Rumgeometi Side af Idhold. Puktmægde i ummet..... Lije i ummet..... Pla... Paametefemstillige fo e pla i ummet e givet ved... Fa ligig til paametefemstillig... Fa paametefemstillig til ligig..... Kugle i ummet... Bestemmelse af cetum og adius.... Skæige i ummet..... Skæigspukt mellem to lije l og m..... Skæig mellem lije l og pla... 6 givet ved ligig... 6 givet ved paametefemstillig... 6.. Skæig mellem to plae og... 6 og givet ved ligig... 6 givet ved paametefemstillig og givet ved ligig... 8 og givet ved paametefemstillig... 8.. Skæig mellem lije l og kugle K... 8.. Skæig mellem pla og kugle K... 9. Pojektio i ummet... 9.. Pojektio af vekto på vekto... 9.. Pojektio af pukt A på lije l... 9.. Pojektio af vekto på lije..... Pojektio af et pukt på et pla..... Pojektio v af e vekto v på et pla....6. Pojektio af lije på pla... Eksemple: Pojektio af lije på pla.... Afstade i ummet..... Afstad mellem to pukte..... Afstade mellem A pukt og lije l..... Afstade mellem pukt og pla... 7 Eksempel: Afstade mellem pukt og pla P (, 6,) og :... 7.. Afstade mellem to lije... 7 Eksemple:... 8.. Afstade mellem lije og pla... 9 Eksempel: Afstad mellem lije og pla... 9.6. Afstade mellem to plae... 9 Eksemple: Afstad mellem to plae.... Ideks... Fejl! Bogmæke e ikke defieet. Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted
Rumgeometi Side af. Puktmægde i ummet.. Lije i ummet Som i plae ka ma beskive e lije vha. e paametefemstillig. Po P Lad P (,, ) væe et fast pukt på lije. Lad P(,,) væe et tilfældigt pukt på lije. Lad væe e etigsvekto fo lije. O Da ka stedvektoe til puktet P skives som Dette give os, at lije l ka skives på fome: OP l : OP P P t t.. Pla Ligige fo e pla i ummet e givet ved a ) b ( ) c ( ) a b c d ( a hvo vektoe b e e omalvekto til plae, P,, ) c et kedt pukt og P(,,) et vilkåligt pukt i plae. ( Bevis: P P P = P P = b a ( ) b ( ) c ( ) a b c d, hvo d := -a - b - c Demed e ligige fo plae fudet. Bemæk at omalvektoe ka aflæses som koefficietee til, og. a c Paametefemstillige fo e pla i ummet e givet ved Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted
Rumgeometi Side af : hvo = t og p = p p p s p p p P(,,) et vilkåligt pukt i plae. Bevis: OP = OP + P P = ) OP + t + s p, e udspædede vektoe til plae, P,, ) et kedt pukt og t s ( Fa ligig til paametefemstillig - fastlæg pukte i plae ud fa ligige, f (,,), (,,) og (,,) - bestem to udspædede vektoe ud fa disse te pukte - opstil paametefemstillige Eksempel: : p p p = og = : + = = - P -,, = og = : + = = - Q, -, = og = : - + = = R,, PR := og QR := = + t + s Fa paametefemstillig til ligig - bestem e omalvekto som kdspoduktet af de to udspædede vektoe (elle paallel med dee) - opstil ligige ud fa de fude omalvekto og det kedte pukt fa paametefemstillige Eksempel: = + t + s := = - : - + - =.. Kugle i ummet ) Opløsig af P P efte 's og p 's etige. Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted
Rumgeometi Side af E kugle i ummet e mægde af de pukte P (,, ), som ha samme afstad (kugles adius) til et fast pukt C,, ) (kugles cetum). ( Ligig fo kugle K e da Bevis: ( a) ( b) ( c) P K CP = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Bestemmelse af cetum og adius Omskiv til kvadatet på toleddede støelse ( a), ( b) og ( c), idet -, - og -leddee agive det dobbelte podukt (-a, -b, -c) og a, b og c lægges til på begge side af lighedsteget. Eksempel: - + + + - = - + - - + = + + = 9, dvs. cetum C(,-,) og adius =. Skæige i ummet.. Skæigspukt mellem to lije l og m l og m e paallelle, dvs. l m = o (elle l = k m ) Ikke- paallelle Et evetuelt skæigspukt fides ved at sætte paametefemstillige fo lije l lig med paametefemstillige fo m. Skæigspuktet skal jo have samme -, - og -koodiat i de to paametefemstillige. Opskiv de te ligige. Løs de to af ligigee mht. de to paamete (s og t) og udesøg, om de fude vædie passe i de tedje ligig. a. Skæig: Hvis paametevædiee passe i alle te ligige, skæe lijee hiade i et pukt, og skæigspuktet fides ved idsættelse af de fude paametevædie i paameteudtkkee fo, og. b. Vidskæve Hvis paametevædiee ikke passe i alle te ligige, e lijee vidskæve Eksempel: l : s og m : 6 t 6 s 6 t 6 Itesectio:,, Dette give ligige: s s s t 6 t 6t De to øveste løses Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted
Rumgeometi Side af s t s t 9 8t 8 8t t s 6 t 9 s 8 9t t = - idsættes i de føste ligig: s ( ) s s t = - og s = idsættes i de edeste ligig: + = 6. De to lije skæe hiade. s = idsættes i paameteudtkkee i l. Skæigspuktet e S(,,). Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted
Rumgeometi Side 6 af.. Skæig mellem lije l og pla l og e paallelle, dvs. l l = a. det kedte pukt fa l ligge i hele l ligge i b. det kedte pukt fa l ligge ikke i l skæe ikke l og e ikke paallelle l og skæe hiade i et pukt givet ved ligig - idsæt lijes paameteudtk fo, og i ligige fo, og løs ligige mht. paametee. - idsæt de fude paametevædi i paameteudtkkee fo at bestemme skæigspuktet S(,, ). Eksempel: l : t og : Itesectio: (,, ) := + t :: := - t :: := + t idsættes i ligige fo + t + - t - + t + = 8 - t = t :=, idsættes i paameteudtkkee fo, og, og, dvs. at l skæe i S(,,) givet ved paametefemstillig - omskiv paametefemstillige fo til ligig fo, og bet oveståede elle - opstil de te paameteligige (OBS! bet te foskellige paameteave), og løs disse mht. de te paamete (evt. ku paametee fa l). Bestem skæigspuktet ved idsættelse af de fude paametevædi i paameteudtkkee fo l. Eksempel: l : og = + t + s solve + = t ad - = s ad + = + t, = ad s = ad t = Skæigspukt T(,,).. Skæig mellem to plae og og e paallelle, dvs. = o og a. plaee e sammefaldede =, dvs. ligigee e esbetdede el. kedt pukt fa de ee pla ligge i de ade b. plaee skæe ikke hiade og og e ikke paallelle og skæe hiade i e lije givet ved ligig - sæt e af koodiatee til at væe paametee t, f := t - løs de to ligige mht. til de to ade koodiate (afhæge af t) - opstil paametefemstillige (kostatleddee fo sig og t udefo) Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted
Rumgeometi Side 7 af Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted
Rumgeometi Side 8 af Eksempel: : 7 8 og : 8 := t + 7 t - 8 = og 8 - t + - = = 8-7 t og = + t - 8 = + t - 8 8-7 t 7 t - 9 Skæigslije: 8 l : t 9 7 7 givet ved paametefemstillig og givet ved ligig - idsæt s paameteudtk fo, og i ligige fo, og løs ligige mht. de ee paamete (udtkt ved de ade) - idsæt de fude paamete i s paametefemstillig og educe Eksempel: : = + t + s og + + - = og Eksempel: : := t :: := s :: := + t + + - = s + t = s = - t t, = - t og t + dvs. at skæigslije l: = + t - Itesectio Lie: (,,) = (,,) + Ü(-.8,.86,-.8) givet ved paametefemstillig (NB! giv de fie paamete foskellige ave) - omskiv paametefemstillig til ligig fo de ee pla elle begge og bet oveståede elle - løs de te koodiatligige mht. de te af paametee (udtkt ved de fjede) = = + q + t + + s og : Itesectio Lie: (,,) = (.7,.,) + (-.9,.7,.99) solve t = + q + ad s = ad + t = + q,, q, s = - ad s = - ad q = t dvs. at skæigslije l: = + t - = - + t Itesectio Lie: (,,) = (-,-,) + Ü(.77,,.77).. Skæig mellem lije l og kugle K - idsæt lijes paameteudtk fo, og i ligige fo K, og løs ligige mht. paametee. Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted
Rumgeometi Side 9 af - idsæt evt. fude paametevædi(e) i paameteudtkkee fo at bestemme skæigspuktet(ee) S(,, ). Eksempel: l : t og K: - + + + - 6 = := t :: := - :: := t + idsættes i kugles ligig: t - t + - + t + - 6 = t - t - = t = 9 t = t = elle t = -, dvs. at l skæe K i S (,-,) og S - (-,-,). t - t - =.. Skæig mellem pla og kugle K - bestem cetum C og adius fo kugle - bestem afstade dist(c, ) fa cetum til plae a. dist(c, ) > : plae skæe ikke kugle b. dist(c, ) = : plae tagee kugle c. dist(c, ) < : plae skæe kugle i e cikel. Pojektio i ummet.. Pojektio af vekto på vekto Pojektioe af b på a: b a = a b Pojektioe af b på a e skitseet på figuee heude. a a gælde i ummet som i plae - og beviset e det samme Som det ses, ka pojektioe fides ligegldigt, om vikle mellem a og b e spids elle stump... Pojektio af pukt A på lije l A l l : t vha. følgede metode P B Lad B væe pojektioe af A på l. O Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted
Rumgeometi Side af Det femgå af figue, at OB = OP + P B og P B = P A, altså OB = OP + P A Da B ha samme koodiatsæt som stedvektoe, ka B s koodiate bestemmes ud fa fomle Eksempel: Pojektioe af puktet A (,, ) på lije l : 9 t A A l l Closest Poit:,,, Distace:.6 OP := 9 :: OA := :::= OB: = OP + dotp P A, - P A := OA - OP -8, dvs. pojektioe A l af A på l e B(,,).. Pojektio af vekto på lije E vekto pojicees på e lije ved at pojicee de på lijes etigsvekto:.. Pojektio af et pukt på et pla Pojektioe af puktet A ed på plae : a b c d med omalvekto = b c a fides ved at kostuee lije geem puktet A, som stå vikelet på. l A : a a a t a b c Pojektioe S af puktet A på plae e da skæigspuktet mellem l A og. Eksempel: Pojektio af puktet A (,,) på plae : 9 Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted
Rumgeometi Side af Nomale l A til l A : t geem A bestemmes: Skæigspuktet mellem lije l A og plae fides A A Paameteudtkkee = + t, = - t og = + t idsættes i ligige fo : l a Closest Poit: (,, ), Distace: 6.6 t ( t) ( t) 9 t t De fude paametevædi idsættes i paametefemstillige: O A := + - -, så pojektioe A af puktet A ed på plae, dvs. skæigspuktet l A A (,,), e.. Pojektio v af e vekto v på et pla v = v - v Bevis Lad v væe pojektioe af v på omalvektoe. Da gælde, som det ses på figue, at v = v + v v = v - v = v - v Eksempel: Pojektio v af v := v = v - v - på plae, som ha omalvektoe := dotp v, v := v - - - -6.6. Pojektio af lije på pla Pojektio af e lije l på et pla deles op i to tilfælde:. Lije og plae e paallelle, l l =. Lije og plae e ikke paallelle, l l Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted
Rumgeometi Side af. l Fo at fide pojektioe l af lije l på plae ha vi bug fo et fast pukt S på l og e etigsvekto fo l. Retigsvektoe l fo lije l ka buges som det faste pukt, da l og e paallelle. l l P s Som fast pukt på lije l buges pojektioe S s, s, ) af det faste pukt P på lije l. ( s Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted
Rumgeometi Side af Paametefemstillige fo pojektioe l af lije l på plae e da givet ved: l s : s t l s. l Da lije l og plae ikke e paallelle, så skæe de hiade i et pukt S ( s, s, s). Dette pukt ka buges som det faste pukt fo lije l. Retigsvektoe fides som pojektioe af s l l etigsvektoe l på plae. Lije l få altså paametefemstillige s l : s t s Eksemple: Pojektio af lije på pla. E lije ha ligige : og e lije ha ligige l : t := - l := 8-8 l = 8 - - 6 =, så l Pojektioe af P på a: l : = - + t - := + t :: := - - t :: := + t idsættes i ligig, som løses mht. t solve - + =, t t = - 7 t := - 7 idsættes i paameteudtkkee fo liie S( 7, -8 7, - 7 ) = S(.7, -., -.87 ) Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted
Rumgeometi Side af Pojektioe l / 7 : 8 / 7 t 8 elle l,7 :, t 8 / 7,86 Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted
Rumgeometi Side af. Lad e lije og e pla væe givet ved l : t og : Retigsvektoe fo pojektiosliie l = l - l Skæige mellem l og l = + t := l - dotp l, 8 7-7 7 e tidligee (..) fudet til S(,,), så 8 t + 7 t 7 -t 7 +. Afstade i ummet.. Afstad mellem to pukte Afstade mellem to pukte fides på samme måde som i plae AB = AB = ( a b ) ( a b ) ( a b Eksempel: A(,,) og B(,,) AB = - + ) - + - = + - + - 9.. Afstade mellem A pukt og lije l Lad væe etigsvektoe og P væe det faste pukt fo l. dist(a,l) = A P Bevis: Fo at fide afstade d mellem puktet A og lije l ses på e etviklet tekat. Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted
Rumgeometi Side 6 af si v = d AP d = AP si v = AP si v = AP Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted
Rumgeometi Side 7 af Eksempel: Afstade fa et pukt til e lije A (,,) og OA := l : t :: OP := AP := OP - OA - - :: := - dist(a,l) = cossp AP, 66.6678.. Afstade mellem pukt og pla Afstade mellem puktet P,, ) og plae : a b c d e givet ved ( p p p dist(p, ) = a p + b p + c p + d a + b + c Bevis: Lad P (,, ) væe et pukt på plae dist(p, ) = P P = P P = ) a p - + b p - + c p - a + b + c Eksempel: Afstade mellem pukt og pla P (, 6,) og : P P = P P a p + b p + c p + d = a + b + c P: p := :: p := -6 :: p := : a := :: b := - :: c := d := - dist ( P, ) = a p + b p + c p + d a + b + c.69 = ).. Afstade mellem to lije. De to lije l og m skæe hiade. I så fald e afstade mellem de to lije. dist ( l, m). ) t a = t a ) Samme beegige som ved udledig af plaes ligig afstade e jo, hvis P ligge i plae d a b c Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted
Rumgeometi Side 8 af. De to lije l og m e paallelle og skæe ikke hiade. He ka afstade mellem de to lije bestemmes som afstade fa et tilfældigt pukt på lije l til lije m. dist( l, m) dist( Pl, m) (se afstad pukt/liie). De to lije e ikke paallelle og skæe ikke hiade. I så tilfælde siges lijee at væe vidskæve. Afstade agives som de koteste afstad mellem pukte på de to liie, dvs. afstade, hvo de kdse hiade. De to liie vil ligge i to paallelle plae l og m geem hhv. P l og Eksemple:. P m og udspædt af l og m, dvs. l m Afstade mellem de to liie vil altså væe afstade mellem de to plae, som ige e afstade fa et pukt i de ee pla til de ade pla. P dist(l,m) = dist( l, m) = dist (P m, l) = dist (P l, m) = ) l P m NB! Dee fomel gælde også i det føste to tilfælde, idet afstade da e og de to plae e sammefaldede. De gælde ikke i tilfælde, da vektopoduktet af de to etigsvektoe jo så e ulvektoe. l : t og OP l := :: l := - P l P m := OP m - OP l - dist(l,m) = m : s :: OP m := - dotp P l P m, 9 :: m := := cossp l, m - -.988. l : t og m : t 6 De to liie e paallelle ) jf. bevis fo afstad pukt/pla Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted
Rumgeometi Side 9 af OP l := :: OP m := - :: m := 6 - P l P m := OP m - OP l - - dist(l,m) = dist(p l,m) = cossp P l P m, m m... Afstade mellem lije og pla Fo at fide afstade mellem lije deles de op i to tilfælde:. l l = l : t og plae : a b c d, Hvis lije og plae e paallelle, så fides afstade ved at fide afstade fa det faste pukt, P,, ) på lije og plae.. l l l ( l l l Hvis lije og plae ikke e paallelle, så skæe de hiade og afstade mellem lije l og plae e. dist( l, ). Eksempel: Afstad mellem lije og pla l : t og : P l : p := :: p := :: p := : a := - :: b := :: c := d := dist(l, ) = dist(p l, ) = a p + b p + c p + d a + b + c 6.6. Afstade mellem to plae Fo at fide afstade mellem de to plae og deles op i to tilfælde:. = o = 8.697 Hvis plaee og e paallelle, så fides afstade ved at fide afstade fa et pukt i de ee pla til de ade til plae. Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted
Rumgeometi Side af. o Hvis plaee og ikke e paallelle, e dist (, ), fo så skæe de hiade i e lije. Eksemple: Afstad mellem to plae. : og : 6 8-6 og e paallelle := - :: := 8 cossp, - P l : p := :: p := :: p := : a := -6 :: b := 8 :: c := - d := dist(, ) = dist(p l, ) = a p + b p + c p + d a + b + c 6.. : og : 7 := - :: := - - cossp, - -8 dist(, ) Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted