Grafregner-projekt om ifferentiation. Motivation: Når nu ifferentieret giver, og e ifferentieret giver e, hvorfor får man så ikke e når man ifferentiere e? Formål: ) At opnå kenskab til, og forståelse for, nogle af regnereglerne angåene ifferentiation. ) At få kenskab til grafregnerens symbolmanipulation. ) Specielt at få kenskab til sammensatte funktioner og ifferentiation af isse. Ti: Så hurtigt som muligt. Aflevering: Ja, men tæller kun aflevering. Inhol: Forsie s. Forusætninger s. De nemme s. De slemme s. Den grumme s. 4 Forusætninger. Vi vil arbeje me ifferentiable funktioner f() og g(), begge efineret i intervallet [a,b]. Vi miner om at en ifferentiabel funktion er kontinuert og glat. Kontinuert vil sige, at funktionen er sammenhængene, altså uen spring og huller. At funktionen er glat, vil sige at en ikke har knæk. De to funktioner til højre er ikke ifferentiable i intervallet [0,7]. Den ene har et knæk, en anen er iskontinuert. Men e kan got være ifferentiable i anre intervaller. For eksempel er e begge ifferentiable i intervallet ],5[. Δf () Laer vi y f(), så fant vi tiligere at Lim Lim f '(). Δ 0 Δ Δ 0 Δ y f () Aflet af ette bruger man også symbolet, eller symbolerne, f '() ifferentiationen af f(). for 0
Til tier bruges enne notation meget løseligt. For eksempel kan en siste ligning omskrives til y f '(). Det er ikke go matematik, men et er meget praktisk!! Og a grafregneren tillaer enne notation, vil vi herefter også tillae et. Øvelse. I HOME intastes (f(),), hvilket betyer ifferentier f() me hensyn til. Hvis I har glemt et så fines ( ve 'F'+. Som et ses, bruger grafregneren /-notationen, og kan ikke lave f '(). Såanne uregninger, hvor man ikke bruger tal, men kun bogstaver og symboler, kales for symbolske manipulationer. De nemme. La os først kontrollere nogle af formlerne fra bogen.. (k f ()) k f () k f '(). (f () ± g()) f () ± g() f '() ± g'() Øvelse. Intast (k*f(),) og ernæst (f()+g(),) på grafregneren, og se om et giver et samme som uleningerne i bogen. Husk alti * mellem konstanter, og mellem konstanter og funktioner. De slemme. I inleningen så vi på funktionen e. Denne funktion er prouktet af to anre funktioner, nemlig f() og g() e. Spørgsmålet er altså: Hvoran ifferentiere man et proukt af funktioner? Vi bruger lit symbolsk manipulation (bogstavregning) på grafregneren, og skriver i HOME: (f()*g(),) Resultatet bliver: (f () g()) (f ()) g() + (g()) f (). Oversat til vores normale notation bliver et: ( f () g())' f '() g() + f () g' (). Fortsætter vi me eksemplet ovenfor, får vi me f '() og g'() e, at ( e )' ( ) (e ) + ( ) (e ) e + e ( + ) e
Og hva me en funktion ivieret me en funktion. Vi prøver me (f()/g(),) og resultatet bliver ikke særligt pænt. Vi vil gerne have, at resultatet står som en samlet brøk. Så vi vil bruge comdenom(, hvilket betyer fælles nævner, som sætter alle le på fælles brøkstreg. Skriv erfor: comdenom((f()/g(),)). Nu bliver resultatet noget pænere: f () g() f () g() ' (f ()) g() (g()) f () (g()) f '() g() g'() f () (g()) La os som eksempel uregne ifferentialet af Så er f '() ln(). La f() ln() og g(). og g'(), og ve at insætte i formlen fås: ln( ) ' ln() ( ) ln() 4 ln() Og hva me formlen fås? La f() og la g() e. Så er f '() og g'() e. Insættes i e e ' e e (e ) e ( ) e Øvelse. Uregn, els me, els uen grafregner, ifferentialet af følgene funktioner: a) f () ln() b) g() e c) e h () ) k() ln()
Den grumme. Ovenståene figur illustrer hva en sammensat funktion er. Den består af en 'inre' funktion y g(), og en 'yre' funktion z f(y), og giver en funktion z f(y) f(g()). Et eksempel på en sammensat funktion er for eksempel: h() f(g()) ( +). Her er y g() +, og z f(y) y. Skal vi uregne h() kan vi gøre et i trin: Først y g() + 0, og erefter f(y) f(0) 0 00. Et anet eksempel er: h() f(g()). Her er y g(), og f(y) y. Enhver ve jo at efinitionsmængen for f er nul og e positive tal, altså Dm(f) R + {0} [0, [, så er må gæle: y 0 0 Vi ser altså, at Dm(h) Dm(g) [, [. Man får altså Dm(h) ve at se på Vm(g), som jo må være ineholt i Dm(f). Den kvikke elev ser selvfølgelig også straks at Vm(f) R {0} [0, [ +. Øvelse 4. Opskriv en 'inre' og en 'yre' funktion for følgene sammensatte funktioner, og fin eres efinitionsmænge og værimænge: ) h() ( ) ) h() 4 ) h () e 4) h () ln( + ) 5) h() + +
Da vi nu ve, hva en sammensat funktion er, må vi selvfølgelig prøve at ifferentiere en. For at gøre beviset lit nemmere må vi antage at ikke er nul, så vi må altså antage at g() er injektiv. Vi bruger tretrinsreglen: Δh() Δ h( + Δ) h() Δ f (g( + Δ)) f (g()) Δ f (g( + Δ)) f (g()) g( + Δ) g() g( + Δ) g() Δ f (y + ) f (y) g( + Δ) g() Δ Δf (y) Δg() Δ Da båe g og f er ifferentiable funktioner, ses et af figuren, at når Δ går mo 0, så vil gå mo nul, og Δz vil også gå mo nul. Vi får altså, at en første brøk i ovenståene uregning vil gå mo f '(y), og en anen brøk vil gå mo g'(), når Δ går mo nul. Vi får altså: Δh() h'() Lim Δ 0 Δ Δf (y) Δg() Lim Lim 0 Δ 0 Δ f '(g()) g'() Det kræver vist et par eksempler:. La h() 5, så er g() 5, og f(y) y. Differentieres f og g fås: g'(), og f '(y). y Sættes ette in i ovenståene formel fås: h'() f '(g()) g'() g() 5. La nu h() ln( +), så er g() +, og f(y) ln(y). Differentialerne bliver: g'(), og f '(y) /y. Ifølge formlen fås: h'() f '(g()) g'() g() + 4
Øvelse 5. Differentier følgene sammensatte funktioner på grafregneren: ) f() ) g () ) ln(f()) 4) e f() Passer resultaterne me vores ulete formel? Øvelse 6. (ikke aflevering) Fremlæg for hinanen, på en tavle, sammensat funktion og ifferentiation af sammensat funktion. Øvelse 7. Differentier funktionerne fra øvelse 4, uen og me grafregner. 5