DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse. Opgave stilles fredag 9. marts 2007 og skal afleveres seest tirsdag 20. marts 2007 kl. 11.00 i DIKU s studieadmiistratio. For at blive godkedt skal der være gjort et reelt forsøg på at løse samtlige spørgsmål. Besvarelse skal udarbejdes i grupper på to til tre deltagere. Grupper med é deltager kræver skriftlig accept fra istruktore midst e uge før opgave skal afleveres. Læs veligst hele opgaveformulerige igeem ide du går i gag. Hits til opgavere ka fås ved øvelsere, hvor der er afsat tid til at arbejde med projektopgave. Idledig Bi packig problemet er et vigtigt optimerigsproblem idefor produktiosplalægig, pakig m.m. Bi packig problemet er NP-hårdt at løse [1]. Formelt ka bi packig problemet defieres på følgede vis: Lad der være givet gestade som hver har e tilkyttet vægt w j. Lad der edvidere være givet et uedeligt atal beholdere (bis) der hver ka rumme vægte c (kapacitete). Opgave er u at fordele gestadee i beholdere, så ige beholderes kapacitet overskrides, og således at der beyttes færrest mulige beholdere. Hvis vi bruger biære variable x i j til at agive om e gestad j abriges i beholder i, og v i til at agive om beholder i beyttes, får vi følgede matematiske formulerig af problemet: miimize subject to i=1 v i (1) w j x i j cv i, i = 1,..., (2) x i j 1, j = 1,..., (3) i=1 x i j {0,1}, i, j = 1,..., (4) v i {0,1}, i = 1,..., (5) Vi vil betege formulerige (1) (5) for e simple formulerig. Objektfuktioe (1) agiver at vi skal bruge færrest mulige beholdere, mes begræsig (2) agiver at hvis v i = 0 så ka der ikke pakkes oget i beholdere og hvis v i = 1 så ka der pakkes kapacitete c. Begræsig (3) sikrer at hver gestad j bliver pakket, og begræsigere (4) og (5) sikrer at alle beslutigsvariable er boolske. Det atages ormalt at alle koefficieter w j og c er positive heltal. Det atages edvidere at w j c for alle j da ma ellers ikke ka fide e lovlig løsig. 1
Eksempel 1 I det følgede eksempel er c = 9 og der er givet = 7 gestade med følgede vægte: j 1 2 3 4 5 6 7 w j 2 4 6 5 8 4 6 Opgave 1 Løs istase fra eksempel 1 til optimalitet ved brug af CPLEX. Rapporter de fude løsig samt atal brach-ad-boud kuder som CPLEX brugte (agiv Nodes og Iteratios). E god heuristik til at løse bi packig problemet er first fit decreasig. Her sorters gestadee efter aftagede vægt, og alle beholdere er til at begyde med tomme. Nu betragtes gestadee i de sorterede rækkefølge. Hver gestad j abriges i de første beholder (dvs. de beholder med lavest ummer) hvor der er plads. Opgave 2 Aved first fit decreasig heuristikke på eksempel 1 og vis at ma herved fider følgede løsig bi gestade vægt 1 5 8 2 3,1 6+2 3 7 6 4 4,2 5+4 5 6 4 Giv tilstrækkeligt med detaljer til at ma ka følge algoritme. Hvis ma keder e øvre græse m for atal beholdere, der skal beyttes i e optimal løsig, ka dette udyttes til at begræse atal beslutigsvariable v j således at ma ku har disse variable for j = 1,..., m. Dette ka reducere størrelse af modelle (1) (5) betragteligt. Græseværdier Hvis vi LP-relaxerer bi packig problemet (1) (5) får vi følgede problem miimize subject to i=1 v i (6) w j x i j cv i, i = 1,..., (7) x i j 1, j = 1,..., (8) i=1 0 x i j 1, i, j = 1,..., (9) 0 v i 1, i = 1,..., (10) Løsigsværdie til LP-relaxerige beteges z LP. Opgave 3 Fid z LP for istase fra eksempel 1. 2
Det er oplagt at z LP giver e edre græseværdi for bi packig problemet. Me desværre er kvalitete af dee relativt dårlig. Ma ka opå e strammere græseværdi ved at omskrive problemet som følger: Opgave 4 Opskriv for istase i eksempel 1 samtlige måder e beholder ka pakkes på. (Dvs. agiv i tabel-form de valgte gestade, og deres vægt-sum). Atag at der fides to lovlige pakiger P 1 og P 2 hvor samtlige gestade i pakig P 1 også idgår i pakig P 2, me pakig P 2 yderligere ideholder e eller flere gestade. Så ka vi slette pakig P 1 idet vi ikke er dårligere stillet ved at avede pakig P 2 i stedet. (Vi ka altid smide ekstra gestade væk i e løsig). Opgave 5 Brug dee observatio til at fjere ogle pakiger fra forrige opgave og opskriv de tilbageværede pakiger. Lad R betege mægde af pakiger af e ekelt beholder. Lad edvidere a i j agive om gestad j idgår i pakig i. Vi ka beytte dette til at opskrive e alterativ formulerig af bi packig problemet, som vi beteger koloe formulerige. Lad x i agive om pakig i R beyttes. Dermed bliver modelle: mi s.t x i (11) i R a i j x i 1 j = 1,..., (12) i R x i {0,1} i R (13) Her sikrer (12) at hver gestad j bliver pakket, mes (13) sikrer at hver pakig bliver brugt ul eller e gag. Opgave 6 Opskriv koloe formulerige af eksempel 1 (gere reduceret i hehold til opgave 5) Opgave 7 Løs koloe formulerige af eksempel 1 til LP-optimalitet med CPLEX. Opgave 8 Løs koloe formulerige af eksempel 1 til IP-optimalitet med CPLEX. Rapporter atal brach-ad-boud kuder som CPLEX brugte (agiv Nodes og Iteratios). Opgave 9 Bevis at ma får strammere græseværdier ved at løse LP-relaxerige af koloe formulerige ed ved at løse LP-relaxerige af de simple formulerig. (Hit: Idet de to formuleriger har samme objektfuktio skal ma blot vise at løsigsrummet for det ee problem er skarpt ideholdt i det adet problem. Ma skal m.a.o. vise at ehver løsig til koloe formulerige også er e løsig til de simple formulerig. Edvidere skal ma vise at der fides midst e istas hvor koloe formulerige giver e strammere græseværdi ed de simple formulerig). Desværre ka der være ekspoetielt mage måder hvorpå e ekelt beholder ka pakkes, og dermed bliver koloe formulerige i praksis uløselig grudet det store atal beslutigsvariable. Hvis ma ku er iteresseret i at løse LP-relaxerige af koloe formulerige (11) (13), ka problemet løses ved at geerere koloere efterhåde som der bliver brug for dem. Ma ka da håbe på at problemet ka løses til LP-optimalitet ude at geerere mere ed e lille brøkdel af koloere. 3
For at illustrere pricippet, betragt ige de LP-relaxerede koloe formulerig af eksempel 1, hvor vi ku betragter pakigere fra first fit decreasig heuristikke. Dette fører til følgede LPmodel mi x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 s.t. x 2 1 x 4 1 x 2 1 x (14) 4 1 x 1 1 x 5 1 x 3 1 Lad y j betege de duale variabel svarede til begræsig (12) for gestad j. De duale variable for oveståede eksempel er y 1 = y 2 = y 5 = y 6 = y 7 = 1 mes y 3 = y 4 = 0. Opgave 10 Giv e ituitiv fortolkig af de duale variable y j. Opgave 11 Idet de ituitive fortolkig af de duale variable udyttes, fid ved ispektio de mest lovede pakig i R, fra opgave 5 som skal tilføjes modelle. Ma behøver ikke at kede mægde R for at løse problemet fra opgave 11. Opgave 12 Vis at problemet med at fide de mest lovede pakig i R som skal tilføjes til modelle ka formuleres som et kapsack problem. Dette problem kaldes pricig problemet. Opgave 13 Agiv et kriterie for hvorår det ikke ka betale sig at medtage e y pakig af e beholder (Hit: betragt de reducerede omkostig af e pakig). Opgave 14 Udvid oveståede koloe formulerig (14) med de ye pakig som blev fudet i opgave 11. Løs det udvidede problem (14) med CPLEX og bestem de ye duale variable y 1,...,y 7. Opgave 15 Getag processe med at fide de mest lovede pakig ved brug af metode fra opgave 12, tilføj de til modelle (14) og bestem de ye duale variable. Stads processe år stop-kriteriet fra opgave 13 ås. Giv tilstrækkeligt med detaljer i hvert skridt. Opgave 16 Sammelig de to løsiger fra opgave 7 og 15 med hesy til LP-løsigsværdi og størrelse af de edelige model. Noter Til opgave beyttes CPLEX. Da der ku er ogle få CPLEX-liceser til rådighed på DIKU bedes ma logge ud fra CPLEX relativt hurtigt efter at have kørt si istas. CPLEX liceser er tilgægelige på og maskiere. CPLEX ka drille år ma vil fide de duale variable: Hvis ma bruger formulerige vil CPLEX have e usylig dual variabel kyttet til begræsige. Dette ka medføre at de reducerede omkostiger udreges forkert. Det emmeste er helt at udelade græser på variablee. Det er ikke ødvedigt at sikre x i 1 (da vi miimerer), og x i 0 er uderforstået for LP-problemer. 4
Litteratur [1] [2] L. A. Wolsey, Iteger Programmig, Wiley, Chichester, UK, 1999. 5
Skematisk løsig Svar 1 Problemet løses med CPLEX!" $!$$% $$ &'!$ %$$%!()*$+,$- $$$%$$ &'$%$$%()*&+,$- $$$%$$ &'$%$$%()*&+,$- $$$%$$&'$%$$%()*+,$- $$$%$$ &'$%$$%()*&+,$- $.,&!&.,&!&.,& & $ &&.,&!&.,&!%%%%%&.,&!(((((&.,&!'''''&.,& +,& $+,& $+,& +,& $+,& $+,&!&+,&!&+,& +,&!&+,&!%&+,&!(&+,& $+,& &+,& &+,& +,& &+,& %&+,& (&+,& $+,& &+,& &+,& +,& &+,& %&+,& (&+,& $+,& &+,& &+,& +,& &+,& %&+,& (&+,& $+,& &+,& &+,& +,& &+,& %&+,& (&+,& / 01 2$!$!!%$!( $ %$( $ %$( $%$( $ %$(! 3 Output: 4 5 06" 7 /8!"8 "! :9<;!! =,?>@---------- -- A "8! "! =, -?> --!?> 4 0/ "! &,&!*CB"3 $,$- D EFGH.3!"8/ 06) I / 0 /!8 B/ A "8! "! I /8 6
!!% (!' 88$" 0&/ 0 /!8 & & 0/! 5 6) / 0 0"?> Atal brach-ad-boud kuder (odes) er 0, mes atal iteratioer (iteratios) er 19. Svar 2 First fit decreasig. Sorterer gestade 8, 6, 6, 5, 4, 4, 2. bi gestade vægt 1 5 8 2 3,1 6 2 3 7 6 4 4,2 5 4 5 6 4 Bemærk at vi bruger 5 beholdere, så vi har e øvre græse på løsigsværdie som er m = 5. Svar 3 LP-solutio /8 78 );!7 /8 9 ;! 6,?> '''''''''* -- A "8! "! =, -?> --!?> 4 0/ "! &,&!( D EFGH.3!"8/ 06) I / 0 /!8 B/ A "8! "! I /8 -?> -?> %%%%%(! -?> %%%%%(!( -?> ' -?> -?> ----- % ( -?>!%%%%( -?> -----!' 88$" 0&/ 0 /!8 & & 0/! 5 6) / 0 0"?> Svar 4 samtlige pakiger er: pakig gestade vægte vægt sum 1 1 2 2 2 1,2 2+4 6 3 1,3 2+6 8 4 1,4 2+5 7 5 1,6 2+4 6 6 1,7 2+6 8 7 2 4 4 8 2,4 4+5 9 9 2,6 4+4 8 10 3 6 6 11 4 5 5 12 4,6 5+4 9 13 5 8 8 14 6 4 4 15 7 6 6 7
Svar 5 Af disse er de udomierede: pakig gestade vægte vægt sum 1 1,2 2+4 6 2 1,3 2+6 8 3 1,4 2+5 7 4 1,6 2+4 6 5 1,7 2+6 8 6 2,4 4+5 9 7 2,6 4+4 8 8 4,6 5+4 9 9 5 8 8 Svar 6 Idet vi begræser os til de udomierede pakiger får vi formulerige: $$&$%('$*!" $$&.,& %(.,&.,& % '.,& *.,& ($'.,&.,&! 3 Bemærk at begræsiger x j 1 ikke er ødvedige Svar 7 Hvis vi løser koloe problemet til LP-optimalitet får vi: D EFGH."!7! 53 > E 0 /8 78 ); 7 /8 9 ;!! =, >@--------- -- A "8! "! =, -?> --!?> 4 0/ "! &,$- @- D EFGH.3!"8/ 06) I / 0 /!8 B/ A "8! "! I /8 % -?> ----- ( -?> ----- ' -?> ----- * 88$" 0&/ 0 /!8 & & 0/! 5 6)!*/ 0 0"?> Svar 8 Løses problemet til IP-optimalitet får vi: D EFGH.$0 /3! 7 >@8 7 E 0" 8 7?>@8 7 0 /3 > /3 &, - > --! > D EFGH."!7 0 3&/ 550 5/ "0?> 4 EE 0!"8! 8 J / 3$0" /! 3 "8 J> 3 3 4 E /0" % "8! 2/! 3$* "! 0" > E 0!"8!, -?> --!?> 4 E 7 / J9 /8/! " 7 /8!1 /! 3 / 8 1 "" $0 8 / / "!!"8 "! 6 &, -?>@--! > B"3 D B"3 F ;! 44 4 5 0 B"3 4 D /!7 - - >@--- > --- - - -?> ---- > ---!- > -- 4 5 06" 7 /8!"8 "! :9<;!! =,?>@---------- -- A "8! "! =, -?> --!?> 4 0/ "! &,CB"3 $,$- D EFGH.3!"8/ 06) 8
I / 0 /!8 B/ A "8! "! I /8 ( ' * 88$" 0&/ 0 /!8 & & 0/! 5 6)!*/ 0 0"?> Atal brach-ad-boud kuder (Nodes) er 0, mes atal iteratioer (iteratios) er 4. Så problemet er blevet emmere at løse. Svar 9 Vi skal vise at ehver løsig til koloe-problemet også er e løsig til de simple formulerig. Atag at vi har LP-løsige x 1,...,x R til koloeproblemet (11) (13). Da problemet ikke ædrer sig ved at vi bytter rudt på koloere, ka vi atage at de første k koloer har løsigsværdi x i > 0. Vi sætter u v i = x i for i = 1,...,k og x i j := a i j x i for i = 1,...,k, j = 1,..., Alle adre variable sættes til ul. Dee løsig er også lovlig for de simple formulerig (1) (5). Der gælder emlig for ehver koloe i koloe problemet og dermed så vi har for de simple formulerig. Edvidere gælder der at x i 1 og a i j 1 så også og w j a i j c w j a i j x i cx i w j x i j cv i x i j = a i j x i 1 v i = x i 1 Da løsige til koloe-problemet er e lovlig løsig til de simple formulerig, vil løsigsværdie for de simple formulerig ikke være midre ed de tilsvarede for koloeproblemet. Istase fra eksempel 1 viser at der fides e istas hvor koloe-problemet har e skarpt større løsigsværdi ed de simple formulerig. Svar 10 hvis vi sætter p j = y j er de reducerede omkostig af e pakig givet ved 1 p j x j, hvor variable x j = 1 hvis elemet j idgår i pakige. Da pakige skal være lovlig er vi iteresseret i at miimere følgede optimerigs problem: miimize subject to 1 p j x j (15) w j x j c, (16) x j {0,1}, j = 1,...,. (17) 9
der ka briges på maksimerigsform maximize subject to hvilket gekedes som et kapack problem. p j x j (18) w j x j c, (19) x j {0,1}, j = 1,...,. (20) Svar 11 Koloegeererig iteratio 0! " $ % &" &' &, &- &. &/ 0 1 2" 3 54 &"!3 2"6 7"' 6/ "38 "9( Tilføjer pakig 1:! " $ % &" &: &; &- &. &/ 0 1 2" 3 54 &"!3 2"6 7"' 6/ "38 "9( Tilføjer pakig 8:! " $ % &" &, &: &- &. &/ 0 1 2" 3 54 &"!3 2"6 7"' 6/ "38 "9( Tilføjer pakig 7:! " $ % &" &, *9(+- * * * * * &: &; *9(+- * * * * * &- &. *9(+- * * * * * &/ 0 1 2" 3 54 &"!3 2"6 7"' 6/ "38 "9( Ikke flere pakiger med egativ reduceret omkostig 10
Koloegeererig ude det store skrivearbejde For små-problemer ka ma med fordel opskrive alle koloer (som illustreret i edeståede fil). For de koloer som p.t. ikke skal medtages i modelle, sættes de tilhørede x-variabel til 0. Dette sparer ikke alee e del skrivearbejde, me de duale variabel svarede til begræsige x = 0 vil etop agive de reducerede omkostig for de ye pakig. I edeståede formulerig er alle pakiger 1-9 medtaget, samt de to pakiger 10,11 (som er domierede me alligevel idgår i løsige fra first-fit-decreasig). Start formulerige fra (14) svarer da til koloere 2, 6, 9, 10, 11, mes beslutigsvariable for alle adre koloer sættes til ul. $$&$%('$*$!-!" $$&., %(.,., % '., *., ($'!-.,.,,- $ ' $,- $ *,- $!- $,- $ ($,- $! '$,- $!! 3 D EFGH."!7 0 3&/ 550 5/ "0?> FE$E 0 "8! 8 / 3!0" /! 3 "8!! J> 880" /! 3& "8 8 / 3?> E 0!"8!, -?> --!?> /8 78 );!7 /8 9 ;! 6,?> ---------- -- A "8! "! =, -?> --!?> 4 0/ "! &,$- @- D EFGH.3!"83 /) D "! 0/! 6B/ /8 E 0 % (! ) 88$" 03!/870! $ 0/! 5 6)!/ 0 0" > Det ses at costrait c12 (begræsige v7 = 0) har reduceret omkostig -1, så pakig 7 er de æste koloe der skal medtages. Bemærk at der er mage ækvivalete LP-løsiger, og derfor kue CPLEX også have valgt e ade koloe. 11