Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden af de hele tal, altså Z = {0, ±1, ±2,...}, og N delmængden bestående af de naturlige tal, dvs. N = {1, 2,...}. I parentes bemærket, så er 0 ikke et naturligt tal ifølge vores definition af N. Nogle af disse egenskaber ved de hele tal er velkendte for jer, så dem vil vi uden videre godtage, men andre kender I ikke, eller også er de ikke indlysende. Dem vil vi præsentere beviser for, så vi kan være sikre på, at de er korrekte. Som et eksempel på et resultat, som ikke er indlysende, kan vi tage Fermats lille sætning (Sætning 29, side 36 i lærebogen): For ethvert primtal p og ethvert helt tal n N vil p gå op i n p n; det er i hvert fald ikke umiddelbart klart for undertegnede, at 2003 går op i 12345 2003 12345. De naturlige tal og deres egenskaber er kilden til al matematisk kendskab, for ud fra dem kan man definere de hele tal, de rationale tal Q, de reelle tal R og de komplekse tal C, og udlede deres velkendte aritmetiske og analytiske egenskaber. Dette har fundet et karakteristisk udtryk i de kendte ord af den tyske matematiker Kronecker: De hele tal har Gud skabt, alt det andet er menneskeværk. (Leopold Kronecker 1823-1891). Konstruktionen af de andre talsystemer ud fra de naturlige tal er dog for omfattende et program til, at det kan passes ind i rammerne for indeværende kursus. Men det er egentlig ikke for svært til, at det kunne præsenteres for jer på jeres nuværende stade, hvis ellers tiden tillod det. I denne forelæsning vil vi koncentrere os om mængden N af de naturlige tal og om nogen af egenskaberne ved N. De naturlige tal er en af de mest fundamentale matematiske begrebsdannelser. Det at tælle var for de fleste af os et af vores første møder med det abstrakte, og historisk set er det menneskehedens ældste matematiske begreb. Mange matematiske problemer involverer heltal. Computere udfører deres operationer med heltalsaritmetik. I mener sikkert, at I har et godt kendskab til de naturlige tal. Men som eksemplet med Fermats lille sætning demonstrerer, så er der generelle resultater, som I ikke kender, endsige har en fornemmelse for. Man kan 1

selvfølgelig også spørge, hvor godt vores kendskab til individuelle tal egentlig er? Tallene 24, 25, 49 og 1024 har vel for de fleste en vis bekendskabskvalitet, men hvad med tallet 1267650600228228401496703205376? 2 Induktionsprincippet Den vigtigste egenskab ved de naturlige tal kan formuleres som induktionsprincippet. Det tror vi her på uden bevis. Vi vender tilbage til induktion i Matematisk Analyse 1, hvor lærebogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe Thue Poulsen benyttes. Visse passager nedenfor er ordret citeret fra denne lærebog. Sætning 2.1 (Induktionsprincippet). Lad D være en delmængde af N med følgende to egenskaber: (a) 1 D, og (b) for alle k N gælder, at k D medfører, at k + 1 D. Så er D = N. Lad os se en anvendelse af Induktionsprincippet: Eksempel 2.2. Vi vil vise, at det for ethvert n N er sandt, at 1 + 2 + 3 + + n = n(n + 1)/2. (2.1) Således er summen af de første 100 tal 100(100 + 1)/2 = 5050. Vi introducerer en vis delmængde D af N, nemlig D = {n N 1 + 2 + 3 + + n = n(n + 1)/2}. Mængden D består altså af de naturlige tal n, for hvilke (2.1) gælder. Vi observerer, at 1 D, idet 1 = 1(1 + 1)/2, hvilket viser, at betingelsen (a) i Induktionsprincippet (Sætning 2.1) er opfyldt for D. Lad os dernæst antage, at k D, altså at formlen (2.1) gælder med n erstattet med k. Vi vil vise, at k + 1 D, så vi regner, idet vi i udregningen benytter, at formlen gælder for k: k(k + 1) 1 + 2 + 3 + + k + (k + 1) = + (k + 1) 2 = (k + 1)( k (k + 1)(k + 2) (k + 1)((k + 1) + 1) + 1) = =. 2 2 2 Dette viser, at også betingelsen (b) i Induktionsprincippet (Sætning 2.1) er opfyldt for D. Induktionsprincippet fortæller os nu, at D = N, dvs at formlen (2.1) er sand for ethvert n N. 2

Induktionsprincippet anvendes hovedsagelig i den specielle type beviser, som kaldes induktionsbeviser. Beviset for formlen (2.1) i eksemplet ovenfor er et induktionsbevis. Et induktionsbevis er et bevis for en sætning, der handler om et udsagn, hvori der indgår et naturligt tal n. Udsagnet kunne f.eks. være 1 + 2 + 3 + + n = n(n + 1)/2. Udsagnet kunne også være Ethvert polynomium af grad n har n rødder. Hvis udsagnet betegnes med U n, så afhænger det af n, om U n er sandt eller falsk. Målet med et induktionsbevis er at vise, at udsagnet U n er sandt for alle n N. For lettere at kunne opstille induktionsbeviser noterer vi følgende sætning. Sætning 2.3 (Bevis ved induktion). Lad U n være et udsagn, som for alle n N er enten sandt eller falsk. Hvis (a) U 1 er sandt, og (b) for alle k N gælder, at U k er sandt medfører U k+1 er sandt, så er U n sandt for alle n N. Bevis. Lad D være mængden D = {n N U n er sandt}. Så er 1 D ifølge (a), og der gælder ifølge (b), at k D medfører, at k + 1 D. Af Induktionsprincippet følger nu, at D = N, hvormed sætningen er bevist. Et bevis for (a) kaldes ofte for induktionsstarten, og et bevis for (b) kaldes tilsvarende for induktionsskridtet. Lad os se på nok et eksempel på et induktionsbevis for at illustrere, hvordan Sætning 2.3 kan anvendes. Eksempel 2.4. Lad q være et reelt tal forskellig fra 1. For alle n N er 1 + q + q 2 + + q n 1 = qn 1 q 1, (2.2) hvor vi for en sikkerheds skyld minder om, at x 0 = 1 for ethvert reelt tal x R. Vi lader for n N udsagnet U n være Udsagnet U 1 bliver dermed 1 + q + q 2 + + q n 1 = qn 1 q 1. 1 = q1 1 q 1, hvilket jo er korrekt, så U 1 er et sandt udsagn. Dermed har vi induktionsstarten. 3

Hvad induktionsskridtet angår, så skal vi ud fra gyldigheden af U k, dvs fra deducere gyldigheden af U k+1, dvs at 1 + q + q 2 + + q k 1 = qk 1 q 1, 1 + q + q 2 + + q k = qk+1 1 q 1. Lad os derfor simpelthen regne på venstre side af U k+1, idet vi udnytter, at U k er sandt: 1 + q + q 2 + + q k 1 + q k = qk 1 q 1 + qk = qk 1 + (q 1)q k q 1 = qk+1 1 q 1, hvilket jo er U k+1. Så U k+1 er et sandt udsagn. Ifølge Sætning 2.3 er U n sandt for alle n N, dvs formlen (2.2) gælder for alle n N. Det er ikke væsentligt, at induktionen i Sætning 2.3 starter med n = 1. Mere præcist har vi nedenstående generalisation af sætningen: Sætning 2.5 (Bevis ved induktion). Lad N Z. Lad U n være et udsagn, som for alle n Z, n N er enten sandt eller falsk. Hvis (a) U N er sandt, og (b) for alle k Z med k N gælder, at U k er sandt medfører, at U k+1 er sandt, så er U n sandt for alle n Z med n N. Som et korollar af Sætning 2.3 nævner vi det stærke induktionsprincip, der er nyttigt i visse sammenhænge. Det siger følgende: Sætning 2.6 (Det stærke induktionsprincip). Lad U n være et udsagn, som for alle n N er enten sandt eller falsk. Hvis (a) U 1 er sandt, og (b) der for ethvert k N med k 2 gælder, at U i er sandt for alle i < k medfører, at U k er sandt, så er U n sandt for alle n N. Bevis. Overladt til læseren, der kunne arbejde med udsagnet U n, der siger, at udsagnene U 1, U 2,..., U n alle er sande. 4

3 Opgaver Opgave 3.1. Find et udtryk for 1 + 3 + 5 + + (2n 1), altså for summen af de første n ulige naturlige tal. Vink: Kig på højresiderne i 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 Angiv og bevis en tilsvarende formel for de første n lige naturlige tal. Opgave 3.2. Vis, at n k 2 = 1 2 + 2 2 + + n 2 = k=1 for ethvert naturligt tal n. n(n + 1)(2n + 1) 6 Opgave 3.3. For hvilke n N er 2 n > n 2? Opgave 3.4. For hvilke n N er 3 n > n 3? Opgave 3.5. Vis for ethvert n N at ( n ) 2 n k = k 3. (3.1) k=1 I denne opgave optræder der summationstegnet, der er det store græske bogstav sigma (svarende til vores bogstav S). Hvis n er et helt tal og p er et naturligt tal eller nul, så er n+p k=1 a i = a n + a n+1 + + a n+p. (3.2) i=n Udtrykket (3.1) er derfor præcis det samme som (1 + 2 + + n) 2 = 1 3 + 2 3 + + n 3. Opgave 3.6. Vis, at 8 går op i 3 2n 1 for ethvert n N. Opgave 3.7. Vis, at 73 går op i 8 n+2 + 9 2n+1 for ethvert n N. Opgave 3.8. Vis, at ethvert positivt helt tal m 12 kan skrives som en sum af 3-taller og 7-taller. Opgave 3.9. Hvilke positive helt tal kan skrives som en sum af 3-taller og 5-taller? Bevis din påstand! 5

Opgave 3.10. Vis, at en mængde med n N elementer har 2 n delmængder. Opgave 3.11. Lad U n være et udsagn, som for alle n N er enten sandt eller falsk. Er følgende korrekt: Når U 2n er sandt for alle n N, og at U k er sandt medfører, at U k+1 er sandt for alle k N, så er U n er sandt for alle n N? Opgave 3.12. Lad a 1, a 2,..., a n,... være en følge af reelle tal, som opfylder, at a 1 = 2, a 2 = 8, og at a n = 4(a n 1 a n 2 ) for n 3. Find en formel for a n for alle n N. Opgave 3.13. Lad a være et positivt reelt tal. En student viser ved hjælp af det stærke induktionsprincip, at a n = 1 for ethvert helt tal n 1 på følgende måde: Induktionsstarten er a 0 = 1. Induktionsskridtet er a k+1 = a k ak a k 1 = 1 1 1 = 1. Hvad er din uforbeholdne kommentar? Opgave 3.14. Lad f(x) = x n for x R og n N. Vis, at f (x) = nx n 1 for x R og n N. Du må gerne bruge reglen for, hvordan man differentierer et produkt. 4 Dirichlets skuffe-princip Dirichlets skuffe-princip eller the Pigeonhole Principle siger, at hvis man putter n + 1 eller flere genstande (duer) i n huller (duehuller), så findes der et hul med mindst 2 genstande (duer) i. Jeg har også hørt det formuleret som følger: Hvis man putter n + 1 skjorter i en kommode med n skuffer, så vil der være en skuffe med mindst 2 skjorter i. Eksempelvis, hvis man har 8 personer, så er mindst 2 født på samme ugedag. Dette følger af Dirichlets skuffe-princip: Der er 7 huller (de 7 ugedage), og flere end 7 duer (de 8 personer). Den korte version er: Ud af 3 normale mennesker må 2 nødvendigvis have samme køn. Det behøver man dog ikke Dirichlets skuffe-princip til at indse. Princippet er opkaldt efter den tyske matematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 59). Princippet er i sig selv ganske elementært; subtiliteten kommer i anvendelserne af det. Lad os se på et eksempel: Eksempel 4.1. Lad n, p N være indbyrdes primiske tal, p > 1. Hvad vi skal bruge, er, at hvis nm er delelig med p, så går p op i m. Vi vil i dette eksempel vise, at der findes netop ét x {0, 1, 2,..., p 1}, så nx 1 er delelig med p. 6

Lad mig først minde om, at ethvert helt tal m Z på netop én måde kan skrives på formen z = qp + r, hvor q Z og r {0, 1,..., p 1}. Tallet r kaldes for resten af z efter division med p. Vi deler mængden Z af hele tal op i p klasser, nemlig H r = {z Z z har resten r efter division med p} for r = 0, 1, 2,..., p 1. Se nu på de p forskellige tal nx 1 for x = 0, 1,..., p 1. Hvis disse tal ikke rammer alle H r erne, så er der altså mindst ét H r, som ikke bliver ramt. Vores p tal er dermed fordelt blandt de resterende p 1 klasser. Ifølge Dirichlets skuffe-princip ligger mindst 2 forskellige tal i samme klasse. Lad os sige, at nx 1 1 og nx 2 1 ligger i H r, dvs har samme rest r efter division med p. Her er x 1, x 2 {0, 1,..., p 1}. Ved eventuelt at skifte notation kan vi antage, at x 1 > x 2, så p 1 x 1 > x 2 0. Idet vi benytter, at nx 1 1 og nx 2 1 har samme rest efter division med p, får vi, at n(x 1 x 2 ) = (nx 1 1) (nx 2 1) er delelig med p. Da n og p er indbyrdes primiske, vil p gå op i x 1 x 2. Men p 1 x 1 x 2 0, så det medfører, at x 1 x 2 = 0, altså at x 1 = x 2. Det strider mod, at x 1 > x 2 (se ovenfor). Vores antagelse om, at tallene nx 1 for x = 0, 1,..., p 1 ikke ramte alle H r erne, er dermed forkert. Så ethvert H r rammes. Specielt rammes H 0, dvs der findes et x {0, 1,..., p 1}, så nx 1 H 0. Vi har hermed vist, at der findes et x {0, 1,..., p 1}, så nx 1 er delelig med p. Vi mangler at vise, at der højst findes ét sådant x {0, 1,..., p 1}. Den påstand overlader vi til læseren, idet den ikke involverer Dirichlets skuffeprincip. 5 Opgaver Opgave 5.1. Hvad er det mindste antal elever i en klasse, som skal til for at sikre, at mindst 2 af dem er født i samme måned (ikke nødvendigvis samme år)? Opgave 5.2. Svenske nummerplader på biler har tre bogstaver fulgt af tre cifre. Hvor mange biler skal der til, før man kan være sikker på, at der findes to biler med samme taldel på nummerpladen? Opgave 5.3. Lad der være givet 5 punkter i planen, hvis koordinater alle er hele tal. Vis, at der blandt de 5 punkter findes 2 punkter, sådan at midtpunktet for liniestykket mellem dem også har heltallige koordinater. Opgave 5.4. Betragt et rektangel med sider af længde 6 og 8. Vis, at hvis 5 punkter placeres vilkårligt i rektanglet, så findes der mindst 2 af disse 7

punkter, hvis indbyrdes afstand er mindre end eller lig med 5. Vink: Inddel rektanglet i et passende antal mindre dele. Opgave 5.5. Vis den sidste påstand i Eksempel 4.1. Opgave 5.6. Lad n, p N være indbyrdes primiske tal. Givet m Z vis, at der findes netop ét x {0, 1, 2,..., p 1}, så nx m er delelig med p. Opgave 5.7. Vælg 6 forskellige éncifrede tal. Vis, at der blandt dem findes 2, hvis sum er 10. 8