Underviningnoer il Makro A, E5 Gouham Jørgen Surendran 7. juni 206 Indhold Forelæning om væk og veland 3 Mål af veland:................................................ 3 Sylized fac aka Oberverbare fænomener i økonomien)......................... 3 Konvergenhypoer.............................................. 3 Balancere væk................................................ 4 OLS-Regreion................................................. 4 Exc. 2.2 Indkom fordelingen for den riger del af verden.......................... 5 Exc. 2.3 Fordoblingid............................................ 6 Exc. 2.7 Galon' Fallacy........................................... 7 2 Øvele 8 Exc. 3.4 Eeken af n............................................ 8 Exc. 3.5..................................................... 0 Exc. 3.6..................................................... 2 3 Øvele 3 Exc. 3...................................................... 3 Exc. 3.7 Golden Rule i den Baale Solow model............................... 5 Exc. 3.0.................................................... 6 4 Øvele 9 Reexam S4, opg 2............................................... 9 Exc. 3.2..................................................... 23 Indledning il åben økonomi:......................................... 26 Exc. 4...................................................... 26 5 Øvele 28 Exam S4, opg 2................................................ 28 Exc. 4.4..................................................... 32 Exc. 4.6 Anagele om kapial mobilie relevan for økonomik iland................. 34 6 Øvele 35 Exc. 5...................................................... 35 Exc. 5.2..................................................... 37 7 Øvele 40 Exercie for Chaper 5.............................................. 40 8 Øvele 50 Exc. 6. Empirike forbedringer ved inkludering af H........................... 50 Exc. 6.3 Human kapial og balancere væk................................. 53 9 Øvele 55 Miderm E0, opg 2.............................................. 55 Exc. 7...................................................... 58 0 Øvele 6 Miderm E4.................................................. 6
INDHOLD INDHOLD Øvele 65 Exc. 8.7..................................................... 65 Reexam V opg 2............................................... 67 2 Øvele 7 Lyn E5, del................................................. 7 Lyn E5, del 2................................................. 72 3 Øvele 77 Exc. 9.5..................................................... 77 Miderm F4 Opg. 2.............................................. 78 Exc..2 Pariel og generel ligevæg i eecien lønning........................... 80 4 Øvele 83 Exc..8.................................................... 83 Exc. 2.4.................................................... 84 Af Gouham Jørgen Surendran Side 2 of 86 7. juni 206
FORELÆSNING OM VÆKST OG VELSTAND Forelæning om væk og veland Mål af veland: BNP om velandmål: ˆ BNP i fae prier og valua): Sammenlignelig på vær af id, men vær a ammenligne lande med forkellige ørreler i populaion. ˆ BNP pr. capia: Der korrigere for populaionen, men vi ager ikke højde for en evenuel or informel ekor, der beregne med i BNP. ˆ BNP pr. arbejder: Bedre produkiviemål, da den ager højde for ovenående problemilling. Men i alle ovenående mål, formår vi ikke a age højde for de relaive priniveau, hence købekrafen. Relevan når vi benye BNP om velandmål. Til udregningen af årlige vækraer for land i, g i, bruger vi følgende ln-rick: + g i ln + g i ) g i ln y i T y i 0 ) T 0 y i T y i 0 ) ) T ) y i T ln T y0 i ln yi T ln yi 0 T Sylized fac aka Oberverbare fænomener i økonomien). Indikaioner på mindre ulighed på verdenplan. Vie lande er rige, vie er faige. Forkellen er enorm og i relaive ermer har de være ådan de enee 40 år. Men der er indikaioner på, a der er bleve mindre ulighed, men de er peciel mellemgruppen, om er bleve rigere. 2. Vækraer varier på vær af lande. Vækraer varierer på vær af lande. E land kan over id gå fra a være relaiv faig il relaiv rig og vice vera. 3. Knæk i vækraer kan forekomme Der kan forekomme knæk i e land vækrae, fra høj il lavvæk og vice vera. 4. Tegn på beinge konvergen Når der konrollere for rukurelle og muligvi iniiale poiion) forkelle imellem landene, vier empirien, a lande på lang ig vil bevæge ig mod den amme vækbane og dermed amme indkomniveau. Deril a en lav iniial BNP pr. arbejder ofe fører il høje vækraer i BNP pr. arbejder 5. Sabil væk på,5-2% i velige lande Mange lande i Veeuropa og Nordamerika har de enee 30 år haf en relaiv konan væk på,5-2% p.a. i BNP per capia. 6. Arbejdkrafen andel af BNP er konan I lange perioder med relaiv konan væk i w BNP per arbejder i den ypike velige økonomi har arbejdkrafen andel af produkionen, L Y relaiv konan. Sålede har den gennemnilige realløn ege med ca. den amme rae om BNP. w y, være 7. Kapialen andel af produkion am afkae af kapial har ikke vi noge rend I lange perioder med relaiv konan væk i BNP per arbejder i den ypike velige økonomi har kapialen andel af produkion am afkae af kapial ikke vi nogen rend. Derfor har kapial-oupu raioen være relaiv konan og kapialapparae har voke approkimaiv med amme vækrae om BNP per arbejder. Konvergenhypoer ˆ ˆ ˆ Abolu konvergen Alle lande er på amme vækbane og konvergere mod amme eady ae for y langig punk for BNP per capia). Beinge konvergen Lande med amme rukurelle forhold går mod amme eady ae for y. Srukurelle forhold: infrarukur, undhedekor, demogra, inv. i uddannele ec. Klub konvergen Lande med amme rukurelle forhold og amme iniiale y går mod amme eady ae for y. Inial BNP er af beydning! Af Gouham Jørgen Surendran Side 3 of 86 7. juni 206
FORELÆSNING OM VÆKST OG VELSTAND Balancere væk Balancere væk Balancere væk er e koncep, hvor alle variabler vækraer er konane: I Makro A anager vi, a en model opfylder balancere væk når: ˆ y, c, w og k alle voker med amme konan, g. c: ) y c. De anage på makro-niveau, a opparingkvoen er konan. Hence, forbrugkvoen er konan. w: ) Y wl ) y w. Lønandelen vi empirik konan. ˆ Arbejdkrafen voker med en konan, n. ˆ Y, C og K voker med n + g K ˆ Y og r er konane K Y : Y rk K }{{} r Y Begge vi empirik konan OLS-Regreion OLS er en lineær regreionmeode, om I vil bliver udlær i Økonomeri I. OLS er regreionmeode, hvor eimae beemme ved a minimere den lodree afand kvadrere il endenlinjen : Figur.: Ekempel på OLS Den ligning I ofe kommer il a e, er denne her: ln ) ) yt i ln y i 0 β 0 β ln y i) +... T hvor venreiden er den er gennemnilige væk i BNP per capia. Højreiden er den lineære regreion, hvor vi forvener, a de eimerede β er poiv 2 med aik ignikan. Som vi bevæger o videre, vil regreionligningen udvide il f.ek: ln ) ) yt i ln y i 0 β 0 β ln y i) + β 2 ln i ) ln n i + 0, 075 )] T Nu fanger vi ogå eeken af rukurelle forhold om lande opparing, befolkningvæk ec. De 0,075 om bl.a. dækker over deprecering, kommer vi ind på i enere kapiler). Og å kal I ænke længere over de il 4. emeer. 2 Tegn på konvergen. Højere iniial BNP lavere vækraer. Af Gouham Jørgen Surendran Side 4 of 86 7. juni 206
FORELÆSNING OM VÆKST OG VELSTAND Exc. 2.2 Indkom fordelingen for den riger del af verden Exc. 2.2 Indkom fordelingen for den riger del af verden w ˆ ˆ ˆ Er der mere eller mindre ulighed mellem de rigee lande Er der mere eller mindre ulighed ammenligne med reulae for hele verden Hvad foræller de reulaer om konvergen? #Clear he enire workpace rmli l)) #Indlæ relevane funkionbiblioeker libraryargazer) libraryreldi) #Indlæ daafil og oplier daa efer år DaaSe <- read.cv"daa/daa_exc2_2.cv", ep";") DaaSe95<-DaaSeDaaSe$aar95,] DaaSe2003<-DaaSeDaaSe$aar2003,] #Udregn gini-koefficiener for hhv. 95 og 2003 Gini95giniDaaSe95$BNP_pr_capia,weighDaaSe95$Indbygger_000) Gini2003giniDaaSe2003$BNP_pr_capia,weighDaaSe2003$Indbygger_000) GiniKoefficien<-marixcGini95,Gini2003),ncol2,byrowTRUE) #Manipulaion il oupu colnameginikoefficien) <- c"95","2003") rownameginikoefficien) <- c"gini") argazerginikoefficien, ile"ginikoeffieciener i 95 og 2003",label"ab:Exc2_2_Gini", aligntrue,digi4, ummaryfalse) Tabel : Ginikoeeciener i 95 og 2003 95 2003 Gini 0.3055 0.982 #Indlæer relevane funkionbiblioeker libraryineq) #Udregn vha. Lc)-func) og plo Lorenz-kurve for 95 og 45-grad linje) plolcdaase95$bnp_pr_capia,ndaase95$indbygger_000),col"blue",main NULL,xlab"Andel af befolkning i OECD lande %)",ylab"andel af den oale indkom i OECD %)") #Udregn og ilføj Lorenz-kurven for 2003 i figuren foroven linelcdaase2003$bnp_pr_capia,ndaase2003$indbygger_000),col"red") #Tilføj label og grid grid) legend0,, c"95","2003"), lyc,), lwdc2.5,2.5),colc"blue","red")) Af Gouham Jørgen Surendran Side 5 of 86 7. juni 206
FORELÆSNING OM VÆKST OG VELSTAND Exc. 2.3 Fordoblingid Figur.2: Lorenz diagram: OECD lande, 95-2003.0 95 2003 Andel af den oale indkom i OECD %) 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8.0 Andel af befolkning i OECD lande %) GinikoecienenTabel ) er bleve mindre og Lorenz-kurven æer på 45- linjen. Fra dee kan vi konkludere a uligheden mellem de rigee lande er falde i perioden 95 il 2003. Dermed er uligheden bland rigere lande falde relaiv mere end uligheden på verdenplan. Hvordan kan dee relaere il beinge) konvergen: ˆ I perioden må de rigere lande have haf lavere vækraer end mindre rige lande. Der er egn på konvergen ˆ Uligheden i de rigee lande i verden er relaiv falde mere end ligheden i hele verden. Der er egn på beinge konvergen. Exc. 2.3 Fordoblingid Før og fremme kal vi beemme vækraer for BNP pr. arbejder, y :: lny 03 ) lny 65 ) 38 Næe punk kal vi beemme fordoblingiden hvor vi ager udgangpunk på: g y dobbel y + g ) g 2y y + 00 00 ) 2 + g 00 ) ln2) ln + g 00 ) ln2) 00 g 70 g #Clear he enire workpace rmli l)) #Indlæ relevane funkionbiblioeker libraryxable) #Indlæ daafil og oplier daa efer år Daae2_3 <- read.cv"daa/daa_exc2_3.cv", ep";") Daae2_3$doubleimeround70/Daae2_3"Avg_growh_rae"],) namedaae2_3)<-c"rigee i 2003", "965", "2003","Årlig gen. vækrae", "Fordoblingid") prinxabledaae2_3),floaingfalse,include.rownamefalse,digic0,,,,)) Af Gouham Jørgen Surendran Side 6 of 86 7. juni 206
FORELÆSNING OM VÆKST OG VELSTAND Exc. 2.7 Galon' Fallacy Tabel 2: Real BNP per capia relaiv il USA Rigee i 2003 965 2003 Årlig gen. vækrae Fordoblingid Swizerland 03.00 79.90 0.90 77.80 Unied Sae 00.00 00.00.60 43.80 Neherland 9.50 83.70.40 50.00 Canada 87.50 76.30.20 58.30 Denmark 8.90 75.90.40 50.00 Auralia 78.70 80.50.70 4.20 Norway 76.40 96.80 2.20 3.80 Belgium 7.40 90.70 2.20 3.80 Unied Kingdom 67.60 76.50.90 36.80 France 67.00 83.90 2.20 3.80 Auria 60.20 88.0 2.60 26.90 Ialy 59.0 76.80 2.30 30.40 Ireland 44.00 97.0 3.70 8.90 Hong Kong 37.0 75.20 3.50 20.00 Singapore 35.70 80.00 3.80 8.40 Dee udnye og vi er, a der nok er lid egn på konvergen, alå de ager længere id for de rigee lande a fordoble BNP end de lid mindre rige lande. Exc. 2.7 Galon' Fallacy ˆ ˆ Hvorfor er der e negaiv forhold Kan vi ig noge om konvergen fra dee negaive forhold: g i ln ) ) y03 i ln y i 60 43 Figur.3: Til Exc. 2.7 ˆ ˆ ln ) ) y03 i ln y i 60 β 0 β ln y i ) ) 60 0, 2369 0, 0229 ln y i 43 60 De kylde udrækningen. Jo højere iniial BNP, de højere andynlighed for e lavere BNP - og vice vera. De negaive forhold mellem iniial BNP pr. capia og væk i BNP er e nødvendig, men ikke ilrækkelig beingele. Af Gouham Jørgen Surendran Side 7 of 86 7. juni 206
2 ØVELSE 2 Øvele Exc. 3.4 Eeken af n Før iller vi den baale Solow-model op: Y BK L 2.) K + K Y δk, K 0 er give 2.2) L + + n)l, L 0 er give 2.3) ρ r δ 2.4) Ligning 2.) er vore produkionfunkion, om har konan kalaafka. Dermed er der ogå faldende kalafka il kapiel og arbejdkraf. Ligning 2.2) er kapialakkumulaion. Inveeringer minu deprecering er lig med mængden af ny kapial bbleve gammel pc), eller iu) Ligning 2.3) er beemmer arbejdyrken ørrele i næe, om har en konan vækrae, n. Ligning 2.4) er ikke en reel del af modellen, men relevan a age op. ρ er reelrenen, r er kapialen afka, hence de huholdninger bliver beale af virkomheder for a leje dere kapial. For a beholde r i SS.) kal kapial ejerne reinveer de deprecerede kapial. 3.4. Vi ønker a nde raniionligningen, om bekriver dynamikken/udviklingen i økonomien. Traniion- og Solow-diagram Før beemmer vi y, BNP pr. arbejder: Y BK L L L y Bk S K + L + Y + δ)k + n)l k + + n y + δ)k ] Indæ S*) k + + n Bk + δ)k ] Traniionligningen) k + k + n + n Bk + δ)k ] k + n k + k + n Bk + δ)k + n)k ] Minu med k) k + k + n Bk δ + n)k ] Solow-ligningen) Figur 2.: Exc.3.4. Traniion- og Solow-ligningne ved n k + k + k +n h Bk + δ) k ] +n Bk + δ) k ] k k h k Af Gouham Jørgen Surendran Side 8 of 86 7. juni 206
2 ØVELSE Exc. 3.4 Eeken af n Alå kapialinenieen, kapial pr. arbejder, i næe periode er poiiv påvirke a den ekierende kapialinenieen og perioden opparing reel e prædeerminere) SPØRG giver de mening). Den er negaiv påvirke af depreceringraen, alå nedlidningen af kapiel, og SPØRG) af befolkningvækraen. Inuiion: Hvorfor er den negaiv påvirke a befolkningvækraen? Hvi befolkningvæken bliver mindre, de færre menneker kal den ekierende og nyopparede kapial dække over end før forvene. Opparingen kommer jo fra en arbejdkraf, L, der er +n mindre end L +. Dermed vil væken i kapial være højere, og man vil allerede i føre periode komme op på den nye vækbane, og vil holde ig på den. De a man har opnåe en højere kapialinenie vil føre il højere produkionniveau, alå y iger. De eferfølgende periode vil k, y og c voker med afagende grad Spørg afagende marginalproduk fra kapial) Seady ae for kapialinenieen, indkom og forbrug For a beemme e unik og abil eady ae, er der følgende krav for raniionligningen kogebog):. Hvi k ; k + ), da hvi k 0 0; 0) 2. Vi a den er vokende hvi der ikke er ale om åben økonomien eller endogen væk) ˆ Diereniere og vi, a den er overal vokende dk+ dk > 0 3. Vi a den er konkavtage den 2.aede Vi dk+ dk dk < 0 4. Hvi nedre og øvre Inada-beingeler: dk + lim k 0 dk lim k dk + dk < 5. Vi, a der er é og kun é eady ae. Bemærk, a man kan henvie il en enere opgave og dermed vene med udledningen, il der hvor de beyder me. k + n B k ) + δ)k ] + n)k B k ) + δ)k n + δ)k B k ) k ) B n + δ k B n + δ ) 2.5) y B + ) n + δ y Bk y B B n + δ B B n + δ B + B n + δ n + δ ) ) ) ) ) 2.6) Inuiionen: Alå kapialinenieen i eady ae, kapial pr. arbejder, er poiiv påvirke af opparingkvoen og TFP. SPØRG giver de mening).men den er negaiv påvirke af befolkningvækraen og δ. Den nye kapial i hver perioden kal dække over færre nye menneker i næe periode, og nedlidningraen Af Gouham Jørgen Surendran Side 9 of 86 7. juni 206
2 ØVELSE Exc. 3.5 3.4.2 Numerik ekempel, n 0, 03 n 0, 0 Vi berager nu mere alekempler, hvor n er falde med 2 3 k /3 k ny 0, 08 0, 0 + 0, 05 y 3 0, 08 0, 03 + 0, 05 ) 3 y ny, 54 3, 55 2, 54 c 0, 08) 0, 92 c ny 0, 08), 55, 06 ) /3 De procenvie væk i eady ae af k er 54% og 5,5% i y og c. 0, 08 0, 03 + 0, 05 ) 3 2 Figur 2.2: Exc.3.4.3 Simulaion ved n 3.4.3 Simulering af raniionproce I vore imulaion gør vi brug af e land, hvor e fald i befolkningvæken fra 3 il % kan give en 5,5% igning i BNP pr. indbygger på lang ig. Efer 7 år er vi halvvej, y og c har lue halvvej af banen o il de nye eady adig. I kapiel 3.5 er halvdelen af banen aflue på 2 perioder, men de og 7 perioder for forbrug. De hænger ammen med a forbruge bleve ænke il fordel for opparing. Vi kan bruge peed of convergence, om vi vil udlede i kapiel 5, λ )n + δ). Vi er her a væk raen har en poiiv) eek konvergen haigheden if. en igning i. De er vigig a forå a der her bliver al om konvergenhaigheden. Alå hvor hurig man konvergere med eady ae og ikke hvilke niveau eady ae er på. relaerer ig kun il niveaue for eady ae. n derimod påvirker konvergenhaigheden. Hvi n er or vil en igning i k hurig medfører e or reinveeringkapialkrav. Derfor er konvergen mod eady hurigere - man vil hurig når op på de niveau hvor reiinveeringkapialkrave er lig med opparingen. I opgaven bliver n mindre, hvilke ænker konvergenhaigheden.. Exc. 3.5 Vi udnyer igen eady ae værdien for k og y og anager amme værdier for paramere og ekogene variabler: k B n + δ y B n + δ 3.5. Konan forøgele af TFP Kvaliaiv analye Figuren illurere iuaionen med en forøgele i B B : ) ) Af Gouham Jørgen Surendran Side 0 of 86 7. juni 206
2 ØVELSE Exc. 3.5 Figur 2.3: Traniion- og Solow-ligningen ved en permanen forøgele af TFP k + k + k +n B k + δ) k ] +n Bk + δ) k ] k k h k Når B iger bliver produkivieen øge, produkionen iger for de amme inpu. Som konekven vil indkomen ige, og dermed opparingen. Inveeringen i kapial iger hvormed de overiger reinveeringkrave), hvormed kapialen i næe periode overiger de gamle eady ae. De foræer indil opparingen er lige reinveeringkrave. Vi udnyer a: kny, 2 /3 y ny, 2 /3 0, 08 0, 03 + 0, 05 0, 08 0, 03 + 0, 05 ) /3, 3 > k ) /3 /3, 3 > y De procenvie væk i eady ae værdien for k, y og c er 3,45%. Figur 2.4: Eeken af en permanen forøgele af TFP De inereane er hoppe. I forhold il ændringer i n og, hvor ændringer var gradvie, er der her e iniial hop. Dee kylde, a B, if. og n, direke påvirker indkomen. Herefer vil den følge andard kapialakkumulaion proce, om nævn i den kvaliaive del. 3.5.2 Midleridig forøgele af TFP For den kvaliaive del kan vi kigge ilbage på guren i 3.5.., g. 2.3. Iniuaion for de imulerede i guren er om følger: Som ved en permanen forøgele, vil der være e iniiel hop i indkomen, om konkven af bedre udnyele af ekierende reourcer. Dee vil øge den amlede opparing, hvormed den overiger reinvereringkrave. k > k 0 k. I næe periode falder produkivieen ilbage il iniialniveaue. Opparingen vil nu være under Af Gouham Jørgen Surendran Side of 86 7. juni 206
2 ØVELSE Exc. 3.6 de reinveeringekrave, og k 2 Spørg, hvorfor reinver. VIL være højere en opp. HINT relaere il eady ae). Kapial vil dog ikke hoppe ilbage il SS, De vil i 2. periode age e or hop, men vil i de eferfølgende periode konvergere ilbage. Figur 2.5: Eeken af en permanen forøgele af TFP Exc. 3.6 Ved idpunk øge L en enkel gang. Hvad ker der med marginalproduke il arbejder? Hvad ker der il marginalproduke il kapial? Brug ev. ligning. Hvad ker der med kapialinenieen: k K L Alå K forbliver, men k falder i periode. Lad o anage a økonomien er i SS: K L > K L + k Figur 2.6: Solow-diagram for L k + k + k +n Bk + δ) k ] k k 0 k k k falder i periode il k varende il de nyopåede underkud på opparing). Herefer ilpae k efer normale Solow-princip. Af Gouham Jørgen Surendran Side 2 of 86 7. juni 206
3 ØVELSE 3 Øvele Exc. 3. 3..: Med Cobb-Dougla Vi har fåe give Cobb-Dougla funkionen: Y BK L ) a. Find MRS: MRS er forholde mellem MP K og MP L. MRS bekriver hvor mege arbejdkraf kal øge/ænke med, hvi kapialen ænke/øge med, hvi man ønker amme produkionniveau. Vi ved a MP K F K K, L), hvorfor: MRS MP K F K K, L) MP L K, L) F L BK L )BK L For MP K og MP L gælder under fuldkommen konkurrence b.la. a de hhv. er lig r og w. Dee kan man vælge a vie maemaik og/eller krive inuiion bag:) b. Promakimering Huk a man i Solow-modellen har normaliere prier, alå p : L K max π K,L BK L wl rk F OC : dπ dk 0 dπ dk BK L r F OC : dπ dl 0 dπ dl )BK L w Inuiion: En virkomhed æe in beluning ålede a MP L w og MP K r. Lønnen om er give udefra, for den enkele virkomhed anæer å mange arbejdere, å den id anae producere il w, realløn. Hvi de anæer ere vil de id anae producere mindre end de rmae giver i løn, omvend hvi de anæer færre vil virkomheden kunne anæe arbejdere med e marginale bidrage højere end omkoninger for dem: MRS MP K MP L L ) K r w c. Vi, a elaicieen af K mh. il r er - L w Før omkriver vi MRS, å de er udryk ved K L : L ) K r w K L r ) ) w Vi udnyer log-di: dlnfx)) dlnx) dfx) dx x fx) Før ager vi log il K L, hvorefer vi diereniere mh. ln ) r w : ) ) K r ) ln ln + ) ln L ) w dln K L ) dln r w ) ε r w 3.) ε r er konan og uafh. af aønningforholde r w w. Hvi r og/eller w, å r w iger med % falder forholde K L med % e inuiion il id i 3..2) 3..2: Med CES Vi har fåe give CES funkionen: CES : Y K + )L } {{ } Ω Bemærk, CES har den fordel, a ubiuionelaicieen er konan om vi vier nedenfor), og a CB e pecialilfælde af CES. *) Af Gouham Jørgen Surendran Side 3 of 86 7. juni 206
3 ØVELSE Exc. 3. a. Find MRS: MRS er forholde mellem MP K og MP L. MRS bekriver hvor mege arbejdkraf kal øge/ænke med, hvi kapialen ænke/øge med, hvi man ønker amme produkionniveau. Vi ved a MP K F K K, L): MRS MP K F K K, L) MP L K, L) Ω Ω F L ) K L ) L K Perpekivering il reulae i 3.. ligningen 3.. MRS forholde afhænger nu ogå af mere inuiion ved elaiciepørgemåle). b. Promakimering Samme om ved 3.., blo a repeere a inuiionen må holde er ok). Huk a man i Solow-modellen har normaliere prier, alå p: Max π Ω F OC : dπ dk 0 dπ F OC : dl dπ dl 0 dπ dl wl rk Ω Ω K ) MPK r L MPL w Inuiion: En virkomhed æe in beluning ålede a MP L w og MP K r. Lønnen er ofe give udefra, da vil virkomheden anae å mange a de id anae producere il w, realløn. Hvi de anæer ere vil de id anae producere mindre end de rmae giver i løn, hvi den marginale bidrage med mere end de de bealer ham for: MRS MP K MP L ) ) L K c. Vi, a elaicieen af K L mh. il r w er - Før omkriver vi MRS, å de er udryk ved K L : ) ) L K r w r w K ) r ) L ) w Perpekivering il reulae 3..; reulae er ækvivalen, når.vi udnyer igen ln-di: dlnfx)) dlnx) dfx) dx x fx) Før ager vi ln il K L og dieniere mh. ln ) r w : ) ) K r ) ln ln + ) ln L ) w dln K L ) dln r w ) Vi bemærker her a Cobb-Dougla, vil give de amme reula. Hvi forholde mellem renen og reallønnen, r w, iger med %, da vil beyde a forholde mellem kapial og arbejdkraf, K L, ænke med %. Inuiion: Hvi f.ek. r iger relaiv if. w r w ), må de al ande lige beyde, a afkae fra kapial er bleve højere, MP K, hvorfork er bleve relaiv mindre if. arbejdkraf, K L 3..3: Indkomandelen udner FK Vi kal vie a indkomandelen er fa med CES produkionfunkionen og indkom andelen fra arbejde under FK er: wl Y ) K + ) L Af Gouham Jørgen Surendran Side 4 of 86 7. juni 206
3 ØVELSE Exc. 3.7 Golden Rule i den Baale Solow model Vi opkriver lønummen, w L, hvor vi indæer vore udryk for w MP L, og : w L wl Y K K K L K L ) + )L + )L K ) Y + ) ) ) + ) ) )L L ) )L + )L Hvad kan der ige om ligningen og hvordan afhænger den a de forkelle paramere? Jo a lønandelen afhænger af forholde K L og Maemaik er vi, a for: 0 < < < 0 f ) K L > 0; arbejderkraf nyder en højere andel af den amlede indkom amlede indkom, Y, når K L. 0 f ) K L 0; Cobb-Dougla ilfælde. Hvad vi kender fra Samf A/B, lønandelene er konane. > indkom, Y. > 0 f K L ) < 0; arbejderkraf nyder en mindre andel af den amlede indkom amlede Exc. 3.7 Golden Rule i den Baale Solow model I kapiel har vi denere S.S. for forbrug: Beem om max c : Brug log di: c B ) n + δ ) ln c ) ln B) + ln ) + ln c ) + 0 ln ) ln n + δ)) 35) Figur 3.: Solow-diagram for L Bk Bk ) Bk ) y c Af Gouham Jørgen Surendran Side 5 of 86 7. juni 206
3 ØVELSE Exc. 3.0 Vi nder de makimale k for e given : Bk n + δ) Bk ) Bk n + δ 0 k k k B n + δ Exc. 3.0 USA i eady ae og indekere il 00. Hvorfor indekere man Japan BNP' mh. USA BNP' niveau. Man forøger a udligne økonomien fra udving, om har være generel i økonomien. Deril er de nemmere a gennemkue om der er konvergen. 3.0. I hele perioden cacher Japan op med US. De egner il a Japan konverger mod SS-niveau i BNP pr. arbejder på omkring 70 % af USA. ) Figur 3.2: Real BNP pr. arbj. i USA og Japan 3.0.2 Toalprodukiviefakoren B for USA, hvi BNP de anage a BNP er i Seady Sae og indekere il 00. Vi får give a 3, δ 0, 05, US 0, 2, n US 0, 05, JP 0, 34 og n JP 0, 02 Beem Japan BNP og kapialinenie i SS: vi har udrykke for y i SS: y B n + δ ) ) k B n + δ Vi beemmer B US 4, 57 vha. 34) Med ligning 34) og 33) får vi da a k J 74, 46 og y J 30, 3. Japan BNP i 959: Vi ved a y J 59 23. Vi benyer ligning 27) og får k J 59 3, 94 Se i forhold il empirien, udgør BNP pr. arbejder i 959 8% af SS-niveaue. Kapial pr. arbejder i 959 udgør 0,5%. I 959 er BNP pr. arbejder lang fra SS. Ydermere iger modellen, a de Japan SS-niveau er væenlig højere end USA 30%), men i empirien er vi a Japan konvergere mod e SS omkring 70 % af USA, alå under USA. Hvorfor: Jo al ande lige vil Japan højere opparingkvoe beyder højere BNP pr. arbejder, og lavere befolkningvæk kræver e mindre reinveeringkrav. 3.0.3 Vha. raniionligningen 29) og ligning 27) kan udviklingen i k beemme. Vi en imulaion af udviklingen, hvi Japan havde amme TFP med andre ord amme eknologiniveau) om USA bygge ud fra den baale Solow-model. 34) 33) Af Gouham Jørgen Surendran Side 6 of 86 7. juni 206
3 ØVELSE Exc. 3.0 Figur 3.3: Real BNP pr. arbj. i USA og Japan Ud fra imulaionen burde Japan allerede i 98 havde opnåe amme BNP-niveau om USA, og voker videre eferfølgende op il e højere SS-niveau end USA. Væken i modellen er alå overvurdere, da Japan i 996 daa æe luidpunk) endnu var under USA niveau. 3.0.4 De anage nu a Japan kapialinenieen var halv å høj om BNP i 959. Dee udnye il a beregne TFP i Japan. y59 J 23 k59 J2, 5. Vha. af vore idligere reula fra 3.0. vi fand vha. ligning 27). Med de reula beemme k J2 og y J2 : y Bk 23 B, 5 3 23, 5 3 B J 0, 2 33) : k J2 0, 34) : k J2 0, 3 3 0, 2 0, 05 + 0, 05 0, 2 0, 05 + 0, 05 ) 3 ) 3 3 48, 2 76, 3 Se i forhold il empirien udgør BNP pr. arbejder og kapialinenieen i 959 hhv. 30% og 3% af SS-niveaue. Dermed prædikere modellen nu, a Japan var nærmere i SS-niveaue i 959 end i 3.0.3 3.0.5 Vi en imulaionen om i 3.0.2, men hvor vi benyer o af B 0, 2. Af Gouham Jørgen Surendran Side 7 of 86 7. juni 206
3 ØVELSE Exc. 3.0 Figur 3.4: Real BNP pr. arbj. i USA og Japan Simulaionen emmer bedre overen med empirien. Yderligere e, a både her i de idligere gurer har være en cach up eek. Ifølge modellen er der endnu e par år il eady ae niveaue. De kan konkludere, a benye e lavere TFP i modellen end USA TFP giver en bedre model. Af Gouham Jørgen Surendran Side 8 of 86 7. juni 206
4 ØVELSE 4 Øvele Reexam S4, opg 2 Vi har følgende BSM for en lukke økonomi: Y K L 4.) r K /L ) 4.2) w ) K /L ) 4.3) Y r r K 4.4) Y w w L 4.5) C r c r Y r 4.6) C w c w Y w 4.7) Y C r + C w + I 4.8) K + I + δ) K 4.9) L 4.0) 2. c r < c w Empirik e er anagelen relevan, men de kan man ikke forvene, de uderende ved. De kunne dog god anføre, a relevanen af anagelen bl.a. må være e empirik anliggende. Ud fra almindelig und fornuf er anagelen imidlerid ogå relevan Hvi man - mege realiik - anager, a der om udgangpunk er noge heerogenie bland huholdningerne, å nogle parer relaiv mege op og andre parer relaiv lid op ud af dere indkom uane aren af denne), å vil de, der parer relaiv mege op, akkumulere relaiv mege af økonomien kapial, og kapialindkomerne vil derfor i relaiv høj. Er ilgængeligheden af indkom. Lønindkom får man direke ind på in løn og forbrugkono, men kapialindæger nærmere kommer ind på en penion opparing. 2. Kendkab il inveeringmarkede gør a man mere andynlig vil pare mere op. 3. Adfærdmøner, folk der inveerer i kapialmarkede er måke mere riikovillige/elkende, og derfor vil de gerne ae mere, hvilke de kun kan gøre hvi de parer mege op. 2.2 Angiv pilediagram Beem kaual rukur) Vi har, a K og L fra 4.0)) er prædeerminere i modellen. Vi opiller en før uordne kaual analye og ordner den 0. Tabel 3: Ordne kaual analye Endogene Lign. Y r w Y r Y w C r C w I K + Ek., par. 0) L 2) X, L, K ) X, L, K 3) X, L, K 5) L 4) X X K X X. 6) X X c r 7) X X c w 2. 8) X X X X 3. 9) X X δ, K 4. Ud fra denne kan vi egne pilediagramme for modellen Af Gouham Jørgen Surendran Side 9 of 86 7. juni 206
4 ØVELSE Reexam S4, opg 2 Figur 4.: 2.3 Udledning kapialejer og arbejder indkom og zero pro in LR Vi beemmer hhv. ligning 4.),4.2) og 4.3): ): Gang ligning 4.2) med K : 2): Gang ligning 4.3) med L : 3): Læg ligning 4.) og 4.2) ammen Y r r K }{{} Y r K L }{{} Y Y r Y 4.) w L }{{} Y w ) K L }{{} Y Y w ) Y 4.2) + Y w Y + ) Y Y 4.3) Teorien iger, a på lang ig er zero pro, alå ingen økonomik ren pro. Virkomheder producere og jener Y. Den amlede indæg,y, bliver brug il a beale løn il arbejderne,y w, og leje af kapial, Y r. 2.4 Samle opparing/inveering Vi udleder ligevægen mellem opparing og inveeringer. Vi indæer 4.6) og4.7) i lign.4.8) iolere mh. I : Indæ lign. 4.4) og 4.5): I Y c r Y r c w Y w I Y c r Y ) c w Y Y + ) Y c r Y ) c w Y ) I c r ) + ) c w ) Y 4.4) }{{} Da modellen er i en lukke økonomi, vil alle amle opparing går il amlede inveeringer. Under anagele af c w, vil Cr w c w Y w Y w, hvormed vi bevie ud fra lign. 4.8), a: Y C r + C w + I C r + Y w + I r Y C r + I, 4.3) Y Y w }{{} Y r Af Gouham Jørgen Surendran Side 20 of 86 7. juni 206
4 ØVELSE Reexam S4, opg 2 2.5 Udled raniion- og Solowligningen: Traniionligningen: Vi udnyer ligning 4.9) og indæer ligning 4.4), 4.), 4.0) og anagelen c w : K + I + δ) K Y + δ) K c r ) K L + δ) K K + c r ) K + δ) K Traniion bekriver mængden af kapial i næe periode, +, hvor prien anage normaliere il ) er beem inveeringer i idpunk og kapial i frarukke nedlid kapial. Solowligningen: Vi rækker K fra begge ider af raniionligingen: K + K c r ) K δk 4.5) Solowligningen bekriver ændringen kapialapparae fra idpunk il + er lig inveeringer i idpunk frarukke nedlid kapial. 2.6 Konvergenkrav og Seady Sae Vi vier a konvergenkravene holder for raniionligningen, om er en ilrækkelig, men ikke nødvendig beingele for é unik poiiv eady ae kogebog-meoden):. Hvi K ; K + ), da hvi K 0 0; 0): K + c r ) 0 + δ) 0 0 2. Vi a den er vokende hvi der ikke er ale om åben økonomien eller endogen væk) Diereniere og vi, a den er overal vokende dk+ dk > 0 dk + dk 2 c r ) K + δ) > 0 da δ ]0; og c r 0;.Ækvivalen il a ige 0 < δ < og 0 c r < ) 3. Vi a den er konkav o måder): ˆ Tage den 2.aede dk+ dk dk < 0 dk + 2 ) c r ) K 2 < 0 dk dk ˆ da ]0; og c r 0;. dk Brug lim, lim + k 0 dk > og lim k dk + dk < : dk + lim k 0 dk lim k dk + dk > δ < da δ ]0;. 4. Vi, a der er é og kun é eady ae. Vi udnyer, ak K + K K i SS: K K c r ) K a δk 0 c r ) K a δk c r ) K a δk c r ) K δ c K r ) δ 2.7 SS for Y, Y r, Y w, z, r, w, C r, C w og I : Vi kal beemme eady ae for de forkellige variable. Vi beemmer før Y : Y K ) c r ) ) ) c r ) ) δ δ ) Af Gouham Jørgen Surendran Side 2 of 86 7. juni 206
4 ØVELSE Reexam S4, opg 2 Ud fra de vi ved a indkomen il arbejder og kapialier er: Y w c r ) ) δ c Y r r ) ) δ Kapialejerne andel af Y, z K Y, er z K Y K K ) c r ) δ ) ) ) cr ) δ Aønningen il arbejdkraf og kapial er, ) K w ) L ) K ) c r ) ) δ r K ) c r ) ) ) δ δ c r ) Hvorfor forbruge for hhv. arbejder og kapialier er: c C w c w r ) ) δ c C r c r r ) ) δ ) For inveeringer udnyer vi raniionligningen c I K δ) K δk r ) δ δ ) ) δ c r ) c r for makimering af lønmodagerne forbrug: Tag ln monoonik ranformaion) il C w : ln C w ) ln c ) + ln ) + ln ) + ln cr ) ln δ)) Dieniere mh. c r og beem FOC: ln C w ) c r 0 c r < 0 c r Brøken kan aldrig blive lig 0. Vi udnyer iede, a c r 0, ] og brøken værdier ved grænen, og 0: lim c r c r 0 For Max C w kal c r 0. Inuiion: Jo mindre kapialierne forbruger, jo mere parer de op, hence de mere kapial vil der være il rådighed i SS, c r C r og c r ) K. Produkionen iger, Y, og marginalproduke il arbejdere iger, MP L. Arbejderne vil derfor nyder af en højere indkom, da, w MP L Y w C wr. c r for makimering af kapialierne forbrug: Tag ln il C r : ln C r ) ln c r ) + ln ) + ln ) + ln cr ) ln δ)) c r c r 0 c r c r ) c r ) c r c r + c r c r c r Af Gouham Jørgen Surendran Side 22 of 86 7. juni 206
4 ØVELSE Exc. 3.2 For Max C r kal c r 0.Inuiion: I dee ilfælde er der o modareede eeker.. Når kapialierne ænker forbrugraen, iger kapialierne forbrug i SS, c r C r 2. Når kapialierne ænker forbrugraen,c r, iger opparingen. N, iger SS-niveaue af kapialinenie. Oupu pr. capia, og dermed indkom pr. capia iger. Mere indkom il forbrug, forbrug iger. I opimum er die o eeker lige ore. c c r K r ) ) Y C r δ 2.8 Eekerne af c r : Vi berage eekerne af e fald i kapialejerne forbrugkvoe, c r, når økonomien iniial er i SS, K 0 K old. Den amlede opparing/inveering er dermed præci ilrækkelig il a dække reinveeringkrave. Vigig: Vi anager, a kapialejerne forbrugkvoe er over Golden Rule-niveaue fra 2.7), c r >, hvorfor e fald il c r, c r > c r >, vil øge kapialejerne forbrug i SS, C r. On impac: Mekanik: Berag kaual analyen fra delpg. 2.2) er vi, a en ændring i c r før har eek i 2. orden, hvorfor kun C0, r I 0 og K 0+ er påvirke af ændringen. Inuiion: c r Kapialejerne forbruger en mindre andel af dere indkom, C0 r opparing og dermed inveeringer iger, Y 0 I 0 med full crowding ou). Hence, inveeringer overiger reinveeringkrave, hvorfor K. Alle andre variable f.ek. K 0, L 0, C0 w,... ) er prædeerminere når c r on impac. Konvergen mod SS: I næe periode, periode, er K > K 0 K old. Da inpu il produkion er ege, vil produkion ige, hvorfory Y w Y Y r. Når Y r, vil Y, hvorfor K 2 Huk c w ). Dee vil foræe i alle eferfølgende periode, men hvor igningen i K gradvi bliver mindre pga. afagende marginal produk il kapial Y K, hvor ]0; ). Ændringen i SS: Ser man på SS-værdierne, har vi a Y K, Y w Y r, men ogå C r, C w, I. w, men r. Da c r går en ørre andel af kapialejerne indkom, Y r, il inveering K. E ore kapialappara øger produkionen, Y. Da produkionen iger vil indkomen il kapialejere og arbejdere iger, Y w Y r. De amlede forbrug af for hhv. løn- og kapialindkom vil ige, Y w C w og c r ) Y C r. Sidnævne gælde, da c r >. A K øger ogå marginal produke il arbejdere og dermed løn, MP L w, og ænker marginal produke il kapial, MP K r. Exc. 3.2 3.2. Vi har denereẋ, om den den marginale ændring i variablen x mh. : ẋ dx) d Bemærk a hvi vi udnyer log-di, a: x + ) x) lim x + x for 0 0 dlnx) d om bekriver den marginale relaive ændring i x. Vi k k K K L L : Vi bruger deniionen af k K L x )ẋ ẋ x og ag ln: lnk) lnk) lnl) Diereniere mh. id k k K K L L Med andre ord ændringen i kapial mh. il id. *) Af Gouham Jørgen Surendran Side 23 of 86 7. juni 206
4 ØVELSE Exc. 3.2 Beem Solowligningen: Vi har følgende model i koninuer id: Vi indæer ligning og 2 indæe i *: ) K Y δk 2) L L n 3) Y BK L y Bk k k Y δk K n Y L δ K L K L y k δ n n Ligning 3) k y δ + n)k #] k Bk δ + n)k Sammenligning med dikre id Ligning 32)), k + k +n Bk δ + n)k ]: Forkel: +n Næen ammen reula for de er amme model, hence inuiion er uændre if. dikre id. Figur 4.2: Solow-diagram for Baic Solow n + δ) k 0 > k 0 Bk k 0 > 0 k 0 k k 0 k 3.2.2 Illurer Solow-diagramme Vi nærmere o alå k, hvor k + k. Tilpaningen bliver mindre og mindre mindre og mindre. 3.2.3 Beem k, y og c I eady ae gælder, a k 0, ækvivalen il dikre id hvor k + k. Vi udnyer denne beingele, og indæer de i #]: 0 Bk ) δ + n)k ) k B n + δ ) y B n + δ c )B n + δ ) Die er de amme udryk om ved dikre id, jf. ligning 33)-35),. 73 Af Gouham Jørgen Surendran Side 24 of 86 7. juni 206
4 ØVELSE Exc. 3.2 Beregn r og w : Vi udnyer ligning 3). 69: r Bk ) ) ) r B B n + δ ) r BB n + δ r n + δ w )Bk ) w )B B w )BB n + δ n + δ w )B n + δ ) ) ) ) Dee er igen de amme i dikre id, jf. ligning 36) og 37),.73: r og w e formler) { k k r dv. marginalproduk af: L w Vi a ẏ y k k : Udny ligningen y Bk og beem idaede. Vi arer med a age ln: og diereniere mh. for a beemme idaede: lny) lnb) + lnk) ẏ y }{{} 0 k + k k k B anage konan Hvad er vækraen for y, BNP pr. capia, i eady ae: ẏ y k k 0 da k 0 hvorfor vækraen for Y yl: Ẏ Y ẏ y + L L 0 + n 3.2.4 Beem den Modicerede Solow-ligning Del #] med k: k k Bk n + δ) Vi illurere den modicerede Solowligningen i e k, y)-diagram: Af Gouham Jørgen Surendran Side 25 of 86 7. juni 206
4 ØVELSE Indledning il åben økonomi: Figur 4.3: Modicere Solow-diagram for Baic Solow k k > 0 0 > k k n + δ) Bk k 0 k k 0 k Konvergen mod eady ae Hvi k < k kapialappara pr. arbejder iger: MP k r da MP K r ved FK) MP L w da MP L r ved FK) De længere vi er fra eady ae, de mere ændre k i hver periode. Dv. ilpaningen ker hurig når økonomien bender ig lang fra eady ae. Indledning il åben økonomi: Den enee naionale inveering og kapial er naional opparing i en lille lukke økonomi S I 0). God approkimaion., hvi inernaionale kapialbevægeler er må. Ved lille åben økonomi kan den indenlandke inveering overige opparing i de omfang kapial imporere, og der er underkud på de løbende poer. S I ok. på løbende poer). Pga. 7) pringer y direke il eady ae, hvi f.ek. renen ændre. Dee kylde, a realafkae il kapialen er lig renen på de nanielle marked an. ingen depreciering og arbirage). Renen er ekogen give ud fra den udenlandke rene. Ved lukke økonomi er afkae på kapial afagende diminihing reurn og begræne kapial). Dee ogå ilfælde ved åben, men raniionligningen er bygge ud fra formueafka. Tran.lig. udvikler ig ud fra formuen, v, er afkae konan, da formuen afka r ubegræne kapial). Bemærk abilie beingele: r<n, da raniionligningen eller ikke vil inerecer med 45 -linjen 03) Auarki. 05); elvforyningøkonomi. F.ek. en komple naional økonomik) afondrehed fra omverden. Hvi en naion vælger a åbne økonomien vil opparingilbøjeligheden ergo renen) være afgørende for økonomi rolle om neodebior eller kredior i den åbne økonomi. Hvi en naion har en høj opparingkvoe r cloed < r udenlandke vil denne ende om nekredior højere afka i udlande vil give capial ouow). Dee kylde, a inveering i udenlandk kapial øge og indenlandk kapial mindke MPk iger højere afka på kapial højere rene. Men mindre kapial MPL falder W og dermed w falder. Arbejder i riger lande bekymring vedr. globalieringen. Exc. 4. I opgaven underøger vi, hvor følom den naionale indkom per capia, y n, er med henyn il opparingkvoen,, i en åben økonomi if. en lukke. Exc. 4.. Vi elaicieen af y n mh. : %, da vil y n øge med ε o %. Udny ligning 27): Hvad er de vi beemmer i ord : Hvi øge opparingkvoen,, øge med y n )B ᾱ ) ) r n r 27) Af Gouham Jørgen Surendran Side 26 of 86 7. juni 206
4 ØVELSE Exc. 4. De er formel beående af mange produkled, å brug logdif f il a nde elaicien.. Vi arer med a age ln: lny n ) ln ) + lnb + ᾱ ) ln + ln) ln ) r n r 27) Tag o ek. og beem hvordan vi beemmer elaicieen. Der er o muligheder, di. mh. eller ln ): ˆ Di. kun med ln ) 3 :, hvi de giver mening og leere. F.ek. hvi alle ln-led med kun er udryk ln ). ˆ Di. mh. og gang dernæ med lny n ln y n y n ε o ela. {}}{ lny n y n y n }{{} emi-ela. y n /y n / Her nder vi før emielaicien, den procenvie ændring i y n når øge med én enhed, om vi gange med, hvormed vi har elaicieen. Da er udryk i e ln-led, ln n r), kan vi ikke diereniere mh. ln ) uden a de bliver grim. Vi bruger derfor 2. meode og di. mh og huker a gange med : ε o lnyn ) r n r n ) ε o n r n r Da n r <, vil udrykke være enydig poiiv. I ord, BNP iger, når opparingkvoen iger. Huk ]0, ). Exc. 4..2 Omkriv ε 0 mh. r : Beny :r c n ε o n r c n r n r og r r r c r r c r r c r r c r r c r r Vi, a hvi r r c, å er ε c ε o : Hvi r rc r r r, da er: c ε o ε c Eeken af opparingilbøjeligheden,, på n yn i en åben og lukke økonomi: når n ε o r r > ε c da r r > ) c Dv. y n er mere følom mh. i den åbne økonomi end i den lukkede økonomi. Nu: r c n < r Exc. 4..3 Inuiion Lukke økonomi Produkionen/indkomen iger, men de kylde o modareede eeker for : Den iger om følge af kapialinenieen iger, men falder om følge af afagende afka fra kapial: k MP k rc : Når opparingilbøjeligheden iger, vil den amlede opparingen ige. Da vil være en full crowding ou il inveeringer, hvormed kapialinenieen i økonomien iger. Da arbejdkrafen er uændre, vil en højere kapialinenie i virk., ænke marginalproduke fra kapial falde. Lejeomkoningen, rc, er for høje, hvorfor kapialejer ænker dere lejepri. rc < r Åben økonomi: Man vil inveere der hvor man får høje afka da, men en lille økonomi kan man ikke påvirke verden. k r er derfor uændre, MP k er uændre. Eek på y n : For den lukkede økonomi forrene opparingen med rc, der er lavere end r, om nde i den åbne økonomi. Derfor kan de bedre beale ig a øge opparingen i den åben økonomi Elaicieen er ørre for den åbne økonomi. 3 Kig i noen Elaicieer, emielaicieer logarimik diereniaion, for bevi i kal ikke bevie de il ekamen). Af Gouham Jørgen Surendran Side 27 of 86 7. juni 206
5 ØVELSE 5 Øvele Exam S4, opg 2 Vi har følgende parialle model for en lille åben økonomi Y K L 5.) Π Y r K w L 5.2) T τ Y r e) K w L ] 5.3) Π n Π T 5.4) 2. FOC mh. K og L Vi har, a virkomheder har følgende promakimeringproblem efer virkomhedka: max K,L Π n Y r K w L T. Y K L T τ Y r e) K w L ] Vi kan omkriver promakimeringprobleme ved a indæe bibeingelerne om følgende: max Π n K L r K w L τ K L ] r e) K w L K,L Makimeringprobleme FOC mh. K og L er Π n K K L r τ K L + τ r e) 0 τ ] K /L ) τ e)] r 5.5) Π n ) K L w τ ) K L + τ w 0 L τ ] ) K L τ ] w ) K /L ) w 5.6) For begge føreordenbeingeler vier, a de adig gælder, a mikrobeingelen M C M R M P holder. MenMC og MR har ændre ige if. bogen. Til følger vare fra reevejledninge Kapial Venre iden i ligning 5.5) er den marginale omæning/produkion-igning M R) efer ka ved a anvende en enhed kapial mere: Omæningen iger før ka med græneproduke ) K /L ), men heraf ager kaen andelen τ, å efer ka er andelen τ ilbage. Højreiden er den marginale igning i omkoningerne efer ka, M C: Før ka iger omkoningen med r, men den del af den ekra ene enhed kapial, der er lån, nemlig andelen e, giver anledning il e kaefradrag på e) r med kaeværdi τ e) r. Omkoningen efer ka iger derfor med r τ e) r τ e)] r. Marginal omæning og marginal omkoning efer ka kal naurligvi være lige ore for a neoproen kan være makimere. Arbejdere For en ekra enhed arbejdkraf er marginal omæning, M R, og marginal omkoning efer ka, MC, hhv. τ ) Y L T og τ ) w. Når de o æe lig med hinanden, går fakoren τ ud, å den amlede beingele 6) maemaik er den amme, om hvi der le ikke var bekaning. Dee er en konekven af den fulde fradragre for lønudgifer: A makimere ekempelvi 50 % af en ørrele giver amme makimand om a makimere 00 %. Når kaeaen ikke alid) går ud i 5), er de fordi, der ikke generel er fuld fradragre for kapialudgifer, men kun for den andel e, der knyer ig il fremmedkapialen. Hvi e 0, dv. hele nanieringen er fremmedkapial, å er der fuld fradragre, og å går τ ud af ligning 5) ogå. 2.2 Kapialilpaning Vi anager nu a de frie kapialbevægelerne medfører, a arbiragebeingelen på kapialmarkede kal være overhold: r r, r > 0 5.7) Inveorer indland og udland) er dermed villige il a inveere i indenlandk kapial, K, å længe marginalproduke fra kapial er lig eller højere den inernaionale rene, MP K r. Da vi anager faldende MP K vil de holde med lighedegn, MP K r r; hvi MP K > r vil afkae fra indl. kapial være højere end forrenning il udl. rene, hvorfor inveorer vil prompe inveere, hence øge indl. kapial, il MP K r r. Vi indæer beingelen i lign. 5.5) og iolerer r: τ ] K /L ) τ e)] r τ τ e) K /L ) r 5.8) Af Gouham Jørgen Surendran Side 28 of 86 7. juni 206
5 ØVELSE Exam S4, opg 2 Figur 5.: Illuraion af kapialilpaning r r K L ) ) τ τ K e) L HighT ax K K T ax NoT ax K K Fra bogen har vi for en BSM for en åben økonomi, a r K /L ) τ τ e) Forkellen ligger i udrykke er en fakor på da anager e > 0). Fakoren er minder end, når τ > 0, og lig og dermed ækvivalen med bogen), når τ 0 ingen bekaning). Når τ, vil fakoren falde, da ælleren falder hurigere end nævneren igen, da vi anager e > 0). Hence, jo højere τ τ τ e) da τ τ K e) /L ) r, kal K. Skaen er derfor forvridende, a den om illurere i gur 5., da kapialniveaue er mindre ammenligne med iuaion uden ka τ 0): 2.3 Arbejdindkomandele, amle bekaning og virkomheden pro før og efer ka. 9): Vi ganger ligning 5.6) med L : 0): Vi ganger ligning 5.8) med K : w L ) K L L ) K L }{{} τ r K τ e) K 5.) w L ) Y 5.9) τ K τ e) K L }{{} L 5.) rk τ τ e) Y 5.0) ): Vi indæer lign. 5.9) og 5.0) i lign.5.3): ] τ T τ Y e) τ e) Y ) Y ] τ τ Y e) τ e) Y ] τ τ Y e) τ e) τ e) τ Y τ e) e e) τ ] τ e) e T τ Y 5.) τ e) Af Gouham Jørgen Surendran Side 29 of 86 7. juni 206
5 ØVELSE Exam S4, opg 2 Vi vier, a den amlede indkom fordel mellem aønning og bekaning: τ rk + w L + T τ e) Y e + ) Y + τ Y τ e) ] τ Y τ e) + + τ e τ e) ] τ + τ e Y τ e) + Y τ e) + τ e) }{{} rk + w L + T Y 5.2) Vi indæer ligning 5.4) og 5.2) i 5.2): 5.2)Y {}}{ Π n Y r K w L T Y Y 0 Virkomheden pro efer ka er 0, hvorimod ren pro før ka, er: 0 {}}{ Π Π n + T Π T Proen efer ka kal være lig kaeprovenue. Hence, efer aønning af kapialejere og lønarbejdere, er der poiiv virkomhedpro før ka). Dee er dog modiger ikke langigbeingelen om a økonomike pro) er 0. Virkomhederne makimere proen efer ka, og de er den om kal være nul, hvilke er opfyld her. 2.4 SS for k, y og w I en åben lille) økonomi med frie kapialbevægeler, vil opparingen være ubegræne. For e given prædeerminere L, vil der derfor være e kapial ou- eller inow, hvormed K og dermed k ) pringer il i SS-niveau i hver periode, å marginal produke fra kapial, MP k, er lige verdenrene r. For a beemme SS-niveaue af k, udnyer vi a k k + k og k K L : Vi indæer lign. 5.3) i Y K L r r k k k τ τ e) k τ τ e) r ] τ τ e) r 5.3) y Y L K L k : y k ) τ τ e) ] 5.4) r da y kan beemme af k, vil y være øjeblikelig beem. Vi udnyer lign. 5.9) og indæer lign.5.4): w ) y ) τ τ e) ] r 5.5) w er beem af y, hvorfor den ogå er øjeblikkelig beem. τ Som kreve i 2.2, å er fakoren τ negaiv afhængig af τ e). Hence, når vi berager ligningerne for kapial 5.3), løn 5.4) og oupu pr. capia 5.5) er negaive afhænger af τ. Inuiion: Når elkabkaeraen iger, τ, iger marginal)omkoninger il indl. kapial. De er højere omkoningerne gør, a kapial rømmer ud af lande, hence k og MP K. Da mængden af kapial falder i produkionen, vil produkionen pr. capia falder, y. Da arbejdere har mindre kapial pr. arbejder vil dere MP L falder, hvorfor lønnen falder da MC MP -beingelen). Skaeincidenen, dem der i ide inan bealer kaen, rammer ogå lønarbejderne, elvom elvkabkaen formel e beale af virkomheden. Skaeinciden er noge I allerede har fåe dække i ØP A/B, men I ogå vil få dække i Mikro A/B). Af Gouham Jørgen Surendran Side 30 of 86 7. juni 206
5 ØVELSE Exam S4, opg 2 2.5 Vi dividere lign. 5.) med L og udnyer y Y L : L T e τ y L τ e) Bemærk, a y er øjeblikkelig beem, hvorfor y y. Vi indæer derfor lign.5.4) i udrykke: ) ] T e τ τ 5.6) τ e) τ e) r ) De er ilrækkelig a vie, a kaeprovenue per arbejder T L er 0 for τ eller τ 0, og a for τ ]0,. Hence, der må ekiere e τ i de inerval, der vil makimere T L ) > 0 T L ). hvor de reng age bruge, a funkionen af τ give ved 5) er koninuer lign. 5.6) er denere i hele inervalle τ 0, ]). Dee er ikke nødvendig, der opgaveeken kun pørger om, der ekiere e opimal τ og ikke hvad de er. For a beemme de opimale τ kan vi bruge amme fremgangmåde om vi bruger il a beemme Golden Rule: ] max T /L ) e τ τ τ τ e) τ e) r Vi udnyer om alid monoonik ranformaion ved a age ln il makimeringprobleme: max ln T /L ) ] ln τ + ln e ln τ e)) + τ ln ᾱ r + ln τ ) ln τ e))] Vi beemmer FOC: e) τ τ e) + ] e) 0 τ τ e) e) + τ τ e) ) e) + ) τ τ e) ) e) + τ τ e) τ ] e) τ e) e) τ τ e) τ ) τ e)) τ ) + τ e) τ ) τ τ e)) ) τ e) τ + τ 2 e) ) + τ e) τ 2 e) τ τ 2 e) ) τ τ e)) τ τ e) τ e)) e) τ 2.6 Vi anager nu, a der kun er lump um) lønbekaning og ingen elkabbekaning. Arbejdudbudde er ekogen. Vi har a lønnen før ka, a den amme om under økonomien uden bekaninger, da lump um bekaningen ikke er forvridende og L er ekogen beem). Vi udnyer lign. 5.5) og indæer τ 0: ᾱ ] wf/or ) r Arbejderne bliver opkræve en lønbekaning lig lign. 5.6). Vi beemmer udrykke for lønnen efer ka og reducere udrykke: w w f/or ) T L ᾱ ] ) r e τ τ e) τ τ e) Vi ønker a vie, a w > w. For a vie dee, denere vi variablen z w z ) ] e r τ τ e) τ τ e) r τ τ e) ] w : ) ] τ τ e τ e) τ e) r ] ] r Af Gouham Jørgen Surendran Side 3 of 86 7. juni 206
5 ØVELSE Exc. 4.4 De e direke, a z når τ 0. Vi ønker hernæ a vie, a om minimum z for τ ]0, ]. Dee kan i dee ilfælde vie, a z er vokende mh. τ, hence z τ > 0: z τ τ τ e) ] ) τ e)] τ ) e) ) τ e)] 2 e τ e)] + τ e e) τ e)] 2 ] τ τ e)] + e τ e) τ e) τ e)] 2 + ] ] τ e τ e) τ e)] 2 e τ e)] 2 ] ] e τ τ e)] 2 > 0 τ e) }{{}}{{}. led>0 2. led. led er poiiv, da e > 0, τ e)] 2 > 0 og ]0,. De 2. er mere beværlig: τ τ e) ] 2.led er poiiv, da vi anager τ > 0 og e > 0. Hence, z τ > τ e) τ > τ e) > τ τ + τ e > τ τ e > 0 er vi a være poiiv. ] e τ e)] 2 2.7 Konkluderede allerede i 2.4, a elvom elkabkaen formel e bliver opkræve af virkomhederne, å kommer lønarbejderne indireke il a beale noge af den, da dere løn er lavere if. ingen ka. Hvi man i ede indføre en lønbekaning, hvormed lønarbejderne formel kal beale, hvi reulae foroven, a lønmodagere vil modage en højere løn under lump um-)lønbekaning if. ilfælde med elkabka. Saen kan modage amme kaeindæger og amidig øge lønningerne efer ved a lønbekae. Hvorfor indføre man en elkabka frem for en lump um bekaningen i virkeligheden? Flere åreager, om f.ek. poliik beværlig pga. ymbolk fairne). Læ ogå ekemple i reevejledningen. 2.8 Lønkaen vil adig være a forerækker frem for elkabbekaning. Hvi arbejdudbudde anage endogen, vil andardanagele være a de afhænger poiiv af reallønnen efer ka. Reallønnen er om udled i 2.6 vi a være høje under lønbekaning if. elkabbekaning. Lønnen under lønbekaning vil være nærmere lønnen uden nogen ype for bekaninger. Lønnen efer lønbekaning if. lønnen uden bekaning vil ænke arbejdudbudde da vi anager endogenie, og arbejdudbudde afhænger poiiv af lønnen), hence en forvridning af arbejdudbudde. Da reallønnen under elkabbekaning er endnu lavere vil forvridning af arbejdudbudde være højere. Lønkaen vil derfor adig være a forerækker. Exc. 4.4 Vi kigger på en åben økonomi, hvor iger, men ikke nok il a abiliebeingelen overræde r < n), og ikke ændrer på lande poiion om nedebior eller -kredior. Exc. 4.4. Udny ligning 22) og 25) i kapiel 4: v + w + n + + r + n v v n n r Inerceper med v + -aken og hældningen iger. Eeken forklare mekanik,e i guren, der ogå illurerer e ny højere eady ae: Af Gouham Jørgen Surendran Side 32 of 86 7. juni 206
5 ØVELSE Exc. 4.4 Figur 5.2: Ændringen i raniiondiagram ved v + v + v w +n + + r+ε) +n v w +n + + r+ε) +n v w +n w +n v v v Inuiion. Når, iger den indlandke opparing per capia, y n w + rv ), i periode : Inercepe Lønnen, w, er upåvirke, da mængden af indenlandk kapial er uændre r er uændre), pga. pring il SS. Hvorfor?). Opparingen fra lønindkom vil ige, w > w, og øger iniialformuen, v, ved en åbning af økonomien ilvarende. Bemærk inercepe if baale Solow) Hældningen Opparingen af formuen for given v iger v > v, hvilke vil øge formuen med v. Formuen er inveere il r, hvilke i næe periode øger naionalindkomen med r v. Den ekra formue kal dog fordelen mellem en vokende arbejdyrke, hvormed akkumulaionen af formuen er afagende i hver periode. Når abiliebeingelen er opfyld, r < n, vil igningen afage i hver periode og konvergere mod SS. Exc. 4.4.2 Eeken på k, y, w, y n, S on impac og efer Føre periode med, Udny ligning 7) 9) i kap. 4: k B ᾱ ) r y B ᾱ r ) w ) B ᾱ r ) k, w, y er upåvirke af, både on impac og efer impac. Den naionale indkom y n w + rv er uændre i. periode, fordi w 0 og, a man kal eje formue i en periode før man får ilkreve rener. Men, opparingen S y og c ) y når Al den ekra opparing ker uden for lande, derfor er k, y og w ogå uændre. Efer impac, 2 k, w, y uændrede y n, da formuen, v, er ege, hvilke giver e højere afka, r v. Forbruge, ) y n, og opparing iger formuen i næe perioden iger Økonomien konvergere mod SS, hvor afkae fra formuen er lig reinveeringkrave her kun befolk.væk). Exc. 4.4.3 k, w, y er upåvirke af, både on impac og efer impac. y n iger, da e højere v øger reneindægerne, rv. Af Gouham Jørgen Surendran Side 33 of 86 7. juni 206
5 ØVELSE Exc. 4.6 Anagele om kapial mobilie relevan for økonomik iland Ændrer c ig enidig, når iger: Vi bruger log di: Tag ln: Di. mh. : Vi har, a: c ) y n ) n n r w lnc ln ) + lnn ln n r) + lnw lnc + r n r r n ) n r) Sabiliebeingelen, r > n, og ]0,, hvorfor nævneren være poiiv. For ælleren, og dermed hele udrykke, a hvi: r > n r < n Udrykke er poiiv Højere c i ny ligevæg når Empirik realiik) Udrykke er poiiv Lavere c i ny ligevæg når Og de amlede inveeringer i udlander, f v k, iger uane om man er nedebior eller -kredior. Exc. 4.6 Anagele om kapial mobilie relevan for økonomik iland Udny ligning 2) og 8): BNP pr. capia i SS omkrive il: I Y ) i n r y B y B i n r ) ) Tag logarimen, hvormed de er mulig a lave en lineær regreion: Sammenlign med ligning 38), hvor anage δ 0. lny - lnb + lni lnn) lny - lnb + ln lnn) Forkellen ligger i i. Men i en lukke økonomi vil i, hvorfor SS-udrykke foruder amme forhold. Kan vi ud fra de ige noge om kapial mobilie? Nej, for forholdene er de amme og giver ikke mulighed for a diereniere. Af Gouham Jørgen Surendran Side 34 of 86 7. juni 206
6 ØVELSE 6 Øvele Exc. 5. Vi har følgende ligninger, om er give i bogen: Y K AL) 6.) r k 6.2) w ) k A ) ỹa ) 6.3) K Y δk 6.4) L L n 6.5) A A g 6.6) Exc. 5.. Vi Solow-ligningen, udryk k: Udny k K a age ln: AL og a dk d dlnk) d. Vi arer med k K AL ln k) lnk) lna) lnl) di. mh. : Indæ 6.4),6.5) og 6.6): k k K K A A L L k k Y δk K g n Y K δ g n ỹal kal δ g n ỹ k δ g n k ỹ δ + g + n) k k δ + g + n) k Forkellen er +g)+n), og ng, Dee er ikke nogen inuiiv forklaring, men lægger i modellen eup, alå maemaik. Huk a modellerne er meode il a prøve a bekrive økonomien. Dikre og koninuer kan e om o forkellige modeller. Exc. 5..2 Solow-diagramme for den generelle Solow-model Konvergen på lang ig ved: Figur 6.: Solow-digram n + g + δ) k 0 > k0 k k 0 > 0 k 0 k k 0 k Af Gouham Jørgen Surendran Side 35 of 86 7. juni 206
6 ØVELSE Exc. 5. Exc. 5..3 Seady ae i koninuer og dikre id Beem k og ỹ : Igen gælder, a SS er ændringen i k 0, alå: k ) δ + g + n k 0 k ) δ + g + n) k k δ + g + n) k k ) 6.7) δ + g + n Udny ỹ k : ỹ k δ + g + n ) 6.8) Vi r og w : Vi udnyer ligning 6.2) og 6.3) og indæer ligning 6.7) ) r k ) 6.9) n + g + δ ) w )A ỹ )A 6.0) n + g + δ Her e a 2),22), 26) og 27) i bogen kapiel 5 reducere il amme udryk, med en forkel i ng 0. Så der der en or lighed i den maemaike reulaer. Exc. 5..4 Modicere Solow-diagram Ved a dividere raniionligningen få: Illurere her forneden: k k k δ + g + n) Figur 6.2: Modicere Solow-diagram k k > 0 n + g + δ) 0 > k k k k 0 k k 0 k Vi ẏ y g y g k + g Udryk y og udny y ỹa og ỹ k : y k A Tag ln og di mh. : ) lny ln k + lna) ẏ y k k + A A g k + g Af Gouham Jørgen Surendran Side 36 of 86 7. juni 206
6 ØVELSE Exc. 5.2 Anag k < k Vækraen vil her være poiiv nærmere ig dermed SS-niveau) og i i maximum e på mod. Solow- gur).som de konverger mod i eady ae niveau, vil vækraen il kapial pr. eekive arbejder, k, konvergere mod 0. Ud fra vækligningen, vil væken i BNP pr. arbejder, g y, være ørre end den eknologike væk g og ør i aren e på ligning), men falder og konvergere mod en SS-bane, hvor y voker med en konan g. Exc. 5.2 ˆ r falder i hele proceen om k konvergere, e lign 6.2), men konvergere mod en konan, e lign 6.9) ˆ Lønnen, w, iger i hele proceen om y ), e ligning 6.0). men konvergere mod en SS-bane, e lign 6.9), hvor w voker med en konan g! Exc. 5.2. Vi z k I øvelen arbejder man her med kapial-oupu-raioen, z. De nyige med z er, a i økonomi med balancere væk må være konan. De kal vi før vie: z K Y k L k ỹ k A }{{} z y L ỹ A k Vi z Vi kan udnye de il a beemme z vha. SS for k ) n + g + δ + ng z k ) n + g + δ + ng n + g + δ + ng ) k 4 Da alle ekogene må anage for a være fae, er z alå en konan i eady ae. Exc. 5.2.2 vi z Vi kal e om vi kan lave en lineær bekrivele: k A ) ud fra produkionfunkionen: Vi har produkionfunkionen: Y K A L) y A z k y k k A k z A k k A ) vi z +. Vi kriver z i + leader med periode): z + ) k+ A + Forlæng før med L + i æller og nævner, og udny ligning 0) og 3): 4 lign 2) i bogen z + z + K+ ) A + L + Y + δ)k ) + g)a + n)l ) ) Y + δ)k + g) + n) A L ) ) y + δ)k ) + g) + n) A }{{} Ω Af Gouham Jørgen Surendran Side 37 of 86 7. juni 206
6 ØVELSE Exc. 5.2 Omkriv z + om funkion af z Vi gange med k k ) : z + Ω y + δ)k ) A ) Ω y + δ)k ) k Ω + δ) z ) k A ) A }{{} z Ω + δ)) z z ) Ω + δ)z ] z z Ω + δ)z ) z z z + Ω + δ)z ) z, ) hvor Ω + g) + n) ) k k ) k De er ikke en lineær dieren ligning Man kan ikke løe.-ordenligningen Exc. 5.2.3 Beem z Vi kan udnye amme meode om alid, z z z +.: z Ω + δ)z ) z ) z ) + δ)z ) + g) + n) z + g) + n) δ)z z n + g + δ + ng Bemærk amme reula kan udlede vha. af ỹ. { z k ỹ menmp k.derfor iger kmed mere end y, da k ỹ z n + g + δ k ỹ menmp k.derfor falder kmed mere end y, da k ỹ z k Dernæ kal de beemme om den opfylder beingele for konvergen:. Vi, a hviz 0, der er z ; z + ) 0; 0): 2. Vi a den er overal vokende, alå dz+ dz > 0: z + 0 : z + Ω + δ)0) 0 0 dz ] + Ω ) δ) + δ)z ) z + + δ)z ) z dz når Ω > 0 n + g + δ + ng) > 0. dz 3. Vi a lim + z 0 dz > : Ω + δ)z ) z ) δ)z + + δ)z )] Ω + δ)z ) z δ)z + ] > 0 dz + lim Ω z 0 dz negaive poen) {}}{ + δ)z ) }{{} 0 z }{{} 0 {}}{ δ)z + ] > Af Gouham Jørgen Surendran Side 38 of 86 7. juni 206
6 ØVELSE Exc. 5.2 dz 4. Hvi den er konkav lim + z dz < : dz + lim Ω z dz 0negaive poen) {}}{ + δ)z ) }{{} z }{{} 0 {}}{ δ)z + ] 0 < Beingelerne er ilrækkelig for a konaere, a de fundne SS, er unik og poiiv, når n + g + δ + ng) > 0 : Figure 6.3: Traniiondiagram, z + z ) z + z + z +n)+g)) + δ) z ) z z z Vi a vækraen i y og k er approx) en: Seady ae: z k y er konan k og y må have amme vækrae i SS, g y g k Vi a denne vækrae er g: To meoder: ˆ Di. mh. iden, dlnx g x : y A k lny -)lna +lnk dlny d ˆ Leade med en periode og ræk fra, lnx + lnx g x5 : Vi ved, a g y g k : g y ) g + g k lny + lny -)lna + -)lna + lnk + lnk g y ) lna + lna ) + lnk + lnk ) g y ) g + g k g y ) g + g k ) g y ) g g y g Alå væken i y og k er dreve af væken i eknologi. 5 Huk: x x ] x + g x ln lnx x + lnx ln + g x) g x Af Gouham Jørgen Surendran Side 39 of 86 7. juni 206
7 ØVELSE 7 Øvele Exercie for Chaper 5. Vi har følgende model for en lille åben økonomi Y K + ) A L ), 0 < <, > 0, 7.) } {{ } Ω K + Y + δ) K, 0 < <, 0 < δ < 7.2) L + + n) L, n 0 7.3) A + + g) A, g > 0 7.4) Som jeg vil argumenere for enere i delopgave 3: r MP K Y,K Ω w MP L Y,L K Ω ) Ω K A L ) A 7.5) Ω ) A L ) A 7.6) Exercie Vi, a der konan kalaafka il kapial OG arbejdkraf For a vie, a der ekiere konan kalaafka il inpufakorerne, kapial og arbejde, vie, a CES produkionen er homogen af. grad, f x) f λx) λf x): Y f K, L, A ) f λk, λl, A ) λ K ) λy λ ) + ) λ A L ) K λ + ) A L ) λ K K ) λ ]) + ) A L ) + ) A L ) ) λ er af.grad, hvormed der er konan kala afka i CES-funkion. Vælger en virkomhed, a fordoble in inpufakorer, vil oupu ige med dobbele. Exercie 2 Vi MRTS MRTS er denere om forholde mellem MP K og MP L. MRTS bekriver, hvor mege arbejdkraf kal øge/ænke med, hvi kapialen ænke/øge med og ønker a bibeholde amme produkionniveau. Vi ved a MP K F K K, L), hvor F K, L) Y : MRT S L for K ) MP K F K K, L) MP L K, L) MRT S L for K ) F L Ω Ω K A L ) ) A K A L ) A For Cobb-Dougla-produkionfunkion med ekogen væk og konan, g, bekreve omy K A L ) bemærk i Exc. 3.. har vi ingen ekogen væk i produkionen), vil MRTS være MRT S L for K ) MP K F K K, L) MP L K, L) F L K A L ) )K A L ) A ) Vi er, a MRTS for Cobb-Dougla er e pecialilfælde for CES-produkionfunkion med. L K Af Gouham Jørgen Surendran Side 40 of 86 7. juni 206
7 ØVELSE Exercie for Chaper 5. Exercie 3: Omkriv MRTS, å K år om funkion af r Vi udnyer, a promakimerende L w virkomheder under FK vil aønne ine inpufakorer ålede a MP L w og MP K r. Lønnen er ofe give udefra, da vil virkomheden anae å mange a de id anae producere il w, realløn. Hvi de anæer ere vil de id anae producere mindre end de rmae giver i løn, hvi den marginale bidrage med mere end de de bealer ham for. Hence, MRT S MP K r w. Vi indæer de i reulae fra opg. 2.2 og iolere mh. K L : MP L MRST r w K L K L K A L ) A A ) r w ) A r w ) For a beemme ubiuionelaicieen udnye log-di ricke il elaicieer 6 : ) ) K r ) ln ln + ) ln L ) w dln K L ) dln r w ) Vi bemærker, a ubiuionelaicieen er konan 7, om navne for produkionfunkionen anyder. En virkomhed med e høj ubiuionforhold er mere følom for ændringer aønningforholde. Hvi forholde r mellem renen og reallønnen, w, iger med %, da vil beyde a forholde mellem kapial og arbejdkraf, K L, ænke med %. Inuiion: Hvi f.ek. r iger relaiv if. w r w ), må de al ande lige beyde, a afkae fra kapial er bleve højere, MP K, ) hvorfork er bleve relaiv mindre if. arbejdkraf, K L Forholde K r L w for Cobb-Dougla er, hvor vi igen udnyer MRT S r w : L ) K r w K L r ) ) w Ved a benye amme log-di rick har vi, a ubiuionelaicieen er -. Igen, Cobb-Dougla er e pecialilfælde for CES med. Exercie 4: Arbejdfakorindkomandel For a beemme arbejder indkomandelen ved CES produkionfunkionen, udnyer vi lønummen, w L, og a lønnen under FK, er lig marginalproduke: w L Ω ) A L ) A L }{{} ) MP L Se lign 7.6) w L Y Y {}}{ ) K + ) A L ) ) A L ) K ) ) K A L Y + + ) A L ) ) 7.7) K + A L }{{} k 6 ε y x x y lny lny lny x. Vi vælger her lnx x lnx. 7 Havde vi iede brug meoden lny x x: ln K L w r r w ln K L r w r. Samme reula! w Af Gouham Jørgen Surendran Side 4 of 86 7. juni 206
7 ØVELSE Exercie for Chaper 5. Vi benyer amme rick for rk Y : Summen af il r K Ω K K }{{} ) MP K Se lign 7.5) r K Y w L Y w L Y Y {}}{ ) K + ) A L ) K K ) K A L ) K A L k k + + r K Y + r K Y + ) A L ) Y + 7.8) ) k + ) ) + k k + ) + k k + ) 7.9) En CES-produkionfunkion vil opfylde langigeorien om nulpro i LR. Virkomheder producerer og jener Y. Den amlede indkom bliver brug il a beale løn il arbejderne og leje af kapial. Når vil k k 0. Indkomandelen for hhv. arbejdere og kapialejere vil være: w L Y + r K Y + hvilke er de amme reula for Cobb-Dougla, om vi kender fra penum. Dee bekræfer igen, a Cobb- Dougla er e pecialilfælde af CES. Ydermere bemærke a indkomanedelene er konane uane k, når /Cobb-Dougla. Exercie 5: Beem eknologijuerede eekiv oupu pr capia, og kapial-oupu raio Vi udnyer deniionen ỹ Y ỹ Y A L A L og indæer ligning ): K ỹ K Vi udnyer deniionen z K Y og udnyer ỹ : K A L ) + ) A L ) /A L + ) A L ) A L ) ) k + ) + ) ) ) ) z K Y z k k ỹ k + ) k k + ) k + ) ] k + ) k ] ] )] Af Gouham Jørgen Surendran Side 42 of 86 7. juni 206
7 ØVELSE Exercie for Chaper 5. Exercie 6: Beem raniion- og Solow-ligningen Vi beemmer raniionligningen, k +, ud fra lign. og udnyer ỹ : k + K + A + L + k + Y + δ) K A L + g) + n) ỹ + δ) + g) + n) k ] + g) + n) ) ] k + ) + δ) k Vi kan hernæ beemme Solow-ligningen ved a række k + k på begge ider: k + k ) ] k + ) + δ) + g) + n) k k + g) + n) + g) + n) + g) + n) ) ] k + ) + δ) k + g) + n) + g) + n) k ) ] k + ) + δ) k + g + n + ng) k ) ] k + ) n + g + δ + ng) k Exercie 7: Vi SS Vi anager for nu, a raniionligningen opfylder beingeler for en unik og poiiv eady ae. Vi kan beemme dee SS ved a udnyer a k k k + k ) k k ] + ) + δ) + g) + n) k + g + n + ng) k ) k + δ) k g + n + ng + δ) g + n + ng + δ) k ] k ) + ) k + ) ) k k k ) g + n + ng + δ) ) g + n + ng + δ) ) 7.0) Vi beemmer ỹ : ỹ ỹ ) g + n + ng + δ) ) g + n + ng + δ) ) + ) g + n + ng + δ) ) g + n + ng + δ) g + n + ng + δ) ) + ) ) g + n + ng + δ) ) + ) ] 7.) For begge gælder, a udrykke kun er poiiv, hvi n + g + δ + ng) >, hvilke vi anager opfyld. Exercie 8: Balancere væk Af Gouham Jørgen Surendran Side 43 of 86 7. juni 206
7 ØVELSE Exercie for Chaper 5. y voker med en konan g Vi udnyer a y Y L og ỹ Y A L y Y L A Y A L A ỹ A voker med en konan vækrae g og ỹ er konan. y må i SS voke med en konan vækrae g. 2 K Y er konan Vi udnyer igen ỹ og k : k ỹ K A L Y A L K Y Da den eknologijuerede kapial-oupu-raio er konan, vil K Y være konan. 3 rk Y og wl Y T er konane, w voker med en konan g Vi udnyer reulaerne fra 2.4; da k er konan i SS, vil udrykke for indkomandelene være konane. Ved omkrivning af arbejderne indkomandel har vi: w L Y w y Da w y er konan, og vi a y i SS voker med en konan vækrae på g, må de gælde a w voker med amme konane vækrae g. K 4 Reallejerene,r, for kapial og realrenen,r δ, er konan Vi har vi a r Y hvorfor r vil være konan. Da r og δ er konane, vil r δ være konan. og K Y er konan, Exercie 9: Krav for eady ae For a ikre, a de fundne eady ae er unik poiiv eady ae, kal raniionligningen opfylde følgende beringeler, hvor vi har denere k ) + f k. Beingelerne er ilrækkelige, men IKKE nødvendige beingeler: : f 0) 0: Er der ingen iniialkapialen, k 0 0, vil der ikke blive kab en produkion/indkom, y 0, og dermed ingen inveeringer il kapial. Vi dele de op i o cenarier: For > > 0: For 0 < < ) 0 ] ) + ) + δ) 0 + g) + n) + g) + n) > 0 < 0: lim k + k {}}{ + g) + n) k + ) + δ) k 0 }{{} 0 }{{} 0 Beingelen holder ikke for >, men kan ikke alene afvie e poiiv eady ae f.ek. raniion for åben økonomi) 2 : f k ) > 0: Vi udleder før hældnigen, om kal være overal poiiv: f ) ] k ) k + ) + g) + n) k + δ) ) ) ] k + ) k + δ) + g) + n) + g) + n) Hældningen er poiiv uane. R ++ \ {}) + ) ) k + δ) ] > 0 Af Gouham Jørgen Surendran Side 44 of 86 7. juni 206
7 ØVELSE Exercie for Chaper 5. 3 : f k ) < 0 : Bemærk, 2. aede kan udlede i beværlige udledninger om die, men i ede ligge in illid il Inada-beingelern. Vi kan vier afagne marginalproduk vha. af 2. aede f k ) f k ) + g) + n) + g) + n) + g) + n) Den er negaiv uane. R ++ \ {}) + ) + ) + ) ) k ) ) k ) k k ] ) 2 k ) k 2 < 0 4 : lim k 0 f k ) > : Den nedre Inada-beingele For > > 0: >0 {}}{ <0 {}}{ lim f k ) + ) k 0 + g) + n) k + δ) > }{{} ] ] For 0 < < < 0: <0 {}}{ >0 {}}{ lim f k ) k 0 + g) + n) + ) k + δ) }{{} 0 + δ) + g) + n) + δ) + g) + n) > + δ) + g) + n) > + δ) > + g) + n) > n + g + ng + δ < n + g + ng + δ) hvor de ide følge af poen-regel når man opløfe i negaiv poen. a < b a a < b b ) 5 : lim k f k ) < : Den øvre Inada-beingele For > > 0: >0 {}}{ <0 {}}{ lim f k ) + ) k + g) + n) k + δ) }{{} 0 + δ) + g) + n) + δ) + g) + n) Af Gouham Jørgen Surendran Side 45 of 86 7. juni 206
7 ØVELSE Exercie for Chaper 5. For 0 < < < 0: + δ) + g) + n) < + δ) < + g) + n) < n + g + ng + δ < n + g + ng + δ) <0 {}}{ >0 {}}{ lim f k ) k + g) + n) + ) k + δ) }{{} } {{ } 0 δ + g) + n) δ + g) + n) < δ < + n + g + ng 0 < n + g + ng + δ Vi kan ud fra beingelerne konkludere, a beingeler for a konvergenkravene er opfyld. > n + g + ng + δ) og 0 < n+g +ng +δ) er ilrækkelige Exercie 0: SS for K Y,r,r K Y Vi udnyer deniionen z K Y z k ỹ z ) g+n+ng+δ) )g+n+ng+δ) g+n+ng+δ) ) g+n+ng+δ) )g+n+ng+δ) g+n+ng+δ) ) k ỹ ) ) og indæer lign. 7.0) & 7.): ] ) g + n + ng + δ) 7.2) g + n + ng + δ Af Gouham Jørgen Surendran Side 46 of 86 7. juni 206
7 ØVELSE Exercie for Chaper 5. ) r Vi beemmer hernæ kapialejerne indkomandel, K Y r z, hvor vi udnyer lign. 7.8) og indæer lign. 7.0): ) r K r z Y ) g+n+ng+δ) ) g+n+ng+δ) ) g+n+ng+δ) ) g+n+ng+δ) ) ] ) ] + + ) ) + ) g + n + ng + δ) ) ] ) g + n + ng + δ) ] r K Y g + n + ng + δ) g + n + ng + δ ) ) r z z ) 7.3) Som vi allerede har vi i delopgave 4, vil ummen af arbejdindkomandelene være, lign. 7.8), hence ) w L r K + Y ) w L r K Y w L For a beemme r udnyer vi 7.3) og iolere z : Y Y ) Y ) ) z ) 7.4) r z z ) r z ) r g + n + ng + δ ) 7.5) Bemærk, igen er Cobb-Dougla vi a være e pecial ilfælde for en CES-fk. med, da r n+g+δ+ng. Exercie : n and g Vi anager, a økonomien iniial er i eady ae. Vi berager hernæ forkellen mellem dee og de nye eady ae, hvor n og g er ænke i de nye SS. Vi berager eeken i en økonomi, hvor > eller 0 < <. Eeken il kapial-oupu-raio uane : hence kapial-oupu-raio, z, iger når n, g. Vi berager lign. 7.2), hvor eeken af n, g il z vil være enydig z < z Eeken il kapialejer og arbejder indkomandel Da eeken af n, g il z er beem, kan vi nu berage eeken il indkomandele vha. hhv. lign. 7.3) og 7.4). For begge gælder, a eeken il indkomandelene varierer efer værdien af : Af Gouham Jørgen Surendran Side 47 of 86 7. juni 206
7 ØVELSE Exercie for Chaper 5. 0 < < Da < 0, vil kapialejere indkomandel blive mindre, da ) z z ) r K hence arbejderne indkomandel er vokende mh. n og g, < Da > 0, vil vil kapialejere indkomandel af Y Y w L Y ) blive ørre, da ) z z ) r K hence arbejderne indkomandel er faldende mh. n og g, Relaion il Pikey' ee En af Pikey' eer er, a over id vil vigige paramere ændre, pecik vil væken il eknologi og befolkningvæk falder, n, g. Denne ændring vil ændre de nye eady, hvor kapialejerne indkomandele vil ige. ) I modellen har vi, a når n, g vil z r, men K Y kun, hvi >. Hence, eorien afhænger i den ovenående model af a <. Inuiion For a beemme den, å brug delreulaerne fra idligere opgaver): Når n, g, falder reinveeringkrave il kapial, hence K. Men om kapialejerne indkomandel, r z, hernæ falder eller iger afhænger af o eeker: z : Når kapial iger, iger oupu, men pga. afagende marginal produk il kapial, vil kapial ige mere end oupuy. Hence, z uane. r z ) Når kapial iger, falder marginalproduke il kapial og dermed r uane. Men ørrelen af falde afhønge af. Hvilken eek der er ør afhænger af, ubiiuionelaiceen for K L mh. r w om vi fand i delopgave 3. Er den ørre end, kan en virkomhed nemmere kifer eekiv arbejdkraf med den mere kapial pga. n, g, hence jo mindre vil falde i r være. Y w L Y ) Exercie 2 Vi arer med a omkrive udrykke om en funkion mh. z : Vi beemmer hernæ andelen i eady ae Γ r δ) K r δ) K Y Y δk Γ r z δz δz Y δk Y r z δz δz z ) δz δz For > har vi i delopgave udled, a z når n, g, hvormed z ) er om dee adig holder: Γ z ] ] z ) δ δz ) z ) δz δ) δz ) 2 ] ] z ) δ δz ) + z ) δz δ δz ) 2. Vi ager. aede mh. z og Der bliver purg il om > er en ilrækkelg beingele for Pikey' ee. Man behøver ikke a bevie, hvad de nye krav er for, men i ede bevie, a for, vil Pikey' ee ikke være opfyld. Vi jekker derfor om Γ z 0 når om er kun marginal ørre end, hvormed > ) : Γ z 0 z ) δ ] δz ) + δz ) 2 z ) 0 δz ] δ δ] δz ) + δz ] δ ] δ δz ) 2 δz ) 2 < 0 Af Gouham Jørgen Surendran Side 48 of 86 7. juni 206
7 ØVELSE Exercie for Chaper 5. Kapialejerne indkomandele er negaiv afhængig af z, når. Hence, når n, g og dermed z, når vil kapialejerne indkomandele falde, moda af hvad om Pikiy påår. > er derfor for vag en beingele. Af Gouham Jørgen Surendran Side 49 of 86 7. juni 206
8 ØVELSE 8 Øvele Exc. 6. Empirike forbedringer ved inkludering af H Moivaionen for a inddrage Humankapial i bogen er, a vi empirik obervere a. Konvergenhaigheden er for høj i GSM if. empirien 2. Seady ae forudigeler undervurdere eeken opparing og befolkningvæk. En yderligere argumenaion ligger i forudigelerne for elaicieer om underående vil bevie. Solow-modellen uden Humankapial, GSM Vi berager før BNP pr. capia i eady i. GMS: ) y A n + g + δ Bemærk y, da der er ændringer i eknologi fra år il år. Beem elaicieer Vi bruger de velkende rick, og ag før ln: lny lna + og diereniere udrykke mh. hhv. ln K og ln n + g + δ): dlny dln Elaicieer K dlny ln K ln n + g + δ)] 8.) dlnn+g+δ) Vi har dermed den amme elaicie i abolue værdier numerik), hvormed de har den amme numerike eek på lny. Deril er elaicieen afhængig af, kapialejeren indkomandel. Den er ofe beem il 3, hvorfor elaicieen fra hhv. opparing og reinveering vil være 2. Semmer der overen med eorien Vha. af Tabel A e bager i bogen) kan vi beemme den empirike værdi for elaicieerne. Vi bliver i opgaven før purg om a eimere vha. en impel lineær regreion OLS med én forklarende variabel). Vi eimere derfor de o nedenående ligninger: lny 03 k + γln i K, lny 03 k + υln n i + 0, 075 ) De kan eimere i mange programmer. I Abalon ligger en Excel-verion ilgængelig, her udnyer programme R og koder, der kan copy-pae). Tabel 4, 2) og 3), vier reulaerne for regreionerne, men ogå vi forneden: hvor 95%-kondeninervalle er hhv. og e plo af de o eimaioner i g. 8. på ide 53. lny03 i 2, 59 +, 57 ln i K, R 2 0, 595 8.2) 0,63) lny03 i 6, 52 6, 822ln n i + 0, 075 ), R 2 0, 28 8.3),39), 23;, 896] 9, 60; 4, 05] Empirien kogebogen). Korrek foregn? 2. Semmer eima overen med modellen inden for kondeninervalle, eima 2 d.af v; eima+ 2 d.afv] 3. Kommener på forklaringgraden, R2. Hvi over 0,49 er den god læg ikke mege væg i den) 4. Kommener kor anageler 5. Problemer med eimaion: Sandardvar fra ØPA: Manglende variabel, Spurio korrelaion, Omvend kaualie Af Gouham Jørgen Surendran Side 50 of 86 7. juni 206
8 ØVELSE Exc. 6. Empirike forbedringer ved inkludering af H Til denne opgave ville bevarelen være følgende:. Ja, poiiv for ln i K og negaiv for ln n i + 0, 075 ) 2. 95%-kondeninervalle er hhv: K :, 57 2 0, 63;, 57 + 2 0, 63], 23;, 896] lnn + 0, 075) : 6, 822 2, 39; 6, 822 + 2, 39] 9, 60; 4, 05] Modellen prædekerede for K og ln n + 0, 075), a elaicieen er hhv. 2 og 2. De ligger begge udenfor kondeninervalle, hvorfor de begge kan afvie. Deril ligger eimaerne lang fra hinanden mål i abolue numerike værdier, eimae for i K er nærme 4 gange mindre end n i + 0, 075 ) 3. Forklaringgraden god for K men lille for n i + 0, 075 ) 4. Anageler for eimaionen: ˆ De beragede lande er eller æ på dere eady ae vækbaner i 2003 ˆ Samme eknologike niveau i de beragede lande i 2003 γ 0 A er konane og varierer ikke efer land i) ˆ Samme eknike paramere, i de beragede lande ˆ g + δ + ng 0, 075 i alle de beragede lande. 5. Problemer med eimaion: Manglende variabel, Spurio korrelaion, Omvend kaualie Solow-modellen MEd Humankapial Vi har ydeligvi e problem med GSM, å berager modellen med humankapial, om vi på amme måde om før ag ln il: lny lna + ϕ ln ϕ K ln n + g + δ)] + ϕ ln H ln n + g + δ)] 3) H, kan olke om: ˆ Omkoninger for de oenlige uni, koler ov.) ˆ Alernaivomkoninger af de de uderende går glip af men de er under udd. Beem elaicieer Elaicierne mh. K og n + g + δ) i den modellen med human kapial er nu: dlny dln Elaicieer K ϕ dlny +ϕ ϕ dlnn+g+δ) Under anagelen om, a 3, ϕ 3, vil elaicie i abolue numerike værdier være +ϕ ϕ 2. Bemærk, elaicieen mh. n + g + δ) if. K er dobbelå høj mål numerik. ϕ og Empirien : Bevarelen er næen ækvivalen il den anden, da vi kommenere på den amme eimaion.. Ja, om før, poiiv for ln i K og negaiv for ln n i + 0, 075 ) 2. 95%-kondeninervalle er adig hhv: K :, 57 2 0, 63;, 57 + 2 0, 63], 23;, 896] lnn + 0, 075) : 6, 822 2, 39; 6, 822 + 2, 39] 9, 60; 4, 05] Modellen prædekerede for K og ln n + 0, 075), a elaicieen er hhv. og 2. De ligger begge udenfor kondeninervalle, hvorfor de begge kan afvie. Men om eimaerne, prædekere modellen, a eimae for i K er mindre end n i + 0, 075 ). 3. Samme om før 4. Samme om før 5. Samme om før Al i al, kvaliaiv bedre end den generelle Solow-model, men empirien vier, a elaicieen mh. n + g + δ) kal være nærme 4 gange å høj if. k, men GSM med humankapial iger, a de blo vil være dobbel å høj. Urerikere: I opgaven bliver derfor purg il a udføre en ny OLS regreion, en muiple lineær regreion, hvor vi har ere forklarende variable om økonomerik er mere korrek). Hermed medregne vi i regreion både eeken fra opparing og reinveering amidig: lny03 i k + γln i K + υln n i + 0, 075 ) Af Gouham Jørgen Surendran Side 5 of 86 7. juni 206
8 ØVELSE Exc. 6. Empirike forbedringer ved inkludering af H Fra abel 4, ) har vi, a: og kondeninervalle for eimaerne er: lny i 03 3.6989 2.557) +.35569 0,62) lni K 3.6074.03) ln n i + 0, 075 ) R 2 0, 662 K :, 034;, 68] lnn + 0, 075) : 5, 67,, 53] Vi ammenligner både den GSM og GSM med humankapial med den nye eimaion. empirik. Ja, adig poiiv for ln i K og negaiv for ln n i + 0, 075 ) 2. 95%-kondeninervalle er nu: K :, 034;, 68] lnn + 0, 075) : 5, 67,, 53] a) GSM Vi kan adig afvie generelle Solow-modellen, da hhv. elaicierne 2 og 2 ligger uden for inervalle Den generelle Solow-model paer ikke empirik, og undereimere elaicierne. b) GSM m. H Vi kan ikke afvie, a Solow-modellen med humankapial. Elaicierne ligger inden for kondeninervalle. Og eorien om a elaiciern for n + 0, 075) kal være dobbel å høj numerik om for K holder i kondeninervalle. 3. Forklaringgraden god, R 2 0, 662 > 0, 49, og bedre end de o imple lineære regreioner. 4. Anageler for eimaionen amme om før): ˆ De beragede lande er eller æ på dere eady ae vækbaner i 2003 ˆ Samme eknologike niveau i de beragede lande i 2003 γ 0 A er konane og varierer ikke efer land i) ˆ Samme eknike paramere, i de beragede lande ˆ g + δ + ng 0, 075 i alle de beragede lande. 5. Problemer med eimaion amme om før): Manglende variabel, Spurio korrelaion, Omvend kaualie Alå: Solow-modellen med humankapial kal opfylde følgende krav:. Hældning il ln K kal være dobbele af hældningen il lnn + 0, 075) Man kan ikke afvie med 95%- kondeninerval 2. ϕ 3 : dlny dln Elaicieer K dlny 2 dlnn+g+δ) Begge paer empirik, da de ligger i kondeninervalle. De kan beale ig a arbejde videre med Solow-modellen, der inkludere humankapial. #------------------------------------- #Følgende er R-kode anvend il a lave nedenående grafer og figurer #------------------------------------- #Clear he enire workpace rmli l)) #Indlæ relevane funkionbiblioeker libraryargazer) libraryggplo2) #Indlæ daa daae <- read.cv"daa/daa_exc6_.cv",headertrue, ep";") #Definer oupu for USA BNP-daa i daae er kun relaiv il USA) RealGdpUa<-67865.44 OLSFull <- lmlogy03*realgdpua)~ logk)+logn+0.075),daadaae) OLSneedSK <- lmlogy03*realgdpua)~ logk),daadaae) OLSneedN <- lmlogy03*realgdpua)~ logn+0.075),daadaae) Af Gouham Jørgen Surendran Side 52 of 86 7. juni 206
8 ØVELSE Exc. 6.3 Human kapial og balancere væk argazerolsfull, OLSneedSK, OLSneedN, ile"reul", aligntrue,label"ab:exc6_", able.placem Tabel 4: Reul Dependen variable: logy03 *RealGdpUa) ) 2) 3) logk).358.572 0.62) 0.63) logn + 0.075) 3.608 6.849.029).38) Conan 3.70 2.595 6.573 2.556) 0.334) 3.246) Obervaion 65 65 65 R 2 0.662 0.595 0.28 Adjued R 2 0.65 0.589 0.269 Reidual Sd. Error 0.722 df 62) 0.784 df 63).045 df 63) F Saiic 60.88 df 2; 62) 92.730 df ; 63) 24.600 df ; 63) Noe: p<0.; p<0.05; p<0.0 #PLOT af figurer qplologdaae$k),logdaae$y03*realgdpua),aesolar.r, Temp)) + geom_poinpch 9) + geom_ablineinercep OLSneedSK$coefficien],lope OLSneedSK$coefficien2]) + xlabexpreionlogk])))+ ylabexpreionlogy"03"]))) qplologdaae$n+0.075),logdaae$y03*realgdpua),aesolar.r, Temp)) + geom_poinpch 9) + geom_ablineinercep OLSneedN$coefficien],lope OLSneedN$coefficien2]) + xlabexpreionlogn+0.075)))+ ylabexpreionlogy"03"]))) ## Error: Unknown parameer: NA ## Error: Unknown parameer: NA Figur 8.: ee Exc. 6.3 Human kapial og balancere væk Vi a Solow-modellen med humankapial er i overenemmele med balancere væk Dener balancere væk: I SS vil: ˆ y, c, w.h og k voker med amme konan, g. ˆ Arbejdkrafen voker med en konan, n. ˆ Y, C og K voker med n + g ˆ og r er konane K Y y, c, w, h og k voke med amme konan, g Vi udnyer deniionen x x A. k, h,ỹ er konane i SS og A voker med en konan rae g. Forbrug, c, og løn, w er en konan andel af y, hhv. H K ) og ) y, c, w, h, k voker med en konan vækrae g. Af Gouham Jørgen Surendran Side 53 of 86 7. juni 206
8 ØVELSE Exc. 6.3 Human kapial og balancere væk L voker med en konan, n Dee følger pr. deniion. Y, C, H og K voker med n + g UdnyX x A L. To meoder:. Tag log og dierenier mh. lnx ln x + lna + lnl ) x x + A A + L L }{{} 0 + n + g i SS 2. Udny lnx lnx g X lnx lnx ln x ln x + lna lna + lnl lnl ln x ln x }{{} + ln + g) A ] lna + ln + n) L ] lnl i SS ln + g) + lna lna + ln + n) +lnl lnl }{{}}{{} g n g + n k, h, h, c, om er konane i SS, voker med konanen n + g K K Y og r er konane Y, H og K voker med amme konan n + g, vil Y vi udnye ligning og indæe eady ae-værdierne for human- og fyik kapial: og H Y være konane. For r må ỹ K MP K r k hϕ r k ) h ) ϕ Afkaen fra kapial, r, er konan i SS, da de er beem af SS for fyik og human kapial. For a vie, a de er uafhængig af opparingkvoen il human kapial, indæe SS-værdierne: r ϕ K ϕ H n + g + δ + ng K n + g + δ + ng K n + g + δ + ng r K n + g + δ + ng ) ϕ ) ϕ) )+ϕ ϕ ) +ϕ ϕ+ϕ ϕ ) K H n + g + δ + ng H ) ϕ ϕ n + g + δ + ng H n + g + δ + ng ) ϕ )+)ϕ ϕ ) ϕ ϕ+ϕ ϕ ϕ Sammenligne med reulae for den generelle model er vi ingen forkel. Huk K, da de begge angiver opparingkvoen for fyik kapial. I Solow-modellen med humankapial er vi, a afkae fra kapial er uafhængig opparingraen il humankapial, H. Åragen er o modareede eeker mekanik): MP K Anag økonomien er i SS. Når H h MP L MP K. Arbejder er med den højere human kapial bleve mere eekive og bedre il a udnye, hence MP K MP K Når H h y K y I K k MP K De mere eekive arbejder udnyer kapialen bedre og øger produkionen, og dermed den naionale indkom. Opparingen il fyik og human kapial) iger, hvilke vil have en negaiv eek il marginalproduke il fyik kapial, og dermed de reelle lejeafka, r. Af Gouham Jørgen Surendran Side 54 of 86 7. juni 206
9 ØVELSE 9 Øvele Miderm E0, opg 2 Vi har modellen Y K A hl ), 0 < < 9.) h e ψu 9.2) K + Y + δ) K, 0 <, δ < 9.3) L + + n) L, n 0 9.4) A + + g) A, g > 0 9.5) 2. GSM er e pecialilfælde Vi er a modellen implicere il en GSM, når de anage ψ 0 h, hvormed lign. 9.2) for imple il h e 0u, hvormed lign. 9.) reducere il Y K A L ). Økonomik anager man, a analle af år i uddannele ikke har eek på arbejdkrafen eekivie. 2.2 Semielaicie for humankapial Vi kan vie den konane emielaicie vha. log-di: dh du h dlnh u dln e ψu) dψu ψ u u Hvi man vælger a uddanne ig é år mere vil arbejderne humankapial, h, ige med ψ 00%. 2.3 Lønandelen Vi udnyer, a promakimerende virkomheder under FK vil aønne ine inpufakorer ålede a MP L w og MP K r. Lønnen er ofe give udefra, da vil virkomheden anae å mange a de id anae producere il w, realløn. Hvi de anæer ere vil de id anae producere mindre end de rmae giver i løn, hvi den marginale bidrage med mere end de de bealer ham for.: Vi indæer udrykke i deniionen for lønandelen, wl Y : MP L w K ) L A h ) 9.6) w L K Y )L A h ) L K AhL) ) K L A h ) K A h L ) For a nde emielaicieen, indæer vi før ligning 9.2) i udrykke for reallønnen, lign. 9.6): w K ) L A e ψu) Vi udnyer igen log-di il a beemme emi-elaicie. Vi ager ln il udrykke: ln w ln K + ln ) ln L + ) ln A + ψu }{{} ln e Di mh. u: d ln w ψ ) u Semelaicieen bekriver, a e ekra år uddannele øger lønnen med ψ ) 00%. Ved a udnye, a de empirik er vi a være ψ + ) 0, 07 og 3, kan vi beemme den empirike værdi for ψ ifølge modellen: ψ ) 0, 07 3 ψ 0, 07 3 0, 05 0, 2 Af Gouham Jørgen Surendran Side 55 of 86 7. juni 206
9 ØVELSE Miderm E0, opg 2 2.4 Oupu pr. capia og raniionligningen Vi udleder den eekive oupu pr. capia, ỹ : Vi udleder raniionligningen, k + f ỹ Y A L h K A h L ) A L h ) K A L h ỹ k ) A h L A L h k ), ud fra ligning 9.3),9.4), 9.5) og deniionen k K A L h : K + A + L + h k k Y + δ) K + g) A + n) L h + g) + n) Y K + δ) A L h A }{{} L h }{{} ỹ K ỹ + δ) + g) + n) k ] k + δ) + g) + n) k ] 2.5 Tran.-lign. For a vie a økonomien konverge mod e unik og poiiv eady ae, jekker vi om konvergenkravene, om er ilrækkelige, men ikke nødvendige, for dee:. Vi, a hvi k 0, der er k ; k + ) 0; 0): k + 0 : k+ 2. Vi a den er overal vokende, alå d k + d k > 0: da, δ ]0; 3. Vi a d k + d k k < 0: da, δ ]0; d k 4. Vi a lim + > : d k k 0 d k + d k d k + d k k d k + lim k 0 d k + g) + n) 0 + δ) 0] 0 + g) + n) k }{{ + δ) > 0 }}{{} >0 >0 + g) + n) + g) + n) <0 {}}{ ) k 2 }{{} >0 < 0 <0 {}}{ k + δ) > }{{} d k 5. Vi den er konkav lim + < : d k k 0 da δ ]0;. d k + lim k d k + g) + n) <0 {}}{ k + δ) }{{} 0 δ + g) + n) < Af Gouham Jørgen Surendran Side 56 of 86 7. juni 206
9 ØVELSE Miderm E0, opg 2 De ide punk er nu a vie de unikke poiive SS, ved a udnye k k + k i SS og iolere k i ran.ligningen: Vi udnyer idligere udlede ỹ k k + g) + n) + g) + n) + g) + n) k + δ) + g + n + ng δ k k g + n + ng + δ k k g + n + ng + δ k + δ) k ] ] k + δ) ) og beemme de eekive oupu pr. capia i SS: ỹ k ) g + n + ng + δ ) Vi beemmer oupu pr. capia i SS ved a udnye a ỹ y A h y ỹ A h: y ỹ A h g + n + ng + δ y A g + n + ng + δ ) A h ) e ψu 9.7) 2.6 Lineariering Vi a age ln il vore SS-udledning for oupu pr. capia, y, lign. 9.7), hvormed vi har bekreve ammenhængen i lineær form: lny lna + ln ln g + n + ng + δ)] + ψu Sammenligner vi med regreionligningen, må vi anage følgende: ˆ De beragede lande er eller æ på dere eady ae vækbaner i 2003 ˆ Samme eknologike niveau i de beragede lande i 2003 γ 0 A er konane og varierer ikke efer land i) ˆ Samme eknike paramere, og ψ, i de beragede lande γ og γ 2 ψ er konane og varierer ikke efer land i) ˆ g + δ + ng 0, 075 i alle de beragede lande. Reulae af en lineær regreion vil vi forvene a γ /3 /3 2 og γ 2 ψ 0,. 2.7 Empirike Reula Vi har eimaionreulaerne i abel 5 og derilhørende gurer 9.). Føre gur er en imple regreion af SS for en GSM, γ 2 og γ 2 0 fra opg. 2..). lny i regreere mh. 2 ln i ln n i + 0, 075)], hvor vi, give GSM holder, må forvene : forhold, og dermed en hældning på. Anden gur er en imple regreion af SS for en økonomi med humankapial, γ 2 og γ 2 0, fra opg. 2.6.). lny i regreere mh. 2 ln i ln n i + 0, 075)] + 0, u i. Igen forvener vi e :, og dermed en hældning på.. Korrek foregn? Ja, foregne på hældningen er poiiv for begge eimaionerne. 2. Semmer eima overen med modellen inden for kondeninervalle, eima 2 d.af v; eima+ 2 d.afv] a) GSM: eimae ligger uden for 95%-kondeninervalle 8, 2, 266; 3, 5728]. GSM undereimere i. regreionen. Modellen undereimere i. regreionen. b) eimae ligger uden for 95%-kondeninervalle,, 5494; 2, 494] 9. Modellen undereimere i. regreionen, men mindre end GSM 8 95%-kondeninervalle er approximaiv og meode i kal bruge i Makro A)eima 2 d.afv; eima + 2 d.afv] 2.972 2 0.3278; 2.972 + 2 0.3278]. Som i har lær/vil lære i Økonomeri A er, a de ekake 95% kondeninerval er eima.96 d.afv; eima +.96 d.afv] 9 95%-kondeninervalle er.8494 2 0.5;.8494 + 2 0.5] Af Gouham Jørgen Surendran Side 57 of 86 7. juni 206
9 ØVELSE Exc. 7. 3. Kommener på forklaringgraden, R2. Hvi over 0,49 er den god læg ikke mege væg i den) a) GSM: Forklaringgraden er god, da R 2 0, 5857 > 0, 49 b) GSMu: Forklaringgraden er god, da R 2 0, 7308 > 0, 49, hvilke er bedre end GSM. 4. Kommener kor anageler Blev bevare i delopgave 2.6 5. Problemer med eimaion: Sandardvar fra ØPA: Manglende variabel, Spurio korrelaion, Omvend kaualie 2.8 Forbedring af peed of convergence Forkellen mellem humankapial her og i kapial 6 er akkumulaionen. Vi har vi empirik a konvergenproceen for GSM i kap.5 er for hurig. Vi kan æe højere end 3 og dermed ænke faren, men de vil kabe uoverenemmele med andre reulaer om kapialejerne indkomandel, om empirik kal være 3. I penum kapiel 6 inroducere man humankapial med akkumulaion, der kaber ænker haigheden i konvergenen mod SS if. GSM, da vi akkummulere over o yper af kapial. Vigig er, a oupuelaicieer, og ϕ, ilammen overiger oupuelaicien for alene fyik kapial i Solowmodellen,. Men i denne model har vi, a humankapial er beem af en ekogen varibel u, og a der ikke forekommer nogen akkumulaion, men iede pringer direke. Tabel 5: Reul GSM GSMu Dependen variable: logy03 *RealGdpUa) ) 2) 2.97 0.325).850 0.49) Conan 8.969 7.928 0.22) 0.58) Obervaion 59 59 R 2 0.585 0.729 Adjued R 2 0.578 0.725 Reidual Sd. Error df 57) 0.758 0.63 F Saiic df ; 57) 80.439 53.662 Noe: p<0.; p<0.05; p<0.0 Figur 9.: ee ## Error: Unknown parameer: NA ## Error: Unknown parameer: NA Exc. 7. Indledende: ˆ ˆ ˆ K pringer ikke il eady ae, da der ikk er ilrækkelig opparing. Kapial akkumulere i hver periode lægge ammen). Sille og rolig indil vi når eady. De er hvad kal forå om økonomien bliver forinke. Men de foregår ikke langom nok. Derfor inroducere humankapial, hvormed vi har endnu en akkumulaion. De indgår mege lig fyik kapial Opparingen il humankapial, er de om idliger blev denere om C o. og priva forbrug). Af Gouham Jørgen Surendran Side 58 of 86 7. juni 206
9 ØVELSE Exc. 7. hvor X, n, g,δ er konane og poiive. Y K A L ) β X κ, + β + κ K + Y + δ) K L + + n) L A + + g) A X X Exc. 7.. Vi den ekake væk i Solow-modellen med jord i SS er: g ye + g) β β+κ + n ) κ β+κ Sar ud med ligning 3) ide. 92 og en lagged verion 'lagged''en periode ilbage', il forkel fra leade'en periode frem', + ): *: Da x X x L er x X L X L y k A β x κ og y k A β xκ 3)) κ y k A β x κ ) ) β k A x y k Aβ xκ k A x }{{}}{{} +g) β L L +n y ) ) κ k + g) β y k + n y y k I eady ae gælder de adig, a k. Dee udnye: y ) y + g) β y y + n ) y + g) β y + n ) y y + g) β κ +n Huk a produkionfunkionen adig opfylder konan kalafka CRS Conan Reurn To Scale), hvor + β + κ - β + κ. Udrykke kan derfor omkrive il: y ) κ + g) β β+κ β+κ y + n Vi udnyer deniionen for g ye : g ye y y y y y g ye + g) β β+κ Vi a g ye approx er en med ligning4). 94 hine a lna: g y ln + g) β β+κ β ln + g) + κ β + κ β β + κ g + n ) κ ) κ ) κ β+κ 9.8) Omkrivning il approx vækraer, hvor vi udnyer ) κ ] β+κ + n ln + n)) β + κ κ n 9.9) β + κ Bemærk den approkimaive vækrae, ligning 9.9) er en lineariere verion af den ekake vækrae, ligning 9.8). De vil være approx) en for må vækraer, men for ore værdier vil ligning 9.9) afvige væenlig fra den ekake. Af Gouham Jørgen Surendran Side 59 of 86 7. juni 206
9 ØVELSE Exc. 7. Exc. 7..2 Balancere væk? K Y er konan Da K og Y har amme vækrae i SS udnye i opgave ) Krave er opfyld w har amme vækrae om y: Løn indkomandel da y Y L ) w L Y β w y β w βy Lønnen ændre alå med præci den amme fakor om y, da β er konan. Realrenen er konan over id langige) Renen indkomandel: r K da z K Y Y r z r z Da z + z er konan ifølge punk er r konan over id er konan) Vi a realrenen på jord, v, har amme vækrae om Y Jord indkomandel v X Y κ v κy X κ X Y Da κog X er konane, har v amme vækrae om Y. Vi a for n > 0 har v højere vækrae end w : v : g v g Y g y + g n w : g w g y Væken i jord vil være ørre en løn, når n>0 Inuiionen: X mængden af jord) er konan over id. Når n>0 er der ere arbejde il a udnye jorden marginalproduke af jord MP X ) iger aønning af jorden iger v ) Exc. 7..3 Anager n > 0, g 0 eknologiniveau er konan) ˆ ˆ r : fora konan over id w : Den amme vækrae om y Vi bruger approx) g y β β+κ g- κ β+κ n g w κ β+κ n < 0 Hvorfor? MP L pga. n > 0 og g 0 lavere realløn over id. ˆ v : g v g Y g y + g n κ β + κ n + n g v κ β + κ n + β + κ β + κ n β β + κ n > 0 Igen pga. L MP X v MP L w. Der er ingen eknologik væk, å vi udvikler ikke nye eknologi, men ny arbejdkraf, il a udnye jorden bedre, MP X. Omvend er der nu mindre jord pr capia, hvormed MP L Konan kalaafka il K,L OG X, faldende K og L ). Jordejerne bliver relaiv bedre ille if. arbejderne. Jordejerne bliver rigere, arbejdere bliver faigere. Af Gouham Jørgen Surendran Side 60 of 86 7. juni 206
0 ØVELSE 0 Øvele Miderm E4 Vi får give følgende model for en lukke økonomi: Y K H ϕ A L ) β X κ E ε K + K Y + δ) K H + H Y + δ) H L + + n) L A + + g) A R + R E E E R En or model med både ekogen væk kap. 5), humankapial kap. 6), begrænede og udømmelige reourcer kap. 7). 2. Vi anager, a humankapial er uadkillelig fra arbejderne. Mere præci anager vi, a når L iger, da iger humankapial, da H h L. Vi anager, a den repræenaive lille) virkomhed makimere følgende profunkion: Max Π L,K,X,E F K, H, X, E ) w L r K v X u E Føreorden beingelerne il virkomheden er: K H ϕ A L ) β X κ E ε w L r K v X u E Π L β + ϕ) K h L ) ϕ A β L β X κ E ε w 0 w β + ϕ) K h ϕ A β L β+ϕ X κ E ε 0.) Π K H ϕ A L ) β X κ E ε r 0 K r K H ϕ A L ) β X κ E ε 0.2) Π X κk H ϕ A L ) β X κ E ε v 0 v κk H ϕ A L ) β X κ E ε 0.3) Π εk H ϕ A L ) β X κ E ε u 0 E u εk H ϕ A L ) β X κ E ε 0.4) hvilke er hvad vi ønkede. Som idligere, virkomheden anæer/lejer inpu indil marginal omkoningerne il inpu er lig marginalproduke af inpu. 2.2 Indkomandele For a vie indkomandele udnyer vi reulaerne il aønning i delopgave 2.: w L β + ϕ) K h ϕ A β L β+ϕ X κ E ε L Y K H ϕ A L ) β X κ E ε β + ϕ) K H ϕ A L ) β X κ E ε K H ϕ A L ) β X κ E ε β + ϕ r K K H ϕ A L ) β X κ E ε K Y K H ϕ A L ) β X κ E ε v X κ K H ϕ A L ) β X κ E ε X Y K H ϕ A L ) β κ X κ E ε u E ε K H ϕ A L ) β X κ E ε E Y K H ϕ A L ) β ε X κ E ε hvor vi om før har e, indkomandele er konane, og lig inpue ekponen i produkionfunkionen. I kapiel 7 anager vi, a lønindkomandelene, β + ϕ, er 0.6 0.2,κ 0.,ε 0.). Fra kapiel 6 anager vi, a lønindkomandelen ilfalde rå arbejdkraf, A L, og humankapial, H, 50/50. Hence, β ϕ 0.3. Af Gouham Jørgen Surendran Side 6 of 86 7. juni 206
0 ØVELSE Miderm E4 2.3 De følger pr. deniion af y Y L, hvorfor: Y K H ϕ A L ) β X κ E ε L L ) κ k h ϕ A β X E R L L k h ϕ A β X κ ε ER ε L ε+κ) Vi vier hernæ vækraen il R, reourceforbruge af udømmelige reourcer olie): g R lnr lnr ln R E ) lnr ) ε ln R E R ) lnr lnr + ln E ) lnr g R ln E ) E 0.5) Med dee i mene kan vi vier væken il oupu pr. capia ved a udnye ln-ricke, y y y ln y ln y : g y lny lny ln k h ϕ A β X κ ε ER ε L ε+κ) ] ln k h ϕ Aβ Xκ ε ER ε L ε+κ) lnk + ϕlnh + βlna + κlnx + εln E + εlnr ε + κ) lnl lnk ϕlnh βlna κlnx εln E εlnr + ε + κ) lnl lnk lnk ] + ϕ lnh lnh ] + β lna lna ] +εlnr lnr ] ε + κ) lnl lnl ] }{{} E,Eq.0.5) g k + ϕg h + βg ε E ε + κ) ln + n) + lnl lnl ] g y g k + ϕg h + βg ε E ε + κ) n 0.6) 2.4 Vi anager a z K Y k y og q H Y h y om y i SS, og g y g k g h i SS. Dee udnye i Eq. 0.6): er konane i SS. Hence, k og h voker med amme rae ] g y g y + ϕg y + βg ε E ε + κ) n ϕ) g y }{{} βg ε E ε + κ) n β+κ+ε g y βg ε E ε + κ) n β + κ + ε g y g y β β + κ + ε g ε β + κ + ε E ε + κ β + κ + ε n Indæer vi de plauible værdier for paramerene har vi, a: g y 0.3 0.5 g 0. 0.5 0. + 0. E n 0.5 0.6g 0.2 0.005 0.4n 0.6g 0.4n 0.00 0.7) g Den ekogen give eknologike vækrae, g, har en poiiv eek il væken i BNP pr. capia. Inuiion: Som eknologien iger,a, bliver arbejdere mere eeker i a udnye de ilgængelige reourcer. n Befolkningvæken har en negaiv eek il væken i BNP pr. arbejder. Inuiion: For e given X og R, er der ere arbejdere give n > 0) il a udnye jorden. Hence marginalproduke il arbejder falder, MP L. E Reourceforbruge af udømmelige reourcer har en negaiv eek il væken i BNP pr. arbejder. Inuiion: E højere reourceforbrugkvoe kan på kor ig have en poiiv indydele. Men på lang ig vil e højere forbrugkvoe beyde færre reource a kunne gøre brug af. F.ek.: ænk % af 00 lier olie konra 0% af 0 lier olie. Af Gouham Jørgen Surendran Side 62 of 86 7. juni 206
0 ØVELSE Miderm E4 Muligheden for poiiv væk er mulig, å længe væken i eknologi er ilrækkelig høj il a dække de negaive konekvener af knappe reourcer. Fra lign. 0.7) har vi, a en poiiv væk kræver, a 0.6g > 0.4n + 0.00. Burger vi amme n, n 0.0, om i bogen. 203 har vi, a væken er g y 0.6g 0.004 0.00 0.6g 0.005 I bogen har vi, lign 36), a væken i y for amme parameeranageler, a g y 0.75g 0.004 A inkludere humankapial kræver højere krav il væken i eknologi. Hence, humankapial byder il mindre vækopimime. 2.5 Ifølge lign. 0.7), vil en %-poin igning i befolkningvækraen, n, ænker væken i BNP pr. capia, g y, med 4%-poin. I guren ee denne hypoee, hvor man ammenliger g y med n. Hence, g y a + b n, hvor b ifølge modellen kal være -0.4, og a angiver 0.6g 0.00. For a kommenere. hiver vi fa i kogebogen:. Korrek foregn? Ja, foregne på hældningen er negaiv. 2. Semmer eima overen med modellen inden for kondeninervalle, eima 2 d.af v; eima+ 2 d.afv] 95%-kondeninervalle er 0.5 2 0.4; 0.5 + 2 0.4] 0.79; 0.23]. Vore hypoee, -0.4, ligger inden for kondeninervalle. Modellen kan ikke afvie med aiik ignikan. 3. Kommener på forklaringgraden, R2. Hvi over 0,49 er den god læg ikke mege væg i den) Opgaven angiver inde, å vi holder fra a kommenere på dee. 4. Kommener kor anageler a) De beragede lande er eller æ på dere eady ae vækbaner b) Samme eknologike væk, g, og reourceforbrug andel) for de beragede lande. 0.6g 0.00 c) Samme eknike paramere, β, κ ec. i de beragede lande. 5. Problemer med eimaion: Sandardvar fra ØPA: Manglende variabel, Spurio korrelaion, Omvend kaualie 2.6 Den relaive vækopimime i ilfælde af, a befolkningvæken er under konrol, bygger på de ubiuionmuligheder, der ligger indbygge i Cobb-Dougla produkionfunkionen. Som bekend er dee en ubiuionelaicie på. Dee kan anfæge. Ved mindre ubiuionelaicie få ikke en lignende relaiv vækopimime. 2.7 I opgave bliver vi pecik bed om ikke, a vie konvergenkravene. I ede for kal vi vie, a de er e poiiv SS. Vi udnyer før a z z + z og q q + q i SS. Vi indæer før dee i lign. 6) og 7) i opgaveeken: z M K + δ) z) H + δ) q) ϕ z q ϕ 0.8) q M K + δ) z) H + δ) q) ϕ z q ϕ 0.9) Vi dividere de o ligninger for a opnå e forimple udryk for forholde mellem de o ligninger i SS: z q K + δ) z H + δ) q z H + δ) q) q K + δ) z) H z + δ) qz K q + δ) zq H z K q q H K z 0.0) Af Gouham Jørgen Surendran Side 63 of 86 7. juni 206
0 ØVELSE Miderm E4 Vi indæer lign. 0.0) i lign. 0.8) og iolere z: ) z M β+ε+κ δ) z M K + δ) z) H + δ) ) ϕ ) ϕ H z z H z K K M K + δ) z) H K H + δ) H K K H z M K + δ) z) K + δ) z) ϕ z z ϕ β+ε+κ {}}{ z ϕ M K + δ) z) ϕ z M β+ε+κ K + δ) z) M β+ε+κ K ) ϕ H K ) ϕ ) ϕ z H z K z z z M β+ε+κ K M β+ε+κ δ) K M β+ε+κ δ) K E ) ε + n) + g)] β] β+ε+κ δ) ε K β+ε+κ β+ε+κ E ) + n) + g)] δ) β 0.) q kan beemme ved igen a udnyer 0.0) og 0.): q H K q ε K β+ε+κ β+ε+κ E ) + n) + g)] δ) ε H β+ε+κ β+ε+κ E ) + n) + g)] δ) β+ε+κ β+ε+κ For e poiiv eady ae, er de nødvendig a E ) + n) + g)] > δ. 2.8 Traniionligningen Dynamike yem: De der bliver purg il er raniionligningen for z og q. For a vie raniionligningen kal z og q før udlede: z k y q h y k h ϕ A β k h ϕ A β k ) κ ) ε k X E R L L h ) κ ) ε k X E R L L ε β h ϕ h ϕ Jeg vælger her a beemmer z + q + beemme på amme måde): z + K + H ϕ + A +L + ) β X κ E ε + β A β A β β ) κ X E R L L ) κ X E R K Y + δ) K ] H Y + δ) H ] ϕ + g) A + n) L ) β X κ E R + ) ε K Y + δ) K ] H Y + δ) H ] ϕ + g) + n)] β A L ) β X κ E R E R )) ε ] ] ϕ Y K + δ) K Y H + δ) H ϕ + g) + n)] β A L ) β X κ E ) E R ) ε K H ] ] ϕ y y K + δ) H + δ) + g) + n)] β K H ϕ A L ) β X κ E ε ε E ) k h }{{} z ] ] ϕ K H + δ) + δ) + g) + n)] β E ) ε z z q K + δ) z ] H + δ) q ] ϕ + g) + n)] β E ) ε z ) q ϕ z K + δ) z ] H + δ) q ] ϕ + g) + n)] β E ) ε q ϕ z L L ) ε ) ε Af Gouham Jørgen Surendran Side 64 of 86 7. juni 206
ØVELSE Øvele Exc. 8.7 Vi ager nu e ande approach il produkivie ekernalieer. I ede for, a eeken kommer af a arbejdere bruger kapial, anager vi i ede a de fra produkionniveaue: A Y φ.) Vi iger alå a eknologien er poiiv afhængig de aggregerede!) produkionniveau. Hvad kunne være inuiionen bag? Exc. 8.7. Vi den agg. produkion Vi har vore andard CB-produkionfunkion og indæer lign..): Y K A L ) ) K Y φ L Y φ) K L Y K φ) φ) L.2) A vi anager, a φ < / ) ikre a ekponenen på K og L er poiiv, hence poiv kalaafka. Men ummen af ekponenerne i den agg. produkion er >, å der er igende kalaafka mh. K og L. Når φ kan produkionfunkionen omkrive il: Y K L hvor der konan kalaafka il kapial. Bemærk, dee gælder på aggregere niveau. Den enkele virkomhed kan ikke påvirke produkivieniveau, A, hvorfor den enkele virkomhed adig producere mh. il produkionfunkionen Y K A L ), hvor der er konan kalaafka il K og L. Exc. 8.7.2 Vi A + A Vi ønker, a beemme ændringen i eknologi. Vi udnyer def. før lign..) og hernæ.2) A + A, og indæer A + A ) φ Y+ Y ) φ K+ K K+ K φ) L + L ) φ) φ) ) φ φ) + n) φ) φ).3) Af Gouham Jørgen Surendran Side 65 of 86 7. juni 206
ØVELSE Exc. 8.7 Exc. 8.7.3 Vi raniionligningen For a beemme raniionligningen i en emiendogen model, kal age udgangpunk i k + k k +, omkriver å vi har relevane ore variabler, og indæer relevane ligninger: K +/K A k + k + L + A L K+ K K+ K + /K ) K+ φ) K + n) φ) φ) + n) ) φ ) φ) φ) + φ) ) φ φ) + n ) φ) K + n ) ) φ φ) φ) Y + δ)k + n K ) ) φ φ) ỹ φ) + δ) + n k ) φ) ) φ k φ) + δ) + n ) φ) ) φ k k φ) + δ) + n.4) Vi beemme nu SS. Vi udnyer igen af a k k + k. Vi dividere før på begge ider med k : + n + n + n k k + k k ) φ) k k + δ) + δ) + n) φ δ) + δ) ) ) ) φ φ).5) Vi udnyer, ỹ k, og beemmer eekiv oupu pr. capia: ) ỹ + n) φ δ) + n) φ δ) ) Man burde vie konvergenkrav, men vi undlader her. Men vi har fra lign..5), a + n) φ > δ) er e nødvendig!) krav for e poiiv, unik eady ae. Exc. 8.7.4 Vi beemmer vækraen for y y ỹ A, hvorfor y voker med amme rae om A. Hence, y+ y ved a berage A + /A og udnyer lign..): A + A Y+ Y ) φ y+ y Vi har allerede vi, a ỹ er konan i SS, hence. Vi udleder før vækraen i A ) φ ) φ L+ Vi indæer A + /A med y + /y, hvormed vi har: ) φ y + y+ + n) φ y y y + + n) φ φ y Væken må derfor være: y + y y L A+ A y+ g y + n) φ φ y ) φ + n) φ Når φ < vil en højere befolkningvæk øge vækrae i oupu pr. capia i SS. Hence, vi har emi endogen væk, da væken er afhængig af væk i bef. Af Gouham Jørgen Surendran Side 66 of 86 7. juni 206
ØVELSE Reexam V opg 2 Exc. 8.7.5 Endogen væk model I 8.7. beemme vi, a produkion i pecialilfælde, hvor φ, a produkion er: Y K L Vi anager deril, a n 0, ingen bef.væk., hvorfor L L L +, og dermed en paramere. Vi denere A L og kan dermed reducere produkionen il: Y AK A L.6) Uden befolkningvæk og produkionekernalieer indlemme i den agg. produkionfunkion foroven, er modellen lukke med ligningen for kapial akkumulaionen o liginger med o ubekende): K + Y + δ)k AK + δ)k Vi kal beemme væken i produkionen, Y. Vi har dog allerede lign..6), væken i Y er den amme om i K, når n 0. Vi udleder derfor før væken i K i SS: g y K + K K + AK δk K A δ Vækraen i Y, g Y,er dermed A δ. Da vi ikke har befolkningvæk, vil g Y g y g k. Modellen er æ på ækvivalen med AK-modellen fra bogen. Forkellen ligger i deniionen af A. Som i bogen, har vi, a en en or arbejdkraf vil bidrage il høj økonomik væk, og en igende befolkningvæk vil bidrage il en igende og ekploiv væk. Reexam V opg 2 Vi får give følgende model: Y K d ) ) H d ϕ A L d ) ϕ, + ϕ < A K d K H d H L d L ) K L +ϕ H L ) ϕ +ϕ K + K Y + δ) K H + H Y + δ) H, K + H < L + + n) L, n > 2. Dikuér Vi bemærker her, a der a konan kalaafka fra k og h il eknologi A k ϕ+ h ϕ ϕ+ ) φ, hvor φ SAMMENLIGN MED A K φ ) Vi kan relaere il den idligere opgave i 8.3, hvor vi ved kunne konkludere, a man med anagelen om ekernalieer kab af kapial pr. capia undgår cala eeker ekploive økonomi). Der imod ved vi, a befolkningvæk vil have en negaiv eek il væken, da en højere befolkningvæk vil lægge e højere reinveeringkrav il virkomheder på makroplan, da e højer befolkningvæk vil æe krav il den ekierende kapial. If. idligere modeller, har vi nu a humankapial kan have poiiv indvirkning. Inuiiv kan de følge, a arbejder bliver dygigere af arbejde med uddannede folk. Af Gouham Jørgen Surendran Side 67 of 86 7. juni 206
ØVELSE Reexam V opg 2 2.2 Omkriv BNP og BNP per capia Vi omkriver den aggregerede produkion, BNP, il ligning 9): Vi udleder hernæ BNP per capia: Y K H ϕ K H ϕ K L K +ϕ ) +ϕ H L H K H ϕ ϕ) +ϕ K K K +ϕ) +ϕ +ϕ K +ϕ H H + ϕ) +ϕ ϕ +ϕ L +ϕ + ϕ +ϕ ) ϕ +ϕ L ) ϕ ϕ ϕ) +ϕ H H ϕ +ϕ ϕ +ϕ + ϕ +ϕ +ϕ + +ϕ ϕ+ϕ) +ϕ K +ϕ H Y K ν H ν, ν + ϕ Y y Kν H ν L L Kν H ν L ν L ν y k ν h ν + ϕ ϕ) +ϕ L ) ϕ Vi bemærker, a der CRS mh. K og H alene. Ingen cale aec. L er ikke produkiv på makroplan. 2.3 Udled raniionligningen Vi udnyer deniionen x K H x + K + H + KY + δ) K H Y + δ) H KK ν H ν + δ) K H K ν H ν + δ) H KK ν H ν + δ) K H H K ν H ν + δ) K ν K H ν H K ν H ν + δ) x + δ) og leader med en periode: x + Kx ν + δ) x H x ν + δ) 2.4 Udled SS Vi udnyer a x x + x x for a nde SS: x Kx ν + δ) x H x ν + δ) H x ν + δ)] x K x ν + δ) x H x +ν K x ν x x K H For a vie a x konvergere mode e unki og poiiv SS for x 0 > 0, kal følgende beingeler være opfyld, hvor x + f x ): f 0) 0 De er opfyld x + K0 ν + δ) 0 H 0 ν + δ) 0 Af Gouham Jørgen Surendran Side 68 of 86 7. juni 206
ØVELSE Reexam V opg 2 f x ) > 0 Med andre ord x + kal være overal vokende, dx+ dx > 0 Se HJWJ reevejledning) dx + dx δ) Kvx v + δ) + v) H x v H x v + δ)] 2 > 0 lim f x ) > : Den nedre Inada-beingele x 0 Er opfyld Falder mindre end de ande x iger,0 {}}{{}}{ lim f x ) δ) Kv x v + δ) + v) H x v x 2 > 0 lim f x ) < : Den øvre Inada-beingele x Er opfyld lim f x ) δ) Kv x 0 {}}{ x v H x v + δ) }{{} δ {}}{ + δ) + v) H x v -δ < H x v + δ) }{{} } {{ } 2.5 Vi CRS Vi udleder før g k og udnyer il de deniionen g k k+ k k : g k k + K + L k K L + KY + δ) K L + n) L g k K K y + δ) k + n k k ν h ν ] K + δ) + n k K k ν h ν + δ) ] + n + n K k h 2 ) ν + δ)] Vi udleder på amme måde g h og udnyer il de deniionen g h h+ h h 0 : g h h + H + L k H L + HY + δ) H H g h L + n) L H y + δ) h + n h k ν h ν ] H + δ) + n h H k ν h ν + δ) ] + n ) ν k H + δ)] + n h 0 Her vil de være ilrækkelig hvi man har lø for g k, a krive På amme måde følger a gh... Af Gouham Jørgen Surendran Side 69 of 86 7. juni 206
ØVELSE Reexam V opg 2 2.6 Væken i SS Vi udleder vækraen for g k, g h og g y i SS, og udnyer a x k h K H : g k SS : g k g k K x ν + δ) ] + n ) ν + δ)] + n + n + n K K H K ν K ν H + δ)] ν K ν H + δ)] g e Vi udleder på amme måde g h i SS : g h SS : g h g h + n Hx ν + δ)] ) ν K H + δ)] + n H H ν + n K ν H + δ)] ν + n K ν H + δ)] g e For a beemme g y udnyer vi a + g y y+ y og indæer ligning 0): h ν + h ν y + kν +h ν + y k ν h ν kν + k ν + g y + g k ) ν ) + g h ν k+ ) ν h+ k h ) ν Vi udnyer, a g k g h g e i SS, og indæe de i ligningen: + g y + g e ) ν + g e ) ν + g e g y g e 2.7 Væken i SS Modellen har endogen væk, da der vil ekiere væk i økonomi uafhængig af n, og hellere ingen cale eec, om vi ogå forvenede i delpørgmål. 2.8 Empiri De er umiddelbar ud il, a der en ammenhæng mellen vækrae il y og x. Ud fra modellen kunne man have lø il a konkludere, a empirien ikke afvier modellen. Men empirien kunne ligeå god være en foraler for en impel model med ekogen væk. Spurio correlaion, manglende variabel og omvend kaualie IGEN: Her vil de være ilrækkelig hvi man har lø for g k, a krive På amme måde følger a gh... Af Gouham Jørgen Surendran Side 70 of 86 7. juni 206
2 ØVELSE 2 Øvele Lyn E5, del Exc.. Her er de mege prakik a huke ine formler. I dee ilfælde SS-udrykke for BNP pr. capia fra BSM eller GSM når g 0)) Vi har fra den baale Solow-model a BNP pr. capia i SS, hence lang ig er: ) y B. 2.) n + δ Ifølge den baale Solow-model, er BNP pr capia på lang ig poiiv afhængig af opparingkvoen,, oalfakorprodukivieen, B, og negaiv mh. befolkningvæk, n, og depreceringrae il fyik kapial,δ. Og deril afhængig af oupuelaicieen mh. fyik kapial,. E højere B, øger produkivieen for e given niveau af kapial- og arbejdereinpu. Da B er opløfe i, der for plauible værdier er, 5, vil eeken af en igning i B il y vil være mere end :. Hvorfor er den ørre end :? Den føre umiddelbare eek af B er, a arbejder indkom iger : med B B k y. Den højere indkom, fører il den anden eek; den højere indkom øger opparingen/inveeringer ige, y, hence k iger. De højere k vil yderligere øge produkionen og dermed indkom pr. arbejdere, B k y.) E højere, øger kapialakkumulaionen hvilke øger kapial på lang ig og dermed produkionen på lang ig. En højere befolkningvæk øger reinveeringkrave, da den kapiallen i hver periode kal prede imellem ere menneker; i hver periode er kræve a højere inveeringbehov for a bibeholde e given kapialniveau. Ved en højere depricering vil en højere andel af kapialen bliver nedlid. På amme måde om befolkningvæken, vil dee øge reinvereringkrave De nødvendige niveau af inveering for a bibeholde niveaue af kapial.) Exc..2 Vi ager ln il SS-udrykke for BNP pr. capia, lign. 2.): ln y ln B + ln ln n + δ)] hvilke vi kan udnye il a forolke på gur. I gur er e plo af daa fra 65 lande fra 2003, hvor ln il BNP pr. capia, ln y er ploe mod ln ln n + 0, 075), hvilke vi lineær kan krive op ålede: y γ 0 + γ x ln y i 03 γ 0 + γ ln i ln n i + 0, 075)] For a ammenligne vore eoreike udryk for ln y med eimaionen, må vi anager, a; ˆ Økonomierne i 2003 er i SS ˆ Konanen γ 0 er lig ln B. Hence, vi anager, og B er en på vær af lande. ˆ Hældningen γ er lig. Igen er en på vær af lande. ˆ δ +ng) er approx lig 0.075 Give a de anageler holder, må vi fra eorien prædekere a γ 2.Vi kan nu berage eimaionen vi får ikke angive konanen): ln y03 i γ 0 +, 52 ln i ln n i + 0, 075)] 0.4) Vi bruger nu kogebogen il a kommenere:. Korrek foregn? Ja, poiiv foregn for γ om vi prædikerer. 2. Semmer eima overen med modellen inden for kondeninervalle, eima 2 d.af v; eima+ 2 d.afv] 95%-kondeninervalle er.52 2 0.4,.52 + 2 0.4], 24;, 8]. Vore prædikerede værdi for γ, 2, ligger under de kondeninerval. Modellen undereimere eeken fra ln i ln n i + 0, 075)] 3. Kommener på forklaringgraden, R2. Hvi over 0,49 er den god læg ikke mege væg i den) Vi har ikke fåe den angive, å vi undlader a kommenere på den. 4. Kommener kor anageler: Anagelerne er allerede nævn idligere. 5. Problemer med eimaion: Der kan være problmer om mannglende variabel, Spurio korrelaion, Omvend kaualie i eimaionen. Konkluionen er, a vore model må afvie, da den undereimere eeken. Af Gouham Jørgen Surendran Side 7 of 86 7. juni 206
2 ØVELSE Lyn E5, del 2 Exc..3 Spørgmåle relaere il vore kommenar foroven, hvor modellen undereimerer eeker. De pørgmål vi derfor ønker bevare, er om inkludering af humankapial om i bogen, vil ørge for a eeken blive ørre og dermed nærmere empirien). Humankapial i bogen vil prædikeere en højere eek end BSM. Inuiion: I den idligere model vil e højere øge k og dermed y. Med humankapial har vi en yderligere eek efer y iger; den højere indkom øger ogå opparingen il humankapial, H y, hvilke på amme måde om for fyik kapial, vil øge humankapial, h. Den højere humankapial, gør arbejdere mere eekive, hvilke vil øge y yderligere. Hence, modellen med humankapial vil alå prædikere en ørre eek il y. Lyn E5, del 2 Vi får give følgende Solow model for en lukke økonomi med endogen væk: Y BK A L ), B > 0, 0 < < 2.2) ) φ K A, 0 < φ 2.3) L K + Y + δ) K,, δ ]0, 2.4) L + + n) L n 0 2.5) Exc. 2. Forkel i produkivieekernalieer VI forholder o nu produkivieekernalieer i denne model konra den fra bogen: A K φ 2.6) Lign. 2.6): Socken af kapial afgør eknologiniveau. F.ek hvi de er mængden af regnekraf compuer ek.), der afgør eknologien, dv. de er lige mege hvor mange der bruger kapialen. Negaiv indireke eek af andre medarbejder fordi de går i vejen for hinanden. F.ek en upercompuer) Lign. 2.3):Den anden: Hver peron har brug for en vi mængde kapial f.ek. compuere for a kunne udføre i job eekiv. Indireke eek poiiv ekernalie gennem indlæring fra andre pill over il A ). Med den nye burde vi have mulighed for a fjerne den ekploive eek fra kalafkae i den endogene model. Exc. 2.2 Vi har, a virkomhederne producere under produkionfunkionen ), hvor A er age for give. Virkomhederne promakimere da dee pro makimeringproblem: Føreordenbeingelen mh. K og L er: Y max K,L Π BK A L ) w L r K Π K BK A L ) r 0 r BK Π ) BK A L w ) BK A A L ) B k L ) w 0 ) ) B k A L 2.7) 2.8) Aøningen afviger ikke fra vore andard eori fra mikro, MP MC). Vi har da lønindkomandelene, da er denere om rk Y og wk Y for hhv. kapialejere og arbejder: r K BK A L ) K BK A L ) }{{} Y,2.2) og r K Y w L ) BK A L ) BK A L }{{} Y,2.2) w L Y Af Gouham Jørgen Surendran Side 72 of 86 7. juni 206 L
2 ØVELSE Lyn E5, del 2 Uændre fra andardreulaerne har vi, a er den denerende parameer for indkomandele. Hvi empirien vier, a lønindkomandele er 2 3, prædekere modellen a 2 3. Hence, 3. I ord, kunne man argumenere for, a virkomhederne adig arbejder under FK og med CRS, hvilke kal gælde for a zero pro. Under zeropro vil omæning blive brug il a aønne inpufakorerne, hvor 2/3 går il aønning af arbejder. Den reerende andel, /3, går il aønning af kapialejer. Exc. 2.3 Agg. produkion Vi udnyer lign. 2.2) og 2.3). Aggregerede produkion vil være: Y BK BK For a beemme kalaafka berager vi poenerne: K ) ) φ L K φ L ) L φ ) BK +φ) L φ)) 2.9) +φ ) + φ) ) +φ ) + φ ) + Vi har adig CRS mh. K og L, og DRS mh. K eller L φ < ) ækvivalen il den baale Solow model. For den anden cenario udnyer vi lign. 2.2) og 2.6). Aggregerede produkion vil være: Y ) BK K L ) BK K φ L For a beemme kalaafka e berager vi igen poenerne: BK +φ) L 2.0) +φ ) + + φ ) > Vi har nu IRS mh. K og L, men adig DRS mh. K eller L φ < ). Hvorfor ingen emiendogenvæk i modellen med lign. 2.3): For a der ekiere emiendogen væk, kal vi have igende kala afka il K og L. De er åragen il emiendogen væk er påvirke af befolkningvæken!. Inuiion: På mikro plan vil virkomheder, da arbejdkrafen iger med vækraen n, være nødage il a udligne predningeeken, og holder kapial pr. arbejder konan. For a holde den konan inveere de, å de dækker reinveeringkrave. Hence, da k K L er konan, må K ige med vækraen n. I modellen med fra bogen med lign. 2.3), vil dee beyder a A iger, da K iger. Vi har emiendogenvæk, da væk kan blive kab alene ved poiive befolkningvækraer. Men i modellen i denne opgave med lign. 2.6), vil A være konan, da k er konan. Hence, da er ingen emi-endogenvæk, da en befolkningvækrae ikke vil kabe poiiv væk. 2 Exc. 2.4 Vi beemmer raniionligningen vha. lign. 2.4). Vi dividere ligningen med L : For a komme videre kal vi beemme y : K + k + Y + δ) K L + + n) L k + + n y + δ) k ] Y y BK+φ) L L L φ)) BK +φ) L φ) BK +φ) L +φ)) y Bk +φ) Vi indæer dee i ligningen, og vi har dermed raniionligningen: k + ] Bk +φ) + δ) k + n 2 Her har vi dog a + φ ) + ) φ), alå konan kalaafka il K og L Ikke emiendogen væk! Af Gouham Jørgen Surendran Side 73 of 86 7. juni 206
2 ØVELSE Lyn E5, del 2 Exc. 2.5 For a vie a økonomien konvergerer mod e unik og poiiv eady ae, jekker vi om konvergenkravene er opfyld. Die krav er ilrækkelige, men ikke nødvendige, for e unik poiiv eady ae:. Vi, a hvik 0, der er k ; k + ) 0; 0): k + 0 : k + + n 2. Vi a den er overal vokende, alå dk+ dk > 0: dk + dk + n da, δ, φ ]0; 3. Vi a dk+ dk k < 0: da, δ, φ ]0; dk 4. Vi a lim + k 0 dk > : dk + dk k + n dk + lim k 0 dk ] B0 +φ) + δ) 0 0 +φ )] Bk +φ) } {{ } >0 + δ) > 0 }{{} >0 +φ )] +φ ) ] Bk +φ) 2 < 0 }{{} 0> + n <0 {}}{ +φ ) +φ )] Bk + δ) > } {{ } }{{} >0 dk 5. Vi a lim + k dk < : dk + lim k dk + n <0 {}}{ +φ ) +φ )] Bk + δ) δ + n < } {{ } 0 da δ ]0;. Som de ide punk er nu a vie de unikke poiive SS ved a udnye k k + k i SS og iolere k i ran.ligningen: k ] Bk +φ) + δ) k + n + n) k Bk +φ) + δ) k n + δ) k Bk +φ) k φ) B n + δ k φ)) B n + δ k k B φ)) ) φ)) n + δ Vi kal hernæ vie BNP pr. capia. Her udnyer vi, a vi allerede kender y k : ) ] +φ) y B B φ)) φ)) n + δ +φ) + B φ)) B φ))++φ) φ)) B ) φ)++φ) φ)) y B φ)) ) +φ) φ)) n + δ n + δ n + δ ) +φ) φ)) n + δ ) +φ) φ)) ) +φ) φ)) 2.) Af Gouham Jørgen Surendran Side 74 of 86 7. juni 206
2 ØVELSE Lyn E5, del 2 For både k og y gælder, a de begge er konane i eady ae, og ikke følger en eady ae bane med konan vækrae. Hence, mege lig den baale Solow model, prædekerer modellen a die er konane i eady ae. Exc. 2.6 For a beemme elaicieen udnyer vi ln-ricke: f x) x x f x) ln y ln x ln y x x For vore model ønker vi a beemme elaicieen af SS for BNP pr. capia, y, mh. opparingkvoen,. Vi ager før lnil lign. 2.: ln y og diereniere mh. ln for a beemme elaicieen: +φ ) ln B + ln ) ln n + δ)] φ) ) φ) ) ln y ln +φ ) φ) ) ) 2.2) Vi er, a når φ ]0; vil ælleren iger og nævneren falde. Hence, elaicieen iger mh. φ. Inuion: Som vi bemærkede i opgave 2.2, er A i denne model afhængig af k. Her konkluderede vi, a der ingen emi-endogen væk er, da k er konan i SS elv med n > 0. Opparingkvoen,, kan ikke ændre på dee reula, men kan påvirke SS. E højere, jo højere SS-niveau af k. Hence, A iger, da k iger. Når iger for e given og en økonomi i SS inveeringer, y, er lige reinveeringkrave, n + δ) k ). Økonomien vil nu parer mere op, og derved inveere mere end reinveeringkrave, y > n + δ) k, hvorfor kapial pr. arbejder for næe perioden,k +, vil ige. I de eferfølgende periode vil uligheden adig gælde, men forkellen mindre. Hence, vi konvergere mod e ny og højere SS for k. De højere k i SS, øger produkivieekernalierne og dermed A. I BSM og GSM har vi, a φ 0. Hence, elaicieen for y mh. er: ln y GSM ln hvilke for 3 er lig 2. Dee vil være mindre end Lign. 2.2), da vi anager φ ]0;. A den er mindre kylde manglen på den ide eek Højere k i SS, øger produkivieekernalierne og dermed A.) Exc. 2.7 Vi anager nu a φ. Vi vier før den aggreerede produkonniveau fra lign. 2.9): Y BK +φ) L φ)) BK + L 0) BK 2.3) Vi bemærker, a vi har CRS mh. K og ogå CRS mh K og L ). Vi ønker endvidere a beemme g y. Vi beemme da y : y Bk 2.4), hvor vi bemærker a vækraen i g y må være lig g k. Deril da A k, må g A g k. Vi inder, a vi kan udnye lign. 2.4): K + Y + δ) K Vi udnyer lign. 2.4): k + k + Y + δ) K L + n) + n y + δ) k ] + n Bk + δ) k ] + n B + δ] k Vi udnyer dee, il a vie væken g y g A g k k+ k k : g y k + k k g y +n B + δ] k k k B n δ] + n Af Gouham Jørgen Surendran Side 75 of 86 7. juni 206
2 ØVELSE Lyn E5, del 2 hvilke angiver, a g y g A g k er konan i SS. Vi bemærker, a der kan være væk i modellen elvom n 0, hence mulighed for æge endogen væk. Da vi allerede for modellen har anage, a B > n + δ og dermed B > δ, vil væken være reng poiiv. Skalaeek: Nej, væken ændrer ig ikke, hvi L iger i en enkel perioder. Ekkploiv væk: Nej, vækrae, g y, er konan elvom n > 0. Exc. 2.8 Vi udnyer nu iede anagelen om produkivieen er beem om i lign. 2.6). Dermed implicere udrykke for produkionen lign. 2.0) når φ : Da vi anager n 0, kan de implicere il: Y BK + ) L BK L Y BK L Vi bemærker, a modellen har CRS mh. K, men IRS mh. K og L. Vi ønker ogå for denne model a beemme g y. Vi beemme da før y : y BL k 2.5) Da BL er konan, har vi igen, a vækraen i g y må være lig g k. Vi inder igen, a vi kan udnye lign. 2.4): Vi udnyer lign. 2.5): K + Y + δ) K k + Y + δ) K L y + δ) k k + BL k + δ) k BL + δ) ] k Vi udnyer dee, il a vie væken g y g A g k k+ k k : g y k + k k BL + δ) ] k k g y BL δ Vi bemærker, a der ogå here kan være væk i modellen elvom n 0, hence mulighed for æge endogen væk. Men: Skalaeek: Ja, væken iger for alle perioder, hvi L iger i en enkel perioder. Ekkploiv væk: Ja, vækrae, g y, vil ige med i hver periode, hvi n > 0. Hvad aler for og imod de o modeller i opgave: A k Vi har æge endogen væk uden kalaeek eller ekploiv væk. Men produkionfunkionen angiver, a arbejdkraf er uprodukiv, Y BK, hvilke ikke virker plauibel. A K Vi har æge endogen væk, men lider af kalaeek eller ekploiv væk. Men produkionfunkionen angiver dog her, a arbejdkraf er produkiv. k Af Gouham Jørgen Surendran Side 76 of 86 7. juni 206
3 ØVELSE 3 Øvele Exc. 9.5 Før og fremme forå hvad ρ er: A + A ρa φ L λ, 0 < φ <, λ < Y BK L De man kal inde er, a ρ er en produkiviefakor i R&D-ekoren. Fakoren bekriver produkivieen af de ekierende inpu fakor, om her den ekierende ok af eknologi, A, og arbejdkraf il R&D ekoren,l λ. Exc. 9.5. Eeken il væk i eknologi når fakoren ρ iger I en model med R&D ekor, hvor idéer er begræne φ < ), har vi emiendogen væk, da væken i SS er g e + n) λ φ, alå kun ved ekien af poiiv befolkningvæk er der væk il økonomien. Vi har a væken i periode, hvor økonomien er i Seady ae, er g g e + n) λ φ, og i den eferfølgende periode + iger produkiviefakoren i R&D-ekoren,ρ, permanen il ρ > ρ, om ikke påvirker SS. For a beemme ændringen i mellem de o hinanden følgende periode beemmer vi g + om fk. af g, hvor: g A + A A ρa φ L λ Vi dividerer g + leader med en periode, og eraer ρ med ρ ), med g : g + g ρ A φ + Lλ + ρa φ L λ ρ ρ A+ A ) φ L+ Vi i den fuldkommen opæning af modellen a vækrae for A er + g og L er +n. De indæe: g + ρ ) + g A φ ρ g + n) λ Bemærk a vi nu har raniionligningen for g, væken i eknologi, hvi ρ ρ. De er vigig a nævne, a der er o raniionligninger i modellen fyike kapial og eknologik væk), og ikke blo en om vi idligere har anage. Til forkel fra modellen med humankapial kap. 6), kan den ene være i SS uden den anden er i SS!). For a beemme g udnye af g 0 g e : Da ρ > ρ er g > g e g 0 L g ρ ρ + g e) φ g e + n) λ ) ρ + n) λ φ φ ge + n) λ ρ ρ ρ + n) λ g e + n) λ g ρ ρ g e Exc. 9.5.2 Eeken i raniionligningen Vi har a væken i SS er uberør og raniionligningen, der bekriver konvergenen i væken for eknologi ligelede. Men fra raniionligningen har vi har den er uberør, hvilke alå emme overen: g + + g A ) φ g + n) λ I perioden iger ρ, hvormed R&D ekoren er bleve bedre mere produkive, alå man kan med den ekierende viden og arbejdkraf opdage mere viden end før. Alå væken i eknologi iger mere end før, g > g 0. I næe periode har vi adig den højere produkivie, men den højere eknologiniveau gør a de er bleve være a nde nye idéer hing-ou), å væken er mindre end i perioden før, men højere end i SS, g > g 2 > g 0. Den idenævne proce foræer indil SS. ) λ Af Gouham Jørgen Surendran Side 77 of 86 7. juni 206
3 ØVELSE Miderm F4 Opg. 2 Exc. 9.5.3 Hvad er eeken il væken i BNP, og er hvordan er BNP pr. arbejder påvirke og forbrug): I SS kal de adig) gælde a væken i BNP pr. eekive arbejder ỹ er konan Da y ỹ A må y voke med amme vækrae om A, g e væken er uændre. Men niveaue er nu anderlede. Igen kan vi age udgangpunk i y ỹ A ; Væken er uændre, men A er de nye ρ haf en højere væk, g > g 0, end i perioderne efer, å den er lande på en højere vækbane. Ligelede er y ogå lande på en højere væk bane, y n + g e + δ + ng e ) ) R ) λ φ ρ R g e φ L λ φ Forbruge er denere om c )y. Da huholdninger forbruger en fa andel af indkomen, vil væken i forbrug være den amme om y, og vil ogå foreage amme konvergen il en højere SS vækbane. Exc. 9.5.4 Nu har vi en ny iuaion hvor φ, alå afkae fra eknologi il nye idéer er konan, alå der ikke længere en hing-ou-eec, alå oplever eknologi nu udelukkende anding-in-houlder, alå poiiv eek il væken: g A + A A ρa L λ A ρ R L) λ g e konan) ρ har nu beydning, og vil øge væken for eknologi permanen, hvilke ogå vil være ilfælde for væken i y. Men hvorfor forbliver eeken? Den kylde den konane kalafka, hvor der ikke længere er negaiv eek fra hing ou. Eeken, der gjorde idligere a g 2 < g er ikke længere il ede og fakik vil g < g 2. Bemærk her a en højere R vil bidrage poiiv il væken men de er ogå ilfælde ved emiendogen væk, men kun on impac) Miderm F4 Opg. 2 Vi har modellen Y K A L Y, 0 < < 3.) ) A + A ρa φ LA, ρ > 0, 0 < φ 3.2) L K + Y + δ) K, 0 <, δ < 3.3) L + + n) L, n 0 3.4) L Y + L A L 3.5) L A R L, 0 < R < 3.6) 2. Vi anager den repræenaive lille) virkomhed i forkningekoren har produkionfunkionen: a ρa φ L A 3.7) hvor a er anal idéer i idpunk. Deril har vi, a ændringen i eknologik niveau er poiiv afhængig af analle af nye ideer og negaiv af befolkningørrelen /økonomien): A + A a L 3.8) Vi udnyer indæer ligning 7) i 8) vier ændringen i eknologik niveau, A + A : A + A ρaφ L A L ρa φ Vi udnyer hernæ ligning 2) og deniionen fra ligning 6), og vier a den eknologike ændring kan bekrive uafhængig af arbejdkraf, L L A L A + A ρa φ R L L A + A ρa φ R 3.9) A og R påvirker ændringen i eknologik niveau poiiv. Ved φ < er der faldende marginal afka fra A. Inuiion: Jo højere A, jo højere anding-on-houlder-eek, men der vil være e faldende marginal afka pga. hing-ou-eek De vil forvene af jer il ekamen, a i forklare begge eeker). Jo ørre R, jo ørre en andel af befolkningen er ilknye forkningekoren. For inuiionen er de eeniel hvad ændringen i R kylde. E igning kan kylde e højere L A eller lavere L. Førnævne beyder, a der abolu er ilknye forkningekoren, og der opdage ere idéer, a a L, idnævne beyder a predningen af nye idéer er mindre ræg L a L. Af Gouham Jørgen Surendran Side 78 of 86 7. juni 206
3 ØVELSE Miderm F4 Opg. 2 2.2 Vi udnyer a væken i eknologi kan krive g A+ A A og dividere ligning 0) med A : g A + A A ρa φ R 3.0) φ < : Der vil ikke kunne ekiere endogen væk. Vi bemærker, a der for ehver given reng poiiv A, vil ligning 9), A + A, være poiiv og monoon vokende, hvorfor lima. Dermed vil limg 0 i. ligning 0), da A er opløfe i en negaiv ekponen. Inuiion: Her er de igen hing-ou-eeken; ere og ere idéer bliver opdage/opfunde, hvilke ømmer øen for idéer. Hence, der bliver værere a opnde jo ørre A bliver. φ : Der vil kunne ekiere endogen væk, hvilke vi kan e direke fra ligning 0), da: g e ρa R ρ R 3.) Inuion: Der ikke længere en hing-ou-eek, hence øen kan aldrig udømme. 2.3 Vi eekiv BNP pr. capia Vi udnyer deniionen for ỹ Y A L, og indæer produkionfunkionen: ỹ Y A L k K ) A L Y A L A L R ) L L ) ) ỹ k R ) 3.2) 2.4 Traniionligning Vi beemmer raniionligningen ved a udnye deniionen k K A L og leader med én periode. Hernæ indæe ligningerne for K +, A + og L +. Vi har yderligere anage, a φ, hence fra delopgave 2.2, lign. ) har vi, a væken i eknologi er konan og g g e : k + K + A + L + Y + δ) K + g ) A + n) L ỹ + δ) + g e ) + n) k ] k R ) + δ) + g e ) + n) k ] 3.3) hvor ligning 2) er udnye i ide udledning. 2.5 Seady ae For a vie, a der ekiere e unik poiiv eady ae vie, a de ilrækkelige, men ikke nødvendige, konvergenkrav er overhold:. Vi, a hvi k 0, der er k ; k + ) 0; 0): k + 0 : k+ 2. Vi a den er overal vokende, alå d k + d k > 0: 3. Vi a d2 k+ d k d k < 0: d k + d k ] 0 R ) + δ) 0 0 + g e ) + n) ] k R ) + δ) > 0 + g e ) + n) d 2 k + d k d k ) k R ) < 0 + g e ) + n) d k 4. Vi a lim + > : k 0 d k <0 {}}{ d k + lim +g k 0 d k e)+n) k R ) + δ) > }{{} Af Gouham Jørgen Surendran Side 79 of 86 7. juni 206
3 ØVELSE Exc..2 Pariel og generel ligevæg i eecien lønning d k 5. Vi a lim + < : k d k d k + lim k d k + g e ) + n) <0 {}}{ k R ) + δ) }{{} 0 δ + g e ) + n) < hvilke er opfyld, da δ ]0; og n > 0. For a beemme eady ae udnyer vi raniionligningen og a k k + k i SS: k k R ) + δ) + g) + n) k ] + g + n + ng) k k R ) + δ) k g + n + ng + δ) k k R ) k g + n + ng + δ R) ] k k R ) 3.4) g + n + ng + δ Vi udnyer lign. 2) il a beemme eekiv BNP pr. arbejder i SS: ỹ ỹ g + n + ng + δ g + n + ng + δ ] ) R ) R ) ] R ) 3.5) 2.6 Seady ae vækbane for BNP pr. arbejder Vi udnyer deniionen y A ỹ, og når ỹ konvergere mod i SS, må y konvergere mod i SS væk bane, da g g e konan). Under de beingelerne kan vi: ] y A ỹ A 0 + g e ) R ) g + n + ng + δ ] A R ) g + n + ng + δ 2.7 Pr. deniion er k k A og y ỹ A. Hence, da k og ỹ er vi konan i SS, må de begge voke med amme vækrae om A, hvilke er den konane endogene) vækrae g e. Fra ligningen ) har vi, a g e ρ R 3.6) hvilke lider af kalaeek, da den er upåvirke af L 0. Deril fra BNP udrykke fra 2.6 har vi, a BNP pr. capia ikke er påvirke af e højere iniialniveau af arbejdkraf, da den er uafhængig af L. 2.8 Vi anager a økonomien er i SS. Hvi R iger, vil dee ifølge 2.6 ænke påvirke SS niveaue for BNP, hence en negaive eek på kor ig. Dee kylde, a der nu er færre arbejdere ilknye produkionen. Men den ørre andel af forkere påvirke vækraen i SS poiiv, da der nu er en ørre andel ilknye il a øge produkivieen il forkning. Hence, på kor ig have vi en negaiv eek af R, men på ilrækkelig) lang ig vil økonomien være bedre ille, da den højere vækrae i alle periode) mere end kompenere for falde iniial. Exc..2 Pariel og generel ligevæg i eecien lønning Der berage en repræenaiv virkomhed med fælgende revenue funkion: zraw)l) a ) Af Gouham Jørgen Surendran Side 80 of 86 7. juni 206
3 ØVELSE Exc..2 Pariel og generel ligevæg i eecien lønning Exc..2. Føre orden beingelen for virkomheden Virkomheden pro er FOC er da: Ud fra de kan vi beemme Solow-beingelen; Π zraw)l) w L Π w zr aw )L)a w )L L 0 Π L zr aw )L)aw ) w 0 zr aw )L)a w )L zr aw )L)aw ) a w ) aw ) a w )w aw ) L w w a w )w aw ) daw ) dw w aw ) Alå de er elaicie il a fra w. Her udnye vi ln-di: Lønnen kal derfor være daw ) dw w aw ) dlnaw )) dw w dlnaw )) dw w lna) ηln w v) lnv)) η w v w ηw w v w η) v w v η 3.7) Exc..2.2 Lønningen udfra dagpengeaen w u)w + ucw η u c))w η udnye a de er en repræenaiv virkomhed, hvormed ww kan vi beemme arbejdløheden u økonomien: w u c))w η η u c) u c) η u η c 3.8) η er elaicieen for produkivieen if. w'. Jo højere elaicieen, jo højere vil produkivieen iger ved % af w'. Firmaer vil derfor have mere inciamen il a anæe ere. Derfor vil ledigheden falde, hvilke udrykke ogå gør. c angiver haigheden for a anae bliver afa. De hurigere folk bliver udkife, de højere arbejdløhed. Af Gouham Jørgen Surendran Side 8 of 86 7. juni 206
3 ØVELSE Exc..2 Pariel og generel ligevæg i eecien lønning Exc..2.3 Vi har funder den opimale løn å dee indæe. a v η v v ) η ) η η η η ) η η ) η η 3.9) η Ligevæglønnen: Vi får give fælgende L L u ) Ligning 2 og L indæe: w zr a L)a ) η ) η η η w zr L u )) η η Exc..2.4 Produkivieena i eady Sae Vi berager ligning 5) Da vil ingen Exc..2.5 er C\η 0,0 0,02 0,8 0,05 0, 0,5 0,02 0,04 0,2 0,025 0,025 0 0,0 0,02 Tabellen vier ændringer i if. må ændringer for c og η. Dee giver ogå mening if. empirien, med en arbejdløhed på ca. 2-5%. Exc..2.6 Parielle virkomhed lønæning Vi har v u c)) w η ) c) c v η) w w a η)w ) w w 0, 02) w w 0, 98w w 0, 98w Dermed kal virkomheden æe en løn, der er 0,98% af lønnen på reen af markede. De ikke om realiik af produkion vil være højere en 0, hvi lønnen kun udgør f.ek. 99% af ligevæglønnen. Af Gouham Jørgen Surendran Side 82 of 86 7. juni 206
4 ØVELSE 4 Øvele Exc..8 Virkomheden profunkion er: π τ)p Y i n p i ) w i τ)w i v) η Exc..8. Lø virkomheden makimeringproblem og lø de mh. w i, lønnen om virkomheden æer!): max w i π τ)p Y i p i n ) w i τ)w i v) η π i τ)p Y ) i τ)w i v) η η τ)w i v) η w i 0 w i n 0 τ)w i v) η η τ)w i v) η w i τ)w i v) η η τ)w i v) η w i w i + η τ)w i v η τ)w i v) w i τ)w i v + η τ)w i w i τ) η) v w i v τ) η) Lønen er poiiv afhængig af kaerae,τ w 4.) Inuiion: τ iger : mindre arakiv a arbejde dv. mindre forkel mellem w i der bekae) og alernaive, ouide opion v,der ikke bekae) mindre arakaiv a blive arbejdlø medarbejder er villige il a hirke, a virkomheder hæver w i for a hæve produkivie op, a. Exc..8.2 Beem u Vi har ouideopion er beem om: v ucw + u) τ)w hvor vi udnyer a alle virkomheder år med amme makimeringproblem, hvormed w i w, hvor id nævne er lønnen på markede!). Vigig og eeniel anagelee for a beemme den rukurelle ledighed. Dee indæe i udrykke for w i, lign 4.): Vi iolere u i udrykke: w ucw + u) τ)w τ) η) uc + u) τ) τ) η) τ) η) uc + u) τ) τ) η) τ) uc u τ) τ) η uc + τ) τ) η u τ c) u u η τ) τ) c τ' påvirkning af u nde: u τ η τ) c) η τ) ) τ) c) 2 ηc τ) c) 2 > 0 Af Gouham Jørgen Surendran Side 83 of 86 7. juni 206
4 ØVELSE Exc. 2.4 Inuiion: τ iger, virkomheder øger den lønnen amme inuiion om.8) Højere omkoninger for virkomheder Virkomheder har færre anae u falder. Exc..8.3 Bekae dagpenge Dagpenge bekae nu ogå. Som arbejder forholder man ig nu il ikke længere il τ) w >< b, men τ) w >< τ) b w >< b, om vi er i bogen. Ouide opion er nu: De indæe i udrykke for lønnen, lign 4.): Samme udryk om model i bogen uden ka. v u τ)cw + u) τ)w uc + u)] τ)w u c)) τ)w w u c)) τ)w τ) η) u c)) η) η u c) η u c) u η c Årag: De er den relaive forkel mellem w τ) og b τ), der beyder noge for nyen. τ er en ekogen given konan og en for løn og dagpenge. Exc. 2.4 Exc. 2.4. Vi unyer 8) og 9) ide 338: Fagforeningen makimerer L d ) Y w i n τ) w i + a v {}}{ bekf.fradrag ) Y w i n mh w i. Vi ager ln: Diereniere mh. w i : ) ln τ) w i + a v) ln lnw i + ln Y n ) w i w i τ τ) w i + a v 0 w i v a τ, > Årag: T w i, da når T iger lavere w efer ka a w i, fagforening vil nu hellere have højere løn elvom de medgører højere ledighed. Hvi ledig nu, å mier man mindre i fradag, Af Gouham Jørgen Surendran Side 84 of 86 7. juni 206
4 ØVELSE Exc. 2.4 Exc. 2.4.2 Indæe i w fra opg., og man får Udny a u-e) Bemærk: w i w v ub + u) τ) w + a] w u b a) u.τ e) w b a) e).τ e) e) > 0 e) > 0 e < e a lavere inercep lønkurven nedad højere e u T højere inercep lønkurven opad lavere e u Exc. 2.4.3 INdæer prikurven m P Sikre a ledigheden, u, ] Beingele: m ) P 2 b a) < Da m P τ i lønkurven m P u >, hvor mp > m P ) 2 > m P, må da > kalere ned Parielle aflede u u b a).τ ) m P τ b a) m P b a) < poiiv nævner) τ u > u > lnu ln ln m P lnu τ lnu a > 0 > 0 τ ) b a) Exc. 2.4.4 Hin: dlnu lnu τ dτ + lnu da ) a da w dτ, w da m P dτ m P Af Gouham Jørgen Surendran Side 85 of 86 7. juni 206
4 ØVELSE Exc. 2.4 De indæe i : dlnu dlnu dτ dτ }{{} + dτ + dlnu da m P dτ ) dlnu + dlnu } dτ {{ da m P } kal være -, hvi dlnu < 0 Indæ udryk fra opg. 3) ) m pb a) m p τ b a) τ m P b a) τ dee er opfyld i model jf. opg. 3, dv. hæv τ og a, å falder u, ere i arbejder, lavere løn bedre for fagforening < 0 < Af Gouham Jørgen Surendran Side 86 of 86 7. juni 206