Noter til Lineær Algebra

Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450.

INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition af et vektorrum.................... 4.2 Underrum............................. 5.3 En matrices nulrum....................... 5.4 Lineær uafhængighed....................... 6.5 Basis og dimension........................ 7.6 Skift af basis........................... 7.7 Rækkerum og søjlerum...................... 9 2 Lineære afbildninger 2. Definition af en lineær afbildning................ 2.2 Matrixrepræsentation af lineære afbildninger......... 2 2.3 Similære matricer......................... 4 3 Egenværdier 5 3. Egenværdier og egenvektorer.................. 5 3.2 Diagonalisering.......................... 6 4 Ortogonalisering 7 4. Skalarproduktet i R n....................... 7 4.2 Indre produkt rum........................ 7 4.3 Ortonormale systemer...................... 9 4.4 Ortogonale matricer....................... 20 4.5 Gram-Schmidt ortogonalisering................. 2 5 Fourieranalyse 23 5. Ortonormal basis......................... 23 5.2 Fourierrækker........................... 24 5.3 Fouriertransformation...................... 25

INDHOLD 3 0. Om disse noter Disse noter indeholder en stor del af eksamensensum til LinAlg-kurset på Københavns Universitet (2006). Dog er emnerne lineære ligningssystemer, Gauss-Elimination/Gauss-Jordan Elimination, matrixalgebra og determinanter ikke medtaget. Versionsnummeret er givet ved udkommer en ny version. k= k2p, hvor p stiger med, når der Martin Sparre www.logx.dk

ABSTRAKTE VEKTORRUM 4 Abstrakte vektorrum. Definition af et vektorrum Lad mængden V være et vektorrum og lad x,y V. Da gælder αx V, α R og x + y V. For x,y,z V og α,β R opstilles følgende aksiomer: (x + y) + z = x + (y + z) y + 0 = y x + ( x) = 0 x + y = y + x α(x + y) = αx + αy (α + β)x = αx + βx (αβ)x = α(βx) x = x. Elementerne i et vektorrum kaldes for vektorer. (0 kaldes 0-elementet) Her følger nogle eksempler på vektorrum og elementer i disse: Eksempel (Vektorrummet R n ) Talrummene R n er vektorrum. Her er et eksempel på vektorer i henholdsvis R 3 og R 5 : 2 4 5 x = 7, y =. 42 9 Eksempel 2 (Vektorrummet R m n ) Mængden af alle m n matricer er et vektorrum og betegnes R m n. Her er et eksempel på en vektor i R 3 2 : 42 3 A = 2 4. 980

ABSTRAKTE VEKTORRUM 5 Eksempel 3 (Vektorrummet P n ) Med P n betegnes mængden af polynomier af grad strengt mindre end n. Der gælder, at P n er et vektorrum. Her ses eksempler på en vektor i P 3 : p(x) = 2x 2 4x 2. Eksempel 4 (Vektorrummet C[a, b]) Det kan vises, at mængden, som består af alle kontinuerte funktioner defineret på et interval [a; b], udgør et vektorrum. Dette vektorrum betegnes C[a, b]. Et eksempel på en vektor i C[,]: f(x) = tan(x). Eksempel 5 (Vektorrummet C n [a, b] ) Mængden af alle n gange kontinuert differentiable funktioner på et interval [a; b] udgør et vektorrum, kaldet C n [a,b]..2 Underrum Lad V være et vektorrum og lad S V. Hvis S er en ikke-tom delmængde af V, så kaldes S et underrum af V, hvis følgende gælder: αx S, for alle x S og alle α R, x + y S for alle x,y S. (i) (ii) Betingelses (i) siger, at S er lukket under skalarmultiplikation og (ii) siger, at S er lukket under addition af elementer i S. I ethvert vektorrum V gælder der, at V og {0} er underrum. Disse to vektorrum kaldes trivielle underrum. Der gælder generelt, at alle underrum i sig selv er vektorrum..3 En matrices nulrum Lad A være en m n matrix. Så betegner N(A) mængden af alle løsninger til ligningen Ax = 0. Der gælder, at N(A) = {x R n Ax = 0}.

ABSTRAKTE VEKTORRUM 6 Til at finde nulrummet for en matrix udføres Gauss elimination eller Gauss- Jordan elimination og herudfra bestemmes løsningsrummet N(A) til lignignen Ax = 0. Eksempel 6 (Bestemmelse af nulrum) Lad ( ) 0 A =. 2 0 Efter Gauss-Jordan elimination fås: ( 0 0 2 ). Ligningssystemet tilsvarende denne matrix er: x = x 3 x 4 x 2 = 2x 3 + x 4. Ved at sætte x 3 = α og x 4 = β fås, at 2 N(A) = span 0, 0, hvor span angiver mængden, som udspændes af de to vektorer..4 Lineær uafhængighed Definition (Lineær uafhængighed) Vektorerne v,v 2,...,v n V er lineært uafhængige hvis udsagnet, α v + α 2 v 2 +... + α n v n = 0, kun er sandt, når α,α 2,...,α n er 0. Definition 2 (Lineær afhængighed) Vektorerne v,v 2,...,v n V er lineært afhængige, hvis udsagnet er sandt, α v + α 2 v 2 +... + α n v n = 0, selvom ikke alle α,α 2,...,α n er 0.

ABSTRAKTE VEKTORRUM 7 For at afgøre om n vektorer, x,x 2,...,x n i R n er lineært afhængige kan man opskrive matricen, X = (x,x 2,...,x n ). Vektorerne er lineært afhængige hvis og kun hvis det (X) = 0. En anden måde at teste, hvorvidt en samling af vektorer er lineært afhængige, er, at opskrive en matrix med de givne vektorer som søjlevektorer. Efter Gauss-elimination af matricen er der en nulrække, hvis og kun hvis de givne vektorer er lineært afhængige. Hvis man har m vektorer i R n og m > n er de m vektorer altid lineært afhængige..5 Basis og dimension Definition 3 (En basis for et vektorrum) Vektorerne v,v 2,...,v n er en basis for vektorrummet V, hvis og kun hvis (i) v,v 2,...,v n er lineært uafhængige, (ii) v,v 2,...,v n udspænder V. Definition 4 (Dimensionen af et vektorrum) Lad V være et vektorrum. Hvis V har en basis, der består af n vektorer, så har V dimension n. Specielt defineres at underrummet {0} af V har dimension 0..6 Skift af basis Den naturlige basis for R 2 er de to standardenhedsvektorer e,e 2. I stedet for disse kunne man vælge at beskrive vektorer i R 2 ud fra en anden basis; eksempelvis vektorerne, ( ) ( ) 3 u =, u 2 =, 2 som her er angivet i forhold til den naturlige basis. Ved at bruge u og u 2 som basisvektorer vil man ofte få brug for at løse følgende problemer:

ABSTRAKTE VEKTORRUM 8. Givet en vektor x = (x,x 2 ) T mht. e og e 2, find dennes koordinater mht. u og u 2. 2. Givet en vektor c u + c 2 u 2 find dennes koordinater mht. e og e 2. Først løses problem 2. Det ses, at u = 3e + 2e 2, u 2 = e + e 2. Dvs., c u + c 2 u 2 = 3c e + 2c e 2 + c 2 e + c 2 e 2 = (3c + c 2 )e + (2c + c 2 )e 2. Ved at sætte U = (u,u 2 ) og c = (c,c 2 ) T fås: x = U c. (.) Nu er problem 2 således løst. U er sammensat af lineært uafhængige basisvektorer, hvorfor U er invertibel. Det følger af (.), at løsningen til problem er c = U x. Nu betragtes et mere generelt basisskift fra [v,v 2 ] til [u,u 2 ]. For at gå fra [v,v 2 ] til [e,e 2 ] skal den oprindelige koordinatvektor multipliceres med V. For at gå fra [e,e 2 ] til [u,u 2 ] skal der multpliceres med U således, at koordinattransformationsmatricen bliver U V. Koordinattransformationen illustreres her: V [v,v 2 ] [e,e 2 ] U V U [u,u 2 ] I det netop gennemregnede eksempel optrådte, der vektorer i R 2. Proceduren mht. basisskift kan dog let oversættes til ethvert andet endelig dimensionalt vektorrum;.

ABSTRAKTE VEKTORRUM 9 Definition 5 Lad V være et vektorrum med den tilhørende ordnede basis E = [v,v 2,...,v n ]. Hvis v er et element i V, så kan v skrives som v = c v + c 2 v 2 +... + c n v n, hvor c,c 2,...,c n er skalarer. Vektoren v V kan præsenteres af vektoren c = (c,c 2,...,c n ) T i R n. Vektoren c kaldes koordinatvektoren af v mht. den ordnede base E og betegnes [v] E. c i erne er koordinaterne af v med hensyn til E..7 Rækkerum og søjlerum I dette delafsnit præsenteres en række af de vigtigste sætninger og definitioner angående rækkerum og søjlerum. Først præsenteres definitionen af rækkerum og søjlerum; Definition 6 Lad A være en m n matrix. Underrummet af R n som udspændes af matricens rækkevektorer kaldes rækkerummet for A. Underrummet af R m, som udspændes af søjlevektorerne i A, kaldes søjlerummet for A. Sætning To rækkeækvivalente matricer har samme rækkerum. Definition 7 (Rang) Rangen af en matrix A er dimensionen af rækkerummet for matricen A. Eksempel 7 Lad A = 2 3 2 5 4 7. Ved at udføre Gauss-elimination fås 2 3 U = 0 5. 0 0 0 Rækkerummet for matricerne A og U er således udspændt af de to vektorer (, 2,3) T og (0,,5) T. Rangen af begge matricer er 2.

ABSTRAKTE VEKTORRUM 0 Sætning 2 (Konsistens af lineære systemer) Et lineært system A x = b er konsistent, hvis og kun hvis b er indeholdt i søjlerummet for A. I øvrigt gælder der, at summen af rangen og dimensionen af nulrummet altid er lig antallet af søjler i en matrix. Sætning 3 Hvis A er m n, så er dimensionen af rækkerummet lig dimensionen af søjlerummet.

2 LINEÆRE AFBILDNINGER 2 Lineære afbildninger 2. Definition af en lineær afbildning Definition 8 En afbildning L : V W er en lineær afbildning, hvis L(αv + βv 2 ) = αl(v ) + βl(v 2 ), for alle v,v 2 V og for alle skalarer α og β. Heraf følger, at en afbildning er lineær, hvis og kun hvis den opfylder følgende:. L(v + v 2 ) = L(v ) + L(v 2 ). 2. L(αv) = αl(v). Eksempel 8 Betragt operatoren L : R 2 R 2 defineret ved L(x) = ( x 2,x ) T. Det kan let eftervises, at L er en lineær afbildning: ( ) αx2 βy 2 L(αx + βy) = αx + βy ( ) ( αx2 βy2 = + αx βy ) = αl(x) + βl(y) Det er hermed vist, at afbildningen er lineær. Definition 9 (Kernen af en lineær afbildning) Lad L : V W være en lineær afbildning. Kernen af L er givet ved ker(l) = {v V L(v) = 0 W }.

2 LINEÆRE AFBILDNINGER 2 2.2 Matrixrepræsentation af lineære afbildninger Der gælder, at enhver lineær afbildning af typen L : R n R m kan repræsenteres af en m n matrix. Dette følger af denne sætning: Sætning 4 Hvis L er en lineær afbildning fra R n ind i nymodens R m, så eksisterer der netop en m n matrix A så L(x) = Ax, for alle x R n. Den j e søjle i A er givet ved a j = L(e j ). Eksempel 9 Lad L : R 3 R 2 være defineret ved L(x) = (x + x 2,x 2 + x 3 ) T. Nu skal matricen tilsvarende denne lineære afbildning findes. Når L virker på de tre naturlige basisvektorer i R 3 fås følgende for de tre søjlevektorer i A: ( ) L(e ) = 0 ( ) L(e 2 ) = ( ) 0 L(e 3 ) = Det følger nu af sætning 4, at ( 0 A = 0 ). I den følgende sætning betragtes mere generelle lineære afbildninger fra et vektorrum V med basen E = [v,v 2,...,v n ] til et andet vektorrum W med basen F = [w,w 2,...,w m ]:

2 LINEÆRE AFBILDNINGER 3 Sætning 5 Lad E = [v,v 2,...,v n ] og F = [w,w 2,...,w m ] være ordnede baser for henholdsvis V og W. Til enhver lineær afbildning L : V W er der en m n matrix A således, at [L(v)] F = A[v] E for alle v V. A er her matricen, som repræsenterer L mht. de ordnede baser E og F. Der gælder, at a j = [L(v j )] F. Eksempel 0 Lad L : R 3 R 2 være defineret ved L(x) = x b + (x 2 + x 3 )b 2, hvor ( ) ( ) b = og b 2 = Nu skal matricen A, der repræsenterer den lineære afbildning mht. de ordnede baser [e,e 2,e 3 ] og [b,b 2 ], findes. Der gælder, at L(e ) = b + 0b 2 = [L(e )] F = (,0) T L(e 2 ) = 0b + b 2 = [L(e 2 )] F = (0,) T L(e 3 ) = 0b + b 2 = [L(e 3 )] F = (0,) T. Af sætning 5 følger det nu, at ( 0 0 A = ([L(e )] F,[L(e 2 )] F,[L(e 3 )] F ) = 0 ). Sætning 6 Lad E = [u,u 2,...,u n ] og F = [b,b 2,...,b m ] være baser for henholdsvis R n og R m. Hvis L : R n R m er en lineær afbildning, så er den j e søjle i matricen A, som repræsenterer L mht. E og F, givet ved a j = B L(u j ), hvor B = [b,b 2,...,b m ].

2 LINEÆRE AFBILDNINGER 4 Sætning 7 Hvis A repræsenterer den lineære afbildning L : R n R m mht. til baserne E = [u,u 2,...,u n ] og F = [b,b 2,...,b m ], så er den reducerede rækkeechelonform af (b,...,b m L(u ),...,L(u n )) givet ved (I A) Se eksempel 6 side 90 i Leon. 2.3 Similære matricer Sætning 8 Lad E = [v,...,v n ] og F = [w,...,w n ] være ordnede baser for et vektorrum V og lad L være en lineær operator på V. Transformationsmatricen, der repræsenterer skiftet fra F til E, kaldes S. Hvis A repræsenterer den lineære afbildning mht. basen E, så er matricen, der repræsenterer L mht. F givet ved B = S AS. Definition 0 Lad A og B være m n matricer. B er similær til A, hvis der findes en invertibel matrix S således, at B = S AS. Det skal bemærkes, at hvis B er similær til A, så følger det, at A er similær til B.

3 EGENVÆRDIER 5 3 Egenværdier 3. Egenværdier og egenvektorer Definition Lad A være en n n matrix. En skalar λ er en egenværdi til A, hvis der findes en egentlig vektor x 0, så Ax = λx. (3.) x er da en egenvektor, som hører til λ. (3.) kan omskrives til (A λi)x = 0. Denne ligning har en ikke triviel løsning, hvis og kun hvis A λi er singulær. Dvs., hvis det(a λi) = 0. Det karakterristiske polynomium defineres ved p(λ) = det(a λi). Rødderne til dette polynomium er egenværdierne til n n matricen A. Det karakterristiske polynomium vil altid have n komplekse rødder (talt med multiplicitet). For en n n matrix A er følgende udsagn ækvivalente:. λ er en egenværdi for A. 2. (A λi)x = 0 har en ikke-triviel løsning. 3. N(A λi) {0}. 4. A λi er singulær. 5. det(a λi) = 0. Eksempel Lad A = ( 3 2 3 2 ).

3 EGENVÆRDIER 6 For at finde egenværdierne til A opskrives det karakterristiske polynomium: 3 λ 2 p(λ) = 3 2 λ = λ2 λ 2. Dette giver egenværdierne λ = 4 og λ 2 = 3. Enhver vektor, der er element i nulrummet N(A + 3I) er en egenvektor tilsvarende egenværdien 3. Enhver vektor, der er et element i nulrummet N(A 4I) er en egenvektor tilsvarende egenværdien 4. 3.2 Diagonalisering Definition 2 En n n matrix A er diagonaliserbar, hvis der findes en invertibel matrix X og en diagonalmatrix D så X AX = D. Man siger, at X diagonaliserer A. Sætning 9 En n n matrix A er diagonaliserbar, hvis og kun hvis A har n lineært uafhængige egenvektorer. Vigtige bemærkninger:. Hvis A er diagonaliserbar, så er søjlevektorerne i diagonaliseringsmatricen X egenvektorer for A. Diagonalelementerne af D er de til egenvektorerne tilsvarende egenværdier. 2. Diagonaliseringsmatricen X er ikke unik. Ved at ombytte søjler for diagonaliseringsmatricen eller ved at multiplicere med en skalar, der er forskellig fra 0, kan man konstruere en ny diagonaliseringsmatrix. 3. Hvis A er n n og A har n forskellige egenværdier, så kan A diagonaliseres. Hvis der er flere ækvivalente egenværdier så er A diagonaliserbar afhængigt af om, der er n lineært uafhængige egenvektorer (Se sætning 9). 4. Hvis A er diagonaliserbar, så kan A skrives som produktet X D X. 5. A k = X D k X.

4 ORTOGONALISERING 7 4 Ortogonalisering 4. Skalarproduktet i R n Skalarproduktet mellem to vektorer a,b R n defineres ved a T b. Dvs., a b Normen af en vektor defineres ved n a i b i. i= a a a. Projektionen af en vektor a på en vektor b er givet ved og størrelsen af projektionen er a b = a b b 2 b a b = a b b. To vektorer a og b er defineret til at være ortogonale, hvis a b = 0. Vinklen mellem a og b er 4.2 Indre produkt rum cos θ = a b a b. Definition 3 (Indre produkt) Et indre produkt på en vektor i et abstrakt vektorrum V er en operator på V, der til ethvert par af vektorer x, y V tildeler en skalar x, y, som opfylder I x,x 0, med lighed hvis og kun hvis x = 0. II x,y = y,x. III αx + βy,z = α x,z + β y,z for alle x,y,z V og alle skalarer α,β. Et vektorrum V med et indre produkt kaldes et indre produkt rum. Her følger en række eksempler på indre produkter:

4 ORTOGONALISERING 8 Eksempel 2 (R n ) Skalarproduktet i R n er et indre produkt; x,y = x T y. Et andet eksempel på et indre produkt i R n er x,y = n w i x i y i, i= hvor w,w 2,...,w n er skalarer. Eksempel 3 (R m n ) For A,B R m n kan man definere et indre produkt ved A,B = m n a ij b ij. i= j= Eksempel 4 (C[a, b]) Et eksempel på et indre produkt for f, g C[a, b] er f,g = b a f(x)g(x) dx. Hvis en funktion w(x) er kontinuert på [a,b] kan et indre produkt også defineres som f,g = b a f(x)g(x)w(x) dx. Eksempel 5 (P n ) Lad x,x 2,...,x n være forskellige skalarer. For ethvert par af polynomier af mindre grad end n kan man definere: n p,q = p(x i )q(x i ). i=0 Der gælder, at normen af en vektor i et indre produkt rum kan defineres ved: x = x,x. Definition 4 (Projektion) Lad u og v være vektorer i et indre produkt rum. Projektionen af u på v er u v = u,v v 2 v.

4 ORTOGONALISERING 9 4.3 Ortonormale systemer Definition 5 (Ortogonalt system) Lad v,v 2,...,v n være vektorer forskellig fra nulvektoren i et indre produkt rum V. Hvis v i,v j = 0, når i j, så er basen {v,v 2,...,v n } et ortogonalt system. Definition 6 (Ortonormalt system) Et ortonormalt system af vektorer er et ortogonalt sæt af enhedsvektorer. Et system u,u 2,...,u n er således ortonormalt, hvis og kun hvis { hvis i = j u i,u j = 0 hvis i j. Hvis man har et ortogonalt system {v,v 2,...,v n } kan man definere u i = v i v i. Da udgør {u,u 2,...,u n } er ortonormalt system. Her følger tre sætninger angående ortonormale baser: Sætning 0 Lad u,u 2,...,u n være en ortonormal basis for et indre produkt rum V. Hvis så er v = n c i u i, i= c i = v,u i. Af denne sætning følger det, at hvis man ønsker at skrive en vektor, som x = c u + c 2 u 2 +... + c n u n, hvor u,u 2,...,u n er en ortonormal basis, så er c i givet ved c i = x,u i. Sætning Lad u,u 2,...,u n være en ortonormal basis for et indre produkt rum V. Hvis u = n i= a iu i og v = n i= b iu i, så er u,v = n a i b i. i=

4 ORTOGONALISERING 20 Sætning 2 (Parseval s formel) Hvis u,u 2,...,u n er en ortonormal basis for et indre produkt rum V og v = n i= c iu i, så er v 2 = n c 2 i. i= Eksempel 6 Lad {u,u 2,u 3 } være en ortonormal basis for et indre produkt rum V. Betragt de to vektorer, Ifølge sætning er Og ifølge Parseval s formel er u = u + 2u 2 + 2u 3, v = u + 7u 3. a,b = + 2 0 + 2 7 = 5. u = 2 + 2 2 + 2 2 = 3, v = 2 + 7 2 = 5 2. Om vinklen mellem de to vektorer gælder: cos θ = a,b a b = 5 3 5 2 = 2. Hermed er θ = π 4. 4.4 Ortogonale matricer Definition 7 (Ortogonal matrix) En reel matrix Q er en ortogonal matrix, hvis søjlevektorerne i Q udgør et ortonormalt sæt i R n. Sætning 3 En n n matrix Q er ortogonal, hvis og kun hvis Q T Q = I. Af denne sætning følger umiddelbart, at Q T = Q. I øvrigt gælder altid, at Qx,Qy = x,y. Hvis x,y = x T y gælder desuden, at Qx = x.

4 ORTOGONALISERING 2 Sætning 4 Hvis A er en reel symmetrisk matrix, så findes der en ortogonal matrix U, som diagonaliserer A. Dvs., D = U T AU, hvor D er en diagonalmatrix. En symmetrisk matrix er opfylder, at A T = A. Hvis A er en reel n n matrix, så er følgende betingelser ækvivalente:. Der findes en orthonormal basis for R n bestående af egenvektorer for A. 2. Der findes en matrix U, så U T AU er diagonal med egenværdier for A i diagonalen (U kan bestemmes ved at køre Gram-Schmidt på egenvektorerne i A. Søjlevektorerne i U er da vektorerne i den ortonormale basis). 3. A er symmetrisk; dvs., A T = A. 4.5 Gram-Schmidt ortogonalisering I dette kapitel beskrives Gram-Schmidt ortogonaliseringsmetoden. Ved hjælp af denne metode kan man ud fra enhver basis, danne en ortonormal basis, som opfylder, at [x,x 2,...,x n ], [u,u 2,...,u n ], span{[u,u 2,...,u n ]} = span{[x,x 2,...,x n ]}. Den første vektor i den ortonormale basis fås ved at normere x : u = x x.

4 ORTOGONALISERING 22 For at konstruere den anden vektor i den ortonormale basis opskrives projektionen af x 2 på nymodens u (Denne vektor kaldes p ): p = x 2,u u Der må af geometriske årsager gælde, at (x 2 p ) u. Ved at normere x 2 p denne kan man således danne en ny vektor i den ortonormale basis: u 2 = x 2 p x 2 p. Den tredje vektor i den ortonormale basis kan konstrueres ved at definere vektoren, og så er p 2 = x 3,u u + x 3,u 2 u 2, u 3 = x 3 p 2 x 3 p 2. Følgende sætning beskriver Gram-Schmidt Ortogonaliseringsmetoden: Sætning 5 (Gram-Schmidt) Lad [x,x 2,...,x n ] være en ortogonal basis for et indre produkt rum V. Lad og definer u 2,u 3...,u n rekursivt ved hvor u = x x u k+ = x k+ p k x k+ p k, p k = x k+,u u + x k+,u 2 u 2 +... + x k+,u k u k er projektionen af x k+ på spannet af [u,u 2,...,u k ]. Der gælder, at [u,u 2,...,u n ] er en ortonormal basis for V. Bemærk at i udledning af Gram-Schmidt-metoden anvendte vi vores geometriske intuition om vektorer i R n. Metoden er dog ikke begrænset til vektorer i R n, men kan anvendes i alle abstrakte vektorrum.

5 FOURIERANALYSE 23 5 Fourieranalyse 5. Ortonormal basis I dette delafsnit forklares den teoretiske baggrund for fourierrækker. Betragte et indre produkt rum, hvor det indre produkt mellem to funktion f og g er defineret ved f,g 2 L L 0 f(x)g(x)dx. Betragt funktionerne ( ) ( ) ( ) ( ) 2πr 2πs 2πr 2πs cos L x, cos L x, sin L x, sin L x, hvor r og s er ikke-negative heltal og L er en skalar. Ved at udregne indre produkter fås: ( 2πr cos L x ) ( ) 2πs,sin L x = 2 L ( ) ( ) 2πr 2πs cos L x,cos L x ( ) ( ) 2πr 2πs sin L x,sin L x = 0, L 0 L ( ) ( ) 2πr 2πs cos L x sin L x dx ( ) ( ) 2πr 2πs cos L x cos L x dx = 2 L 0 2 for r = s = 0 = for r = s > 0 0 for r s = 2 L ( ) 2πr sin L 0 L x 0 for r = s = 0 = for r = s > 0 0 for r s ( ) 2πs sin L x dx Ud fra de netop udregnede indre produkter ses det, at enhver funktion (der er uendeligt mange gange differentiabel) kan opskrives i en ortonormal basis således f(x) = a 0 2 + [ ( ) ( )] 2πr 2πr a r cos L x + b r sin L x, r=

5 FOURIERANALYSE 24 hvor de r e koefficienter er givet ved projektionen af f på de r e basisvektorer således: a r = b r = ( 2πr f,cos f,sin ) L x = 2 L ) = 2 L ( 2πr L x x0 +L x 0 x0 +L x 0 ( 2πr f(x)cos ( 2πr f(x)sin L x ) L x dx ) dx. I det næste delafsnit opskrives dette resultat på mere stringent vis. 5.2 Fourierrækker En funktion f kan udvikles vha. fourierrækker, hvis den opfylder Dirichlets betingeler: i) f er periodisk, ii) f skal være kontinuert. Dog er det tilladt med et endeligt antal diskoninuitetspunkter, iii) f skal have et endeligt antal maksimum- og minimumpunkter inden for en enkelt periode, iv) Integralet over en periode af f(x) skal konvergere. Hvis Dirichlets betingelser er opfyldt er fourierrækken for f givet ved f(x) = a 0 2 + [ ( ) ( )] 2πr 2πr a r cos L x + b r sin L x, r= hvor Fourier koefficienterne er givet ved a r = 2 x0 +L ( ) 2πr f(x)cos L x 0 L x dx b r = 2 x0 +L ( ) 2πr f(x)sin L L x dx. Lige og ulige funktioner For en funktion f gælder: x 0 hvis f er lige er f( x) = f(x) hvis f er ulige er f( x) = f(x)

5 FOURIERANALYSE 25 Eksempelvis er f(x) = x 2 en lige funktion og f(x) = x 3 er en ulige funktion. For enhver funktion gælder: f(x) = 2 [f(x) + f( x)] + [f(x) f( x)] 2 = f lige (x) + f ulige (x) For en fourierrække repræsenterer a r de lige led (I a r indgår cosinus og cosinus er en lige funktion) og b r repræsentere de ulige led (I b r indgår sinus og sinus er en ulige funktion). For en ulige funktion er alle a-leddene således 0 og tilsvarende er alle b-leddene 0 for en lige funktion. For en maclaurin-række gælder i øvrigt det samme. 5.3 Fouriertransformation Den fouriertransformerede af en funktion f(t) er givet ved Den inverse er: f(ω) = 2π f(t) = 2π f(t)e iωt dt. f(ω)e iωt dω.