Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f (b) = 0, så findes der et ξ (a, b) så f (ξ) = 0. BEVIS: Hvis f (x) = 0 for alle x (a, b) er påstanden indlysende rigtig. Så lad os antage at der findes et x så f (x) 0. Ved eventuelt at erstatte f med f kan vi sikre os at der findes et x så f (x) > 0. Den kontinuerte funktion f antager sit maksimum på den kompakte mængde [a, b], og de overvejelser vi har gjort indtil nu sikrer at dette maksimum ikke antages i randpunkterne a og b. Altså må det antages i det åbne interval (a, b). Og sådan et maksimumspunkt er nødvendigvis stationært. Lemma 3.2 (Udvidet Rolles sætning) Lad f : (a, b) R være en n gange differentiabel funktion. Lad x 0, x (a, b) være to forskellige punkter, og antag at f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 og f (x) = 0. Der findes da et punkt ξ mellem x 0 og x så f (n) (ξ) = 0. 37
38 Kapitel 3. Taylors formel BEMÆRK: når vi siger at ξ ligger mellem x 0 og x, så mener vi at ξ (x 0, x) hvis x 0 < x, mens vi mener ξ (x, x 0 ) hvis x < x 0. Pointen med formuleringen er at vi undlader at sondre mellem de to situationer. BEVIS: Lad os antage at x 0 < x. Rolles sætning fortælle at der findes et ξ 1 (x 0, x) hvor f (ξ 1 ) = 0. Bruges Rolles sætning på funktionen f og punkterne x 0 og ξ 1, ser vi at der findes et punkt ξ 2 (x 0, ξ 1 ) (x 0, x) så f (ξ 2 ) = 0. Og sådan kan vi fortsætte indtil vi har fundet et ξ n (x 0, ξ n 1 ) (x 0, x) sådan at f (n) (ξ n ) = 0. Man kan gennemføre et helt tilsvarende argument hvis x 0 og x ligger i den modsatte rækkefølge, altså hvis x < x 0. Sætning 3.3 (Taylors formel) Lad f : (a, b) R være n gange differentiabel. For x 0, x (a, b) findes et ξ mellem x 0 og x der opfylder at f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) +... + f (n 1) (x 0 ) (n 1)! (x x 0 ) n 1 + f (n) (ξ) n! (x x 0 ) n. (3.1) BEMÆRK: Formlen (3.1) siger at f (x) kan regnes ud som det såkaldte Taylorpolynomimum for f af orden n 1 med udviklingspunkt x 0, regnet ud i x, plus et restled. For så vidt er denne påstand triviel, for man kan altid udråbe differensen mellem f (x) og Taylorpolynomiet til at være et restled. Det egentlige indhold i sætningen er således den specifikke form af restleddet. Denne form kaldes Lagranges restled. En anden populær variant af Taylors formel siger at f (x) = f (x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+...+ f (n 1) (x 0 ) (n 1)! x (x x 0 ) n 1 f (n) (t) + x 0 (n 1)! (x t)n 1 dt, der kun adskiller sig fra (3.1) ved formen af restleddet. For de fleste formål er det lige meget hvilken repræsentation man har af restleddet, men nogle gange gør det en forskel, og da er Lagranges restled ofte det mest brugbare. BEVIS: Bemærk at polynomiet P(t) = n 1 k=0 f (k) (x 0 ) k! (t x 0 ) k
3.1. Klassiske sætninger i en dimension 39 opfylder at P (i) (t) = Specielt ser vi derfor at n 1 k=i f (k) (x 0 ) (k i)! (t x 0) k i for i = 1, 2,..., n 1. P(x 0 ) = f (x 0 ), P (x 0 ) = f (x 0 ),..., P (n 1) (x 0 ) = f (n 1) (x 0 ). Faktisk er P det eneste (n 1) te grads polynomium med denne egenskab. Lad os nu konstruere hjælpefunktionen φ(t) = f (t) P(t) K(t x 0 ) n, hvor vi retter K sådan ind at φ(x) = 0 - det vil sige at vi bruger Bemærk at K = f (x) P(x) (x x 0 ) n. (3.2) φ(x 0 ) = φ (x 0 ) =... = φ (n 1) (x 0 ) = 0. Derfor siger den udvidede Rolles sætning at der findes et ξ mellem x 0 og x så φ (n) (ξ) = 0. Da P er et polynomium af grad n 1 er den n te afledte identisk nul, og konklusionen er derfor at 0 = φ (n) (ξ) = f (n) (ξ) K n!. (3.3) Kombineres (3.2) og (3.3) har vi fundet et mellempunkt ξ med den egenskab at f (n) (ξ) = n! og denne relation omformes let til (3.1). f (x) P(x) (x x 0 ) n, Eksempel 3.4 Hvis f : (a, b) R er differentiabel, kan vi bruge Taylors formel med n = 1 til at konkludere at der for x 0, x (a, b) findes et mellempunkt ξ så f (x) = f (x 0 ) + f (ξ) (x x 0 ). 1! Det omformes let til f (ξ) = f (x) f (x 0). x x 0 I denne form er resultatet kendt af enhver gymnasieelev som middelværdisætningen. Middelværdisætningen er nøglen til oversættelsen mellem monotoniforholdene for f på den ene side og fortegnsforholdene for f på den anden.
40 Kapitel 3. Taylors formel 3.2 Flerdimensionale varianter Sætning 3.5 (Middelværdisætningen) Lad U X være en konveks delmængde af et normeret vektorrum (f.eks. en kugle), og lad Y være udstyret med et indre produkt. Hvis f : U Y er differentiabel i alle punkter, findes for hvert x 1, x 2 U og y Y et punkt ξ U så f (x2 ), y = f (x 1 ), y + D f (ξ) (x 2 x 1 ), y. (3.4) BEMÆRK: Et hurtigt gæt på hvordan middelværdisætningen kunne tage sig ud, ville lyde på at vi kunne finde et mellempunkt ξ, så f (x 2 ) = f (x 1 ) + D f (ξ) (x 2 x 1 ). Men denne formel er desværre ikke rigtig. Det er derfor vi i (3.4) tvinges til at tage indre produkt med en fast vektor y: mellempunktet ξ afhænger ikke blot af x 1 og x 2, men også at hvilket y, vi tager indre produkt med! Medmindre selvfølgelig X og/eller Y er etdimensionale: i den situation vil et ξ der passer for et enkelt y også passe for de andre. BEVIS: Betragt funktionen g : R R givet ved g(t) = f (t x 2 + (1 t) x 1 ), y. Funtionen er næppe defineret for alle t, men eftersom både x 1 og x 2 ligger i U, der er åben og konveks, er g i hvert fald defineret for t ( ɛ, 1 + ɛ) for et passende ɛ > 0. Vi ser at vi kan skrive g = A f γ, hvor γ : R X er den affine afbildning γ(t) = t x 2 + (1 t) x 1 og hvor A : Y R er den lineære afbildning Ay = y, y. Kædereglen sikrer at g er differentiabel i ( ɛ, 1 + ɛ), og at g (t) = D(g)(t) 1 = A D f ( γ(t) ) Dγ(t) 1 = D f ( γ(t) ) (x 2 x 1 ), y. Den klassiske reelle middelværdisætning fortæller at g(1) = g(0) + g (t ) for et passende mellempunkt t (0, 1). Altså er f (x2 ), y = f (x 1 ), y + D f ( γ(t ) ) (x 2 x 1 ), y. Hvilket viser at (3.4) er opfyldt med ξ = γ(t ).
3.2. Flerdimensionale varianter 41 Sætning 3.6 (Taylors formel) Lad U X være en konveks delmængde af et normeret vektorrum (f.eks. en kugle). Hvis f : U R er to gange differentiabel i alle punkter, så findes for x 1, x 2 U et mellempunkt ξ U så f (x 2 ) = f (x 1 ) + D f (x 1 ) (x 2 x 1 ) + 1 2 D2 f (ξ) (x 2 x 1, x 2 x 1 ). BEMÆRK: funktionen i denne formulering af Taylors formel er antaget at have reelle værdier. Har den værdier i et mere generelt rum Y, må vi tage indre produkt med en fast Y-vektor som i sætning 3.5, og formlen får da useeendet f (x2 ), y = f (x 1 ), y + D f (x 1 ) (x 2 x 1 ), y + 1 D 2 f (ξ) (x 2 x 1, x 2 x 1 ), y. 2 Man skal være opmærksom på at mellempunktet ξ ikke blot afhænger af x 1 og x 2, men også af det y man tager indre produkt med. BEVIS: Betragt funktionen g : R R givet ved g(t) = f (t x 2 + (1 t) x 1 ). Funktionen er næppe defineret for alle t, men vi kan være sikre på at den er defineret for t ( ɛ, 1 + ɛ) for et passende lille ɛ > 0. Vi ser at g = f γ hvor γ : R X er den affine funktion γ(y) = t x 2 + (1 t) x 1, og 2. ordens kædereglen fortæller derfor at g er to gange differentiabel i ( ɛ, 1 + ɛ). Kædreglens grundversion fortæller at g (t) = Dg(t) 1 = D f ( γ(t) ) Dγ(t) 1 = D f ( γ(t) ) (x 2 x 1 ), og 2. ordens kædereglen fortæller - når vi udnytter at D 2 γ = 0 - at g (t) = D 2 g(t) (1, 1) = D 2 f ( γ(t) ) (Dγ(t) 1, Dγ 1 ) = D 2 f ( γ(t) ) (x 2 x 1, x 2 x 1 ). Den reelle version af Taylors formel giver at g(1) = g(0) + g (0) + 1 2 g (t ) for et passende mellempunkt t (0, 1). Altså er f (x 2 ) = f (x 1 ) + D f (x 1 ) (x 2 x 1 ) + 1 2 D2 f ( γ(t ) ) (x 2 x 1, x 2 x 1 ). Hvilket viser det ønskede resultat, med ξ = γ(t ).
42 Kapitel 3. Taylors formel En symmetrisk bilinearform B : X X R siges at være positivt semidefinit, skrevet B 0, hvis B(x, x) 0 for alle x X, og positivt definit, skrevet B > 0, hvis B(x, x) > 0 for alle x X, x 0. For en symmetrisk bilinearform B A på R k, repræsenteret af en matrix A, kan disse begrebet formuleres i termer af A s egenværdier: B A er positivt semidefinit hvis alle A s egenværdier er ikke-negative, og B A er positivt definit hvis alle A s egenværdier er strengt positive. Sætning 3.7 Lad U X være en konveks delmængde af et normeret vektorrum, og lad f : U R være en afbildning, der er to gange differentiabel i alle punkter, og som opfylder at D 2 f (x) > 0 for alle x U. Hvis x 0 U er et stationært punkt, altså opfylder at D f (x 0 ) = 0, så gælder der at f (x) > f (x 0 ) for alle x U \ {x 0 }. BEVIS: Taylors formel med udviklingspunkt x 0 givet at for x U \ {x 0 } vil f (x) = f (x 0 ) + D f (x 0 ) (x x 0 ) + 1 2 D2 f (ξ) (x x 0, x x 0 ) = f (x 0 ) + 1 2 D2 f (ξ) (x x 0, x x 0 ) for et passende mellempunkt ξ U. Da D 2 f (ξ) er positivt definit, vil D 2 f (ξ) (x x 0, x x 0 ) > 0 og derfor vil f (x) > f (x 0 ) som ønsket. Lemma 3.8 Lad X være et normeret vektorrum, og lad F : X X R være en symmetrisk og positivt definit bilinearform. Der finde et ɛ > 0 sådan at det for alle symmetriske bilinearformer G : X X R gælder at hvis G F < ɛ, så må G være positivt definit.
3.2. Flerdimensionale varianter 43 BEVIS: Da F er positivt definit, er F(x, x) > 0 for alle x X med x = 1. Idet {x x = 1} er enkompakt mængde og x F(x, x) er kontinuert, må funktionen antage et minimum over den kompakte mængde. Dette minimum er ikke nul, og der findes derfor et λ > 0 sådan at Men dermed er F(x, x) λ for alle x X med x = 1. ( ) x F(x, x) = x 2 F x, x λ x 2 x for alle x 0 - og såmænd også for x = 0, i det begge sider af uligheden i så fald er nul. Hvis F G < λ 2, så er G(x, x) = F(x, x) + G(x, x) F(x, x) λ x 2 F G x 2 λ 2 x 2 for alle x X, hvilket viser at G er positivt definit. Man kan kombinere disse resultater til en betingelse, der sikrer at et stationært punkt for en reel funktion er et lokalt minimum: Korollar 3.9 Lad U X være en åben delmængde af et normeret vektorrum, og lad f : U R være en C 2 -afbildning. Hvis x 0 U opfylder at D f (x 0 ) = 0, D 2 f (x 0 ) > 0, så findes der en omegn V U af x 0, sådan at f (x) > f (x 0 ) for alle x V \ {x 0 }. BEVIS: Eftersom D 2 f (x 0 ) > 0 findes der et ɛ > 0 så alle symmetriske bilinerformer, der ligger tættere end ɛ på D 2 f (x 0 ) også er positivt definitte. Og eftersom f er C 2, findes der en omegn V af x 0 sådan at D 2 f (x) D 2 f (x 0 ) < ɛ for alle x V. I særdeleshed vil D 2 f (x) > 0 for alle x V. Sådan som vi har formuleret os, kan vi ikke være sikre på at V er konveks. Men det kan vi opnå ved at gøre V mindre - vi kan f.eks. gøre V til en lille kugle om x 0. Når vi er sikre på at V er konveks, så vil en henvisning til sætning 3.7 give det ønskede.
44 Kapitel 3. Taylors formel