D y n a m i s k e s y s t e m e r

& D y n a m i s k e s y s t e m e r L o t k a - V o l t e r r a m o d e l l e n Anders Ellern Bilgrau Peter Enemark Lund Katrine Olsen Inge Marie Cortsen Henning Thomsen D. 19. december 2008 Institut for Matematiske Fag Vejleder: Horia Cornean Gruppe: G2-103

Titel: Dynamiske systemer & Lotka- Volterra modellen Institut for Matematiske Fag, I-17 Fredrik Bajers Vej 7 G 9220 Aalborg Øst Telefon: 99 40 88 04 Fax: 98 15 81 29 http://www.math.aau.dk/ Tema: Dynamiske systemer Projektperiode: Mat1, efterårssemesteret 2008 Projektgruppe: G2-103 Mat1 Deltagere: Anders Ellern Bilgrau Peter Enemark Lund Henning Thomsen Katrine Olsen Inge Marie Cortsen Vejledere: Horia Cornean Synopsis: Med udgangspunkt i Lotka-Volterra modellen, der beskriver det biologisk sammenspil mellem en rovdyrs- og byttedyrsbestand, vil der blive gennemgået og diskuteret teori om differentialligningssystemer. Fra teorien bevises at Lotka-Volterra systemet har et stabilt ligevægtspunkt i første kvadrant. Ligeledes vises det, at enhver ikke-triviel løsning er periodisk og global. Det vises ligeledes, at en udvidet model af Lotka-Volterra systemet, hvor det antages at væksten af dyrene er logistisk, har et asymptotisk ligevægtspunkt. Til sidst er modellerne løst numerisk vha. forskellige numeriske metoder, herunder Eulers metode. Oplags- og sidetal: 80 Antal appendiks: 2 Afsluttet den 19. december 2008 Rapportens indhold er frit tilgængeligt, men oentliggørelse (med kildeangivelse) må kun ske efter aftale med forfatterne.

Forord Denne rapport er udarbejdet i efteråret 2008 af gruppe G2-103 bestående af matematikstuderende på 3. semester. Den er udarbejdet i samarbejde med vejleder Horia Cornean. Rapporten forudsætter en grundviden omkring mængdelære, dierentialligningssystemer og almen funktionsanalyse. Rapporten er skrevet ud fra det givne hovedemne "Dynamiske systemer". Herunder behandler rapporten specielt det dynamiske system "Lotka-Volterra". Rapporten er tiltænkt andre matematiske og naturvidenskabelige studerende, men kan læses af alle interesserede med den nødvendige baggrundsviden. Kildehenvisninger er angivet efter Vancouver-metoden, og kilderne ses sidst i rapporten i litteraturlisten. Måden, hvorpå der henvises, er eksempelvis [n, s. 53], hvor n repræsenterer den n'te kilde i litteraturlisten. Der skelnes imellem, hvorvidt kildehenvisningen er angivet før eller efter punktum. Er kildehenvisningen er indskrevet efter punktum, henvises der til hele det forudgående afsnit. Er kildehenvisningen er skrevet før punktum, henviser kilden til den pågældende linie. I litteraturlisten er de anvendte bøger angivet med titel, forfatter, udgivelsesår, forlag og ISBN-nummer, mens internetsider er angivet med titel, forfatter, internetadresse og dato. Teoremer, lemmaer, bemærkninger, denitioner m.m. nummereres efter kapitel og rækkefølge. Eksempelvis nummereres de forskellige i kapitel 4 således: teorem 4.16, lemma 4.17, denition 4.18, osv. Den digitale version af rapporten vises bedst i Adobe Reader 9 eller en nyere version. Bemærk endvidere at henvisninger samt referencer fungerer som interne links. III

IV Terminologi Følgende afsnit denerer nogle af de begreber og matematiske symboler, som vil blive benyttet i rapporten. L betegner skalarlegemet og er enten R eller C. I rapporten noteres vektorer og matricer med fed skrift. Matricer noteres desuden med versaler. Sporet af en matrix A er benævnt tr(a). Betegnelsen L(V, W ) er mængden af lineære afbildninger fra V over i W. Den lineære afbildning T : V V kaldes en operator. En operator er altså en lineær afbildning fra et vektorrum over i sig selv, som skrives L(V, V ) = L(V ). Realdelen og imaginærdelen af et komplekst tal a er benævnt hhv. med R(a) og I(a). Lad f : V W, og f(v ) W. Urbilledet betegnes f 1 (W ), hvor f 1 (W ) V. Det vil sige urbilledet er de elementer, der via funktionen f afbilledes over i W. Altså f 1 (W ) = {x V f(x) W }.

Indholdsfortegnelse Forord Indholdsfortegnelse III V 1 Introduktion 1 2 Dierensligninger 3 2.1 Kapitalformlen............................. 3 2.2 Systemer af lineære dierensligninger................. 4 2.3 Egenværdier og egenvektorer..................... 5 2.3.1 Bestemmelse af egenværdier.................. 5 2.3.2 Diagonalmatricen........................ 6 2.4 Egenværdiernes og egenvektorernes betydning............ 7 2.4.1 Faseportrætter for systemer af dierensligninger...... 8 3 Dierentialligninger 10 3.1 Systemer af dierentialligninger.................... 10 3.1.1 Autonome systemer...................... 12 3.2 Faseportrætter............................. 13 3.2.1 Komplekse egenværdier.................... 14 3.3 Faseportræt af 2. dimensionelle lineære systemer.......... 15 4 Eksistens og entydighed 18 V

VI INDHOLDSFORTEGNELSE 4.1 Lipschitzbetingelse........................... 18 4.1.1 Bestemmelse af Lipschitzbetingelsen for systemer af dierentialligninger......................... 20 4.1.2 Lipschitzbetingelsen for Lotka-Volterra systemet...... 22 4.2 Eksistens- og entydighedssætningen.................. 22 4.2.1 Eksistens og entydighed af Lotka-Volterra.......... 27 5 Maksimale løsninger 28 6 Stabilitetsanalyse 34 6.1 Ligevægtspunkter............................ 34 6.2 Lyapunovfunktioner.......................... 35 6.2.1 Lyapunovstabilitet....................... 36 6.3 Linearisering af ikke-lineære systemer................ 38 6.3.1 Linearisering af Lotka-Volterra systemet........... 40 6.3.2 Linearisering af det udvidede system............. 41 7 Egenskaber for Lotka-Volterra systemet 42 7.1 Periodiske løsninger.......................... 42 7.2 Globale løsninger............................ 47 8 Numerisk løsning 49 8.1 Eulers metode.............................. 49 8.2 Runge-Kuttas metode......................... 50 8.3 Eulers Metode anvendt på Lotka-Volterra modellerne........ 52 8.3.1 Numerisk løsning af den almindelige Lotka-Volterra model. 53 8.3.2 Numerisk løsning af den udvidede Lotka-Volterra model.. 55 9 Sammenfatning 57 10 Litteraturliste 59 Appendiks 61 A Diverse 61

INDHOLDSFORTEGNELSE VII A.1 Taylors Formel............................. 61 A.2 Normer................................. 61 A.3 Lineær algebra............................. 62 A.4 Åbne og lukkede mængder....................... 63 A.5 Konvergens og kontinuitet....................... 63 A.6 Middelværdisætningen......................... 65 A.7 Store-O notation............................ 67 B Maple kode 68 B.1 Kode for Lotka-Volterra systemet................... 68 B.2 Kode for det udvidede system..................... 70

Introduktion 1 Uafhængigt af hinanden forslog amerikanske Alfred James Lotka og italienske Vito Volterra, i hhv. 1925 og 1926, en model til beskrivelse af samspillet mellem to arter i et økosystem. Modellen, som består af et ikke-lineæret system af to første ordens dierentialligninger, bliver ofte brugt til at studere forholdet mellem en population af rovdyr og byttedyr. I foreliggende rapport lægges fokus på den bagvedliggende matematiske teori, der eksempliceres gennem Lotka-Volterra systemet. Lotka-Volterra systemet beskriver antallet af byttedyr x og antallet af rovdyr y ved dx = x(a by) dt dy = y(c dx), dt hvor a, b, c og d er positive konstanter, som er afhængige af det biologiske samspil mellem arterne. Modellen er forsimplet ud fra en række overordnede antagelser omkring et økosystem. F.eks. antages det, at byttedyrene har ubegrænset adgang til føde, samt at de ikke har andre naturlige fjender end det pågældende rovdyr. Tilsvarende tager modellen udgangspunkt i, at rovdyrene ikke har alternative fødekilder. Ganges x ind i byttedyrsligningen fås: dx dt = xa bxy. Konstanten a angiver byttedyrenes fertilitetsrate, og b betegner rovdyrenes fangsrate. Det ses, at hvis bestanden af rovdyr er nul, y = 0 (i.e. byttedyrene jages ikke), vil byttedyrsbestanden vokse eksponentielt. Når y > 0 forhindres den eksponentielle vækst af leddet bxy. Det er her antaget, at raten af prædation er 1

2 1. Introduktion proportional med, hvor ofte rov- og byttedyr mødes. Hvis x eller y er lig nul er bxy derved nul, og der kan derfor ikke ske prædation. Ligeledes kan rovdyrsligningen betragtes: dy dt = dyx yc. Første led dxy betragtes som vækstraten i bestanden af rovdyr. Her afhænger væksten af antallet af byttedyr, som er tilgængelige for rovdyrene. Er der ingen byttedyr, dvs. x = 0, kan rovdyrbestanden ikke vokse. Sidste led yc repræsenterer mortalitetsraten for rovdyrene. Bestanden er således eksponentielt aftagende, hvis vækst-leddet er lig nul. [7, s. 240] I resten af rapporten benævnes denne model med den almindelige Lokta-Volterra model. Det udvidede Lotka-Volterra system Systemet kan udvides på forskellige måder. I den følgende udvidelse forkastes først antagelsen om, at byttedyrsbestanden kan vokse ubegrænset, og der introduceres i stedet logistisk vækst. Det er her tanken, at en evt. byttedyrsbestand har indydelse på sin egen vækst. Antages det endvidere, at byttedyrene, hvis y = 0, opfylder en logistisk vækst beskrevet på formen dx dt = x(a x), vil vi med prædationsleddet bxy få, at dx dt = xa λx2 bxy. Altså har vi blot trukket leddet λx 2 fra den almindelige byttedyrsligning. Antages det, at en lignende ligning gælder for rovdyrene fås dy dt = cy + dxy µy2. Det udvidede system er altså beskrevet ved dx = x(a by λx) dt dy = y( c + dx µy). dt De andre grundlæggende antagelser, såsom at byttedyrene er rovdyrenes eneste fødekilde, gælder stadig for dette system. [7, s. 243] I rapporten vil der i det efterfølgende blive gennemgået en mængde grundlæggende teori, som skal anvendes til at bestemme egenskaber og karakteristika for løsninger til systemet, for at give en bedre indsigt i Lotka-Volterra og andre dynamiske modeller generelt.

Dierensligninger 2 I dette kapitel betragtes diskrete dynamiske systemer, som er systemer af dierensligninger. Kapitlet begynder derfor med en kort introduktion til dierensligninger, hvor der tages udgangspunkt i kapitalformlen, og herfra fortsættes over i systemer af dierensligninger. Vi vil samtidig se på den rolle, som egenværdier og egenvektorer spiller i denne sammenhæng. 2.1 Kapitalformlen Kapitalformlen er givet ved følgende dierensligning: K n+1 = (1 + r) K n, (2.1) hvor K n er kapitalen til det n'te år, og r betegner rentefoden. Givet en startbetingelse K 0, dvs. kapitalen til tiden n = 0, kan vi vha. ligning (2.1) eksplicit beregne K 1 : K 1 = (1 + r) K 0. Til tiden n = 1 anvendes ligning (2.1) igen: K 2 = (1 + r) K 1 = (1 + r) (1 + r) K 0. Vi vil gerne kunne beregne kapitalen til det n'te år ud fra K 0. Med andre ord vil vi nde en ligning, som giver K n eksplicit ud fra K 0. Ud fra vores forrige beregninger formoder vi, at en sådan ligning er givet ved: K n = (1 + r) n K 0. (2.2) Denne ligning vil vi nu bevise, og dette gøres med induktion efter n. 3

4 2. Dierensligninger Bevis Basistrin n = 0 Indsættelse af n = 0 i kapitalformlen (ligning (2.1)) giver, hvilket er sandt. Induktionstrin Vi antager, at K 0 = (1 + r) 0 K 0 = 1 K 0 = K 0 K j = (1 + r) j K 0 er sandt for et arbitrært j N. Vi vil så vise, at denne antagelse medfører, at Fra kapitalformlen (2.1) har vi, at K j+1 = (1 + r) j+1 K 0. K j+1 = (1 + r) K j, (2.3) og vi bruger så induktionsantagelsen K j = (1 + r) j K 0, som indsættes i ligning (2.3), da fås K j+1 = (1 + r) (1 + r) j K 0 = (1 + r) j+1 K 0. Ud fra disse beregninger og induktionsprincippet har vi bevist, at K n = (1 + r) n K 0 er sandt for alle n 0. Q.E.D. 2.2 Systemer af lineære dierensligninger Givet to dierensligninger X k+1 = AX k + BY k Y k+1 = CX k + DY k, (2.4) hvor A, B, C og D er kendte konstanter, kan (2.4) skrives entydigt som et ligningssystem: x k+1 = Ax k, k 0, (2.5) hvor x k+1 = [ X k+1 Y k+1 ], x k = [ X k Y k ] og A = [ A C ] B D Vi så i afsnittet om kapitalformlen (2.1), at kapitalen for den (n + 1)'te termin let kunne beregnes ud fra et kendskab til startkapitalen. Dette vil vi se nærmere på i forbindelse med systemer af dierensligninger. Til dette formål spiller egenværdier og egenvektorer en central rolle.

2. Dierensligninger 5 2.3 Egenværdier og egenvektorer Følgende afsnit omhandler et udsnit af den grundlæggende teori omkring egenværdier og egenvektorer. Formålet med afsnittet er at skabe et grundlag for den senere anvendelse af egenværdier og egenvektorer i klassiskationen af løsninger til dierens- og dierentialligninger. Egenværdiproblemer går ud på at bestemme de værdier for λ for hvilke mængden af n homogene, lineære ligninger med n ubekendte, hvor Av = λv, har en ikke-triviel løsning. [12, s. 2] Denition 2.1 (Egenværdier og egenvektorer) En egenvektor af en n n matrix A er en vektor v forskellig fra 0, som opfylder, at Av = λv for en skalar λ. En skalar λ kaldes en egenværdi til A, hvis der ndes en ikke-triviel løsning v 0 til Av = λv. Ligningen Av = λv kan skrives på formen (A λi)v = 0, (2.6) hvor I repræsenterer identitetsmatricen. For vilkårlige værdier af λ har dette sæt af ligninger kun løsningen v = 0. Der gælder dog, at der ndes ikke-trivielle løsninger, hvis og kun hvis matricen (A λi) ikke er inverterbar. Det vil sige, når determinanten er nul: det(a λi) = 0. Udregens determinanter for maticen A fås et polynomium i λ. Dette polynomium betegnes det karakteristiske polynomium. Egenværdierne ndes ved at bestemme rødderne i dette polynomium. [6, s. 303] 2.3.1 Bestemmelse af egenværdier Et af de tilfælde, hvor det er muligt at bestemme egenværdierne, er når matricen udgør en øvre triangulær matrix. Teorem 2.2 Hvis A L(V ) har en øvre, triangulær matrix med hensyn til en basis af V, så består A's egenværdier af indgangene i diagonalen i den øvre, triangulære matrix. [1, s. 86] Bevis Antag, at (v 1,, v n ) er en basis til V svarende til, at A har en øvre triangulær matrix:

6 2. Dierensligninger M(T, (v 1, v n )) = λ 1 λ 2... 0 λ n. Lad λ tilhøre L, da er M(A λi, (v 1,, v n )) = λ 1 λ λ 2 λ... 0 λ n λ. Skalaren λ er en egenværdi til A, hvis og kun hvis ligningen (A λi)x = 0 har en ikke-triviel løsning, hvilket gør sig gældende i de tilfælde, hvor matricen er ikkeinverterbar. For diagonalmatricen gælder der, at den indeholder en fri variabel i de tilfælde, hvor mindst én af indgangene i diagonalmatricen giver nul, dvs. hvor λ er lig med en af værdierne λ 1,, λ n. [1, s. 85] Q.E.D. 2.3.2 Diagonalmatricen En diagonalmatrix er en kvadratisk matrix, som udelukkende består af nuller bortset fra i diagonalen. Det skal fremhæves, at diagonalmatricer i bund og grund består af triangulære maticer, dog med ere nuller. Der gælder for diagonalmatricer, som for de øvre triangulære matricer, at koordinaterne i diagonalen udgør egenværdierne. Teorem 2.3 Hvis T L(V ) har dim V forskellige egenværdier, så har T en diagonalmatrix med hensyn til en basis af V. Bevis Antag at T L(V ) har dimensionen dimv, samt et tilsvarende antal forskellige egenværdier λ 1,..., λ dimv. Lad enhver vektor v j V være en egenvektor forskellig fra 0 svarende til egenværdien λ j. Idet ikke-trivielle egenvektorer svarende til forskellige egenværdier er lineært uafhængige, er (v 1,..., v dim V ) ligeledes lineært uafhængig. Der gælder, at en ikke-lineær liste af vektorer af antal svarende til dimensionen dimv udgør en basis for V 1. Dermed er (v 1,..., v dim V ) en basis for V, og T har en diagonal matrix med hensyn til denne basis. 1 Se prop. 2.17. i [1, s. 32].

2. Dierensligninger 7 Q.E.D. Der gælder for en operator T L(V ) med en diagonalmatrix med tilhørende basis (v 1,... v n ) af V at T v 1 = λ 1 v 1. T v n = λ n v n Idet det følger af denitionen af en matrix for en operator med hensyn til en basis, at vi for ethvert k = 1,..., n kan skrive T v k entydigt som en linearkombination af vektorerne i basen (se appendiks A.3.2). Det ses ud fra overstående og denitionen af egenværdier og egenvektorer, at (v 1,..., v n ) udgør egenvektorerne for T L(V ). Der gælder altså, at hvis T har en diagonalmatrix med hensyn til en basis i V, så er dette ækvivalent med, at V har en basis bestående af egenvektorer for T. [1, s. 88] 2.4 Egenværdiernes og egenvektorernes betydning I afsnit 2.2 blev der redegjort for, at man kan opstille to dierensligninger med to ubekende i et 2 2 ligningssystem. Vi vil i dette afsnit se nærmere på lineære 2 2 systemer, idet disse har en geometrisk fortolkning. Vi vil også se på udviklingen af det dynamiske system x k+1 = Ax k, for k. I de følgende beregninger antager vi, at A er diagonaliserbar. Egenvektorer som basis Vi ved fra forrige afsnit, at hvis en matrix A er diagonaliserbar, dvs. similær med en diagonalmatrix D, hvor egenværdierne λ 1 og λ 2 for A står i D's diagonal, udgør de tilhørende egenvektorer en basis B = {v 1, v 2 }. En vektor i R 2 kan da entydigt skrives som en linearkombination af de to basisvektorer: x 0 = c 1 v 1 + c 2 v 2, (2.7) hvor c 1, c 2 R. Indsættes k = 0 i dierensligningssystemet (2.5), kan vi eksplicit beregne vektoren x 1 : x 1 = Ax 0.

8 2. Dierensligninger Jævnfør (2.7) haves x 1 = A (c 1 v 1 + c 2 v 2 ) = c 1 Av 1 + c 2 Av 2. Da λ 1 og λ 2 er egenværdier for matricen A med de tilhørende egenvektorer v 1 og v 2, dvs. at Av 1 = λ 1 v 1 og Av 2 = λ 2 v 2, haves at Den k'te vektor kan så skrives som x 1 = c 1 λ 1 v 1 + c 2 λ 2 v 2. x k = A k x 0 = A k (c 1 v 1 + c 2 v 2 ) = c 1 A k v 1 + c 2 A k v 2 = c 1 (λ 1 ) k v 1 + c 2 (λ 2 ) k v 2 (2.8) Denne omskrivning gør det lettere at udregne x k da dette blot indebærer at opløfte egenværdierne til k'te potens, i stedet for at udregne A k. I det følgende afsnit vil vi se på, hvad der sker, når k, og hvilken indvirkning egenværdierne har på dette. Meningen her er at studere udviklingen i systemet på længere sigt. [6, s. 342-344] 2.4.1 Faseportrætter for systemer af dierensligninger I beregningerne af den k'te vektor, jvf. (2.8), så vi, at begge egenværdier er opløftet i en potens k. Dette betyder, at når k, vil egenværdierne på forskellige måder dominere udtrykket. Lad nu A være en 2 2 matrix med egenværdierne λ 1 og λ 2 og de tilhørende egenvektorer v 1 og v 2. Med x 0 = c 1 v 1 + c 2 v 2 og den k'te vektor x k = c 1 (λ 1 ) k v 1 + c 2 (λ 2 ) k v 2, (2.9) er det klart, at hvis x 0 = 0, er c 1, c 2 = 0. I så fald er x k = 0 for alle k. I det følgende ser vi på de forskellige tilfælde som afhænger af egenværdiernes fortegn. Dette gøres ud fra et geometrisk synspunkt, da de to egenvektorer, som er lineært uafhængige, udspænder et plan. Der refereres i alle tilfælde til ligning (2.9), når vektoren x k nævnes. 1. Begge egenværdier har numerisk værdi mindre end 1: dette kaldes et dræn. 2. Begge egenværdier har numerisk værdi større end 1: dette kaldes en kilde.

2. Dierensligninger 9 Figur 2.1: Faseportræt af et dræn Figur 2.2: Faseportræt af en kilde Figur 2.3: Faseportræt af et sadelpunkt 3. Den ene egenværdi har numerisk værdi mindre end 1, og den anden har numerisk værdi større end 1: dette kaldes et sadelpunkt. Dræn Lad λ 1 < 1, λ 2 < 1. Hvis k vil λ 1 k 0 og λ 2 k 0. Hvis c 1 = 0, vil vektoren x k gå mod origo langs v 2 -aksen, og tilsvarende vil x k, hvis c 2 = 0, gå mod origo langs v 1 -aksen. Nulvektoren vil ligge i origo, mens alle andre vektorer vil tiltrækkes origo under gentagen afbildning med A. Se gur 2.1. Kilde Lad λ 1 > 1, λ 2 > 1. Det er klart, at for k vil λ 1 k og λ 2 k. Hvis c 1 = 0, vil vektoren x k gå mod uendelig langs v 2 -aksen, og tilsvarende vil x k, hvis c 2 = 0, gå mod uendelig langs v 1 -aksen. Nulvektoren vil igen ligge i origo, mens alle andre vektorer vil fjerne sig fra origo under gentagen afbildning med A. Se gur 2.2. Sadelpunkt Lad nu f.eks λ 1 k > 1 og λ 2 k < 1. For k vil λ 1 k og λ 2 k 0. Hvis c 1 = 0, vil vektoren x k nærme sig origo langs v 2 -aksen, mens x k, hvis c 2 = 0, vil fjerne sig fra origo langs v 1 -aksen. Se gur 2.3. Det andet tilfælde hvor λ 1 k < 1 og λ 2 k > 1 kan vises tilsvarende. Dette gøres ikke her. [6, s. 344-348] Vi ønsker at benytte denne teori på Lotka-Volterra modellen. Problemet er dog, at Lotka-Volterra systemet ikke er lineært, hvormed der ikke kan ndes en eksplicit løsningsformel som i dette afsnit. For Lotka-Volterra systemet bliver man da nødt til at iterere igennem hele systemet for at nde en approksimation af løsningen. Dette gøres i kapitel 8, hvor systemet diskrestiseres vha. Eulers metode.

Dierentialligninger 3 En dierentialligning er en ligning, hvori en funktion x(t) indgår samt en eller ere af dens aedede. En ordinær dierentialligning af orden n har følgende udseende: F (t, x(t), x (t),..., x (n) (t)) = 0, (3.1) hvor F er en funktion af n + 2 variable, som er deneret i et område Ω R n+2. En løsning til en ordinær dierentialligning af n'te orden i et interval I R er en funktion x(t), således at (t, x(t), x (t),..., x (n) (t)) Ω og opfylder (3.1), hvor t I. Hvis en omskrivning af 3.1 til følgende: x (n) (t) = f(t, x(t), x (t),..., x (n 1) (t)). (3.2) er mulig, siges dierentialligningen at være på normalform. Hvis højresiden i (3.2) er lineær, kan den skrives på formen: [3, s. 1-2] n 1 x (n) (t) = b(t) + a k (t)x (k) (t). k=0 3.1 Systemer af dierentialligninger Hvis man har n dierentialligninger, som afhænger af de samme variable, så kaldes disse for et system af dierentialligninger. Den generelle opskrivning af et første ordens system er følgende: dx 1 dt dx 2 dt. dx n dt = f 1 (t, x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) = f 2 (t, x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) = f n (t, x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)). 10

3. Dierentialligninger 11 Det ses, at antallet af ligninger er lig med antallet af ubekendte funktioner, samt at der ikke er nogle aedte af orden højere end 1. En generel løsning til systemet er et ordnet sæt af funktioner (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)), som opfylder systemet. Hvis systemets begyndelsesbetingelse x 1 (t 0 ) = k 1, x 2 (t 0 ) = k 2,..., x n (t 0 ) = k n er givet, så er det ofte muligt at nde én og kun én løsning til systemet. Dierentialligningssystemet sammen med begyndelsesbetingelsen kaldes for et begyndelsesværdiproblem. Hvis der er ere ligninger end ubekendte, er det ikke muligt at nde en løsning, som opfylder begyndelsesbetingelsen. Modsat, hvis der er færre ligninger end ubekendte, vil det være muligt at nde ere løsninger. Et lineært system af første orden skrives op på følgende måde: dx 1 = a 11 (t)x 1 (t) + a 12 (t)x 2 (t) +... + a 1n (t)x n (t) + b 1 (t) dt dx 2 dt. dx n dt = a 21 (t)x 1 (t) + a 22 (t)x 2 (t) +... + a 2n (t)x n (t) + b 2 (t) = a n1 (t)x 1 (t) + a n2 (t)x 2 (t) +... + a nn (t)x n (t) + b n (t) hvor a ij og b i er givet, og a ij er systemets koecienter, som afhænger af t. Hvis b i (t) = 0 kaldes systemet homogent, ellers kaldes det inhomogent. [3, s. 20] [8, s. 288-299] For begyndelsesværdiproblemer, som indeholder aedte af orden højere end 1, er det ofte muligt at omskrive systemet til et første ordens system. Dette ses ved at betragte dierentialligningen på normalform Sætter vi x (n) (t) = f(t, x(t), x (t),..., x (n 1) (t)). (3.3) u 1 (t) = x(t), u 2 (t) = x (t), u 3 (t) = x (t),..., u n 1 (t) = x (n 2) (t), u n (t) = x (n 1) (t),, (3.4) kan vi opstille disse funktioner i et dierentialligningssystem u 1 (t) = x 2(t) u 2 (t) = x 3(t). u n 1 (t) = x n(t) u n(t) = f(t, u 1 (t), u 2 (t),..., u n (t)). (3.5) Den n'te ordens dierentialligning i (3.3) og systemet i (3.5) er ækvivalente. Hvis x(t) er en løsning til (3.3), har vi vha. (3.4) en løsning (u 1 (t), u 2 (t),... u n (t)) til (3.5). Omvendt har vi, at hvis (u 1 (t), u 2 (t),... u n (t)) er en løsning til (3.5), er funktionen u 1 (t) en løsning til (3.3), ved at anvende (3.4).

12 3. Dierentialligninger Systemet i (3.1) kan skrives mere kompakt på matrixform hvor x 1 (t) x (t) = A(t)x(t) + b(t), x (t) =. x n(t) x 1 (t) x(t) =. x n (t), A(t) = og b(t) = a 11 (t)... a 1n (t)..... a n1 (t)... a nn (t) b 1 (t).. b n (t) I et homogent ligningssystem er b(t) = 0. Hvis indgangene i A er uafhængige af t, siges systemet at have konstante koecienter. [8, s. 291] Lotka-Volterra modellen er opstillet som et system af to ikke lineære dierentialligninger. Da systemet ikke er lineært, er det ikke muligt at skrive det op på matrixform. Endvidere ses det, at tiden t ikke indgår direkte i systemet, hvilket gør Lotka-Volterra modellen til et autonomt system., 3.1.1 Autonome systemer Autonome systemer har følgende udseende: x (t) = f(x(t)), hvor f er en vektorfunktion fra en åben mængde Ω R n til R n, som er uafhængig af variablen t. Et autonomt dierentialligningssystem opskrives: x 1 (t) = f 1(x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) x 2 (t) = f 2(x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)). x n(t) = f n (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) Givet en løsning x(t) til begyndelsesbetingelsen (t 0, x 0 ) for et autonomt system, ndes der til løsningskurven (t, x(t)) en bane t x(t). Det vil sige man kan parametrisere løsningskurverne til det autonome system, hvor man bruger t som parameter. Mængden af alle baner til et autonomt system kaldes systemets faseportræt. Vi kan f.eks. betragte Lotka-Volterra modellen, hvori der ingen eksplicit afhængighed er af t. Banekurverne til systemet kan plottes i et todimensionalt koordinatsystem med akserne x og y for hhv. byttedyr og rovdyr. Det bemærkes, at for ikkeautonome systemer er det ikke muligt at parametrisere løsninger med parameteren t, fordi systemet afhænger eksplicit af t. For ikke-lineære systemer er det generelt umuligt at bestemme en løsning eksplicit, men ved autonome systemer kan man ved at undersøge faseportrætter alligevel opnå forståelse for løsningernes opførsel..

3. Dierentialligninger 13 3.2 Faseportrætter Vi så i forige afsnit, at et system af n lineære, homogene, førsteordens dierentialligninger kan skrives som x (t) = Ax(t). Da den fuldstændige løsning til dierentialligningen x (t) = x(t) er x(t) = e t, vil vi undersøge, om dette også gælder generelt for dierentialligningssystemer. Vi betragter dierentialligningssystemet [ x 1 (t) x 2 (t) Løsningsfunktionerne til dette system er ] = [ λ 1 0 0 λ 2 ] [ x 1 (t) x 2 (t) ]. x 1 (t) = c 1 e λ 1t x 2 (t) = c 2 e λ 2t. (3.6) Hvis vi benytter vektornotation, har vi, at (3.6) kan skrives som [ ] [ ] [ ] [ ] x 1 (t) c 1 e λ 1t 1 = x 2 (t) c 1 e λ = c 2t 1 e λ1t 0 + c 2 e λ2t. 0 1 Vi kan endvidere skrive (3.6) endnu mere kompakt som for passende skalarer λ 1,2. x(t) = c 1 e λ 1t v 1 + c 2 e λ 2t v 2 Vi vil nu se på en løsning af dierentialligningssystemer x (t) = Ax, hvor A er en 2 2 matrix. Vi antager, at der er to lineært uafhængige vektorer v 1 og v 2 til den generelle løsning (3.6). Hvis systemet har to forskellige reelle egenværdier λ 1 og λ 2, er der tre tilfælde: λ 1 > 0 og λ 2 > 0: dette kaldes en kilde. λ 1 < 0 og λ 2 < 0: dette kaldes et dræn. Den ene egenværdi er mindre end nul, den anden større end nul: dette kaldes et sadelpunkt. Vi betragter den generelle løsning ved alle tre tilfælde: Kilde Lad λ 1 > 0 og λ 2 > 0. Hvis t, vil e λ1t og e λ2t. Hvis c 1 = 0, vil vektoren x(t) fjerne sig fra origo langs v 2 -aksen, og tilsvarende vil x(t), hvis c 2 = 0, fjerne sig fra origo langs v 1 -aksen.

14 3. Dierentialligninger Dræn Lad λ 1 < 0 og λ 2 < 0. Hvis t, vil e λ 1t 0, og e λ 2t 0. Hvis c 1 = 0, vil vektoren x(t) gå mod origo langs v 2 -aksen, og tilsvarende vil x(t), hvis c 2 = 0, gå mod origo langs v 1 -aksen. Sadelpunkt Lad λ 1 > 0 og λ 2 < 0 (analogt for λ 1 < 0, og λ 2 > 0). Hvis t, vil e λ 1t, og e λ 2t 0. Hvis c 1 = 0, vil vektoren x(t) gå mod origo langs v 2 -aksen, og tilsvarende vil x(t), hvis c 2 = 0, fjerne sig fra origo langs v 1 -aksen. Faseportrætterne er stort set identiske med de tidligere viste portrætter. Se gurerne 2.1, 2.2 og 2.3 for hhv. dræn, kilde og sadelpunkt. 3.2.1 Komplekse egenværdier I forrige afsnit blev den generelle løsning for et 2 2 lineært dierentialligningssystem x (t) = Ax(t) udledt, hvor matricen A var en diagonalmatrix. I dette afsnit vil vi se på den generelle løsning for et 2 2 system, når matricen for systemet har komplekse egenværdier. Betragtes matricen A for systemet x (t) = Ax(t) A = [ α β ] β, β 0 α har den egenværdierne og egenvektorerne λ 1,2 = α ± iβ, v 1,2 = [ 1 ±i ]. To komplekse løsninger til systemet er derfor x 1 (t) = e (α+iβ)t [ 1 i ], x 2 (t) = e (α iβ)t [ Vi vil nu se nærmere på den komplekse løsningsfunktion x 1 (t). Vi har, at e (α+iβ)t = e αt+iβt = e αt e iβt = e αt (cos(βt) + i sin(βt)). 1 i ].

3. Dierentialligninger 15 Sidste lighed er opnået ved Eulers formel 1. Løsningen bliver da [ ] x 1 (t) =e αt 1 (cos(βt) + i sin(βt)) i [ ] =e αt cos(βt) + i sin(βt) i cos(βt) sin(βt) [ ] [ ] =e αt cos(βt) + e αt sin(βt) i sin(βt) cos(βt) =x R (t) + ix I (t) De to reelle funktioner x R (t) og x I (t) er løsninger til systemet x (t) = Ax(t). Dette ses ved følgende udregning. x R (t) + ix I (t) =x (t) =Ax(t) =A(x R (t) + ix I (t)) =Ax R (t) + iax I (t) Lighederne i ovenstående gælder kun hvis x R (t) = Ax R(t) og ix I (t) = iax I(t), altså løser x R (t) og x I (t) dierentialligningssystemet x (t) = Ax(t). Den generelle løsning til systemet er en linearkombination af de to reelle løsninger x R (t) og x I (t) x(t) = c 1 x R (t) + c 2 x I (t), dvs. x(t) = c 1 e αt [ cos(βt) sin(βt) ] + c 2 e αt [ sin(βt) cos(βt) ]. Vi ser, at enhver løsning er en rotation med perioden 2π β. Ser vi på α haves, at hvis α = 0 er e αt = 1, og vi har en ren rotation, dvs. et center. Omvendt vil løsningerne spirallere udad og indad mod origo for hhv. α > 0 og α < 0, for t. 3.3 Faseportræt af 2. dimensionelle lineære systemer I dette afsnit udledes en metode til at bestemme karakteristika for en løsning. Afsnittet behandler kun lineære autonome 2 2 systemer. Givet en matrix A := ( ) a b c d for et lineært system kan egenværdierne ndes fra den karakteristiske ligning: ( ) a λ b det = λ 2 (a + b)λ + (ad bc) = 0. c d λ 1 Eulers formel: e iθ = cos(θ) + i sin(θ).

16 3. Dierentialligninger Det ses, at konstantleddet præcist er det(a). Ligeledes er koecienten for λ præcist tr(a). Altså fås λ 2 tr(a)λ + det(a) = 0, der løst mht. λ giver λ 1,2 = tr(a) ± tr(a) 2 4 det(a). (3.7) 2 For kortfattethed betegn D := det A og T := tr(a). Det er muligt, at lave en geometrisk fremstilling af faseportrættet udseende udfra systemets placering i planet T D. Placeringen af (T, D) i dette plan er derfor det afgørende. Bemærkning 3.1 Bemærk at Dette vericeres ud fra (3.7). λ 1 + λ 2 = T og (3.8) λ 1 λ 2 = D. (3.9) Det ses, at fortegnet af T 2 4D afgør hvorvidt egenværdierne bliver komplekse eller reelle. Den geometriske fortolkning af dette er placeringen af punktet (T, D) i forhold til parabelen T 2 4D = 0 på guren 3.1. T 2 4D > 0: To forskellige reelle egenværdier. T 2 4D < 0: To forskellige komplekse egenværdier, hvor I(λ 1,2 ) 0. T 2 4D = 0: En reel egenværdi med algebraisk multiplicitet 2. Dvs. egenværdien er en dobbelt rod i den karakteristiske ligning. I tilfældet T 2 4D < 0, fås at R(λ 1,2 ) = T 2. Så fås Spiral dræn hvis T < 0. Spiral kilde hvis T > 0. Centrum hvis T = 0. I tilfældet T 2 4D > 0 fås fra (3.7), at begge egenværdier er reelle: Sadelpunkt hvis D < 0. Hvis D < 0, må egenværdierne have forskellige fortegn jvf. (3.9) i bemærkning 3.1.

3. Dierentialligninger 17 Kilde hvis D > 0 og T > 0. Her betyder D > 0, at egenværdierne har ens fortegn (jvf. (3.9)). Dette kombineret med (3.8) må betyde, at egenværdierne er positive. Altså må der være en kilde. Dræn hvis D > 0 og T < 0. Dette fås, hvis egenværdierne begge er negative. Sættes alt dette sammen fås gur 3.1. Bender systemet sig over parablen fås komplekse egenværdier. [7, s. 61-64] Figur 3.1: Illutration af T-D planet. For et givet 2 2 lineært system kan faseportrættet bestemmes ud fra determinanten D og sporet T af matricen for systemet. [7, s. 63]

Eksistens og entydighed 4 I dette afsnit redegøres for, hvornår der eksisterer en entydig bestemt løsning til et system af dierentialligninger, for dermed til sidst at kunne redegøre for hvorvidt der eksisterer en entydig løsning til Lotka-Volterra systemet. Betragt begyndelsesværdiproblemet: x (t) = f(t, x(t)) x(t 0 ) = x 0, som er et system af første orden, hvor således at x(t) = (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)), f(t, x) = f 1 (t, x 1, x 2,..., x n ) f 2 (t, x 1, x 2,..., x n ). f n (t, x 1, x 2,..., x n ) Lad funktionen f(t, x) være kontinuert i den åbne mængde Ω R R n = R n+1, hvor (t 0, x 0 ) er et punkt i Ω. Med en entydig bestemt løsning til begyndelsesværdiproblemet skal det forstås, at der til ethvert punkt (t 0, x 0 ) i Ω er præcis én løsningskurve x = x(t) (se gur 4.1).. 4.1 Lipschitzbetingelse Hvis en funktion f(t, x) opfylder en Lipschitzbetingelse, er det muligt at sige noget om løsningens entydighed. 18

x 4. Eksistens og entydighed 19 Ω x 0 x = x(t) x 0 x 1 x 2 t 0 Figur 4.1: I denitionsmængden Ω eksisterer der en entydig løsning gennem en begyndelsesbetingelse (t 0, x 0). [3, s. 32] x 0 x 0 + k 2 k 1 h 2 Denition k 4.1 Funktionen f(t, x) siges at opfylde en Lipschitzbetingelse i en 3 åben mængde Ω R R n, hvis der ndes en konstant L, således at Ω f(t, x) f(t, y) L x y, ( t 0, x 0 ) hvor (t, x), (t, y) Ω. (Da er f Lipschitzkontinuert mht. x for fastholdt t.) [3, s. 33] x 1 Ω 0 t 0 { Konstanten L kaldes en Lipschitzkonstant. I 0 Der vises nu et eksempel på, hvorledes Lipschitzkonstanten for en funktion ndes: Eksempel 4.2 Lad f : Ω R være deneret ved f(t, x) = t 2 + x 2, hvor Ω = {(t, x) 0 t 1, 0 x 1}. Her kan Lipschitzkonstanten ndes ved følgende udregninger: f(t, x) f(t, y) = (t 2 + x 2 ) (t 2 + y 2 ) = t 2 + x 2 t 2 y 2 = x 2 y 2 = (x + y)(x y) = x + y x y 2 x y. I dette eksempel bliver Lipschitzkonstanten lig 2.

20 4. Eksistens og entydighed 4.1.1 Bestemmelse af Lipschitzbetingelsen for systemer af dierentialligninger Vi ønsker i dette afsnit at udlede en generel metode til at teste, om 2 2 dierentialligningssystemer opfylder Lipschitzbetingelsen. Denér vektorfunktionerne f : R 2 R 2 og g : [0, 1] R 2, hvor [ ] (1 t)x g(t) = (1 t)x + ty 1 + ty 1 =. (1 t)x 2 + ty 2 Læg mærke til at g(1) g(0) = [ y 1 y 2 ] [ x 1 x 2 Lad h = f g, da vides at h : [0, 1] R 2. Altså er [ ] f 1 (g(t)) h(t) = f(g(t)) = f 2 (g(t)) ] = y x. Vi ser, at [0, 1] t h 1 (t) = f 1 (g(t)) R, hvor komponentfunktionen altså bliver h 1 (t) = f 1 ((1 t)x 1 + ty 1, (1 t)x 2 + ty 2 ) (4.1) Anvendes middelværdisætningen (se appendiks A.6) på (4.1) over intervallet [0, 1], fås h 1(c 1 ) = h 1(1) h 1 (0) = h 1 (1) h 1 (0), (4.2) 1 0 for et eller andet c 1 [0, 1]. Vi ønsker nu at bestemme h 1 (t). Til dette benyttes kædereglen for en funktion af ere variable. ) h 1(t) =( 1 f 1 ) ((1 t)x 1 + ty 1, (1 t)x 2 + ty 2 d ( ) (1 t)x1 + ty 1 dt ) + ( 2 f 1 ) ((1 t)x 1 + ty 1, (1 t)x 2 + ty 2 ) =( 1 f 1 ) ((1 t)x 1 + ty 1, (1 t)x 2 + ty 2 (y 1 x 1 ). ) + ( 2 f 1 ) ((1 t)x 1 + ty 1, (1 t)x 2 + ty 2 (y 2 x 2 ). d ( ) (1 t)x2 + ty 2 dt Her ses, at dette kan omskrives til et indre produkt mellem gradienten og dierensen mellem y og x. Altså har vi h 1(t) = f 1 (g(t)), (y x), (4.3) hvormed udtrykket for h 1 (t) er forsimplet. Helt analogt kan gøres for h 2 (t): h 2(t) = f 2 (g(t)), (y x).

4. Eksistens og entydighed 21 Bemærkning 4.3 Her benyttes notationen ( 1 f)(t), hvormed der menes partiel dierentiation mht. første variabel. Ligeledes forholder det sig med ( 2 f)(t), der er partiel dierentiation mht. anden variabel. Fortsætter vi med at kigge på h 1 (1) h 1 (0) fås følgende: h 1 (1) h 1 (0) =f 1 (g(1)) f 1 (g(0)) Helt analogt fås det igen for h 2 : =f 1 (y) f 1 (x) [jvf. (4.2)] =h 1(c 1 ) [jvf. (4.3)] = f 1 ((1 c 1 )x + c 1 y), y x. h 2 (1) h 2 (0) = f 2 (y) f 2 (x) = f 2 ((1 c 2 )x + c 2 y), y x. For at kunne vurdere om funktionen opfylder Lipshitzbetingelsen kigger vi nu på f(y) f(x). Her fås f(y) f(x) = (f 1 (y) f 1 (x)) 2 + (f 2 (y) f 2 (x)) 2 f 1 (y) f 1 (x) + f 2 (y) f 2 (x) = f 1 ((1 c 1 )x + c 1 y), y x + f2 ((1 c 2 )x + c 2 y), y x Uligheden her fås pga. identiteten a 2 + b 2 a + b. Jævnfør Cauchy-Schwarz' ulighed 1 har vi, at f 1 ((1 c 1 )x + c 1 y), y x f 1 ((1 c 1 )x + c 1 y) y x og f 2 ((1 c 2 )x + c 2 y), y x f 2 ((1 c 2 )x + c 2 y) y x. Hermed er f(y) f(x) f 1 ((1 c 1 )x + c 1 y) y x + f 2 ((1 c 2 )x + c 2 y) y x = ( f 1 ((1 c 1 )x + c 1 y) + f 2 ((1 c 2 )x + c 2 y) }{{} L ) y x. Hermed ses, at hvis faktoren er endelig, kan der eksistere en Lipschitzkonstant L, således at funktionen opfylder Lipschitzbetingelsen. Altså hvis f(y) f(x) ( { f 1 ((1 c 1 )x + c 1 y) + f 2 ((1 c 2 )x + c 2 y) }) y x sup z Ω er Lipschitzbetingelsen opfyldt. Bemærk her at Ω = [0, 1] Ω. Det vil sige, at Ω kun udgør den rumlige udstrækning af denitionsmængden. 1 Cauchy-Schwarz' ulighed: Hvis x, y R n, så x y x y.

22 4. Eksistens og entydighed 4.1.2 Lipschitzbetingelsen for Lotka-Volterra systemet Vi ønsker nu at bruge det overstående til at undersøge, hvorvidt Lotka-Volterra systemet opfylder Lipschitzbetingelsen. Lotka-Volterra systemet er deneret ved [ ] x 1 (a bx 2 ) f(x 1, x 2 ) =. x 2 ( c dx 1 ) Bemærk her at de ubekendte funktioner er benævnt x 1 og x 2 for at undgå forviring med forgående afsnit. Betrages byttedyrs-ligningen f 1 (x 1, x 2 ) = x 1 (a bx 2 ), kan gradienten bestemmes til f 1 (x 1, x 2 ) = [ a bx 2 bx 1 ]. Det ses, at vektorfunktionen er kontinuert, idet den komponentvist er kontinuert (se appendiks A.8). Hvis denitionsområdet Ω vælges til et kompakt område, ved vi, at f 1 (x 1, x 2 ) antager sit maksimum i Ω. Det samme gælder for f 2 (x 1, x 2 ). Hermed må der eksistere en Lipschitzkonstant L, således at f(y) f(x) L y x. Altså gælder Lipschitzbetingelsen for Lotka-Volterra modellen i et passende valgt område Ω. 4.2 Eksistens- og entydighedssætningen Vi opstiller nu to teoremer omkring eksistensen og entydigheden af funktionen f(t, x). Teorem 4.4 Hvis f(t, x) er kontinuert i en omegn af et punkt (t 0, x 0 ) Ω og opfylder en Lipschitzbetingelse i en mængde Ω 0. Så har x (t) = f(t, x(t)) x(t 0 ) = x 0 en entydig bestemt løsning deneret på et åbent interval I 0 omkring t 0. [3, s. 34]

x 1 x 2 t 0 4. Eksistens og entydighed 23 k 3 k 2 k 1 Ω 0 ( t 0, x 0 ) Ω 0 x 0 + h 2 x 1 t 0 I 0 { Figur 4.2: Begyndelsesbetingelsen har en entydig bestemt løsning på det åbne interval I 0. For grask illustration af teorem 4.4, se gur 4.2. Det efterfølgende teorem er medtaget, for at det er muligt at snakke om maksimale løsninger. Denne er en udbygning af teorem 4.4. Teorem 4.5 Antag at en kontinuert funktion f opfylder en Lipschitzbetingelse i R 0 = {(t, x) R n+1 t t 0 α 0, x x 0 β}, for α 0 > 0, β > 0. Lad α = min(α 0, β B ), hvor B = max f(t, x), hvor (t, x) R 0. Begyndelsesværdiproblemet x (t) = f(t, x(t)), x(t 0 ) = x 0 har da en entydig bestemt løsning x(t), deneret i intervallet t t 0 α, hvor uligheden x(t) x 0 B t t 0 opfyldes. Specielt er x(t) x 0 β for t t 0 α. [3, s. 39] Der gives nu en geometrisk fortolkning for at få en bedre forståelse af teoremet. Betragt gur 4.3. På guren ses kvadratet R 0, som er det største kvadrat. Dette kan bestemmes ud fra punktet (t 0, x 0 ) og ud fra det interval, som t og x(t) er deneret på. Her er α 0 og β arbitrære konstanter. Samtidig kan B bestemmes uafhængigt af dierentialligningen. Det er nu muligt at beregne α ud fra de tre værdier α 0, β og B. Ud fra intervallet ses, at den entydige løsning x(t) er deneret indenfor det mindste kvadrat R. Teoremet illustreres ved følgende eksempel:

24 4. Eksistens og entydighed x 0 +β x 0 x 0 -β X hældning - B hældning + B R 0 Ω R α (t,x(t)) t 0 arctan B t 0 -α 0 t 0 +α 0 β t Figur 4.3: Geometrisk fortolkning af 4.5. [3, s. 39] Eksempel 4.6 Vi ser på begyndelsesværdiproblemet x (t) = (x(t)) 2 (4.4) x(0) = 1. Funktionen f(t, x(t)) = (x(t)) 2 er kontinuert på hele R, og vi vil nu undersøge, om den opfylder den anden forudsætning for teorem 4.5, nemlig en Lipschitzbetingelse i mængden R 0, hvor t 0 = 0 og x 0 = 1 fra (4.4). Herved fås R 0 = {(t, x) t 0 α 0, x 1 β}. (4.5) Følgende beregninger viser, at f(t, x(t)) opfylder en Lipschitzbetingelse i R 0 : f(t, x) f(t, y) = x 2 y 2 = (x + y)(x y) = x + y x y ( x + y ) x y ( t 0, x 0 ) (1 + β + 1 + β) x y = 2 (1 + β) x y. Her bliver Lipschitzkonstanten altså 2 (1 + β). Da (4.4) opfylder en Lipschitzbetingelse i mængden R 0, er der ifølge teorem 4.5 reelle tal α og B, så ndes { α = min α 0, β }, B hvor B er givet ved B = sup R 0 { f(t, x) }. t-a I(a) t+a

4. Eksistens og entydighed 25 Ser vi på betingelsen for x i (4.5), haves at x 1 β β + 1 x β + 1. (4.6) Betragtes den højre ulighed i (4.6), har vi at x β + 1 x 2 (β + 1) 2, (4.7) fordi x = x 1+1 x 1 +1 β +1. Betingelsen i (4.7) giver en øvre grænse for x 2. Dette vil sige, at B = sup R 0 { x 2 } = (β + 1) 2. Substitueres vores fundne værdi B i betingelsen for α, har vi { } β α = min α 0, (β + 1) 2. β Vi skal så maksimere både α 0 og, da løsningsintervallet skal gøres så stort, (β+1) 2 β som teorem (4.5) tillader. For er det 1 (β+1) 2 4, når β = 1, (se bemærkning 4.8 på side 26). Værdien α 0 kan vælges arbitrært og sættes til 1 4, da dette giver det største interval for løsningen. Dermed har vi { 1 α = min 4, 1 } = 1 4 4. Det vil sige, at løsningen i intervallet t 1 4 er entydigt bestemt, og fra teorem 4.5 har vi x(t) x(t 0 ) B t t 0. Indsættelse af x 0 = 1 og t 0 = 0 giver x(t) 1 B t. Da t 1 4 har vi, at 4 t 1 og dermed at x(t) 1 4 t 1, hvilket stemmer overens med Lipschitzkonstanten, som tidligere er udregnet til 2 (1 + β), hvor β = 1 giver 4. I mængden R 0 = {(t, x) t 14 }, x 1 1,. haves altså en entydigt bestemt løsning. Se gur 4.4. [3, s. 40]

50% 26 4. Eksistens og entydighed 2 x 0+β X hældning - B 1 x 0 x 0 -β R 0 R 1 4 1 t t 0 -α 0 t 0 Figur 4.4: Det markerede område viser, hvor løsningen i eksemplet eksisterer og er entydigt bestemt. [3, s. 40] Bemærkning 4.7 Dierentialligningen i (4.4) er separabel, og som vi vil vise i kaptitel 5, kan vi ved at løse dierentialligningen ved separation af de variable opnå en større denitionsmængde for løsningskurven. x Bemærkning 4.8 Lad f(β) være b+β f(β) = b-β β (β + 1) 2, β 1. arctan B Vi skal beregne hvornår f(β) er maksimal, dette gøres ved at dierentiere og sætte dierentialkvotienten lig med 0: b f (β) = (β + 1)2 β(2β + 2) (β + 1) 4, For at f (β) skal være 0, kan kun tælleren være 0, så P j k R 0 P (β + 1) 2 β(2β + 2) = 0 a-α 0 a a (β + 1) 2 2β(β + 1) = 0 (β + 1) 2β = 0 β + 1 = 0 β = 1 t 1 Dette viser os dermed at f(β) = 1 4. y Tangent ( t 0, x 0 ) Sekant

4. Eksistens og entydighed 27 4.2.1 Eksistens og entydighed af Lotka-Volterra Det er nu muligt at sige noget om eksistens og entydigheden af Lotka-Volterra modellen. Vi kigger igen på teorem 4.4. Det ses, at hver af de to komponentfunktioner i Lotka-Volterra modellen er kontinuerte i R 2, og derfor er systemet kontinuert i R 2, hvilket haves ud fra teorem A.8, se appendiks. I et foregående afsnit har vi endvidere vist, at Lipschitzbetingelsen er opfyldt for Lotka-Volterra modellen i et passende område Ω. Vi kan så konkludere, at der eksisterer en entydig løsning til Lotka-Volterra systemet i et åbent interval omkring t 0.

Maksimale løsninger 5 Der redegøres nu for, hvad den maksimale er, og hvorledes den ndes. Lad funktionen f være deneret og kontinuert i den åbne sammenhængende 1 mængde Ω. Lad endvidere f opfylde en Lipschitzbetingelse i en omegn af ethvert punkt i Ω. Her er Lipschitzkonstanten ikke nødvendigvis den samme i hvert punkt. Vi betragter begyndelsesværdiproblemet x (t) = f(t, x(t)), x(t 0 ) = x 0. (5.1) Vi ved ud fra teorem 4.5, at der ndes et interval t t 0 < α, hvor der haves en entydig bestemt løsning. Vi følger nu løsningskurven mod højre til punktet t 1, se gur 5.1. Vi lader altså t 1 nærme sig t 0 + α. I omegnen af punktet t 1 opfyldes der en Lipshitzbetingelse, så teorem 4.5 kan anvendes igen, hvor (t 1, x(t 1 )) benyttes som begyndelsespunkt. Derved bliver løsningskurven udvidet mod højre. Vi kan anvende samme metode igen for yderligere at udvide løsningskurven længere mod højre samt for at udvide den mod venstre. Der beskrives nu, hvordan den egentlige udvidelse til et større interval foregår i et 2 2 system. Givet f : R 2 R 2, hvor f opfylder en lipschitzbetingelse i en åben mængde Ω. Betragt begyndelsesværdiproblemet x (t) = f(x(t)), t [t 0, t 1 ) (5.2) x(t 0 ) = x 0, hvor x(t 0 ) ligger i en kompakt mængde K Ω. Pga. eksistens og entydighed eksisterer der t 1 > t 0, hvor f opfylder en lipschitzbetingelse. 1 Se denition 10.53 i [11, s. 312]. 28

5. Maksimale løsninger 29 Figur 5.1: Udvidelse af løsningskurven fra t 0 til intervallet ]a 1, a 2[. [3, s. 42] Denition 5.1 (Udvidelse) Funktionen z : [t 0, t 3 ) R 2 siges at udvide x(t) hvis z(t) = x(t), for alle t [t 0, t 1 ) z (t) = f(z(t)), for alle t (t 0, t 3 ). og

30 5. Maksimale løsninger Dette er muligt, da en kompakt delmængde af åben mængde må være en ægte delmængde. Der konstrueres nu en funktion deneret på hele intervallet [t 0, t 2 ): { x(t), t [t 0, t 1 ) z(t) = y(t), t [t 1, t 2 ). (5.3) Her er z (t) = f(z(t)), hvis t (t 0, t 1 ) (t 1, t 2 ). Spørgsmålet er så, hvad der sker til tiden t 1. Det vil sige, om z (t 1 ) er lig f(z(t 1 )). Vi skal derfor vise, om z (t) er kontinuert i [t 0, t 2 ) og specielt i t 1. Vi har pga. (5.2) og ud fra (5.3) følgende: z (t) = x (t) = f(x(t)) på intervallet (t 0, t 1 ). Vi undersøger nu, hvad grænseværdien er, når t nærmer sig t 1 fra hhv. venstre og højre. Fra bemærkning A.6 i appendiks ses, at lim t t 1 z (t) = f(x(t 1 )) = f(y(t 1 )) = lim f(y(t)) = lim t t 1 + t t 1 + y (t) = lim t t 1 + z (t). Det ses, at t nærmer sig t 1 både fra højre og venstre, så z (t 1 ) = f(z(t 1 )) og z(t) er kontinuert i intervallet [t 0, t 2 ). Vi har herved udvidet dierentialligningen til et større interval. Denne fremgangsmetode kan evt. fortsættes, hvis z(t 2 ) := lim t t2 z(t) eksisterer og tilhører K, hvor (t 2, z(t 2 )) benyttes som begyndelsespunkt. Derved kan intervallet udvides yderligere. Det er altså muligt at udvidde den oprindelige løsning for t 0 til en funktion x(t), som er deneret i intervallet ]a 1, a 2 [, hvor a 2 = sup{τ x(t) kan udvides til en løsning på [t 0, τ)}, a 1 = inf{τ x(t) kan udvides til en løsning på (τ, t 0 ]}. (5.4) Her er a 1 og a 2 udvidede reelle tal. Det er nu muligt at give en denition på den maksimale løsning: Denition 5.2 Lad a 1 og a 2 være deneret som i (5.4). En maksimal løsning er en løsning til begyndelsesværdiproblemet (5.1) deneret i intervallet (a 1, a 2 ). Funktionen x(t) løser altså dierentialligningen indenfor intervallet (a 1, a 2 ) og kaldes den maksimale løsning. Ud fra sætning 4.5 vil den være entydigt bestemt i dette interval. Denition 5.3 Hvis det er muligt at udvide intervallet (a 1, a 2 ), hvor a 1 = og a 2 =, så kaldes den maksimale løsning for en global løsning.

x 5. Maksimale løsninger 31 Ω Teorem 5.4 Lad f : Ω R n være kontinuert og antag, at den opfylder en Lipschitzbetingelse i en omegn af hvert punkt i Ω. Dener den maksimale løsning x(t) på intervallet ]a 1, a 2 [ som i (5.4). Til hver kompakt delmængde K Ω gælder der, at (t, x(t)) / K, når t er tilstrækkelig nær a 1 hhv. a 2. 3 x Bemærkning 5.5 Til hver kompakt delfølge K Ω gælder der, at (t, x(t)) / K, når t er tilstrækkelig nær a 1 eller a 2. Dvs. der ndes et δ > 0, så a 2 δ < t < a 2 (t, x(t)) / K, og tilsvarende at a 1 < t < a 1 + δ (t, x(t)) / K. Det betyder, at når t nærmer sig a 1 eller a 2, vil ét af følgende tre tilfælde indtræe (se gur 5.2): (a) (t, x(t)) nærmer sig et bestemt punkt på randen Ω. (b) x(t) t. a 0 t 0 t 0 a 0 (c) (t, x(t)) nærmer sig randen uden at have et bestemt grænsepunkt. [3, s. 42] y Ω ( t 0, x 0 ) Ω ( t 0, x 0 ) Ω ( t 0, x 0 ) a 2 t a 2 t a 2 t (a) (b) (c) Figur 5.2: De tre tilfælde i bemærkning 5.5 når t nærmer sig a 1 eller a 2. [3, s. 43] 50% Bevis for teorem 5.4 Følgende bevis er et modstridsbevis. Antag derfor at der ndes en kompakt delmængde K Ω, så (t, x(t)) K for alle t (a 1, a 2 ). Antag endvidere, at der ndes en følge af tal t 1, t 2,..., som konvergerer mod a 2, sådan at punkterne P j = (t j, x(t j )) tilhører K for ethvert j N. Da K er lukket og begrænset, så haves ifølge Bolzano-Weierstrass' sætning 2 en konvergent delfølge P jk med grænseværdien P = (a, b) K. Da P jk er en delfølge af P j vil de have samme grænseværdi, så a = a 2 og dermed konvergerer P jk altså X mod P = (a 2, b). x 0 hældning - B hældning + B Strategien er nu at vise, at løsningskurven kan fortsættes x 0+β forbi P. I så fald vil der opstå en modstrid mod denitionen af a 2 som værende supremum. β Idet punktet P ligger i den kompakte delmængede x 0 -βaf K, må det ligeledes udgøre α (t,x(t)) et indre punkt i Ω. Da funktionen opfylder en Lipschitzbetingelse i Ω, er det muligt t 0 -α 0 t 0 t at vælge tallene α 0+α 0 0 og β, således at R 0 Ω kan deneres ved R 0 = {(t, x) R R n ; t a α 0, x b β}. (5.5) R 0 R arctan B Ω t 2 Se teorem 2.26 i [11, s. 47]. y Tangent

a 2 t a 2 t a 2 t (a) (b) (c) 50% 32 5. Maksimale løsninger t Lad B = sup R0 f(t, x(t)) og P jk være en delfølge, som konvergerer mod P. Hvis k er tilstrækkelig stor vil P jk R 0. I det følgende anvendes sætning 4.5 med P jk som begyndelsespunkt. Det er så muligt at udvide løsningen en lille smule fra P jk X mod højre, som anvist på gur 5.3, hvorved løsningskurven kommer til Ω at ligge i et område med i en åbningsvinkel 2 arctan(b) (kunx 0+βfor n > 1). Løsningen er deneret β for t < t 1. Her svarer t 1 til det skæringspunkt mellem x 0 områdets begrænsningslinie R og linierne x = b ± β (se gur 5.3). Herved er 0 R t 1 x 0-β > a = a 2, når P jk er tilstrækkelig α (t,x(t)) t tæt på P. Dette er en modstrid imod den tidligere tantagelse, 0 -α 0 t 0 da løsningen t 0+α0 herved kan fortsætte forbi P. [3, s. 42-44] hældning - B hældning + B arctan B Q.E.D. x b+β b arctan B P j k R 0 P b-β a-α 0 a a+α 0 t 1 t Figur 5.3: Grask illustration af beviset for teorem 5.4 [3, s. 44]. Det blev i eksempel 4.6 vist, at denitionsmængden for løsningens entydighed var garanteret i et begrænset interval. Det blev ligeledes i dette eksempel nævnt, at denitionsmængden for løsningen vha. separation af variablene kan gøres større. Dette vil vi vise i følgende eksempel. y Eksempel 5.6 Dener dierentialligningen som før ved ( t 0, x 0 ) x (t) = (x(t)) 2 (5.6) Φ Tangent Sekant f x(0) = 1. Vi vil omskrive ligningen og integrere den for at nde løsningsfunktionen x(t) samt dens denitionsmængde: t-a I(a) t+a a c b x x (t) = (x(t)) 2 1 (x(t)) 2 x (t) = 1. Der integreres på begge sider. t 0 1 (x(s)) 2 x (s)ds = t 0 1ds [ ] 1 t = t. x(s) 0