Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner vinkel A udfra vinkel summen i en trekant: 75 Siden c beregnes ved hjælp af sinusrelationen: (1.1.1) 5.18 Da vi har at gøre med en retvinklet trekant kan vi beregne siden b, ved hjælp af den Pythagoræiske sætning: (1.1.2) 1.34 (1.1.3) 1b - Parallelle linjer En linje l går gennem punkterne og. Vi beregner linjens ligning ved først at bestemme hældningskoeffecienten: Dette indsættes i linjens ligning sammen med det ene af punkterne:
Vi får altså følgende: En anden linje m er parallel med l og går gennem punktet ligning ved at indsætte punktet samt dens hældningskoeffecient:. Vi beregner en denne linjes Vi får følgende: 1c - Logaritmisk ligning Vi skal løse følgende ligning: Vi har følgende grundmængde: Vi løser ligningen:
Negative tal er ikke en del af grundmængden. Vi får derfor løsningsmængden: (1.3.1) 1d - Ulighed Ved beregning skal vi løse følgende ulighed: Vi har grundmængden: Vi løser uligheden: Fordi er i vores grundmængde kun er positive tal får vi følgende løsningsmængde: 1e - Tangent Vi får opgivet en funktion med regneforskriften: Vi skal bestemme en ligning for tangenten til grafen i punktet. Vi opstiller tangentligningen med den ønskede x-værdi: Vi bestemmer funktionsværdien til : Vi bestemmer hældningskoeffecienten i punktet : at 5 digits (1.5.1)
4.16 (1.5.2) Dette indsættes i tangentligningen: (1.5.3) 1f - Inverse funktioner VI får opgivet en funktion med regneforskriften: Vi skal bestemme den inverse funktion: 1g - Sammensatte funktioner Vi får opgivet funktionerne: Vi bestemmer definitions- og værdimængder: Værdimængden for g er bestemt ud fra toppunktet bestemt vha. GeoGebra:
Vi skal sammensætte funktionen : Vi ser at, hvorfor definitionsmængden ikke skal indskrænkes yderligere. Vi får definitionsmængden for den sammensatte funktion: Vi beregner differentialkvotienten for den sammensatte funktion: 1h - Skæringspunkt Vi får opgivet de to funktioner: Vi bestemmer skæringspunktet mellem de to grafer ved at sætte deres regneforskrifter lig hinanden:
(1.8.1) at 5 digits 1.26 (1.8.2) Da vi nu kender x-koordinatet til skæringspunktet mellem de to grafer, kan vi bestemme y- koordinatet ved at indsætte x-koordinatet i den ene af regneforskrifterne: at 5 digits (1.8.3) 28.95 (1.8.4) Vi får altså følgende koordinatsæt for skæringspunktet mellem de to grafer: Opgave 2 Om en firkant ABCD oplyses følgende: 2a - Skitse og Vi skitserer firkanten i GeoGebra:
beregnes vha. vinkelsummen i en firkant: 94 (2.1.1) 2b - Diagonalen AC Diagonalen AC beregens ved hjælp af cosinusrelationen i trekant ABC: 9.87 (2.2.1) Diagonalen AC er altså 9,87. 2c - Siderne CD og AD Først beregner vi hvor stor en del af vinkel A som tilhører trekant ABC. Det gør vi ved hjælp af cosinusrelationen: 30.26 Den resterende del af vinkel A, må tilhøre trekant ACD: (2.3.1) 37.74 (2.3.2) Ved hjælp af vinkelsummen i en trekant kan vi beregne hvor stor en del af vinkel C, som tilhører trekant ACD: 48.26 (2.3.3) Da vi nu kender alle vinkler samt den ene side kan vi ved hjælp af sinusrelationen beregner de
sidste sider. Vi starter med AD: På samme måde beregner vi CD: 7.38 (2.3.4) 6.05 (2.3.5) 2d - Højden i trekant ABC Da vi i forvejen ved hvor stor en del af vinkel A som tilhører trekant ABC, må den samme del tilhøre trekant ABE. Da dette er en retvinklet trekant kan højden beregnes ved hjælp af sinus: 4.03 (2.4.1) 2e - Areal Arealet af frikanten er lig summen af de to treaknter ACD og ABC: (2.5.1) Opgave 3 Vi får opgivet følgende funktion: 3a - Definitionsmængde og den første afledede Da vi ikke må dividere med nul, kan vi opstille følgende:
For at bestemme den første afledede forkorter vi først regneforskriften for funktionen af f: (3.1.1) Vi bestemmer den første aflede ved hjælp af regnereglen for division: 3b - Monotoniintervaller Ved hjælp af skal vi bestemme funktionens monotoniintervaller. Først bestemmet den første afledede funktions skæringspunkter med x-aksen: (3.2.1) Hernæst bestemmes fortegnsvariationen for den første afledede, ved at beregne en værdi i hvert interval: Fortegnsvariation 8 9 (3.2.2)
(3.2.3) (3.2.4) 7 16 (3.2.5) Vi ser altså at funktionens monotoniforhold må være som følger: Lok. mak s. Lok. min. Monotoniforhold Funktionen er altså aftagende i intervallerne: Og funktionen er voksende i intervallerne: 3c - Ekstrema Vi ser at grafen for f har lokalt maksimum i og lokalt minimum i. Vi beregner y- koordinatorne til de lokale ekstrema. Først det lokale maksimum: Koordinatsættet til det lokale maksimum bliver da: Vi bruger samme fremgangsmåde til beregning af y-koordinatet til det lokale minimum: Koordinatsætter til det lokale minimum bliver da 3d - Ved beregning skal vi løse ligningen:
Vi ved at brøken er nul hvis tælleren er nul: Vi kan nu beregne løsningene for x: (3.4.1) Vi får da løsningsmængden: (3.4.2) 3e - Skæringspunkt Ved beregning skal vi finde skæringspunktet mellem grafen for f og linjen med ligningen: Vi sætter udtrykkene lig hinanden:
Da vi nu kender x-koordinatet til skæringspunktet indsættes det i det ene af udtrykkene for at bestemme det tilhørende y-koordinat: Skæringspunktet bliver da: