Oversigt [S] 8.2 Her skal du lære om. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler Calculus - 2003 Uge 4. -
Uendelig række Definition Givet en talfølge {a n }. Calculus - 2003 Uge 4. - 2
Uendelig række Definition Givet en talfølge {a n }. Udtrykket a + + a n +... kaldes en uendelig række. Calculus - 2003 Uge 4. - 2
Uendelig række Definition Givet en talfølge {a n }. Udtrykket a + + a n +... kaldes en uendelig række. Skrives også a n Calculus - 2003 Uge 4. - 2
Harmonisk række Eksempel Talfølgen { n } giver rækken Skrives også + 2 + + n +... n Calculus - 2003 Uge 4. - 3
Harmonisk række Eksempel Talfølgen { n 2 } giver rækken Skrives også + 4 + + n 2 +... n 2 Calculus - 2003 Uge 4. - 4
Afsnitssum 2 Definition Rækken a n har n-te afsnitssum s n = a + + a n = n i= a i Calculus - 2003 Uge 4. - 5
Afsnitssum 2 Definition Rækken a n har n-te afsnitssum s n = a + + a n = n i= a i Rækken kaldes konvergent, hvis talfølge {s n } er konvergent og i modsat fald divergent. Calculus - 2003 Uge 4. - 5
Afsnitssum 2 Definition Rækken a n har n-te afsnitssum s n = a + + a n = n i= a i Rækken kaldes konvergent, hvis talfølge {s n } er konvergent og i modsat fald divergent. s = lim n s n kaldes rækkens sum og skrives a n = s Calculus - 2003 Uge 4. - 5
Enkel udregning Eksempel 6 Rækken 2 + 2 3 + + n(n + ) +... har led a n = n(n + ) = n n + Calculus - 2003 Uge 4. - 6
Enkel udregning Eksempel 6 Rækken 2 + 2 3 + + n(n + ) +... har led og afsnitssum a n = n(n + ) = n n + s n = 2 + 2 3 + + n n + = n + Calculus - 2003 Uge 4. - 6
Enkel udregning Eksempel 6 Afsnitssummen er konvergent s n = n + når n Calculus - 2003 Uge 4. - 7
Enkel udregning Eksempel 6 Afsnitssummen er konvergent s n = n + når n Rækken er da konvergent n(n + ) = Calculus - 2003 Uge 4. - 7
Geometrisk række 4 Sætning (Geometrisk række) Den geometriske række n=0 ar n = a + ar + ar 2 +... er konvergent for r < med sum n=0 ar n = a r Calculus - 2003 Uge 4. - 8
Geometrisk række 4 Sætning (Geometrisk række) Den geometriske række n=0 ar n = a + ar + ar 2 +... er konvergent for r < med sum n=0 ar n = a r Rækken er divergent for øvrige r (a 0). Calculus - 2003 Uge 4. - 8
Bevis geometrisk række Bevis Afsnitssummen findes som kvotientrække s n = a + ar + ar 2 + + ar n = a rn+ r Så rækken er konvergent for r < med sum n=0 ar n = a r Calculus - 2003 Uge 4. - 9
En sum findes Eksempel Den geometriske række n=0 2 n har r = 2 og er konvergent. Calculus - 2003 Uge 4. - 0
En sum findes Eksempel Den geometriske række n=0 2 n har r = 2 og er konvergent. Summen findes n=0 2 = n 2 = 2 Calculus - 2003 Uge 4. - 0
Led forsvinder 6 Sætning Hvis rœkken a n er konvergent, så gœlder lim a n = 0 n Calculus - 2003 Uge 4. -
Led forsvinder 6 Sætning Hvis rœkken a n er konvergent, så gœlder Bevis Antag s n s når n. når n. lim a n = 0 n a n = s n s n s s = 0 Calculus - 2003 Uge 4. -
Divergente rækker Eksempler Den geometriske række ( ) n = + +... n=0 er divergent. Calculus - 2003 Uge 4. - 2
Divergente rækker Eksempler Den geometriske række ( ) n = + +... n=0 er divergent. Rækken er divergent. 2 + 3 4 + 5 6 +... Calculus - 2003 Uge 4. - 2
Divergent med forsvindende led Eksempel 7 (Paspå) Den harmoniske række n har led n 0 når n Men rækken er divergent. Calculus - 2003 Uge 4. - 3
Divergent med forsvindende led Eksempel 7 (Paspå) Afsnitssummen s 2 n = + 2 + ( 3 + 2 2) + ( 5 + + 2 3) + + 2 n + + + 2 n + 2 + 2 2 2 + 4 2 3 + + 2n 2 n = + n 2 giver en divergent følge. Calculus - 2003 Uge 4. - 4
Kriterie for divergens 7 Sætning Hvis lim n a n ikke eksisterer eller lim n a n 0, så er rœkken divergent. a n Calculus - 2003 Uge 4. - 5
Kriterie for divergens 7 Sætning Hvis lim n a n ikke eksisterer eller lim n a n 0, så er rœkken divergent. Bevis Omformuler Sætning 6. a n Calculus - 2003 Uge 4. - 5
Divergente rækker Eksempel Rækken ( n ) har led som konvergerer og er da divergent. a n = n for n Calculus - 2003 Uge 4. - 6
Nyttige regler 8 Sætning (Regneregler) Calculus - 2003 Uge 4. - 7
Nyttige regler 8 Sætning (Regneregler). ca n = c a n Calculus - 2003 Uge 4. - 7
Nyttige regler 8 Sætning (Regneregler). ca n = c a n 2. (a n + b n ) = a n + b n Calculus - 2003 Uge 4. - 7
Nyttige regler 8 Sætning (Regneregler). ca n = c a n 2. (a n + b n ) = a n + b n 3. (a n b n ) = a n b n Calculus - 2003 Uge 4. - 7
Brug sumreglen Eksempel 9 Rækken 3 ( n(n + ) + 2 n) er sum af to konvergente rækker. Calculus - 2003 Uge 4. - 8
Brug sumreglen Eksempel 9 Rækken 3 ( n(n + ) + 2 n) er sum af to konvergente rækker. 3 ( n(n + ) + 2 n) = 3 n(n + ) + 2 n Calculus - 2003 Uge 4. - 8
Brug sumreglen Eksempel 9 Fra tidligere 3 n(n + ) = 3 n(n + ) = 3 2 n = 2 = Calculus - 2003 Uge 4. - 9
Brug sumreglen Eksempel 9 Fra tidligere 3 n(n + ) = 3 n(n + ) = 3 Giver i alt 2 n = 2 = 3 ( n(n + ) + 2 n) = 3 + = 4 Calculus - 2003 Uge 4. - 9
Opgave Øvelse 28 Undersøg rækken n ln( n + ) Calculus - 2003 Uge 4. - 20
Opgave Øvelse 28 Undersøg rækken n ln( n + ) Ledene konvergerer n ln( ) ln() = 0 n + for n så divergenstesten giver os intet. Calculus - 2003 Uge 4. - 20
Opgave Øvelse 28 Om afsnitssummen gælder s n = ln( 2 ) + ln(2 3 ) + + ln( n n + ) = ln( 2 2 3 n n + ) = ln( n + ) s n for n Calculus - 2003 Uge 4. - 2
Opgave Øvelse 28 Altså er rækken divergent. n ln( n + ) Calculus - 2003 Uge 4. - 22
Opgave Øvelse 28 Altså er rækken divergent. n ln( n + ) Men det går langsomt s 0 6 ln(0 6 ) 4 Calculus - 2003 Uge 4. - 22