15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget effektivt i termer f krkteristiske funktioner. Foldning f sndsynlighedsmål er et centrlt tem i sndsynlighedsregning, og beregningsmæssigt er det ikke spor trivielt t håndtere. Essentielt er den krkteristiske funktion et trick, der gør det muligt t få regnemæssigt styr på foldninger i en forbløffende bred vifte f eksempler. Det viser sig t de smidigste formuleringer f dette trick involverer komplekse tl - foldningsformlen udtrykkes simpelthen ved kompleks multipliktion. Og derfor strter vi med en diskussion f komplekse integrler. Denne diskussion munder dog ikke ud i overrskende konklusioner - lt er som mn ville forvente det. Det er nok meget nyttigt t være klr over t de komplekse tl i denne smmenhæng mest er til pynt - teorien er ikke på de indre linier kompleks, sådn som f.eks. teorien for polynomiumsrødder eller teorien for egenværdier for mtricer. Vi får igen og igen brug for de trigonometriske dditionsformler, cos(u+v)=cos u cos v sin u sin v, sin(u+v)=cos u sin v+sin u cos v, for lle u, v R. Og den fikse måde t formulere dditionsformlerne på, er t inddrge den komplekse eksponentilfunktion med rent imginære rgumenter, e iθ = cosθ+i sinθ for θ R. (15.1) For så kn de to dditionsformler smles i én formel, der kn ses som et speciltilfælde f den komplekse eksponentilfunktions funktionlligning, e i (u+v) = e i u e i v for u, v R. Denne formel repræsenterer stort set l den komplekse nlyse der kommer på bnen i det følgende. 15.1 Komplekse integrler Ld (X,E,µ) være et målrum. Vi vil i dette fsnit interessere os for fbildninger f : X C. Disse fbildninger skrives nturligt på formen f=f 1 + i f 2
294 Kpitel 15. Deskriptiv teori: den krkteristiske funktion hvor f 1 og f 2 er reelle funktioner - vi tler om f s rel- og imginærdel. Hvis vi identificererc medr 2, så hrcnturligt en Borellgebr, som vi med et vist misbrug f nottion kn kldeb 2. Og vi ser t f ere B 2 -målelig hvis og kun hvis rel- og imginærdele begge er målelige reelle funktioner. Definition 15.1 Ld (X, E, µ) være et målrum. En målelig funktion f : X C, skrevet på formen f=f 1 + i f 2, er integrbel hvis f 1 dµ<, f 2 dµ<. I bekræftende fld definerer vi integrlet f f som f dµ := f 1 dµ+i f 2 dµ. De integrble komplekse funktioner kldes oftel C (X,E,µ) eller blotl C. Bemærk de trivielle uligheder f 1 f, f 2 f, f f 1 + f 2. Det følger herf t f er integrbel hvis og kun hvis f dµ<. Eksempel 15.2 Ld 0 være et reelt tl. Idet e it =1 for lle t R, ser vi t t e it er integrbel med hensyn til Lebesguemålet hen over ethvert kompkt intervl [, b]. Vi kn oven i købet regne integrlet ud: b e it dt= b cost dt+ i = sinb sin = i = eib e i. i b sint dt + i cosb+cos (cosb+i sinb cos i sin)
15.1. Komplekse integrler 295 Bemærk hvor nydeligt denne formel psser ind i mønsteret for integrtion f den reelle eksponentilfunktion, skønt den jo dybest set hndler om trigonometriske funktioner. Sætning 15.3 Ld (X,E,µ) være et målrum. Hvis f L C og c C, så er c f L C og der gælder t c f dµ=c f dµ. (15.2) Hvis f, g L C, så er f+ g L C og der gælder t f+ g dµ= f dµ+ g dµ. (15.3) BEVIS: Påstndende om dditionsegenskberne er bnle konsekvenser f de tilsvrende egenskber for reelle integrler, brugt på rel- og imginærdel for sig, så dem vil vi ikke gøre noget ud f. Der er lidt mere kød på den sklre multipliktion. Hvis f L C og c Cså er c f dµ= c f dµ= c f dµ<, ifølge de reelle regneregler, så integrbiliteten f c f er klr nok. Og (15.2) følger: hvis f=f 1 + i f 2 og c=c 1 + ic 2, så er c f dµ= (c 1 f 1 c 2 f 2 )+i(c 1 f 2 + c 2 f 1 ) dµ = c 1 f 1 c 2 f 2 dµ+i c 1 f 2 + c 2 f 1 dµ ) = c 1 f 1 dµ c 2 f 2 dµ+i (c 1 f 2 dµ+c 2 f 1 dµ ( ) = (c 1 + ic 2 ) f 1 dµ+i f 2 dµ = c f dµ.
296 Kpitel 15. Deskriptiv teori: den krkteristiske funktion Sætning 15.4 Ld (X,E,µ) være et målrum. Hvis f L C så gælder der t f dµ f dµ. (15.4) BEMÆRK: Formel (15.4) går ligesom i det reelle tilfælde under nvnet trekntsuligheden. BEVIS: Ethvert komplekst tl z kn opskrives på modulus/rgument-formen z= z e iθ for et pssendeθ R. Bruges denne opskrivning på f dµ, ser vi t for et pssende θ er f dµ = e iθ f dµ= e iθ f dµ. Venstre side i denne formel er rent reel, og derfor må højre side også være rent reel - integrlet f e iθ f hr imginærdel nul. Bruger vi symbolet Re(z) til t betegne reldelen f z hr vi derfor t f dµ = Re ( e iθ f ) dµ Re ( e iθ f ) dµ e iθ f dµ= f dµ, hvor vi undervejs hr benyttet t Re(z) z. Det er vigtigt t bemærke t mjorntsætningen gælder uindskrænket. Antg t f 1, f 2,... er en følge f målelige funktionerx C, der konvergerer punktvist mod en grænsefunktion f. Hvis f n (x) g(x) for enm + -funktion g med endeligt integrl, så er såvel f som lle f n -funktionerne integrble, og f n dµ f dµ for n. Det følger ved t bruge den sædvnlige reelle mjorntsætning på følgerne f relog imginærdel hver for sig. Eksempel 15.5 En funktion f : R C er konjugeret symmetrisk hvis f ( t)= f (t) for lle t R. (15.5)
15.2. Den krkteristiske funktion 297 Hvis en konjugeret symmetrisk funktion f er integrbel med hensyn til Lebesguemålet over et intervl f formen [ T, T], så er T T f (t) dt R. Integrlet over et symmetrisk intervl er rent reelt. For betingelse (15.5) siger i virkeligheden t f s imginærdel er en ulige funktion - og ulige funktioner integrerer til 0 over intervller f formen [ T, T]. Eksempel 15.5 fremstår som en lidt tilfældig observtion, men er en nøgle til mnge regninger med krkteristiske funktioner. Vi vil i de kommende fsnit skrive en lng række integrler op, der tilsyneldende er komplekse, men hvor der kn opnås vigtig indsigt ved t bemærke t integrnden er konjugeret symmetrisk, så imginærdelen f integrlet forsvinder. 15.2 Den krkteristiske funktion Definition 15.6 Ld ν være et sndsynlighedsmål på (R, B). Den krkteristiske funktion forνer funktionenφ:r C givet som φ(θ)= e iθx dν(x) for θ R. (15.6) Eftersom e iθx 1 for lle værdier fθog x, er der ingen problemer med integrbiliteten i (15.6). Husker vi definitionen f den komplekse eksponentilfunktion fr (15.1), ser vi t den krkteristiske funktion i virkeligheden er φ(θ)= cosθx dν(x)+i sin θx dν(x). (15.7) Så den krkteristiske funktion er simpelthen en måde t holde styr over lle integrlerne f de elementære trigonometriske funktioner. Mn kunne utvivlsomt holde styr på disse integrler på mnge ndre måder, men som vi skl se fører netop dette vlg f bogholderiprincip til et smidigt smspil med kompleks multipliktion.