3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det bestemte integrale anvendes bl. a. ved bestemmelse af areal, rumfang, buelængde, tyngdepunkt og inertimoment. Det ubestemte integrale handler om at bestemme/beregne en stamfunktionen til den første afledede af en funktion. 3.. Definition Ved en stamfunktion F til en funktion f forstås en funktion, der har f som afledet funktion. det vil sige, at F (x) = f (x) Integreres begge sider af lighedstegnet fås Ovenstående definitioner kan bruges i det følgende
Eksempel Vi har funktionen y = x + 3x 7 Vi differentierer funktionen og får y (x) = f (x) = x + 3 Dvs. stamfunktionen til x + 3 er = (x + 3) dx = x + 3x + k Som ses får vi stamfunktionen F(x) = x + 3x + k Men hvad betyder konstanten k? Den burde jo være 7. 3..4 Sætning Lad f være en funktion og lad Fvære en stamfunktion til f. Da har f uendelig mange forskellige stamfunktioner, idet alle funktioner af typen F + k, hvor k R, er stamfunktioner til f. Lad os skitsere stamfunktionen vha. Geogebra.
Som ses af ovenstående har vi lige netop den originale stamfunktion når konstanten k = 7. Som ses er der faktisk uendelig mange muligheder. Konstanten k jo varieres op og ned med en ny stamfunktion til følge. 3
3..5 Tabel - Stamfunktioner Funktion f (x) Stam f unktion F(x) 0 k x + k α αx + k x x + k x 3 x3 + k x n,x n + xn+ + k x,x 0 3 x x + k, x 0, x 0 ln x + k,x 0 x x, x 0 x + k, x 0,x > 0 x + k, x > 0 x a x lna ax + k e x e x + k 3..9 Øvelse Vis, at nedenstående funktion F er stamfunktion til funktionen f. F(x) = 4 x + f (x) = 8x (x + ) 4
Løsning Vi bruger definitionerne F (x) = f (x) Vi differentierer F(x) for at beregne F (x) = f (x) og sammenligne Regel4 på side 96 i Bog bruges F (x) = f (x) = (x + ) 0 ( 4)(x) 8x (x + ) = (x + ) 3..0 Øvelse Bestem samtlige stamfunktioner til hver af følgende funktioner. a) f (x) = 0 b) f (x) = 6 c) f (x) = 3x 3 d) f (x) = x 6 e) f (x) = 4x 9x + 3 f ) f (x) = x Løsning a) f (x) = 0 Vi starter med definitionerne F (x) = f (x) 5
F(x) = 0 dx = 0 + k = k b) f (x) = 6 F(x) = 6 dx F(x) = 6x + k c) f (x) = 3x 3 F(x) = (3x 3) dx F(x) = 3 x 3x + k d) f (x) = x 6 F(x) = x 6 dx F(x) = 7 x7 + k e) f (x) = 4x 9x + 3 6
F(x) = (4x 9x + 3) dx F(x) = 4 x3 3 9x + 3x + k f ) f (x) = x F(x) = F(x) = x + F(x) = x dx x dx = x dx + + k = x 3 3 + k = 3 x 3 + k F(x) = 3 x 3 + k= 3 x x + k 3.. Øvelse Bestem stamfunktionerne til hver af følgende funktioner a) f (x) = a b) f (x) = αx + q c) f (x) = x 4 + x 3 x + x- d) f (x) = (3x 6) g) f (x) = x 3 h) f (x) = e x + 3 7
Løsning: a) f (x) = α F(x) = α dx = αx + k b) f (x) = αx + q F(x) = (αx + q) dx = α x + qx + k c) f (x) = x 4 + x 3 x + x F(x) = (x 4 + x 3 x + x ) dx F(x) = 5 x5 + 4 x4 3 x3 + x x + k d) f (x) = (3x 6) Lad os først bestemme integralet vha. GeoGebra på følgende måde: Integral[(3x 6) ] giver følgende 8
3x 3 8x + 36x + c Konstanten i GeoGebra er åbenbart c i stedet for k som vi brugte. F(x) = (3x 6) dx F(x) = (9x 36x + 36) dx F(x) = 9 3 x3 36 x + 36x + k F(x) = 3x 3 8x + 36x + k g) f (x) = x 3 h) F(x) = x 3 dx = x 3 dx F(x) = x 3+ 3 + + k = x + k = x + k f (x) = e x + 3 F(x) = (e x + 3) dx F(x) = e x + 3x + k 9
3.. Øvelse Om en funktion oplyses, at f (x) = 6x + 6x + 3 og f (0) = Bestem regneforskriften for f. Løsning: f (x) = 6x + 6x + 3 f (0) = F(x) = (6x + 6x + 3) dx F(x) = 6 x3 3 + 6x + 3x + k = x3 + 3x + 3x + k Vi finder konstanten k ved at bruge f (0) = = (0) + 3(0) + 3(0) + k k = Indsættes konstanten fås stamfunktionen F(x) = x 3 + 3x + 3x + 3..3 Øvelse Bestem stamfunktionerne til hver af følgende funktioner. a) f (x) = x x b) f (x) = x 3 + x 3 c) f (x) = x + x (6x 9) d) f (x) = x 3 0
Løsning: a) f (x) = x x = x x = x + = x 3 = x 3 dx F(x) = x 3 + 3 + + k = x 5 5 F(x) = 5 x 5 + k + k b) f (x) = x 3 + x 3 F(x) = (x 3 + x 3 ) dx F(x) = x4 4 + x + k = x4 4 x + k c) f (x) = x + x F(x) = ( x + x ) dx F(x) = (x + x ) dx F(x) = x + + + x + + + k
F(x) = x 3 3 + x + k F(x) = 3 x 3 + x + k d) f (x) = F(x) = (36x 08x + 8) x 3 (6x 9) x 3 dx = (36x 08x + 8) x 3 dx F(x) = (36x 08x + 8x 3 ) dx = (4 x x + 9x 3 ) dx F(x) = 4ln(x) x + 9x + k F(x) = 4ln(x) + x 9 x + k F(x) = 8ln(x) x + 4x 9 x + k 3. Det bestemte integral og arealberegning Arealet under en kurve findes vha. sætningen nedenunder. 3.. og 3..4 Fundamentalsætningen Lad f være en positiv funktion i intervallet I = []a;b]. Arealet A M af området M mellem grefen for f og x aksen i intervallet I er givet ved A M = b a f (x)dx = F(b) F(a)
Eksempel: Vi skal finde arealet af området der er begrænset af funktionen f (x) = x + 4, x [0; ] og x-aksen. Løsning: Vi skitserer funktionen vha. GeoGebra og beregne arealet ved at bruge kommandoen Integrate[ f (x), 0, ] Lad os beregne arealet vha. fundamentalsætningen A M = b a A M = [( 3 3 f (x)dx = F(b) F(a) A M = 0 ( x + 4)dx A M = [ x3 3 + 4x] 0 + 8) (0)] = 6 3 = 5.33 3
3..6 Regneregler for bestemte integraler Lad f og g være kontinuerte funktioner i intervallet [a;b] og lad c være et reelt tal.. b a ( f (x) + g(x))dx = b a f (x)dx + b a g(x)dx. b a ( f (x) g(x))dx = b a f (x)dx b a g(x)dx 3. b a c f (x)dx = c b a f (x)dx 4. b a f (x)dx = a b f (x)dx 3..9 Øvelse Beregn følgende bestemte integraler a) A M = 3 (x 7x + )dx b) A M = 8 (x3 + 5x )dx Løsning: Vi bruger fundamentalsætningen a) A M = [ ( )3 3 A M = 3 (x 7x + )dx 7 ( ) A M = [ x3 3 7x + x] 3 + ( )] [ ( )3 3 A M = [ 9 6 ] [ 6 6 ] = 38.67 7 ( 3) + ( 3)] 4
Vi kan nu kontrollere vha. GeoGebra ved at bruge kommandoen Function [ ] for at indsætte funktionen i mellem -3 og - og beregne arealet vha. kommandoen Integrate[f(x),-3,] b) Kontrol vha. geogebra A M = 8 (x3 + 5x )dx A M = [ x4 4 + 5x x]8 A M = [ 84 4 + 5 64 8] [ 4 + 5 ] = 74.5 5
3..0 Øvelse (lidt modificeret udgave) Bestem arealet af funktionen f (x) = x, x [0;4] vha. fundamentasætningen og kontroller resultatet vha. GeoGebra Løsning: A M = 4 0 ( x)dx A M = 4 0 x dx = [ x + + ]4 0 A M = [ 4 3 3 ] [0] = 4 3 3 6 = 5.33
Kontrol vha. GeoGebra 7
3.. Øvelse Beregn følgende bestemte integraler a) 7 5 dx b) 3 x dx c) d) x3 dx e) 9 x dx x dx Løsning: a) A = 7 5 dx A = [x] 7 5 = [7] [5] = b) A = 3 x dx A = [ x ]3 = [3 ] [( ) ] A = 5 =.5 c) A = x dx A = x dx A = [ x + + ] = [ x ] A = [ ] [ ] = = 0.5 8
d) A = x3 dx A = [ x4 4 ] = [4 4 ] [( )4 ] = 0 4 e) A = 9 x dx A = 9 x dx A = [ x + + ]9 = [x A = [ x] 9 = [ 9] [ ] = 4 ] 9 3.. Øvelse Linien y = 8 og grafen for funktionen y = x 3 samt y-aksen afgrænser et område i. kvadrant. Beregn arealet af dette område. Løsning: Vi løser øvelsen vha. GeoGebra og overlader den analytiske -dvs. ved beregningløsning til dig! 9
Vi bliver spurgt om at finde arealet A. Men vi kan umiddelbart beregne hele arealet A + A som er er 8 = 6. GeoGebra funktionen Integrate bruges til at regne arealet A ved at bruge kommandoen Integrate[x 3,0,] som giver A = 4 Arealet A bliver A = 6 4 = 0