en Funktion f{x) er kontinuert og har en bestemt Differentialkvotient for alie Vcerdier af x i et vist Interval, og dersom Vaerdien af Funktionen for alie de nxvnte Vcerdier aj x er voxende med voxende x, saa er Differentialkvotienten i Almindelighed positiv for disse Vcerdier af x, men kan for enkelte af dem vcere Nul. Dersom c er en Vaerdi af x indenfor Intervallet og h en positiv Storrelse, der er valgt saaledes, at ^ /i og ^yh ligge indenfor Intervallet, da er /(^- ft) ~f(c) c O, ty y h) -f{i) > o, ^ m-h)-f(c) Q m±h)-f3) o h ' ' h Disse to Broker skulle ifolge Forudsaetningen naerme sig til samme Graense, naar h konvergerer mod Nul. Graensen maa ifolge de ovenfor staaende Uligheder vaere positiv eher Nul. Nul kan Differentialkvotienten ikke vaere for alie Vaerdier af X i et Interval indenfor det givne; thi da maatte /(x) vaere konstant i dette Underinterval og kunde ikke vaere stadig voxende med voxende x. Differentialkvotienten kan da kun blive Nul for adskilt liggende Vaerdier af x. I Almindelighed maa Differentialkvotienten vaere positiv. Naar Funktionen f{x) aftager med voxende x i et vist Interval og forovrigt opfylder de i den nylig beviste Scetning anforte Betingelser, saa vises paa samme Maade, at Differentialkvotienten f (x) for Vcerdier af x indenfor Intervallet i Almindelighed er negativ, men kan for enkelte Vcerdier af X blive Nul. Man kan omvendt bevise, at hvis en kontinuert Funktion f(x) for alie Vcerdier af x i et vist Interval {fra x = x^ til X = X) har en bestemt og positiv Differentialkvotient som dog paa enkelte Steder kan blive Nul, saa er Funktionen voxende med voxende x. Det antages forst, at Differentialkvotienten ikke er Nul
45 for nogen \'i rdi -at' x i Intervallet. Da har man, naar A' ^-x,, ifolge Saetning 111 for enhver Vierdi x' i Intervallet f(x) - fy) = {X x-)f(x' 4 O (A' -v')) > O, f(x') -f[x,) = y x,,)/' (x -1- ir (X' - x )) > 0: H Og ti' ere positive aegte Broker. Man slutter da: 4.V)>/'(,y)>/(x.,). Hermed er Saetningen bevist for det Tilfaelde, hvor Differentialkvotienten ikke bliver Nul i Intervallet. Dersom Differentialkvotienten er Nul for enkelte Vaerdier af x, í Ex. for X = Xj, X = X.,,, da deler man IntervaHet fra x til X i Underintervaller fra x,, til x^, fra x^ Hl x^, o. s. v. Funktionen er voxende i ethvert af disse Intervaller altsaa ogsaa i hele Intervallet fra Xj, til A'. Dersom den kontinuerte Funktion f{x) i Intervallet fra X = x til X = X har en i Almindelighed negativ Differentialkvotient, medens den nylig beviste Scetnings ovrige Betingelser blive bestaaende, saa er Funktionen aftagende med voxende x. Beviset fores som ovenfor. Exempel. Af 1 3 y = 3 '^" -^ 2 ^' + 2^ + ^ slutter man dy, ^ x^' 3x4 2 = (x l)(x 2). dx Heraf kan man slutte, hvorledes y varierer med voxende x, som det ses i folgende Oversigt. 3c<x<l, -T->0, y voxer med voxende x; 1 <x<2, -7^<0; y aftager med voxende x; x = 2, $' = 0; dx 2<x<oc, -^>0, y voxer med voxende x. dx L^ressetning VIL /(x) og F{x) ere to Funktioner aj x, som for alie Vcerdier af x fra x^x^ til x = X (Grcenserne