Copenhagen Business School 2010 Kandidaspeciale Cand.merc.ma Prisfassæelse af fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner Vejleder: Niels Rom Aflevering: 28. juli 2010 Forfaere: Mille Lykke Helverskov Thomas Lund Mille Lykke Helverskov Thomas Lund
Absrac In his maser hesis a pricing model for Danish fixed rae callable morgage bonds is developed. The Danish marke for morgage loans is one of he larges and mos liquid in he world. High ransparency and legal resricions are he main facors ha secure he invesor. Danish morgage bonds are described as safe invesmens. A callable bond has an embedded opion which gives he borrower he righ o repay his loan a par, a specified daes prior o mauriy of he loan. The borrowers do no always ac enirely raional and he gain by exercising he opion is no he only facor ha decides if a borrower exercises a a given ime. This complicaes he pricing procedure, and herefore a prepaymen model which akes oher facors ino accoun has o be developed. Firs a erm srucure model is esimaed wih marke daa as inpu. Boh he curren zero coupon raes and implied volailiy of swapions is mached. This model assumes o describe he possible fuure developmen of he shor rae. The erm srucure is used in he pricing model for discouning cash flows and calculaion of refinancing incenives. Then a prepaymen model is esimaed on he basis of hisorical prepaymens and borrower composiions. This model describes he condiional prepaymen rae as a funcion of he gain by exercising, he relaive ime o mauriy and he poolfacor. The pricing model is developed on he basis of he erm srucure model and he prepaymen model. I is assumed ha he value of a callable bond can be divided in wo: The value if every borrower prepays heir loans and he value if none of he borrowers prepay heir loans. Then he expeced fuure cash flows can be found in every sae and discouned back o he value dae. Generally he pricing model does a good job and he model prices relaively close o he marke price.
Indholdsforegnelse Indledning...5 Problemformulering...6 Begrænsning og anagelser...7 Indhold og srukur...8 1. De danske realkredimarked...9 1.1. Danske realkrediobligaioner...9 1.2. Føridig indfrielse...11 1.3. Udsedelse af obligaioner...12 1.4. Obligaions- og konanlån...13 1.5. Konvererbare obligaioner...14 2. Nulkuponrenekurve...17 2.1. Nulkuponobligaion...17 2.2. Renekurven...18 2.2.1. Kuponbærende obligaioner...19 2.2.2. Reneswaps...20 2.2.3. Værdien af en reneswap...21 2.3. Implemenering og resulaer...22 2.4. Delkonklusion...24 3. Renesrukurmodel...25 3.1. Binomialræ...25 3.1.1. Prisfassæelse i e rekombinerende binomialræ...26 3.2. Black-Derman-Toy modellen...28 3.2.1. Udledning af BDT-modellen...29 3.2.2. Eksempel på besemmelse af e BDT reneræ...31 3.3. Forward algorimen...33 3.4. Volailiessrukuren...37 3.4.1. Hisorisk volailie...37 3.4.2. Implici volailie...38 3.4.3. Swapioner...39 3.4.3.1. Swapioners prisdannelse...40 1
3.4.3.2. Prisfassæelses eksempel... 41 3.5. Implemenering og resulaer... 42 3.6. Delkonklusion... 46 4. Konvereringsmodel... 49 4.1. Lånagernes semiraionalie... 49 4.2. Ordinære og eksraordinære udræk... 50 4.3. Konvereringsmodellen... 51 4.4. Esimaionsmeode... 54 4.4.1. Esimaion vha. esimerede konvereringsraer... 54 4.4.2. Miksur esimaion... 55 4.5. De forklarende variable... 56 4.5.1. Neonuidsgevinsen... 56 4.5.1.1. Refinansieringsspænd... 59 4.5.2. Relaiv resløbeid... 61 4.5.3. Burnou og poolfakor... 61 4.5.4. Andre forklarende variable... 62 4.5.4.1. Førse års likvidiesbesparelse... 62 4.5.4.2. Forholde mellem kupon rene og refinansieringsrene... 63 4.5.4.3. Omlægning il flexlån... 63 4.6. Daasæe... 63 4.6.1. CK serierne... 63 4.6.1.1. Lånagermassens sammensæning, CK92... 64 4.6.1.2. Ordinære og eksraordinære udræk, CK95... 64 4.6.1.3. Ordinære ydelsesrækker, CK91 og CK94... 65 4.6.2. Skaesaser og konvereringsomkosninger... 65 4.6.3. Daa indsamling... 67 4.7. Implemenering og resulaer... 68 4.7.1. Konvereringsraens afhængighed af de forklarende variable... 73 4.8. Delkonklusion... 75 5. Prisfassæelsesmodel... 77 5.1. Siafhængighed og besemmelse af de forklarende variable... 77 5.2. Prisfassæelsesmodellen... 79 2
5.2.1. Konvereringsværdi...79 5.2.2. Hold-on værdi...80 5.2.3. Obligaionsværdi...80 5.3. Kurs 100 korrekion...81 5.4. Opion adjused spread (OAS)...83 5.5. Implemenering og resulaer...83 5.6. Kursfølsomhed...85 5.6.1. Renefølsomhed...86 5.6.2. Volailiesfølsomhed...87 5.7. Delkonklusion...88 6. Risikonøgleal...91 6.1. Varighed...91 6.2. Konveksie...94 6.3. Vega...95 6.4. Implemenering og resulaer...96 6.5. Delkonklusion...98 7. Konklusion...99 Lieraurlise...103 Bilag...105 3
4
Indledning De danske marked for finansiering af realkredilån, er e af de sørse og mes likvide i verden. Høj gennemsigighed og sore lovmæssige krav il realkrediinsiuerne, gør a danske realkrediobligaioner berages som en sikker invesering 1. Realkredilån baseres på udsedelse af obligaioner, og kan indfries på markedsvilkår. Hisorisk se, er den fasforrenede konvererbare obligaion, den mes anvende obligaion il finansiering af realkredilån 2. Konvereringsreen giver lånager mulighed for a indfri si lån il kurs pari, uanse kursen på den underliggende obligaion. I forhold il en inkonvererbar obligaion, er prisfassæelsen af en konvererbar obligaion, mere kompleks. Dee skyldes usikkerhed omkring de fremidige ydelsesbealinger, og lånagernes semiraionelle konvereringsadfærd. A kunne værdiansæe denne konvereringsre, er af sor ineresse for både invesorer og finansielle insiuioner. 1 www.realkrediraade.dk 2 Danmarks Naionalbank - Danske realkrediobligaioner under den finansielle uro, 2009 5
Problemformulering I denne opgave vil der blive opsille en diskre numerisk meode, il prisfassæelse af danske fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner. Herunder vil de blive undersøg: Hvordan kan en model for den fremidige reneudvikling opsilles ud fra markedsdaa, så den beskriver den mulige udvikling i renen? Hvor realisisk er denne model? Hvordan kan en konvereringsmodel opsilles, så den beskriver lånagernes semiraionelle konvereringsadfærd? Hvilke variable afhænger denne model af, og hvordan afhænger konvereringsraen af disse variable? Kan konvererbare obligaioner med rimelighed prisfassæes, vha. den fundne reneudvikling og konvereringsmodel? Hvordan kan kursfølsomhed mh. renen og renevolailieen måles og esimeres, for konvererbare obligaioner? 6
Begrænsning og anagelser Opgavens primære formål er a opsille en numerisk model il prisfassæelse af konvererbare obligaioner, og skal ikke ses som en analyse eller gennemgang af de danske realkredisysem. Der er i opgaven foreage følgende begrænsninger og anagelser: Opgaven ager udgangspunk i danske fasforrenede annuies realkrediobligaioner De risikoneurale sandsynligheder er sa il ½. Opgaven anvender diskre renes regning. De anages a der ingen opsigelsesfris er, dvs. konvereringsreen kan anvendes hel frem il ermin. De anages a refinansieringsspænde er konsan, dvs. uafhængig af både id og reneniveau. Spænde er illag nulkuponrenerne i esimaionen, og illag de kore rener i prisfassæelsen. 7
Indhold og srukur I kapiel 1, vil de danske realkredimarked og konvererbare obligaioner, kor blive inroducere. I kapiel 2, vil der blive esimere en nulkuponrenekurve ud fra danske reneswaps, vha. Nelson Siegels funkion. I kapiel 3, benyes den i kapiel 2, fundne swapkurve og den implicie volailie gennem danske swapioner, il a besemme e rekombinerende binomialræ, indeholdende de kore rener. I kapiel 4, bliver der opsille en konvereringsmodel, som esimeres vha. hisoriske konvereringsraer og lånagerfordelinger. Konvereringsraen kan derefer esimeres vha. e sæ forklarende variable. I kapiel 5, benyes de fundne reneræ og den esimerede konvereringsmodel, il a opsille de fremidige forvenede cash flows, og derefer prisfassæe en konvererbar obligaion. I kapiel 6, bliver re risikonøgleal inroducere og esimere for de konvererbare obligaioner. Nedenfor er opgavens srukur illusrere: Figur 1 - Illusraion af opgavens srukur. Kilde: Egen ilvirkning. 8
1. De danske realkredimarked De danske realkredisysem har opnåe bred anerkendelse, i såvel Danmark som i udlande. Forskere og raingbureauer har gennem årier, beegne de danske realkredisysem som verdens bedse boligfinansieringssysem 3. I dee kapiel vil de danske marked for realkrediobligaioner blive beskreve. Førs vil de generelle karakerisika for de danske realkredimarked, herindunder risikoprofilen, blive beskreve. Derefer beskrives muligheden for føridig indfrielse, udsedelse og obligaionsyper, og il sids beskrives konvererbare obligaioner. 1.1. Danske realkrediobligaioner De danske realkrediinsiuer formidler lån il lånager, mod sikkerhed i fas ejendom. Realkrediinsiuerne finansierer realkredilån, ved a udsede serier af obligaioner, der noeres på OMX Københavns Fondsbørs. Forholde mellem lånager og invesor i realkredisyseme er anonym, hvor invesor ikke har pan i én besem ejendom, og lånager har ikke lån hos én besem invesor. Obligaioner il finansiering af realkredilån udgjorde 78,3% af den cirkulerende obligaionsmængde på OMX Københavns Fondsbørs, ved udgangen af 2006. Dee svarede il 2.605 mia. kr. 4 De danske marked for realkrediobligaioner er e af de sørse og mes likvide i verden. Obligaionerne har de højs opnåelige inernaionale raings for krediværdighed 5. Den begrænsede risiko, der er ved a invesere i danske realkrediobligaioner, skyldes opbygningen af de danske realkredimarked, hvor især følgende seks egenskaber er af beydning 6 : Obligaionerne har sikkerhed i inglys pan i fas ejendom Realkrediinsiuerne anvender balanceprincippe Realkrediinsiuerne opfylder en række lovmæssige krav om bl.a. kapialdækning Realkrediinsiuerne opfylder lovmæssige procenuelle maksimale lånegrænser for lån i de forskellige ejendomskaegorier 3 www.realkrediraade.dk - De danske realkredisysem 4 www.realkrediraade.dk - Markede for obligaioner il finansiering af realkredilån 5 www.realkrediraade.dk - De danske realkredisysem 6 www.realkrediraade.dk - De danske realkredisysem 9
Invesorerne har e konkursprivilegium i ilfælde af a e realkrediinsiu går konkurs Realkrediinsiuerne er under ilsyn fra Finansilsyne, som kan skride ind og sille krav, hvis insiue overræder reglerne. A panebreve inglyses, beyder a de er offenlig regisrere hvem, der har pan i ejendommen. Dvs. realkrediinsiue juridisk se, har krav i ejendommen, hvis lånager ikke overholder sine låneforpligelser. Balanceprincippe medfører, a der er en æ overenssemmelse mellem e realkredilåns karakerisika og de ilsvarende karakerisika for de obligaioner, som ligger bag låne. Så længe lånagerne overholder deres låneforpligelser, har realkrediinsiue ingen umiddelbar markedsrisiko, da lånagernes rene- og afdragsbealinger il insiue, modsvares af insiues rene- og afdragsbealinger il invesorerne. Realkrediinsiuerne har kun én væsenlig risiko, ved udsedelse af realkredilån, nemlig kredirisikoen. Kredirisikoen er, hvis lånager ikke opfylder sine låneforpligelser. Balanceprincippe er e finansiel sabiliserende grundelemen i de danske realkredisysem, hvor realkrediinsiuernes mulighed for a påage sig finansielle risici, begrænses. Derfor er chancen for konkurser bland realkrediinsiuerne, minimal. Endnu, er ingen realkrediinsiuer gåe konkurs i Danmark 7. Realkrediinsiuerne skal opfylde en række lovmæssige krav il kapialdækning, i form af solvenskrav. Solvens er e udryk for krediværdighed. Solvens procenen angiver hvor mege basiskapialen udgør af insiues risikovægede akiver (f.eks. udlån) 8. Realkrediinsiuerne er forplige il, på ehver idspunk, a have en solvens procen på minds 8%, som finansiel beredskab overfor uvenede begivenheder. Kapialdækningskravene og lånegrænserne medfører, som balanceprincippe, a chancen for konkurser bland realkrediinsiuerne, er minimal. Konkursprivilegie beyder, a invesorer i realkrediobligaioner, har forrinsre overfor andre krediorer, hvis de udsedende realkrediinsiu skulle gå konkurs. Realkrediobligaioner er, i forhold il danske sasobligaioner, udsa for både kredi- og likvidiesrisiko. Derfor er sasobligaioner mere arakive for invesorer, og handles derfor ypisk il højere kurs end realkrediobligaioner, hvilke giver realkrediobligaioner højere forrenning. 7 www.realkrediraade.dk - De danske realkredisysem 8 Danmarks Naionalbank - Finansiel sabilie - 2006 10
Markede for finansiering af fas ejendom, er præge af konkurrence på bidragssaser, produkudbud, disribuion, rådgivning og service. I nedensående figur er markedsandelene for de danske realkrediinsiuer, som yder lån mod pan i fas ejendom på grundlag af udsedelse af realkrediobligaioner, illusrere: 0,5% 7,8% 15,5% 44,0% 32,1% Realkredi Danmark Nykredi Nordea BRF Kredi DLR Kredi Figur 2 - Den procenvise markedsandel, opgjor i forhold il den samlede obligaionsresgæld il privae ejerboliger og friidshuse, 2. kvaral 2008 9. 1.2. Føridig indfrielse Lånager har forskellige muligheder hvorpå, han kan indfri si lån før id. Lånager kan købe sig ud af si lån, ved a opkøbe lånes bagvedliggende obligaioner i markede, på samme vilkår som andre invesorer (obligaionsindfrielse). Da realkredilån er funde på baggrund af obligaioner, giver dee lånager mulighed for a indfri lån, på markedsvilkår. Denne egenskab ved de danske realkredimarked, mindsker chancen for a lånager bliver eknisk insolven. Teknisk insolvens opsår i den siuaion, hvor gælden i ejendommen, oversiger ejendommens værdi. Så længe lånager bealer sine ydelser, har dee ingen beydning, men ved salg af ejendommen, vil lånager så i en siuaion, hvor der sadig er udesående gæld. Ved f.eks. e priorieslån, hvor låne ikke er funde på baggrund af obligaioner, påvirkes lånagers resgæld ikke af reneændringer. Dvs. i en siuaion med krafig sigende rener, og ilhørende faldende ejendomspriser, kan lånager blive eknisk insolven. 9 www.realkrediraade.dk 11
Denne siuaion vil sjælden forekomme ved fasforrenede realkredilån. Dee skyldes, a i ilfælde af en renesigning, vil kursen på de bagvedliggende obligaioner falde, og herved vil beløbe, der beales ved indfrielse, også falde, hvilke kan modså e evenuel ejendomsværdifald 10. Ved konvererbare obligaioner kan lånageren vælge a indfri si lån, ved a beale e konanbeløb svarende il obligaionsresgælden fassa il kurs 100 (pari indfrielse). Dee er en solvenssikring af lånager, da gældsforøgelsen ved e renefald herved er begrænse. Ved pari indfrielsen kan lånager indfri si lån il førskommende ermin, hvor der beales e indfrielsesgebyr. Opsigelsen skal ske inden en besem opsigelsesfris, som ved kvarårlige erminer, er o måneder før ermin. Lånager har også mulighed for a opsige låne med de samme (sraksindfrielse). Opsigelsesfrisen gælder sadig, og dvs. hvis e lån sraksindfries f.eks. d. 2. maj, beales der forsa rener på låne, frem il 1. okober, hvor realkrediinsiue bealer obligaionsejerne. Da realkrediinsiue har rådighed over de indfriede beløb, fra 2. maj il 1. okober, kompenseres lånageren i denne periode, med en godgørelsesrene. 1.3. Udsedelse af obligaioner Udsedelser af realkrediobligaioner, sker i ak med a realkrediinsiuerne har behov for a udsede lån. Dee kaldes for ap udsedelse. En given obligaionsserie er ypisk åben i 3 år, hvor realkrediinsiuerne i denne periode, kan udsede obligaioner, på vegne af lånagere. Mellem realkrediinsiuerne, er der indgåe afale om, a insiuerne ikke ilbyder lån på basis af obligaioner, hvis kurser oversiger pari. Dee kaldes for pari-afalen 11, som blev opree, for a undgå en uhensigsmæssig påvirkning af obligaionsmarkede. Insiuerne ville undgå, a lånagere spekulerede i, a udnye muligheden for a opage lån il kurser over pari, med eferfølgende konverering il kurs pari, il førskommende ermin. 10 A realkredilån fundes vha. obligaioner, er ikke en fuldsændig sikring mod eknisk insolvens. Dee sås bl.a. under finanskrisen (2008), da faldende rener ikke som forvene, medføre sigende huspriser. 11 www.realkrediraade.dk Pari-afale 12
1.4. Obligaions- og konanlån Der skelnes mellem o yper af fasforrene lån, hhv. obligaionslån og konanlån 12. På e obligaionslån, udleverer realkrediinsiue i princippe obligaioner il lånager, il gengæld for e panebrev. Herefer må lånager selv fremskaffe e konan låneprovenu, ved salg af obligaionerne. I praksis sår realkrediinsiue for salge. Den rene, der beales på låne, er den underliggende obligaions, kuponrene. Derfor kender lånager førs de udbeale låneprovenu, når obligaionerne er solg i markede. Ved konanlån er lånagers mellemværende med realkrediinsiue, alene konanværdien af obligaionerne. Her bealer lånager en højere rene, end obligaionernes pålydende rene, svarende il den effekive rene på obligaionerne. Omvend obligaionslån, kendes de konane låneprovenu fra sar, hvor i sede, renen på låne er ukend, indil obligaionerne er solg i markede. Ved obligaionslån, kan lånager ikke frarække e ev. kursab i ska, alså hvis obligaionerne handles under kurs pari. Til gengæld bliver lånager normal ikke beskae af kursgevinser, ved indfrielse il lavere kurs end salgskursen 13. Ved konanlån er der ine direke kursab, da e sådan vil blive medregne obligaionens effekive rene, og dermed i lånerenen. Renebealinger er for både obligaions- og konanlån, fradragsbereige. Obligaionslån er den mes anvende låneform, da ev. kursgevinser ved indfrielse ikke er skaepligige 14. Ydelserne på de o yper lån er ens, mens fordelingen af rener og afdrag er forskellig. Pga. pari afalen, udsedes der sjælden obligaioner over kurs pari. Dvs. den effekive rene er sørre end eller lig kuponrenen. Herved er konanlånsrenen sørre end eller lig obligaionslånsrenen. Renebealingerne på e konanlån er derfor, sørre end renebealingerne på e obligaionslån, og omvend for afdragene. I følgende figur er rene- og afdragsprofilen for e fikiv konan- og obligaionslån illusrere: 12 Bjarne Asrup Jensen Renes regning 13 hp://www.boligejer.dk/obligaionslaan 14 www.nykredi.dk/priva/info/realkredi/obligaionslaan.xml 13
70.000 60.000 50.000 40.000 30.000 20.000 10.000 0 0 5 10 15 20 25 30 Kon. afdrag Kon. rener Obl. afdrag Obl. rener Figur 3 - Illusraion af rene- og afdragsbealinger på e konan- og obligaionslån. Kilde: Egen ilvirkning 15. 1.5. Konvererbare obligaioner Fra invesors synspunk, kan købe af en konvererbar obligaion, berages som en lang posiion i en ilsvarende inkonvererbar obligaion, sam en kor posiion i en call opion, med den inkonvererbare obligaion, som underliggende akiv, og srike kurs på 100: Pkonvererbar = Pinkonvererbar Cinkonvererbar (1.1) Hvor den inkonvererbare obligaion, er idenisk med den konvererbare, borse fra, a denne ikke kan konvereres. Da værdien af en opion ikke kan blive negaiv, ses de af (1.1) a prisen på den konvererbare obligaion, enen er mindre end eller lig med prisen på den inkonvererbare obligaion. Denne difference i prisen mellem en konvererbar og en inkonvererbar obligaion, er udryk for, a invesoren i den konvererbare obligaion, er udsa for konvereringsrisiko. Konvereringsrisikoen kan opsplies i o dele. Invesoren er for de førse, udsa for kursrisiko, i form af kursab. Denne siuaion opsår hvis obligaionen er køb over pari, og derefer konvereres il pari. For de ande er invesoren udsa for geninveseringsrisiko, da de ilbagebeale beløb, skal geninveseres i markede, il en lavere rene. 15 Lånene er annuieslån med 5% kuponrene, som har 1 årlig ermin og 30 års løbeid. Udsedelseskursen er 95 og hovedsolen 1 mio. Ydelsen for begge lån er kr. 68.474. 14
Når prisen på den inkonvererbare obligaion falder, falder værdien af opionen, dvs. a prisen på den konvererbare og den inkonvererbare obligaion, nærmer sig hinanden. Omvend, jo højere prisen på den inkonvererbare obligaion er, jo mere er opionen værd, og jo sørre forskel, er der på den konvererbare og den inkonvererbare obligaion. Værdien af opionen afhænger af bl.a. af renevolailieen, løbeiden og renen. For sigende volailie eller løbeid, vil opionsværdien sige, al ande lige. Den eoreiske sammenhæng mellem reneniveau og kurs, illusreres i nedensående figur: Figur 4 Teoreisk illusraion af forholde mellem inkonvererbar og konvererbar kurs, som funkion af renen. Kilde: Michael Chrisensen - Obligaions invesering. I figur 4, ses den eoreiske sammenhæng mellem rene og kurs, på en konvererbar og en inkonvererbar obligaion. Ved høje rener, og derved kurser på e sykke under pari, er kursen på den inkonvererbare og den konvererbare obligaion, sammenfaldende, da opionen er værdiløs Når renen falder, sigerne kurserne mod pari, og den konvererbare kurs, vil langsom falde under den inkonvererbare kurs, da opionen får værdi. De ses a den inkonvererbare obligaions, rene/kurs kurve, er konveks for alle rener. Den konvererbare rene/kurs kurve er derimod konkav for kurser nær pari, hvilke kaldes for negaiv konveksie. Hvis renen falder ilsrækkelig mege, kan den konvererbare obligaion blive så konvereringsrue, a kursen falder, ved renefald. Dee kaldes for negaiv varighed. A kursen kan oversige pari, uden alle lånagere konvererer, kan f.eks. illægges semiraionelle lånagere og konvereringsomkosninger. 15
16
2. Nulkuponrenekurve En esseniel del af obligaions prisfassæelse, er nulkuponrenekurven. Nulkuponrenekurven er en funkion, y(;0), hvor y(;0) er den periodevise nulkuponrene, gældende fra id 0 il. Nulkuponrenekurven kan ikke direke observeres, men kan esimeres ud fra priser og bealinger på reneproduker. I dee kapial bliver nulkuponrenekurven esimere på baggrund af danske reneswaps vha. Nelson Siegels meode. 2.1. Nulkuponobligaion En nulkuponobligaion, er en sående obligaion med en pålydende rene på 0, dvs. den ikke udbealer kupon. Hovedsolen på 1 kr., og falder ved udløb: Figur 5 - Illusraion af bealinger på en j-års nulkuponobligaion. Kilde: Bjarne Asrup Jensen - Renes Regning. Hvor D( j ;0) både er kursen på en j års nulkuponobligaion og diskoneringsfakoren mellem id 0 og j. Afkase fås herved udelukkende fra kursgevinser, da nulkuponobligaionen handles under pari. Kursen på obligaionen, og bealingen ved udløb kan observeres, og derved kan nulkuponrenen mellem id 0 og T, yt ( ;0), udregnes som: 1 T T K 0 0 = T (1 + ( ; 0)) ( ; 0) = 1 BT K B yt yt (2.1) Hvor K 0 er kursen på id 0, B T er bealingen ved udløb og T er udløbsidspunke. 17
I Danmark er udvalge af nulkuponobligaioner begrænse il saens skakammerbeviser. Skakammerbevisprogramme blev fakisk udfase hel, i perioden 2005-2008, men er i 2010 genåbne, med udsigen il sørre lånebehov 16. Skakammerbeviserne er ypisk med løbeider på under e år, og da nulkuponrenekurven i denne opgave, skal benyes for 30 år, kan skakammerbeviser alene ikke anvendes 17. 2.2. Renekurven Da de ikke er mulig a anvende nulkuponobligaioner, benyes i sede kuponbærende obligaioner. I eorien kan renesrukuren findes enydig vha. boosrapping, som fier obligaionsbealinger og priser fuldsændig. For a denne meode, skal kunne besemme renekurven enydig, kræver de lige så mange obligaioner som bealingsidspunker (n ligninger med n ubekende), og a bealingsmaricen har fuld rang. Dee vil normal være svær a opfylde, da der vil være flere bealingsidspunker end obligaioner, dvs. e underbesem ligningssysem. Boosrapping kan også anvendes på baggrund af e underbesem ligningssysem, hvor de ikke løses analyisk, men i sede løses numerisk. Der indføres e fejlled, som er forskellen mellem de fundne eoreiske priser og markedspriserne, som kvadreres og summes. Derefer minimeres kvadrasummen ved a ændre på diskoneringsfakorerne. Denne meode, er ligeledes ikke ilsrækkelig il denne opgaves brug, da der ikke besemmes en kurve, men i sede enkele punker. Punkerne kan dog forbindes, men dee vil i de flese ilfælde, give en mege ujævn kurve. Yderligere skal der esimeres mange diskoneringsfakorer på én gang, hvilke for de flese programmer, er en langsommelig proces. Der findes andre meoder il a esimere renekurven på, f.eks. Nelson Siegel og Cubic Spline. Cubic Spline meoden, fier kuponbærende obligaionsbealinger og priser, med polynomier i selvdefinerede idsinervaller. F.eks. kunne der deles op fra id 0-1 år, 1-5 år, 5-15 år og 15-30 år. Derefer fies obligaionsbealingerne fra id 0-1 år med é polynomium, bealingerne fra id 1-5 16 Danmarks Naionalbank Saens lånagning og gæld 2009 side 49 17 Skakammerbeviserne kan f.eks. benyes il a besemme de hel kore rener, på en renekurve esimere ud fra sasobligaioner. 18
år med e ande polynomium, osv. Ved a binde flere af paramerene i polynomierne, kan renekurven gøres både koninuer og differeniabel. Nelson Siegel meoden bygger på, a renekurven kan beskrives ud fra e fas funkionsudryk, hvor e anal paramere kan esimeres, ud fra kuponbærende obligaionsbealinger og priser. Meoden har flere gode egenskaber, f.eks. er paramerene lee a esimere (da der er forholdsvis få). Yderligere kan renekurven anage både S-form og have pukler, og kan sor se fie alle former af renesrukuren 18. Yderligere har grænseværdierne ofes pæne forolkninger. Pga. ovensående egenskaber, er de i denne opgave valg, a benye Nelson Siegel meoden. De er herved er de ikke nødvendig a foreage subjekive valg, om f.eks. anal delinervaller og disses sørrelse, som i Cubic Spline meoden. Forskrifen for Nelson Siegel funkionen, ser ud som følger: γ 1 e γ y(;0) = φ0 + ( φ1+ φ2) φ2 e (2.2) γ Hvor φ0, φ1, φ 2 og γ er paramerene, som skal esimeres. Grænseværdierne ser ud som følger 19 : y (;0) ( φ + φ )for 0 0 0 1 y (;0) φ for (2.3) Dvs. φ0 + φ1 kan berages som den kore rene, og φ 0 kan berages som den lange rene. 2.2.1. Kuponbærende obligaioner Som kuponbærende obligaioner, benyes ofe sasobligaioner eller reneswaps. Realkrediobligaioner er udsa for både likvidies- og kredirisiko, i forhold il sasobligaioner. De er derfor nødvendig, a illægge e likvidies- og kredispænd, hvis sasrenekurven benyes i prisfassæelsen. I opgaven er reneswaps valg, da reneswaps er udsa for både likvidies- og kredirisiko. Dvs. swapkurven indeholder både likvidies- og kredispænd il 18 Nelson & Siegel, Parsimonious Modeling of Yield Curves 19 Nelson & Siegel, Parsimonious Modeling of Yield Curves 19
saskurven 20. Yderligere eksiserer der reneswaps med flere forskellige løbeider, end sasobligaioner. 2.2.2. Reneswaps En reneswap er e renederiva, hvis værdi afhænger af reneniveaue. Ren prakisk, er en reneswap en konrak mellem o parer, om a bye renebealinger. Reneswaps benyes primær il risikosyring, hvor virksomheder kan neuralisere risikoen, ved a have e indkommende variabel cash flow. Dee er illusrere i figur 6, hvor virksomhedens neo cash flow, efer indgåelse i en reneswap, er den fase swaprene. Figur 6 - Illusraion af reneswap bealinger. Kilde: Egen ilvirkning I praksis udveksles der ikke bealinger, da der kun afregnes differencen mellem den variable rene og swaprenen. Reneswaps kan yderligere anvendes il spekulaion på, om renen falder eller siger. Den mes almindelige form for reneswap, er en plain vanilla. En plain vanilla payer er en reneswap hvor variabel rene modages og fas rene beales 21. Den fase rene kaldes swaprenen, og fassæes på indgåelsesidspunke, således a værdien af reneswappen på id 0, er 0 for begge parer. Den variable rene kvoeres efer f.eks. LIBOR eller CIBOR 22 renen, e besem anal gange om åre, også kalde reneswappens enor. Den kvoerede rene gælder for den næse periode, frem il næse ermin Der kan afales forskellige kombinaioner af 20 Da swaprenen er en inerbank rene, kan lånager ikke opage lån il denne rene. Senere i opgaven esimeres og illægges e refinansieringsspænd il swapkurven. 21 Fremover vil den variable og fase bealingssrøm, blive referere il som de variable ben hhv. de fase ben. 22 London InerBank Offered Rae hhv. Copenhagen InerBank Offered Rae. 20
reneswappens enor, på de variable og fase ben. I denne opgave er de valg a benye kvar årlige bealinger, på begge ben. Gennem den fase swaprene på reneswaps, afspejles forvenningen il reneniveaue, for forskellige løbeider. Derfor kan reneswaps benyes il a esimere nulkuponrenekurven. 2.2.3. Værdien af en reneswap En plain vanilla payer reneswap, har bealingsrækken 23 : 1 ~ j ( j n ), 1,2,..., Y = K S s j = n (2.4) m m er reneswappens enor (i dee ilfælde fire, da der regnes med kvarårlige erminer), n er anal erminer, ~ j S er den variable rene, som gælder fra id j il j+1, og s n er den fase (på forhånd afale) swaprene. K er en fikiv hovedsol, som i praksis hverken udbeales eller ilbagebeales, men fungerer udelukkende il skalering af bealingerne. (2.4) kan omskrives il følgende: 1 ~ j = ( j n ), = 1,2,..., 1 Y K S s j n m 1 ~ n = ((1 + j ) (1 + n )) Y K S s m (2.5) For Y n lægges K il og rækkes fra igen, så neobealingen er den samme som i (2.4). Med fremsillingen i (2.5), kan reneswappen nu berages som en porefølje af o sående obligaioner: En lang posiion i en variabel forrene obligaion. En kor posiion i en fasforrene obligaion, med swaprenen, s n, som kuponrene. En variabel forrene obligaion prisfassæes il kurs pari, og da den fase swaprene (kuponrenen) er kend, kan renekurven besemmes, som den renekurve, der prisfassæer den 23 Bjarne Asrup Jensen, Renes Regning. 5. udgave 2009 21
fasforrenede obligaion, il kurs pari. Denne renekurve, benyes i opgaven som nulkuponrenekurve, og benævnes fremover som swapkurven. 2.3. Implemenering og resulaer Al daa er hene fra Nordea Analyics Swap Calculaor, og der er anvend 16 plain vanilla payer reneswaps, med løbeider fra ½-30 år. Analysedagen er pga. weekend og påske, sa il irsdag 6. april 2010, så med 2 valørdage på reneswaps, er handelsdagen 30. mars 2010. Der er bealingsdage fire gange årlig, på både de fase og variable ben. I ilfælde af a bealingsdaoen ikke falder på en handelsdag, falder bealingen på den førse handelsdag derefer. For begge ben bruges renekonvenionen ACT/365. Dee er ikke den normale renekonvenion, som benyes på reneswaps, og der benyes ofes også forskellig konvenion, på hver ben. Denne forsimpling bør ikke have mærkbar effek på resulae. Følgende daa er benye: Reneswap Fas swaprene Udløbsdao 1 DKK SWAP 0,5Y 1,2173 % 06-10-2010 2 DKK SWAP 1Y 1,4141 % 06-04-2011 3 DKK SWAP 2Y 1,7896 % 10-04-2012 4 DKK SWAP 3Y 2,2937 % 08-04-2013 5 DKK SWAP 4Y 2,5616 % 07-04-2014 6 DKK SWAP 5Y 2,7995 % 07-04-2015 7 DKK SWAP 6Y 3,0136 % 06-04-2016 8 DKK SWAP 7Y 3,1849 % 06-04-2017 9 DKK SWAP 8Y 3,3266 % 06-04-2018 10 DKK SWAP 9Y 3,4437 % 08-04-2019 11 DKK SWAP 10Y 3,5430 % 06-04-2020 12 DKK SWAP 12Y 3,7136 % 06-04-2022 13 DKK SWAP 15Y 3,8787 % 07-04-2025 14 DKK SWAP 20Y 3,9833 % 08-04-2030 15 DKK SWAP 25Y 3,9399 % 06-04-2035 16 DKK SWAP 30Y 3,8526 % 06-04-2040 Tabel 1 - Daa brug il esimaion af swapkurve. Kilde: Egen ilvirkning med daa fra Nordea Analyics Esimaion af swapkurven er foreage i Excel, vha. den indbyggede Problemløser. Som idligere nævn benyes Nelson Siegel meoden. Bealingsrækkerne for de fasforrenede obligaioner (med ovensående swaprener som kuponrene) opsilles, og de fire Nelson Siegel paramere 22
esimeres vha. mindse kvadraers meode. Dvs. summen af de kvadrerede afvigelser mellem den eoreiske kurs og kurs 100, minimeres. Resula af esimaionen er som følger: Φ 0 Φ 1 Φ 2 γ Nelson Siegel paramere -0,0021 0,0139 0,1247 12,6646 Tabel 2 - Esimerede Nelson Siegel paramere Som idligere nævn kan φ 0 + φ 1 berages som den kore rene, dvs. den kore rene er 1,18 %. Tolkningen af φ 0 som den lange rene, kan ikke bruges i dee ilfælde, da den er negaiv. φ 0 er negaiv, da swapkurven efer ca. 20 år, har negaiv hældning. Hvis swapkurven blev forlænge udover de 30 år, ville renen gå mod -0,21%. I figur 7 er swapkurven illusrere. De ses, a renen er sigende med løbeiden il omkring 20 års løbeid, hvorefer renen afager med løbeiden. Årlig nulkuponrene, y(;0) 4,5% 4,0% 3,5% 3,0% 2,5% 2,0% 1,5% 1,0% 0,5% 0,0% - 5 10 15 20 25 30 Tid il udløb i år, Figur 7 Esimere swapkurve. Kilde: Egen ilvirkning. Esimaionen har en samle gennemsnisafvigelse på 0,11%, hvilke må siges a være accepabel. I figur 8 er afvigelserne illusrere. Afvigelserne ligger i inervalle fra -0,34% il 0,16%. Yderligere ses umiddelbar ine mønser i afvigelserne. Al i al, e ilfredssillende resula. 23
0,30% 0,20% 0,10% 0,00% -0,10% -0,20% -0,30% -0,40% -0,50% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Figur 8 - Afvigelser fra Nelson Siegel esimaionen. Kilde: Egen ilvirkning. 2.4. Delkonklusion I dee kapiel er nulkuponrenekurven esimerede, på baggrund af danske reneswaps. Reneswaps blev valg frem for sasobligaioner, da renekurven udled vha. reneswaps, inkluderer både likvidies- og kredispænd, i modsæning il saskurven. De anages a renekurven følger Nelson Siegels funkion. Der blev anvend 16 reneswaps, med løbeider fra ½-30 år, il esimaion af renekurven. Dee gav e resula hvor de fiede priser, alle lå indenfor ± 0,34% fra kurs pari, hvilke var e accepabel resula. Renekurven vise sig a være voksende med løbeiden indil omkring 20 år, hvorefer den var afagende. Den esimerede swapkurve benyes i næse kapiel il udledning af e reneræ, over den mulige udvikling i den kore rene. 24
3. Renesrukurmodel Til besemmelse af prisen på konvererbare obligaioner, er de nødvendig a kende den mulige fremidige udvikling i renen. Til dee anvendes en renesrukurmodel. I dee kapiel, opsilles en renesrukurmodel, som diskreiseres il e binomialræ og som fier både den idligere esimerede swapkurve sam renevolailieen. Førs inroduceres e rekombinerende binomialræ, og de vises hvordan der prisfassæes i e sådan. Derefer beskrives den i opgaven valge renesrukurmodel, og hvordan denne fies il swapkurven og markedsvolailieen. Forward algorimen inroduceres og gennemgås som en måde, a besemme reneræe på. Derefer bliver de beskreve hvordan swapioner prisfassæes i e binomialræ, da disse benyes il volailieskalibrering af reneræe. I miden af 1970 erne opsod de klassiske dynamiske sokasiske renesrukurmodeller. Disse blev inroducere gennem arikler af bl.a. Meron (1973), Vasiceks (1977), sam Cox, Ingersoll & Ross (1985). Disse modeller er alle én-fakor modeller, der anvender den kore rene som enese fakor. Modellerne fier ikke auomaisk nulkuponrenesrukuren. Modellerne er inern konsisene men ikke eksern konsisene (alså kalibrerbare il markedsinformaion). De klassiske modeller blev forsøg forbedre af Ho & Lee (1986), der senere blev eferfulg af Black, Derman & Toy (1990), Hull & Whie (1990) og Black & Karasinski (1991). I disse modeller indgår nulkuponrenesrukuren som inpu, som renesrukurmodellerne fies il. Disse modeller bliver beegne som dynamiske arbiragefrie renesrukurmodeller. Modellerne er også én-fakor modeller, hvor den kore rene anages a være normal- eller lognormalfordel 24. 3.1. Binomialræ I opgaven anages de, a reneudviklingen kan beskrives i e rekombinerende binomialræ, med ilhørende risikoneurale sandsynligheder, [ q,1 q] : 24 Andrew Cairns - Ineres Rae Models, An Inroducion 25
Figur 9 - Rekombinerende binomialræ. Kilde: Bjarne Asrup Jensen 2006 25 Ovensående figur illusrerer e rekombinerende binomialræ, hvor angiver iden og s angiver ilsanden, anal op bevægelser i renen. (,s) beegner knuden il id og ilsand s, i binomialræe. Træe anvendes il a beskrive udviklingen i den kore rene. A ræe er rekombinerende medfører, a en op bevægelse eferfulg af en ned bevægelse, resulerer i samme rene, som ved en ned bevægelse eferfulg af en op bevægelse. Anal sluknuder i e ikke rekombinerende (siafhængig) binomialræ, siger eksponeniel, dvs. anal sluknuder er lig 2 T, hvor T er sluidspunke. Fordelen ved de rekombinerende ræ er, a anal sluknuder i ræe kun siger proporionel med iden. Ulempen ved e rekombinerende ræ, er a der ikke direke kan prisfassæes siafhængige reneproduker. 3.1.1. Prisfassæelse i e rekombinerende binomialræ I de følgende, vil der kor blive gennemgåe hvordan en 3 årig nulkuponobligaion prisfassæes, i e binomialræ: 25 Bjarne Asrup Jensen Binomial models for he erm srucure of ineres 26
s y(3;2,2) 2 7% s 2 y(2;1,1) y(3;2,1) 1 6% 5% 1 y(1;0) y(2;1,0) y(3;2,0) 0 5% 4% 3% 0 1 2 0 1 2 0 Figur 10 - Eksempel på rekombinerende binomialreneræ. Kilde: Egen ilvirkning. Ovensående figur viser e eksempel på e rekombinerende binomialreneræ med 3 perioder. Renen yts ( ;, ) er den gældende rene fra knude (,s), il id T. I ovensående eksempel, er alle rener, kore én periodes rener. De anages a renen mellem id og +1 er kend på id. De anages a periodelængden i reneræe er é år, og a ræe repræsenerer den mulige udvikling i den kore rene. Vha. baglæns indukion kan værdien af nulkuponobligaionen besemmes. Værdien af nulkuponobligaionen er 1 ved udløb, uanse reneforløbe. Herefer ilbagediskoneres værdien, il id 0. Værdien af obligaionen på id 2 er: 1 D(3;2, s) = 1 (1 + y(3;2, s)) for0 s 2 (3.1) Hvor D(3;2, s ) er værdien af obligaionen i knude (2,s). Herefer ilbagediskoneres værdierne på idspunk 2, il idspunk 1: 1 D(3;1, s) = ( q D(3; 2, s+ 1) + (1 q) D(3; 2, s)) (1 + y(2;1, s)) for0 s 1 (3.2) Hvor q er de risikoneurale sandsynlighedsmål. Tilsvarende findes værdien på idspunk 0, ved a ilbagediskonere værdierne på idspunk 1 il idspunk 0: D(3;0) ( q D(3;1, s 1) (1 q) D(3;1, s)) (1 y(1;0)) 1 = + + + (3.3) Dee giver følgende værdiræ, hvor q er sa il ½: s 0,935 1 2 0,890 0,952 1 1 0,864 0,925 0,971 1 0 1 2 3 0 Figur 11 - Værdiræ for 3 årig nulkuponobligaion. Kilde: Egen ilvirkning. 27
Dvs. prisen på en 3 årig nulkuponobligaion er 0,864. Generel kan værdien af en nulkuponobligaion, findes i en hvilke som hels knude (,s) som: q D( T; + 1, s+ 1) + (1 q) D( T; + 1, s) DT ( ; s, ) = for0 < Tog0 s 1 + y ( + 1; s, ) (3.4) 3.2. Black-Derman-Toy modellen I denne opgave ages der udgangspunk i Black-Derman-Toy modellen (fremover BDT). Modellen blev inroducere i 1980 erne af Fischer Black, Emanuel Derman og Bill Toy, il inern brug i Goldman Sachs, og blev offenliggjor i Financial Analyss Journal i 1990. Jakobsen og Rasmussen 26 skriver, a de ofe ilsræbes, a en renesrukurmodel har følgende egenskaber: Den kore rene skal være ikke-negaiv Hvis renen er mege høj, er der øge sandsynlighed for, a renen falder i den nærmese fremid, og omvend. Negaive rener har en dårlig økonomisk forolkning, og ses sjælden empirisk 27. BDT modellen har neop denne egenskab (ikke-negaive rener), da modellen anager, a de kore rener er lognormalfordele. Den anden egenskab, også kalde mean reversion, er ikke en egenskab BDT modellen besidder, i sin æge form. I sede kan de kore rener, for nogle specifikaioner af renevolailieen, være mean fleeing, hvilke vil sige a renerne ikke er begrænse opad, og a disse kan divergere, og give eksrem høje rener. BDT modellen bygger på følgende anagelser: Modellen er en én-fakor-model Risikoneurale sandsynligheder q og 1-q. I denne opgave sæes de il ½ 28 26 Jakobsen og Rasmussen Hvad prakikere bør vide om prisfassæelse af konvererbare obligaioner 27 Negaive rener sås bl.a. i USA i sluningen af 2008, hvor de såkalde T-bills med 3 måneders løbeid, handlede il så høje priser, a den effekive rene blev negaiv. 28
De kore rener er lognormalfordele Der er ingen skaer eller ransakionsomkosninger Ændringer i obligaionsrenerne er perfek korrelere Forvenede afkas er ens på alle akiver, over én periode De sørse fordele ved BDT modellen, er anagelsen om lognormalfordele kore rener, og a den både fier den gældende renesrukur, og den ilhørende volailiessrukur. BDT modellen er af disse grunde valg i denne opgave. Yderligere er BDT modellen ofe benye på de danske obligaionsmarked 29. Modellens inpu og oupu, kan illusreres på følgende måde: Figur 12 - Inpu og oupu il BDT modellen. Kilde: Egen ilvirkning med inspiraion fra Bjarne Asrup Jensen 2006 30 Hvor q er den risikoneurale sandsynlighed for en op bevægelse i den kore rene, yt ( ;0) er den iniiale nulkuponrenesrukur, som funkion af løbeiden, T. σ ( T;1) er volailieen mellem nulkuponrenerne, yt ( ;1,0) og yt ( ;1,1). Dvs. a inpu volailieen, er volailieen mellem de o mulige nulkuponrenesrukurer på id 1. Oupue fra modellen, er én periode renerne, y ( + 1; s, ), i alle binomialræes knuder, sam volailieen, σ (), mellem én periode renerne. 3.2.1. Udledning af BDT-modellen I en diskre ids BDT model, er ændringen i logarimen il den kore rene, give som 31 : Δ ln( y( + 1;, s)) = μ(ln( y( + 1;, s)), ) Δ + σ( ) Δ ε (3.5) 28 Denne sørrelse er ikke markedsbesem, og andre værdier af q, kan også benyes. 29 Bo Wase Peersen Ny realkredimodel, med fokus på gennemsigighed 30 Bjarne Asrup Jensen Binomial models for he erm srucure of ineres 31 Lookman Calibraing he BDT laice 29
Hvor y( + 1;, s) er den kore rene, μ er drifen som funkion af den kore rene og iden, σ () er volailieen på den kore rene il id, og ε er en binær variabel, som anager værdierne [ + 1, 1] med de risikoneurale sandsynligheder [ q,1 q] 32. Fra (3.5) ses de, a drifledde både afhænger af iden og ilsanden, hvorimod volailieen kun afhænger af iden, og alså er ilsandsuafhængig. De ses, a volailieen er volailieen mellem logarimen il de kore rener. Den kore rene i en given knude, (,s) i binomialræe, har o mulige udfald il id +1, y ( + 2; + 1, s) eller y ( + 2; + 1, s+ 1) : ln( y ( + 2; + 1, s+ 1)) = ln( y ( + 1; s, )) + μ(ln( y ( + 1; s, )), ) Δ + σ( ) Δ (3.6) ln( y( + 2; + 1, s)) = ln( y( + 1;, s)) + μ(ln( y( + 1;, s)), ) Δ σ( ) Δ (3.7) y ( + 2; + 1, s+ 1) er nødvendigvis ikke sørre end y( + 1;, s), dvs. a en op bevægelse i den kore rene, ikke nødvendigvis beyder a renen siger. Tilsvarende er y( + 2; + 1, s) ikke nødvendigvis mindre end y( + 1;, s), den enese beingelse er: y ( + 2; + 1, s+ 1) y ( + 2; + 1, s) (3.8) Ved a række (3.6) fra (3.7) fås: ln( y ( + 1; s, + 1)) ln( y ( + 1; s, )) = 2 σ ( ) Δ 1 y ( + 1; s, + 1) ln = σ ( ) Δ 2 y ( + 1; s, ) y ( 1; s, 1) y ( 1; s, ) e σ 2 ( ) Δ + + = + (3.9) Da hverken volailieen eller Δ, kan blive negaiv, må eksponenialfunkionen i (3.9), alid være sørre end eller lig 1, hvilke underbygger beingelsen i (3.8). Ud fra (3.9) ses de a de kore rener for fas, er en geomerisk række, med skaleringsfakor v(): 32 Analog er den koninuere ændring i renen i BDT modellen give ved: dln( r) = μ(ln( r), ) d+ σ ( ) dz, hvor dz er ilvæksen i en Brownsk bevægelse. 30
y ( + 1; s, + 1) v () = = e y ( + 1; s, ) 2 σ ( ) Δ (3.10) Dvs. de på ehver idspunk,, er mulig a besemme samlige rener, y( + 1;, s), hvis bare én af renerne på id og σ () er kend: s y( + 1;, s) = v( ) y( + 1;,0) (3.11) Volailieen mellem de kore rener, σ (), er ikke kend. Dvs. v() heller ikke er kend, men er en endogen variabel, som besemmes i modellen. I sede kendes volailieen il nulkuponrenerne på id 1. På samme måde som i (3.10), kan skaleringsfakoren mellem nulkuponrenerne på id 1 findes som: CT ( ;1) yt ( ;1,1) yt ( ;1,0) 2 σ ( T;1) Δ = = (3.12) e Hvor σ ( T;1) er volailieen il nulkuponrenerne id 1. Denne volailie er inpu il modellen, og er derfor kend, i modsæning il volailieen på de kore rener. Ved omskrivning af (3.10), kan volailieen mellem de kore rener findes: 1 y ( + 1; s, + 1) σ () = ln 2 Δ y ( + 1; s, ) (3.13) 3.2.2. Eksempel på besemmelse af e BDT reneræ Renerne i ræe kan ikke besemmes analyisk, men skal besemmes numerisk. BDT s originalarikel anvender følgende værdier: 31
Udløb (år) Nulkuponrene Volailie, σ(t;1) 1 10% 2 11% 19% 3 12% 20% Tabel 3 Udsni af eksempel fra BDT original ariklen. Kilde: Egen ilvirkning, med daa fra BDT's originalarikel 33. I de følgende eksempel, sæes den risikoneurale sandsynlig, q, il ½. De ønskes a besemme e binomialreneræ, med kore rener, som fier både den gældende nulkuponrenesrukur og volailie, give i abel 3. Den é årige rene mellem id 0 og 1, y (1; 0), er kend, og er 10%. Derefer kan y (2;1,0) og y (2;1,1) besemmes. I originalariklen, gæes der på disse o rener: Dvs. reneræe ser ud som: y(2;1,0) = 9,79% y(2;1,1) = 14,32% s 14,32% 1 10% 9,79% 0 1 0 Figur 13 - Kore rener i BDT reneræe. Kilde: Egen ilvirkning. Derefer jekkes de om disse rener er konsisene med både nulkuponrenesrukuren og volailieen. Prisen på en 2 årig nulkuponobligaion, findes som: 2 2 1 (1 + y(2;0)) = 1 (1 + 0,11) = 0,8116 Hvis en 2 årig nulkuponobligaion prisfassæes vha. reneræe i figur 13 ved brug af (3.4), skal prisen være 0,8116, for a de fundne rener er konsisene med den gældende nulkuponrenesrukur: 0,5 (1 + 0,1432) + 0,5 (1 + 0,0979) (1+ 0,1) 1 1 = 0,8116 33 Black, Derman & Toy - A one-facor model of ineres raes and is applicaion o reasury bond opions 32
De ses a nulkuponprisen er konsisen med nulkuponrenesrukuren. Derefer kan de med (3.13) jekkes om priserne også er konsisene med volailieen 34 : 1 0,1432 σ ( ) = ln 19% 2 0, 0979 Dvs. a de o rener, y (2;1,0) og y (2;1,1), fier både den gældende nulkuponrenesrukur og volailieen. Derefer findes de re korer rener, på id 3, ved igen a gæe på disse, og derefer jekke om nulkuponprisen og volailieen passer. Hvis enen nulkuponprisen eller volailieen ikke passer, gæes der igen 35. Dee genages, indil de ønskede reneræ er besem. I praksis vil der ikke gæes på renerne, som i originalariklen, men i sede benyes en Problemløser, som finder renerne numerisk. Dee er sadig en langsommelig affære, da renerne il id, findes vha. renerne fra id 0 il -1. I opgaven benyes e 30 årig reneræ med 3 måneders periodelængde, svarende il 120 perioder i reneræe. A besemme e ræ med 120 perioder, som fier den gældende nulkuponrenesrukur og volailie, med ovensående meode, er en sor se umulig og uendelig opgave. Der er dog andre meoder il mere effekiv a besemme reneræe. I de følgende er den såkalde forward algorime beskreve. 3.3. Forward algorimen BDT s originalarikel benyer en meode, hvor renerne il id findes vha. renerne fra id 0 il 1. Forward algorimen løser dee problem, ved a udregne renerne il id, vha. Arrow Debreu akiver. Dee er en sor fordel, da de derved er mindre beregningsung, a besemme reneræe. 34 Resulae giver ikke præcis 19%, da alle decimaler i de o rener ikke er medage. 35 Trial and Error. 33
E Arrow Debreu akiv er e akiv, som udbealer 1, hvis og kun hvis, én besem knude opnås ved udløb. I alle andre knuder udløber akive værdiløs. Prisen i knude (, s ) på e Arrow Debreu akiv, som udbealer 1 i knude (, s ) beegnes med AD(, s;, s) 36. En nulkuponobligaion kan dermed berages som, en porefølje af Arrow Debreu akiver. En 1- årig nulkuponobligaion, vil være en porefølje af o Arrow Debreu akiver; é, som udbealer 1 i knude (1,1) og é, som udbealer 1 i knude (1,0). Dvs. a den arbiragefrie pris på den 1-årige nulkuponobligaion er: D(1;0) = AD(1, 0;0) + AD(1,1;0) (3.14) Forward algorimen udnyer, a der prisfassæes i e rekombinerende binomialræ, da ehver reneforløb, som passerer knuden (,s), nødvendigvis må passere enen (+1,s) eller (+1,s+1). Yderligere må e reneforløb, der passerer knuden (,s), have passere (-1,s-1) eller (-1,s). På kanerne af reneræe, alså når s = 0 eller s =, er der kun én mulig knude, reneforløbe kan have passere gennem i foregående periode: Figur 14 - Forward algorimen. Kilde: Bjarne Asrup Jensen 2006 med egne reelser 37 Arrow Debreu akive, AD( T, s ;0), kan replikeres gennem en dynamisk poreføljesraegi, på id 0: 36 Prisen på id 0 på e Arrow Debreu akiv, som udbealer 1 i ilsand (, 37 Bjarne Asrup Jensen Binomial models for he erm srucure of ineres s ) beegnes med AD(, s ;0). 34
1. Køb på id 0, AD( T, st ; 1, s) enheder af Arrow Debreu akive, som udbealer i knude (T-1,s). Hvis knuden (T-1,s) nås, udbeales AD( T, st ; 1, s) ADT ( 1, s;0), og dee geninveseres i Arrow Debreu akive, som udbealer 1 hvis knuden (T,s) nås. Prisen på dee akiv, er neop AD( T, st ; 1, s) ADT ( 1, s;0). 2. Køb på id 0, AD( T, s; T 1, s 1) enheder af Arrow Debreu akive, som udbealer i knude (T-1,s-1). Hvis knuden (T-1,s-1) nås, udbeales AD( T, s; T 1, s 1) AD( T 1, s 1;0), og dee geninveseres i Arrow Debreu akive, som udbealer 1 hvis knuden (T,s) nås. Prisen på dee akiv, er neop AD( T, s; T 1, s 1) AD( T 1, s 1;0). Hvis hverken knude (T-1,s) eller (T-1,s-1) nås, er poreføljen værdiløs. Denne dynamiske porefølje, har præcis samme bealinger, som Arrow Debreu akive køb på id 0, som udbealer 1, hvis og kun hvis knude (T,s) nås. Derfor må prisen på dee Arrow Debreu akiv, være prisen på poreføljen, dvs.: AD( T, s; T 1, s 1) AD( T 1, s 1;0) fors = T AD( T, s; T 1, s) AD( T 1, s;0) AD( T, s;0) = for 0< s < T + AD( T, s; T 1, s 1) AD( T 1, s 1;0) AD( T, s; T 1, s) AD( T 1, s;0) for s = 0 (3.15) Ovensående relaion anvendes senere i algorimen. Selve algorimen besår af 3 rin (de førse rin, er iniialisering, og gennemløbes kun én gang) 38 : Trin 0 (Iniialisering): Førs besemmes nulkuponrenerne på id 1: DT ( ;0) = D(1;0) ( q DT ( ;1,1) + (1 q) DT ( ;1,0)) (3.16) I (3.16) er DT ( ;1,0) og DT ( ;1,1) forbunde gennem CT ( ;1), som udregnes vha. inpu volailieen, ved formel (3.12): 38 Fremsillingen af forward algorimen er fra: Bjarne Asrup Jensen Binomial models for he erm srucure of ineres. 35
s ( T 1) DT ( ;1, s) = (1 + yt ( ;1,0) CT ( ;1) ) fors= 0,1 (3.17) Da nulkuponrenesrukuren, DT ( ;0), er give som inpu il modellen, er (3.16), én ligning med én ubekend, og løses for yt ( ;1,0) for T = 2,3... N, hvor N er anal perioder i reneræe. De kore rener mellem id 1 og 2, y (2;1,0) og y (2;1,1), er dermed besem. Herefer udregnes Arrow Debreu priserne, som benyes, når de kore rener på id 3 besemmes: AD(2,0;1,0) = (1 q) D(2;1,0) (3.18) AD(2,1;1,0) = q D(2;1,0) (3.19) AD(2,1;1,1) = (1 q) D(2;1,1) (3.20) AD(2,2;1,1) = q D(2;1,1) (3.21) D (2;1,0) er funde i (3.16), og D(2;1,1) findes som (1 (2;1, 0) (2;1)) 1 + y C. Herefer forsæes med id 3, il rin 1. Trin 1 2 D( ;1, 0) = AD( 1, s;1, 0) D( ; 1, s) (3.22) s= 0 1 D( ;1,1) = AD( 1, s;1,1) D( ; 1, s) (3.23) s= 1 (3.22) og (3.23) er o ligninger med o ubekende, da D (; 1, s) (1 y (; 1,0) v ()) s 1 = +. De o ubekende er v () og y (; 1,0), og når disse er besem, kan alle kore rener på id 3 besemmes ud fra (3.11). Herefer forsæes il rin 2. Trin 2 Arrow Debreu priserne il besemmelse af renerne på id 4, udregnes: AD( s, ; 1, s 1) = q D ( ; 1, s 1) for1 s (3.24) 36
AD( s, ; 1, s) = (1 q) D ( ; 1, s) for0 s 1 (3.25) AD(, s;1,0) = AD(, s; 1, s 1) AD( 1, s 1;1,0) + AD(, s; 1, s) AD( 1, s;1,0) for 0 s 1 AD(, s;1,1) = AD(, s; 1, s) AD( 1, s;1,1) + AD(, s; 1, s 1) AD( 1, s 1;1,1) for1 s (3.26) (3.27) I de ilfælde hvor s > eller s < 0 vil der være Arrow Debreu priser, som bevæger sig ud af ræe i (3.26) og (3.27). Disse priser sæes il 0. Herefer forsæes il næse idspunk, og rin 1 og 2 genages, indil hele de ønskede reneræ er besem. 3.4. Volailiessrukuren Nulkuponrenesrukuren er esimere idligere i opgaven, men for a besemme reneræe, for renens mulige udvikling, skal volailieen på nulkuponrenerne anvendes. Volailieen er dermed en vigig besanddel i modellen, så den beskriver den mulige reneudvikling, beds mulig. I BDT modellen, er volailieen e udryk for sørrelsesforholde, mellem de kore rener på e given idspunk. Inpu volailieen, er dog give som volailien på nulkuponrenerne, og de er derfor nulkuponrenevolailieen, som skal besemmes. Volailieen kan findes eksplici vha. hisorisk volailie, eller implici gennem markedspriser på reneafhængige produker. 3.4.1. Hisorisk volailie Hisorisk volailie er basere på hisoriske bevægelser i renen. De anages, a volailieen er konsan over id. Den hisoriske volailie på nulkuponrenen kan beregnes som, sandardafvigelsen af logarimen il nulkuponrenens afkas ( U ( T ;0) ). y ( T;0) U ( T;0) = ln y 1( T;0) (3.28) 37
Her beegner y ( T ;0), nulkuponrenen mellem id 0 og T på id. De anages a afkasene U ( T,0) er normalfordel med konsan middelværdi U og varians σ 2 ( T ). Volailieen kan herved skrives som 39 : n 1 ˆ( σ T) = ( U ( ;0) ) 2 j T U (3.29) 1 n j= 1 Hvor n er analle af observaioner. Der kan anvendes mere komplicerede meoder f.eks. GARCH - modeller 40, il forudsigelse af volailien. En model kunne f.eks. være a lade volailieen il id, afhænge af volailieen il id -1 og -2: σ = α + β σ + β σ (3.30) ˆ 1 1 2 2 α, β 1 og β 2 er frie paramere, som skal esimeres ud fra hisorisk daa. 3.4.2. Implici volailie Den implicie volailie udledes ud fra markedsinformaion, og afspejler markedes forvenninger il volailieen. Dee kan gøres vha. diverse reneafhængige produker. Implici volailie er umiddelbar beds kend fra opionseori, hvor der ved inversion af f.eks. Black- Scholes formel, kan findes den volailie markede pålægger en opions underliggende akiv. De skal siges a implici volailie i høj grad er afhængig af den model, der anvendes il prisfassæelse af de reneafhængige produker. I opgaven er de valg a anvende implici volailie, da dee afspejler markedes forvenning il den fremidige volailie, i modsæning il den hisoriske volailie. Eksempler på reneafhængige produker er caps, floors og swapioner. Swapioner kan opfaes som opioner på fasforrenede obligaioner, hvorfor deres karakerisika passer god il de 39 Peer Roer Pedersen Forecasing af renevolailie(1) simple meoder 40 Generalized AuoRegressive Condiional Heeroskedasiciy. 38
konvererbare obligaioners indbyggede lånageropion. De er derfor valg a benye swapioner, il a finde den implicie volailie. Under esimaionen af reneræe, besemmes volailieen, som den volailie hvis ilhørende reneræ, prisfassæer e anal swapioner, beds mulig, i forhold il deres markedspris. Alså den volailie, der medfører a afvigelsen mellem den eoreiske pris, der findes vha. reneræe, og markedsprisen, bliver minds mulig. 3.4.3. Swapioner En swapion, er en opion på en reneswap, og er derfor e reneafhængig produk. Som almindelige opioner, giver opionselemene ejeren af swapionen, reen men ikke pligen, il a indgå i en reneswap, på e forudbesem idspunk. En payer swapion, er hel parallel il reneswaps, en swapion, hvor ejeren, i reneswappen, skal beale fas rene og modage variabel rene. Omvend giver en receiver swapion mulighed for a modage fas rene og beale variabel rene. Hvis man f.eks. indgår i en europæisk plain vanilla payer DKK2Y3Y 41 swapion, har ejeren en 2-årig europæisk opion på, a indgå i en 3-årig payer reneswap. Dvs. efer 2 år, afgør ejeren af swapionen, om han vil indgå i den 3-årige payer reneswap. Derved er en swapion sammensa af o dele: en opion og en reneswap. Når de o år er gåe, indgår swapions ejeren i reneswappen, hvis nuidsværdien (på id 2) af de variable ben, er sørre end nuidsværdien af de fase ben, ellers er opionen værdiløs, og swapions ejeren indgår ikke i reneswappen. Som på almindelige opioner, er der også på swapionen en præmie, som beales af ejeren ved indgåelse. Præmien opgøres som anal basispunker (bp), af reneswappens fikive hovedsol. Da en payer swapion kan berages som en call opion på swaprenen, med den fase swaprene som srikerene, har swapionspræmien samme dynamik, som ved almindelige opioner. F.eks. vil præmien på swapionen, al ande lige, sige, hvis srikerenen sæes ned. Yderligere spiller renevolailieen også en sor rolle på præmien, da sørre volailie giver sørre opionsværdi. Ligesom en almindelig opion, kan en swapion være in-he-money, ou-of-he-money eller ahe-money. På en swapion afgøres dee af, om srike renen, alså den fase rene på reneswappen, er mindre, sørre eller lig forward swaprenen. En forward swap konrak, er de 41 2 år ind i 3 år. 39
samme som en swapion uden opionselemene, dvs. ejeren af forward swap konraken har plig il a indgå i reneswappen. Forward swaprenen, er den fase swaprene på id 0, som gør nuidsværdien af de fase ben, lig nuidsværdien af de variable ben. Hvis den fase swaprene på id 0, er mindre end forward swaprenen, er swapionen in-he-money. 3.4.3.1. Swapioners prisdannelse Som idligere nævn, kan en plain vanilla payer reneswap, berages som en porefølje af o sående obligaioner, med en kor posiion i en fasforrene obligaion 42, og en lang posiion i en variabel forrene obligaion. På idspunke hvor swapionens opionselemen udløber,, kan værdien af swapionen, udregnes i alle ilsande som: SV = max{ K PV ;0} for 0 s (3.31), s, s Hvor SV, s er swapionens værdi i knude (,s), K er værdien af den variabel forrenede obligaion (kurs pari), og PV, s er værdien af den fasforrenede obligaion i knude (,s). Dvs. i knuder hvor værdien af den variabel forrenede obligaion er sørre end den fasforrenede, gør ejeren af swapionen brug af opionen, og indgår i reneswappen. I de reserende kunder, udløber swapionen værdiløs. Ved a fremsille swapionens værdi som i (3.31), kan en payer swapion opfaes som en pu opion, med srikepris K, og med den fasforrenede obligaion som underliggende akiv. Omvend kan en reciever swapion berages som en call opion, med den variabel forrenede obligaion som underliggende akiv, og srikepris K. Værdien af den fasforrenede obligaion, udregnes vha. baglæns indukion: PVTs, = (1 + R) K (3.32) q PV + (1 q) PV + 1, s+ 1 + 1, s PVs, = + R K for < T og 0 s 1 + y ( + 1; s, ) (3.33) Hvor R, er den fase swaprene, der som sag fungerer som kuponrene på den fasforrenede obligaion. 42 Med den fase swaprene som kupon rene. 40
Når PV, s er besem, kan swapionens værdi ved opionsudløb, udregnes vha. (3.31), og disse værdier ilbagediskoneres il id 0: q SV + (1 q) SV + 1, s+ 1 + 1, s SVs, = for 0 < og 0 s 1 + y ( + 1; s, ) (3.34) Swapionspræmien er dermed, SV 0. 3.4.3.2. Prisfassæelses eksempel I de følgende vil de blive gennemgåe, hvordan en swapion prisfassæes, vha. e binomialræ. Følgende reneræ er anvend: s 7% 6% 5% 8% 6% 4% 3 2 1 5% 4% 3% 2% 0 1 2 3 0 Figur 15 - Eksempel på 4 perioders binomialreneræ. Kilde: Egen ilvirkning Følgende egenskaber gør sig gældende: Swapionen er en europæisk plain vanilla payer swapion DKK2Y2Y Swapionen anages a have årlige bealinger både på de fase og variable ben Reneswappen har fas rene på 3% p.a. Den fikive hovedsol sæes il 1 Reneræe i figur 15 har periodelængde é år Værdien af reneswappens fase ben på id 4, alså ved swapionens udløb, findes vha. (3.32) og er ens i alle fire ilsande: PV4, s = 1,03 for s = 0,...,3 41
Vha. (3.33) ilbagediskoneres værdierne il id 3, hvor der illægges kuponbealing på 3%: PV y s for s 1 3, s = 0,03 + 1,03 (1 + (4;3, )) = 0,...,2 Vha. (3.33) og derefer (3.31), besemmes swapionens værdi på id 2. Hvis swapionsværdien på id 2 er negaiv, udnyes opionen ikke, og dens værdi er 0. Disse værdier, ilbagediskoneres derefer il id 0, vha. (3.34). Dee giver følgende swapionsværdi ræ: s 0,984 3 0,072 1,002 2 0,052 0,037 1,020 1 0,033 0,018 0 0 1 2 3 1,040 0 Figur 16 - Swapionsværdi ræ. Kilde: Egen ilvirkning. Dvs. a swapionens præmie per 1 kr. fikiv hovedsol, er 0,033 kr., alså 330 bp. 3.5. Implemenering og resulaer I de følgende, implemeneres og besemmes opgavens BDT reneræ vha. forward algorimen. Træe besemmes på baggrund af den idligere fundne swapkurve og volailieskalibreres ud fra danske swapioner. Til kalibrering af reneræe, er anvend 15 europæiske plain vanilla payer swapioner, alle ahe-money. Swapionerne har alle lige lang opion- og swap elemen, med samlede løbeider mellem 2-30 år. Swapions rene og præmie, er rukke i Nordea Analyics Swapion Calculaor, og alle swapioner har kvar årlige bealinger, både på de fase og variable ben. Swapioner har 2 valørdage, dvs. med en ønske valørdag d. 6. april 2010, er handelsdagen d. 30. mars 2010. Alle swapioner er i danske kroner, og renekonvenionen ACT/365 benyes. I abel 4 er de 15 swapioner fremsille: 42
Swapion Srike rene Pris i bp 1 DKK Swapion 1Y1Y 2,146 % 35,87 2 DKK Swapion 2Y2Y 3,356 % 109,39 3 DKK Swapion 3Y3Y 3,786 % 160,91 4 DKK Swapion 4Y4Y 4,186 % 216,09 5 DKK Swapion 5Y5Y 4,420 % 276,04 6 DKK Swapion 6Y6Y 4,581 % 347,57 7 DKK Swapion 7Y7Y 4,643 % 407,85 8 DKK Swapion 8Y8Y 4,663 % 463,45 9 DKK Swapion 9Y9Y 4,635 % 510,18 10 DKK Swapion 10Y10Y 4,617 % 555,74 11 DKK Swapion 11Y11Y 4,465 % 579,96 12 DKK Swapion 12Y12Y 4,297 % 597,28 13 DKK Swapion 13Y13Y 4,144 % 610,79 14 DKK Swapion 14Y14Y 3,963 % 615,36 15 DKK Swapion 15Y15Y 3,769 % 614,30 Tabel 4 - Swapions daa. Kilde: Egen ilvirkning med daa fra Nordea Analyics De anages a volailieen på nulkuponrenerne på id 1, som er inpu il modellen, kan beskrives vha. en simpel funkion, T σ ( T;1) 43 : ct σ ( T;1) = a+ b e (3.35) Hvor a, b og c er frie paramere, som skal esimeres. Da BDT modellen som sag ikke har æge mean reversion, skal (3.35) være afagende 44, dvs. σ ( T;1) ct = cbe < 0. Over id vil T volailieen dermed afage, og konvergere med a. Dvs. a volailieen på de lange nulkuponrener, er mindre volaile end de kore nulkuponrener. Dee argumen, er da også ganske rimelig, hvilke Torben Visholm 45 viser i e empirisk eksempel, og kommer frem il, a volailieen på nulkuponrenerne er afagende 46. Torben Visholms esimaion er lave på baggrund af obligaioner fra mars 1989 il april 1991, men der er ikke nogen umiddelbar grund il, a anagelsen om afagende volailie, ikke sadig skulle holde. 43 Mikkel Svensrup On he subopimaliy of single-facor exercise sraegies for Bermudan swapions. Side 11 44 Mikkel Svensrup On he subopimaliy of single-facor exercise sraegies for Bermudan swapions. Side 10. 45 Torben Visholm Renevolailie på de danske obligaionsmarked 46 Torben Visholm s esimaion er foreage med CIR modellen, og ikke BDT modellen. 43
Implemenering af BDT modellen vha. forward algorimen, er foreage i VBA il Excel. Modellens inpu, er den idligere fundne swapkurve, sam de re volailiesparamere, a, b og c. Sarværdierne på de re volailiesparamere, er sa il kvalificerede gæ, hvorefer Excels Problemløser funkion, er brug il a minimere summen af de kvadrerede afvigelser mellem markeds- og eoreiske præmier, på de 15 swapioner 47. Da der ikke findes nogen Problemløser funkion i VBA, er løsning af (3.16), (3.22) og (3.23) implemenere vha. Newon Raphson. Newon Raphsons meode, kan både løse én ligning med én ubekend som i (3.16), og kan generaliseres il a løse ligningssysemer, som f.eks. o ligninger med o ubekende som i (3.22) og (3.23). Ved begge løsningsmeoder, er e sargæ på den eller de ubekende, nødvendig. Ved løsning af én ligning med én ubekend, har sargæe ikke den sore beydning, da Newon Raphsons meode for de mese konvergerer mod løsningen, indenfor få ieraioner. Ved løsning af (3.16), anvendes renen fra perioden før som sargæ. Ved løsning af ligningssysemer, har sargæe på de o ubekende, sørre beydning. Hvis sargæe, er for lang fra løsningen, kan de medføre a meoden ikke konvergerer, og man kan derfor ikke besemme reneræe. I denne opgave har de være ilsrækkelig, a sargæe på den kore rene og skaleringsfakoren, har være den kore rene og skaleringsfakoren fra perioden før. De er anage, a alle erminer er lige lange, dvs. 0,25 år. Dvs. selvom daa er rukke per 6. april, så regnes der i modellen som om, a sardaoen er 1. april 48. Disse anagelser er for nemheds skyld, og bør ikke ændre resulae mærkbar. Da realkrediobligaioner handler med løbeider op il 30 år, besemmes e 30-årig ræ, med 3 måneders periodelængde, dvs. i al 120 perioder. Den førse rene, som gælder fra 1. april 2010 1. juli 2010, er kend, og er derfor den samme rene, som den fundne swaprene, fra id 0 il 0,25. Alle rener udregnes som pro anno rener, dvs. diskoneringsfakoren mellem id +Δ og er: Δ D = (1 + y( +Δ; ; i )) (3.36) Resulae af implemeneringen, giver en samle gennemsnisafvigelse mellem markeds og 47 Mindse kvadraers meode. 48 Når der senere i opgaven prisfassæes, ages der højde for, a førse periodelængde er korere end 0,25 år. 44
eoreiske swapionspræmier, på 3,9%, hvilke er rimelig. Illusraion over afvigelser ser ud som følger: 15% 10% 5% 0% -5% -10% -15% -20% -25% -30% -35% -40% -45% -50% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Figur 17 - Swapionsafvigelser mellem markeds- og eoreisk pris. Kilde: Egen ilvirkning. De ses a de 3 swapioner med kores løbeid, er dem modellen rammer procenvis dårligs, med afvigelser på op il 45%, under markedsprisen. Hvis disse 3 swapioner udelades i den gennemsnilige afvigelse, er denne kun på 2,7%. Udover de re swapioner med kores løbeid, så rammes de sidse 12 swapionspræmier rimelig, hvor alle 12 swapionspræmier er indenfor 10 % af markedsprisen, og 10 swapionspræmien indenfor 5% af markedsprisen. Ved kalibreringen, blev de 3 volailiesparamere esimere il: a= 16,57%, b= 13,18%, c= 11,87% ct Da b og c har samme foregn, er beingelsen cbe < 0 opfyld, dvs. a inpu volailieen er afagende, ganske som ønske og vene. Svensrup 49 får de 3 paramere il henholdsvis, 13,5%,14,7%og 23,4%, hvilke passer god med denne opgaves paramere, da Svensrups paramere er esimere ilbage i 2002. De må forvenes, a renevolailieen i 2002, var mindre end den er i 2010, hvilke giver udslag i, a Svensrups langidsnivaeu, a, er en smule mindre, end denne opgaves a. Yderligere er Svensrups, c (som 49 Mikkel Svensrup On he subopimaliy of single-facor exercise sraegies for Bermudan swapions. Side 11 45
kan olkes som hasigheden, hvormed volailieen konvergerer mod langidsniveaue), en del højere end denne opgaves c. I nedensående figur, er den implicie volailie på nulkuponrenerne illusrere: 30% 28% 25% Volailie 23% 20% 18% 15% Periode 0 20 40 60 80 100 120 Volailie, nulkuponrener Figur 18 - Nulkuponrenevolailie fra de esimerede BDT ræ. Kilde: Egen ilvirkning. Kurven illusrerer inpu volailieen. Som sag var denne afagende, hvilke ses af figur 18, hvor de yderligere ses a volailieen konvergerer langsom mod langidsniveaue på 16,56%. Af gode grunde kan de endelige reneræ ikke illusreres her, men hvis man ser på reneræe, er de ydelig, a BDT modellen ikke har mean reversion. I den sidse periode mellem id 29,75 og 30, ligger de kore rener mellem 1/10.000.000% og 65.000.000 %. Den mege lave rene skyldes formenlig overvejende anagelse om lognormalfordele rener, da posiive rener mege æ på 0, kan opræde. Den mege høje rene på 65.000.000%, er i midleridig en klar indikaion på, a modellen mangler mean reversion. På rods af, a volailieen var afagende, er den alligevel så høj, a de korer rener er mean fleeing. 3.6. Delkonklusion Der blev i dee kapiel gennemgåe hvordan, BDT s renesrukur model, kan implemeneres og besemmes i e rekombinerende binomialræ. Reneræe fier både den i kapiel 2, fundne swapkurve, sam den implicie markedsvolailie for renen, gennem danske swapioner. Da 46
besemmelse af reneræe, er mege beregningsung i originalariklen, blev forward algorimen inroducere, som en mere effekiv måde, a besemme reneræe på. Resulae af kalibreringen, il den implicie markedsvolailie vise, a modellen havde svær ved a ramme priserne på de re korese swapioner. Udover disse re swapioners sore afvigelser, var resulae accepabel. De var forvene a volailieen på nulkuponrenerne, skulle være afagende, for sigende løbeid. Dee vise sig a holde sik. De beseme reneræ benyes senere i opgaven, ved prisfassæelse af konvererbare obligaioner. 47
48
4. Konvereringsmodel I eorien, burde alle lånagere konverere deres lån, når kursen på de underliggende obligaioner, rammer pari. Derved ville den enese forklarende variabel for konvereringsraen, være reneniveaue. Men pga. lånagernes semiraionelle konvereringsadfærd, sam skaesaser og konvereringsomkosninger, er de nødvendig a opsille en konvereringsmodel, som inddrager andre forklarende variable, udover reneniveaue. I dee kapiel esimeres en model, som besemmer konvereringsraen, ud fra reneniveaue og andre forklarende variable. Konvereringsraen benyes il a korrigere obligaionens ydelsesrække. Modellen esimeres på baggrund af hisorisk daa. 4.1. Lånagernes semiraionalie Som nævn, kan købe af en konvererbar obligaion, berages som en lang posiion i en ilsvarende inkonvererbar obligaion, sam en kor posiion i en call opion, med den inkonvererbare obligaion, som underliggende akiv: Pkonvererbar = Pinkonvererbar Cinkonvererbar (4.1) Ved prisfassæelse af den konvererbare obligaion, er de nærliggende a finde prisen, som højresiden i (4.1). Prisen på den inkonvererbare obligaion, er forholdsvis enkel a besemme, da ydelsesrækken er deerminisisk, i modsæning il den konvererbare obligaion. Ydelsesrækken ilbagediskoneres med den esimerede swapkurve. Dernæs prisfassæes call opionen. Opionen er en såkald Bermuda opion, da den kun kan indfries på beseme dage 50. Opionen prisfassæes i e binomialræ, som funkion af den eoreiske pris på den inkonvererbare obligaion. Hvis lånagerne handlede raionel, ville alle lånagere konverere deres lån, så snar kursen oversiger pari (plus omkosninger). Dee er i midleridig ikke ilfælde i virkeligheden. Grunden il dee kan være, a mange lånagere ikke ineresserer sig for deres lån, men bare blind bealer deres ermin. Der kan sågar være nogen, som end ikke kender il konvereringsreen, eller måske bare ikke forsår den. Andre vil måske bare slippe for besvære, ved konverering. 50 Dee er en forsimpling, da lånager alid kan konverere si lån. Dee skal dog ske indenfor opsigelsesfrisen. 49
Derved kan opionsmeoden ikke anvendes il prisfassæelse af konvererbare obligaioner. I sede opsilles en konvereringsmodel, som vha. en række forklarende variable, esimerer konvereringsraen. 4.2. Ordinære og eksraordinære udræk De der ønskes esimere, er he condiional prepaymen rae (fremover CPR). CPR beegner den procendel af den ilbageværende udesående resgæld, som konvereres il kurs pari, il en given ermin. Udrækningsprocenen er den del af resgælden i en obligaionsserie, som bliver ilbagebeal il invesorerne, il en given ermin. Dvs. hvis der på e given idspunk er 1 mio. i resgæld, og udrækningsprocenen er 10%, vil der blive ilbagebeal 100.000 il invesorerne, og der vil derefer være 900.000 ilbage i udesående resgæld. Udrækningsprocenen il id, beegnes med UDT, og kan opsplies i o dele: UDT = ORD + EXT (4.2) Hvor ORD er den ordinære udrækningsprocen il id, og EXT er den eksraordinære udrækningsprocen il id. Den ordinære udrækningsprocen, er procenen af den reserende resgæld, der ilbagebeales som planlage afdrag. Den eksraordinære udrækningsprocen, angiver hvor sor en del af resgælden, der bliver ilbagebeal føridig gennem konvereringer. Hvis UDT er 100 (alså 100%), bliver hele den reserende resgæld ilbagebeal il invesorerne, og UDT vil være 0, i resen af den pågældende obligaions løbeid. Både ORD og EXT er ilgængelig markedsinformaion, og på baggrund af disse, kan CPR besemmes. (4.2) kan omskrives, så UDT er en funkion af CPR 51 : UDT = ORD (1 CPR ) + CPR (4.3) Dvs. den samlede udrækningsprocen, er summen af den lånagerandel, som konvererer og føridig ilbagebealer deres lån, sam de reserende lånagere, som ikke konvererer og kun ilbagebealer ordinære afdrag. Ved isolering af CPR i (4.3), fås følgende udryk for CPR : 51 Jakobsen og Svensrup Hvad prakikere bør vide om modeller for konvereringsadfærd 50
CPR UDT ORD = 1 ORD (4.4) Tælleren i (4.4), er forskellen mellem den samlede og den ordinære udrækningsprocen, hvilke er den eksraordinære udrækningsprocen, EXT. Derfor gælder følgende relaion: CPR EXT = (4.5) 1 ORD Hvis EXT er 0, medfører de a CPR bliver 0. Hvis ORD er 1, hvilke sker på obligaionens sidse ermin 52, hvor den reserende resgæld bliver ilbagebeal il invesorerne, vil nævneren i (4.5), blive 0, og CPR er dermed ikke definere. Dee giver god mening, da der ikke kan konvereres op il sidse ermin. Ved konverering beales der nemlig førs ordinære afdrag og rener, og derefer ilbagebeales den reserende resgæld il kurs pari. 4.3. Konvereringsmodellen De ønskes a opsille en model, der kan esimere de fremidige værdier af konvereringsraen, CPR. Modellens paramere esimeres på baggrund af hisorisk daa. Konvereringsraen afhænger af flere forskellige fakorer. Den primære fakor er reneniveaue. Men også lånager sammensæning, kuponrene, resløbeid osv., har indflydelse på konvereringsraen. Derudover ses de ofe a konvereringsniveaue siger, som følge af realkrediinsiuers konvereringskampagner. Yderligere kan de ænkes a konvereringsraen er sæsonafhængig. I opgavens konvereringsmodel, er kun medage variable som er forholdsvis enkle a besemme, da f.eks. konvereringskampagner umiddelbar er svære a måle. I opgaven benyes en såkald gevinskravsmodel 53. De anages a hver lånager på e given idspunk, har e krav il hvor sor konvereringsgevins, der skal il, før lånager konvererer si lån. Dee gevinskrav anages a afhænge af forskellige observerbare variable. Hvis den egenlige gevins ved konverering, er sørre end eller lig lånagerens gevinskrav, så konvererer lånageren si lån. Ved konvereringsgevinser mindre end lånagers gevinskrav, vælger lånager ikke a konverere, dvs.: 52 Med mindre obligaionsserien er udkonverere før udløb. 53 Svend Jakobsen - Prepaymen and he Valuaion of Danish Morgage-Backed Bonds 51
k m, 1 hvis g 0 ellers g, m = (4.6) Hvor k m, er en binær variabel, som anager værdien 1, hvis lånager m konvererer si lån på id, og 0 ellers. g er den egenlige gevins ved konverering på id 54, og g, m er lånager m s gevinskrav på id. Dvs. sandsynligheden for a lånager m, på id konvererer, er give som: Pk ( = 1) = Pg ( g ) (4.7) m, m, Hvis de anages a alle lånagere har samme gevinskrav, er den forvenede CPR, lig sandsynligheden for a én lånager konvererer: ECPR ( ) = Pk ( = 1) = Pg ( g) (4.8) Dvs. sandsynligheden for a én lånager konvererer, er lig den forvenede CPR. Fordelen ved a se på den forvenede CPR, som en sandsynlig er, a de dermed er sikre, a CPR ligger mellem 0 og 1. Da gevinsen ved konverering, g, er kend på id, er de ilsrækkelig a kende fordelingen af lånagers gevinskrav, for a udregne sandsynligheden for a lånager konvererer. Hvis de anages a lånagers gevinskrav er normalfordel, med middelværdi, g *, og konsan varians, 2 σ, kan forvenningen il CPR udregnes som: ECPR * 2 ( ) ( ; ; ) = Ng g σ (4.9) Hvor N g g σ er den kumulaive normalfordelingssandsynlighed for, a en normalfordel * 2 ( ; ; ) sokasisk variabel, med middelværdi kan omskrives il: * g og varians 2 σ, er mindre end eller lig med g. (4.9) * g g ECPR ( ) =Φ σ (4.10) 54 Denne er kend på id. 52
Hvor Φ () i er den kumulaive sandard normalfordelingsfunkion. De er hermed middelværdien af lånagernes gevinskrav, som skal modelleres. De anages a dee gevinskrav, kan beskrives ud fra en række observerbare variable. Da de idligere er anage, a alle lånagere har samme gevinskrav, på e given idspunk, er de dermed også anage, a alle lånagere er ens, og der ses dermed bor fra alder, uddannelsesniveau og andre lånagerkarakerisika, som man må regne med, influerer på, om en lånager konvererer eller ej. Denne anagelse er da også nødvendig, da disse lånagerkarakerisika, ikke er ilgængelig markedsdaa 55. Lånagers gevinskrav på id, kan opskrives som følgende funkion: g = f( α; x) (4.11) * Hvor α er en vekor med modellens paramere og x er en vekor med e anal forklarende variable. Dvs. * g er en funkion af e anal paramere, kombinere med de forklarende variable. Den præcise sammenhæng mellem α erne og x erne, er ikke definere endnu, men kunne f.eks. være lineær: g K * = αk xk, k = 1 (4.12) Hvor K, er analle af forklarende variable. Hvis de indil videre anages a (4.12) gælder, kan CPR opskrives som følger (forvenningen, E() i, er herefer udelad): K K g αk xk, k xk, K k 1 g α = k= 1 1 1 CPR =Φ =Φ =Φ g αk xk, σ σ σ σ σ k = 1 CPR =Φ( β g + β x +... + β x ) (4.13) 0 1 1, K K, Derved kan CPR opskrives, som den kumulaive sandard normalfordelingssandsynlighed, il en funkion af K+1 observerbare variable (inkl. gevinsen ved konverering), og model paramerene, β k. 55 Hvis sådan daa overhovede eksiserer. 53
4.4. Esimaionsmeode Alle lånagere er ikke ens, og har forskellig konvereringsadfærd. F.eks. må de forvenes a erhvervsvirksomheder, al ande lige, konvererer hurigere end privae lånagere. Ved a opdele lånagerne i mere homogene grupper, og esimere én konvereringsmodel for hver lånagergruppe, vil man forvenelig få e bedre fi, end hvis alle lånageres konvereringsadfærd anses som ens 56. I princippe kan man opsille én konvereringsmodel for hver lånagergruppe, dvs. a der esimeres én konvereringsrae, per lånagergruppe. Probleme er, a udrækningsprocener kun publiceres på serieniveau, og ikke for hver enkel lånagergruppe 57. Der er o måder a løse dee på. 4.4.1. Esimaion vha. esimerede konvereringsraer Den førse, og den mes usikre meode, er a benye ændringen i resgælden, som udryk for den samlede udrækningsprocen, UDT 58. Da den ordinære udrækningsprocen er ens for alle lånagergrupper, og derfor er den samme som den publicerede for hele serien, kan den eksraordinære udrækningsprocen, il id for lånagergruppe i, esimeres som: RG RG = ORD (4.14) primo primo 1, i, i EXTi, primo RG 1, i primo Hvor RG i, er den førs publicerede resgæld efer ermin, for lånagergruppe i. ORD er den ordinære udrækningsprocen for hele obligaionsserien il id. EXT i, benyes il a finde den esimerede konvereringsrae vha. (4.5). Esimaionen vha. de esimerede konvereringsraer, ser ud som følger: N 2 Obs Fi Minimer ( CPRni, CPRni, mh. ) i (4.15) β n= 1 56 Opdeling af lånagerne, vil blive forklare nærmere, senere i opgaven. 57 De publicerede daa vil blive gennemgåe nærmere i afsni 4.6.1 58 Alså resgældsændringen fra den førs publicerede lånagerfordeling efer sidse ermin, il den førse publicerede lånagerfordeling efer ermin. 54
Hvor, CPR =Φ( β g + β x +... + β x ) (4.16) Fi ni, 0, i ni, 1, i 1, ni, Ki, K, ni, Fi Hvor CPR ni, er den fiede konvereringsrae for observaion n, for lånagergruppe i. CPR ni, er den esimerede observede konvereringsrae for observaion n, for lånagergruppe i, esimere vha. (4.14) og (4.5). Φ() i er den kumulaive sandard normalfordelingssandsynlighed, som er en funkion af de lånagerafhængige esimaionsparamere, β ki,, og de forklarende variable, x kni,,, for hver lånagergruppe. N er analle af observaioner i daasæe og K er anal forklarende variable (udover konvereringsgevinsen). Der er flere problemer, forbunde med denne meode, pga. sraksindfrielser og vandringer. Hvis lånagerne opdeles efer resgældssørrelse, kan og vil der opså vandringer mellem lånagergrupperne. Når der bliver afdrage på e lån, vil resgælden mindskes, og på e eller ande idspunk vil låne skife lånagergruppe, il e lavere resgældsinerval. F.eks. kan e lån med over 3.000.000 i resgæld inden ermin, have en resgæld under 3.000.000 efer ermin. Dermed vil udrækningsprocenen blive overvurdere i lånagergruppen for lån over 3.000.000, og undervurdere i lånagergruppen for lån mellem 1.000.000-3.000.000. Af samme grund, kan der forekomme negaive udrækningsprocener, hvilke ikke giver mening. Hvis lånagerne i sede opdeles mellem priva og ande, forekommer der ikke vandringer, da lånagere ikke kan vandre mellem disse o lånagergrupper. Der er i midleridig også problemer med denne meode, pga. af sraksindfrielser. De publicerede resgældsopgørelser er eksklusiv sraksindfriede lån, hvilke gør a den esimerede udrækningsprocen for ermin, inkluderer sraksindfriede lån, som førs bliver ilbagebeal il invesorerne, il ermin +1. Dee kan give unødig mege søj i daasæe. Obs 4.4.2. Miksur esimaion I sede for ovensående meode, kan der benyes miksur esimaion. Meoden går ud på, a samlige paramere, esimeres for alle lånagergrupper, på én gang. I miksur modellen esimeres konvereringsraen per lånagergruppe, og væges derefer med lånagergruppe 55
resgældsandelene, il én samle konvereringsrae for hele serien. Denne sammenholdes med den observerede værdi af CPR. Miksur esimaionen kan herefer opskrives som: mh. β N n= 1 ( ) 2 Fi Obs n n Minimer CPR CPR (4.17) Hvor, I Fi n = ni, Φ β0, i ni, + β1, i 1, ni, + + βki, K, ni, i= 1 CPR w ( g x... x ) (4.18) Hvor Fi CPR n er den fiede konvereringsrae for observaion, n. Obs CPR n er den observerede konvereringsrae for observaion, n. w ni, er resgældsandelen for lånagergruppe i, for observaion n. I er anal lånagergrupper. De reserende variable og indeks, er som i afsni 4.4.1. På ine idspunk opræder den observerede konvereringsrae per lånagergruppe. Probleme med denne meode er, a der skal esimeres mange paramere på én gang, i forhold il meoden, hvor man esimerer én model per lånagergruppe. Parameeresimaerne kan af den grund være re usikre. 4.5. De forklarende variable I de følgende vil de i opgaven valge forklarende variable, blive gennemgåe. Desuden præseneres kor andre variable, som kunne have være medage i modellen. 4.5.1. Neonuidsgevinsen Om en lånager på e given idspunk vælger a konverere si lån, afhænger af neonuidsgevinsen 59. Denne udregnes, som den procenvise forskel mellem nuidsværdien af 59 Neonuidsgevinsen er de, der idligere blev beegne som konvererings gevins. 56
ydelserne på lånagers eksiserende lån, og nuidsværdien af ydelserne på e ev. ny lån ved konverering 60. Neonuidsgevinsen il id, udregnes som: g NV NV Omkosninger = (4.19) Eks., E. S Ny, E. S Eks., E. S NV Hvor NV er nuidsværdien af lånagers eksiserende lån il id, efer ska. Eks., E. S NV er Ny, E. S nuidsværdien af e ny lån il id, efer ska, i de ilfælde hvor lånager vælger a konverere. De anages a de eksiserende lån, er e obligaionslån, da lånes rene derfor er kend, og er de underliggende obligaioners kuponrene. Da denne kendes, er de ligefrem a udregne ydelsen på låne, da resløbeid og resgæld også er kend. De nye lån anages a være e konanlån, hvor konanlånsrenen, vil afhænge af den gældende nulkuponrenesrukur. De anages a resgælden på e given idspunk, er 100. Sørrelsen af resgælden har ingen beydning, da neonuidsgevinsen er en relaiv sørrelse. NV sæes il resgælden på de Ny, E. S eksiserende lån, alså 100. NV findes ved a opsille den reserende ydelsesrække for de Eks., E. S eksiserende lån, give a lånager ikke konvererer, og i sede holder de eksiserende lån il udløb. Yderligere anages de, a de nye låns løbeid, er lig de eksiserendes låns resløbeid, og a begge lån er annuieslån. Førs findes før ska ydelsen på de nye lån: T Ny, F. S Ny, F. S = 100 = (1 + ) = 1 NV Y R Y Ny, F. S = T = 1 100 (1 + ) R (4.20) Hvor R er refinansieringsrenen på id 61. 60 Inkl. omkosninger ved konverering. 61 Refinansieringsrenen er i esimaionen funde ved a illægge e refinansieringsspænd il de hisoriske nulkuponrenesrukurer. Besemmelse af refinansieringsspænde vil blive forklare i afsni 4.5.1.1. 57
Derefer kan konanlånsrenen før ska, FS. R, findes, ved a løse følgende udryk, mh. FS. R : T Ny, F. S F. S 100 = Y (1 + R ) (4.21) = 1 Derefer opsilles amoriseringsforløbe for de nye lån. På e annuieslån, er alle før ska ydelser ens. Afdragsprofilen er sigende, og reneprofilen er faldende, dvs. i saren af låne, besår ydelserne primær a renebealinger, og i sluningen af låne besår ydelserne primær af afdragsbealinger. Da renebealinger er fradragsbereige, vil efer ska ydelserne være sigende, dvs. efer ska ydelsen siger, jo æere man kommer på lånes udløb. Her anages de a skaefradrage gives, som en konan udbealing, på samme id som ydelsen på låne falder. Denne anagelse holder ikke i virkeligheden, da skaefradrage ikke udbeales direke, men gives som e fradrag på skae årsopgørelsen, som opgøres de følgende år. Ydelsesrækken efer ska, udregnes rekursiv vha. følgende formler: RB = RG R (4.22) F. S ulimo F. S 1 RB = (1 S) RB (4.23) ES. FS. A = Y RB (4.24) Ny, F. S F. S Y = A + RB (4.25) Ny, E. S E. S RG = RG A (4.26) ulimo ulimo 1 Hvor RB er renebealingen il id, S er skaeprocenen og A er afdrage il id. Efer fassæelse af ydelsesrækken efer ska, kan konanlånsrenen efer ska, (4.21): R ES., findes som i T Ny, E. S E. S 100 = Y (1 + R ) = 1 (4.27) Den fundne konanlånsrene efer ska, R ES., benyes derefer il a diskonere efer ska ydelserne på de eksiserende obligaionslån. Ydelsen før ska på obligaionslåne, findes som: Y Eks., F. S Rkupon = RG 1 (1 + R ) n kupon (4.28) 58
Hvor RG = 100, R kupon er kuponrenen på obligaionslåne, og n er resløbeiden. Ydelsesrækken efer ska findes derefer vha. formlerne (4.22)-(4.26). Herefer ilbagediskoneres efer ska ydelsesrækken, med konanlånsrenen efer ska, på de nye konanlån: T Eks., ES. Eks., ES. ES. = (1 + ) = 1 NV Y R (4.29) Alle sørrelserne i (4.19) er nu kend 62, og neonuidsgevinsen, g, kan udregnes. Al ande lige, forvenes de a konvereringsraen vil sige, når neonuidsgevinsen siger, 4.5.1.1. Refinansieringsspænd De er idligere nævn, a swapkurven inkluderer både kredi- og likvidiesspænd il saskurven. Swapkurven alene, er ikke ilsrækkelig, da lånagerne ikke kan låne il swaprenen. Derfor skal der illægges e refinansieringsspænd, il den fundne swapkurve. Refinansieringskurven benyes kun il a finde konvereringsgevinser for lånager, hvorimod swapkurven benyes il diskonering af obligaions cash flows. Spænde kan findes på flere måder. En simpel måde er, a illægge alle rener e konsan spænd. De skal dog nævnes, a de er en grov anagelse a spænde, hverken er ilsands- eller idsafhængig. Arp, Hansen og Myrup 63 foreslår e emissionsvæge gennemsni af renepickupe på nyudsede realkrediobligaioner. Til beregningen af refinansieringsspænde i denne opgave, er der anvend 22 åbne realkrediobligaions serier, hvor der har være nyudsedelser i perioden fra d. 25. mars 2010 il d. 6. april 2010 64. Alle obligaioner er fasforrenede, annuiesobligaioner med kvarårlige erminer, og alle i danske kroner. 62 Skaesaser og konvereringsomkosninger, vil blive gennemgåe nærmere, senere i opgaven. 63 Arp, Hansen og Myrup - Dynamisk Modellering af realkredi obligaioner 64 Der er kun ale om 5 handelsdage pga. weekend og påske. 59
23% 23% 18% 18% Realkredi Danmark Nordea Kredi BRF kredi Nykredi Realkredi DLR kredi LR Realkredi 9% 9% Figur 19 - Obligaionernes fordeling mellem realkrediinsiuerne Emissionsvægen for obligaion i, findes ud fra følgende formel: w = ulimo primo Cirk. mængdei Cirk. mængdei ( Cirk. mængde Cirk. mængde ) i ulimo primo i i i (4.30) Hvor Cirk. mængde og Cirk. mængde hhv. beegner den cirkulerende mængde af primo i ulimo i obligaion i, d. 25. mars 2010 og. d. 6. april 2010. Renepickupe for obligaion i, findes ud fra følgende formel: Renepickup = R R (4.31) Marked Teoreisk i i i Hvor Marked R i er den effekive markedsrene på obligaion i. Teoreisk R i er den effekive rene, funde ved førs, a finde den eoreiske nuidsværdi af obligaionen, ved a ilbagediskonere obligaionens inkonvererbare ydelsesrække 65, med den fundne swapkurve. Derefer udregnes den effekive rene på obligaionen, så ydelsesrækken ilbagediskonere med den effekive rene, er lig den eoreiske nuidsværdi. 65 Den inkonvererbare ydelsesrække, er obligaionens ydelsesrække, hvis der fremover ingen konvereringer finder sed. 60
De emissionsvægede renepickup, udregnes derefer ved a væge de fundne renepickups, med de fundne væge, w i : Marked Teoreisk Refinansieringsspænd = wi ( Ri Ri ) (4.32) Dee giver e refinansieringsspænd på 82,7 bp., dvs. der illægges 0,827% il alle rener 66. i 4.5.2. Relaiv resløbeid Den relaive resløbeid er også medage som variabel, i denne opgave. Den relaive resløbeid udregnes som resløbeiden del med lånes samlede løbeid: Resløbeid RRL = (4.33) Samle løbeid I opgaven udregnes resløbeiden fra erminsdagen, il obligaionens udløbsdag. Den samlede løbeid, udregnes fra obligaionens lukkedag, il obligaionens udløbsdag. Hvis RRL udregnes for en obligaionsserie, som sadig er åben vil RRL være sørre end 1, hvilke ikke giver mening. Dee er der age højde for i esimaionen, da der i daasæe ikke indgår obligaioner, som har være åbne, på de i daasæe inkluderede erminsdage. RRL løber derfor fra 1 og 0. Forvenningen er, a jo mindre den relaive resløbeid er, jo sørre sandsynlighed er der for, a en given lånager konvererer si lån, al ande lige. Ved små relaive resløbeider, er der korere id ilbage af låne, og lånager vil derfor ikke have så mange chancer for, a konverere il e bedre lån. Ved høj relaiv resløbeid, har lånager sørre moiv il a vene med konverering, da der er god id il låne udløber. 4.5.3. Burnou og poolfakor Burnou er e fænomen, som har sor beydning for hvor mange lånagere, der konvererer deres lån. Ved o ideniske obligaionsserier, hvor den enese forskel, er den andel af lånagere, som idligere har konverere deres lån, vil de forvenes a konvereringsraerne er forskellige. I den ene serie har der være mange idligere konvereringer, hvor der i den anden, har være få idligere konvereringer. Al ande lige, er forvenningen, a CPR for den serie med mange 66 De forklares senere i opgaven, hvordan refinansieringsspænde illægges. 61
idligere konvereringer, vil være mindre end CPR for den serie med få idligere konvereringer. Dee bygger på, a de mes aggressive lånagere, konvererer deres lån hurig, så snar der er posiiv neonuidsgevins ved konverering. Dvs. hvis der på e given idspunk, allerede er foreage mange idligere konvereringer, må de forvenes a sandsynligheden for a de ilbageværende lånagere konvererer, er lav, da de ellers, højs sandsynlig, havde konverere idligere. En variabel som ofe bliver benye il a beskrive dee, er den såkalde poolfakor: Cirkulerende resgæld Poolfakor = (4.34) Maximal resgæld Poolfakoren bør for u-konvererede lån ligge æ på 1, og derefer afage mod 0, i ak med a lånagerne afbealer og konvererer. De forvenes derfor, a jo sørre poolfakoren er, jo sørre bliver CPR. 4.5.4. Andre forklarende variable I denne opgaves konvereringsmodel, er der medage de 3 ovensående variable, neonuidsgevins, relaiv resløbeid og poolfakor. Der er i midleridig en række andre forklarende variable, som også kunne have være medage i modellen. De følgende variable, vil kor blive beskreve, men medages ikke i modellen, da de alle er e mål for konvereringsgevinsen. Neonuidsgevinsen er i denne opgaves model valg, da denne inkluderer flere effeker, og umiddelbar beds fanger gevinsen ved konverering. 4.5.4.1. Førse års likvidiesbesparelse Førse års likvidiesbesparelse, er hvor mege lånageren sparer i ydelsesbealinger de førse år. De er klar a denne sørrelse, er rimelig høj korrelere med neonuidsgevinsen. Førse års likvidiesbesparelse, er dog en sørrelse mange lånagere i højere grad kan relaere sig il. Sørrelsen udregnes, som den relaive forskel mellem summen af førse års bealinger på hhv. de eksiserende lån, og de nye lån. Ingen bealinger diskoneres. 62
4.5.4.2. Forholde mellem kupon rene og refinansieringsrene Denne sørrelse er foreslåe af Jakobsen 67, og udregnes som kuponrenen på de eksiserende lån, del med refinansieringsrenen på de nye lån. Hvis denne sørrelse er ilsrækkelig over 1, så konvereringsomkosninger er dække, vil der være gevins ved konverering. Denne sørrelse er også høj korrelere med neonuidsgevinsen, men er noge nemmere a udregne. Ulempen ved denne er, a der f.eks. ikke ages hensyn il skaefordele og konvereringsomkosninger, som der gøres i neonuidsgevinsen. 4.5.4.3. Omlægning il flexlån Ved inrodukionen af flexlån, gav dee mulighed for a konverere si fasforrenede realkredilån, il e variabel forrene lån, som fundes vha. sående obligaioner med kore løbeider. Gevinsen ved a refinansiere il e flexlån, udregnes på samme måde som neonuidsgevinsen, bare med e flexlån, som de nye lån. 4.6. Daasæe I de følgende, er de forklare hvilke daa, som ligger il grund for konvereringsmodellen, og hvordan disse er fremskaffe. Yderligere er de beskreve, hvordan de hisoriske forklarende variable er beregne. 4.6.1. CK serierne I henhold il loven omkring værdipapirhandel, udgiver realkrediinsiuerne forskellig daa, vedrørende realkredilån, og de ilhørende obligaioner. Disse daa benyes il a esimere paramerene i konvereringsmodellen. 67 Svend Jakobsen - A Mixure Disribuion Approach o he Valuaion of Morgage Backed Securiies 63
4.6.1.1. Lånagermassens sammensæning, CK92 De er idligere nævn a lånager sammensæningen 68, kan opdeles i mere homogene grupper. Realkrediinsiuerne udgiver daa fordel på 20 forskellige lånagergrupper. Daa er opdel i obligaions- og konanlån, 5 resgældsgrupper sam mellem priva og ande 69. I denne opgave er der se bor fra opdelingen mellem obligaions- og konanlån, dvs. disse er slåe sammen. I opgaven er analle af resgældsinervaller, reducere fra fem il re: CK92 opdeling 0-200.000 200.000-500.000 500.000-1.000.000 1.000.000-3.000.000 Opgavens opdeling 0-500.000 500.000-3.000.000 Tabel 5 - Oversig over den i opgaven benyede resgældsopdeling. Kilde: Egen ilvirkning. Over 3.000.000 Over 3.000.000 Ovensående reducering af resgældsgrupperne, er primær gjor, for a reducere analle af paramere, som senere skal esimeres i modellen. Daa om lånagergruppens sammensæning, udgives i CK92-serien. CK92 publiceres den fjerde orsdag i hver måned, og resgælden er inklusiv lån opsag il kommende erminer, men eksklusiv sraksindfrielser og obligaionsindfriede lån 70. I opgaven er de sids publicerede CK92 daa før erminen, benye som udryk for lånagersammensæningen il ermin. Dvs. lånagersammensæningen d. 1. april 2010, er age fra CK92 serien, som er publicere den fjerde orsdag i mars 2010, som var d. 25. I CK92 serien, er der udover lånager sammensæningen, også andre daa, som f.eks. analle af opsage lån. Disse daa er ikke benye i opgaven, og vil derfor ikke blive beskreve yderligere. 4.6.1.2. Ordinære og eksraordinære udræk, CK95 Ca. 6 uger før hver ermin, publiceres udrækningsprocenerne for førskommende ermin. Da konverering il ermin, skal ske senes 2 måneder før ermin, er både ordinære og eksraordinære 68 Også kalde debiormassens sammensæning. 69 Ande, bliver ofe også kalde for erhverv. Ande indeholder: Lån il søe byggeri il beboelse, privae udlejningsejendomme, ejendomme il sociale, kulurelle og undervisningsmæssige formål, landbrug mv., indusri og håndværk mv., konor- og forrening og ubebyggede grunde. 70 NASDAQ OMX Markedsinformaioner om danske realkrediobligaioner, bilag 1 64
udræk kend, når CK95 publiceres. Udrækningsprocenerne er kun på serieniveau, dvs. der ingen oplysninger er om udrækningsprocenerne, i de forskellige lånagergrupper. Daa fra denne serie er esseniel, når konvereringsmodellens paramere skal esimeres. 4.6.1.3. Ordinære ydelsesrækker, CK91 og CK94 De ordinære ydelsesrækker benyes il udregning af refinansieringsspænde, og i den senere prisfassæelse. Kor efer hver ermin, publiceres de fremidige ordinære ydelsesrækker, for både åbne og lukkede obligaionsserier i hhv. CK91 og CK94 serierne. Disse bliver bl.a. benye af Den Nordiske Børs København, il udregning af den effekive rene på konvererbare obligaioner. De ordinære ydelsesrækker, er ydelserne på en given obligaion, under anagelse af, a der ingen fremidige konvereringer er. Ydelserne er opdel i rener og afdrag. 4.6.2. Skaesaser og konvereringsomkosninger Ved udregning af neonuidsgevinsen, indgår både lånagers skaesas, og dennes omkosninger ved konverering af låne. Disse effeker er medage, så neonuidsgevinsen i højere grad afspejler, lånagers gevins ved konverering. I denne opgave er de anage a skaeprocenen er 33 % for privae og 25 % for ande. A udregne omkosningerne ved konverering af e lån, er en komplicere affære, da der både indgår fase og variable omkosninger, og ydermere varierer omkosningerne realkrediinsiuerne imellem. I denne opgave, er omkosningerne udregne, som e gennemsni af omkosningerne fra fire af de sore realkrediinsiuer: BRF Kredi, Toal Kredi, Nykredi og Realkredi Danmark. De fase omkosninger er opdel i o; dem som beales il realkrediinsiue, og dem som beales il saen. Til realkrediinsiue beales indfrielsesgebyr, inglysningsafgif og lånesagsgebyr. Til saen beales der også en fas inglysningsafgif 71. Yderligere beales en variabel kurage omkosning il realkrediinsiue. I denne opgave indeholder denne variable omkosning, både kurage og kursskæring. Kurage kan også kaldes 71 I princippe skal der også beales en variabel inglysningsafgif il saen, men denne beales kun ved nyopreede lån, og alså ikke ved konverering. 65
for handelsomkosninger. Når lånager udseder og sælger obligaioner, er de i praksis realkrediinsiue, som foresår udsedelsen og salge for lånager, og der beales derfor kurage il realkrediinsiue. Kursskæring er e slags bid/ask spread. Når realkrediinsiue sælger obligaioner for lånager, beholder realkrediinsiue en del af de indkomne salgsprovenu. Forskellen i procen mellem de indkomne salgsprovenu, og de beløb lånager får udbeal, er kursskæringen. Kurage og kursskæring, er som sag lag sammen under kurage i denne opgave, da flere realkrediinsiuer, også gør dee. De i opgaven benyede omkosninger fra de fire realkrediinsiuer ser ud som følgende: BRF Kredi Toal Kredi Nykredi Realkredi Dk Gennemsni U. 3mio O. 3mio U. 3mio O. 3mio U. 3mio O. 3mio U. 3mio O. 3mio U. 3mio O. 3mio Kurage, variabel 0,25 % 0,20 % 0,25 % 0,25 % 0,25 % 0,20 % 0,25 % 0,20 % 0,25 % 0,21 % Gebyr ved indfrielse,fas kr 750,00 kr 750,00 kr 750,00 kr 600,00 kr 712,50 Tinglysning, fas kr 2.500,00 kr 0,00 72 kr 0,00 kr 2.800,00 kr 1.325,00 Tinglysning il sa, fas kr 1.400,00 kr 1.400,00 kr 1.400,00 kr 1.400,00 kr 1.400,00 Lånesagsgebyr, fas kr 2.000,00 kr 3.000,00 kr 3.000,00 kr 2.000,00 kr 2.500,00 Tabel 6 - Oversig over konvereringsomkosninger. Kilde: Egen ilvirkning med daa fra fire realkrediinsiuer. Da der indgår variable omkosninger, er de ikke mulig direke a udregne konvereringsomkosningerne, da disse afhænger af hvor sor en resgæld, der konvereres. Derfor må der laves nogle anagelser omkring dee. I opgaven er de valg a inddele i 3 lånesørrelsesgrupper: Lån mellem 0-500.000 kr., lån mellem 500.000-3.000.000 kr. og lån over 3.000.000 kr. Ved udregning af de variable omkosninger, er miden af låneinervalle brug. For lån over 3.000.000 kr., er de variable omkosninger beregne på baggrund af 5.000.000 kr. Dee giver følgende omkosninger for de 3 låneinervaller: 72 Tinglysningsafgif il realkrediinsiue er indehold i lånesagsgebyre. 66
Resgældsinervaller 0 500.000 500.000 3.000.000 3.000.000 + Resgælds beregningsgrundlag Kr. 250.000 Kr. 1.750.000 Kr. 5.000.000 Kurage Kr. 625,00 Kr. 4.375,00 Kr. 10.625,00 Gebyr ved indfrielse Kr. 712,50 Kr. 712,50 Kr. 712,50 Tinglysning Kr. 1.325,00 Kr. 1.325,00 Kr. 1.325,00 Tinglysning il sa, fas Kr. 1.400,00 Kr. 1.400,00 Kr. 1.400,00 Lånesagsgebyr Kr. 2.500,00 Kr. 2.500,00 Kr. 2.500,00 Samlede omkosninger Kr. 6.562,50 Kr. 10.312,50 Kr. 16.562,50 Samlede omkosninger i % 2,625 % 0,589 % 0,331 % Tabel 7 - Oversig over de i opgaven bruge omkosninger. Kilde: Egen ilvirkning. Dvs. med f.eks. en resgæld mellem ½ og 3 mio. beales der 0,589% i konvereringsomkosninger. Ved udregning af neonuidsgevinsen, er resgælden sa il 100, dvs. omkosningerne er 0,589 kr. De ses a den procenvise omkosning falder, jo højere resgælden er pga. de mange fase omkosninger. 4.6.3. Daa indsamling De mese daa er hene fra OMX 73, Den Nordiske Børs Københavns hjemmeside 74. Alle obligaioner er fasforrenede realkrediobligaioner, med fire årlige erminer. Desuden amoriseres alle obligaionerne efer annuiesprincippe, og alle obligaionerne har være lukkede, og har haf resgæld på minds 100 mio. kr., i de erminer, der er medage i daasæe. Ingen af obligaionerne har mulighed for afdragsfrihed. Der er medage 10 erminer i daasæe, 1. januar 2008 1. april 2010. Sor se alle realkrediinsiuer publicerer deres CK daa i forskellig forma, dvs. de er en lang proces a indsamle og behandle daa. Af den grund er der i opgavens daasæ kun medage obligaioner fra fem realkrediinsiuer, Nykredi, Toalkredi, Nordea, BRF kredi og Realkredi Danmark. Daasæe besår af 99 obligaioner, med hver 10 erminer, dvs. i al 990 observaioner. Neonuidsgevinsen udregnes på erminsdagen. I virkeligheden skal lånager minds 2 måneder før ermin melde, a han vil konverere si lån il erminen. Dvs. a de i virkeligheden, ikke kun 73 Resen er hene fra Nordea Analyics. 74 hp://www.nasdaqomxnordic.com/obligaioner/danmark/ 67
er neonuidsgevinsen 2 måneder før ermin, som afgør konvereringsraen. Svend Jakobsen 75 udregner neonuidsgevinsen hver fjerde uge, i re måneder op il opsigelsesfrisen, og bruger derefer den sørse af disse neonuidsgevinser, i si daasæ. Neonuidsgevinsen udregnes på baggrund af vægede skaesaser og/eller vægede omkosninger. Hvis lånagerne ikke opdeles i lånagergrupper, udregnes både skaesasen og omkosningerne, al efer hvor mege resgæld, der hhv. er i priva og ande, sam i de 3 resgældsgrupper. De 10 hisoriske nulkuponrenesrukurer, il udregning af de hisoriske neonuidsgevinser, er hene direke fra Nordea Analyics, og er ikke esimere her i opgaven. Nulkuponrenesrukurerne er swapkurver, som er esimere ved Nelson Siegel meoden. Swapkurverne er illag e refinansieringsspænd, som idligere blev funde il 82,7 bp. Da refinansieringsspænde er esimere omkring 1. april 2010, er de en grov anagelse, a dee spænd også bruges il de hisoriske nulkuponrener. Yderligere er refinansieringsspænde illag swapkurven, så den parallelforskydes opad, og ikke som i den senere prisfassæelse, illag de kore rener i hver knude. Disse anagelser er gjor for nemheds skyld. Poolfakoren udregnes som sag vha. (4.34). Denne kan ikke udregnes på lånagergruppe niveau, da de umiddelbar ikke er mulig, a finde den maksimal udesående resgæld på lånagergruppe niveau. Derfor er poolfakoren per lånagergruppe, udregne som den udesående resgæld i den pågældende lånagergruppe, del med hele seriens maksimale resgæld. Den relaive resløbeid er den enese variabel, som hverken er ilsands- eller lånager afhængig. 4.7. Implemenering og resulaer Implemenering og esimaion, er foreage i Excel, hvor Excels Problemløser er benye il esimaion af modelparamerene, ved mindse kvadraers meode. I opgaven er de forsøg a esimere flere forskellige modeller, for a se om forvenningen, om a lånagergruppering giver bedre resulaer, holder sik. Som indikaor for hvor god modellerne fier de observerede konvereringsraer, benyes Pearsons R 2, udvikle af Karl Pearson 76. Med den benyede 75 Svend Jakobsen Prepaymen of valuaion of Danish morgage-backed bonds 76 I Excel bruges funkionen FORKLARINGSGRAD(). 68
esimaionsmeode, er de ikke mulig a udføre f.eks. T-ess, der eser om paramere er signifikan eller insignifikan forskellig fra 0. Derved kan der i modellerne, være medage variable, som saisisk se, ikke har nogen effek. Yderligere er der heller ikke lave hypoese esning, de forskellige modeller imellem. Alså om en given model, er signifikan bedre eller dårligere, end en anden model. Disse ess ville kræve nogle linearies anagelser, som ikke er opfyld. I denne opgave, er de derfor kun forklaringsgraden, R 2, som anvendes il a vurdere modeller i forhold il hinanden. Når analle af lånagergrupper øges, siger analle af model paramere samidig. Når analle af paramere siger, er de sværere for Excels Problemløser, a esimere paramerene. Løsningen kan derfor være e lokal minimum, og ikke e global minimum. Derfor er sargæe på paramerene, af sor beydning. Sargæene i opgaven, er kvalificerede gæ, sa som de må forvenes a forholdene burde være, mellem de forskellige paramere. Flere forskellige sargæ er afprøve. Ved e høj anal af modelparamere, kan opimeringen yderligere have problemer med konvergens, hvor en eller flere paramere, kan hæves eller mindskes ubegrænse, hvor samidig kvadraafvigelsessummen bliver ved med a falde. Dee er der desværre e eksempel på, i den senere modelesimaion. Førs esimeres en model, uden opdeling af lånagerne. Der er ingen problemer med den ilgængelige daa, da der kun benyes konvereringsraer på serieniveau. Som nævn behøver sammenhængen mellem model paramerene og de forklarende variable, ikke være lineær. Esimaionen ser ud som følger: mh. β N n= 1 ( ) 2 Fi Obs n n Minimer CPR CPR (4.35) Hvor, β CPR =Φ( β g Poolfakor + β RRL + β ) (4.36) Fi 1 n 0 n n 2 n 3 Dvs. konvereringsraen afhænger af neonuidsgevinsen, poolfakoren, den relaive resløbeid, og en konsan. Poolfakoren er opløfe il β 1, er gange på neonuidsgevinsledde, så jo lavere 69
poolfakoren er, jo mere mindskes effeken af neonuidsgevinsen. β 2 er parameeren ilhørende den relaive resløbeid, og β 3 er en konsan. Modellens paramere, sam forklaringsgrad, ser ud som følger: β 0 β 1 β 2 β 3 R 2 Samle 9,74 0,48-0,43-1,78 29,11% Tabel 8 - Esimerede model paramere for den samlede model. Kilde: Egen ilvirkning. En forklaringsgrad på kun 29% er forholdsvis lav. Både β 0 og β 1 er posiive hvilke også var forvenelig, da en højere neonuidsgevins eller poolfakor, al ande lige, gerne skulle føre il højere konvereringsraer. β 2 er negaiv hvilke også giver god mening, da jo sørre den relaive resløbeid er, jo flere vil vene med a konverere, som resulerer i mindre konvereringsraer. Konsanen, β 3, er svær a forolke, så dee er ikke forsøg her. Derefer esimeres o miksur modeller opdel i forskellige lånagergrupper, da der herved vil blive age højde for lånagernes forskellige konvereringsadfærd. Den primære årsag il a lånagerne ikke har samme konvereringsadfærd, er a neonuidsgevinsen varierer fra lånager il lånager. Forskellene i neonuidsgevinserne, er i opgavens model grunde forskellige skaesaser eller konvereringsomkosninger. I virkeligheden er der flere andre fakorer, som er med il a differeniere lånagerne, og gør a deres konvereringsadfærd ikke er ens 77. Esimaionerne ser ud som følger: mh. β N n= 1 ( ) 2 Fi Obs n n Minimer CPR CPR (4.37) Hvor, I Fi β1, i n = ni, Φ β0, i ni, ni, + β2, i n+ β3, i i= 1 CPR w ( g Poolfakor RRL ) (4.38) Førs esimeres en model, hvor lånagerne er del op mellem priva og ande. De esimerede paramere ser således ud: 77 Dee kunne være gældspleje, hvor realkrediinsiue hjælper lånagerne med a overvåge deres lån, og hele iden vurderer konvereringsalernaiver. Denne gældspleje varierer fra insiu il insiu, og kan afhænge af hvilken ype kunde lånager er. 70
Miksur β 0 β 1 β 2 β 3 R 2 Priva 11,34 0,41-0,58-1,62 33,30% Ande 174,71 2,36-0,47-1,93 Tabel 9 - Esimerede model paramere for miksur model (priva og ande). Kilde: Egen ilvirkning. Førs ses de a forklaringsgraden er øge en smule, i forhold il den førse model. Ved esimering af denne model, har der desværre være konvergens problemer. β 0 for ande, kan nemlig hæves ubegrænse, mens kvadraafvigelses summen bliver ved med a falde 78. Dee bliver ignorere, og der ages udgangspunk i modellen fra abel 9. Hvis man kigger på β 0, ses de, a denne er sørre for ande end den for priva. Dvs. al ande lige, så konvererer gruppen ande hurigere end priva. Dee hænger sandsynligvis sammen med, a under kaegorien ande, er også erhvervsvirksomheder, og de må forvenes a mange af disse har professionelle, il a overvåge deres lån, og derfor er mere opmærksomme på (i forhold il privae), om hvornår de er fordelagig a konverere. Hvis man kigger på poolfakor parameeren, β 1, er sammenhængen mellem disse o paramere, ikke som forvene, da parameeren for ande er (væsenlig) sørre, end den for priva. Dee burde være omvend, da jo højere β 1 er, jo mere vil neonuidsgevinseffeken blive dæmpe. For de o sidse paramere, ligger både priva og ande på næsen samme niveau, hvilke virker rimelig, da de samidig har de forvenede foregn. I sede for a opdele lånagerne i priva og ande, forsøges de nu, a opdele på resgældssørrelse. Som sag, opdeles der i 3 grupper: Miksur β 0 β 1 β 2 β 3 R 2 0-500.000 20,74 0,85 0,58-2,17 500.000-3.000.000 45,96 0,68-1,95-1,13 40,80% 3.000.000-76,16 1,12-0,07-2,59 Tabel 10 - Esimerede model paramere for miksur model (resgælds opdel). Kilde: Egen ilvirkning. De ses a forklaringsgraden, er markan forbedre, med 7,5 procenpoin. De ses a β 0, er sigende med resgældssørrelsen. Dvs. hvis neonuidsgevinsen er ens for alle 3 lånagergrupper, vil der komme flere konvereringer, al ande lige, i den sørse resgældgruppe. 78 I esimaionen var β 0 for ande hel oppe over 231 mio., hvilke er hel urimelig. 71
Dee kan f.eks. være fordi sore lån, giver sørre absolue gevinser ved konvereringer. Denne effek er ikke inkludere i neonuidsgevinsen, da denne er en relaiv sørrelse. For β 1 ser paramerene fine ud for de o mindse resgældgrupper, da sørrelsen er faldende, for sigende resgæld. Derimod er β 1 for den sørse resgældsgruppe, sørre end β 1 for begge de o mindse resgældsgrupper. Dee er ikke opimal, da effeken af neonuidsgevinsen, vil blive dæmpe krafigere, i den sørse resgældgruppe. Heller ikke β 2 paramerene, ser ud som man måe forvene, da en af dem har posiiv foregn, og for den sørse resgældsgruppe, er parameeren så numerisk lille, a den relaive resløbeid næsen ingen effek har. På rods af, a nogle af paramerenes indbyrdes sørrelsesforhold og/eller foregn er lid skæve, og forklaringsgraden er forholdsvis lav, vælges ovensående model, som den der senere benyes il prisfassæelse. De er ikke forsøg a esimere modeller vha. meoden fra afsni 4.4.1, da de esimerede konvereringsraer, er forbunde med høj usikkerhed pga. vandringer og sraksindfrielser. Den valge models esimerede konvereringsraer, er ploe mod de observerede konvereringsraer, dvs. for den perfeke model, bør alle punkerne ligge på 45 graders linjen: 8% 7% 6% Observerede CPR 5% 4% 3% 2% 1% 0% Fiede CPR 0% 1% 2% 3% 4% Figur 20 - Plo af esimerede mod observerede konvereringsraer. Kilde: Egen ilvirkning. 72
De ses a den 1:1 sammenhæng, der gerne skulle gælde mellem de esimerede og observerede konvereringsraer, ikke holder. Dee var også forvene, pga. den forholdsvis lave forklaringsgrad. Dog kan der svag anes en posiiv sammenhæng, mellem esimerede og observerede konvereringsraer. Yderligere ses de, a modellen har re svær ved a ramme både de høje konvereringsraer, og dem som er 0. De esimerede konvereringsraer, ligger mellem 0,1% - 3,6%, hvor de observerede konvereringsraer ligger mellem 0% - 7,8%. Dee er selvfølgelig en sor ulempe ved modellen. 4.7.1. Konvereringsraens afhængighed af de forklarende variable I de følgende, er de illusrere hvordan de esimerede konvereringsraer, afhænger af de re forklarende variable, al ande lige. De er anage, a neonuidsgevinsen er ens for alle re resgældsgrupper, nemlig 5%. Relaiv resløbeid er sa il 60%, og den samlede poolfakor er sa il 50%. Fordelingen af resgæld, er sa il a 50% i den mindse resgældsgruppe, 40% i den mellemse, og 10% i den sørse. I figur 21 ses sammenhængen mellem modellens esimerede konvereringsrae og neonuidsgevinsen: 100% 90% 80% 70% Esimere CPR 60% 50% 40% 30% 20% 10% Neonuidgevins 0% -20% 0% 20% 40% 60% 80% 100% Figur 21 - Plo af esimerede konvereringsraer, som funkion af neonuidsgevinsen. Kilde: Egen ilvirkning. De ses a konvereringsraen, siger i ak med a neonuidsgevinsen siger, hvilke var forvene. Yderligere har kurven den S-form, som måe forvenes, da den kumulaive 73
normalfordeling er anvend, som fordelingsfunkion. De ses, a negaive neonuidsværdier, fakisk giver konvereringer. Årsagen il dee er, a lånagerne skal melde senes 2 måneder før ermin, a de vil konverere. Hvis renen siger i perioden mellem opsigelsesfrisen og ermin, vil lånager få en mindre konvereringsgevins, end den udregne ved opsigelsesfrisen. Renen kan i denne periode sige så mege, a lånageren vil få en negaiv konvereringsgevins. Da opgavens model anager, a opsigelsesfrisen er sammenfaldende med ermin, og neonuidsgevinsen derfor er udregne på erminsdagen, kan de medføre konvereringer ved negaive neonuidsgevinser, som i ovensående plo. De ses, a selv med neonuidsgevinser på over 90 %, forvenes de ikke, a alle lånagerne vælger a konverere. I de følgende ses sammenhængen mellem modellens esimerede konvereringsrae og poolfakoren: 12% 10% Esimere CPR 8% 6% 4% 2% Poolfakor 0% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Figur 22 - Plo af esimerede konvereringsraer, som funkion af poolfakoren. Kilde: Egen ilvirkning. De ses a den esimerede konvereringsrae som forvene siger, når poolfakoren siger. Kurven burde gå gennem (0,0), da en poolfakor på 0, ville beyde a obligaionen enen er udløbe, eller fuldsændig udkonverere, og der kan derfor ikke forekomme konvereringer. Grunden il a ovensående kurve ikke går gennem (0,0) er, a resgældsandelene i de re lånagergrupper, er fassa il hhv. 50%, 40% og 10%. Hvis den givne obligaion har en poolfakor på 0, er de re resgældsandele, alle 0, og derved bliver den esimerede konvereringsrae, også 0. 74
I figur 23 ses sammenhængen mellem modellens esimerede konvereringsrae og den relaive resløbeid: Esimere CPR 20% 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% Relaiv resløbeid 0% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Figur 23 - Plo af esimerede konvereringsraer, som funkion af den relaive resløbeid. Kilde: Egen ilvirkning. De ses a konvereringsraen, som vene, afhænger negaiv af den relaive resløbeid. Kurven flader mere og mere ud, når den relaive resløbeid siger, dvs. den marginale beydning af den relaive resløbeid falder, jo sørre denne bliver. Yderligere ses de, lid overraskende, a kurven fakisk begynder a sige omkring en relaiv resløbeid på ca. 82%. Dvs. a der i opgavens konvereringsmodel, er posiiv afhængighed mellem relaiv resløbeid og konvereringsraen, for mege høje værdier af den relaive resløbeid 79. 4.8. Delkonklusion De er i dee kapiel forsøg, a esimere en konvereringsmodel, som ud fra en række observerbare variable, kan forudsige konvereringsraen. For a udregne neonuidsgevinsen ved konverering, skulle refinansieringsspænde il swaprenen esimeres. Meoden, som blev benye, var mege simpel, og anvende e emissionsvæge gennemsni af renepickuppe, på nyudsede realkrediobligaioner, som udryk 79 Dee er ikke ensbeydende med, a de generel er sådan for modellen. 75
for refinansieringsspænde. Refinansieringsspænde blev esimere il 82,7 bp, på baggrund af 22 åbne realkrediobligaionsserier. Ved a opdele lånagerne i mere homogene grupper, blev de vis, a man får bedre resulaer, i forhold il a anse alle lånagernes konvereringsadfærd, som ens. Der blev kun opnåe en forklaringsgrad på ca. 40% for den bedse model, som var opdel efer hvor sor resgæld, lånagerne havde. Den valge model havde nogle paramere, som ikke hel var som forvene, både i inerne sørrelsesforhold og foregn. Yderligere vise de sig, a modellen hverken kunne ramme de høje konvereringsraer, eller konvereringsraer på 0. Dee var en sor begrænsning i modellen. På rods af disse ing, blev de il sids vis, a modellen fanger de forvenede sammenhænge, mellem de forklarende variable og konvereringsraen. Den esimerede konvereringsmodel, anvendes sammen med den idligere fundne renesrukur, il a prisfassæe konvererbare obligaioner. 76
5. Prisfassæelsesmodel Efer a have opsille modeller for reneudviklingen og konvereringsraen, kan der nu prisfassæes konvererbare obligaioner. Prisfassæelsen foreages i o rin. I førse rin faslægges de forklarende variable, hvorefer de forvenede konvereringsraer besemmes i alle binomialræes knuder. I ande rin, opsilles de forvenede cash flows, vha. de neop fundne konvereringsraer, og disse ilbagediskoneres ved baglæns indukion, med den idligere beseme renesrukur. Der opsår problemer, ved faslæggelse af poolfakoren i binomialræe, da denne er siafhængig, hvor binomialræe er rekombinerende. De vises hvordan poolfakoren, kan implemeneres i e rekombinerende binomialræ. 5.1. Siafhængighed og besemmelse af de forklarende variable Konvereringsraerne besemmes ud fra den esimerede konvereringsmodel i kapiel 4, hvor lånagerne er opdel efer resgældsørrelse: CPR =Φ( β g Poolfakor + β RRL + β ) (5.1) 1, i si,, 0, i si,, si,, 2, i 3, i β Konvereringsraen skal besemmes i alle binomialræes knuder, og de er derfor også nødvendig a besemme de forklarende variable, i alle knuder. Som nævn opsår der problemer med siafhængige variable, da der i opgaven benyes e rekombinerende binomialræ. Dee kan løses på o måder: Enen opsilles e siafhængig binomialræ, eller også anvendes en ilnærmelse af de siafhængige variable. Hvis der opsilles e siafhængig ræ, vil analle af sluknuder, afhænge eksponeniel af anal perioder. Dvs. a i en model som i denne opgave, med 120 perioder, vil anal sluknuder være 120 36 2 = 1,33 10. Dee medfører a beregningsiden, siger uønskelig mege. Probleme kan løses vha. Mono Carlo simulaion, hvor e anal reneforløb simuleres, og langs hver reneforløb kan de relevane variable fassæes. Derefer opsilles de forvenede cash flow langs hver reneforløb, og ilbagediskoneres. Derefer findes prisen på obligaionen som gennemsnie af de fundne nuidsværdier af de forvenede cash flows. Da man kun kan udregne værdien, for en lille del af de mulige reneforløb, er der sor usikkerhed forbunde med denne meode. 77
I opgaven er der i sede benye en ilnærmelse af siafhængige variable, så disse kan implemeneres i e rekombinerende binomialræ. Neonuidsgevinsen er den primære variabel il besemmelse af konvereringsraen. Denne er ikke siafhængig, da den kun afhænger af de fremidige reneniveau. Derfor kan den besemmes såvel forlæns, som baglæns i ræe. Neonuidsgevinsen faslægges forlæns i ræe, og benyer obligaionens kuponrene, konvereringsomkosninger, skaefordele og refinansieringsrenesrukuren, for den reserende del af obligaionens løbeid. De konsane refinansieringsspænd, illægges de kore rener i alle knuder. Neonuidsgevinsen besemmes for alle lånagergrupper. Den relaive resløbeid, er hverken si- eller ilsandsafhængig. Den afhænger alene af iden, og obligaionens samlede løbeid. Denne variabel besemmes herved enkel, og er ens for alle lånagergrupper. Poolfakoren, som beskriver burnou effeken, er i modsæning il neonuidsgevinsen og den relaive resløbeid, siafhængig. Denne besemmes derfor forlæns i ræe, da den hisoriske udvikling, har beydning for de fremidige niveau. Da der i opgaven benyes e rekombinerende binomialræ, kan poolfakoren ikke faslægges præcis, men må ilnærmes. Poolfakorens siafhængighed, implemeneres vha. de risikoneurale sandsynligheder. Ved opdaering af poolfakoren i hver knude, anvendes egenskaben ved de rekombinerende binomialræ, a enhver si der går igennem knuden (,s), må havde passere enen (-1,s) eller (-1,s-1). For grænseilfældene, ved hhv. s=0 eller s=, er der kun én mulig knude sien kan havde passere, hhv. (-1,s) og (-1,s-1). Poolfakoren for lånagergruppe i, er implemenere på følgende måde 80 : θ si,, 1, s, i ( CPR 1, s, i) θ 1, s 1, i ( 1 CPR 1, s 1, i) ( 1 q) θ 1, s, i ( 1 CPR 1, s, i) 1, s 1, i ( 1 1, s 1, i) θ 1 for s = 0 q = for 0 < s < + θ CPR for s = (5.2) Sarværdien for poolfakoren, sæes il resgælden i den enkele lånagergruppe, i forhold il den maksimale resgæld for hele obligaionsserien. 80 Meoden er anvend i diverse andre kandidaspecialer. F.eks. Kenneh Peersen (2008). 78
De ses a poolfakoren i knude (,s), er en funkion af, poolfakorerne og de lånagerspecifikke konvereringsraer i knude (-1,s) og (-1,s-1). Poolfakoren besemmes simulan med konvereringsraen, vha. forlæns indukion. 5.2. Prisfassæelsesmodellen Prisfassæelsen af den konvererbare obligaion, sker ved a ilbagediskonere de forvenede ydelsesbealinger, vha. baglæns indukion i e rekombinerende binomialræ. Obligaionerne prisfassæes il april ermin 2010. Som nævn, er førse handelsdag efer 1. april 2010, d. 6. april 2010, dvs. der er valørdag d. 9. april 2010. Obligaionens diry price besemmes ved ilbagediskonering il valørdagen. Derefer frarækkes vedhængende rener, og dermed fås clean price for d. 6. april 2010. Som idligere nævn er de anage, a alle erminer er lige lange, dvs. 0,25 år. Der er age højde for, a førse ermin er 8 dage korere end de andre, og der er derfor kun diskonere ca. 0,23 år, for førse ermin. Værdien af den konvererbare obligaion i knude (,s), kan opdeles i o 81. Den ene del, er obligaionens værdi, hvis alle lånagerne vælger a konverere K (konvereringsværdien). Den anden del, er obligaionens værdi, hvis ingen lånagere vælger a konverere, IK s, (hold-on værdien). Værdien af den lånagerspecifikke obligaion i knude (,s), besemmes på følgende måde: ( 1 ) V = CPR K + CPR IK (5.3) si,, si,, si,, si,, Hvor CPR si,, er konvereringsraen i knude (,s) for lånagergruppe i, funde ud fra (5.1). Dvs. hvis CPR si,, er lig 1, vælger alle lånagere a konverere, og V,, si = K. Omvend, hvis si,, CPR er lig 0, vælger ingen lånagere a konverere, og Vsi,, = IKs,. 5.2.1. Konvereringsværdi Værdien, i knude (,s), hvis alle lånagere konvererer, er give som: 81 Svend Jakobsen Prepaymen and valuaion of Danish Morgage-Backed bonds 79
K = RG + Y (5.4) ulimo Ved konverering, beales førs den ordinære ydelse, og derefer bliver den reserende resgæld, ulimo RG, ilbagebeal. Resgælden er uafhængig af ilsand og lånagergruppe, da denne er resgælden på den inkonvererbare obligaion. Resgælden kan derfor besemmes for hele løbeiden, når kuponrene og den ordinære ydelsesrække er kend: ulimo ulimo ulimo R RG = RG 1 Z = RG 1 1+ Y 4 (5.5) Hvor R er obligaionens kuponrene. Resgælden på id 0 er sa il 100, og de ordinære ydelsesrækker er derfor normere, il en resgæld på 100. 5.2.2. Hold-on værdi Værdien af obligaionen, hvis ingen lånagere vælger a konverere deres lån, er give som følger: Hvor si,, ( + + ( 1 ) + ) 1 ( ;, ) si,, 1, s 1, i 1, si, ( ) IK = Y + q V + q V + y +Δ s (5.6) V er værdien af den lånagerspecifikke obligaion fra (5.3), og y( ;, s) Δ +Δ er den kore én periodes rene. Værdien af obligaionen i knude (,s), hvis ingen vælger a konverere, er den ilbagediskonerede fremidige værdi af obligaionen, illag ydelsen på id. 5.2.3. Obligaionsværdi Ved indsæelse af (5.4), (5.5) og (5.6) i (5.3), fås følgende udryk, for den lånagerspecifikke konvererbare obligaionsværdi i knude (,s), for 0 < T og 0 s : ulimo ( ) ( 1 ) + ( + 1, s+ 1, i + ( 1 ) + 1, s, i) ( 1 + ( +Δ ;, )) ulimo,, ( 1,,) ( ( 1 ) ) ( 1 1, 1, 1,, ( ;, Δ qv+ s+ i q V+ s i y s) ) V = CPR RG + Y + CPR si,, si,, si,, Δ ( Y q V q V y s ) = Y + CPR RG + CPR s i s i ( ) + + +Δ (5.7) 80
Dvs. a værdien af den lånagerspecifikke konvererbare obligaion i knude (,s), er summen af den ordinære ydelse, den konvererede ulimo resgæld, sam den ikke konvererede nuidsværdi af den lånagerspecifikke obligaion. Da obligaionsværdien er afhængig af den fremidige obligaionsværdi, besemmes obligaionens diry price på id 0, vha. baglæns indukion. Da der som sag ikke kan foreages konvereringer op il sidse ermin, er obligaionens værdi ved udløb, V Tsi,,, den ordinære ydelse på id T: V Tsi,, = Y (5.8) T Den samlede diry price på obligaionen, udregnes når V 0,i for alle lånagergrupper, er besem. Dee gøres ved, a væge de lånagerspecifikke obligaionsværdier, i forhold il deres lånagergruppe resgældsandel på id 0. Dvs. de anages a resgældsandelene er konsane over hele obligaionens løbeid, hvilke ikke holder i virkeligheden. Herved besemmes obligaionens diry price, som: Hvor, 3 wi V0, i (5.9) i= 1 P= w i = 3 i= 1 RG 0, i RG 0, i (5.10) Obligaionens clean price, findes ved a frarække obligaionens diry price, de vedhængende rener: Kurs= P - RG Anal dage fra erminens førse handelsdag il valørdagen 0 R 365 (5.11) 5.3. Kurs 100 korrekion Lånagere på de danske realkredimarked, har ved låneindfrielse, mulighed for enen a markedsindfri deres lån eller a anvende konvereringsreen. Hvis kursen er under pari, vil lånagerne ikke konverere, da de underliggende obligaioner kan opkøbes billigere i markede. 81
Hvis lånagerne vælger a markedsindfri låne, vil dee ikke medføre eksraordinære udrækninger i obligaionsserien. I prisfassæelsen kan der forekomme posiive konvereringsraer, selvom obligaionen er under kurs pari. Derfor skal der korrigeres for dee, da der ellers vil blive for høje udræk, og derved vil den esimerede obligaionspris blive mindre. I opgaven er følgende kurs 100 korrekion benye. I hver knude jekkes de, om den eoreiske obligaionskurs, er sørre end eller lig 100. Den eoreiske lånagerspecifikke obligaionskurs, i knude (,s), kan udregnes som 82 : k si,, primo RGsi,, = (5.12) primo RG Hvor primo RG si,, er værdien af obligaion og RG er resgælden. Dvs. hvis k,, < 1, sæes primo si CPR si,, il 0: CPR si,, ( + 1, + 1, ( 1 ) + 1,, ) 1 ( 1;, ) ( ) 1 Y + q V s i + q V s i + y + s CPRsi,, hvis = primo RG 0 ellers 1 (5.13) De er i midleridig flere ulemper ved denne meode. Hvis den eoreiske obligaionskurs i en given knude er under 100, dvs. CPR sæes il 0, har dee indflydelse på poolfakoren, og derved også konvereringsraerne, i resen af obligaions løbeid. Disse er i midleridig allerede bleve benye i prisfassæelsen, og kan derfor ikke ændres. Andre ulemper er, a den eoreiske kurs er udregne som kursen på den lånagerspecifikke obligaion 83, og a resgælden er den inkonvererbare resgæld. Den egenlige resgæld, er mindre end eller lig primo RG, da denne ikke er korrigere for konvereringer. Derfor vil de eoreiske kurser blive undervurdere, hvilke vil føre il flere konvereringsraer, som sæes il 0. Dee vil i sidse ende medføre højere modelpriser. Den præcise resgæld er siafhængig, og kan derfor ikke besemmes i e rekombinerende binomialræ, men kunne ilnærmes på samme måde som 82 Bjarne Asrup Jensen Renes regning, (4.17) side 43 83 De burde være den eoreiske kurs for den samlede obligaionsserie. 82
poolfakoren. Denne meode er dog også usikker, og af nemheds årsager er den inkonvererbare resgæld benye. 5.4. Opion adjused spread (OAS) Modelprisen er sjælden lig markedsprisen. OAS er den konsane merrene, som skal illægges i samlige knuder i reneræe, som medfører a modelprisen og markedsprisen bliver ens. OAS angives som den årlige merrene, dvs. diskoneringsfakoren mellem perioden og skrives som: +Δ, kan D = (1 + y( +Δ ; ; i ) + OAS) Δ (5.14) Hvis de anages a modelprisen, er e udryk for den konvererbare obligaions sande værdi, kan OAS berages som den præmie invesorerne kræver, for f.eks. den negaive konveksie 84. Ved posiiv OAS, undervurderer invesorerne obligaions værdi, og overvurderer ved negaiv OAS. Denne forolkning skal man være forsigig med, da OAS er afhængig af modellen og anagelserne bag. Hvis modelprisen rammer markedsprisen, er OAS lig 0. I e effekiv marked, burde OAS være ens for obligaioner, med ens karakerisika. Dee er lang fra ilfælde empirisk. Der kan være flere grunde il dee. Jakobsen og Svensrup 85, nævner a en af årsagerne il forskellige værdier af OAS, kan skyldes konvereringsraerisiko. Konvereringsraerisiko, beyder invesorerne er usikre omkring sammenhængen mellem reneniveau og konvereringsrae. 5.5. Implemenering og resulaer Prisfassæelsen er implemenere i VBA il Excel. De prisfassae obligaioner, er udvalg så der er forskellige kuponrener, løbeider, realkrediinsiuer og poolfakorer repræsenere. Yderligere er der både prisfassa obligaioner, som var anvend i esimaionen af konvereringsmodellen, og obligaioner som ikke var. I al er der prisfassa 11 obligaioner. 6 in sample og 5 ou of sample. OAS kan ikke udregnes analyisk, men skal besemmes numerisk. Til dee er Excels Problemløser benye. Daa il inpu i prisfassæelsen er funde i de idligere beskrevne 84 Jakobsen og Svensrup Sæer invesorerne pris på konvereringsraerisiko 85 Jakobsen og Svensrup Sæer invesorerne pris på konvereringsraerisiko 83
CK serier, sam i Nordea Analyics. Modellens resulaer er yderligere supplere med OAS fra Nordea Analyics, som kommer fra Nordea s konvereringsmodel. Hvis OAS olkes, som en indikaor for hvor god den givne model, er il a esimere konvererbare obligaionspriser, kan opgavens models OAS, sammenlignes med Nordea s OAS. De forvenes a Nordea s konvereringsmodel er forholdsvis god og præcis. Da daabehandlingsarbejde med CK serierne er rimelig omfaende, er der kun prisfassa obligaioner fra de realkrediinsiuer, som også var repræsenere i konvereringsmodellens daasæ. Resulae af prisfassæningen ser ud som følger: ISIN Navn Resløbeid (år) Kupon Markedspris Modelpris % afv. OAS OAS Analyics DK0009269227 RD 5 01Oc35 25,50 5 % 102,15 107,01 4,76 % 71 33 DK0002004092 NDA 6 01Oc29 19,25 6 % 107,50 113,37 5,46 % 105 59 DK0009270233 RD 4 01Oc35 25,50 4 % 95,63 100,11 4,68 % 54 37 DK0004717550 TOT 3 01Oc25 15,25 3 % 97,55 96,58-0,99 % -16-18 DK0009269573 RD 3 01Oc15 5,50 3 % 100,80 101,55 0,74 % 36 41 DK0009348286 BRF 6 01Oc19 9,50 6 % 106,50 110,30 3,57 % 120 105 Tabel 11 - Prisfassæelsesresula af in sample obligaioner. ISIN Navn Resløbeid (år) Kupon Markedspris Modelpris % afv. OAS OAS Analyics DK0002003953 NDA 6 01Oc19 9,25 6 % 106,50 110,38 3,64 % 117 118 DK0002006469 NDA 7 01Oc32 21,75 7 % 109,00 118,57 8,78 % 172 123 DK0009740219 NYK 7 01Oc19 9,50 7 % 104,20 113,10 8,54 % 298 289 DK0009763773 NYK 5 01Oc28 18,00 5 % 103,78 107,46 3,54 % 65 13 DK0009274300 RD 4 01Oc38 27,75 4 % 95,28 99,91 4,86 % 55 38 Tabel 12 - Prisfassæelsesresula af ou of sample obligaioner. De ses a alle obligaioner, på nær én, bliver prisfassa over markedskursen 86. Noge af afvigelsen kan forklares med kurs 100 korrekionen, der som sag undervurderede den eoreiske kurs, hvilke medfører højere modelpriser 87. De ses a in sample obligaionerne bliver prisfassa mere præcis, i forhold il ou of sample obligaionerne. Dee er ikke overraskende. På alle 11 obligaioner, er der en klar sammenhæng mellem afvigelse, kuponrene og resløbeid. Jo sørre kuponrene eller resløbeid, jo sørre er afvigelsen mellem markedspris og modelpris. Mh. il 86 Dee skriver Jakobsen og Svensrup er normal. Jakobsen og Svensrup Sæer invesorerne pris på konvereringsraerisiko. 87 Umiddelbar er de nok begrænse hvor mege af afvigelsen, der kan ilskrives den upræcise kurs 100 korrekionen. 84
resløbeiden skyldes dee, a prisfassæelsen er baseres på flere esimaer af CPR, jo længere resløbeiden er. Mh. kuponrenen, medfører en sørre kuponrene, a de ordinære ydelser er sørre, hvilke al ande lige, giver en sørre cash flow-afvigelse, hvis CPR er esimere forker. Realkredi Danmarks 4% - 2038, afviger fra dee. Denne obligaion har lang resløbeid og er ou of sample, men modellen rammer sadig rimelig æ på markedsprisen, i forhold il hvad man kunne forvene, med en resløbeid på næsen 28 år. Grunden il dee kan være, a kursen er e sykke under pari, og er derfor ikke særlig konvereringsrue. Af den grund minder obligaionen om en inkonvererbar obligaion, og er derfor nemmere a prisfassæe, da der ikke er så sor usikkerhed omkring de fremidige cash flows. Den anden obligaion under kurs pari, Toal Kredis 3% - 2025, rammer modellen indenfor 1% af markedsprisen. Som nævn bør obligaioner med ens karakerisika, have ens OAS i e effekiv marked. Af de 11 prisfassae obligaioner er der kun o, som har næsen ens karakerisika, nemlig BRF s 6% - 2019 og Nordea s 6% - 2019 88. Disse o obligaioner har e OAS på 120 hhv. 117, som må siges a være rimelig ens. Hvis man sammenligner modellens OAS med OAS fra Nordea analyics, er disse værdier for flere af obligaionerne, overraskende ens. Nykredis 7% - 2019, er en af de obligaioner, som opgavens model rammer dårlig, med en procenuel afvigelse på 8,5%, og e OAS på næsen 300 bp. De er bemærkelsesværdig a OAS fra Nordea Analyics er 289 bp, dvs. en forskel på kun 9 bp. Dee indikerer a de ikke kun er opgavens model, som har svær ved a ramme prisen på denne obligaion. De ses yderligere a Toal Kredis 3% - 2025, også har negaiv OAS hos Nordea. Denne obligaion er den enese, som har negaiv OAS hos Nordea. 5.6. Kursfølsomhed De er idligere vis, a opgavens konvereringsmodel, opfanger de forvenede sammenhænge med de forklarende variable, som f.eks. sigende konvereringsrae ved sigende neonuidsgevins. I dee afsni er kursfølsomheden på o konvererbare obligaioner illusrere. Førs undersøges kursfølsomheden overfor reneændringer, og derefer overfor volailiesændringer. 88 Den enese forskel er a BRF s obligaion har én ermin mere end Nordea s. 85
5.6.1. Renefølsomhed I de følgende er swapkurven, parallelforskud op og ned, i inervaller af 25 bp. De nye reneræer, bliver derefer benye il a besemme obligaionskursen. Ved renefald, er de forvene a kursen siger, og omvend falder, ved en renesigning. I eksemple er Realkredi Danmarks 5% - 2035 obligaionsserie benye. 1. april 2010, har denne serie, 25,5 års resløbeid, en samle poolfakor på knap 30%, og en model kurs æ på 100: 130 125 120 115 Kurs 110 105 100 95 Forskydning i bp 90-150 -125-100 -75-50 -25 0 25 50 75 100 125 150 Konvererbar Inkonvererbar Figur 24 - Rene/kurs kurve for RD 5%-2035. Kilde: Egen ilvirkning. Den inkonvererbare obligaionskurs, er funde ved a ilbagediskonere den ordinære ydelsesrække il valørdagen, d. 9. april 2010, og derefer frarække de vedhængende rener. Til ilbagediskoneringen er de parallelforskude swapkurver benye. De ses som forvene, a ved renefald siger kursen, både på den inkonvererbare og den konvererbare obligaion. Man kan svag ane a rene/kurs kurven for den inkonvererbare obligaion, er konveks.. Den konvererbare obligaions rene/kurs kurve ligger for alle reneforskydninger, under den inkonvererbare kurve. Kurven er konkav, og flader derfor ud ved sore renefald, da obligaionen bliver mere konvereringsrue, og derved er mindre arakiv for invesorer. Dee er den såkalde negaive konveksie. De ses yderligere, a jo højere renen er, jo mindre er kursforskellen mellem den konvererbare og inkonvererbare obligaion, da 86
opionselemene på den konvererbare obligaion, bliver mindre og mindre værd, ved renesigninger. Ved mege sore renesigninger, vil den inkonvererbare og konvererbare kurs, være sor se sammenfaldende. Dee er i overenssemmelse med de eoreiske rene/kurs plo i figur 4. Opgavens model fanger ikke, a kursen kan begynde a falde for faldende rener, ved høje kurser 89. Dee er den såkalde negaive varighed. De er ikke mulig a ploe rene/kurs kurven for sørre renefald end 125 bp, da swapkurvens nulkuponrene, mellem id 0-0,25, er på lige over 1,25%. Dvs. hvis swapkurven forskydes nedad, med mere end 125 bp, vil der opræde negaive rener. 5.6.2. Volailiesfølsomhed I de følgende er obligaionskursens følsomhed overfor renevolailieen illusrere. Kurserne er funde ved a parallelforskyde volailieskurven hhv. op og ned, i inervaller af 150 bp, og derefer benye de nye reneræer i prisfassæelsen 90. I eksemple er Realkredi Danmarks 4% - 2035 obligaionsserie benye. 1. april 2010, har denne serie, 25,5 års resløbeid, en samle poolfakor på knap 53 %, og en model kurs på lid over 100: 89 I hver fald ikke for denne obligaion. 90 De har kun være mulig a forskyde volailieskurven opad med 150 bp. Newon Raphsons meode il løsning af o ligninger med o ubekende, konvergerer ikke, når volailieen forskydes opad med mere end 150 bp. Dee er ikke generel, men er nok grunde denne opgaves implemenering. Dee burde ikke have nogen indflydelse på forolkningen, af volailiesfølsomheden. 87
102,50 102,00 101,50 Kurs 101,00 100,50 100,00 99,50-1650 -1500-1350 -1200-1050 -900 Konvererbar Figur 25 - Volailies/kurs kurve for RD4%-2035. -750-600 -450-300 -150 Inkonvererbar Forskydning i bp 0 150 300 De ses, a den inkonvererbare kurs, er uafhængig af renevolailieen, og er alså kun afhængig af swapkurven. Den konvererbare obligaionskurs siger, når renevolailieen falder. Som sag kan en konvererbar obligaion, opfaes som en lang posiion i den ilsvarende inkonvererbare obligaion, sam en kor posiion i en call opion, på den inkonvererbare obligaion. Når renevolailieen falder, bliver opionen mindre værd. Da den inkonvererbare obligaion er uafhængig af renevolailieen, vil kursen på den konvererbare obligaion sige, og nærme sig kursen for den inkonvererbare obligaion, ved volailiesfald. De ses, a den inkonvererbare og den konvererbare kurs ikke bliver ens. Med den givne swapkurve, vil en renevolailie på 0, ikke gøre opionen værdiløs, da swapkurvens niveau er lav nok i sig selv, il a der kommer konvereringer. Derfor vil den konvererbare og den inkonvererbare kurs ikke blive ens. Ved mege høje rener (som resulerer i ingen konvereringer) og ingen renevolailie (som resulerer i, a der ingen udvikling er i den kore rene), bliver opionselemene værdiløs, og derved bliver den konvererbare og inkonvererbare kurs ens. 5.7. Delkonklusion De blev i dee kapiel vis, hvordan en konvererbar obligaion kan prisfassæes, vha. den idligere beseme renesrukur og konvereringsmodel. 88
Resulae af prisfassæelsen var mege rimelig, hvis man ager konvereringsmodellens forholdsvis lave forklaringsgrad, i beragning. Modellen havde svær ved a ramme obligaioner med høj kuponrene, og obligaioner med lang resløbeid. Dee var ikke overraskende. Yderligere blev de klar, a modellen ikke rame ou of sample obligaioner, ligeså god som in sample obligaioner. De esimerede OAS værdier vise, a modellen som ofes ikke rammer mege mere ved siden af, end Nordea s prisfassæelsesmodel. Man skal i midleridig være varsom med, a sammenligne OAS på værs af modeller, da OAS er modelafhængig, og de vides ikke om Nordea bruger samme model, som i denne opgave. Yderligere blev sammenhængen mellem reneniveaue og kursen, sam mellem volailiesniveaue og kursen, illusrere. De blev vis a den inkonvererbare obligaion, har en konveks rene/kurs kurve, hvor den konvererbare obligaion ved lave rener, havde en konkav rene/kurs kurve, som ligger under den inkonvererbare kurve. De blev yderligere vis, a hvis renevolailieen falder, vil kursen på den konvererbare obligaion sige, da opionselemenes værdi falder. Prisfassæelsesmodellen vil i de følgende, blive anvend il a esimere risikonøgleal for konvererbare obligaioner, ved parallelforskydning af rene- og volailieskurven. 89
90
6. Risikonøgleal Vurdering og syring af obligaionsporeføljers risici, er noge, der i praksis, er af sor beydning. I de følgende undersøges obligaioners kursfølsomhed, mh. il ændringer i renen og volailieen. Der gennemgås re nøgleal, il beskrivelse af obligaioners følsomhed. De o førse ager udgangspunk i renen, og de sidse, i volailieen. Disse nøgleal kan, pga. de sokasiske cash flows, ikke besemmes analyisk, men skal esimeres vha. prisfassæelsesmodellen, hvilke medfører a nøgleallene er modelafhængige. 6.1. Varighed E ofe anvend nøgleal il beskrivelse af kursfølsomheden over for reneændringer, er varighedsbegrebe. Varigheden bliver sammen med kurser og effekive rener, offenliggjor i OMX s kursliser. Varigheden ager udgangspunk i obligaionens effekive rene, der kan besemmes ud fra nedensående sammenhæng 91 : Hvor NV0 ( ) 0 T ( ) = ( 1+ ) (6.1) NV R Y R = 1 R er obligaionens kurs, som funkion af den effekive rene, R, og Y er obligaionens ydelsesrække. Ved differeniering af (6.1) mh. den effekive rene, fås følgende: ( T 0 ) ( ) ( + 1 ) 1 T 1 0 ( ) ( 1 ) = 1 = 1 0 ( 1 ) ( ) NV R Y + R = Y + R = NV R + R R NV R (6.2) De sidse led i (6.2), kaldes Macauley-varigheden, V 0. Macauley-varigheden er give som: 91 Bjarne Asrup Jensen Renes regning 91
NV0 R ( R ) V 0 1 ( ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) R NV0 ( R ) = NV R + R V 0 0 NV R + R = (6.3) Macauley-varigheden kan forolkes som elasicieen af obligaionens kurs, mh. ændringer i den effekive rene, R. Macauley-varigheden beskriver den procenvise ændring i obligaionskursen, ved en ændring den effekive rene R på 1 pc. poin. En anden forolkning af varigheden er, a den udrykker den gennemsnilige resløbeid i år. Dvs. den id en invesor i gennemsni, skal holde sin obligaion, før inveseringen er ilbagebeal, alså når de modagne ydelser svarer il de inveserede beløb 92. Varigheden er alså en slags immuniseringshorison. En anden måde a udrykke Macauley-varigheden på, er ud fra nedensående sammenhæng: 0 = 1 NV0 ( 1 R ) ( R ) T Y + V = w, hvor w = (6.4) De ses, a Macauley-varigheden kan forolkes, som e væge gennemsni af hver enkel bealingsidspunk. Vægene angiver, hvor sor en del, af hver bealings nuidsværdi, udgør af obligaionens samlede nuidsværdi. Når iden går, og obligaionens resløbeid mindskes, vil varigheden falde. Når obligaionen er færdigamorisere, er varigheden 0. Mellem o bealingsidspunker, vil æller og nævner i (6.4), falde relaiv lige mege, dvs. vægene, w, er uændre. Dvs. falde i varigheden mellem o bealingsidspunker, er udelukkende grunde ændringen i. Når en bealing falder, genberegnes vægene, varigheden siger insanan, og falder derefer som iden går, frem il næse bealingsidspunk. Vha. (6.2) kan kursen på en obligaion, ved en ændring i den effekive rene, approksimeres lineær på følgende måde: 92 Københavns Fondsbørs 2000 Reningslinjer for beregning af effekive rener m.v. 92
( R ) NV0 NV0( R +Δ R ) NV0( R ) + ΔR R ΔR = NV R NV R V ( ) ( ) 0 0 0 ( 1+ R ) = NV0( R ) 1 V0 ΔR ( 1+ R ) (6.5) Prisen som funkion af den effekive rene, er en sreng afagende konveks funkion. Derfor vil den lineære approksimaion af obligaionens kurs i (6.5), undervurdere kursen ved ændringer i den effekive rene. Ovensående varighedsbegreb, er med anagelse af a ydelsesrækken er kend på id 0. På en konvererbar obligaion, er ydelsesrækken, pga. konvereringsreen, sokasisk. Varigheden skal dermed besemmes på en anden måde. I OMX Den Nordiske Børs kursliser, anvendes Macauley-varigheden, il besemmelse af konvererbare obligaioners varighed. Til besemmelse af varigheden (og den effekive rene), benyes den inkonvererbare ydelsesrække. Herved bliver der ikke age højde for obligaionernes opionselemen. Dvs. varigheden, såvel som den effekive rene, kun er korrek, hvis der ingen fremidige konvereringer finder sed, i den pågældende obligaionsserie. I sede kan den opionsjuserede kronevarighed anvendes, som e mål for varigheden på konvererbare obligaioner. Denne varighed angiver den absolue prisændring i kroner, ved en parallelforskydning af swapkurven. Den opionsjuserede kronevarighed er give som 93 : Hvor NV ( Δy) 0 ( +Δ ) ( Δ ) 0 0 (6.6) OAV0 100 NV y NV y 2 Δy beskriver den eoreiske kurs på obligaionen, ved en parallel nedad forskydning af swapkurven på Δ bp, funde vha. opgavens prisfassæelsesmodel. Den opionsjuserede kronevarighed er ikke enydig besem, da sørrelsen i høj grad afhænger af prisfassæelsesmodellens opbygning og anagelser. 93 Nordea Analyics. I Nordea Analyics hedder denne sørrelse, BPV (Basis Poin Value). 93
Varigheden for inkonvererbare obligaioner er posiiv, og dee er som ofes også ilfælde for konvererbare obligaioner. Kun i de ilfælde hvor kursen falder ved renefald, vil varigheden blive negaiv. 6.2. Konveksie I kursapproksimaionen kan varigheden kun benyes ved små reneændringer, da approksimaionen ellers bliver for upræcis. Ved indførelse af sørrelsen, konveksie, kan kursapproksimaionen forbedres. Hvor varigheden var e mål for hældningen på rene/kurs kurven, er konveksieen e mål for kurvens krumning. Dvs. konveksieen er den anden aflede il (6.1): ( R ) T ( ( ) ( ) ( + 2 1 Y 1 ) R ) 2 NV 0 = + + = 2 R = 1 ( 1 R ) ( R ) 2 T Y + NV0 ( R ) ( 1+ R ) ( 1+ ) = 1 NV0 (6.7) De sidse led i (6.7), er obligaionens konveksie. På ilsvarende måde, som ved omskrivning af Macauley-varigheden, kan konveksieen besemmes ud fra nedensående ligning: Hvor, 2 ( ) ( ) ( ) T ( ) T T ( ) = 1 ( ) = 1 = 1 2 NV0 R 1+ R Y 1+ R 2 2 K0 = = + = w + w 2 R NV0 R NV0 R (6.8) w ( 1 R ) 0 ( R ) Y + = NV (6.9) Dvs. konveksieen er e udryk for, hvor mege varigheden ændrer sig, ved en ændring i den effekive rene. De ses ud fra (6.8), a konveksieen besår af en sum af o sørrelser, hvoraf den førse er Macauley-varigheden. 94
Ud fra (6.8), kan prisen ved en reneændring ilnærmes vha. en anden ordens Taylor approksimaion. De anages igen, a prisen som funkion af den effekive rene, er en sreng afagende konveks funkion. Inddragelsen af konveksieen medfører a kursen nu overvurderes, ved en signing i den effekive rene, og modsa undervurderes, ved e fald i den effekive rene. Konveksieen forbedrer ilnærmelsen væsenlig, speciel i ilfælde af sørre reneændringer. Konveksieen er hermed definere for en inkonvererbar obligaion. Konveksieen for en konvererbar obligaion, besemmes som den opionsjuserede konveksie 94 : OAK ( Δ ) + ( Δ ) 2 ( ) NV y NV y NV y 10000 (6.10) Δy 0 0 0 0 2 Igen besemmes priserne på obligaionerne ved a parallelforskyde swapkurven, og derefer beregne obligaionskursen ud fra opgavens prisfassæelsesmodel. For inkonvererbare obligaioner er konveksieen posiiv. Dvs. prissigningen ved e renefald sørre end prisfalde ved en renesigning. 6.3. Vega En anden måde a vurdere en obligaion på, er ved a besemme dens følsomhed overfor ændringer i renevolailieen. Dee gøres vha. nøglealle vega. Volailiesfølsomheden, er også kend fra opionseori, hvor en øge volailie på de underliggende akiv, al ande lige, øger opionsværdien. De samme gør sig gældende for konvererbare obligaioner. Som nævn kan værdien på en konvererbar obligaion, opsplies i værdien af en inkonvererbar obligaion, frarukke værdien af en call opion, med den inkonvererbare obligaion, som underliggende akiv. Når renevolailieen øges, vil de øge værdien af opionen, hvilke vil mindske værdien af den konvererbare obligaion. Da obligaionskursen, som funkion af renevolailieen, ikke kan opskrives eksplici, skal vega, som ved den opionsjuserede varighed og konveksie, approksimeres numerisk, vha. den opsillede prisfassæelses model 95 : 94 Nordea Analyics. I Nordea Analyics hedder denne sørrelse CVX. 95
Hvor NV ( σ ) 0 OAV0 100 NV ( +Δσ ) NV ( Δσ ) 0 0 (6.11) 2 Δσ Δ er den eoreiske kurs på den konvererbare obligaionen, ved en parallel nedad forskydning af renevolailieskurven med Δ bp, funde vha. opgavens prisfassæelsesmodel. 6.4. Implemenering og resulaer Den opionsjuserede varighed og konveksie, er funde ved a parallelforskyde swapkurven med 30 bp hhv. op og ned. 30 bp er valg, da Nordea Analyics også benyer dee. Vega er funde ved a parallelforskyde volailieskurven med 100 bp hhv. op og ned. 100 bp er igen valg, da Nordea Analyics benyer dee. De esimerede opionsjuserede nøgleal, sam nøgleal fra Nordea Analyics, er esimere il følgende: ISIN Navn OAV OAV Analyics OAK OAK Analyics Vega Vega Analyics DK0009269227 RD 5 01Oc35 6,11 3,94-2,60-3,98 0,33 0,29 DK0002004092 NDA 6 01Oc29 5,84 2,62-0,05-2,64 0,10 0,18 DK0009270233 RD 4 01Oc35 8,47 7,00-0,14-1,14 0,26 0,26 DK0004717550 TOT 3 01Oc25 6,17 5,91 0,33-0,33 0,04 0,09 DK0009269573 RD 3 01Oc15 2,07 2,11-0,06-0,12 0,003 0,01 DK0009348286 BRF 6 01Oc19 3,22 2,52 0,10-0,65 0,01 0,03 Tabel 13 - Risikonøgleal for in sample obligaioner ISIN Navn OAV OAV Analyics OAK OAK Analyics Vega Vega Analyics DK0002003953 NDA 6 01Oc19 3,28 2,88 0,12-0,51 0,01 0,02 DK0002006469 NDA 7 01Oc32 6,02 2,56 0,16-2,34 0,09 0,18 DK0009740219 NYK 7 01Oc19 3,18 2,82 0,12-0,32 0,002 0,01 DK0009763773 NYK 5 01Oc28 4,42 1,90-2,73-3,15 0,20 0,17 DK0009274300 RD 4 01Oc38 8,59 7,15-7,09-1,21 0,26 0,26 Tabel 14 - Risikonøgleal for ou of sample obligaioner Varigheden er e mål for hvor mege obligaionskursen ændrer sig, ved ændringer i renen. I lang de flese ilfælde vil varigheden være posiiv, dvs. hældningen på rene/kurs kurven er negaiv, og e renefald vil beyde a kursen siger. På en inkonvererbar obligaion er varigheden alid posiiv. Negaiv varighed opræder, når kursen på en konvererbar obligaion bliver så høj, a kursen falder, ved yderligere renefald. Dee kan ske ved høje kurser, hvor obligaionen bliver 95 Nordea Analyics 96
mege konvereringsrue. Fra ovensående ses de, a alle opionsjuserede varigheder, både fra Nordea Analyics og fra opgavens model, er posiive, hvilke vil sige, a ved den givne kurs, vil de forvenes a e renefald, vil resulere i en kurssigning. Hvis man sammenligner varigheder på obligaioner med samme kuponrene, må de forvenes a længere resløbeid, resulerer i højere varighed. Dee er også ilfælde for de esimerede varigheder. Konveksieen er e mål for, hvor mege og hvordan rene/kurs kurven krummer. Ved posiiv konveksie er kurven konveks, og ved negaive konveksieer, er kurven konkav. En inkonvererbar obligaion, vil alid have posiiv konveksie, hvilke figur 24 var e eksempel på. Dvs. e renefald vil medføre en højere kurssigning, end kursfalde ved en ilsvarende renesigning. For en konvererbar obligaion, vil kurven for kurser omkring pari være konkav, dvs. obligaionen har negaiv konveksie 96. A rene/kurs kurven er konkav, for en konvererbar obligaion, blev ligeledes illusrere i figur 24. Alle de esimerede konveksieer er ikke negaive, som de formenlig burde være. For Toal Kredis 3% - 2025, kan dee forklares med, a kursen er e sykke under pari, og derfor er obligaionen ikke er særlig konvereringsrue, og derfor opfører kursen sig, som på en inkonvererbar obligaion. Dee kan i midleridig ikke forklare de andre obligaioner med posiiv konveksie, da disse har re høj kurser, nogle endda lang over pari. De posiive konveksieer, må derfor forklares med, a opgavens model giver for lave konvereringsraer, ved renefald. De flese posiive konveksieer ligger æ på 0, hvilke vil sige a rene/kurs kurven næsen er lineær. Vega er e mål for den negaive hældning på volailies/kurs kurven. Som de idligere blev illusrere i figur 25, siger kursen på en konvererbar obligaion, når renevolailieen falder, dvs. kurven har negaiv hældning, og alså posiiv vega. De ses a de esimerede vega værdier, alle er posiive, som de måe forvenes, for konvererbare obligaioner. De ses yderligere, a ved sigende resløbeid, siger vega. Hvis man sammenligner de i opgaven esimerede nøgleal med Nordea Analyics nøgleal, er disse ikke hel ens. Både varighed og vega, har alle samme foregn, men de er lid varierende hvor æ opgavens nøgleal er på Nordea Analyics nøgleal. Som idligere nævn, er alle Nordea 96 Ved lave kurser, vil den konvererbare obligaion ligne den inkonvererbare da den ikke er konvereringsrue, og kan derfor god have posiiv konveksie. 97
Analyics konveksieer negaive, hvilke også burde være ilfælde med de flese af opgavens konveksieer. Som ved sammenligning af OAS idligere, har modelvalge beydning for nøgleallene, og disse kan derfor ikke direke sammenligne på værs af modeller. 6.5. Delkonklusion De blev i dee kapiel vis, hvordan nøgleal for kursfølsomheden på for konvererbare obligaioner, kan esimeres. Da en konvererbar obligaions cash flow er sokaisk, kan analyiske formler ikke benyes, og der skal i sede bruges opionsjuserede nøgleal. Kursfølsomheden overfor rene og volailies ændringer blev esimere. Varigheden blev esimere il a være posiiv for alle obligaionerne, hvilke også var forvene, da negaiv varighed sjælden forekommer. De var forvene a negaiv varighed kunne opså, ved de obligaioner, som havde en kurs lang over pari, da disse er mege konvereringsrue. For kurser omkring og over pari, er de normal a konveksieen på konvererbare obligaioner, er negaiv. Dee var ikke ilfælde, for alle obligaionerne, da flere af konveksiesesimaerne var posiive, på rods af høje kurser. Desuden blev kursfølsomheden overfor ændringer i renevolailieskurven esimere, i form af nøglealle, vega. Alle de esimerede vega værdier var posiive, hvilke også var forvenelig, da en signing i volailieen, al ande lige, vil føre il a opionselemene miser værdi, og derfor siger kursen på den konvererbare obligaion. Yderligere, blev de esimerede nøgleal, sammenligne med de ilsvarende nøgleal fra Nordea Analyics. Resulae af sammenligningen var blande, både mh. foregn og sørrelse af nøgleallene. Man skal i midleridig være varsom med denne sammenligning, da nøgleallene er modelafhængig, og Nordea Analyics formenlig benyer en anden model. 98
7. Konklusion De er i denne opgave forsøg a opsille og ese en prisfassæelsesmodel for danske fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner, på baggrund af empirisk daa. Yderligere er de forsøg a esimere nøgleal for kursfølsomheden på konvererbare obligaioner. I de følgende, vil de opgavens resulaer blive opsummere. En nulkuponrenesrukur blev esimere på baggrund af 16 danske reneswaps, med løbeider fra ½-30 år. Swapkurven blev esimere vha. Nelson Siegels funkion, hvor paramerene, blev esimere ved mindse kvadraers meode. Nelson Siegels funkion blev valg, da denne kunne esimere sor se alle former af renekurven, som f.eks. pukler og S-form. Resulae vise a nulkuponrenen, som funkion af iden, var en konkav funkion, med sigende rener il omkring 20 år, og derefer var renen afagende med løbeiden. Afvigelserne mellem eoreiske og markedspriser lå alle indenfor ± 0,34%. Swapkurven blev derefer benye il a beskrive den mulige udvikling i den kore rene. Til dee blev BDT modellen anvend. BDT modellen blev anvend, da denne kan fie både den gældende nulkuponrene- og volailiessrukur. Derudover er BDT modellen en ofe benye model, på de danske obligaionsmarked. BDT modellen blev diskreisere og implemenere i e rekombinerende binomialræ. De blev vis a BDT modellens reneræ, var mege beregningsung a besemme, og derfor blev forward algorimen anvend. Reneræe blev volailieskalibrere efer markedspriser på danske swapioner. De vise sig efer kalibreringen, a de især på swapioner med kor løbeid, var svær a ramme markedsprisen. Den oale gennemsniafvigelse, med og uden de re korese swapioner, var på hhv. 3,9% og 2,7%. De var forvene a volailieen på nulkuponrenerne, var afagende med løbeiden, hvilke også vise sig a holde sik. Probleme med BDT modellen er, a den mangler æge mean reversion, hvilke ydelig kunne ses i de beseme reneræ, da mange rener var urealisisk høje. Til gengæld er de i BDT modellen anage, a de kore rener er lognormalfordele, dvs. a der ikke forekommer negaive rener. 99
Da lånagerne har semiraionel konvereringsadfærd, måe konvereringsraen beskrives ud fra nogle observerbare variable. De blev vis, a ved opdeling af lånagerne, i mere homogene grupper, kan konvereringsraen esimeres mere præcis, da lånagerne har forskellig konvereringsadfærd, bl.a. pga. varierende skaesaser og konvereringsomkosninger. Konvereringsraer bliver ikke offenliggjor på lånagergruppe niveau. Der blev derfor inroducere og anvend miksur esimaion, da esimaion vha. esimerede lånagergruppe konvereringsraer, måe anses for a være for upræcis, pga. sraksindfrielser og vandringer mellem lånagergrupper. Da lånagerne ikke kan opage lån il swaprenen, blev der esimere e konsan refinansieringsspænd, på 82,7 bp. Dermed blev de anage a spænde hverken afhang af id eller reneniveau. Spænde blev illag de hisoriske nulkuponrener, som blev benye il a finde hisoriske neonuidsgevinser. Førs blev en konvereringsmodel opsille, uden opdeling af lånagerne. Dee gav en forklaringsgrad på knap 30%. Derefer blev en model opsille, hvor lånagerne blev inddel i priva og ande. Denne model var en smule bedre, da forklaringsgraden seg il 33%. Til sids blev lånagerne opdel i re resgældsgrupper, hvilke gav den højese forklaringsgrad, på næsen 41%. Forolkningen af parameeresimaerne, var rimelig gode. Dog var der enkele paramere, hvor enen foregn eller indbyrdes sørrelsesforhold, ikke var som forvene. Yderligere vise de sig, a modellen hverken kunne ramme de høje konvereringsraer, eller konvereringsraer på 0. Dee var en sor begrænsning i modellen. Afhængigheden mellem re forklarende variable og modellens konvereringsrae, blev illusrere. De vise sig, som forvene, a konvereringsraen afhang posiiv af både konvereringsgevinsen og poolfakoren. Konvereringsraens sammenhæng med den relaive resløbeid, blev vis a være overvejende negaiv, hvilke også var forvenningen. Prisfassæelsen, af en konvererbar obligaion, benyede de beseme reneræ og den esimerede konvereringsmodel. De blev vis a en konvererbar obligaion, kunne opdeles i lånagerspecifikke obligaioner. Disse blev prisfassa uafhængig af hinanden, og derefer væge sammen, i forhold il hver enkel lånagergruppes resgældsandel. 100
Ved prisfassæelsen, blev førs konvereringsgevinsen og den relaive resløbeid, faslag i alle binomialræes knuder. De blev vis a disse kunne besemmes rimelig enkel, da de ikke afhang af andre af de forklarende variable. Til besemmelse af de fremidige konvereringsgevinser, blev refinansieringsspænde, modsa de hisoriske konvereringsgevinser, illag de kore rener, i hver af binomialræes knuder. Poolfakoren og konvereringsraen blev besem samidig, da disse er indbyrdes afhængige. Da poolfakoren er siafhængig, kan denne derfor ikke umiddelbar faslægges i e rekombinerende binomialræ. Der blev derfor inroducere en meode il a ilnærme poolfakorens udvikling i e rekombinerende binomialræ, så poolfakoren afhang af de risikoneurale sandsynligheder, sam konvereringsraen og poolfakoren fra den foregående periode. Dee var en begrænsning i modellen, men nødvendig, da prisfassæelsen ellers måe foreages i e siafhængig binomialræ, med uønskelig mange sluknuder. De blev vis a cash flowe, på den lånagerspecifikke obligaion, kunne opdeles i o dele: Obligaionens værdi hvis alle lånagere konvererer, og værdien hvis ingen konvererer. Derefer blev de forvenede cash flow ilbagediskonere, il valørdagen, vha. reneræe. Lånagerne konvererer kun, hvis obligaionskursen er over pari, derfor skulle der i modellen korrigeres for, a når kursen er under pari, er konvereringsraen alid 0. I modellen blev der age højde for dee, ved a sæe konvereringsraen il 0, hvis den eoreiske obligaionskurs, var under 100. Herefer blev prisfassæelsesmodellen anvend il a prisfassæe 11 konvererbare obligaioner, heraf 6 obligaioner in sample, og 5 obligaioner ou of sample. Under beragning af, a konvereringsmodellens forklaringsgrad var på kun 41%, var resulae af prisfassæelsen accepabel. De vise sig også a in sample obligaioner, blev bedre prisfassa end ou of sample obligaioner. Generel var billede, a for sigende resløbeid og kupon rene, var afvigelsen sørre mellem markedspris og modelpris. Desuden blev de i modellen esimerede OAS, sammenligne med OAS fra Nordea Analyics. Sammenligningen vise a OAS værdierne, var forholdsvis ens for de flese obligaioner, hvilke, for høje værdier af OAS, indikerede a nogle obligaioner, generel var svære a prisfassæe. 101
De blev illusrere hvordan kursen på o af de prisfassae obligaioner, afhang af hhv. reneniveaue og renevolailieen. De blev vis, a den konvererbare obligaions følsomhed overfor skif i renekurven eller volailieskurven, var som forvene. Ved en renesigning fald kursen, og ved volailiesfald, seg kursen, da opionselemene i den konvererbare obligaion, misede værdi. Endelig blev der inroducere opionsjuserede nøgleal, for konvererbare obligaioner. De analyiske formler for obligaioners varighed og konveksie, blev vis. Disse kunne i midleridig ikke benyes for konvererbare obligaioner, da disse har sokasiske cash flows. Den opionsjuserede varighed, konveksie og vega blev derfor inroducere og esimere, vha. opgavens prisfassæelsesmodel. De esimerede nøgleal vise, a modellen især havde problemer med, a rene/kurs kurven, for den konvererbare obligaion, ikke i alle ilfælde var konkav. Dee burde den i eorien være, for kurser omkring og over pari. Samlige esimerede varigheder og vega er var posiive. Yderligere blev de i prisfassæelsen vis, a ved volailiesfald, vil kursen på den konvererbare obligaion, sige. Derfor var de forvene a vega, måe være posiiv, hvilke også var ilfælde. De re nøgleal, blev sammenligne med de ilsvarende nøgleal, fra Nordea Analyics, med blande succes, både mh. il foregn og relaiv sørrelse. De kan konkluderes, a de var mulig a opsille en accepabel prisfassæelsesmodel il danske fasforrenede konvererbare obligaioner. Modellen opfangede de væsenligse dynamikker, såsom sammenhængen mellem de forklarende variable og konvereringsraen, sam rene/kurs sammenhængen. 102
Lieraurlise Arp, Henrik & Hansen, Ole Kold & Myrup, Krisian V. Dynamisk Modellering af realkredi obligaioner, Finans Inves 1999, nr. 4 Benninga, Simon & Wiener, Zvi Binomial erm srucure models, Mahemaica in Educaion and Research, 1998 Black, Fischer & Derman, Emanuel & Toy, William A one-facor model of ineres raes and is applicaion o reasury bond opions, Financial analys journal, 1990 Boligejer hp://www.boligejer.dk Cairns, Andrew Ineres rae models, An inroducion, 2004, Princeon Universiy Press Danmarks Naionalbank Danske realkrediobligaioner under den finansielle uro, 2009 Danmarks Naionalbank Finansiel sabilie, 2006 Danmarks Naionalbank Saens lånagning og gæld, 2009 Jakobsen, Svend - A Mixure Disribuion Approach o he Valuaion of Morgage Backed Securiies, The Aarhus School of Business, 1994 Jakobsen, Svend - Prepaymen and he Valuaion of Danish Morgage-Backed Bonds, Ph.D.- Thesis, Deparmen of Finance, The Aarhus school of business, 1992 Jakobsen, Svend & Rasmussen, Nicki Hvad prakikere bør vide om prisfassæelse af konvererbare obligaioner, Finans Inves 1999, nr. 8 Jakobsen, Svend & Svensrup, Mikkel Hvad prakikere bør vide om modeller for konvereringsadfærd, Finans Inves 1999, nr. 7 Jakobsen, Svend & Svensrup, Mikkel Sæer invesorerne pris på konvereringsraerisiko, Finans Inves 2000, nr. 2 Jensen, Bjarne Asrup Binomial models for he erm srucure of ineres, undervisningsnoer il fage Obligaioner og renesrukureori, 2009. 103
Jensen, Bjarne Asrup Renes regning, 5. udgave 2009, Juris- og Økonomforbunde Klose, Chrisoph & Yuan, Li Chang Implemenaion of he Black, derman and Toy model, Universiy of Vienna, 2003 Københavns Fondsbørs Reningslinjer for beregning af effekive rener m.v., 2000 Lookman, Aziz A. Calibraing he BDT laice, 2009 NASDAQ OMX - hp://www.nasdaqomxnordic.com/obligaioner/danmark NASDAQ OMX - Markedsinformaioner om danske realkrediobligaioner. Bilag 1 Nykredi hp://www.nykredi.dk Nelson, Charles R. & Siegel, Andrew F. - Parsimonious modelling of yield curves, The Journal of Business 1987, no. 4 Pedersen, Peer Roer Forecasing af renevolailie (1) - simple meoder, Finans Inves 1996, nr. 4 Peersen, Bo Wase Ny realkredimodel med fokus på gennemsigighed, Finans Inves 2000, nr. 6 Realkrediråde hp://www.realkrediraade.dk Svensrup, Mikkel On he subopimaliy of single-facor exercise sraegies for Bermudan swapions, Deparmen of finance, The Aarhus School of business, 2002 Visholm, Torben Renevolailie på den danske obligaionsmarked, Finans Inves 1992, nr. 2 104
Bilag På vedlage CD-ROM ligger de i opgaven anvende Excel filer inkl. VBA kode: Nelson_Siegel_swapkurve.xls Indeholder esimaionen af swapkurven. BDT_reneræ.xls Indeholder besemmelsen af BDT-reneræe. Samlede_omkosninger.xls Indeholder besemmelsen af konvereringsomkosninger. Samle_daa.xls Indeholder daasæe som blev anvend il esimaionen af konvereringsmodellen. Refinansieringsspænd.xls Indeholder besemmelsen af refinansieringsspænde. Konvereringsmodel.xls Indeholder esimaionen af konvereringsmodellen. Prisfassæelsesmodel_risikonøgleal.xls Indeholder prisfassæelsesmodellen, esimaionen af risikonøgleal sam følsomhedskurver. 105