DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010
Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat)
Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. Vi forlanger, at disse to operationer opfylder a, b V = a + b V s L a V = sa V (fortsat)
Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. Vi forlanger, at disse to operationer opfylder a, b V = a + b V s L a V = sa V Desuden forlanger vi for alle a, b, c V og s, t L: (fortsat) a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c) 0 V så a + 0 = a, a 1 V så a + a 1 = 0 s (ta) = (st) a, (s + t) a = sa + ta s (a + b) = sa + sb, 1a = a
Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. Vi forlanger, at disse to operationer opfylder a, b V = a + b V s L a V = sa V Desuden forlanger vi for alle a, b, c V og s, t L: (fortsat) a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c) 0 V så a + 0 = a, a 1 V så a + a 1 = 0 s (ta) = (st) a, (s + t) a = sa + ta s (a + b) = sa + sb, 1a = a V er da et over L. Hvis L = R er V et reelt. Hvis L = C er V et komplekst.
Nulet er entydigt bestemt: Hvis 0 1 og 0 2 begge er nuler, altså opfylder a + 0 = a for alle a, så gælder 0 1 = 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 = 0 2 (fortsat)
Nulet er entydigt bestemt: Hvis 0 1 og 0 2 begge er nuler, altså opfylder a + 0 = a for alle a, så gælder 0 1 = 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 = 0 2 Hvis a + a 1 = 0 og a + a 2 = 0 (begge er modsatte er til a), så fås a 2 = a 2 + 0 = a 2 + (a + a 1 ) = (a 2 + a) + a 1 = (a + a 2 ) + a 1 = 0 + a 1 = a 1 (fortsat)
Nulet er entydigt bestemt: Hvis 0 1 og 0 2 begge er nuler, altså opfylder a + 0 = a for alle a, så gælder 0 1 = 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 = 0 2 Hvis a + a 1 = 0 og a + a 2 = 0 (begge er modsatte er til a), så fås a 2 = a 2 + 0 = a 2 + (a + a 1 ) = (a 2 + a) + a 1 = (a + a 2 ) + a 1 = 0 + a 1 = a 1 (fortsat) Det entydigt bestemte modsatte til a betegnes med a.
Nulet er entydigt bestemt: Hvis 0 1 og 0 2 begge er nuler, altså opfylder a + 0 = a for alle a, så gælder 0 1 = 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 = 0 2 Hvis a + a 1 = 0 og a + a 2 = 0 (begge er modsatte er til a), så fås a 2 = a 2 + 0 = a 2 + (a + a 1 ) = (a 2 + a) + a 1 = (a + a 2 ) + a 1 = 0 + a 1 = a 1 (fortsat) Det entydigt bestemte modsatte til a betegnes med a. Det ses af ( a) + a = a + ( a) = 0 at a er modsat til a altså, at ( a) = a.
Nulet er entydigt bestemt: Hvis 0 1 og 0 2 begge er nuler, altså opfylder a + 0 = a for alle a, så gælder 0 1 = 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 = 0 2 Hvis a + a 1 = 0 og a + a 2 = 0 (begge er modsatte er til a), så fås a 2 = a 2 + 0 = a 2 + (a + a 1 ) = (a 2 + a) + a 1 = (a + a 2 ) + a 1 = 0 + a 1 = a 1 (fortsat) Det entydigt bestemte modsatte til a betegnes med a. Det ses af ( a) + a = a + ( a) = 0 at a er modsat til a altså, at ( a) = a. Sætning. a + x = b har den entydigt bestemte løsning x = b + ( a), sa = 0 s = 0 a = 0, ( 1) a = a.
Mængden af geometriske vektorer i rummet V 3 g. Mængden af geometriske vektorer i planen V 2 g. (fortsat)
Mængden af geometriske vektorer i rummet V 3 g. Mængden af geometriske vektorer i planen V 2 g. Mængden af talsæt R n med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. (fortsat)
Mængden af geometriske vektorer i rummet V 3 g. Mængden af geometriske vektorer i planen V 2 g. Mængden af talsæt R n med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. Mængden R m n af reelle m n-matricer med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. (fortsat)
Mængden af geometriske vektorer i rummet V 3 g. Mængden af geometriske vektorer i planen V 2 g. Mængden af talsæt R n med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. Mængden R m n af reelle m n-matricer med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. Mængden af reelle polynomier af højst n te grad P n (R). Sædvanlig addition af funktioner. Sædvanlig multiplikation med en skalar (en konstant!). (fortsat)
Mængden af geometriske vektorer i rummet V 3 g. Mængden af geometriske vektorer i planen V 2 g. Mængden af talsæt R n med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. Mængden R m n af reelle m n-matricer med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. Mængden af reelle polynomier af højst n te grad P n (R). Sædvanlig addition af funktioner. Sædvanlig multiplikation med en skalar (en konstant!). Mængden af reelle kontinuerte funktioner defineret på intervallet I : C (I ). Operationer som for polynomier. (fortsat)
Hvis U er en delmængde af met V, og U med de arvede operationer selv er et, så kaldes U et underrum af V. (fortsat)
Hvis U er en delmængde af met V, og U med de arvede operationer selv er et, så kaldes U et underrum af V. Sætning. Lad U V og U =. Så er U et underrum af V hvis og kun hvis a, b U = a + b U s L a U = sa U (fortsat)
Hvis U er en delmængde af met V, og U med de arvede operationer selv er et, så kaldes U et underrum af V. Sætning. Lad U V og U =. Så er U et underrum af V hvis og kun hvis a, b U = a + b U s L a U = sa U Trivielle underrum af V er V selv og {0}. (fortsat)
Hvis U er en delmængde af met V, og U med de arvede operationer selv er et, så kaldes U et underrum af V. Sætning. Lad U V og U =. Så er U et underrum af V hvis og kun hvis a, b U = a + b U s L a U = sa U Trivielle underrum af V er V selv og {0}. Ved en af linearkombination af vektorerne a 1, a 2,..., a p V forstås et udtryk af formen (fortsat) hvor c 1, c 2,..., c p L. c 1 a 1 + c 2 a 2 +... + c p a p
Hvis U er en delmængde af met V, og U med de arvede operationer selv er et, så kaldes U et underrum af V. Sætning. Lad U V og U =. Så er U et underrum af V hvis og kun hvis a, b U = a + b U s L a U = sa U Trivielle underrum af V er V selv og {0}. Ved en af linearkombination af vektorerne a 1, a 2,..., a p V forstås et udtryk af formen (fortsat) hvor c 1, c 2,..., c p L. c 1 a 1 + c 2 a 2 +... + c p a p Ved span (a 1, a 2,..., a p ) forstås mængden af linearkombinationer af vektorerne a 1, a 2,..., a p.
span (a 1, a 2,..., a p ) er et underrum af V. Det er det mindste underrum, der indeholder a 1, a 2,..., a p. (fortsat)
span (a 1, a 2,..., a p ) er et underrum af V. Det er det mindste underrum, der indeholder a 1, a 2,..., a p. Vektorerne a 1, a 2,..., a p V siges at være lineært uafhængige hvis x 1 a 1 + x 2 a 2 +... + x p a p = 0 = x 1 = x 2 =... = x p = 0 (fortsat)
span (a 1, a 2,..., a p ) er et underrum af V. Det er det mindste underrum, der indeholder a 1, a 2,..., a p. Vektorerne a 1, a 2,..., a p V siges at være lineært uafhængige hvis x 1 a 1 + x 2 a 2 +... + x p a p = 0 = x 1 = x 2 =... = x p = 0 a 1, a 2,..., a p er altså lineært uafhængige, hvis x 1 v 1 + x 2 v 2 +... + x p v p kun kan være nul, når alle koeffi cienterne er nul. (fortsat)
span (a 1, a 2,..., a p ) er et underrum af V. Det er det mindste underrum, der indeholder a 1, a 2,..., a p. Vektorerne a 1, a 2,..., a p V siges at være lineært uafhængige hvis x 1 a 1 + x 2 a 2 +... + x p a p = 0 = x 1 = x 2 =... = x p = 0 a 1, a 2,..., a p er altså lineært uafhængige, hvis x 1 v 1 + x 2 v 2 +... + x p v p kun kan være nul, når alle koeffi cienterne er nul. Hvis vektorerne a 1, a 2,..., a p ikke er lineært uafhængige, siges de at være lineært afhængige. (fortsat)
span (a 1, a 2,..., a p ) er et underrum af V. Det er det mindste underrum, der indeholder a 1, a 2,..., a p. Vektorerne a 1, a 2,..., a p V siges at være lineært uafhængige hvis x 1 a 1 + x 2 a 2 +... + x p a p = 0 = x 1 = x 2 =... = x p = 0 a 1, a 2,..., a p er altså lineært uafhængige, hvis x 1 v 1 + x 2 v 2 +... + x p v p kun kan være nul, når alle koeffi cienterne er nul. Hvis vektorerne a 1, a 2,..., a p ikke er lineært uafhængige, siges de at være lineært afhængige. En for et V er et lineært uafhængigt system a 1, a 2,..., a n af vektorer, som udspænder V, altså V = span (a 1, a 2,..., a n ). (fortsat)
Vektorerne e 1, e 2, e 3 i met R 3 givet ved 1 0 0 e 1 = 0, e 2 = 1, e 3 = 0 0 0 1 er lineært uafhængige og udgør en for R 3 : Den kanoniske for R 3. (I bogen den sædvanlige i R 3 ). (fortsat)
Vektorerne e 1, e 2, e 3 i met R 3 givet ved 1 0 0 e 1 = 0, e 2 = 1, e 3 = 0 0 0 1 er lineært uafhængige og udgør en for R 3 : Den kanoniske for R 3. (I bogen den sædvanlige i R 3 ). Polynomierne 1, x, x 2, x 3, x 4 i met P 4 (R) af polynomier af grad højst 4 er lineært uafhængige og udgør en for P 4 (R): monomiebasen. (fortsat)
Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = 6 7 4 8 lineært uafhængige?, v 3 = 9 10 11 12 (fortsat)
Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = 6 7 4 8 lineært uafhængige?, v 3 = 9 10 11 12 Vi undersøger om x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = 0 er mulig uden at x 1 = x 2 = x 3 = 0. (fortsat)
Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = 6 7 4 8 lineært uafhængige?, v 3 = 9 10 11 12 Vi undersøger om x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = 0 er mulig uden at x 1 = x 2 = x 3 = 0. x 1 Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x = x 2 kan vektorligningen x 3 skrives Ax = 0. (fortsat)
Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = 6 7 4 8 lineært uafhængige?, v 3 = 9 10 11 12 Vi undersøger om x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = 0 er mulig uden at x 1 = x 2 = x 3 = 0. x 1 Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x = x 2 kan vektorligningen x 3 skrives Ax = 0. Vektorerne v 1, v 2, v 3 er altså lineært uafhængige netop når Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. (fortsat)
Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = 6 7 4 8 lineært uafhængige?, v 3 = 9 10 11 12 Vi undersøger om x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = 0 er mulig uden at x 1 = x 2 = x 3 = 0. x 1 Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x = x 2 kan vektorligningen x 3 skrives Ax = 0. Vektorerne v 1, v 2, v 3 er altså lineært uafhængige netop når Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. Resultatet udregnes nu ved Gausselimination. Se Maple for udregningerne. Vektorerne er lineært afhængige. (fortsat)
Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = 6 7 4 8 lineært uafhængige?, v 3 = 9 10 11 12 (fortsat)
Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = 6 7 4 8, v 3 = 9 10 11 12 lineært uafhængige? Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x defineret som tidligere skal altså afklares om Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. (fortsat)
Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = 6 7 4 8, v 3 = 9 10 11 12 lineært uafhængige? Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x defineret som tidligere skal altså afklares om Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. Ved Gausselimination i Maple ses, at vektorerne er lineært uafhængige. (fortsat)
Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = 6 7 4 8, v 3 = 9 10 11 12 lineært uafhængige? Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x defineret som tidligere skal altså afklares om Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. Ved Gausselimination i Maple ses, at vektorerne er lineært uafhængige. Udgør de en for R 4? Vi mangler at undersøge, om span(v 1, v 2, v 3 ) = R 4. (fortsat)
Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = 6 7 4 8, v 3 = 9 10 11 12 lineært uafhængige? Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x defineret som tidligere skal altså afklares om Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. Ved Gausselimination i Maple ses, at vektorerne er lineært uafhængige. Udgør de en for R 4? Vi mangler at undersøge, om span(v 1, v 2, v 3 ) = R 4. Vi skal altså undersøge, om der for enhver given vektor b R 4 findes tal x 1, x 2, x 3 så x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = b. (fortsat)
Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = 6 7 4 8, v 3 = 9 10 11 12 lineært uafhængige? Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x defineret som tidligere skal altså afklares om Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. Ved Gausselimination i Maple ses, at vektorerne er lineært uafhængige. Udgør de en for R 4? Vi mangler at undersøge, om span(v 1, v 2, v 3 ) = R 4. Vi skal altså undersøge, om der for enhver given vektor b R 4 findes tal x 1, x 2, x 3 så x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = b. Dette er altså et spørgsmål om Ax = b kan løses for ethvert b R 4. Svar: Nej (se Maple). (fortsat)
Er vektorerne p 1, p 2, p 3, p 4 P 3 (R) givet ved p 1 = 2 x 2x 3, p 2 = 2 + x 2 x 3, p 3 = 1 + x x 2 x 3 og p 4 = 1 lineært uafhængige? (fortsat)
Er vektorerne p 1, p 2, p 3, p 4 P 3 (R) givet ved p 1 = 2 x 2x 3, p 2 = 2 + x 2 x 3, p 3 = 1 + x x 2 x 3 og p 4 = 1 lineært uafhængige? Vi skal undersøge om c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = 0 for alle x R medfører, at c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = 0. (fortsat)
Er vektorerne p 1, p 2, p 3, p 4 P 3 (R) givet ved p 1 = 2 x 2x 3, p 2 = 2 + x 2 x 3, p 3 = 1 + x x 2 x 3 og p 4 = 1 lineært uafhængige? Vi skal undersøge om c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = 0 for alle x R medfører, at c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = 0. Ved indsættelse og omordning efter potenser af x kan ligningen omskrives til ( 2c 1 + 2c 2 c 3 c 4 ) + x ( c 1 + c 3 ) + x 2 (c 2 c 3 ) + x 3 ( 2c 1 c 2 c 3 ) = 0. (fortsat)
Er vektorerne p 1, p 2, p 3, p 4 P 3 (R) givet ved p 1 = 2 x 2x 3, p 2 = 2 + x 2 x 3, p 3 = 1 + x x 2 x 3 og p 4 = 1 lineært uafhængige? Vi skal undersøge om c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = 0 for alle x R medfører, at c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = 0. Ved indsættelse og omordning efter potenser af x kan ligningen omskrives til ( 2c 1 + 2c 2 c 3 c 4 ) + x ( c 1 + c 3 ) + x 2 (c 2 c 3 ) + x 3 ( 2c 1 c 2 c 3 ) = 0. Dette er opfyldt for alle x R hvis og kun hvis ligningssystemet (fortsat) 2c 1 + 2c 2 c 3 c 4 = 0 c 1 + c 3 = 0 c 2 c 3 = 0 2c 1 c 2 c 3 = 0 kun har nulløsningen.
(fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = 2 2 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 2 1 1 0 Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? (fortsat)
(fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = 2 2 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 2 1 1 0 Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? Gausselimination viser, at dette er tilfældet. p 1, p 2, p 3, p 4 er altså lineært uafhængige. (fortsat)
(fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = 2 2 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 2 1 1 0 Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? Gausselimination viser, at dette er tilfældet. p 1, p 2, p 3, p 4 er altså lineært uafhængige. Udgør de en for P 3 (R)? Vi mangler at undersøge, om span(p 1, p 2, p 3, p 4 ) = P 3 (R). (fortsat)
(fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = 2 2 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 2 1 1 0 Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? Gausselimination viser, at dette er tilfældet. p 1, p 2, p 3, p 4 er altså lineært uafhængige. Udgør de en for P 3 (R)? Vi mangler at undersøge, om span(p 1, p 2, p 3, p 4 ) = P 3 (R). Findes der for enhver given vektor p P 3 (R) tal c 1, c 2, c 3, c 4 så c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = p? (fortsat)
(fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = 2 2 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 2 1 1 0 Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? Gausselimination viser, at dette er tilfældet. p 1, p 2, p 3, p 4 er altså lineært uafhængige. Udgør de en for P 3 (R)? Vi mangler at undersøge, om span(p 1, p 2, p 3, p 4 ) = P 3 (R). Findes der for enhver given vektor p P 3 (R) tal c 1, c 2, c 3, c 4 så c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = p? Søjlerne i A består af polynomiernes koeffi cienter! Lad b tilsvarende være koeffi cienterne i polynomiet p. (fortsat)
(fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = 2 2 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 2 1 1 0 Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? Gausselimination viser, at dette er tilfældet. p 1, p 2, p 3, p 4 er altså lineært uafhængige. Udgør de en for P 3 (R)? Vi mangler at undersøge, om span(p 1, p 2, p 3, p 4 ) = P 3 (R). Findes der for enhver given vektor p P 3 (R) tal c 1, c 2, c 3, c 4 så c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = p? Søjlerne i A består af polynomiernes koeffi cienter! Lad b tilsvarende være koeffi cienterne i polynomiet p. Kan Ac = b løses for ethvert b R 4? (fortsat)
(fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = 2 2 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 2 1 1 0 Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? Gausselimination viser, at dette er tilfældet. p 1, p 2, p 3, p 4 er altså lineært uafhængige. Udgør de en for P 3 (R)? Vi mangler at undersøge, om span(p 1, p 2, p 3, p 4 ) = P 3 (R). Findes der for enhver given vektor p P 3 (R) tal c 1, c 2, c 3, c 4 så c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = p? Søjlerne i A består af polynomiernes koeffi cienter! Lad b tilsvarende være koeffi cienterne i polynomiet p. Kan Ac = b løses for ethvert b R 4? Svar: Ja, med T = [A b] har vi ρ (T ) = 4 = ρ (A). (fortsat)