Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel Potensreglen Entydig løsning Test entydig løsning Calculus 1-2006 Uge 38.1-1 Nem vej til areal Eksempel 9.1 Areal b 2 a 1 b1 a 2 Areal a 1 + b 1 )a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 Calculus 1-2006 Uge 38.1-2 Nemme determinanter Eksempel 9.3 Determinanten af en kvadratisk matrix 1-matrix 2-matrix a 11 a 11 a 11 a 12 a 21 a 22 a 11a 22 a 12 a 21 3-matrix a 11 a 12 a 13 a 22 a 23 a 21 a 22 a 23 a 11 a a 31 a 32 a 33 32 a 33 a a 21 a 23 12 a 31 a 33 +a a 21 a 22 13 a 31 a 32 Calculus 1-2006 Uge 38.1-3 Udregn determinanter Eksempel 9.4 1) 4 2 3 10 3 4 4 5 6 2 3 0 1 5 6 3 0 2 4 6 2 0 + 3 4 5 2 3 5 0 6 3) 24 0 6 2) +34 3 5 2) 18 + 24 + 6 12 Calculus 1-2006 Uge 38.1-4
Spejling og drejning Eksempel 9.5 Determinanten af en spejling cos 2θ sin 2θ MatrS θ ) sin 2θ cos 2θ cos 2 2θ sin 2 2θ 1 Determinanten af en drejning cos θ sin θ MatrD θ ) sin θ cos θ cos 2 θ + sin 2 θ 1 Calculus 1-2006 Uge 38.1-5 Determinant ved rækkeudvikling Definition 9.6 Lad A ij være den m 1) n 1)-matrix, der fremkommer ved at slette i-te række og j-te søjle i en m n-matrix A. Determinanten af en kvadratisk n n-matrix A er givet ved rækkeudvikling efter 1-te række Kan skrives A n 1) 1+j a 1j A 1j j1 A 1) 1+1 a 11 A 11 + 1) 1+2 a 12 A 12 + Calculus 1-2006 Uge 38.1-6 Determinant Eksempel 9.8 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 23 a 12 a 21 a 23 + a 13 a 21 a 22 a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 a 22 a 23 a 11 a 32 a 33 a a 21 a 23 12 a 31 a 33 + a a 21 a 22 13 a 31 a 32 Calculus 1-2006 Uge 38.1-7 Determinant mange veje Sætning 9.9 1. Determinanten kan beregnes ved rækkeudvikling efter i-te række n A 1) i+j a ij A ij j1 2. Determinanten kan beregnes ved søjleudvikling efter j-te søjle n A 1) i+j a ij A ij i1 Calculus 1-2006 Uge 38.1-8
Søjleudvikling Eksempel 9.10 Beregn determinant ved udvikling efter anden søjle 1 3 1 3 4 5 6 2 4 6 + 5 8 4 6 7 8 9 7 9 7 9 4 6 2 7 9 + 5 1 3 7 9 8 1 3 4 6 24 9 6 7) + 51 9 3 7) 81 6 3 4) 12 60 + 48 0 Calculus 1-2006 Uge 38.1-9 Udregn determinant af orden 4 Eksempel 9.11 1 0 7 0 0 1 0 0 1 0 7 1) 4+4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1) 3+3 1 0 0 1 1 Calculus 1-2006 Uge 38.1-10 Trekantsmatrix Eksempel 9.12 0-række/søjle 0 a 12 0 0 0 a 22 a 21 a 22 0........ øvre trekantsmatrix a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n..... a 11 a 22 a nn. 0 0 a nn Calculus 1-2006 Uge 38.1-11 Rækkeoperationsmatricer Bemærkning 9.13 Ombytning af to rækker: 0 1 1 0 1 Multiplikation af række med tal 0: 1 0 0 s s Addition af et multiplum af en række til en anden: 1 s 0 1 1 Calculus 1-2006 Uge 38.1-12
Rækkeregneregler Sætning 9.14 Beregning af determinant Ombytning af to rækker: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af række med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Addition af et multiplum af en række til en anden: Determinanten er uændret Calculus 1-2006 Uge 38.1-13 Søjleregneregler Sætning 9.14 - fortsat Beregning af determinant Ombytning af to søjler: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af søjle med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Addition af et multiplum af en søjle til en anden: Determinanten er uændret Calculus 1-2006 Uge 38.1-14 Skalering af række eller søjle Eksempel 9.15 ) 2 7 3 4 1 1 2 7 3 4 2 7 1 7 1 7 2 3 7 4 ) 1 1 2 7 3 4 2 7 Calculus 1-2006 Uge 38.1-15 Transponering og skalering Bemærkning 9.17 Udvikling efter række er udvikling efter søjle i den transponerede matrix, så determinanten er den samme A T A Bemærkning 9.18 En n n-matrix A skaleres med λ ved at skalere hver række. Så anvendes rækkeskalerings reglen n-gange fås λa λ n A Calculus 1-2006 Uge 38.1-16
Determinanten er nul Bemærkning 9.20 Observationer om determinant nul En 0-række eller en 0-søjle: Determinanten er 0 To ens rækker eller to ens søjler: Determinanten er 0 Eksempel 1 3 1 0 2 5 2 8 0 2 7 2 1 1 9 1 2 Calculus 1-2006 Uge 38.1-17 Test determinant nul Test Gælder der altid, at determinanten 1 x 1 3 y 3 0. 0 z 0 Løsning Første og tredje søjle er ens. Afkryds: ja nej Calculus 1-2006 Uge 38.1-18 Udregn determinanter Eksempel 9.22 Reducer til øvre trekantsmatrix 1) 3 4 1) 10 10 0 10 2) 4 5 6 0 3 6 0 3 6 2 3 0 0 1 6 0 0 4 1 3) 4) 12 Calculus 1-2006 Uge 38.1-19 Determinant af matrixprodukt Sætning 9.23 - Produktreglen For to kvadratiske n n-matricer A, B gælder AB A B Bevis For B fast og A en rækkeoperationsmatrix er produktreglen netop rækkeregnereglerne. Ved rækkereduktion kan A skrives som produkt af rækkeoperations-matricer samt enten identitetsmatricen eller en matrix med en 0-række nederst. Produktreglen følger heraf. Calculus 1-2006 Uge 38.1-20
Brug produktreglen Eksempel 9.24 A 4 5 6 12 2 3 0 15 21 15 AA 36 51 42 AA A A 12 12 144 14 19 24 Calculus 1-2006 Uge 38.1-21 Determinant af potens Eksempel 9.25 Potensers determinant 1) 4 2 3 10 3 4 ) k 3 4 k 10) k 3 4 Calculus 1-2006 Uge 38.1-22 Determinant af invers matrix Sætning 9.26 -Inversreglen En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis A 0. Der gælder A 1 1 A hvis A 0. Bevis Hvis A er invertibel så giver produktreglen formlen. Hvis A 0 så kan A skrives som produkt af rækkeoperationsmatricer, som hver er invertible. A er da invertibel. Calculus 1-2006 Uge 38.1-23 Brug inversreglen Eksempel 9.27 Matricen har determinant A 4 5 6 2 3 0 A 12 A er invertibel og den inverse har determinant A 1 A 1 1 12 Calculus 1-2006 Uge 38.1-24
Test inversregel Test Determinanten af en invertibel matrix er altid 0. Løsning Sætning 12 giver svaret direkte. Afkryds: ja nej Calculus 1-2006 Uge 38.1-25 Test produktreglen Test Givet en kvadratisk matrix A. Hvis deta 2 ) 0, så er deta) 0. Løsning Af produktreglen følger Afkryds: ja nej deta) 2 deta 2 ) 0 Calculus 1-2006 Uge 38.1-26 Determinant af negative potenser Eksempel 9.28 Negative potensers determinant 1) 4 2 3 10 3 4 ) 1 3 4 1 10 ) k 3 4 1 10) k Calculus 1-2006 Uge 38.1-27 Determinant af alle potenser Eksempel 9.29 Potensreglen for determinant Hvis A 0 så for alle hele tal k. Hvis A 0 så for alle hele tal k > 0. A k A k A k 0 Calculus 1-2006 Uge 38.1-28
Cofaktormatricen Definition 9.30 Lad A være en n n-matrix og A ij fremkomme ved at slette i-te række og j-te søjle. Cofaktormatricen CofA) er n n-matricen: n 1: identitetsmatricen CofA) I 1. n > 1: med ij-te indgang 1) i+j A ji Calculus 1-2006 Uge 38.1-29 Cofaktormatricen Eksempel 9.31 1 1matricen har 2 2-matricen har ) A 10 ) CofA) 1 A ) 3 4 ) 4 2 CofA) 3 1 Calculus 1-2006 Uge 38.1-30 Cofaktorformlen Sætning 9.32 Lad A være en n n-matrix. Så er produktet A CofA) CofA)A A I n Hvis A 0, så er A invertibel og der gælder A 1 1 A CofA) Calculus 1-2006 Uge 38.1-31 Cofaktormatricen Eksempel 9.33 For matricen A d CofA) c A 1 1 CofA). Altså ad bc a c ) a b er cofaktormatricen c d ) b. Hvis ad bc 0 så er A invertibel med a ) 1 b d 1 d ad bc c ) b a Calculus 1-2006 Uge 38.1-32
Ligningssystem og determinant Sætning 9.34 - Entydig løsning 1. Et homogent ligningssystem med en kvadratisk koefficientmatrix A har en egentlig løsning 0) uendelig mange), hvis og kun hvis A 0. 2. Det inhomogen ligningssystem Ax b har en og kun en løsning, hvis og kun hvis A 0. Calculus 1-2006 Uge 38.1-33 Bestem entydig løsning Eksempel 9.35 For hvilke tal t har det homogene ligningssystem med koefficientmatrix 1 1 1 A 1 t 1 1 1 t en entydig løsning. Find løsningsrummet for alle t. Calculus 1-2006 Uge 38.1-34 Bestem entydig løsning Eksempel 9.35 - løsning Beregn determinanten 1 1 1 1 1 1 A 1 t 1 0 t 1 0 t 1) 2 1 1 t 0 0 t 1 For t 1 har det homogene ligningssystem Ax 0 entydig løsning x 0. Calculus 1-2006 Uge 38.1-35 Bestem alle løsninger Eksempel 9.35 - løsning For t 1 er den reducerede form af ligningssystemet x 1 x 2 x 3 x 1 + x 2 + x 3 0 Dette giver løsninger 1 1 x 2 1 + x 3 0 0 1 Calculus 1-2006 Uge 38.1-36
Test entydig løsning Test Gælder der altid, at alle ligningssystemer med koefficientmatrix 1 a 1 0 1 b har en entydig løsning. 0 0 2 Løsning Afkryds: 1 a 1 0 1 b 1) 1 2 2 0 0 0 2 ja nej Calculus 1-2006 Uge 38.1-37 Cramers regel Sætning 9.36 Lad A være en kvadratisk n n-matrix med determinant A 0. Det inhomogen ligningssystem Ax b har løsningen x A 1 b, hvor den j-te koordinat er givet ved Cramers regel x j a 1 a j 1 b a j+1 a n A Tælleren er determinanten af den matrix der fremkommer ved at erstatte j-te søjle med søjlevektoren b. Calculus 1-2006 Uge 38.1-38 Cramers regel Eksempel a 11 a 12 Ligningssystemet med a 21 a 22 a 11a 22 a 12 a 21 0, a 11 x 1 + a 12 x 2 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 b 2 har løsning b 1 a 12 a 11 b 1 b 2 a 22 a 21 b 2 x 1 a 11 a, x 2 12 a 11 a 12 a 21 a 22 a 21 a 22 Calculus 1-2006 Uge 38.1-39