Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet

Erhvervsøkonomisk insiu Afhandling Vejleder: Peer Løche Jørgensen Forfaere: Kasper Korgaard Anders Weihrauch Prisfassæelse og hedging af opioner under sokasisk volailie Suppose we use he sandard deviaion of possible fuure reurns on a sock as a measure of is volailiy. Is i reasonable o ake ha volailiy as consan over ime? I hink no - Fischer Black Handelshøjskolen, Aarhus Universie Augus 008

Absrac Due o an increased variaion on he financial asses, he financial markes of oday have become more volaile han earlier. Hence, opions have become increasingly popular means o reduce he risk associaed wih he variaion. In his conex in 1973 Black & Scholes developed an analyical formula for he valuaion of opions. However, he model is only applicable under cerain rigid assumpions - among ohers ha he logarihmic reurn is normally disribued and ha he variance of he process of he underlying asse is boh consan and known. Several empirical sudies and resuls, however, rejec hese assumpions. The logarihmic reurn ends o yield a larger probabiliy for he reurn around he average as well as hicker ails and negaive skewness of he disribuion. Furhermore, i is observable ha he variaion of he change of he log reurn ends o cluser and finally ha he here is a significan negaive correlaion beween he reurn and variaion of he same asse. If a differen perspecive is aken i is possible, by means of he volailiy smile, o prove ha he variaion is no consan across moneyness and ime. Here he variaion displays a consanly decreasing endency across moneyness whils he smile becomes less significan wih increasing ime o mauriy. These inadequacies of he Black-Scholes model indicae ha a more realisic and flexible model is required in order o describe he opion prices observed in he marke. During he pas wo decades new models aemping o loosen he raher rigid assumpions of he Black-Scholes model have occurred. Among oher hings he models include sochasic volailiy and ineres as well as jumps in he process of he underlying asse where he primary objecive has been o aemp o fi he acual reurn disribuion. The greaes improvemen in he pricing model in relaion o Black-Scholes occurs when acceping ha he volailiy is sochasic. In lieraure he model of Heson appears o have become he mos popular for sochasic volailiy. The populariy of he models is a resul of is abiliy o explain sochasic means revering volailiy along wih he negaive correlaion beween he variance and asse process, which renders i possible o reproduce he skewness in he observed reurn disribuion. Addiionally, he model is also able o fi he higher empirically observed kurosis and he hicker ails of he disribuion of logarihmic reurns. Furhermore, a semi-closed soluion for he opion prices has been derived from he Heson model which makes i pracically applicable. The flexibiliy of his model in relaion o he poins above and is influence on he reurn disribuion is of grea imporance o he pricing of opions in relaion o he assumpions of he Black-Scholes model. Compared o he Black-Scholes model he Heson model's abiliy o

incorporae he negaive correlaion enails ha he ou-of-he-money (OTM) call opions are priced lower in he Heson model han under he Black-Scholes assumpions. Tha is due o he negaive correlaion causing negaive skewness diminishing he hickness of he righ ail in he reurn disribuion. The value of in-he-money (ITM) call opions, on he oher hand, is higher in he Heson model compared o he Black-Scholes model. A-he-money (ATM) he price difference is minimal. Through he volailiy of he variance he Heson model influences he kurosis of he reurn disribuion. The higher he volailiy of variance he higher he kurosis in relaion o he normal disribuion. This corresponds well o he observed, acual reurn disribuion. A higher kurosis means ha he price of call opions around ATM becomes cheaper wih he Heson model han wih he Black-Scholes model. However, he hicker ails in he reurn disribuion under he Heson assumpions resul in he OTM and ITM call opions are worh more if seen in comparison o he Black-Scholes model. Because of he Heson model's abiliy o include correlaion and he volailiy of he variance process he model is a he same ime able o fi he observed volailiy smile and surface in he marke, which indicaes ha Heson's model is beer a fiing he empirical observaions and hence more useful when pricing opions han Black-Scholes' simplified model. The inroducion of sochasic volailiy complicaes he pricing of opions as a furher dimension is added in relaion o he Black-Scholes model. For his he Mone Carlo simulaion is excellen as his mehod is useful when working wih muli dimensional problems. The mehod simulaes he various elemens of uncerainy in Heson's model and hus yields an accepable esimae of he opion prices. Unlike he classical Black-Scholes model he Heson model does no offer an explici expression for calculaing he expeced price of he underlying asse. I is herefore necessary o discreizise he coninuous process in order o simulae he Heson pah and from here deermine he expeced asse price a expiry. Exoic opions have become increasingly popular on he financial markes and barrier opions is an example of a ype ha is especially sensiive o changes in he volailiy and ha makes his ype of opion ineresing in relaion o he inroducion of sochasic volailiy. Therefore here is reason o expec ha his ype of opion is priced differenly when sochasic volailiy is inroduced. For upand-ou calls ATM he analysis shows ha he Heson model's simulaed prices are far higher han

he Black-Scholes prices. On he oher hand he Black-Scholes prices exceed he Heson model's prices for far-ou-of-he-money (FOTM). If he volailiy of he variance is increased, he price difference ATM will increase due o he fac ha he reurn disribuion ges seeper wih a shorer righ ail. In his way he probabiliy ha he opion will end jus under he barrier and hence ITM a he same ime as he probabiliy of high values is decreased which reduces he probabiliy ha he opion will ge knocked ou. Wih FOTM opions he siuaion is differen. The greaer probabiliy of exreme deviaions a low values of volailiy of variance means ha here is a greaer probabiliy of geing ITM which overshadows he greaer probabiliy of geing knocked ou. The value of FOTM opions is herefore greaer in he Black-Scholes model han wih he Heson model. The correlaion beween he asse and variance process also influences he price difference beween he Black-Scholes and he Heson model. The greaer he negaive correlaion he greaer he price difference ATM and he Heson prices again exceed he Black-Scholes prices. This is due o he reurn disribuion's peak wih negaive correlaion is saggered o he righ along wih a hick lef ail and hin righ ail. The probabiliy of a deviaion ITM of an iniial ATM opion is hus greaer whils he probabiliy of geing knocked ou is reduced. For FOTM he probabiliy ha he opions wih high negaive correlaion hi he barrier is raher small, bu correspondingly he probabiliy ha he opion ends ITM is also small which is why he price again is below ha of Black-Scholes. In relaion o he above, an invered relaionship is guiding he price difference beween Black-Scholes and Heson's model for up-and-in call opions. Here he Black-Scholes prices exceed he Heson prices ATM and he longer he ITM opion is, he smaller he price difference. Jus under he barrier he Heson price is higher han he Black-Scholes price and ye again he price difference is sensiive o changes in he volailiy of he variance and correlaion. For down-call-opions large price differences are also observed. These are again sensiive o changes in he parameers. To down opions, he lef ail of he reurn disribuion is deermining wheher he barrier is hi whils he righ ail deermines how far ITM he opion ends, which means ha he price is dependen on he balance of he disribuion. For in opions he Heson price is highes around ATM and he longer he opion is ITM - he smaller becomes he price difference. For FOTM very significan price differences can be observed wih greaer differences he closer he spo price is o he barrier. For he observed opions he Black-Scholes prices are again he highes around he barrier due o he marginally higher probabiliy ha he barrier is hi and he hicker righ

ail, which gives a larger probabiliy o end ITM. Changes in v og ρ has he same impac on price differences as observed for in-opions. If i is assumed ha he Heson model wih he calibraed parameers is a good approximaion of he developmen of he underlying asse hen here is a grea price error relaed o using he normal assumpions behind he Black-Scholes model o price barrier opions. Thus, for his kind of opion i is paricularly imporan o use models ha ake measures for sochasic volailiy. The price of he barrier opions simulaed in he Heson model is a he same ime very sensiive o changes in he inpu parameers wherefore he precision of hese is decisive o he overall conclusion. On he whole, however, almos regardless of how exremely he parameers are se here are significan price differences beween he models. The grea sensiiviy o changes in for insance volailiy of variance again raises he quesion of wheher i is reasonable o assume ha he volailiy of he variance is consan over he life of he opion and which consequences his has for he pricing of opions. The inroducion of sochasic volailiy raises one furher quesion in relaion o he hedging of opions. In an incomplee marke under sochasic volailiy i is no possible o do a perfec hedge wih only one underlying asse and herefore i is necessary o include anoher derived asse in he hedge porfolio. This, however, resuls in a range of disadvanages, among ohers increased ransacion coss, which is why hedging procedures are no always useful in pracice. Therefore, i is ofen chosen o hedge wih he underlying asse alone and le he volailiy risk be uncovered. A he same ime he Black-Scholes model is ofen used in pracice o deermine he posiion in he underlying asse despie he srong empirical indicaions ha rejec he assumpions behind his model. However, i is proved ha Black-Scholes-dela-hedge is beer a replicaing ATM call opion's value han he Heson model. This is refleced in a lower average absolue hedging error and lower sandard deviaions on he hedging error. This conclusion is unchanged for changes in he volailiy of he variance and correlaion beween he underlying asse and he variance. The model's superior hedging performance can be explained by he over/under hedged posiion in he underlying asse ha hedges some of he uncovered volailiy risks. The Heson model, on he oher hand, has he lowes average dollar value hedging error when he correlaion is negaive or zero which is he opimal goal seen from he hedger s perspecive. There is a clear paern ha he hedging errors become smaller he longer ITM or OTM he opion is and hus he difference beween he wo models' performance also decreases. Generally he hedging errors of he wo models become greaer

when he variance becomes more volaile. For greaer correlaion, on he oher hand, here is no unambiguous picure of he relaionship beween he wo models. The analysis of he dela hedge performance was underaken under he assumpion ha he opion prices saisfy he Heson model's PDE. This assumpion, however, is no enirely correc and furher analysis could be underaking on he opion prices observed on he marke. This would resul in a beer measure for how he models ruly perform in pracice.

Indholdsforegnelse KAPITEL 1: INDLEDNING... 1 1.1 PROBLEMFORMULERING... 1. STRUKTUR OG METODE... 1.3 DATAGRUNDLAG... 3 1.4 AFGRÆNSNING... 5 KAPITEL : PRISER FOR OPTIONER UNDER BLACK CK-SCHOLES SCHOLES... 6.1 DEN STOKASTISKE PROCES FOR DET UNDERLIGGENDE AKTIV... 6. BLACK-SCHOLES MODELLEN... 8..1 Udledning af Black-Scholes ligning... 9.. Risikoneural prisfassæelse... 1..3 Eksplicie formler... 13..4 Black-Scholes med konsan koninuer udbye... 14 KAPITEL 3: UDVIDELSER TIL BLACK-SCHOLES SCHOLES... 16 3.1 EMPIRISKE INDIKATIONER... 16 3. VOLATILITETSSMILET... 19 3.3 MODELLER FOR STOKASTISK VOLATILITET... 3 3.3.1 Generel prisligning med sokasisk volailie... 5 3.3. Risikoneural prisfassæelse... 30 3.3.3 Eksempler på modeller for sokasisk volailie... 31 3.4 HESTON (1993)... 34 3.4.1 Variansprocessens egenskaber... 35 3.4. PDE og risikoneural prisfassæelse... 36 3.4.3 Heson s eksplicie formel... 38 3.4.4 Afkasfordeling og forskel i opionspriser... 39 3.4.5 Påvirkning af volailiessmile... 44 KAPITEL 4: SIMULATION AF OPTIONSPRIS... 46 4.1 MONTE-CARLO SIMULATION... 46 4. MONTE-CARLO SIMULATION AF VANILLA-OPTIONER... 47 4..1 Generering af normalfordele sekvenser... 49 4.. Variansredukion... 50 4.3 MONTE-CARLO SIMULATION AF HESTON-PROCESSEN... 50 4.3.1 QE-diskreisering af variansprocessen... 54 4.3. Diskreisering af akivprocessen... 57 4.3.3 Implemenering af algorimen... 58 4.3.4 Konvergens... 59 4.4 KALIBRERING OG MODELTEST... 61 4.5 MONTE-CARLO SIMULATION AF BARRIER-OPTIONER... 67 4.5.1 Barrier-opioner... 67 4.5. Implemenering af barrier-opioner... 68 4.5.3 Konvergens... 70 4.5.4 Forskel i barrier-opionspriser... 7 KAPITEL 5: HEDGING AF A OPTIONER UNDER STOKASTISK VOLATILITET... 79 5.1 SIMULATION AF DELTA-HEDGE-STRATEGI UNDER STOKASTISK VOLATILITET... 8 5. ANALYSE AF DELTA-HEDGE RESULTATER... 85 KAPITEL 6: KONKLUSION... 91 REFERENCER... 95

Kapiel 1: Indledning I saren af 1970 erne blev de finansielle markeder over hele verden mere risikable som følge af en forøge variaion i priserne på finansielle akiver. Som en konsekvens heraf blev opioner mere og mere populære som e finansiel insrumen il a reducere den risiko, der opræder i forbindelse med variaionen. Derfor var de nødvendig for alle ineressener i markede a have en prisfassæelsesmodel il a besemme prisen på dee nye akiv. Med baggrund heri udviklede Fischer Black og Myron Scholes en prisfassæelsesmodel, der på daværende idspunk var e sor gennembrud, og som sadig er mege anvend i eoreiske og prakiske sammenhænge. De er dog eferhånden bleve e kend fakum i finansielle sammenhænge, a Black-Scholes model ikke er god nok il a forklare de observerede priser i markede. E velkend eksempel på dee er volailiessmile, som viser den implicie volailie fra Black-Scholes model på værs af moneyness. Volailiessmile havde før krakke i 1987 en U-lignende form, men herefer anog smile en asymmerisk endens, som også observeres i dag. Havde anagelserne bag Black-Scholes model være beskrivende for virkeligheden, ville den implicie volailie være konsan, men de ses dog ydelig i markede, a dee ikke er plausibel i praksis. Som en konsekvens heraf er de bleve forsøg a udvikle modeller, der er i sand il a inkorporere de fakum, a variaionen ikke er kend og konsan, men derimod sokasisk og varierer over id. På dee område synes Seven Heson s model fra 1993 a have vunde indpas som værende den mes populære model il beskrivelse af sokasisk volailie. Dee skyldes bland ande, a Heson udviklede en semi-lukke løsning, hvormed opionsværdien simpel kan beregnes. Modellen har ilmed flere egenskaber, der er i overenssemmelse med finansiel empiri. For eksempel er Heson s model bedre i sand il a replicere den sande afkasfordeling end Black-Scholes model, hvilke skyldes, a processen for volailieen i de underliggende akiv i Heson s model er i sand il a beskrive empiriske observaioner, der kendeegner udviklingen i den sande volailie. I løbe af årene er nye behov bleve udvikle for delagerne på de finansielle markeder for hedging af risici, og opioner med forskelligarede karakerisika er derfor opsåe. Barrier-opioner er e eksempel på dee, hvor fordelen er, a køberen ikke bealer for hele upside chancen, men kun il e forudbesem niveau. Barrier-opioner er i sammenhæng med sokasisk volailie ineressane, da derivae er mere følsom overfor ændringer i volailieen på de underliggende akiv, end vanillaopioner er. De er dermed relevan a analysere, hvorledes sokasisk volailie påvirker prisfassæelsen af barrier-opioner. 1

Da der ikke findes en lukke formel for prisfassæelsen af barrier-opioner under sokasisk volailie, er de nødvendig a anvende numeriske meoder som for eksempel Mone-Carlo simulaion. Denne numeriske eknik har en række fordelagige karakerisika, der gør neop denne meode anvendelig il ovensående problemsilling. En anden problemaik i forhold il sokasisk volailie er, hvorledes dee elemen påvirker hedging af opioner. Mange delagere i markederne er hedgere, og de må derfor være relevan også a påvise evenuelle konsekvenser for hedgingsraegier under sokasisk volailie. Under Black- Scholes forudsæninger er de mulig med en posiion i de underliggende akiv a afdække al risiko, der er forbunde med en posiion i en opion. Ved a inkludere e yderligere usikker elemen i form af sokasisk volailie er denne simple hedgingsraegi dog ikke længere perfek. De er derfor relevan a undersøge konsekvenserne af inrodukionen af sokasisk volailie. Denne afhandling vil age udgangspunk i ovensående emner og udfordringer i forbindelse med inrodukionen af sokasisk volailie, som vil blive uddybe og analysere. I de følgende vil dee blive konkreisere, og srukuren i opgaven vil dermed blive klarlag. 1.1 Problemformulering Hovedformålene med denne afhandling er a: o Opsille en generel model for prisfassæelse af opioner under forudsæning af sokasisk volailie. o Inroducere modeller for sokasisk volailie med særlig fokus på Heson s model. o Prisfassæe opioner vha. Heson s model herunder prisfassæelse ved hjælp af Mone- Carlo simulaion med fokus på barrier-opioner. o Analysere forskelle i opionspriser fassa under Black-Scholes forudsæninger og under Heson s forudsæning. o Analysere konsekvensen af sokasisk volailie i forhold il hedging af opioner. 1. Srukur og meode Afhandlingen er opbygge omkring fire hovedsekioner, som nedenfor vil blive uddybe. Førse sekion er en eoreisk gennemgang af opionsværdiansæelse under Black-Scholes forudsæninger. Black-Scholes model vil indledningsvis blive udled og vil i resen af afhandlingen blive anvend som sammenligningsgrundlag. I denne sekion præseneres også risikoneural prisfassæelse, som er esseniel for prisfassæelsen af opioner. Formåle med denne sekion er dermed a danne e fundamen for afhandlingen, og vil danne grundlage for videre analyse

I anden sekion vil ulemperne ved Black-Scholes model blive påpege med fokus på anagelsen om konsan og kend variaion. Indledningsvis vil der blive fremfør argumener for, hvorfor denne anagelse ikke holder i praksis og dermed, hvorfor lempelsen af denne anagelse er relevan. Dee kan bland ande vises ved hjælp af de såkalde volailiessmil. På denne baggrund udledes en generel prisfassæelsesmodel for opioner under sokasisk volailie. Herefer præseneres forskellige modeller for udviklingen i de underliggende akiv under sokasisk volailie herunder modeller af Hull & Whie, Sco, Sein & Sein og Heson, som alle behandler variaionen sokasisk. Der vil sluelig blive argumenere for, hvorfor neop Heson-modellens egenskaber gør den mes populær og mes anvend i praksis, og de vil blive analysere, hvorledes Heson-modellen prisfassæer vanilla-opioner i forhold il Black-Scholes model. I redje sekion inroduceres prisfassæelse af opioner under sokasisk volailie ved hjælp af Mone-Carlo simulaion. Meoden vil førs blive udfør i forhold il a prisfassæe vanilla-opioner og senere barrier-opioner, som er e volailiesfølsom deriva. Da der ikke findes lukkede formler for værdien af barrier-opioner under sokasisk volailie, vil Mone-Carlo simulaion blive anvend på baggrund af flere fordelagige karakerisika. For a have e realisisk udgangspunk for simulaionen kalibreres Heson s model il markedspriser for europæiske opioner skreve på S&P 500 indekse. Dermed opnås inpu-paramerene il Heson s model, som fier markedspriserne beds mulig, og i sammenhæng hermed eses validieen af Heson s model i forhold il Black- Scholes model. Sluelig sammenlignes og analyseres prisforskelle mellem Black-Scholes model og Heson s model for barrier-opioner. I fjerde og sidse sekion vil konsekvensen af inrodukionen af sokasisk volailie i forhold il hedging af opioner blive analysere. Da der ikke handles volailie direke i markede, eksiserer der flere sokasiske kilder end handlede akiver, og markede er dermed inkomple. I forlængelse heraf vil forskellige muligheder for hedging i e inkomple markede blive diskuere. Sluelig sammenlignes en simpel dela-hedge-sraegi for Black-Scholes og Heson s model under anagelse af, a volailieen på de underliggende akiv er sokasisk. 1.3 Daagrundlag Analyserne i indeværende afhandling er alle basere på Sandard & Poor s 500 indeks, der dermed vil blive anvend som underliggende akiv. I forbindelse med analysen af begrænsningerne ved 3

anagelserne bag Black-Scholes model udføres en afkasanalyse, som udfærdiges på baggrund af 641 observaioner fra d. 0. okober 198 il d.. april 008. Observaionerne er alle daglige lukkekurser, men da børserne eksempelvis er lukkede i weekender og på helligdage, vil der derfor opræde dage uden lukkekurser. Disse vil blive ekskludere fra den videre analyse, da ine yder på a disse vil påvirke de samlede billede og de ønskede konklusioner i denne afhandling. Empiriske observaioner viser endvidere, a volailieen på værs af weekender og helligdage er forskellig fra andre normale handelsdage, men de har dog ikke være mulig a kvanificere denne forskel og dermed heller ikke mulig a inkludere denne i generelle volailiesmodeller (Burghard e al. 1993). S&P 500 indekse er basere på en porefølje af 500 forskellige amerikanske virksomheders akier, som er udvalg på baggrund af flere krierier såsom branche, markedssørrelse og likvidie. Indekse er markedsværdivæge, hvilke vil sige, a vægene af akier il enhver id er proporionale med akiens kurs. S&P 500 indekse dækker 75 % af markedsværdien af samlige akier, der er noere på New York Sock Exchange, hvilke refærdiggør valge af dee indeks i forhold il de amerikanske marked. Deril er valge af S&P 500 som underliggende akiv begrunde i, a opioner skreve på indekse er de mes handlede på Chicago Board Opion Exchange (CBOE) og er dermed ilsrækkelig likvide il, a de opnåede resulaer på baggrund heraf er pålidelige. Deril er mange eksiserende undersøgelser i lierauren foreage i forhold il S&P 500 indekse, hvilke giver e benchmark for indeværende afhandling. Opionsdaa er opnåe ved hjælp af e online opionsværkøj sille il rådighed af Danske Bank og Bloomberg, hvilke sikrer konsisene og simulane daa. I indeværende afhandling anvendes lukkekurser fra d. 19. april 008. Opionsdaa er give ved e bid-ask-spread, og dermed er den sids handlede opionspris ikke direke observerbar. På baggrund af likvidieen på opioner skreve på S&P 500, anvendes e gennemsni af bid-ask-spread e, hvilke anages a være plausibel og værende de bedse bud på den reelle opionspris. Dee kan dog resulere i fejlagige priser, da bidask-spread e kan være forholdsvis bred afhængig af, hvor likvid den enkele opion er. Til prisfassæelsen af opioner er den risikofrie rene e nødvendig inpu. I denne afhandling anvendes den annualiserede amerikanske nul-kuponrene for forskellige idshorisoner indhene ved hjælp af Daasream. Som esima for den koninuere udbyerae anvendes Sandard & Poor s ege esima for den gennemsnilige 1 måneders udbyerae på,14 % 1. 1 www.sandardandpoors.com 4

1.4 Afgrænsning I denne afhandling afgrænses opionerne il a være europæiske, og analyserne vil derfor ikke omfae amerikanske opionsyper. Analyserne vil blive foreage i forhold il S&P 500 indekse, og der afgrænses dermed fra analyse af andre yper af underliggende akiver såsom råvarer, rener eller valua. De generelle modeller som udledes i denne afhandling kan dog forholdsvis simpel udvides il disse yper af underliggende akiver. Opionerne vil blive prisfassa med udgangspunk i en eoreisk synsvinkel og bygger dermed på en række anagelser om markede. Disse vil kun blive kommenere og diskuere, i de omfang de påvirker den relevane problemsilling. I forbindelse med inrodukionen af sokasisk volailie vil e udvalg af modeller blive præsenere, mens den videre analyse alene vil bygge på Heson s (1993) model. Der afgrænses dermed fra en uddybende beskrivelse af samlige modeller for sokasisk volailie ilgængelig i lierauren. I de ilfælde hvor lukkede analyiske formler ikke kan anvendes il a prisfassæe opioner, anvendes Mone-Carlo simulaion. Flere andre meoder er imidlerid ilgængelige og anvendelige, men vil ikke blive redegjor for, da de ikke er en del af formåle for indeværende afhandling. 5

Kapiel : Priser for opioner under Black-Scholes Dee kapiel beskriver i hovedræk den fundamenale srukur bag Black-Scholes model sammen med anvendelsen af denne il prisfassæelse af aflede akiver. Formåle med kapile er dermed a danne e fundamen for indeværende afhandling og vil danne grundlage for videre analyse. Udførlige udledninger vil ikke blive foreage, men i sede vil der fokuseres på de mes cenrale konceper og resulaer, som er relevane for a inroducere sokasisk volailie. For a prisfassæe opioner er de indledningsvis nødvendig a udlede en proces for de underliggende akivs adfærd, da dee er en cenral forudsæning bag Black-Scholes model. Dernæs udledes Black-Scholes formel basere på en handelssraegi, der involverer en selvfinansierende porefølje besående af en posiion i de underliggende akiv sam en posiion i e risikofri akiv. Sluelig behandles risikoneural prisfassæelse af opioner..1 Den sokasiske proces for de underliggende akiv Enhver variabel, hvis værdi ændres over id på en ukend måde, følger en sokasisk proces. Da opioners værdi afhænger af udviklingen i de underliggende akiv, er de derfor nødvendig a definere, hvilken sokasisk proces de underliggende akiv følger. Der vil derfor blive definere en koninuer sokasisk proces for en akies forvenede udvikling. Den mes udbrede og anvende proces il modellering af en akies kurs, er den Geomeriske Brownske Bevægelse (GBM), som også er en forudsæning for hele srukuren i Black-Scholes model. Selvom GBM en er anvendelig il modellering af de underliggende akivs si, skal de bemærkes, a akiekurser i praksis ikke observeres koninuer, da akier kun kan handles, når børserne er åbne og kun handles i diskree værdier som f.eks. kroner og ører. GBM en modellerer generel ændringer i akiekursen og defineres på differeniel form som: Den relaive ændring eller afkase er dermed definere som: ds = µ Sd + σ SdZ (.1) ds S = µ d + σ dz (.) Parameeren S er akiekursen på e give idspunk, σ er volailieen på akiens pris, og µ er de forvenede afkas. Både σ og µ forudsæes indil videre a være konsane. d viser, a ændringerne er infiniesimale små med andre ord hvor 0. 6

Ledde µ d i (.) udgør drifen og σ dz udgør de sokasiske elemen i udviklingen. Over kore idsinervaller har drifen ikke den sore beydning, hvor volailieen i sede dominerer. Drifen bliver derimod signifikan på lang sig. Ledde dz beskriver ændringerne i en Wiener proces. En sokasisk proces, Z, følger en Wiener proces, hvis den har følgende egenskaber: 1: Ændringen Z over e kor idsinerval,, er hvor ε følger en sandard normalfordeling Φ (0,1) Z = ε (.3) : Værdierne for Z for o forskellige ikke-overlappende kore idsinervaller,, er uafhængige 3: Z (0) = 0 4: Z følger en koninuer si De følger af den førse egenskab, a Z følger en normalfordeling med Φ(0, ), samidig med a Z ikke går mod uendelig eller en konsan værdi, da ændringen skaleres med kvadraroden af ændringen i iden. Derudover følger de af den anden egenskab, a Z følger en Markov proces, hvor kun den nuværende værdi af en variabel er relevan for a kunne forudsige den fremidige værdi. Dermed er al hisorik inkorporere i akiens pris i dag, og man siger, a processen ikke har nogen hukommelse. Hvis denne svage markedsefficiens ikke var sand, ville de være mulig a opnå overnormale afkas ud fra hisorisk analyse, hvilke ine yder på er mulig i praksis (Hull 006). Al yder dermed på, a konkurrencen i markede opreholder denne egenskab. Processen er desuden kendeegne ved a have Maringale-egenskaben, hvilke beyder, a den beingede forvenning il afkase på alle idspunker i fremiden er den nuværende værdi. På baggrund heraf har Den Geomeriske Brownske Bevægelse dermed flere kvalieer, der gør processen anvendelig il modellering af en akies kurs og anvendes derfor ofe i finansielle sammenhænge. Bland ande afhænger processen af niveaue på akiekursen, og dermed er de forvenede procenvise afkas af en given akie uafhængig af akiens kursniveau. Endvidere vil processen alid forblive posiiv, hvis den iniiale værdi af S er posiiv, da ds vil blive mindre, jo nærmere S kommer på nul. Derudover er de forvenede afkas over e kor idsinerval normalfordel, og afkase i o ikke-overlappende perioder er uafhængige. 7

GBM en kaldes også The lognormal random walk, og a processen alid forbliver posiiv kan ydelig vises, hvis Iô s lemma anvendes il a udlede processen for G = ln S hvor S følger (.1): σ dg = µ d + σ dz (.4) Dee viser, a logarimen il S følger en generalisere Wiener proces, da både µ og σ er konsaner. I den generaliserede Wiener proces kan drif og volailie neop specificeres som vilkårlige konsaner. Processen i (.4) har en konsan drif på µ σ / og en konsan variansrae på σ. Ændringen i ln S over e given idsinerval, T, er dermed normalfordel med e gennemsni på ( µ σ / ) T og en varians på σ T, hvilke er en fordel for a kunne besemme udviklingen i de underliggende akiv, da fordelingen dermed er symmerisk og er give ved: eller ln S T σ ln S0 ~ µ, T σ T Φ (.5) σ ln S T ~ Φ ln S0 + µ T, σ T (.6) hvor S T er akiekursen på e fremidig idspunk T, S 0 er akiekursen på idspunk 0 og følger Φ ( m, s). De ses af (.6), a ln S T er normalfordel, og dermed a S T er log-normalfordel. Med andre ord følger værdien af akiekursen på e fremidig idspunk en log-normal fordeling, hvilke er en vigig egenskab i forhold il opionseori i sammenhæng med Black-Scholes. De er eksempelvis nu mulig a beregne konfidensinervaller for akiekursen. De eksplicie udryk for den forvenede akiepris kan nu udledes, jf. bilag 1, fra (.5) ved a omskrive denne il: σ ln ST = ln S0 + µ T + σ Z og ved a age eksponenialfunkionen il ln S T opnås følgende eksplicie udryk: T (.7). Black-Scholes modellen ( / ) T Z S = S e µ σ + σ T (.8) T 0 De sore gennembrud i prisfassæelse af opioner kom med Black & Scholes og Meron s arikler fra 1973. Udledningen af Black-Scholes model il prisfassæelse af europæiske opioner indebærer en handelssraegi i en porefølje besående af en posiion i de underliggende akiv sam en posiion 8

i e risikofri akiv. Ideen er a uanse hvilken udvikling akives pris ager, vil poreføljens endelige afkas være lig med afkase fra de aflede akiv ved udløb. Grunden il a denne selvfinansierende sraegi kan konsrueres er, a akives pris og derivaes pris begge er påvirke af den samme underliggende usikkerhed bevægelser i akives pris. I enhver kor idsperiode vil prisen på derivae være perfek korrelere med prisen på de underliggende akiv. Man vil derfor, ved a sælge derivae og holde en dynamisk jusere porefølje af de underliggende akiv og e risikofri akiv, kunne sikre sig mod al risiko for ab. Dee skyldes, a e ab fra den ene del alid vil blive udligne af en ilsvarende gevins fra den anden del. I e arbiragefri marked må prisen på den replicerede porefølje derfor være den fair pris på derivae. I de følgende vil dee argumen udbygges. For a kunne udlede Black-Scholes modellen foreages der førs og fremmes en række anagelser om markede: o Akivprisen følger en GBM med konsan forvene afkas og volailie o Der eksiserer e risikofri akiv med en konsan rene o Koninuer handel er mulig o Der er ingen ransakionsomkosninger eller skaer på de underliggende akiv o Der er ingen risikofrie arbiragemuligheder o De er mulig a gå kor i en posiion Forudsæningerne medfører, a der i Black-Scholes modellen anages, a markede er komple. Den simplese definiion af e komple marked er neop e marked, hvor alle derivaer kan repliceres i en selvfinansierende handelssraegi. Indledningsvis anages de endvidere a de underliggende akiv ikke udbealer udbyer. Denne anagelse foreages for a forsimple udledningen og ydeliggøre de vigigse argumener, men vil dog il sids i afsnie ophæves...1 Udledning af Black-Scholes ligning En opions pris afhænger af mange fakorer og kan skrives som V ( S,, σ, µ, K, T, r), hvor S og er variable og er henholdsvis akivprisen og nuværende id, σ og µ er paramere for volailieen og de forvenede afkas på akives pris. K og T er paramere for srike-pris og id il udløb for den specifikke konrak, og r er renen i den økonomi, hvor akive er noere. For simplicieens skyld 9

benævnes værdien af opionen på idspunk med den nuværende pris på de underliggende akiv S, blo som: V ( S, ) Hvis de anages, a værdien af opionen V ( S, ) på idspunk er kend, kan der konsrueres en porefølje med værdien Π besående af en lang posiion i en opion og en kor posiion,, af de underliggende akiv: Π = V ( S, ) S (.9) Ændringen i poreføljens værdi i den næse idsperiode fra idspunk il idspunk + d skyldes delvis ændringen i opionens værdi og delvis ændringen i værdien af de underliggende akiv og kan skrives som: dπ = dv ( S, ) ds (.10) Ud fra forudsæningen om a de underliggende akiv følger en GBM, kan man ved hjælp af Io s lemma besemme en funkion for ændringen i prisen på de aflede akiv dv ( S, ) og ændringen i poreføljens værdi er nu give ved: hvilke kan omskrives il: V V 1 V dπ = d + ds + σ S d ds S S (.11) V 1 V V dπ = + σ S d ds + (.1) S S Ændringen i værdien af poreføljen besår dermed af en deerminisisk del (udrykke foran d) og en sokasisk del (udrykke foran ds). Den cenrale idé i Black-Scholes argumenaionen er nu, a al ubekend variaion i (.1), ds, kan elimineres ved a vælge af de underliggende akiv, således a de sidse led i (.1) elimineres. Dee gøres ved a sæe: = V S (.13) Dee er e eksempel på en dela-hedge-sraegi. Da V S er en funkion af S og, der begge ændrer sig over id, er de nødvendig koninuer a rebalancere sin posiion i de underliggende akiv for a være fuldsændig sikre. Hvis de er mulig på e hvilke som hels idspunk,, koninuer a rebalancere poreføljen ved a vælge mængden af de underliggende, vil poreføljen være risikofri og ændringen af denne være give ved: V 1 V S dπ = + σ S d (.14) 10

De anages nu, a der i markede findes e risikofri akiv B, der følger: db = rbd db B = rd hvor r er en konsan koninuer rene. Anagelsen om a der findes e risikofri akiv refærdiggøres som regel af, a der findes en risikofri obligaion, der med sikkerhed giver renen r. På baggrund af forudsæningen om e arbiragefri marked må den selvfinansierende porefølje herefer give samme afkas som de risikofrie akiv: dπ = rπ d (.15) De økonomiske argumen herfor er, a hvis poreføljen kan hedges perfek, vil invesorerne ikke blive beal for a age unødvendig risiko. Hvis poreføljen havde højere afkas end e risikofri akiv, kunne man ved a låne penge og købe poreføljen jene en risikofri gevins, og modsa hvis poreføljen havde e mindre afkas. Ved nu a indsæe (.9), (.13) og (.14) i (.15) og omrokere udrykkene findes Black-Scholes differenialligning: V 1 V V + σ S + rs = rv S S (.16) Prisen på enhver opion, der afhænger af S og, vil derfor opfylde Black-Scholes ligningen - ellers vil der være mulighed for arbirage i markede. De skal bemærkes, a variablen µ - de forvenede afkas - ikke påvirker ligningen. Dee fakum er yders relevan for senere besemmelse af opionspriser. For a løse ligning (.16) og dermed finde prisen for en opion skal der defineres grænser for den specifikke opion. Disse er give ved payoff e ved udløb på opionen. For europæiske call- og pu-opioner er de endelige payoff definere som: Call: C( S, T ) = max( S K,0) Pu: P( S, T ) = max( K S,0) hvor S er akiekursen ved udløb, og K er exercise-kursen. Hvis en call-opion sælges, er de dermed mulig, a afdække posiionen i e kor idsinerval ved a købe dela af de underliggende akiv og evenuel låne manglende eller placere overskydende penge i de risikofrie akiv il renen r. Hvis opionen udløber in-he-money (herefer ITM), vil man have én af de underliggende akiv klar il levering, og en gæld på K, der vil udligne afalekursen fra køberen af opionen. Hvis opionen udløber ou-of-he-money (herefer OTM), vil man ikke eje noge af akive og heller ikke have hverken gæld eller penge i banken. Endelig hvis opionen udløber a-he-money (herefer ATM), vil man eje en halv af de underliggende akiv og have en gæld på en halv K, så de o beløb nøjagig udligner hinanden. 11

Også andre og mere komplekse opioner ilfredssiller Black-Scholes ligningen, hvilke der senere i afhandlingen vil vises eksempler på... Risikoneural prisfassæelse For a finde prisen på en opion med en given payoff-funkion kan den parielle differenialligning (PDE) i (.16) løses direke (Wilmo 007 s. 143). En anden måde hvorpå opionsprisen kan findes, er gennem den såkalde maringale approach eller risikoneural prisfassæelse (Hull 006 s. 93). Risikoneural prisfassæelse er, som idligere omal, basere på a de forvenede afkas i den underliggende proces ikke indgår i Black-Scholes differenialligningen (.16). På lang sig påvirker drifen af de underliggende akiv dermed ikke prisen på opionen. Da man i (.13) hedgede mod eksponering af usikkerhed, hedgede man også mod udviklingen i de underliggende akiv (Wilmo 007 s. 148). Dee bevirker, a differenialligningen ikke indeholder nogen variable, der er afhængige af invesorernes risikopræference, hvorfor denne heller ikke påvirker løsningen på ligningen og dermed prisen på den givne opion. Hvis de forvenede afkas derimod indgik i differenialligningen, havde prisen på opionen være afhængig af invesorernes risikopræference, da sørrelsen af de forvenede afkas neop afhænger af invesorernes risikopræference. Jo højere risikopræference invesorerne har, jo højere forvene afkas for e given akiv (Hull 006 s. 93). Konklusionen på ovensående er, a de kan anages, a invesorerne er risikoneurale, og som argumenere for i foregående afsni, a den selvfinansierende porefølje og alle andre akiver må have samme forvenede afkas som e risikofri akiv, r. Forklaringen er, a risikoneurale invesorer ikke kræver e merafkas for a påage sig mere risiko, og a he marke price of risk (markedspris på risiko) er lig nul under de risikoneurale mål (Hull 006 s. 593). Løsningen på Black-Scholes differenialligningen er den samme i en verden under de risikoneurale mål og i den virkelige objekive verden, hvorfor prisen ved a løse differenialligningen direke eller ved hjælp af risikoneural prisfassæelse må være den samme. Sammenhængen mellem de o ilgange er garanere af Feynman-Kac eoreme, der benye på Black-Scholes differenialligningen for en konrak med payoff ved udløb på V ( S, T ) giver: ( ) ( ) [ ] r T r T V ( S, ) = E e V ( S, T ) = e E V ( S, T ) hvor den forvenede værdi er beregne med hensyn il processen S give ved: hvor dz (.17) ds = rsd + σ SdZ (.18) angiver ændringen i en Wiener proces under de risikoneurale mål. De skal i denne forbindelse bemærkes, a den relevane proces for de underliggende akiv under de 1

risikoneurale mål er beskreve ved en GBM på samme måde som den virkelige proces i den objekive verden. Forskellen er blo, a drifslede er give ved renen, r, i sede for de forvenede afkas på de underliggende akiv µ. På samme måde som man i (.8) udlede de eksplicie udryk for den forvenede pris på de underliggende akiv i den objekive verden, kan man udlede denne for processen under de risikoneurale mål: T ( r / ) T + Z T 0 S = S e σ σ (.19) Som de fremgår af Feynman-Kac eoreme kan prisen på opioner beregnes som nuidsværdien af de forvenede payoff - ilbagediskonere med den risikofrie rene, hvis de anages, a de underliggende akiv udvikler sig i en risikoneural verden, hvor de forvenede afkas på e risikabel akiv er lig med de forvenede afkas fra e risikofri akiv, r. Den ilbagediskonerede proces S = S / B under de risikoneurale mål er en maringale (Hull 006 s. 594-596), deraf også navne de ækvivalene maringalemål. Ved hjælp af risikoneural prisfassæelse kan prisen på en opion nu findes. Man er kun eferlad med de ene problem a beregne de forvenede afkas af opionen ved udløb. Dee udføres senere i denne afhandling ved hjælp af numeriske eknikker, men i ilfælde med europæiske opioner, hvor udløbskursen er log-normalfordel, kan man imidlerid nå frem il en lukke formel for prisen...3 Eksplicie formler For europæiske call- og pu-opioner er de mulig eksplici a løse Black-Scholes differenialligningen (Hull 006 s. 310-31) og finde udrykke for V ( S, ). Værdien for en callopion kan findes il a være give ved: V ( S, ) = S N( d ) Ke N( d ) (.0) BS r ( T ) 0 1 d 1 = ln( S0 K) + ( r + σ )( T ) σ T (.1) ln( S0 K) + ( r σ )( T ) 1 d = = d σ T σ T (.) hvor N( x) er en fordelingsfunkion for en sandard normalfordeling. Udrykke N( d ) er dermed sandsynligheden for, a opionen bliver indløs i en risikoneural verden. Hvis (.0) omskrives, findes udrykke KN( d ), som er srikeprisen gange med sandsynligheden for, a srikeprisen vil 13

blive udbeal. Derudover findes udrykke ( ) ( ) r T S N d e, som er den forvenede værdi af en 0 1 variabel, der er lig S, hvis opionen er ITM og ellers lig nul i en risikoneural verden. Prisen for en europæisk pu-opion kan findes analog il udledningen af call-opionen eller kan simpel findes ved a anvende pu-call parieen: C( S, ) P( S, ) S Ke r( T ) BS BS = (.3) mellem pu- og call-opioner med samme id il udløb og srikepris. Dee er en modelfri sammenhæng, der følger af simple arbirageargumener - hvis vensre side er mindre end højre side, vil man ved a købe en call og sælge en pu plus de underliggende akiv, og invesere forskellen i e risikofri akiv, kunne skabe profi på idspunk T uanse prisen på de underliggende akiv. Prisen på en pu-opion kan nu udledes il: P( S, ) = S N( d ) + Ke N( d ) (.4) BS rt 0 1 Andre yper opioner leder ypisk ikke il lukkede eksplicie prisformler. Prisen på disse må i sede besemmes ved a løse den parielle differenialligning med de passende grænseværdier eller ved a benye numeriske eknikker...4 Black-Scholes med konsan koninuer udbye De anages nu, a de underliggende akiv udbealer e konsan koninuer udbye, D, som udgør en andel af de underliggende. På idspunk d vil hver akiv modage en udbealing svarende il DSd. Dee kan simpel inkorporeres i den selvfinansierende porefølje, således a man for hver dela,, man er kor i de underliggende akiv udbealer D Sd. Ændringen i poreføljens værdi i den næse idsperiode, jf. (.10), skyldes nu også differenialligningen nu udledes il a være give ved: V 1 V + σ S + ( r D) S V = rv S S D Sd. På samme vis som ovenfor kan I den risikoneurale verden er drifen i de underliggende akiv nu give ved r (.5) D. Udbye reducerer akivprisen med e beløb svarende il udbyebealingen, hvorfor væksen i de underliggende blo reduceres med de udbeale udbye. Dee resula er e generel resula og kan benyes på alle idligere givne formler. For den lukkede formel for opionspriser modificeres DT formlen endvidere ved a udskife spoprisen S 0 i (.0) og (.4) med S0e. Anagelsen om e konsan koninuer udbye forekommer ikke videre realisisk, men er en nødvendig simplifikaion. De er i eorien også forholdsvis simpel a udlede modifikaioner for 14

diskree udbyebealinger, hvor udbyesørrelsen enen kan være som en del af de underliggende akiv eller som e given beløb. Da de i denne afhandling ønskes a prisfassæe opioner skreve på e indeks S&P 500 kan anagelsen om e koninuer udbye dog refærdiggøres af, a indekse besår af mange underliggende akiver, der hver især udbealer diskree udbyer på forskellige idspunker, hvorfor de samlede udbye for indekse ilnærmelsesvis kan berages som koninuer. 15

Kapiel 3: Udvidelser il Black-Schole Scholes I dee kapiel vil anvendelsen af Black-Scholes formel i praksis blive revurdere. Selvom Black- Scholes formel er eoreisk robus og maemaisk bekvem, bygger modellen på en række anagelser, der i praksis viser sig ikke a være plausible. Derfor er de forsøg a udvikle modeller, der ager højde for forskellige aspeker for derigennem a beskrive en mere kompleks virkelighed. I denne afhandling vil der fokuseres på a lempe anagelsen om, a log-afkas på de underliggende akiv er normalfordel med en konsan varians. I sede anages de, a volailieen kan variere sokasisk. Dee begrundes i veldokumenerede afvigelser mellem markedspriser på opioner og Black-Scholes opionspriser samidig med, a der observeres variaion i volailieen, hvilke skaber de såkalde volailiessmil. Afvigelserne mellem markedspriserne og Black-Scholes priserne er mulige a forklare ved hjælp af modeller for sokasisk volailie (herefer SV-modeller). I kapiel blev prisfassæelse og hedging af derivaer under konsan volailie inroducere under forudsæning af, a de underliggende akiv følger GBM en, og a markede er komple. Under sokasisk volailie vil markede derimod ikke længere være komple, hvilke vanskeliggør prisfassæelsesprocessen. Fra en prakisk synsvinkel har sokasisk volailie endnu sørre beydning for prisfassæelsen af eksoiske opioner, som under Black-Scholes kan være mege fejlagig (Gaheral 006 s. ). Dee har bevirke, a akører i markede har eferspurg modeller, som ager hensyn il sokasisk volailie. De vil igennem dee kapiel blive påvis ved hjælp af eksempler og empiriske undersøgelser, a anagelsen om konsan volailie ikke er verificerbar og derudfra vil der argumeneres for en mere plausibel model end Black-Scholes il beskrivelse af de fakiske markeder. Denne model vil blive anvend som fundamen for de videre analyser i afhandlingen. 3.1 Empiriske indikaioner En af forudsæningerne bag Black-Scholes modellen er, som idligere nævn, a akiekursen følger en Geomerisk Brownsk Bevægelse (.1), og derfor a log-afkase er normalfordel. Flere empiriske undersøgelser vedrørende afkasfordelingen for de underliggende akiv anyder dog, a dee ikke er ilfælde. Nedenfor følger en række resulaer, der udspringer af empiriske undersøgelser sam egne eksempler. 16

I undersøgelsen af finansielle idsserier er fordelingen af afkas e af de mes ineressane spørgsmål. Her er normalfordelingen eller den Gaussiske fordeling en af de vigigse og er anvend i næsen alle former for sudier. Fordelingen er fuld definere ud fra de o førse momener gennemsnie for idsserien, µ, og en posiiv varians, σ. Normalfordelingen er symmerisk omkring gennemsnie, hvorfor skævheden er 0. Kurosis definerer formen på fordelingen og er for normalfordelingen lig re. Den generelle æhedsfunkion for normalfordelingen er definere således: f ( x µ σ ) ( πσ ) ( x µ ) 1 ;, = exp (3.1) σ Spørgsmåle er nu, om finansielle idsserier kan forklares ud fra (3.1), og om anagelsen i Black- Scholes modellen dermed er bereige. Allerede i 1960 erne poinerede Mandelbro (1963) dog normalfordelingens uilsrækkelighed i forbindelse med modellering af den marginale fordeling for akieafkas og dennes endens il a have fede haler. Siden da har mange observere denne ikke-normalfordele karaker ved a undersøge fordelingen for prisændringer for forskellig markedsdaa. Con (001) viser gennem saisiske analyser, a fordelingen af ændringen i log-afkas er ikkenormalfordel med en sor samling af observaioner omkring miden og med fede haler, hvorfor sandsynligheden for sore udsving i priser sysemaisk underesimeres. Med andre ord er kurosis sørre end re, og fordelingen viser endda endens il negaiv skævhed, hvilke indikerer sørre sandsynlighed for negaive afkas end posiive. Disse karakerisika er mes udale, når afkasene observeres flere gange daglig. Akieafkas har dermed e sørre anal observaioner omkring gennemsnie, men med sørre sandsynlighed for eksreme afkas i kraf af de federe haler, hvilke kan have faale følger for prisfassæelse og risikosyring. Deril observeres, a variaionen i ændringen i log-afkas er uregelmæssig og mere specifik, a denne har endens il a samle sig i klynger. Dee observeres via en signifikan posiiv auokorrelaion af kvadrerede afkas, som beyder, a hændelser med høj volailie ofe samler sig i klynger. Dee observeres også af Sco (1987) sammen med flere andre. Sluelig observeres ofe negaiv korrelaion mellem volailieen og afkase på samme akie eller indeks, hvilke kaldes leverage effec. I forhold il Black-Scholes anagelser burde denne korrelaion være lig nul. Leverage effeken inroducerede Fisher Black allerede ilbage i 1976 (Black 1976), hvor de påpegedes, a markedes delagere ikke udviser en symmerisk respons på nyheder i 17

markede. Samme resula er bland andre opnåe af Fouque e al. (000). Således vil invesorerne foranledige sørre volailie efer dårlige nyheder (shocks) end efer gode nyheder. Jackwerh e al. (1995) har i en lignende undersøgelse påvis, a kurosis siger i ak med analle af observaioner, hvilke undersøer en ikke-gaussisk fordeling. Sandsynligheden for a en akiekrise som i 1987 kan indræffe under forudsæningen af de log-normalfordele afkas, er deril beregne il a være 160 10. Dee undersøer yderligere, a fordelingen umulig kan have de karakerisika, som Black-Scholes modellen anager. I de følgende vil ovensående observaioner blive afprøve i forhold il S&P 500 indekse for a se, om afkasfordelingens karakerisika for dee indeks semmer overens med ovensående beragninger. FIGUR 3.1: Den sande log-afkasfordeling sammenligne med normalfordelingen sam QQ-plo 1000 Frekvens Fie normal 800 Frekvens 600 400 00 0-0,05-0,05 0 0,05 0,05 Afkas I figur 3.1 er frekvensen af log-afkas afbillede over en næsen 6 år lang periode overfor en normalfordeling med samme gennemsnilige afkas og varians. De ses af denne figur, a afkasene følger en fordelingen, der er sejlere og med federe haler end normalfordelingen, hvilke også kaldes en lepokuric fordeling. Dee fremgår ydeligere af QQ-ploe i samme figur, hvor de er afbillede, hvor eksreme halerne er i forhold il normalfordelingen. Den ree linie repræsenerer hvordan afkasdaa ville have se ud hvis de var perfek normalfordel. Daa udviser en afvigende endens fra normalfordelingen i halerne, hvilke påviser de fede haler for den sande afkasfordeling. Dee er i overenssemmelse med de påvise resulaer af Jackwerh e al. (1995) og Con (001). Figur 3. viser log-afkas for S&P 500 over en periode på næsen 6 år. Her ses de, a eksreme afkas ofe opræder og a høje (lave) afkas er eferfulg af høje (lave) afkas, hvilke er i 18

overenssemmelse med beragningerne af Con (001), om a variaionen har endens il a samle sig i klynger. FIGUR 3.: Daglig S&P 500 log-afkas fra 198-008 Log-afkas 0,15 0,1 0,05 0-0,05-0,1-0,15-0, -0,5 1-10-198 16-0-1989 15-06-1995-10-001 03-03-008 Tilsammen yder de fede haler og den sejle fordeling på en blanding af flere fordelinger med forskellig varians, hvilke bevirker, a variansen nødvendigvis skal modelleres sokasisk. Variansens endens il a samle sig i klynger skyldes den omale auokorrelaion mellem afkas og er en konsekvens af, a afkas ilsyneladende er mean revering, hvilke dermed også skal indlemmes i en mere realisisk model end Black-Scholes. Dee undersøes af økonomiske beragninger om, a den fremidige volailie vil ligge indenfor e besem og begrænse inerval (Gaheral 006 s. ). 3. Volailiessmile Som idligere nævn er volailieen den enese parameer i Black-Scholes formel, der ikke kan observeres direke i markede. De er samidig en realie, a der ikke findes én sand og konsan volailie, og derfor er de nødvendig a esimere denne, hvilke er en krævende opgave. Dee gør dermed op med anagelsen bag Black-Scholes om, a volailieen er konsan og kend. Teorien anbefaler dog ikke én besem måde a esimere volailieen på, hvorfor der i praksis opræder o begreber den hisoriske og den implicie volailie. Imidlerid viser både den hisoriske og den implicie volailie uoverenssemmelser med anagelsen i Black-Scholes model, og i de følgende vil disse uoverenssemmelser blive påvis. Den hisoriske volailie esimeres ud fra e give idsinerval på f.eks. en uge, en måned eller e år. Flere observaioner leder il sørre præcision for den esimerede parameer, men da volailieen ikke er konsan, og a for gammel daa ikke synes relevan, findes sandheden e sed imellem. Dee 19

leder il e kompromis på mellem 90 og 180 dage. Ofe anvendes lukkekurser, men der kan også argumeneres for åbningskurser og højese/lavese kurs for den enkele dag (Hull 006 s. 87). FIGUR 3.3: Annualisere sandardafvigelse for henholdsvis 90 og 0 dage 0,6 90 dage 1, 0 dage Annualisere sd.afv 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 Annualisere sd.afv. 1 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 Tid: 198-008 Tid: 198-008 For a påvise a den hisoriske volailie ikke er konsan over id, vises i figur 3.3 den annualiserede sandardafvigelse for 90 og 0 dage for S&P 500 indekse. Mønsere er de samme for de o figurer, men volailieen i figuren for 0 dage er lang mere dealjere. Som de fremgår, varierer den hisoriske volailie forholdsvis mege over id og viser samidig endensen il, a høje (lave) niveauer bliver eferfulg af høje (lave) niveauer. Samidig udviser volailien en endens il a vende ilbage il e udefinere leje. Som de ses af figur 3.3, er volailieen omkring 1987 eksrem og leje af hisorisk volailie over en længere periode afhænger derfor mege af, om d. 19. okober 1987 inkluderes i beregningen eller ej. Jackwer e al. (1995) påpeger dog, a denne observaion ikke skal ekskluderes som en oulier, og ovensående beragninger undersøes samidig af deres undersøgelse. Jackwer e al. (1995) angiver yderligere, a volailie basere på hisorien ofe sysemaisk undervurderer volailieen, hvis ikke 1987 inkluderes, hvorfor dee mål for volailie ofe er fejlagig. En anden meode il a besemme volailie på, som er lang mere udbred i praksis, er den implicie volailie, som er ineressan, da denne indireke er inkorporere i opionspriserne. Da opionspriserne afspejler markedsdelagernes forvenning il den fremidige udvikling, må den implicie volailie også afspejle forvenningen il den fremidige volailie (Rouah e al. 007). Modsa hisorisk volailie er implici volailie dermed fremidsanskuende og opfylder nedensående udryk: IV (, ) ( σ,, ) C K T = C K T (3.) OBS BS IV hvor den implicie volailie, σ, er volailieen på de underliggende, som, når denne er indsa i Black-Scholes formel, giver en eoreisk call-værdi, C ( σ, K, T), som er lig den observerede BS IV 0

markedspris, COBS ( K, T ) med samme løbeid og srike. Desværre kan Black-Scholes formel (.0) ikke invereres, så σ er udryk som en funkion af S 0, K, r, T og C. Der skal derfor anvendes en simpel søgeprocedure eller numeriske meoder il a finde en unik og posiiv implici volailie pga. monoonieen af Black-Scholes formel i volailiesparameeren sam funkionens grænser: d1 / 0 CBS xe T = > σ π Samidig er den implicie volailie for en pu og en call med samme srike og løbeid den samme pga. pu-call-parieen (.3). I denne afhandling anvendes Newon-Raphson-Bisecion meoden il a finde den implicie volailie, da denne meode sikrer den hurigse konvergens med færres rin i algorimen. Uddybende kommenarer og argumener ses af bilag. (3.3) Ved førse øjekas virker implici volailie mere som en eoreisk udledning end en egenlig brugbar parameer, men implici volailie anvendes ofe il a afbillede begrænsningerne ved Black-Scholes model mh. afvigelserne mellem eoreiske opionspriser og de reelle priser i markede. De hyppigs nævne fænomen med hensyn il implici volailie er volailiessmile, som opnås, når den implicie volailie sæes i forhold il srike eller i forhold il moneyness (K/S) og eksiserer i alle sørre opionsmarkeder i dag. Hvis volailieen var konsan som i Black-Scholes model, ville smile i sede være en vandre linie. Ved hjælp af volailiessmile er de dog mulig a vise, a volailieen i markede ikke er konsan, men varierer med srike og løbeid. Volailiessmile for forskellige akivyper (akier, råvarer, valua osv.) på forskellige markeder har forskellige funkionelle former, men vil ypisk efer krakke i 1987, for både enkelakier og akieindeks, udvise en faldende endens i forhold il sigende srike og kaldes derfor e skew, smirk eller sneer (Rubinsein 1994 og Dumas e al. 1998). Den funkionelle form på smile hænger sammen med korrelaionen i udviklingen af akiekursen og udviklingen for volailieen. Når disse er ukorrelerede, vil smile ofe have form som en parabel. Korrelaionen er dog ofe, som idligere nævn, negaiv, hvorfor smile ilnærmelsesvis vil være lineær med negaiv hældning, og vil alså ikke være symmerisk (Rubinsein 1994, Lewis 000 og Hull 006). Ovensående afagende endens fremgår af figur 3.4 på næse side for opioner skreve på S&P 500 indekse. Volailieen for far-ou-of-he-money (herefer FOTM) pus eller far-in-he-money (herefer FITM) calls er signifikan højere end FITM eller FOTM. Dermed vil Black-Scholes modellen, for call-opioner, underprisfassæe FITM opioner og overprisfassæer FOTM 1

opioner. Dee yder på, a markede ikke ager forudsæningerne bag Black-Scholes for give og prisfassæer i uoverenssemmelse med Black-Scholes modellen (Wilmo 007 s. 15). FIGUR 3.4: Volailiessmil og volailiesoverflade for S&P 500 opioner Volailiesoverflade Impici volailie 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 Volailiessmil 0,45 0,40 0,35 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 Moneyness (K/S) Volailie 0,30 0,5 0,0 0,15 0,10 0,05 0,00 0,86 0,90 0,94 0,98 1,01 Moneyness (K/S) 1,05 0,44 Tid il udløb 0,0 Der eksiserer flere forklaringer på, hvorfor volailiessmile kan observeres i markede. En af forklaringerne er, a når en virksomheds akie falder, vil samme virksomheds gældsandel sige. Dee resulerer i, a akien bliver mere risikabel, og a akiens volailie dermed vil sige. Dee forhold er modsaree, hvis virksomhedens akie siger. Argumene viser, a de forvenes, a volailieen er en afagende funkion af akiens pris, hvilke er i overenssemmelse med den såkalde leverage effec (Hull 006 s. 381). En anden forklaring på fænomene kommer fra de empiriske observaioner, som viser a fordelingen for log-afkas er sejlere og med federe haler end normalfordelingen. Hvis log-afkasfordelingen var normalfordel, ville den implicie volailie være konan over moneyness. Volailiessmile forekommer derfor på grund af den sørre sandsynlighed for mere eksreme afkas end for normalfordele log-afkas. En lepokuric fordeling er med andre ord konsisen med volailiessmile. De skæve smil kan forekomme, da log-afkas ofe har en negaiv skævhed. Dee medfører en sørre sandsynlighed for sørre negaive end posiive afkas, hvilke medfører højere implici volailie for ITM call-opioner end for OTM, og omvend for pu-opioner (Rouah 007 s. 31). En redje udredning af volailiessmile beskrives af Rubinsein (1994), som redegør for fænomene crash-o-fobia. Baggrunden for dee er, a volailiessmile ikke var så udal før akiekrakke i 1987, og a invesorer dermed nu fryger ilsvarende krak og prisfassæer opioner derefer. I sammenhæng med fænomene crash-o-fobia vil invesorerne dermed hedge mod dee ved a købe pus med lave srikes. Endvidere vil invesorer, som ønsker a realisere deres afkas ved udløb ved a sælge de underliggende, vælge a købe call-opioner med højere srikes. Denne eferspørgsel

efer pus med lave srikes og udbude af calls med høje srikes kan også være en forklaring på volailiessmile (Wilmo 007 s. 18) Volailiy surface for opioner på S&P 500 indekse, figur 3.4, viser a volailiessmile afager med løbeiden. Af figuren fremgår de, a smile er mindre signifikan jo længere løbeid opionen har, hvilke yder på, a uoverenssemmelsen mellem priserne i markede og Black-Scholes priser falder med løbeiden. Dee er i overenssemmelse med sudier af bland ande Bakshi e al. (1997) og Dumas e al. (1998), som observerer samme endens. De er nu klar, a anagelsen om konsan volailie ikke holder. Markede prisfassæer dermed opioner i srid med Black-Scholes modellen, og de er derfor nødvendig a overveje modifikaioner il Black-Scholes model, der kan inkorporere disse uoverenssemmelser, hvilke vil blive gennemgåe i de følgende afsni. 3.3 Modeller for sokasisk volailie I de sidse o årier er der ske en sor udvikling i modeller, der forsøger a lempe de resrikive forudsæninger bag Black-Scholes modellen og dermed forsøger a ilpasse sig en mere kompleks verden end den, der beskrives i Black-Scholes modellen. Disse inkluderer bl.a. modeller, hvor forudsæningen om en konsan rene er ersae af en sokasisk rene, jf. Meron (1973) og Amin og Jarrow (199). De er også forsøg a lempe på forudsæningen om, a de underliggende akiv følger en koninuer proces ved a lade processen udvikle sig i spring, eller som en koninuer proces med indlage spring - jump-diffusion modeller jf. Meron (1976), Baes (1991) og Madan og Chang (1996). Derudover er alernaive processer også forsøg anvend il bedre a forklare udviklingen i de underliggende akiv end GBM i Black- Scholes, som bland ande CEV (consan elasiciy of variance) modellen af Cox og Ross (1976). Endelig er de forsøg a lempe forudsæningen om konsan volailie ved a indføre sokasisk volailie, heribland modeller af Hull og Whie (1987), Sco (1987), Wiggins (1987), Sein og Sein (1991) og Heson (1993). Denne række af modeller er dog lang fra udømmende, og når man samidig inkluderer kombinerede modeller med sokasisk volailie og sokasisk rene af Bailey og Sulz (1989), Amin og Ng (1993), Bakshi og Chen (1997) og Sco (1997), og sokasisk volailie jump-diffusion modeller af Baes (1996) og Sco (1997), virker valge af den rigige model uoverskuelig. 3

Fælles for hver opionsprismodel er, a der opsilles re generelle anagelser: processen for de underliggende akiv, processen for renen og processen for volailieen. For hver forudsæning er der mange mulige alernaiver: koninuer vs. diskre proces; Markov proces eller ej; diffusion proces, jump proces, eller en blanding osv. osv. For a finde den perfeke opionsprismodel er de relevan, a vurdere hvad hver af de re generelle anagelser bidrager med il den endelige pris på opionen, og endvidere om de udbye, man får ved a inkludere den mere realisiske egenskab, er værd a medage i forhold il yderligere kompleksie og implemeneringsid. Endelig vurderes de om lempelsen af forudsæningerne hjælper il a løse den empiriske bias forbunde med Black-Scholes model, der blev påvis i ovensående afsni. På baggrund af de empiriske uoverenssemmelser ved Black-Scholes modellen har den primære søgen efer alernaive modeller haf fokus på a fie den rigige afkasfordeling. Modeller med sokasisk volailie giver for eksempel mulighed for en mere fleksibel fordelingssrukur, hvor man ved hjælp af korrelaion mellem akivprisen og volailieen er i sand il a syre, hvor skæv fordelingen er, og ved hjælp af variaionen på volailieen er i sand il a syre kurosis. Men da volailieen i SV-modeller ypisk er diffusionsprocesser og derfor følger en koninuer si, er SVmodellers evne il a forklare kurosis på kor sig begrænse. Modeller, der inkluderer spring, er derimod bedre i sand il a forklare forekomsen af ikke koninuere spring i udviklingen af de underliggende akiv og krak, der kan være skyld i skævhed og høj kurosis i fordelingen af afkas. Dee gør jump-modeller mere fleksible end SV-modeller il a ilpasse den ønskede afkasfordeling - speciel over kore idshorisoner. Derfor kan spring og sokasisk volailie i sammenhæng i princippe forbedre værdiansæelse og hedging af henholdsvis kore og relaiv lange opioner. Ved a inkludere sokasisk rene i modellerne forbedres derimod værdiansæelsen og diskoneringen af fremidige payoff s frem for a forbedre fleksibilieen il a ilpasse afkasfordelingen. De forvenes derfor ikke, a denne løser probleme med cross-secional prisbias, men derimod a denne i princippe burde forbedre prisfejl på opioner med forskellige løbeider. Bakshi e al. (1997) analyserer præsaionen af modeller, der inkluderer sokasisk volailie, jumpdiffusion, sokasisk rene og sammensæninger af disse. Deres empiriske beviser indikerer, a den sørse forbedring i forhold il Black-Scholes opnås ved a inkludere sokasisk volailie i opionsprismodellen. Ved herefer a inkludere spring og sokasisk rene opnås kun marginale forbedringer i prisfassæelsen. Denne konklusion undersøes endvidere af empiriske undersøgelser af Baes (000). I lyse af a kompleksieen øges og implemeneringen 4

vanskeliggøres af a medage sokasisk rene og spring, kan de argumeneres for, a disse i en simulaionsbasere prisfassæelse undlades for derved a opnå e realisisk prisesima på baggrund af mindre komplekse simulaioner. Undersøgelserne viser endvidere, a SV-modeller opnår de bedse resula i forbindelse med hedging, som sluelig vil blive behandle i denne afhandling. På baggrund heraf vil der i afhandlingens videre forløb udelukkende blive fokusere på SV-modeller. Følgende afsni vil være inddel således, a der indledningsvis vil blive udled en generel prisligning for modeller, der inkluderer sokasisk volailie. Da volailie ikke handles (senere vil de såkalde VIX-opioner med volailie som underliggende akiv diskueres), inkluderer SVmodeller flere sokasiske kilder, end der er handlede akiver. Ifølge generel markedseori (se f.eks. he mea-heorem i Björk (004)) er modellen ikke komple, da der er flere usikre paramere end analle af underliggende handlede akiver. Værdiansæelse i e marked med sokasisk volailie er derfor e ikke-komple markedsproblem. Vi sår således overfor e problem, hvor den normale Black-Scholes anagelse om e perfek marked ikke længere holder. Dee beyder, a der ikke eksiserer e unik maringalemål, og a derivae ikke længere kan hedges perfek med de underliggende akiv og en posiion i e risikofri akiv. De generelle arbirageargumen, som blev benye i forbindelse med udledning af Black-Scholes differenialligning, kan alså ikke benyes for modeller med sokasisk volailie. Der vil herefer blive redegjor for fire af de mes populære SV-modeller som blev udled af Hull & Whie (1987), Sco (1987), Sein & Sein (1991) og Heson (1993). Der vil i redegørelsen blive fremhæve de mes karakerisiske egenskaber ved de enkele modeller. Dee udmunder i e valg af Heson-modellen, der vil blive benye i afhandlingens videre forløb. Heson-modellen uddybes herefer yderligere. 3.3.1 Generel l prisligning med sokasisk volailie Til a udlede den generelle PDE for modeller med sokasisk volailie kan lignende argumener som dem i udledningen af Black-Scholes PDE benyes. Denne meodik er bland ande gennemgåe i Fouque e al. (000) og Lewis (000). De anages, a udviklingen i de underliggende følger den normale GBM: ds = µ S d + σ S dz (3.4) S I en koninuer idsramme anages den sokasiske volailie normal a følge en diffusionsproces. Volailieen på idspunk er σ og er repræsenere ved funkionen σ = f ( Y ), hvor Y er en 5

anden sokasisk proces og f ( ) er en ikke-sokasisk proces. Udviklingen i Y følger SDE en: dy = α( S, Y, ) d + β ( Y, ) dz (3.5) Y Den sokasiske proces (3.5), som volailieen er en funkion af, er en mege generel proces. Indil videre forudsæes der ikke noge om funkionerne α ( ) og β ( ) udover, a de er ikke-sokasiske funkioner. α ( S, Y, ) er en funkion for drifen i volailieen, og β ( Y, ) er en funkion for volailieen på volailieen, og i grænsen β ( Y, ) 0 bevæger vi os ilbage mod den normale Black-Scholes formel med konsan volailie. Z S og Z er Brownske Bevægelser, der ilfredssiller d Z, Z ρd Y S Y ρ. = for en konsan [ 1,1] ρ er korrelaionen mellem afkase for de underliggende og volailieen på afkase. skrives som en lineær kombinaion af sammenhængen mellem de o kan skrives som: Z Y kan Z S og en uafhængig Brownsk Bevægelse W, således a ZY ρzs 1 ρ W = + (3.6) De o Brownske Bevægelser er uafhængige, hvis de er ukorrelerede, ρ = 0. Hvis korrelaionen mellem de o er perfek korrelere, ρ = 1, er begge processer dreve af de samme usikre momen. Generel se er SV-modeller ikke komplee, hvorfor derivaer ikke kan prisfassæes ved hjælp af arbirageargumener. Med andre ord kan Black-Scholes replikaionsargumene ikke længere benyes for de flese derivaer. Som beskreve var der i Black-Scholes rammerne kun é usikker momen - udviklingen i de underliggende akiv - hvilke kunne hedges væk ved hjælp af den selvfinansierende porefølje. Ved a medage sokasisk volailie har vi en såkald odimensional diffusionsproces, der inkluderer endnu e usikker momen, der også skal hedges væk for a opnå en risikofri porefølje. Modsa Black-Scholes er de ikke ilsrækkelig kun a hedge med de underliggende akiv og en placering i e risikofri akiv - dz S kan balanceres, mens dzy ikke kan, da der ikke handles akiver på volailie. De er derfor nødvendig a inkludere e ande afled akiv G( S, Y, ), hvor de anages, a der på samme måde som i de underliggende kan ages en kor og en lang posiion. G( S, Y, ) kan være en europæisk konrak med den samme payoff-funkion som V ( S, Y, ), men med en anden løbeid. Som ved udledningen af Black-Scholes differenialligning Al efer hvilken funkion f ( ) ager, vil Y være processen for denne funkion. Sæes σ = f ( Y ) = Y vil processen Y beskrive udviklingen i variansen på de underliggende akiv. 6

konsrueres en porefølje Π besående af opionen, der skal prisfassæes V ( S, Y, ), underliggende akiv og G af de nye aflede akiv: S af de Π = V ( S, Y, ) S G( S, Y, ) (3.7) Denne porefølje følger samme idé som den selvfinansierende porefølje i Black-Scholes udledningen. Ændringen i poreføljens værdi i den næse idsperiode fra idspunk il idspunk + d skyldes nu også ændring i de nye aflede akiv G s værdi kan skrives som: S G dπ = dv ( S, Y, ) ds dg( S, Y, ) (3.8) Den odimensionale version af Io s lemma benyes nu il a skrive ændringen i henholdsvis V ( S, Y, ) og G( S, Y, ), og ledene foran d, ds og dy samles, jf. bevis i bilag 3: V 1 V 1 V V dπ = + f ( Y ) S + β + ρ f ( Y ) β S d S Y S Y S G 1 G 1 G G G + f ( Y ) S + β + ρ f ( Y ) β S d S Y Y S V G V G + G S ds + G dy S S Y Y De o usikre momener er her ds og dy, hvorfor poreføljen gøres risikofri ved a sæe V G V G G S = 0 S S og G 0 = Y Y, hvilke gøres ved a vælge mængden af G og S: G (3.9) V G G = (3.10) Y Y V S = S G G S (3.11) De ilbageværende i (3.9) er nu risikofri, hvorfor de, med samme argumenaion som i udledningen af Black-Scholes ligningen, må give samme afkas, r, som e risikofri akiv: V 1 V 1 V V dπ = + f ( Y) S + β + ρ f ( Y ) β S d S Y Y S G 1 G 1 G G G + f ( Y) S + β + ρ f ( Y ) β S d S Y Y S = rπd (3.1) hvor Π er give ved (3.7). 7

Ved a indsæe G og side når man frem il: S fra (3.10) og (3.11) og isolere V-led på vensre side og G-led på højre V 1 V 1 V V V V + f ( Y) S + β + ρ f ( Y ) β S + rs rv S Y S Y S Y G 1 G 1 G G G G = + f ( Y) S + β + ρ f ( Y ) β S + rs rg S Y S Y S Y (3.13) Man kan nu berage V og G, som arbirære derivaer således, a begge sider af ligningen er lig med en funkion f, der kun er afhængig af S, Y og. Funkionen f kan ikke alene besemmes fra arbirageargumener, men den er besem af de eksra handlede akiv G. Man kan sige, a markede kender funkionen f. Uden ab af generelie kan man nu skrive funkionen som f = α βλ ( S, Y, ), hvilke er den objekive verdens volailiesdrif α minus den objekive verdens volailie på volailie β gange med Λ ( S, Y, ), der kaldes markedsprisen på volailiesrisiko. Denne kan ikke alene besemmes fra arbirageeori, men er i eorien besem ud fra derivae G, hvorfor de kan siges, a markede besemmer prisen på volailiesrisiko. Man når nu frem il den endelige PDE for opionsprisen V ( S, Y, ) : V 1 V 1 V V V V + f ( Y ) S + β + ρ f ( Y) β S + rs rv + ( α βλ ( S, Y, )) = 0 S Y S Y S Y (3.14) De endelige grænsebeingelser for a besemme prisen på en given opion ved a løse ligningen i (3.14) er igen give ved den respekive opions payoff. Ved a omgruppere differenialligningen (3.14) kan man vise, hvor de forskellige led af ligningen kommer fra: V 1 V V V 1 V V V + f ( Y ) S + rs rv + ρ f ( Y ) β S + β + α βλ ( S, Y, )) = 0 14444444444443 S S 144443 S Y 144443 Y Y 144443 Y Black Scoles Korrelaion Sokasskp r oces Pr æmie Den førse gruppe er Black-Scholes ligningen (.16) med volailieen f ( Y ), anden gruppe skyldes korrelaionen mellem de underliggende akiv og volailieen, redje gruppe kommer fra den respekive proces for volailieen (3.5). Sidse gruppe skyldes markedsprisen på volailiesrisiko. Den ukende funkion Λ ( S, Y, ) er risikopræmien fra de ande usikre momen, der driver volailieen. De skal førs og fremmes bemærkes, a hvis udviklingen i processen for de underliggende akiv og volailieen er perfek korrelerede ρ = 1, vil markedsprisen på 8

volailiesrisiko forsvinde, da de vil være mulig a gennemføre e perfek hedge udelukkende med de underliggende akiv. Ved a undersøge udviklingen i opionsprisen V, opnås yderligere indsig i sammenhængen med Λ ( S, Y, ). Ved a benye den odimensionale udgave af Io s formel og den endelige PDE i (3.14) kan de vises a (Fouque e al. 000): V V V V dv ( S, Y, ) = ( µ r) S + rv d + Sf ( Y ) dz1 + β dz + βλ( S, Y, ) d S S Y Y (3.15) Ud fra ligningen kan de ydelig ses, a en infiniesimal signing i volailiesrisikoen β medfører en infiniesimal signing i afkase fra opionen med Λ ( S, Y, ) gange signingen. Markedsprisen på volailiesrisiko er alså e forvene merafkas per risikoenhed udover den risikofri rene. Denne signing i eksra afkas per risikoenhed kan ses analog il den velkende Capial Asse Pricing Model. Λ ( S, Y, ) er i eorien uafhængig af de enkele akiv og kan derfor besemmes ud fra en opion og så benyes il a besemme priser på andre produker (Heson 1993). Dee kan ses analog il a finde implici volailie i Black-Scholes modellen. Generel er risikopræmier ikke konsane, og for den enkele invesor afhænger risikopræmien af risikoaversion, volailie og id (Lewis 000 s. 18). Λ ( S, Y, ) er derfor påvirke af invesorernes risikoaversion, hvorfor løsningen på PDE en i (3.14) også afhænger heraf. Modsa Black-Scholes, hvor man kunne hedge perfek og derved gøre løsningen på Black-Scholes ligningen uafhængig af invesorernes risikopræferencer, sår man over for e ukomple marked og kan derfor ikke hedges perfek. Med mindre de anages, a der findes volailiesbaserede derivaer bland de primære akiver, er de nødvendig a besemme markedsprisen på volailiesrisiko eksogen. For a løse (3.14) og derved finde prisen på e deriva er de derfor nødvendig eksogen a lave anagelser om markedsprisen på volailiesrisiko. For nogle specifikaioner af sokasisk volailiesdynamik og markedspris på volailiesrisiko findes der lukkede formler for opionspriser. I andre ilfælde er de nødvendig a benye numeriske eknikker for a finde opionsprisen (Musiela e al. 000 s. 59). Hedgingproceduren i (3.10) og (3.11) kaldes - Σ (dela-sigma) hedging og er som nævn ovenfor ikke unik, da den afhænger af Λ ( S, Y, ). Normal er - Σ hedging ikke ilfredssillende på baggrund af høje ransakionsomkosninger og mindre likvidie associere med a handle de ande aflede akiv G (Fouque e al. 000 s. 48). Denne problemsilling vender vi ilbage il i kapiel 5. 9

3.3. Risikoneural prisfassæelse I kapiel blev de påvis, a der i Black-Scholes findes e ækvivalen maringalemål, P, under hvilke den ilbagediskonerede akivpris S = S B er en maringale. Herfra ved man, a prisen på e deriva er de forvenede ilbagediskonerede payoff under de risikoneurale mål. Unikheden af maringalemåle afspejler sig i unikheden af prisen. I de ukomplee marked under sokasisk volailie eksiserer der ikke e unik maringalemål og derfor heller ikke en unik pris (Musiela e al. s. 58). I PDE en i (3.14) afhænger løsningen af markedsprisen på volailiesrisiko, hvorfor unikheden af derivapriser på markede er ab. Delbaen e al. (1995) viser, a under mindre resrikive anagelser (ingen arbiragemuligheder), a handlede derivapriser, i forhold il en given numeraire, er lokale maringaler under e sandsynlighedsmål ( ) P Λ. For en given værdi af Λ ( S, Y, ) eksiserer der derfor e unik ækvivalen maringalemål og derfor også en unik pris. Hvis volailieen er afgrænse, vil prisprocessen ligeledes være en maringale. Dee holder dog ikke for visse konraker under visse ikke-afgrænsede volailiesprocesser (Lewis 000 s. 1). Ligesom ved Black-Scholes kan de bevises ved Feynman-Kac Theoreme (Musiela e al.: Proposiion 7.4.1 s. 58), a løsningen på PDE en kan findes ved: ( ) ( ) Λ [ ] V S Y E e V S Y e E V S Y ( Λ) r T r T ( ) (,, ) = (,, ) = (,, ) (3.16) og hvor de sokasiske differenialligninger fra (3.4), (3.5) og (3.6) under de risikoneurale mål ( ) P Λ er give ved: ds = rs d + f ( y) S dz (3.17) S [ (,, )] dy = α βλ S Y d + βdz (3.18) Z Y ρz S 1 ρ W Y = + (3.19) ( µ r) Λ ( S, Y, ) = ρ + 1 ρ γ (3.0) f ( Y ) De nye led i SDE erne under de ækvivalene maringalemål er e resula af Girsanov ransformaionen, jf. bilag 4. Den risikoneurale drif i de underliggende akiv er, ligesom ved Black-Scholes, give ved r i sede for de forvenede afkas på de underliggende akiv. De kan på samme vis som ved Black-Scholes bevises, a koninuer udbye frarækkes drifslede. Den risikojuserede proces for volailieen (3.18) har den samme korrelaion, ρ, og samme volailie, β, som den objekive proces (3.5). Derimod er drifen nu udryk ved α βλ ( S, Y, ). Drifen i volailieen er modificere således, a drifslede formindskes med markedsprisen på 30

volailiesrisiko skalere med volailieen på volailieen. Λ ( S, Y, ) i (3.18) er den samme som i (3.14), selvom udledningerne er uafhængige. De skal bemærkes, a koefficienen il V Y i (3.14) blo er de risikoneurale drifsled fra processen dy 3, mens koefficienen il V S, er den risikoneurale drif rs fra de underliggende akiv. Modsa Black-Scholes indeholder SDE erne nu variable, der er afhængige af invesorernes risikopræference, hvorfor denne påvirker ligningen og derfor prisen på den givne opion. Hvis ikke risikopræmierne er specificere, er udviklingen i SDE erne ikke komplee. Vi ved nu endvidere, a Λ ( S, Y, ) i (3.0) kan dekomponeres i o dele, hvilke er en konsekvens af de o uafhængige Brownske Bevægelser i (3.19), jf. igen bilag 4. Når γ er en funkion af processerne S, Y og, er man ilbage ved Markov-egenskaberne, og så er (3.14) neop den parielle differenialligning for (3.16). 3.3.3 Eksempler på modeller for sokasisk volailie Der er i de ovensående udled en generel prisligning under sokasisk volailie, og der vil i nedensående afsni specificeres konkree processer for den sokasiske volailie. En egenskab, de flese modeller synes a inkludere, er mean reversion af volailieen. Fra finansiel modellering refererer mean reversion il den lineære ilbagerækningseffek i drifen på volailieen selv, eller i drifen af en underliggende proces, fra hvilken volailieen er en funkion. Mean reversion speed beskriver den id, de ager for processen a vende ilbage il e gennemsnilig niveau for fordelingen af processen på lang sig. Ved a inkorporere mean revering sokasisk volailie i processen (3.5) sæes funkionen for drifen il: α( S, v, ) = α( m Y ). Hvor α er mean reversion speed, og m er de gennemsnilige niveau af Y på lang sig. Drifslede rækker Y mod m, således a de kan forvenes, a volailieen i de underliggende akiv σ rækkes mod gennemsnie af f ( Y ) med hensyn il fordelingen af Y på lang sig. Funkionen for volailieen vil alså variere omkring værdien m, der derfor kan sammenlignes med σ i Black-Scholes. Man kan ved ln /α beskrive halveringsiden for volailieschok, hvilke vil sige, den gennemsnilige id de ager, før en afvigelse fra ligevægen er brag halvvejs ilbage mod ligevægen. Med hensyn il de empiriske undersøgelser af udviklingen i volailieen i afsnie Empiriske indikaioner blev de påvis, a udviklingen i volailieen viser en klar endens il mean reversion. Denne egenskab er derfor afgørende for, a SV-modeller kan fange den sande udvikling i 3 Bemærk a de neop var denne funkion der blev valg for funkionen f i udledningen af PDE en 31

volailieen. Der vil derfor eferfølgende primær fokuseres på modeller, der inkorporerer denne egenskab. De er ikke mulig a behandle alle SV-modeller, der er nævn i lierauren, hvorfor der i afhandlingens videre forløb kun vil analyseres nogle af de mes populære modeller, som også har vis sig a være gode i prakiske sammenhænge. Analysen vil ikke gå i dybden med a udlede lukkede løsninger osv. for de enkele modeller - der henvises i denne sammenhæng il originalariklerne. Figur 3.5 viser en oversig over de fire modeller, der behandles, og hvorledes de modificerer de generelle SDE er i (3.4) og (3.5). I alle modellerne anages udviklingen i de underliggende a følge den normale GBM med volailieen som en sokasisk funkion. FIGUR 3.5: Oversig over de fire udvalge modeller for sokasisk volailie α ( S, Y, ) β ( Y, ) f ( Y ) ρ Hul & Whie (1987) c1y cy Y ρ=0 Sco (1987) α ( m Y ) β e Y ρ=0 Sein & Sein (1991) α ( m Y ) β Y ρ=0 Heson (1993) κ( ) v Y Y ρ 0 m Y Hull & Whie (1987) Opionsprisfassæelsesmodeller med sokasisk volailie sarede med bivariae diffusionsprocesser af Hull & Whie (1987), Sco (1987), og Wiggins (1987). Hull & Whie anager, a variansen på akieafkas er ukorrelere med afkase fra akien, og a invesorernes nyefunkion ikke påvirker variansen. De anages i modellen, a dynamikken for variansen af de underliggende akiv følger en log-normal proces, således a σ = f ( Y ) = Y, hvorfor processen Y beskriver udviklingen i variansen: dy = c Y d + c Y dz (3.1) 1 Y hvor c 1 og c er funkioner, der afhænger af Y og. Modellen har den fordel, a volailieen udelukkende kan være posiiv. Selvom dz S og dz anages a være uafhængige med ρ = 0, er processerne for de underliggende og for variansen ikke uafhængige i den risikoneurale verden. Udviklingen i de underliggende akiv give en specifik si for volailiesprocessen er log-normal i den risikoneurale verden (Musiela e al. 000). De skal endvidere bemærkes, a Hull & Whie modellen ikke er mean-revering. Volailiesprocessen udvikler sig derfor ikke i henhold il de klare empiriske endenser, som flere Y 3

idsserieanalyser har beskreve. Dee er en sor ulempe i forhold il anvendelse af modellen og i forhold il a ilpasse sig volailiessmile. Af denne grund er modellen heller ikke den mes anvende il implemenering i lierauren på område. Endnu en klar ulempe ved Hull & Whie modellen er, a selv i ilfælde af a c 1 og c anages a være konsane, findes der ikke en lukke formel for fordelingsfunkionen. Hull & Whie (1987) bruger derfor momenerne il de ilfældige variable il a udlede en approksimaiv formel for europæiske call-opioner. Sco (1987) I Scos model følger Y en mean-revering Ornsein-Uhlenbeck proces: dy = α( m Y ) d + βdz (3.) Y Y hvor α, m og β er konsaner og med volailieen give ved σ = f ( Y ) = e. Funkionen Y beskriver alså udviklingen i lnσ. Hvis α er lig nul, er Y en random walk, og den ubeingede varians på afkase af de underliggende er uendelig. Y er normalfordel, og der er mulighed for, a denne kan age negaive værdier, hvilke er en sor ulempe ved denne model. Som i Hull & Whie anages der ikke a være korrelaion mellem processen for de underliggende akiv og processen for volailieen. De skal endvidere bemærkes, a volailieen på processen for volailieen og dermed de sokasiske elemen ikke er skalere med niveaue af processen. Der findes heller ikke nogen lukkede formler for opionspriser i Sco modellen. Sein & Sein (1991) Som i Sco (1987) følger processen for Y i Sein & Sein (1991) en mean-revering Ornsein- Uhlenbeck proces. Med α, m og β som posiive konsaner. Y beskriver processen for volailieen, og for a sikre a volailieen aldrig bliver negaiv, er der indfør en barriere ved Y = 0. Dee kan ses på samme måde som ved a sæe σ = f ( Y ) = Y. De anages ligeledes, a der ikke er korrelaion mellem udviklingen i de underliggende og udviklingen i volailieen. Sein & Sein (1991) udleder en analyisk repræsenaion af fordelingen af de underliggende akivs pris, hvorfra prisen på europæiske opioner kan beregnes ved a løse e inegrale for de forvenede afkas. 33

3.4 Heson (1993) Den mes populære og hyppigs benyede model for sokasisk volailie er Heson s kvadrarodsmodel, hvor Y anages a udvikle sig i henhold il en sokasisk differenialligning med samme form som CIR-renemodellen (Cox e al. 1985): dy = κ( m Y ) d + v Y dz (3.3) Y hvor κ, m og v anages a være posiive konsaner. Volailieen på de underliggende akiv er give ved σ = f ( Y ) = Y, hvilke, ligesom i Hull & Whie (1987), beyder, a Y beskriver udviklingen i variansen på de underliggende akiv. Ved små ændringer i vil variansen forblive posiiv. v er volailieen på variansen, der angiver, hvor mege sødende fra den Brownske Bevægelse Z Y påvirker Y. De skal i denne sammenhæng bemærkes, a kvadraroden af niveaue for processen for variansen, medføre højere volailie. Y, indgår i de sokasiske led, hvorfor e høj niveau af Y vil Heson-modellen er som indledningsvis definere mean-revering, hvilke beyder, a volailieen i de underliggende akiv varierer omkring værdien m. En af grundende il Heson-modellens popularie er, a den modsa de andre modeller illader korrelaion mellem de o sokasiske processer for henholdsvis de underliggende akiv og volailieen - Z S og Z Y er korrelere i henhold il ZY ρzs 1 ρ W = +. Dee inroducerer en yderligere dimension il opionsprisfassæelsen. Som de blev vis i udledningen af den generelle PDE for modeller med sokasisk volailie, inkluderer denne også e led for korrelaionen mellem volailieen og de underliggende akiv. Den sørse forskel mellem kvadrarodsmodellen og andre modeller for sokasisk volailie er, a Heson (1993) udleder en fordelingsfunkion for de underliggende akiv og derudfra en semi-lukke løsning for prisen for europæiske opioner. Sammenligne med andre meoder il a prisfassæe opioner, som f.eks. Mone-Carlo simulaion, er denne meode mege hurigere og samidig le a implemenere, da den enese numeriske beregning, der skal foreages, er løsningen af o inegraler. Dee er speciel en sor fordel i forbindelse med kalibrering af modellen il opionspriser på markede hvilke udføres senere i afhandlingen. Fordelen ved Black-Scholes modellen er neop, a den kun indeholder én ukend parameer volailieen - hvilke gør den mege hurig a kalibrere il markedsdaa og derfor mege anvendelig i prakiske sammenhænge. Den lukkede formel for Heson-modellen vises i afsni 3.4.3. 34

Finansiel daa viser, a ρ < 0 jf. afsni 3.1. Af de fire modeller er Heson-modellen den enese, der illader korrelaion mellem de underliggende akiv og volailieen. Samidig inkorporerer modellen mean-reversion i processen for volailie, hvilke også semmer overens med de empiriske indikaioner. Dragulescu og Yakovenko (00) giver endvidere beviser på, a Heson-modellen er i overenssemmelse med daa observere i markede. Baes (000) undersøger S&P 500 opioner og viser, a SV-modeller fanger skævheden i afkasfordelingen gennem negaiv korrelaion mellem de underliggende akiv og volailieen og gennem en høj volailie på volailieen. Af disse årsager vil afhandlingen benye Heson s model i videre analyse. I figur 3.6 illusreres simulerede sier for GBM processen overfor Heson-processen. For a gøre de illusrerede sier sammenlignelige er de simulere på baggrund af samme ilfældige al. Figur 3.6: Simulerede sier for GBM- og Heson-processen for de underliggende akiv og volailieen S 100,3 100, 100,1 100 99,9 Heson sien GBM Volailie 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0,05 Heson volailie Black-Scholes volailie 99,8 0 50 100 150 00 Dage 0 0 50 100 150 00 Der er en ydelig forskel på de o sier. I begge ilfælde er spoprisen for de underliggende S 0 = 100, og e forvene afkas på µ = 5%. Volailieen i Heson-modellen er give ved κ = 1,3, m = 0,05, Y 0 = 0,05, v = 0, 4 og korrelaion på ρ = 0,7 Dage. Volailieen i GBM en er konsan og mache il Heson-modellens mean reversion-niveau for variansen. I de kommende afsni vil Heson-modellen blive uddybe yderligere. 3.4.1 Variansprocessens egenskaber CIR-processen, som beskriver udviklingen i variansen for Heson-modellen, følger en ikke-cenral chi-i-anden fordeling (Cox e al. 1985), hvor fordelingsfunkionen er give ved: j λ / ( λ / ) F( x; k; λ) = e Q( x; k + j) (3.4) j= 0 j! hvor k er frihedsgrader, λ er ikke-cenraliesparameeren, og Q( x; k) er fordelingsfunkionen for den cenrale-chi-i-anden fordeling give ved: γ ( k /, x / ) Q( x; k) = Γ( k / ) 35

hvor Γ er en gammafunkion, og γ er en lower-incomplee-gamma-funcion. For variansprocessen i Heson-modellen er Y T give Y fordel som: x n(, T ) P( YT < x Y ) = P ; d; Y (, ) ( T ) n T e κ hvor frihedsgraderne er give ved: d = 4 κm / v og ikke-cenraliesparameeren give ved Y n(, T ), hvor: (3.5) n(, T) = v 4 e κ ( T ) κ κ T ( 1 e ) ( ) Ud fra egenskaberne for en ikke-cenral chi-i-anden fordeling er middelværdien give ved k variansen give ved ( k + λ). De kan herfra vises, a Y T har de følgende o førse momener: E Y Y m Y m e κ + λ og ( T ) T = + ( ) (3.6) κ ( T ) Y ( ) ( ) v e κ T mv κ T Var YT Y = ( 1 e ) + ( 1 e ) (3.7) κ κ Heson-modellens mean reversion egenskaber fremgår ydelig af udregningen af middelværdi, og når κ går mod uendelig, går middelværdien mod m. De skal endvidere bemærkes, a variansen på Y siger, hvis volailieen på variansen v siger, eller hvis mean reversion speed κ falder. Hvis variansen udviser mean reversion, og når T bliver sørre, vil processen for variansen gå imod en gammafordeling (Cox e al. 1985). Hvis de i processen for variansen (3.3) anages, a Y 0 > 0, så κ m v, vil processen og dermed variansen aldrig kunne blive negaiv. Dee er en mege vigig egenskab ved Heson-modellen, da de jo er e fakum, a variansen ikke kan være negaiv. Probleme er a κ m ofe er signifikan lavere end v, hvorfor sandsynligheden for a variansen rammer nul ofe er forholdsvis signifikan. Samidig ligger processen for variansen ofe i område omkring nul (Andersen 007). 3.4. PDE og risikoneural prisfassæelse Med baggrund i samme argumener som bag den generelle PDE for sokasisk volailie (3.15), viser Heson (1993), a prisen på en hver given opion ilfredssiller: V 1 V 1 V V V V + YS + v Y + ρyvs + rs rv + κ ( m Y ) Λ ( S, Y, ) v Y = 0 S Y S Y S Y (3.8) 36

Λ ( S, Y, ) er igen markedsprisen på volailiesrisiko 4. Heson anager, med baggrund i Breeden s (1979) forbrugsbaserede model benye på CIR-processen, a markedsprisen på volailiesrisiko er en lineær funkion af volailieen Λ ( S, Y, ) = k Y eller som her Λ ( S, Y, ) v Y = kvy. Hvis λ = kv, bliver koefficienen il V Y i (3.8) [ κ( m Y) λy ]. Dee valg af markedspris på volailiesrisiko har nogle analyiske fordele. Drifslede i Heson-modellens variansproces (3.3) er en affin funkion af ilsandsvariablene selv. Affinieen gør, a modellen er leere a løse. Da udviklingen i variansprocessen er proporional med kvadraroden af variansen, hvilke neop også var ilfælde for den valge markedspris på volailiesrisiko, er produke af de o proporional med variansen selv. Som resula heraf vil drifslede forblive affin under de ækvivalene maringalemål. Løsningen på ligningen og dermed prisen på den respekive opion afhænger igen af den endelige grænsebeingelse, der er give ved opionens payoff-funkion. De specifikke valg af markedsprisen på volailiesrisiko gør de mulig a finde en lukke løsning, jf. nedenfor. Med baggrund heri viser Heson ved hjælp af Girsanov ransformaionen, a den risikoneurale proces for variansen kan skrives som: dy = κ ( m Y ) d + v Y dz (3.9) Y hvor κ = κ + λ er den risikoneurale mean reversion speed, og m m( ) 1 = κ κ + λ er de risikoneurale mean reversion niveau. De skal bemærkes, a funkionen for den risikoneurale proces for variansen ager samme form som den objekive proces udover modifikaionerne i konsanerne κ og m, hvorfor prisen på volailiesrisiko igen beskriver forskellen mellem den objekive og den risikoneurale proces. I forbindelse med prisfassæelse af opioner ved simulaion af Heson-modellen under de risikoneurale mål, er de relevan a benye logarimen il den risikoneurale proces for de underliggende akiv. Ved hjælp af Io s lemma kan x ved: = ln S ud fra (3.17) udledes il a være give 1 dx = r Y d + Y dz x (3.30) 4 I Heson (1993) er koefficienen il V Y i (3.8) give ved κ ( m Y ) Λ( S, Y, ). Forskellen skyldes, a der er forskel i definiionen af Λ ( S, Y, ). Definiionen her er konsisen med noaionen i afsni 3.3.1 og 3.3.. Resulae bliver de samme, når Λ ( S, Y, ) er specificere. 37

3.4.3 Heson s eksplicie formel Give de risikoneurale dynamikker i modellen, udleder Heson (1993) en semi-lukke formel for europæiske opioner. Prisen for en call-opion anages på samme måde som ved Black-Scholes, jf. formel (.0), a være give ved: hvor P 1 og P : C( S, Y, ) = SP Ee P (3.31) r 1 P = P( x ln E x = x, Y = Y) j T er sandsynlighederne for a call-opionen ender ITM, give den naurlige logarime il prisen på de underliggende x, og volailieen Y - begge på idspunk for j = 1,. De skal bemærkes, a P j er risikoneurale sandsynligheder, da de ved udledningen er de risikoneurale dynamikker, der benyes. Prisen for pu-opioner kan udledes gennem pu-callparieen il: r Pu( S, Y, ) = Call( S, Y, ) + Ee S (3.3) Sandsynlighederne er - modsa Black-Scholes - ikke umiddelbar ilgængelige i en lukke formel. Heson udleder, jf. bevis i bilag 5, en løsning il den karakerisiske funkion f j give ved: f = exp( C + D Y + iφ x) (3.33) j j j d j ( T ) κm 1 g je C j = rφi( T ) + ( b )( ) ln j ρvφi + d j T v 1 g j D b ρvφi + d e = d j ( T ) j j 1 j d j ( T ) v 1 g je g j bj ρvφi + d = b ρvφi d j j j j = ( ρ φ j ) ( jφ φ ) d v i b v u i Ved a inverere den karakerisiske funkion ved en invers Fourier-ransformaion findes de risikoneurale sandsynligheder: iφ ln( K ) e f j 1 1 Pj = + Re dφ π 0 iφ (3.34) I disse udsagn er i = 1 e kompleks al, u 1 = 1, u = 1, b1 = κ + λ ρv og b = κ + λ. Selvom (3.31) og (3.3) berages som lukkede løsninger, kræver de alligevel, a de o komplekse inegraler i (3.33) løses for a finde prisen på en given opion. Dee kan kun gøres ved hjælp af numerisk inegraion, hvorfor formlen kun kan beegnes som semi-lukke. Der vil i denne 38

afhandling ikke fokuseres på meoder il, hvorledes inegralerne løses, men i sede benyes de numeriske eknikker, der er gennemgåe i Rouah e al. (007) kapiel 1. Den implemenerede model kan findes i funkionen Heson i Excel-ark Forskel mellem BS og Heson på den medfølgende Cdrom. Ud fra den semi-lukkede løsning for call-opioner er de simpel a beregne The Greeks. Formler for de mes gængse Greeks fremgår af bilag 6. Som i udledningen af den lukkede Black-Scholes formel kan Heson s lukkede løsning modificeres il a medregne forekomsen af koninuere udbyebealinger ved blo a udskife spoprisen S 0 i (3.31) og (3.3) med S0e DT sam a modificere den risikoneurale drif. Den neop præsenerede model er en ro kopi af den i Hesen (1993) udlede model. Der findes en række alernaive formler heril på rods af, a de alle prisfassæer den samme opion i den samme model jf. bl.a. Musiela e al. (000) og Gaheral (006). Grunden heril er, a der ved udledningen kan benyes forskellige versioner af Fourier-ransformaionen. 3.4.4 Afkasfordeling og forskel i opionspriser I dee afsni analyseres hvorledes Heson-modellen påvirker afkasfordelingen, og hvorledes dee påvirker forskellen i opionspriser mellem Black-Scholes modellen og Heson-modellen. En af fordelene ved Heson-modellen er, a de er mulig gennem modellens paramere a påvirke afkasfordelingens skævhed og kurosis og dermed bedre være i sand il a fie markedsdaa. Afkasfordelingen i Black-Scholes er derimod log-normalfordel, og de er kun mulig a påvirke afkasfordelingens middelværdi og varians. Analysen foreages på baggrund af de risikoneurale processer i sede for de objekive processer, da de er de risikoneurale processer, der alene besemmer opionspriser. Fordelingerne for de risikoneurale processer for Heson-modellen (3.9) kan dog il en vis grad bruges il sammenligning med Heson-modellens objekive proces (3.3), hvis markedsprisen på volailiesrisiko λ sæes il nul, da de er denne parameer, der udgør forskellen på den risikoneurale og objekive proces for volailieen. I så fald vil den risikoneurale proces for volailieen være den samme som den objekive proces. Enese forskel vil være i processen for de underliggende, hvor drifen i den risikoneurale proces er give ved r i sede for µ i den objekive proces. De vil dermed også være mulig a påvise, hvorledes Heson-modellen er i sand il a fie den empirisk observerede afkasfordeling ved a ændre på paramerene i modellen. 39

Afkasfordelingen for Heson-modellen analyseres ud fra sandsynlighedsfordelingen for modellens log-afkas. Modellens sandsynlighedsfordeling kan findes ud fra den i (3.33) udlede karakerisiske funkion. På samme måde som man ved f i (3.34) finder fordelingsfunkionen for logarimen il akivprisen og dermed den risikoneurale sandsynlighed for a opionen ender ITM, kan man ved a inverere samme karakerisiske funkion finde sandsynlighedsfordelingen for akivprisen give ved: 1 iφ x f ( x) = e fdφ π (3.35) I sede for a finde sandsynlighedsfordeling for akivprisen sæes x = ln( S S0) for a finde sandsynlighedsfordelingen for log-afkase. Besemmelserne af sandsynlighedsfordelingerne for Heson-modellen findes i funkionen Hesonfordeling på den medfølgende Cd-rom i Excel-arke Fordeling for Heson. For a ydeliggøre afkasfordelingens beydning for forskelle i opionspriser, er x-aksen i ploe for sandsynlighedsfordelingen give ved S T i sede for log-afkas, men sandsynlighederne, der knyer sig deril, vil sadig være log-afkas-sandsynligheder. Til beregning af Black-Scholes prisen på opionen, der ønskes sammenligne med opionsprisen funde ved Heson-modellen, skal volailiesparameeren, der benyes i Black-Scholes, maches med kvadraroden af variansprocessen for Heson-modellen, således a den gennemsnilige volailie i opionens leveid er den samme i de o modeller. Den machede volailie, der skal benyes som inpu i Black-Scholes formlen, findes ved a besemme de ande momen il den karakerisiske funkion f i (3.33) eller ved a løse inegrale: T 1 T σ BS = Y d T (3.36) 0 Når sandsynlighedsfordelingen for log-afkas og prisforskelle skal analyseres, er der o paramere fra Heson-modellen, man bør være eksra opmærksom på korrelaionen mellem akivprisen ρ og volailieen på variansen v. De er derfor relevan, a undersøge afkasfordelingens og prisforskellenes følsomhed overfor disse. Til illusraion af effekerne benyes sandarparameerværdierne give i abel 3.1, der følger værdierne benye i Heson (1993). TABEL 3.1: Sandardparameerværdier k m λ Y r T K 0,01 0,01 0 0 0,5 100 40

Korrelaionsparameeren ρ påvirker skævheden i afkasfordelingen og resulerer i spredning i fordelingens hale, hvilke fremgår af figur 3.7. Hvis korrelaion er posiiv, resulerer en sigende akivpris i en sigende varians, hvilke resulerer i en øge sandsynlighed for en endnu højere akivpris. Dee beyder, a sandsynlighedsfordelingens højre hale spredes. På den anden side er den vensre hale forbunde med lav varians og spredes derfor ikke. For en posiiv skævhed i fordelingen er sandsynligheden for højere afkas sørre end i Black-Scholes modellen. For negaiv korrelaion gælder den modsae sammenhæng af ovensående. FIGUR 3.7: Påvirkning af afkasfordelingen ved ændring af Rho 7 6 5 P(Ln(S/S0)) 4 3 1 0 70 80 90 100 110 10 130 Spo ρ = 0,5 ρ = 0 ρ = - 0,5 For a illusrere, hvorledes dee påvirker opionspriser for en call, gennemføres en analyse lignende Heson (1993). For forskellige niveauer af moneyness beregnes call-opionspriser med henholdsvis Heson-modellen og Black-Scholes modellen. For hver call-pris beregnes forskellen mellem de o esimaer, og forskellen ploes overfor spoprisen for de underliggende akiv. FIGUR 3.8: Forskelle mellem call-priser ved forskellig Rho beregne for Black-Scholes og Heson på værs af spoprisen med srike=100 0,15 0,10 0,05 Forskel 0,00 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 10 15 130-0,05 ρ = 0,5 ρ = - 0,5-0,10-0,15 Spo 41

Figur 3.8 viser forskellen i opionspriserne for forskellige værdier af korrelaionen på henholdsvis ρ = 0,5 og ρ = 0,5, der resulerer i en Heson-mache volailie på σ = 0, 099561 og σ = 0,100409, hvilke benyes som volailiesparameer i Black-Scholes modellen. De i figur 3.8 BS vise resulaer er beregne i Excel-ark Forskel mellem BS og Heson, der kan findes på den medfølgende Cd-rom. Heson-priserne er beregne på baggrund af den semi-lukkede løsning for Heson-modellen. Ved negaiv korrelaion er prisforskellen for OTM call-opioner negaiv, hvilke beyder, a Hesonmodellen beregner mindre priser for OTM call-opioner i forhold il Black-Scholes modellen. Dee er i overenssemmelse med de i markede observerede prisforskelle, jf. afsni 3.. Som de blev vis idligere, forårsager negaiv korrelaion negaiv skævhed og formindsker ykkelsen af den højre hale i afkasfordelingen. OTM call-opioner er følsomme overfor ykkelsen af den højre hale, hvorfor negaiv korrelaion neop gør Heson prisen mindre, da de er mindre sandsynlig, a opionen ender ITM. Den øgede sandsynlighed for e afkas omkring eller lige over gennemsnie belønnes derimod ikke i samme omfang i OTM call-opionsprisen. ITM call-opioner er derimod mere følsomme overfor den vensre hale på fordelingen. Som de fremgår af figur 3.7 medfører negaiv korrelaion, a den vensre hale bliver ykkere, hvorfor priserne i Heson-modellen er højere i forhold il Black-Scholes modellen. Når korrelaionen er posiiv gælder modsae sammenhæng; Heson-modellen forøger OTM callopionspriser i forhold il Black-Scholes modellen på grund af den ykkere højre hale og formindsker ITM call-opionspriser på grund af den mindre ykke vensre hale. BS FIGUR 3.9: Påvirkning af afkasfordelingen ved ændring af volailieen på variansen 10,00 8,00 P (Ln (S /S o)) 6,00 4,00,00 v = 0,1 v = 0, v = 0,4 0,00 70 80 90 100 110 10 130 Spo Volailieen på variansen besemmer afkasfordelingens kurosis. Højere volailie på variansen medfører højere kurosis på afkasfordelingen og en lille effek på skævheden, hvilke fremgår af figur 3.9. I de simplese ilfælde, hvor volailieen på variansen er lig 0, er volailieen 4

deerminisisk og fordelingen er normalfordel som i Black-Scholes modellen. Jo sørre volailieen på variansen er, jo mere påvirker sødende fra de sokasiske elemen i variansprocessen og giver sørre sandsynlighed for, a variansen når yderligheder og dermed sørre sandsynlighed for udsving i akivprisen. Dee resulerer i ykkere haler i afkasfordelingen. FIGUR 3.10: Forskelle mellem call-priser ved forskellig volailie på variansen beregne for Black-Scholes og Heson på værs af spoprisen med srike=100 0,06 0,04 0,0 Forskel 0,00 70-0,0 75 80 85 90 95 100 105 110 115 10 15 130-0,04-0,06 v = 0,1 v = 0, -0,08-0,10-0,1 Spo Som de fremgår af figur 3.10, beyder den højere kurosis, a prisen for call-opioner omkring ATM er mindre værd under Heson-modellen i forhold il Black-Scholes modellen 5. Derimod resulerer de ykkere haler i, a OTM og ITM call-opioner er mere værd se i forhold il Black-Scholes modellen. Den lave skævhed i afkasfordelingen resulerer i, a priseffekerne næsen er symmeriske for OTM og ITM call-opioner. FIGUR 3.11: Påvirkning af afkasfordelingen ved ændring af markedsprisen på volailiesrisiko 7,00 6,00 P (L n(s /S o )) 5,00 4,00 3,00,00 λ = - 1 λ = 0 λ = 1 1,00 0,00 70 80 90 100 110 10 130 Spo Ændring af paramerene i drifslede for volailieen i Heson-modellen har lignende effeker som dem, der observeres ved ændringer i volailieen i Black-Scholes modellen, hvor en højere volailie resulerer i en højere spredning på afkasfordelingen. Effekerne illusrere ovenfor anager for enkelhedens skyld, a variansen er på si langsigede middelniveau Y = m. I praksis vil 5 Black-Scholes prisen er beregne på baggrund af en Heson mache volailie på 0,099985 BS σ =, der er idenisk for begge sammenligninger il forskellige volailie på varians. 43

den sokasiske volailie dog anage værdier over eller under den langsigede middelværdi, men dee ændrer ikke på konklusionerne. Hvis paramerene er forskellige fra hinanden, kan de dog give kurosiseffeker. De samme er ilfælde for ændring i markedsprisen på volailiesrisiko, der jo neop påvirker m, men ikke Y, hvorfor forholde mellem disse ændres, hvilke illusreres i figur 3.11. I de ovenfor foreagende analyser af parameerændringers beydning for afkasfordelingen blev korrelaionen og volailieen på variansen gennemfør under anagelse af, a markedsprisen på volailiesrisiko er nul. Da den objekive proces og den risikoneurale proces dermed anager samme form, jf. idligere, kan man derfor sammenligne afkasfordelingerne med empiriske resulaer. De er dermed mulig a vurdere, om Heson-modellen er i sand il a fie virkeligheden. Simulaionerne viser, a Heson-modellen giver sørre muligheder i forhold il a påvirke formen af afkasfordelingen og er dermed bedre i sand il a ilpasse sig de karakerisika, som empirien viser. Hvor god Heson-modellen reel ilpasser sig virkeligheden kan vurderes gennem parameeresimering, hvilke foreages i e senere afsni i afhandlingen. 3.4.5 Påvirkning af volailiessmile De er sluelig relevan a vurdere, hvorledes Heson-modellen påvirker volailiessmile. Dee gøres ved a beregne opionspriser for e sæ af forskellige srikepriser og id il udløb i Hesonmodellen. Herefer benyes disse opionspriser som inpu i Black-Scholes modellen il a besemme den implicie volailie. De er herudfra mulig a se, om Heson-modellen kan generere e volailiessmil og volailies-surface, som blev påvis i markedsdaa. Besemmelse af volailiessmile kan ses af Excel-filen Heson Smile på den medfølgende Cd-rom. FIGUR 3.1: Påvirkning af volailiessmile ved ændringer i Rho 0,115 0,11 Implici volailie 0,105 0,1 0,095 ρ = - 0,5 ρ = 0 ρ = 0,5 0,09 0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15 1, Moneyness (K/S) I figur 3.1 undersøges ændringer i korrelaionens påvirkning af volailiessmile. Ved ρ = 0 genereres e klassisk symmerisk volailiessmil away-from-he-money opioner har højere implici 44

volailie end near-he-money opioner. Dee kan forklares af de fede haler, der blev påvis i foregående afsni. Ved en negaiv korrelaion har ITM call-opioner højere implici volailie, og OTM call-opioner har lavere implici volailie. Dee er konsisen med skew e, der neop blev påvis i S&P 500 opioner, og de viser, a en volailiesmodel skal indeholde korrelaion mellem akivprocessen og volailiesprocessen for a kunne fie de observerede smil. Ved posiiv korrelaion ses e skew med den modsae hældning. The volailiy surface, som ses af figur 3.13, viser også, a smileffeken og skeweffeken flader ud jo længere id il udløb opionen har. Dee er også konsisen med de empiriske resulaer, der blev påvis i afsni 3.. På grund af de udfladende smil er forskellen mellem priser i Heson-modellen og Black-Scholes modellen mindre for opioner med længere løbeider. FIGUR 3.13: Volailiesoverflade for korrelaion på henholdsvis ρ = 0 og ρ = - 0,5. Volailiesoverfladen for ρ=0,5 viser modsae sammenhæng som for ρ= -0,5. For ρ = 0,5 gælder den modsae sammenhæng som for ρ = - 0,5 Implici volailie 0,108 0,106 0,104 0,10 0,1 0,098 0,096 0,094 0,8 0,9 1 Moneyness (K/S) Rho = 0 1,1 1, 1,5 0,5,5 Tid il udløb Implici volailie 0,13 0,1 0,11 0,1 0,09 0,08 0,8 0,9 1 1,1 Moneyness (K/S) Rho = - 0,5 1, 0,5 3 Tid il udløb Effeken af ændringer i volailieen på variansen undersøges i figur 3.14 for forskellige korrelaioner. Volailieen i variansen påvirker, hvor signifikan smile eller skew e er. En lav v resulerer i e fla smil, mens en høj v resulerer i e signifikan smil. FIGUR 3.14: Volailiessmiles følsomhed overfor volailieen på variansen for forskellig korrelaion Rho = 0 Rho = - 0,5 v = 0,4 v = 0, v = 0,1 BS v = 0,4 v = 0, v = 0,1 BS Implici volailie 0,15 0,14 0,13 0,1 0,11 0,1 0,09 0,08 0,8 0,875 0,95 1,05 1,1 1,175 Implici volailie 0,175 0,155 0,135 0,115 0,095 0,075 0,8 0,875 0,95 1,05 1,1 1,175 Moneyness (K/S) Moneyness (K/S) 45

Kapiel 4: Simulaion af opionspris I dee kapiel er måle a prisfassæe opioner under sokasisk volailie ved hjælp af Mone- Carlo simulaion. Førs i dee kapiel beskrives Mone-Carlo meoden generel sammen med forskellige forbedringseknikker, som gør Mone-Carlo mere præcis og hurigere a anvende. Herefer følger en mere specifik gennemgang i forhold il sokasisk volailie og Heson s model. I forbindelse med simulaion af Heson-modellen diskueres forskellige diskreiseringsmeoder, og der argumeneres for den mes opimale meode. Sluelig benyes den valge meode il a prisfassæe barrier-opioner, da de formodes, a inrodukionen af sokasisk volailie kan påvirke prisfassæelsen af disse derivaer væsenlig. Prisfassæelsen sker på baggrund af inpuparamere, som opnås ved hjælp af kalibrering af modellen il markedsdaa. I sammenhæng hermed vil også Heson-modellens evne il a fie de i markede observerede opionspriser blive vurdere og dermed Heson-modellens evne il a beskrive den sande verden. 4.1 Mone-Carlo simulaion De blev i afsni..3 påvis, a beregningen af opionsværdier for europæiske pu- og call-opioner er relaiv simpel, da disse har lukkede løsninger. For visse eksoiske opioner findes dog ikke kende lukkede løsninger il beregning af opionspriser, hvorfor de er nødvendig a anvende numeriske eknikker. Disse er i de senese år bleve mere og mere komplekse i søgen efer hurigere og mere nøjagige meoder. De mes populære er Binomialræe, Finie Difference Mehod og Mone-Carlo simulaion, og hver især er meoderne beds anvendelige il forskellige former for opioner og konrakyper. Binomialræe og Finie Difference Mehod kompliceres dog af inrodukionen af sokasisk volailie, da der dermed bliver inroducere en yderligere dimension i prisfassæelsen. I lierauren anbefales 3-4 dimensioner som grænse for, hvornår Mone-Carlo er mes effekiv i forhold il andre meoder (Wilmo 007). Dog er de prakisk al umulig a anvende Binomialræe og Finie Difference Mehod, når mere end o dimensioner er nødvendig. I denne afhandling benyes derfor Mone-Carlo simulaion. Mone-Carlo simulaion er generel en analyisk meode, hvor formåle er a imiere en virkelighedsnær siuaion, når andre meoder bliver for maemaisk komplekse eller bliver for svære a reproducere. Dee er f.eks. ilfælde med hensyn il den parielle differenialligning med sokasisk volailie. Med andre ord simuleres de forskellige former for usikkerhed i modellen, som påvirker prisen på derivae for dermed a opnå e realisisk forvene esima for opionsværdien. Mone-Carlo meoden er mege udbred i lierauren for SV-modeller 46

og anvendes ofe i praksis i forbindelse med prisfassæelse og hedging af siafhængige derivaer (Andersen 007), da de er relaiv le a inkorporere siafhængige egenskaber. Mone-Carlo meoder blev allerede inroducere i forbindelse med finansiel analyse af Herz (1964) og af Boyle (1977) i forbindelse med værdiansæelse af derivaer, og er i dag e mege udbred værkøj il både prisfassæelse, sensiiviesanalyse, evaluering af hedging-performance og sresses. Fordelene ved Mone-Carlo simulaion er, a meoden generel er forholdsvis le a implemenere, samidig med a nøjagigheden øges med analle af simulaioner. Derudover er de relaiv enkel a ændre meoden il andre konrakyper, og meoden er i sand il a håndere flerdimensionelle problemer, uden a konvergensraen bliver langsommere. Sammenhængen mellem nøjagighed og anal simulaioner kan dog gøre meoden beregningsung, samidig med a de er forholdsvis svær a implemenere føridig indfrielse. I de kommende afsni udvikles en fremgangsmåde il prisfassæelse af opioner under Black- Scholes forudsæninger for på en simpel måde a beskrive fremgangsmåden, inden sokasisk volailie inroduceres. 4. Mone-Carlo simulaion af vanilla-opioner Som de blev bevis i kapiel, kan værdien af opioner beregnes som nuidsværdien af de forvenede payoff ilbagediskonere med den risikofrie rene, hvis de anages, a de underliggende akiv udvikler sig i en risikoneural verden, hvor de forvenede afkas på e risikabel akiv er lig med de forvenede afkas fra e risikofri akiv. De skal igen bemærkes, a den objekive proces for de underliggende akiv er uvæsenlig i forbindelse med opionsprisfassæelse, da der arbejdes i den risikoneurale verden, hvorfor de underliggende akiv følger processen i (.18). De enese problem er dermed a beregne de forvenede payoff for den ønskede konrakype, hvilke Mone-Carlo simulaion anvendes il. Hvis opionen er siafhængig (barrier- eller asiaiske opioner ec.), er de nødvendig a simulere hele sien, hvorimod dee ikke er nødvendig for ikkesiafhængige opioner (europæiske opioner ec.), hvor de kun er nødvendig a kende payoff e på sluidspunke. Under Black-Scholes forudsæninger kendes e eksplici udryk for den forvenede akivpris, hvorfor udviklingen i de underliggende, som blev udled i kapiel, nu bliver prakisk anvendelig. For a simulere sien skal kun den senese værdi af de underliggende akiv anvendes for a beregne den risikoneurale værdi af de underliggende akiv på næse idspunk. Nedenfor følger 47

en skemaisk beskrivelse af fremgangsmåden ved Mone-Carlo simulaion for en vanilla-opion med é underliggende akiv 6. Dee vælges for på en simpel måde a beskrive fremgangmåden. 1: Sar ved S = 0 : For = 0, +,..., T Generer e udræk fra normalfordelingen Φ (0,1) Generer værdien ved udløb vha. 3: Beregn payoff e på udløbsdaoen ( / ) S = S e µ σ + σ T 0 T Z T 4: Beregn nuidsværdien for de enkele payoff, og opionsværdien, V i, opnås 5: Genag dee N gange svarende il anal simulaioner 6: Beregn den gennemsnilige værdi for opionen, V, på baggrund af V i for de genererede sier, N. V = N i= 1 Sore als lov sikrer konvergens af disse gennemsni il den rigige pris (Glasserman 004 s. 1), og den cenrale grænseværdisæning sikrer, a sandardafvigelsen af esimaerne enderer mod nul med N V i (4.1) en konvergensrae på 1/ ( ) O N. Med andre ord øges nøjagigheden på esimae ved a øge analle af simulaioner. Nøjagigheden af den esimerede opionspris kan direke måles ved hjælp af sandardafvigelsen, som er give ved: Sd ( V 1 N N ) = ( V ) N ( V ) N i i N / / i= 1 (4.) i= 1 Dee beyder, a hvis sandardafvigelsen ønskes halvere, skal fire gange så mange sier simuleres. Denne lave konvergensrae er neop en af svaghederne ved Mone-Carlo simulaion, men der findes dog eknikker, som forbedrer dee sammen med andre eknikker il opimering af simulaion, hvilke vil blive behandle i de følgende afsni. På baggrund af sandardafvigelsen er de mulig a beregne e oside konfidensinerval og dermed opnå e sandsynlighedsmål for opionsprisesimae i forhold il gennemsnie. Esimae for en Mone-Carlo simulaion vil på baggrund af den cenrale grænseværdisæning konvergere mod normalfordelingen uanse hvilke fordeling de underliggende akiv følger (Hull 006 s. 414). 6 Algorimen er implemenere i funkionen BSSimulaion i Excel-arke Mone-Carlo simulaion af vanilla-opioner på den medfølgende Cd-rom 48

Dee muliggør beregningen af konfidensinervalle og beregnes således for e 95% signifikansniveau: ( ) KI = V ± 1,96* Sd V (4.3) hvor 1.96 er 97.5% frakilen i sandardnormalfordelingen. Med 95% sandsynlighed vil esimae dermed ligge indenfor 1,96 sandardafvigelser fra gennemsnie på esimae. En indsnævring af inervalle kan dermed ske ved a øge analle af simulaioner eller reducere sandardafvigelsen, jf. (4.). 4..1 Generering af normalfordele sekvenser For a kunne simulere sien for de underliggende akiv er de nødvendig a udrække ilfældige al fra normalfordelingen. Umiddelbar virker dee som en simpel øvelse, men fele er bleve udvikle il a være en videnskab i sig selv. En dealjere gennemgang af dee er dermed udenfor indeværende afhandlings fokusområde og vil kun blive behandle overfladisk. Overordne er måle a udrække værdier som følger normalfordelingen så æ som mulig. Dee gøres i praksis ved a anvende uniformfordele al mellem nul og é, der er gensidig uafhængige. De uniformfordele variable genereres i indeværende afhandling ved hjælp af funkionen Rnd() i VBA. Da denne funkion udrækker variablene fra en allerede definere alrække, vil de ilfældige al dermed kun være pseudo-ilfældige. Der er flere algorimer ilgængelig, som ransformerer en uniform fordeling il en hvilken som hels fordeling, og i princippe kunne denne problemsilling løses ved hjælp af en indbygge funkion i Excel (STANDARDNORMINV). Probleme er dog, a denne meode er emmelig idskrævende og vil dermed bruge unødige knappe ressourcer i forbindelse med Mone-Carlo simulaion. Der er dog igennem iderne bleve udvikle andre meoder som f.eks. Box-Muller mehod, Marsaglia-Bray og Moro s Inversion, som alle har il formål a minimere iden for udrækningen af ilfældige al samidig med a normalfordelingen ilnærmes beds mulig. I denne afhandling vælges eknikken udvikle af Moro (1995), da denne er den mes præcise eknik i forhold il de andre for forholdsvis lave beregningsekniske omkosninger (Andersen 007). Den væsenligse fordel er, a denne eknik sikrer sørre nøjagighed i halerne af normalfordelingen end andre meoder, da meoden bygger på en hybrid algorime, hvor den cenrale del af normalfordelingen og halerne modelleres forskellig. Derudover er meoden sadig hurig i forhold il de andre nævne meoder (Moro 1995), og en uddybende beskrivelse af meoden kan ses af bilag 7. 49

4.. Variansredukion Som før nævn kan esimaes præcision øges og dermed indsnævre konfidensinervalle ved a øge analle af simulaioner. Dee resulerer dog i øge beregningsid, og andre meoder, der i sede reducerer variansen, skal derfor også overvejes. Dee kan for eksempel være anvendelse af anieiske variable i forlængelse af Moro s Inversion. Teknikken udnyer, a de ilfældige normalfordele variable esimere af Moro s Inversion er symmeriske omkring gennemsnie. Dermed er de mulig, a simulere o forskellige opionspriser for hver ilfældige variabel. De o esimerede priser opnås ved a simulere o sier én med + Φ (0,1) og én med Φ (0,1) - som dermed er e negaiv korrelere anieisk par. Derved sikres de, a middelværdien for normalfordelingen sadig er nul, selvom halvdelen af de ilfældige al egenlig ikke er ilfældige. På baggrund af dee bliver e usædvanlig høj eller lav oupu fra den førse si balancere med værdien beregne fra den anden anieiske si, hvilke reducerer variansen (Glasserman 004 s. 05). For a opnå prisen på opionen beregnes gennemsnie af de o anieiske variable, hvormed hurigere konvergens sikres samidig med, a færre ilfældige normalfordele variable skal udrækkes for a opnå e ilfredssillende niveau for sandardafvigelsen. Ved brug af anieiske variable beregnes variansen på baggrund af de anieiske payoff, hvilke vil sige gennemsnie af de o anieiske siers payoff, og beregnes ikke på baggrund af hver enkel anieiske si. Dee gøres, da gennemsniene af payoff e for de o anieiske sier er uafhængige, hvilke payoff e for de enkele sipar ikke er 7. En anden variansreducerende eknik, der kunne være anvend, er den såkalde conrol variae echnique. Denne eknik benyer informaion om esimaionsfejl fra opioner med en kend analyisk løsning il a reducere variansen på prisesimae af opioner, hvor prisen ikke kan findes eksplici. Meoden er i indeværende afhandling fravalg, da den forudsæer a korrelaionen mellem de o opionsyper er kend. De er mulig a esimere denne korrelaion i simulaionen, men dee inroducerer dog endnu en fejlkilde (Glasserman 004 s. 185). En eoreisk gennemgang af eknikken sam uddybende argumener for, hvorfor denne meode ikke anvendes, fremgår af bilag 8. 4.3 Mone-Carlo simulaion af Heson-processen Der blev idligere i denne afhandling vis, a der for Heson-modellen findes en semi-lukke løsning, hvormed prisen på europæiske opioner kan findes ved a løse o komplekse inegraler. For mere 7 Algorimen med anieiske variable er implemenere i funkionen HesonSimulaion i Excel-arke Mone-Carlo simulaion af vanilla-opioner på den medfølgende Cd-rom. 50

eksoiske produker findes der desværre ikke en simpel lukke løsning for Heson-modellen, hvormed opionsprisen kan beregnes, hvorfor de i disse ilfælde er nødvendig a simulere prisen. Der vil i dee afsni blive redegjor for, hvorledes sien for de underliggende akiv simuleres under Heson-modellens forudsæninger il prisfassæelse af europæiske opioner. Med eksisensen af en lukke løsning for denne ype opioner, kan de umiddelbar virke overflødig a beregne priser gennem simulaion, men den eksplicie løsning giver e fas holdepunk il sammenligning med de simulerede priser. De er dermed mulig a ese korrekheden af prisesimae, der er funde ved simulaion, og samidig ese simulaionens konvergens mod den sande pris inden modellen senere modificeres il mere eksoiske konraker. Modsa den klassiske Black-Scholes model findes der ikke e eksplici udryk il beregning af den forvenede pris på de underliggende akiv under Heson-modellen. De er derfor nødvendig a diskreisere den koninuere Heson-model for a kunne simulere Heson-sien og derudfra besemme den forvenede pris på akive ved udløb. Give e arbirær sæ af diskree idspunker i, som e given produks samlede leveid inddeles i, er probleme nu a generere ilfældige sier for henholdsvis variansen, Y, og logarimen il akivprisen, x, for hver idsændring. Dee er speciel nødvendig ved prisfassæelse af eksempelvis siafhængige produker med payofffunkioner, der er afhængige af observaioner af de underliggende akiv på givne idspunker af opionens løbeid. Approksimaionen af processer i koninuer id il diskre id indebærer yderligere bias på simulaionen i forhold il Mone-Carlo simulaion under de normale Black-Scholes forudsæninger. Denne bias medfører adskillige problemer, når prisen eller The Greeks på aflede akiver esimeres. For de førse er sørrelsen af den bias, diskreiseringen er forbunde med, ukend for en besem idsdiskreisering, således a de er nødvendig a køre den samme simulaion igen med smallere idsdiskreisering for a konrollere, om resulae har en ilsrækkelig præcision. Dee kan gøre de vanskelig a beregne sande konfidensinervaller for de givne esima. For de ande kan den idsdiskreisering, der kræves for a opnå en given præcision, være mege smallere, end hvad der reel er nødvendig for de deriva, der ønskes prisfassa mange handlede akiver er kun afhængige af få observaioner i derivaes leveid. Endelig er de nødvendig a øge både analle af simulerede sier og analle af idsskrid for a formindske den oale fejl på simulaionsesimae, men de opimale valg af disse paramere er mege svær a besemme på forhånd. Duffie e al (1995) undersøger den opimale allokering af beregningsid mellem analle af sier og analle af idsskrid for simulaionen. Deres resulaer viser, a de er opimal a vælge e anal af idsskrid proporional med kvadraroden af analle af simulerede sier. Der gives dog ikke noge endelig 51

svar på de opimale forhold mellem disse. Konklusionen i ariklen er dog kun påvis for simple diskreiseringsmodeller såsom Euler, jf. nedenfor. Selvom prisfassæelse under CIR- og Heson-modellerne er veldokumenere, og modellerne er forholdsvis gamle, undlader de flese lærebøger gennemgang af, hvorledes disse modeller simuleres. De er ilmed førs indenfor de senese år, a emne for alvor er bleve gensand for forskning, bland ande i arikler af Broadie e al. (004), Kahl e al. (005), Andersen (007) og Lord e al. (007). Hvis man alene fokuserer på simulaion af CIR-processen for variansen i Heson-modellen, forekommer der ikke nogen reelle problemer, efersom Cox e al. (1985) finder, a den beingede fordeling af Y T give Y følger en ikke-cenral chi-i-anden fordeling - jf. afsni 3.4.1. Der er i Glasserman (004 s. 1) give en dealjere beskrivelse af, hvorledes der simuleres fra denne fordeling, hvilke fører il hurig og effekiv simulaion af CIR-processen. Simulaionen kompliceres, når der oven på CIR-processen inkluderes en korrelere akivpris, hvilke er ilfælde i Heson-modellen. Der er dog ikke nogen simpel måde a simulere en ikke-cenral chi-ianden-fordel ændring sammen med en korrelere normalfordel ændring for akivprisen. Den mes i øjenfaldende løsning på denne kompleksie forekommer ved en simpel Eulerdiskreisering af de risikoneurale Heson-dynamikker i (3.9) og (3.30): hvor Z x og give ved (3.19). 1 x + = x + r Y + Y Z x (4.4) Y = Y + κ ( m Y ) + v Y Z (4.5) Y Z Y sadig er sandard normalfordele variable med korrelaion ρ og sammenhæng Euler-formlen diskreiserer opionens leveid således, a variablene simuleres i e diskre idsgier. Under visse beingelser kan de bevises, a Euler-simulaionen konvergerer mod den sande proces, når idsdiskreiseringen gøres smallere og smallere. Talay e al. (1990), Kloeden e al. (199) og Duffie e al. (1995) viser, a under visse beingelser har Euler-diskreiseringen en konvergensrae på 1 3 ( ) O N. Beingelserne holder desværre ikke for SDE erne under sokasisk volailie, hvorfor den fakiske konvergens i dee ilfælde kan være langsommere. Euler-diskreiseringen af Heson-modellen involverer endvidere o prakiske problemer omkring variansprocessen. Uanse valg af længde på idsskridene er sandsynligheden for, a 5

variansprocessen bliver negaiv i de næse idsskrid signifikan sørre end nul. Dee er e væsenlig sørre problem i forbindelse med simulaion af sokasisk volailie end ved simulaion af CIR-renemodellen på grund af, a volailieen på variansen ypisk er højere end volailieen på renen. I den prakiske ilgang er dee problem ofe løs ved a indsæe en grænse, således a processen sæes lig nul, når processen anager negaive værdier eller ved a modificere processens nulpunk. Disse modifikaioner kaldes ofe absorpion eller reflecion se f.eks. Gaheral (006). Problemerne med negaiv forekoms af varians i Euler-formlen kan forsøges undgåe ved a implemenere Milsein-diskreisering af processerne. Denne går én højere orden i Io-Taylor udvidelsen af Y + - jf. kapiel 5 i Kloeden e al. (199) for yderligere diskussion af Io-Taylor udvidelsen. I eorien vil en andenordens-diskreiseringsmodel forbedre konvergensen af den oale simulaionsbias il 5 O( N ) under samme beingelser som under Euler-formlen (Kloeden e al. 199). Men da dynamikkerne i Heson-modellen igen ikke opfylder disse beingelser, er den forbedrede konvergens under Milsein-modellen heller ikke garanere. Konvergensen under Milsein-modellen er endvidere påvis ikke a være jævn (Glasserman 004). Endnu en ulempe ved Milsein-modellen er, a den er svær a implemenere. Kahl e al. (005) bygger videre på Milseinmodellen for a opnå e mere præcis esima for opionspriser - speciel i ilfælde med signifikan negaiv korrelaion mellem akivprocessen og variansprocessen. På baggrund af undersøgelser i Andersen (007) kan de konkluderes, a denne models forbedringer i forhold il Eulerdiskreisering ikke er signifikane, hvorfor der for yderligere diskussion af denne model henvises il ariklen. Brodie e al. (004) udleder en meode il a simulere Heson-modellen hel uden bias. Kor foral benyer meoden e udræk fra en poissonfordeling eferfulg af e såkald accepance-rejecionudræk fra en cenral chi-i-anden fordeling med frihedsgrader besem af udfalde af poissonudrække. Meoden er desværre mege idskrævende, da den indebærer inegraion af en karakerisisk funkion indeholdende o såkalde Bessel-funkioner. For en dybere gennemgang af meoden henvises il Brodie e al. (004). Selvom Brodie-Kaya algorimen er fri for bias, begrænser meodens kompleksie og manglende simulaionshasighed dens prakiske anvendelighed, hvorfor den i denne afhandling heller ikke anvendes. Ikke deso mindre er meoden mege anvendelig som benchmark for andre diskreiseringsmeoder og er i lierauren også fliig benye il dee formål. 53

Andersen (007) udleder den såkalde Quadraic-Exponenial (QE) diskreiseringsmeode for variansen i Heson-modellen. Denne meode benyer udvalge dele af den eksake diskreiseringsmeode fra Brodie e al. (004) samidig med, a simulaionshasigheden og simplicieen fra Euler-meoden bibeholdes. Andersens (007) resulaer viser, a beregningsiden for QE-meoden er signifikan forbedre i forhold il de øvrige meoder. Speciel med mere eksreme - men ifølge Andersen (007) mere realisiske - daa, er QE-meoden signifikan bedre. Andersen (007) påviser endvidere, a QE-meoden er robus ved ændring af modelparamere og på værs af moneyness, modsa dele af de øvrige meoder. Andersens (007) undersøgelser viser, a Euler meoden viser sig a have accepabel adfærd, men kræver væsenlig flere idsskrid før bias er reducere il e accepabel niveau. På baggrund af ovensående vil QE-meoden benyes i resen af afhandlingen. Eferfølgende defineres QE-meoden for henholdsvis variansprocessen og processen for de underliggende akiv. 4.3.1 QE-diskreisering af variansprocessen QE-meoden ager udgangspunk i de kvaniaive egenskaber ved den sande proces for variansen Y. Som de blev påvis i afsnie 3.4.1 er Y + ikke-cenral chi-i-anden fordel. En egenskab ved denne fordeling er, a den nærmer sig en normalfordeling, når ikke-cenraliesparameeren Y n(, + ) - hvor Y er uafhængig af n der er give ved (3.5) - går mod. Da ikkecenraliesparameeren er proporional med sørrelsen af Y, bevirker dee, a normalfordelingen med de o førse momener ilpasse de for den ikke-cenrale chi-i-anden fordeling i (3.6) og (3.7) givne, er en god approksimaion for fordelingen af Y +, når Y anager sore værdier. De skal bemærkes, a efersom n(, + ), når 0, er approksimaionen il normalfordelingen også afhængig af sørrelsen af. For små værdier af Y nærmer ikke-cenraliesparameeren sig derimod nul, og fordelingen af bliver en normal cenral chi-i-anden-fordeling med frihedsgrader k give som i (3.5) ved og en sandsynlighedsfordeling give ved: 1 χ ( x; k) = x e Γ( k / ) ( k / ) 1 x / k / hvor Γ er en gammafunkion. I prakiske sammenhænge ses de ofe, a 4 m / v Y + κ m v, 4 / (4.6) κ <, således a lede x ( k / ) 1 i sandsynlighedsfordelingen bevirker, a æheden af Y + er mege høj omkring nul, hvorfor en approksimaion af Y + med en normalfordel variabel ikke er præcis, når Y er æ på 54

nul. QE-meoden bygger neop på disse egenskaber, hvorfor variansprocessen simuleres forskellig for henholdsvis høje og lave værdier af Y. Eferfølgende vil de blive vis, hvorledes simulaionen foregår for høje og lave værdier af Y og hvordan der skifes mellem de o forskellige meoder. Simulaion for høje værdier af variansen Y For høje værdier af Y - og alså en høj ikke-cenraliesparameer viser flere observaioner (Andersen 007), a en god repræsenaion af en cenral chi-i-anden fordeling er en poensfunkion benye på en normalfordel variabel. Hvis en kvadraisk funkion vælges 8, kan følgende skrive: hvor = ( + + Y ) (4.7) Y a b Z Z Y er en normalfordel variabel, a og b er konsaner, der besemmes af momen-maching il momenerne for den ikke-cenrale chi-i-anden fordeling i (3.6) og (3.7), hvorfor a og b er afhængige af, Y og paramerene i den sokasiske differenialligning for variansen. Y + i (4.7) er fordel som a gange en ikke-cenral chi-i-anden fordeling med en frihedsgrad og en ikke-cenral parameer b. Måle er nu a mache momenerne il funkionen i (4.7) med momenerne for den ikke-cenrale chii-anden fordeling. For a opnå dee defineres følgende: hvor m og s ψ = (4.8) m s er henholdsvis førse og ande momen (middelværdi og varians) for den ikkecenrale chi-i-anden fordeling give i (3.6) og (3.7). De kan nu bevises, jf. bilag 9 a a og b for ψ kan beregnes som: m a = (4.9) 1 + b 1 1 1 b = ψ 1+ ψ ψ 1 0 (4.10) Dee er e eksempel på momen-maching, der resulerer i a E( Y + ) = m og Var( Y ) + = s og momenerne for fordelingen af Y + er dermed ilpasse momenerne for den ikke-cenrale chi-ianden fordeling. 8 Opimal se ville en kubisisk funkion af den normalfordele variabel skulle vælges, men da dee ville beyde, a variansen kan blive negaiv, fravælges dee, jf. Andersen (007). 55

Ved a differeniere ψ i forhold il Y kan de vises, a ψ Y < 0 for alle Y 0, hvilke viser, a de sørse værdier af ψ opnås, når Y = 0, og de mindse værdier når Y. Ved a indsæe værdierne for Y i (4.8) kan de vises, a ψ 0, ( v / κ m). Simulaion for lave værdier af variansen Y Som de idligere blev vis, er normalfordelingen ikke en god approksimaion for den ikke-cenrale chi-i-anden fordeling, når Y påager lave værdier. De blev ilmed påvis i bevise for (4.7), jf. bilag 9, a denne udregning ikke kan foreages for lave værdier af Y, hvorfor man ikke vil kunne mache momenerne med formlen i (4.7). De er derfor nødvendig a inroducere en ny meode il lave værdier af Y. Denne meode ager udgangspunk i den normale cenrale chi-i-anden fordeling i (4.6). Andersen (007) benyer en approksimaion for æhedsfordelingen for Y + give ved: x P ( Y [ x, x + dx] ) β ( pδ (0) + β (1 + p) e ) dx (4.11) hvor p [ 0,1] og β 0 er konsaner, og δ er en såkald Dirac dela-funkion. Denne approksimerede æhedsfunkion har samme egenskaber som den normale cenrale chi-i-anden fordeling (4.6) og er i sand il a fange den sore æhed omkring nulpunke igennem sørrelsen af p supplere af en eksponeniel hale (ande led i (4.11)). Ved a inegrere (4.11) findes fordelingsfunkionen: ( β x ) Ψ ( x) = P( Y x) = p + (1 p) 1 e, x 0 (4.1) + Ved hjælp af inverse disribuion funcion mehod, jf. Andersen (007), kan Y + findes il a være give ved den inverse funkion af Ψ : 0 0 UY p 1 Y + = Ψ ( UY ; p, β ) = 1 1 p (4.13) β ln p UY 1 1 UY hvor U er en uniform ilfældig variabel, p og β kan bevises, jf. bilag 10 når ψ 1 9 a være give ved: Y 1 p ψ = ψ + 1 1 p β = = m m( ψ + 1) (4.14) (4.15) 9 Denne begrænsning er nødvendig i forhold il bevise for formlen, da negaive værdier af p ellers ville forekomme. 56

hvor ψ er definere som i (4.8). På samme måde som idligere er der ved momen-maching nu gjor således, a E( Y + ) = m og chi-i-anden fordeling. Var( Y ) + = s og er dermed ilpasse momenerne for den ikke-cenrale Swiching rule Som ovenfor redegjor kan momen-maching kun foreages for (4.7) og (4.13) for henholdsvis ψ og ψ 1. Da disse o grænser er overlappende, er de nødvendig a indføre en grænse i de fælles rum ψ [ 1,], således a der kan vælges mellem de o meoder. Andersen (007) argumenerer for, a de eksake valg af denne grænse har mege begrænse beydning for den endelige simulerede pris, men foreslår samidig en grænse ved ψ = 1,5, således a (4.7) benyes ved ψ 1, 5 og ellers benyes (4.13). De skal samidig bemærkes, a for en given værdi af Y, når 0, vil ψ 0, hvilke beyder, a når reduceres, bliver sandsynligheden for, a (4.13) benyes mindre og mindre. Da der i denne afhandling senere simuleres priser på barrier-opioner, hvor de neop er nødvendig a simulere forholdsvis mange idsskrid i en enkel si, er de vivlsom, hvor mange gange meoden i (4.13) bliver benye. 4.3. Diskreisering af akivprocessen For a diskreisere processen for x = ln S ages der i Andersen (007) udgangspunk i den eksake simulaion af sien foreslåe af Brodie e al. (004), jf. ovenfor, som beskrives ved: x x r ρ Y Y m κρ v v Y u du Y u dw u ( ) ½ + ( ) 1 + + = + + + κ + + ρ ( ) ( ) hvor W er en Brownsk Bevægelse, der er uafhængig af (4.16) ρ v Z Y, jf. Brodie e al. (004). Lede Y er + afgørende for korrelaionen mellem udviklingen i de underliggende akiv og variansen, hvorfor dee led er vigig a bevare i en diskreiseringsmeode for ln S. Som de fremgår, indeholder (4.16) inegraler, der skal løses for a beregne algorimen. En oplag løsning il dee vil være en klassisk Fourier-ransformaion. I beragning af analle af idsskrid og simulerede sier vil denne meode dog være forholdsvis idskrævende, hvorfor Andersen (007) foreslår a approksimere idsinegrale af Y på følgende måde: [ γ γ ] + Y ( u) du 1Y + Y + (4.17) hvor γ 1 og γ er o konsane væge for Y og Y +, der for en cenral diskreisering sæes il γ = =. 1 γ ½ 57

+ For de ande inegrale i (4.16) Y ( u) dw ( u) kan de konkluderes på baggrund af, a W er + uafhængig af Y give Y og Y ( u) du, hvorfor de ande inegrale i (4.16) er normalfordel med + middelværdi på 0 og varians på Y ( u) du. Dee inegrale kan dermed ved brug af (4.17) approksimeres ved: + Y ( u) dw ( u) γ1y + γ Y + Z (4.18) hvorfor den samlede algorime for beregning af x + i (4.16) kan skrives som: ρ κρ x + = x + r + ( Y + Y κm ) + ½ ( γ1y + γ Y + ) + 1 ρ γ1y + γ Y + Z v v hvor Z er en sandard normalfordel variabel uafhængig af Y. Ved a omskrive algorimen kan man isolere fem variable, der kun afhænger af konsaner, hvorfor de én gang for alle kan beregnes inden simulaionen af hver enkel si. Den samlede beregningsid formindskes dermed. Den endelige algorime ser herefer således ud: x = x + r + K + K Y + K Y + K Y + K Y Z + 0 1 + 3 4 + κρm κρ ρ κρ ρ K0 = K1 = γ1 ½ K = γ ½ + v v v v v ( 1 ) ( 1 ) K = γ ρ K = γ ρ 3 1 4 hvor γ 1 og γ som idligere nævn sæes lig en halv. (4.19) 4.3.3 Implemenering af algorimen Implemenering af Quadraic-Exponenial diskreiseringsmeode i VBA kan ses i funkionen HesonAniheic 10 i Excel-filen Mone-Carlo simulaion af vanilla-opioner på den vedlage Cdrom. Algorimen har følgende fremgangsmåde: 1. For e given Y beregnes m og. Beregn ψ fra (4.8) s fra (3.6) og (3.7) 3. Træk en ilfældig uniformfordel variabel U Y 4. Hvis ψ 1, 5 (for høje værdier af Y ) a. Beregn a og b fra (4.9) og (4.10) b. Beregn Z Y = Φ 1 ( U ) ved hjælp af Moros inversion, jf. bilag 7 Y c. Beregn Y + med formlen i (4.7) 10 Funkionen uden brug af anieiske variable findes i HesonSimulaion i samme ark 58

5. Ellers hvis ψ > 1,5 (for lave værdier af Y ) a. Beregn β og p fra (4.15) og (4.14) b. Beregn Y + med formlen i (4.13) 6. Træk en ilfældig uniformfordel variabel U x - uafhængig af ilfældige al benye il Y + 7. Beregn Z x = Φ 1 ( U ) ved hjælp af Moros inversion, jf. bilag 7 x 8. Give x, Y og værdien for Y + beregne i 1-5, beregnes x + fra (4.19) I beregningerne af m og s fra (3.6) og (3.7) i førse punk er den eksponenielle funkion e κ, der kun er afhængig af konsane variable, pre-cached, hvilke vil sige, a de er beregne udenfor Mone-Carlo loope. Dee medfører en hurigere simulaion, da eksponenielfunkionen ikke skal beregnes for hver loop. De samme er gjor for beregningerne af K -værdierne i algorimen il (4.19). Som alid inkluderes udbye ved a frarække disse den risikoneurale drif, r, i algorimen il beregning af udviklingen i de underliggende akiv. Indledningsvis i algorimen er paramerene κ og m fra Heson-modellens SDE for volailieen (3.9) beregne fra κ 1 = κ + λ m = κm( κ + λ), som de blev vis i afsnie 3.4.1. På samme vis som i Mone-Carlo simulaionen under Black-Scholes forudsæninger benyes anieiske variable il beregningen af udviklingen i de underliggende akiv. For en given simulere værdi af Y og Y + beregnes alså o værdier af x + på baggrund af en sandard normalfordel variabel, jf. afsni 4.. for nærmere redegørelse. 4.3.4 Konvergens Ved besemmelse af opionspriser gennem simulaion er de endelige mål, a sikre, a de simulerede gennemsni af de realiserede payoff s konvergerer mod den sande opionsværdi, når idsinervallerne i diskreiseringen går mod nul. Samidig skal de sikres, a den simulerede opionsværdi konvergerer mod den sande pris, når analle af simulerede sier øges. Andersen (007) viser, a diskreisering ved QE meoden er weakly consisen, hvilke vil sige a give x og Y : x x 1 lim ˆ x x E Y lim Var Y ˆ = = + + 0 0 x + 59

Y Y Y Y = = lim E + κ( m Y ) lim Var + v Y 0 0 Y + Y x + x lim Cov, = ρvy 0 Dee viser, a som idsskridene bliver mindre og mindre, bliver diskreiseringen konsisen med Heson-modellen. Andersen (007) gennemfører ikke noge maemaisk bevis for diskreiseringsmodellens konvergens, men henviser i sede il den særke sammenhæng, der er påvis a være mellem weakly consisen og weak convergence (Kloeden e al. 199). For a ese modellens egenskaber i forhold il a prisfassæe opioner korrek er de fordelagig a ese modellen op mod en meode, der giver resulae med sor præcision. Modellen eses derfor mod Heson s semi-lukkede løsning for europæiske opioner i (3.33). De er herudfra mulig a vurdere analle af sier og idsskrid, der er nødvendig for den ønskede præcision af resulae. I denne forbindelse skal der samidig laves en afvejning mellem beregningsid og præcision. Simulaionsesimaes prisfejl defineres som forskellen mellem den simulerede pris og prisen give i den semi-lukkede løsning. Prisfejlen er ydeligvis påvirke af sørrelsen af, der er e resula af diskreiseringen af den koninuere proces. Præcisionen af den simulerede pris er afhængig af analle af simulerede sier i Mone-Carlo simulaionen med en sandardafvigelse af orden hvorfor e forøge anal sier gør sandardafvigelsen lav, og e præcis prisesima opnås. 1 O( N ), Bilag 11 viser simulaion af call-opionspriser simulere med forskellige anal sier for henholdsvis 10 idsskrid per år og 100 idsskrid per år - både med og uden anieiske variable. De observeres a sandardafvigelsen på prisesimae ikke er afhængig af, hvorimod sandardafvigelsen (som vene) bliver mindre med de øgede anal sier. Den klare ulempe i form af langsom konvergens i Mone-Carlo simulaionen fremgår ydelig af abellen. Uden anieiske sier er sandardafvigelsen på esimae ved 1 million simulerede sier cirka 0,015 for de givne paramere. For a opnå en præcision på redje decimal skal der simuleres over millioner sier, og med 5 millioner sier er sandardafvigelsen blo reducere il cirka 0,007, samidig med a bredden på konfidensinervalle er reducere minimal. Forbedringen af sandardafvigelsen ved brug af anieiske sier er ydelig. Allerede ved 500.000 sier findes en sandardafvigelse på cirka 0,013, og ved 1 million sier opnås en præcision på redje decimal. 60

I beragning af en næsen uoverkommelig beregningsid 11 ved a øge analle af sier, og de, ved anvendelse af anieiske sier, forholdsvis præcise esima ved 500.000 sier kan der argumeneres for, a dee er e fornufig valg for videre analyse. For a vurdere effeken af på fejlen på den esimerede pris simuleres call-opionspriser for forskellige anal idsskrid per år, hvor alle priser er beregne på baggrund af 500.000 sier. Af bilag 1 fremgår de, a fejlen på prisesimae ved brugen af anieiske sier er forholdsvis sabil allerede omkring 5 idsskrid per år, hvor den esimerede pris ligger 0,015 over den eksplici beregnede pris. Denne prisfejl skyldes primær simulaionens sandardafvigelse som følge af de valge anal sier. De fremgår også her, a sandardafvigelsen ikke er afhængig af analle af idsskrid, da sandardafvigelsen for alle esimaerne ligger omkring 0,013. Hvis eksemple gennemføres med 10.000 sier, fremgår de også, a prisfejlen bliver nogenlunde sabil efer forholdsvis få idsskrid per år. I dee eksempel er de dog førs omkring 15 idsskrid per år jf. bilag 1. De opimale anal af idsskrid per år kan dog være anderledes for andre parameervalg. De ønskes samidig senere a prisfassæe barrier-opioner, hvor de opimale anal af idsskrid for en ilsrækkelig præcision kan være væsenlig højere. De er derfor relevan a vurdere dee senere i afhandlingen i forbindelse med implemenering af denne opionsype. Der vil i denne sammenhæng også blive vurdere, hvorledes ændring af paramere påvirker prisfejlen herunder for forskellige spopriser på de underliggende akiv, hvilke vil påvirke opionsprisen. De skal i denne forbindelse bemærkes, a lavere opionspriser vil medføre lavere sandardafvigelser på prisesimaerne i forhold il de neop gennemføre. De relevane vil dog være den relaive prisafvigelse. 4.4 Kalibrering og modeles Indil videre er opionspriser bleve beregne på baggrund af eksplici beseme paramere. I Black- Scholes model kan de nødvendige paramere esimeres ud fra hisorisk daa eller vha. implicie meoder, så modelpriserne ilpasses priserne i markede. I princippe kunne økonomeriske meoder, såsom maximum likelihood eller generalized mehods of momens, også anvendes il parameeresimering i forbindelse med Heson s model. Dog foreages igen en afvejning angående anvendelse af hisorisk daa, da de esimerede paramere dermed vil være ilbageskuende. Derfor vil der i de følgende blive anvend en invers meode i forhold il opionspriser observere i markede, hvorved fremadskuende paramere opnås. Der vil i forbindelse hermed blive udvikle en meode il 11 Beregningsid for de gennemføre simulaioner er ikke angive, da disse er foreage på flere forskellige compuere med forskellige ydeevne, og vil derfor ikke være sammenlignelige. 61

a esimere paramerene ud fra markedsdaa, så modelopionspriserne bliver så virkelighedsnære som mulig. I Heson s model skal der esimeres seks paramere. De forholdsvis høje anal paramere leder il e problem, som komplicerer SV-modeller generel, og som dermed er gensand for bias i den eferfølgende prisfassæelse. Dermed inroduceres kalibreringsrisiko, som følge af fejlen ved ilpasning il markedsdaa udover den bias som kommer fra risikoen for, a Heson s model ikke er beskrivende for den sande verden. En generel løsning er a finde de paramere, der frembringer de i markede observerede vanillapriser. Dee er e invers problem, da paramerene indireke findes ud fra en given srukur. Dee sker ypisk ved hjælp af fejlminimering mellem modellens priser og markedes priser på opioner. Man er nød il a accepere e give fejlniveau, da de formodes, a ingen kend model er i sand il fuldsændig a replicere de observerede priser i markede. Da opionspriser anvendes il kalibrering af paramerene i sede for hisorisk daa på de underliggende akiv, opnås risikoneurale paramere, hvilke er esseniel for videre analyse. Dermed esimeres også markedsprisen på volailiesrisiko. Værdien af markedsprisen på volailiesrisiko forekommer som idligere omal kun i derivapriser, og ikke i den objekive model for akivpriser. I lierauren findes flere forskellige fejlminimeringseknikker, men i indeværende afhandling vil alene re fejlminimeringseknikker, som generel beegnes Roo Mean Squared Error Loss Funcions (RMSE), blive anvend. De anages, a der eksiserer N opionspriser i markede ( i = 1,,..., N), og a modellens priser V ( Θ ) afhænger af e sæ af paramere Θ. Disse defineres i iniial for a sikre, a søgeproceduren sarer e sandsynlig sed. Esimeringsfejlen på de kalibrerede paramere besemmes som forskellen mellem de i markede observerede priser og de i modellen beregnede priser og er give ved e ( Θ ) = V V ( Θ ). Ved hjælp af esimeringsfejlen kan de dermed i i i påvises, hvor god den valge opionsprisfassæelsesmodel fier markedspriserne, og de er derfor mulig a vise, hvor god Heson s model beskriver den sande verden. I lierauren findes dog kriik af de valge minimeringseknikker, speciel i forbindelse med eksoiske opioner, da de påvises, a de fundne paramere kan medføre varierende og måske endda forkere priser. Deril er den økonomiske forolkning af esimaionsfejlen ikke klar, da denne er e gennemsni på værs af de anvende opionspriser (Delefsen e al. 006). E redje problem er risikoen for, a minimeringseknikkerne finder lokale minima i sede for globale, da der ikke nødvendigvis findes én eksak løsning. Generel er meoderne ilmed forholdsvis følsomme overfor de iniial definerede paramere. Da parameeresimering ikke har en indgribende påvirkning på de væsenlige konklusioner i denne afhandling, og da andre forfaere påviser, a ovensående meoder V i 6

er overraskende robuse og pålidelige, hvis de iniial valge paramere er nær de sande paramere (Mikhailov e al. 003), vælges de il rods for kriikken a anvende disse meoder. Den førse minimeringsfunkion er definere således: 1 $ RMSE( Θ ) = ( ) N ei Θ (4.0) N i = 1 $RMSE minimerer forskellen mellem markedspriser og modellens priser. %RMSE minimerer derimod den relaive forskel mellem de observerede priser og modellens priser: 1 % RMSE( Θ ) = ( e ( ) / V ) N i Θ i (4.1) N i = 1 Den sidse meode minimerer forskellen mellem de implicie volailieer for modellen og for markedsdaa og udrykkes således: 1 IVRMSE( Θ ) = ( ( Θ)) N N σ IV σ IV (4.) i= 1 hvor σ IV er den implicie volailie for Black-Scholes beregne på baggrund af markedsdaa, og hvor σ ( Θ ) er den implicie volailie for modellens priser. Ved hjælp af denne meode ilpasses IV de observerede karakerisika for afkasfordelingen på de underliggende akiv, da formen på den implicie volailie neop afspejler afkas på de underliggende akiv, jf. kapiel 3. Meoderne væger hver især de observerede opionerne forskellig i besemmelsen af paramerene. $RMSE væger således ITM-opioner og opioner med lang id il udløb unges, da disse har den højese værdi (Bakshi e al. 1997). Derfor vil meoden være mere nøjagig for ITM-opioner men modsa kan der forvenes sørre fejl for OTM-opioner. Omvend illægger %RMSE FOTMopioner sørs væg, da disse har den lavese værdi, og meoden vil dermed beds esimere paramere for FOTM-opioner (Bakshi e al. 1997). Endelig illægger IVRMSE funkionen approksimaiv lige mege væg il alle opioner, da de o sæ af implicie volailieer er af samme sørrelse på værs af moneyness. For a minimere fejlene benyes førs enen (4.0), (4.1) eller (4.), og herefer findes minimum af fejlfunkionen ved hjælp af Nelder-Mead algorimen. Denne algorime er en god og mege anvend meode il a finde minima og maksima for funkioner med mere end o variable. Meoden er forholdsvis le a implemenere og konvergerer hurig uafhængig af de iniiale gæ. Algorimen ilpasses herefer il den ønskede prisfassæelsesmodel, hvilke i denne afhandling er Hesonmodellen. I princippe kunne Mone-Carlo algorimen, beskreve i afsni 4.3, anvendes, hvilke dog 63

er for beregningskrævende. I sede anvendes Heson s semi-lukkede formel. De er dermed ikke nødvendig a simulere sier for de underliggende akiv, og den enese beregning, der reel skal foreages, er a løse de o komplekse inegraler, hvorved beregningsiden reduceres. Bakshi e al. (1997) påpeger, a opioner med under seks dage il udløb og opioner, der er mindre end $0,5 værd, skal ekskluderes fra kalibrering, da disse vil medføre bias. I forhold il de ilgængelige daagrundlag (jf. afsni 1.3) vælges de a kalibrere i forhold il opioner med 0,44 år il udløb. Ideel se skulle kalibreringen være udfør på værs af løbeider, og mere generelle paramere ville dermed opnås. Dog ville fejlmarginen være sørre og de vælges derfor a fokusere på én løbeid. Teknikkerne er implemenere i Excel-arkene Parameeresimaion i funkionerne RMSEparams, PERRMSE og IVRMSEparams, og kan findes på den medfølgende Cd-rom. Da søgefunkionerne, som idligere nævn, er forholdsvis følsomme overfor de iniial valge paramere, ønskes de, a disse undersøes af andre lignende undersøgelser. Derfor argumeneres i de følgende for valge af de iniial definerede paramere, så de kalibrerede paramere kommer il a være så æ på de sande paramere som mulig. I lierauren findes e næsen endeløs anal undersøgelser, og i indeværende afhandling vil der dermed kun refereres il enkele af disse. Undersøgelserne giver forskellige parameeresimaer, og derfor vil udvælgelsen af iniiale paramere ske på e noge usikker grundlag. Flere af de nødvendige inpuparamere såsom den risikofrie rene, prisen på de underliggende akiv, id il er udløb osv. er givne i markede og skal derfor ikke esimeres i modellen. For a sikre de beds mulige udgangspunk for de iniiale valg af κ, m, v, Y og ρ defineres paramerene på baggrund af undersøgelser af bland andre Bakshi e al. (1997), Baes (000), Chernov e al. (000), Schouens e al. (003) og Broadie e al. (006), som alle beskæfiger sig med S&P 500 indekse. De iniiale valg af markedsprisen på volailiesrisiko, λ, er dog mindre ligefrem og enydig, da de diskueres livlig i lierauren, hvorledes denne er fassa, og om invesorer er opmærksomme på, a denne usikkerhed skal prisfassæes. Som idligere nævn anvendes markedsprisen på volailiesrisiko il a beregne de risikoneurale paramere κ og m, som anvendes i den risikoneurale volailiesdrif i Heson-modellen. Der findes førs og fremmes forskellige meninger om eksisensen af prisen på volailiesrisiko. Således sår Broadie e al. (005) og Driessen e al. (006) vivl om eksisensen og argumenerer i sede for, a risikoen for jumps skal besemmes og inkorporeres. Endvidere forekommer der i lierauren uenighed om hvorvid prisen på volailiesrisiko har negaiv eller posiiv foregn, og her finder bland andre Chernov e al. (000), 64

Baes (000), Pan (00), Benzoni (00), Bakshi e al. (003), Jones (003) og Carr e al. (004) alle indikaioner for, a markedsprisen på volailiesrisiko er negaiv. De indikerer, a købere af varians er villige il a lide e gennemsnilig negaiv eksraafkas il a hedge opadgående bevægelser i afkasvariansen (Carr e al. 004). Dog finder andre igen indikaioner for, a markedsprisen på volailiesrisiko er posiiv. Modsa den eoreiske forolkning af markedsprisen på volailiesrisiko, jf. 3.3.1, fremføres der dog i lierauren argumener for, a prisen på volailiesrisiko afhænger både af id og er forskellig på værs af akier og forskellige indeks, hvorfor de er forholdsvis vanskelig a vide, hvilke iniial parameer, der skal anvendes. Med baggrund heri vil fejlminimeringseknikkerne blive udfør o gange hver, hvor markedsprisen på volailiesrisiko iniial defineres som henholdsvis -0,5 og 0. I bilag 13 fremgår en oversig over de iniial definerede paramere. De skal bemærkes, a disse er risikoneurale, hvorfor de ikke er direke sammenlignelige med de objekive paramere. Bilag 13 viser endvidere de kalibrerede paramere. Generel er der en høj grad af sammenlignelighed mellem paramerene i de forskellige meoder, hvorfor de undersøer de samlede resula. Af de re meoder har IVRMSE den lavese absfunkion. De skal dog bemærkes, a denne meode kalibrerer i forhold il den implicie volailie, som er numerisk lavere end markedspriserne på opioner. Derfor er absfunkionerne ikke sammenlignelige, da esimeringsfejlen ikke er relaiv. De o andre meoder inkluderes derfor også i overvejelserne omkring de endelige parameervalg, og af de o meoder forekommer den lavese fejl ved %RMSE. De observeres yderligere, a absfunkionerne for de forskellige meoder er cirka lige sore uafhængig af, om markedsprisen på volailiesrisiko inkluderes eller ej. Samle se vurderes de dog, a $RMSE paramerene fier markedspriserne beds i forhold il de andre, da priserne beregne på baggrund af de kalibrerede paramere alle ligger indenfor spread e for markedspriserne samidig med a de kalibrerede paramere ligger æ op af de idligere nævne undersøgelser. Med baggrund i den lave esimaionsfejl og Heson-modellens evne il a beskrive markede ud fra de esimerede paramere kan de argumeneres for, a Heson s model beskriver markede. Dermed kan modellens egenskaber reducere og afhjælpe de prisfejl, som eksiserer når Black-Scholes model anvendes. Dog eksiserer sadig fejl i parameeresimeringen, hvilke indikerer, a Heson s model ikke er fuldsændig beskrivende for markede. Valgene af paramere er dermed: TABEL 4.: Oversig over de esimerede paramere opnåe vha. kalibrering ρ k m Y v λ -0,89 1,31 0,08 0,045 0,474-0,63 65

De risikoneurale paramere κ og m kan nu besemmes fra formlerne i afsni 3.4. og er henholdsvis 0,687 og 0,157. Spovolailieen i den risikoneurale proces på 0,045 = 0, 1 vil variere omkring e langsige gennemsni på 0,157 = 0,396 med en mean-reversion speed på 1,31. For a vise, hvor mege bedre Heson s model er il a beskrive markede end Black-Scholes model, anvendes $RMSE meoden il a minimere fejlfunkionen i forhold il den enese variabel i Black- Scholes modellen, som ikke er eksogen give volailieen. Den volailie, der resulerer i den mindse fejl, kan olkes som en form for gennemsnilig implici volailie på værs af moneyness. De fremgår af bilag 13, a fejllede er lang sørre for Black-Scholes model, og a modellen, som forvene (jf. afsni 3.), beds prisfassæer opioner ATM og er ude af sand il a prisfassæe OTM og ITM opioner korrek i forhold il markede. Heson s model beskriver dermed de reelle marked for opioner lang bedre end Black-Scholes model, hvilke også er forvenelig på baggrund af modellens flere paramere og dermed sørre fleksibilie. Dee yder samle på a der i markedspriserne er inkorporere flere elemener end Black-Scholes modellen ager højde for, og a Black-Scholes modellen dermed ikke er i sand il a beskrive den sande verden. Andre og mere dealjerede modeller, såsom Heson-modellen, er derfor nødvendige for a give e mere realisisk bud på hvad markede inkorporerer i opionspriser. Som vis i afsni 3.4.4 påvirker de esimerede paramere, hvordan den risikoneurale afkasfordeling afviger fra normalfordelingen. Den negaive korrelaion medfører negaiv skævhed, og a afkasfordelingens vensre hale spredes. Den forholdsvis høje volailie på variansen medfører samidig højere kurosis og federe haler end normalfordelingen. Yderligere kurosiseffeker opræder, da Y og m ikke er ens, og vil samidig resulere i en vis spredning på afkasfordelingen. Afkasfordelingen for de esimerede paramere visualiseres og diskueres nedenfor i forbindelse med analysen af forskelle i barrier-opionspriser. Her vil de samidig vises hvordan fordelingen påvirkes af ændringer i de esimerede paramere. I forlængelsen af analysen om prisforskellene for vanilla-opioner i afsni 3.4.4 vil den negaive korrelaion al ande lige resulere i, a Heson-modellens priser er lavere end Black-Scholes modellens priser for OTM call-opioner og omvend for ITM call-opioner. Derudover vil volailieen på variansen al ande lige lede il højere priser for Heson-modellen i forhold il Black- Scholes for OTM og ITM, mens prisen for Heson-modellen vil være lavere ATM. 66

4.5 Mone-Carlo simulaion af barrier-opioner Opioner af mere eksoisk karaker har på rods af deres mere komplicerede egenskaber eksisere på børserne siden åbningen af Chicago Board of Opions Exchange ilbage i 1973. Dog var handlen af eksoiske opioner i saren næsen ikke eksiserende, og de var førs i sluningen af 70 erne og saren af 80 erne, a eksoiske opioner begynde a ilrække opmærksomhed. I dag er handelsvolumen høj, og opionerne anvendes af både sore finansielle insiuioner, virksomheder, poreføljemanagere og privae invesorer. I forbindelse med inrodukionen af sokasisk volailie er de relevan a belyse, hvorledes dee nye elemen påvirker prisen på eksoiske opioner. Barrier-opioner er relevane i denne sammenhæng, da denne opionsype er særlig følsom overfor ændringer i volailieen (Wilmo 007 s. 87). Der opsår derfor en relevan problemsilling, da inrodukionen af sokasisk volailie dermed kan have sore konsekvenser for prisfassæelse af barrier-opioner, hvorfor dee vil blive analysere i de følgende afsni. Dee udføres med udgangspunk i a sammenligne barrieropionspriser beregne på baggrund af Heson-modellen og Black-Scholes modellen. De blev i kapiel 3 påvis, a markede inkorporerer en vis grad af sokasisk volailie i priserne på vanilla-opioner, hvorfor de dermed forvenes også a være inkludere i markedspriserne på barrieropioner. Dog findes der ikke sammenlignelige priser i markede, da de flese barrier-opioner handles over-he-couner, og de er derfor ikke direke mulig a sammenligne de o modellers simulerede priser for barrier-opioner med markedspriser og dermed ese, hvor præcise de opnåede priser reel er. Afsnie vil indledningsvis beskrive de karakerisika, der kendeegner barrier-opioner. Herefer vil der blive redegjor for, hvordan prisfassæelse af barrier-opioner inkorporeres i den allerede definerede Mone-Carlo algorime. Sluelig vil prisforskellene mellem Black-Scholes model og Heson s model blive analysere med baggrund i de idligere esimerede paramere. 4.5.1 Barrier-opioner Barrier-opioner er e simpel eksempel på en derivakonrak med svag siafhængighed. Med dee menes, a barrier-opioner har e payoff, der afhænger af de underliggende akivs si i konrakperioden og ikke kun kursen ved udløb. A barrier-opioner er svag siafhængige beyder, a den enese relevane informaion er, om e forudbesem niveau (barrieren) for de underliggende akiv er bleve ram eller ej. Barrier-opioner er generel billigere end den ilsvarende vanilla og blev konsruere på baggrund af e behov for a kunne afdække risiko billigere. Ideen er, a der ikke 67

beales for hele upside chancen, men kun il barrieren, hvilke resulerer i en lavere pris for køber og en lavere risiko for sælger. Dee gør barrier-opioner il nogle af de mes populære eksoiske derivaer på markede il hedging-formål. Generel har barrier-opioner både karakerisika fra europæiske og amerikanske opioner. Som for amerikanske opioner er prisen afhængig af de underliggende akivs si over opionens løbeid, men opionerne er modsa mere simple a værdiansæe end amerikanske opioner, da den kriiske grænse for de underliggende akiv er specificere i konraken. Derfor eksiserer der i Black-Scholes verden lukkede løsninger for barrier-opioner, hvilke Meron (1973), Goldman e al. (1979) og Rubinsein e al. (1991) var forgangsmænd indenfor. I markede eksiserer der primær o yper af barrier-opioner. Den førse ype, som kaldes ou opioner, giver kun e payoff, hvis barrieren ikke rammes i løbe af opionens løbeid, og hvis barrieren rammes siges opionen a være knocked ou. Hvis opionen ikke bliver knocked ou, modager køber payoff e fra en vanilla-opion ved udløb. Den anden ype kaldes in opioner, som kun giver e payoff, hvis barrieren rammes, hvilke kaldes knocked in, og køber modager dermed payoff e fra en vanilla-opion ved udløb. Da summen af de o former for opioner er en vanilla ( in + ou = vanilla), er de ofe ilsrækkelig a vurdere prisen for den ene ype, da den andens pris dermed kan besemmes ud fra ovensående sammenhæng. Barrier-opionerne karakeriseres yderligere ved forholde mellem den iniiale kurs på de underliggende akiv og niveaue af barrieren. Hvis niveaue af barrieren er over den iniiale pris på de underliggende akiv, kaldes opionen en up opion, og hvis forholde er omvend, kaldes opionen en down. Til sids findes både calls og pus sam europæiske og amerikanske opioner indenfor hver kaegori, hvilke bevirker, a der overordne findes i al 16 forskellige barrieropioner. I markede findes lang flere barrier-yper, som dog ikke vil blive behandle i denne afhandling. Desuden har nogle yper af barrier-opioner en rebae inkorporere, som beales hvis opionen skulle udløbe værdiløs, hvilke naurligvis forøger prisen på opionen. 4.5. Implemenering af barrier-opioner Under Black-Scholes anagelser er de mulig a udlede lukkede løsninger for barrier-opionspriser. Disse fremgår af bilag 14 og er implemenere i VBA i funkionen ExpliciBarrier i Excel-ark Mone-Carlo simulaion af barrier-opioner på den medfølgende Cd-rom. Under forudsæning af sokasisk volailie i Heson-modellen, er de derimod ikke mulig, a udlede en analyisk formel for prisen på barrier-opioner. De er derfor nødvendig a benye numeriske eknikker herunder Mone-Carlo simulaion for a besemme prisen. 68

Implemenering af barrier-opioner i den allerede definerede Mone-Carlo algorime for simulaion af Heson-sien er forholdsvis simpel, hvilke neop er en af fordelene ved denne numeriske eknik. Barrier-opionen implemeneres også under de normale Black-Scholes forudsæninger, selvom der under disse forudsæninger findes en analyisk løsning. Dee gøres for a konrollere, om implemeneringen er foreage korrek, da resulae kan eses mod en kend løsning. De implemenerede Mone-Carlo algorimer for barrier-opioner findes for henholdsvis Black-Scholes forudsæninger og sokasisk volailie i VBA-funkionerne BSSimAni(barrierype) og HesonAni(barrierype) i Excel-ark Mone-Carlo simulaion af barrier-opioner på den medfølgende Cd-rom. Den enese reelle ændring, der skal foreages i algorimen, er, a der for hver idsskrid skal jekkes om barrieren er bleve ram. Al efer hvilken ype barrier-opion der ønskes prisfassa, vil den respekive opions payoff-funkion besemme, hvad konsekvensen er af a barrieren rammes. Både under Black-Scholes forudsæninger og under sokasisk volailie er algorimen implemenere med anieiske variable for a sikre høj konvergens og minimere sandardafvigelsen på prisesimae. Forskellen er blo, a der for hver anieisk si jekkes, om denne har ram barrieren, og derudfra beregnes gennemsnie af de o anieiske payoff s. Prisen på en barrier-opion afhænger af, hvor ofe barrieren observeres. Den lukkede løsning for prisen på barrier-opioner under Black-Scholes forudsæninger anager, a barrieren observeres koninuer. I de diskreiserede modeller for simulaion af barrier-opionspriser observeres barrieren derimod diskre for hver enkel idsskrid. De vil derfor i eorien være mulig, a barrieren er bleve ram mellem o observaioner. Ved a reducere er de mulig a ilnærme sig koninuere observaioner af barrieren, men de kræver dog e sor anal idsskrid a minimere approksimaionsfejl, hvilke vil øge beregningsiden krafig. Broadie e al. (1999) foreslår en approksimaion for a korrigere for diskre observaion af barrieren: T m V ( B) = V ( Be ± βσ ) (4.3) m hvor V ( B ) er prisen på en koninuer observere barrier-opion, V ( B ) er prisen på en ellers idenisk diskre observere barrier-opion med m observaioner af barrieren. + bruges for upopioner og - bruges for down-opioner. Konsanen β er give ved m ζ (1/ ) β = = 0, 586, hvor π ζ er en såkald Riemann Zea funkion. Ideen bag bevise er, a esimere beløbe hvormed den diskre observerede akivpris overgår barrier-niveaue førse gang barrieren overskrides. Sørrelsen 69

af beløbe hvormed barrieren overskrides er approksimaiv give ved Be ±βσ T m B. Prisforskellen mellem en diskre observere barrier-opion og den ækvivalene koninuer observerede er ofe relaiv sor. For eksempel med σ = 0,3 og daglige observaioner ( T 1/16) vil juseringen være omkring 0,3 0,6 16 = 1,% af barrier-niveaue 1. Med denne korrekion er de mulig a sammenligne de eksplicie Black-Scholes priser for barrieropioner med de simulerede priser. Teoreisk se kan approksimaionen også benyes omvend, således a en diskre observere barrier-opion juseres il koninuere observaioner. Dee ville dog kræve, a Heson-simulaionen skal korrigeres il koninuere observaioner. Da volailieen, som indgår i korrekionen (4.3), er sokasisk i Heson-modellen, vil dee dog kunne føre il fejl på prisesimae. De vil være mulig a benye den beregnede BS-volailie i korrekionen af Hesonsimulaionen, men dee ville kræve e eksra esimere inpu i simulaionen, samidig med a de vil være svær a overskue yderligere konsekvenser af denne korrekion. For a kunne sammenligne Black-Scholes priserne med Heson-priserne, er de ligeledes nødvendig a benye en Heson-mached volailie som inpu i Black-Scholes modellen. Heril kunne de idligere beskrevne inegrale i (3.36) benyes. De er i denne sammenhæng også mulig a benye sig af kvadraroden af e observere gennemsni af den simulerede variansproces under Hesonmodellen. Denne meode burde med mange simulaioner give samme resula som ved a løse inegrale. De er dog ved denne meode sikker, a volailie der benyes il udregning af Black- Scholes-prisen, reel er kvadraroden af gennemsnie for den simulerede variansproces, der er benyes il udregning af Heson-prisen. 4.5.3 Konvergens De er indledningsvis relevan a vurdere, om approksimaionen il diskre id holder for Black- Scholes eksplicie løsning for barrier-opioner, således a man med den lukkede løsning opnår samme pris som ved den diskree simulaion. Hvis dee er ilfælde, er de mulig a benye den lukkede løsning med korrekion il diskree barrier-observaioner il a sammenligne med priserne simulere i Heson-modellen i den videre analyse. De vil derved ikke være nødvendig a bruge beregningsid på a simulere barrier-opionspriser under Black-Scholes forudsæninger. I bilag 15 fremgår prisforskellene mellem den eksplicie løsning korrigere il diskree observaioner og simulaion af barrier-opioner for henholdsvis 50, 100 og 150 barrier-observaioner 1 Beregning af diskre observere barrier-priser findes i funkionen ExpliciBarrierDiskre 70

per år. Overordne er de diskre observerede barrier-opionspriser højere end koninuer observerede priser, men denne forskel bliver mindre og mindre, jo flere observaioner der foreages. De fremgår endvidere, a jo flere observaioner der foreages gennem opionens løbeid, jo mindre bliver forskellen mellem den korrigerede eksplicie pris og den simulerede pris. Allerede ved 100 observaioner per år er prisforskellen så lille, a man uden ab vil kunne benye den korrigerede eksplicie pris, hvorfor denne også benyes il sammenligning med Heson-priserne senere i afhandlingen. Da der ikke findes nogen lukke løsning for prisen på barrier-opioner under Heson-modellen, er de ikke mulig direke a konrollere, a de simulerede opionspriser konvergerer mod den sande pris 13. Med udgangspunk i a simulaionen af barrier-opioner under Black-Scholes modellen vise, a den simulerede pris konvergerede mod den eksplicie koninuere pris, når analle af observaioner siger, virker implemeneringen af barrier-funkionen il a være foreage korrek. Samidig blev de påvis i afsni 4.3.4, a de Heson-simulerede europæiske opionspriser korrigerede mod den eksplicie pris for disse, hvorfor simulaionen af selve Heson-sien også synes a være implemenere korrek. De kan med baggrund heri med forholdsvis sor sikkerhed konkluderes, a den samlede algorime er korrek implemenere, og derfor også a de priser, der beregnes, er korreke. De er dog sadig relevan a vurdere, hvor præcis prisesimae er. De blev idligere påvis, a anieiske variable forbedrede sandardafvigelsen på prisesimae krafig uden a forlænge beregningsiden væsenlig, hvorfor alle simulaioner af barrieropionspriser foreages med denne eknik. I bilag 16 er simulaion af barrier-opionspriser vis på de esimerede paramere, jf. afsni 4.4, med forskellige spopriser, og for e sigende anal simulerede sier. Alle simulaionerne er foreage med 100 idsskrid per år, jf. argumenaionen ovenfor. Der er igen en ydelig sammenhæng mellem analle af simulerede sier og sandardafvigelsen på prisesimae. Mone-Carlo meodens ulempe angående sammenhængen mellem anal simulaioner og sandardafvigelsen kan igen konsaeres. Således opnås kun en mindre forbedring af sandardafvigelsen på prisesimaerne ved a fordoble analle af simulerede sier fra 500.000 il 1.000.000. De skal igen bemærkes, a de er den relaive prisafvigelse der er ineressan, og de fremgår også ydelig, a sandardafvigelsen bliver sørre jo højere prisesimae er. 13 Prissammenhængen ou + in = vanilla kunne dog benyes, da der findes en lukke løsning for vanilla-opioner. Dee er dog fravalg da de ved denne meode ikke vil være mulig a konrollere fra hvilken af opionerne prisfejlen sammer. Samidig vil de være mulig a fejlen på de o esimaer udligner hinanden, således a priserne umiddelbar virker rigige selvom forkere priser reel er opnåe. 71

Samle vurderes de, a der på baggrund af 500.000 sier opnås e ilsrækkelig præcis esima for a gennemføre den videre analyse i denne afhandling. Denne konklusion er en afvejning af beregningsider og præcisionen på esimae. Alle simulaioner af barrier-opioner vil i afhandlingens videre forløb derfor blive foreage på baggrund af dee anal sier. 4.5.4 Forskel i barrier-opionspriser I dee afsni vil de simulerede barrier-opionspriser beregne ud fra Heson-modellen blive sammenligne med de ækvivalene barrier-opionspriser beregne ud fra Black-Scholes modellen. Alle simulaioner er med baggrund i ovensående argumenaionen gennemfør med 100 barrierobservaioner per år og 500.000 sier. Barrier-opionspriserne besemmes som udgangspunk ud fra de kalibrerede paramere for S&P 500 indekse i abel 4.. Alle de simulerede opioner er iniial ATM, hvilke vil sige, a srikeprisen er lig $133,83. Spoprisen på indekse varieres dog for a opnå en visuel god præsenaion af den givne opions pris på værs af moneyness. FIGUR 4.1: Værdier og prisforskelle for up-and-ou-opioner på værs af spo en for Black-Scholes og Heson s model for kalibrerede paramere 5,00 Heson BS 14,00 1,00 0,00 10,00 8,00 Værdi 15,00 10,00 Forskel 6,00 4,00,00 5,00 0,00 -,00 0,00 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 100 150 1300 1350 1400 1450 1500-4,00 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 100 150 1300 1350 1400 1450 1500 Spo Spo Figur 4.1 viser priser for up-and-ou-call (herefer UOC) barrier-opioner med en barrier på $1500. De eksak udregnede priser fremgår af bilag 17. De fremgår ydelig, a Heson-modellens priser klar oversiger Black-Scholes modellens priser fra en spopris på omkring $115 il barrieren. Den sørse prisforskel på omkring $1,75 forekommer ATM og afager, jo længere væk spoprisen er herfra. Black-Scholes priserne for opioner FOTM er derimod sørs. Den nominelle prisforskel er sørs for opionerne omkring ATM, mens den relaive prisforskel, i ak med a opionerne bliver mindre værd, er sørs FOTM. Hvis de anages, a Heson-modellen med de kalibrerede paramere er en god approksimaion for udviklingen for de underliggende akiv, er der dermed en mege sor prisfejl forbunde med a benye de normale forudsæninger bag Black-Scholes modellen. Samidig forekommer prisfejlen - modsa ved prisfassæelse af vanilla-opioner ATM, hvilke forsærker de prakiske konsekvenser, da de flese opioner skrives neop her. 7

For a vurdere, hvad denne væsenlige prisforskel kan skyldes, sam a vurdere, hvorledes Hesonmodellens paramere påvirker prisforskellen, foreages simulaioner for de givne opioner med ændrede paramere. De relevane paramere er i denne sammenhæng, ligesom i afsni 3.4.4, volailieen på variansen og korrelaionen mellem udviklingen i akivprisen og volailieen, og hvordan ændringer i disse påvirker UOC-opionspriserne og dermed også prisforskellene. En anden fremgangsmåde kunne være a age udgangspunk i diskreiseringsskemae for de underliggende akiv i (4.19), og herudfra undersøge hvordan ændringer i paramerene påvirker udviklingen i de underliggende akiv. Dee vil dog nærmere være en undersøgelse af hvordan diskreiseringsskemae virker, hvilke ikke er formåle med indeværende afhandling. Som de fremgår af figur 4. bliver prisen på UOC-opionspriserne omkring ATM og op il barrieren højere jo højere v er, hvis alle andre paramere holdes konsane. Da Heson-priserne falder hurigere mod nul OTM for sørre værdier af v, nærmer niveaue af spoprisen, hvor Black- Scholes priserne oversiger Heson-priserne, sig srikeprisen. Heson-priserne forekommer mege følsomme overfor ændringer i v, og med v = 0,6 er Heson-prisen ATM cirka 3,5 gange sørre end Black-Scholes prisen. Evenuelle fejl i kalibreringen vil dermed have sore konsekvenser for de simulerede priser. FIGUR 4.:Volailieen på variansens påvirkning af værdien for up-and-ou-opioner på værs af spo en sammenligne med Black-Scholes 30,00 Værdi 5,00 0,00 15,00 10,00 5,00 BS Kalibrere v = 0,1 v = 0, v = 0,4 v = 0,6 0,00 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 100 150 1300 1350 1400 1450 1500 Spo For nærmere a kunne analysere og forklare v s påvirkning af prisen og prisforskellene er der i figur 4.3 på næse side vis afkasfordelingerne for de underliggende akiv i den risikoneurale verden for forskellige v - al ande hold konsan. Udledningen af afkasfordelingen følger afsnie 3.4.4. For a gøre figuren mere overskuelig er der kun vis afkasfordeling for re værdier af v. Afkasfordelingen er vis for en spopris på $133,83, og for a illusrere fordelingen for andre spopriser skal fordelingen blo parallelforskydes. 73

FIGUR 4.3: Volailieen på variansen påvirkning af afkasfordelingen for de underliggende akiv 3,50 3,00 P(Ln(S/So)),50,00 1,50 1,00 Kalibrere v = 0,1 v = 0,3 0,50 0,00 800 900 1000 1100 100 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 000 Spo Som de blev vis idligere, påvirker v kurosis på afkasfordelingen sam skævheden af fordelingen. Ændringen i v har for ATM barrier-opioner dermed den effek, a sandsynligheden for værdier af de underliggende ender lige under barrieren forøges, samidig med a sandsynligheden for høje værdier formindskes. Dee bevirker, a UOC opionsprisen for spopriser omkring srikeprisen bliver sørre for Heson-modellen end for Black-Scholes modellen, som de neop blev påvis ovenfor, da sandsynligheden for a ende ITM forøges samidig med, a sandsynligheden for a ende over barrieren formindskes. Hæves barrier-niveaue, vil prisforskellen forøges indil e niveau omkring 1600 $, hvorefer de federe højre haler på lave værdier af v og Black-Scholes begynder a give sørre sandsynlighed for a komme ITM uden dog a ramme barrieren. For FOTM opioner er sammenhængen derimod en anden. Den sørre sandsynlighed for eksreme udfald ved lave værdier af v bevirker, a der er sørre sandsynlighed for a komme ITM, hvilke overskygger den sørre sandsynlighed for a ramme barrieren. Værdien af FOTM opioner er derfor sørre for Black-Scholes modellen end for Heson-modellen. E højere niveau af barrieren vil blo forsærke disse prisforskelle igen på grund de federe højere haler. Figur 4.4 på næse side viser, hvordan ændring i ρ påvirker UOC barrier-opionspriser. Opioner med høj negaiv ρ har den højese pris omkring ATM, hvor opionsprisen lang oversiger prisen beregne på baggrund af Black-Scholes modellen. En høj posiiv værdi af ρ belønnes derimod ikke i samme omfang i prisen på FOTM opioner. Prisen på opionen beregne ud fra ρ = 0,5 oversiger kun Black-Scholes prisen lige under barrieren. 74

FIGUR 4.4: Korrelaionens påvirkning af up-and-ou-opioner på værs af spo en sammenligne med Black-Scholes 5,00 Væ rdi 0,00 15,00 10,00 5,00 BS Kalibrere ρ = - 0,5 ρ = 0 ρ = 0,5 0,00 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 100 150 1300 1350 1400 1450 1500 Spo Afkasfordelingen i figur 4.5 viser igen de idligere konkluderede karakerisika - jo sørre posiiv korrelaion jo mere spredes afkasfordelingens højre hale og dermed sørre sandsynlighed for høje værdier af de underliggende akiv, samidig med a afkasfordelingens op forskydes mod vensre. For opioner omkring ATM bevirker dee, a for høje negaive værdier af ρ, er der sørre sandsynlighed for e udfald ITM, samidig med a sandsynligheden for udfald over barrieren er mindre. For lave værdier af ρ bevirker den fede højre hale, a sandsynligheden for a ramme barrieren forøges. På samme id er der mindre sandsynlighed for, a opionen ender ITM, da oppen af fordelingen er rykke mod vensre. Dee resulerer i den sore prisforskel på UOC opionspriser, som påvis ovenfor. Al efer hvordan barrieren forskydes, vil sandsynligheden for a ramme denne ændres for de forskellige værdier af ρ. FIGUR 4.5: Korrelaionens påvirkning af afkasfordelingen for de underliggende akiv på værs af spo en 3,50 3,00 P(Ln(S/So)),50,00 1,50 1,00 0,50 0,00 800 900 1000 1100 100 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 000 Spo Kalibrere ρ = 0 ρ = 0,5 ρ = - 0,5 For FOTM opioner er sandsynligheden for, a opioner med høj negaiv værdi af ρ rammer barrieren mege lille, men ilsvarende er sandsynligheden for a opionen ender ITM også lille, hvorfor prisen bliver mege lav. Den federe højre hale, der er forbunde med en posiiv ρ, bevirker, a der er sørre sandsynlighed for a ende ITM, men forskydningen af oppen reducerer denne effek, så prisforskellene bliver forholdsvis små. For Black-Scholes er oppen af afkasfordelingen derimod 75

ikke rykke mod vensre, hvilke resulerer i en sørre sandsynlighed for a ende ITM, hvilke bevirker de højere priser for FOTM opioner. FIGUR 4.6: Værdier og prisforskelle for up-and-in-opioner på værs af spo en for Black-Scholes og Heson s model for kalibrerede paramere Heson BS 10,00 50,00 5,00 Værdi 00,00 150,00 100,00 Forskel 0,00-5,00-10,00-15,00 800 900 1000 1100 100 1300 1400 1500 50,00-0,00 0,00 900 1000 1100 100 1300 1400 1500 Spo -5,00-30,00 Spo Med baggrund i sammenhængen mellem prisen på up, in og vanilla-opioner i afsni 4.5.1 og ovenfor påvise prisforskelle og afkasfordeling må de umiddelbar forvenes, a der gælder en modsa sammenhæng i prisforskellene på up-and-in-call (herefer UIC) barrier-opioner. Dee bekræfes ud fra de simulerede UIC opionspriser i figur 4.6 14. Omkring ATM er Black-Scholes prisen lang sørre end den ilsvarende Heson-pris. Den sørse prisforskel forekommer ved en spopris på 150$, hvor der observeres en prisforskel på mere end $5 for de esimerede paramere. Jo længere ITM opionen er, jo mindre bliver prisforskellen. Lige under barrieren bliver Hesonprisen sørre end Black-Scholes prisen. FIGUR 4.7: Volailieen på variansens påvirkning af værdien for up-and-in-opioner på værs af spo en sammenligne med Black-Scholes 00,00 150,00 Værdi 100,00 50,00 BS Kalibrere v = 0, v = 0,6 0,00 1000 1050 1100 1150 100 150 1300 1350 1400 1450 1500 Spo Som de fremgår af figur 4.7, påvirker v igen sørrelsen af prisforskellene - jo sørre v jo sørre er prisforskellen. For høje værdier af v er den højre hale mege smal, jf. figur 4.3, og dermed er sandsynligheden for a barrieren rammes, og a opionen ender ITM lavere end for Black-Scholes 14 Alle eksak beregnede priser for UIC barrier-opioner ses af bilag 18 76

og for lave værdier af v, hvilke neop afspejler sig i den lavere pris. Når spoprisen nærmer sig barrieren, rykkes den højere kurosis, der er forbunde med høje værdier af v, ITM. Dee resulerer i, a prisforskellene udlignes. Igen må de samle konkluderes, a Heson-priserne er mege følsomme overfor ændringer i v. FIGUR 4.8: Korrelaionens påvirkning af up-and-in-opioner på værs af spo en sammenligne med Black-Scholes 00,00 Værdi 150,00 100,00 50,00 BS Kalibrere ρ = - 0,5 ρ = 0 ρ = 0,5 0,00 900 950 1000 1050 1100 1150 100 150 1300 1350 1400 1450 1500 Spo De federe højre haler for posiive værdier af ρ afspejler sig i, a prisen på opionen er højere omkring ATM, jf. figur 4.8, da der er sørre sandsynlighed for, a barrieren rammes, og a opionen ender længere ITM. Igen udlignes prisforskellen og skifer foregn, jo æere på barrieren spoprisen kommer. De vensreforskude oppunk på afkasfordelingen for posiive værdier af ρ bevirker, a dee punk forekommer idligere, end hvad der blev observere ved ændring i v. De ovenfor gennemføre analyser for up-call-opioner kan på samme vis illusreres for down-callopioner, jf. bilag 19. For down-call-opioner er afkasfordelingens vensre hale afgørende for, om barrieren rammes, mens den højre hale besemmer, hvor lang ITM opionen ender, hvilke vil sige, a prisen afhænger af en balance i fordelingen. For in-opioner ATM er Heson-prisen sørs i forhold il Black-Scholes, og jo længere opionen er ITM, jo mindre bliver prisforskellen. For FOTM kan der observeres mege væsenlige prisforskelle, med sørre forskelle jo æere spoprisen er på barrieren. Prissammenhænge forsærkes for sørre værdier af v, der medfører højere kurosis og smallere højre hale. For ATM opioner medfører dee sørre æhed omkring barrieren og srikeprisen, hvilke beyder, a sandsynligheden for både a ramme barrieren og komme ITM forsørres. For FOTM opioner væger en fed højre hale ungere, da barrieren er æ på spoprisen og dermed ikke lang fra a blive ram. Lave værdier af v og Black-Scholes giver derfor klar højere priser. 77

Nogenlunde samme konklusion omkring balancen af fordelingen kan besemmes for forskellige værdier af ρ, hvor federe højre haler som følge af posiiv ρ belønnes FOTM. Effeken omkring ATM er dog ikke så væsenlig som observere ved ændring i v. For down-and-ou call-opioner er Black-Scholes priserne igen sørs omkring barrieren på grund af den marginal sørre sandsynlighed for a ramme barrieren og den federe højre hale, der medfører sørre sandsynlighed for a ende ITM. Ændring i v og ρ har samme effek på prisforskellene som observere ved in-opionerne. For denne ype af barrier-opioner kan de samle konkluderes, a den sørse prisforskel forekommer omkring barrieren, og a prisforskellene omkring ATM ikke i samme omfang er dominerende - men dog sadig ilsede. Denne sammenhæng er den omvende af, hvad der blev påvis for up-opionerne. De ovenfor gennemføre analyser kan på samme vis foreages for pu-opioner, men vil ikke blive præsenere i indeværende afhandling, da konklusionerne vil være lignende de allerede vise for call-opioner. Samle se må de konkluderes, a der ved a inddrage sokasisk volailie forekommer væsenlige prisforskelle på barrier-opioner i forhold il de klassiske forudsæninger om konsan volailie i Black-Scholes modellen. Da de empirisk klar er påvis, a volailieen ikke er konsan, kan de dermed diskueres, hvorvid Black-Scholes modellen er anvendelig il prisfassæelse af barrieropioner. De er for denne ype opioner dermed af særlig sor nødvendighed a benye modeller, der ager forbehold for sokasisk volailie. Da der ikke direke kan observeres barrieropionspriser i markede, er resulae dog ikke mulig a sammenholde med den sande pris, hvorfor konklusionen ikke kan undersøes heraf. Prisen på de i Heson-modellen simulerede barrier-opioner er samidig mege følsomme over for ændringer i inpu-paramerene, hvorfor præcisionen af disse er afgørende for den overordnede konklusion. Samle se er der dog, sor se uanse hvor eksreme paramerene sæes, væsenlige prisforskelle mellem modellerne. Den sore følsomhed overfor ændring i for eksempel v rejser igen problemsillingen, om de er fornufig a anage, a volailieen på variansen er konsan over en opions løbeid, og hvilke konsekvenser dee har for prisfassæelsen. 78

Kapiel 5: Hedging af opioner under sokasisk volailie Ved udledningen af den generelle SV-PDE i afsnie 3.3.1 blev de vis, a SV-modeller ikke er komplee. Dee skyldes, a der er flere sokasiske kilder, end der er handlede akiver, da der ikke handles volailie direke. Hvis volailie var handle mellem de primære akiver, ville de være mulig med posiioner i o akiver (de underliggende og volailie) a afdække al risiko. I de inkomplee marked er hedge-poreføljen med blo de underliggende akiv og en posiion i e risikofri akiv enen ikke længere selvfinansierende eller replicerer ikke opionens payoff perfek. Dee skyldes, a de underliggende akiv og den risikofrie posiion ikke er følsomme overfor ændringer i volailieen og dermed ikke i sand il a hedge denne usikkerhed. Sælgeren af e deriva kan derfor ikke eliminere al risiko ved blo a handle de primære akiv. Opioner på de underliggende akiv er derimod følsomme overfor ændringer i volailieen. Ved a inkludere yderligere e afled insrumen G( S, Y, ) kan man derved opnå en risikofri porefølje. G( S, Y, ) kan være en konrak med den samme payoff-funkion som akive, der ønskes hedges, men med en anden løbeid eller med en anden srikepris. Fra (3.7) ved vi, a hvis man ønsker a hedge en kor posiion i en call-opion V ( S, Y, ), skal der placeres de ande aflede insrumen G( S, Y, ), hvor S og S i de underliggende og G i G er give ved (3.10) og (3.11). Denne hedgingprocedure kaldes - Σ -hedging og er som nævn ovenfor ikke unik, da den afhænger af markedsprisen på volailiesrisko Λ ( S, Y, ). - Σ -hedging skal ses parallel il a hedge yderligere i forhold il vega, der er definere som ændringen i opionens værdi give en ændring i volailieen på de underliggende akiv - V σ = νv. Vega beskriver således volailiesrisikoen på en opion. Hvis de anages, a opionen G er il rådighed med vega give ved G σ = v, kan den øjeblikkelige volailiesrisiko for en kor posiion i V elimineres ved a age en posiion på νv ν G i de aflede akiv G. Dela for hele posiionen er nu - ( νv ν G ) G = V - dela for akive V. Ved a age en udlignende posiion i de underliggende (hvor dela er lig én, og vega er lig nul) kan poreføljen Π derved gøres lokal upåvirke af små ændringer i prisen på de underliggende og volailieen. De skal bemærkes, a dela og vega for opionen er afhængige af fakorer som iden, akivprisen, renen og volailieen, hvorfor poreføljen forsa løbende skal rebalanceres for a sikre dela-vega-neuralie. Ved koninuer dynamisk a rebalancere posiionerne i de underliggende akiv og de ande aflede akiv, er de derfor mulig både a hedge risiko fra ændringer i de G 79

underliggende og volailiesrisiko. I praksis er koninuer dynamisk hedging dog ikke mulig, men de er derimod alene mulig a foreage diskree rebalanceringer af poreføljen. Endvidere er der forbunde væsenlige ransakionsomkosninger med hyppige rebalanceringer af poreføljen. Ulemperne omkring ransakionsomkosninger forsærkes yderligere af væsenlige bid-ask-spreads på børshandlede opioner, samidig med a de handlede opioner ikke alid er lige likvide. Med baggrund heri kan - Σ -hedging, der kræver en opionsposiion, resulere i ab på hedgingporeføljen. Hvis der blev handle direke i volailie, ville de, som ovenfor beskreve, være mulig a sammensæe en perfek hedgeporefølje med de o risikable akiver og en posiion i e risikofri akiv. Volailie er imidlerid ikke e akiv, og der handles ikke direke i volailie. I markede er der derimod mulighed for a handle forskellige derivaer skreve på volailieen de såkalde VIX produker på S&P 500 indekse. Der handles både fuures, swaps og opioner med volailie som de underliggende akiv. Da volailieen ikke kan observeres direke, er indekse basere på den implici beregnede volailie og dermed den gennemsnilige forvenede volailie over de næse 30 kalenderdage for forskellige srikes, hvilke derfor er e gennemsnilig mål over hele skew e. E af de væsenligse karakerisika for indekse er, a en volailiesserie har e forvene langsige gennemsni på nul og er dermed ikke en afkasgenererende proces. En konsekvens af, a de underliggende volailieen ikke er e handle akiv, er, a de ikke er mulig a replicere opionens payoff, hvorfor arbirageargumener ikke kan benyes il a prisfassæe denne opionsype. Prisfassæelse af volailiesopioner vil ikke blive behandle dybere i denne afhandling, men for yderligere diskussion af emne henvises il bland ande Grübichler e al. (1996) og Deemple e al. (000). Der har ikke være sor opmærksomhed og forskning i a udnye opioner på volailie som de ande akiv i hedging af opioner. Opmærksomheden har derimod være ree mod a udnye denne opionsype som e insrumen il a hedge bevægelser i de underliggende akiv - alså som alernaiv il en invesering i en opion og dermed som en ilføjelse il en porefølje af akiver, for a minimimere poreføljens samlede risiko, jf. Dash e al. (005), Black (006) og Bimann (007). I denne forbindelse udnyes de fakum, a volailiesopioner er særk negaiv korrelere med de akiv, som volailieen er forbunde il. Bevægelser i akives pris vil resulere i modsareede bevægelser i volailieen og dermed en modsaree bevægelse på prisen på volailiesopioner. Der argumeneres ilmed for, a risikoafdækning i e enkel akiv eller en porefølje ved hjælp af volailiesopioner er e billigere alernaiv i forhold il a benye normale vanilla-opioner. 80

I forbindelse med a udnye volailiesderivaer som insrumen il hedging af volailiesrisko på opioner, kan de argumeneres for, a payoff e på disse insrumener afhænger direke af e mål for niveaue på volailieen, og a de derfor vil være mere effekive hedginginsrumener end normale vanilla-opioner. Man kunne derfor foresille sig en selvfinansierende porefølje, hvor volailiesinsrumener indgik som de ande akiv udover de underliggende akiv. Fordelene herved ville være, a volailiesinsrumenerne handles direke på volailieen, og dermed ikke er påvirke direke af fakorer som prisændringer på de underliggende akiv, udbyer, rene og id il udløb. Disse fakorer ville alle påvirke prisen på e ande normal afled insrumen på de underliggende akiv, der kunne benyes il hedging volailiesrisiko. Psychoyios & Skiadopoulos (004) undersøger hedgingeffekivieen af volailiesopioner sammenligne med sandardopioner il a hedge europæiske opioner. De konkluderer dog, a volailiesopioner ikke er e bedre hedginginsrumen end sandardopioner il a hedge europæiske opioner. Samme konklusion når Jiang & Oomen (001) frem il for volailiesfuures, og dermed kan de umiddelbare fordelagige karakerisika for volailiesopioner ikke udnyes i disse hedgingsammenhænge. Alernaiv il volailiesopioner er der i lierauren undersøg anvendelse af opioner på en sraddle il a hedge volailiesrisiko. De underliggende i denne konrakype er en handle ATMforward sraddle. Sraddle-priser er mege følsomme overfor ændringer i volailieen, og Brenner e al. (001) argumenerer derfor for, a sraddle-opionerne kan berages som opioner på volailie, hvilke beyder, a insrumene er e god redskab il a hedge volailiesrisiko. I ariklen argumeneres samidig for, a da de underliggende er e handle akiv (modsa volailie), vil denne konrakype være mere arakiv for delagere i markede end volailiesopioner, samidig med a handel i denne er forbunde med færre omkosninger. Undersøgelser af konrakypen giver dog ikke e enydig svar på, om denne er mere effekiv end volailiesopioner, jf. bland ande Brenner e al. (001) og An e al. (006). Med baggrund i ovensående argumener og begrænsninger er de forsøg a udvikle hedgingsraegier, der ager forbehold for de omale ulemper. I saiske hedgingsraegier forsøges en buy-and-hold porefølje sammensa af børshandlede opioner, således a payoff e fra den opion, der ønskes hedges, repliceres (Derman e al. 1995 og Carr e al. 1998). I saiske hedgingsraegier rebalanceres poreføljen ikke over opionens leveid, hvorfor problemerne omkring ransakionsomkosninger i e vis omfang er undgåe. På grund af e begrænse anal handlede likvide opioner er de dog vanskelig a sammensæe den perfeke saiske hedgingsraegi for en given opion. Samidig er de i Tof e al. (1998) påvis, a saiske hedgingsraegier klarer sig 81

dårligere, når sokasisk volailie inkluderes - jo højere volailieen på variansen er, jo dårligere fungerer den saiske hedgingporefølje. Som argumenere for i Ross (1995) forerækkes der med baggrund i ovensående ofe i inkomplee markeder a benye hedgingsraegier med blo de underliggende akiv. I disse såkalde singleinsrumen hedges kan usikre momener - såsom sokasisk volailie - der påvirker opionsprisen, men som ikke er korrelere med den underliggende akivpris, ikke hedges med posiionen i akive, og vil derfor ikke være dække. Hvis udviklingen i processen for de underliggende akiv og volailieen er perfek posiiv eller negaiv korrelerede ρ = 1, vil de dog sadig være mulig a foreage en perfek hedge med blo en posiion i de underliggende. Hvis korrelaionen derimod ikke er perfek, skal posiionen i de underliggende akiv ikke kun age forbehold for ændringer i de underliggende akivs påvirkning af opionsprisen, men også den indireke effek af den del af volailiesændringen, der er korrelere med ændringer i akivprisen. Under Black-Scholes anagelser er de neop ilsrækkelig med blo en posiion i de underliggende a gøre hedgingporeføljen risikofri. Selv om der er særke empiriske indikaioner, der forkaser forudsæningerne bag Black-Scholes modellen, er denne model ofe benye i praksis. Grunden heril er modellens simplicie, der giver en lukke formel for opionspriser og illader eksplici a beregne hedgingraioer for opioner. De er i denne sammenhæng relevan a undersøge, hvordan en Black-Scholes-dela-hedge fungerer i en verden, hvor de anages a volailieen er sokasisk, og hvor de anages a derivapriser ilfredssiller Heson s PDE - jf. formel (3.8). Med andre ord vil der i dee afsni blive foreage e simulaionssudie af, hvordan Black-Scholes-dela-hedge præserer overfor en Heson-dela-hedge i en verden, hvor de anages a de underliggende følger Heson-sien. Denne anagelse er ikke fuldsændig korrek, men kan i e vis omfang undersøes a resulae af kalibreringen il markedsdaa i afsnie 4.4, der vise a Heson-modellen med en forholdsvis accepabel fejlmargin kan prisfassæe S&P 500 opioner i markede. 5.1 Simulaion af dela-hedge hedge-sraegi under sokasisk volailie Som beskreve ovenfor foreages simulaionssudie i indeværende afsni under forudsæning af, a verden er beskreve ved anagelserne i Heson-modellen. Da de er hedgingsraegier, der skal evalueres, skal simulaionen, modsa ved prisfassæelse af opioner, foreages under de objekive mål og ikke de ækvivalene maringalemål. Udviklingen i de underliggende akiv og volailieen følger derfor Heson-modellens objekive processer jf. formel (3.3). Sien for de objekive processer simuleres i henhold il diskreiseringsskemae QE - beskreve i afsnie 4.3. Modsa 8

idligere er drifen i de underliggende akiv nu give ved de forvenede afkas µ i sede for r, og drifen på volailieen er give ved de objekive paramere κ og m, hvorfor markedsprisen på volailiesrisiko nu ikke længere forekommer i processerne, men dog sadig forekommer i prisen på opionerne. Dela-hedge-sraegien ager udgangspunk i dela-hedge-poreføljen: hvor Π, V ( S, Y, ), S og Π = V ( S, Y, ) + S + B (5.1) B er henholdsvis værdien af poreføljen, opionen, der skal hedges, de underliggende akiv og en risikofri posiion. For a hedge en kor posiion i en call-opion skal i de underliggende akiv købes og differencen B inveseres i e risikofri akiv. I begyndelsen af hedgeperioden placeres 0S0 i de underliggende akiv, hvor 0 = V0 S0 er dela-hedge-fakoren for opionen V på = 0, der beregnes ud fra enen Heson-modellen eller Black-Scholes-modellen. Den iniiale placering i de risikofrie akiv er herefer besem ved: B = V ( S, Y, ) S (5.) 0 0 0 0 0 De anages nu, a rebalancering sker med inervalle. På hver rebalanceringsidspunk i beregnes dela, og posiionen i de underliggende akiv ændres i henhold heril. Posiionen i de risikofrie akiv juseres herefer ved: ( ) B = B e S (5.3) r 1 1 Førse led i ligningen er den forrenede invesering i de risikofrie akiv fra foregående rebalanceringsidspunk, hvor de anages a r er konsan, og ande led er den ændrede invesering i de underliggende akiv. Ovensående foreages for alle rebalanceringsidspunker i opionens leveid. Ændringen i værdien af hedgeporeføljen i (5.1) over en kor idsperiode kan udledes, jf. bilag 0, og er give ved: [ µ ] dπ = DV + S + rb d V V + σ S dz vσ dz S Y S Y hvor D er en såkald Dynkin operaor, der samler de deerminisiske led i ændringen af V s værdi. Poreføljen er perfek hedge over en kor idsperiode, når dπ = 0. Hvis poreføljen koninuer rebalanceres, vil de deerminisiske førse led have en værdi på nul. Ændringen i poreføljeværdien (5.4) 83

over en kor idsperiode har således o sokasiske elemener. De førse kommer fra dela-hedgebias [ V S]. I Heson-dela-hedge vil Heson = V S, hvorfor dee sokasiske elemen ved koninuer rebalancering forsvinder. I Black-Scholes dela-hedge vil der derimod være en fejl forbunde med denne hedge, som kan defineres ved HB = BS Heson. HB giver e billede af, om Black-Scholes modellen overhedger eller underhedger i forhold il Heson-modellen. De ande sokasiske led i ændringen i hedgeporeføljen kommer fra den udækkede volailiesrisiko. Variansen på ændringen i hedgeporeføljen i (5.4) over en kor idsperiode kan på normal vis nu udledes il a være give ved: [ ] σ ρ σ σ var d Π HB S V = + v HB S V v d Y Y For Heson-dela-hedge forsvinder de førse og sidse led da HB = 0, og de er dermed kun lede fra den udækkede volailie, der påvirker variansen. (5.5) For a kunne sammenligne effekivieen for henholdsvis Black-Scholes-dela-hedge og Hesondela-hedge skal fejlen på hedgesraegien besemmes i simulaionssudie. Hedgefejlen esimeres ved a simulere en si for de underliggende akiv og volailieen. På sien anvendes dela-hedgesraegien for en given opion og med en given frekvens mellem rebalanceringsidspunkerne. På T hver rebalanceringsidspunk observeres hedgefejlen H = Π for i i 1,..., M =, hvor Π er give ved (5.1), hvilke vil sige, a fejlen er forskellen mellem den eoreiske pris på den hedgede opion og værdien af den selvfinansierende porefølje - begge på idspunk. Da de anages, a markede ilfredssiller Heson-modellens anagelser, beregnes den eoreiske værdi af opionen ud fra Heson-modellens semi-lukkede løsning (3.33). Ved udløb besemmes den sispecifikke fejl ved hedgingsraegien som den gennemsnilige absolue hedgefejl som en funkion af rebalanceringsfrekvensen : H ( ) sam den gennemsnilige dollar-value hedgefejl: H 1 M = Π (5.6) ( ) M = 1 1 M = Π (5.7) M = 1 Endvidere opgøres sandardafvigelsen på hedgefejlene for rebalanceringsidspunkerne i opionens leveid. Den gennemsnilige absolue hedgefejl sammenhold med variansen giver e god billede 84

af, hvor god den respekive sraegi er il a replicere opionsprisen. Derimod giver den gennemsnilige dollar-value hedgefejl e billede af de gennemsnilige omkosninger for sraegien, hvilke fra en hedgers synsvinkel er de opimale mål. Simulaionen gennemføres alene for 1.000 sier, da beregningsiden er mege lang grunde unge dela- og prisberegninger for Heson-modellen, der skal foreages for hver idsskrid på hver si. På baggrund af de forholdsvis få simulaioner kan resulaernes præcision og gyldighed diskueres, men de anages, a de giver e udmærke billede af sammenhængene. Sluelig beregnes e overordne gennemsni af de sispecifikke hedgefejl. Simulaion af hedgefejl for henholdsvis Heson-dela-hedge og Black-Scholes-dela-hedge findes i funkionerne BSDelaHedgeError og HesonDelaHedgeError i Excel filen Simulaion af Hedgefejl på den medfølgende Cd-rom. Selvom de objekive dynamikker benyes i beregning af hedge-fejl, forekommer markedsprisen på volailiesrisiko sadig i opionspriserne. For enkelhedens skyld sæes parameeren i simulaionen il nul. Resen af paramerene er ideniske med de i afsnie 3.4.4 benyede. De esimerede paramere i afsni 4.4 anvendes for simplicieens skyld ikke, da disse neop fand a markedsprisen på volailiesrisiko var forskellig fra nul. Den nye parameer µ i de objekive processer er sa il 0,06. 5. Analyse af dela-hedge resulaer Analysen vil indledningsvis fokusere på dela-hedge af ATM call-opioner for henholdsvis Hesonmodellen og Black-Scholes modellen. Herunder hvordan modellernes performance påvirkes af ændringer i v og ρ, og hvad disse ændringer kan skyldes og hvad der bevirker disse ændringer. Sluelig vil der kor analyseres for opioner på værs af moneyness, og de vil blive forsøg a drage nogle generelle konklusioner. Af abel 5.1 fremgår de simulerede resulaer for ugenlige rebalanceringer for ATM call-opioner for forskellige værdier af henholdsvis v og ρ. Ændringer i ρ bevirker, a den absolue gennemsnilige hedgefejl bliver sørre for Hesonmodellen for numerisk sørre værdier af ρ, hvorimod den modsae sammenhæng observeres for Black-Scholes-modellen. Forskellen mellem de o modellers performance bliver dermed sørre for ρ 0,5, og de kan observeres, a Black-Scholes modellen lid overraskende - ouperformer Heson-modellen i den absolue gennemsnilige hedgefejl for både posiiv og negaiv korrelaion. I 85

den gennemsnilige dollar-value hedgefejl performer Heson-modellen beds for posiiv og ingen korrelaion og dårligs for negaiv korrelaion. TABEL 5.1: Simulerede resulaer for ugenlige rebalanceringer for ATM call-opioner for forskellige værdier af henholdsvis v og ρ ρ = 0 ρ = -0,5 ρ = 0,5 v = 0,1 v = 0,5 v = 0,4 Heson BS Heson BS Heson BS Absolu ε 0,355 0,354 0,647 0,637 0,946 0,98 $ - ε -0,007-0,007-0,007 0,00 0,0 0,051 Sd. afv. 0,656 0,615 0,749 0,744 0,966 0,897 HB -0,011-0,039-0,034 Absolu ε 0,353 0,30 0,651 0,553 1,068 0,889 $ - ε -0,00 0,019-0,006 0,038 0,01 0,097 Sd. afv. 0,545 0,519 0,753 0,693 0,976 0,887 HB -0,016-0,014-0,07 Absolu ε 0,365 0,340 0,676 0,61 1,089 1,019 $ - ε -0,013-0,033-0,017-0,056 0,018-0,010 Sd. afv. 0,553 0,53 0,767 0,736 0,984 0,949 HB 0,015 0,06 0,018 De fremgår generel, a hedgeperformance falder for begge modeller, når v siger. Denne observaion er i overenssemmelse med den maemaiske udledning i (5.4), da sød fra den udækkede risiko i volailieen påvirker ændringen i poreføljen hårdere for sørre værdier af v. Forskellene mellem hedgefejlene, der blev observere for ρ -værdierne, forsærkes dermed for sørre værdier af v, og Black-Scholes-dela-hedge har dermed samle den lavese absolue gennemsnilige hedgefejl. Dee forekommer ud fra den maemaiske udledning igen lid overraskende, men kan yde på, a Black-Scholes modellen i form af enen over- eller underhedge i lede HB hedger for noge af den usikrede volailiesrisiko. Sandardafvigelsen på hedgefejlene forøges også, i ak med a v bliver sørre. Dee er i overenssemmelse med den maemaiske udledning i (5.5). Den lavese sandardafvigelse på hedgefejlene forekommer ved Black-Scholes modellen, hvilke igen kan yde på Black-Scholes modellen hedger for noge af den usikrede variaion. De er derfor relevan a vurdere, hvordan HB udvikler sig. I figur 5.1 er den iniiale HB vis for forskellige v og ρ på værs af moneyness 15. Når HB er posiiv, overhedger Black-Scholes og omvend. v påvirker sørrelsen af forskellen mellem dela for de o modeller, mens ρ både påvirker sørrelsen af forskellen, men samidig forskubber 15 For simplicie er ρ = 0 i abellen for ændring i v og i abellen for ρ er v = 0,5 86

sammenhængen. HB i abel 5.1 angiver den gennemsnilige over- eller underhedge for hele opionens løbeid for simulaionen. FIGUR 5.1: Iniial HB (over- eller underhedge for Black-Scholes modellen i forhold il Heson-Modellen) på værs af moneyness for henholdsvis forskellig volailie på varians og korrelaion H B v = 0,1 v = 0, v = 0,4 0,08 0,06 0,04 0,0 0-0,0-0,04-0,06-0,08 0,77 0,83 0,91 1,00 1,11 1,5 1,43 Moneyness (K/S) H B ρ = 0 ρ = - 0,5 ρ = 0,5 0,08 0,06 0,04 0,0 0-0,0-0,04-0,06-0,08 0,77 0,83 0,91 1,00 1,11 1,5 1,43 Moneyness (K/S) For ρ = 0 underhedger Black-Scholes modellen iniial ATM, hvilke også er billede for den samlede gennemsnilige hedge over opionens løbeid. Tabel 5.1 og figur 5.1 viser ligeledes begge, a jo sørre v er, jo mere underhedger Black-Scholes modellen. I den maemaiske udledning i (5.4) bevirker den underhedgede posiion i de underliggende akiv, a lede foran de sokasiske elemen dz S bliver negaiv. Lede foran de sokasiske elemen dzy vil alid skulle frarækkes, da volailieen på variansen, v, og V Y alid vil være posiive for vanilla-call-opioner. Da der her ikke er korrelaion mellem de o sokasiske elemener, er de ikke mulig a konkludere, hvordan disse udvikler sig i forhold il hinanden. Umiddelbar burde underhedge ud fra de maemaiske udledninger resulere i en sørre fejl for Black-Scholes modellen, men dee undersøes dog ikke af de gennemføre simulaioner. Den lavere sandardafvigelse på hedgefejlen i Black-Scholes modellen for ρ = 0 forekommer heller ikke logisk. I Black-Scholes modellen vil de førse led i (5.5) alid være posiiv, uanse om der over- eller underhedges. Foregne på de sidse led vil afhænge af foregne på ρ og HB. Da ρ er sa il nul i simulaionen forsvinder de sidse led i (5.5) dog, hvorfor de umiddelbar ud fra de maemaiske sammenhænge er svær a se, hvorfor den lavese sandardafvigelse forekommer ved Black-Scholes. For ρ = 0, 5 underhedger Black-Scholes modellen gennemsnilig over opionens løbeid. I den maemaiske udledning for ændringen i hedgeporeføljen (5.4) bevirker dee, a lede foran bliver negaiv. Den negaive korrelaion har den virkning, a de o usikre momener har modsareede effeker, hvilke for Black-Scholes modellen resulerer i, a en del af den udækkede dz S 87

volailiesrisiko hedges ved hjælp af en underposiion i de underliggende akiv. Dee viser sig i simulaionen, hvor Black-Scholes modellen har den lavese absolue hedgefejl. Black-Scholes modellen overhedger derimod, når ρ = 0, 5. Dee resulerer i, a dele af den korrelerede udækkede volailiesrisiko hedges med overposiionen i de underlæggende akiv. Der opnås dermed samme effek som ovenfor i form af lavere hedgefejl, hvilke også er resulae af simulaionen. Sandardafvigelsen på hedgefejlen bliver for Black-Scholes modellen mindre for numerisk sørre værdier af ρ, jf. abel 5.1. Den lavere sandardafvigelse på Black-Scholes hedgefejl for ρ 0 kan forklares i korrelaionslede i den maemaiske udledning (5.5). De modsareede foregn på HB og ρ bevirker, a korrelaionslede alid vil være negaiv og dermed reducere den samlede sandardafvigelse. Som ovenfor resulerer over- og underhedge dermed i, a der i Black-Scholesdela-hedge ved a age en sørre eller en mindre posiion i de underliggende akiv hedges for noge af den udækkede volailiesvariaion. Forskellen il Heson-modellen forsærkes her af sørre værdier af v, da korrelaionslede dermed kommer il a væge ungere. Samle kan de fra simulaionen for ATM call-opioner overordne konkluderes, a Black-Scholesdela-hedge viser sig bedre il a replicere opionens værdi i form af lavere absolue gennemsnilige hedgefejl og lavere sandardafvigelse på hedgefejlen, hvilke kan forklares ud fra en sammenhæng mellem korrelaion og modellens over-/underhedge. Heson-modellen har for negaiv og ingen korrelaion derimod den lavese dollar-value hedgefejl, hvilke fra en hedgers synspunk er de opimale mål. De er herefer relevan a vurdere, hvordan disse sammenhænge påvirkes på værs af moneyness. Af bilag 1 fremgår simulerede hedgefejl for rebalanceringer henholdsvis ugenlig og hver anden uge. Hedgefejlene er opdel for forskellige moneyness og ændring i paramerene v og ρ. Der vil i indeværende afsni ikke blive diskuere de enkele forskelle mellem modellernes hedgefejl på værs af moneyness. Dee kan foreages på samme baggrund som ovenfor i forbindelse med ATM opioner. Hel overordne kan de observeres, a hedgefejlen for både Black-Scholes og Heson bliver sørre, jo færre rebalanceringer der foreages, hvilke også er eoreisk velbegrunde. Endvidere kan de observeres, a hedgefejlene og forskellen mellem de o modellers performance generel bliver mindre, jo længere ITM og OTM opionen er. Dee kan begrundes med, a gamma for opionen i 88

disse områder er mege lav, og de er dermed ikke nødvendig a rebalancere poreføljen så ofe. Dee fremgår ydelig af hældningen på dela i figur 5.1. De sørse hedgefejl forekommer derimod omkring ATM, hvor gamma er sørs og poreføljen skal rebalanceres ofe på grund af prisændringer. Figur 5.1 viser også, a forskellen mellem de o modellers dela korrigerer mod nul, jo længere ITM eller OTM opionen er (dela går mod nul OTM og mod én ITM), hvilke forklarer den lille forskel på hedgeperformance i disse områder. De gennemsnilige over-/underhedge over opionens løbeid for forskellige moneyness i bilag 1 viser også, a forskellen mellem de o modellers dela bliver mindre jo længere ITM og OTM opionen er. Denne sammenhæng ændres ikke for forskellige værdier af v og ρ. Ændringer i volailieen på variansen viser, a sørre værdier af v resulerer i sørre hedgefejl på værs af moneyness for begge sraegier, hvilke også er i overenssemmelse med den maemaiske definiion. Som konkludere ovenfor forekommer hedgefejlene mege følsomme overfor ændringer i denne parameer. For forskellige værdier af v med ρ = 0 egner der sig e billede af, a Black-Scholes modellen har den lavese gennemsnilige absolue hedgefejl på værs af moneyness. Modsa har Heson-modellen generel den lavese gennemsnilige dollar-value hedgefejl på værs af moneyness. Disse forskelle mellem modellerne bliver generel sørre for højere værdier af v, og er i overenssemmelse med hvad der blev observere ATM. De overordnede billede af sandardafvigelsen forekommer mere sløre, og de er umiddelbar svær a se nogen sørre sammenhæng. For ændringer i værdien af ρ kan der på værs af moneyness ikke egnes noge generel billede, hverken for sørrelsen af de o modellers hedgefejl, forskellen mellem hedgefejlene eller sandardafvigelsen på hedgfejlene. Disse er, som ovenfor vis, påvirke af forholde mellem Black- Scholes modellens over- eller underhedge og korrelaionens foregn og kan forklares gennem samme analyse af de maemaiske sammenhænge, som blev foreage for ATM-opioner. Som idligere nævn er anagelsen om, a Heson-modellen perfek beskriver den sande verden ikke fuldsændig korrek, hvorfor de gennemføre undersøgelser ikke direke kan benyes som mål for, hvordan de o meoder performer i praksis. Alernaiv il de gennemføre simulaionssudie kunne der være foreage en sammenligning af de o modellers hedgeperformance på empirisk markedsdaa. Der vil i dee ilfælde ikke blive gjor nogen anagelser om den sande verden. Empiriske resulaer i Bakshi e al. (1997) viser, a Heson-dela-hedge ouperformer Black-Scholes- 89

dela-hedge, når disse eses på hisoriske markedsdaa. Undersøgelsen viser endvidere, a man ved a inkludere spring eller sokasisk rene i hedgesraegien ikke forbedrer hedgeperformance yderligere i forhold il a inkludere sokasisk volailie. Markeds-modellers prakiske egenskaber beskrives ofe ud fra deres evne il a beskrive markedspriser, og hvor gode de er il a hedge i markede. Samle se er de påvis, a Heson-modellen med en udmærke præcision beskriver markedspriser samidig med, a modellens hedgeperformance på markedsdaa er god. Modellen kan dermed samle konkluderes a være en udmærke model i prakiske sammenhænge. Andre modeller, der inkluderer yderligere paramere, er bedre i sand il a fie empirisk markedsdaa, il gengæld er Heson-modellen den model med den bedse hedge-performance (Bakshi e al. 1997). I de gennemføre simulaionssudie er de ligeledes anage, a markedsprisen på volailiesrisiko er nul, hvilke på baggrund af empiriske sudier ikke er i overenssemmelse med virkeligheden, jf. idligere. En videre analyse vil derfor kunne age udgangspunk i denne parameers påvirkning af hedge-performance. Bakshi e al. (003) undersøger fordelingen af dπ og relaerer dela-hedgeafkas il markedsprisen på volailiesrisiko. I Proposiion 1 i ariklen vises, a når markedsprisen på volailiesrisiko er posiiv (negaiv), er den forvenede ændring i dela-hedge-poreføljen posiiv (negaiv). Dee beyder også, a når markedsprisen på volailiesrisiko er nul, er den forvenede ændring i dela-hedge poreføljen lig nul, som neop var hvad der blev anage ovenfor. I de gennemføre simulaionssudie kunne Black-Scholes-dela-hedge evenuel forbedres ved a benye den implicie volailie på hver rebalanceringsidspunk i sede for en konsan volailie. Dee er en meode, der ofe benyes i praksis - ikke kun i forbindelse med a hedge, men også i forbindelse med prisfassæelse af opioner. Man acceperer dermed, a volailieen ikke er konsan, men gør ingen anagelser om, hvilken eksak proces volailieen følger, og benyer samidig forsa en model, der forudsæer konsan volailie. I lierauren er der endvidere udvikle flere single-insrumen hedgesraegier, der forsøger a forbedre hedgeperformance i forhold il den klassiske dela-hedgesraegi - herunder eksempelvis mean-variance hedging. En videre analyse kunne foreages i forhold il sådanne udvidede sraegiers performance sammenhold med den simple dela-hedgesraegi. Sluelig kunne undersøgelsen udvides il sammenligning af - Σ -hedge i forhold il de andre sraegier. For a foreage denne andenordens hedge skal e yderligere insrumen inkluderes i poreføljen, og dermed forekommer de ovenfornævne ulemper. 90

Kapiel 6: Konklusion De finansielle markeder har udvikle sig il a være mere risikable i dag end idligere, hvilke skyldes en forøge variaion på de finansielle akiver. På baggrund af dee er opioner samidig bleve mere populære il a reducere den risiko, der er forbunde med variaionen. I denne sammenhæng udviklede Black & Scholes i 1973 en analyisk formel for værdiansæelsen af opioner. Modellen er dog kun anvendelig under en række sringene anagelser bl.a. a logafkase følger normalfordelingen, og a variansen på processen for de underliggende akiv både er konsan og kend. Flere empiriske sudier og resulaer forkaser dog disse anagelser. Log-afkase udviser en endens il sørre sandsynlighed for afkas omkring gennemsnie samidig med federe haler og negaiv skævhed for fordelingen. Deril observeres, a variaionen i ændringen i log-afkas har endens il a samle sig i klynger. Sluelig observeres en signifikan negaiv korrelaion mellem afkas og variaionen på samme akiv. Ved hjælp af volailiessmile er de med en anden indgangsvinkel mulig a påvise, a variaionen ikke er konsan på værs af moneyness og id. Her viser variaionen en konsan faldende endens på værs af moneyness samidig med a smile bliver mindre signifikan jo længere opionen har il udløb. Disse uilsrækkeligheder ved Black-Scholes model indikerer alle, a en mere realisisk og mere fleksibel model er nødvendig for a kunne beskrive de observerede opionspriser i markede. I løbe af de sidse o årier er der ske en sor udvikling i modeller, der forsøger a lempe på de forholdsvis resrikive anagelser bag Black-Scholes model. Modellerne inkluderer bland ande sokasisk volailie og rene sammen med spring i de underliggende akivs proces, hvor de primære mål har være a forsøge a fie den sande afkasfordeling. Den sørse forbedring af prisfassæelsesmodellen i forhold il Black-Scholes sker ved a accepere, a volailieen er sokasisk. Her synes Heson s model a have vunde indpas i lierauren som værende den mes populære model for sokasisk volailie. Modellens popularie skyldes dennes evne il a forklare sokasisk mean revering volailie sammen med den negaive korrelaion mellem varians- og akivprocessen, der gør de mulig a gengive skævheden i den observerede afkasfordelingen. Derudover er modellen også i sand il a fie den højere empirisk observerede kurosis og de federe haler for fordelingen af log-afkas. Der er ilmed for Heson-modellen udled en semi-lukke løsning for opionspriserne, hvilke gør modellen prakisk anvendelig. Heson-modellens fleksibilie i forhold il ovensående punker og dennes påvirkning af afkasfordelingen har sor beydning for prisfassæelsen af vanilla-opioner i forhold il Black- 91

Scholes modellens anagelser. I relaion il Black-Scholes beyder Heson-modellens evne il a inkorporere den negaive korrelaion, a OTM call-opioner prisfassæes lavere i Heson s model end under Black-Scholes forudsæninger. Dee skyldes, a den negaive korrelaion forårsager negaiv skævhed og formindsker ykkelsen af den højre hale i afkasfordelingen. Værdien af ITM call-opioner er derimod højere for Heson s model i forhold il Black-Scholes modellen. ATM er prisforskellen minimal. Heson-modellen påvirker gennem volailieen på variansen kurosis på afkasfordelingen. Jo højere volailie på variansen jo højere kurosis i forhold il normalfordelingen, hvilke semmer overens med den observerede sande afkasfordeling. En højere kurosis resulerer i, a prisen for call-opioner omkring ATM bliver mindre værd under Heson-modellen i forhold il Black-Scholes modellen. Derimod resulerer de ykkere haler i afkasfordelingen under Heson s forudsæninger, a OTM og ITM call-opioner er mere værd se i forhold il Black-Scholes modellen. På baggrund af Heson-modellens evne il a inkludere korrelaion og volailie på variansprocessen er modellen samidig i sand il a fie de observerede volailiessmil og -surface i markede, hvilke indikerer, a Heson s model er bedre il a fie de emiriske observaioner og er dermed mere anvendelig end Black-Scholes forsimplede model il prisfassæelse af opioner. Inrodukionen af sokasisk volailie vanskeliggør prisfassæelsen af opioner, da der dermed inroduceres en yderligere dimension i forhold il Black-Scholes model. Til dee udmærker Mone- Carlo simulaion sig, da denne meode er anvendelig il flerdimensionelle problemsillinger. Meoden simulerer de forskellige former for usikkerhed i Heson s model og opnår dermed e accepabel esima for opionsprisen. Modsa den klassiske Black-Scholes model findes der ikke e eksplici udryk il beregning af den forvenede pris på de underliggende akiv under Hesonmodellen. De er derfor nødvendig a diskreisere den koninuere proces for a kunne simulere Heson-sien og derudfra besemme den forvenede akivpris ved udløb. Eksoiske opioner er bleve mere og mere populære i de finansielle markeder, og barrier-opioner er e eksempel på en ype, der er særlig følsom overfor ændringer i volailieen, hvilke gør denne opionsype ineressan i forbindelse med inrodukion af sokasisk volailie. Der kan derfor være begrunde forvenning om a denne ype opion prisfassæes anderledes når sokasisk volailie inroduceres. For up-and-ou calls ATM viser undersøgelsen neop a Heson-modellens simulerede priser er lang sørre end Black-Scholes priser. Omvend oversiger Black-Scholes priser Heson s FOTM. 9

Hvis volailieen på variansen øges, vil prisforskellen ATM blive sørre, hvilke skyldes a afkasfordelingen bliver sejlere med en korere højre hale. Dermed forøges sandsynligheden for, a opionen ender lige under barrieren og dermed ITM samidig med, a sandsynligheden for høje værdier formindskes, hvilke reducerer sandsynligheden for a opionen bliver knocked-ou. For FOTM opioner er sammenhængen derimod en anden. Den sørre sandsynlighed for eksreme udfald ved lave værdier af v bevirker, a der er sørre sandsynlighed for a komme ITM, hvilke overskygger den sørre sandsynlighed for a blive knocked ou. Værdien af FOTM opioner er derfor sørre for Black-Scholes modellen end for Heson-modellen. Korrelaionen mellem akiv- og variansprocessen påvirker også prisforskellen mellem Black- Scholes og Heson-modellen. Jo sørre negaiv korrelaionen jo sørre er prisforskellen ATM, og Heson-priserne oversiger igen priserne for Black-Scholes. Dee skyldes, a afkasfordelingens oppunk ved negaiv korrelaion højreforskydes sammen med en fed vensre hale og smal højre hale. Sandsynlighed for e udfald ITM for en iniial ATM-opion er dermed sørre samidig med, a sandsynligheden for a blive knocked ou mindskes. For FOTM er sandsynligheden for, a opioner med høj negaiv korrelaion rammer barrieren mege lille, men ilsvarende er sandsynligheden for a opionen ender ITM også lille, hvorfor prisen igen bliver mindre end for Black-Scholes. I forhold il ovensående gælder en modsaree sammenhæng for prisforskellen mellem Black- Scholes og Heson s model for up-and-in call-opioner. Her oversiger Black-Scholes priser Hesonpriserne ATM, og jo længere ITM opionen er, jo mindre bliver prisforskellen. Lige under barrieren bliver Heson-prisen sørre end Black-Scholes prisen, og igen er prisforskellen følsom overfor ændringer i volailieen på variansen og korrelaionen. For down-call-opioner observeres også sore prisforskelle, som igen er følsomme overfor ændringer i paramerene. For down-opioner er afkasfordelingens vensre hale afgørende for, om barrieren rammes, mens den højre hale besemmer, hvor lang ITM opionen ender, hvilke vil sige, a prisen afhænger af en balance i fordelingen. For in-opioner er Heson-prisen sørs omkring ATM, og jo længere opionen er ITM, jo mindre bliver prisforskellen. For FOTM kan der observeres mege væsenlige prisforskelle, med sørre forskelle jo æere spoprisen er på barrieren. For ou-opioner er Black-Scholes priserne igen sørs omkring barrieren på grund af den marginal sørre sandsynlighed for a ramme barrieren og den federe højre hale, der medfører sørre sandsynlighed for a ende ITM. Hvis de anages, a Heson-modellen med de kalibrerede paramere er en god approksimaion for udviklingen for de underliggende akiv, er der dermed en mege sor prisfejl forbunde med a 93

benye de normale forudsæninger bag Black-Scholes modellen il a prisfassæe barrier-opioner. De er for denne ype opioner dermed af særlig sor nødvendighed a benye modeller, der ager forbehold for sokasisk volailie. Prisen på de i Heson-modellen simulerede barrier-opioner er samidig mege følsomme over for ændringer i inpu-paramerene, hvorfor præcisionen af disse er afgørende for den overordnede konklusion. Samle se er der dog, sor se uanse hvor eksreme paramerene sæes, væsenlige prisforskelle mellem modellerne. Den sore følsomhed overfor ændring i for eksempel v rejser igen problemsillingen, om de er fornufig a anage, a volailieen på variansen er konsan over en opions løbeid, og hvilke konsekvenser dee har for prisfassæelsen af opioner. Inrodukionen af sokasisk volailie rejser yderligere en problemaik i forbindelse med hedging af opioner. I de inkomplee marked under sokasisk volailie er de ikke mulig a foreage e perfek hedge med blo de underliggende, hvorfor de er nødvendig a medage endnu e afled akiv i hedgeporeføljen. Dee resulerer dog i en række ulemper herunder øgede ransakionsomkosninger, hvorfor denne hedgeprocedure ikke alid er anvendelig i praksis. Med baggrund heri vælges de ofe alene a hedge med de underliggende akiv og lade volailiesrisikoen være udække. Samidig benyes Black-Scholes modellen ofe i praksis il a besemme posiionen i de underliggende akiv på rods af særke empiriske indikaioner, der forkaser anagelserne bag denne model. De påvises dog, a Black-Scholes-dela-hedge er bedre i forhold il Heson-dela-hedge il a replicere ATM call-opioners værdi, hvilke viser sig i en lavere gennemsnilig absolu hedgefejl og lavere sandardafvigelse på hedgefejlen. Denne konklusion er uændre for ændringer i volailieen på variansen og korrelaionen mellem de underliggende akiv og variansen. Modellens bedre hedgeperformance kan forklares ved, a den over-/underhedgede posiion i de underliggende akiv hedger for noge af den udækkede volailiesrisiko. Heson-modellen har derimod den lavese gennemsnilige dollar-value hedgefejl, når korrelaionen er negaiv eller nul, hvilke fra en hedgers synspunk er de opimale mål. Der egner sig e klar billede af, a hedgefejlene bliver mindre jo længere ITM eller OTM opionen er, og dermed bliver forskellen på de o modellers performance også mindre. Generel bliver hedgefejlene for de o modeller sørre, når variansen bliver mere volail. For sørre korrelaion er der derimod ikke e enydig billede af sammenhængen for de o modeller. 94

Referencer Bøger: Björk, Tomas, 004: Arbirage Theory in Coninuous Time, Oxford Universiy Press Fouque, Jean-Pierre, George Papanicolaou & K. Ronnie Sircar, 000: Derivaives in financial markes wih sochasic volailiy, Cambridge Universiy Press Gaheral, Jim, 006: The volailiy surface A Pracioner s Guide, 6 h ediion, John Wiley & Sons Glasserman, Paul, 004: Mone Carlo Mehods in Financial Engineering, Springer Science Hull, John C., 006: Opions, Fuures and Oher Derivaives, Pearson Prenice Hall Kloeden, Peer E. & Ekhard Plaen, 199: Numerical Soluion of Sochasic Differenial Equaions, Springer Lewis, Alan L., 000: Opion Valuaion under Sochasic Volailiy wih Mahemaica Code, Finance Press Musiela, Marek & Marek Rukowski, 000: Maringale Mehods in Financial Modelling, nd ediion, Springer Science Rouah, Fabrice Douglas & Gregory Vainberg, 007: Opion pricing models & volailiy using Excel-VBA, John Wiley & Sons Wilmo, Paul, 007: Inroduces Quaniaive Finance, nd Ediion, John Wiley & Sons 95

Primære arikler og idsskrifer: Amin, Kaushik & Rober Jarrow, 199: Pricing opions on risky asses in a sochasic ineres rae economy, Mahemaical Finance, vol., s. 17-37 Amin, Kaushik & Vicor Ng, 1993: Opion valuaion wih sysemaic sochasic volailiy, Journal of Finance, vol. 48, s. 881-910 An, Yunbi & Aa Assaf, 006: Hedging Volailiy Risk - Are Volailiy Opions More Effecive Hedging Insrumens?, Conference Meeings Paper Andersen, Leif, 007: Efficien Simulaion of he Heson Sochasic Volailiy Model, SSRN ID: 946405 Avellaneda, M., A. Levy & A. Paras, 1995: Pricing and hedging derivaive securiies in markes wih uncerain volailiies, Applied Mahemaical Finance, vol., s. 73-88. Bailey, Warren & Rene Sulz, 1989: The pricing of sock index opions in a general equilibrium Model, Journal of Financial and Quaniaive Analysis, vol. 4, s. 1-1 Bakshi, Gurdip, Charles Cao & Zhiwu Chen, 1997: Empirical Performance of Alernaive Opion Pricing Models, The Journal of Finance, vol. 5, n o 5, s. 003-049 Bakshi, Gurdip & Nikunj Kapadia, 003: Dela-Hedged Gains and he Negaive Marke Volailiy Risk Premium, The Review of Financial Sudies, vol. 16, n o, s. 57-566 Baes, David S., 1991: The crash of 87 - Was i expeced? The evidence from opions markes, Journal of Finance, vol. 46, s. 1009-1044 Baes, David S., 1996: Jumps and Sochasic Volailiy Exchange Rae Processes Implici in Deusche Mark opions, The Review of Financial Sudies, vol. 9, n o 1, s. 69-107 96

Baes, David S., 000: Pos- 87 crash fears in he S&P 500 fuures opion marke, Journal of Economerics, vol. 94, s. 181-38 Benzoni, Luca, 00: Pricing Opions under Sochasic Volailiy - An Empirical Invesigaion, working paper, Universiy of Minnesoa Biagini, Francesca, Paolo Guasoni & Maurizio Praelli, 000: Mean-Variance Hedging for Sochasic Volailiy Models, Mahemaical Finance, vol. 10, n o, s. 109-13 Biman, James, 007: VIX - i proecs and diversifies, Fuures Magazine, July 007, s. 38-41 Black, Fischer, 1976: Sudies in Sock Price Volailiy Changes, Proceedings of he 1976 Business Meeing of he Business and Economics Saisics Secion, American Saisical Associaion, s. 177-181 Black, Fischer & Myron Scholes, 1973: The Pricing of Opions and Corporae Liabiliies, Journal of Poliical Economy, vol. 81, n o 3, s. 637-654 Black, Keih H., 006: Improving Hedge Fund Risk Exposures by Hedging Equiy Marke Volailiy - or How he VIX Ae My Kurosis, The Journal of Trading, Spring 006, s. 6-15 Boyle, Phelim P., 1977: Opions A Mone Carlo Approach, Journal of Financial Economics, vol. 4, n o 3, s. 33-338 Branger, Nicole, Angelika Esser & Chrisian Schlag, 003: Are Saic Superhedging Sraegies Opimal?, EFMA 004 Basel Meeings Paper Breeden, Douglas T., 1979: An Ineremporal Asse Pricing Model wih Sochasic Consumpion and Invesmen Opporuniies, Journal of Financial Economics, vol. 7, s. 65-96 Brenner, Menachem & Ernes Y. Ou, 001: Hedging Volailiy Risk, EFA 00 Berlin Meeings Discussion Paper 97

Broadie, Mark, Poul Glasserman & Seven G. Kou, 1999: On pricing of discree barrier opions, Finance and Sochasics, vol. 3, s. 55-8 Broadie, Mark & Özgür Kaya, 004: Exac Simulaion of Sochasic Volailiy and Oher Affine Jump Diffusion Processes, Operaions Research, vol. 54, n o, s. 17-31 Broadie, Mark, Paul Glasserman & S. G. Kou, 1997: A Coninuiy Correcion for Discree Barrier Opions, Mahemaical Finance, vol. 7, n o 4, s. 35-349 Burghard, Galen & Gerald Hanwek, 1993: Calendar-Adjused Volailiies, The Journal of Derivaives, Winer 1993 Carr, Peer & Liuren Wu, 004: Variance Risk Premia, AFA 005 Philadelphia Meeings, SSRN ID: 577 Carr, Peer, K. Ellis & V. Gupa, 1998: Saic Hedging of Exoic Opions, Journal of Finance, vol. 53, s. 1165-1190 Cerný, Ales & Jan Kallsen, 008: Mean-Variance Hedging and Opimal Invesmen in he Heson s Model wih Correlaion, Mahemaical Finance, vol. 18, n o 3, s. 473-49 Chernov, Mikhail & Eric Ghysels, 000: A sudy owards a unified approach o he join esimaion of objecive and risk neural measures for he purpose of opions valuaion, Journal of Financial Economics, vol. 56, s. 407-458 Con, Rama, 001: Empirical properies of asse reurns - sylized facs and saisical issues, Quaniaive Finance, vol. 1, s. 3-36 Cox, John C.& Sephen Ross, 1976: The valuaion of opions for alernaive sochasic processes, Journal of Financial Economics, vol. 3, s.145-166 98

Cox, John C., Jonahan E. Ingersoll & Sephan A. Ross, 1985: A Theory of he Term Srucure of Ineres Raes, Economarica, vol. 53, n o, s. 385-407 Cvianic, Jaksa, Huyen Pham & Nizar Touzi, 1999: Super-Replicaion in Sochasic Volailiy Models wih Porfolio Consrains, Journal of Applied Probabiliy, vol. 36, s. 53-545 Dash, Srikan & Mahew T. Moran, 005: VIX as a Companion for Hedge Fund Porfolios, The Journal of Alernaive Invesmens, Winer 005, s. 75-80 Delbaen, Freddy & Waler Schachermayer, 1995: The No-arbirage Propery under a Change of Numeraire, Sochasics and Sochasic Repors, vol.53, s. 13-6 Derman, Emanuel, Deniz Ergener & Iraj Kani, 1995: Saic opions replicaion, The Journal of Derivaives, vol., s. 78-95 Deemple, Jerome & Carlon Osakwe, 000: The Valuaion of Volailiy Opions, European Finance Review, vol. 4, n o 1, s. 1-50 Delefsen, Kai & Wolfgang K. Härdle, 006: Calibraion Design of Implied Volailiy Surfaces, SFB 649 Discussion Papers, Humbold Universiy Delefsen, Kai & Wolfgang K. Härdle, 006: Calibraion Risk for Exoic opions, SFB 649 Discussion Papers, Humbold Universiy Dragulescu, Adrian A. & Vicor M. Yakovenko, 00: Probabiliy disribuion of reurns in he Heson model wih sochasic volailiy, Quaniaive Finance, vol., n o 6, s. 443-453 Duffie, Darrel & Peer Glynn, 1995: Efficien Mone Carlo Esimaion of Securiy Prices, The Annals of Applied Probabiliy, vol. 4, n o 6, s. 897-905 Dumas, Bernard, Jeff Fleming & Rober E. Whaley, 1998: Implied volailiy funcions empirical ess, The Journal of Finance, vol. 53, n o 6, s. 059-106 99

Föllmer, Hans & Peer Leuker, 000: Efficien hedging - Cos versus shorfall risk, Finance and Sochasics, vol. 4, s. 117-146 Föllmer, Hans & Dieer Söndermann, 1986: Hedging of Non-Redundan Coningen Claims, Conribuions o Mahemaical Economics, s. 05-3. Goldman, M. Barry, Howard B. Sosin & Mary Ann Gao, 1979: Pah Dependen Opions - "Buy a he Low, Sell a he High, The Journal of Finance, vol. 34, n o 5, s. 1111-117 Grübichler, A. & F. A. Longsaff, 1996: Valuing Fuures and Opions on Volailiy, Journal of Banking and Finance, vol. 0, s. 985-1001. Heson, Seven L., 1993: A Closed-Form Soluion for Opions wih Sochasic Volailiy wih Applicaions o Bond and Currency Opions, The Review of Financial Sudies, vol. 6, n o 5, s. 37-343 Herz, David B., 1964: Risk analysis in capial invesmens, Harvard Business Review, vol. 4, s. 95-106 Hull, John & Alan Whie, 1987: The Pricing of Opions on Asses wih Sochasic Volailiies, The Journal of Finance, vol. 4, n o, s. 81-300 Jackwer, Jens Carsen & Mark Rubinsein, 1995: Recovering Probabiliy Disribuions from Opion Prices, Journal of Finance, vol. 51, n o 5, s. 1611-1631 Jiang, George J. & Roel C.A. Oomen, 001: Hedging Derivaives Risks - A Simulaion Sudy, working paper, Universiy of Warwick Jones, Chrisopher S., 003: The dynamics of sochasic volailiy - evidence from underlying and opions markes, Journal of Economerics, vol. 116. s. 181-4 100

Kahl, Chrisian & Peer Jäckel, 1995: Fas srong approximaion Mone-Carlo Schemes for sochasic volailiy models, working paper, ABN AMRO and Universiy of Wupperal Lord, Roger, Remmer Koekkoek & Dick van Dijk, 008: A comparison of biased simulaion schemes for sochasic volailiy models, Tinbergen Insiue Discussion Paper, n o 06-046/4 Madan, Dilip & Eric Chang, 1996: The VG opion pricing model, working paper. Universiy of Maryland and Greorgia Insiue of Technology. Mandelbro, Benoi, 1963: The variaion of cerain speculaive prices, The Journal of Business, vol. 36, n o 4, s. 394-419 Meron, Rober C., 1973: Theory of Raional Opions Pricing, The Bell Journal of Economics and Managemen Science, vol. 4, n o 1, s. 141-183 Meron, Rober, 1976: Opion pricing when he underlying sock reurns are disconinuous, Journal of Financial Economics vol. 4, s. 15-144 Mikhailov, Sergei. & Ulrich Nögel, 003: Heson s sochasic volailiy model. Implemenaion, calibraion and some exensions, Wilmo Magazine, July 003, s. 74-79 Moro, Boris, 1995: The Full Mone, Risk Magazine, vol. 8, n o, s. 57-58 Pan, Jun, 00: The jump-risk premia implici in opions - evidence from an inegraed ime-series sudy, Journal of Financial Economics, vol. 63, s. 3-50 Psychoyios, Dimiris & George Skiadopoulos, 006: Volailiy Opions - Hedging Effeciveness, Pricing, and Model Error, Journal of Fuures Markes, vol. 6, n o 1, s. 1-31 Ross, Sephen, 1995: Hedging long-run commimens Exercises in incomplee marke pricing, working paper, Yale School of Managemen 101

Rubinsein, Mark & Eric Reiner, 1991: Breaking Down he Barriers, Risk Magazine, vol. 4, s. 8-35 Rubinsein, Mark, 1994: Implied Binomial Trees, The Journal of Finance, vol. 69, n o 3, s. 771-818 Schouens, Wim, Erwin Simons & Jürgen Tisaer, 003: A perfec calibraion! Now wha?, Technical paper, Wilmo Magazine, vol. 004, n o, s. 66-78 Sco, Lewis O., 1987: Opion Pricing when he Variance Changes Randomly - Theory, Esimaion, and an Applicaion, The Journal of Financial and Quaniaive Analysis, vol., n o 4, s. 419-438 Sco, Louis, 1997: Pricing sock opions in a jump-diffusion model wih sochasic volailiy and ineres raes - Applicaion of Fourier inversion mehods, Mahemaical Finance, vol. 7, s. 413-46 Sein, Elias M. & Jeremy C. Sein: Sock Price Disribuions wih Sochasic Volailiy An Analyical Approach, The Review of Financial Sudies, vol. 4, n o 4, s. 77-75 Talay, Denis & Luciano Tubaro, 1990: Sochasic Differenial Equaions, Sochasic Analysis and Applicaions, vol. 8, s. 94-10 Tof, Klaus B. & Changneng Xuan, 1998: How Well can barrier opions be hedged by a saic porfolio of sandard opions?, Journal of Financial Engineering, vol. 7, s. 147 175. Wiggins, James B., 1987: Opion values under sochasic volailiy Theory and empirical esimaes, Journal of Financial Economics vol. 19, s. 351-37 Sekundære arikler og idsskrifer: Ai-Sahalia, Yacine & Rober Kimmel, 007: Maximum likelihood esimaion of sochasic volailiy models, Journal of Financial Economics, n o 83, s. 413 45 Alòs, Elisa, 003: A general decomposiion formula for derivaive prices in sochasic volailiy models, UPF Economics and Business, working paper, n o 665 10

Andersen, Leif & Ruper Broheron-Racliffe, 005: Exended Libor Marke Models wih Sochasic Volailiy, Journal of Compuaional Finance, vol. 9, n o 1, s. 1-40 Arisoy, Yakub Eser, Aslihan Salih & Leven Akdeniz, 007: Is Volailiy Risk Prices in he Securiies Marke? Evidence from S&P 500 Index Opions, The Journal of Fuures Markes, vol. 7, n o 7, s. 617-64 Ball, Clifford A. & Anonio Roma, 1994: Sochasic volailiy opion pricing, Journal of Financial and Quaniaive Analysis, vol. 9, n o 4, s. 589-607 Ballesra, Luca Vincenzo, Graziella Pacelli & Francesco Zirilli, 007: A numerical mehod o price exoic pah-dependen opions on an underlying described by he Heson sochasic volailiy model, Journal of Banking and Finance, vol. 31, s. 340-3437 Barndorff-Nielsen, Ole E., Elisa Nicolao & Neil Shephard, 00: Some recen developmens in sochasic volailiy modelling, Quanaive Finance, vol., n o 1, s. 11-3 Biman, James, 007: A Closer Look a Volailiy - A new view for rading VIX opions and fuures, Traders Magazine, November 007, s. 70-73 Brien-Jones, Mark & Anhony Neuberger, 000: Opion Pricing under Sochasic Volailiy and Trading Volume, The Journal of Finance, vol. 55, n o, s. 839-866 Chockalingam, Arunachalam & Kumar Muhuraman, 007: American Opions Under Sochasic Volailiy, working paper series Cvianic, Jaksa, Huyen Pham & Nizar Touzi, 1999: Super-Replicaion in Sochasic Volailiy Models under Porfolio Consrains, Applied Probabiliy Trus, vol. 36, s. 53-545 Daniel, Gilles, Nahan L. Joseph & David S. Brée, 004: Sochasic volailiy and he goodness-offi of heheson model, Quaniaive Finance, vol. 5, n o, s. 199-11 103

Daníelson, Jón, 1996: Esimaion of he Sochasoc Volailiy Models by Simulaed Maximum Likelihood, Sudies in Nonlinear Dynamics & Economerics, vol. 1, n o 1, s. 9-34 Davis, Mark H.A., 004: Complee-marke Models of Sochasic Volailiy, Mahemaical, Physical and Engineering Sciences, vol. 460, n o 041, s. 11-6 Driessen, Joos & Pascal Maenhou, 006: The World Price of Jump and Volailiy Risk, AFA 005 Philadelphia Meeings, SSRN ID: 64305 Duare, Jefferson & Chrisopher S. Jones, 007: The price of marke volailiy risk, SSRN ID: 1106960 Duque, Joao & Dean A. Paxson, 005: Empirical Evidence on Volailiy Esimaors, working paper Fink, Jason, 003: An Examinaion of he Effeciveness of Saic Hedging in he Presence of Sochasic Volailiy, The Journal of Fuures Markes, vol. 3, n o 9, s. 859-890 Gondzio, Jacek, Roy Kouwenberg & Ton Vors, 003: Hedging Opions under Transacion Coss and Sochasic Volailiy, Journal of Economic Dynamics & Conrol, vol. 7, n o 6, s. 1-5 Horn, David, Eva Schneider & Grigory Vilkov, 007: Hedging Opions in he Presence of Microsrucural Noise, SSRN ID: 103134 Jiang, George J. & Pieer J. van der Sluis, 000: Index Opion Pricing Models wih Sochasic Volailiy and Sochasic Ineres Raes, European Finance Review, vol. 3, n o 3, s. 73-310 Johnson, Simon R. & Han H. Lee, 00: Calibraing volailiy smile dynamics using an ensemble weighing mehod, Numerix, Quaniaive Research working paper, n o 3 Kilin, Fiodar, 007: Acceleraing he Calibraion of Sochasic Volailiy Models, working paper series, Frankfur School of Finance & Managemen 104

Kurpiel, Adam & Thierry Roncally, 1998: Opion hedging wih sochasic volailiy, SSRN ID: 103197 Lamoureux, Chrisopher G. & William D. Lasrapes, 1993: Forecasing Sock-Reurn Variance - Toward an Undersanding of Sochasic Implied Volailiies, The Review of Financial Sudies, vol. 6, n o 3, s. 93-36 Lin, Yueh-Neng, Norman Srong & Xinzhong Xu, 001, Pricing FTSE 100 index opions under sochasic volailiy, Journal of Fuures Markes, vol. 1, n o 3, s. 197-11 Masumoo, Makoo & Takuji Nishimura, 1998: Mersenne Twiser a 63-dimensionally equidisribued uniform pseudo-random number generaor, ACM Transacions on Modeling and Compuer Simulaion, vol. 8, n o 1, s. 3-30 Meyer, Guner H., 004: The Black Scholes Barenbla Equaion for Opions wih Uncerain Volailiy and is Applicaion o Saic Hedging, In. J. Theoreical and Appl. Finance 9, s. 673-703 Nandi, Saika, 1998: How imporan is he correlaion beween reurns and volailiy in a sochasic volailiy model? Empirical evidence from pricing and hedging in he S&P 500 index opions marke, Journal of Banking & Finance, vol., s. 589-610 Nicolao, Elisa & Emmanouil Venardos, 003: Opion Pricing in Sochasic Volailiy Models of he Ornsein-Uhlenbeck ype, Mahemaical Finance, vol. 13, s. 445-466 Ono, Sadayuki, 004: Opion Pricing under Sochasic Volailiy and Trading Volume, EFA 005 Moscow Meeings Paper, working paper series Poulsen, Rolf, Klaus Reiner Schenk-Hoppé & Chrisian-Oliver Ewald, 007: Risk Minimizaion in Sochasic Volailiy Models: Model Risk and Empirical Performance, Swiss Finance Insiue, Research Paper, n o 07-10 105

Rubinsein, Mark, 1985: Nonparameric Tess of Alernaive Opion Pricing Models Using All Repored Trades and Quoes on he 30 Mos Acive CBOE Opion Classes from Augus 3, 1976 hrough Augus 31, 1978, Journal of Finance, vol. 40, n o, s. 455-480 Shaw, William: Sochasic volailiy models of Heson ype, lecure noes, King s College London Shephard, Neil, 005: Sochasic Volailiy, Seleced Readings, edied volume, Oxford Universiy Press Silva, A. Chrisian & Vicor M. Yakovenko, 003: Comparison beween he probabiliy disribuion of reurns in he Heson model and empirical daa for sock indexes, Physica A Saisical Mechanics and is Applicaions, vol. 34, n o 1-, s. 303-310 Sloan, Ian H., 1993: Random Number Generaion and Quasi-Mone Carlo Mehods. by H. Niederreier, SIAM Review, vol. 35, n o 4, s. 680-681. 106

Erhvervsøkonomisk insiu Afhandling Vejleder: Peer Løche Jørgensen Forfaere: Kasper Korgaard Anders Weihrauch Prisfassæelse og hedging af opioner under sokasisk volailie BILAGSSAMLING Handelshøjskolen, Aarhus Universie Augus 008

BILAGSINDHOLD: BILAG 1:UDLEDNING AF EKSPLICIT UDTRYK FOR DEN FREMTIDIGE AKTIEKURS... 1 BILAG : ARGUMENTATION FOR NEWTON-RAPHSON-BISECTION METHOD... BILAG 3: BEVIS FOR ÆNDRING I V(S,Y,T) OG G(S,Y,T)... 4 BILAG 4: GIRSANOV THEOREM... 6 BILAG 5: UDLEDNING AF HESTON (1993) LUKKEDE LØSNING... 8 BILAG 6: GREEKS FOR HESTON (1993) LUKKEDE LØSNING... 10 BILAG 7: BESKRIVELSE AF MORO S INVERSION... 1 BILAG 8: CONTROL VARIATES... 14 BILAG 9: BEVIS FOR A OG B I QE DISKRETISERING... 17 BILAG 10: BEVIS FOR P OG Β I QE DISKRETISERING... 18 BILAG 11: SIMULATION AF CALL-OPTIONSPRISER MED FORSKELLIGE ANTAL STIER... 19 BILAG 1: SIMULATION AF CALL-OPTIONSPRISER MED FORSKELLIGE ANTAL TIDSSKRIDT... BILAG 13: INITIALT DEFINEREDE PARAMETRE OG KALIBREREDE PARAMETRE... 6 BILAG 14: LUKKEDE FORMLER FOR BARRIER-OPTIONER UNDER BLACK-SCHOLES... 7 BILAG 15: EKSPLICIT VS. KONTINUERT BARRIEROBSERVATION... 30 BILAG 16: KONVERGENS FOR BARRIER-OPTIONSPRISER... 3 BILAG 17: SIMULEREDE PRISER FOR UOC BARRIER-OPTIONER... 33 BILAG 18: SIMULEREDE PRISER FOR UIC BARRIER-OPTIONER... 35 BILAG 19: SIMULEREDE PRISER FOR DOWN-OPTIONER... 37 BILAG 0: ÆNDRINGEN I VÆRDIEN AF HEDGEPORTEFØLJEN... 4 BILAG 1: SIMULEREDE HEDGEFEJL PÅ TVÆRS AF MONEYNESS... 43

Bilag 1:Udledning af eksplici udryk for den fremidige akiekurs I de følgende udledes e udryk for den fremidige akiekurs. Indledningsvis sæes: Herfra beregnes de aflede mh. ( ) = ln G S S G S 1 = S, G 1 G =, = 0 S S Hvilke indsæes i Io s Lemma: G G G 1 dg = d + ds + ( ds) S S 1 1 1 = 0 + ( µ + σ ) + σ S S = ( µ 1 σ ) d + σ dz Sd Sdz S d Inegrale il ovensående beregnes: ( ) T T T dg = µ 1 σ d + σ dz 0 0 0 ( 1 )( ) G( T ) G(0) = µ σ T 0 + σ ( z 0) T z ( 1 ) ( 1 ) ln S( T ) ln S(0) = µ σ T + σ z ln S( T ) = ln S(0) + µ σ T + σ z ( 1 ) T zt S( T ) S(0) e µ σ + = σ T T 1

Bilag : Argumenaion for Newon-Raphson-Bisecion Mehod Implici volailie skal findes ved hjælp af numeriske meoder, da de ikke er mulig a inverere Black-Scholes formel, så σ er udryk som en funkion af S 0, K, r, T og V. Hvis σ IV beegner den implicie volailie, C ( K, T ), beegner prisen for en observere call opion med srike K og id OBS il udløb T og C ( σ, K, T) beegner Black-Scholes prisen på call en med samme srike og id il BS IV udløb, så er σ IV værdien på volailieen i Black-Scholes formel der giver: (, ) ( σ,, ) C K T = C K T (1.1) OBS BS IV Foruden simple søgeprocedurer findes den implicie volailie numerisk ved a anvende objekfunkionen, f ( σ ), som ofe er definere som den kvadrerede absfunkion: ( ) ( σ ) f ( σ ) = COBS K, T CBS, K, T (1.) Implici volailie er dermed den værdi, som medfører en forskel på nul i (1.). Ved a kvadrere differencen medvirker de il, a man undgår a finde sore negaive værdier for f ( σ IV ) i sede for minimum. Til a finde roden i (1.) er der flere meoder, og i de følgende vil der blive argumenere for valge af den bedse meode, hvilken vil blive brug i indeværende afhandling. Newon-Raphson meoden er en af de ældse og mes populære meoder il a finde rødder i funkioner. Meoden er basere på en førseordens Taylor series approksimaion omkring roden. Til a finde roden x af en funkion f(x), definere som den rod, der resulerer i f(x)=0, gæes iniial på en rod x 0 som sarværdi. Gæe opdaeres herefer ved hjælp af følgende funkion: For i=0, 1,, og hvor f ( xi ) f ( xi 1 ) = x + i ' f ( x ) (1.3) f ' ( x i ) beegner den førse aflede af f ( x ) vurdere ved x i. Meoden søger dermed efer rødder i (1.), og Newon-Raphson meoden reurnerer således den implicie volailie, når forskellen mellem den observerede pris og den eoreiske pris er under e give oleranceniveau. i

Dog er de e kend fakum, a selvom Newon-Raphson meoden er hurig il a konvergere mod den implicie volailie, kræves e iniial gæ, hvilke meoden er emmelig følsom overfor. Dee beyder, a algorimen kan afvige endog emmelig mege fra den sande rod. Bisecion meoden er derimod mere velegne il a den implicie volailie for funkionen (1.). Med passende funkionsgrænser vil meoden alid være succesfuld. Med hensyn il volailie er de enkel a definere o sarværdier, σ 1 og σ, hvorefer meoden vil være anvendelig. Som inpu anvendes en mege lav værdi, eks. 0,0001 (0,01 %), og en mege høj værdi, eks. 4 (400 %). Hvis ikke den implicie volailie findes indenfor disse grænser, vil funkionen angive, a markedsprisen for opionen er fejlagig. Dee kan skyldes, a opionspriser og priser for de underliggende ikke er bleve synkronisere, hvilke kan opså, hvis akiekurser og opionspriser ikke er bleve rapporere på samme id. Selvom Bisecion meoden alid finder roden, på nær når den implicie volailie er udefinere, kræves der flere rin end ved Newon-Raphson meoden. De er dog mulig a anvende begge meoder simulan for dermed a opnå fordelene ved begge meoder. Denne meode kaldes Newon- Raphson-Bisecion meoden, og der opnås nu hurigere konvergens end ved a anvende begge meoder separa. Ved denne meode opsilles igen grænser for udfalde af den implicie volailie, men ikke e iniial gæ på roden. Dermed anvendes denne meode il a udlede den implicie volailie i afhandlingen. Til implemenering af Newon-Raphson-Bisecion meoden benyes gennemgang fra Rouah (007). Den implemenerede kode findes i funkionen BisNewVol. 3

Bilag 3: Bevis for ændring i V(S,Y,) og G(S,Y,) Den odemensionale udgave af Io s lemma viser, a hvis processerne X og Y følger SDE erne: dx = µ d + σ dw X dy = µ d + σ dw Y hvor W 1 og W er korrelerede Brownske bevægelser med konsan korrelaion ρ, så vil processen f ( X, Y, ) ilfredssille: 1 1 (,, ) f f f f f f df X Y = dx + dy + + µ X + µ Y + ρσ Xσ Y d X Y X Y X Y Y X 1 For den sokasiske volailiesmodel følger udviklingen i S og Y processerne: ds = µ S d + σ S dz S dy = α( S, Y, ) d + β ( Y, ) dz Y Ved a benye den o-dimensionelle form af Io s lemma kan udviklingen i V ( S, Y, ) og G( S, Y, ) beskrives ved: 1 1 (,, ) V V V ( ) V V dv X Y ds dy f Y S f ( Y ) S V = + + + + β + ρ β d S Y S Y S Y 1 1 (,, ) G G G ( ) G G dg X Y ds dy f Y S f ( Y ) S G = + + + + β + ρ β d S Y S Y S Y Ved a indsæe disse i dπ = dv ( S, Y, ) ds dg( S, Y, ) får man: S V V V 1 V 1 V V dπ = ds + dy + + f ( Y ) S + β + ρ f ( Y ) Sβ d SdS S Y S Y S Y G G G 1 G 1 G G G ds + dy + + f ( Y) S + β + ρ f ( Y ) Sβ d S Y S Y S Y Ved nu a samle ledene foran d, ds og dy findes: G 4

V 1 V 1 V V dπ = + f ( Y ) S + β + ρ f ( Y ) β S d S Y S Y G 1 G 1 G G G + f ( Y ) S + β + ρ f ( Y ) β S d S Y Y S V G V G + G S ds + G dy S S Y Y 5

Bilag 4: Girsanov Theorem De cenrale problem er her, hvorledes der konsrueres e ækvivalen maringalemål, og hvilken form processen for henholdsvis akives pris og volailieen ager under dee mål. For a skife fra de objekive mål P il en ækvivalen maringalmål P, er de nødvendig a benye sig af Girsanov Theorem. I SV-modellen er der o Brownske bevægelser hvor ZY = ρzs + 1 ρ W Z S og Z Y. Z Y er give ved: ZS og W er uafhængige. Under hvilke som hels ækvivalen maringalemål P, vil de underliggende akiv S have drifen rs, og den ilbagediskonerede akivpris vil være en maringal under P. Dee er desværre ikke ilfælde for volailieen σ eller den underliggende drivende proces Y, da volailieen ikke er e handle akiv. For a få drifslede i akivprocessen il a være Da W er uafhængig af nu il: Fra Girsanov Theorem ved vi, a S rs under P sæes: µ r dzs = dzs + d f ( Y ) Z, vil skif i W ikke ændre drifen på akivprocessen. W under P sæes dw = dw + γ d Z S og W er o uafhængige sandard Brownske bevægelser under P, hvilke er definere ved den følgende Radon-Nikodym aflede funkion: hvor dp dp 1 T T T = exp ( θs θw ) d θsdzs θw dw + 0 0 0 µ r θs = og θw = γ f ( Y ) Hvor γ er en ilpasse proces. For a gøre P il e sandsynlighedsmål, er de nødvendig a gøre nogle anagelser for f og γ. Under måle P er: ds = rs d + σ S dz S σ = f ( Y ) [ (,, )] dy = α βλ S Y d + βdz Y 6

hvor: ( µ r) f ( y) usikre led. ρ ρ Z Y = Z S + 1 W ( µ r) Λ ( S, Y, ) = ρθs + 1 ρ θw = ρ + 1 ρ γ f ( Y ) er risikopræmien fra de førse usikre led, og γ ( S, Y, ) er risikopræmien fra de ande 7

Bilag 5: Udledning af Heson (1993) lukkede løsning Ved a indsæe den foreslåede løsning: C( S, Y, ) = SP Ee P (1.4) r 1 i Heson PDE en fås o PDE er, som P 1 og P ilfredssiller: For j = 1,, hvor: 1 Pj 1 P j Pj Pj Pj Pj Y + v Y + ρyv + ( r + u ) ( ) 0 jy a bjy + = x Y x Y x Y 1 u 1 =, 1 u =, a κm =, b1 PDE erne skal løses med hensyn il den endelige beingelse: P = κ + λ ρv og b = κ + λ = 1 { } j( x, y, T ;ln( K )) x ln( K ) Sandsynlighederne er risikoneurale sandsynligheder. De ilhørende karakerisiske funkioner f ( x, Y, ; φ ) og f (,, ; ) 1 x Y φ ilfredssiller lignende PDE er: 1 f j 1 f j f j f j f j f j Y + v Y + ρyv + ( r + u ) ( ) 0 jy a bjy + = x Y x Y x Y (1.5) med endelig beingelse give ved: i x f ( x, Y, T; φ ) = e φ j På baggrund af linearie i koefficienerne, der redegjor for i afhandlingen, gæes der på en funkion med formen: f ( x, Y, ; φ) = e j C ( T ; φ ) + D( T ; φ ) Y + iφ x Ved a indsæe denne funkionsform i PDE en i (1.5) findes o ordinære differenialligninger: 1 1 D φ + ρvφid + v D + u jφi bjd + = 0 C og rφi + ad + = 0 med hensyn il den endelige beingelse C(0; φ ) = 0, D(0; φ ) = 0 16. Løsningen il de o ODE er er give ved: 16 ODE erne er lid anderledes end i Heson (1993), hvilke muligvis skyldes asefejl i ariklen. 8

d j ( T ) κm 1 g je C j = rφi( T ) + ( b )( ) ln j ρvφ i + d j T v 1 g j D b ρvφi + d e = d j ( T ) j j 1 j d j ( T ) v 1 g je g j bj ρvφi + d = b ρvφi d j d ρvφi b v u φi φ j = ( j ) ( j ) De risikoneurale sandsynligheder P 1 og P kan findes ved a inverere den ilhørende karakerisiske funkion og er dermed give ved: iφ ln( E) e f j 1 1 Pj = + Re dφ π 0 iφ Essensen af den karakerisiske funkions meode er brug af Fourier analyse. Den generelle inverse Fourier ransformaion il a prisfassæe opioner er diskuere i Lewis (000). Fas Fourier ransformaionsalgorime il a prisfassæe opioner er inroducere af Carr e al. (1999). j j 9

Bilag 6: Greeks for Heson (1993) lukkede løsning Fra (1.4) findes dela for en call-opion i Heson-modellen ved: C( S, Y, ) = = P1 S Dee er undersøg adskillige forfaere inklusiv Bakshi e al. (1993) og Bakshi e al. (000). Ved pu-call parieen findes dela for en pu il: P( S, Y, ) = = P1 1 S En opions gamma er definere som den anden aflede af opionsprisen med hensyn il akivprisen. Gamma er for Heson-modellen derved give ved: iφ ln( K ) C( S, Y, ) P1 1 e f 1 Γ = = = = Re dφ S S S π S 0 iφ iφ ln( K ) 1 e f1 S 1 i ln( K ) Re d Re{ e φ = φ f 1} d φ π = 0 iφ π S 0 da f1 x 1 = exp( C1 + D1Y + iφ x) iφ = f1iφ S S S Rho for en call-opion findes ved: ρ Call Rho for en pu findes fra pu-call parieen: C( S, Y, ) = = r r ( T ) Ke ( T ) P r( T ) Ke T ρ = ρ + ( ) Call r ( T ) Ke T P = ( )( 1) Normal er en opions vega den aflede funkion med hensyn il volailieen. I Heson modellen er volailieen sokasisk, hvorfor der må vælges en anden volailie, der skal differenieres med hensyn il. Ved a vælge spovariansen fås følgende udryk for vega for en call: hvor C( S, Y, ) P r T P v = = S Ke Y Y Y 1 ( ) hvilke skyldes a: iφ ln( K ) Pj 1 e f jd j = Re d φ Y π 0 iφ 10

f j = exp( C j + D jy + iφ x) = f jd j Y Y Vega for en pu findes på samme vis som idligere ved hjælp af pu-call-parieen. De er mere vanskelig a finde hea for opionsprisen, da iden il udløb også indgår i funkionerne C j og D j. For en call er hea give ved: C( S, Y, ) P1 rτ P Θ Call = = S + Ke rp τ τ τ (1.6) For a finde hea vurderes funkionen: iφ ln( K ) Pj 1 e f j τ = Re dφ τ π 0 iφ (1.7) hvilke kræver den parielle aflede: f j C j D j = exp( C j + D jy + iφ x) + Y + iφ x τ τ τ (1.8) hvilken igen kræver: d τ C j κm g jd je = rφi + ( b ) j ρσφi + d j + d 1 jj τ τ σ g je (1.9) og d jτ d jτ d jτ d jτ D j bj ρσφi + d j d je ( g je 1) + (1 e ) g jd je = d jτ τ σ (1 g je ) (1.10) Ved a indsæe (1.7)-(1.10) i (1.6) findes hea for en call-opion. Thea for en pu-opion findes ved hjælp af pu-call parieen il a være give ved: P( S, Y, ) r Θ Pu = = Θ Call + Kre τ τ 11

Bilag 7: Beskrivelse af Moro s Inversion Den bedse måde a opnå inversionen fra en uniform fordeling, U, il en normal fordeling, er ved hjælp af Moro s Inversion. Dee er en hybrid eknik, som anvender en algorime udvikle af Beasley e al. (1997) il den cenrale del af normalfordelingen og en runkere Chebyshev serie il modellering af halerne. Algorimen deler dermed område for den uniforme fordeling i o dele: 1: Den cenrale del af fordelingen, U 0, 4, U = x 0,5 er modellere som i Beasley e al. (1997) Φ ( x) = U 3 1 n= 0 4 n= 0 a U n b U n n n (1.11) hvor a n og b n ses af nedensående abel: n 0,506683884 1,00 1-18,615000659-8,47351093090 41,39119773534 3,08336743743 3-5,44106049637-1,06410186 4 3,1308909833 : Halerne af fordelingen, U > 0,4 er modellere ved en runkere Chebyshev serie som: 8 0 cntn ( z), U > 0 1 0 n= Φ ( x) = 8 c0 cntn ( z), U 0 n= 8 z = k1 * *ln( ln(0,5 U )) k hvor konanerne k 1 og k er valg så z = 1 når Φ ( x) = 0,9 og z = 1 når værdierne for c n og k n findes i følgende abel: c (1.1) 1 Φ ( x) = 1 10. Hvor 1

n 0 7,7108870705487800 1,777013533685100 0,41798864496430 0,36149641961000 4,454686881376500 3 0,037341833434554 4 0,00897143036967 5 0,0001657169179 6 0,0000080173304740 7 0,0000003840919865 8 9,999999919707100 Som idligere nævn er Moro s meode mere nøjagig for halerne end andre meoder, hvilke kan have signifikan indflydelse på værdiansæelse af opioner. Dee bliver yderligere vigig, når man simulerer mange gange. Til udrækningen af uniform fordele variable anvendes funkionen i Excel, selvom flere forfaere som f.eks. Masumoo e al. 1998 forerækker andre meoder. 13

Bilag 8: Conrol variaes Conrol variae echnique benyer informaion om esimaionsfejl fra derivaer med kende lukkede løsninger il a reducere variansen på esimaer for derivaer uden en kend løsning. Y,..., Y er oupus fra N simulaioner og uafhængige og idenisk fordele. De anages nu, a forvenningen il en ilfældig variabel Y skal beregnes denne beegnes E( Y ). De simplese Mone Carlo esima er Y = Y1 +... + YN N for N simulaioner. give ved ( ) Hvis man i sammenhæng hermed har N uafhængige og idenisk fordele observaioner X,..., 1 X N af en ilfældig variabel X med en kend og given forvenning E( X ), så er de mulig for e given b a beregne: { } Y ( b) = Y b X E( X ) i i i og fra den i e replikaion a beregne de overordnede gennemsni: N 1 Y ( b) = Y b{ X E( X )} = ( Yi b{ X i E( X )}) (1.13) N i = 1 Denne middelværdi kaldes en conrol variae esimaor for E( Y ), fordi fejlene X E( X ) bruges som konrol. Mulipel conrol variae kan behandes på samme vis, men der vil her udelukkende illusreres for én konrolvariabel. For yderligere gennemgang af dee henvises i sede il Glasserman (004). Conrole variae esimaorer er uden bias og særk konsisene, hvilke kan vises ved: og: ( ) ( { }) E Y ( b) = E Y b X E( X ) = E( Y ) = E( Y ) N N 1 1 lim Y ( b) = lim Y b X E( X ) N N ( { }) i i i N i= 1 N i= 1 = E( Y ) ( { ( )}) = E Y b X E X Den opimale koefficien b vælges således a variansen på Y ( b ) minimeres. Variansen på Y er give ved: i N 14

Hvor σ X og N 1 Var Yi ( b) = Var Yi b X i E( X ) N i= 1 1 = Var Yi b{ X E( X )} N 1 = ( Y b X Y XY b X ) N σ σ σ ρ + σ σ Y er henholdsvis variansen på X og Y, og ( { }) ρ XY er korrelaionen mellem X og Y. Den opimale koefficien b, der minimerer variansen af conrol variae esimaoren, er herefer give ved: b σ ρ Y = XY = σ X (, ) Cov X Y Var( X ) Brugen af den opimale koefficien resulerer i en variansredukion på: ( ρ XY ) Var Y ( b ) = 1 Var( Y ) hvoraf de fremgår, a variansredukionen virker bedre, jo særkere korrelaionen er. Foregne af korrelaionen har ingen beydning, da dee absorberes i b. I praksis er Cov ( X, Y ) og Var( X ) ofe ukende, hvorfor de ofe er nødvendig a esimere disse paramere gennem simulaionen ved: bˆ n = N ( X i X )( Yi Y ) i= 1 N ( X i X ) i= 1 (1.14) Ved a dividere æller og nævner med N og anvende law of large numbers kan de vises, a b ˆN b med en sandsynlighed på 1. Ved a benye den esimerede koefficien inroduceres dog bias, der kan resulere i a conrole variae esimae bliver forker. Der henvises i denne sammenhæng il Glasserman (004). I forbindelse med simulaionssudie i indeværende afhandling, ville conrol variae echnique ikke kunne udnyes il variansredukion på prisesimae på vanilla opioner under Hesons-modellen, da der ikke findes nogen eksak løsning il forvenningen for akivprisen, hvorfor der ikke findes e akiv, der kan benyes som konrol variabel. Under Black-Scholes forudsæninger findes der modsa en eksak forvenning il udviklingen i de underliggende, der kan benyes som konrol variabel. Conrol variae esimaoren ser i dee ilfælde således ud: 15

N rt ( Yi b{ Si ( T) S(0) e }) 1 N = i 1 De skal i denne forbindelse bemærkes, a de ikke er mulig a benye en pris simulere under Black-Scholes forudsæninger som konrol variabel for en pris simulere under forudsæning af sokasisk volailie. Dee skyldes, a de o modeller ikke følger samme si, og derfor ikke er afhængige. I forbindelse med simulaion af Barrier-opionspriser under Heson-modellen er de modsa ovenfor mulig a benye conrole variae echnique, da der nu findes en lignende simplere opion med en lukke løsning, hvilke er ilfælde i form af Hesons semi-lukkede løsning for europæiske opioner. I formlen i (1.13) vil derivae Y være den simulerede Barrier-pris, og som konrol variabel benyes den simulerede vanilla-pris og den eksplicie vanilla-pris. Conrol variae echnique kan i dee ilfælde benyes både for Heson-modellen og Black-Scholes modellen. Da korrelaionen mellem barrier-opionspriser og vanilla-opionspriser ikke er kend, er de nødvendig a esimere b ved (1.14). Dee inroducerer dermed yderligere en fejlkilde, hvoraf sørrelsen afhænger af analle af simulaioner N. Hvor sor denne fejl reel er, og hvad den har af konsekvenser, er umiddelbar svær a vurdere, men der argumeneres i Glasserman (004) for, a fejlen ypisk er lav. Da vi i denne afhandling ikke selv foreager en vurdering af fejlens sørrelse og beydning for neop vores esimae, sam a de senere beregnede prisesimaer uden brug af conrol variae echnique har en forholdsvis lav sandardafvigelse, er de fravalg a benye denne meode. Hvor sor forbedring conrol variae echnique reel havde medfør på prisesimae, skal vurderes ud fra, hvor sor korrelaionen er mellem Barrier-opionspriser og vanilla-opionspriser. Dee er afhængig af mange fakorer. Vurderes f.eks. en up-and-ou Barrier-call-opion, hvor Barrieren ligger æ på spoprisen, vil korrelaionen være lav, og prisesimae ville ikke forbedres væsenlig. De modsae vil være ilfælde for en up-and-in Barrier-call-opion, hvor barrieren ligger æ på spoprisen. 16

Bilag 9: Bevis for a og b i QE diskreisering De kan vises, a Yˆ = a( b + Z ) er fordel som a gange en ikke-cenral chi-i-anden fordeling + Y med en frihedsgrad og en ikke-cenral parameer b. Fra egenskaberne for den ikke-cenrale chi-ianden fordeling ved vi, a middelværdien og varians besemmes ved: Middelværdi = k + λ Varians = ( k + λ) hvor k > 0 er frihedsgrader, og λ > 0 er den ikke-cenrale parameer. For Y ˆ + kan vi nu vise a: E Yˆ + = a + b ( ) (1 ) Var Yˆ + = a + b ( ) (1 ) Disse momener maches nu med de eksake formler for middelværdi m = m + ( Y m) e κ 17 og κ Y v e mv = + ved a sæe disse lig hinanden: κ κ κ κ varians s ( 1 e ) ( 1 e ) a(1 b ) m + = (1.15) a (1 + b ) = s Nu sæes x = b og ψ = s / m. Ved a isolere a i de o ligninger og sæe dem lig hinanden når vi frem il andengradsligningen: 1 1 x + x(1 ψ ) + 1 ψ = 0 Ved på normalvis a finde diskriminanen for en andengradsligning kan de vises, a ligningen kun har en løsning, hvis ψ, hvorfor denne meode kun kan benyes inden for denne grænse. Hvis ligningen nu løses for x = b findes neop: a findes nu blo ud fra 1 1 1 b = ψ 1+ ψ ψ 1 0 b ved a isolere i (1.15): m a = 1 + b 17 Sregen over m, førse momen for fordelingen, er blo for a adskille denne fra mean-reversion niveaue i Hesonmodellen 17

Bilag 10: Bevis for p og β i QE diskreisering Ved a inegrere æhedsfunkionen: kan de vises a: β x ( [, ]) ( δ (0) β (1 ) ) P Y x x + dx + p + p e dx, x 0 ˆ 1 p E( Y + ) = β ˆ 1 p Var( Y + ) = β På samme vis som ved udledningen af a og b sæes disse lig med de eksake formler for middelværdi og varians for a mache momenerne: 1 p = m (1.16) β 1 p β = s s Ved a sæe ψ = og eliminere β når vi nu frem il andengradsligningen: m ψ ψ ψ (1 + ) p p + 1 = 0 Ligningen vil have præcis én løsning for p < 1, hvilken er give ved: 1 p ψ = ψ + 1 [ 0,1] For a p skal give mening, er de nødvendig a denne ikke er negaiv, hvorfor de er nødvendig a have ψ 1. β findes nu ud fra p ved a isolere i (1.16): 1 p β = = > 0 m m( ψ + 1) 18

Bilag 11: Simulaion af call-opionspriser med forskellige anal sier Simulaionerne gennemføres for henholdsvis 10 idsskrid per år og 100 idsskrid per år - både med og uden anieiske variable Simulaionerne er udfør på baggrund af nedensående paramere: S K T r Div Y k m v ρ λ 100 10 1 0,05 0 0,1 0,1 0,4-0,5 0 TABEL 1: Simulerede call-opionspriser uden anieiske variable med 10 idsskrid og forskellig anal sier 10 idsskrid - UDEN anieiske variable Sier Heson esimere Sd. afv. Konfidensinerval Bredde af KI Heson Eksplici Forskel 0.000 6,7914 0,1063 6,5831 6,9998 0,4168 6,6963 0,0951 60.000 6,6944 0,0600 6,5769 6,810 0,351 6,6963-0,0019 100.000 6,6888 0,0466 6,5975 6,7801 0,186 6,6963-0,0075 00.000 6,6479 0,038 6,5835 6,71 0,188 6,6963-0,0484 500.000 6,6685 0,008 6,677 6,7094 0,0817 6,6963-0,078 1.000.000 6,6795 0,0148 6,6504 6,7085 0,0581 6,6963-0,0169.000.000 6,6813 0,0105 6,6608 6,7019 0,0410 6,6963-0,0150 5.000.000 6,6804 0,0066 6,6674 6,6934 0,060 6,6963-0,0159 TABEL : Simulerede call-opionspriser med anieiske variable med 10 idsskrid og forskellig anal sier. 10 idsskrid - MED anieiske variable Sier Heson esimere Sd. afv. Konfidensinerval Bredde af KI Heson Eksplici Forskel 0.000 6,784 0,0673 6,653 6,9161 0,638 6,6963 0,0879 60.000 6,690 0,0383 6,615 6,765 0,1500 6,6963-0,0061 100.000 6,6835 0,096 6,654 6,7415 0,1161 6,6963-0,019 00.000 6,6618 0,009 6,607 6,708 0,081 6,6963-0,0345 500.000 6,6715 0,0133 6,6455 6,6975 0,050 6,6963-0,048 1.000.000 6,6939 0,0094 6,6755 6,714 0,0369 6,6963-0,004.000.000 6,698 0,0067 6,685 6,7113 0,061 6,6963 0,0019 5.000.000 6,6979 0,004 6,6897 6,706 0,0165 6,6963 0,0016 19

FIGUR 1: Forskel mellem eksplici og simulere pris med og uden anieiske variable for10 idsskrid for forskellig anal sier Forskel mellem eksplici og esimere pris - 10 idsskrid Uden anieiske Med anieiske Forskel 0,1 0,08 0,04 0,00-0,04-0,08 0000 100000 500000 000000 Anal sier FIGUR : Sandardafvigelse og bredde af konfidensinerval for simulaionen for 10 idsskrid med forskellig anal sier med og uden anieiske variable Forskel mellem eksplici og esimere pris - 10 idsskrid Bredde af konfidensinerval - 10 idsskrid Uden anieiske Med anieiske Uden anieiske Med anieiske Forskel 0,1 0,08 0,04 0,00-0,04 Bredde af KI 0,5 0,4 0,3 0, 0,1-0,08 0000 100000 500000 000000 0,0 0000 100000 500000 000000 Anal sier Anal sier TABEL 3: Simulerede priser uden anieiske variable med 100 idsskrid og forskellig anal sier 100 idsskrid - UDEN anieiske variable Sier Heson esimere Sd. afv. Konfidensinerval Bredde af KI Heson Eksplici Forskel 0.000 6,6800 0,1039 6,4765 6,8836 0,407 6,6963-0,0163 60.000 6,7886 0,0610 6,6691 6,9081 0,390 6,6963 0,093 100.000 6,77 0,0471 6,6305 6,8150 0,1845 6,6963 0,064 00.000 6,7140 0,033 6,6488 6,7791 0,1303 6,6963 0,0177 500.000 6,6957 0,010 6,6545 6,7368 0,083 6,6963-0,0006 1.000.000 6,6969 0,0149 6,6677 6,76 0,0585 6,6963 0,0006.000.000 6,6949 0,0105 6,674 6,7156 0,0413 6,6963-0,0014 5.000.000 6,6943 0,0067 6,681 6,7074 0,061 6,6963-0,000 0

TABEL 4: Simulerede priser med anieiske variable for 100 idsskrid og forskellig anal sier. 100 idsskrid - MED anieiske variable Sier Heson esimere Sd. afv. Konfidensinerval Bredde af KI Heson Eksplici Forskel 0.000 6,735 0,0661 6,6056 6,8647 0,590 6,6963 0,0389 60.000 6,715 0,0384 6,6400 6,7904 0,1504 6,6963 0,0189 100.000 6,7318 0,098 6,6733 6,7903 0,1170 6,6963 0,0355 00.000 6,7170 0,010 6,6758 6,758 0,085 6,6963 0,007 500.000 6,7059 0,0133 6,6799 6,730 0,05 6,6963 0,0096 1.000.000 6,6990 0,0094 6,6805 6,7175 0,0370 6,6963 0,007.000.000 6,6990 0,0067 6,6859 6,711 0,06 6,6963 0,007 5.000.000 6,7005 0,004 6,693 6,7088 0,0166 6,6963 0,004 FIGUR 3: Forskel mellem eksplici og simulere pris for med og uden anieiske variable for100 idsskrid og forskellig anal sier Forskel mellem eksplici og esimere - 100 idsskrid Uden anieiske Med anieiske Forskel 0,10 0,08 0,06 0,04 0,0 0,00-0,0-0,04 0000 100000 500000 000000 Anal sier FIGUR 4: Sandardafvigelse og bredde af konfidensinerval for simulaionen med 100 idsskrid og forskellig anal sier med og uden anieiske variable Bredde af konfidensinerval - 100 idsskrid Sandardafvigelse - 100 idsskrid Uden anieiske Med anieiske Uden anieiske Med anieiske 0,5 0,15 Bredde af KI 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 0000 100000 500000 000000 Anal sier Sd. afv. 0,10 0,05 0,00 0.000 100.000 500.000.000.000 Anal sier 1

Bilag 1: Simulaion af call-opionspriser med forskellige anal idsskrid Simulaionerne gennemføres for henholdsvis 10.000 og 500.000 sier per år både med og uden anieiske variable Simulaionerne er udfør på baggrund af nedensående paramere. S K T r Div Y k m v ρ λ 100 10 1 0,05 0 0,1 0,1 0,4-0,5 0 TABEL 5: Oversig over simulerede priser uden anieiske variable med 10.000 sier og forskellig anal idsskrid sammenhold med ekspliciberegnede priser 10.000 sier - UDEN anieiske variable Tidsskrid Heson esimere Sd. afv. Konfidensinerval Bredde af KI Heson Eksplici Forskel 5 6,7179 0,1500 6,534 7,11 0,5880 6,6963-0,016 50 6,3877 0,1486 6,0964 6,6791 0,586 6,6963 0,3086 75 6,5037 0,1465 6,166 6,7908 0,5743 6,6963 0,196 100 6,3985 0,1473 5,561 6,1385 0,5773 6,6963 0,978 15 6,559 0,1477 5,698 6,087 0,5789 6,6963 0,1434 150 6,6864 0,1487 5,631 5,8458 0,587 6,6963 0,0100 175 6,5499 0,1491 5,5898 6,1743 0,5845 6,6963 0,1464 00 6,6697 0,1488 5,1517 5,735 0,5834 6,6963 0,066 5 6,5469 0,1506 5,516 5,841 0,5904 6,6963 0,1494 50 6,595 0,1495 5,6365 6,5 0,5860 6,6963 0,1668 75 6,5703 0,1499 5,6165 6,040 0,5875 6,6963 0,160 300 6,6081 0,1493 5,7607 6,3461 0,5854 6,6963 0,088 35 6,7319 0,1487 5,6404 6,34 0,5830 6,6963-0,0356 350 6,6893 0,1493 5,888 6,4140 0,585 6,6963 0,0070 TABEL 6: Oversig over simulerede priser med anieiske variable for 10.000 sier og forskellig anal idsskrid sammenhold med ekspliciberegnede priser 10.000 sier - MED anieiske variable Tidsskrid Heson esimere Sd. afv. Konfidensinerval Bredde af KI Heson Eksplici Forskel 5 6,860 0,0965 6,6711 7,0493 0,3781 6,6963 0,1639 50 6,8078 0,0940 6,634 6,991 0,3687 6,6963 0,1115 75 6,783 0,0939 6,5443 6,913 0,3680 6,6963 0,030 100 6,8159 0,094 6,6313 7,0006 0,3693 6,6963 0,1196 15 6,7061 0,0945 6,509 6,8913 0,3704 6,6963 0,0098 150 6,731 0,0945 6,5379 6,908 0,3704 6,6963 0,068 175 6,7635 0,0948 6,5776 6,9494 0,3718 6,6963 0,067 00 6,7083 0,0948 6,55 6,8941 0,3716 6,6963 0,010 5 6,76 0,0947 6,5405 6,9119 0,3713 6,6963 0,099 50 6,691 0,0945 6,5068 6,8773 0,3704 6,6963-0,004 75 6,6898 0,0950 6,5036 6,8759 0,37 6,6963-0,0065 300 6,6905 0,0937 6,5068 6,8741 0,367 6,6963-0,0059 35 6,7170 0,0945 6,5317 6,903 0,3706 6,6963 0,007 350 6,7136 0,0938 6,599 6,8974 0,3675 6,6963 0,0173

FIGUR 5: Forskel mellem eksplici og simulere pris for simulaioner med og uden anieiske variable for10.000 sier og forskellig anal idsskrid Forskel ml. eksplici og simulere - 10.000 sier Uden anieiske Med anieiske 0,5 Forskel 0,0 5 75 15 175 5 75 35-0,5 Tidsskrid FIGUR 6: Sandardafvigelse for simulaionen med og uden anieiske variable med 10.000 sier og forskellig anal idsskrid Sandardafvigelse - 10.000 sier Uden anieiske Med anieiske 0,16 Sd. afv. 0,1 0,08 0,04 0,00 5 50 75 100 15 150 175 00 5 50 75 300 35 350 Tidsskrid 3

TABEL 7: Oversig over esimerede priser uden anieiske variable for 500.000 sier og forskellig anal idsskrid sammenhold med ekspliciberegnede priser 500.000 sier - UDEN anieiske variable Tidsskrid Heson esimere Sd. afv. Konfidensinerval Bredde af KI Heson Eksplici Forskel 5 6,7406 0,010 6,6758 6,7583 0,084 6,6963 0,0473 50 6,7418 0,010 7,1009 7,1834 0,085 6,6963 0,0455 75 6,797 0,011 7,1444 7,69 0,086 6,6963 0,0334 100 6,769 0,010 7,4661 7,5484 0,083 6,6963 0,0306 15 6,7153 0,011 7,970 7,3797 0,086 6,6963 0,0190 150 6,7306 0,011 7,6408 7,734 0,086 6,6963 0,0343 175 6,7313 0,011 7,6114 7,6940 0,086 6,6963 0,0350 00 6,7193 0,01 7,460 7,5431 0,0830 6,6963 0,030 5 6,713 0,011 7,3391 7,418 0,087 6,6963 0,0169 50 6,780 0,011 7,4979 7,5806 0,087 6,6963 0,0317 75 6,7150 0,011 7,695 7,35 0,087 6,6963 0,0187 300 6,715 0,011 7,5949 7,6778 0,089 6,6963 0,016 35 6,7079 0,011 7,543 7,660 0,087 6,6963 0,0116 350 6,7095 0,011 7,5183 7,6011 0,088 6,6963 0,013 TABEL 8: Oversig over esimerede priser med anieiske variable for 500.000 sier med forskellig anal idsskrid sammenhold med ekspliciberegnede priser 500.000 sier - MED anieiske variable Tidsskrid Heson esimere Sd. afv. Konfidensinerval Bredde af KI Heson Eksplici Forskel 5 6,7136 0,0134 6,6874 6,7398 0,054 6,6963 0,0173 50 6,718 0,0133 6,6866 6,7389 0,053 6,6963 0,0165 75 6,7047 0,0133 6,6786 6,7308 0,053 6,6963 0,0084 100 6,7059 0,0133 6,6799 6,730 0,05 6,6963 0,0096 15 6,6983 0,0133 6,671 6,744 0,053 6,6963 0,000 150 6,7046 0,0133 6,6785 6,7307 0,053 6,6963 0,0083 175 6,703 0,0133 6,6761 6,784 0,05 6,6963 0,0060 00 6,6993 0,0134 6,6731 6,755 0,054 6,6963 0,0030 5 6,698 0,0133 6,670 6,744 0,053 6,6963 0,0019 50 6,6980 0,0134 6,6718 6,74 0,053 6,6963 0,0017 75 6,6950 0,0134 6,6688 6,71 0,054 6,6963-0,0013 300 6,6975 0,0134 6,685 6,7377 0,055 6,6963 0,001 35 6,6989 0,0134 6,678 6,751 0,054 6,6963 0,006 350 6,6995 0,0134 6,6733 6,757 0,054 6,6963 0,003 4

FIGUR 7: Forskel mellem eksplici og simulerede pris med og uden anieiske variable for 500.000 sier med forskellig anal idsskrid Forskel mellem eksplici og esimere- 500.000 sier Uden anieiske Med anieiske 0,05 0,04 0,03 0,0 0,01 0,00-0,01 5 50 75 100 15 150 175 00 5 50 75 300 35 350 Tiddskrid FIGUR 8: Sandardafvigelse for simulaionen med og uden anieiske variable for 500.000 sier med forskellig anal idsskrid Sandardafvigelse 500.000 sier Uden anieiske Med anieiske 0,05 0,00 Sd. afv. 0,015 0,010 0,005 0,000 5 75 15 175 5 75 35 Tidsskrid 5

Bilag 13: Iniial definerede paramere og kalibrerede paramere TABEL 9: Iniial definerede paramere, esimerede paramere ved henholdsvis $RMSE, %RMSE og IVRMSE meoden sam esimere volailie for Black-Scholes model T = 0,4438 Iniiale paramere $RMSE %RMSE IVRMSE Black-Scholes Tabsfunkion 0,158 0,0095 0,0091 8,0679 Rho (ρ) -0,6-0,888-0,8189-0,8453 Kappa (κ) 1,310 1,547 1,140 m 0,05 0,084 0,0030 0,047 Volailie på varians 0,7 0,4738 0,4138 0,568 Spo volailie 0,05 0,0448 0,07 0,0585 0,0507 Lambda -0,5-0,631-0,6140-0,5766 Tabsfunkion 0 0,1413 0,95 0,0091 Rho (ρ) -0,6-0,8143-0,6376-0,837 Kappa (κ) 0,8107,061 0,7114 m 0,05 0,0768 0,0476 0,0567 Volailie på varians 0,7 0,4546 0,7161 0,5500 Spo volailie 0,05 0,0571 0,050 0,0649 Lambda 0 0 0 0 6

Bilag 14: Lukkede formler for barrier-opioner under Black-Scholes I de følgende angiver N( ) fordelingsfunkionen for en sandardnormalfordel variabel, og B er barrieren. Prisen på barrier-opionerne er give ved: Up-and-ou call: ( ( 1) ( 3) ( ( 6) ( 8) )) ( ) ( 4) ( ( 5) ( 7) ) ( ) D( T ) r ( T ) Se N d N d b N d N d Ke N d N d a N d N d Up-andin call: Down-and-ou call: ( ( 3) + ( ( 6) ( 8) )) ( 4) + ( ( 5) ( 7) ) ( ) D ( T ) r ( T Se N d b N d N d Ke ) N d a N d N d K K > B : < B : ( ( 1) ( 1 ( 8) )) ( ) ( 1 ( 7) ) ( ) D( T ) r ( T ) Se N d b N d Ke N d a N d ( ( 3) ( 1 ( 6) )) ( 4) ( 1 ( 5) ) ( ) D( T ) r ( T ) Se N d b N d Ke N d a N d Down-and-in call: K K > B : < B : ( 1 ( )) ( 1 ( )) Se b N d Ke a N d D ( T ) r ( T ) 8 7 ( ( 1) ( 3) + ( 1 ( 6) )) ( ) ( 4) + ( 1 ( 5) ) ( ) D ( T ) r ( T Se N d N d b N d Ke ) N d N d a N d Down-and-ou pu: ( ( 3) ( 1) ( ( 8) ( 6) )) ( 4) ( ) ( ( 7 ) ( 5) ) ( ) D( T ) r ( T ) Se N d N d b N d N d Ke N d N d a N d N d + Down-and-in pu: ( 1 ( 3) ( ( 8) ( 6) )) 1 ( 4) ( ( 7 ) ( 5) ) ( ) D ( T ) r ( T Se N d b N d N d Ke ) N d a N d N d + + + Up-and-ou pu: K K > B : < B : r T ( 1 ( ) ( )) ( 1 ( ) ( )) Se N d bn d + Ke N d an d D ( T ) ( ) 3 6 4 5 ( 1 ( ) ( )) ( 1 ( ) ( )) Se N d bn d + Ke N d an d D ( T ) r ( T ) 1 8 7 7

Up-and-in pu: K K > B : < B : ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( )) Se N d N d + bn d + Ke N d N d + an d D ( T ) r ( T ) 3 1 6 4 5 Se bn( d ) + Ke an( d ) D( T ) r( T ) 8 7 hvor a og b er give ved: B a = S ( r D) 1+ σ B b = S ( r D) 1+ σ og d 1 il d 9 er give ved: d 1 log = 1 σ T ( S K ) + r D + σ ( T ) d log = 1 σ T ( S K ) + r D σ ( T ) d 3 log = 1 σ T ( S B) + r D + σ ( T ) d 4 log = 1 σ T ( S B) + r D σ ( T ) d 5 log = 1 σ T ( S B) r D σ ( T ) 8

d 6 log = 1 σ T ( S B) r D + σ ( T ) d 7 log = 1 ( SK B ) r D σ ( T ) σ T d 8 log = 1 ( SK B ) r D + σ ( T ) σ T 9

Bilag 15: Eksplici vs. koninuer barrierobservaion Simulaionerne er udfør på baggrund af nedensående paramere: S K T r Div Barrier BS vol. 100 100 1 0,05 0 10 0,396 FIGUR 9: Prisforskel mellem eksplici beregne pris (koninuer), korrigere beregne pris (diskre) og simulere pris (diskre) for 50 barrier-observaioner pr. år Eksplici Eksplici diskre Simulere BS 0,4 0,3 Værdi 0, 0,1 0 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 110 10 Spo FIGUR 10: Prisforskel mellem eksplici beregne pris (koninuer), korrigere beregne pris (diskre) og simulere pris (diskre) for 100 barrier-observaioner pr. år 0,5 Eksplici Eksplici diskre Simulere BS 0,4 Værdi 0,3 0, 0,1 0 0 10 0 30 40 50 60 Spo 70 80 90 100 110 10 30

FIGUR 11: Prisforskel mellem eksplici beregne pris (koninuer), korrigere beregne pris (diskre) og simulere pris (diskre) for 150 barrier-observaioner pr. år 0,5 Eksplici Eksplici diskre Simulere BS 0,4 Værdi 0,3 0, 0,1 0 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 110 10 Spo 31

Bilag 16: Konvergens for Barrier-opionspriser Simulaionerne er udfør på baggrund af nedensående paramere: K T r Div Y k m v ρ λ Tidsskrid Barrier 133,83 0,5 0,0667 0,014 0,04483 1,31016 0,0841 0,47378-0,8883-0,6314 100 1500 TABEL 10: Simulerede barrier-priser og sandardafvigelse med 100 idsskrid for forskellig spo og forskellig anal sier 100.000 sier 500.000 sier 1.000.000 sier Spo Pris Sd. afv. Pris Sd. afv. Pris Sd. afv. 800 0 0 0,000 0,0001 0,0001 0,0001 850 0 0,0000 0,0010 0,0003 0,0008 0,000 900 0,007 0,0007 0,004 0,0005 0,0049 0,0004 950 0,0303 0,0031 0,0305 0,0014 0,0310 0,0010 1000 0,1594 0,0074 0,1660 0,0033 0,1663 0,004 1050 0,7454 0,0158 0,769 0,007 0,7713 0,0051 1100,804 0,0310,8433 0,0139,8357 0,0099 1150 7,7460 0,0506 7,7440 0,07 7,7164 0,0160 100 14,9049 0,0737 14,8116 0,038 14,8005 0,03 150 19,9116 0,101 19,7748 0,0450 19,798 0,0318 1300 19,050 0,0906 18,985 0,0405 18,9494 0,087 1350 14,0050 0,0765 13,9830 0,0341 13,9530 0,041 1400 8,4198 0,061 8,4687 0,074 8,4800 0,0194 1450 4,048 0,0437 4,047 0,0195 4,0615 0,0138 1500 0 0 0 0 0 0 FIGUR 1: Sandardafvigelsen på ovensående esima for 100.000, 500.000 og 1.000.000 sier 100.000 sier 500.000 sier 1.000.000 sier 0,1 0,10 0,08 Sd. afv. 0,06 0,04 0,0 0,00 800 900 1000 1100 100 1300 1400 1500 Spo 3

Bilag 17: Simulerede priser for UOC barrier-opioner Simulaionerne er udfør på baggrund af nedensående paramere: K T r Div Y k m v ρ λ Pahs Timeseps Barrier BS vol. 10 0,5 0,0667 0,014 0,0448 1,31 0,084 0,4737-0,888-0,631 500.000 100 1500 0,489 TABEL 10: Simulerede priser og sandardafvigelse for UOC-barriers sammenligne med Black-Scholes priser Spo Heson-pris Sd. afv. BS-pris Forskel 800 0,00 0,0001 0,06-0,06 850 0,00 0,0003 0,18-0,18 900 0,00 0,0005 0,44-0,43 950 0,03 0,0014 0,91-0,88 1000 0,17 0,0033 1,67-1,51 1050 0,76 0,007,7-1,96 1100,84 0,0139 3,98-1,14 1150 7,74 0,07 5,8,46 100 14,81 0,038 6,39 8,4 150 19,77 0,0450 7,06 1,71 1300 18,93 0,0405 7,11 11,8 1350 13,98 0,0341 6,45 7,54 1400 8,47 0,074 5,10 3,37 1450 4,05 0,0195 3, 0,8 1500 0,00 0,0000 0,00 0,00 TABEL 11: Simulerede priser for UOC-barriers ved ændring i v Spo BS Kalibrere v = 0,1 v = 0, v = 0,4 v = 0,6 800 0,06 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 850 0,18 0,00 0,06 0,01 0,00 0,00 900 0,44 0,00 0,4 0,06 0,01 0,00 950 0,9 0,03 0,70 0,3 0,04 0,0 1000 1,69 0,17 1,60 1,13 0,5 0,11 1050,74 0,76,99,80 1,13 0,47 1100 3,99,84 4,78 5,4 3,79 1,77 1150 5,8 7,74 6,5 7,81 8,76 5,64 100 6,37 14,81 7,89 9,67 14,8 13,59 150 7,0 19,77 8,5 10,38 16,89,79 1300 7,06 18,93 8,35 9,80 15,45 5,64 1350 6,40 13,98 7,6 8,16 11,63 19,60 1400 5,06 8,47 5,47 5,86 7,4 11,16 1450 3,0 4,05 3,3 3,8 3,71 4,9 1500 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 33

TABEL 1: Simulerede priser for UOC-barriers ved ændring i ρ Spo BS-pris Kalibrere ρ = - 0,5 ρ = 0 ρ = 0,5 800 0,06 0,00 0,0 0,14 0,6 850 0,18 0,00 0,07 0,7 0,40 900 0,44 0,00 0,18 0,49 0,6 950 0,91 0,03 0,4 0,81 0,89 1000 1,67 0,17 0,94 1,3 1,30 1050,7 0,76 1,97,10 1,83 1100 3,98,84 3,78 3,16,47 1150 5,8 7,74 6,48 4,55 3,5 100 6,39 14,81 9,87 6,17 4,1 150 7,06 19,77 1,85 7,86 5,0 1300 7,11 18,93 14,1 9,0 5,86 1350 6,45 13,98 1,81 9,53 6,39 1400 5,10 8,47 9,38 8,30 6, 1450 3, 4,05 5,15 5,47 4,84 1500 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 34

Bilag 18: Simulerede priser for UIC barrier-opioner Simulaionerne er udfør på baggrund af nedensående paramere: K T r Div Y k m v ρ λ Pahs Timeseps Barrier BS vol. 10 0,5 0,0667 0,014 0,0448 1,31 0,084 0,4737-0,888-0,631 500.000 100 1500 0,489 TABEL 13: Simulerede priser og sandardafvigelse for UIC-barriers sammenligne med Black-Scholes priser Spo Heson Sd. afv. BS Forskel 800 0,00 0,0000 0,00 0,00 850 0,00 0,0000 0,14-0,14 900 0,00 0,0005 0,44-0,44 950 0,00 0,0010 1,17-1,17 1000 0,0 0,00,75 -,73 1050 0,13 0,0050 5,79-5,66 1100 0,57 0,0108 11,04-10,47 1150,38 0,018 19,38-17,00 100 8,3 0,0400 31,6-3,30 150 3,10 0,069 48,4-5,3 1300 49,66 0,0851 70,16-0,50 1350 85,1 0,1144 96,9-11,71 1400 15, 0,149 18,44-3, 1450 167,19 0,168 164,,97 1500 11,18 0,1903 03,59 7,59 TABEL 14: Simulerede priser for UIC-barriers ved ændring i v Spo BS Kalibrere v = 0,1 v = 0, v = 0,4 v = 0,6 800 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 850 0,14 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 900 0,44 0,00 0,07 0,00 0,00 0,00 950 1,17 0,00 0,33 0,04 0,00 0,01 1000,75 0,0 1,16 0,9 0,03 0,0 1050 5,79 0,13 3,8 1,34 0,17 0,10 1100 11,04 0,57 7,65 4,39 0,86 0,40 1150 19,38,38 15,51 11,14 3,58 1,47 100 31,6 8,3 7,81 3,11 11,59 5,04 150 48,4 3,10 45,30 41,10 8,59 15,40 1300 70,16 49,66 68,13 65,16 55,17 39,08 1350 96,9 85,1 96,4 94,77 88,89 76,88 1400 18,44 15, 19,10 19,03 16,90 10,96 1450 164, 167,19 166,00 167,03 167,57 165,73 1500 03,59 11,18 06,94 08,61 10,78 11,36 35

TABEL 15: Simulerede priser for UIC-barriers ved ændring i ρ Spo BS Kalibrere ρ = - 0,5 ρ = 0 ρ = 0,5 800 0,00 0,00 0,0 0,38 1,35 850 0,14 0,00 0,06 0,76,8 900 0,44 0,00 0,16 1,44 3,68 950 1,17 0,00 0,4,63 5,79 1000,75 0,0 1,03 4,56 8,81 1050 5,79 0,13,34 7,63 13,08 1100 11,04 0,57 5,00 1,40 19,03 1150 19,38,38 10,13 19,53 7,09 100 31,6 8,3 19,0 9,91 37,84 150 48,4 3,10 34,13 44,4 51,90 1300 70,16 49,66 56,40 64,07 69,9 1350 96,9 85,1 86,4 89,71 9,63 1400 18,44 15, 1,91 11,6 10,71 1450 164, 167,19 163,71 159,30 154,67 1500 03,59 11,18 08,3 03,09 196,38 36

Bilag 19: Simulerede priser for down-opioner Simulaionerne er udfør på baggrund af nedensående paramere: K T r Div Y k m v ρ λ Tidsskrid Sier Barrier 133,83 0,5 0,0667 0,014 0,04488 1,310164 0,08414 0,473784-0,8887-0,63138 100 500.000 1100 Down-and-in-call-opioner: TABEL 16: Værdier og prisforskelle for down-and-in-opioner på værs af spo en for Black-Scholes og Hesons model Spo Heson Sd. afv. BS Forskel 1100 3,4 0,0174 10,81-7,39 1150,96 0,0180 6,33-3,37 100,88 0,0191 3,6-0,74 150,60 0,0193,03 0,57 1300,4 0,0189 1,11 1,13 1350 1,88 0,0178 0,60 1,7 1400 1,58 0,0169 0,3 1,6 1450 1,30 0,0158 0,17 1,13 1500 1,09 0,0149 0,09 1,00 1550 0,90 0,0138 0,05 0,85 1600 0,7 0,014 0,0 0,70 FIGUR 13: Værdi og prisforskelle for down-and-in-opioner på værs af spo en for Black-Scholes og Hesons model Heson BS 1 Værdi 10 8 6 4 Forskel 0 - -4 1100 1150 100 150 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600-6 0 1100 1150 100 150 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 Spo -8 Spo 37

TABEL 17: Volailieen på variansens påvirkning af værdien for down-and-in-opioner på værs af spo en Spo BS Kalibrere v = 0,1 v = 0, v = 0,4 v = 0,6 1100 10,81 3,4 1,43 9,64 4,64,16 1150 6,33,96 5,7 4,90 3,38,45 100 3,6,88 3,54 3,37 3,00,71 150,03,60,1,35,54,68 1300 1,11,4 1,36 1,61,09,49 1350 0,60 1,88 0,85 1,1 1,68, 1400 0,3 1,58 0,53 0,77 1,35 1,95 1450 0,17 1,30 0,3 0,55 1,09 1,69 1500 0,09 1,09 0,0 0,37 0,88 1,46 1550 0,05 0,90 0,1 0,6 0,69 1,7 1600 0,0 0,7 0,08 0,18 0,55 1,07 FIGUR 14: Volailieen på variansens påvirkning af værdien for down-and-in-opioner på værs af spo en 14,00 Værdi 1,00 10,00 8,00 6,00 4,00,00 BS Kalibrere v = 0,1 v = 0, v = 0,4 v = 0,6 0,00 1100 1150 100 150 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 Spo 38

TABEL 18: Korrelaionens påvirkning af down-and-in-opionspriser på værs af spo en sammenligne med Black- Scholes Spo BS Kalibrere ρ = - 0,5 ρ = 0 ρ = 0,5 1100 10,81 3,4 8,78 15,56 1,50 1150 6,33,96 5,37 7,64 8,90 100 3,6,88 4,15 4,89 4,60 150,03,60 3,0 3,0,37 1300 1,11,4,44,13 1,19 1350 0,60 1,88 1,90 1,43 0,6 1400 0,3 1,58 1,46 0,98 0,33 1450 0,17 1,30 1,11 0,67 0,18 1500 0,09 1,09 0,87 0,46 0,10 1550 0,05 0,90 0,69 0,3 0,06 1600 0,0 0,7 0,53 0, 0,03 FIGUR 15: Korrelaionens påvirkning af down-and-in-opionspriser på værs af spo en sammenligne med Black- Scholes 5 Værdier 0 15 10 5 BS Kalibrere ρ = - 0,5 ρ = 0 ρ = 0,5 0 1100 1150 100 150 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 Spo 39

Down-and-ou-call-opioner: TABEL 19: Værdier og prisforskelle for down-and-ou-opioner på værs af spo en for Black-Scholes og Hesons model Spo Heson Sd. afv. BS Forskel 1100 0,00 0,0000 0,00 0,00 1150 7,16 0,060 18,39-11,3 100 0,5 0,045 34,43-14,18 150 40,8 0,0680 53,48-13,0 1300 66,35 0,093 76,18-9,83 1350 97,3 0,1191 10,77-5,46 1400 13,11 0,1445 133,3-1,1 1450 169,94 0,1687 167,7,67 1500 10,09 0,1916 04,5 5,58 1550 5,1 0,131 44,49 7,6 1600 95,61 0,014 86,74 8,88 FIGUR 16: Værdier og prisforskelle for down-and-ou-opioner på værs af spo en for Black-Scholes og Hesons model Heson BS 350 15 300 10 50 5 Værdi 00 150 100 50 0 1100 1150 100 150 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 Forskel 0-5 -10-15 -0 1100 1150 100 150 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 Spo Spo Tabel 0: Volailieen på variansens påvirkning af værdien af down-and-ou-opioner på værs af spo en sammenligne med Black-Scholes Spo BS Kalibrere v = 0,1 v = 0, v = 0,4 v = 0,6 1100 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1150 18,39 7,16 16,31 14,04 8,97 4,66 100 34,43 0,5 3,16 9,41,88 15,93 150 53,48 40,8 51,61 49,1 4,93 35,5 1300 76,18 66,35 75,1 73,35 68,53 6,3 1350 10,77 97,3 10,66 101,80 98,83 94,6 1400 133,3 13,11 134,04 134,1 13,96 130,17 1450 167,7 169,94 168,90 169,76 170,0 168,96 1500 04,5 10,09 06,75 08,5 09,91 09,90 1550 44,49 5,1 47,09 49,01 51,59 5,51 1600 86,74 95,61 89,47 91,64 94,83 96,44 40

FIGUR 17: Volailieen på variansens påvirkning af værdien for down-and-ou-opioner på værs af spo en sammenligne med Black-Scholes 00,00 Værdi 175,00 150,00 15,00 100,00 75,00 50,00 5,00 BS Kalibrere v = 0,1 v = 0, v = 0,4 v = 0,6 0,00 1100 1150 100 150 1300 1350 1400 1450 1500 Spo TABEL 1: Korrelaionens påvirkning af down-and-ou-opioner på værs af spo en sammenligne med Black-Scholes Spo BS Kalibrere ρ = - 0,5 ρ = 0 ρ = 0,5 1100 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1150 18,39 7,16 11,4 16,44 1,43 100 34,43 0,5 4,91 31,19 37,36 150 53,48 40,8 43,78 49,08 54,55 1300 76,18 66,35 68,09 71,15 74,59 1350 10,77 97,3 97,33 97,80 98,39 1400 133,3 13,11 130,83 18,93 16,60 1450 167,7 169,94 167,75 164,10 159,33 1500 04,5 10,09 07,36 0,63 196,8 1550 44,49 5,1 49,08 43,81 36,78 1600 86,74 95,61 9,48 87,06 80,07 FIGUR 18: Korrelaionens påvirkning af down-and-ou-opioner på værs af spo en sammenligne med Black-Scholes 150,00 15,00 Værdi 100,00 75,00 50,00 BS Kalibrere ρ = - 0,5 ρ = 0 ρ = 0,5 5,00 0,00 1100 1150 100 150 1300 1350 1400 Spo 41

Bilag 0: Ændringen i værdien af hedgeporeføljen Dela-hedge-poreføljen er give ved: Π = V ( S, Y, ) + S + B Ændringen i poreføljens værdi i den næse idsperiode fra idspunk il idspunk ved: + d er nu give dπ = dv + ds + db (1.17) Ændringen i akive V kan ved hjælp af den o-dimensionelle Io, jf. bilag 3, udledes il a være give ved: 1 1 (,, ) V V V V V V dv S Y = ds + dy + + σ S + σ + ρσ Sv d S Y S Y S Y Ændringen i S og Y er som alid give ved Heson s normale processer: ds = µ S d + σ S dz S dy = κ( m Y ) d + v Y dz Y og ændringen i den risikofrie invesering B er give ved: db = rb d Ved a indsæe disse i (1.17) og isolere de deerminisiske og sokasiske elemener findes: hvilke kan sammenskrives il: [ µ ] dπ = DV + S + rb d V V + σ S dz σ S dz + vdz S y S S Y [ µ ] dπ = DV + S + rb d V V + σ S dz + vdz S y S Y hvor D er en såkald Dynkin Operaor, der samler de deerminisiske dele, og er her give ved: V V 1 1 ( ) V V V DV = + µ S + κ m Y + σ V S + σ + ρσ Sv S Y S Y S Y 4

Bilag 1: Simulerede hedgefejl på værs af moneyness Ændring af korrelaionen: Simulaionerne er udfør på baggrund af nedensående paramere: T r Div Y k m v µ Sier Tidsskrid BS vol. for ρ = 0 BS vol. for ρ = - 0,5 BS vol. for ρ = 0,5 0,5 0,03 0 0,01 0,01 0,01 0,05 0,06 1.000 5/6 0,099985 0,099561 0,100409 Gennemsnilige absolue hedgfejl: TABEL : Gennemsnilige absolue hedgefejl for Heson-modellen og Black.Scholes for forskellig korrelaion på værs af moneyness - ugenlig rebalancering Ugenlig rebalancering Moneyness ρ = 0 ρ = - 0,5 ρ = 0,5 K/S Heson-ε BS-ε Forskel Heson-ε BS-ε Forskel Heson-ε BS-ε Forskel 0,77 0,0346 0,0334 0,001 0,0485 0,0513-0,008 0,036 0,033 0,0003 0,83 0,0585 0,0571 0,0014 0,0948 0,1116-0,0168 0,0333 0,0336-0,000 0,91 0,157 0,1914 0,04 0,644 0,856-0,01 0,193 0,1567-0,075 1,00 0,6475 0,6369 0,0106 0,6514 0,5533 0,0981 0,6765 0,615 0,0550 1,11 0,988 0,3084-0,0096 0,191 0,884-0,069 0,3541 0,3656-0,0115 1,5 0,046 0,0416 0,0010 0,066 0,069-0,000 0,070 0,087-0,0170 1,43 0,017 0,015 0,000 0,034 0,033 0,0001 0,065 0,061 0,0004 TABEL 3: Gennemsnilige absolue hedgefejl for Heson-modellen og Black.Scholes forskellig korrelaion på værs af moneyness - rebalancering hver anden uge Rebalancering hver anden uge Moneyness ρ = 0 ρ = - 0,5 ρ = 0,5 K/S Heson-ε BS-ε Forskel Heson-ε BS-ε Forskel Heson-ε BS-ε Forskel 0,77 0,0436 0,044-0,0007 0,0548 0,0588-0,0040 0,0388 0,0384 0,0004 0,83 0,0700 0,0674 0,006 0,100 0,103-0,0183 0,0407 0,0407-0,0001 0,91 0,357 0,169 0,0188 0,805 0,94-0,0137 0,1474 0,1808-0,0333 1,00 0,681 0,6748 0,0065 0,6849 0,6109 0,0740 0,7134 0,6599 0,0534 1,11 0,363 0,3338-0,0074 0,394 0,300-0,0608 0,3910 0,3985-0,0074 1,5 0,0511 0,050 0,0009 0,0335 0,0340-0,0005 0,0814 0,0934-0,011 1,43 0,066 0,065 0,0001 0,085 0,084 0,0000 0,030 0,0308-0,0006 43

Gennemsnilige dollar-value hedgfejl: TABEL 4: Gennemsnilige dollar-value hedgefejl for Heson-modellen og Black.Scholes for forskellig korrelaion på værs af moneyness - ugenlig rebalancering Ugenlig rebalanceringsfrekvens Moneyness ρ = 0 ρ = -0,5 ρ = 0,5 K/S Heson-ε BS-ε Forskel Heson-ε BS-ε Forskel Heson-ε BS-ε Forskel 0,77 0,007 0,0015 0,001-0,0016-0,0031 0,0015-0,0009-0,0013 0,0004 0,83 0,0056 0,0043 0,0013 0,0036-0,0015 0,0051 0,0000-0,0004 0,0004 0,91-0,010-0,0063-0,0039-0,0007-0,0001-0,0006-0,0047 0,0138-0,0185 1,00-0,0074 0,0016-0,0090-0,0059 0,0380-0,0440-0,0174-0,0557 0,038 1,11 0,0143 0,0095 0,0048 0,0093-0,0197 0,090 0,009 0,051-0,0043 1,5-0,0033-0,00-0,0010 0,0009 0,0009 0,0000 0,0001 0,0064-0,0063 1,43-0,0019-0,0019 0,0000-0,001-0,0011-0,0001-0,001-0,0008-0,0004 TABEL 5: Gennemsnilige dollar-value hedgefejl for Heson-modellen og Black.Scholes for forskellig korrelaion på værs af moneyness - rebalancering hver anden uge Rebalancering hver anden uge Moneyness ρ = 0 ρ = -0,5 ρ = 0,5 K/S Heson-ε BS-ε Forskel Heson-ε BS-ε Forskel Heson-ε BS-ε Forskel 0,77 0,0045 0,0051-0,0007 0,0016 0,0009 0,0006 0,009 0,006 0,0004 0,83 0,009 0,0081 0,001 0,004-0,0014 0,0038 0,0004 0,0010-0,0006 0,91 0,0149 0,0185-0,0035 0,019 0,0088 0,0104 0,0094 0,033-0,037 1,00 0,060 0,0555 0,0048 0,0674 0,106-0,0353 0,0500 0,011 0,0388 1,11 0,053 0,093-0,0041 0,094 0,0160 0,0135 0,0311 0,0333-0,00 1,5-0,0003 0,007-0,009 0,005 0,006-0,0001 0,0007 0,0080-0,0073 1,43-0,0015-0,0014-0,000 0,000 0,0003-0,0001 0,0006 0,0017-0,0011 Sandardafvigelsen på hedgfejlene: TABEL 6: Sandardafvigelsen på hedgefejlene for forskellig korrelaion på værs af moneyness ugenlig rebalancering Ugenlig rebalanceringsfrekvens Moneyness ρ = 0 ρ = -0,5 ρ = 0,5 K/S Heson-sd.afv. BS-sd. afv. Forskel Heson-sd.afv. BS-sd. afv. Forskel Heson-sd.afv. BS-sd. afv. Forskel 0,77 0,089 0,08 0,0008 0,04 0,69-0,0065 0,101 0,096 0,0005 0,83 0,68 0,69-0,0001 0,76 0,838-0,011 0,03 0,031-0,0008 0,91 0,407 0,3937 0,069 0,470 0,4886-0,0166 0,309 0,3551-0,034 1,00 0,7494 0,7444 0,0050 0,7533 0,699 0,0604 0,7668 0,7357 0,0311 1,11 0,505 0,515-0,0101 0,4309 0,5004-0,0695 0,556 0,5635-0,0109 1,5 0,199 0,013-0,001 0,189 0,183-0,000 0,308 0,576-0,068 1,43 0,177 0,177-0,0001 0,1739 0,1737 0,000 0,1791 0,1807-0,0016 TABEL 7: Sandardafvigelsen på hedgefejlene for forskellig korrelaion på værs af moneyness rebalancering hver anden uge Rebalancering hver anden uge Moneyness ρ = 0 ρ = -0,5 ρ = 0,5 K/S Heson-sd.afv. BS-sd. afv. Forskel Heson-sd.afv. BS-sd. afv. Forskel Heson-sd.afv. BS-sd. afv. Forskel 0,77 0,503 0,546-0,0043 0,505 0,54-0,0037 0,48 0,47 0,000 0,83 0,566 0,618-0,005 0,873 0,3094-0,01 0,399 0,394 0,0004 0,91 0,4341 0,4186 0,0155 0,4779 0,4840-0,0061 0,334 0,3704-0,0361 1,00 0,7483 0,7485-0,000 0,7544 0,7085 0,0459 0,7674 0,7366 0,0308 1,11 0,5113 0,5113-0,0001 0,430 0,4858-0,0556 0,5594 0,5666-0,0071 1,5 0,56 0,9-0,0036 0,19 0,18 0,0001 0,606 0,743-0,0137 1,43 0,064 0,06 0,000 0,064 0,065-0,0001 0,077 0,063 0,0015 44

HB - Black-Scholes under-/overhedge: TABEL 8: HB = BS. Black-Scholes under-/overhedge for forskellig korrelaion på værs af moneyness Heson ugenlig rebalancering Ugenlig rebalancering ρ = -0,5 ρ = 0 ρ = 0,5 Spo Moneyness BS- Heson- Forskel BS- Heson- Forskel BS- Heson- Forskel 130 0,769 0,999 0,9968-0,004 0,9998 0,9988-0,0010 1,0000 0,9994-0,0006 10 0,8333 0,9936 0,9868-0,0068 0,9959 0,9933-0,006 0,9987 0,9984-0,000 110 0,9091 0,945 0,9388-0,0065 0,958 0,9519-0,0008 0,9605 0,979 0,013 100 1,0000 0,6466 0,6861 0,0395 0,6319 0,6458 0,0139 0,614 0,5880-0,06 90 1,1111 0,1019 0,0749-0,071 0,106 0,0976-0,0086 0,1146 0,1146 0,0000 80 1,500 0,0011 0,0015 0,0004 0,0036 0,0071 0,0035 0,0065 0,0146 0,0081 70 1,486 0,0000 0,0005 0,0005 0,0000 0,0005 0,0005 0,0000 0,001 0,001 TABEL 9: HB = BS. Black-Scholes under-/overhedge for forskellig korrelaion på værs af moneyness Heson rebalancering hver anden uge Rebalancering hver anden uge ρ = -0,5 ρ = 0 ρ = 0,5 Spo Moneyness BS- Heson- Forskel BS- Heson- Forskel BS- Heson- Forskel 130 0,769 0,9991 0,9968-0,003 0,9995 0,9985-0,0010 1,0000 0,9993-0,0006 10 0,8333 0,996 0,9857-0,0069 0,9953 0,994-0,008 0,9987 0,9981-0,0006 110 0,9091 0,9413 0,9343-0,0070 0,9494 0,9479-0,0015 0,9611 0,9717 0,0106 100 1,0000 0,6471 0,6819 0,0348 0,638 0,649 0,0110 0,647 0,5998-0,049 90 1,1111 0,1035 0,0837-0,0198 0,1176 0,1130-0,0046 0,158 0,165 0,0007 80 1,500 0,0016 0,00 0,0006 0,0044 0,0083 0,0039 0,0071 0,0160 0,0089 70 1,486 0,0000 0,0005 0,0005 0,0000 0,0007 0,0007 0,0005 0,0018 0,0013 45

Ændring af volailieen på variansen Simulaionerne er udfør på baggrund af nedensående paramere: T r Div Y k m ρ µ Sier Tidsskrid BS vol. 0,5 0,03 0 0,01 0,01 0,01 0 0,06 1.000 5/6 0,099985 Gennemsnilige absolue hedgfejl: TABEL 30: Gennemsnilige absolue hedgefejl for Heson-modellen og Black.Scholes sam forskellig volailie på variansen på værs af moneyness - ugenlig rebalancering Ugenlig rebalanceringsfrekvens Moneyness v = 0,1 v = 0, v = 0,4 K/S Heson-ε BS-ε Forskel Heson-ε BS-ε Forskel Heson-ε BS-ε Forskel 0,77 0,017 0,0170 0,000 0,0300 0,090 0,0010 0,0779 0,0788-0,0008 0,83 0,083 0,06 0,000 0,0507 0,0490 0,0017 0,170 0,1197 0,007 0,91 0,119 0,1077 0,0116 0,1960 0,1735 0,05 0,3455 0,3093 0,036 1,00 0,3554 0,3544 0,0010 0,5904 0,5816 0,0088 0,9455 0,981 0,0174 1,11 0,1705 0,1736-0,0031 0,751 0,836-0,0085 0,4394 0,4559-0,0165 1,5 0,000 0,0195 0,0005 0,0367 0,0357 0,0010 0,0910 0,0888 0,00 1,43 0,01 0,01 0,0000 0,0188 0,0186 0,0001 0,0468 0,0448 0,000 TABEL 31: Gennemsnilige absolue hedgefejl for Heson-modellen og Black.Scholes forskellig volailie på variansen på værs af moneyness - rebalancering hver anden uge Rebalancering hver anden uge Moneyness v = 0,1 v = 0, v = 0,4 K/S Heson-ε BS-ε Forskel Heson-ε BS-ε Forskel Heson-ε BS- Forskel 0,77 0,047 0,045 0,0003 0,0383 0,0388-0,0004 0,0818 0,0810 0,0008 0,83 0,0373 0,0369 0,0004 0,0616 0,0598 0,0018 0,1375 0,136 0,0139 0,91 0,1446 0,1355 0,0091 0,160 0,1994 0,0165 0,3745 0,3471 0,074 1,00 0,4140 0,414 0,0016 0,67 0,619 0,005 0,9894 0,9806 0,0088 1,11 0,033 0,053-0,000 0,997 0,3056-0,0059 0,4787 0,4937-0,0151 1,5 0,076 0,076 0,0000 0,0449 0,044 0,0007 0,1070 0,099 0,0077 1,43 0,0169 0,0170 0,0000 0,038 0,037 0,0001 0,0511 0,0503 0,0008 46

Gennemsnilige dollar-value hedgfejl: TABEL 30: Gennemsnilige dollar-value hedgefejl for Heson-modellen og Black.Scholes for forskellig volailie på variansen på værs af moneyness - ugenlig rebalancering Ugenlig rebalanceringsfrekvens Moneyness v = 0,1 v = 0, v = 0,4 K/S Heson-ε BS-ε Forskel Heson-ε BS-ε Forskel Heson-ε BS-ε Forskel 0,77 0,0007 0,0004 0,0004 0,0018 0,0008 0,0010 0,0096 0,0100-0,0004 0,83 0,0033 0,003 0,0010 0,0059 0,0047 0,001 0,007 0,0004 0,0068 0,91-0,0044 0,0003-0,0047-0,0096-0,0049-0,0047-0,01-0,0130 0,0008 1,00-0,0071-0,0069-0,000-0,0074-0,0007-0,0067 0,019 0,051-0,093 1,11 0,0090 0,0060 0,0030 0,0860 0,0869-0,0008 0,0475 0,0474 0,0001 1,5 0,0305 0,0310-0,0004 0,0860 0,0869-0,0008 0,0475 0,0474 0,0001 1,43 0,0305 0,0310-0,0004 0,0860 0,0869-0,0008 0,0475 0,0474 0,0001 TABEL 31: Gennemsnilige dollar-value hedgefejl for Heson-modellen og Black.Scholes for forskellig volailie på variansen på værs af moneyness - rebalancering hver anden uge Rebalancering hver anden uge Moneyness v = 0,1 v = 0, v = 0,4 K/S Heson-ε BS-ε Forskel Heson-ε BS-ε Forskel Heson-ε BS-ε Forskel 0,77 0,0019 0,0017 0,0003 0,004 0,0046-0,0004 0,0070 0,0058 0,001 0,83 0,0034 0,004-0,0008 0,0076 0,007 0,0003 0,010 0,006 0,0094 0,91 0,0096 0,0131-0,0035 0,0141 0,0177-0,0036 0,03 0,038-0,0015 1,00 0,033 0,047 0,0084 0,0533 0,0468 0,0065 0,0841 0,100-0,0161 1,11 0,0167 0,001-0,0034 0,043 0,088-0,0046 0,0370 0,0367 0,0003 1,5 0,0033 0,0045-0,001 0,0010 0,0036-0,006-0,0047-0,0010-0,0037 1,43 0,0010 0,0011 0,0000-0,0006-0,0005-0,0001-0,0039-0,009-0,0010 Sandardafvigelsen på hedgfejlene: TABEL 3: Sandardafvigelsen på hedgefejlene for forskellig volailie på variansen på værs af moneyness ugenlig rebalancering Ugenlig rebalanceringsfrekvens Moneyness v = 0,1 v = 0, v = 0,4 K/S Heson-sd.afv. BS-sd.afv. Forskel Heson-sd.afv. BS-sd.afv. Forskel Heson-sd.afv. BS-sd.afv. Forskel 0,77 0,080 0,074 0,0005 0,538 0,50 0,0018 0,053 0,053-0,0001 0,83 0,1938 0,188 0,0057 0,065 0,04 0,003 0,38 0,08 0,010 0,91 0,134 0,419-0,085 0,530 0,189 0,0701 0,5871 0,5533 0,0338 1,00 0,6558 0,6150 0,0408 0,8478 0,7554 0,094 0,9664 0,8966 0,0698 1,11 0,5761 0,611-0,0360 0,5837 0,6799-0,096 0,6356 0,677-0,0371 1,5 0,139 0,144-0,0006 0,1469 0,158-0,0113 0,3640 0,3637 0,000 1,43 0,1050 0,1044 0,0006 0,1191 0,1178 0,0014 0,406 0,411-0,0005 TABEL 33: Sandardafvigelsen på hedgefejlene for forskellig volailie på variansen på værs af moneyness rebalancering hver anden uge Rebalancering hver anden uge Moneyness v = 0,1 v = 0, v = 0,4 K/S Heson-sd.afv. BS-sd.afv. Forskel Heson-sd.afv. BS-sd.afv. Forskel Heson-sd.afv. BS-sd.afv. Forskel 0,77 0,475 0,476-0,0001 0,498 0,59-0,003 0,613 0,597 0,0016 0,83 0,510 0,543-0,0033 0,539 0,597-0,0058 0,317 0,3046 0,016 0,91 0,3369 0,369 0,0100 0,4146 0,3970 0,0177 0,5589 0,534 0,047 1,00 0,569 0,5676 0,0015 0,7171 0,7169 0,000 0,9171 0,9153 0,0017 1,11 0,3973 0,3973 0,0000 0,4894 0,4903-0,0010 0,667 0,6361-0,0094 1,5 0,301 0,310-0,0009 0,79 0,91-0,001 0,781 0,700 0,0081 1,43 0,13 0,14-0,0001 0,07 0,070 0,000 0,105 0,115-0,0010 47

HB - Black-Scholes under-/overhedge: TABEL 34: HB = BS. Black-Scholes under-/overhedge for forskellig volailie på variansen på værs af Heson moneyness ugenlig rebalancering Ugenlig rebalancering v = 0,1 v = 0, v = 0,4 Spo Moneyness BS- Heson- Forskel BS- Heson- Forskel BS- Heson- Forskel 130 0,769 0,9999 0,9996-0,0003 0,9999 0,9991-0,0008 0,9985 0,9963-0,00 10 0,8333 0,996 0,995-0,0010 0,9961 0,9939-0,00 0,9946 0,9890-0,0056 110 0,9091 0,9544 0,9540-0,0004 0,9530 0,95-0,0008 0,959 0,9534 0,0004 100 1,0000 0,697 0,6331 0,0034 0,6313 0,648 0,0115 0,6379 0,6730 0,0351 90 1,1111 0,111 0,109-0,000 0,107 0,100-0,0070 0,1010 0,0858-0,0151 80 1,500 0,005 0,0036 0,001 0,003 0,0063 0,0031 0,0048 0,0116 0,0068 70 1,486 0,0000 0,0003 0,0003 0,0000 0,0005 0,0005 0,0000 0,0014 0,0014 TABEL 35: HB = BS. Black-Scholes under-/overhedge for forskellig volailie på variansen på værs af Heson moneyness rebalancering hver anden uge Rebalancering hver anden uge v = 0,1 v = 0, v = 0,4 Spo Moneyness BS- Heson- Forskel BS- Heson- Forskel BS- Heson- Forskel 130 0,769 0,9999 0,9994-0,0005 0,9996 0,9987-0,0009 0,9981 0,9961-0,000 10 0,8333 0,9971 0,9960-0,0011 0,9955 0,9931-0,004 0,9946 0,9890-0,0056 110 0,9091 0,95 0,9514-0,0008 0,9500 0,9485-0,0016 0,9490 0,9484-0,0006 100 1,0000 0,6364 0,6383 0,0019 0,638 0,6467 0,0085 0,64 0,67 0,0300 90 1,1111 0,10 0,1197-0,0006 0,1189 0,1146-0,004 0,1090 0,0977-0,0113 80 1,500 0,0036 0,0049 0,0013 0,0043 0,0075 0,003 0,0059 0,0131 0,007 70 1,486 0,0000 0,0003 0,0003 0,0000 0,0006 0,0006 0,0003 0,000 0,0016 48