Matematik YY Foråret 2004 Anden notepakke Forfatter: Søren Jøndrup

Matematik YY Foråret 2004 Anden notepakke Forfatter: Søren Jøndrup Bemærkning: Dette er en del af de forrige års første notepakke. De første 8 sider af den gamle version er i år erstattet med den nye 1. notepakke, så dette dokument starter på side 9. Det mangler siderne 18 og 35. Da kildefilerne til de gamle notepakker ikke er tilgængelige, kan der ikke laves ændringer/rettelser i dem. 1

9 Kapitel 2 Mere Talteori. Vi starter med at prøve at finde samtlige løsninger til ligningen hvor a, b og c betegner naturlige tal. a 2 + b 2 = c 2 Lad os et øjeblik antage at vi har en sådan løsning. Vi dividerer denne løsning med c og finder (a/c) 2 + (b/c) 2 = 1 Man kunne så i første omgang lede efter rationale løsninger til ligningen (i) x 2 + y 2 = 1 x = a/c og y = b/c Vi prøver altså først at finde rationale punkter på enhedscirklen (en opgave i sig selv). Vi søger altså efter rationale tal x og y som opfylder (1) x 2 = (1-y)(1+y) eller (2) (x/(1+y)) 2 = (1-y)/(1+y). Sætter vi t = x/(1+y) finder vi ved lidt regning 1- y = (1+y)t 2 eller endvidere er y = (1-t 2 )/(1+t 2 ) x = t(1+y) x = (2t)/(1+t 2 ). eller Vi har nu vist at samtlige rationale løsninger til (i) er af formen x = (2t)/(1+t 2 ) og y = (1-t 2 )/(1+t 2 ), t Q. Man kunne umiddelbart tro at man nu let med lidt fingerfærdighed kunne få samtlige heltalsløsninger til den oprindelige ligning. Dette viser sig at give visse problemer.

10 Husk først på den oprindelige ligning: x = (a/c) = (2t)/(1+t 2 ) og y = (b/c) = (1-t 2 )/(1+t 2 ). Skriver vi t = p/q, hvor vi antager at brøken er uforkortelig dvs. vi antager at p og q ikke har fælles primdivisorere. Vi finder nu ved indsættelse x = a/c = (2pq) /(p 2 + q 2 ) og y = b/c = (q 2 p 2 )/(p 2 + q 2 ) Hvis vi nu sætter c = p 2 +q 2 finder vi i den oprindelige ligning som rent faktisk er en heltalsløsning til (i). a = 2pq og b = q 2 - p 2 c 2 = a 2 +b 2 = (q 2 + p 2 ) 2 Vi kan ved at gange en sådan løsning med et naturligt tal s få en familie af løsninger, men vi ved ikke om vi kan forkorte den givne løsning (a, b, c) med et fælles tal uden at p eller q kunne forkortes med det. Eller med andre ord kan en vilkårlig løsning virkelig skrives: a = 2pqs og b = (q 2 -p 2 )s c = (q 2 + p 2 )s, s N, hvor p og q ikke har fælles faktorer. Det har vi endnu ikke vist. Det kunne jo godt ske at a, b og c kunne divideres med samme tal og vi ved så ikke endnu om den derved fremkomne løsning har ovenstående form. Vi har vist, at vi ved gange en løsning med et passende tal kan få en løsning af ovennævnte form. (Vi har forudsat at p og q ikke har en fælles primfaktor.) Lad os nu antage at der er en fælles faktor for p 2 +q 2, 2pq og q 2 -p 2 Vi betragter p og q. p og q kan ikke begge være lige: (for så ville 2 gå op i både p og q). Vi antager dernæst, at den ene er lige og den anden ulige ( 2 går så ikke op i både p og q): p 2 +q 2 og q 2 -p 2 er så begge ulige og en sådan fælles primfaktor d må altså være ulige, men denne faktor går op i (p 2 +q 2 ) + (q 2 -p 2 ) = 2q 2 (p 2 +q 2 ) - (q 2 -p 2 ) = 2p 2 Da d er ulige går d ikke op i 2 og d må derfor gå op i både p og q.

11 Vi har igen benyttet at hvis et primtal går op i et produkt, da går det op i en af faktorerne. Vi har altså indset at hvis p eller q er lige og den anden er ulige, da kan vi ikke forkorte løsningen p 2 +q 2, 2pq og q 2 -p 2 med nogen fælles faktor. Vi mangler nu tilfældet hvor p og q begge er ulige, vi kan derfor skrive p + q = 2P q - p = 2Q Hvis P og Q havde en fælles primfaktor d, ville d gå op og dette er en modstrid. p = (P + Q) og q = (P-Q) P og Q kan ikke begge være ulige for så var p og q begge lige. x = a/c = (2pq) /(p 2 + q 2 ) = 2(P 2 - Q 2 )/2(P 2 + Q 2 ) = (P 2 - Q 2 )/(P 2 + Q 2 ) og y = b/c = (q 2 p 2 )/(p 2 + q 2 ) = 4PQ/2(P 2 + Q 2 ) = 2PQ/(P 2 + Q 2 ) Vi er nu tilbage til det første tilfælde med x og y ombyttet og løsningen er skrevet på den givne form. Vi har altså vist at samtlige heltalsløsninger til heltalsligningen er a 2 + b 2 = c 2 a = 2pqs og b = (q 2 -p 2 )s c = (q 2 + p 2 )s, s N plus tilsvarende med a og b ombyttet. Bemærk at hvis p og q havde en fælles faktor kunne den flyttes over i s et. Eksempel : s = 1 p = 1 q = 2 giver a = 4 b = 3 og c = 5. s = 1 p = 1 q = 3 giver a = 6 b = 8 og c = 10 (er der noget galt her?) s = 1 p = 1 q = 4 giver a = 8 b = 15 og c = 17 s = 1 p = 2 q = 3 giver a = 12 b = 5 og c = 13. Man kunne tro at man på samme måde kunne finde samtlige heltalsløsninger til de fleste ligninger af formen: Hvor A,B og C er hele tal. Ax 2 + By 2 = Cz 2

12 Lad os prøve 2x 2 + 3y 2 = z 2 Vi antager nu at vi har en løsning uden fælles ægte primdivisorere. Det følger at 3 2x 2 - z 2. Hvis 3 x vil 3 z og 9 3y 2 og 3 y og dette strider mod at x y og z ikke har fælles faktorer. I tilfældet hvor x har rest 1 ved division med 3 vil x 2 også give resten 1. Hvis x rest 2 ved division med 3 vil x 2 også give resten 1 og 2x 2 vil give resten 2, derfor vil 2x 2 - z 2 vil give rest 1 eller 2 ved division med 3. Vi har altså set at der ikke er nogen ikke trivielle heltalsløsninger til ligningen 2x 2 + 3y 2 = z 2. Alternativt kunne man regne i Z/3Z, hvis ligningen 2x 2 + 3y 2 = z 2 havde løsning i Z ville Vi også få en løsning til [2x 2 ] + [3y 2 ] = [z 2 ] og altså en løsning til 2[x] 2 = [z] 2, men denne har kun 0 løsningen; altså kan x, y og z alle forkortes med 3, dette kan vi ikke blive ved med at gøre. Fermat for n = 4. Vi vil her skitsere et bevis og overlade enkelte detaljer til øvelserne. Vi skal altså godtgøre, at der ikke er heltalsløsninger til hvor xyz 0. x 4 + y 4 = z 4 i) Nok at vise at x 4 + y 4 = z 2 ikke har nogen ægte heltalsløsninger. ii) Indirekte bevis antag at (u,v,w) er en løsning hvor w er numerisk mindst mulig. iii) iv) Vi kan antage at ingen af parrene (u,v), (u,w) og (v,w) har fælles primfaktorer. (Hvorfor?) Vi kan antage at u,v og w alle er naturlige tal. (Hvorfor?) v) Antag u og v er ulige, da er u 2 og v 2 også ulige og u 2 + v 2 giver rest 2 ved division med 4, men intet kvadrattal gør dette. Altså kan vi antage at u er ulige og v er lige. Nu bruges det forgående så vi finder, at der findes a og b N, så

13 vi) u 2 = a 2 - b 2 v 2 = 2ab og w = a 2 + b 2 hvor a og b ikke har en fælles primfaktor, da u og v heller ikke har en sådan. Da w er ulige er enten a eller b ulige, men ikke begge. vii) a er ulige. ( a lige og b ulige a 2 - b 2 må give rest 3 ved division med 4, men dette tal er også et kvadrat u 2 og kvadrater på ulige tal giver rest 1 ved division med 4). viii) u 2 + b 2 = a 2 Nu bruger vi igen at vi kender alle løsninger til denne ligning og at a og b ikke har nogen fælles primdivisorere. Der findes derfor l og m som heller ikke har fælles primdivisorere så u = l 2 - m 2 b = 2lm og a = l 2 + m 2 ix) Vi finder v 2 = 2ab = 4lm(l 2 + m 2 ). x) Nu kommer hovedpointen i argumentet. Nemlig hvis et produkt af to eller flere tal er et kvadrat og disse tal parvis ikke har fælles primdivisorere, da er de hver for sig kvadrater. For at kunne bruge dette på ovennævnte skal vi så se at l og l 2 + m 2 ikke har fælles primfaktorere, men en sådan faktor måtte så gå op i l og m 2 og derfor i l og m. Tilsvarende for m og l 2 + m 2. Altså er l, m og l 2 + m 2 alle kvadrater ( Hvad med 4?) xi) l = r 2 m = s 2 l 2 + m 2 = t 2 r 4 + s 4 = l 2 + m 2 = t 2 xi) (rst) 0 w>a 2 = t 2 >t. Vi har nu fundet en modstrid.

14 Opgaver. Øvelse 1. Lad L være en vilkårlig mængde. Vi definerer en komposition $ ved a$b = a. Gør rede for at $ er en associativ komposition forskrift. Øvelse 2. Lad L være en mængde med en associativ kompositionsforskrift. Vi kalder et e højre neutralt, hvis a e = a for alle a fra L. Kan der findes mere end et højre neutralt element i en sådan forskrift? Definerer hvad det vil sige at e' er venstre neutralt. Vis at hvis e er højre neutralt og e' er venstre neutralt ved kompositionsforskriften, da er e =e'. Øvelse 3. Lad L være en mængde og @ en associativ kompositionsforskrift. Antag at e er et venstre neutralt element ved @ og antag at for ethvert a L findes et b L så b@a = e. Vis at (L,@) er en gruppe. (Vink: opgaven er ikke helt nem). Øvelse 4. For p = 7 og 11 ønskes de multiplikative inverse til [2],[3],[4],[5], fundet. Vis Wilson s sætning direkte i disse tilfælde. Øvelse 5. (Har ikke noget med det gennemgåede at gøre.) Lad f(x) = Σ i=0 k h i x i være et polynomium hvor h i erne er hele tal. Antag at p/q er rod i f(x), hvor p/q Q er en uforkortelig brøk. Vis at p h 0 og q h k. Øvelse 6. Lad p(x) og q(x) være to rationale polynomier. Vis at man kan finde polynomier d(x) og r(x) så p(x) = d(x)q(x) + r(x), hvor graden af r(x)<graden af q(x).

15 Øvelse 7. Lad g(x) og f(x) være polynomier hvor alle koefficienterne er hele tal. Antag at for ethvert naturligt tal n da f(n) g(n). Vis at inden Q[X] da vil f(x) g(x). Gælder dette også inden for Z[X]? Øvelse 8. Lad M være en mængde med 3 elementer. Vis at de bijektive afbildninger af M ind i sig selv har 6 elementer og udgør en gruppe. Find ordenen af hver af de 6 elementer. Tilsvarende spørgsmål hvis M har 4 elementer. Øvelse 9. Vis at hvis elementet a i gruppen G har orden n, da er n det mindste tal så a n = 1.

16 Kapitel 3. Tallegemer og konstruktion med passer og lineal. Vi skal i det første kapitel gennemgå en del af teorien for vektorrum over andre algebraiske strukturer (legemer) end de velkendte reelle tal. Vi vil så i næste kapitel anvende denne teori på "konstruktion med passer og lineal". Vi vil vise, at man ikke kan tredele "generelle" vinkler (f.eks. 30 ) og at man ikke kan fordoble vilkårlige terninger udelukkende ved brug af passer og lineal. "Cirklens kvadratur" også et af de klassiske problemer vil blive omtalt sidst i kurset, problemet er her, at konstruere et kvadrat med samme areal som en given cirkel. Man kan vise at dette ikke kan lade sig gøre. Generel teori om legemer. 1. Vi betragter nu en mængde L med mindst 2 elementer og med to kompositioner + og, således at (L,+) er en abelsk gruppe, d.v.s. (L,+) opfylder i) a + b = b + a for alle a, b L ii) (a + b) + c = a + (b + c) for alle a, b og c L (den associative lov) iii) Der findes 0 L, så a+0 = a for alle a L (0 er neutralt element) iv) For ethvert a L findes et element -a, så a+(-a) = 0 (Eksistens af inverst element) Endvidere skal der om den anden komposition gælde, at v) a (b c) = (a b) c for alle a,b og c L (den associative lov) vi) a (b+c) =a b+a c for alle a,b og c L (den distributive lov) vi)' (a+b) c = a c+b c vii) Der findes 1 L, så a 1 = 1 a = a for alle a L (neutralt element) viii) For ethvert a L\{0} findes et b L\{0} så a b=b a=1 (Inverst element)

17 Definition 1. Hvis (L,+, ) opfylder i)-viii) siger vi, at L er et skævlegeme. Bemærkning. Elementet b (som afhænger af a) i viii) er entydigt bestemt og betegnes a -1. D.v.s. der er højst ét element b som opfylder a b = b a = 1. Dette indses på følgende måde: Lad a være givet og lad både b og b' opfylde betingelsen viii). Vi har altså at a b = a b' = 1 = b a = b' a, vi finder b' = b' (a b) = (b' a) b = b (vi har brugt regel v) undervejs). Definition 2. Hvis er kommutativ, d.v.s. opfylder ix) a b = b a for alle a og b L siger vi L er et (kommutativt) legeme. Det er en let øvelse, at se at (R,+, ) og (C,+, ) begge er legemer. Hvis vi skriver (L,+, ) (M,+, ) betyder det, at L er en delmængde af M og kompositionerne + og i L er lånt fra + og fra M specielt vil for a, b L gælde at både a + b og a b tilhører L. Definition 3. Hvis (L,+, ) (M,+, ) og L og M begge er legemer siger vi at (L,+, ) er et dellegeme af (M,+, ). I det følgende udelader vi for det meste, så ab betyder a b. Vi skal, men nok først i et andet kursus eller sidst i kurset betragte skævlegemer. Her i den første del af kurset er alle legemer kommutative. Dellegemer (kommutative) af de komplekse tals legeme (C,+, ) kaldes tallegemer. Med kompositionen a$b = (a + b)/2 er (Q,$, ) ganske vist som mængde indeholdt i C, men (Q,$, ) er ikke et dellegeme.

19 Ligesom i Mat 1 GA forstår vi ved a - b elementet a+(-b), hvor -b er det inverse til b ved kompositionen +. Sætning 1. Lad L C (eller R) være en mængde med mindst 2 elementer og antag at L har følgende 2 egenskaber: i) For alle a, b L, da vil a - b L og ab L ii) Hvis a L\{0], da vil a -1 L, da er L et legeme med samme 0 og 1 som C. (L er altså et dellegeme af C (eller R).) Bevis. L indeholder et element a. I følge i) vil a - a = 0 L. Vi vil dernæst vise at + er en komposition i L, dvs. at a + b L. er en komposition i L på grund af betingelse i). Lad a,b L være givne. Vi har at 0 - b = -b L (betingelse i)) og derfor vil a - (-b) = a+b L. Vi har benyttet at -(-b) = b, men dette er overladt til øvelserne og er i øvrigt ganske nemt at se. Nu er det ikke svært at vise at egenskaberne i),ii) og iii) i definition 1 gælder for L. Da i) og ii) gælder for hele C må de nemlig specielt gælde for elementerne i L. Hvis man i i) i Sætning 1 vælger "a=0" og "b=a" følger det at -a L for alle a L. Det overlades til læseren at vise at de sidste betingelser v)-ix) også er opfyldte for elementerne i L. Man lad os dog bemærke at vi kan vælge et a L, a 0, da L har mere end 2 elementer, men så i følge ii) vil a -1 L og derfor vil 1 L. Undervejs har man indset at 0 og 1 fra C begge tilhører L, derfor må 0 også være neutralt element for addition i L og 1 neutralt element for multiplikation i L\{0}.

20 Bemærkning: Sætning 1 gælder også mere generelt. Hvis en mængde med mindst 2 elementer er et delmængde af et legeme F og hvis vi i L bruger samme addition og multiplikation som i F. Da gælder det at hvis elementerne i L opfylder i) og ii) fra Sætning 1 da er L et legeme med samme 0 og 1 som F. (Argumentet for denne påstand er det samme som viser Sætning 1). Eksempel 1. R, de reelle tal, med sædvanlig addition og multiplikation er et legeme. Eksempel 2. Q, de rationale tal med sædvanlig addition og multiplikation er et legeme. Eksempel 3. (Q,$, ) er ikke et legeme, idet f.eks. $ ikke opfylder den associative lov. Sætning 2. Q er det mindste legeme, som er et dellegeme af de reelle eller komplekse tal. Bevis. Lad L være et dellegeme af R eller C. Vi skal vise at L indeholder Q. Da L er et dellegeme har L det samme + og som R (C). L har et neutralt element 0', som vi nedenfor viser er lig med 0: Da L har mere end 2 elementer findes et a L, så a 0'. Hvis vi regner i R, har vi at a + 0' = a + 0, så ved at addere -a (i R) fås -a + (a+0') = -a + (a+ 0). Den associative lov for + giver: så og da 0 er neutral ved + i R fås 0' = 0 og 0 L. (-a +a) +0' =(-a + a) +0 0+0' = 0 + 0 L har også et neutralt element e ved multiplikation (e 0 for hvis a 0 er ae =a 0). Vi har ee=e1 og da vi regner inden for R eller C, slutter vi at e=1 ved at gange med e -1 taget indenfor R eller C. Så L indeholder 0 og 1. Nu viser man let, at de naturlige tal N er indeholdt i L : Vi har nemlig:

21 1+1=2 L, så 1+2= 3 L. o.s.v. (Formelt et induktionsbevis). Da ethvert positivt tal tilhører L vil på grund af iv) i definition 1 også de negative tal være indeholdt i L, idet det inverse med hensyn til addition inden for L og R (C ) er det samme (overvejelsen på side 2 kan bruges, idet erstattes med +). Begrundelse: Lad b være den inverse til a inden for L og -a den inverse inden for R. Vi får (-a)+( a + b) = -a = (-a + a) + b = b. Man viser nu at det inverse (med hensyn til multiplikation) til et element inden for L og R (C) er det samme: ab = 1 i L så er også ab=1 i R og a(1/a) = 1 i R, men da det inverse i R er entydigt bestemt er 1/a = b. Derfor vil alle brøker af formen 1/a være med i L og endelig vil a (1/b) = a/b for alle a,b (b 0) være indeholdt i L, hvilket skulle vises. Nu til de lidt mere interessante eksempler Eksempel 4. Vi definerer Q( 2) = {a+b 2 a, b Q}. Vi skal senere vise at dette passer med en mere generel definition. Vi påstår at Q( 2) er et legeme. Hertil anvender vi sætning 1, idet Q( 2) oplagt er en delmængde af R. Det er let at vise, at i) er opfyldt (prøv at foretage denne overvejelse selv). Problemet er at vise, at ethvert element i Q( 2) ( 0) har et inverst, som også tilhører Q( 2), det er klart at der er et invers element inden for R. Vi vil benytte at 2 ikke er et rationalt tal (dette er bemærket før og vises senere, men er også kendt fra 1 GA). Vi får brug for følgende bemærkning: a+b 2 = 0 netop når både a og b er 0. lad nu a+b 2 = 0, og b=0, da er a=0.

22 Hvis b 0 kunne man slutte ved division med b at 2 er rational. Hvis både a og b er 0 er det klart at a + b 2 = 0. Så hvis a+b 2 0 vil a-b 2 0 og da vi regner i R (som opfylder nulreglen) er

23 (a+b 2) (a-b 2) = a 2-2b 2 0 og rationalt. Nu er det ganske let at vise, at ethvert element ulig nul har et inverst. Det inverse til a+b 2 er nemlig (a-b 2)/( a 2-2b 2 ) Nedenfor gentages beviset for at 2 ikke er et rationalt tal: Antag nemlig at 2 = a/b, hvor a og b er hele tal og lad os endvidere antage at der ikke er noget primtal som går op i både a og b, fordi hvis der var et sådant kunne vi forkorte både a og b med dette primtal og dermed få en ny fremstilling af 2 og lad os fortsætte sådan så alle de fælles faktorer er forkortet bort; man kunne faktisk nøjes med at forkorte med 2 i tæller og nævner så mange gange det nu er muligt. Kvadrerer vi og flytter lidt rundt får vi: 2b 2 = a 2. Heraf følger det at a er lige og derfor går 4 op i a 2, så b er lige og dette er en modstrid. Vi kunne i eksempel 4 opskrive den inverse ( ved multiplikation) til et givet element (ulig 0), men i det følgende eksempel er det ikke helt så oplagt, hvordan man skal gøre det. Det kan dog lade sig gøre, dette vil blive indset i en opgave. Der vil også komme et rent "teoretisk" bevis. Eksempel 5. Vi definerer (dette er igen del af en generel definition, som vi skal vende tilbage til senere): Q( 3 2) = {a + b 3 2 +c 3 2 2 a, b, c Q}. Vi vil vise at denne delmængde af R er et legeme. Hertil vil vi benytte sætning 1. i) vises igen let ved en direkte udregning: lad nemlig x = a + b 3 2 +c 3 2 2 og y = d +e 3 2 +f 3 2 2 nu er x -y = (a - d) +(b -e) 3 2 +(c -f) 3 2 2 Q( 3 2) og x y = (ad+2bf + 2cd) +(b d + ae + 2cf) 3 2 +(af +b e + cd) 3 2 2 Q( 3 2).

24 Det er egenskaben ii) i sætning 1, der ikke umiddelbart følger, det kan lade sig gøre med håndkraft (se øvelserne ), men det bliver meget lettere med lidt mere teori, som vi så starter på nu. I Mat 1 GA studerede man vektorrum, hvor de tal (skalarer) man gangede med var reelle tal, dette er en unødvendig indskrænkning: Vi lader (L,+, ) betegne et legeme, f.eks. Q,R eller Q( 2). Definition 4. Ved et vektorrum V over L forstås en mængde V med en addition + og en multiplikation med elementer fra L så enhver af de 8 egenskaber i Definition 1.1 side 9 og 10 hos Messer er opfyldt. (Hvis V er et vektorrum over L kaldes L nogle gange V s skalarlegeme.) 1. v + w = w +v for alle v, w V 2. (v + w) +x = v + (w + x) for alle v, w og x fra V 3. Der findes en vektor 0 i V så v +0 = v gældende for alle v V 4. For enhver vektor v i V findes en vektor (betegnet -v) så v + (-v) = 0 5. r(v + w) = rv + rw for r fra L og v og w fra V 6. (r + s)v = rv + sv for r,s L og v V 7. r(sv) = (rs)v for r,s L og v V 8. 1v = v gældende for alle v V. 1. - 4. udsiger at (V,+) er en abelsk gruppe. Det er en let øvelse at indse, at Theorem 1.2-1.8 (hos Messer) gælder, når vi erstatter R med L. (Dette er henvist til en opgave). En væsentlig pointé i det følgende er: Sætning 3. Antag at (M,+, ) er et legeme og indeholder (L,+, ) som dellegeme. M er et vektorrum over L.

25 Bevis: Vi skal vise, at egenskaberne 1.-8. i definition 4 gælder for M. 1.- 4. holder stik, da (M,+) er en abelsk gruppe (egenskaberne i)-iv)i definition 1). Disse har intet med L at gøre.

26 5. gælder da a(b+c) = ab + ac for alle a, b og c M ( egenskab vi)) specielt gælder ligningen når a L. 6. vises tilsvarende, her benyttes at vi)' gælder når a og b tilhører L. 7. er et specialtilfælde af v). 8. følger af vii). Man ser f.eks. at C er et vektorrum over sig selv, over R og over Q. Sætning 4. Hvis (L,+, ) er et dellegeme af (M,+, ) og V er et vektorrum over M, da er V også et vektorrum over L. Bevis: De første 4 egenskaber i definition 4 vedrører igen kun V. De næste 3 gælder for alle r og s fra M og alle v og w fra V, derfor specielt også hvis r og s tilhører L. Den sidste egenskab 8. gælder da 1 i L og M er det samme element. (Se bemærkningen efter sætning 1). Q( Eksempel 6. Q( 2) og Q( 3 2) er begge vektorrum over Q ( Vi har endnu ikke vist, at den sidste mængde er et legeme). Et væsentligt teoretisk hjælpemiddel er dimensionsbegrebet (Messer Chapter 3). Definitionerne og sætninger fra dette kapitel overføres umiddelbart til det generelle tilfælde "vektorrum over L". Vi minder om at en familie af elementer {v 1,v 2,..,v n } fra vektorrummet V (over legemet L) er L- uafhængigt hvis r 1 v 1 +r 2 v 2 +.. +r n v n = 0 medfører at (r 1,r 2,..,r n ) = (0,0,...0). En bemærkning på side 20 siger at 1, 2 er Q-uafhængige. Tilsvarende er {v 1,v 2,..,v n } er et frembringersæt for V over L, hvis enhver vektor v fra V kan skrives v=r 1 v 1 +r 2 v 2 +.. +r n v n

27 for passende r 1,r 2,..,r n fra L. Sættet {v 1,v 2,..,v n } er en basis for V over L, hvis det er et uafhængigt frembringersæt. Selv om vi nedenfor vil give en oversigt over de vigtigste sætninger om dimension af vektorrum over generelle legemer, vil vi i det følgende henvise til Messer bog Chapter 3, hvor R tænkes erstattet med et generelt legeme. Overvej hvad det vil sige at et sæt af reelle tal er lineært uafhængige opfattet som elementer i vektorrummet R over Q. Nu følger en oversigt over nogle dimensionssætninger som gælder for generelle vektorrum: 1. Lad {v 1,v 2,..,v n } være en mængde af vektorer i et vektorrum V. Dette sæt af vektorer er lineært afhængigt netop når en af vektorerne kan skrives som en linear kombination af de øvrige. (Messer Theorem 3.5) 2. Basis: En endelig delmængde {v 1,v 2,..,v n } af et vektorrum V siges at være en basis, hvis sættet er lineært uafhængigt og frembringer V. (Messer definition 3.6). 3. Alle baser for et vektorrum V har det samme antal elementer. (Messer Theorem 3.10) 4. Antallet af elementer i en basis for V betegnes dimv. 5. Antag at {v 1,v 2,..,v n } frembringer V. Der findes en delmængde af {v 1,v 2,..,v n } som er en basis for V. (Messer Theorem 3.11) 6. Lad {v 1,v 2,..,v m } være et lineært uafhængigt sæt af vektorer i et endelig dimensionalt vektorrum V. Der findes vektorer {v m+1,v m+2,..,v n } som sammen med {v 1,v 2,..,v m } udgør en basis for V (Suppleringssætningen Messer Theorem 3.13) 7. Lad V være et n-dimensionalt vektorrum. Et sæt på n-vektorer frembringer V netop når det er et lineært uafhængigt sæt af vektorer. (Messer Theorem 3,15)

28 Bemærk at 1 og i er en R-basis for vektorrummet C, men det er ikke en C-basis, da de er lineært afhængige : i1-1i = 0 Eksempel 6. Hvis L = Q( 2) er dim L = 2, idet vi tidligere har set at 1 og 2 er en Q-basis for L. Eksempel 7. Hvis L =Q( 3 2) er diml = 3, hvis L opfattes som et vektorrum over Q. Vi skriver dette som [L:Q] = 3. Påstanden følger af, at 1, 3 2, 3 2 2 frembringer L. Det skal nu vises at elementerne er lineært uafhængige: Det er let at se at 3 2 ikke er et rationalt tal, dette vises på samme måde som man viser at 2 ikke er rational, se sætning 7 senere i kapitlet. Dernæst den generelle påstand: Elementerne er lineært uafhængige. For hvis der var en Q-kombination som gav 0, ville 3 2 være rod i et andengrads polynomium: f(x) med rationale koefficienter. 3 2 er også rod i x 3-2: = g(x). Vi finder nu ved polynomiers division inden for Q hvor grad af r(x) 1. g(x) =f(x)h(x) +r(x), Indsætter vi 3 2 i ovenstående ligning ser vi at r(x) = 0. Ellers ville 3 2 være rod i et polynomium af grad 1, r(x), dvs. 3 2 var rationalt, modstrid. Det er en ikke særlig svær øvelse, at se at dette ikke kan lade sig gøre, idet man i begge situationer kan slutte at g(x) ville have en rational rod. Dette giver så en modstrid( se opgaverne, både om polynomiers division og rational rodtest). Ovenstående eksempler kan nok synes tilfældige, men er typiske for en lidt mere generel teori.

29 Lad (M,+, ) være et legeme, som vi antager indeholder alle de øvrige legemer vi betragter (i det følgende). Sætning 5. Lad L I være en familie af dellegemer af legemet M. L er et legeme. Bevis. Sætning 5 er en umiddelbar følge af Sætning 1 og definitionen af fællesmængde. F.eks. gælder, at hvis a L og a ikke er 0, da vil a -1 L, da L er et legeme og derfor vil a -1 L. Bemærk at a -1 er det samme element i alle legemerne, idet vi i følge bemærkningen efter sætning 1 har at alle legemerne har samme 1 element og derfor er a -1 i L også det inverse til a i M. Lad nu L være et legeme indeholdt i M og lad x være et element i M, M er et legeme, som indeholder både L og x. Fællesmængden af alle legemer, som indeholder L og x er i følge sætning 5 et legeme og er på grund af definitionen er fællesmængden det mindste legeme, som indeholder L og x, så et sådant mindste legeme eksisterer altså. Definition 5. Vi betegner dette mindste legeme som indeholder L og x med L(x). Analogt kan man definere L(x,y) som det mindste legeme som indeholder L,x og y. {x,y} kan selvfølgelig erstattes med en vilkårlig mængde af elementer. Vi vil nu karakterisere L(x) i det tilfælde, hvor x er rod i et polynomium med koefficienter fra L. Vi bemærker først at L(x) må indeholde alle polynomier i x dvs. alle elementer af formen l n x n + l 1 x + l 0, l i L for alle i og hvis et sådant element er ulig 0 må dets inverse også tilhøre L(x). Vi har nemlig at x tilhører L(x) og dermed vil alle potenser af x tilhøre L(x), da L(x) er afsluttet overfor multiplikation.

30 Følgelig, da L er indeholdt i L(x) vil l x n være indeholdt i L(x) for alle l fra L. Vi har altså set at L(x) {l n x n + l 1 x + l 0 l i L og n N} Hvis x er rod i et polynomium med koefficienter i L, vil vi vise at højresiden ovenfor er et dellegeme af M, som klart indeholder L og x og vi har derfor lighedstegn. Hovedsætningen i dette afsnit er formuleret nedenfor og indeholder ovennævnte bemærkninger. Sætning 6. Lad ære et tal fra et legeme M og antag at "!$#&% '! n (>0) og ikke rod i noget polynomium af lavere grad, da er mængden af polynomier i () ' legeme og et vektorrum over L af dimension n og basis kan være: 1, (*,+-+.*/( (Altså er L(( 0132 4 Σi=0 n l i 5 i l i 6 L} = {Σ 4 i i l i 5 l i 6 L, i 6 798;:<>=? L). n-1. Bevis: Vi ved@/ä BC$DFEHGJI-KCDML;D BDN$D K$BPOIQNRBSUTOWVKT/XYI-Z$X[X\D C^]TD G_GJIQ`MIQD'K/BPDFEaI$bc@/LdT/X[eA'E fhgjik[lminpo q9rfsutwvsxtjy,z {$rm}h{r'sr ~Uv - Rzv/ \yqƒ/ h Mt pr}ˆ~prš sm {> ŒŽ$}dv [ 's }dv [smv/{ Hvis denne grad er n, påstår vi altså at 3 n-1 (1) H + l 1 š œ 0 l i L for alle i} n-1 š Vi påstår bl.a. at mængden på højre side af lighedstegnet er et legeme. Af bemærkningerne før sætning 6 følger det, at mængden på højre side er en delmængde af L( ždÿ Lad os kalde mængden på højresiden for V. Vi skal vise, at V er et legeme, idet V œq ' w, / ' $œ / ' ª «3 å V er ikke tom. Vi skal også vise at V er vektorrum af dimension n med potenserne (<n) af d R [ d Ÿ Lad os først vise, at V er et vektorrum over L. V er klart stabil overfor addition og multiplikation med elementer fra L (Messer Theorem 1.1 Subspace Theorem): l( l n-1 n-1 n-1 + l 1 œ 0 ) = l l n-1 + l l 1 œ œ 0 som tilhører V.

X X 31 (l n-1 som også er et element i V. V er altså et vektorrum. Vi vil nu finde en basis for V. Definitionen af V giver at sættet {1, Vi påstår dernæst at 1, Lad os antage at l n-1 Men så var n-1 n-1 + l 1 0 ) + (k n-1 + k 1 0 ) = n-1 (l n-1 + k n-1 + (l 1 +k 1 0 +k 0 ), n-1 n-1 + l 1 "! strider mod vor antagelse. Altså er 1, n-1 } frembringer V. er L-uafhængige. 0 = 0, hvor ikke alle l j 'erne er 0. "#$%#'&)(+*"&,.- øjst n-1, nemlig g(t) =l n-1 t n-1 + n-1 en basis for V. For at vise, at V er et legeme vil vi anvende Sætning 1. "! Men lad os først antage, at /0 " 1#234 Ved division med a n f(t) = a n t n + a 1 t +a 0, hvor a i L for alle i og a n 0. l 1 t +l 0 og dette 56758 &+ 90: :<;=?>@94AB@;: CD94:<9ABFE AG9IH1:<JK=@L M;@N O1BF;CD>3PCRQ =S T SULS79A@M;NO"B@;"C2>394AWV hvor koefficienten til højestegrads leddet er 1). Vi kan altså uden tab af generalitet antage at f(t) er normeret, d.v.s. a n = 1. Vi vil først vise, at ganger man to elementer fra V med hinanden, da tilhører produktet V. Vi vil altså vise at er en komposition i V. Bemærk at da 94: X n =- (a n-1 Vi har altså vist at X n + a 1 X?Y J 0 = 0 n-1 + a 1 X?Y J 0), som tilhører V. n tilhører V og dermed vil a X n tilhøre V for alle a fra L, da V var et vektorrum. Z\[][_^a`4b cd/egf+`4ch]@`0b ij"fg`0cf^ke,lnm/`bo[pcfq` holdt i V ( dette gøres ved induktion efter eksponenten ). m n+1 `0br[3cq`0hj@sq7f [ZutlWjbq[Fq`fve0cw^<vb<[p]@`7^x^ajy mz+m n ) : { } n-1 n -a n-1 + -a 1 -a 0 ) = -a n-1 +( a 2 @~ra ' ƒr 0 /6 ', Ĝ, 4 D 4 Ĝ 0ƒr Gƒ6 1 - a 0 vektorrummet V].

@ G 32 n Samme udr V for v! #"$ &%$' ()* +, V. k+1 k k tilhører V forudsat at vi har vist tilhører V, dette gælder fordi -. '!/./10 324 5 # # med element fra V og det tilfælde har vi lige klaret. Så det følger at V er mængden af polynomier i Nu er i) i sætning 1 bevist, fordi differensen og produktet af to polynomier er et polynomium. Vi skal nu i gang med ii). # 6 87$ 9: );# < #11=>7 n-1 07 (A 0 2, B"$2C D;AE * F7 ører V. n-1 + l 1 &?.7 0 0, da har dette element et inverst, som er et Vi betragter afbildningen f af V ind i V givet ved v #3$ GH'IJBK+LMH'NO*J PDG1QAI.R#P JSTG1U9P$V!WXG3U9P-YZV:[#\)PS]^P _U1`V-W4P a _#U.`$Vb[#\cdHIeUFP v=v'. ( Vi kan blot gange med det inver SHrO*Jm _U1`$V!JZK\H'KsG1Q#I-ptVM] (Bemærk at afbildningen er en lineær afbildning.) Afbildningen opfylder: Hvis v 1,v 2,..,v n er lineært uafhængige elementer fra V, _$Uu`$Vb[vP _U1`$Vb[] ]w[ P _U1`$VmJ K H da er også v 1 ært uafhængige. 2 n (Denne egenskab gælder generelt for en injektiv lineær afbildning.) _$Uu`$V:[vP _$Uu`$V:[]x]w[yP _$Uu`$VHIemJ K H For at vise at v 1 2 n ært uafhængige, skal vi vise at hvis _$Uu`$V1z.m _$Uu`$V1z zhm _U1`$V.Whg l 1 v 1 2v 2 nv n da er l 1,l 2,..,l n alle 0. På grund af vi)' i definition 1 er Q$_w_#c'K_#H'IP6Jn4H{\j_Uu`Vba STJ K#P H'I:SHdJ$p ( l 1 v 1 +l 2 v 2 + + l n v n V3_$Uu`$V!WXg ølger det at l 1 v 1 +l 2 v 2 + + l n v n = 0 P6a Vf_U1`$V.WhgiQ$_j\#ckP J HIlJHOm8H _#H'noHqp H'I - og da v i 'erne var uafhængige er l 1 =0, l 2 =0,..., l n =0 og påstanden følger. _$Uu`$V:[vP _$Uu`$Vb[] ]w[yp _$Uu`$V!c{m O1S Da V havde dimension n må v 1 å være en basis for V (7.), specielt er 1 en linearkombination af ovennævnte elementer altså: 2 n

33 l 1 v 1 2v 2 nv n!#" i 'er og v i 'er. Sætter vi g($ &% ' ()*+, -./01 2, 345,)647 $ )892:2<;=4>*2?@;!A'B Hermed er beviset for sætningen afsluttet. Et alternativt argument for sidste del af beviset kunne være: Dimensionssætningen fra Messer giver at dimf(v) = dimv + dimker(f) og da f er injektiv er dimf(v) = dim(v) og f er surjektiv. 1 tilhører derfor f(v), beviset kan nu afsluttes som før.

34 Sætning 6 siger intet om hvordan man finder dette polynomium i det generelle tilfælde. Dog findes der metoder til dette (Mat 2 AL og 3 AL), men her har vi kun brug for "enkelte konkrete" situationer og vi vil så prøve at klare os med ad hoc metoder. Vi har allerede set 2 eksempler: Q( 2) og Q( 3 2). 2 var rod i et polynomium af anden grad og ikke rational, derfor er Q( 2) = {a+b 2 a, b Q} i følge sætning 6 og dim Q Q( 2)= 2. Vi har tidligere set at 3 2 var rod i et 3'die grads polynomium, men ikke rod i noget polynomium af lavere grad. Derfor er i følge sætning 6 Q( 3 2) = {a+b 3 2+ c 3 2 3 2 a, b og c Q}. Vi har endvidere set at definitionen af de 2 legemer Q( 2) og Q( 3 2) i starten af kapitlet stemmer overens med definition 5. Følgende resultat kan ofte være ganske nyttigt. Sætning 7. Lad h være et naturligt tal og lad p være et primtal så p ikke går op i h, da gælder for ethvert n>1 at n ph ikke et rationalt tal. Bevis. Antag at n ph = a/b, hvor a og b er hele tal, b ulig 0. Vi kan antage, at a/b er en uforkortelig brøk. Vi finder ph = a n /b n så phb n =a n så p a og derfor må p h eller p b, hvilket er en modstrid. De næste sætninger skal i eksempler anvendes til at beregne forskellige dimensioner eller minimale grader af polynomier, der har et givet element som rod. Definition 6. Lad L være et dellegeme af M. dim L M betegnes med [M:L].

36 Sætning 8. Lad E,F være 2 legemer og G et vektorrum over F. Antag at E er et dellegeme af F. Da gælder: G er et vektorrum over E og dim E G =dim F Gdim E F. Specielt gælder at hvis G er et legeme som indeholder F, da er [G:E]= [G:F][F:E]. (Det er forudsat at alle dimensioner er endelige). En basis for G som vektorrum over E kan fås som følger: Tag en basis for G over F: (g 1,...,g k ) og en basis for F over E: (f 1,...,f l ), da er (f j g i ) i,j 1 i k og 1 j l en basis for G over E. Bevis. Lad (g 1,...,g k ) være en basis for G opfattet som vektorrum over F (Vi siger at vi har en basis for G over F). Lad (f 1,...,f l ) være en basis for F over E. Vi påstår, at (f j g i ) i,j 1 i k og 1 j l er en basis for G over E. Vi kan i følge sætning 4 nemlig opfatte G som et vektorrum over E. Hvis vi kan vise denne påstand er vi færdige, idet vi så har vist at dim E G= kl. Lad g G, vi kan skrive g = Σ i y i g i y i F, hvert y i kan skrives på formen y i = Σ i x ij f j,hvor x ij tilhører E. Indsætter vi dette i udtrykket for g får vi g = Σ ij x ij f j g i, dette viser at sættet frembringer G. Vi mangler at vise, at sættet er uafhængigt over E. Vi antager 0 = Σ ij x ij f j g i = Σ j (Σ i x ij f j )g i og da g i 'erne er lineært uafhængige over F slutter vi at for alle i er Σ i x ij f j = 0 Derfor er x ij = 0 for alle i og j, da f j 'erne var en basis for F (specielt uafhængige) over E.

37 Vi kan nu udnytte ovennævnte til en række konkrete dimensionsbetragtninger og endelig vil det være et afgørende hjælpemiddel, når vi skal til at vise, at visse konstruktioner med passer og lineal ikke kan lade sig gøre. Men først vil vi udnytte sætningen til at beregne forskellige vektorrums dimensioner i nogle forskellige eksempler.

38 Eksempel 8. Q( 3 2, 2) betegner det mindste legeme, som indeholder 3 2 og 2. Vi vil vise, at dette legeme har dimension 6 over Q. Vi bemærker at legemet indeholder dellegemer både af dimension 2 og 3 over Q, så 2 og 3 og derfor 6 må i følge sætning 8 være en divisor i legemets dimension. Så vi skal bare vise, at dimensionen er højst 6. Betragter vi Q( 2) (= F), som et dellegeme af Q( 3 2, 2) = G finder vi at [G:F] 3, der er et frembringersæt på 3 elementer for G som vektorrum over F, idet 3 2 er rod i et tredie grads polynomium over F, da 3 2 er det over Q. Da F's dimension over Q er 2 følger påstanden. Eksempel 9. Vi betragter Q( 2, 3) = G. Vi påstår at G er et 4 dimensionalt vektorrum over Q. Det er klart at G indeholder Q( 2) = F som er et 2-dimensionalt vektorrum over Q, så 2 går op i [G:Q]. 3 ikke tilhører F: For hvis 3 = a + b 2, ville man ved kvadrering få: 3 = a 2 + b 2 +2ab 2. Hvis a og b begge er ulig 0 ville man kunne slutte at 2 var rational. a = 0 og b 0 ville give 3/2 var rational, overvej at dette ikke gælder. b = 0 og a 0 ville medføre at 3 var rational. Påstanden er hermed vist idet man i alle tilfælde har opnået en modstrid. Endvidere er [G:F] 2, da 3 er rod i et andengradspolynomoium over F. Nu følger at [G:Q] = 4 ved brug af sætning 8. Vi bemærker at 1, 2, 3, 6 kan bruges som basis for G som vektorrum over Q i følge sætning 8. Eksempel 10. E = Q( 2+ 3). Vi påstår at E er et 4-dimensionalt vektorrum over Q.

39 Vi prøver først med samme metode som før. Det er klart at E G, hvor G betegner vektorrummet Q( 2, 3). I eksempel 9 så vi at [G:Q] = 4, så [E:Q]= m går op i 4.

40 Det giver følgende muligheder for m: m=1,2 og 4. 1 udelukkes, da 2+ 3 ikke er rational, da 1, 2, 3, 6 er Q-uafhængige. Men det er lidt besværligt at argumentere helt som før, men vi kan sno os som følger: E indeholder 6: (1/2)( 2 + 3) 2 = 1 + 6 +3/2 = 6 + 5/2. Da 5/2 Q, vil 6 E. Da E er afsluttet over for multiplikation vil E også indeholde 6( 2+ 3) =3 2+2 3. Så E vil også indeholde 3 2+2 3-3( 2+ 3) =- 3 og derfor vil E også indeholde 2. Så E bliver faktisk lig med G og dermed er [E:Q] = 4. Vi slutter teorien i denne omgang med en kort sammenfatning af nogle resultater og metoder: Lad L være et dellegeme af legemet M. Hvis 2 elementer a og b tilhører M, kan vi betragte L(a,b) det mindste dellegeme af M som indeholder L, a og b. Det er let at se at L(a,b) = L(a)(b) = L(b)(a) (Øvelse 18). Sætning 6 medfører at hvis a eller b er rod i et m'te grads polynomium med koefficienter fra L (L(a)), da er dim L (L(a)) m (dim L(a) (L(a)(b)) m). Sætning 8 giver nu dim L (L(a,b)) =dim L (L(a))dim L(a) (L(a)(b)) dim L (L(a))dim L (L(b)). Specielt følger det at både dim L (L(a)) og dim L (L(b)) er divisorere i dim L (L(a,b)). Vi har nu følgende nyttige resultat: Korollar. Hvis dim L (L(a)) = p og dim L (L(b)) = q og p og q er 2 forskellige primtal, da er dim L (L(a,b)) = pq.

41 Vi har nu næsten udviklet tilstrækkeligt med teori til at vi kan løse en række klassiske problemer. Men mere om det i næste kapitel. OPGAVER. Øvelse 1. Vis at for en abelsk gruppe er det kun ét neutralt element ved + og der er kun ét inverst element til et givet a. Øvelse 2. Antag at (L,+, ) opfylder i)-vi)'. Vis at 0a = a0 = 0 og a(b -c) = ab - ac for alle a,b og c fra L. Øvelse 3. Vis at hvis (L,+, ) opfylder i)-iv) de distributive love og at (L\{0}, ) er en gruppe, da er L et skævlegeme. Øvelse 4. Vis at man kan erstatte viii) med for ethvert a L\{0} findes et b så ab=1. Øvelse 5. Udstyr {0,1} med kompositioner så {0,1} herved bliver et legeme. Øvelse 6. Vis Sætning 1. Øvelse 7(*). Vis ved en direkte udregning at eksemplet Q( 3 2)(eksempel 5) er et legeme. Øvelse 8. Vis at Messer Theorem 1.4 og Theorem 1.5 gælder, hvor R erstattes med L.

42 Øvelse 9. Vis at Q( 2) har dimension 2 som vektorrum over Q ved at vise at 1+ 2 og 1-2 er et lineært uafhængigt frembringersystem. Øvelse 10. Vis Theorem 3.9 hos Messer, hvor R er erstattet med L Øvelse 11. Vis at x 3-2 ikke er produkt af et første- og et andengrads polynomium.

43 Øvelse 12. Lad x være et reelt tal, som ikke er rationalt. Vis at Q(x) = {f(x)/g(x) g(x) 0}, hvor f og g er polynomier. Man skal altså vise blandt andet vise at højresiden er et (del)-legeme af R, som indeholder x. Øvelse 13. (Træningsopgave). Lad V være et vektorrum over legemet L. Vis at: 0 + v = v v + (-v) = 0 a0 = 0 0v = 0 Vis at hvis v + u = 0, da er u = -v. Vis at hvis rv = 0 da er r = 0 eller v = 0 Vis at (-1)v = -v og -(-v) = v og (-r)v = -rv Vis at hvis v 0 og rv = sv da er r = s. Vis at hvis v = -v, da er 2v = 0 og at hvis v + w = v + u da er w = u Vis at for a,b L og ab = 0, da er a = 0 eller b = 0. Overvej i alle spørgsmålene, hvor de berørte elementer ligger. Øvelse 14. Lad L være en vilkårlig mængde. Vi definerer en komposition $ ved a$b = a. Gør rede for at $ er en associativ komposition forskrift. Øvelse 15. Lad L være en mængde med en associativ kompositionsforskrift. Vi kalder et e højre neutralt, hvis a e = a for alle a fra L. Kan der findes mere end et højre neutralt element? Definerer hvad det vil sige at e' er venstre neutral Vis at hvis e er højre neutralt og e' er venstre neutralt ved kompositionsforskriften, da er e =e'.

44 Øvelse 16. Lad L være en mængde og @ en associativ kompositionsforskrift. Antag at e er et venstre neutralt element ved @ og antag at for ethvert a L findes et b L så b @ a = e. Vis at (L,@) er en gruppe. (Vink opgaven er ikke helt nem).

45 Øvelse 17. Lad f(x) = a 0 + a 1 x + +a n x n være et polynomium, hvor a i 'erne alle er hele tal. Antag at den uforkortelige brøk r/s Q er rod i f(x). Vis at r a 0 og s a n. (Betingelsen kaldes rational rodtest). Øvelse 18. Gør rede for hvad der forstås ved L(a)(b), hvor L er et dellegeme af legemet M og a,b M. Vis at L(a,b) = L(a)(b) = L(b)(a). Øvelse 19. Find dim Q Q( 2) og dim Q Q( 5). Vis at 5 Q( 2) Vis at dim Q Q( 2, 5) = 4 Vis at 1, 2, 5 og 10 er 4 Q-uafhængige i R. Find dim Q Q( 2+ 5) Øvelse 20. Find dim Q Q( 2 + 3 2). Tip: Lad os betegne legemet Q( 2 + 3 2) med L. Vis at L er et dellegeme af et legeme som har dimension 6 over Q. Vis også at L( 2) = Q( 2, 3 2). Slut så at L har dimension 3 eller 6 som vektorrum over Q. Udeluk så 3. Øvelse 21. Betragt mængden af matricer af formen a b

46 -b a hvor a,b er reelle tal. Gør rede for at denne mængde af matricer L med sædvanlig matrixmultiplikation og matrixaddition udgør et legeme. Definer hvad det vil sige at 2 legemer er isomorfe. Er L isomorft med et kendt legeme? Øvelse 22. Vis at midtnormalerne i en trekant går gennem samme punkt. Vis at vinkelhalveringslinierne også gør det.

47 Kapitel 4. KONSTRUKTION MED PASSER OG LINEAL. Vi vil i dette kapitel give vores version af hvad det vil sige: En figur eller et tal kan konstrueres med passer og lineal. Derefter vil vi beskæftige os med følgende klassiske problemer: 1. Kan man konstruere et kvadrat med samme areal som en given cirkel. 2. Kan man konstruere siden i en terning, som har det dobbelte volumen af en given terning. 3. Kan man tredele enhver vinkel. 4. Kan man for ethvert n konstruere en regulær n-kant. (For hvilke n kan den regulære n-kant konstrueres). 3. har været forsøgt løst positivt af mange "amatør" matematikere, mange gange har deres "løsning" af problemet vist, at problemstilling ikke har været forstået fuldt ud. I 3. påstår vi ikke, at ingen vinkler kan tredeles, f.eks. er det let at tredele 90. Men lad os først prøve at præcisere forudsætningerne og spillereglerne. Vi har altså givet en passer og en lineal uden inddelinger (teoretisk set). Endvidere er der givet to forskellige punkter i den sædvanlige Euklidiske plan.

48 Punkterne betegner vi med 0 og P i det følgende. Lad S = {O,P}. Ud fra S "konstruerer" vi en ny mængde S 1 på følgende måde: Vi konstruerer alle linier gennem to forskellige punkter fra S. Denne mængde betegnes: L(S). Vi konstruerer alle cirkler med centrum i et punkt fra S og radius som er afstanden mellem to punkter i S. Denne mængde betegnes: C(S). S 1 betegner nu foreningsmængden af S og alle skæringspunkter mellem: i) To af linierne fra L(S). ii) En cirkel fra C(S) og en linie fra L(S). iii) To cirkler fra C(S). Da S kun bestod af 2 punkter er der i dette tilfælde kun 1 element i L(S) og kun 2 elementer i C(S). Det er en let øvelse at se at S 1 kommer til at bestå af 6 punkter. Hvis S havde været en vilkårlig (endelig) delmængde af planen, så kunne vi have dannet (endelige) mængder (C(S) og L(S)) på helt tilsvarende måde og udført de samme operationer. Herved havde vi fået en ny (endelig) mængde S 1. Men nu fortsætter vi blot processen, hvor S erstattes med S 1 og får dannet en mængde S 2 (altså på præcis samme måde som da vi dannede S 1 ud fra S), idet vi overalt i ovenstående erstatter S med S 1 og S 1 med S 2 Herved får vi en kæde af (endelige) mængder S S 1 S 2 S 3... Hvis S i ovenstående er {0,P} definerer vi nu:

49 Definition 1. Vi siger at et punkt Q i planen er konstruerbart (relativt til S), hvis Q et af S i 'erne. En konstruerbar linie er en linie i en af L(S i )'erne. En konstruerbar cirkel er en cirkel i et af C(S i )'erne. tilhører Vi bemærker at en konstruerbar linie netop er en linie mellem 2 konstruerbare punkter. En cirkel er konstruerbar hvis den har centrum i et konstruerbart punkt og radius som er afstand mellem 2 konstruerbare punkter. Dette følger let for hvis f.eks. en cirkel opfylder betingelserne i definition 1 da er centrum et konstruerbart punkt og radius som er afstand mellem 2 konstruerbare punkter. Omvendt hvis cirklen har centrum i et konstruerbart punkt og radius som er afstand mellem 2 konstruerbare punkter vil de pågældende punkter alle tilhøre et eller andet S i og dermed vil cirklen tilhøre C(S i+1 ) og er dermed konstruerbar. Med S* betegner vi de konstruerbare punkter, med C* ( L*) de konstruerbare cirkler (resp. linier). Tager vi to punkter i S* tilhører de begge et S i for passende i og dermed vil linien som forbinder dem tilhøre L(S i ) og dermed tilhøre L*. På samme måde vises, at har vi en cirkel med centrum i punkt fra S* og radius lig med afstand mellem to punkter i S*, da vil cirklen tilhøre C*. Det følger nu (ved en let overvejelse) at: ((S*)*) = S*, ((C*)*) = C* og at ((L*)*) = L*. Altså vi får ingen nye punkter ved at erstatte S med S* i den beskrevne proces. Man bemærker endvidere, at starter vi med en vilkårlig delmængde T ( ikke nødvendigvis endelig) af S* i stedet for S, vil vi, hvis vi anvender ovennævnte procedure med T i stedet for S igen få S*. Dette følger af ovenstående bemærkninger og af at hvis S T S* S 1 T 1 (S*)*= S* og hermed følger det at T* bliver en delmængde af S*, da alle T i 'erne er det.

50 Lemma 1. Givet 2 punkter fra S* eller to vilkårlige punkter, da kan man (dvs. ved anvendelse af proceduren ovenfor) konstruere en linie gennem det ene punkt og vinkelret på linien, som forbinder de to punkter. Sagt i sprogbrugen fra definition 1. Givet to punkter Q og Q' fra S*, da vil linien gennem Q og vinkelret på linien gennem Q og Q' tilhøre L*. Bevis: Dette følger af nedenstående tegning: Beskrivelse af tegningen: Cirklen med centrum i Q og radius: QQ' er klart konstruerbar og vil skære linien l i et punkt Q''. Cirklerne med centrer i Q' og i Q'' med radius Q'Q'' vil skære hinanden i 2 punkter X' og X'' linien der forbinder X' med X'' er den søgte linie. (Tip: Trekanterne r kongruente og dermed er QX' vinkelret på l ). Bemærkning. Givet en linie l i L* og et P fra S*, da vil linien parallel med l gennem P tilhøre L*. Bevis: Dette er en let øvelse, hvis man udnytter lemma 1.

51 Vi vil nu lægge et koordinatsystem ind i planen og prøve algebraisk at beskrive problemstillingen. Vi vil prøve at udnytte resultaterne fra kapitel 3. Vi lader O være begyndelsespunktet. Afstanden fra O til P vil vi benytte som enheden 1. Linien OP er x-aksen Linien gennem O og vinkelret på OP er y-aksen (denne linie kan konstrueres i følge lemma 1). I dette koordinatsystem får O koordinaterne (0,0) og P får koordinaterne (1,0). Punktet med koordinaterne (0,1) er også konstruerbart, da det er skæringen mellem y-aksen og cirklen med centrum i O og radius OP = 1. Nu følger let en række resultater. Vi nummerer disse påstande og overlader beviserne til øvelserne. 1. Hvis punktet med koordinater (r,0) er konstruerbart, da er også punktet med koordinaterne (0,r) det. 2. Punktet med koordinaterne (a,b) er konstruerbart netop når punkterne med koordinater (a,0) og (0,b) begge er konstruerbare. Definition 2. Vi siger at et reelt tal r er konstruerbart, hvis punktet med koordinaterne (r,0) tilhører S*. 3. Hvis Q S* og har koordinater (a,b), da er a og b konstruerbare tal. (3 er en direkte følge af 2.) Det næste resultat er ikke helt så oplagt. 4. Ethvert rationalt tal er konstruerbart. Vi får senere brug for et analogt resultat til 4., så vi vil give argumentet i alle detaljer.

52 Vi skal vise, at for et rationalt tal q er (q,0) et konstruerbart punkt. Vi har set, at (1,0) er et konstruerbart punkt. Ved at tegne cirkler med centrum i (0,0) og (1,0) og radius 1 ses det at punkterne (-1,0) og (2,0) er konstruerbare punkter. Nu følger det let at ethvert helt tal er konstruerbart. Beviset er afsluttet hvis vi kan vise, at hvis a og b er konstruerbare tal, da er 1/a og ab begge konstruerbare tal (a_ 0). Dette er en observation som man i "gamle dage" gjorde i skolen. Nedenstående tegning skulle bringe nye elever op på gammel standard. Vi vil benytte, som vi tidligere har påstået: Hvis l er en konstruerbar linie og Q et konstruerbart punkt, som ikke tilhører linien, da er linien gennem Q parallel med l også konstruerbar. (0,x) (0,a) (0,y) (1,0) (b,0) Figur 2. Vi har at 1/b = a/x og a/y =b Vi finder at hvis a og b er konstruerbare tal, da er ab = x et konstruerbart tal. Hvis a specielt er 1 og b er konstruerbart, da by = 1 og 1/b er et konstruerbart tal. Vi har nu vist det meste af følgende sætning.

53 Sætning 1. De konstruerbare tal er et legeme K, som indeholder Q og hvis d>0 er et konstruerbart tal( d K), da vil d K. Bevis. Det er oplagt, at hvis a og b er konstruerbare tal, da er a+b og -a også konstruerbare tal. Vi har set at hvis a og b er konstruerbare, da er ab og 1/b (b 0) og så konstruerbare. Sætning 1 i kapitel 3 viser nu at K er et dellegeme af R. For at vise sætningen skal vi altså bare indse den sidste påstand. Hertil bemærker vi, at hvis d K, da vil også (i følge ovenstående) d+1 K. Derfor vil (d+1)/2 K. Nu følger det at figur 3 (nedenfor) kun indeholder punkter fra S*, linier fra L* og cirkler fra C*. Derfor er punktet A med koordinaterne (1,y) i S*, så y K. Men (*) (1-(d+1)/2) 2 + y 2 = (d+1/2) 2 da A var et punkt på cirklen. Regner vi på udtrykket (*) finder vi, at y 2 = d. Heraf følger påstanden. Det følger af pkt. 2. og pkt. 4. at punkter med koordinater af formen (a,b), hvor a,b Q, alle tilhører S* (de konstruerbare punkter). Derfor kan vi ligeså godt starte vores procedure på side 24 med

54 S = {(a,b) (a,b) QxQ}. Herved får vi igen S*, dette følger af overvejelserne i starten af kapitlet. Så vi tænker os først at vi har "konstrueret" de rationale tal, som vi overalt vil betragte som vores "grundlegeme". De næste resultater er afgørende for at vise, at visse tal er konstruerbare og at andre ikke er det. Det første resultat giver en idé om hvad man kan håbe på at få frem som konstruerbare tal. Sætning 2. Lad der være givet en følge af tallegemer K i R 1 i m Q=K 0 K 1... K m Antag at for alle i er [K i :K i-1 ] = 2 og at u K m. Da er u et konstruerbart tal. Bevis: Vi ved at ethvert tal fra Q er konstruerbart. Vi anvender induktion efter m. For x K 1 er 1,x,x 2 lineært afhængige over Q (da K 1 's dimension over Q er 2), så x er rod i et rationalt andengrads polynomium. Heraf følger, at x er sum af et rationalt tal og a, hvor a er rational og a>0, idet man udnytter at x er et reelt tal. Nu erstatter vi Q med K i og slutter at ethvert element i K i+1 er konstruerbart. Fortsætter vi følger påstanden. Nu kommer de lidt hårdere teoretiske overvejelser. Den næste sætning er en art omvendt sætning til ovenstående. Men vi får først brug for et par lemmaer. Lemma 2. Lad F være et dellegeme af de reelle tal R. (1) Hvis en linie indeholder 2 punkter, hvis koordinater er i F, da er liniens ligning af formen ax + by + c = 0, hvor a,b,c F. (2) Hvis centret for en cirkel har koordinater, som tilhører F og radius r opfylder, at r's kvadrat tilhører F, da har cirklen en ligning af formen