Trekantsberegning for - og - niea i stx og hf dgae 3 l 34 8 016 Karsten Jl
Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for inkler... 1. Omkreds, areal, häjde... 1.1 Omkreds... 1. Rektangel... 1.3 Kadrat... 1.4 HÄjde.... HÄjde-grndlinje-formel for trekants areal....6 Eksemel hor areal er kendt....7 HÄjde der ikke er tegnet... 3. Pythagoras såtning... 3 3.1 Katete og hyotense... 3 3. Pythagoras' såtning... 3 3.3 estem katete med Pythagoras' såtning... 3 3.4 estem hyotense med Pythagoras' såtning... 3 4. Srogbrg... 4 4.1 ModstÇende inkel eller side... 4 4. etegnelse for modstçende inkel eller side... 4 4.3 Ord for siderne i en retinklet trekant... 4. Ensinklede trekanter....1 Ord og metoder i ogaer om ensinklede trekanter.... Simel ogae om ensinklede trekanter....3 Sammensat ogae om ensinklede trekanter... 6 6. osins, sins, tangens og Nsire... 6 7. osins, sins og tangens i retinklet trekant... 7 7.1 De tre regler for cosins, sins og tangens i retinklet trekant... 7 7. Eksemler Ç dregninger med cos, sin og tan i retinklet trekant... 8 8. Sinsformlen for areal af trekant... 9 8.1 Sinsformlen for areal af trekant... 9 8. eis for sinsformlen for areal af trekant... 9 8.3 Eksemler Ç brg af sinsformlen for areal af trekant... 9 9. Sinsrelationen... 10 9.1 Sinsrelationen... 10 9. eis for sinsrelationen... 10 9.3 estem inkel med sinsrelationen... 10 9.4 estem side med sinsrelationen... 10 9. Ogae med to läsninger... 11 10. osinsrelationen... 1 10.1 osinsrelationen... 1 10. eis for cosinsrelationen... 1 10.3 eis for cosinsrelationen, -niea... 13 10.4 estem inkel med cosinsrelationen... 14 10. estem side med cosinsrelationen... 14
11. Nogle begreber... 1 11.1 HÄjde... 1 11. Median... 1 11.3 Vinkelhaleringslinje... 1 11.4 Nogle betegnelser... 1 1. Sammensat ogae... 16 13. KadratsÅtninger... 16 De 11 ogaetyer med sider og inkler i retinklet trekant... 17 De 4 formler til dregning af sider og inkler i retinklet trekant... 18 De 4 ogaetyer i läser ed hjål af cosinsrelationen eller sinsrelationen... 19 De 3 ogaetyer med sinsformlen for trekants areal... 0 De 3 formler for ilkçrlig trekant... 0 Tidligere ersioner af dette häfte kan downloades fra htt://mat1.dk/noter.htm. I fålgende häfte er der Åelser, men ikke alle er releante for brgerne af närärende häfte. htt://mat1.dk/oeelser_til_haeftet_kortfattet_trekantsberegning_for_gymnasiet_og_hf.df Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf, dgae 3 Ç 016 Karsten Jl. Nyeste dgae af dette häfte kan downloades fra htt://mat1.dk/noter.htm. HÄftet mé benyttes i nderisningen his läreren med det samme sender en e-mail til kj@mat1.dk som olyser at dette häfte benyttes, og olyser hold, niea, lärer og skole. 1/8-016
1. Vinkler. 1.1 Regler for inkler. 1.1 a 1.1 b 1.1 c 180 180 90 180 1.1 d 1.1 e 1.1 f r I en trekant er de tre inkler altid 180 tilsammen: r 180 r 180 I ligebenet trekant er inkler ed grndlinje lige store, ds. nçr = er =. l m His l og m er arallelle, er =. 1.1 g = 1.1 h w = + = w 1.1 i En inkel i en trekant er sids his den er nder 90 ret his den er 90 stm his den er oer 90.. Omkreds, areal, häjde..1 Omkreds. Udregn omkreds sçdan: LÅg siderne sammen. Ds. Omkreds = a+b+c+d+e EMÉRK: f er ikke med i omkredsen. Et linjestykke inden i figren er ikke en side og härer ikke med til omkredsen.. Rektangel. Udregn rektangels omkreds sçdan: LÅg siderne sammen. Ds. Omkreds = l+b+l+b = l+b Udregn rektangels areal sçdan: LÅngde gange bredde. Ds. real = lb.3 Kadrat. Udregn kadrats omkreds sçdan: LÅg siderne sammen. Ds. Omkreds = s+s+s+s = 4s Udregn kadrats areal sçdan: Side gange side. Ds. real = ss = s Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 1 016 Karsten Jl
.4 HÄjde. HÅjden fra er det linjestykke der gér fra og inkelret ind É den modstéende side. HÅjden fra gér inkelret ind É den modstéende sides forlängelse. Siden er håjden fra.. HÄjde-grndlinje-formel for trekants areal. For trekanter gålder: areal = 1 häjde grndlinje Trekants areal = En af håjderne i trekanten. 1 da Grndlinje, ds. den af siderne der er inkelret É den algte håjde. a c d b Formlen brges ikke kn til at bestemme areal. His i kender to af tallene areal, håjde og grndlinje, sé kan i bestemme det sidste af tallene..6 Eksemel hor areal er kendt. real = 10 = 1 häjdegrndlinje 1 h 8 19, 8 h areal 10 1, LÄsning af ligningen den hjålemidler: 10 1 h 10 h 14 8 10 14 h 14 14 7, h h 7, LÄsning af ligningen med hjålemidler:.7 HÄjde der ikke er tegnet. Ogae: Figren iser en gal. estem häjden af galen. 17m 19 m 6 m 8 9 Sar: Vi tegner den iste häjde h. Vi ser Ç den retinklede trekant. f reglen for sins i retinklet trekant fçr i h = 6sin(9) Se 7.1 b Ds. h =,863 Galens häjde er m. h 9 6 m Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 016 Karsten Jl
3. Pythagoras' såtning. 3.1 Katete og hyotense. Siderne og ertrekantens kateter. Det kan i se fordi inklen imellem og er ret. Siden r er hyotensen. Det kan i se fordi r ikke er en af kateterne. darsel: His en trekant ikke er retinklet, sç har den herken hyotense eller kateter. r 3. Pythagoras' såtning. Pythagoras såtning som formel For en retinklet trekant gålder: nçr og er kateter, og r er hyotense. Pythagoras såtning i ord r GÄlder kn i retinklet trekant. Den ene katete i anden ls den anden katete i anden er hyotensen i anden. r 3.3 estem katete med Pythagoras' såtning. Vi ser: kateterne er a og 6 hyotensen er 10 Derfor er a 6 10 LÄsning af ligningen den hjålemidler: a 10 6 a 10 6 da 0<a a a 64 8 6 10 a LÄsning af ligningen med hjålemidler: 3.4 estem hyotense med Pythagoras' såtning. Vi ser: kateterne er og 1 hyotensen er t Derfor er 1 t LÄsning af ligningen den hjålemidler: 1 t 1 t da 0<t 169 t t 13 1 t LÄsning af ligningen med hjålemidler: Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 3 016 Karsten Jl
4. Srogbrg. 4.1. ModstÇende inkel eller side. er modstçende inkel til siden l, og l er modstçende side til inklen, fordi l ikke städer o til. Vi ser at m og n städer o til, sç m og n er ikke modstçende til. l w m er modstçende til m. w er modstçende til n. n 4. etegnelse for modstçende inkel eller side. His der stçr i trekant DEF er f 14 gålder det er siden oer for inkelsidsen F der er 14. Srogbrgen er nemlig sçdan at nçr et stort bogsta er en inkelsids i en trekant, gålder det tilsarende lille bogsta er siden oer for inkelsidsen, D f E e d F his der ikke fremgçr andet. Eksemel Ç dnyttelse af denne srogbrg: I en trekant hor inkel er ret, er a b c. darsel: Se figr til häjre. Det dr ikke his d skrier m =,6. LÅseren kan ikke ide om det er eller der er,6. Skri m Ç den side d mener. D skal altid tegne en skitse i en geometriogae. M 4.3 Ord for siderne i en retinklet trekant. Siden er en katete fordi den städer o til den rette inkel. Siden r er hyotensen fordi den ikke städer o til den rette inkel. Siden er den hosliggende katete til inkel fordi er den af kateterne der städer o til inkel. Siden er den modstçende katete til inkel fordi er den af kateterne der ikke städer o til inkel. darsel: Ordene katete og hyotense kan kn brges i en retinklet trekant. r Eksemler r d n 8 k 63 w t g r er hosliggende katete til n er hosliggende katete til w h er modstçende katete til inklen Ç 63 t er modtçende katete til d er modtçende katete til w Hyotensen er 8 g er hyotense 7 h Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 4 016 Karsten Jl
. Ensinklede trekanter..1 Ord og metoder i ogaer om ensinklede trekanter. PÇ figren har jeg brgt ber til at ise hilke inkler der er lige store: De to inkler med dobbeltber er lige store. De to inkler med enkeltber er lige store. De to sidste inkler mç sç Åre lige store da inklerne i en trekant tilsammen er 180. t de to trekanter har samme inkler, dtrykker i ed at sige at trekanterne er ensinklede. Regel: NÇr to trekanter har samme inkler, er der en skalafaktor. NÇr i ganger siderne i den ene trekant med skalafaktoren, sç fçr i siderne i den anden trekant. PÇ figren har jeg ist at jeg har algt at kalde skalafaktoren k, og at jeg har algt at det er siderne i enstre trekant der skal ganges med skalafaktoren. (1) 0k = 8 da siderne der er 0 og 8 har lige store modstçende inkler (dobbeltber). () 47k = da siderne der er 47 og har lige store modstçende inkler (ingen ber). (3) nk = 46, da siderne der er n og 46, har lige store modstçende inkler (enkeltber). f (1) fçr i k = 8 = 1,4 Vi har n dregnet k og kan brge k til at dregne og n. 0 f () fçr i = 471,4 = 6,8 46, f (3) fçr i n = = 33 1,4. Simel ogae om ensinklede trekanter. Ogae Trekanterne og DEF Ç figren er ensinklede. estem d og c. Sar Trekanterne er ensinklede, sç der er der en skalafaktor som i ganger sider i med for at fç sider i DEF. c 6 4 D 9 1 F NÉr der i ogaen stér ordet ensinklede, skal i normalt dregne en skalafaktor. d E 6 = 9 da siderne der er 6 og 9, har ens modstçende inkler. = 1, Vi har diideret begge sider med 6. Vi har n dregnet og kan brge til at dregne d og c. 4 = d da siderne der er 4 og d, har ens modstçende inkler. 41, = d d =.6. c = 1 da siderne der er c og 1, har ens modstçende inkler. c 1, = 1 c =.8. Vi har diideret begge sider med 1,. Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 016 Karsten Jl
.3 Sammensat ogae om ensinklede trekanter. Ogae PÇ figren er arallel med DE. estem E. 1 E 1 Sar Da er arallel med DE, er trekanterne og DE ensinklede, sç der er en skalafaktor k. Udregning af k : k 1 k 1 k 3 da siderne der er og 1, har samme modtçende inkel. Vi har n dregnet k og kan brge k til at dregne. D Ved hjäl af reglerne for ensinklede trekanter kan i dregne längder af sider i trekanterne, men E er ikke side i en af trekanterne. Vi dregner derfor fårst. SÉ kan i derefter dregne E ed at träkke fra 1. Udregning af : 3 1 3 1 3 3 7 Udregning af E : E E 1 7 14 da og siden der er 1, har ens modstçende inkler. 6. osins, sins, tangens og Nsire. I mange ogaer med trekanter har i brg for at regne med noget der hedder cosins, sins og tangens. I et matematikfelt i et noteinde i Nsire taster i cos(6) og ctrl-enter (cmd-enter Ç Mac) : NÇr i låser denne ligning, siger i: cosins til 6 er 0,898794. Flere dregninger: NÇr i låser disse ligninger, siger i sins til 138 er 0,669131 og tangens til 1, er 0,71694. His er en inkel i en trekant og 7cos() = 4, sç skal i läse denne ligning. Ligningen har mange ositie og negatie läsninger, men da er en inkel i en trekant, skal i kn finde läsninger mellem 0 og 180. Nsire läser ligningen 7cos() = 4 mht. for 0<<180 og fçr =,101. His er en inkel i en retinklet trekant, skal i kn finde läsninger mellem 0 og 90. HUSK: Oer sole-linjen skrier i med sädanligt matematiksrog had der foregér i solelinjen. HUSK altid: HÅjreklik, ttribtter, Grader for at Äre helt sikker. Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 6 016 Karsten Jl
7. osins, sins og tangens i retinklet trekant. 7.1 De tre regler for cosins, sins og tangens i retinklet trekant. NÇr sç gålder: er en sids inkel i en retinklet trekant r er hyotensen er ' s hosliggende katete er ' s modstçende katete 7.1 a r cos( ) ds. hyotense gange cos() er 's hosliggende katete 7.1 b r sin( ) ds. hyotense gange sin() er 's modstçende katete 7.1 c tan( ) ds. 's hosliggende katete gange tan() er 's modtçende katete I mange tilfålde hedder inklen og siderne noget andet end,,, r. Derfor er det ofte en fordel at dtrykke reglerne i ord som i har gjort til enstre for formlerne. Se TYPE 1-9 side 16-17. r Her er fire billeder af samme trekant: f de tre regler 7.1 a-c fçr i at fälgende seks formler gålder for trekanten anset hordan den ender: r cos( ) r cos( ) r sin( ) r sin( ) tan( ) tan( ) NÇr d skal regne en ogae med kendte tal: IndsÅt de kendte tal i en af formlerne. His bogstaet i skal finde, stçr alene Ç den ene side af lighedstegnet: Udregn den anden side af lighedstegnet. Ellers: rg sole. I ramme 7. er ist hordan sçdanne besarelser ser d. Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 7 016 Karsten Jl
7. Eksemler Ç dregninger med cos, sin og tan i retinklet trekant. 7. a Ogae estem inkel. Sar f den retinklede trekant D fçr i 6sin( ). Nsire läser ligningen 6sin( ) mht. for 0 90 og fçr 6, 447 6,4. 6 0 7. b Ogae estem. Sar f den retinklede trekant D fçr i cos( 0). D Nsire läser ligningen cos( 0) mht. for 0 og fçr 7, 7786 7,78. 7. c Ogae 30 meter fra et trå sigter i o mod toen. Vinklen mellem sigtelinje og andret er. Trekanten til häjre er en model af denne sitation. estem tråets häjde. Sar f denne retinklede trekant fçr i 30 tan() h. TrÅets häjde er 38 m. h 30 Enhed: meter 7. d Ogae Et nkt D ligger Ç siden i den retinklede trekant. estem D. Sar Vinkel D i trekant D er da inkelsm i trekant er 180. Vinkel D i trekant D er da de to inkler tilsammen er en hal omgang D = 1, ifälge reglen for cos i retinklet trekant 7. e Ogae Rektanglets areal er 6. estem rektanglets omkreds. Sar b h 6 b tan( 33,69) h Nsire läser ligningssystemet da rektangels areal dregnes som bredde gange häjde. ifälge reglen for tangens i retinklet trekant. b h 6 og b tan( 33,69) h mht. b og h for b > 0 og h > 0 og fçr b = 3,00000 og h =,00000 (matematikfeltet er indstillet til 6 cifre). Rektanglets omkreds er b+h = 10,00. Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 8 016 Karsten Jl
8. Sinsformlen for areal af trekant. 8.1 Sinsformlen for areal af trekant. Sinsformlen for areal af trekant er T 1 sin( ) hor T er arealet, og er to sider i trekanten, og er inklen mellem disse sider. T Formlen brges ikke kn til at bestemme areal. His i kender tre af tallene T,, og, sé kan i bestemme det sidste af tallene. Sinsformlen for areal af trekant dtrykt i ord: real af trekant = 1 den ene side den anden side sins til inklen imellem de to sider. 8. eis for sinsformlen for areal af trekant. PÇ figren tegner i en häjde h der deler trekanten o i to deltrekanter. areal = 1 grndlinje häjde T = 1 h T = 1 sin() Dette er häjde-grndlinje-formelen for trekants areal. PÇ figren ser i at og h er grndlinje og häjde. da sin() = h ifälge regel for sin i retinklet trekant (brgt Ç enstre deltrekant). Dette er sinsformlen for trekants areal, sç i har beist at den gålder. h 8.3 Eksemler Ç brg af sinsformlen for areal af trekant. Ogae realet af trekant D er 31,6. estem långden af D. estem arealet af trekant D. Sar Da areal af trekant D er 31,6, fçr i af sinsformlen for areal af trekant: 31,6 = 0, D sin(110). Nsire läser ligningen 31,6 = 0, D sin(110) mht. D og fçr D = 13,41 13, D 110 9 3 f trekant D og sinsformlen for areal af trekant fçr i: real af trekant D er Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 9 016 Karsten Jl
9. Sinsrelationen. 9.1 Sinsrelationen. Sinsrelationen gålder i alle trekanter og siger at hor sin( ) sin( ) siden er modstçende til inklen siden er modstçende til inklen Vi brger IKKE sinsrelationen i retinklet trekant, da i har simlere formler til retinklet trekant. 9. eis for sinsrelationen. PÇ figren har i tilfäjet en häjde h, der deler trekanten i to trekanter. Da disse er retinklede, er sin( ) h og sin( ) h. sin( ) sin( ) da begge sider er lig h. sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) Vi har diideret begge ligningens sider med sin( ) sin( ) Vi har forkortet de to bräker. Dette er sinsrelationen, sç i har beist at den gålder. h. 9.3 estem inkel med sinsrelationen. Ogae estem inklen Ç figren. Sar 34 34 f sinsrelationen fçr i sin( ) sin(110). Nsire läser ligningen 34 mht. for sin( ) sin(110) 0 180 og fçr 37, 9094 eller 14, 091 ds. = 37,9 for mç Åre mindre end 90 da en af de andre inkler er oer 90. 110 9.4 estem side med sinsrelationen. Ogae estem siden b Ç figren. Sar Vi fçr brg for siden b 's modstçende inkel: = stér den for matematikfeltet. ttribtter skal Äre = og grader. TilfÅj efter facit. b 6 f sinsrelationen fçr i: sin( 48) sin(10) 7 b 6 Nsire läser mht. b for 0b og fçr b 4, 61616. Ds.: b = 4,6 sin( 48) sin(10) 6 10 Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 10 016 Karsten Jl
9. Ogae med to läsninger. Ogaen I trekant er (* ) 34, a og c 8. Vi il dregne inkel. Skitsen Vi tegner en skitse: Udregningen Vi såtter ind i sinsrelationen: 8 sin(34) sin( ) Nsire läser denne ligning mht. for 0 180 og fçr: 63, eller 116, De to trekanter Det iser sig at der er to trekanter der ofylder (*). I den ene af disse trekanter er 63,, og i den anden er 116,. Vi il tegne de to trekanter. FÄrst tegner i og inkel. 34 l 8 Pnktet ligger Ç l, og afstanden fra til er. Derfor tegner i en cirkel med centrm og radis : N har i de to trekanter. l 34 8 Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 11 016 Karsten Jl
10. osinsrelationen. 10.1 osinsrelationen. osinsrelationen gålder i alle trekanter og siger at hor r cos( ), og r er trekantens sider siden r er modstçende til inklen Vi brger IKKE cosinsrelationen i retinklet trekant, da i har simlere formler til retinklet trekant. 10. eis for cosinsrelationen. I ramme 10.3 stçr et beis der er beregnet for -niea. PÇ figren har i tilfäjet en häjde. Vi brger ythagoras Ç den häjre af de to retinklede trekanter og fçr: r = h + n m h n r I denne ligning erstatter i h med m (ythagoras brgt Ç den enstre af de to retinklede trekanter, se (1) nedenfor), og i erstatter n med m (da m og n tilsammen er ). SÇ fçr i r = m + ( m) Heri erstatter i m med cos() og fçr r = (cos()) + ( cos()) (Venstre trekant: hyotense gange cos er inkels hosliggende katete, se () nedenfor). Nsire redcerer häjre side og fçr r = + cos() (se (3) nedenfor) Dette er cosinsrelationen som hermed er beist. emårkninger (1) m +h = er ythagoras brgt Ç den enstre af de to retinklede trekanter. h = m i har trkket m fra begge sider. () I den enstre af de to retinklede trekanter ser i at er hyotense m er hosliggende katete til inklen sç cos() = m da hyotense gange cosins til inkel er lig inkels hosliggende katete. (3) NÇr Nsire redcerer, ser det sçdan d: Vi ser at Nsire fçr samme tre led som i har skreet, men Nsire skrier de tre led i en anden råkkefälge. De tre led er, og. Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 1 016 Karsten Jl
10.3 eis for cosinsrelationen. -niea Had er cosins? osins er en fnktion der er indbygget i matematikrogrammer. Forbindelsen mellem cosins og trekantsberegning er fastlagt ed fälgende tre regler: (1) NÇr er en sids inkel i en retinklet trekant r er hyotensen er ' s hosliggende katete sç gålder: ds. r cos( ) hyotense gange cos() er 's hosliggende katete () NÇr og tilsammen er 180 sç gålder: cos() = cos() (3) cos(90) = 0 eis nçr häjden falder inden for trekanten PÇ figren har i tilfäjet en häjde h. HÄjden deler trekanten i to retinklede trekanter. LÅngden af denne katete kalder i m. SÇ mç långden af denne katete Åre m. Den häjre retinklede trekant har kateter h og m og hyotense r. Den enstre retinklede trekant har kateter h og m og hyotense. Vi brger ythagoras Ç her af disse trekanter og fçr h = r ( m) og h = m. De to häjresider er begge lig h, sç de er lig hinanden: r ( m) = m r = m +( m) Vi har lagt ( m) til begge sider. r = m + +m m Vi har omskreet ( m) ed brg af en af kadratsåtningerne. r = + m m og m gçr d mod hinanden. (4) r = + cos() Regel for cosins i retinklet trekant brgt i enstre trekant gier cos() = m. Ligningen (4) er cosinsrelationen som hermed er beist i det tilfålde hor häjden falder inden for trekanten. Ramme 10.3 fortsätter É näste side. Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 13 016 Karsten Jl
eis nçr häjden falder den for trekanten Vi har tilfäjet en häjde h sç der fremkommer en stor og en lille retinklet trekant. Den lille retinklede trekant har kateter h og m og hyotense. Den store retinklede trekant har kateter h og +m og hyotense r. Vi brger ythagoras Ç her af disse trekanter og fçr h = r (+m) og h = m. De to häjresider er begge lig h, sç de er lig hinanden: r (+m) = m r = m +(+m) Vi har lagt (+m) til begge sider. r = m + +m +m Vi har omskreet (+m) ed brg af en af kadratsåtningerne. r = + +m m og m gçr d mod hinanden. r = + +cos() Regel for cosins i retinklet trekant brgt i enstre trekant gier cos() = m. r = + +( cos()) Da og tilsammen er 180, er cos() = cos(). () r = + cos() Ligningen () er cosinsrelationen som hermed er beist i det tilfålde hor häjden falder den for trekanten. 10.4 estem inkel med cosinsrelationen. Ogae estem inklen Ç figren. Sar f cosinsrelationen fçr i: 3,,4 6,0,4 6,0 cos( ) 3,,4 Nsire läser ligningen 3,,4 6,0,4 6,0 cos( ) mht. for 0 180 og fçr 3, 09. Ds.: = 3,1. 6,0 10. estem side med cosinsrelationen. Ogae estem siden Ç figren. Sar f cosinsrelationen fçr i: = 8 + 4 84cos(9) Nsire läser ligning = 8 + 4 84cos(9) mht. for 0 og fçr 1, 9663. Ds.: =,0. 4 9 8 Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 14 016 Karsten Jl
11. Nogle begreber. 11.1 HÄjde. En häjde i en trekant er et linjestykke der gçr fra en inkelsids til et nkt Ç den modstçende side og er inkelret Ç denne side. I enher trekant er der tre häjder. PÇ figren er ist häjden ha fra Ç siden a. F.eks.: His det i en ogae er olyst at D er häjden Ç (se figr), sç har d fçet olyst at inkel D er ret. SÇ kan d brge reglerne for retinklet trekant. h a D 11. Median. En median i en trekant er et linjestykke der gçr fra en inkelsids til midtnktet af den modstçende side. I enher trekant er der tre medianer. D PÇ figren er ist medianen mb fra Ç siden b m b His det i en ogae er olyst at D er median Ç (se figr), sç har d fçet olyst at D og D er lige lange: F.eks.: His d kender D eller kan dregne D, sç kan d dregne ed at gange D med. F.eks.: His d kender eller kan dregne, sç kan d dregne D ed at diidere med. 11.3 Vinkelhaleringslinje. En inkelhaleringslinje i en trekant er en linje der gçr gennem en af inkelsidserne og halerer inklen. I enher trekant er der tre inkelhaleringslinjer. PÇ figren er ist inkelhaleringslinjen for inkel. w w His det i en ogae er olyst at D er inkelhaleringslinje for inkel D (se figr), sç har d fçet olyst at inklerne og er lige store: F.eks.: His d kender eller kan dregne, sç kan d dregne inkel i trekant ed at gange med. F.eks.: His d kender inkel i trekant eller kan dregne den, sç kan d dregne inkel ed at diidere inkel med. 11.4 Nogle betegnelser. er inkel i trekant. Eksemel: PÇ figren er RSQ. S R er linjestykket med endenkter og. er långden af linjestykket. Eksemel: PÇ figren er PQ og PS ikke samme linjestykke, men PQ PS. I en trekant betegner, og bçde nkter og inkler. Eksemel: Man kan skrie P 90 eller P 90. P Q Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 1 016 Karsten Jl
1. Sammensat ogae. En grndogae i trekantsberegning kan d läse ed at finde ogaen i oersigten side 16-19. En sammensat ogae kan d ikke läse ed at finde ogaen i en lårebog da der er alt for mange mligheder. Meningen med en sammensat ogae er at d skal se hordan d kan läse den ed hjål af grndogaer. I mange sammensatte ogaer er der tegnet et linjestykke som deler en trekant o i to deltrekanter. For at finde d af had d skal gäre, kan d tegne de tre trekanter her for sig og skrie tal og bogstaer Ç dem. NÇr d har tegnet de tre trekanter, ser d om der er en af dem hor d kan regne noget d. His det d har regnet d, ogsç er en side eller inkel i en af de andre trekanter, sç skrier d ogsç resltatet her. Det er isår igtigt at tegne den store trekant da det iser sig at linjen inden i den er distraherende nçr man regner Ç den store trekant. 13. KadratsÅtninger. De tre kadratsåtninger: Kadratet Ç en sm: Kadratet Ç en differens: ( a b) a b ab ( a b) a b ab To tals sm gange samme tals differens: ( a b)( a b) a b Srogbrg: kadratet Ç et tal = tallet oläftet til anden. Eksemel: kadratet Ç 4 = 16 og kadratet Ç 3x = 9x. Eksemler Ç brg af kadratsåtningerne: Kadratet Ç en sm: (3x ) (3x) 3x 9x 30x ( a b) a b a b Kadratet Ç en differens: (3x ) (3x) 3x 9x 30x ( a b) a b a b To tals sm gange samme tals differens: (3x ) (3x ) (3x) ( a b) ( a b) a b 9x Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 16 016 Karsten Jl
De 11 ogaetyer med sider og inkler i retinklet trekant I trekanten til häjre er siderne med långde 3 og 4 kateter, fordi inklen mellem dem er ret. Siden med långde er hyotense, fordi den ikke er en af kateterne. Forestil dig at d sidder i den sidse inkel og holder i de to inkelben. Den katete d holder i, er inklens hosliggende katete. Den anden katete er inklens modstçende katete. 4 3 Tye 1 Tye Tye 3 Hyotensen og en sids inkel. Vinklens hosliggende katete. cos(37) t Nsire dregner enstre side inklens hosliggende katete sids inkel hyotensen En sids inkel og dens hosliggende katete. Hyotensen. t cos( 37) 4 Nsire läser mht. t inklens hosliggende katete sids inkel hyotensen Hyotensen og en katete. Vinklen mellem disse. cos( ) 4 Nsire läser mht. for 0 90 37 t t 37 4 inklens sids inkel hyotensen hosliggende katete 4 Tye 4 Tye Tye 6 Hyotensen og en sids inkel. Vinklens modstçende katete. sin (37) Nsire dregner enstre side En sids inkel og dens modstçende katete. Hyotensen. t sin ( 37) 3 Nsire läser mht. t Hyotensen og en katete. Katetens modstçende inkel. sin ( ) t inklens sids inkel hyotensen inklens sids inkel hyotensen 3 modstçende katete modstçende katete Nsire läser mht. for inklens modstçende katete sids inkel hyotensen 0 90 37 t 37 t 3 3 Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 17 016 Karsten Jl
Tye 7 Tye 8 Tye 9 En sids inkel og dens hosliggende katete. Vinklens modstçende katete. 4 tan(37) Nsire dregner enstre side En sids inkel og dens modstçende katete. Vinklens hosliggende katete. t tan( 37) 3 Nsire läser mht. t De to kateter. En sids inkel. 4 tan( ) 3 t inklens modstçende katete sids inkel inklens hosliggende katete inklens modstçende katete sids inkel inklens hosliggende katete Nsire läser mht. for inklens modstçende katete sids inkel inklens hosliggende katete 0 90 37 37 4 t 4 t 3 3 Tye 10 Tye 11 De to kateter. Hyotensen. 3 4 t hyotense kateter Nsire läser mht. t for Hyotensen og en katete. Den anden katete. t 4 Nsire läser mht. t for hyotense kateter 0 t 0 t t 4 4 3 t De 4 formler til dregning af sider og inkler i retinklet trekant Her af de 11 metoder oenfor brger en af fälgende fire formler: I en retinklet trekant gålder (1) den_ene_katete + den_anden_katete = hyotensen For en sids inkel i en retinklet trekant gålder: () hyotensen cos( inkel ) = inklens_hosliggende_katete (3) hyotensen sin( inkel ) = inklens_modstående_katete (4) inklens_hosliggende_katete tan( inkel ) = inklens_modstående_katete Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 18 016 Karsten Jl
De 4 ogaetyer i läser ed hjål af cosinsrelationen eller sinsrelationen Tye 1: Udregn side med cosinsrelationen Trekanten er ikke retinklet. En inkel mellem to sider og disse to sider. Siden oer for inklen. altid 6 6 cos(41,4) inklensben siden oer for inklen Nsire läser ligningen mht. for 0 6 41,4 Tye 13: 4 Udregn inkel med cosinsrelationen Trekanten er ikke retinklet. De tre sider. Vinklen. altid 6 6 cos( ) inklensben siden oer for inklen Nsire läser ligningen mht. for 0 180 4 6 Tye 14: Udregn side med sinsrelationen Trekanten er ikke retinklet. En side og to inkler. En af de andre sider. sin( 41.4) sin( 8.8 6 ) siden der er 6 enheder, ligger oer for inklen der er 8,8 siden der er enheder, ligger oer for inklen der er 41,4 Nsire läser ligningen mht. for 0 41,4 His det ar siden oer for den kendte inkel i sklle finde, sç mçtte i färst dregne denne inkel ed at dnytte at smmen af de tre inkler er 180. 8,8 6 Tye 1: Udregn inkel med sinsrelation Trekanten er ikke retinklet. To sider og inklen oer for en af dem. Vinklen oer for den anden af de to sider. 4 8,8 sin( 4 ) sin( 8,8 6 ) siden der er 6 enheder, ligger oer for inklen der er 8,8 siden der er 4 enheder, ligger oer for inklen af stärrelse Nsire läser ligningen mht. for 0 180 6 Nsire gier bçde en läsning nder 90 og en läsning oer 90. Hsk at begrnde hilken af läsningerne der skal brges. I dette tilfålde kan begrndelsen Åre: "Vinklen er nder 90 da siden oer for inklen ikke er den stärste i trekanten." I nogle ogaer er det olyst om inklen er stm (ds. oer 90 ) eller sids (ds. nder 90 ). Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 19 016 Karsten Jl
De 3 ogaetyer med sinsformlen for trekants areal Tye 16 realet er altid 1 To sider og inklen mellem dem. realet. T 1 6sin(41,4 ) inklen skal Åre mellem disse sider Nsire dregner ligningens häjre side. T 6 41,4 Tye 17 altid 9,9 1 realet, inklen mellem to sider og en af de to sider. Den anden af de to sider. 1 sin(41,4 ) Nsire läser ligningen mht.. inklen skal Åre mellem disse sider 9,9 41,4 Tye 18 altid 9,9 1 realet og to sider. Vinklen mellem de to sider. 1 6 sin( ) inklen skal Åre mellem disse sider Nsire läser ligningen mht. for 0 180. Ligningen har bçde en läsning nder 90 og en läsning oer 90. His ogaen er i en räe, sç il der Åre flere olysninger sç det fremgçr hilken af de to trekanter ogaen drejer sig om. 9,9 6 De 3 formler for ilkçrlig trekant Her af metoderne 1-18 brger en af fälgende tre formler: I alle trekanter gålder 1 () T sin( ) nçr T er trekantens areal og er inklen mellem siderne og. (6) sin( ) nçr er siden oer for inklen og er siden oer for inklen. sin( ) (7) r cos( ) nçr, og r er siderne og er inklen mellem og. Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 0 016 Karsten Jl
Stikordsregister areal, 9, 0 areal og sins 9 beis for cosinsrelationen 1, 13 beis for sinsformlen for areal af trekant 9 beis for sinsrelationen 10 cosins 7 cosins og Nsire 6 cosins i retinklet trekant 7, 17, 18 cosinsrelationen 1, 14, 19 ensinklede trekanter, 6 hosliggende katete 4, 17, 18 hyotense 3, 17, 18 häjde, 1 häjde-grndlinje-formel for trekants areal katete 3, 17, 18 kadrat 1 kadratsåtninger 16 median 1 modstçende katete 4, 17, 18 modstçende side 4 modstçende inkel 4 omkreds 1 Pythagoras' såtning 3, 18 rektangel 1 ret inkel 1 retinklet trekant 17, 18 sammensat ogae 16 sins 7, 9 sins i retinklet trekant 7, 17, 18 sins og Nsire 6 sinsformel for areal 9 sinsrelationen 10, 19 skalafaktor sids inkel 1 stm inkel 1 tangens 7 tangens i retinklet trekant 7, 18 tangens og Nsire 6 to läsninger 11 ilkçrlig trekant 0 inkel 1, 1 inkelhaleringslinje 1