SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum
Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge sadsylghedsfelter:... 4 Hædelser:... 5 Hædelser et symmetrsk sadsylghedsfelt... Betget sadsylghed:... 7 De store tals lov... Sadsylgheder og frekveser:... De store tals lov:... Stokastsk varabel... Mddelværd, spredg og varas... 3 Tæthedsfukto og fordelgsfukto... 7 Normeret stokastsk varabel... 9 Uafhægge stokastske varable... KOMBINATORIK... 5 Cetrale begreber... 5 Multplkatosprcppere:... Addtosprcppere... Permutatoer... 30 Kombatoer... 33 Pascals Trekat (De Artmetske Trekat)... 35 Chu-Vadermodes dettet... 39 Bomalfordelge... 40 De hypergeometrske fordelg... 47 OVERSIGT OVER DEFINITIONER OG SÆTNINGER... 49 OPGAVER... 55 FACITLISTE (med forklarger)... 5
SANDSYNLIGHEDSREGNING Begrebet sadsylghed er som udgagspukt kyttet tl stuatoer eller forsøg, hvor der - ford der spller ogle tlfældgheder d - optræder mere ed ét mulgt udfald. V kalder sådae stuatoer eller forsøg for stokastske ekspermeter, mes ekspermeter med ét (forudsgelgt) udfald kaldes determstske ekspermeter. Ma ka så udvde sadsylghedsbegrebet tl at omfatte alle stuatoer ved at tldele et skkert udfald sadsylghede 00% og et umulgt udfald sadsylghede 0%. I dsse tlfælde bruger v dog betegelsere hædelse stedet for udfald. Sadsylghedsfelt Et stokastsk ekspermet ka beskrves ved ete et edelgt eller et uedelgt sadsylghedsfelt. Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger): Defto : Et edelgt sadsylghedsfelt, U P består af et udfaldsrum U u u ; u ;...;, ; 3 hvor, 3,4, 5,..., der er mægde af samtlge mulge udfald, samt e sadsylghedsfukto P: U 0;, der agver sadsylghede for de ekelte udfald. Der gælder 3 P u P( u ) P( u ) P( u )... P( u ) Ma ka også avede ordet sadsylghedsfordelg stedet for sadsylghedsfelt. Eksempel : Et stokastsk ekspermet består at kaste e møt 3 gage og otere for hvert kast, om det gver plat eller kroe. Det edelge sadsylghedsfelt, der beskrver dette ekspermet, er: u U P(u) kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp + + + + + + + = Kotrol. Eksempel : Et stokastsk ekspermet består at kaste e almdelg terg (regulært heksaeder) og otere øjetallet. Det edelge sadsylghedsfelt blver så: U 3 4 5 Pu Begge oveståede eksempler kaldes også for symmetrske sadsylghedsfelter: I det sdste eksempel vlle ma kue bestemme mddelværde for sadsylghedsfeltet, mes det kke er tlfældet for det første eksempel. V skal seere berege mddelværder efter at have dført begrebet stokastsk varabel, så det veter v med dtl vdere. Eksemplere og er begge eksempler på såkaldte symmetrske sadsylghedsfordelger, hvlket følger af defto : 3
Defto : Et edelgt sadsylghedsfelt, hvor sadsylghedere for hvert udfald er es, dvs., P u P u u u U, kaldes et symmetrsk sadsylghedsfelt. j j Et eksempel på et edelgt sadsylghedsfelt, der IKKE er symmetrsk er: Eksempel 3 (et IKKE-symmetrsk sadsylghedsfelt): Det stokastske ekspermet, der består at kaste to terger og otere summe af øjetallee, gver følgede edelge sadsylghedsfelt: U 3 4 5 7 9 0 5 5 3 9 3 3 9 3 5 5 Pu 3 9 3 3 9 3 Pu Kotrol: Bemærk altså at oveståede IKKE er et symmetrsk sadsylghedsfelt, selvom ma ret hurtgt ka bemærke e form for symmetr skemaet. Uedelge sadsylghedsfelter: Defto 3: Et uedelgt sadsylghedsfelt U, Pbestår af et udfaldsrum U u ; u; u3;... med uedelgt mage udfald samt e sadsylghedsfukto P: U 0;, der agver sadsylghede for de ekelte udfald. Der gælder Pu P u P u P u3 ( ) ( ) ( )... Eksempel 4: Et stokastsk ekspermet består at blve ved med at kaste e møt, dtl ma første gag får plat, og ma oterer ved hvert kast, om det blev plat eller kroe. Dette gver følgede uedelge sadsylghedsfelt: U p kp kkp kkkp kkkkp kkkkkp... Pu Kotrol: Pu 4... 4 3 4 3 4... Eksempel 5: Et stokastsk ekspermet består at blve ved med at kaste e terg, dtl ma slår e 4'er, og ma oterer atallet af kast. Dette gver følgede uedelge sadsylghedsfordelg: U 3 4 5... 3 4 5 5 5 5 Pu... 3 4 5 3 Med e sætg fra forløbet om uedelgheder får ma: 5 5 3 5 5 5 5 3 3 5 Pu... 3 5 Kotrol: 4
Hædelser: Defto 4: E delmægde af et udfaldsrum kaldes for e hædelse. Af deftoe følger: Sætg : Sadsylghede for e hædelse er summe af sadsylgheder for de udfald, som hædelse består af. Eksempel : I eksempel 4 kue e hædelse bestå, at ma får plat adet eller tredje kast, dvs. 3 H kp, kkp. Sadsylghede for dee hædelse er PH Pkp Pkkp. 4 Eksempel 7: I eksempel 3 kue e hædelse være at slå mdst 9 med de to terger, dvs. 5 H 9,0,, og PH P9 P0 P P 9 3 Da e delmægde af U både ka være de tomme mægde og hele U, har ma følgede særlge hædelser: Hvs H Øer PH 0, hvlket kaldes for e umulg hædelse. Hvs H U er PH, hvlket kaldes for e skker hædelse. Desude har ma følgede: De komplemetære hædelse tl H skrves H og består af alle de udfald U, der kke er med H. De umulge hædelse og de skre hædelse er komplemetære hædelser. Desude gælder følgede vgtge sætg: Sætg : PH PH Eksempel : I eksempel 7 er de komplemetære hædelse tl H hædelse H,3, 4,5,,7,, der består højst at slå med to terger. Sadsylghede er PH PH 5 3 I e hel del stuatoer er det meget emmere at bestemme sadsylghede for de komplemetære hædelse ed for de søgte hædelse, og så ka sætg beyttes. Eksempel 9: I eksempel 5 kue ma se på hædelse H, der består, at ma får mdst kast. Hvs ma øsker at fde sadsylghede for dee hædelse, er det emmere først at se på komplemetærhædelse H, der består at opå etop kast, hvorefter ma har: 5 PH PH 5
Øjetal for terg A Hædelser et symmetrsk sadsylghedsfelt I et symmetrsk sadsylghedsfelt, hvor sadsylghede for hvert udfald som bekedt er es, ka ma ret emt berege sadsylghede for hædelse: Sætg 3: I et symmetrsk sadsylghedsfelt, hvor udfaldsrummet deholder udfald, er sadsylghede for hædelse H beståede af r udfald gvet ved: r PH Atal gustgeudfald Dette skrves sommetder som: Phædelse Atal mulgeudfald Eksempel 0: Se på tergkastet fra eksempel, hvor ma har et symmetrsk sadsylghedsfelt, og hvor atallet af elemeter udfaldsrummet er slå mdst e 3'er, deholder 4 elemeter, så ma har. Hædelse H 3, 4,5, 4 P H 3, der består at Dee sætg ka godt vrke meget begræset af forudsætge om, at det skal være e symmetrsk sadsylghedsfordelg, me ofte ka ma kke-symmetrske tlfælde betragte stuatoe fra e ade dfaldsvkel, der gver et adet udfaldsrum, og dermed mplct arbejde med et "bagvedlggede" symmetrsk sadsylghedsfelt. Eksempel : I eksempel 3, hvor ma kaster to terger og ser på summe af øjetallee, fk ma som bekedt et kke-symmetrsk sadsylghedsfelt. Me hvs ma ædrer udfaldsrummet tl følgede med 3 udfald,... U 3 4 5 Øjetal for terg B (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,) (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,) 3 (3,) (3,) (3,3) (3,4) (3,5) (3,) 4 (4,) (4,) (4,3) (4,4) (4,5) (4,) 5 (5,) (5,) (5,3) (5,4) (5,5) (5,) (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,)... får ma et symmetrsk sadsylghedsfelt med Pu. 3 Hædelse beståede at summe gver 4 er så 3,,,,,3 H, og da H deholder 3 elemeter, er 3 PH. 3 Hædelse beståede at summe gver er H,, 5,3, 4,4, 3,5,, 5 P H. 3 og deholder altså 5 elemeter, dvs.
Betget sadsylghed: V har hdtl ku set på hædelser hver for sg. V skal u tl at se på flere hædelser forbdelse med hade forstået på de måde, at v skal se på sadsylghede for, at hædelse A dtræffer uder forudsætg af at hædelse B er dtruffet. Dette skrves som: P A B Det læses som: Sadsylghede for hædelse A, gvet hædelse B. Eller: De betgede sadsylghed for hædelse A, gvet hædelse B. Eksempel : Eksempler på sådae stuatoer kue være: Hvad er sadsylghede for at få et ulge øjetal ved et kast med e terg, gvet at øjetallet er over 3? Hvad er sadsylghede for at være farvebld, gvet at du er e mad? Hvs ma kaster e møt tre gage, hvad er så sadsylghede for at få kroe tredje kast, gvet at ma har fået plat adet kast? V øsker u at fde e formel tl at berege dsse betgede sadsylgheder og ser derfor på følgede udfaldsrum U u, u, u,..., u beståede af udfald: 3 A u, u3, u5, u7, u og B u4, u5, u, u, u0 Fællesmægde A B u, u er forskellge hædelser. udgør sg selv e hædelse, og de er væsetlg dee 5 sammehæg, for år v skal se på sadsylghede for, at hædelse A dtræffer, uder forudsætg af at hædelse B er dtruffet, så svarer det tl, at v har begræset udfaldsrummet fra U tl B og u ser på sadsylghede for, at hædelse A Bdtræffer. Eller med adre ord: Det er gvet, at e af hædelsere u4, u5, u, u og u0 er dtruffet, og v skal u fde sadsylghede for, at det er e af hædelsere u5eller u, der er dtruffet. Dette gver os følgede formel: Sætg 4: P A B P A B P B 7
Bemærk at A B B A, for vestresde består jo af de elemeter, der både lgger A og B, mes højresde består af de elemeter, der både lgger B og A, dvs. det er de samme elemeter, der dgår på begge sder. Da omskrvger af sætg 4 gver P A B P A B PBog PB A PB A P A og da P A B PB A, har ma altså P A B PB PB A P A eller omskrevet: Sætg 5 (Bayes' sætg): P A P A B P B A P B, Eksempel 3: Hvad er sadsylghede for at få et ulge øjetal ved et kast med e terg, gvet at øjetallet er over 3? V har altså de to hædelser,3,5 A og B 4,5,, hvor A B 5. Det er et symmetrsk sadsylghedsfelt med mulge udfald, så alle udfald har sadsylghede, og ma har så: P A B P A B PB 3 3 Ma kue også have set på de modsatte stuato: Hvad er sadsylghede for at få et øjetal over 3, gvet at kastet gav et ulge øjetal: PB A PB A P A 3 3 V kue også have beytte Bayes' sætg tl at udrege det sdste: 3 PB PB A P A B P A 3 3 3 Hvs sadsylghedere for de to hædelser A og B er lge store, fortæller Bayes' sætg os altså, at de to betgede sadsylgheder er lge store. Me hvs f.eks. sadsylghede for e hædelse A er dobbelt så stor som sadsylghede for e hædelse B, så vl de betgede sadsylghed for hædelse A, gvet hædelse B, også være dobbelt så stor som de betgede sadsylghed for hædelse B, gvet hædelse A.
Lad os u se på et tlfælde, hvor sadsylghedere for hædelsere A og B kke er lge store: Eksempel 4: Hvad er sadsylghede for at få et ulge øjetal ved et kast med e terg, gvet at øjetallet er over 4? V har de to hædelser,3,5 A og B 5,, hvor A B 5. Ma har så: P A B P A B PB Hvad er sadsylghede for at få et øjetal over 3, gvet at kastet gav et ulge øjetal? PB A PB A P A 3 3 Bayes' sætg avedt tl at fde det sdste resultat: PB PB A P A B P A 3 3 3 V ser u på edu et eksempel, hvor sadsylghedere for hædelsere A og B er lge store, og hvor v derfor øjes med at berege P A B, da v ved, at PB A P A B : Eksempel 5: Hvs ma kaster e møt tre gage, hvad er så sadsylghede for at få kroe tredje kast, gvet at ma har fået plat adet kast? Det er et symmetrsk sadsylghedsfelt med udfaldsrummet U ppp, ppk, pkp, pkk, kpp, kpk, kkp, kkk og Pu. V har desude: Hædelse at få kroe tredje kast: A ppk, pkk, kpk, kkk Hædelse at få plat adet kast: B ppp, ppk, kpp, kpk AB ppk, kpk P A B P A B PB 4 4 Eksempel 5 fører os vdere tl såkaldte uafhægge hædelser. Ma ka hurtgt overbevse sg selv om, at det at få plat adet kast kke ka have oge dvrkg på, om ma får kroe tredje kast, eller sagt på e ade måde: Sadsylghede for at få kroe tredje kast er uafhægg af, om ma har fået plat eller ej adet kast. 9
V deferer u: Defto 5: Hædelse A sges at være uafhægg af hædelse B, hvs P A B P A Øvelse : Udersøg hvlke af stuatoere eksemplere 3, 4 og 5, at de ee af hædelsere er uafhægg af de ade. V ser u på følgede vgtge - og måske overraskede - sætg: Sætg : Hvs hædelse A er uafhægg af hædelse B, så er hædelse B også uafhægg af hædelse A, og ma taler derfor om de uafhægge hædelser A og B. Bevs : Atag at hædelse A er uafhægg af hædelse B. Der gælder så følge defto 5 og sætg 4: P A B P B P A P A B Og dermed ka udtrykket omskrves tl: P A P A PB A P B A P B A P B P B dvs. følge sætg 4: P B Ifølge defto 5 har v altså, at B er uafhægg af A. Ved at ærstudere bevset ka ma desude se følgede sætg: Sætg 7: Hædelsere A og B er uafhægge, etop hvs P A B P A PB Øvelse : Tjek om du - evt. ved ærlæsg af bevset for sætg - ka se, at der gælder "etop hvs" (dvs. e bmplkato) sætg 7. Eksempel : V kaster e møt fre gage og vl gere udersøge, om følgede hædelser er uafhægge: A: Ma får kroe adet kast. B: Ma får mdst to plat alt. Sadsylghedsfeltet er symmetrsk og består af et udfaldsrum med mulge udfald: U pppp, pppk, ppkp, ppkk, pkpp, pkpk, pkkp, pkkk, kppp, kppk, kpkp, kpkk, kkpp, kkpk, kkkp, kkkk A pkpp, pkpk, pkkp, pkkk, kkpp, kkpk, kkkp, kkkk udfald B pppp, pppk, ppkp, ppkk, pkpp, pkpk, pkkp, kppp, kppk, kpkp, kkpp AB pkpp, pkpk, pkkp, kkpp 4 udfald P A PB 3 4 P A B 4 Da P A B P A PB er hædelsere IKKE uafhægge. udfald 0
Da hædelse B eksempel er mere sadsylg ed hædelse A, så ved v desude følge Bayes' sætg, at det er mere sadsylgt at få mdst to plat, gvet at adet kast var kroe, ed det er at få kroe adet kast, gvet at ma får mdst to plat. Eksempel 7: E møt kastes 3 gage, og v vl gere udersøge, om følgede hædelser er uafhægge: A: Ma får kroe første kast. B: Ma får det samme alle tre kast. V har mægdere: U A B ppp, ppk, pkp, pkk, kpp, kpk, kkp, kkk kpp, kpk, kkp, kkk ppp, kkk A B kkk Udreggere gver: P A PB 4 P A B Da P A B P A PB er hædelsere A og B uafhægge. De store tals lov Sadsylgheder og frekveser: Sadsylgheder og frekveser er begge størrelser, der lgger tervallet 0; eller mellem 0% og 00%, me det er vgtgt at skele mellem dsse to beslægtede begreber. Sadsylgheder hører - kke overraskede - hjemme de for sadsylghedsregg, mes frekveser hører hjemme de for statstk. Sadsylgheder er oget, ma tæker sg frem tl (ofte ved ddragelse af kombatork), mes frekveser fremkommer ved beregg på dsamlet data. Dette ka llustreres med følgede skema:
De store tals lov: Sætg (De store tals lov): Ved getagelse af et ekspermet gage, gælder, hvor f u f u P u for er frekvese for udfaldet u og Pu er sadsylghede for udfaldet u. Eller ldt løst sagt: Jo flere gage ma udfører et ekspermet, jo tættere kommer frekvese for et udfald store træk på sadsylghede for et udfald. Eller: De observerede hyppgheder vl store træk komme relatvt tættere på de forvetede hyppgheder, jo flere gage ma udfører et ekspermet. Stokastsk varabel V øsker u at dføre begrebere mddelværd, varas og spredg som ogle størrelser, der skal fortælle oget om vores ekspermeter. Me dsse størrelser kræver tal, der ka reges på, og v har hdtl set eksempler på udfaldsrum - f.eks. U ppp, ppk, pkp, pkk, kpp, kpk, kkp, kkk kke består af tal. V vl derfor u dføre begrebet stokastsk varabel, der er e fukto, der sætter tal på de ekelte udfald. I oveævte tlfælde kue e stokastsk varabel f.eks. være e fukto, der agav det samlede atal plat, eller det kue være e fukto, der gav værde 0, hvs det adet kast gav kroe, og ellers -5. Helt geerelt dfører v altså: - der Defto : E stokastsk varabel X et edelgt sadsylghedsfelt er e fukto der tl ethvert udfald udfaldsrummet kytter et reelt tal. X : U R, Eksempel : Hvs ma kaster e møt tre gage, ka e stokastsk varabel være de fukto, der tl hvert af de udfald kytter atallet af kroe: U kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp X u 3 0 Hvs ma kytter e sadsylghedsfukto på, får ma: t 0 3 P X t 3 3 Her er t altså de værder, som de stokastske varabel ka atage.
Eksempel 9: Et lykkehjul med forskellge farver ka drejes, og ekspermetet beståede at dreje é gag ka beskrves ved sadsylghedsfeltet: U Grø Blå Sort Gul Volet Hvd Pu 0,0 0,05 0,5 0,30 0,0 0,40 Lykkehjulet avedes et tvol, så ma ka vde pege, hvs ma er heldg, og vores stokastske varabel skal dette tlfælde være e fukto, der "oversætter" farve tl et beløb ( kroer). Det kue f.eks. være: U Grø Blå Sort Gul Volet Hvd X u 0 0 5 50 0 Når v har dført begrebet stokastsk varabel, ka v dføre følgede størrelser, der fortæller oget om de stokastske varabel (og dermed om det ekspermet, som de stokastske varabel er e del af): Mddelværd, spredg og varas Defto 7: I et edelgt sadsylghedsfelt med de stokastske varabel X, der ka atage værdere x, x, x3,..., x m, dføres størrelsere: Mddelværd ( eller E X ): x P X x Varas: var X x P X x m m Spredg: var X 3
Eksempel 0: V vl bestemme mddelværd, varas og spredg for de stokastske varabel dført eksempel : 4 3 3 3 3 3 x P X x 0 3 var 4 X x P X x 3 3 3 3 3 3 0 3 9 3 3 9 3 4 4 4 4 4 3 3 var X 0, 4 V vl altså geemst få,5 kroe, år v udfører ekspermetet. Eksempel : V udreger mddelværde eksempel 9: x P X x 0 0, 0 0 0, 05 50,5 0,30 50 0, 0 0 0, 40 0, 0, 75 0, 0 4,5 Dvs. ma vder geemst 4,5 pr. spl (som skkert koster et sted mellem 0 og 0 kroer). Da var( X ) fortæller spredge og varase på s vs det samme om de stokastske varabel. De fortæller det bare med forskellge værder. V støder på dem ge de for statstk, me tl at begyde med, skal v se på ogle sætger, der omhadler, og var X. De fortæller bl.a. oget om, hvad der sker med de tre størrelser, hvs ma eksempel 9 vælger at øge eller sæke gevste med e fast størrelse eller med e fast procetdel: Sætg 9: I et edelgt sadsylghedsfelt med de stokastske varable X og Y, gælder følgede, år a og b er reelle tal: Mddelværd: a) E a X b a E X b b) E X Y E X E Y Spredg: c) a X b a X Varas: d) var X E X E X e) var a X b a var X 4
Ide v ser på bevsere for dsse sætger, skal v lge geemgå, hvad der mees med, at der (på samme td) ka være flere stokastske varable kyttet tl et edelgt sadsylghedsfelt. Først ka det bemærkes, at der kke er oget defto, der forhdrer det. Derefter ka v se på et kokret eksempel: Eksempel : V bygger vdere på eksempel, hvor e møt blev kastet tre gage, og hvor vores stokastske varabel X agav atallet af kroe. V ser u på to adre stokastske varable tlkyttet samme sadsylghedsfelt. Y: Agver atallet af plat. Z: Agver atallet af skft fra plat tl kroe eller omvedt. Det gver os: U kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp X u 3 0 Yu 0 3 Zu 0 0 X Y u 3 3 3 3 3 3 3 3 X Z u 3 3 4 3 3 0 x 0 3 P X x 3 3 y 0 3 P Y y 3 3 z 0 P Z z 4 4 x y 3 P X Y x y V har allerede eksempel 0 bereget også gælder EY 3. Desude ka v udrege: 3 E Z z PZ z 0 4 4 Lad os u se på E X Y og E X Z 3 E X, og det ka hurtgt dses, at der. De stokastske varabel X Y kytter tl ethvert elemet U et reelt tal, der er summe af de to tal, som heholdsvs X og Y kyttede tl tallet (se tabelle ovefor). V ser ret hurtgt, at E X Y 3 Desude ka ma udrege:, og v bemærker, at sætg 9.b gælder. 4 3 5 E X Z x z P X Z x z 0 3 4 4 Ige bemærkes det, at sætg 9.b gælder. x z 0 3 4 P X Z x z 4 5
Bevs 9: E stor del af bevsere består at kue rege med sumteg. 9.a: V beytter defto7 på mddelværd og bemærker, at det er selve værdere af de stokastske varabel, der blver ædret med a og b, mes der kke sker oget med sadsylghedsfuktoe, der jo er tlkyttet det oprdelge sadsylghedsfelt: m m m E a X b a x b P X x a x P X x b P X x m m a x P X x b P X x a E X b a E X b Der blev æst sdste skrdt beyttet P X x m, da sadsylghedere for alle udfald og dermed også for alle værder af de stokastske varabel summerer op tl. 9.e: V beytter defto 7 på varas: var m a X b a x b E a X b P X x m m a x b a E X b P X x a x E X P X x m var a x E X P X x a X 9.c: Dette følger drekte af sætg 9.e samt defto 7. 9.b: Når v skal bevse dee sætg, er det vgtgt at være opmærksom på, at v er ødt tl at gå helt tlbage tl udfaldsrummet, år v arbejder med sumtegee, for som v så eksempel, kue forskellge udfald godt gve es værder for X, me forskellge værder for X Z (f.eks. kkp og kpk). E X Y X Y u P u X u P u Y u P u X u P u Y u P u E X E Y 9.d: Her skal ma gøre sg klart, at ma med X meer de stokastske varabel, der tl hvert udfald gver kvadratet på de værd, som de stokastske varabel X gver. var m X x E X P X x m x E X x E X P X x m m m x P X x E X P X x x E X P X x m m E X E X P X x E X x P X x E X E X E X E X E X E X
Eksempel 3: Sætg 9.d. blev tdlgere - de computere overtog arbejdet - avedt, år ma skulle bestemme varase, ford det ofte var hurtgere at foretage dee udregg. Lad os se på eksempel og sammelge med eksempel 0: U kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp X u 3 0 X u 9 4 4 4 0 x 0 3 x 0 4 9 P X x 3 3 P X x 3 3 4 3 3 3 3 3 E X x P X x 0 3 4 3 3 3 9 E X x P X x 0 4 9 3 3 9 3 X E X E X var 3 3 4 4 Resultatet stemmer med eksempel 0 (me ma ka også bemærke, at der dette tlfælde kke var det store regearbejde at spare). Tæthedsfukto og fordelgsfukto Når v arbejder med vores dskrete sadsylghedsfelter med tlkyttet stokastsk varabel X, har v vores sadsylghedsfukto P X x, der tl hver værd af de stokastske varabel kytter sadsylghede for dee værd. Dette ka afbldes et pdedagram. Eksempel 4: Dataee fra eksempel 3 afbldes Maple: 7
V skal seere de for statstk arbejde med kotuerte fuktoer, og her ka ma kke arbejde med sadsylghedsfuktoer på samme måde, da sadsylghede for et kokret udfald e kotuert fordelg vl være 0 (da der er uedelgt mage udfald de for ethvert terval). I dsse tlfælde arbejder ma med tæthedsfuktoer. Defto : For et (kotuert) udfaldsrum U I, hvor I er et terval, kaldes e fukto f x b for tæthedsfuktoe, hvs det gælder [, ], hvor Pu [ a, b] ab,. a, b I med b a for tervallet P u a b f x dx for alle a er sadsylghede for, at udfaldet lgger de Eksempel 5: De såkaldte ormerede ormalfordelg (også kaldet u-fordelge) har tæthedsfuktoe f x e x. Grafsk ser de ud på følgede måde: V veder tlbage tl dee fordelg uder statstk. I modsætg tl begrebet tæthedsfukto, der ku gver meg for og derfor oftest ku avedes forbdelse med kotuerte udfaldsrum, så avedes det æste begreb både dskrete og kotuerte stuatoer: Defto 9: For et sadsylghedsfelt med tlkyttet stokastsk varabel X og sadsylghedsfukto P X x, er fordelgsfuktoe F x P X x de fukto, der tl ehver værd x agver sadsylghede for højst at opå værde x. For et (kotuert) udfaldsrum U I, hvor I er et terval, med tæthedsfuktoe x f x, er fordelgsfuktoe F x edepukt (evt. ). f t dt, hvor a er tervallets vestre a
V skal se e del på fordelgsfuktoer de kotuerte tlfælde, så her ses udelukkede eksempler forbdelse med sadsylghedsfelter. Eksempel : I eksempel 3 har v følgede sadsylghedsfukto P x Fx Fx : P x og fordelgsfukto X 3 4 5 7 9 0 5 5 3 9 3 3 9 3 3 0 5 30 33 35 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Eksempel 7: E fordelgsfukto for et sadsylghedsfelt med tlkyttet stokastsk varabel vl afbldes som et såkaldt trappedagram: De blå ljer agver de såkaldte kvartlsæt, me det veder v også tlbage tl seere. Normeret stokastsk varabel I eksempel 5 så v på de ormerede ormalfordelg, der også kaldes u-fordelge. Det er et specaltlfælde af følgede defto, der forklarer, hvorda ma ud fra e gvet stokastsk varabel ka dae e ade stokastsk varabel med ogle øskede egeskaber (se sætg 0). Defto 0: Lad X være e stokastsk varabel med mddelværd og spredg. De X stokastske varabel U kaldes så for de tlsvarede ormerede stokastske varabel. 9
Eksempel : V ser ge på eksempel, hvor v eksempel 0 beregede, at X 0 3 3 3 og : P X x 3 3 3 X 3 De tlsvarede ormerede stokastske varabel X U er så: 3 3 0 3 3 3 3 3 U 3 3 3 3 3 3 3 3 P U x 3 3 Sætg 0: E ormeret stokastsk varabel har mddelværde 0 og spredge. Eksempel 9: V beytter sætg 9 tl at berege mddelværd og spredg for de ormerede stokastske varabel fra eksempel. Først beyttes sætg 9.a: X 3 3 3 3 3 3 E U E E X 0 3 3 3 3 3 3 3 Dvs. mddelværde af de stokastske varabel U er 0. Sætg 9.c gver os: X 3 3 U X 3 3 3 Dvs. at de stokastske varabel U har spredge. Bevs 0: V ka udytte ogle af resultatere sætg 9 tl at bevse sætg 0: Vores udgagspukt er, at de stokastske varabel X har mddelværde og spredge (der er e kke-egatv størrelse). Af sætg 9.a følger: X E U E E X E X 0 0 Dvs. mddelværde for de stokastske varabel U er 0. Af sætg 9.c følger: X U X X X Dvs. de stokastske varabel U har spredge. 0
Uafhægge stokastske varable I defto 5 og sætgere og 7 så v på uafhægge hædelser. V ka på samme måde tale om uafhægge stokastske varable. Ma skal huske på, at e stokastsk varabel er e fukto, der tl ethvert elemet udfaldsrummet kytter et reelt tal, dvs. de ka godt kytte det samme tal tl flere forskellge udfald, og e stokastsk varabel ka så være e måde, hvorpå ma får daet forskellge hædelser, emlg ved at lade de forskellge hædelser hver sær bestå af de udfald, som de stokastske varabel tldeler samme værd. Eksempel 30: V ser ge på stuatoe fra eksempel (e møt kastes tre gage og de stokastske varabel agver atal 'kroe'). U kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp X u 3 0 I dette tlfælde daer de stokastske varabel hædelsere: H H H H 3 4 ppp kpp, pkp, ppk kkp, kpk, pkk kkk V beytter så sætg 7 som udgagspukt for følgede defto: Defto : De stokastske varable X og Y kaldes uafhægge, hvs det gælder, at: j j x VmX, y VmY P X x Y y P X x P Y y j Eksempel 3a: V ser edu egag på stuatoe med 3 kast med e møt. V ser på tlfældet: X: Agver atallet af kroe. Y: Agver atallet af plat. Vores klare foremmelse må være, at dsse to stokastske varable IKKE er uafhægge, for hvs ma keder værde for de ee, keder ma de også for de ade ud fra lgge y 3 x. V ser på et par stuatoer: a) X gver og Y gver. V ka kke have begge dele på é gag, så P X Y 0. 3 3 3 3 9 4 V har P X og PY, dvs. P X PY Da P X Y P X PY er de stokastske varable IKKE uafhægge, og derfor behøver v egetlg kke at se på flere udregger, me her kommer e mere for forståelses skyld. b) X gver og Y gver. Her har v: 3 3 3 9 P X Y og P X PY 4 Dvs. P X Y P X P Y
Eksempel 3b: Tre kast med e møt og følgede stokastske varable: X: Atal kroe. Y: Atal kast Bemærk at Y er e ret kedelg stokastsk varabel, der hele tde gver 3. Dermed skulle det også være oplagt, at dsse to stokastske varable er uafhægge. Der ses på ogle stuatoer (tæk selv over sadsylghedere): a) X 0 og Y 3: b) X og Y 3: P X 0 Y 3 P X 0 PY 3 Dvs. P X 0 Y 3 P X 0 P Y 3 3 3 P X Y 3 P X PY 3 Dvs. P X Y 3 P X P Y 3 d) X 3 og Y 3 : c) X og Y 3: 3 3 P X Y 3 P X PY 3 Dvs. P X Y 3 P X P Y 3 P X 3 Y 3 P X 3 PY 3 Dvs. P X 3 Y 3 P X 3 P Y 3 V har u geemgået alle kombatoer og set, at udtrykket er sadt alle tlfælde, og dermed er dsse to stokastske varable uafhægge. Eksempel 3c: Ige 3 kast med e møt. X: Atal kroe. Z: Atal skft fra plat tl kroe. Dette kedes fra eksempel, og ma ka se sadsylgheder ud fra tabellere dette eksempel. V ser på 4 ud af de mulge kombatoer. a) X 0 Z 0 P X 0 Z 0 P X 0 PZ 0 4 Falsk b) X 0 Z P X 0 Z 0 P X 0 PZ Falsk c) X 0 Z P X 0 Z 0 P X 0 PZ 4 Falsk h) X Z P X Z P X 3 PZ 4 Falsk Edu egag har v altså IKKE uafhægge stokastske varable.
Sætg : For uafhægge stokastske varable X og Y gælder: E X Y E X E Y Eksempel 3: Ide bevset for sætge er det vgtgt at forstå, hvad der mees med de stokastske varabel X Y, der dgår sætge. V tager udgagspukt eksempel 3c (og hermed eksempel ) for at forstå betydge. U kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp X u 3 0 Zu 0 0 u X Z 0 4 0 X Z gver for hvert udfald produktet af de værder, som X og Z hver sær tldeler udfaldet. Bevs : I bevset avedes dobbelte sumteg, der skal forstås på de måde, at for hver værd af udreges hele sumteget med j. De stokastske varabel X's værdmægde består af k elemeter, mes VmY deholder l elemeter. Tæk over hvorfor hvert skrdt bevset er gyldgt. Specelt er det vgtgt at forstå det første lghedsteg ed tl mdste detalje. Vores udgagspukt er, at v har to uafhægge stokastske varable X og Y, dvs. v ved x VmX, y VmY at PX x Y y j PX x PY y j så defto 7 (på mddelværd) og reger løs: k l E X Y x y j P X x Y y j j k l j k j j j k x y j P X x P Y y j l x P X x y P Y y. V beytter x P X x E Y E Y x P X x E Y E X k j Eksempel 33: I eksempel 3b så v på de ret oplagte uafhægge stokastske varable, hvor X var atal 'kroe' og Y var atal kast. Y har oplagt mddelværde 3, og sætg gver så: 3 9 E X Y E X E Y 3 Det er kke verdes mest overraskede resultat, da de stokastske varabel X Y reelt set gver os atal 'kroe' gaget med 3. 3
Der gælder også e sætg om varase forbdelse med uafhægge stokastske varable: Sætg : Hvs X og Y er uafhægge stokastske varable, er Var X Y Var X Var Y. Bevs : V beytter sætg 9a mageta, 9b blå samt 9d rød, hvor varasere ka udreges ud fra mddelværder, og da vores forudsætg er, at X og Y er uafhægge stokastske varable, ka v også beytte sætg grø. V får så: Y Var X E X Y E X Y E X E Y E Y E X Y E X E Y E X E Y E X Y E X Y X Y E X E X E X E Y E Y E X E Y r Y E Y E X E Y Var X Var Y Var X Va X E Eksempel 34: V ser edu egag på eksempel 3b, hvor v havde uafhægge stokastske varable. Varase for Y er 0, da de tldeler alle udfald værde 3, og v har så følge sætg : 3 Var X Y Var X Var Y Var X 0 Var X 4 4
KOMBINATORIK Kombatork beskæftger sg med edelge eller tællelge dskrete strukturer. Som du husker fra forløbet om uedelgheder, vl det altså sge, at strukture ete skal være edelg eller skal kue ummereres med de aturlge tal (hvlket f.eks. kke var tlfælde med tervallet [0,], der heller kke er e dskret struktur). Ma ka også sge, at kombatork beskæftger sg med at tælle mægder. Koblge mellem kombatork og sadsylghedsregg er sætg 3, da v symmetrske sadsylghedsfelter ka bestemme sadsylghede for et udfald ved at tælle atallet af elemeter udfaldsrummet og atallet af elemeter mægde af gustge udfald. Da v desude har set, hvorda ma geerelt ka omforme et kke-symmetrsk edelgt sadsylghedsfelt tl et symmetrsk sadsylghedsfelt ved at agve udfaldsrummet på e ade måde (eksempel ), vl sætg 3 samme med kombatork være et stærkt matematsk redskab. Cetrale begreber Ide for kombatork er det vgtgt at kue skele mellem følgede to ord: Kombere: komb'ere ; v sammesætte, foree forskellge dele tl et hele OPRINDELSE: lat. combare. Permutere: permu'tere ; v ombytte, omstlle OPRINDELSE: af lat. permutare ædre, bytte, udveksle, per- + mutare flytte oget, ædre, bytte. V deferer u: Defto : Lad A a a a a,,,..., 3 r være et helt tal, hvorom det gælder 0 r. være e mægde med elemeter (e -mægde) og lad a) E permutato af mægde A er e opstllg af de elemeter e bestemt rækkefølge (også kaldet e ordet mægde). b) Atallet af permutatoer af A skrves P. c) E r - permutato fra mægde A er e ordet delmægde fra A beståede af r elemeter. d) Atallet af r-permutatoer fra mægde A skrves P, r. 5
Eksempel 35: Lad A a, b, c, d, e være e mægde med 5 elemeter. Fre forskellge permutatoer af A er så: adceb ecabd edcba aebdc Følgede er IKKE permutatoer: adabc bceed aaaaa Forskellge 4-permutatoer fra A er: beda acbd acdb edcb Forskellge 3-permutatoer fra A er: ace deb abc edc Forskellge -permutatoer fra A er: a c d b Defto 3: Lad A være e -mægde og lad r være et helt tal, hvorom det gælder 0 r. a) E kombato fra A er e delmægde af A. b) Atallet af kombatoer fra A beteges K c) E r - kombato fra A er e kombato med r elemeter. d) Atallet af r-kombatoer fra A beteges K, r Eksempel 3: Lad A a, b, c, d, e 4 forskellge kombatoer fra A er: a, c, d a, b, c, d, e Ø b, a Følgede kombatoer er es: a, c, d c, a, d d, c, a Forskellge -kombatoer: a, b a, c b, c e, b c, d V øsker at bestemme udtryk for,,, og, skal v have troduceret ogle prcpper: Multplkatosprcppere: P K P r K r, me de det ka lade sg gøre, Sætg 3 (multplkatosprcppet for valgmulgheder for uafhægge valg): Ved et samlet valg beståede af uafhægge delvalg med atallet af valgmulgheder v, v, v3,..., v er det samlede atal valgmulgheder Vsamlet v v v3... v. Eller udtrykt med begreber fra sadsylghedsregg: Udfaldsrummet, der beskrver de forskellge valgmulgheder og gver et symmetrsk sadsylghedsfelt, vl deholde Vsamlet v v v3... v elemeter.
Eksempel 37: E køs har par sko, 5 par strømper, 3 bukser, skjorter og 4 bluser. Ha har ge sas for sammesætg af tøjet, så valget af de ekelte dele er uafhægge af hade. På hvor mage måder ka ha klæde sg på (år e påklædg består af af hver slags beklædgsdel)? Der skal træffes 5 uafhægge delvalg med atal valgmulgheder, 5, 3, og 4. Det samlede atal valgmulgheder er derfor V 53 4 70. samlet Ha har altså 70 forskellge måder at klæde sg på. Eksempler på tre af de 70 elemeter udfaldsrummet: sko, strømpepar, buks, skjorte, bluse 4 5 sko, strømpepar, buks, skjorte, bluse 3 sko, strømpepar, buks, skjorte, bluse 3 Bevs 3: Bevset for sætge vl typsk være et såkaldt tælletræ, hvor v her ser på et kokret eksempel med tre uafhægge delvalg med atal valgmulgheder 3, og 4: Der er Vsamlet 3 4 4 forskellge samlede valgmulgheder svarede tl de 4 røde plespdser. Udfaldsrummet med 4 elemeter er agvet. Det adet multplkatosprcp er egetlg bare e varato af det første, hvor ma stedet for valgmulgheder (og dermed aturlge tal) taler om sadsylgheder for permutatoer (og dermed om tal mellem 0 og : Sætg 4 (multplkatosprcppet for sadsylghede for permutatoer af uafhægge hædelser): Lad A A... A3 A være e permutato af uafhægge hædelser. Sadsylghede for, at hædelsere alle dtræffer de agve rækkefølge, er: P( A A A... A ) P( A ) P( A ) P( A )... P( A ) 3 3 Eksempel 3: Ma kaster é terg 5 gage og øsker at fde sadsylghede for at slå e er alle 5 gage. Da udfaldet af et tergkast kke afhæger af tdlgere kast, har ma 5 uafhægge hædelser, hver med sadsylghede for at dtræffe. Hermed blver de søgte sadsylghed: P 7 5 777
Eksempel 39: Ma kaster é terg 5 gage og øsker at fde sadsylghede for at slå e er de 3 første kast og e er de sdste kast. Ige har ma 5 uafhægge hædelser med sadsylghede for at dtræffe, så ma får: P 5 777. Bemærk at dette IKKE er det samme som sadsylghede for at slå 3 ere og ere med 5 terger, da sætge lægger vægt på rækkefølge (jævfør ordet: permutato). Eksempel 40: Ma kaster e møt tre gage og øsker at fde sadsylghede for udfaldet pkk. Dee permutato består af tre uafhægge hædelser hver med sadsylghede, så ma har P pkk Eksempel 4: V omformuleret eksempel 37 tl u at se på sadsylghede for at få e kokret permutato, f.eks: sko, strømpepar 4, buks, skjorte 5, bluse. Hvs atallet af valgmulgheder for de ekelte type beklædg er sadsylghede for et bestemt valg være P v med atal valgmulgheder, 5, 3, og 4, gver det altså v, vl. Da v havde 5 uafhægge delvalg P 5 3 4 70 Oveståede eksempel ka fugere som e avsg på, hvorda ma kommer fra det første multplkatosprcp tl det adet. Det er væsetlgt at bemærke, at multplkatosprcppere er e slags "både-og"-prcpper. De forklarer, hvorda ma skal rege på stuatoer, hvor både e hædelse og e ade hædelse og e tredje hædelse og... skal dtræffe. Bemærk at sadsylghede blver mdre, jo flere hædelser der kobles på. Det har vst sg, at meesker kke altd har e tutv opfattelse af multplkatosprcppere. F.eks. vl e del meesker - specelt hvs problemet kke formuleres så drekte - vurdere sadsylghede for, at perso A er bakdrektør og kører Mercedes, højere ed sadsylghede for, at perso A er bakdrektør. V skal u se på "ete-eller"-prcppere: Addtosprcppere Sætg 5 (Addtosprcppet for valgmulgheder): Hvs ma skal vælge et elemet e af mægdere A, A, A3,..., A deholdede heholdsvs v, v, v3,..., v elemeter, har ma V v v v3... v valgmulgheder.
Eksempel 4: E pge har om fredage lov tl at vælge e usud tg. Hu ka vælge mellem 5 slags s, 4 slags chokolade, 3 slags vgumm og flødebolle. Hedes samlede valgmulgheder er Vsamlet 5 4 3 3 Eksempel 43: E dreg skal gymaset og har 4 gymaser at vælge mellem, der udbyder heholdsvs 3,, og 5 relevate studeretger. Ha har alt Vsamlet 3 5 valgmulgheder. Ide v ka se på det æste addtosprcp, skal v lge have deferet et begreb: Defto 4: To hædelser A og B kaldes dsjukte, hvs de kke har ogle udfald tlfælles, dvs. hvs AB Ø Eksempel 44: E terg kastes, og ma ser på de tre hædelser: A: Øjetallet er lge. B: Øjetallet er ulge. C: Øjetallet er mdst 5. D: Øjetallet er. A og B er dsjukte hædelser, da øjetallet kke både ka være lge og ulge. De er desude komplemetære hædelser, da de desude tlsamme udgør hele udfaldsrummet U. A B Ø A og B er dsjukte. A B Ø A B U A og B er komplemetære. A og C er kke dsjukte hædelser, da AC C og D er dsjukte hædelser, da C D Ø. Sætg (Addtosprcppet for sadsylgheder): Sadsylghede for at é af de dsjukte hædelser A, A, A3,..., A dtræffer er P P A P A P A P A 3... Eksempel 45: E møt kastes tre gage. V øsker at fde sadsylghede for, at v får etop é kroe eller tre kroe. V lader hædelse A bestå at få etop é kroe og hædelse A er at få tre kroe. V keder sadsylghedere fra tdlgere ( P A og 3 4 P P A P A 3 P A ) og får så: V er u æste fremme ved de cetrale sætger de for kombatork. V magler blot at få deferet et ekelt begreb: 9
Permutatoer Defto 5: Lad. Med skrvemåde!, der læses " fakultet", forstås! 3... 3 Desude fastsættes det, at 0! Eksempel 4:! 5 43 70! Eksempel 47: I Maple dtastes fakultet meget smpelt, da ma ka beytte tastaturets udråbsteg (ma ka også godt fde symbolet uder 'commo symbols'): Som det ses, følger Maple også deftoe 0!. Helt geerelt taler ma om Det tomme produkt, hvlket sættes tl at gve det eutrale elemet ved multplkato (dvs. ). Ma har også De tomme sum, der sættes tl det eutrale elemet ved addto (dvs. 0). Ma ka desude bemærke, at Maple godt ka udrege! r for et decmaltal, selvom vores defto kke tllader det. Det skyldes, at ma ka vse, at ma på etop é måde ka udvde fakultetbegrebet, og at dee udvdelse blver de såkaldte gammafukto, der er deferet for alle reelle tal bortset fra egatve heltal (se edeståede): 30