Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på den reelle akse X: S R Mulige udfald Reelle tal 1

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Eksempler: Stokastisk variable Antallet af øjne ved kast med en terning Summen ved kast af to terninger Antallet af børn i en familie Alder af en førstegangsfødende kvinde Tid det tager at løbe fem km Mængde af sukker i en sodavand Højde af mænd Type diskret diskret diskret diskret kontinuert kontinuert kontinuert tælle måle Diskret: antager et endeligt antal værdier eller et uendeligt men tælleligt antal værdier. Kontinuert: antager værdier i en mængde af reelle tal. 2

Diskret stokastisk variabel Sandsynlighedsfunktion Definition: Lad X : S R være en diskret stokastisk variabel. Funktionen f(x) er en sandsynlighedsfunktion for X, hvis 1. f(x) for alle x 2. f(x) = 1 x 3. P(X = x) = f(x), hvor P(X=x) er sandsynligheden for de udfald s S : X(s) = x. 3

Diskret stokastisk variabel Sandsynlighedsfunktion Eksempel: Kast med tre mønter X : # kroner X : S {,1,2,3} Udfald PPP KPP, PPK, PKP KKP, KPK, PKK KKK Værdi af X X= X=1 X=2 X=3 Sandsynlighedsfunktion f() = P(X=) = 1/8 f(1) = P(X=1) = 3/8 f(2) = P(X=2) = 3/8 f(3) = P(X=3) = 1/8 Bemærk! Definitionen på en sandsynlighedsfunktion er opfyldt: 1. f(x) 2. f(x) = 1 3. P(X=x) = f(x) 4

Diskret stokastisk variabel Fordelingsfunktion Definition: Lad X : S R være en diskret stokastisk variabel med sandsynlighedsfunktion f(x). Fordelingsfunktionen for X, F(x), er defineret ved F(x) = P(X x) = t x f(t) for - < x < 5

Diskret stokastisk variabel Fordelingsfunktion Eksempel: Kast med tre mønter X : # kroner X : S {,1,2,3} Udfald Værdi af X Sandsynlighedsfunktion Fordelingssfunktion PPP KPP, PPK, PKP, KKP, KPK, PKK, KKK X= X=1 X=2 X=3 f() = P(X=) = 1/8 f(1) = P(X=1) = 3/8 f(2) = P(X=2) = 3/8 f(3) = P(X=3) = 1/8 F() = P(X < ) = 1/8 F(1) = P(X < 1) = 4/8 F(2) = P(X < 2) = 7/8 F(3) = P(X < 3) = 1 Sandsynlighedsfunktion: Fordelingsfunktion: f(x) F(x) 1..4.3.2.1.8.6.4.2 1 2 3 x 1 2 3 x 6

Kontinuert stokastisk variabel En kontinuert stokastisk variabel X har sandsynlighed for alle udfald!! Matematisk: P(X = x) = f(x) = for alle x Altså ikke repræsentere sandsynlighedsfunktionen f(x) på tabelform/stolpefunktion som for diskrete stokastiske variable. I stedet bruges en kontinuert funktion en tæthedsfunktion. 7

Kontinuert stokastisk variabel Tæthedsfunktion Definition: Lad X: S R være en kontinuert stokastisk variabel. En tæthedsfunktion f(x) for X er defineret ved: 1. f(x) for alle x 2. f(x) dx = 1 3. P( a < X < b ) = f(x) dx b a NB!! kontinuert: P(a < X < b) = P(a < X < b) = P(a < X < b) = P(a < X < b) 8

Kontinuert stokastisk variabel Tæthedsfunktion Eksempel: X: bilbatteri s levetid i år (kontinuert) Tæthedsfunktion: f ( x) =.16 +.16x.96.16x for for 1 x 3.5 3.5 < x 6 ellers Sandsynligheden for levetid på mere end 3 år: P( X > 3) = = 3.5 3 3 (.16 +.16x) dx + = K =.68 f ( x) dx 6 3.5 (.96.16x) dx,5,4,3,2,1 1 3 3,5 6 9

Kontinuert stokastisk variabel Tæthedsfunktion 1 Alternativ måde:.16 +.16x f ( x) =.96.16x for for 1 x 3.5 3.5 < x 6 ellers Sandsynligheden for levetid på mere end 3 år : P( X > 3) = 1 P( X = 1 = 1 3 3 1 f ( x) dx 3) (.16 +.16x) dx = K = 1.32 =.68,5,4,3,2,1 1 3 3,5 6

Kontinuert stokastisk variabel Fordelingsfunktion Definition: Lad X : S R være en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion f(x). Fordelingsfunktion for X, F(x), er defineret ved NB!! F(x) = P(X x) = F (x) = f(x) x f(t) dt for - < x < F(3) = P(X 3),5 = 3 f(x) dx,4,3,2 11 = 3 1.16 + = K =.32.16x dx,1 1 3 3,5 6

Kontinuert stokastisk variabel Fordelingsfunktion Fra definitionen af fordelingsfunktionen fås: P( a < X < b ) = P( a < X < b ) = P( a < X < b ) = P( a < X < b ) =P(X <b ) P(X < a ) = F(b) F(a),5,4,3,2,1 a b 1 3,5 6 12

Kontinuert kontra diskret stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X < b) = f(t) a<t<b Kontinuert stokastisk variabel Udfaldsrum uendelig mange elementer Tæthedsfunktion f(x) er en kontinuert funktion Udregning af sandsynligheder P( a < X < b ) = f(t) dt b a 13

Simultan fordeling Simultan sandsynlighedsfunktion Definition: Lad X og Y være to diskrete stokastiske variable. Den simultane sandsynlighedsfunktion f(x,y) for X og Y er defineret ved 1. f(x,y) for alle x og y 2. f(x,y) = x y 1 3. P(X = x,y = y) = f(x,y) (sandsynligheden for både X = x og Y=y) For en mængde A i xy-planen: P((X,Y) A) = ( x,y ) A f(x,y) 14

Simultan fordeling Marginal sandsynlighedsfunktion Definition: Lad X og Y være to diskrete stokastiske variable med simultan sandsynlighedsfunktion f(x,y). Den marginale sandsynlighedsfunktion for X er givet ved g(x) = Σ f(x,y) for alle x y Den marginale sandsynlighedsfunktion for Y er givet ved h(y) = Σ f(x,y) for alle y x 15

Simultan fordeling Marginal sandsynlighedsfunktion Eksempel 3.14 (modificeret): Simultan sandsynlighedsfunktion f(x,y) for X og Y er givet ved y x 3/28 1 9/28 2 3/28 h(1) = P(Y =1) = 3/14+3/14+ = 3/7 1 3/14 3/14 g(2) = P(X= 2) = 3/28++ = 3/28 2 1/28 P(X+Y < 2) = 3/28+9/28+3/14 = 18/28 = 9/14 16

Simultan fordeling Simultan tæthedsfunktion Definition: Lad X og Y være to kontinuerte stokastiske variable. Den simultane tæthedsfunktion f(x,y) for X og Y er defineret ved 1. f(x,y) for alle x 2. f (x,y) dx dy = 1 3. P(a < X< b, c<y< d) = d c b a f(x,y) dx dy 17 For en mængde A i xy-planen gælder: P[(X,Y) A] = f(x,y) dxdy A

Simultan fordeling Marginal tæthedsfunktion Definition: Lad X og Y være to kontinuerte stokastiske variable med simultan tæthedsfunktion f(x,y). Den marginale tæthedsfunktion for X er givet ved g(x) = f(x,y) dy for alle x Den marginale tæthedsfunktion for Y er givet ved h(y) = f(x,y) dx for alle y 18

Simultan fordeling Marginal tæthedsfunktion 19 Eksempel 3.15 + 3.17 (modificeret): Simultan tæthedsfunktion f(x,y) for X og Y: 2 (2x + 3y) x 1, y 1 f(x,y) = 5 ellers Marginal tæthedsfunktion for X: g(x) = f(x,y) dy = = 1 2 5 (2x + 3y) dy [ 2 ] 1 3 2xy + 1 3y = 4 x + 5 5 5 5 2

Simultan fordeling Betinget tæthed- og sandsynlighedsfunktion Definition: Lad X og Y være stokastiske variable (kontinuerte eller diskrete) med simultan tætheds-/sandsynlighedsfunktion f(x,y). Da er den betingede tætheds-/sandsynlighedsfunktion for Y givet X=x f(y x) = f(x,y) / g(x) g(x) = hvor g(x) er marginal tætheds-/sandsynlighedsfunktion for X, og den betingede tætheds-/sandsynlighedsfunktion for X givet Y=y f(x y) = f(x,y) / h(y) h(y) = hvor h(y) er marginal tætheds-/sandsynlighedsfunktion for Y. 2

Simultan fordeling Betinget sandsynlighedsfunktion Eksempel 3.16 + 3.18 (modificeret): Simultan sandsynlighedsfunktion f(x,y) for X og Y er givet ved: y x 3/28 1 9/28 2 3/28 marginal ss. g(x) = 1 28 15 28 3 28 for for for x = x = 1 x = 2 1 2 3/14 1/28 3/14 P(Y=1 X=1 ) = f(1 1) = f(1,1) / g(1) = (3/14) / (15/28) = 6/15 21

Simultan fordeling Uafhængighed Definition: To stokastiske variable X og Y (kontinuerte eller diskrete) med simultan tætheds-/sandsynlighedsfunktion f(x,y) og marginal tætheds-/sandsynlighedsfunktion hhv. g(x) og h(y), siges at være uafhængige, hvis f(x,y) = g(x) h(y) eller hvis f(x y) = g(x) (x uafh. af y) eller f(y x)=h(y) (y uafh. af x) 22