Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får: x= 3 2 Der er i denne situation én ligning og én ubekendt, x, og ligningen har en entydig løsning. Hvis vi har en ligninge med to ubekendte, fx 2x+5y=3 vil der være mange løsninger, fx x=1, y=1/5, eller x=3/2, y=0. Hvordan angiver vi på en systematisk måde alle de mulige løsninger? Svar: ved hjælp af begrebet en fri parameter. Hvis vi først vælger en bestemt værdi t for y, har vi at y= t, hvor t er et tal der kan vælges frit blandt alle reelle tal. Men når først tallet er valgt har y en værdi, og nu kan x bestemmes. Vi skriver: x = 1 2 (3 5t) y = t t R. Der er i dette tilfælde uendelig mange løsninger, nemlig lige så mange som der er muligheder for at vælge tallet t. 1

2 CHAPTER 1. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER Hvis der havde været flere ubekendte, fx z og w, men stadig kun én ligning, altså fx 2x+5y z+4w=3 må vi indføre en fri parameter for alle undtagen 1 variabel. Nu er der flere parmetre, og de kan vælges uafhængigt af hinanden: x = 1 2 (3 t 1+t 2 4t 3 ) y = t 1 z = t 2 w = t 3 (t 1,t 2,t 3 ) R. Bemærk: Vi kunne godt have valgt fri parametre for x,y,z, og så have bestemt den sidste variable, w, ud fra disse valg. Det giver samme løsningsmængde. Man plejer at vælge fri paramtere bagfra og så lade den første ubekendte være udtrykt ved disse, men det er kun en konvention. Uanset hvad man vælger er situationen denne: hvis der er for få ligninger og for mange variable, må man vælge frie paramtere, og får uendelig mange løsninger. Lad os nu se på situationen med 2 ligninger og 2 ubekendte: 2x+5y = 3 x+y = 2 En oplagt måde at løse dette system på er ved at gange den nederste ligning med 2 på begge sider: 2x+5y = 3 2x+2y = 4 og derefter lægger hele den øverste ligning til den nederste ligning. Dette er en operation som ikke ændrer løsningsmængden - hvis en venstreside er lig en højreside er det tilladt at lægge denne værdi til på begge sider af den øverste ligning. Men vi lægger venstreside til venstre side, og højreside til højreside. Herved får vi: 2x+5y = 3 7y = 7 hvoraf det tydeligt fremgår at y=1. Dette indsættes i den øverste ligning: 2x+5 = 3 y = 1

1.2. GAUSS ELIMINATION 3 som kan løses for x til; x= 1. Prøv at indsætte x= 1,y=1 i det oprindelige ligningssystem, og check at løsningen passer. Vi har set en situation hvor der er samme antal ubekendte som ligninger, og som, i dette tilfælde, havde en entydig løsning. Den sidste situation der kan forekomme, specielt efter nogle manipulationer, er at man står med en ligning fx af form: 0 x=2 Her må vi konkludere at der ikke findes nogen værdier for x der kan få ligningen til at passe. Der er ingen løsning. Yderligere ligninger vil ikke afhjælpe situationen. 1.2 Gauss elimination Her gives en fremstilling af en metode til systematiske behandling af et lineært ligningssystem. Metoden er opkaldt efter matematikeren C.F. Gauss (17xx-18yy). Vi begynder med et eksempel pået systetem med 3 variable og 3 ligninger. 2x 3y = 3 4x 5y+ z=7 2x y 3z=5 (1.1) og vil gradvis omforme disse, så vi ikke ændrer løsningerne, men når frem til et enklere system, der let løses. Vi vil have leddet med den ukendte x væk i de sidste to ligninger. Derfor ganger vi ligning 1 med -2 og lægger til ligning 2, hvorefter vi ganger ligning 1 med -1 og lægger til ligning 3. Så har vi systemet 2x 3y = 3 y + z = 1 2y 3z=2 (1.2) Nu vil vi yderligere forenkle systemet - igen uden at ændre løsningerne - ved at bortskaffe leddet med den ukendte y i 3. ligning. Derfor ganger vi ligning 2 med -2 og lægger til ligning 3 2x 3y = 3 y + z = 1 5z=0 (1.3)

4 CHAPTER 1. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER Disse ligninger lader sig nu let løse nedefra ved såkaldt tilbagesubstitution. Sidste ligning giver z=0, der indsat i næstsidste ligning giver y=1. Endelig findes x af første ligning ved at indsætte værdierne for y og z, og vi får x=3. Dette er i alt sin enkelthed princippet i Gauss elimination. Vi ser, at det som er væsentligt i processen er de koefficienter der i det lineære ligningssystem er ganget på x, y, z, osv. Vi behøver slet ikke i de enkelte skridt at skrive x, y, z, osv. Derfor opskriver vi koefficienterne i et talskema. Et sådant talskema kaldes en matrix. Nu foretager vi operationerne der løser ligningssystemet direkte på selve talskemaet. 1.3 Matricer - rækkeoperationer Vi benytter ligningssystemet (??) til at illustrere ideen med indførelse af matricer. I en matrix kaldes de lodrette kolonner for søjler, og de vandrette kolonner for rækker. Vi har i denne fremstilling for tydeligheds skyld valgt at adskille koefficienterne i ligningssystemet fra højre side af ligningssystemet med en lodret streg, men det er kun for overskuelighedens skyld. Højresiden vil altid være en sidste søjle i matricen. Hver enkelt række i matricen 2 3 0 3 4 5 1 7 2 1 3 5 (1.4) repræsenterer således en ligning fra (??). De operationer, vi foretog med rækkerne for at løse ligningssystemet, foretager vi nu i denne matrix. Såfremt vi ønsker samtidigt at vise, hvilke operationer vi har foretaget, betegner vi med r i den i te række før operationen, og med r i den i te række efter de udførte regninger. Operationerne på dette ligningssystem vil da blive formuleret således 2 3 0 3 4 5 1 7 2 1 3 5 r 2 = 2r 1+r 2 r 3 = 1r 1+r 3 2 3 0 3 0 1 1 1 0 2 3 2 r 3 = 2r 2+r 3 2 3 0 3 0 1 1 1 0 0 5 0 Processen i Gauss elimination består altså i ved såkaldte rækkeoperationer at omforme ligningssystemet til et hermed ækvivalent system, som nemt kan løses nedefra ved tilbagesubstitution. Med ækvivalent menes, at de to ligningssystemer har samme løsningsmængde. Det ses let, at der for ethvert lineært ligningssystem gælder følgende

1.4. RANG 5 Rækkeoperationer, der fører til ækvivalente ligningssystemer Hver af følgende operationer på et system af lineære ligninger giver et hermed ækvivalent system a) Ombyt to rækker b) Multiplicér en række med en konstant forskellig fra nul c) Multiplicér en række med en konstant forskellig fra nul og læg den til en anden række Vi har brug for forskellige benævnelser og notation for de to matricer, der fremkommer, når vi enten medtager højre side i ligningssystemet som sidste søjle, eller når vi udelukkende skriver koefficienterne til de ukendte ind i matricen. Den første matrix benævnes totalmatricen, mens den sidste kaldes koefficientmatricen. Vi vil betegne matricer med store bogstaver skrevet med fed type. Således vil vi for ovenstående ligningssystem skrive, idet systemets højre side betegnes og 2 3 0 A= 4 5 1 for koefficientmatricen 2 1 3 A = 2 3 0 3 4 5 1 7 2 1 3 5 for totalmatricen I det generelle tilfælde med m ligninger med n ubekendte vil totalmatricen se således ud: a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 A =....... a m1 a m2 a mn b m Bemærk, hvorledes koefficienterne er indiceret. Første indeks angiver rækkenummeret, mens andet indeks angiver søjlenummeret. 1.4 Rang Vi vil nu se på spørgsmålet om eksistensen af, og antallet af, løsninger. Vi har her brug for en størrelse knyttet til en matrix, som benævnes rangen af matricen.

6 CHAPTER 1. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER Hvis vi har en ligninge med to ubekendte, fx 2x+5y=3 kunne man spørge om man ikke bare kunne skrive ligningen en gang til og derved opnå to ligninger 2x+5y = 3 2x+5y = 3 Problemet er, at der i den anden ligning ikke er nogen ny information; ligningen gentager blot den første ligning. Uanset hvor mange gange man gentager ligningen så er der kun information svarende til én ligning. Den mere generelle indgang til begrebet rang tager udgangspunkt i vektorer (vi kan her tænke på matricens rækker som vektorer). En samling af vektorer, (v 1,v 2,,v n ) siges at være lineært uafhængige, hvis ligninngen k 1 v 1 + k 2 v 2 + +k n v n = 0 kun kan opfyldes for k 1 = 0,k 2 = 0,k 3 = 0,,k n = 0. Hvis vektorerne ikke er lineært uafhængige, siges de at være lineært afhængige. Lineært uafhængige vektorer kan altsåikke frembringes ud fra hinanden. Lineært uafhængige vektorer peger så at sige i forskellige retninger. Rangen af en samling af vektorer er det største antal lineært uafhængige vektorer man kan udtage fra samlingen. Dette tal kan naturligvis ikke være større end det totale antal vektorer i samlingen, men kan godt være mindre. Nul-vektoren bidrager aldrig til rangen, så hvis vi kun regner med vektorer som ikke er nul, er rangen ihvertfald 1. Rangen af en matrix er rangen af matricens rækker, opfattet som vektorer. Eksempel 1.1. MAPLE kan bestemme rang af en matrix med kommandoenrank. > A:=Matrix([[ 2, -3, 0, 3 ], [ 4, -5, 1, 7 ], [ 2, -1, -3, 5 ]]); 2 3 0 3 A := 4 5 1 7 2 1 3 5

1.4. RANG 7 Rank(A); 3 Rangen af en matrix A betegnes ρ(a). Der gælder følgende vigtige sætning om eksistens af løsninger til et lineært ligningssystem Sætning 1.1. En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at der er løsninger til det lineære ligningssystem er, at rangen af koefficientmatricen er lig rangen af totalmatricen, altså at ρ(a)=ρ(a ). Hvis ρ(a) ρ(a ) er systemet inkonsistent (i analogi til ligningen 0 x = 2), og vi siger da at der ikke findes løsninger, at løsningsmængden er tom. Her er to vigtige egenskaber ved rangen af en matrix: Sætning 1.2. (a) Rangen af en matrix forbliver uændret ved rækkeoperationer (b) Antallet af lineært uafhængige rækker i en matrix er lig antallet af lineært uafhængige søjler Eksempel 1.2. Idet a betegner en given konstant, foreligger der ligningssystemet 3x 2 + x 3 2x 4 = 2 x 1 + 3x 2 2x 3 = 3 2x 1 + 15x 2 + x 3 5x 4 = 11 2x 1 + 12x 2 8x 3 7x 4 = a (1.5) Vi vil løse dette med Gauss elimination og opskriver derfor totalmatricen, hvorefter vi fore-

8 CHAPTER 1. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER tager de nødvendige rækkeoperationer A = 0 3 1 2 2 1 3 2 0 3 2 15 1 5 11 2 12 8 7 a r 1 =r 2 r 2 =r 1 r 3 =r 3 2r 2 r 4 =r 4 2r 2 1 3 2 0 3 0 3 1 2 2 0 9 5 5 5 0 6 4 7 a 6 r 3 =r 3 3r 2 r 4 =r 4 2r 2 1 3 2 0 3 0 3 1 2 2 0 0 2 1 1 0 0 6 3 a 10 r 4 =r 4+3r 3 1 3 2 0 3 0 3 1 2 2 0 0 2 1 1 0 0 0 0 a 13 De tre første rækker i koefficientmatricen ses umiddelbart at være lineært uafhængige. Den sidste række er nul-vektoren, og da vektorer i et vektorsystem indeholdende denne altid er lineært afhængige, er rangen ρ(a) af koefficientmatricen lig 3. De tre første søjler i A er klart lineært uafhængige. Når rangen er 3 er der netop 3 lineært uafhængige søjler, og derfor må 4. søjle i A være en linearkombination af de tre første søjler. Hvorvidt der nu er løsninger til ligningssystemet afhænger af rangen ρ(a ) af totalmatricen. Kravet er, at rangen af denne også skal være 3. Vi ser, at hvis a = 13 er sidste række i totalmatricen nul-vektoren, hvorfor rangen er 3 og der er løsninger. Hvis a 13 er 1., 2., 3. og sidste søjle i totalmatricen lineært uafhængige, og rangen af denne derfor 4. Der er altså da ingen løsninger, når a 13 (hvilket også er indlysende, når man betragter den ligning som sidste række repræsenterer). Vi vil afstå fra at foretage tilbagesubstitutionen men anbefaler, at man selv gennemfører regningerne. Når en Gauss-elimination på en koefficientmatrix er ført til ende vil matricen have en struktur som nedenfor. 0 0 0 0 (1.6) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I hver række vil der være et første fra nul forskelligt element (regnet fra venstre). Disse er i figuren angivet med. Når man er nået frem til et element i sidste (n te) søjle, er eliminationen ført til ende, og man kan nu opskrive løsningen. Bemærk at der kan forekomme rækker hvor det første fra nul forskellige element har et større

1.5. STRUKTUREN AF LØSNINGSMÆNGDEN 9 søjlenummer end rækkenummer. Det betyder at der vil være fri parametre svarende til disse variable. I figuren ovenfor er disse søjler (variabelnumre) angivet med ; det er variabel nummer 3, 5 og 6. Da sidste række er en nulrække er rangen af matricen 4, mens der er 7 variable. I almindelighed får vi lige så mange frie variable som der er forskel mellem antallet af variable (n) og koefficientmatricens rang (ρ). 1.5 Strukturen af løsningsmængden Følgende sætning opsummerer Gauss eliminationen og er en hovedsætning i forbindelse med lineære ligningssystemer. Sætning 1.3 (Om antallet af løsninger til m ligninger med n ubekendte). 1. Der er løsninger, hvis og kun hvis koefficientmatricen og totalmatricen har samme rang (benævnt ρ) 2. Hvis ρ = n er der netop 1 løsning (og ingen frie variable) 3. Hvis ρ < n er der en (n ρ)-dobbelt uendelighed af løsninger, dvs (n ρ) fri variable. Eksempel 1.3. Opgave: bestem den fuldstændige løsning (dvs angiv samtlige løsninger) til ligningssystemet x 1 2x 2 + 3x 3 13x 4 + 3x 5 = 7 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 4x 4 20x 5 = 3 2x 1 4x 2 x 3 + 16x 5 = 1 x 1 + 2x 2 + x 4 7x 5 = 0 (1.7) Løsning: Vi opskriver totalmatricen og udfører passende rækkeoperationer for at få den Gauss-eliminerede matrix.

10 CHAPTER 1. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 1 2 3 13 3 7 2 4 3 4 20 3 2 4 1 0 16 1 1 2 0 1 7 0 r 3 =r 3+r 2 r 4 =2r 4+r 3 r 3 =r 3/2 r 4 =r 4+r 3 /2 r 2 =r 2 2r 1 r 3 =r 3+2r 1 r 4 =r 4 r 1 1 2 3 13 3 7 0 8 3 22 26 11 0 0 2 4 4 2 0 0 1 2 2 1 1 2 3 13 3 7 0 8 3 22 26 11 0 0 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 3 13 3 7 0 8 3 22 26 11 0 8 5 26 22 13 0 4 3 14 10 7 (1.8) Vi noterer os nu følgende. Der er de 5 ubekendte, dvs n=5. Rangen af koefficientmatricen er ρ(a)=3. I totalmatricen er der netop tre lineært uafhængige rækker, og den har derfor også rangen 3. Der er altså løsninger til ligningssystemet. Fra hovedsætningen ved vi at vi må forvente n ρ = 5 3=2 frie variable og det et oplagt, hvis vi starter fra den nederste (fra 0 forskellige) ligning, at fx x 4 og x 5 kan vælges frit. For at tydeliggøre den fortsatte del af processen opskriver vi de tre første ligninger med variable indsat: x 1 2x 2 + 3x 3 13x 4 + 3x 5 = 7 8x 2 3x 3 + 22x 4 26x 5 = 11 x 3 2x 4 2x 5 = 1 (1.9) Ligningerne omskrives, idet vi trækker de frie variable over på højre side x 1 2x 2 + 3x 3 = 7+13x 4 3x 5 8x 2 3x 3 = 11 22x 4 + 26x 5 x 3 = 1+2x 4 + 2x 5 (1.10) Lad os sætte x 4 = t 1, x 5 = t 2, (t 1,t 2 ) R 2. Vi får da af (??) ved tilbagesubstitution x 3 = 1+2t 1 + 2t 2 8x 2 = 11+3(1+2t 1 + 2t 2 ) 22t 1 + 26t 2 = 8 16t 1 + 32t 2 dvs. x 2 = 1 2t 1 + 4t 2 x 1 = 7+2( 1 2t 1 + 4t 2 ) 3(1+2t 1 + 2t 2 )+13t 1 3t 2 = 2+3t 1 t 2

1.5. STRUKTUREN AF LØSNINGSMÆNGDEN 11 Sammenfattende skriver vi resultatet på vektorform x 1 2 3 1 x 2 x 3 x 4 = 1 1 0 +t 2 1 2 1 +t 4 2 2 0 x 5 0 0 1 (t 1,t 2 ) R 2 (1.11) (Det anbefales, at man kontrollerer dette ved at benytte regneregler for vektorer: Man ganger en vektor med en konstant ved at gange de enkelte komponenter med konstanten, og man adderer vektorer ved at addere komponenter med samme placering). Eksempel 1.4. MAPLE kan (med biblioteket LinearAlgebra indlæst, foretage Gauss elimination, og kan ogsåindføre frie variable. Med totalmatricen i eksemplet ovenfor indført, fx benævnt A, A := 1 2 3 13 3 7 2 4 3 4 20 3 2 4 1 0 16 1 1 2 0 1 7 0 > LinearSolve(A); 2+3t 4 t 5 1 2t 4 + 4 5 2t 4 + 2t 5 + 1 t 4 t 5 som, hvis vi i en søjle skiller tal uden parametre, fra en søjler der indeholder parameteren t 4 og en søjle der indeholder parameteren t 5, er præcis resultatet (??). At MAPLE skriver frie paramtere som t 4 og t 5 i stedet for t 1 og t 2 er uden betydning. Der er intet i dette eksempel, der principielt adskiller det fra ethvert andet lineært ligningssystem, og de konklusioner, vi nu drager ved at generalisere (??), vil have almen gyldighed. Vi vil derfor skrive (??) på generel form, idet vi som ovenfor lader n være antallet af ubekendte og ρ være rangen af matricen. Vi erindrer, at der var (n ρ) frie variable. For at lette læsningen benytter vi her et komma til at adskille indices.

12 CHAPTER 1. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER x 1 x 2. = k 2. +t 1 x n k 1 k n v 1,1 v 2,1. v n,1 +t 2 v 1,2 v 2,2. v n,2 + +t n ρ v 1,(n ρ) v 2,(n ρ). v n,(n ρ) eller kort (1.12) x=k+t 1 v 1 +t 2 v 2 + +t n ρ v n ρ Heraf fremgår strukturen af løsningsmængden. Vektoren k er dannet ud fra ligningssystemets højre side efter udførelse af rækkeoperationerne og tilbagesubstitutionen. Hvis højresiden er nul-vektor (i dette tilfælde kaldes ligningssystemet homogent), vil også k vektoren være nul-vektor. Derfor gælder, at x h = t 1 v 1 +t 2 v 2 + +t n ρ v n ρ ( t1,t 2,,t n ρ ) R n ρ (1.13) netop udgør løsningerne til det homogene ligningssystem.

Chapter 2 Modulpakke 3: Matrixregning 2.1 Indledning Matricer kan lægges sammen og matricer kan ganges med andre matricer under overholdse af simple regler. I dette afsnit skal vi se hvordan man kan 1. gange en matrix med et tal. 2. lægge matricer sammen og trække dem fra hinanden. 3. gange matricer med hinanden. 3. bestemme determinanten for en kvadratisk matrix. 4. finde den inverse for en kvadratisk matrix. I kapitel 1 indførtes matricer som et hjælpemiddel ved løsning af lineære ligningssystemer. Matrixbegrebet har imidlertid en udbredt betydning, ikke alene for væsentlige dele af matematikken, men også for tekniske discipliner og hertil knyttede fagområder, eksempelvis de statistiske fag og forskellige naturvidenskabelige fag. Vi vil derfor se nærmere på, hvorledes man kan definere nyttige regneregler for matricer og hvilke egenskaber matricer derved opnår. Det vil være bekvemt først at indføre nogle få, nye betegnelser. 1

2 CHAPTER 2. MODULPAKKE 3: MATRIXREGNING 2.2 Nogle grundlæggende begreber En matrix med m rækker og n søjler kaldes en m n matrix og man siger, at den er af typen (m,n). Hvis man for en given matrix A har behov for at præcisere, at den eksempelvis er en 4 5 matrix, vil man skrive den som A 45. To matricer A og B er ens, netop når de er af samme type og alle elementerne på samme pladser er ens, altså A=B a i j = b i j i {1,2,,m}, j {1,2,,n} hvor begge matricer er af typen (m,n). Hvis specielt en matrix A er en n n matrix, kaldes den en kvadratisk matrix af n te orden a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A nn =...... a n1 a n2 a nn En matrix kan indeholde såvel reelle som komplekse tal - hvis den udelukkende rummer reelle tal siger man, at den er en reel matrix. Talsættet (a 11,a 22,,a nn ) i en kvadratisk matrix udgør diagonalen i denne (undertiden benævnt: hoveddiagonalen). En kvadratisk matrix, hvor alle diagonalens elementer er lig 1, og hvor resten af elementerne i matricen er 0, kaldes en enhedsmatrix 1 0 0 0 0 1 0 0 E nn =....... 0 0 0 1 En matrix, der udelukkende indeholder 0 er, kaldes en nul-matrix (og betegnes med 0 - eller med 0 mn, hvis det er af betydning at angive matricens type). En enkelt søjle i en matrix A mn kan anskues som en matrix af typen (m,1). Som vi imidlertid så, da vi formulerede lineære ligningssystemer på matrixform, kan det ofte være at foretrække at betragte en søjle som en vektor (som vi så kalder en søjlevektor), og vi vil da skrive den med lille, fed type. Eksempelvis kunne vi skrive første søjle i matricen A som

2.3. REGNING MED MATRICER 3 a= a 11 a 21. a m1 hvor vi imidlertid af typografiske grunde ofte vil skrive søjlevektoren på formen(a 11,a 21,,a m1 ). På tilsvarende måde vil man tit tolke en enkelt række i en matrix som en vektor (rækkevektor), og den vil da skrives for eksempel som v= ( a 21 a 22 a 2n ), hvis det er 2. række i en matrix A med n søjler. Bemærk forskellen i skrivemåde på en rækkevektor og en søjlevektor, når de begge skrives horisontalt. 2.3 Regning med matricer Vi er nu klar til at beskrive, hvorledes man kan regne med matricer, idet vi vil indføre multiplikation af en matrix med et tal, addition af matricer af ens type, samt multiplikation af to matricer A mn og B np. Multiplikation af matrix med et tal En vilkårlig m n matrix A kan multipliceres med et vilkårligt reelt eller komplekst tal k. Resultatet er en ny m n matrix, som fremkommer ved, at alle A s elementer multipliceres med k. Produktet skrives ka. 1 3 4 0 Eksempel 2.1. Med A givet som A= 2 0 5 1 1 3 4 2 3 9 12 0 2 6 8 0 0 0 0 0 3A= 6 0 15 3 2A= 4 0 10 2 0A= 0 0 0 0 3 9 12 6 2 6 8 4 0 0 0 0 fås

4 CHAPTER 2. MODULPAKKE 3: MATRIXREGNING Addition af matricer Ved summen A + B af to m n matricer forstås den m n matrix, der fremkommer ved at tilsvarende elementer i A og B adderes. Kun matricer af samme type kan adderes. Efter at have indført addition af matricer fremkommer subtraktion på følgende måde: A B = A +( 1)B. Dette betyder, at man blot trækker tilsvarende elementer fra hinanden. Som for addition gælder derfor ligeledes, at man kun kan trække matricer af samme type fra hinanden. Eksempel 2.2. Med A og B givet som 1 3 4 0 4 1 2 3 A= 2 0 5 1 B= 0 7 2 1 1 3 4 2 3 3 0 5 fås 5 2 6 3 A+B= 2 7 3 2 4 0 4 7 3 4 2 3 A B= 2 7 7 0 2 6 4 3 Som den sidste regningsart vil vi endelig se på matrix-matrix multiplikation. Mens man adderer to matricer ved at addere tilsvarende elementer, så defineres multiplikation ikke ved en multiplikation af tilsvarende elementer. Årsagen hertil er, at det viser sig, at der ikke ville komme noget særlig brugbart ud af en sådan definition. Vi tager i stedet udgangspunkt i, hvorledes man på en naturlig måde definerer multiplikation af en matrix med en søjlevektor og vender med henblik herpå tilbage til formuleringen af det lineære ligningssystem a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n = b i (2.1) a m1 x 1 + a m2 x 2 + +a mn x n = b m

2.3. REGNING MED MATRICER 5 Her indfører vi som tidligere betegnelserne A= a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n...... a i1 a i2 a in...... x 1 x 2 x=. x n b 1 b 2 b m b=. a m1 a m2 a mn Hvis vi yderligere betegner den i te rækkevektor i A med a i ser vi, at venstre side i den i te ligning i (??) er skalarproduktet b i x. Vi kan derfor skrive ligningssystemet på følgende måde, hvor alle venstresiderne er skrevet som skalarprodukter mellem rækkevektorerne i A og søjlevektoren x. a 1 x=b 1 a 2 x=b 2... (2.2) a m x=b m Det viser sig nu hensigtsmæssigt at definere produktet Ax som den søjlevektor, der udgøres af venstresiden i (??). I så fald kan ligningssystemet skrives enkelt som Ax = b. Vi vil benytte denne definition til generelt at definere Produkt af matrix med søjlevektor Ved produktet Ax mellem en matrix A af typen m n og en søjlevektor x med n elementer forstås den søjlevektor, hvis elementer er skalarprodukterne mellem rækkevektorerne i A og x. Altså a 1 x a 2 x Ax=. x m x Vi bemærker tre ting. Først: Der skrives ikke gangetegn mellem matricen og vektoren. Dernæst: Definitionen tog sit afsæt i et ligningssystem, men er ikke herefter nødvendigvis knyttet til et sådant. Og en sidste ting. For at skalarprodukterne skal kunne udregnes, må vektoren have

6 CHAPTER 2. MODULPAKKE 3: MATRIXREGNING præcis så mange elementer som antallet af søjler i matricen. Kun i sådanne tilfælde defineres produktet. Eksempel 2.3. Med A og x givet som 1 3 4 0 A= 2 0 5 1 x= 1 3 4 2 2 0 1 4 fås: Ax= 1 3 4 0 2 0 5 1 1 3 4 2 2 0 1 4 = 1 2+( 3) 0+4 ( 1)+0 4 2 2 + 0 0 + 5 ( 1) + 1 4 1 2+( 3) 0+4 ( 1)+2 4 = 2 3 6 Definitionen af produktet mellem en matrix A af typen m n og en vektor, som vi her vil betegne b, indebærer dels, at vektoren skal have n elementer, og dels, at resultatet bliver en vektor med m elementer. Når vi nu skal definere produktet mellem to matricer A og B, så vil vi gøre dette ved se på de enkelte søjler i B og danne produkterne mellem A og disse søjler. Vi kalder de r søjler i B for b 1,b 2,,b r b 1 b 2 b r b 11 b 12 b 1r b 21 b 22 b 2r...... b n1 b n2 b nr Vi definerer nu produktet mellem A og B som den matrix, der som søjler har Ab 1, Ab 2,..., Ab r. Altså:

2.3. REGNING MED MATRICER 7 Multiplikation af matricer Ved produktet AB af en matrix A af typen m n og en matrix B af typen n r, forstås den matrix, der som søjler har produkterne af A og de enkelte søjler i B. Dette betyder, at elementet (AB) i j på pladsen (i, j) i produktmatricen kan findes som skalarproduktet mellem den i te række i A og den j te søjle i B (såkaldt række-søjle multiplikation). Eksempel 2.4. Med A 43 og B 32 givet som 1 3 4 A= 2 0 5 2 1 1 3 4 B= 0 4 1 0 0 1 2 fås Ab 1 = 1 3 4 2 0 5 1 3 4 0 1 2 2 0 1 = 1 ( 2)+( 3) 0+4 1 2 ( 2)+0 0+5 1 1 ( 2)+( 3) 0+4 1 0 ( 2)+1 0+( 2) 1 = 2 1 2 2 Ab 2 = 1 3 4 2 0 5 1 3 4 0 1 2 1 4 0 = 1 1+( 3) 4+4 0 2 1+0 4+5 0 1 1+( 3) 4+4 0 0 1+1 4+( 2) 0 = 11 2 11 4 Produktet af A og B er den matrix, hvis søjler er de to udregnede vektorer AB= 2 11 1 2 2 11 2 4

8 CHAPTER 2. MODULPAKKE 3: MATRIXREGNING Antallet af søjler i A skal passe med antallet af rækker i B. Vi har tidligere indført nul-matricerne 0 som de matricer, der udelukkende betår af 0 er, samt enhedsmatricerne I som de kvadratiske matricer, der har 1-taller i diagonalen og 0 er udenfor. Det overlades til læseren at gennemtænke, at hvis man ganger en matrix med en nul-matrix, så får man en nul-matrix, og hvis man ganger en matrix A med en enhedsmatrix, så får man igen A. En enhedsmatrix har derfor samme rolle vedrørende multiplikation, som tallet 1 har inden for de reelle og komplekse tal. Som flere gange fremhævet kan man kun danne produktet AB af to matricer, for hvilke søjleantallet i den første matrix er lig rækkeantallet i den anden matrix. Matricerne skal altså være af typen (m,n) og (n,r) henholdsvis. Resultatet bliver en matrix af typen (m,r). Der rejser sig nu spørgsmålet om, hvilke regneregler, der gælder for matrixmultiplikation. Man kan vise sætningen Sætning 2.1 (Regneregler for multiplikation af matricer). 1. Matrixmultiplikation er associativ, dvs. (AB)C = A(BC) 2. Matrixoperationer er distributive, dvs. A(B+C)=AB+AC og(a+b)c=ac+bc 3. Matrixmultiplikation er ikke kommutativ, dvs. almindeligvis gælder: AB BA (hvis overhovedet begge produkter eksisterer). De to første af disse regler kendes fra multiplikation i såvel de reelle tal R som komplekse tal C. Men: mens også den kommutative lov gælder for tal i R og C, så gælder den ikke for matrixmultiplikation, hvilket illustreres i eksemplet nedenfor. Dette medfører, at man ved regning

2.3. REGNING MED MATRICER 9 med matricer ikke kan overføre samtlige kendte regler for multiplikation. Specielt fremhæves følgende, hvor det forudsættes, at matricerne er af sådan type, at regningerne kan gennemføres: En kvadratisk matrix A kan ganges med sig selv. Produktet kaldes A 2. Tilsvarende skrives: AA A=A n, hvis der er n faktorer i produktet. (A+B) 2 =(A+B)(A+B)=A 2 + B 2 + AB+BA (A+B)(A B)=A 2 B 2 AB+BA Kan ikke reduceres yderligere. Kan ikke reduceres yderligere. Eksempel 2.5. Med A og B givet som A= ( ) 1 3 2 5 ( ) A 2 1 1+( 3) 2 1 ( 3)+( 3) 5 = 2 1+5 2 2 ( 3)+5 5 ( ) 1 ( 2)+( 3) ( 1) 1 2+( 3) 4 AB= 2 ( 2)+5 ( 1) 2 2+5 4 ( ) 2 1+2 2 2 ( 3)+2 5 BA= ( 1) 1+4 2 ( 1) ( 3)+4 5 B= ( 2 ) 2 1 4 ( ) 5 18 = 12 19 ( ) 1 10 = 9 24 ( ) 2 16 = 7 23 fås

10 CHAPTER 2. MODULPAKKE 3: MATRIXREGNING 2.4 Determinant Der findes for kvadratiske matricer et mål for hvorvidt matricens rækker (eller søjler) er lineært uafhængige. Dette mål kaldes determinanten for en (kvadratisk) matrix, og betegnes det(a), eller A. Hvis matricens tal er reelle tal, bliver determinanten et reelt tal. Hvis matricens tal er komplekse tal, bliver determinanten et komplekst tal. Eksempel 2.6. For en 2 2 matrix ( a11 a A= 12 a 21 a 22 er ) A =a 11 a 22 a 21 a 12 For 3 3 matricer, 4 4 matricer, osv, bliver formlen for determinanten som funktion af matricens indgange lidt mere kompliceret. Determinantværdien sammenæng rangen for en kvadratisk matrix er beskrevet i følgende sætning: Sætning 2.2. Lad A være en kvadratisk matrix. Der gælder da: det(a) 0 hvis og kun hvis A rang ρ(a)=n det(a)=0 hvis og kun hvis A rang ρ(a)<n

2.5. INVERS MATRIX 11 Eksempel 2.7. MAPLE kan finde determinanter af kvadratiske matricer. Med biblioteket LinearAlgebra indlæst, er kommandoendeterminant: 3 1 0 A := 1 2 4 0 1 1 Determinant(A); Matricen i eksemplet her har alså rang 3. 7 2.5 Invers matrix Vi har allerede set at man kan lægge matricer sammen med matricer og gange matricer med matricer. Spørgsmålet melder sig om man kan dividere med matricer? Svaret er at det kan man, under visse omstændigheder. Division er en slags omvendt multiplikation. For et reelt (eller komplekst) tal a forskelligt fra nul, taler vi om det inverse tal 1/a, fordi(1/a) a=1. Vi vil i dette afsnit kun beskæftige os med kvadratiske matricer. For en sådan matrix A defineres den inverse matrix som den matrix A 1, der, ganget med A giver enhedsmatricen I (en matrix med 1-taller i diagonalen og nuller uden for denne), dvs: A 1 A=I (2.3) Her rejser sig straks tre spørgsmål: 1) Gælder det også, at AA 1 = I? 2) Er matricen A 1 entydigt bestemt? ( dvs. er der højst Én matrix, der opfylder (??)? ) 3) Har enhver kvadratisk matrix en invers matrix? Svaret er på de to første spørgsmål bekræftende, men på det tredie benægtende. Idet vi betegner den inverse matrix til A med A 1 gælder der således A 1 A=AA 1 = I (2.4) Mens vi vil afstå fra at bevise dette, vil vi gennemføre et bevis for entydigheden i spm. 2 (og venter lidt med beviset for spm. 3). Vi beviser entydigheden ved at antage, at der findes to inverse

12 CHAPTER 2. MODULPAKKE 3: MATRIXREGNING matricer B og C til A, hvorefter vi viser, at så må der gælde: B=C. Vi antager altså, at der om B og C gælder BA=AB=I og CA=AC=I Ved at gange fra højre med C på begge sider i ligningen BA=I fås (BA)C=IC=C og da den associative lov altid gælder (se sætning 3.1) fås B(AC)=C og dermed (idet AC=I) B=C Vi skal nu se på, hvilke krav der skal stilles til en kvadratisk matrix A af n te orden, for at den har en invers matrix, og vi vil i det følgende benævne de matricer, for hvilke en sådan eksisterer, som invertible (eller nonsingulære eller regulære). Vi danner først et lineært ligningssystem, idet vi benytter A som koefficientmatrix og som højre side vælger en vilkårlig søjlevektor b med n elementer. Ligningssystemet skrives som tidligere på formen Ax=b (2.5) Hvis A er invertibel, kan vi ved at gange på begge sider af ligningen med A 1 få et explicit udtryk for x. x=a 1 b (2.6) og der findes altså i dette tilfælde netop 1 løsning. Vi erindrer fra sætning 2.4 i kapitel 2, at dette er ensbetydende med, at rangen ρ(a)=n, altså at matricen har, hvad vi kalder fuld rang (størst mulig rang). Der gælder derfor, at de matricer, der er invertible, har fuld rang. Omvendt kan man vise, at de kvadratiske matricer, der har fuld rang, også er invertible. Vi formulerer denne sammenhæng i følgende Sætning 2.3. Den inverse matrix A 1 til en n n matrix A eksisterer, hvis og kun hvis rangen ρ(a)=n. Matricen A er således invertibel (nonsingulær), netop når det(a) 0. Matricen A er ikke-invertibel (dvs den er singulær), netop når det(a)=0.

2.6. TRANSPONERET MATRIX 13 Før vi afslutter dette afsnit skal vi angive nogle enkelte, vigtige egenskaber ved invertible matricer. Vi vil ikke vise disse - beviserne forløber dog ganske smertefrit, og det overlades til læseren selv at bevise udvalgte dele - men sammenfatter egenskaberne i følgende Nogle egenskaber ved invertible matricer. Lad A og B være n n matricer og k et reelt tal. Der gælder da 1. A invertibel (A 1 ) 1 = A 2. A invertibel (ka) 1 = 1 k A 1 3. Hvis A er invertibel, så vil: AB=0 B=0 4. Hvis A og B er invertible, så gælder der: (AB) 1 = B 1 A 1 (bemærk rækkefølgen). Den opmærksomme læser vil have bemærket, at man ikke indfører en notation for division mellem matricer. Hvis den kommutative lov havde været gyldig, så havde man kunnet skrive produktet A 1 B som B divideret med A. Men en sådan skrivemåde fortæller jo ikke, om A 1 skal ganges på B fra venstre eller fra højre. Og man får - grundet den manglende kommutativitet - almindeligvis ikke det samme. 2.6 Transponeret matrix Vi har brug for endnu en matrix dannet ud fra A, nemlig den transponerede matrix, betegnet A T. Det er den matrix, der fås, når man ombytter søjler og rækker i A, eksempelvis 3 2 2 3 1 6 5 A= 2 4 0 3 A T = 1 4 1 6 0 0 2 1 0 4 5 3 4 En m n matrix transponeres til en n m matrix. Da en søjlevektor kan opfattes som en m 1 matrix, bliver denne ved transponering til en rækkevektor - og omvendt 2 3 b= 4 1 bt = ( 2 4 1 3 ) og c= ( 3 7 5 0 ) c T = 7 5 3 0 Det kan vises, at der gælder følgende vedrørende transponering af matricer, idet vi antager, at A og B har sådanne størrelser, at matrixoperationerne er mulige

14 CHAPTER 2. MODULPAKKE 3: MATRIXREGNING Regler vedrørende transponering 1. (A T ) T = A 2. (A+B) T = A T + B T 3. (AB) T = B T A T Bemærk rækkefølgen 4. (A 1 ) T =(A T ) 1