Dynamiske Systemer. SIR-modellen. Matematik 3. semester 08 Gr. G2-104

Dynamiske Systemer SIR-modellen Matematik 3. semester 08 Gr. G2-104

Titel: Dynamiske systemer -SIR-modellen Tema: Dynamiske systemer -iteration og approksimation Projektperiode: MAT1, 3. semester 2008 Projektgruppe: G2-104 Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7 G 9220 Aalborg Øst http://www.math.aau.dk Synopsis: Deltagere: Helle Nielsine Rytter Sanne Chemnitz Aggerholm Majken Svendsen Maria Simonsen Denne rapport omhandler dynamiske systemer beskrevet ved de lineære og ikke-lineære differentialligninger. Udover at beskrive 1. orden og n te ordens differentialligninger, tages der fat i en række specifikke forhold omkring løsninger af differentialligninger. Vi undersøger Lipschitzbetingelser, maksimal løsning, eksistens og entydighed samt systemer af 1. orden. SIR-modellen bliver anvendt på disse emner for at illustrere teorien. En analyse af de ikke-lineære differentialligninger bliver derefter forklaret, hvor emner som linearisering og stabilitet er i fokus. En udvidet SIR-model vil blive anvendt på linearisering. I forbindelse med approksimation af løsninger bliver emner som Eulers metode og Runge kutta af 2. og 4. orden beskrevet. Den udvidede SIR-model approksimeres herefter ved hjælp af RK4. Oplagstal: 7 Sidetal: 92 Bilagsantal: 2 Periode: 2. september - 19. december 2008 Rapportens indhold er frit tilgængeligt, men offentliggørelse (med kildeangivelse) må kun ske efter aftale med forfatterne.

FORORD Denne rapport er udarbejdet af gruppe G2-104, under MAT1-forløbet, ved Institutet for matematiske fag på Aalborg Universitet. Projektforløbet har taget udgangspunkt i Dynamiske systemer -iteration og approksimation, hvor vi specielt har sat fokus på projektforslaget, Epidemimodeller, omhandlende SIR-modeller. I forbindelse med projektforløbet har gruppens medlemmer modtaget undervisning i projektenhedskurset, Lineær algebra og dynamiske systemer. Desuden er der benyttet teoretisk viden fra studieenhedskurset, Analyse. Derudover har gruppen modtaget feedback og vejledning af vejleder, Martin Qvist. Rapporten henvender sig til folk med interesse for differentialligninger, dog med den forudsætning, at der haves et matematisk niveau svarende til Basisåret ved Aalborg Universitet. Læsevejledning Kildehenvisningerne i rapporten er angivet efter Harvardmetoden, så der i teksten refereres til en kilde med [Efternavn, År]. Denne henvisning fører til litteraturlisten, bagerst i rapporten, hvor bøger er angivet med forfatter, titel, udgave og forlag. Figurer, tabeller samt matematiske definitioner og sætninger, er nummereret i henhold til kapitel. Det vil sige, at den første figur i kapitel 3 har nummer 3.1, den anden, nummer 3.2 osv. Forklarende tekst til figurer og tabeller findes under de givne figurer og tabeller. I

INDHOLD Indhold III 1 SIR-modellen 1 2 Lineære differentialligninger 3 2.1 Hvad er en differentialligning?........................ 3 2.2 Begyndelsesværdiproblem.......................... 4 2.3 Indre produkt og norm............................ 7 2.4 Lipschitzbetingelse.............................. 12 2.5 Eksistens og entydighed........................... 14 2.5.1 Picard iterationer........................... 14 2.5.2 Sætning om eksistens og entydighed................. 15 2.6 Maksimale løsninger............................. 22 2.6.1 Maksimal løsning til SIR-modellen................. 24 2.7 Separable differentialligninger........................ 25 2.7.1 Løsning................................ 25 2.8 Differentialligninger af 1. orden....................... 27 2.8.1 Løsning................................ 27 2.9 Differentiallinger af n te orden........................ 29 2.9.1 Løsning af 1. ordens systemer.................... 32 3 Analyse af ikke-lineære differentialligninger 37 3.1 En udvidelse af SIR-modellen........................ 37 3.1.1 Jacobi-matricen............................ 38 3.1.2 Faseportræt til et ikke-lineært system................ 39 3.2 Linearisering................................. 42 3.3 Lineariseringssætningen........................... 45 3.4 Stabilitetsanalyse............................... 59 3.4.1 Stabilitet............................... 59 3.4.2 Stabile systemer........................... 60 3.4.3 Faseportræt af lineære systemer................... 62 III

INDHOLD 3.4.4 Lineært faseportræt af den udvidede SIR-model........... 66 4 Approksimation af løsning 68 4.1 Numeriske approksimationer......................... 68 4.1.1 Eulers metode............................. 69 4.1.2 Runge-Kutta............................. 70 4.2 Approksimation af løsning til SIR-modellen................. 73 5 Differentialligningsteori anvendt på SIR-modellen 76 5.1 Opsamling................................... 76 5.1.1 Den klassiske SIR-model....................... 76 5.1.2 Den udvidede SIR-model....................... 77 5.2 Konklusion.................................. 78 Litteratur 79 6 Bilag 80 IV INDHOLD

KAPITEL 1 SIR-MODELLEN Vi vil i dette projekt benytte teorien omkring differentialligninger til at behandle udviklingen af en epidemimodel, i vores tilfælde kaldet SIR-modellen. SIR-modellen er et dynamisk system, der opdeles i tre funktioner, som afhænger af tiden, t. Her undersøges tilvæksten individuelt i den enkelte funktion, som dog afhænger af de andre funktioners udvikling. De tre funktioner er udtrykt ved S (t) = rs(t)i(t) I (t) = rs(t)i(t) ai(t) R (t) = ai(t) Det kan her ses, at systemet er konstant ved at lægge funktionerne sammen. Notationsforklaring S(t) er antallet af individer, der kan smittes af en given epidemi. I(t) er antallet af smittede individer. R(t) er antallet af individer, som ikke længere er smittet, men har været det. a og r er konstanter, som afgør, hvor hurtigt eller langsomt epidemien udvikler sig, fra den opstår, til alle individer er blevet smittet, og til alle har gennemlevet sygdommen. Modellen dækker over en samlet mængde mennesker, som alle befinder sig inden for én af de tre katagorier. Det vil sige, at der ikke tages højde for eventuelle personer, som er immune over for epidemien, eller af anden grund ikke vil kunne blive smittet. Som individ vil vedkommende først befinde sig inden for gruppen af individer, som kan smittes, S(t), hvorefter vedkommende eventuelt bliver smittet, og overføres til I(t). Når individet har gennemlevet sygdommen, overgår vedkommende til funktionen, R(t). For at en epidemi overhovedet kan opstå, må der gælde, at I (t 0 ) > 0. Hvis dette ikke er tilfældet, vil en model med et givent begyndelsesværdiproblem dø ud i løbet af få dage, da faktorerne ikke vil forøge antallet af syge individer, hvorved smittekilderne dør ud. Derfor kan 1

en epidemimodels anvendelighed kontrolleres ved at beregne I (t 0 ) = rs(t 0 )I(t 0 ) ai(t 0 ) > 0. I det følgende kapitel præsenterer vi i første omgang en generel definition for differentialligninger, hvorefter der følger begreber tilknyttet løsningen til differentialligninger. Til sidst i kapitlet følger definitioner af specifikke tilfælde af en differentiallignings udseende og egenskaberne af disse. Jensen [2000a] 2 1. SIR-modellen

KAPITEL 2 LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER I dette kapitel præsenteres differentialligninger og deres løsning. En differentialligning defineres som en ligning, hvori der indgår en ubekendt funktion og dens differentialkvotient. Differentialligninger er grundpillen for forståelsen af dynamiske systemer, der er hovedemnet for dette projekt. Der vil derfor blive gået i dybden med forståelsen af de enkelte dele af emnet differentialligninger, inden der vil være specifikke definitioner med deres løsninger, der vil blive anvendt på SIR-modellen. Herunder kommer vi ind på Lipschitzbetingelser samt eksistens og entydighed i forbindelse med løsningen af en differentialligning. Desuden undersøges den maksimale løsning i et givent interval. 2.1 Hvad er en differentialligning? En differentialligning er, som nævnt ovenfor, en ubekendt funktion og dens afledte. En differentialligning kaldes partiel, hvis funktionen består af flere variable. Hvis der derimod kun er én variabel, x = x(t), er differentialligningen ordinær. Hvis differentialligningen indeholder en differentialkvotient, x, af orden, n, men ingen af højere orden, vil differentialligningen være af n te orden Definition 2.1. En differentialligning af orden, n, defineres som F(t,x(t),x (t),...x (n) (t)) = 0 (2.1) hvor F er en funktion afhængende af n + 2 variable, på et område, Ω R n+2. [Andersson & Böiers, 1992, s.1] Når man snakker om en løsning til differentilligning (2.1) i et interval, I R, menes der en funktion, x(t), på I, så (t,x(t),x (t),...,x (n) (t)) tilhører Ω og (2.1), hvor t I. Under passende forudsætninger kan x (n) løses, i det mindste lokalt, ud fra differentialligning (2.1). 3

2.2 Begyndelsesværdiproblem Så får differentialligningen formen x (n) (t) = f (t,x(t),x (t),...,x (n 1) (t)) (2.2) Her siges differentialligningen at være på normalform. Differentialligning (2.2) siges at være lineær, hvis højresiden kan skrives således f (t,x(t),x (t),...,x (n 1) n 1 (t)) = k=0 a k (t)x (k) + b(t) Hvis koefficienterne, a k (t), er uafhængige af t, siges den lineære differentialligning at have konstante koefficienter. Derudover kaldes ligningen homogen, såfremt der gælder, at b(t) = 0 for alle t. Alt dette vil vi komme yderligere ind på senere. Nu vil vi definere begyndelsesværdiproblemet for en differentialligning, som er essentiel når en konkret løsning til en differentialligning skal bestemmes. [Andersson & Böiers, 1992, s.1-2] 2.2 Begyndelsesværdiproblem Ofte er der ikke interesse for den almene løsning til en differentialligning, men i stedet en løsning med specielle egenskaber, hvilket fås fra et begyndelsesværdiproblem. I et begyndelsesværdiproblem søges en løsning, der, muligvis i forbindelse med et antal afledede, antager givne værdier i et punkt. For en differentialligning af n te orden vil begyndelsesbetingelsen se ud som herunder hvor c 0, c 1,..., c n 1 er givet på forhånd. x(t 0 ) = c 0, x (t 0 ) = c 1,..., x n 1 (t 0 ) = c n 1 Det er værd at bemærke, at alle højere afledede i t 0 kan beregnes ved hjælp af differentialligning (2.2). [Andersson & Böiers, 1992, s.28] Når der ses på eksistens og entydighed af en løsning til en differentialligning, er det her nødvendigt at tage begyndelsesværdiproblemet i betragtning. Et begyndelsesværdiproblem til en 1. ordens differentialligning kan se ud som følgende x (t) = f (t,x(t)) x(t 0 ) = x 0 (2.3) Det skal bemærkes, at enhver differentialligning kan skrives på formen (2.3) for et passende antal afledede. I forhold til eksistens og entydighed af en løsning giver begyndelsesværdiproblemet anledning til at se på, om der, når givet (t 0,x 0 ) Ω, eksisterer en løsning. Derudover kan der ses 4 2. Lineære differentialligninger

2.2 Begyndelsesværdiproblem på hvor mange løsninger, der eksisterer til x (t) = f (t,x(t)), når denne går igennem (t 0,x 0 ). Der vil i de efterfølgende kapitler blive beregnet på SIR-modellen, og der vil i disse tilfælde være brug for at have et begyndelsesværdiproblem til systemet for SIR-modellen. Dette vil derfor blive defineret her, og der vil blive henvist tilbage til dette i tilfælde, hvor der bruges et begyndelsesværdiproblem i forhold til SIR-modellen. SIR-modellen er et system af 1. orden, som beskrives i afsnit 2.9, og det er derfor muligt at skrive alle faktorer ind i en systemvariabel. Vi sætter G : R 4 R 4, og lader det afhænge af de tre variable, G(S,I,R ) = rs(t)i(t) rs(t)i(t) ai(t) ai(t) Ses dette i forhold til den afledte i det ovenstående begyndelsesværdiproblem, (2.3), fås det, at rs(t)i(t) x (t) = f (t, x(t)) = G(S,I,R ) = rs(t)i(t) ai(t) ai(t) Vi sætter i vores begyndelsesværdiproblem r = 0,3 og a = 0,15, Derudover sættes t 0 = 0 og derved bliver S(0) = S 0 = 23, I(0) = I 0 = 3 og R(0) = R 0 = 0, og begyndelsesværdiproblemet, for SIR-modellen, gennem denne rapport kommer derfor til at se ud som følgende x (t) = x(0) = 0, 3S(t)I(t) 0,3S(t)I(t) 0,15I(t) 0, 15I(t) 23 3 0 (2.4) hvor N = S(t) + I(t) + R(t) = 26. Modellen kan, med dette begyndelsesværdiproblem, betragtes som en epidemi, da I (t 0 ) = 0,3 23 3 0,15 3 = 20,25 > 0. Det teoretiske begyndelsesværdiproblem kan her også blive genformuleret som en integralligning. Infinitesimalregningens hovedsætning, 6.1 fra bilag A, kan benyttes til integraler af vektorfunktioner. Specielt gælder der, at for en integralkurve, α, får vi en kurve, β : I R n, givet ved t β(t) = α(s)ds t 0 for alle t I. Her benytter vi, at t t 0 = t 0 t for t < t 0. Kurven β er differentiabel med β (t) = d dt t t 0 α(s)ds = α(t) for alle t I, som er den første del af infinitesimalregningens hovedsætning. 2. Lineære differentialligninger 5

2.2 Begyndelsesværdiproblem Den anden del er t for enhver differentiabel kurve, γ : I R n. t 0 γ (s)ds = γ(t) γ(t 0 ) Genformuleringen af begyndelsesværdiproblemet, som her sættes x (t) = f (t,x(t)) = X(t,x) x(t 0 ) = x 0 = c benytter to overvejelser. Den nye notation benyttes udelukkende for at skelne mellem begyndelsesværdiproblemet som differentialligning og integralligning Overvejelse 2.2. Antag, at α : I R n er en løsning til begyndelsesværdiproblemet, hvor t 0 I, (s,α(s)) B R n+1 for alle s I og α (s) = X(s,α(s)) (2.5) for alle s I og med α(t 0 ) = c Det er nu tilladt at integrere begge sider af ligning (2.5) fra t 0 til t. Gøres dette ved brug af infinitesimalregningens hovedsætning og begyndelsesværdiproblemet, fastsætter det integralligningen for alle t I. t α(t) = c + X(s,α(s))ds t 0 (2.6) [Betounes, 2000, s.76] For at retfærdiggøre, at ovenstående integralligning er en version af begyndelsesværdiproblemet, må det vises, at enhver løsning, α, til ligningen, (2.6), tilfredsstiller det oprindelige begyndelsesværdiproblem 6 2. Lineære differentialligninger

2.3 Indre produkt og norm Overvejelse 2.3. Antag, at α : I R n er en kontinuert kurve, som opfylder integralligningen, (2.6). Dette betyder, at t 0 I, (s,α(s)) B R n+1 for alle s I, og dermed, at (2.6) er gyldig. Da er det klart, at α(t 0 ) = c. Ud fra den første del af infinitesimalregningens hovedsætning ved vi, at kurven på den højre side af (2.6) er differentiabel, og derved er α(t) også differentiabel. Derved gælder α (t) = d dt [ t ] c + X(s,α(s))ds = X(t,α(t)) t 0 for alle t I. Dette viser, at differential- og integralversionen af begyndelsesværdiproblemet er ækvivalente. [Betounes, 2000, s.77] Vi har nu ændret begyndelsesværdiproblemet fra en differentialligning til en integralligning, hvilket gør det muligt at vise eksistens og entydighed af differentialligninger ved hjælp af integralregning. Til integralligningens version af begyndelsesværdiproblemet hører en operator eller transformation, T, på kurver. Denne er defineret ved følgende Definition 2.4. Antag, at β : I R n er enhver kontinuert kurve med (s,β(s)) B, for alle s I. Lad T (β) betegne en ny kurve på I, defineret ved for t I. t T (β)(t) = c + X(s,β(s))ds t 0 (2.7) [Betounes, 2000, s.78] Ved at bruge notationen fra definition 2.4 og ligning (2.6), er det klart, at integralversionen af begyndelsesværdiproblemet er α = T (α) hvilket blot fortæller os, at α er et fikspunkt på afbildningen, T. 2.3 Indre produkt og norm I det følgende vil det indre produkt og norm blive defineret, idet disse størrelser er vigtige i den resterende del af rapport. Indre produkt Før det er muligt at definere normen, er det nødvendigt at se på det indre produkt af vektorer. Her skal der, inden der gives en generel definition, ses på det reelle og det komplekse tilfælde. 2. Lineære differentialligninger 7

2.3 Indre produkt og norm Under det reelle tilfælde ses der på de to vektorer, x, y R n, hvor x = (x 1,...,x n ) og y = (y 1,...,y n ), samt deres skalarprodukt, x y, som er defineret ved x y = x 1 y 1 +... + x n y n For skalarproduktet gælder der, at x x 0 for alle x R n, og ligheden gælder kun i tilfældet, hvor x = 0. Hvis y R n er fastsat, så er afbildningen, R n R, som sender x R n over i x y, lineær. Derudover gælder der, at x y = y x. Det indre produkt er en generalisering af skalarproduktet, hvor der, ved det reelle tilfælde, sker en udvidelse af egenskaberne for skalarproduktet. Dette er ikke nok i det komplekse tilfælde, hvor der haves de to vektorer, z, w C n, for hvilke der gælder, at z = (z 1,...,z n ) og w = (w 1,...,w n ). Der gælder, for z, at z 2 = z z. Ved en kontrol af dette tages z C, hvor z = x + iy og z = x iy. Det fås derved, at (x + iy)(x iy) = x 2 + xiy xiy (iy) 2 = x 2 ( y 2 ) = x 2 + y 2 = z 2 Ses der nu på størrelsen, w z, fås w z = w 1 z 1 +... + w n z n Dette ses som det indre produkt af w og z. Herudfra ses, at byttes rollerne for w og z om, fås den kompleks konjungerede. Det kan altså antages, at det indre produkt af w med z, er lig det kompleks konjungerede af det indre produkt af z med w. [Axler, 1996, s.98-99] Det er nu muligt at komme med en generel definition for det indre produkt Definition 2.5. En afbildning, V V L, hvor L er en fælles betegnelse for R og C, skrevet som v, w, kaldes et indre produkt, hvis følgende er opfyldt - positivitet, v, v 0, for alle v V - positivt definit, v, v = 0, gælder kun for v = 0 - additivitet i første indgang, v + w, u = v, u + w, u, for alle v, w, u V - homogenitet i første indgang, a v, u = a v, u, for alle a L, v, u V - konjungeret symmetri, v, w = w, v, for alle v, w V [Axler, 1996, s.99-100] Det er nu muligt, ud fra det indre produkt, at definere normen af en vektor. 8 2. Lineære differentialligninger

2.3 Indre produkt og norm Norm Normen er defineret ved Definition 2.6. Den Euklidiske norm Hvis v, w er et indre produkt på vektorrummet, V, kaldes v = v, v for normen af v. Normen har følgende egenskaber (i) v = 0 v = 0 (ii) a v = a v (iii) Trekantsuligheden v + w v + w [Axler, 1996, s.102] Bevis. Der bevises her de tre egenskaber, (i), (ii) og (iii), der gælder for normen. (i) Det fås, at for v = 0, må der gælde, at v, v = 0. Dette er kun muligt i tilfældet, hvor v, v = 0. Dette sker kun, ifølge definitionen på det indre produkt, når v = 0. Derved er (i) bevist. (ii) Der tages her udgangspunkt i a v 2, hvilket giver størrelsen a v,a v = a a v, v. Denne størrelse kan også udtrykkes ved a 2 v 2. Tages kvadratroden af dette, fås a v = a v, hvilket beviser (ii). (iii) Beviset for trekantsuligheden kræver visse forberedelser, og dette vil derfor komme senere i dette afsnit. [Axler, 1996, s.102] Som første forberedelse til beviset for definition 2.6, (iii), ses der på Sætning 2.7. Kvadratet af en to-ledet størrelse v + w = v 2 + w 2 + 2Re v, w Bevis. Sætning 2.7 er dermed bevist. v + w 2 = v + w, v + w = v, v + w + w, v + w = v, v + v, w + w, v + w, w = v 2 + w 2 + v, w + v, w = v 2 + w 2 + 2Re v, w. Kvadratet af en to-ledet størrelse i forhold til Pythagoras sætning inddrages nu. De to vektorer, v og w, er ortogonale i vektorrummet, V, og derved er v, w = 0. Derfor bliver resultatet, at 2. Lineære differentialligninger 9

2.3 Indre produkt og norm v + w 2 = v 2 + w 2 + 2Re v, w = v 2 + w 2 + 2 0 = v 2 + w 2 + 0 = v 2 + w 2 Der ses herefter på to vektorer, u, v V, hvor v 0. Det ønskes nu at skrive u som et skalarmultiplum af v betegnet a v, hvor a L adderet med w, hvor w står ortogonalt på a v. Dette benytttes nedenfor til at bevise Cauchy-Schwarz ulighed. Derved kan u skrives ved u = a v + w. Ud fra dette ses, at u, v = a v + w, v = a v, v + w, v = a v, v = a v 2 Idet v 0, bliver skalaren a = u, v v 2, og w = u u, v v 2 v. Derved fås som opfylder de stillede krav. ( ) u = a v + w = u, v v 2 v + u u, v v 2 v [Axler, 1996, s.102-103] Det er nu muligt at se på den anden forberedelse til beviset af (iii), i definition 2.6 Sætning 2.8. Cauchy-Schwarz ulighed Hvis u, v V, så gælder der, at u, v u v (2.8) I denne ulighed gælder ligheden kun i tilfælde, hvor enten u eller v er et skalarmultiplum af den anden vektor. [Axler, 1996, s.104] Bevis. Lad u, v V. Der er nu to tilfælde, v = 0 og v 0. Der ses først på tilfældet, hvor v = 0. Ved indsættelse i ulighed (2.8) ses det, at begge sider bliver nul, og derved holder uligheden. I tilfældet v 0 skrives u ved hjælp af dennes ortogonale udskrivning, u = u, v v 2 v + w som er fundet i det foregående. Ud fra Pythagoras sætning, fås 10 2. Lineære differentialligninger

2.3 Indre produkt og norm u 2 = = u, v 2 v 2 v + w ( ) 2 u, v v 2 v + w 2 = u, v 2 v 2 + w 2 u, v 2 v 2 Multipliceres der med v 2 på begge sider af uligheden, og tages derefter kvadratroden, fås hvilket viser Cauchy-Schwarz ulighed. u 2 v 2 u, v 2 u v u, v [Axler, 1996, s.104] Det er nu muligt at vise (iii), i definition 2.6. Bevis. Lad u, v V. Ifølge sætning 2.7 gælder der, at u + v 2 = u 2 + v 2 + 2Re u, v u 2 + v 2 + 2 Re u, v u 2 + v 2 + 2 u, v Der gælder derved, ifølge Cauchy-Schwarz ulighed, at u + v 2 u 2 + v 2 + 2 u, v u 2 + v 2 + 2 u v = ( u + v ) 2 Tages kvadratroden herefter på begge sider af uligheden, fås u + v u + v Derved er (iii), i definition 2.6, bevist. [Axler, 1996, s.105] Specifikt om normer kan vi desuden nævne, at der om den kontinuerte norm,, også kaldet l 1 -normen, gælder, at x = n i=1 x (2.9) 2. Lineære differentialligninger 11

2.4 Lipschitzbetingelse hvilket blandt andet benyttes i en senere sætning omhandlende eksistens og entydighed af løsninger. Om den euklidiske norm gælder der specielt, ved to vektorer, x = at hvoraf det ses, at x + y 2 = x 1 + y 1 2 + x 2 + y 2 2 + x 3 + y 3 2 x 1 x 2 x 3 [Wade, 2004, s.227] og y = x y 2 = x 1 y 1 2 + x 2 y 2 2 + x 3 y 3 2 (2.10) y 1 y 2 y 3, x 1 y 1 2 x y 2 (2.11) x 2 y 2 2 x y 2 (2.12) x 3 y 3 2 x y 2 Desuden ses det, at x 1 y 1 x 2 y 2 x y 2 (2.13) Ovenstående benyttes senere i bestemmelse af Lipschitzbetingelsen for SIR-modellen. 2.4 Lipschitzbetingelse Det er nu muligt at indføre en Lipschitzbetingelse, som garanterer, at der er en løsning til en differentialligning, hvis denne opfylder en Lipschitzbetingelse. En Lipschitzbetingelse er defineret ved Definition 2.9. Funktionen, f (t, x(t)), siges at opfylde en Lipschitzbetingelse på et område, Ω R n+2, hvis der for en konstant, L, gælder f (t,x(t)) f (t,y(t)) L x(t) y(t) (t,x(t)),(t,y(t)) Ω Konstanten, L, kaldes Lipschitzkonstanten, som også kan betegnes Lip( f ). [Andersson & Böiers, 1992, s.33] Vi ønsker nu at undersøge, om SIR-modellen kan opfylde Lipschitzbetingelserne. Som S 1 S 2 hjælp hertil sættes x = I 1 og y = I 2. Ud fra definition 2.9 ønsker vi at op- R 1 R 2 12 2. Lineære differentialligninger

2.4 Lipschitzbetingelse nå, at G( x) G( y) L x y G(S 1,I 1,R 1 ) G(S 2,I 2,R 2 ) L (S 1,I 1,R 1 ) (S 2,I 2,R 2 ) (2.14) på det begrænsede interval, ((S 1,I 1,R 1 ),(S 2,I 2,R 2 )) Ω R 4. Ovenstående kan også omskrives til rs 1 (t)i 1 (t) ( rs 2 (t)i 2 (t)) S 1 S 2 rs 1 (t)i 1 (t) ai 1 (t) (rs 2 (t)i 2 (t) ai 2 (t)) L I 1 I 2 (2.15) ai 1 (t) (ai 2 (t)) R 1 R 2 For at simplificere beregningerne kvadrerer vi på begge sider af (2.14), og får (G(S 1,I 1,R 1 ) G(S 2,I 2,R 2 )) 2 L 2 ((S 1,I 1,R 1 ) (S 2,I 2,R 2 )) 2 hvilket er det, vi ønsker at opnå. Vi tager først udgangspunkt i ( rs 1 (t)i 1 (t) ( rs 2 (t)i 2 (t))) 2 = ( r(s 1 (t)i 1 (t) S 2 (t)i 2 (t))) 2. Derved fås, at ( r(s 1 (t)i 1 (t) S 2 (t)i 2 (t))) 2 = r 2 (S 1 (t)i 1 (t) S 2 (t)i 2 (t)) 2 (2.16) = r 2 (S 1 (t)i 1 (t) + S 2 (t)i 1 (t) S 2 (t)i 1 (t) S 2 (t)i 2 (t)) 2 = r 2 (I 1 (t)(s 1 (t) S 2 (t)) + S 2 (t)(i 1 (t) I 2 (t))) 2 = r 2 (I 1 (t) 2 (S 1 (t) S 2 (t)) 2 + S 2 (t) 2 (I 1 (t) I 2 (t)) 2 + 2I 1 (t)s 2 (t)(s 1 (t) S 2 (t))(i 1 (t) I 2 (t))) r 2 (I 1 (t) 2 S 1 (t) S 2 (t) 2 + S 2 (t) 2 I 1 (t) I 2 (t) 2 + 2I 1 (t)s 2 (t) S 1 (t) S 2 (t) I 1 (t) I 2 (t) ) Da ovenstående ligning er defineret på et begrænset interval, har I 1 (t) og S 2 (t) en øvre grænse, afhængende af begyndelsesværdiproblemet, hvorved de kan opnå en maksimumsværdi. Derfor kan denne værdi sættes ind og isoleres som en konstant, c, og derved kan vi undersøge den nedenstående ligning ( r(s 1 (t)i 1 (t) S 2 (t)i 2 (t))) 2 c( S 1 (t) S 2 (t) 2 + I 1 (t) I 2 (t) 2 + S 1 (t) S 2 (t) I 1 (t) I 2 (t) ) Vi benytter nu egenskaber ved normen, fra ligning (2.10) på side 12, og de tilhørende uligheder, (2.11), (2.12), og (2.13). Herved kan vi se, at ( r(s 1 (t)i 1 (t) S 2 (t)i 2 (t))) 2 c( x y 2 + x y 2 + x y 2 ) 3c x y 2 Om (rs 1 (t)i 1 (t) ai 1 (t) (rs 2 (t)i 2 (t) ai 2 (t))) 2, fra (2.15), gælder, at (rs 1 (t)i 1 (t) ai 1 (t) (rs 2 (t)i 2 (t) ai 2 (t))) 2 = r 2 [S 2 (t)i 2 (t) S 1 (t)i 1 (t)] 2 + a 2 [I 2 (t) I 1 (t)] 2 + 2ar[S 2 (t)i 2 (t) S 1 (t)i 1 (t)][i 2 (t) I 1 (t)] Vi deler nu denne ligning op i tre dele (i) r 2 [S 2 (t)i 2 (t) S 1 (t)i 1 (t)] 2 2. Lineære differentialligninger 13

2.5 Eksistens og entydighed (ii) a 2 [I 2 (t) I 1 (t)] 2 (iii) 2ar[S 2 (t)i 2 (t) S 1 (t)i 1 (t)][i 2 (t) I 1 (t)] (i) behandles ligesom ligning (2.16), (ii) behandles som den efterfølgende (2.17) og (iii) vurderes her 2ar[S 2 (t)i 2 (t) S 1 (t)i 1 (t)][i 2 (t) I 1 (t)] = 2ar[S 2 (t)i 2 (t) + S 2 (t)i 1 (t) S 2 (t)i 1 (t) S 1 (t)i 1 (t)][i 2 (t) I 1 (t)] = 2ar[S 2 (t)(i 2 (t) I 1 (t)) + I 1 (t)(s 2 (t) S 1 (t))][i 2 (t) I 1 (t)] 2ar[S 2 (t) I 2 (t) I 1 (t) + I 1 (t) S 2 (t) S 1 (t) ] I 2 (t) I 1 (t) c( I 2 (t) I 1 (t) + S 2 (t) S 1 (t) ) I 2 (t) I 1 (t) c( I 2 (t) I 1 (t) 2 + S 2 (t) S 1 (t) I 2 (t) I 1 (t) ) c( x y 2 + x y 2 ) = 2c x y 2 Den sidste vurdering går på følgende, fra (2.15), Vi samler nu (i),(ii) og (iii), og opnår derved (ai 1 (t) (ai 2 (t))) 2 = a 2 (I 1 (t) I 2 (t)) 2 c x y 2 (2.17) (rs 1 (t)i 1 (t) ai 1 (t) (rs 2 (t)i 2 (t) ai 2 (t))) 2 3c x y 2 + c x y 2 + 2c x y 2 = 6c x y 2 Det er nu muligt at samle det hele sammen, og derved opnår vi, at G(x) G(y) 2 3c x y 2 + 6c x y 2 + c x y 2 G(x) G(y) L x y hvorved Lipschitzbetingelserne er opfyldt for SIR-modellen. Det er derfor muligt at sikre sig, at der eksisterer en løsning til differentialligningssystemet. 2.5 Eksistens og entydighed Til at vise eksistens og entydighed i løsninger til differentialligninger skal vi benytte teorien omkring Picard iterationer, som følger nedenfor. 2.5.1 Picard iterationer Picard iterationer er en metode, som blandt andet kan benyttes til at vise eksistensen af en løsning til et begyndelsesværdiproblem, samt en direkte approksimation af α. Som grundlag 14 2. Lineære differentialligninger

2.5 Eksistens og entydighed for metoden benyttes et interval, I, indeholdende t 0 fra begyndelsesværdiproblemet. Vi lader C, være mængden af alle kontinuerte kurver, β : I R n, og sætter den åbne mængde B = I R n. Der gælder da om afbildningen, T, fra ligning (2.7), at den har mængden, C, som definitionsmængde og værdimængde. Bemærk, at for en generel åben mængde, B R n+1, er der ingen garanti for, at T (β) C for enhver β C Definition 2.10. For en given kurve, β C, er Picard iterationer af β elementerne i følgen, {T k (β)} k=1, således, at T 0 (β) = β T 1 (β) = T (β) T 2 (β) = T (T (β)) T 3 (β) = T (T (T (β))). T k (β) = T (T k 1 (β)) [Betounes, 2000, s.79] Det vil blive vist i eksistens og entydighedssætningen, at Picard iterationer altid konvergerer imod et fikspunkt, α af T, uden hensyn til valget af begyndelseskurver, β. 2.5.2 Sætning om eksistens og entydighed Følgende sætning fastslår, at der til ethvert begyndelsesværdiproblem findes en entydig løsning, som tilfredsstiller en given differentialligning Sætning 2.11. Eksistens og entydighed Antag, at en funktion, X : B R n, er et tidsafhængigt vektorfelt på mængden, B R R n. Antag, at alle de partielle afledte, X i x j, hvor i, j {1,...,n}, eksisterer og er kontinuerte i B. Da gælder der, at for hvert punkt, (t 0,c) B, eksisterer der en kurve, α : I R n, med t 0 I, som tilfredsstiller begyndelsesværdiproblemet x (t) = X(t,x) x(t 0 ) = c Yderligere gælder der, at hvis γ : J R n er en anden løsning til begyndelsesværdiproblemet, så er der et interval, Q I J, med t 0 Q, således at α(t) = γ(t), for alle t Q Heraf gælder, at for to løsninger til begyndelsesværdiproblemet, har de et fælles interval, hvori t 0 indgår, og hvorpå løsningen eksisterer. [Betounes, 2000, s.82] 2. Lineære differentialligninger 15

2.5 Eksistens og entydighed Bevis. Vi tager udgangspunkt i den lukkede kugle i R n, som har centrum i c og radius r B(c,r) {x R n x c r} Her benyttes normen, (2.9), fra afsnit 2.3, og dens egenskaber. Da mængden, B, er en åben mængde, og da (t 0,c) B, kan vi vælge, r > 0 og b > 0, således, at [t 0 b,t 0 + b] B(c,r) B. Da vi antog, at funktionerne, X i, og de partielle afledte, X i x j, i, j {1,...,n} er kontinuerte i B, er de også kontinuerte på [t 0 b,t 0 + b] B(c,r). Mængden, [t 0 b,t 0 + b] B(c,r), er kompakt, og derved også lukket og begrænset. På grund af begrænsningen eksisterer der en konstant, K > 0, således, at og X i (t,x) K (2.18) X i (t,x) x j K (2.19) for alle (t,x) [t 0 b,t 0 + b] B(c,r) og for alle i, j {1,...,n}. Ud fra uligheden, (2.18), og definitionen af l 1 -normen, (2.9), ledes vi direkte videre til uligheden X(t, x) = n i=1 X i (t,x) nk for alle (t,x) [t 0 b,t 0 + b] B(c,r). Denne ulighed medfører følgende ulighed, (2.20), hvilket forklares nedenfor for alle x,y B(c,r) og for t [t 0 b,t 0 + b]. X(t,x) X(t,y) nk x y (2.20) Begrundelse af ulighed (2.20) Vi vælger x,y B(c,r) og t [t 0 b,t 0 + b]. For ethvert i defineres nu en funktion, h i, ved h i (λ) = X i (t,λy + (1 λ)x) for λ [0,1]. Det er her værd at bemærke, at punktet, λy + (1 λ)x, ligger på linjestykket mellem x og y, og at punktet også tilhører mængden, B(c,r), da denne mængde er konveks. Derfor giver ovenstående definition af h i mening. Vi skal nu benytte middelværdissætningen, 6.2 fra bilag A, på h i. Herudfra kan vi konkludere, at der eksisterer et λ 0 (0,1), således at h i (1) h i (0) = h i(λ 0 ) (2.21) Ved at benytte denne, samt kædereglen, til at differentiere h i, og uligheden, (2.19), giver 16 2. Lineære differentialligninger

2.5 Eksistens og entydighed dette X i (t,x) X i (t,y) = h(0) h(1) da det ud fra definitionen af h i ses, at h i (0) = X i (t,0y + (1 0)x) = X i (t,x), og at h i (1) = X i (t,1y + (1 1)x) = X i (t,y). Dette giver X i (t,x) X i (t,y) = h(1) h(0) = h i(λ 0 ) hvilket kan ses ud fra (2.21). Benyttes kædereglen og middelværdissætningen til at differentiere h i ses, at X i (t,x) X i n X (t,y) = i (t,λ 0 y + (1 λ 0 )x)[y j x j ] x j K j=1 n y j x j = K y x j=1 hvoraf det sidste ses ud fra uligheden, (2.19), og normen, (2.9). Ved nu at summere over begge sider af uligheden opnås uligheden, (2.20). Vi vælger nu et tal, a > 0, således, at X i (t,x) X i (t,y) K y x a < r nk, a < b og a < 1 nk og lader C betegne følgende mængde af kurver C = {β : [t 0 a,t 0 + a] B(c,r) β er kontinuerte } Transformationen, T, er begrænset ud fra definition 2.4 til kurven i mængden, C. Da der ingen begrænsning er på B, er C nødt til at være en mindre mængde, og vi kræver, at den er en afbildning ind i sig selv, T : C C. Hermed menes, at hvis β er i C, så er T (β) ligeledes i C. Her er T (β) automatisk kontinuert, da den er differentiabel ifølge infinitesimalregningens hovedsætning, 6.1 fra bilag A. Derfor behøver vi kun at vise, at T (β)(t) B(c,r) for alle t [t 0 a,t 0 + a]. For at se dette antager vi først, at t > t 0. Der gælder da, at t T (β)(t) c = c + X(s,β(s))ds c t 0 t X(s,β(s)) ds t 0 nk t < nka < r Den første ulighed i det ovenstående er et generelt resultat, som følger af definitionen omkring integralkurver, fra t 0 til t, og af egenskaberne for normen. Den anden ulighed følger 2. Lineære differentialligninger 17

2.5 Eksistens og entydighed af de overstående udredninger heri ulighed (2.20). De sidste to uligheder fremkommer af definitionen af a. Argumentationen for t < t 0 er tilsvarende. Vi vil nu vise, at T : C C er en sammmentrækningsafbildning. Fra bilag A, sætning 6.4, ved vi, at der så eksisterer en konstant, 0 < q < 1, således, at T (β) T (γ) q β γ for alle β,γ C. Denne ulighed siger, at afstanden mellem T (β) og T (γ) er strengt mindre end afstanden mellem β og γ, da q < 1. Derfor må T trække afstanden mellem punkterne sammen, så de derved ligger tættere på hinanden. Dette er den afgørende egenskab, som sikrer konvergens i Picard iterationer. Sammentrækningsegenskaberne ved T kommer fra en tilnærmelse, som involverer endnu en anden norm. Denne norm er ikke i R n, men nærmere i vektorrummet C = {β : [t 0 a,t 0 + a] R n β er kontinuerte} for alle kontinuerte kurver i intervallet [t 0 a,t 0 + a], og ikke kun i de som ligger i B(c,r). Dette vektorrum, C, er uendeligt dimensionelt og indeholder mængden, C, som et underrum. Normen på C, hvilket også implicerer elementerne i C, er en neutral norm, kaldet sup-norm. Denne er defineret som følgende Definition 2.12. For β C gælder der, at afbildningen, t β(t), er kontinuert på det lukkede interval, [t 0 a,t 0 + a]. Ud fra sætningen, maksimum og minimum antagelse, 6.5 fra bilag A, vides, at den største værdi findes i dette interval. Denne værdi er normen af β. Notationen er følgende β = sup{ β(t) t [t 0 a,t 0 + a]} I forhold til denne norm vil vi vise, at T er en sammentrækning på C. Antag nu, at β,γ C og t [t 0 a,t 0 + a], og at t 0 < t. Ved t 0 > t ses det samme. Vi får da, at t T (β)(t) T (γ)(t) = [X(s,β(s)) X(s,γ(s))]ds t 0 Ud fra definitionen af supremum får vi nu, at t t 0 X(s,β(s)) X(s,γ(s)) ds t nk β(s) γ(s) ds t 0 nk t t 0 β γ nka β γ T (β) T (γ) nka β γ (2.22) 18 2. Lineære differentialligninger

2.5 Eksistens og entydighed Derfor kan vi nu sætte q = nka < 1 og få T som en sammentrækningsafbildning på C. Dette benyttes til at vise, at følgen af Picard iterationer konvergerer mod en entydig løsning af begyndelsesværdiproblemet for ethvert valg af β C. Vi har allerede set, at T afbilder C ind i sig selv, T : C C. Antag nu, at vi vælger enhver kurve β C, og lader T være de efterfølgende resultater i følgen af Picard iterationer, {T k (β)} k=1 hvilket er en følge af kurver i C. Vi får først en vurdering af, hvor adskilte T k (β) og T k+p (β) er i forhold til supremum af normen. Ved gentagen brug af sammentrækningsegenskaberne opnår vi ulighederne T k (β) T k+p (β) = T (T k 1 (β)) T (T k+p 1 (β)) < q T k 1 (β) T k+p 1 (β). < q k β T p (β) for enhvert k og p. I specielle tilfælde, hvor p = 1, gælder der for denne ulighed, at For yderligere undersøgelse af uligheden T k (β) T k+1 (β) q k β T (β) (2.23) T k (β) T k+p (β) < q k β T p (β) (2.24) ser vi på, hvor langt β og T p (β) kan komme fra hinanden i forhold til normen. Vi må her huske, at supremum af normen tilfredsstiller trekantsuligheden, (iii) fra definition 2.6 på side 9, for alle kurver v,w C. Her sættes v := γ og w := µ. Ved brug af sammentrækningsegenskaberne, og uligheden, (2.23), får vi, at β T p (β) = β T (β) + T (β) T 2 (β) +... + T p 1 (β) T p (β) β T (β) + T (β) T 2 (β) +... + T p 1 (β) T p (β) β T (β) (1 + q +... + q p 1 ) β T (β) 1 q Hvis vi bruger den sidste del af uligheden, (2.24), får vi, at T k (β) T k+p k β T (β) (β) < q 1 p for alle k og p, hvilket er resultatet vi ønskede at opnå. Herudfra kan det ses, at når lim k q k = 0, gælder der, at følgen, {T k (β)} k=0, er en Cauchy følge i C C. Vi ved, at for enhver Cau- 2. Lineære differentialligninger 19

2.5 Eksistens og entydighed chy følge tilhørende C, som konvergerer mod elementer i C, gælder der, at C er fuldstændigt. Derfor eksisterer der et α C, således at lim T k (β) α = 0 k Dette betyder også, at følgen af kurver, {T k (β)} k=0, konvergerer uniformt mod [t 0 a,t 0 +a] for kurven α. Vi ønsker nu at vise, at α C, og at det er et punkt i T. For at se denne påstand, noteres det, at for alle t [t 0 a,t 0 + a], og for alle k, gælder, at α(t) c α c α T k (β) + T k (β) c α T k (β) + r Vi har her brugt notationen, c, selvom vi mener den konstante kurve, γ(t) = c for alle t. I det ovenstående brugte vi også det faktum, at T k (β) B(c,r). Ved nu at tage grænsen for k i det ovenstående gives, at α(t) c r for alle t [t 0 a,t 0 + a], hvilket betyder, at kurven, α, ligger i B(c,r). Som nævnt i det ovenstående gælder der om kurven, om hvilket følgen af iterationer konvergerer, at den er et element i C, i det tilfælde hvor α er kontinuert. Derfor har vi eftervist, at α C. For at se, at α er et fikspunkt, er det tilstrækkeligt at iagttage, at T er en kontinuert afbildning T (α) = T ( ) lim T k (β) k = lim k T (T k (β)) = lim k T k+1 (β) = α Alt det ovenstående viser, at der eksisterer en løsning, α, på intervallet, I = [t 0 a,t 0 + a]. Vi mangler nu blot at vise, at α er entydig. Entydigheden ligger i den betydning, at hvis γ : J O er en hvilken som helst anden løsning til begyndelsesværdiproblemet, så er γ = α på intervallet, Q = [t 0 m,t 0 + m] I J. Vi vælger et m > 0. På grund af kontinuitet ved γ, er der et δ > 0, således at γ(t) c r for alle t sådan, at t t 0 < δ. Tag nu m = min{δ,a}. Ud fra konstruktionen af α(t) og β(t) ligger de i B(c,r) for alle t Q. Nu sættes M = sup{ α(t) γ(t) t Q} Vi ønsker nu at vise, at M = 0, for da er den øvre grænse mellem α(t) og γ(t) lig nul, hvorved der må gælde, at α(t) = γ(t). Argumentationen for dette er lig med den brugte i ulighed 20 2. Lineære differentialligninger

2.5 Eksistens og entydighed (2.22). Antag nu, at t Q, og da α(t) og γ(t) tilfredsstiller begyndelsesværdiproblemet, har vi, at t α(t) = c + X(s,α(s))ds t 0 γ(t) = c + og så får vi, ved at antage, at t > t 0, at t t 0 X(s,γ(s))ds t α(t) γ(t) = [X(s,α(s)) X(s,γ(s))]ds t 0 t t 0 [X(s,α(s)) X(s,γ(s))] ds t nk α(s) γ(s) ds t 0 nk t t 0 M nkam Bemærk, at den anden ulighed i det ovenstående kommer fra ulighed (2.20), og den kræver, at α(s),γ(s) B(c,r) for alle s Q, hvilket er opfyldt i valget af intervallet Q. Tilsvarende ræsonnement gælder, hvis t < t 0. Ud fra uligheden α(t) γ(t) nkam og definitionen om supremum, samt ved q = nka, får vi, at M qm og da q < 1, gælder denne ulighed kun for M = 0. Derfor eksisterer der kun den entydige bestemte løsning på det givne interval. [Betounes, 2000, s.83-88] 2. Lineære differentialligninger 21

2.6 Maksimale løsninger 2.6 Maksimale løsninger I dette afsnit vil vi vise en metode til, hvordan det maksimale interval, hvorpå løsningen er defineret, kan bestemmes. Som forberedelse til dette, gives først følgende sætning Sætning 2.13. Antag, at den kontinuerte funktion, f : Ω R n, opfylder en Lipschitzbetingelse i R 0 = { (t, x) R n+1 t t 0 α 0, x x 0 β } for α 0 > 0, β > 0 Sæt da ( ) α = min α 0, β B, hvor B = sup f (t, x), (t, x) R Så har begyndelsesværdiproblemet en entydigt bestemt løsning, x(t), defineret på intervallet, hvor t t 0 α, og opfylder x(t) x 0 B t t 0. [Andersson & Böiers, 1992, s.39] Figur 2.1: Mængde hvori den maksimale løsning kan bestemmes Til at hjælpe i forståelsen af maksimale løsninger vil vi tage udgangspunkt i figur 2.1. Antag, at funktionen, f, er defineret og kontinuert i det åbne, sammenhængende område, Ω, og opfylder en Lipschitzbetingelse i et område af alle givne punkter, men ikke nødvendigvis med samme konstant, L, i alle punkterne. Vi betragter igen begyndelsesværdiproblemet, 2.3. Ifølge sætning 2.13 eksisterer der et interval, t t 0 < α, omkring t 0, for hvilket der findes en entydigt bestemt løsning. Følges løsningskurven, se figur 2.1, et passende skridt mod højre indtil punktet t 1 nærmer sig t 0 + α, kan vi nu anvende sætning 2.13 igen, med (t 1,x(t 1 )) som begyndelsespunkt. På denne måde får vi en forlængelse af løsningskurven mod højre. Dette kan gentages, og vi kan desuden vælge, i stedet, at gå mod venstre fra t 0. Sæt a 2 = sup{τ x(t) kan fortsættes til en løsning på [t 0,τ[} a 1 = in f {τ x(t) kan fortsættes til en løsning på ]τ,t 0 ]} (2.25) Det er muligt eventuelt at sætte a 2 = +, hvis, {τ x(t) kan fortsættes til en løsning på [t 0,τ[}, ikke er opadtil begrænset eller at sætte a 1 =, hvis der ligeledes gælder, at {τ x(t) kan 22 2. Lineære differentialligninger

2.6 Maksimale løsninger fortsættes til en løsning på ]τ,t 0 ]}, ikke er nedadtil begrænset. Den maksimale løsning er altså den løsning til begyndelsesværdiproblemet, x (t) = f (t,x(t)), x(t 0 ) = x 0, der fastlægges på intervallet, ]a 1,a 2 [. [Andersson & Böiers, 1992, s.42] Sætning 2.14. Lad f : Ω R n være kontinuert og antag, at den opfylder en Lipschitzbetingelse i en omegn af hvert punkt i Ω. Definér den maksimale løsning, x(t), på intervallet, ]a 1,a 2 [. Til enhver kompakt delmængde, K Ω, gælder der om den maksimale løsning, x(t), til begyndelsesværdiproblemet, at punktet, (t, x(t)) / K, når t er tilstrækkeligt nær a 1, henholdsvis a 2. [Andersson & Böiers, 1992, s.42] Ud af ovenstående sætning kan det derfor udledes, at der findes δ > 0, så a 2 δ < t < a 2 (t,x(t)) / K, og at a 1 < t < a 1 + δ (t,x(t)) / K. Bevis. Antag modsætningsvist, at (t, x(t)) K. Der findes da den kompakte delmængde, K Ω, og en følge af tal, t j, for j {1,2,3,...}, hvorom det gælder, at t j a 2, således at punkterne P j = (t j, x(t j )) K for alle j. Ved anvendelse af Bolzano-Weierstrass sætning, 6.6 fra bilag A, haves en konvergent delfølge, P jk, hvorom der gælder, at P jk P K for k Der gælder desuden, at P Ω, og at vi har en Lipschitzbetingelse på Ω. Punktet sættes nu til P = (a,b), og der gælder om R 0 fra sætning 2.13, at R 0 Ω, R 0 = {(t, x) R n+1 t a α 0, x b β} Da P jk er en følge som konvergerer mod P, gælder der for tilstrækkelige store k, at P jk R 0. Vi anvender nu sætning 2.13 med P jk som begyndelsespunkt. Der gælder da, at P jk = (t jk,x(t jk )), så t jk a α 0 l, x(t jk ) b β l, hvor l > 1, er en konstant, som fastsætter, at afstanden mellem (t jk,x(t jk )) og punktet, (a,b), er lille. Kigger vi nu på figur 2.2, ses, at P jk kan fortsætte en smule mod højre og nærme sig P yderligere. Vi kan nu komme så tæt på P som vi ønsker, hvorved vi også kan komme tættere på P end afstanden, α. Da f opfylder en Lipschitzbetingelse, er det muligt at udvide enhver følge, P jk, med α, hvorved vi nu fortsætter ud over P. Til yderligere forklaring angives nu et hjælpeproblem { y (t) = f (t,y(t)) y(t jk ) = x(t jk ) Så gælder der, at z(t) = { x(t) for t t jk y(t) for t > t jk 2. Lineære differentialligninger 23

2.6 Maksimale løsninger Figur 2.2: P Jk ligger i R 0 er en løsning til begyndelsesværdiproblemet, 2.3, som er defineret på [t 0,a + α]. Da a = a 2, ses heraf, at a + α > a 2, hvilket er en modstrid med, at x(t) er maksimal. Derfor må der gælde, at (t,x(t)) / K, og sætningen er hermed bevist. I det følgende vil vi overveje den maksimale løsning til SIR-modellen. 2.6.1 Maksimal løsning til SIR-modellen Fra afsnit 2.2 har vi, at SIR-modellen er givet ved G(S,I,R ) = rs(t)i(t) rs(t)i(t) ai(t) ai(t) samt at et begyndelsesværdiproblem til modellen kunne være som i (2.4). I afsnit 2.4 på side 12 er der bestemt en Lipschitzbetingelse for SIR-modellen for x og y. Idet disse to vektorer kan være vilkårligt valgt på området, Ω, defineret i afsnittet, må der gælde en Lipschitzbetingelse for SIR-modellen i omegnen af ethvert punkt på området, Ω. Der gælder, ifølge sætning 2.13, at hvis der er givet et begyndelsesværdiproblem, som i (2.4), findes der en entydigt bestemt løsning defineret i intervallet, t t 0 α. Idet t 0 = 0 i begyndelsesværdiproblemet, (2.4), gælder der her, at t t 0 = t 0 = t α. Altså gælder der for SIR-modellen en Lipschitzbetingelse, når t α. Værdien af α fastsættes ud fra øvre normbegrænsning af funktionen og tidsintervallet. SIR-modellen afhænger ikke af tiden, og denne kan derved tages over et ubegrænset tidsinterval, hvilket vil sige, at α 0 =. Vi får heraf, at t β B. Den maksimale løsning til SIR-modellen bliver således den løsning, der kan fastlægges for begyndelsesværdiproblemet, (2.4), på intervallet, ]a 1,a 2 [, givet som i (2.25), som her bliver ] β B, β B [. 24 2. Lineære differentialligninger

2.7 Separable differentialligninger 2.7 Separable differentialligninger Når en separabel differentialligning betragtes, kan t og x separeres således, at differentialkvotienten kan skrives som et produkt af de to variabler, sådan at de to udtryk ikke er afhængige af samme variabel Definition 2.15. Separabel differentialligning af 1. orden En separabel differentialligning er en ligning, hvor der indgår én eller flere afledede funktioner. Dette kan skrives på formen hvor J 1 og J 2 er intervaller. dx dt = f (t)g(x), t J 1 x J 2 [Jensen, 2000b, s.1.3] I definition 2.15 kan det ses, at der er tale om to forskellige intervaller. De to funktioner f og g, der betragtes, i de i definitionen nævnte intervaller, er kontinuerte for f : J 1 R og g : J 2 R. Dette skyldes, at de to variable er internt uafhængige, og derfor har hver deres interval. [Jensen, 2000b, s.1.3] 2.7.1 Løsning For at løse en separabel differentialligning, skal der findes en funktion, x = ϕ(t), hvor t I, som passer ved indsættelse i dx dt = f (t)g(x). Dette betyder i praksis, at der gælder fire betingelser for ϕ(t) Betingelse 2.16. (i) ϕ(t) skal være differentiabel i definitionsintervallet I (ii) I J 1 (iii) værdimængden for ϕ(t) ligger i J 2 (iv) ϕ (t) = f (t)g(ϕ(t)), t I [Jensen, 2000b, s.1.3] Herunder følger en sætning til bestemmelse af løsninger af typen, ϕ(t) 2. Lineære differentialligninger 25

2.7 Separable differentialligninger Sætning 2.17. Antag, at g(x) 0 for alle x J 2, og lad x 1 t G(x) = 0 g(r) dr, x J 2 ; F(t) = f (s)ds, t J 1 0 En differentiabel funktion, x = ϕ(t), t I vil da være løsning til dx dt = f (t)g(x), t J 1 og x J 2, hvis og kun hvis der findes en konstant, k R, således, at x = ϕ(t) passer i ligningen G(x) = F(t) + k (2.26) [Jensen, 2000b, s.1.4] Bevis. Den differentiable funktion, x = ϕ(t), passer i ligning (2.26), hvilket betyder, at I J 1, og at værdimængden for ϕ(t) er indeholdt i J 2, samt at G(ϕ(t)) = F(t) + k, t I (2.27) Det vi skal vise er derfor, at (iv), i betingelse 2.16 og ligning (2.27) er ækvivalente. Antag først, at ligning (2.27) er opfyldt. Ved at differentiere på begge sider, fås G (ϕ(t)) = F (t) og dermed 1 g(ϕ(t)) ϕ (t) = f (t), t I hvilket er det samme som (iv), i betingelse 2.16. Antag omvendt, at (iv), i betingelse 2.16 er opfyldt, og betragt da funktionen Ved differentiation fås H(t) = G(ϕ(t)) F(t), t I H (t) = G (ϕ(t))ϕ (t) F (t) = 1 g(ϕ(t)) ϕ (t) f (t) Ifølge (iv), i betingelse 2.16 er det sidste udtryk lig med nul for alle t I. Følgelig er H (t) = 0 i intervallet I, og H(t) er derfor konstant. Kaldes denne konstant for k, fås ligning (2.27). [Jensen, 2000b, s.1.4] 26 2. Lineære differentialligninger

2.8 Differentialligninger af 1. orden 2.8 Differentialligninger af 1. orden I det foregående afsnit kunne de to variable t og x deles, men dette er ikke nødvendigvis muligt i den lineære differentialligning af 1. orden. Her er variablerne afhængige af hinanden Definition 2.18. Lineær differentialligning af 1.orden En lineær differentialligning af 1. orden skrives på formen for p,q kontinuerte i I. dx + p(t)x = q(t), t I (2.28) dt [Jensen, 2000b, s.1.7] Der skal desuden gøres opmærksom på, at differentialligninger af 1. orden kan afhænge af tid. Differentialligninger af n te orden har ofte konstante koefficienter, som ikke afhænger af tiden, og derfor har disse en anden løsningsmetode, som ses senere i dette kapitel. 2.8.1 Løsning For at finde en løsning til en differentialligning af 1. orden, som (2.28), skal der først haves en differentiabel funktion, x = ϕ(t), hvor t I. Denne skal, ved indsættelse i (2.28), give ligningen ϕ (t) + p(t)ϕ(t) = q(t), for alle t I. Til en differentialligning af 1. orden findes der en eksplicit løsningsformel, der giver alle løsninger udtrykt ved hjælp af stamfunktioner. Sætning 2.19. Den fuldstændige løsning til differentialligningen dx dt + p(t)x = q(t), hvor t I, er givet ved { t } x = e P(t) e P(s) q(s)ds + k, t I, k R (2.29) 0 hvor P(t) = t 0 p(s)ds. [Jensen, 2000b, s.1.8] Bevis. Lad P(t) være en stamfunktion til p(t). Dette giver t P(t) = p(s)ds, t I 0 Idet funktionen e P(t) aldrig er nul, kan man multiplicere med denne på begge sider af lighedstegnet i ligning (2.28), og derved få en ligning, der er ækvivalent med (2.28). P(t) dx e dt + ep(t) p(t)x = e P(t) q(t), t I (2.30) 2. Lineære differentialligninger 27

2.8 Differentialligninger af 1. orden På venstre side er udtrykket en differentialkvotient af et produkt, idet vi har d dt (ep(t) x) = d dt (ep(t) P(t) dx )x + e dt = ep(t) P(t) dx p(t)x + e dt Af dette kan vi konkludere, at ligning (2.30) er ækvivalent med d dt (ep(t) x) = e P(t) q(t), t I (2.31) De funktioner, der opfylder ligning (2.28), er netop de, der opfylder ligning (2.31), og denne er derfor ækvivalent med t e P(t) x = e P(s) q(s)ds + k, t I, k R 0 Når vi så multiplicerer med e P(t) findes x. Dermed er sætningen bevist. [Jensen, 2000b, s.1.7-1.8] Homogenitet En differentialligning som (2.28) kaldes, i tilfældet hvor q(t) = 0, homogen for alle t I. Er differentialligningen ikke homogen, det vil sige q(t) 0, kalder man den inhomogen. I tilfældet, hvor ligningen, (2.28), er inhomogen, siges dx + p(t)x = 0, t I (2.32) dt at være ligning (2.28) s tilsvarende homogene ligning. Sættes q(t) = 0 i løsningsformlen, (2.29), fås den fuldstændige løsning til den homogene ligning, (2.32), ved s x = ke P(t), t I, k R, hvor P(t) = p(s)ds 0 [Jensen, 2000b, s.1.9] Sætning 2.20. Den fuldstændige løsning til differentialligningen, dx dt + p(t)x = q(t), for alle t I, fremkommer ved, til en vilkårlig løsning til den inhomogene ligning, at addere samtlige løsninger til den homogene ligning. [Jensen, 2000b, s.1.10] Bevis. Vi antager, at vi har fundet en vilkårlig løsning, x = ϕ(t), til den inhomogene ligning (2.28). Denne løsning må da være i ligning (2.29), idet denne angiver samtlige løsninger. Derved findes der en konstant, k 1, så t ϕ 1 (t) = e P(t) e P(s) q(s)ds + k 1 e P(t), t I 0 28 2. Lineære differentialligninger

2.9 Differentiallinger af n te orden Funktionerne x = ϕ 1 (t) + ce P(t), t I, c R kan skrives t x = e P(t) e P(s) q(s)ds + (c + k 1 )e P(t), t I, c R (2.33) 0 Når c gennemløber R, vil c + k 1 også gennemløbe R, og funktionerne, (2.33), er derfor funktionerne i (2.29), hvis c + k 1 = k. Sætningen er hermed bevist. Det er altså muligt at finde samtlige løsninger til en differentialligning, som (2.28), hvis der kan gættes en løsning til den inhomogene ligning og løse den tilsvarende homogene ligning. Det skal her desuden nævnes, at sætning 2.20 gælder for alle former for homogene differentialligninger, men beviset gælder kun for differentialligninger af 1. orden. [Jensen, 2000b, s.1.9-1.10] 2.9 Differentiallinger af n te orden I mange tilfælde vil differentialligningen ikke være af 1. orden, men af n te orden. En lineær differentialligning af orden n defineres således Definition 2.21. Lineære differentialligninger af n te orden d n x dt n + a d n 1 x n 1 dt n 1 +... + a dx 1 dt + a 0x = q(t), t I (2.34) hvor a i R for alle i {0,1,...,n 1}, og q er en kontinuert funktion på intervallet, I, og n N. [Jensen, 2000b, s.5.17] Det ses, at denne form for differentialligninger er lineære, idet en sådan ligning kan skrives ved hjælp af en differentialoperator, som kan vises lineær. Denne differentialoperator skrives, L(t,D), og der gælder om den, at L(t,D)x = x (n) + a n 1 (t)x (n 1) +... + a 1 (t)x + a 0 x Det er muligt at opskrive enhver differentialligning, som (2.34), på formen L(t,D)x = b(t) Ud fra følgende sætning ses, at denne differentialoperator, L(t,D), er lineær 2. Lineære differentialligninger 29