Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik

D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt for BSc-grade i matematik Mikkel Abrahamse & Sue Precht Reeh Ekstremal grafteori Vejleder: Bergfiur Durhuus Afleveret: 5. jui 008

Resumé Vi formulerer og beviser cetrale resultater i ekstremal grafteori. Vi tager udgagspukt i at udersøge mægde EX; F ) af ekstremale grafer for e give forbudt delgraf F og atallet ex; F ) af kater i disse ekstremale grafer. Projektet ideholder tre hovedresultater: Turás sætig, Erdős- Stoes sætig og Szemerédis regularitetslemma. Turás sætig giver svar på hvilke grafer der har flest kater ude at ideholde e give komplet graf K r som delgraf. Erdős-Stoes sætig giver vigtig iformatio om de asymptotiske opførsel af ex; F ) for e hvilke som helst forbudt delgraf F eller mægde F af sådae. Szemerédis regularitetslemma siger løst sagt at kudere i store grafer ka iddeles i klasser så katere mellem to klasser er jævt fordelt. Dette resultat bruges til at gebevise Erdős-Stoes sætig, dog i e lidt svagere udgave. I afsit 4 forsøger vi at vise magfoldighede af bevistekikker i ekstremal grafteori ved at formulere tre midre resultater og give elemetære beviser for disse. Summary We state ad prove cetral results i extremal graph theory. We ivestigate the set EX; F ) of extremal graphs without a give forbidde subgraph F ad the umber ex; F ) of edges i these extremal graphs. Three mai results of the project are: Turá s Theorem, Erdős-Stoe s Theorem ad Szemerédi s Regularity Lemma. Turá s Theorem tells us which graphs have the largest umber of edges without cotaiig a give complete graph K r as a subgraph. Erdős-Stoe s Theorem gives importat iformatio about the asymptotic behaviour of the fuctio ex; F ) give a forbiddde subgraph F or a collectio F of these. A iformal formulatio of Szemerédi s Regularity Lemma is that the vertex set of large graphs ca be partitioed such that the edges betwee two classes of vertices are evely distributed. We give a proof of a slightly weaker versio of Erdős-Stoe s Theorem usig this regularity lemma. The purpose of sectio 4 is to formulate ad give elemetary proofs of three mior results i extremal graph theory, ad thereby give a impressio of the variety of techiques used i this field of mathematics.

Idhold 1 Idledig 4 Turás sætig 6 3 Erdős-Stoes sætig 10 4 Et udvalg af iteressate opgaver 18 4.1 Grafer med kredse af ulige lægde............................ 18 4. Grafer med kredse af begræset lægde......................... 0 4.3 Grafer ude butterflies................................. 3 5 Szemerédis regularitetslemma 6 6 Avedelse af Szemerédis regularitetslemma 37 7 Notatiosoversigt 41 3

1 Idledig I dette projekt præseterer vi et udvalg af resultater i ekstremal grafteori. I de bredeste forstad er ekstremal grafteori det område af grafteori der forsøger at bestemme grafer der er ekstremale ide for forskellige familier af grafer. Typisk ser ma på familie af grafer der har eller ikke har) e give egeskab. Hvad der mees med ekstremal varierer også fra problem til problem: Ma ka eksempelvis lede efter grafere med flest/færrest kuder, flest/færrest kater, største/midste miimale kudevales. I dette projekt vil de ekstremale grafer altid være grafere med flest kater og et givet atal kuder. Som eksempler på problemer af dee type ka vi æve: Hvor mage kater ka der være i e graf G med kuder ude at G er sammehægede? Hvor mage kater ka der være i e graf G med kuder ude at G ideholder e kreds? Hvor mage kater ka der være i e graf G med kuder ude at G ideholder K r, e komplet graf med r kuder? Hvor mage kater ka der være i e graf G med kuder ude at G ideholder to trekater med etop é fælles kude? De første to spørgsmål burde ehver studerede på et idledede kursus i grafteori kue svare på. E graf med kuder som ikke er sammehægede har flest kater hvis de har to sammehægskompoeter som hver især er komplette grafer, K r og K r. Derfor er svaret max r {1,..., 1} { r ) )} ) r 1 + = = 1) ). Grafe har altså flest kater hvis de består af e isoleret kude og et eksemplar af K 1. Det adet problem har svaret at e graf har flest muligt kater ude at ideholde e kreds hvis de er et træ, så resultatet er 1. Tredje og fjerde spørgsmål er derimod kapt så ekle at svare på. I afsit gives svar på det tredje spørgsmål, og det fjerde besvares i afsit 4.3. Vi bemærker at ma ækvivalet med eksempelvis det tredje spørgsmål ka spørge: Hvor mage kater skal der være i e graf G med kuder så vi med sikkerhed ved at K r er e delgraf af G?. Et af de grudlæggede problemer i ekstremal grafteori er at bestemme de ekstremale grafer givet e forbudt delgraf eller e mægde af sådae forbudte delgrafer. Med EX; F ) beteges mægde af grafer med kuder som har flest kater ude at ideholde grafe F som delgraf de forbudte graf), og grafere i EX; F ) kaldes ekstremale. Atallet af kater i hver af de ekstremale grafer i EX; F ) beteges ex; F ). Tilsvarede beteger EX; F) mægde af grafer med kuder og flest muligt kater som ikke ideholder oge graf i e mægde F af forbudte delgrafer. I flere af resultatere i projektet bestemmes sådae ekstremale grafer. Adre gage gives der øvre eller edre græser for fuktioer på forme ex; F ) eller ex; F), eller de asymptotiske opførsel af disse fuktioer bestemmes. Projektet ka overordet iddeles i tre dele: Afsit og 3 udgør første del. Her behadles problemet hvor de forbudte graf er de komplette graf K r, og vi ser hvorda resultatet herfra giver de overordede asymptotiske udviklig af ex; F) uaset familie F. 4

I projektets ade del, afsit 4, ser vi på tre kokrete opgaver. Vi håber herigeem at give et idtryk af hvor varieret ekstremal grafteori er i sie løsigsmetoder. Tredje og sidste del er afsit 5 og 6 hvor vi ser på et af de stærke redskaber i ekstremal grafteori, Szemerédis regularitetslemma. Vi viser i praksis hvorda dette regularitetslemma ka avedes ved at give at alterativt bevis for e af de store sætiger i projektets første del. For at kue læse projektet forudsættes et kedskab til idledede grafteori, f.eks. hvad ma ka forvetes at have tileget sig efter at have fulgt kursere Itroduktio til diskret matematik og algebra Dis1&Alg1) og Diskret matematik og grafteori Dis&Graf) på Istitut for Matematiske Fag, Købehavs Uiversitet, hvilket er de primære baggrudsvide for begge forfattere. I afsit 7 har vi givet e liste over de i projektet avedte otatio. Hvis læsere støder på ukedt otatio heviser vi altså til dette afsit, der forhåbetlig afklarer problemet. Afsittee 3 og 6 er hovedsageligt udfærdiget af Mikkel Abrahamse, og afsittee og 5 af Sue Precht Reeh. 5

Turás sætig De komplette graf K r+1 er e af de mest simple og grudlæggede grafer med r + 1 kuder, så det er aturligt at spørge til hvilke grafer der er i mægde EX; K r+1 ) af ekstremale grafer med kuder. E r-partit 1 graf ideholder ikke K r+1, så grafere i EX; K r+1 ) har midst lige så mage kater som de komplette r-partite grafer med kuder der har flest kater. I dette afsit viser vi at der er e etydigt bestemt r-partit graf med kuder og flest kater, og at dee graf er de eeste graf i EX; K r+1 ). Dee ekstremale graf beteges T r ), og familie {T r ) r, N} af disse grafer kaldes Turá-grafer efter Pál Turá 1910-1976). Resultatet kaldes ligeledes Turás sætig. Bevisere i dette afsit bygger hovedsageligt på bevisere i [BB] IV.. Vi lægger ud med et resultat der er iteressat i sig selv: For ehver graf G r-partit eller ej) der ikke ideholder K r+1, fides e r-partit graf der kude for kude har midst lige så mage kater som G. Sætig.1 Lad G være e graf med kudemægde V der ikke ideholder K r+1. Da fides e r-partit graf H med kudemægde V, såda at for alle v V gælder d G v) d H v). Hvis G ikke er e komplet r-partit graf, fides e graf H der opfylder oveståede med skarp ulighed for midst é kude v V. Bevis. Vi foretager iduktio efter r. For r = 1 er K blot e ekelt kat, så e graf G ude K er ødvedigvis de tomme graf med kudemægde V. De tomme graf er de eeste komplette 1-partite graf, så påstade gælder for r = 1. Lad u r > 1 og atag at påstade gælder for lavere værdier af r. Lad x V være e kude med maksimal vales, d G x) = G). Delgrafe udspædt af abokudere til x, G 0 = G[Γx)], ideholder ikke K r, for e såda K r -delgraf vil samme med x udgøre K r+1. Iduktiosatagelse giver u at der fides e r 1)-partit graf H 0 med kudemægde Γx), så d H0 v) d G0 v) for alle v Γx). Desude ka H 0 vælges så der er skarp ulighed for midst ét v Γx), med midre G 0 er e komplet r 1)-partit graf. Vi udvider H 0 til e r-partit graf H med alle kudere i V, ved at lade V \ Γx) udgøre de sidste kudeklasse i H. Desude lader vi alle kuder i V \ Γx) være forbudet til alle kuder i Γx). Vi påstår u at H opfylder betigelsere i sætige. Hvis v V \ Γx), er v forbudet i H til alle kuder i Γx) og ide adre, så dermed er d H v) = Γx) = d G x) d G v). Hvis derimod v Γx), er v forbudet til alle kuder i V \ Γx): d H v) = d H0 v) + V \ Γx) d G0 v) + V \ Γx) d G v). Hvad u hvis d H v) = d G v) for alle v V? Når der gælder lighed ovefor, må der specielt gælde d H0 v) = d G0 v) for alle v Γx). Dermed må G 0 være e komplet r 1)-partit graf, og eg 0 ) = eh 0 ). 1 Vi mider om at e graf er r-partit hvis kudere ka deles i r klasser så ehver kat går fra e kude i e klasse til e kude i e ade klasse. 6

Figur 1: Turá-grafe T 4 10). Vi ser på summe v V \Γx) d Gv). Her er alle katere i G mellem Γx) og V \ Γx) blevet talt é gag, og alle katere mellem kudere i V \ Γx) er blevet talt to gage: v V \Γx) d G v) = e G Γx), V \ Γx)) + eg Γx)) = eg) eg 0 ) + eg Γx)). Da H er r-partit med V \ Γx) som e klasse, er eh Γx)) = 0. Ser vi på v V \Γx) d Hv), får vi således at d H v) = eh) eh 0 ) + eh Γx)) = eh) eh 0 ). v V \Γx) Vi beytter u at d H v) = d G v) for alle v V, så eh) = eg). eg) eg 0 ) = eh) eh 0 ) = v V \Γx) d H v) = v V \Γx) d G v) = eg) eg 0 ) + eg Γx)). Vi har altså at eg Γx)) = 0, så der er ige kater i G mellem kudere i V \ Γx). Da d G v) = d H v) = Γx) for alle v V \ Γx), må alle kuder i V \ Γx) være forbudet til alle kuder i Γx). Idet G 0 er e komplet r 1)-partit graf, får vi edelig at G er e komplet r-partit graf med V \ Γx) som de sidste kudeklasse). Defiitio. For r, N er Turá-grafe, T r ), de komplette r-partite graf med kuder såda at kudere er fordelt så ligeligt som muligt på klassere. Hvis 1 r er atallee af kuder i klassere i T r ), opfylder T r ) altså r 1 + 1. I figur 1 ses grafe T 4 10) illustreret. Atallet af kater i T r ) beteges t r ). Bemærkig.3 I Turá-grafe T r ) har % r af klassere størrelse r, og de resterede r % r klasser har størrelse r hvor % r er de pricipale rest ved divisio af med r). Lemma.4 T r ) har flere kater ed alle adre r-partite grafer med kuder. Bevis. Lad G være e r-partit graf med kuder. Hvis G ikke er e komplet r-partit graf, ka vi tilføje de resterede kater mellem kudeklassere i G, hvorved vi får e r-partit graf med flere kater ed G. De kat)maksimale r-partite grafer må således være komplette. 7

Atag derfor at G er e komplet r-partit graf forskellig fra T r ), og lad V 1, V,..., V r være kudeklassere i G. Vi sætter i = V i, og atager ude tab af geeralitet at 1 r. Lad x V r, så x er e kude fra de største klasse i G. Vi betragter u de komplette r-partite graf H med klassere V 1 {x}, V, V 3,..., V r 1, V r \ {x}. Vi har altså fjeret alle katere mellem x og V 1, og samtidig har vi tilføjet alle katere mellem x og V r \ {x}. Sammeliger vi katatallee i G og H, får vi således at eh) = eg) 1 + r 1) = eg) + r 1 + 1). Da G ikke er T r ), gælder r > 1 + 1, og dermed er eh) > eg). G er altså ikke maksimal. Da grafer med kuder højst har ) kater, må der være e maksimal r-partit graf. Dee må så ødvedigvis være T r ). Sætig.5 Turás sætig) For r, N, er ex; K r+1 ) = t r ), og EX; K r+1 ) = {T r )}. Bevis. Lad G = V, E) være e graf der ikke ideholder K r+1. Ifølge sætig.1 fides e r-partit graf H så d H v) d G v) for alle v V med lighed alle steder ku år G er komplet r-partit. Specielt gælder at eh) eg) og der er ku lighed hvis G er e komplet r-partit graf. Da H er r-partit giver lemma.4 at eh) et r )) = t r ). Samlet set gælder altså at eg) t r ), så ex; K r+1 ) t r ). Omvedt er ex; K r+1 ) t r ) idet Turá-grafe T r ) er r-partit og derfor ikke ideholder K r+1. Atag u at eg) = t r ). Da gælder eg) = eh), så G er komplet r-partit. G er altså e r-partit graf med eg) = et r )). Lemma.4 giver dog at T r ) er de eeste maksimale r-partite graf, så vi må ødvedigvis have G T r ). Bemærkig.6 I de bipartite Turá-graf T ) har de to kudeklasser størrelse og. Atallet af kater i T ) er således t ) = = hvilket lettest ses ved at dele op efter paritete af. Atallet af kater i e trekatsfri graf med kuder er altså jf. Turás sætig) højst. 4 Følgede resultat giver e geerel øvre og edre græse for t r ). De øvre græse ka f.eks. bruges til at kokludere eksistese af K r+1 i e give graf med kuder og flere ed 1 1 r ) kater, da Turás sætig giver at e graf med flere ed t r ) kater må ideholde K r+1 som delgraf. Lemma.7 For alle, r N gælder 1 1 ) ) t r ) 1 1 ) r r. Bevis for edre græse. Lad r være fastholdt. Vi beviser græse ved iduktio efter. For r er T r ) K, så 1 1 ) ) ) < = t r ). r 4, 8

Vi vil u vise påstades rigtighed for + 1 > r, og atager at de er rigtig for. Det ses at t r + 1) = t r ) + r, idet Tr + 1) fremkommer ved at tilføje e kude til e midste kudeklasse i T r ) og forbide de med alle kuder i de øvrige klasser. Dermed har vi t r + 1) = t r ) + 1 1 ) ) + r r r = 1 1 ) ) + 1. r Bevis for øvre græse. Ved % r forstås de pricipale rest af ved divisio med r. Det viser sig at være mere praktisk at betragte de komplemetære graf T r ), så vi vil vise et r )) = ) t r ) ) 1 1 ) r = r. T r ) er foreige af % r eksemplarer af K r og r % r eksemplarer af K r. Atag først at r. Så har vi som skulle vises. Hvis r, er r et r )) = % r) r = 1 r + r % r) og r ) ) + r % r) r ) et r )) = r r = r, = 1 r % r). Vi har så r r r = % r) + r % r) % r) r % r) = 1 [ % r) r + r % r) + r % r) ) + r % r) % r) + % r) ) ] = 1 [ % r) + r % r) + r % r) % r)] r % r)r % r) r r r. + r r 9

3 Erdős-Stoes sætig Lad r N og ε > 0 være vilkårlige og i det følgede faste tal. Turá-grafe T r ) ideholder ikke e komplet delgraf med r + 1 kuder, K r+1, og ifølge lemma.7 er t r ) 1 1 r ) ). E graf med 1 1 r ) ) kater behøver altså ikke ideholde Kr+1 som delgraf. I dette afsit viser vi dog at for et givet t N vil e graf med blot ε ) kater flere, altså 1 1 r + ε) ) kater, ideholde K r+1 t) de komplette r + 1)-partite graf med t kuder i hver klasse), hvis bare er stor ok. Dette resultat kaldes Erdős-Stoes sætig efter Paul Erdős 1913-1996) og Arthur Harold Stoe 1916-000) og er fra 1946. Lad t) være det midste tal så K r+1 t) er ideholdt i ehver graf med t) kuder og 1 1 r + ε) ) t) kater. Vi viser at t) = Oexp t), me vi viser ikke at dee græse er de bedst mulige. I [BB] s. 1 bemærkes det dog at det vha. Szemerédis regularitetslemma er muligt at vise at t) = Ωexp t). Som korollar til Erdős-Stoes sætig viser vi at græseværdie ex; F) lim ) eksisterer for e hvilket som helst mægde af grafer F. Vi viser edda at græseværdie er givet ved 1 1 r, hvor r er det midste tal så der fides e graf F F og et tal t N så F er e delgraf af K r+1 t). Dette tal r er altid defieret da e graf F med kuder er ideholdt i K = K 1). Specielt ka vi udrege ex; G) lim ) for ehver graf G, hvis bare vi keder det midste r så G er e delgraf i K r+1 t) for et t N. Vi ka altså bestemme de asymptotiske tæthed af de ekstremale grafer for e hvilke som helst samlig af forbudte delgrafer, dvs. forholdet mellem katatallet i e ekstremal graf med kuder og katatallet i de komplette graf med kuder. Vi ka ku bestemme koefficiete til -leddet i de asymptotiske opførsel af ex; F) hvorda fuktioe ex; F) i øvrigt opfører sig ka vi ikke sige. Vi ka heller ikke sige oget om hvorda strukture af grafere i EX; F) er, me de ovefor ævte tæthed må alligevel siges at være vigtig iformatio om de ekstremale grafer. I dette afsit bygger resultatere og bevisere hovedsageligt på fremstillige givet i [BB] afsit IV.4. Bemærkig 3.1 Fuktioe fx) = x log x har de afledte fuktio f x) = 1 + log x. Fuktioe f er altså aftagede for 0 < x e 1 og voksede for x e 1. Specielt atager fx) miimum i e 1, og vi får således x log x 1 e > 1 > 3. Dette lille resultat får vi brug for to gage i de følgede beviser. Defiitio 3. I e graf G siges e kude v at dække e delgraf H G såfremt v er forbudet til alle kuder i H. Lemma 3.3 For ethvert fast 0 < ε < 1 vil e graf G med kuder og δg) ε ideholde K t) som delgraf for t = ε log, hvis bare er stor ok. 10

Bevis. Atag at G = V, E) er e graf med kuder og δg) ε, som ikke ideholder K t) for t = ε log. Lad A være atallet af par på forme v, T ), hvor v V og T er e delmægde af V med t kuder, som er dækket af v. Vi har u ) ε t A, idet hver af de kuder midst dækker ε ) t mægder af t kuder, da δg) ε. Vi har også A < t ) t, da hver delmægde af V på t kuder er dækket af færre ed t kuder, idet G ellers ville ideholde K t). Dermed er ) ) ε < t. t t Nu vil vi vise at dee ulighed ikke er opfyldt, hvis er tilstrækkeligt stor. Vi har: t ) t ) t t ε ε t) t t t ε t) t = t ) 1 t ε t = t ε t 1 t ) t ε t = t ) ε ε log ε log ε log 1 t log 1 ε ε 1 ε log + 1 ε ε t ε ε log 1 1 log ) ε log 1, hvor sidste ulighed gælder år er stor ok, idet vi så har ε log + 1 ε log. ) ε log Det ses at 1 log 1 for idet logartime af udtrykket opfylder ε log log 1 log ) log log ) log1 = ε ) log ε 0 1 = 0 for. Vi har også, ved at bruge bemærkig 3.1 for. Det giver u t ε ε log 1 = t ε ε log ε t ε log ε /3 = ε 1/3 0 ) ε log 1 t log 1 ε ε 1 log ) ε log 1 = t log 1 ε ε 1 log ) ε log 1 log ) 1 0 1 1 = 0 for. Dette viser at t ) t / ε ) t 0 for, så t t) ε ) t år er stor ok. Dermed vil ehver graf G med kuder og δg) ε ideholde K t) hvis er stor ok. I [BB] s. 10 foretages vurderige t ) t ) ε t ε 1/ε < 1, t hvor det sidste ulighedsteg er forkert, da vi faktisk har t ε 1/ε for. 11

Sætig 3.4 Lad r N og 0 < ε < 1 r. Da fides et N = Nr, ε), såda at hvis G har N kuder og δg) 1 1r ) + ε, så er K r+1 t) e delgraf af G hvor t = ε log r r 1)!. Bevis. Vi aveder iduktio efter r. Basistilfældet r = 1 følger af lemma 3.3, så vi fortsætter direkte til iduktiosskridtet. Atag derfor at r og at G er e graf med kuder og hvor δg) 1 1r + ε ) > 1 1 r ) = 1 1 r 1 + 1 rr 1) Iduktiosatagelse giver os da at for Nr 1, 1 rr 1) ) ideholder G e delgraf K = K rt ) T = ). 1 rr 1) log 1 r r 1 = log. 3.1) r )! r! Lad U være mægde af de kuder i G K der har midst 1 1 r + ε ) K kater til kuder i K. Vi påstår u at U ε for tilstrækkelig stor. Bevis for påstade. Vi ser på atallet A af kater mellem K og G K. Ifølge atagelse i sætig 3.4 har ehver kude i K vales midst 1 1 r + ε). E kude i K er derfor forbudet til midst 1 1 r + ε) K kuder ude for K. Når vi summerer over kudere i K får vi dermed A K 1 1r ) ) + ε K Samtidig er de kuder i G K der ikke ligger i U, højst forbudet til 1 1 r + ε ) K kuder i K. Kudere i U er aturligvis højst forbudet til K kuder i K. Samlet set får vi altså A U K + K U )1 1 r + ε ) K U K + U )1 1 r + ε ) K. Nu sammesætter vi de to uligheder og dividerer igeem med K ; dette giver os 1 1r + ε ) K U + U )1 1 r + ε ). Lægges K 1 1 r + ε ) til på begge sider, fås efterfølgede ε U 1 r ε ) + K. 3.) 1

Atag u for modstrid at U < ε. Vi ka da opvurdere højreside ovefor: U 1 r ε ) + K < ε 1 r ε ) + K = ε r ε + K ε ε + K. Størrelse K = r T = r 1 r 1 r! log vokser, som fuktio af, asymptotisk som r 1 r 1 r! log. Vi ser dermed at ε K år er stor ok. Lad N N hvor N 1 Nr 1, rr 1) )) opfylde at ε K for N. Når N, får vi dermed U 1 r ε ) + K < ε i modstrid med 3.). For N gælder altså at U ε. Sæt u ε log t = r = r 1)! εr 1 r log. r! Fra ligig 3.1) ses dermed t εr T, således at 1 1 r + ε ) K = 1 1 r + ε )r T = r 1)T + εr T r 1)T + t. Dette viser at ehver kude i U er forbudet til midst t kuder i hver klasse i K, det vil altså sige at ehver kude i U dækker e K r t)-delgraf af K. I K fides ) T r t eksemplarer af delgrafe Kr t) disse er karakteriseret ved valg af t kuder i hver af de r klasser i K). Der er geemsitligt midst U / ) T r t kuder i U der dækker hver Kr t)- delgraf. Dermed fides specielt e delmægde W U af kuder der dækker samme K r t)-delgraf, og såda at ) T r W U /. t Vi øsker u at vise W t. Til dette skal vi dog bruge ogle forberedelser. Lad N N såda at 1 + r 1 1 r! log r 1 1 r! log 3 e for N. For alle N gælder da t ε log et = r 1 r 1)! e 1 r 1 r! log 1 ε log r r 1)! 1 e 1 + 1 r 1 r! log ) 1 ε log r r 1)! 1 3 1 r 1 r! log ) 1 = εr 6 ε 3. Derudover giver e klassisk ulighed relateret til Stirligs formel jf. [MN] s. 77) ) t t ) t t t! e. e e 13

Med disse iagttagelser fortsætter vi u med at vurdere størrelse af W : T W U / t ε ) r t! U T t ε 3) tr = ε exp tr log ) r t U et ε 3)). ) tr ) t tr ε et I dette udtryk ser vi at log ε 3 ) er egativt idet ε < 3. Hvis tr vurderes op, vil det samlede egative produkt tr log ε 3 ) blive vurderet edad. Da exp er e voksede fuktio, fås således: ε W ε exp tr log 3)) ) ε log ε ε exp r r 1)! + 1 r log 3) ) ε log ε ) ε = ε exp r r 1)! r log + r log 3 3) ) ε ) r ε ) ε = ε exp 3 3) log r r 1 r 1)! log ε ) r > ε α. 3 Her har vi sat α = ε log ) ε r 3 r 1 r 1)!. Idet r, er r r 1). Dermed gælder i edu højere grad r r 1 r 1)!. Fra bemærkig 3.1 følger at ε log ε 3) > 1. 3 Sammeholdes dette med oveståede fås α = ε ε ) log r 3 r 1 > 1 1 = 1. r 1)! Således er W ε ε r 3) 1+α, hvor α > 1. Da vi dermed har 1+α > 0, og da t vokser asymptotisk som log, fides N N såda at ε ) r ε 1+α t for N. 3 Sæt u Nr, ε) = maxn, N, N ), da gælder for Nr, ε) at W t. Ved evetuelt at fjere kuder fra W, ka vi opå at W = t. Da alle kudere i W dækker de samme K r t)-delgraf i K, daer dee delgraf samme med W e K r+1 t) delgraf af G med t = ε log r r 1)!. Lemma 3.5 Lad c, ε > 0. Ehver graf med > 3 ε kuder og midst c + ε) ) kater ideholder e delgraf H med midst ε kuder for hvilke δh) c H. 3 I [BB] foretages de forkerte vurderig ε logε/3) > 1. Til forskel fra de mage adre småfejl i beviset i [BB], har dee fejl betydig for sætiges formulerig: Vores værdi af t i Erdős-Stoes sætig er halvt så stor som de i [BB] aførte værdi på grud af dee fejl. 14

Bevis. Lad G være e graf med > 3 ε kuder med midst c + ε) ) kater. Bemærk at 0 < ε < c + ε 1, da det maksimale atal kater er ). Atag for modstrid at G ikke ideholder e delgraf af de beskreve beskaffehed. Lad G = G og lad rekursivt G j 1 være e graf fremkommet ved at fjere e kude v j af miimal vales fra G j. Sæt k = ε. For j > k må vi have d Gj v j ) < cj, for ellers ville G j være e delgraf af de øskede type. Således er ) eg k ) = eg) d Gj v j ) > c + ε) cj j=k+1 j=k+1 ) ) )) ) ) ) + 1 k + 1 k + 1 = c + ε) c = ε + c ) ) ) ) ε ε 1) 3 ε > ε + c > ε + c ) = ε + c 1 ) ε) ε ε ε) > ε = > ε ε 1) ) k =. Det er e modstrid, da G k højst ka have k ) kater. Sætig 3.6 Erdős-Stoes sætig) Lad r N og 0 < ε < 1 r. Så fides et heltal N = Nr, ε) så ehver graf G med N kuder og eg) 1 1 ) r + ε) kater ideholder K r+1 t) for et t N der opfylder t > ε log r+ r 1)!. Bevis. Hvis > 3 ε/ ideholder G ifølge lemma 3.5 e delgraf H med h ε kuder og hvor δh) 1 1 r + ε )h, idet G har midst 1 1 r + ε + ε ) ) kater. 4 Hvis er stor ok har vi så ifølge sætig 3.4 at H, og dermed G, ideholder K r+1 t), hvor ε t = log h r ε log ε ) r 1)! r+1 r 1)!. Da har vi som øsket. ) ε log = 1 log ε + log > 1 log ε 6 + log = 1 log 3 ε/ + log 1 log, t > ε log r+ r 1)!, 4 I [BB] står fejlagtigt at vi ka fide e såda delgraf H med h ε kuder. Det garaterer lemma 3.5 ikke. 15

Korollar 3.7 ex; K r+1 t)) = 1 1 ) ) + o ). r Bevis. ) Vi ved, at T r ) ikke ideholder K r+1 t) for oget, så ex; K r+1 t)) et r )) 1 1 r ) ifølge lemma.7. Atag at påstade ikke holder for et givet t N. Da fides der ε > 0 så der fides vilkårligt store som opfylder ex; K r+1 t)) 1 1 r ) ) + ε > 1 1 ) ) r + ε. Så giver Erdős-Stoes sætig at grafere i EX; K r+1 t)) for stor ok ideholder K r+1 t). Det er e modstrid. Korollar 3.8 Lad F være e mægde af ikke-tomme grafer. Lad r + 1 være det midste tal såda at der fides e graf i F der er ideholdt i K r+1 t) for et t N. Så er ex; F) = 1 1 ) ) + o ). r Dermed er ex; F) lim = 1 ) 1 r. Bevis. Da K r t) ikke ideholder e graf fra F for oget t N ka heller ikke Turá-grafe T r ) ideholde e graf fra F for oget N, så vi har fra lemma.7 ex; F) et r )) 1 1 ) ). r Atag u at F F er e delgraf af K r+1 t). Hvis e graf ikke ideholder F ideholder de dermed heller ikke K r+1 t), så vi har ifølge korollar 3.7 ex; F) ex; F ) ex; K r+1 t)) = 1 1 ) ) + o ). r Bemærkig 3.9 I korollaret ovefor ka det være emmere at tæke på r + 1 som det midste af de kude)kromatiske tal χf ) for F F. E graf har emlig kromatisk tal r + 1 hvis og ku hvis de r + 1)-partit, og de er r + 1)-partit hvis og ku hvis de er ideholdt i K r+1 t) for et stort ok t. Bemærkig 3.10 De i korollar 3.8 agive græseværdi er ikke ødvedigvis em i praksis at bestemme, idet vi skal bestemme det midste at de kromatiske tal χf ) for F F. At bestemme det kromatiske tal for e graf er emlig et NP-hårdt problem, jf. [KC]. Vi vil ikke her komme ærmere id på det tekiske idhold af dette, me ku bemærke at det betyder at ma med al rimelighed må forvete at de tid det tager at bestemme χg) for e graf G med kuder vokser som fuktio af ) hurtigere ed ethvert polyomium. 16

Vi giver u e avedelse af Erdős-Stoes sætig idefor et tilsyeladede fjert matematisk område. Resultatet stammer fra [PE], me er også stillet som opgave 4. + i [BB]: Korollar 3.11 Lad G k ), k, være det maksimale atal gage samme afstad ka forekomme mellem pukter i R k målt med de sædvalige metrik). Da gælder G k ) 1 1 for. 3.3) k Bevis. Lad l = k. Først vises at hvis G k ) = G k) kovergerer, så er græseværdie midst det påståede. For ethvert t = 1,..., l lader vi P t være e mægde af l pukter i R l så P t {x 1,..., x l ) R l x i = 0, i {t 1, t}, x t 1 + x t = 1 }. Så er afstade mellem et pukt i P i og et pukt i P j for i j klart midst er ) l ll 1) ) l l 1 = l + l l + l 1 + 1 = 1. Dvs. at der es afstade. Vi må klart have G k ) G k 1 ), da pukter i R k 1 med e afstad forekommede g gage ka idlejres i R k så samme afstad forekommer g gage. Da k k = l har vi derfor G k ) G l ) l + l l + l = 1 1 l l + + + l l 1 1 l = 1 1 k for. Vi bruger Erdős-Stoes sætig til at vise at G k ) ødvedigvis må kovergere mod det påståede. Hvis ikke fadtes der emlig et ε > 0 så vi for vilkårligt store havde G k ) 1 1 k +ε. Dermed ville 1 G k ) 1 ) l + ε = 1 1l ) + ε > 1 1 ) ) l + ε, for vilkårligt store. Vi ka for ethvert betragte e mægde M af pukter i R k så flest muligt afstade mellem puktere i M er es lad d være e afstad der forekommer flest gage. Vi ser på grafe G = M, E ) hvor {x, y} E hvis x y = d. Oveståede giver ifølge Erdős- Stoes sætig at vi for et N Nl, ε) har at G N ideholder K l+1 3). Dvs. at e delmægde M af puktere i M N ka deles op i l + 1 klasser af tre pukter x t) i, i = 1,, 3, t = 1,..., l + 1, så afstade mellem x t 1) i 1 og x t ) i er lig med d for alle pukter x t 1) i 1 og x t ) i, t 1 t. Et geometrisk argumet som vi her ku skitserer) viser, at dette ikke ka lade sig gøre. Puktere x t) 1, xt), xt) 3 ka ikke ligge på lije, da alle øvrige pukter i M skal have samme afstad til dem alle tre. Dermed må de udspæde e pla P = P x t) 1, xt), xt) 3 ), og alle øvrige pukter projiceret på P må være cetrum for de etydigt bestemte cirkel ideholdede x t) 1, xt), xt) 3. De øvrige l klasser af pukter er altså ideholdt i e k )-dimesioal delmægde af R k. Det ses således at dimesioe af rummet udspædt af de l + 1 klasser af pukter midst er l + 1) = l + > k, hvilket er e modstrid. 17

4 Et udvalg af iteressate opgaver I dette afsit løser vi tre opgaver i ekstremal grafteori. Alle opgavere går ud på at bestemme de ekstremale grafer der ikke har e delgraf af e ærmere specificeret type. Løsigere beytter sig ku af elemetære observatioer der bruges æste) ikke oge i forveje kedte resultater. Vi har taget opgavere med for at vise adre sider af de ekstremale grafteori, og har derfor valgt at placere afsittet omtret i midte som et lille itermezzo. De strategier der avedes til at bestemme ekstremale grafer i de tre opgaver er helt forskellige og giver derved e foremmelse af at ma ikke ude videre ka give e mekaisk opskrift på hvorda ekstremale grafer bestemmes geerelt. 4.1 Grafer med kredse af ulige lægde Som bekedt er e graf bipartit hvis og ku hvis alle des kredse har lige lægde. Ifølge.4 har T ) flest kater bladt de bipartite graf med kuder, så vi har altså EX; U) = {T )}, hvor U er mægde af kredse af ulige lægde. Vi vil u bestemme EX; L), hvor L er mægde af kredse af lige lægde. Fra korollar 3.8 ved vi i forveje at ex; L) = o ), da f.eks. e kreds af lægde 4 er ideholdt i K ). Vi får brug for følgede defiitio: Defiitio 4.1 E delgraf B af e graf G kaldes e blok af G hvis B er to katforbude kuder v, w, såda at vw er e bro i G altså så G vw har flere sammehægskompoeter ed G) eller hvis B er e maksimal -sammehægede 5 delgraf i G. Bemærk at ehver kat i G er ideholdt i e etydigt bestemt blok. De følgede resultater har vi selv formuleret og bevist. Først et lille lemma geerelt om grafer der ku har kredse af ulige lægde. Lemma 4. I e graf hvor alle kredse har ulige lægde, har to kredse højst é fælles kude. Bevis. Lad G være e graf hvori alle kredse har ulige lægde. Atag for modstrid at kredsee K 1 = v 1 v p og K = w 1 w q i G har mere ed é kude til fælles. Vi ka ude tab af geeralitet atage at v 1 = w 1 samt at v / K idet K 1 ikke ka være helt ideholdt i K ). Vi lader i = mi{r 3 v r K } og lader j opfylde v i = w j. Tallee i 1 og j 1 har forskellig paritet idet kredse v 1 v v i w j 1 w j w ellers vil have lige lægde. Tallee q j + 1 og i 1 skal også have forskellig paritet, idet kredse v 1 v v i w j+1 w j+ w q ellers har lige lægde. Me det giver at j 1 + q j + 1 = q er lige, som er e modstrid. Her har vi to gage brugt atagelse om at v l / K for l =,..., i 1 til at slutte at ige kude i de ævte lister getages, såda at der vitterligt er tale om kredse. Sætig 4.3 EX; L) for er de sammehægede grafer med kuder, højst é bro og hvis øvrige blokke alle er trekater. Dermed er ex; L) = { 3 4 I figur ses et eksempel på e ekstremal graf., lige 3 3, ulige. 5 Vi mider om at e graf G er -sammehægede hvis G v er sammehægede for ehver kude v V G). 18

Figur : E ekstremal graf med 14 kuder ude kredse af lige lægde. Bevis. Lad G være e af de påståede ekstremale grafer med kuder. Hvis = m er lige ses ved iduktio efter atallet af blokke at G ideholder é bro samt m 1 = trekatsblokke der bruges to kuder til broe og to kuder til hver yderligere blok der er trekatsblokke). I så fald ideholder grafe 3 + 1 = 3 4 kater. Hvis = m + 1 er ulige, ses tilsvarede at G består af m trekatsblokke, så G har 3m = 3 3 kater. Påstade ses at gælde for =, så atag 3 og at påstade gælder for midre. Vi bemærker først at ex; L) : E vejgraf med kuder hvor første og tredje kude desude er katforbude, har emlig kater og ku e ekelt ulige) kreds. Lad G EX; L), G = V, E). Grafe G må da være sammehægede med midst kater. G har dermed e kreds. Vi ser edvidere at G højst har é bro: Atag emlig at katere ab og cd begge er broer. Vi ka u sammetrække kudere a og b og kudere c og d og derved få e graf G 0 med kuder og eg) kater, som heller ikke ideholder kredse af lige lægde. Ved at tilføje to kuder e og f og dae trekate vef med e kude v V G 0 ), fås e graf med kuder og eg) + 1 kater. Dette er e modstrid, da G var ataget at være ekstremal. Betragt e kreds K = v 1 v k i G. Lad G 1 = G EK) være grafe hvor vi har fjeret katere i K fra G. To kuder v i, v j V K), i < j, ka ikke være i samme sammehægskompoet i G 1, da π π vi i så fald har e vej v j vi katdisjukt med K. Derfor vil vi i G have e kreds v i v i+1 v j vi som har to kuder til fælles med K. Ifølge lemma 4. medfører dette at G ideholder e kreds af lige lægde. Til hver kude v i V K) svarer altså e etydigt bestemt sammehægskompoet V i ideholdede v i i G 1. V i har færre ed kuder og er ødvedigvis ekstremal ellers ville G ikke være ektremal), så iduktiosatagelse giver at blokkee i V i er trekatsblokke og højst é bro. Desude ka højst é af kompoetere V 1,..., V k ideholder e bro. Ved at vise at k = 3 har vi dermed vist det øskede, for blokkee i G er etop K og blokkee i V 1,..., V k. Vi trasformerer G til e graf G = V, E ) meget ligede G, me hvor vi har flyttet visse kater. E er E hvor vi har fjeret alle kater gåede fra v i til kuder ude for K for i =,..., k, og de kuder ude for K der herved mister e kat forbides i stedet til v 1. Mere formelt: ) k k E = E \ {v i w E w / K} {v 1 w w / K, v i w E}. i= Vi bemærker at de kater der tilføjes, ikke ligger i E i forveje, for ellers ville G ideholde to kredse med to kuder til fælles. Det ses heraf at G har lige så mage kater som G. Nu viser vi at G ikke ka ideholde oge kredse af lige lægde: Hvis G ideholder e kreds L af lige lægde, må der i dee kreds idgå e kat på forme v 1 w, w K, der stammer fra e kat v i w E, i, fordi L må ideholde e af katere i E \ E). L ka ikke ideholde adre kuder fra K, da de eeste kude i K der er forbudet til kuder ude for K i G, er v 1. Dermed må L ideholde edu i= 19

e kat på forme v 1 u hvor u / K, så G ideholder e kat for forme v j u for j 1. Der må fides e vej wx 1 x p u fra w til u i L, der ikke ideholder kuder fra K, så vi har L = v 1 wx 1 x p u. Vi ka ikke have i = j, da G i så fald ville ideholde e kredse v i wx 1 x p u af lige lægde. Me dermed ideholder G jo veje v i wx 1 x p uv j fra v i til v j, som er katdisjukt med K. Dee vej ka udvides med kuder fra K) til e kreds der har både v i og v j til fælles med K. Ifølge lemma 4. medfører dette at G ideholder e kreds af lige lægde. Altså ideholder G ige kreds af lige lægde. Vi sætter H = G {v,..., v k }, så K og H ideholder tilsamme alle kuder og kater i G. Vi må have H EX k + 1; L), da G, og dermed G, ellers ikke havde været ekstremal. Atag først at, og dermed k + 1, er lige. Iduktiosatagelse giver os at H ideholder é bro, og at de øvrige blokke i H er trekater, samt at eg) = eg ) = eh) + ek) = 3 k + 1) 4 + k = 3 1 Det ses at eg) er størst hvis k er så lille som muligt, dvs. hvis k = 3. Dermed har G de øskede form. Tilfældet hvor er ulige behadles tilsvarede. Vi har u vist at alle ekstremale grafer er på de påståede form, me det må medføre at alle grafer på de form er ekstremale, idet de ideholder lige mage kater og ikke ideholder kredse af lige lægde. 4. Grafer med kredse af begræset lægde I dette afsit ser vi for et k N på grafer der ikke ideholder kredse af lægde større ed k. Sætig 4.5 med beviset stillet som opgave 39. + i [BB]) edefor siger at e såda graf G opfylder eg) k 1). Vi fider også de ekstremale grafer de grafer hvor der gælder lighedsteg i ulighede), me som vi skal se ka der ku gælde lighedsteg for 1 mod k 1). Det er altså ku for ogle N at vi bestemmer EX; F) hvor F = {C i i > k} er mægde af kredse af lægde større ed k. For adre værdier af har vi ikke fudet ud af at beskrive grafere i EX; F) eller bestemme atallet ex; F) af kater i disse grafer. Dette er e markat afvigelse fra Turás sætig, sætig 4.3 og sætig 4.6 hvor vi er i stad til eksplicit at fide de ekstremale grafer for alle atal af kuder. Defiitio 4.4 Lad a = v 1 v r være e vej af maksimal lægde i grafe G. Da veje ikke ka udvides er Γv r ) {v 1,..., v r 1 }. Hvis v i Γv r ) får vi e ade lægste vej i G ved v 1 v i v r v i+1. Veje v 1 v i v r v i+1 kaldes da e simpel trasformatio af a. E vej b kaldes e trasformatio af veje a, hvis b ka fås fra a ved e serie af simple trasformatioer. Sætig 4.5 Lad k og lad G være e graf med kuder hvori alle kredse har lægde k eller midre. Da er eg) k 1). Der gælder lighedsteg hvis og ku hvis G er sammehægede og alle blokke er komplette grafer af orde k. Et eksempel på e såda ekstremal graf med K 4 -blokke) ses i figur 3. 0 k.

Figur 3: E ekstremal graf med 19 kuder og kredse af lægde højst 4. Bevis. Vi aveder iduktio efter atallet af kuder. For k gælder ) 1) eg) = k 1). Her gælder ku lighedsteg hvis = 1 eller = k og eg) = ), dvs. at G K1 eller G K k. Atag u at > k. 6 Lad y 1 y r være e vilkårlig vej af maksimal lægde i G; da ved vi jf. defiitio 4.4) at Γy r ) {y 1,..., y r 1 }. Atag for modstrid at y s Γy r ) med s r k. Da er y s y s+1 y r e kreds af lægde r s + 1 k + 1 i G. Dee modstrid fortæller os at Γy r ) {y r k+1,..., y r 1 }. 4.1) Ved e simpel trasformatio af y 1 y r er det således ku y r k+,..., y r der ka bytte plads i veje. Alle kudere y 1,..., y r k+1 er altså fastholdt i ehver simpel trasformatio af veje y 1 y r. Vi betragter u e specifik lægste vej x 1 x r i G, og arbejder i det følgede udelukkede med trasformatioer af x 1 x r. Lad M = {x r k+1,..., x r }, og lad m = M. For r k, er M blot {x 1,..., x r }; så vi har m = mik, r). Af oveståede følger at x 1,..., x r k+1 er fastholdt i ehver trasformatio y 1 y r af x 1 x r, dvs. y i = x i for alle 1 i r k + 1. Lad L være mægde af edepukter for trasformatioer af x 1 x r. Der gælder dermed L M, samt Γv) M for alle v L ifølge 4.1). Sæt l = L og s = max v L dv). Lad v L være vilkårlig; da fides e trasformatio y 1 y r med y r = v. For ehver abo y i Γv) til v = y r, fås e simpel trasformatio af y 1 y r med y i+1 som edepukt. Da e simpel trasformatio af y 1 y r ige er e trasformatio af x 1 x r, følger at y i+1 L for alle y i Γv). Dermed er dv) l; og da v L var vilkårlig, fås s l. For ehver kude v L sætter vi u a v = ev, L), dvs. atal kater fra v til kuder i L. Tilsvarede sætter vi b v = ev, M \ L). Atallet af kater itert mellem kudere i L og atallet af kater fra kudere i L til kuder i M \ L bliver da hhv. el) = 1 a v, el, M \ L) = b v. v L v L Da Γv) M for alle v L, ser vi at der må gælde eg) eg L) = el) + el, V \ L) = el) + el, M \ L) 1 a v + b v ). 4.) = 1 v L a v + v L b v = v L 6 I hitet til opgave 39. + side 139 i [BB]) deles op efter om δg) k. Dee opdelig er dog uødvedig som vores bevis demostrerer. 1

For alle v L ved vi om a v og b v at b v M \ L = M L = m l k l, a v + b v = dv) s l. Dermed får vi for ethvert v L: Idsætter vi u dee vurderig i 4.), får vi 1 a v + b v = 1 a v + b v ) + 1 b v 1 l + 1 k l) = 1 k. eg) eg L) = v L 1 a v + b v ) v L k = k l. Da G L ideholder l < kuder hvor l k > 0), får vi per iduktio at eg L) l 1); og dette giver som øsket k eg) = eg) eg L)) + eg L) k l + k l 1) = k 1). Atag u at der gælder lighedsteg for G i ulighede, dvs. eg) = k 1). I alle de vurderiger vi har foretaget ovefor, må der således gælde lighed. Vi får altså at der også gælder lighedsteg for ulighede med G L, og per iduktio er G L sammehægede med blokke der alle er isomorfe med K k. Desude gælder M = m = k, og for alle v L er b v = k l og a v + b v = dv) = s = l. Idet b v = k l for v L, må v være forbudet til alle kuder i M \ L. Atag for modstrid at k l > 1, dvs. at der fides x, y M \ L med x y. Vælg et v L; da er v abo til både x og y. Da G L er sammehægede fides e vej π fra x til y i G L. Lad z være de første kude på dee vej der ligger i samme blok som y i G L vi ka godt have z = x). Veje π deles da i to stykker x π z π y. Kude før y på veje vil altid ligge i samme blok som y vejes sidste kat er med i e blok), så vi har i hvert fald z y. Da blokke i G L der ideholder z og y er K k, ka π erstattes med e vej τ af lægde k 1 fra z til y via alle blokkes kuder. De samlede vej π τ fra x til y har da lægde midst k 1. Me i så fald udgør π τ samme med v e kreds af lægde midst k + 1 i G. Mægde M \ L ideholder altså højst é kude, me da x r k+1 er fastholdt i alle trasformatioer, er x r k+1 M \ L, så M \ L = {x r k+1 }. Da b v = k l = 1 for alle v L, er alle v L forbudet til x r k+1. Desude er a v = l b v = l 1 for v L, så alle kudere i L er forbudet til alle adre kuder i L. Vi har dermed at alle kuder i M er forbudet til hiade, så M udgør et komplet eksemplar af K k. Kude x r k+1 er forbidelsesled mellem M og de sammehægede delgraf G L, så G er sammehægede. Omvedt er x r k+1 de eeste forbidelse mellem M = L {x r k+1 } og G L da kudere i L ku er forbudet til kuder i M), så x r k+1 er e sitkude i G. Blokkee i G er derfor M samt alle blokkee i G L, og alle disse blokke er isomorfe med K k. Ved iduktio efter atallet af blokke ses at alle grafer med kuder hvis blokke alle er K k, har k 1) kater. Lad G være e graf hvor alle blokke er K k. E kreds i G er -sammehægede og derfor ideholdt i e blok. Dee blok er isomorf med K k, så kredse har lægde højst k. Heraf slutter vi at ehver graf der ku har K k -blokke, faktisk er ekstremal.

Figur 4: Grafe B butterfly-grafe. 4.3 Grafer ude butterflies Lad B være grafe beståede af to trekater der etop har é kude til fælles. Grafe B er vist i figur 4. Vi vil u bestemme EX; B) og ex; B) for alle 5 da butterfly-grafe B har 5 kuder er det ku iteressat hvis 5). Vi lader H 1 ) og H ) være T ) med é kat tilføjet til de midste hhv. største af kudeklassere. Hvis er lige er H 1 ) = H ). Bemærk at H 1 ) og H ) ikke er bipartite. Vi kalder kudeklassere arvet fra T ) for kudeklassere i H i ) der er altså e kat imellem to kuder i de ee af kudeklassere i H i ). Ved at vise det følgede resultat har vi vist at ex; B) = t ) + 1, og vi har dermed løst opgave 0. + i [BB]. De går ud på at vise at e graf med kuder og. t ) = 4 Sætig 4.6 EX; B) = hvor K er grafe vist i figur 5c). 4 + kater ideholder B, og ifølge bemærkig.6 er { {H1 5), H 5), K}, = 5 {H 1 ), H )}, > 5, Bevis. Det ses at ehver af de påståede ekstremale grafer H i ) ikke ideholder B, da alle trekater i H i ) vil have kate hvis edekuder er i samme kudeklasse, til fælles. Herefter ses det at de er maksimale, altså at ma ikke ka tilføje e kat til e af dem ude at de derved fremkome graf ideholder B. Ved ispektio ses det at gælde for grafe K. Nu vises det for H i ): Ved at tilføje e kat til H 1 ) eller H ) fås e graf som er T ) tilføjet to kater. Hvis B er e delgraf i alle grafer som fremkommer ved at tilføje to kater til T ), må H 1 ) og H ) altså være maksimale. Lad kudere i T ) være delt op i de to klasser V = {v 1,..., v r } og W = {w 1,..., w s }, såda at r = og s = og så katere er {vi w j i = 1,... r, j = 1,..., s}. Lad e og f være to kater som T ) ikke ideholder, og lad L = T ) + e + f. Vi betragter først det tilfælde at e og f er kater mellem kuder i hver kudeklasse. Ude tab af geeralitet ka vi atage at e = v 1 v og f = w 1 w. I så fald er B e delgraf i L[{v 1, v, w 1, w, w 3 }] med trekatere v 1 v w 3 og w 1 w v 1 der er midst 3 kuder i W, da 5). I det adet tilfælde ka vi atage at både e og f er kater mellem kuder i W. Hvis de har e kude til fælles ka vi atage at e = w 1 w og f = w w 3. Da udspædes B af kudere {w 1, w, w 3, v 1, v } i L med trekatere w 1 w v 1 og w w 3 v. Ellers ka vi atage at e = w 1 w og f = w 3 w 4, og i så fald er B e delgraf i L[{w 1, w, w 3, w 4, v 1 }] med trekatere w 1 w v 1 og w 3 w 4 v 1. I figur 5 er vist de 4 grafer med 5 kuder og 7 kater, og ved ispektio ses at ku grafe i figur 5d) ideholder B idikeret med røde kater). De øvrige er de påståede grafer i EX5; B). 3

a) Grafe H 15). b) Grafe H 5). c) Grafe K. d) Graf med B. Figur 5: De 4 ikke-isomorfe grafer med 5 kuder og 7 kater. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) ) o) Figur 6: De 15 ikke-isomorfe grafer med 6 kuder og 10 kater. De 15 grafer med 6 kuder og 10 kater er vist i figur 6. Det ses at ku grafe i figur 6l) ikke ideholder B, og at de etop er H 1 6). Altså er påstade godtgjort for = 6. Disse udtømmede lister af grafer har vi fra [FH] s. 17 og 3. Nu vises påstade for 7 ved iduktio, ved at atage påstades rigtighed for 1. Vi beytter følgede vigtige egeskab ved H ) der gælder da H ) er fremkommet ved at tilføje e kat mellem kuder af miimal vales i T ): δh )) + 1 H )). 4.3) Iduktiosskridtet er ispireret af det 3. bevis for Turás sætig i [BB]. Det bevis beytter etop at δt r )) + 1 T r )). Atag at G har kuder og 4 + 1 kater, og at G ikke ideholder B. Vi vil u vise at G {H 1 ), H )}. Da G derved er maksimal må vi så have EX; B) = {H 1 ), H )} vi ka emlig ikke have e graf P med edu flere kater som ikke ideholder B, da e delgraf af P med kuder og t ) + 1 kater ville være maksimal). Fra 4.3) følger δg) δh )) H )) G). Lad g og h være kuder i hhv. G og H ) af miimal vales. Kude h ka ikke være edekude for kate der går mellem to kuder i samme kudeklasse, og h er e kude i de største kudeklasse i H ). Derfor ses at H ) h H 1 1) eller H ) h H 1). Vi har da eg g) = eg) dg) eh )) dh) = eh ) h) = ex 1, B). Da G g er e graf med 1 kuder som ikke ideholder B har vi u fra iduktiosatagelse at G g H 1 1) eller G g H 1). Atag først at G g H 1 1). 4

Nu vises det at g ikke ka have kater til begge kudeklasser i G g. Lad V være de lille kudeklasse og W de store/de ade i G g, og lad e være kate mellem to kuder i V. Atag for modstrid at v 1 g, gw 1 EG), hvor v 1 V og w 1 W, og lad desude w W være e ade kude i W. Atag først at e har e kude til fælles med kate v 1 g, vi ka skrive e = v 1 v. Så er B e delgraf i G[{v 1, v, g, w 1, w }] med trekatere v 1 gw 1 og v 1 v w. Hvis derimod e = v v 3 har vi at B er delgraf i G[{v 1, v, v 3, g, w 1 }] med trekatere v 1 gw 1 og v v 3 w 1. Derfor følger at g ku har kater til kuder i é af kudeklassere i G g. Vi har dg) = eg) eg g) = 4 + 1 1) 4 ) + 1 =, hvilket ses ved at dele op i tilfælde efter om er lige eller ulige. Hvis er lige har vi V = 1 = 1 og W = 1 =, så V er for lille til at g ka være forbudet udelukkede til kuder i V. Dermed må g være forbudet med alle kudere i W, så G H 1 ) H ), med kudeklassere W og V {g}. Hvis er ulige er V = W = 1 = 1 =, så g ka være forbudet til alle kudere i ete V eller W. Hvis g er forbudet til alle kuder i V er G H 1 ), og ellers er G H ). Atag u at G g H 1). Vi ka atage at er lige, da i det adet tilfælde H 1) H 1 1), som er behadlet ovefor. Ligesom før idses det at g ikke ka have kater til begge kudeklassere i G g. Herefter følger det også som ovefor at g er forbudet til alle kuder i de største kudeklasse i G g, og at vi har G H 1 ) H ). Dermed er det øskede vist. 5

5 Szemerédis regularitetslemma Szemerédis regularitetslemma er et meget kraftigt redskab til at bevise e lag række resultater ide for flere forskellige matematiske områder. E tidlig versio af regularitetslemmaet blev udviklet af Edre Szemerédi f. 1940) til at vise Szemerédis sætig i talteori. I dette projekt vil vi desværre ku atydigsvist kue illustrere hvorledes regularitetslemmaet ka bruges i ekstremal grafteori, og dette er formålet med afsit 6. Szemerédis regularitetslemma er også e iteressat sætig i sig selv. Meget løst sagt siger sætige at kudere i ehver graf med tilstrækkeligt mage kuder ka iddeles i et begræset atal lige store klasser, så katere mellem æste alle par af to klasser er jævt fordelt i e vis forstad. Med dette mees at atallet af kater mellem delmægder af de to klasser er omtret proportioalt med atallet af kuder i delmægdere. Dette præciseres i følgede defiitio af ε-regulære kudepartitioer: Defiitio 5.1 Lad G = V, E) være e graf, = V, og X, Y ) et par af disjukte delmægder af V. Lad ex, Y ) = e G X, Y ) være atallet af X Y -kater. Tallet dx, Y ) = d G X, Y ) = ex,y ) X Y kaldes desitete af parret X, Y ). Vi kalder X, Y ) et ε-regulært par hvis dx, Y ) dx, Y ) < ε 5.1) for alle delmægder X X og Y Y med X ε X og Y ε Y. Hvis ε = 0 skal der ku gælde i 5.1). E klassedelig C i ) k i=0 af kudemægde V kaldes e esartet partitio hvis C 1 = C =... = C k. C 0 kaldes udtagelsesklasse. E klassedelig P = C i ) k i=0 af kudemægde V kaldes e ε-regulær partitio med udtagelsesklasse C 0 ) hvis P er e esartet partitio med udtagelsesklasse C 0, C 0 ε og højst εk af parree C i, C j ) ikke er ε-regulære, 1 i < j k. Par og partitioer der ikke er ε-regulære, kaldes ε-irregulære. Bemærkig 5. Desitete dx, Y ) er forholdet mellem atallet af X Y -kater i G og atallet af kater i de komplette bipartite graf med kudeklassere X og Y. Altså er 0 dx, Y ) 1. Bemærkig 5.3 Et ε-regulært par X, Y ) ses at være ε -regulært for alle ε ε. Tilsvarede er e ε-regulær partitio også ε -regulær for alle ε ε. Lemma 5.4 Lad X og Y være disjukte kudeklasser i e graf G. Atag at X X og Y Y opfylder X 1 γ) X > 0 og Y 1 δ) Y > 0. Så gælder og Bevis. Vi ser først dx, Y ) dx, Y ) γ + δ 5.) d X, Y ) d X, Y ) γ + δ). 5.3) 0 ex, Y ) ex, Y ) = ex \ X, Y \ Y ) + ex, Y \ Y ) + ex \ X, Y ) X X ) Y Y ) + X Y Y ) + X X ) Y = X Y X Y X Y 1 γ) X 1 δ) Y = γ + δ γδ) X Y < γ + δ) X Y. 6

Så har vi dx, Y ) dx, Y ) = ex, Y ) X Y ex, Y ) X Y ex, Y ) ex, Y ) X Y < γ + δ. 5.4) Hvis A og B er to mægder af kuder i G, så har vi i komplemetærgrafe G d G A, B) = e G A, B) = A B e GA, B) = 1 d G A, B). A B A B Derfor har vi, ved at bruge 5.4) for G i stedet for G, d G X, Y ) d G X, Y ) = 1 d G X, Y )) 1 d G X, Y )) = d G X, Y ) d G X, Y ) < γ + δ, hvilket samme med 5.4) beviser 5.). Da desiteter højst er 1 fås d X, Y ) d X, Y ) = dx, Y ) + dx, Y ) dx, Y ) dx, Y ) < γ + δ), hvilket beviser 5.3). Lemma 5.5 Lad d i ) s i=1 Rs, 1 t < s, D = 1 s s i=1 d i og d = 1 t t i=1 d i. Så er 1 s s d i D + t s t D d) D + t s D d). i=1 Bevis. Vi bruger Jeses ulighed for de kovekse fuktio x x : ) ) s t s d i = d i + d 1 t i = t d 1 s i + s t) d i t s t i=1 i=1 i=t+1 i=1 i=t+1 ) td 1 s ) sd td + s t) d i = td + s t) s t s t hvoraf det øskede følger. = sd + st s t D d), i=t+1 Defiitio 5.6 Givet e graf G og e esartet partitio P = C i ) k i=0 med udtagelsesklasse C 0 defieres kvadratgeemsittet af P ved qp) = 1 k 1 i<j k d C i, C j ). Vi ser at 0 d C i, C j ) 1, så da der er k ) led i summe fås qp) 1 k kk 1) < 1. 7

Følgede lemma er det store redskab i beviset for Szemerédis regularitetslemma. Lemma 5.7 siger at hvis vi for e graf G har e esartet, me ε-irregulær partitio P med k + 1 klasser og midst εk par af klasser der er ε-irregulære, og hvor klassere er tilstrækkeligt store, så fides e ade esartet partitio P med udtagelsesklasse C 0 såda at qp ) er betragteligt større ed qp) mes C 0 ku er lidt større ed C 0. Idée i beviset for Szemerédis regularitetslemma er så at vi ved getage gage at erstatte e esartet, me ε-irregulær partitio med e ade partitio der har højere kvadratgeemsit, på et tidspukt må få e ε-regulær partitio, da vi ellers ville få e partitio med et kvadratgeemsit over 1. Lemma 5.7 og det efterfølgede bevis for Szemerédis regularitetslemma bygger på fremstillige i [BB] afsit IV.5. Lemma 5.7 Lad G = V, E) være e graf med = V kuder samt e esartet partitio P = C i ) k i=0 med udtagelsesklasse C 0 hvor C 0 ε og C 1 = C =... = C k = c 3k+1. Atag at P er ε-irregulær så midst εk par C i, C j ) er ε-irregulære), hvor 0 < ε < 1 og k ε5 8. Så fides e esartet partitio P = C i )l i=0 med l = k4k k 1 ) og udtagelsesklasse C 0 C 0 så og C 0 C 0 + k qp ) > qp) + ε5. Bevis. Lad H = 4 k k 1. Vi vil iddele hver klasse C i i H klasser D ih, h = 1,..., H, af es størrelse. Disse midre klasser skal være klassere i vores ye esartede partitio P. Bidraget fra parret C i, C j ) til kvadratgeemsittet qp ) er i så fald H u=1 v=1 H d D iu, D jv ). 5.5) Vi vil vise hvorda ma ka iddele C i -klassere såda at bidragee fra de par C i, C j ) der er ε-irregulære, er så store at qp ) > qp) + ε5. For et par C i, C j ), 1 i < j k, som er ε-irregulært, lader vi C ij C i og C ji C j være delmægder som viser ε-irregularitete: C ij ε C i = εc, C ji ε C j = εc og dc ij, C ji ) dc i, C j ) ε. 5.6) For et ε-regulært par C i, C j ) sætter vi blot C ij = C ji =. For e give kudeklasse C i betragter vi ækvivalesklassere af kuder i C i for følgede ækvivalesrelatio : v w hvis vi for alle j 1, j i har v C ij w C ij. Til hver ækvivalesklasse A svarer delmægde N A = {C ij A C ij } af mægde M = {C i1,..., C i,i 1, C i,i+1,..., C ik }, såda at elemetere i ækvivalesklasse A alle er ideholdt i alle C ij N A og i ige C ij / N A. Der ka højst være k 1 ækvivalesklasser, da der er k 1 delmægder af mægde M. Sæt d = c 4. Så er d 3k+1 k c < 4 k d + 1), så vi har k = k+1. Da d c 4 k har vi 4 k d c og da d > c 4 k 1 har vi 4 k d c 4 k d + 1) 1. 5.7) 8