Elektromagnetsme 11 Sde 1 af 9 Elektromotorsk kraft: Elektromagnetsk ndukton Den elektromotorske kraft en lukket kreds er defneret som det elektromagnetske arbede pr. ladnng på en prøveladnng q, der føres rundt kredsen med uendelg llle fart forhold tl : 1 emf F q dl, emf q V =. (11.1) Den elektromagnetske kraft på q er Lorentzkraften fra udtryk (8.5): 1 emf = qe ( + v B) dl: q emf = ( E + v B kreds ) dl, (11.) det q s hastghed v pr. defnton er lg kredsløbets lokale hastghed v. kreds For stve og statonære kredsløb fås emf = E dl. (11.3) Ovenstående defnton er overensstemmelse med den EM7 præsenterede, det der dog, som angvet fodnote 1, for ævnstrømskredsløb underforstået kun er tale om den elektromotorske kraft komponent-delen af kredsløbet. Således er spændngsfaldet et ævnstrømskredsløb følge opg. D netop gvet ved U = Δ ϕ = E dl. (11.4) Af opg. D kan det dermed endvdere udledes, at emf = 0 ethvert lukket kredsløb, hvor det elektrostatske potental kan defneres, så følge EM1 s. 9 er begrebet elektromotorsk kraft som defneret udtryk (11.3) således kun relevant for kredsløb med E 0.
Elektromagnetsme 11 Sde af 9 Faradays nduktonslov: Der gælder flg. emprske lov kaldet Faradays nduktonslov 1 : emf dt følge hvlken en ændrng den magnetske flux S =, (11.5) en elektromotorsk kraft den lukkede kreds, der afgrænser S. Φ S gennem en flade S vl nducere Hvs er såvel stft som statonært fås vha. udtryk (11.3) og (9.8): B E dl = nˆ da. (11.6) S t Vha. Stokes sætnng udtryk (9.6) fås endvdere B ( E) nda ˆ = nda: ˆ S S t B E =, (11.7) t eftersom S er en vlkårlg flade. det magnetostatske tlfælde, hvor B( rt, ) = Br ( ) elektrostatske relaton E = 0 fra udtryk (1.15) og vce versa., reducerer udtryk (11.7) tl den Tlsvarende vl et magnetodynamsk felt nducere et elektrodynamsk felt og vce versa, hvlket danner selve grundlaget for elektromagnetske bølger form af svngnnger et koblet tdsvarerende elektrsk og magnetsk felt. En antenne består således groft sagt af en leder ndeholdende fre elektroner, der, når de vha. en spændngsforskel sættes bevægelse, udsender et elektrodynamsk felt, som nducerer et magnetodynamsk felt, hvorfor antennen udsender en elektromagnetsk bølge. 1 Opdaget af englænderen Mchael Faraday 1831. Dette udtryk kan modsætnng tl udtryk (11.6) vses også at gælde for kredsløb, der kke er stve og statonære.
Elektromagnetsme 11 Sde 3 af 9 For en stv og statonær kreds, hvorgennem der er et tdsvarerende B- felt, fås følge udtryk (11.6): B nda ˆ = E dl > 0 S t. Der er således en elektromotorsk kraft, og der går dermed en strøm den retnng, der følge hørehåndsreglen er postv forhold tl den valgte retnng for ˆn. S B t dl ˆn B nduceret Denne nducerede strøm skaber et nduceret B-felt, der modvrker den ændrng B- feltet, der nducerede strømmen. Dette gælder generelt og er kendt som Lenz s lov og forklarer, hvorfor man mærker modstand 3, hvs man dypper en magnet en spole. Betragt en metalstang, der roterer et B- felt og derved beskrver en crkel med centrum stangens ene ende. De fre ladnngsbærere stangen vl have en hastghed vnkelret på stangen, så følge udtryk (8.5) vl der være en B l St () B + t ( ) magnetsk kraft på dsse ladnngsbærere, som vl føre tl en ladnngsophobnng stangens ender. B 3 Dette er ganske enkelt en nødvendghed af hensyn tl energbevarelsen.
Elektromagnetsme 11 Sde 4 af 9 Denne ladnngsophobnng vl føre tl et E-felt og dermed tl et potental, der er lg den elektromotorske kraft den tænkte kreds t, ( ) der afgrænser den flade S() t, som stangen overstryger: emf ( ) t St ( ) d = = B nda ˆ dt dt. (11.8) St ( ) Vekselstrømsgenerator: Her er vst en ava-applet med en vekselstrømsgenerator baseret på nduktonsprncppet: http://www.walter-fendt.de/ph11dk/generator_dk.htm. Bemærk: Her er for nemheds skyld vst en én-faset generator baseret på én vndng og en permanent magnet. På elværkerne anvendes trefasede generatorer med tre spoler anbragt 10 forskudt forhold tl hnanden, det dsse spoler hver sær ndeholder en ernkerne. Endvdere anvendes en elektromagnet. appletten er det vndngen (spolen), der er rotor, og magneten, der er stator, men det kunne lge så godt have været omvendt.
Elektromagnetsme 11 Sde 5 af 9 nduktans Ved et kvasstatsk 4 felt forstås et felt, der varerer så langsomt, at det med god tlnærmelse kan beregnes ud fra de love, der gælder for statske felter. Bot og Savarts lov gælder kun for ævnstrømme og er dermed et eksempel på en sådan lov, der strengt taget kun gælder for magnetostatske felter, men som med god tlnærmelse beskrver det kvasstatske B-felt skabt af langsomtvarerende strømme. Selvnduktans: følge Bot og Savart udtryk (9.) afhænger den magnetske flux gennem en stv og statonær kreds, som en langsomtvarerende strøm kredsen selv gver anlednng tl, kun af strømstyrken: For selvnduktansen 5 d =. (11.9) dt d dt Wb L, L H d =, (11.10) A kan den selvnducerede emf, som en ændrng strømmen nducerer kredsen, følge udtryk (11.5) skrves emf d = L. (11.11) dt L er således et udtryk for, hvor stor en elektromotorsk kraft en ændrng strømstyrken en gvet kreds vl nducere kredsen selv. 4 Kvas er latn og betyder næsten. 5 Bemærk, at for n ˆ valgt overensstemmelse med hørehåndsreglen forhold tl strømretnngen øges Φ, når øges, og L er således pr. defnton postv.
Elektromagnetsme 11 Sde 6 af 9 Generelt er L ( ), men sotrope og magnetsk lneære materaler, for hvlke Bot og Savarts lov udtryk (9.) kan generalseres ved at erstatte μ 0 med μ, ses B-feltet og dermed fluxen at være proportonal med, svarende tl Φ L = = knst. (11.1) Gensdg nduktans: et system bestående af N kredse er fluxen gennem den te kreds resultatet af bdragene fra strømmene hver af de N kredse: Φ= BndA ˆ S = ( B1+ B+ + BN ) nˆ da (11.13) hvor S N = Φ = 1 Φ, således er bdraget tl fluxen Φ 1 1 3 Φ 3 Φ gennem den te kreds fra strømmen den te kreds. Ved kombnaton af udtryk (11.5) og (11.13) fås således emf N = dt =. (11.14) = 1 dt
Elektromagnetsme 11 Sde 7 af 9 Hvs alle kredsene er stve og statonære og strømmene langsomtvarerende, sådan at ndføres den gensdge nduktans d =, (11.15) dt d dt M, M H d =. (11.16) M er således et udtryk for, hvor følsom fluxen gennem den te kreds er over for ændrnger strømmen den te kreds 6. Ved kombnaton af udtryk (11.14), (11.15) og (11.16) fås emf d = N M. (11.17) = 1 dt M kobler således den elektromotorske kraft den te kreds tl strømændrngen den te eller vce versa, det det kan vses ( Neumanns lov ), at M = M. (11.18) Bemærk, at M = L, (11.19) og at der sotrope og magnetsk lneære materaler tlsvarende udtryk (11.1) gælder M Φ = = knst. (11.0) 6 Eks. er M = 0, hvs den te og den te kreds befnder sg så langt fra hnanden, at B-feltet produceret af strømmen den te kreds er nul, der hvor den te kreds befnder sg. så fald sges de to kredse at være dekoblede.
Elektromagnetsme 11 Sde 8 af 9 nduktanser kredsløb Fluxen gennem et tværsnt af en spole er med god tlnærmelse lg summen af de fluxer, som de enkelte vndnger gver anlednng tl, og da strømmen er den samme alle vndnger, er spolens selvnduktans følge udtryk (11.10) gvet ved summen af de enkelte vndngers selvnduktanser: L = NL vndng. (11.1) Da emf svarer tl potentaltlvækst, er spændngsfaldet det vste kredsløb følge udtryk (11.11) gvet ved 7 d U = R emf = R+ L, (11.) dt L R svarende tl d R U + =, (11.3) dt L L der som vst opg. J for begyndelsesbetngelsen ( 0) 0 U = e R () 1 t Når spændngen tlsluttes kl. t=0 vl selvnduktansen spolen således modvrke strømmen (Lenz s lov), men når systemet har ndstllet sg, og strømmen er vokset op og er blevet konstant, er der kke længere nogen ndukton spolen, som derefter blot opfører sg som et stykke lednng, sådan at = U R f. Ohms lov. U = har løsnngen R t L U R. (11.4) t 7 Her er U batterets elektromotorske kraft, det batterets ndre modstand er medregnet R.
Elektromagnetsme 11 Sde 9 af 9 Fnd erstatnngsnduktanserne for to sereforbundne spoler: Fra udtryk (11.17), (11.18) og (11.19) fås U = R emf1 emf d d d d = R + M11 + M1 + M 1 + M dt dt dt dt d = R + ( L1 + M + L ), M M1 = M 1 dt, 1 1 L1 L R så ved sammenlgnng med udtryk (11.) ses, at erstatnngsnduktansen er U L = L + M + L. (11.5) 1