Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0, 1, inf, q r ) Nulløsninger (1, inf, q r ) Least squares - Definition, søjlerum Ortogonalprojektion (opdeling i ortogonalkomplement), nærmeste punkt (pythagoras) Nemmere løsning, transponering Normale ligning, invers af ATA Optional: SMR af proj på sø(a) Least squares med QR dekomposition Optional: Cramer s regel 2 Emne 2: Vektorrum og underrum Aksiomer Beviser for entydighed af neutralt element, 0x=0, entydighed af additivt invers, -1x=-x Lukkethed, underrum Nulrum 1
Række- og søjlerum Span, basis Basis for rækkerum Basis for søjlerum Rang, nullitet Find basis for arbitrært rum (vha. søjle) Optional: Udvidelse af basis vha. søjlerumsbasis 3 Emne 3: Lineær Uafhængighed linearkombination, Span Span underrum Løsning til Ax=b medfører b i spannet over søjler lineær uafhængighed Lineært uafhængige søjler medfører invertibel Entydig udtrykt vektor medfører uafhængige søjler (entydige koordinater) Basis definition, udtrykskraft. Afhængige vektorer hvis flere vektorer end dim Dimension, endeligt frembragt Udtynding af span til basis n uafhængige spanner, n span er uafhængige Mindre end n kan ikke udspænde n-rum Mindre end n uafhængige kan udvides til basis Optional: Underrumsdimensioner 4 Emne 4: Basis for vektorrum, koordinatisering Basis definition, udtrykskraft Dimension, endeligt frembragt Udtynding af span til basis 2
n uafhængige spanner, n span er uafhængige Mindre end n kan ikke udspænde n-rum Mindre end n uafhængige kan udvides til basis Underrumsdimensioner Koordinatvektor Bevaring af lineær struktur, nulvektor Omregning fra basis til basis Matrix af v-koordinatiseret basis u (koordinattransformationsmatricen) - Invertibel, konverterer fra u til v, entydig 5 Emne 5: Matricer og Lineære Transformationer (lineær struktur, underrum) Nulvektor, lineære kombinationer, negativ Trans entydigt bestemt af basis Domæne, kodomæne, billede, inverse billede. Underrum (billede, invers begge lukkede under add og multi transformationer). Matrixrepræsentation - Standard Matrixrepræsentation - Mht. anden basis - Diagram Kombinerede transformationer - Lineær struktur, matricer 6 Emne 6: Determinanter Kofaktor Minor Elementære rækkeoperationer Type 1 (bytning) Type 2 (skalarmultiplikation) Type 3 (addition af række) 3
Transponering Ens rækker/søjler Nulrække, skalarmultiplikation, s*i til j de række Optional: Triangulære matricer Elementærmatricer Singularitet Matrixmultiplikation Optional: Multilinearitet for determinanten som funktion Adjungeret matrix Inversformlen Cramer s regel 7 Emne 7: Egenværdier og egenvektorer Egenværdi (lin. trans, matrix) Egenvektor (lin. trans, matrix) Koordinatisering (MR af L) Algoritmisk beregning af egenværdier og egenvektorer Egenrum, multipliciteter, antal egenværdier Komplekse egenværdier, geo af komplekse egenværdier Similaritet (ens karakteristisk polynomium, optional: ens geo) Uafhængighed af egenvektorer tilhørende forskellige egenværdier Uafhængighed uanset om forskellige egenværdier Geo Alg 4
8 Emne 8: Diagonalisering Eq: Basis, n egenvektorer, invertible så A similær. Potenser. Uafhængighed af egenvektorer tilhørende forskellige egenværdier, derfor diagonaliserbar Uafhængighed uanset om forskellige egenværdier Geometrisk multiplicitet sum maks n, hvis lig så diagonaliserbar (frem og tilbage) Geo Alg Diagonaliserbar medfører lighed mellem geo og alg. Alt herunder er optional Konjugeret transponeret, Hermite Unitær matrix - Invers Konjugeret transponeret unitær Matrixprodukt Hermite sk - Reele egenværdier, ortogonale egenvektorer Schur s sætning: Øvre triangulær med unitære matricer Spektralsætningen - Unitær og symmetrisk Ortogonal diag betyder symmetrisk matrix Normal matrix - Diag bevis Unitært diag matricer normale (begge veje) 9 Emne 9: Indre Produkt Ortogonalitet, Pythagoras Skalarprojektion, vektorprojektion Cauchy-Schwartz: Numerisk indre produkt mindre end eller lig produkt af længder. 5
Trekantsuligheden Trekantsuligheden med k vektorer. For komplekse tal: Definition, Cauchy-Schwartz, trekantsulighed Normer, parallellogramident, polariseringsident 10 Emne 10: Ortogonalt Komplement og Projektion Ortogonalitet - Skalarprodukt, indre produkt Pythagoras Ortogonalprojektion - Eksistens, formel Ortogonale underrum, fællesmængde nulvektor Nulrum A trans lig søjle A komplement Ortogonalkomplement underrum, dim, kan kombinere baser Komplementets komplement Sum af komplementærvektorer Ortogonalprojektion defineret fra komplementærrum Projektion nærmeste punkt i s til x Hvis ortogonalproj minus v er i komplement så er p sum af indre produkt gange komplementbasis Ortogonalproj af andre vektorer, som matrix (relater til least squares) ved UTU=I 11 Emne 11: Ortogonale og Ortonormale Baser Ortogonalitet, Ortonomalitet definition Lineær uafhængighed Ortonormalbasis Vektor som linearkombination af ortonormale vektorer Optional: Indre produkt af sådanne (C og R) Optional: Parseval s formel: Længder af sådanne 6
Ortogonalt komplement, underrum Hvis ortogonalproj minus v er i komplement så er p sum af indre produkt gange komplementbasis Ortogonalproj nærmeste punkt i S til V Gram-Schmidt Ortonormal til ortonormalbasis Dim ortogonal, kan lave V fra S Koordinatisering ændrer ikke så længe det er mht. en ortonormal basis QR-faktorisering R invertibel Least squares 12 Emne 12: Ortogonale og unitære matricer Konjugeret transponeret, Hermite Unitær matrix - Invers Konjugeret transponeret unitær Matrixprodukt Hermite sk - Reele egenværdier, ortogonale egenvektorer Schur s sætning: Diagonalisering med unitære matricer Spektralsætningen - Unitær og symmetrisk UTU=I Ortogonal matrix - Invers, gange på vektorer, længde af vektormulti Hvis Q orto så transponerede også orto Matrixprodukt 7
13 Emne 13: Unitær diagonalisering Konjugeret transponeret, Hermite Unitær matrix - Invers Konjugeret transponeret unitær Matrixprodukt Hermite sk - Reele egenværdier, ortogonale egenvektorer Schur s sætning: Øvre triangular med unitære matricer Spektralsætningen - Unitær og symmetrisk Ortogonal diag betyder symmetrisk matrix Normal matrix - Diag bevis Unitært diag matricer normale (begge veje) 14 Emne 14: Lineære differentialligninger differentialligningsystem, lineært diff. system Løsning af uafhængige ligninger Løsning hvis A er diag - Entydig Brug af diagonalisering til løsning af x =Ax Komplekse tilfælde (kombination af re og img) Resultat tager kun reele tal Direkte brug af egenværdier Orden Putzer s algorithm Entydighed af Q Brug af exp 8