Integralregning. Erik Vestergaard

Integrlregning Erik Vestergrd

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen mellem rel og stmfunktion 9 4. Anvendelser f integrlregning 8 Appendiks A 9 Opgver

4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk. Indledning I denne note skl vi kigge på egreet stmfunktion og se, hvordn det giver nledning til en hel ny gren f mtemtikken kldet integrlregning. Endelig skl vi se, hvordn stmfunktioner på forunderlig vis kn ruges til t eregne reler med smt løse en msse komplicerede opgver fr det prktiske liv.. Stmfunktioner At finde en stmfunktion til en funktion f er den omvendte proces f t differentiere en funktion. Stmfunktioner viser sig t hve stor etydning i mtemtikken. Definition (Stmfunktion) Med en stmfunktion til en funktion f menes en funktion F, der hr f som differentilkvotient, ltså: F ( ) = f ( ). Eksempel ) ) c) er stmfunktion til + 7 er også stmfunktion til er stmfunktion til ln( ) = =., fordi ( ), fordi ( 7) + = + =., fordi ( ln( ) ) =. Sætning Ld F være en stmfunktion til funktionen f og ntg t f er defineret i et intervl. D er F( ) + k, hvor k er en vilkårlig konstnt, også en stmfunktion til f, og der findes ikke ndre stmfunktioner til f. Bevis: At F( ) + k også er en stmfunktion til f ses ved t ruge regnereglen for differentition f en sum f to funktioner smt udnytte t differentilkvotienten f en konstnt er lig med : () ( ) F( ) + k = F ( ) + ( k) = f ( ) + = f ( ) Vi mngler t vise, t der ikke findes ndre end dem, hvor mn lægger en konstnt til. Antg t G( ) er en vilkårlig stmfunktion til f. Vi ved ltså t G ( ) = f ( ). For t komme videre udfører vi et lille trick. Vi indfører en hjælpefunktion H, som skl være differensen mellem G og F: H( ) = G( ) F( ). Ld os prøve t differentiere hjælpefunktionen, idet vi udnytter reglen for differentition f en differens f to funktioner: H ( ) = G( ) F( ) = G ( ) F ( ) = f ( ) f ( ) = () ( )

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 5 Differentilkvotienten f H er ltså for lle i intervllet. Det etyder t grfen til H hr en vndret tngent i lle punkter i intervllet. Den eneste funktion, der opfylder denne egensk er en konstnt funktion, som det ses til højre. Slår grfen for H lot den mindste ugt, som vist på figuren til højre, så vil der være et sted hvor tngenten ikke er vndret, i modstrid med det vi ved om H ( ). y y k H( ) k H( ) Duer ikke! Vi hr ltså H( ) = k for en eller nden konstnt k. Ifølge definitionen f hjælpefunktionen hves d G( ) F( ) = k G( ) = F( ) + k. Den vilkårlige stmfunktion viser sig ltså t være på formen F( ) + k, som vi ville vise. Forskellene mellem stmfunktionerne til en funktion f, der er defineret på et intervl, er ltså lot en konstnt. Rent grfisk viser det sig ved t grferne for de forskellige stmfunktioner lot er prllelforskudt i y-ksens retning i forhold til hinnden. Dette er illustreret på figuren nedenfor for to stmfunktioner, F og F. Her er indtegnet tngenterne i tre punkter for t ntyde t stmfunktionerne hr smme tngenthældning i ethvert punkt i intervllet. Det er jo indlysende, eftersom F og F hr smme differentilkvotient, nemlig f! F ( ) F ( ) I opgver liver mn ofte edt om t estemme den stmfunktion, hvis grf går igennem et estemt punkt i koordintsystemet. Vi skl se et eksempel på dette.

6 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Eksempel 4 Bestem den stmfunktion til f ( ) = 5, hvis grf går igennem punktet (,6). Løsning: Først findes en generel stmfunktion. Vi gætter på efterviser det ved t differentiere: ( ) F ( ) = 5+ k = 5+ = 5 F( ) = 5+ k. Vi Vi ser t vi hr fundet den rigtige stmfunktion. Vi skl hve estemt konstnten k, så punktet (,6) ligger på grfen, eller sgt på en nden måde: så F () = 6. Vi indsætter: Dermed er den søgte stmfunktion 5 + k = 6 6 + k = 6 k = F( ) = 5+. At finde stmfunktionen til f ( ) kldes også t integrere f ( ). Selve processen kldes integrtion. Som eksempel får mn, når mn integrerer. Det skrives ofte ved hjælp f et særligt tegn, som ligner et stiliseret S: () = d Mn siger også: integrlet f er. Funktionen under integrltegnet kldes integrnden. Vi hr her t gøre med det såkldte uestemte integrl. Der findes også noget, der hedder et estemt integrl, som vi vil stifte ekendtsk med senere. Det skl lige emærkes, t mn lige så godt kunne hve lgt en konstnt til på højre side i (). Det ville også hve været rigtig ifølge sætning. Når mn udtler sig om uestemte integrler, interesserer mn sig ltså ikke for eventuelle konstnter, der er lgt til. Mens det t estemme differentilkvotienten til en funktion er forholdsvist let, så er det ofte meget kompliceret t estemme integrlet eller en stmfunktion til en given funktion. Der findes funktioner, hvor mn ikke en gng kn udtrykke integrlet ved hjælp f de sædvnlige mtemtiske funktioner. Funktionen ep( ) er et eksempel herpå. Ligesom der findes differentitionsregneregler, så findes der også integrtionsregneregler, men de kn ikke ruges i så mnge situtioner, som tilfældet er i differentilregning. Reglerne, som enævnes prtiel integrtion og integrtion ved sustitution, vil ikke live gennemgået i denne lille note. I dg nøjes mn ofte med t lde et CAS-værktøj udregne integrlerne for sig. Der er dog nogle stndrdfunktioner, som mn ør huske n stmfunktionerne til. Den mest vigtige er måske, hvor n er et vilkårligt reelt tl. For t estemme stmfunktionen hertil kn mn gøre sig følgende overvejelser: Vi ved, t når mn differentierer en potensfunktion, så gnger mn eksponenten ned forn og trækker fr i eksponenten. Når mn skl finde en stmfunktion til en potensfunktion, så er det derfor nærliggende t gætte på en potensfunktion, hvor eksponenten er højere. Det n er ltså nærliggende t strte med t kigge på +. Når denne funktion differentieres n n fås ( + ) = ( n+ ). Vi får ltså næsten den rigtige funktion. Der er lot en konstnt, der er gnget på. Det får os til t forsøge med et nyt gæt, hvor vi reprerer med denne konstnt ved t dividere med den:

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 7 (4) ( ) n+ n+ n+ n n n+ = ( n+ ) n+ = n+ = Vi skl imidlertid psse på her: nævneren må ikke live, så ovenstående duer ikke i tilfældet n =. I lle ndre situtioner er udledningen gyldig. Tilfældet n= svrer til t vi hr t gøre med funktionen f ( ) = =. Fr differentilregningen ved vi, t (ln( )) =. Dette gælder i det intervl, hvor logritmen er defineret, dvs. for lle positive tl. Tilføjer mn et numerisk tegn om, kn vi få en identitet, som gælder for lle : (ln ) =. Detljerne herfor undlder vi. Dermed er ln en stmfunktion til. Nedenfor er der en liste med de mest kendte stmfunktioner: Funktion f( ) Stmfunktion F( ) k n k ( n ) eller eller e n+ k n+ ( ) ln e e k e k k ln( ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) ln( ) ln( ) Eksempel 5 Flere f de funktioner, der er opskrevet eksplicit i skemet ovenfor er fktisk speciltilfælde f reglen om hvordn en potensfunktion integreres: + + d = d = = + d = d = = Mn kommer dog ikke lngt med ovenstående liste med stmfunktioner. Ofte hr mn t gøre med udtryk, som er lndinger f ovenstående funktioner. Derfor er det vigtigt med nogle integrtionsregler. Som nævnt undlder vi t komme ind på de mere vncerede regler nævnt på forrige side. Der er dog et pr regler, som er nemt udledt:

8 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Sætning 6 Ld f og g være kontinuerte funktioner og k en konstnt. D gælder: ) k f ( ) d = k f ( ) d ) ( ) f ( ) + g( ) d = f ( ) d + g( ) d c) ( ) f ( ) g( ) d = f ( ) d g( ) d Bevis: Vi skl lot vise, t når vi differentierer højresiden f lighedstegnet, så får vi integrnden på venstre side: k f ( ) d = k f ( ) d = k f ( ) (5) ( ) ( ) f ( ) d + g( ) d = f ( ) d + g( ) d = f ( ) + g( ) (6) ( ) ( ) ( ) I første lighedstegn i (5) hr vi enyttet differentitionsreglen, der løst sgt siger, t mn kn sætte en multipliktionskonstnt udenfor. I første lighedstegn i (6) hr vi tilsvrende enyttet den regel, der siger t mn kn differentiere en sum f to funktioner ved t differentiere funktionerne hver for sig og lægge resultterne smmen. Punkt c) evises på nlog måde som ). Eksempel 7 Bestem stmfunktionen til ( ) 6 e f = +. (6 + e ) d = 6 d + e d = 6 d + e d + ( ) + = 6 + e = 6 + e hvor vi i første lighedstegn hr enyttet sætning 6). I ndet lighedstegn er sætning 6) enyttet. I tredje lighedstegn er skemet fr forrige side enyttet. Eksempel 8 Bestem den stmfunktion til f ( ) = ep( ) +, hvis grf går igennem punktet (,). Løsning: Her kunne mn måske få den idé t sætning 6) og sætte udenfor integrltegnet, men den går ikke! Det er kun konstnter, der kn sættes udenfor integrltegnet. Derfor er de værktøjer vi hr i krft f sætning 6 og skemet med stndrdfunktioner

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 9 ikke tilstrækkeligt her. Derfor enytter vi CAS-værktøjet Mple til t løse prolemet. Forklringer fremgår f løsningen.. Smmenhængen mellem rel og stmfunktion I dette fsnit skl vi evise en meget vigtig sætning, som implicerer t mn kn eregne reler under grfen for en funktion f ved hjælp f en stmfunktion til f. Det er umiddelrt en meget overrskende egensk t integrler kn ruges til releregning. Vi vil ikke gå ind i nogen diskussion f hvilke egensker mn skl stille til funktioner for t mn overhovedet kn tle om t grfen for funktionen egrænser et rel, lot nævne t kontinuitet er en tilstrækkelig egensk! Definition 9 (Arelfunktion) Givet en kontinuert funktion f, som er ikke-negtiv i et intervl [, ]. Med relfunktionen vil vi mene den funktion A( ), som ngiver relet under grfen, ned til -ksen, fr til. f ( ) rel A( )

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Eksempel Det er ikke normlt t egynde t regne på konkrete relfunktioner. Vi skl udelukkende ruge egreet relfunktion til t evise den vigtige sætning 4 senere. For rigtigt t forstå, hvd en relfunktion er, er det imidlertid hensigtsmæssigt t kigge på et enkelt konkret eksempel. Ld os sige, t vi hr givet funktionen f ( ) = +, og t =. Den tilhørende relfunktion skl ngive relet f det grønne område på figuren nedenfor. Vi kn dele området op i et rektngel med redden og højden f () smt en treknt med grundlinje og højde f ( ) f (). D f () = + = giver det følgende rel: A( ) = ( ) f () + ( ) ( f ( ) f ()) = ( ) + ( ) (+ ) = + ( ) ( ) = + ( + ) = + + = + f ( ) f () rel A( ) For ethvert hr vi dermed et udtryk for relet under grfen fr til. Betingelsen t f skl være kontinuert sikrer, t mn i det hele tget kn tle om, t grfen egrænser et rel. Med etingelsen t funktionen skl være ikke-negtiv sikrer vi os desuden, t grfen ikke rækker ned under -ksen. Vi skl evise følgende meget smukke egensk for relfunktionen: Sætning Ld f være en funktion, som er kontinuert og ikke-negtiv i intervllet [, ]. D er den tilhørende relfunktion differentiel med den fledede f ( ), dvs. (7) A ( ) = f ( ) for lle ], [. Arelfunktionen er ltså en stmfunktion til f ( ). Bevis: Vi skl helt tilge til definitionen f differentiilitet. Vi skl hve kigget på differenskvotienten for relfunktionen: A A( + ) A( ) (8) = Det kn virke som en umulig opgve t sige noget om denne differenskvotient, d vi ikke ved hvilken funktion, der er tle om. Det viser sig imidlertid, t vi kn vurdere størrelsen neddtil og opdtil ved t kigge på reler på figurerne herunder.

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk f ( ) f ( ) rel A( ) rel A( ) f ( ) f ( ) f ( ) E B F C rel A A D Tælleren i differenskvotienten A= A( + ) A( ) kn tolkes som relet f det lå område øverst til højre minus relet f det grønne område øverst til venstre. Det er indlysende, t denne differens er lig med relet f den gule strimmel nederst i midten. Vi skl hve vurderet relet f dette område. Her gør vi lige en ekstr ntgelse om vores funktion f, nemlig t den er voksende. Det kn vises t sætningen gælder selv uden denne ntgelse, men eviset liver mere medgørlig, hvis vi gør ntgelsen. Det etyder nemlig t vi kn sige følgende (overvej!): (9) Arelet f ABCD Arelet f den gule strimmel Arelet f AEFD Rektngel ABCD hr redden og højden f ( ) og dermed relet f ( ). Tilsvrende for relet f rektngel AEFD. (9) kn dermed omskrives til: () f ( ) A f ( + ) Allerede på tegningerne hr vi stiltiende ntget t tilvæksten >. Ld os fortsætte med denne ntgelse. Vi vil nemlig dividere lle størrelserne i uligheden med. Når mn dividerer med et positivt tl, evres ulighedstegnene: () f ( ) A f ( + ) A f ( ) f ( + )

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Det sidste trin i tretrinsreglen estår i t undersøge om differenskvotienten A hr en grænseværdi for. Vi hr med () fået klemt differenskvotienten inde mellem to størrelser. Det ville ikke være rugrt, hvis det ikke vr fordi egge disse størrelser nærmer sig til det smme tl! Funktionen f er ntget kontinuert, hvilket etyder: () f ( + ) f ( ) for Venstresiden i uligheden () er fst, når det kun er, der evæger sig, og højresiden evæger sig mod det smme tl. Dermed må det, der ligger imellem, også nærme sig til smme tl. Altså hr vi: A () f ( ) for + A f ( ) f ( ) Hele idéen kn opsummeres i et illede f en urger, der klpper smmen: Overollen repræsenterer f ( + ), underollen repræsenterer f ( ), mens selve kødet, som vi gerne vil vide noget om, ligger imellem de to. Overollen nærmer sig til underollen. Kødstykket må nødvendigvis følge med. Altså nærmer kødet sig også til underollen! Vi mngler i princippet t overveje tilfældet hvor tilvæksten er negtiv og nærmer sig til fr venstre. Det overldes til læseren t vise, t differenskvotienten i dette tilfælde hr smme grænseværdi (se øvelse ). Vi hr dermed t () ikke lot gælder + for, men for generelt. D differenskvotienten således hr en grænseværdi for, er relfunktionen A( ) differentiel i med differentilkvotient A ( ) = f ( ). Det ønskede er dermed vist. Øvelse Overvej hvordn figurerne i eviset for sætning skl ændres for t tge højde for tilfældet med en negtiv tilvækst. Vis herefter t A f ( ) for. Hjælp: Vis eventuelt, ved t etrgte reler igen, t mn kn opstille følgende ulighed: f ( + ) ( ) A f ( ) ( ). Eksempel I eksempel fndt vi, t relfunktionen for f ( ) = + med udgngspunkt i = er lig med A( ) = +. Ld os prøve t differentiere relfunktionen:

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk ( ) A ( ) = + = + Vi hr ltså minsndten t A ( ) = f ( ), præcist som forudsgt i sætning! Definition 4 (Bestemt integrl) Ld f være en funktion, der er kontinuert i et intervl [, ] og hr stmfunktionen F. Ved det estemte integrl f f i [, ] forstås tllet F( ) F( ). Mn skriver: (4) [ ] f ( ) d = F ( ) = F ( ) F ( ) Bemærkning 5 Det skl emærkes, t (4) er veldefineret, dvs. t det tl mn får frem er ufhængig f vlget f stmfunktion. Ld os sige, t G( ) = F( ) + k er en nden stmfunktion. (5) ( ) ( ) G( ) G( ) = F( ) + k F( ) + k = F( ) + k F( ) k = F( ) F( ) Det viser t differensen giver det det smme unset hvilket stmfunktion, mn vælger. Årsgen hertil er t konstnten går ud i eregningerne! Sætning 6 Ld f være en funktion, som er kontinuert og ikke-negtiv i intervllet [, ]. D hr punktmængden M, der ligger mellem grfen for f og -ksen fr = til = et rel, som er lig med det estemte integrl: Arel( M ) = f ( ) d Bevis: Ifølge sætning er relfunktionen en stmfunktion til f. Ifølge emærkning 5 er det ligegyldig hvilken stmfunktion vi vælger, når vi skl udregne det estemte integrl. Dermed kn vi som stmfunktion lige så godt vælge relfunktionen for f. (6) f ( ) d= [ A( )] = A( ) A( ) = A( ) = A( ) = det søgte rel Her hr vi rugt t A( ) =, som det fremgår f figuren side. Smme figur viser også t A( ) er det søgte rel. Eksempel 7 Givet funktionen f ( ) = + +. Bestem relet f det område M, som er egrænset f grfen for f og -ksen.

4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Løsning: Det er en god idé ltid t tegne grfen. Herved får mn en idé om hvd mn skl gøre og hvor det søgte område ligger. Det er ngivet med grønt på figuren. y - For det første mngler vi t estemme de steder grfen skærer -ksen. Det sker ved t løse ligningen f ( ) = + + =. Der er her tle om en ndengrdsligning, som vi hr formler til t løse. Vi vil ikke gå i detljer med det her, lot nævne t løsningerne er = og =. Opgven går ltså ud på t integrere funktionen fr - til. Opgven er ikke mere kompliceret, end t vi kn løse den mnuelt: ( ) + + d = + + ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) = + + + + ( 8 4 ) ( ( ) ( ) ) 8 ( 4) ( ) = + + + + = + + + = + + 4 + = 4 8 Forklring: Mn finder stmfunktionen til integrnden under rug f sætning 6. Først indsættes den øvre grænse på s plds i stmfunktionen. Resulttet nringes i prentes. Dernæst indsættes den nedre grænse i stmfunktionen og nringes i prentes. De to prenteser trækkes fr hinnden. Situtionen er i princippet simpel, men mn skl holde tungen lige i munden for ikke t lve fortegnsfejl undervejs. Svret på 4 er ekskt. Som en kontrol kn mn forsøge t lve et overslg over relet f området ved t tælle tern. Bemærk t hvert tern hr redden ½, så relet f et tern er ¼. Sætning 8 Ld f og g være to funktioner, der er kontinuerte i et intervl [, ] og opfylder t f ( ) g( ) for lle i intervllet. D hr punktmængden M, der ligger mellem de to grfer fr = til = et rel givet ved følgende: ( ) Arel( M ) = f ( ) g( ) d

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 5 Bevis: Det er indlysende, t hvis åde f og g er ikke-negtive i det pågældende intervl, så er sætningen rigtig, for d kn sætning 6 strks ruges på hver f funktionerne og det søgte rel imellem grferne er d netop relet under grfen for f minus relet under grfen for g. Sætning 8 gælder imidlertid også uden ntgelsen om t funktionerne er ikke-negtive. For t evise sætningen i dette tilfælde må vi udføre et lille trick. En kontinuert funktion på et lukket intervl hr en mindsteværdi. Ld os klde den numeriske værdi f mindsteværdien for g( ) i intervllet [, ] for k. Hvis vi nu lægger k til hver f funktionerne, så får vi hævet grferne op, så de ligger på eller over -ksen, og så kn vi pludselig ruge sætning 6. ( ( ) ( )) = ( ( ) ( ) + ) f g d f g k k d (7) (( ( ) ) ( ( ) )) = f + k g + k d = Arel( M ) = Arel( M ) Forklring: I første lighedstegn hr vi lgt k til og trukket k fr integrnden, hvilket ikke ændrer noget. I ndet lighedstegn hr vi omskrevet en smule. I tredje lighedstegn hr vi rugt sætning 6, d f ( ) + k og g( ) + k nu er ikke-negtive. I fjerde lighedstegn hr vi rugt, t de to punktmængder er prllelforskudt i forhold til hinnden og derfor hr smme rel. Det ønskede er dermed vist. y y f ( ) k f ( ) M M g( ) g( ) k Eksempel 9 Givet funktionerne f ( ) = ln( ) og grferne i intervllet [,4]. g( ) = 6+ 6. Bestem relet mellem Løsning: Af grferne på næste side ser vi, t f ( ) g( ) i det pågældende intervl. Derfor kn sætning 8 enyttes. Opgven kn pssende løses med et CAS-værktøj. Her gør vi det i Mple.

6 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk y f ( ) 4 g( ) Hvis grfen for en funktion ligger helt under -ksen i intervllet [, ], så er relet mellem grfen og -ksen i det pågældende intervl lig med minus det estemte integrl i intervllet. Dette fremgår f sætning 8: I intervllet [, ] er punktmængden M egrænset f grfen for den funktion, som er i hele intervllet smt f ( ). (8) ( ) Arel( M ) = f ( ) d = f ( ) d = f ( ) d y M f ( ) Hvis mn hr en funktion, hvis grf ligger henholdsvis over og under -ksen og skl estemme det rel, som ligger mellem grfen for f og -ksen, så må mn dele prolemet op i idder. Det kn pssende gøres vi den såkldte indskudsregel, som er ret indlysende, men gnske nyttig.

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 7 Sætning (Indskudsreglen m.m.) Ld f være en funktion, som er kontinuert i et intervl I og ld,, c I. D gælder: c c ) f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d ) f ( ) d = f ( ) d Bevis: Indskudsreglen ) evises nemt ved hjælp f definition 4. Ld os regne på højresiden i identiteten: (9) c ( ) ( ) f ( ) d + f ( ) d = F( ) F( ) + F( c) F( ) = F( ) F( ) + F( c) F( ) = F( c) F( ) ) vises ligeså nemt: = c f ( ) d f ( ) d = F( ) F( ) = F( ) F( ) = f ( ) d () ( ) Det emærkes t sætning holder unset størrelserne f tllene, og c!

8 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 4. Anvendelser f integrlregning Hvis mn kigger i mtemtikøger, der liver nvendt i studier såsom mtemtik, fysik, kemi, ingeniørvidensk og økonomi, vil mn ofte se den fyldt med integrltegn. J selv i iologi støder mn på integrlregning. Det skyldes t disciplinen integrlregning er så krftigt et værktøj, t det finder nvendelse i så mnge smmenhænge. Vi skl kigge på et pr nvendelser i dette fsnit. Men først skl vi lige indføre egreet middelsum. Definition (Middelsum) Ld f være en funktion, som er kontinuert på det lukkede intervl [, ]. Ld endvidere dette intervl være inddelt i n lige store delintervller, som dermed hver hr en redde på = ( ) n. Ld være et vilkårligt punkt i det første delintervl, et vilkårligt punkt i det ndet delintervl, etc. D kldes summen n i i= f ( ) = f ( ) + f ( ) + + f ( ) for en middelsum for funktionen f på intervllet [, ]. n Ld os prøve t få en fornemmelse for situtionen i tilfældet med en kontinuert, ikkenegtiv funktion. Vi tegner grfen for f og tegner desuden en række rektngler: Det første rektngel går i -ksens retning fr venstre endepunkt til højre endepunkt f det første delintervl og tegnes med en højde på f ( ) op fr -ksen. Rektnglet hr dermed et rel på f ( ). I det næste delintervl gentges proceduren: Det ndet rektngel går i -ksens retning fr venstre til højre endepunkt f det ndet delintervl og tegnes med en højde på f ( ). Dette rektngel hr dermed relet f ( ). Mn fortsætter indtil mn hr været igennem lle delintervllerne. Situtionen ses på figuren herunder. y f ( ) f ( ) f ( ) Det er indlysende, t middelsummen for funktionen i dette tilfælde er lig med summen f relerne f rektnglerne. Det er heller ikke overrskende, t når redden f delintervllerne går mod, så vil summen f relerne f rektnglerne nærme sig til relet

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 9 under grfen. Det kn også udtrykkes ved, t middelsummen nærmer sig til det estemte integrl fr til, når. Dette resultt kn vises også t gælde for kontinuerte funktioner, som evt. er negtive i nogle punkter: Sætning Ld f være en funktion, som er kontinuert på det lukkede intervl [, ]. D hves t en middelsum nærmer sig til det estemte integrl fr til, når : n i i= f ( ) f ( ) d for Eksempel (Hstighed og strækning i fysisk evægelse) De fleste kn regne ud, t hvis mn cykler en tur til Tysklnd og kører med en fst hstighed på 5 km/t i timer, så hr mn i lt kørt 5 km/t timer= 5 km. Mn kn også etrgte situtionen grfisk ved t filde tiden t hen d. ksen og frten v op d. ksen. D fås grfen vi ser på figuren nedenfor til venstre. Den tilgelgte strækning svrer d til relet f rektnglet under den vndrette (t,v)-grf. Et nærliggende spørgsmål er nu, hvd mn gør, når hstigheden ikke er fst, men derimod vrierer? Mn kunne forestille sig, t mn delte tidsintervllet [ tstrt, t slut] op i en række delintervller, hver f længden t, hvori mn med god tilnærmelse kn etrgte hstigheden som konstnt. 5 v (km/t) v( t) v( t) t (timer) t strt t t t t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t I hvert f disse små delintervller ville en tilnærmet værdi for den tilgelgte strækning d kunne eregnes på den simple måde som relet f rektnglet, der hr t og den konstnte frt som sidelængder. Situtionen er vist på den højre figur. Summen f relerne f de tynde rektngler er en tilnærmelse til den tilgelgte strækning. For- t slut

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk finer mn inddelingen f tidsintervllet, så delintervllerne liver mindre og mindre, så vil strækningen i grænsen live ekskt lig med relet under (t,v)-grfen. () tilgelgt strækning = v( t) dt Det skl dog siges, t vi her stiltiende hr forudst, t cyklistens hstighed i hele tidsintervllet hr været større end eller lig med, dvs. t cyklisten ikke cykler tilge. I fysik lder mn normlt funktionen s( t ) etegne positionen eller stedfunktionen til tidspunktet t, forstået på den måde, t vi tænker os lgt et måleånd ud lngs ruten. Vi hr tidligere indenfor differentilregningen vist, t hvis mn differentierer stedfunktionen, så får mn hstighedsfunktionen: s ( t) = v( t). Med ndre ord: s( t ) er en stmfunktion til v( t ). Dermed hr vi: () [ ] t t slut strt t slut ( ) = ( ) = ( slut ) ( strt) tstrt t t slut strt v t dt s t s t s t Hvis mn integrerer hstigheden fr t= tstrt til t= tslut, så får mn ltså cyklens position til tiden t slut minus cyklens position til tiden t strt. Hr hstigheden under hele evægelsen været større end eller lig med, så er det jo det smme som den kørte strækning, i fin overensstemmelse med (). Ld os kigge på et konkret eksempel på en evægelse. Nogle evægelser kn tilskrives en smuk hstighedsfunktion, for eksempel det frie fld. Vi vil dog kigge på et eksempel, hvor en cyklist med pssende mellemrum hr noteret sin hstighed op. t (sek) v (m/s) 6, 5 6,4 7, 6 8, 9, 8, 4,5, 6, 4, 48,6 54 9,4 6 8,5 I dette prktiske tilfælde er der ikke nogen smuk formel for hstighedsfunktionen mn kender den i øvrigt kun hstigheden til et endelig ntl tidspunkter. Derfor kn vi ldrig få en ekskt værdi for den kørte strækning, kun et estimt. En mulig fremgngsmåde er t plotte dt ind i en ( t, v )-grf og forsøge t lve et fit med en eller nden funktion. Det er ikke ltid lige nemt t nemt t få et fit til t psse tilstrækkeligt godt og måske er mn nødt til t dele prolemet op i delintervller. På næste side er prolemet løst i CAS-

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk progrmmet Mple, hvor der er foretget et fit med et polynomium f. grd. Vi ser t grfen for ndengrdspolynomiet tilnærmer hstighedsdt ret pænt. Derefter integreres hstighedsfunktionen fr strttidspunkt til sluttidspunkt. Det giver godt 59 meter. Eksempel 4 (Normlfordelingen) Sndsynlighedsregningen er et ndet område, hvor mn støder på integrler. Vi skl i denne forindelse kigge på den mest enyttede fordeling overhovedet, nemlig normlfordelingen. Det viser sig, t der er rigtig mnge dt fr den virkelige verden, som fordeler sig efter denne fordeling. Normlfordelingen er specificeret ved to prmetre, nemlig en middelværdi µ smt en spredning σ. På figuren nedenfor er den såkldte tæthedsfunktion for normlfordelingen med middelværdi og spredning,8 fildet..6.5.4... - - 4 5 6 7 8

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Tæthedsfunktionen er symmetrisk omkring middelværdien og grfen kldes ofte for en klokkekurve, fordi den ligner en klokke. Løs sgt kn mn sige t klokkens redde er styret f spredningen σ. Mn kn vise, t hvis mn går spredningen til hver side fr middelværdien, så vil c. 68,% f dt ligge indenfor dette område. Området er mrkeret med grønt på figuren. Tæthedsfunktionen skl forstås på den måde, t i de områder, hvor funktionsværdierne er høje er det mere sndsynligt t finde dt end i områder hvor funktionsværdierne er lve. Helt præcist så kn mn finde sndsynligheden for t finde de normlfordelte dt i et givet intervl [, ] ved t udregne integrlet f tæthedsfunktionen fr til. Det etyder nturligvis, t hvis mn integrerer fr til, så giver det svrende til % sndsynlighed for t finde dt i hele området: () µ µ σ σ P( X ) = e d og e d= π σ π σ Der er en lng række eksempler fr det virkelige liv, hvor mn hr erfringer for t dt tilnærmelsesvist er normlfordelte. Når mn producerer komponenter i industrien, så flder komponenterne ikke ltid ens ud, selv om det er intentionen. De kn måske hve lidt forskellig vægt eller lidt forskellig længde. Når flere små tilfældige og indyrdes ufhængige effekter er til stede i en produktionsproces, så hr mn prktisk erfring for, t produkterne tilnærmelsesvist følger en normlfordeling på en eller flere punkter. Dette er også underygget teoretisk gennem den såkldte centrle grænseværdisætning, der er for kompliceret til t live omtlt yderligere her. Et eksempel på prolemtikken kn være påfyldning f mælk på mælkekrtoner. Hvis mn gefter gør op, hvor meget mælk, der præcist er i hver krton, så vil mn se, t det ikke helt er det smme. I nogle krtoner er der måske 997 ml, i ndre måske 9 ml, etc. Tælles der op, hvor mnge krtoner, der er med hver ntl ml, og er der tilstrækkeligt mnge krtoner, så vil mn formentligt ende op med en tilnærmelsesvist normlfordeling en klokkekurve, hvor de fleste fordeler sig omkring en middelværdi og så ftger krftigt, jo længere mn er fr middelværdien. Det ved ingeniørerne i industrien. Mn kn eventuelt reducere spredningen ved t indføre mere nøjgtige mskiner, og i tilfældet med mælk kn det være nødvendigt t indstille mskinen, så middelværdien er lidt over de ml mælk, så det er sjældent, t indholdet er under de ml, som reglerne foreskriver. Der er mnge ndre tilfælde, hvor normlfordelingen dukker op, for eksempel er intelligenskvotienter i efolkningen normlfordelte. En nden er mndlige værnepligtiges højde ved session. Vi skl se nærmere på sidstnævnte. Ved t nlysere højderne f 47 værnepligtige i Dnmrk fr ndet hlvår f 6 kn mn konkludere, t soldternes højde med meget stor nøjgtighed følger en normlfordeling med middelværdi 8,

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk cm og spredning 6,8 cm. Med disse oplysninger kn esvre en msse spørgsmål, for eksempel: ) Hvor mnge procent f de værnepligtige mænd hr en højde på under 7 cm? ) Hvor mnge procent hr en højde på mellem 75 cm og 8 cm? c) Hvor mnge procent hr en højde på mindst cm? d) Hvd kn mn sige om de % højeste værnepligtige mænd? e) Hvor mnge procent hr en højde på netop 8 cm? For t esvre spørgsmålene skl vi hve ft i integrlet i (). I første spørgsmål integrerer vi fr til 7 (enheden underforstået): ) 7 σ P( X 7) = e d =,69 π σ Knp 7% f de værnepligtige mænd hr ltså en højde under 7 cm. µ ) c) 85 σ P(75 X 85) = e d =,57 π σ 75 µ Omtrent 5,7% f de værnepligtige mænd hr en højde mellem 75 og 85 cm. σ P( X ) = e d =,7 π σ µ Knp promille hr ltså en højde på mindst cm. d) Dette spørgsmål er lidt sværere t løse, d vi ikke kender grænsen. Opgven kn dog løses ved t opstille en ligning, hvor den uekendte er grænsen : σ e d =, π σ µ I Mple kn det løses simpelt ved t skrive en solve-kommndo. Der foregår dog et meget stort internt regnerejde, så det tger et ntl sekunder t foretge eregningen fhængig, hvor krftig en computer mn hr. Kldet f pkken RelDomin

4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk nedenfor er ikke nødvendig, men den gør, t mn undgår t skulle lede efter den reelle løsning lndt en hel msse komplekse løsninger. Prolemtikken med reler kn illustreres ved følgende figur: 5 6 7 8 % 9 højde (cm) 88,8 e) Egentligt er dette spørgsmål ikke tilldeligt t stille, når vi som her hr t gøre med en kontinuert fordeling. Der er nemlig uendelig lille sndsynlighed for t en person hr højden ekskt 8 cm. Hn kunne lige så godt være 8, cm, og så ville hn jo ikke skulle tælles med. Men der diskretiseres ofte i prksis, og sessionslægen ngiver kun højden i hele cm. Hvis mn derfor med netop 8 cm mener t højden ligger mellem 79,5 cm og 8,5 cm, så kn spørgsmålet esvres efter smme metode som ), og det giver 5,9%. NB! Svrene på spørgsmålene ) til d) er esvret ud fr den forståelse t højderne regnes med kommtl. En person med højden 8,4 cm hr ltså højden 8,4 cm ikke frundet til 8 cm! Desuden skl det lige nævnes, t der findes diverse indyggede funktioner i for eksempel Mple, som gør t mn kn løse opgver med normlfordelingen på en snild måde. D temet er integrler her, holder vi os dog til ovenstående måder t løse det på!

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 5 Omdrejningslegemer Vi skl kigge på en meget nyttig nvendelse f integrlregning, nemlig til t estemme rumfnget f nogle særlige tredimensionle figurer, nemlig de såkldte omdrejningslegemer. Med et omdrejningslegeme menes en figur, som fremkommer ved t rotere grfen for en funktion f i lt 6 grder om en linje. Vi skl specielt kigge på dem, der fremkommer ved t rotere grfen for f omkring -ksen. y f ( i ) i Tegningen ovenfor viser et sådnt. Det er ret klrt, t mn kn tilnærme omdrejningslegemet med en række på i lt n cylindriske skiver, der tænkes liggende stlet lngs - ksen, hver med en tykkelse, som er givet ved = ( ) n. I det i'te delintervl lngs -ksen vælges et vilkårligt punkt i. Funktionsværdien i dette punkt er f ( i ) og det liver rdius i den i'te skive. D rumfnget for en cylinder med rdius r og højde h er π r h, fås følgende udtryk for summen f cylindernes volumener: (4) π ( f ( )) n i= Når vil dette udtryk nærme sig til det søgte rumfng V for omdrejningslegemet. Smtidigt hr vi, t (4) er en middelsum for funktionen g( ) =π ( f ( ) ). Derfor hr vi ifølge sætning følgende: i Sætning 5 Ld f være en funktion, som er kontinuert på det lukkede intervl [, ]. Når den punktmængde, som i intervllet [, ] er egrænset f grfen for f og -ksen, drejes 6 grder omkring -ksen, så fremkommer et omdrejningslegeme med rumfnget: ( ( )) V = π f d NB! Det emærkes, t der her ikke er nogen etingelse om, t f skl være ikke-negtiv!

6 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Eksempel 6 (Rumfng f kugle) Et smukt eksempel på rug f formel fås ved t dreje en hlvcirkel 6 omkring - ksen. Den derved fremkomne punktmængde er en kugle! Vi ved t ligningen for en cirkel med rdius r og centrum i (,) er + y = r. Hvis vi isolerer y i denne ligning, får vi y= r, hvor vi kun vælger den positive del. 4 r r r r r r ( ( )) V = π f d ( ) = π r d = π r d r r = π ( π ) r r = π r = π r r y r f ( ) r Husk her, t r er en konstnt, hvorfor dens stmfunktion er r formlen for kuglens rumfng, som vi så ofte før hr enyttet!. Vi hr dermed evist Eksempel 7 (Rumfng f kegle) En velkendt formel for en kegles rumfng er V = h A, hvor h er keglens højde og A er keglens grundflderel. Hvis r er rdius i grundcirklen, så er A=π r. Dermed skl vi vise, t V = h π r. Det er heldigvis let t vise, for en kegle er et omdrejningslegeme, som fås ved t dreje en ret linje omkring -ksen. Som det fremgår f figuren nedenfor, er forskriften for den lineære funktion f ( ) = r h (emærk, t linjen går igennem punkterne (,) og ( h, r ) ). Det giver følgende: h r V = π ( f ( ) ) d = π d h h h r r d h h = π = π r h π r h h d π = = h h = h π r y h r f ( ) = h r hvorved det ønskede er vist.

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 7 Et sværere eksempel Vi skl etrgte et lidt vnskeligere eksempel på nvendelse f integrlregning. I dette eksempel er det hensigtsmæssigt t dele op i cirkulære ringe i stedet for i strimler. Eksempel 8 På en cirkulær øde ø or en række indfødte, som ntges jævnt fordelt over øens rel. Hver dg skl indyggerne evæge sig ind til øens midte for t hente vnd fr øens eneste rønd. Spørgsmålet er hvor lngt indyggerne i gennemsnit må evæge sig for t nå rønden? Øens rdius er 6 km. Overvejelser: Det er forholdsvist oplgt, t svret må være mere end hlvdelen f rdius, fordi der er flere indyggere på de yderste km f øen, end på de inderste km. Mere kn mn ikke umiddelrt sige. Hvis prolemet re hvde været f diskret ntur, hvde det været ret nemt: hvis der for eksempel hvde været 5 personer, som oede 4 km fr rønden, personer i fstnden km og 5 personer i fstnden km, så kunne mn få svret ved t udregne det vejede gennemsnit f fstndene: 5 4 km+ km+ 5 5km=,5km. R Arel i i Løsning: Ovenstående idé vil vi imidlertid føre videre til det kontinuerte prolem: Vi inddeler øen i nogle smlle ringe, hvorom vi kn sige, t folk, der or heri, lle hr omtrent den smme fstnd til rønden i øens centrum. Ld os sige, t fstnden for den i te ring er i, som vist på figuren. Afstnden skl vægtes med den røkdel, som ringens rel udgør f hele cirklens rel. Ringens rel er (omtrent) lig med omkredsen gnge med tykkelsen, dvs. πi, mens hele skiven med rdius R hr et rel på π R. Den omtl- te røkdel er derfor: ringens rel πi Arelrøkdel = = i hele skivens rel π R R For t få en tilnærmet værdi for gennemsnitsfstnden for en øoer, summerer vi over lle ringene, idet vi vægter fstndene med de tilhørende relrøkdele:

Den gennemsnitlige fstnd indtil øens centrum er ltså f øens rdius, ltså 4 km. 8 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk n n { Afstnd fr i'te ring } { i'te rings relrøkdel} i i R i= i= Den ueviste påstnd er nu, t hvis mn lder inddelingerne live finere og finere, så nærmer summen sig til et integrl og t svret liver ekskt: R R R R R R R = d = d = = R = R

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 9 Appendiks A I sætning 6 lev præsenteret nogle integrtionsregneregler. I dette fsnit skl vi kigge på en nden regel, som går under nvnet integrtion ved sustitution. Grunden til, t den er henvist til et ppendiks er, t de ikke længere liver omtlt på lle niveuer i gymnsiet. Sætning A (Integrtion ved sustitution) Ld f være en kontinuert funktion. Ld endvidere g være en funktion, der er differentiel med kontinuert fledet g. D gælder hvor F er en stmfunktion til f. f ( g( )) g ( ) d = F( g( )) Bevis: Som tilfældet vr i sætning 6, vil vi evise sætningen ved t differentiere højresiden og konsttere t det giver integrnden på venstre side. Vi skl nturligvis gøre rug f en differentitionsregel, her reglen for hvordn mn differentierer en smmenst funktion. Den indre funktion er g( ), mens den ydre funktion er F( y ). Mn differentierer d den smmenstte funktion ved t differentiere den ydre og sætte den indre funktion ind smt gnge med den indre funktion differentieret: F( g( )) = F ( g( )) g ( ) = f ( g( )) g ( ) ( ) hvilket eviser det ønskede. Eksempel A Sætning A kn ruges i en del f de situtioner, hvor mn skl integrere en smmenst funktion. Ld os sige, t vi skl estemme stmfunktionen til cos( ). Ld os sætte g( ) =. Det er den indre funktion. Den ydre er så f ( y) = cos( y). Bemærk, t det er f pædgogiske årsger, t vi klder den vrile her for y. Mn kunne lige så godt hve skrevet. Stmfunktionen til f er F ( y) = sin( y), som det fremgår f listen side 7. Vi udskifter y med g( ) = og får F ( g( )) = sin( g( )) = sin( ). Endvidere er g ( ) =. Vi kn skrive: cos( ) d = cos( ) d = cos( ) d = sin( ) Forklring: I første lighedstegn hr vi gnget med ½ og derefter i integrnden, hvilket ikke ændrer noget. I ndet lighedstegn hr vi st ½ udenfor integrltegnet. Bemærk, t dette kun går med konstnter!! Fordelen ved omskrivningerne er t selve integrlet nu hr formen på venstre side i sætning A. -tllet svrer til g ( ) og cos( ) svrer til f ( g( )). Sætningen siger, t så er integrlet lig med F ( g( )) = sin( ), hvilket giver det tredje og sidste lighedstegn.

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Eksempel A (Metode ) Vi vil her udregne smme integrl, som i eksempel A, lot på en lterntiv måde. Denne metode estår i t ersttte den indre funktion med en ny vriel t. Vi siger også, t vi sustituerer med t. Vi sætter ltså t=. Der differentieres nu med hensyn til t : dt d=. Vi tillder os t skrive dt= d, dvs. d= dt. Herefter udskifter mn de enkelte led i det oprindelige integrl: cos( ) d = cos( t) dt = cos( t) dt = sin( t) = sin( ) hvilket giver det smme som ovenfor. Mn skl huske, t når mn egynder t integrere, så må kun den ene f de to vrile eller t være til stede, og mn skl ltid ende med t oversætte til igen, som vi gjorde i sidste lighedstegn. Eksempel A4 Vi skl estemme en stmfunktion til + og vælger t enytte metode, hvor vi sustituerer med t. Det er oplgt t lde den indre funktion være "prolemrnet" under kvdrtrodstegnet: t= +. Der differentieres med hensyn til : dt d=, hvilket giver dt= d, dvs. d= ( ) dt. Vi kn nu udskifte de relevnte størrelser: + d = t dt = t dt = t = t = ( + ) idet vi ruger, t t er stmfunktion til t, som nført i listen side 7. Igen husker vi i sidste lighedstegn t gå tilge til den vrile. Bemærkning A5 Som tidligere nævnt er det generelt set meget mere kompliceret t integrere end t differentiere. I eksempel A4 vr vi heldige med t hve fktoren gnget på kvdrtroden. Uden den ville den vrile ikke gå ud i det ndet lighedstegn, og vi skl huske, t når mn egynder t integrere, så må der kun være én vriel tilstede. Hvde opgven estået i t estemme integrlet til +, ville det hve været en meget sværere sg. Prolemet hører til fmilien f hyperolske integrler, hvor mn må inddrge nogle særlige prmeterfremstillinger, for t løse det. Det vil føre lt for vidt t komme ind på det her. Ld os lot lde CAS-værktøjet Mple løse prolemet for os:

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Sætning A6 (Prtiel integrtion) Ld f være en kontinuert funktion. Ld endvidere g være en funktion, der er differentiel med kontinuert fledet g. D gælder hvor F er en stmfunktion til f. f ( ) g( ) d = F( ) g( ) F( ) g ( ) d Bevis: Som sædvnlig viser vi formlen ved t estemme differentilkvotienten f højresiden og vise, t den er lig med integrnden på venstre side. Vi skl lndt ndet gøre rug f reglen for, hvordn mn differentierer et produkt f to funktioner. ( F( ) g( ) F( ) g ( ) d) = ( F( ) g( ) ) ( F( ) g ( ) d) = F ( ) g( ) + F( ) g ( ) F( ) g ( ) = f ( ) g( ) hvor vi hr udnyttet t F er en stmfunktion, dvs. F ( ) = f ( ). Eksempel A7 Sætning A6 er en udvidelse f sætning 6) side 8. Sætning 6) fortlte os hvd mn kn gøre når mn hr et produkt, hvor den ene fktor er en konstnt. Så kunne mn sætte konstnten udenfor integrltegnet. Reglen for prtiel integrtion sætter os i stnd til t integrere en hel strie f funktioner. Mn skl dog være opmærksom på, t der på højre side står et integrl Så det skulle meget gerne være sådn, t det nye integrl på højre side er nemmere t estemme, end det mn strtede ud med! Ld os kigge på eksemplet sin( ). Vi kn egentlig selv vælge hvilken f funktionerne, vi vil klde for f ( ) og hvilken vi vil klde g( ). Men ld os være lidt forudseende: I integrlet på højre side i formlen i sætning A6 indgår g ( ). Vælger mn t sætte g( ) =, får mn g ( ) =, hvilket giver en chnce for t det nye integrl liver simplere. I så fld skl vi sætte f ( ) = sin( ), som hr stmfunktionen F ( ) = cos( ). Vi får: sin( ) d = cos( ) ( cos( ) d = cos( ) + cos( ) d = cos( ) + sin( )

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Opgver Opgverne er nummereret således, t det første ciffer ngiver det fsnit, opgven hører til. Opgve er således en opgve i fsnit. Opgve Afgør rigtigheden f nedenstående udsgn ved mnuelt t gøre prøve, ltså differentiere. ) c) 4 er stmfunktion til 8 ) er stmfunktion til 4 4 d) + er stmfunktion til e er stmfunktion til e e) ln er stmfunktion til f) 7 er stmfunktion til g) + 5 er stmfunktion til Opgve Bestem mnuelt stmfunktioner til følgende funktioner: ) ) + c) d) 5 e) f) 4 g) 5 sin( ) h) e + i),5 j) + 6 Opgve Benyt et CAS-værktøj til t estemme stmfunktioner til følgende funktioner: 4 ) 6 4+ 5 ) + c) + 7 d) + e) ( sin(4 )) f) e g),7586 h) cos( ) Opgve Når mn skl udregne stmfunktioner mnuelt, er det i en række tilfælde mest hensigtsmæssigt t omskrive en funktion før mn forsøger t finde stmfunktionen. I denne opgve skl vi se på tilfælde, hvor den funktion, mn ønsker t estemme stmfunktionen til, lot er en skjult potensfunktion. Eks: = = =. Først nu finder + vi stmfunktionen ved t enytte den velkendte regel fr side 7, der siger t n n + + er n 5 stmfunktion til, når n. Vi hr ltså t + + = 5 er stmfunktion til. Bestem stmfunktionerne til følgende funktioner, idet du først omskriver til en potensfunktion vi de velkendte potensregler:

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk ) ) c) 7 d) e) ( ) Opgve 4 I denne opgve er der givet en funktion f ( ). Du skl d estemme den stmfunktion F til f, hvis grf går igennem et givet punkt, P(, y ). Regn mnuelt. ) f ( ) = 4, P (,7) ) d) f ( ) = +, P (,7) e) f ( ) = +, P (,5) c) f ( ) = e, P (,) f ( ) =, P (,5) f) f ( ) = cos( ), P( π,) Opgve 5 I denne opgve er der givet en funktion f ( ). Du skl d estemme den stmfunktion F til f, hvis grf går igennem et givet punkt, P(, y ). Benyt CAS værktøj. ) f ( ) =, P (,) ) f ( ) = e, P (,) c) f ( ) = sin( ), P (,) d) f ( ) = +, P (,5) e) f ( ) =, P (,) + Opgve 6 (Svær) Bestem den stmfunktion til.5 f ( ) =, som hr y= + som tngent. 5 Hjælp: Ld os sætte g( ) = + 5. Bemærk t i den ukendte -værdi til tngentens røringspunkt skl den søgte stmfunktion F( ) og g( ) åde hve smme funktionsværdi og differentilkvotient! Mn kn egynde med t finde ved t løse ligningen F ( ) = g( ), hvilket jo er det smme som t løse f ( ) = g( ). Når er fundet, kn mn estemme den ritrære k-værdi, så F( ) = g( ). Tegn situtionen for t få overlik. Opgve ) Beregn relet under grfen for funktionen f ( ) = fr = til = 8. ) Beregn relet under grfen for funktionen f ( ) = sin( ) fr = til =π. Opgve Givet funktionerne f ( ) = + 8 og g( ) =,5. Tegn grferne for de to funktioner i smme koordintsystem. Bestem -værdierne til skæringspunkterne mellem de to grfer, og enyt det til t estemme relet f det område, der er fgrænset f grferne.

4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Opgve ) På figurerne nedenfor skl du forsøge t sjusse dig frem til relerne f de skrverede områder ved t tælle tern. Husk t hvert tern på figurerne kun svrer til 4. 7 6 6 5 5 4 4 - - 4-4 - - - ) Det oplyses nu, t forskriften for funktionen hørende til grfen på den venstre figur er f ( ) = + + 5. Benyt oplysningen til t udregne relet ekskt, ltså estem følgende integrl: ( + + 5) d c) Funktionen hørende til grfen på den højre figur er f ( ) =. Benyt denne oplysning til t estemme relet nøjgtigt, ltså estem: d d) Hvd ville du hve gjort, hvis du på den venstre figur skulle hve estemt relet f det område, der ligger i. kvdrnt og som er egrænset f de to koordintkser smt grfen for funktionen f ( ) = + + 5? Opgve Nogle områder er uegrænsede, men kn lligevel tilskrives et endeligt rel. Dette er for eksempel tilfældet med det mrkerede område under grfen for funktionen f ( ) =. Området fortsætter til uendelig. Bestem relet ved t udregne følgende integrl: d 4 4 5 6

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 5 Opgve 4 ) Grfen for funktionen f ( ) = fgrænser smmen med -ksen et område, der er skrveret på figuren nedenfor til venstre. Bestem relet f området. ) Grfen for funktionen f ( ) = ( ) fgrænser smmen med -ksen et område. Det er skrveret på figuren nedenfor til højre. Bestem relet f området. Opgve 5 Mn kn ruge integrlregning til t udregne reler f erømte geometriske figurer som for eksempel cirklen. Ld os kigge på et punkt (, y ) på en cirkel med rdius r. Ifølge Pythgors læresætning indses det nemt, t punktets koordinter vil tilfredsstille ligningen + y = r. Isoleres y heri fås y=± r. Der er to løsninger, svrende til ± i udtrykket på højre side. En funktion kn højst hve én y-værdi til hver -værdi, så vi nøjes i det følgende med t etrgte den øverste hlvdel f cirklen. Det giver nledning til funktionen f ( ) = r. ) I det følgende skl du sætte r=, så du rejder med funktionen f ( ) =. Benyt integrlregning til t eregne relet f hlvcirklen med rdius og gng med for t få hele cirklens rel. Stemmer det med det du forventer? ) Nu regner vi generelt, dvs. med rdius r. Benyt CAS-værktøjet til t eregne relet f en cirkel med rdius r. Får du den rigtige formel? f ( ) y r

6 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Opgver 6 Givet en logistisk vækst og en lineær funktion: 6 f ( ) =.58 + 5 e og g ( ) =,5 +. Du skl estemme relet f det område, der fgrænses mellem de to grfer. Hjælp: Bestem grænserne for integrlet ved t løse ligningen f ( ) = g( ). Hvis du ruger Mple, skl du her ruge fsolve-kommndoen til t finde løsningerne én d gngen: Kig på grferne og vælg en strtværdi tæt på den rigtige løsning i hvert tilfælde. 8 7 6 5 4 f( ) g( ) 4 5 6 7 8 9 Opgve 7 Figuren nedenfor viser grfen for en funktion f. Det oplyses, t relerne f de tre områder M, M og M, der fgrænses f grfen smt -ksen, henholdsvis er lig med,;, og 4,4. Bestem følgende integrler idet det oplyses, t,, c og d er de punkter, hvor grfen skærer -ksen: c d ) f ( ) d ) f ( ) d c) f ( ) d f( ) M M M c d

Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 7 Opgve 8 Grfen for funktionen f ( ) =,,5 + 6 6 fgrænser smmen med -ksen et område eskrevet på figuren nedenfor med ogstverne M og M. Bestem det smlede rel f disse to delområder, idet du først estemmer grfens skæringspunkter med -ksen. 4 M 4 5 6 7 8 9 - - M - -4-5 -6 Opgve 9- Udregn nedenstående estemte integrler mnuelt. Dog er det i orden t ruge en simpel lommeregner til t sætte tl ind og regne ud. ) 5 d ) ( 6 + ) d c) d f) e) ( ) 4 d g) 4d d) π cos( ) d h) e d d Opgve 9- Udregn nedenstående estemte integrler ved hjælp f et CAS værktøj. Angiv svrene i form f kommtl. ) e) 4 d ) ( + ) d c) 5.75 + d f) ( e ) d g) 4 e d d) π cos( ) d h) 4 8 d 4 d

8 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Opgve 4 Nedenfor er hstighedsdt til forskellige tidspunkter for den jmicnske løer Usin Bolt, d hn stte verdensrekord i meterlø i 9 i Berlin. Tidspunkterne er frtrukket hns rektionstid på,46 sekunder, således t vi kun tger højde for den egentlige evægelse. Photo credit: Nick J We / Foter / CC BY t (s),,54,,5,,44 4,87 6,46 7,9 9,4 v (m/s),6 5,8 6,96 8,8 9,85,7,8,5,9,8 ) Benyt Mple til efter smme mønster som i eksempel side 9 t foretge et fit f ( t, v )-dt med et polynomium. Vælg i den forindelse en pssende grd for polynomiet, så polynomiet er et godt fit til dt i det etrgtede tidsrum. Prøv dig frem indtil du finder en pssende grd. ) Benyt det pproksimerende polynomium til t estemme en god værdi for, hvor lngt Usin Bolt vr nået efter sekunds lø. Hvd er svret efter 5 sekunders lø? c) Som ekendt fås ccelertionen ved t differentiere hstigheden. Benyt det pproksimerende polynomium til t give en værdi for ccelertionen til t=,5 sek. Smme spørgsmål for tidspunktet t= 5, sek. Bemærkning Det skl nævnes, t den vurdering f ccelertionen, som ønskes foretget i delspørgsmål c), er noget følsom overfor unøjgtigheder i fittet. Hvis fittet er lot lidt dårligt omkring de ngivne tidspunkter, så kn værdien for ccelertionen live noget forkert. Derfor er det vigtigt med en visuel inspektion f, hvor godt fittet psser med dtpunkterne omkring tidspunktet! Alterntivt kn mn enytte sig t numerisk differentition, hvor hældningen f ( t, v )-grfen til det givne tidspunkt estemmes som hældningen f den seknt, som går igennem to dtpunkter ( t, v ) og ( t, v ) fr tellen. Her skl t og t helst være på hver side f det ktuelle tidspunkt.