Lukkede flder med konstnt krumning Hns Anton Slomonsen Arhus Universitet Mrch 13, 2015
En flde i rummet B A giver nledning til to mål for fstnden mellem to punkter A og B på flden: - længden f den rette linje, der forinder dem. - længden f den korteste kurve indeholdt i flden, som forinder dem. Det er det sidste fstndsmål, vi vil enytte. Kurven kldes en geodætisk kurve.
Betrgt overflden f en kugle med rdius R set ovenfr N r En cirkel med centrum i nordpolen og rdius r hr omkredsen p = 2πR sin r R idet rdius r måles lngs en storcirkelue.
En cirkel i plnen med rdius r hr omkredsen 2πr. Forholdet p 2πr = R r sin r R 1 r 2 1 6 R 2 er mindre end 1. Det er udtryk for t kugleflden krummer. Vi siger t kugleflden hr Gusskrumningen κ = 1. R 2 Gusskrumningen fhænger kun f fstndsmålet på flden, ikke f det omgivende rum. Hvis vi tænker os kugleflden eoet f fldvæsner, vil de være i stnd til finde ud f, t deres verden krummer og størrelsen f krumningen ved t opmåle rdius og omkreds f cirkler. Kugleflden er et eksempel på en lukket flde med konstnt positiv krumning.
En torus er et ndet eksempel på en lukket flde. A B I nærheden f punktet A ligner den kugleflden. Der hr den positiv krumning. I nærheden f punktet B er flden sddelformet. En lille cirkel omkring B med rdius r vil hve en omkreds, der overstiger 2πr. Flden hr negtiv krumning i nærheden f B.
Betrgt plnen opdelt i kvdrter Plnen hr krumning 0 overlt. Vi kn konstruere en fld torus, dvs. en torus med konstnt krumning 0 ved t rulle plnen smmen. Først rulles den smmen som et tæppe så lle vndrette linjer liver smmenfldende. Herved opstår der et rør. De lodrette linjer liver rullet smmen til cirkler.
Dernæst rulles røret smmen, så cirklerne liver smmenfldende. Den første oprulning påvirkede ikke fstndsmålet på torus. Det vil den nden gøre, hvis det skl ske indlejret i det 3-dimensionle rum. Vi ønsker ikke t ændre på fstndsmålet. Derfor skl den nden oprulning ske uden t tænke på den som indlejret i et omgivende rum eller evt. i et rum f dimension større end 3. Derved hr vi konstrueret en torus med konstnt krumning 0.
I stedet for t konstruere den flde torus ved smmenrulning f plnen kn vi i stedet etrgte et enkelt f kvdrterne. Torus dnnes nu ved t identificere de to knter mærket henholdsvis og. Det skl gøres i overensstemmelse med de ngivne orienteringspile.
Efter identifiktionen vil lle 4 hjørner live identificeret til ét punkt, og de 4 grønne kvrtcirkler vil dnne en cirkel med centrum i punktet. Det er her vigtigt, t vinkelsummen i kvdrtet netop er 2π (eller 360 ). Smme fremgngsmåde kn enyttes til t konstruere ndre flder med konstnt negtiv krumning.
Vi hr nu ehov for en pln med konstnt negtiv krumning. Ligesom vi filder den runde jordoverflde med kort, kn vi ligeledes filde den hyperolske pln på et kort f form som en cirkel. Ligesom geogrfiske kort ikke hr et konstnt målestokforhold overlt er det også tilfældet her. Derimod fildes vinkler korrekt, som det sædvnligvis også gælder for geogrfiske kort.
Afstnden fr midtpunktet, dvs. punktet (0, 0) på kortet til punktet (x, 0) er ln 1+x 1 x. (0,0) (x,0),, Når x nærmer sig 1, vil fstnden gå mod. Den hyperolske pln er derfor uendelig f udstrækning ligesom den euclidiske pln. De geodætiske kurver fildes som dimetre og som cirkeluer, der møder rndcirklen under en ret vinkel.
I Eschertegningen er engle og djævle kongruente. Figure: Engle og djævle
Den hyperolske pln hr konstnt krumning 1. Vi så ovenfor, t der for omkredsen p f en cirkel med rdius r på en kugle med rdius 1, dvs. med krumning κ = 1, gælder p 2πr = sin r r 1 1 6 r 2 Den tilsvrende formel for den hyperolske pln er p 2πr = sinh r r 1 + 1 6 r 2 Omkredsen f en cirkel med rdius r overstiger ltså omkredsen 2πr f en pln cirkel.
Den hyperolske pln kn udfyldes med regulære polygoner på mnge måder, som er styret f Guss-Bonnet s sætning. For en polygon med n hjørner på en flde med konstnt krumning κ siger sætningen Aκ + nπ v = 2π hvor v ngiver vinkelsummen i polygonen og A er dens rel. På en kugle med rdius 1 er κ = 1. Der gælder d for en treknt t A = v π. Dvs. vinkelsummen overstiger π med trekntens rel. På den hyperolske pln, hvor κ = 1, er A = (n 2)π v. For en treknt er vinkelsummen mindre end π, og forskellen er igen netop relet.
Vi kn enytte formlen til t fgøre hvordn den hyperolske pln kn udfyldes med regulære n-knter med vinklen v i hvert hjørne. Der er to krv: Et helt ntl, k polygoner mødes i hvert hjørne så der skl gælde kv = 2π, dvs. v = 2π k. Endvidere skl A > 0. Dvs.(n 2)π n 2π k > 0. Vi kn konstruere lukkede flder med konstnt krumning 1 i lighed med konstruktionen f den flde torus ved t strte med en regulær n-knt med n lige, hvor vi identificerer modstående sider. Det vil kræve t vinkelsummen nv = 2π. Dvs. vi skl hve k = n. Uligheden A > 0 kræver nu t n > 4. Endvidere skl lle hjørner efter identifiktion live til det smme punkt. Det vil kræve, t n er delelig med 4. Vi skl ltså etrgte regulære n-knter hvor n = 8, 12, 16, 20, og hvor v = 2π n.
Vi skl se nærmere på flden der fremkommer f den regulære 8-knt ved identifiktion f modstående sider. Figure: Hyperolsk pln udfyldt med regulære 8-knter
Vi vil se ort fr krvet om konstnt krumning for t finde en lukket flde i rummet med smme topologiske form. Vi kn derfor etrgte en 8-knt i plnen med de ngivne identifiktioner. d c c d
Vi skl se t det er en doelt torus. Når vi skærer den over lngs den røde cirkel får vi to tori, hvori der er skåret en skive ud.
En torus hvorfr der er fjernet en (4-kntet) skive kn fremstilles som følger. Der sker identifiktion f de grønne, henholdsvis de lå knter. Herefter dnner de røde knter rnden f et 4-kntet hul i torus.
Vi deler nu 8-knten lngs den røde kurve, som på grund f identifiktionerne er lukket. d c c d Den midterste del svrer nu til torusen med hul, idet hlvdelene f knterne og svrer til henholdsvis den lå og den grønne knt, mens de røde knter svrer til hinnden og udgør rnden f hullet.
De tre resterende dele f 8-knten kn vi deformere og smle ved t foretge identifiktionen f - og -knterne. d c c c d d d c
Ved yderligere deformtion får vi c d c d c d d c som ligeledes er en torus med et hul i. Når vi smler de to tori med huller i får vi en doelttorus.
For n = 12, 16, 20, kn mn ligeledes konstruere lukkede flder med konstnt krumning 1 ved t identificere modstående sider i en regulær n-knt i den hyperolske pln. Topologisk set kn de smmensættes f 3, 4, 5, tori. Ld os etegne kugleflden med S og torus med T. Vi kn etegne en n-doelt torus med T n. Så hr vi nu set hvordn mn kn konstruere lukkede flder med konstnt krumning: S med krumning > 0. T med krumning 0. T 2, T 3, T 4, med negtiv krumning.
Flderne er essentielt forskellige. En f dem kn ikke omformes til nogen f de ndre uden t skære den i stykker og smle den på en ny måde. Det gælder også selv om mn øjer og strækker den. En nem måde t skelne mellem dem på er med Eulerkrkteristikken. Eulerkrkteristikken for en flde udregnes ved t opdele den i treknter. Ld H være ntllet f hjørner, K ntllet f knter og F ntllet f treknter. Så er eulerkrkteristikken E = H K + F. Selv om opdelingen kn ske på mnge måder med forskellige værdier f H, K og F, liver E det smme tl.
Kugleflden kn tringuleres som et tetreder. Her set fr oven. Der er H = 4 hjørner og K = 6 knter, 3 røde og 3 lå. Der er F = 4 treknter, grundflden med røde knter og tre sideflder. Dermed er E = 4 6 + 4 = 2.
Betrgt en tringulering f torus. Ved optælling f punkter og knter skl vi tge hensyn til identifiktionerne. De 4 hjørner f firknten idrger kun med 1 punkt. De 4 midtpunkter på 4-kntens sider idrger med 2 punkter. Smmen med midtpunktet finder vi H = 1 + 2 + 1 = 4. Der er 8 lå knter og 8 sorte knter, som dog kun idrger med 4 knter, så K = 8 + 4 = 12. Endelig er der F = 8 treknter, så E = 4 12 + 8 = 0.
Vi lver en lignende tringulering f en regulær 4n-knt. d c c d De 4n hjørner i 4n-knten liver til kun 1 hjørne. De 4n midtpunkter f 4n-kntens sider liver til 2n hjørner. Smmen med hjørnet i midten får vi H = 1 + 2n + 1 = 2n + 2. Der er 8n lå knter. De 8n sorte knter idrger med 4n knter, så K = 8n + 4n = 12n. Der er F = 8n treknter så E = 2n + 2 12n + 8n = 2 2n.
Vi kn opsummere t eulerkrteristikken kn skelne mellem flderne. Flde S T T 2 T 3 T 4 E 2 0 2 4 6 κ > 0 0 < 0 < 0 < 0 Topologisk set udgør disse lle orienterre flder. Dvs. flder hvorpå mn på konsistent måde kn vælge en omløsretning om fldens punkter.
Der findes også en fmilie f ikke-orienterre flder. De kn lle konstrueres ud fr den projektive pln, P 2 ligesom en n-doelt torus konstrueres fr en torus. Den projektive pln kn konstrueres ud fr en kugleflde ved t identificere ntipodiske punkter. Figure: Boy s surfce - den projektive pln
Mn kn også strte med den nordlige hlvkugle og identificere modstående punkter på ækvtor. N Den røde og den lå hlvcirkel identificeres med de ngivne orienteringer.
Betrgt et kvdrt med en f orienteringerne vendt. Når vi identificerer knterne mærket får vi er Möiusånd. Når vi yderligere identificerer knterne mærket fremkommer Kleins flske.
Tle: Möiusåndet og Kleins flske Kleins flske ligner en torus, men efter t der er dnnet et rør smles enderne på en nden måde. De ikke-orienterre flder kn kendes på t de indeholder et Möiusånd.
Betrgt en regulær 2n-knt i den hyperolske pln. d c c d I forhold til de tidligere tegninger er orienteringen f en f knterne mærket c vendt. Derved kommer firknten fgrænset f de lå streger til t dnne et Möiusånd efter t knterne er identificeret. Når orienteringen på en knt er vendt som her, vil lle hjørnerne live til ét punkt efter identifiktionen, og der fremkommer en ikke-orienterr lukket flde med negtiv krumning.
Eulerkrkteristikken for en ikke-orienterr flde dnnet ud fr en regulær 2n-knt kn udregnes ligesom for de orienterre flder. Vi får værdien E = 2 n. Denne formel gælder også for n = 1 så eulerkrkteristikken for den projektive pln er 1. For n = 2 får vi eulerkrkteristikken for 0 for Kleins flske. Mn kn skelne mellem de ikke-orienterre flder med eulerkrkteristikken. Mn kn vise t der ikke findes ndre topologiske typer f lukkede flder end de ovenfor præsenterede.