4. Semidirekte produkter - teori og eksempler G version

4. Semidirekte produkter - teori og eksempler G4-2004-version Lad G være en gruppe, og A en undergruppe af automorfigruppen Aut(G). Vi danner en ny gruppe kaldet G A, (detsemidirekte produkt af G med A). Den underliggende mængde er G A. Kompositionen er defineret ved (g, ϕ)(g,ψ)=(gϕ(g ),ϕψ) for g, g G, ϕ, ψ A. Det er let at regne efter, at den associative lov er opfyldt. Det neutrale element er (1, 1), og det inverse element til (g, ϕ) er(ϕ 1 (g 1 ),ϕ 1 )idet (g, ϕ)(ϕ 1 (g 1 ),ϕ 1 )=(gϕ(ϕ 1 (g 1 )),ϕϕ 1 )=(gg 1,ϕϕ 1 )=(1, 1). Specielt kaldes G Aut(G) forholomorfet af G og betegnes Hol(G). Antag nu at G og H er grupper, og at der findes en homomorfi α : H Aut(G). Vi danner en ny gruppe kaldet G α H (det semidirekte produkt af G med H, relativ til α). Den underliggende mængde er G H, og kompositionen er defineret ved (g, h)(g,h )=(gα(h)(g ),hh ). (Man kan her forestille sig at konjugation af g med h, altså hg h 1, i denne gruppe erstattes med α(h)(g ). For elementer i en vilkårlig gruppe gælder jo ghg h = g(hg h 1 )hh ). I G α H er igen (1, 1) det neutrale element, og det inverse element til (g, h) er(α(h 1 )(g 1 ),h 1 ), idet (g, h)(α(h 1 )(g 1 ),h 1 )=(gα(h)(α(h 1 )(g 1 )),hh 1 ) =(g(α(h)α(h 1 ))(g 1 ),hh 1 )=(gα(1)(g 1 ),hh 1 ) =(gg 1,hh 1 )=(1, 1). Her blev det benyttet, at α er en homomorfi. Specielle tilfælde: (1) Hvis nu H Aut(G) og α er indlejringen af H i Aut(G), så falder de to ovenstående konstruktioner sammen. Derfor er den første et specielt tilfælde af den anden. 1

(2) Hvis α : H Aut(G) er defineret ved α(h) = 1 (identiteten), så er G α H = G H det sædvanlige direkte produkt. Nårdeterklart,hvadα er, vil vi ofte skrive G H istedetforg α H. Man kan være interesseret i at realisere en given gruppe som et semidirekte produkt: På den ene side har vi følgende: Hvis X = G α H er et semidirekte produkt, så vil G = {(g, 1) g G},H 0 = {(1,h) h H} være undergrupper af X. Afbildningerne g g =(g, 1),h h 0 =(1,h) er åbenbart isomorfier mellem G og G og mellem H og H 0. DeterklartatX = G H 0,ogatG H 0 = {(1, 1)}. Endvidere er G X, hvilket let ses fra multiplikationsformlen og formlen for inverse elementer. Hvis g =(g, 1) G og h 0 =(1,h) H 0, såer h 0 g (h 0 ) 1 =(1,h)(g, 1)(1,h 1 )=(α(h)(g),h)(1,h 1 )=(α(h)(g), 1) = (α(h)(g)) På den anden side kan vi betragte følgende situation: Antag at Y er en gruppe med undergrupper G og H, som opfylder G Y, Y = GH. SåkanY forbindes med et semidirekte produkt af G med H: Forh H lader vi α(h) være indskrænkningen af den indre automorfi κ h af Y til G. Vi har altså α(h)(g) =hgh 1 for h H, g G. Så er α en homomorfi fra H til Aut(G), og vi kan altså danne X = G α H. Hvad har X og Y med hinanden at gøre? Svaret gives her: (4A) Sætning: Lad Y = GH og X = G α H være som ovenfor. Så defineres ved ρ(g, h) =gh en surjektiv gruppehomomorfi fra X til Y. Der gælder G H = {1} ρ er en isomorfi. 2

Bevis: Lad g, g G, h, h H. Vihar ρ((g, h)(g,h )) = ρ(gα(h)(g ),hh ) (multiplikation i X) = ρ(g(hg h 1 ),hh ) (definition af α(h)) = g(hg h 1 )hh (definition af ρ) = ghg h (forkort h 1 h) = ρ(g, h)ρ(g,h ) (definition af ρ) Dermed er ρ en homomorfi, og da Y = GH er det klart, at ρ er surjektiv. Hvis G H = {1} ser vi, at ρ(g, h) =1 gh =1 g = h 1 G H = {1} g = h =1, så ρ er injektiv i dette tilfælde. Hvis G H {1}, såerρ(x, x 1 )=1når x 1,x G H, så ρ er ikke injektiv. Den ovenstående sætning viser, at når G H = {1}, så giver Y en indre karakterisering af et semidirekte produkt. Et eksempel på en gruppe Y realiseret som semidirekte produkt, er Y = S n, G = A n, H = (1, 2) n 2. Et andet eksempel, som vi allerede har mødt, er resultatet i (3G). Hvis G har en normal Hall undergruppe M, så eksisterer der et komplement L til M i G. DermederG et semidirekte produkt af M med L. Lad os se på nogle flere eksempler af forskellig natur. (4B) Eksempel: Diedergrupperne. Hvis G = g er en cyklisk gruppe, så er afbildningen ι : g g 1 en automorfi af G. I denne situation er G ι en diedergruppe. Hvis G = n, betegnes G ι med D n. Vi har så åbenbart, at D n =2n. Gruppen D n er frembragt af to elementer (g, 1) og (1,ι). Lad os bemærke, at (1,ι) = (g, ι) =2idet(g, ι) 2 =(gι(g), 1) = (gg 1, 1) = 1. Da D n frembringes af (g, ι) og(1,ι), ser vi, at en diedergruppe frembrages af 2 elementer af orden 2 (såkaldte involutioner ). På den anden side er en gruppe frembragt af 2 involutioner isomorf til en diedergruppe. Dette ses som følger. Antag at D = x, y, hvorx 2 = y 2 =1, x y. Viharså, at x 1 = x og y 1 = y. Sætg = xy. SåerG := g cyklisk, 3

og D = g, y. Endvidere er ygy 1 = yxyy 1 = yx = y 1 x 1 =(xy) 1 = g 1. Så konjugation med y svarer til afbildningen ι ovenfor. Når n N, n 3, så kand n realiseres som undergruppe af S n,idetvi betragter undergruppen D n = (1, 2,,n), τ =(1,n)(2,n 1) af S n. Hvis G = (1, 2,,n), H = τ, såerd n = GH og G D n, G H = {1}, idetjo τ(1, 2,,n)τ 1 =(n, n 1,, 2, 1) = (1, 2,,n) 1. DetersåklartatD n = D n. Vi har også atd3 = S 3, idet de har samme orden. Lad os bemærke, at for n =4er D4 =8,således at D 4 er en 2 Sylow gruppe i S 4, (og i øvrigt også is 5 ). Diedergruppernes definition kan umiddelbart udvides til tilfældet, hvor G er en abelsk gruppe. Afbildningen ι : g g 1 fra G G, erstadigen automorfi af G, så man kan danne en diabelsk gruppe G ι af orden 2 G. Vi vil i det følgende ikke skelne særskilt mellem den abstrakte gruppe D n og den konkrete permutationsgruppe Dn (4C) Eksempel: Permutationsmatricer og monomiale grupper. Når R er en kommutativ ring med 1 element, n N, danner mængden af invertible n n matricer med koefficienter fra R en gruppe kaldet GL(n, R) (= {A Rn n det A invertibel i R}). Når π S n defineres en matrix P (π) Rn n ved P (π) =[a ij ] hvor a ij = δ iπ(j) (δ er Kronecker delta ). Det er klart, at P (π) harnetopét element 0i hver søjle og i hver række. Induktiv anvendelse af søjleudviklingsreglen for determinanter viser, at det P (π) =± 1, så P (π) GL(n, R). Hvis π, ρ S n gælder P (π)p (ρ) =P (πρ): Lad P (π)p (ρ) =[c ij ]; så er c ij = k δ iπ(k) δ kρ(j) 0 Der eksisterer et k så k = ρ(j) og π(k) =i πρ(j) =i, 4

dvs. c ij = δ iπρ(j). Det betyder, at P er en homomorfi fra S n til GL(n, R). Det er klart, at P er injektiv, så vi kan betragte S n som en undergruppe af GL(n, R). En matrix påformenp (π), π S n kaldes en (n n ) permutationsmatrix. Der gælder: det P (π) =sign(π), (π sfortegn) P (π) t = P (π 1 ) for alle π S n. Begge disse udsagn bevises ved at skrive π som et produkt af transpositioner (dvs. permutationer påformen(i, j)): Permutationsmatricen P ((i, j)) opnås fra enhedsmatricen E n ved at ombytte den i te og den j te søjle. Derfor er det P (τ) = 1, når τ er en transposition. Det er også klart, at P (τ) =P (τ) t, når τ er en transposition. Hvis π = τ 1 τ 2 τ k, hvor alle τ i er transpositioner, såer n det(p (π)) = det(p (τ i )) = ( 1) k = sign(π) og i=1 P (π) t =[P (τ 1 ) P (τ k )] t = P (τ k ) t P (τ i ) t = P (τ k ) P (τ 1 )=P (τ k τ 1 )=P (π 1 ). En permutationsmatrix består af nuller pånær netop ét ettal i hver række og i hver søjle. Man kan nu erstatte ettallerne i en permutationsmatrix P (π), π S n med n elementer fra en given gruppe G. Hvis g 1,g 2,...,g n G, π S n sættes P (g 1,...,g n ; π) =(δ iπ(j) g i ). Dette er selvfølgelig ikke længere et element i GL(n, R), men en matrix med elementer fra mængden G {0} (idet vi fastlægger, at δ ii g = g, δ ij g =0for i j). Hvis nu G er en gruppe og A en undergruppe af S n sættes Mon(G, A) ={P (g 1,,g n ; π) g i Gπ A}, en mængde af G monomiale matricer. Hvis vi yderligere fastlægger, at 0 + g = g +0 = g for g G, vilg s komposition sammen med den sædvanlige matrixmultiplikation inducere en komposition på Mon(G, A). Hvis vi multiplicerer matricerne P (g 1,,g n ; π) og P (h 1,,h n ; ρ) 5

under anvendelse af de ovennævnte regler, fås en matrix [c ij ], hvor c ij = k δ iπ(k) g i δ kρ(j) h k = δ iπρ(j) g i h ρ(j) = δ iπρ(j) g i h π 1 (i) således, at P (g 1,,g n ; π)p (h 1,,h n ; ρ) =P (g 1 h π 1 (1),,g n h π 1 (n); πρ). Med denne matrixmultiplikation bliver Mon(G, A) en gruppe med P (1,, 1; (1)) som neutralt element, hvor P (g 1,,g n ; π) som inverst element har P (g 1 π(1),,g 1 π(n) ; π 1 ). Mon(G, A)kaldesen(G )monomial gruppe. Nu er Mon(G, A) et indre semidirekte produkt af den normale undergruppe G = {P (g 1,,g n ;(1)) g i G, i =1, 2,,n}, (som er isomorf med G } G {{} ) med undergruppen A = {P (1,, 1; π) n π A} (som er isomorf til A.) (4D) Eksempel: Lad os se på den monomiale gruppe Mon(G, A) (som semidirekte produkt) udefra. Hvis A S n og G = } G G {{} (= G n ), kan vi definere en homomorfi n α : A Aut(G )ved α(π)(g 1,,g n )=(g π 1 (1),,g π 1 (n)). Det kan virke mærkværdigt, at afbildningen β : A Aut(G )givetved β(π)(g 1,,g n )=(g π(1),,g π(n) ) ikke er en homomorfi. Sammenhængen mellem α og β er at α(π) =β(π 1 ), så hvis en af afbildningerne er en homomorfi, så er den anden en antihomomorfi. At det er α, der er en homomorfi, ses som følger: Antag at π, ρ A. Lad α(ρ)(g 1,,g n )=(h 1,,h n ) α(π)(h 1,,h n )=(k 1,,k n ). 6

Ifølge definitionen er h i = g ρ 1 (i) og k i = h π 1 (i) for i =1,,n.Vifår så at k i = h π 1 (i) = g ρ 1 (π 1 (i)) = g (πρ) 1 (i). Derforer α(π) α(ρ)(g 1,,g n )=(k 1,,k n ) =(g (πρ) 1 (1),,g (πρ) 1 (n)) =α(πρ)(g 1,,g n ), altså α(π) α(ρ) =α(πρ). Kun når A er abelsk, vil β være en homomorfi. Vi kan nu definere en isomorfi ϕ G α A ϕ = Mon(G, A) ved ϕ(g 1,,g n ; π) =P (g 1,,g n ; π). Multiplikationen i G A er jo (g 1,,g n ; π)(h 1,,h n ; ρ) =(g 1 h π 1 (1),,g n h π 1 (n); πρ). Det er jo nødvendigt men ikke så pænt, at man skal anvende π 1 på h i ernes indices. Dette kan undgås ved at bytte om på G og A, som vi gør i næste eksempel. (4E) Eksempel: (Kransprodukt, wreath produkt). Som i (4D) er A S n og G = } G G {{}. Vi definerer en komposition på A G ved n (π; g 1,,g n )(ρ; h 1,,h n )=(πρ; g ρ(1) h 1,,g ρ(n) h n ). Herved bliver A G en gruppe med ((1); 1,, 1) som neutralt element, og (π; g 1,,g n )har(π 1 ; h 1,,h n ) som inverst element, hvor h i = g 1 π 1 (i). Denne gruppe kaldes for kransproduktet af G med A, og betegnes G A. Det viser sig, at G A også kan realiseres ved monomiale matricer, og at G A Mon(G, A). Hvis (π; g 1,,g n ) G A sættes P (π; g 1,,g n )=(δ iπ(j) g j ). Den eneste forskel her fra P (g 1,,g n ; π) er,at g i er erstattet med g j. Hvis vi multiplicerer P (π; g 1,,g n )medp (ρ; h 1,,h n )fås P (πρ; g ρ(1) h 1,,g ρ(n) h n )således at P matricerne danner en gruppe Mon (G, A), som er isomorf til G A. 7

Vi har nu ved hjælp af G og A konstrueret 4 grupper, to matrixgrupper Mon(G, A) ogmon (G, A), samt to abstrakte grupper G α A (i (4D)) og G A her. Vi har vist, at G α A Mon(G, A) og at G A Mon (G, A). For nu at fuldstændiggøre billedet, vil vi vise, at Vi indskyder en bemærkning. G α A G A. (4F) Bemærkning: Den modsatte gruppe. HvisG er en vilkårlig gruppe kan vi danne dens modsatte gruppe G op, som følger. Den underliggende mængde er G s elementer, og kompositionen i G op,ergivetved g h = hg (hvor vi på højre side har brugt kompositionen i G!) Det er klart, at G op er en gruppe med samme neutrale element og samme inverse elementer. Endvidere er afbildningen ι : g g 1 en isomorfi mellem G og G op,idet ι(gh) =(gh) 1 = h 1 g 1 = ι(h)ι(g) =ι(g) ι(h). (4G) Sætning: Lad G A og G α A være som før. Ved ψ :(π; g 1,,g n ) (g 1 1,,g 1 n ; π 1 ) defineres en isomorfi mellem G A og (G α A) op.derforgælderogsåat Bevis: Vi har G A G α A. ψ(π; g 1,,g n ) ψ(ρ; h 1,,h n )=(h 1 1,,h 1 n ; ρ 1 )(g1 1,,gn 1,π 1 ) =(h 1 1 g 1 ρ(1),,h 1 n g 1 ρ(n) ; ρ 1 π 1 )=ψ(πρ; g ρ(1) h 1,,g ρ(n) h n )= ψ((π; g 1,,g n )(ρ; h 1,,h n )). 8

Kransproduktet egner sig til at definere interessante klasser af grupper med en struktur, der er overskuelig uden at være banal. Det er let at finde kransprodukter som undergrupper i symmetriske grupper: (4H) Bemærkning: Hvis G S m og A S n,såerg A(isomorf til) en undergruppe af S mn. Bevis: Lad (π; g 1,,g n ) G A, og betragt P (π; g 1,,g n )=[δ iπ(j) g j ]. Hvis vi erstatter g j med P (g j ), bliver P (π; P (g 1 ),,P(g n )) til en mn mn permutationsmatrix. (4I) Eksempel: (på (4H))Ladm =2,n =3,π =(1, 2, 3) A S 3, g 1 =(1, 2), g 2 =(1),g 3 =(1, 2) G S 2 således at P (π; P (g 1 ), P (g 2 ), P (g 3 )skalværeen6 6-permutationsmatrix. Lad os beregne denne og den tilhørende permutation. Først betragtes permutationsmatricen P (π) P (π) = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ifølge (4C). I denne matrix erstattes ettallet i j te søjle med 2 2-matricen P (g j ) j =1, 2, 3 og nullerne med 2 2-nulmatricer 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 P (π; P (g 1 ),P(g 2 ),P(g 3 )) = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 Dette er en 6 6-permutationsmatrix. Den tilhørende permutation ρ aflæses ved at se på positionen af ettallet i de enkelte søjler. Vi får ( ) 1 2 3 4 5 6 ρ = 4 3 5 6 2 1 (Her er for eksempel ρ(1) = 4 fordi ettallet i 1. søjle er på 4. plads). Derfor er ρ =(1, 4, 6)(2, 3, 5). 9

En anden måde at beregne ρ på er som følger: Betragt g 1 som permutation af {1, 2}, g 2 som permutation af {3, 4} og g 3 som permutation af {5, 6}. Såer g 1 g 2 g 3 =(1, 2)(3)(4)(5, 6) = (1, 2)(5, 6). Dernæst betragtes π =(1, 2, 3) som en permutation (π) af 6 der permuterer mængderne {1, 2}, {3, 4}, {5, 6} ved 1 3 5 1og2 4 6 2, altså For produktet (π)g 1 g 2 g 3 fås så (π) =(1, 3, 5)(2, 4, 6). (1, 3, 5)(2, 4, 6)(1, 2)(5, 6) = (1, 4, 6)(2, 3, 5), den samme permutation ρ som før! (At vi skriver foran π, altså (π) betyder intuitivt at der er tale om en duplikering af π. Hvisρ =(1, 3) S 3 er tilsvarende (ρ) =(1, 5)(2, 6).) (4J) Bemærkning: Hvis G er endelig, og A S n,sågælder G A = G n A. (4K) Eksempel: (Sylow grupper i de symmetriske grupper S p a). Lad p være et primtal. Hvis n N lader vi ν p (n) være det største ikke negative tal, så p ν p (n) n. F.eks.erν 3 (72) = 2, da 72 = 3 2 8. Lad os betragte ν p ( S p a ), a 1. Der gælder ν p ( (S p a ) =ν p (p a!). Det er klart, at p a 1 af tallene 1,,p a er delelig med p, nemlig p, 2p,,p a 1 p. Endvidere er p a 2 delelig med p 2 (hvis a 2), nemlig p 2, 2p 2,,p a 2 p 2. Ved at fortsætte med p 3 osv. fås ν p (p a!) = p a 1 + p a 2 + +1=(p a 1)/(p 1). For a = 1 er en p Sylow gruppe i S p cyklisk, frembragt af f.eks. (1, 2,,p), altså Z p. Ifølge (4J) er Z p Z p = p p+1. Dermed har Z p Z p samme orden som en p Sylow gruppe i S p 2. Dette generaliseres: Lad os induktivt definere gruppen X a ved X 1 = Z p, X a = X a 1 Z p. Ved induktion efter a ses, at X a er isomorf til en undergruppe af S p a (brug (4H)), samt at ν p X a = ν p ( S p a ) = ν p (p a!) (brug (4J)), således at p Sylow gruppen af S p a er et itereret kransprodukt af a cykliske grupper af orden p. Lad os se på en konkret realisering af p Sylow gruppen i S p 2. Denne gruppe har en elementær abelsk undergruppe af orden p p, nemlig (1, 2,,p) (p +1,, 2p) (,p 2 ). 10

Dette svarer til undergruppen G G i det generelle tilfælde. Gruppen A bliver i dette eksempel til gruppen frembragt af (1,p+1, 2p +1,, (p 1)p + 1)(2,p+2,, (p 1)p +2) (p, 2p,,p 2 ) I tilfældet p = 2 er 2 Sylow gruppen af S 4 frembragt af (1, 2) og (1, 3)(2, 4). Gruppen G G bliver (1, 2) (3, 4) og A = (1, 3)(2, 4). Hvisvigår til S 8 bliver dens 2 Sylow gruppe frembragt af (1, 2), (1, 3)(2, 4) og (1, 5)(2, 6)(3, 7)(4, 8). Prøv af overveje dette! Hvordan ser det ud i S 16? Bemærk, at hver af disse elementer er en duplikering af det forrige på samme måde som i (4I)! (4L) Bemærkning: Man kan vise, at p Sylow gruppen i S n, n vilkårligt, kan beskrives således: Skriv n p adisk, dvs. n = a 0 + a 1,p+ + a k p k, hvor 0 a i p 1. SåerS n s p Sylow gruppe isomorf til X a 1 1 X a 2 2 X a k k, a hvor X i i = X i X }{{} i og X i er som i det forrige eksempel. a i (4M) Eksempel: Kransproduktet spiller også en rolle ved beskrivelsen af centralisatorer af elementer i symmetriske grupper. Vi nøjes med tilfældet, hvor et element er et produkt af cykler af samme længde. Lad k, l N og antag, at κ S kl er et produkt af k disjunkte cykler af samme længde l. Vi forklarer at C Skl (κ) = Z l S k, hvor Z l er en cyklisk gruppe af orden l. Vi antager, at κ =(a 11,a 12,,a 1l )(a 21,a 22,,a 2l ) (a k1,a k2,,a kl ), hvor a ij erne er forskellige tal mellem 1 og kl. Når ϕ S kl er ϕκϕ 1 =(ϕ(a 11 ),ϕ(a 12 ),,ϕ(a 1l )) (ϕ(a k1 ),ϕ(a k2 ),,ϕ(a kl )). 11

Derfor er ϕ C(κ) =C Skl (κ) hvis og kun hvis cykelmængderne og {(a 11,a 12,,a 1l ),, (a k1,a k2,,a kl )} {(ϕ(a 11 ),ϕ(a 12 ),,ϕ(a 1l )),, (ϕ(a k1 ),ϕ(a k2 ),,ϕ(a kl ))} er identiske. Det betyder, at hvis ϕ C(κ) og vi kender ϕ(a i1 ), så er også ϕ(a i2 ),,ϕ(a il ) fastlagte, idet rækkefølgen i cyklerne skal respekteres: Hvis ϕ(a i1 )=a i j hvor 1 i k og 1 j l, såmå ( ) ϕ(a ij )=a i (j +j 1) for 1 j l, hvor det andet indeks regnes modulo l. Et element ϕ C(κ) eraltsåhelt fastlagt ved ϕ(a 11 ),ϕ(a 21 ),,ϕ(a k1 ). Da a 11,a 21,,a k1 alle er i forskellige cykler i κ,må også ϕ(a 11 ),ϕ(a 21 ),,ϕ(a k1 ) være i forskellige cykler. På den anden side vil ethvert valg af ϕ(a 11 ),ϕ(a 21 ),,ϕ(a l1 ) i forskellige cykler levere et element i C(κ) ved hjælp af( ) ovenfor. Givet π S k kan vi specielt definere dets duplikeringselement (π) C(κ) vedat ( ) (π)a i1 = a π(i)1 1 i k. (Ifølge ( ) gælder også (π)a ij = a π(i)j for alle i, j). Lad nu ϕ C(κ) være fastlagt ved at ( ) ϕ(a i1 )=a π(i)ti for 1 i k. Her er 1 t i l for alle i. Da ϕ(a 11 ),,ϕ(a k1 ) er forskellige cykler, er π en permutation af 1,,k,altså π S k. Ifølge definitionen af (π 1 )fås så fra ( ) og( ) (π 1 )ϕ(a i1 )=a iti. Det er klart, at (π 1 )= (π) 1, idet er en homomorfi S k C(κ). Lad os sætte ψ = (π 1 )ϕ = (π) 1 ϕ.viharså, at ψ(a i1 )=a iti for 1 i k. Lad os betegne cyklerne i κ med z 1,,z k,altså z i =(a i1,a i2,,a il ). 12

Da disjunkte cykler er ombyttelige, er det klart, at z i C(κ) for alle i. Derfor er også elementetψ defineret ved Nu er for 1 i k ψ = z t 1 1 1 z t 2 1 2 z t k 1 k C(κ). ψ (a i1 )=z t i 1 i (a i1 )u (overvej dette) = a iti (overvej igen!) Vi kan altså slutte, at ψ = ψ og får et Hvis vi definerer en afbildning ϕ = (π) z t 1 1 1 z t k 1 k. α : Z k S k C(κ) ved at α(π; s 1,,s k )= (π) z s 1 1 zs k k, hvor s i erne regnes modulo l = z i,såerα surjektiv ifølge det ovenstående. Det er let at se, at α er en homomorfi, og at kernen af α er triviel. Dermed er α en isomorfi. Sammenfattende kan vi altså sige, at hvis man vil opfatte G A, hvorg S m og A S n, som undergruppe af S mn,ladermanden kopier af G i G = G G (n gange) operere på parvis disjunkte delmængder af {1,,mn}, hvor hver af disse delmængder har m elementer. Ved duplikering blæses elementerne i A op til at permutere de n disjunkte delmængder, som G erne opererer på. Om undergrupper i et direkte produkt I dette afsnit angives en algoritme til i pricippet at bestemme alle undergrupper i et direkte produkt af to grupper. Denne algoritme findes sædvanligvis ikke i lærebøger om gruppeteori, selv om den faktisk er relativ enkel. 13

Lad G og H være grupper og X = G H det direkte produkt af G med H. Betragt følgende mængde af 5-tupler: U(G, H) ={(G 1,G 2,H 1,H 2,ϕ)} hvor G 2 G 1 G er undergrupper i G, H 2 H 1 H undergrupper i H, og ϕ en gruppeisomorfi ϕ : G 1 /G 2 H 1 /H 2. Hvis T =(G 1,G 2,H 1,H 2,ϕ) U(G, H) sættes U T = {(g, h) G H g G 1,h H 1 og ϕ(gg 2 )=hh 2 }. Her opfattes gg 2 (hhv. hh 2 ) som element i G 1 /G 2 (hhv. H 1 /H 2 ). (4N) Sætning: Afbildningen T U T er en bijektion mellem mængden U(G, H) og mængden af undergrupper af G H. Bevis: Lad os først bemærke, at hvis T U(G, H), så er U T en undergruppe af G H: Hvis (g, h), (g 1,h 1 ) U T gælder ϕ(gg 2 )=hh 2 og ϕ(g1 1 G 2)= h 1 1 H 2,daϕ er en homomorfi. Heraf fås også at ϕ(gg 1 1 G 2 )=ϕ(gg 2 )ϕ(g 1 1 G 2 )=hh 2 h 1 1 H 2 = hh 1 1 H 2 så(gg 1 1,hh 1 1 )=(g, h)(g 1,h 1 ) 1 U T. Det er også klart, at hvis T,T U(G, H) ogt T (altså hvis mindst én af de fem koordinater i T og T er forskellig), så eru T U T. Lad nu U være en undergruppe af G H. Vi viser, at der findes T U(G, H), således at U = U T.Sæt G 1 = {g G Der findes h H, så g, h) U} G 2 = {g G (g, 1) U} H 1 = {h H Der findes g G, så(g, h) U} H 2 = {h H (1,h) U}. Det er klart at G 1,G 2 er undergrupper af G, ogh 1,H 2 er undergrupper af H og G 2 G 1, H 2 H 1. Antag nu, at h H 1, x H 2. Vælg g G, så(g, h) U. Vi har også (1,x) U såvifår (g, h)(1,x)(g, h) 1 =(1,hxh 1 ) U, 14

dvs. hxh 1 H 2.DermederH 2 H 1 (og analogt G 2 G 1 ). Antag at g G, ogath, h 1 H begge opfylder (g, h) U, (g, h 1 ) U. Fra definitionen af H 1 fås h, h 1 H 1. Endvidere er også g G 1. Vi har (g, h) 1 (g, h 1 )=(1,h 1 h 1 ) U, så h 1 h 1 H 2.HermederhH 2 = h 1 H 2.Vi ser at der ved ψ : g hh defineres en afbildning fra G 1 H 1 /H 2. Det er klart, at denne afbildning er en homomorfi. Hvis x ker(ψ), så eksisterer et h 2 H 2,så(x, h 2 ) U. Da(1,h 2 ) U (fordi h 2 H 2 )fås (x, 1) U, altså x G 2. Det er også letatse,atψ er surjektiv. Ifølge den 1. isomorfisætning for grupper inducerer ψ en isomorfi ϕ : G 1 /G 2 H 1 /H 2 og vi får så umiddelbart, at U = U T,hvorT =(G 1,G 2,H 1,H 2,ϕ) U(G, H). (4O) Bemærkning: Lad (G 1,G 2,H 1,H 2,ϕ)=T U(G, H) somovenfor. Der gælder U T = G 1 H 2 = G 2 H 1, hvis grupperne er endelige. (Overvej dette!) (4P) Bemærkning: En speciel klasse af undergrupper af G H er dem på formen G 1 H 1, G 1 undergruppe i G, H 1 undergruppe i H. Det tilsvarende T U(G, H) erså (G 1,G 1,H 1,H 1, 1). Generaliseringen af (4N) til et direkte produkt af tre eller flere undergrupper er meget mere besværlig end man måske umiddelbart skulle tro! 15